10 ejemplos de conjuntos por extensión y comprensión A = ( a,e,i, o, u ) B = ( 2,4,6,8 ) C =(rojo, azul amarillo ) D = ( 1,3,5,7,9) E = ( punto, recta, plano ) F = ( cabeza, tronco , extremidades ) Todos esos son por extensión, ahora te escribo por incomprensión los mismos conjuntos. A = ( x/x es vocales del abecedario) B = (x/x es número par mayor que 1 y menor que 10 ) C = (x/x es color primario ) D = (x/x es numero impar positivo menor que 10 ) E = ( x/x es elemento fundamental de la geometría ) F = (x/x es parte del cuerpo humano ) A={5,10,15,20,25,...} A={ x / x ϵ N,multiplos de 5,0 x < } B={41,43,45,47,49} B={ x / x ϵ N,impares,40 < x < 50 } C={a,l,e,g,r,i} C={ x / x es una letra de la palabra alegría} D={Ollanta Humala} D={ x / x es el presidente actual del Perú} Ejemplos: de conjuntos vacíos : 1.- Sean los conjuntos: A = {aves} B = {peces} C = {anfibios} D = {tigres} Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D y es conjunto de todos los animales. U = {animales} Este sería el conjunto universal. 2.- Sean los conjuntos: E = {mujeres} F = {hombres} El conjunto que incluye a los conjuntos E y F es el universo, conformado por
U = {seres humanos} Conjunto Universal. 3.- Sean los conjuntos: A= {Vocales} B = {Consonantes} El conjunto universal serían U = Letras.
Ejemplo de conjunto basios A = {es la estrella más cercana a la Tierra} --> Sol B = {es un satélite} --> Luna C = {el único planeta donde hay vida} --> Tierra D = {números pares entre 6 y 10} = {8} E = {la capital del Perú} = {Lima} A{CAPITAL DE COLOMBIA} B{CAPITAL DE ESPAÑA} C{CAPITAL DE ECUADOR}
Conjunto infinito 1) A= {x / x es el nombre de un mes del año} 2) {1,2,3,4,...,99,100} 3) A={x ϵ N / 2 ł x, x es primo, x<3} (conjunto de los números naturales primos, menores que 3, que no sean divisibles por dos) 4) El conjunto formado por todas las personas de la Tierra 5) A = {0,1,2,3,4,...} (conjunto de los números enteros no negativos) 6) El conjunto de todas las rectas paralelas al eje OX de un sistema de ejes coordenados cartesiano 7) A = {x ϵ Z / x 2 = 9, 2x = 4 } 8) El conjunto de las letras del alfabeto inglés 9) A = {x ϵ Z / x ≠ x } 10) el conjunto de los divisores de 1800000 11) A = {x ϵ N / x + 8=8} Conjuntos infinitos
Los números naturales - Los números pares - Los números impares - Los números primos - Los números racionales - Los números irracionales - Los números enteros negativos o positivos - Los números reales - Los números imaginarios Las estrellas Ejemplos de subconjunt Ejemplos de subconjuntos: 1. Dados A={a, b, 1, 2, 3} y B={a, b, c, 1, 2, 3, 4}, se puede decir que A ⊂ B. 2. Dados A={a, b} y B={1, a, b}, se puede decir que A ⊂ B. 3. Dados A={a, b, c} y B={a, b, c, d}, se puede decir que A ⊂ B. 4. Dados A={♠, ♣} y B={♠, ♣, ♥}, se puede decir que A ⊂ B. 5. Dados A={x, y} y B={x, y, z}, se puede decir que A ⊂ B. 6. Dados A={lunes, martes, viernes} y B={lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}, se puede decir que A ⊂ B. 7. Dados A={a, o} y B={a, e, i, o, u}, se puede decir que A ⊂ B. 8. Dados A={primavera, otoño} y B={primavera, verano, otoño, invierno}, se puede decir que A ⊂ B. 9. Dados A={Venus, Tierra} y B={Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno}, se puede decir que A ⊂ B. 10. Dados A={todos los números naturales} y B={todos los números enteros}, se puede decir que A ⊂ B. A=B se lee “A es igual a B”; y A≠B se lee “A no es igual a B”. A≠B implica que existe un elemento de A que no está en B, o un elemento de B que no está en A. Pero no permite identificar si A es subconjunto de B, o si B es subconjunto de A.
Ejemplos de unión de conjuntos para sus tareas: 1. A={a, b, c, d} y B = {d, e, f} , AUB = {a, b, c, d, e, f} 2. A={Juan, Pedro Pablo}, B={María, Martha, Juana}; AUB={Juan, Pedro Pablo, María, Martha, Juana} 3. X={cuadrado, triángulo}, Y={círculo, elipse}; XUY = {cuadrado, triángulo, círculo, elipse} 4. M={auto, motocicleta}, N={barco, lancha}; MUN={auto, motocicleta, barco, lancha} 5. T={martillo, pinzas}, S={desarmador}; TUS = {martillo, pinzas, desarmador} 6. D={árbol, palmera, arbusto}, E={planta, flor, fruto}; DUE={árbol, palmera, arbusto, planta, flor, fruto} 7. G={perro, gato, loro}, H={león, elefante, águila}; GUH={perro, gato, loro, león, elefante, águila} 8. R={2, 4, 6, 8}, P={1, 3, 5, 7, 9}; RUP={1,2,3,4,5,6,7,8,9} 9. A={1, 2, 3, 4, 5, 6}, B={2, 4, 6, 8}; AUB={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} 10. C={1, 3, 5, 7}, D={1, 3, 5, 7}; AUB = {1, 3, 5, 7}
Ejemplo de intercesión 1. Dados los conjuntos, la intersección y grafica: A = {c; r; i; s; t; o } y
B = { a; m; i; g; o }
A ∩ B ={ i; o } A ∩B : Se lee : "A intersección B"
2. Sean los conjuntos, halla A ∩ B y su representación grafica. A = { 4; 5; 6; 7; 8 } A ∩ B = { 4; 6; 8 }
y
B = { 4; 6; 8 }
Si se tiene los conjuntos: A = { c; a; l; o; r } y B = {m; e; s }. Halla A ∩ B = ∅ Observa que no hay elementos comunes. entonces su intersección es un conjunto VACÍO. • Su diagrama es SEPARADOS o DISJUNTOS . Ejemplo de diferencia de conjunto están en B y se representa por comprehensión como: Ejemplo: Sea A= { a, b, c, d } y B= { a, b, c, g, h, i } A - B= { d } En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto A que no estén en B. Si la operación fuera B - A el resultado es B – A = { g, h, i } E indica los elementos que están en B y no en si A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e, i, o }, entonces la diferencia de dichos conjuntos estará formada por todos los elementos que estén solamente en A, esto es: A – B = { b, c, d }
Complementario Si el conjunto universal es U = { a, b, c, d, e } y A = { b, c, d }, entonces el complementario de A respecto de U está formado por los elementos del universal que no estén en A, esto es: Al = { a, e } Los conjuntos { a, e } y { b, c, d } son complementarios. En la figura de la derecha, está seńalado en verde el conjunto Al. Un complemento de un conjunto son aquellos numeros que no se encuentran en el conjunto pero que existen en el Universo. Ejemplo. Universo= {x/x 1....<= 10} Dado el conjunto: {2, 4, 6, 8, 10} el complemento seria: {1,3,5,7,9} Otro ejemplo: (mismo Universo) Dado el conjunto: {1,5,6,8,10} el complemento seria:{2, 3. 4, 7. 9}
Diagramas de Venn - Ejercicios Resueltos ¿Qué son los diagramas de venn? Los diagramas de Venn son ilustraciones utilizadas en la teoría de conjuntos, para mostrar gráficamente la agrupación de elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un círculo o un óvalo.
El cuar to tér mi no de una pro gr e sió n ar itmé t ica e s 1 0 , y e l se xto e s 16 . Escr ibir la pro ge sió n. a
4
a
= 10 ; n
= a
k
a
6
= 16
+ (n - k) · d
16 = 1 0 + (6 - 4 ) d ;
d= 3
a 1 = a 4 - 3 d; a 1 = 10 - 9 = 1 1, 4, 7, 10, 13, ...
Escribir tres medios artméticos entre 3 y 23. a= 3,
b= 23;
Interpolación d= (23-3)/(3+1) = 5; 3, 8, 13, 18, 23. nterpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12. Interpolación 8,
3, -2, -7 ,
-12.
l primer término de una progresión aritmética es -1, y el décimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos. a 1 = − 1;
a 15 = 27;
a n = a 1 + (n - 1) · d 27= -1 + (15-1) d;
28 = 14d;
S= (-1 + 27) 15/2 = 195
d=2
Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5. a1= 5;
d= 5;
n = 15.
a n = a 1 + (n - 1) · d Suma de n términos a15 = 5 + 14 · 5 = 75 S15 = (5 + 75)· 15/2 = 600. Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5. a1= 5;
d= 10 ;
n= 15.
a15= 5+ 14 ·10= 145 S15 = (5 + 145)· 15/2 = 1125 Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores que 5. a1= 6;
d= 2;
n= 15.
a15 = 6 + 14 · 2 = 34 S15= (6 + 34) · 15/2 = 300 Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo d= 25º. La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º. 360= ( a1 + a4) · 4/2 a4= a1 + 3 · 25 360= ( a1 + a1 + 3 · 25) · 4/2 a1 = 105/2 = 52º 30' a3 = 102º 30'
a2 = 77º 30' a4 = 127º 30'
l cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética. a2 = 8 + d;
a3 = 8 + 2d
(8 + 2d)2 = (8 + d)2 + 64 diferencia diferencia Suma asociativa Calcula tres números en progresión aritmética, que suman 27 y siendo la suma de sus cuadrados es 511/2. Término central flecha
x
1º flecha x - d 3º flecha
x + d.
x − d + x + x + d = 27 x=9 (9 − d)2 + 81 + (9 + d)2 = 511/2 d = ± 5/2 13/2, 9, 23/2 23/2, 9, 13/2 ( 15 +13 ) +10 = 15 +( 13 +10) 28 +10 = 15 +23 38 = 38 ( 25 +11 ) +7 = 25 +(11+7) 36 +7 = 25 +18 43 = 43 (3 +4 ) +5 = 3 + (4 +5) 7 + 5 = 3+9 12 =12 (110 +28) +15 = 110+(28 +15) 138 +15 = 110 +43 153 = 153 ( 23 +13 ) +17 = 23 +( 13 +17) 36 +17 = 23 +30 53 = 53 ( 48 +12 ) +78 = 48 + (12 +78) 60 +78 = 48 +90 138 = 138
(37 +42 ) +22 = 37 +(42 +22) 79 +22 = 37 +64 101 = 101 (15 +55 ) +5 = 15 + (55+5) 70 +5 = 15 +60 75 = 75 comunicativa +3=3+2=5 1 + 2 + 4 + 7 + 3 = 3 + 4 + 7 + 1 + 2 = 7 + 4 + 3 + 2 + 1 = 17 87541 + 65487 + 32123 = 32123 + 65487 + 87541 = 185151 32 + 21 + 65 + 54 + 98 + 87 = 21 + 32 + 54 + 65 + 87 + 98 = 357 74 + 85 + 96 = 96 + 85 + 74 = 85 + 74 + 96 = 85 + 96 + 74 = 255 654 + 987 + 321 = 987 + 321 + 654 = 321 + 987 + 654 = 1962 123456 + 456456 = 456456 + 123456 = 579912 75 + 86 + 42 + 53 = 42 + 75 + 53 + 86 = 53 + 75 + 86 + 42 = 256 84 + 95 + 51 + 62 = 62 + 51 + 95 + 84 = 95 + 62 + 84 + 51 = 292 8594 + 5261 + 5260 = 5261 + 8594 + 5260 = 19115 Elementos neutros ejemplo 1: 10+0 = 10 ejemplo 2: 54+ 0 = 54 ejemplo 3: 7 + 0= 7 ejemplo 4: 1/2 + 0 = 1/2 ejemplo 5: 1/4 + 0 = 1/4 ejemplo 6: 0.24 + 0 = 0.24 ejemplo 7: 1.3 +0= 1.3 ejemplo 8: 79 + 0 = 79 ejemplo 9 : 1025 +0= 1025 ejemplo 10: 79 + 0 =79 Ejemplos de propiedad distributiva a) 2 * (3 + 5) = (2 2 * (3 + 5) = 2 * (8) = 16 b) 3 * (4 + 6) = (3 3 * (4 + 6) = 3 * (10) = 30
*
3)
+
(2
*
5)
=
16
*
4)
+
(3
*
6)
=
30
c)
7 * (5 + 4) = (7 * 5) + (7 7 * (5 + 4) = 7 * (9) = 63 d) 6 * (8 + 9) = (6 * 8) + (6 6 * (8 + 9) = 6 * (17) = 102 e) 7 * (6 + 9) = (7 * 6) + (7 7 * (6 + 9) = 7 * (15) = 105 f) 8 * (9 + 9) = (8 * 9) + (8 8 * (9 + 9) = 8 * (18) = 144 g) 70 * (2 + 3) = (70 * 2) + (70 70 * (2 + 3) = 70 * (5) = 350
*
4)
=
63
*
9)
=
102
*
9)
=
105
*
9)
=
144
*
3)
=
350
elementos compuestos 1. Ácido acético cuya fórmula es HF CH3COOH 2. Ácido carbónico cuya fórmula es H2CO3 3. Ácido clorhídrico cuya fórmula es HCl 4. Ácido fosfórico cuya fórmula es H3PO4 5. Ácido nítrico cuya fórmula es HNO3 6. Ácido sulfhídrico cuya fórmula es H2S 7. Ácido sulfúrico cuya fórmula es H2SO4 8. Agua cuya fórmula es H2O 9. Alano cuya fórmula es AlH3 10. Amonio cuya fórmula es NH3
De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje? Soluciones: 800 alumnos flecha 600 alumnos 100 alumnos flecha x alumnos solución 80 0 alumno s
60 0 alumno s
10 0 alumno s
x alum no s
l adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo? Soluciones: 100 € flecha7.5 € 8800 € flecha x € resolución 8800 € − 660 € = 8140 €
pre cio de un o r de na dor es de 12 00 € sin I VA. ¿C uán to h ay que pagar po r é l si el IVA es de l 16 %? So luc io ne s:
10 0 €
11 6 €
12 00 €
x €
Al co mprar un mo nito r q ue cue sta 4 50 € no s hace n un de scue nto de l 8 % . ¿C uán to te ne mo s que pa gar? So luc io ne s:
10 0 €
92 €
45 0 €
x €
Se ven de un ar tí culo co n un a gana ncia de l 15 % so bre e l pr e cio de co sto. Si se ha co mprado e n 80 € . Halla e l pr e cio de ven ta. So luc io ne s:
10 0 €
11 5 €
80 €
x €
C uál se r á e l pre cio q ue he mo s de mar car e n un ar tíc ulo cuya co mpra ha asce ndido a 18 0 € para ganar al ven der lo e l 1 0% . So luc io ne s:
vent a co m pr a
10 0 €
x €
90 €
1 80 €
¿Q ué pr e cio de ven ta he mo s de po ne r a un ar tícu lo co mparado a 28 0 € , para pe r de r el 12 % so br e e l pr e cio de ven ta? So luc io ne s:
vent a co m pr a
10 0 €
x €
11 2 €
2 80 €
Se ven de un o bje to per die n do e l 20 % so bre e l pr e cio de co mpra. Hallar e l pr e cio de ven ta de l citado ar tículo cu yo valo r de co mpra fue de 1 50 € . So luc io ne s:
10 0 €
80 €
15 0 €
x €
Ejemplo No. 1 de interés simple Un comerciante pagará mañana Q18,450.00, cancelará un crédito recibido hace 15 meses exactos, al 15% anual de interés simple ordinario. ¿Cuál es el importe de los intereses? Datos: S = 18,450.00 n = 15/12 => 1.25 i = 0.15 Fórmula: P = S / (1 + n i) P = 18,450.00 / (1 + 1.25 x 0.15) P = 18,450.00 / 1.1875 P = 15,536.84 Luego S - P = I, entonces Q18,450.00 - Q15,536.84 = Q2,913.16 Respuesta: El importe de los intereses es de Q2,913.16 Ejemplo No. 2 Se depositan Q7,500.00 en un banco, 48 días después se retiraron capital e intereses. Si la tasa ofrecida fue del 1.5% de interés simple, ¿Qué cantidad se retiró? Datos: P = 7,500.00 n = t/360 => 48/360 i = 0.015 S=?
Fórmula: S = P (1 + n i) S = 7,500 (1 + 48/360 x 0.015) S = 7,500 ( 1.002) S = 7,515 Respuesta: Se retiró la cantidad de Q7,515.00
Ejemplo No. 3 Por una inversión a 18 meses se recibieron Q600,000.00 con un rendimiento del 14% anual de interés simple exacto, a) ¿Cuál fue el capital invertido? b) ¿Cuanto fueron los intereses generados durante los 18 meses? Datos: S = 600,000 n = 18/12 => 1.5 i = 0.14 Fórmula: P = S / (1 + n i ) P = 600,000 / (1 + 1.5 x 0.14) P = 600,000 / 1.21 P = 495,867.77 Respuesta a): El capital invertido es la cantidad de Q495,867.77 S - P = I, entonces Q600,000.00 - Q495,867.77 = Q104,132.23 Respuesta b): Los intereses generados durante los 18 meses fueron de Q104,132.23
mplo No. 4 Un señor colocó 3/8 de su capital al 6% anual de interés simple, el resto al 4.5% anual, la primera produce Q697.50 de interés por un año. ¿Cuánto produce anualmente en concepto de interéres todo su capital? Primero debemos encontrar el 3/8 de su capital que producen los Q697.50 de interés. Datos: I = 697.50 n=1 i = 0.06
Fórmula: P = I / n i P = 697.50 / 1 x 0.06 P = 697.50 / 0.06 P = 11,625.00 Luego encontramos los 5/8 del capital que equivale a: Si 3/8 = 11,625.00 entonces, 5/8 = 19,375.00, luego encontramos los intereses de los 5/8 de capital Datos: P = 19,375.00 n=1 i = 0.045 Fórmula: I = P.n.i I = 19,375 x 1 x 0.045 I = 871.88 Respuesta: I1=697.50 + I2=871.88 = 1,569.38 es lo que produce anualmente todo su capital. Ejemplo No. 5 El 18 de abril se depositaron Q37,500.00 y el 18 de octubre se retirará la inversión, si la tasa de interés simple fue del 19% anual. a) ¿Cuántos días exactos transcurren entre las dos fechas? b) ¿Cuánto se retirará el 18 de octubre, si se aplica el método mixto? a) Respuesta: 30-18 + 31 + 30 +31 +31 +30 +18 = 183 días Datos: P = 37,500.000 n = h/365 => 180/365 i = 0.19 Fórmula: S = P (1 + n i) P = 37,500 (1 + 180/365 x 0.19) P = 37,500 ( 1.0936986301) P = 41,013.70 Respuesta b): El 18 de octubre se retirará la cantidad de Q41,013.70 Ejemplo No. 6 Por un depósito de Q1,500.00 hecho el 24 de enero nos ofrecieron devolver Q1,771.43 el 15 de septiembre. a) ¿Cuál sería la tasa de interés simple ordinario aplicada? b) ¿Cuál sería la tasa de interés simple si se aplicara el método de las obligaciones? Datos:Interés ordinario P = 1,500.00
S = 1,771.43 n = t/360 => 234/360 i=? Fórmula: i = (S / P - 1)/ n i = (1,771.43 / 1,500.00 - 1)/234/360 i = 0.180953333 / 0.65 i = 0.2783897430769230 x 100 i = 27.84% Respuesta Datos: Interés de las obligaciones P = 1,500.00 S = 1,771.43 n = h/360 => 231/360 i=? Fórmula: i = (S / P - 1)/ n i = (1,771.43 / 1,500.00 - 1)/ 231/360 i = 0.180953333 / 0.641666666 i = 0.282005194578 x 100 i = 28.20% Respuesta Ejemplo No. 7 Por la compra de una televisión se efectuarán dos pagos iguales de Q3,500.00 cada uno a los 60 y los 90 días respectivamente, cobrándose una tasa de interés simple de 40% anual. Encontrar el valor de los pagos si: a) Se toma como fecha focal el día de hoy b) Si se toma como fecha focal a los 60 días, c) Si se toma como fecha focal a los 90 días En el primer caso lo que se debe encontrar son 2 principales porque se va a pagar antes del plazo. Se paga 60 y 90 días antes de que venza el plazo de pago. Datos:(1) S = 3,500.00 i = 0.40 n = t/360 => 60/360 P=? Fórmula: P = S / 1 + n.i P = 3,500 / (1 + 60/360 x 0.40 ) P = 3,500 / 1.0666666 P = 3,281.25 Datos: (2) S = 3,500.00 i = 0.40 n = t/360 => 90/360 P=? Fórmula: P = S / 1 + n.i
P = 3,500 / (1 + 90/360 x 0.40 ) P = 3,500 / 1.1 P = 3,181.82 Respuesta a) Si se paga hoy es la cantidad de (3,281.25 + 3,181.82) = 6,463.07 En el segundo caso, se quiere pagar todo a los 60 días. Como el primer pago vence a los 60 días, entonces solo el segundo pago se hace 30 días antes de su vencimiento, por lo que debe encontrarse el principal. (A) Datos:(1) S = 3,500.00 i = 0.40 n = t/360 => 30/360 P=? Fórmula: P = S / 1 + n.i P = 3,500 / (1 + 30/360 x 0.40 ) P = 3,500 / 1.0333333333 P = 3,387.10 Respuesta b) A los 60 días debemos pagar 3,500.00 + 3,387.10 entonces en total se debe pagar Q6,887.10. En el tercer caso se quiere pagar todo a los 90 días, quiere decir que el pago que debe hacerse a los 60 no se hizo entonces deberá calcularse un monto a los 90 días, el tiempo de atraso es de 30 días. (A) Datos:(1) S = 3,500.00 i = 0.40 n = t/360 => 30/360 P=? Fórmula: S = P (1 + n.i) S = 3,500 (1 + 30/360 x 0.40 ) S = 3,500 ( 1.03333333 ) S = 3,616.67 Respuesta c) A los 90 días hay un pago de 3,500.00 + 3,616.67 del atraso de 30 días del primer pago, entonces en total se debe pagar Q7,116.67
