UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE D E SANTANDER ESCUELA DE MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS ECUACIONES DIFERENCIALES
CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO
GRUPO: B3
MAYO 12 DE 2009
BUCARAMANGA, PRIMER SEMESTRE DE 2009
Crecimiento y decaimiento Uno de los primeros intentos de modelar matemáticamente el crecimiento demográfico humano lo hizo Thomas Malthus, economista inglés en 1798. En esencia, la idea del modelo malthusiano es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la población de un país crece en forma proporcional a la población total, P(t), de ese país en cualquier momento t. En otras palabras, mientras más personas haya en el momento t, habrá más en el futuro. En términos matemáticos, esta hipótesis se puede expresar dP dt
∝ P
O sea
dP dt
= kP
Donde k es una constante de proporcionalidad. A pesar de que este sencillo modelo no tiene en cuenta muchos factores (por ejemplo, inmigración y emigración) que pueden influir en las poblaciones humanas, haciéndolas crecer o disminuir, predijo con mucha exactitud la población de Estados Unidos desde 1790 hasta 1860. La ecuación diferencial (1) aún se utiliza con mucha frecuencia para modelar poblaciones de bacterias y de animales pequeños durante cortos intervalos. El núcleo de un átomo está formado por combinaciones de protones y neutrones. Muchas de esas combinaciones son inestables; esto es, los átomos se desintegran, o se convierten en átomos de otras sustancias. Se dice que estos núcleos son radiactivos; por ejemplo, con el tiempo, el radio Ra 226, intensamente radiactivo, se transforma en gas radón, Rn 222, también radiactivo. Para modelar el fenómeno de la desintegración radiactiva, se supone que la tasa conque los núcleos de una sustancia se desintegran (decaen) es proporcional a la cantidad (con más precisión, el número) de núcleos, A(t), de la sustancia que queda cuando el tiempo es t(o en el momento t): dA dt
∝ A
O sea
dA dt
= kA
Por supuesto que las ecuaciones (1) y (2) son exactamente iguales; la diferencia radica en la interpretación de los símbolos y de las constantes de proporcionalidad. En el caso del crecimiento, como cabe esperar en (l), k > 0, y en el caso de la desintegración, en (2), k < 0. El modelo de desintegración (2) también se aplica a sistemas biológicos; por ejemplo, la determinación de la “vida media” o “periodo medio” de una medicina. Nos referimos al tiempo que tarda el organismo en eliminar 50% de ella, sea por excreción o metabolización. Veremos el mismo modelo básico de (1) y (2) en un sistema económico.
Método de solución de algunos ejemplos de crecimiento y decaimiento El problema de valor inicial dx dt
= kx
,
x (t 0 )
=
x0
(1)
En donde k es una constante de proporcionalidad, se emplea como modelo de distintos fenómenos donde intervienen crecimiento o decaimiento (desintegración). Anteriormente describimos que, en biología, se ha observado que en cortos periodos la tasa de crecimiento de algunas poblaciones (como las de bacterias o de animales pequeños) es proporcional a la población presente en cualquier momento. Si conocemos una población en cierto momento inicial arbitrario, que podemos considerar definido por t = 0, la solución de (1) nos sirve para predecir la población en el futuro, esto es, para t > 0. En física, un problema de valor inicial como las ecuaciones (1) puede servir de modelo para calcular aproximadamente la cantidad residual de una sustancia que se desintegra o decae en forma radiactiva. Esa ecuación diferencial (1) también puede describir la temperatura de un objeto que se enfría. En química, la cantidad residual de una sustancia en ciertas reacciones se apega a la ecuación (1). La constante de proporcionalidad k, en (1), se puede hallar resolviendo el problema de valor inicial, con una determinación de x en un momento t 1 > t 0 .
EJEMPLO 1 Crecimiento de bacterias En un principio, un cultivo al inicio tiene
P 0
cantidad de bacterias. En t = 1 se
3
P 0 . Si la rapidez de crecimiento es 2 proporcional al numero de bacterias P(t) presentes en el tiempo t, determine el tiempo necesario para que se triplique el numero de bacterias.
determina que el numero de bacterias es
Solución
Primero se resuelve la ecuación diferencial en (1), donde el símbolo x se reemplaza por P. Con t 0 = 0 , la condición inicial es P (0) = P 0 . Entonces se usa la 3 observación empírica de que P (1) = P 0 para determinar la constante de 2 proporcionalidad k. Observe que la ecuación diferencial
dP dt
= kP
es tanto separable como lineal. Cuando
se pone en la forma estándar de una ED lineal de primer orden, dP dt
− kP =
0
Se ve por inspección que el factor integrante es e kt . Al multiplicar ambos lados de la ecuación por este termino e integrar se obtiene a su vez, −
d dt
[e
−kt
. P ] = 0
y
e
Por tanto P (t ) = ce kt . En t=0 se deduce que P (t )
= P 0e
obtiene k
kt
. En t=1 se tiene
ln
3
3 2
P 0
= P 0e
0.4055 , y, entonces
k
P (t )
−kt
P 0
= ce
o bien e = P 0e
. P = c
k =
0
3 2
=c
, y en consecuencia
. De la ultima ecuación se
0.4055 t
. Para determinar el tiempo en 2 0.4055 t que se ha triplicado el número de bacterias, se resuelve 3 P 0 = P 0 e para t. Se deduce que 0.4055t= ln3, o =
=
t =
ln 3 0.4055
=
2.71h
Observe en el ejemplo 1 que el numero real P 0 de bacterias presentes en el tiempo t=0 no tuvo que ver en el calculo del tiempo que se requirió para que se triplicara el numero de bacterias en el cultivo. El tiempo necesario para que se triplique una población inicial de, por ejemplo 100 bacterias o 1.000.000 es de mas o menos 2.71 Horas. Observamos la grafica de crecimiento y decaimiento poblacional.
Como se ilustra en la grafica, la función exponencial e kt se incrementa cuando aumenta t para k y disminuye cuando aumenta t para k<0. Así, los problemas que describen el crecimiento (ya sea de poblaciones, bacterias o incluso capital) se caracterizan por un valor positivo de k, mientras que los problemas relacionados con el decaimiento (Como en la desintegración radiactiva) generan un valor k negativo. En consecuencia, se dice que k es una constante de crecimiento (k>0) o una constante de decaimiento (k<0).
Vida Media En física, la vida media es una medida de la estabilidad de una sustancia radiactiva. La vida media es simplemente el tiempo que tarda en desintegrarse, o transmutar en átomos de otro elemento, la mitad de los átomos de una cantidad inicial Ao . Mientras más grande sea la vida media de una sustancia, más estable es ésta.
EJEMPLO 2 Vida Media del Plutonio Un reactor autor regenerador convierte el uranio 238 relativamente estable en el isótopo plutonio 239. Después de 15 años se determina que se desintegró 0.043% de la cantidad inicial Ao de plutonio. Calcule la vida media de este isótopo si la rapidez de desintegración es proporcional a la cantidad presente. Sea A(t) la cantidad de plutonio presente en el tiempo t. Como en el Ejemplo 1, la solución de problema de valor inicial Solución
dA dt
es A(t )
=
Ao e
Kt
=
kA , A(0)
=
Ao
. Si 0.043% de los átomos de Ao se ha desintegrado, entonces aún
queda 99.957% de la sustancia. Para hallar la constante de decaimiento k, se utiliza
0.99957 Ao valor
de
A(15) ,
=
=
1
Ao e
=
Ao .
=
Ao e
15 K
. Al despejar de esta ecuación el
1
k =
ln 0.99957 0.00002867 . Por 15 0.00002867t . Ahora la vida media es el valor del tiempo en el que
la constante se obtiene que
consiguiente, A(t ) A(t )
esto es, 0.99957 Ao
= −
−
1
Al resolver para t se obtiene
2 última ecuación genera:
t =
2
ln 2 0.00002867
≈
Ao
=
A0 e
−
0.00002867t
1
ó
2
=
e
−
0.00002687t
. La
24180año s
EJEMPLO 3 Edad de un Fósil Se encuentra que un hueso fosilizado contiene una milésima de la concentración de C14 que se encuentra en la materia viva. Estime la edad del fósil. Solución
De nuevo, el punto de partida es A(t )
Kt
=
Ao e
1
constante de decaimiento k , se usa el hecho de que .
De
5600 k
Ao
=
Ao e
ln
1 2
= −
A(t )
consiguiente,
1
=
−
0.00012378t
=
,
ln 2
Ao e
de
se
0.00012378t
−
modo
.
Con que
1000 consecuencia, la edad del fósil es cercana a: ln 1000 t =
k =
obtiene
0.00012378
2
. Para determinar el valor de la
Ao
A(5600 )
=
(ln 2) / 5600
−
A(t )
=
−
0.00012378 t
≈
55800años
1000 ln
1 2
Ao
=
A0 e
0.00012378 .
= −
1
=
ó
Ao
1 1000
se = −
5600 k
Por tiene
ln 1000 . Por
BIBLIOGRAFIA - Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. Octava edicion. Dennis G. Zill
