CONJUNTOS POR EXTENSIÓN Y COMPRENSIÓN
Conjuntos por Extensión: 1: Determinar el conjunto A formado por los números enteros positivos entre 3 y 12 A =
4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 11
2: Determinar el conjunto B formado por los enteros positivos pares menores de 15 B =
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 14
! El conjunto B = {x | x es natural e impar y x ≥ 3} Está formado por todos los números naturales impares mayores o iguales a 3 En este caso se trata de un conjunto con un número infinito de elementos! y por lo tanto no podemos definirlo por e"tensi#n
"! El conjunto C = {x | x es natural y 2 ≤ x ≤ 26 y x es potencia de 2} Es el conjunto conjunto formado formado por los elemento elementoss 2! $! %! 1&! 32 y &$ El conjunto conjunto C se define tam'i(n por e"tensi#n como:
C = {2, 4, 8, 16, 32, 64}.
Conjuntos por Co#prensión 1: )eleccionar el conjunto B de los números impares )e representa as*: B = x / x es impa esta es otra forma forma de represen representar tar un conjun conjunto to y se lee: “ B es el impar r ! esta conjunto e los n!meros x, tales "ue x es impar “
2: B:+ ,p∈ $ - p es par } #onjuntos por comprensi$n A + , " - " es número entero. B + , " - " es un número par menor /ue 10. + , " - " es una letra de la pala'ra conjuntos. D + ," - " es una mujer de nacionalidad veneolana . E + ," - " es color 'ásico. + ,"-" es un planeta. )e lee El conjunto formado por los elementos " tal /ue " es un planeta 4+ ,"-" es un elemento /u*mico. )e lee El conjunto 4 formado por los elementos elemen tos " tal /ue " es un elemento /u*mico
CONJUNTOS POR EXTENSIÓN Y COMPRENSIÓN
Conjuntos por Extensión: 1: Determinar el conjunto A formado por los números enteros positivos entre 3 y 12 A =
4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 11
2: Determinar el conjunto B formado por los enteros positivos pares menores de 15 B =
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 14
! El conjunto B = {x | x es natural e impar y x ≥ 3} Está formado por todos los números naturales impares mayores o iguales a 3 En este caso se trata de un conjunto con un número infinito de elementos! y por lo tanto no podemos definirlo por e"tensi#n
"! El conjunto C = {x | x es natural y 2 ≤ x ≤ 26 y x es potencia de 2} Es el conjunto conjunto formado formado por los elemento elementoss 2! $! %! 1&! 32 y &$ El conjunto conjunto C se define tam'i(n por e"tensi#n como:
C = {2, 4, 8, 16, 32, 64}.
Conjuntos por Co#prensión 1: )eleccionar el conjunto B de los números impares )e representa as*: B = x / x es impa esta es otra forma forma de represen representar tar un conjun conjunto to y se lee: “ B es el impar r ! esta conjunto e los n!meros x, tales "ue x es impar “
2: B:+ ,p∈ $ - p es par } #onjuntos por comprensi$n A + , " - " es número entero. B + , " - " es un número par menor /ue 10. + , " - " es una letra de la pala'ra conjuntos. D + ," - " es una mujer de nacionalidad veneolana . E + ," - " es color 'ásico. + ,"-" es un planeta. )e lee El conjunto formado por los elementos " tal /ue " es un planeta 4+ ,"-" es un elemento /u*mico. )e lee El conjunto 4 formado por los elementos elemen tos " tal /ue " es un elemento /u*mico
onjunto aci#6 A+ ,"-" es un perro /ue tiene alas. B+ ,"- "3 + 27 donde " es par. + ,"-" ∈ 89 12 "2. : Dado el conjunto
A = {x | x > 0 y x < 0}
no tiene elementos! ya /ue ningún número es positivo y además negativo or lo tanto A es un conjunto %ac&o ! y lo denotamos como:
A + ∅ . o tam'i(n como A + { }.
2: Determinar si los siguientes conjuntos son conjunto ∅ ; + { " : "2 + < ! 2 " + $ } =esolviendo "2 +< ⇒ " + { 63! 3 }
y
2 " + $ ⇒ " + 2
8o e"iste ningún número /ue cumpla al mismo tiempo con las dos ecuaciones anteriores! por lo tanto " es conjunto vac*o ! " + ∅
A continuac continuaci$n i$n se muestran muestran al'unos al'unos ejemplos ejemplos e conjunto conjunto %ac&o
A = { Las personas personas que que vuelan vuelan }
A= { }
A= Ø
B = { x I x numero racional e irracional}
B={}
B= Ø
C={}
C=Ø
D = { x I x es rojo y verde a la vez}
D={}
D= Ø
E = { x I x es un nmero real e ima!inario}
E={}
"= Ø
C = { x I x es una solución real de
onjunto >nitario + ,"-" esta formado por sat(lites de la tierra. 4+ ,"-" ? 2 +7. =+ ,2! 2! 2! 2. @ojo tiene un solo elemento
A+,5.
}
B + ,números pares entre & y 10. + , % . + ,la capital del eneuela . + , aracas . D + ," - 2" + &. + ,3. E+,1. + ," - " es la soluci#n de
.
C + ,números pares entre 2 y &. + , $ . + ,a capital de File .
onjunto >niversal!% > como el conjunto de todos los Elementos 4u*micos! entonces dentro de > e"istirán su'conjuntos de elementos s#lidos! l*/uidos! gaseosos! radiactivos! metales! etc
A = {x | x es un natural par }, B = {x | x es un natural mayor /ue $} C = {x | x es un natural menor /ue 23} X = {cuadrado! rectángulo! rom'o}, Y = {triángulo! Fe"ágono} Z = { decágono! eneágono! oct#gono! Feptágono}
onjunto inito A+ ,El número computadoras del sal#n de clase. B+ ,275 paginas del li'ro. + ,números impares de 5 al 21.
onjunto Gnfinito A+ ,"∈H9 " I2. B+ ,"-" Es un número real. =JBEKA) A + {Estaciones del aLo} B + {Keses del aLo} + {Enteros positivos menores de 1 } D +{Enteros impares } E + {Enteros positivos divisores de 12}
+ {Catos /ue viven en el Estado K(rida}
(oluci$n:
A : Es inito por/ue Fay $ estaciones en el aLo! n MAN + $ B: Es finito por/ue Fay 12 meses en un aLo! nMBN + 12 : 8o Fay enteros menores /ue 1! as* /ue es vac*o or lo tanto nMN +0 D: Este conjunto es infinito E: os enteros positivos divisores de 12 son 1!2!3!$!& y 12! por lo tanto E es finito n MEN + & : Aun/ue es dif*cil contar con e"actitud todos los gatos /ue viven en el Estado! se dice /ue es finito
Determinar si los siguientes conjuntos son finitos e infinitos
A = { x I x es la solución de
}
Conjun#o $ini#o
B = { %& '& (& )& *& +& ,& -& .& /// }
Conjun#o in$ini#o
C = { x I x es un nmero par }
Conjun#o in$ini#o
0 = { )& ,& 1& '(& '+& '.&('& (*& (-}
Conjun#o $ini#o
Gnclusi#n M⊂N A+ ,radio! televisor! refrigeradora. B+ ,Artefactos el(ctricos. ∴ A ⊂ B MA esta incluido en BN )ean los conjuntos: + ,&! 7! %!
= ⊂ o ⊃ = ⊂ 4 ⊂ o ⊃ 4 = ⊂ 4 o 4 ⊃ =
)e lee @esta inclu*do ⊃ )e lee @incluye a
Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos su forma es: A+B además se cumple: A ⊂ B y B ⊂ A
CONJUNTOS &ISJUNTOS + {2! $! &}
y
D + {1! 3 5! 7}
)e o'serva /ue ningún elemento de pertenece a D! as* como ningún elemento de D pertenece a
1: Consi'ere los siguientes conjuntos A + {1! 2}
B + {1! 2! 3! $}
+ {1! 5}
D + {3! $! 5}
(Cu)*es 'e *os si+uientes ,onjuntos son &isjuntos-
E + { $! 5}
)oluci#n: )on disjuntos A y D! y tam'i(n A y E
onjunto otencia allar la potencia del siguiente conjunto: A+ ,1! 2!3. Donde A tiene 3 elementos MAN+ ,,1. 9,2. 9,3. 9,1!2. 9,1!3. 9,2!3. 9,1! 2! 3.9∅. Donde: ∴2 3 + % allar el número de su'conjuntos y el número de su'conjuntos propios en: B+ ,f! g! F! i. MBN+,∅9,f.9,g.9,F.9 ,i.:,f!g.9,f!F.9,f!i.9,g!F.9,g!i.9,F!i.9,f!g!F.9,f!F!i.9 ,g! F! i.9,f! g! i.9,f! g! F! i!.. El número de elementos de B: nMBN+$ El número de conjuntos potencia de B será: nOMBNP+ 2n +1& El número de )u'conjuntos de B: 1& El número de )u'conjuntos ropios de B: 2n 61+15
)ni$n e #onjuntos )ean A y B dos conjuntos
EQEKJ 1 )i A + ,1! $! <. y B + ,1! 2! 3! $! 5! &! 7! %! <.! entonces A ∪ B + ,1! 2! 3! $! 5! &! 7! %! <. EQEKJ 2 )i A = {x | x es múltiplo de 5} y B = {x | x es múltiplo de 10}! entonces A ∪ B = {x | x es múltiplo de 5 } Dado /ue todo número múltiplo de 10 es tam'i(n es múltiplo de 5 En este caso! B ⊆ A a uni#n de un conjunto A con el conjunto vac*o es el mismo conjunto A! puesto /ue! no tiene elementos:
A
=A
a uni#n de un conjunto A con A es el mismo conjunto A:
A
A = A.
*ntersecci$n e #onjuntos EQEKJ 1 )i consideramos los intervalos [0, 5) y (3, 6]! entonces:
[0, 5) ∪ (3, 6] = [0, 6] y
[0, 5) ∩ (3, 6] = (3, 5)
)i A es un su'conjunto de B! esto es A ⊆ B! entonces A ∩ B = A.
En particular
A
A=A
.
A
=
En un diagrama de enn la intersecci#n de dos conjuntos se representa por la regi#n /ue está determinada por el interior de las curvas cerradas /ue determinan los conjuntos Esta regi#n se la destaca con un som'reado o su'rayado Mver igura 2N J's(rvese /ue la intersecci#n de dos conjuntos es vac*a si y solo si no Fay elementos comunes entre ellos Esto se grafica con dos curvas cerradas /ue no se cortan
igura 2: Gntersecci#n entre A y B
Ejemplo 2: Dados los siguientes conjuntos: A + ,2!$!&!%!10.! B + ,0!1!2!3 .! + , 61!62! 0!3. onstruye los diagramas de enn de: )oluci#n: aN
23 A∩C& c3/ B∩C
#omplemento e un #onjunto Ejem: )ean: > + ,1! 2! 3! 5! &! 7! %. A + ,1! 3! $! 7! %. A + ,2! 5! &.
aN A ∩ B!
'N A ∩
cN B∩
+ierencia e #onjuntos )ean A y B dos conjuntos
A - B = {x | x
A . x
B}
J'servemos /ue Ac = U - A En un diagrama de enn representamos la diferencia entre los onjuntos A y B! destacando la regi#n /ue es interior a A y e"terior a B Mver igura $N
-
+ierencia (im.trica
)e denomina al conjunto cuyos elementos pertenecen a A o a B! pero no a am'os! se representa de la siguiente manera:
/ 0 x x / 0 . x / 0 )e cumple /ue:
/ 0 3 / 4 0 5 3 0 4 / 5
Ej: )ean los conjuntos: A + ,1! 2! 3! &. B + ,2! $! &! 7! %. + ,$! 7! %. A 6 B + ,1! 3. B 6 + ,2! &. A 6 + ,1! 2! 3! &.
ropieaes e las peraciones
*+A+(
)3*3
*3(##*3
1!% I'e#poten,i6
A ∪ A + A
A ∩ A + A
2!% Con#ut6ti76
A ∪ B + B ∪ A
A ∩ B + B ∩ A
!% /so,i6ti76
A ∪ M B ∪ N + M A ∪ B N ∪
A ∩ M B ∩ N + M A ∩ B N ∩
"!% /8sor,ión
A ∪ M A ∩ B N + A
A ∩ M A ∪ B N + A
9!% &istri8uti76
A ∪ M B ∩ N + M A ∪ B N ∩ M A ∪ N
A ∩ M B ∪ N + M A ∩ B N ∪ M A ∩ N
!% Co#p*e#ento
A ∪ AR + >
A ∩ AR + ∅
#)A#*3( Eje#p*o 1! =esolver la ecuaci#n: Reso*u,ión:
x + , =
*
)e resta & en am'os t(rminos de la ecuaci#n Mlo cual es e/uivalente a transponer el & al segundo miem'ro de la ecuaci#nN x + , =
*
⇔
?&
x +, −, =
*−,
S&
⇔
x = −(
x + , =
*
⇔
x =
* − , = −(
o tam'i(n como: y − ( =
-
Eje#p*o 2! =esolver la ecuaci#n: Reso*u,ión:
)e suma 2 en am'os t(rminos de la ecuaci#n Mlo cual es e/uivalente a transponer el S 2 al segundo miem'ro de la ecuaci#nN y −( =-
y −(+( =-+(
⇔
⇔
S2
y = 1
?2
y −( =
-
y = - + ( = 1
⇔
o tam'i(n como:
Eje#p*o ! =esolver la ecuaci#n: Reso*u,ión:
) x − ( =
rimero se suma 2 en am'os t(rminos de la ecuaci#n y despu(s se dividen entre 3 los t(rminos de la ecuaci#n e/uivalente /ue resulta
) x − ( = -
⇔
)x − ( + ( = - + (
⇔
)x = 1
⇔
) x 1 = ) )
⇔
x = )
or transposici#n de t(rminos el proceso ser*a: S2
?2
) x − ( = -
⇔
)x = - + ( = 1
3T
x =
1 =) )
U3
x
Eje#p*o "! =esolver la ecuaci#n: Reso*u,ión:
⇔
)
−(=-
rimero se suma 2 en am'os t(rminos de la ecuaci#n y despu(s se multiplican por 3 los t(rminos de la ecuaci#n e/uivalente /ue resulta x
)
−(=- ⇔
x
)
−(+( =-+( ⇔
x
)
x = 1 ⇔ ÷ 4)3 = 4134)3 ⇔ )
x
= (-
or transposici#n de t(rminos el proceso ser*a: S2 x
)
?2
−(=-
⇔
x
)
=-+(=1
U3
⇔
x = 4)3413 =
(-
3T
Jtra forma de resolver esta ecuaci#n ser*a: primero multiplicar am'os miem'ros de la ecuaci#n por el mcm de los denominadores! /ue es 3! y despu(s transponer el t(rmino num(rico /ue resulta en el miem'ro i/uierdo: x
)
−(=- ⇔
x − ( = 4)34-3 ⇔ ÷ )
4)3
) x −, )
= (' ⇔
x
= (' + , = (-
Eje#p*o 9! =esolver la ecuaci#n: "M" ? 2N ? 5 + M" ? 7NM" S 3N Reso*u,ión:
⇔ ara resolver esta ecuaci#n se efectúan primeramente las multiplicaciones indicadas en cada miem'ro:
x ( + (x + + = x ( + *x − ('
x( Despu(s se suprimen los t(rminos
⇔
/ue están en cada miem'ro:
2" ? 5 + $" S 21 AFora se traspone el t(rmino 5 al segundo miem'ro y el t(rmino $" al primer miem'ro Mas* la varia'le aparece s#lo en el primer miem'ro de la ecuaci#nN:
⇔ ⇔ ⇔
2" S $" + S 21 S 5
Menseguida se reducen los t(rminos semejantesN
S 2" + S 2& −2& - − 2 "+
Menseguida se traspasa el factor S 2N
" + 13
My se o'tiene la posi'le soluci#nN
Mfinalmente se calcula el cocienteN
⇔ Not6: En los ejemplos anteriores no se Fa compro'ado /ue las soluciones o'tenidas sean las correctas! sin em'argo! para estar seguros de /ue la soluci#n o'tenida es la correcta se puede Facer *6 ,o#pro86,ión! ara esto se sustituye el valor de " en am'os miem'ros de la ecuaci#n original y se realian las operaciones indicadas para ver si coinciden los valores num(ricos de am'os miem'ros! en caso afirmativo el valor de " encontrado será la soluci#n de la ecuaci#n ara este ejemplo la compro'aci#n será: KG : KD :
13 M13? 2N ? 5 + M13N M15N ? 5 + 1<5 ? 5 + 200 M13 ? 7NM13 S 3N + M20N M10N + 200
or tanto, como -*- = -+- , entonces, x = 1 es la soluci$n-
1 x − 4 + x − (3 − x = . + 4 * − ( x 3
Eje#p*o ! =esolver la ecuaci#n:
Resolución: 5e eliminan los par6n#esis aplicando el procedimien#o es#udiado& o2#enemos7 1x − +x 8 ( − x = . 8 * − (x )x 8 ( = '( − (x )x 8 (x = '( − ( 5" + 10 " + 10 - 5 "+2 Compro2ación7 9/I/7 4134(3 − :4+34(3 − (; − ( = '. − . − ( = . 9/D/7 . 8 :* − 4(34(3; = . 8 % = .
∴ la soluci$n es x = 2
4 (x + '34 x − *3 + ')
= (x ( − '% x
Ejemplo 7.
ay que calcular el produc#o indicado7 ( x ( − . x + x − * + ')
/
(x ( − '% x
= (x ( − - x + 1
(x ( − '% x
= −-x 8 1 = − '%x −-x 8 '%x = − 1 )x = − 1 x = − )
Comprobación: 9/I/
=
(
( (4 −)3 + ')( − ) − * ) + ') 4 −+ 34 −- 3 + ')
9/D/
(( − ) ) − '%( − )) =
M 2NM
=
)+ + ')
'. + )%
= *. = *.
∴ =
Ecuaciones de 2º grado completas Las ecuaciones de segundo grado deben tener una x elevada al cuadrado.
E,u6,iones 'e ter,er +r6'o
1 ..2x 3 − 7x 2 + 8x − 3 = 0 P(1) = 2 · 1 3 − 7 · 1 2 + 8 · 1 − 3 = 0
(x −1 ) · (2x 2 − 5x + 3 ) = 0
P(1) = 2 · 1 2 −5 · 1 + 3 = 0
(x −1 ) 2 · (2x −3 ) = 0
Las raíces son: x = 3/2 y x = 1
2 ..x 3 − x 2 − 4 = 0 {±1, ±2, ±4 }
P(1) = 1
3
− 1 2 − 4 ≠ 0
P(−1) = (−1) 3 − (−1) 2 − 4 ≠ 0
P(2) = 2
3
− 2 2 − 4 = 8 − 4 − 4 = 0
(x − 2) · (x 2 + x + 2 ) = 0 x2+ x + 2 = 0
(x − 2) · (x 2 + x + 2 ) = 0
Raíz: x = 2.
6x 3 + 7x 2 − 9x + 2= 0
{±1, ±2}
P(1) = 6 · 1 3 + 7 · 1 2 − 9 · 1 + 2 ≠ 0
P(−1) = 6 · (−1) 3 + 7 · (−1) 2 − 9 · (−1) + 2 ≠ 0 P(2) = 6 · 2 3 + 7 · 2
2
− 9 · 2 + 2 ≠ 0
P(−2) = 6 · (−2) 3 + 7 · (−2) 2 − 9 · (−2) + 2 = − 48 + 28 + 18 + 2 = 0
(x+2) · (6x 2 −5x +1) = 0 6x 2 −5x +1 = 0
6 (x + 2) · (x − 1/2) · (x − 1/3) = 0
Raí!": x = − 2, x = 1/2 y x= 1/3
;6*or 68so*uto 1)
x + |1 + 2x| = - 2
#$%a" "&'&*!" $'!* 'a !a*, &- a*&:
S = { -1 , 1}
2)
3|x + 4| - 2 = x
#' &$-&%a- 'a" "&'&*!" "! &%"!-a ! *& $'!* 'a !a*. P&- a*&, 'a !a* *& !*! "&'*.
3) |x2 - 2| = 2 - 3x P&- &-& 'a&, !*!$&" &" &"%'a!" a-a 'a a'a:
x2 2 = 2 3x
!
x2 + 3x 4 = 0
x2 2 = (2 3x) = 2 + 3x
!
x2 3x = 0 ! x ( x 3) = 0
&$-&%a$&" " 'a" "&'&*!" $'!* 'a !a*: x = 1:
12 2 = 2 3·1 ! 1 ≠ 1
x = 1 *& !" "&'*
a!$&" '& $"$& a-a !' -!"& ! "&'&*!". x = 4 !" "&'* x = 0 !" "&'* x = 3 *& !" "&'* P&- a*&, !' &**& "&'* !": ) = { 4 , 0 }
4)
|x + 1| = |x - 5|
! &$-!%a 'a "&'* x = 2 'a $'! 'a !a*. x=2
FUNCION CUA!A"ICA
1º ;'!a$&" a' a-a& '&" &" $!$%-&":
2º R!"&'!$&" 'a !a*:
3º &$-&%a$&":
•
.-
x V3 x V$ + 0
26
5 x V& x V1 + 0
36
3 " V2$ " + 0
$6
3 M " S
2
2
2
2
So*u,iones
1!% )e trata de una e,u6,ión ,u6'r)ti,6 ,o#p*et6 rimer paso definir /ui(nes son los coeficientes a!' y c )egundo paso aplicar f#rmula cuadrática para resolverla a+ 19 '+ 63 y c+ $ =esoluci#n:
2!% )e trata de una e,u6,ión ,u6'r)ti,6 ,o#p*et6 rimer paso definir /ui(nes son los coeficientes a!' y c )egundo paso aplicar f#rmula cuadrática para resolverla a+ 5! '+ 6& y c+ 61 =esoluci#n:
!% En este caso se trata de una e,u6,ión ,u6'r)ti,6 in,o#p*et6! en la /ue falta el t(rmino independiente! o sea el coeficiente c Es posi'le resolver esta ecuaci#n utiliando la f#rmula cuadrática y asignando a @c el valor cero ero como ya Fa'rás le*do! e"iste una manera más sencilla de resolverla /ue comiena por sacar factor común @" de am'os t(rminos omo /ueda un producto de dos factores cuyo resultado es cero! uno de los dos tiene /ue ser cero y esa es precisamente la 'ase de las dos soluciones /ue estamos 'uscando resta atenci#n y ,o#p6r6 ,on tus propios resu*t6'os:
$6 En este caso es una e,u6,ión
,u6'r)ti,6 in,o#p*et6 a la /ue falta su t(rmino lineal Mvale decir @'+0WN! pero
/ue además re/uiere realiar una operaci#n previa Fasta llegar a su forma tipo e a/u* los pasos para su resoluci#n:
6 )ee more at: Fttp:--matematicasmodernascom-ejercicios6de6ecuaciones6cuadraticas6 resueltas-XstFasFYoaF408Hdpuf
Inecuaciones de primer grado
istemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita Cuando tenemos un sistema de desigualdades resolvemos cada una de ellas por separado, la solución va a ser la común a las desigualdades.
Inecuaciones de segundo grado Para resolver desigualdades de segundo grado o de grado superior es necesario descomponer en factores. Recuerda que para hacer la descomposición factorial dependiendo de la ecuación podemos sacar factor común, resolver la ecuación de segundo grado o aplicar la regla de Ruffini.
Inecuaciones con denominadores
Inecuaciones de grado superior a dos
E,u6,iones 'e Se+un'o +r6'o
x 2 − 6x + 8 0 x 2 − 6x + 8 = 0
P(0) = 0 2 − 6 · 0 + 8 0 P(3) = 3 2 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 > 0 P(5) = 5 2 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 0
# = $-%, 2&
$', %&
????.x 2 + 2x +1 = 0
(x + 1) 2 @ 0
A&& *B$!-& !'!a& a' a-a& !" $a&- & a' ! !-&.
=
ZZZZx 2 + x +1 0
x 2 + x +1 = 0
P(0) = 0 + 0 + 1 0
;' "*& &%!*& &*! &* !' ! 'a !"a'a, 'a "&'* !"
ZZ7x 2 + 21x − 28 > 0 x 2 +3x − 4 > 0
x 2 +3x − 4 = 0
P(−6) = (−6) 2 +3 · (−6)− 4 0 P(0) = 0 2 +3 · 0 − 4 > 0
P(3) = 3 2 +3 · 3 − 4 0
$−', 1&
ZZZZ−x 2 + 4x − 7 > 0 x 2 − 4x + 7 = 0
P(0) = −0 2 + 4 ·0 − 7 > 0
.
=
x 4 − 25x 2 − 144 > 0 x 4 − 25x 2 − 144 = 0
$−', −3&
$−3, 3 &
$3, '& .
Gnecuaciones con valor a'soluto
4)
Resuelve las siguientes inecuaciones:
1)
|x - 3| 2
2>x3>2
2+3>x>2+3
1>x>5
x ∈ (1 , 5)
2)
|4x + 1| ! "
!$-! "! !*! !:
x @ 0 x ∈ R
&$& 'a !"a'a !' !**a& !" !"-a, !' &**& ! "&'&*!" !*-C a& &-:
R{x∈R
4x + 1 = 0 }
4x + 1 = 0
!
4x + 1 = 0
<!& 4x + 1 0
3)
!
!
x = 1/4
x ∈ R { 1/4 }
|x - 1| 5
Los (a)ores rea)es *+e (ercan ca ex0resn son:
x - 1 4
#
5or +n )ao 6ene7os:
-4x-14
-4x-1
$ -481x $ -'x
5or o6ro:
x-14 $ x481
$ x9
5or 6an6o, co7o - ' x 9 , e) con+n6o so)+cn es:
# = $-' , 9&
4)
|3x + 1| % 5
Los (a)ores rea)es *+e (ercan ca ex0resn son:
3x 8 1 ; 4
# 3x 8 1 < - 4 o 3x 8 1 ; 4
5or +n )ao 6ene7os:
3x 8 1 < - 4
$ 3x < - 9 $ x < - 2 $ x & $-% , - 2
5or o6ro:
3x - 1 ; 4
$ 3x ; 9 $ x ; 2 $ x & >2 , %&
5or 6an6o, e) con+n6o so)+cn es e) n6er(a)o:
# = $-% , - 2 ' >2 , %&
()
Resuelve la siguiente inecuacin: 4 + |x| % 3x
4 + |x| % 3x
|x| % 3x - 4
x * - 3x - 4)
x * - 3x - 4)
x % 3x - 4
x % 3x - 4
#
#
x < - 3x + 4
- 2x = - 4
#
#
4x < 4
2x < 4
#
#
x < 1
x*2
,a solucin se. el con/unto 0e valoes 0e x ue culan la iea 0esigual0a0 la segun0a
x & -> 16 ' -7 26 = -7 26
1)
|x - 3| ! 1
x3>1
x31
x3>1
x31
x>1+3
!
!
x1+3
x ∈ (D , 2) " (4 , D)
2)
|x - 3| 1
1>x3>1
1+3>x>1+3
2>x>4
x ∈ (2 ,4)
3)
|x - 3| * 1
1Ex3E1 1+3ExE1+3 2ExE4
x ∈ F2 ,4G
=JD>[J A=[E)GA8J
!
!
x>2
x4
=elaciones 'inarias Ejemplos : Dado el conjun#o
•
plano
•
de los nmeros reales& de$inimos la relación 2inaria
& se!n la $unción cuadr?#ica
ar#iendo del conjun#o
de los au#omóviles
de los pun#os
y
& $ormada por cada au#omóvil
en el
& de $orma que se ano#a7
de una localidad& y o#ro conjun#o
manejan au#omóviles en esa localidad& podemos de$inir la relación 2inaria conjun#os
e
& y quien lo conduce
de las personas
que
@/// conduce /// en#re am2os
de $orma que se ano#a $ormalmen#e7
!ominio " rango de una relación El dominio de una relación es el conjun#o de preim#genes$ es decir& el conjun#o $ormado por los elemen#os del conjun#o de par#ida que es#?n relacionados/ Al conjun#o de im#genes& es#o es& elemen#os del conjun#o de lle!ada que es#?n relacionados& se le denomina recorrido o rango /
Ejemplo 3 5ea A = {'& (& )& *} y B = {*& +& ,& -& .} y < la relación de$inida de A en B de#erminada por la re!la " es el do2le de % o " = (%& encon#rar dominio y ran!o de la relación/
olución El #o#al de pares ordenados que podemos $ormar& o produc#o car#esiano es7 A x B = {4'& *3& 4'& +3& 4'& ,3& 4'& -3& 4'& .3& 4(& *3& 4(& +3& 4(& ,3& 4(& -3& 4(& .3& 4)& *3& 4)& +3& 4)& ,3& 4)& -3& 4)& .3& 4*& *3& 4*& +3& 4*& ,3& 4*& -3& 4*& .3} ero los pares que per#enecen a la relación < 4 y = (x3 son solo7 < = {4(& *3& 4)& ,3& 4*& .3} En es#a relación vemos que7 * es el do2le de ( es#o es& * es la ima!en de ( 2ajo <& dic>o de o#ro modo& ( es preima!en de */ As& el dominio y ran!o son7 D = {(& )& *} ay en#re el Dominio y el conjun#o de par#idaH En el Dominio $al#a el elemen#o ' del conjun#o de par#ida& por lo #an#o el Dominio es un su2conjun#o de A/ #ra pre!un#a7 FJodo elemen#o del conjun#o de lle!ada es elemen#o del ran!oH La respues#a es no& pues en el ran!o $al#an el + y el -/
!&'I(I& ) R*(+& !E ,(* RE-*CI&( El dominio de una relación es el conjun#o de preim?!enes es decir& el conjun#o $ormado por los elemen#os del conjun#o de par#ida que es#?n relacionados/ Al conjun#o de im?!enes& es#o es& elemen#os del conjun#o de lle!ada que es#?n relacionados& se le denomina recorrido o rango/ Ejemplo 5ea A = {'& (& )& *} y B = {*& +& ,& -& .} y < la relación de$inida de A en B de#erminada por la re!la y es el do2le de x o y = (x& encon#rar dominio y ran!o de la relación/ 5olución El #o#al de pares ordenados que podemos $ormar& o produc#o car#esiano es7 A x B = {4'& *3& 4'& +3& 4'& ,3& 4'& -3& 4'& .3& 4(& *3& 4(& +3& 4(& ,3& 4(& -3& 4(& .3& 4)& *3& 4)& +3& 4)& ,3& 4)& -3& 4)& .3& 4*& *3& 4*& +3& 4*& ,3& 4*& -3& 4*& .3} ero los pares que per#enecen a la relación < 4y = (x3 son solo7
< = {4(& *3& 4)& ,3& 4*& .3} En es#a relación vemos que7 * es el do2le de ( es#o es& * es la ima!en de ( 2ajo <& dic>o de o#ro modo& ( es preima!en de */ As& el dominio y ran!o son7 D = {(& )& *} ay en#re el Dominio y el conjun#o de par#idaH En el Dominio $al#a el elemen#o ' del conjun#o de par#ida& por lo #an#o el Dominio es un su2conjun#o de A/ #ra pre!un#a7 FJodo elemen#o del conjun#o de lle!ada es elemen#o del ran!oH La respues#a es no& pues en el ran!o $al#an el + y el -/
Ejemplos:
-Conjunto de los Numeros Mayores o menores que A y menores o iguales que B.
a/ b0 a%b
?un,ión *ine6* 1..Pa"a &- '&" *&" #(−1, 5) H(3, 7).
5 = −$ + * −5 = $ − *
7 = 3$ + * 7 = 3$ + *
2 = 4$ 7 = ? n = 11/2
= Ix + 11/2
x
. @x A 112
B
112
1
2..A!*! &- !*!*! 4 a"a &- !' *& (−3, 2).
= 4 x + *
2 = 4 · (−3) + *
*= 14
= 4 x + 14
x
. " x A 1"
B
1"
1
1
3..R!-!"!*a 'a "!*! J**, "a%!*& !:
A!*! !*!*! 3 &-!*aa !* !' &-! * 1.
= 3x 1
x
. Dx 4 1
B
%1
1
D"
4..R!-!"!*a 'a J** aJí*:
= Kx 1
x
. %x 4 1
B
D1
"
D"
R!-!"!*a 'a J** '*!a'
= 2x
x
F3x52x
B
B
1
2
?un,ión ,u6'r6ti,6 Kra$icar la si!uien#e $unción cuadr?#ica7 y = x( *x 8 )/
Kra$icar la si!uien#e $unción cuadr?#ica7 y = x( (x 8 )/
Kra$icar la si!uien#e $unción cuadr?#ica7 y = x( M*x 8 *
Kra$icar la si!uien#e $unción cuadr?#ica7 y = M x( 8 (x 8 )/
Con,67i'6' 1
2
3
'
JL *& "! a*'a.
4
9
?un,ión ,onst6nte Eje#p*o 1! a funci#n f(x) = 4 es una funci#n constante por/ue independientemente del valor de x el valor de la funci#n siempre es $ Jtra manera de representar una funci#n es por medio de una lista de parejas ordenadas de la forma M x! f M xNN frecuentemente en una ta'la
Eje#p*o 2! a funci#n f(x)=3 se puede representar en forma ta'ular para algunos valores de x:
x 61 0 1 2
f M xN 3 3 3 3
15 5
3 3
2
a gráfica de esta funci#n para los valores de x entre 63 y 3 es:
Eje#p*o ! )ea la funci#n f(x)=-2 ! encontrar su representaci#n ta'ular y gráfica
x 63 6175 61 0 1 2<<
f M xN 62 62 62 62 62 62
>na funci#n constante f(x) = c : • tiene el mismo valor de y = f(x) para cual/uier valor de x! • tiene como gráfica una l*nea Foriontal! • nunca crua el eje x! e"cepto cuando f M xN + 0! • crua una sola ve el eje y en el punto (0, c), • es a/uella en /ue el e"ponente má"imo de la x es cero! x
8ota Dado /ue
0
f ( x ) = $ x0 = $M1N = $
=1 ! entonces
?un,ión 76*or 68so*uto
Reesenta la siguiente 8uncin con to0as sus caacte9sticas:
= |x| - 2
o7$& = R
I7$& = F2, +D)
5+n6os e cor6e:
Pa-a x = 0 !*!$&" ! J(0) = 2 ;' *& ! &-! &* !' !! M !" (0, 2) Pa-a ! J(x) = 0 0 = x 2 x = 2 x = ±2 2, 0) (2, 0)
&-a a' !! N !* '&" *&" (
@ono6onía:
@x7os y 7ín7os:
J(x) = x
;" !-, = J(x) 2 = x 2
;xese la siguiente 8uncin coo una 8uncin 0e
8x) = |x| + |x -
;"a$&" aa a'&- a%"&'& &- "!a-a&:
# &**a*, !"a$&" 'a "$a ! '&" a'&-!" ! !*!-a*: (D 0) , (0, 2) (2, +D) .
x x 2 !* '&" -!" *!-a'&" ! "!
P&- '& a*& 'a J** !a !J*a ! 'a "!*! J&-$a:
Reesenta la siguiente 8uncin con to0as sus caacte9sticas: 3|
= |x + 3| + |x -
;"a$&" aa a'&- a%"&'& &- "!a-a&:
# &**a*, !"a$&" 'a "$a ! '&" a'&-!" ! "! !*!-a*: (D, 3) , (3, 3) (3, +D) .
x + 3 x 3 !* '&" -!" *!-a'&" !
P&- '& a*& 'a J** !a !J*a ! 'a "!*! J&-$a:
o7$& = R
I7$& = F6 , +D)
5+n6os e cor6e:
x = 0 J(0) = 6 & &-a a' !! M J(x) = 0 2x = 0 x = 0 & &-a a' !! N !"& ! x = 0 *!-a'&.
6 ≠ 0 & &-a a' !! N
2x = 0 x = 0 & &-a a' !! N !"& ! x = 0
*& !-!*!! a O&
*& !-!*!! a O& *!-a'&.
@ono6onía:
Función polinómica
Eje#p*o 1: En,ontr6r *6s r6G,es 'e *6 Fun,ión F x x A x 2 A 2 x So*u,ión: Buscamos resolver la ecuaci#n fM"N+0 actoriando la e"presi#n o'tenemos: f " + " "?1 "?2 =ecordemos /ue si A\ B+0 entonces A+0 o B+0 or lo /ue: "+0
o
"?1 + 0 " + 61
o
"?2 + 0 " + 62
as ra*ces de la funci#n f " + " 3 ? 3 " 2 ? 2 " son "+0! "+61 y "+62 uedes visualiar estas ra*ces o'servando la gráfica de esta funci#n! /ue es la siguiente:
Eje#p*o 2: En,ontr6r *6s r6G,es 'e *6 Fun,ión F x x A 9 x 2 A " x So*u,ión: Buscamos resolver la ecuaci#n fM"N+0 actoriando la e"presi#n o'tenemos: f " + " "?1 "?$ =ecordemos /ue si A\ B+0 entonces A+0 o B+0 or lo /ue: "+0
o
"?1 + 0 " + 61
o
"?$ + 0 " + 6$
as ra*ces de la funci#n f " + " 3 ? 5 " 2 ? $ " son "+0! "+61 y "+6$ uedes visualiar estas ra*ces o'servando la gráfica de esta funci#n! /ue es la siguiente:
Eje#p*o 1: En,ontr6r *6s r6G,es 'e *6 Fun,ión F x x A 2 x 2 A x So*u,ión: Buscamos resolver la ecuaci#n fM"N+0 actoriando la e"presi#n o'tenemos: f " + " "?12 or lo /ue:
"+0
J
"?1 + 0 " + 61
as ra*ces de la funci#n f " + " 3 ? 2 " 2 ? " son "+0 y "+61 uedes visualiar estas ra*ces o'servando la gráfica de esta funci#n! /ue es la siguiente:
0 emos /ue el factor M x?1N aparece dos veces Este genera una ra* do'le x+61 emos en la gráfica /ue la curva toca el eje x pero no lo crua
1
#"í*&a O&-z&*a':
#"í*&a" !-a'!".
#"í*&a" &%'a".
2
#"í*&a O&-z&*a':
#"í*&a" !-a'!".
#"í*&a &%'a.
3
#"í*&a O&-z&*a'
#"í*&a" !-a'!".
#"í*&a &%'a.
& !*! a"*&a &%'a.
?un,ión irr6,ion6* Reesenta la siguiente 8uncin iacional:
1& o7no:
&$& * !" a-, !' &$*& ! J(x) !" !' &**& ! a'&-!" &*! F0, +D)
x @ 0 , !" !-, Q&$(J) =
2& 5+n6os e cor6e:
J(0) = 0 = 0 , !" !-, !' *& ! &-! &*! &* !' !! ! &&-!*aa" (0, 0).
3& "aB)a e (a)ores:
Reesenta la siguiente 8uncin iacional:
1& "0o e +ncn:
2&
o7no:
!" *a J** &* -aa'!" & J** --a&*a'.
&$& !" *a J** &* -aa'!", " -aa*& !*! ! "!- $a&- & a' ! 0.
x+2@0 x@2
Q&$(J) = F 2, +D) .
3& !ecorro o 7aen: '&
Con6n+a:
S$(J) = F3, + D) .
!" &**a !* F 2, +D)
4& #7e6ría:
J( x) = 3 + ( x + 2)
J(x) = 3 (x + 2)
J( x) ≠ J(x)
P&- '& a*& 'a J** *& !" "$T-a. 9& Cor6e con )os ees:
x = 0
= 0
(x + 2) = 3 x + 2 = 9 x = 7 (7, 0)
D&
@ono6onía:
x1 > x2 x1 + 2 > x2 + 2 x1 + 2 > x 2 + 2
3 + (x1 + 2) > 3 + (x2 + 2) J(x1) > J(x2)
E& @x7os y 7ín7os re)a6(os:
&
Asín6o6as:
Reesenta la siguiente 8uncin iacional:
1& "0o e +ncn:
!" *a J** &* -aa'!" & J** --a&*a'.
;" *a J** --a&*a' !' & !"a&:
* U/ x
&$& !" *a J** &* -aa'!", " -aa*& !*! ! "!- $a&- & a' ! 0. #!$C", a' !*!- !' -aa' !* !' !*&$*a&-, !"! !*! ! "!- "*& ! 0. 2&
o7no:
x+10 x1 Q&$(J) = ( 1, +D) .
3& !ecorro o 7aen:
S$(J) = (3, + D) .
'&
Con6n+a:
!" &**a !* ( 1, +D) .
4& #7e6ría:
J( x) ≠ J(x) P&- '& a*& 'a J** *& !" "$T-a.
9& Cor6e con )os ees:
x = 0
= 0
D&
@ono6onía:
( 1, +D) .
E& @x7os y 7ín7os re)a6(os:
&
Asín6o6as:
Reesenta la siguiente 8uncin iacional:
1& "0o e +ncn:
!" *a J** &* -aa'!" & J** --a&*a'.
;" *a J** --a&*a' !' & !"a&:
2&
o7no:
* U/ x
!' B*& a'&- ! a*'a a' !*&$*a&- !" x = 3 .
Q&$(J) = R {3} .
3& !ecorro o 7aen:
'&
Con6n+a:
S$(J) = R {0} .
!" &**a !* R {3} .
4& #7e6ría:
J( x) ≠ J(x) P&- '& a*& 'a J** *& !" "$T-a.
9& Cor6e con )os ees:
x = 0
= 0
D&
@ono6onía:
E& @x7os y 7ín7os re)a6(os:
&
Asín6o6as:
x=3.
(a'&- a-a !' ! "! a*'a !' !*&$*a&-)
unci#n e"ponencial
;/elos
X
. 2x
%
1
%2
1"
%1
12
B
1
1
2
2
"
X
. 3@5x
%
%2
"
%1
2
B
1
1
12
2
1"
1
EJEMPLO 1 Soluci ó n
Elabore la gráfica de la curva correspondiente a y = 8 x en el intervalo [-1, 1], usando una tabla de valores.
Hasta aquí hemos restringido nuestra atenci ón a las funciones exponenciales de la forma y = f(x) = b x, donde b > 1. Todas estas gráficas tienen la misma forma de la función y = 2 x. Para b = 1 , y = b x = 1 x = 1 para todo valor de x. Como en este caso se trata de una función constante. f(x) = l, no usamos la base b = 1 en la clasificación de las funciones exponenciales.
b= Ahora, exploremos las funciones exponenciales y = f(x) = b x para las cuales tenemos: 0 < b < 1. En particular, si
1 2
,
1 1 = = 2 2 x
y
x
; o sea: y = 2-x .
tenemos:
Todas las curvas correspondientes a y = b x , para 0 < b < 1, tienen la misma forma básica. La curva es cóncava hacia arriba, la funci ón resulta decreciente y la recta definida por y =
y = g(x ) = También es posible elaborar la gráfica de
g(x ) =
1 x
2
− x
=2
1 x
y = f (x ) = 2
x
2
relacionándola con la gráfica de
. Como
= f (− x )
, los valores de y para la función g son los mismos valores de y correspondientes a f , pero en el lado opuesto del eje de las y . En otras palabras, la gr áfica de g es el reflejo de la gr áfica de f , respecto del eje de las y.
>8GJ8 JCA=G[KGA ;/elos
x
1/E
-3
1/'
-2
1/2
-1
1
G
2
1
'
2
E
3
x
1/E
3
1/'
2
1/2
1
1
G
2
−1
'
−2
E
−3
Escriba la ecuación de g, la función inversa de y = f(x) = 2 x y elabore las gráficas de ambas en los mismos ejes coordenados. EJEMPLO 1
La inversa g tiene la ecuaci ón y = f(x) = 2 x, y su gr áfica se puede obtener reflejando y = f(x) = 2 x al otro lado de la recta definida por y = x. Soluci ó n
;ERI?IHUE SU COMPRENSION 1. Encuentre la ecuación de la inversa de y = 3 x elabore la gráfica de ambas funciones en los
mismos ejes.
1 y = 3
x
2. Encuentre la ecuación de
y elabore la gráfica de las funciones en los mismos ejes. Sea y = f(x) = log5 x, Describa usted como se puede obtener la gr á fica de cada una de las siguientes funciones, a partir de la gr á fica de f
( ) = log (x + 2)
g x
3.
( ) = − log x
g x
( ) = 2 + log x
g x
5
5
4.
5
( ) = 2 log x
g x
5
