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lalla Chiara Scabia
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Logica
EDITORIAL LABOR, S. A. BARCELONA 1976
Iemas de Filosoffa
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Traducci6n de: Jose M." Valderas Gallardo
INTRODUCCION
EI vocablo /6gica se emplea en sentidos muy distintos. Pero hay uno que predomina en nuestro contexto contem-
poraneo, a saber: la logica representa una ciencia especial, con parejo cometido al que desempefian los terminos matematica, flsica, quimica, etc. Mas, aSI como nadie se preguntaria
hoy sobre la existencia
matematica a proposito
Primcra cdici6n: abril, 1976
quimica
0
el posible sentido de una fisica,
«no cientificas», tales dudas si se dan de la 16gica. Y clio hasta el punto de llegar a matizar la distincion entre una l!l_gicaformal (maiematica) 0
y una /6gica a secas. Depende de una opci6n ideol6gica personal asignar, en el caso de la logica, un mayor fundamento
a esa distinci6n que a Ia que habria entre una «ffsica formal», por ejemplo, y una «fisicas (sin caracter cicntifico). Opci6n
Titulo de la cdici6n original: LA LOGICA <0 Istituto Editctialc Internazionale (ISED!) , Milan, 1974 de los derechos en lengua castellana y de la traduccion: EDITORIAL LABOR, S. A., Calabria, 235-239. Barcelona-IS Dcp6sito legal: B. 17940-1976
que, evidentemente, depende a su vez del grado en que uno este dispuesto a admitir la validez y el interes de una meta-
fisica
Co
LS.B.N.:
(1976)
84-335-1101-7
Printed in Spain - lmpreso en Espana Talleres Graficos Ibero-Americanos, S. A. Calle H. sIn (csq. Gran Capitan) - Sant Joan Despf (Barcelona)-1976
sin relacion
con Jas ciencias.
Aqui nos ocuparemos exclusivamenle de la logica cientifica. Ahora bien, sea cual sea la resoluci6n del problema teor ico acerca de la legitimidad de «otras 16gicas» hipoteticas en la actualidad, una cuesti6n que inevitablemente debe abordarse se refiere a las implicaciones
hist6ricas entre la ciencia
mo-
derna de la 16gica y la evoluci6n de las distintas nociones de I6gica en el decurso de la historia de la filosofia.
7
En una prirnera aproximacion,
el tipo de implicacion
mas
sencillo se nos ofrece con Ia historia de la Iogica en sentido
estricto. Aun tratandose de un saber que, como cualquier otro, tUYO su construccion en la historia, no siempre resulta
facil abstraer los hallazgos de la logica cientifica del contexto
filosofico general en cuyo seno nacieron. Y asi ocurre que se halle en tela de juicio- la validez de una historia de Ia logica autonoma, reconstruida «can el prisma» de Ia 16gica matematica moderna; se pone en duda, por ejemplo, que sea co-
rrecto desde el punto de vista de la historiografia la traduccion de los sistemas logicos de la antiguedad al formalismo moderno.
Hay otros tipos de conexiones hist6ricas que son todavia mas problematicas. Verbigracia, en distintas situaciones pueden referirse interesantes «reinterpretaciones logicas» de textos
o problemas clasicos en filosofia. Citemos la posibilidad de
una «lectura desde una teoria de conjuntos» de algunos fragmentos del Parmenides, la Republica y otros dialogos de Pla-
ton; 0 tarnbien el analisis de argumentos teologicos (tal la prueba ontokigica de la existencia de Dios) a la luz de las
teorias mas recientes sobre la cuantificaci6n y el predicado de «existencia»; e incluso el caso de mayor estridencia his-
torica representado por el viejo «problema de los universales», de gran influjo en toda la cuestion moderna de la fundamentacion de la matematica.
Se ha Ilegado a considerar a veces objeto de estudio, por parte de los logicos, las posiciones e ideas filosoflcas tradicionalmente antagonicas a la cultura Iogicomatematica, Como ejemplo claro valga la polemica suscitada a proposito de logica y dialectica; para muchos militantes de la iogica matematica la denominada «logica dialecticas constituyo, durante largo tiempo, un tipico modelo negativo de «insegsatezfuosofica», En el bando contrario, casi toda la tradicion dialectica iaealista y el materialismo dialectico de la epoca stalinlsta sometieron a dura critica la Iogica formal, acusada de impotente
para construir una «kigica del devenir real». En
niuchos contextos (en el ambito de la filosoffa marxista, por 8
ejemplo) la reconciliacion dialectica-logica llegaria tras una delimitacion
de campos: as), se tomaria par caracter especlfico
de la logica, en su relaci6n con la dialectica, el fundarse esencialmente en una abstraccion del tiempo. No obstante, los ultimos desarrollos de las l6gicas temporales han demostrado que semejante tipo de contraposici6n es falaz. Resultando asimismo posible en el seno de esa c1ase de logicas, el analisis formal riguroso de algunos esquemas conceptuales que caracrerizaban a la «logica dialectica». Diriase que la 16gica ha usurpado determinados aspectos a la dialectical, al menos en cierta medida. N~bserva un desarrollo sistematico y lineal en la «apropiacion», por parte de la 16gica, de tales ejemplos de problemas y conceptos filos6ficos clasicos. No se trata tanto "de problemas que ab origine pertenecen a la historia de la 16gica, cuanto de lejanas sugerencias filosoficas en el quehacer de los 16gicos contemporaneos. Por 10 que se refiere a la historia de la 16gica en sentido estricto,
aun tratandose
de una «ciencia
antigua»
(como es
sabido se considera a Arist6teles el «padre de la 16gica»), solo una parte menguada de dicho saber se forme antes de 1800. Los temas 16gicos fundamentales que fueron objeto de estudio, desdeIa" antigiiedad hasta la edad moderna, pueden agruparse esquematicamente
como sigue:
I) problemas rclacionados con el estudlo. de las inferencias valtdas y el analisis de los conceptos de demostradon y definicion; problemas que hoy llamariamos «;emanticos», ligadcs sobrc todo al analisis - de los conceptos de significado y verdad: 111) analisis de las paradojas logicas que aparecen en situaciones teoricas dc')listinta indole; IV) estudio de algunos conceptos «crlticos» que importan sobre todo (aunque no en exclusividad) a las cieucias maternaticas: por ejemplo, los conceptos de «cantidad», «numero», «Inflnito», etc.
n)
~ vease el aparrado Logicas temporales y IOgicas epistemicas,
en el ca-
piHlio 3.
9
En los proximos apartados nos ocuparemos de aspectos fundamentales del desarrollo de toda esa problematica. Advierta desde un principio el lector que esta Introduccion nunca se propuso sec una «historia de la 16gica in nuce», ni, mucho men os, un perfil historico exhaustivo de las distintas concepciones de la ciencia Iogica al correr de los siglos. Aqui solo nos preocupa indicar de forma sumaria y esquematica determinados puntas de referencia, que revisten particular interes en «la perspectiva» del Iogico contemporaneo. Asi delimitado nuestro objetivo, y, a fin de dar cierta agilidad a la descripcion, recurriremos a simplificaciones expositivas que, si bien no responden exhaustivamente a la real articulacion historica de los problemas, no suponen en absolute ninguna distorsion de los mismos.
1.
La
16gica
griega
Las cuatro clases de problemas mencionados anteriormente se hallan presentes en el pensamiento de los griegos, En 10 referente a la problematica de la inferencia, los resultados mas notables elaborados por los griegos son la celeberrima teoria del silogismo, obra de Aristoteles, y determinada forma de Iogica que, echando mano a la terminologia al usa en nuestro tiempo, Ilamaremos proposicional, eIaborada por Iogicos megaricos y estoicos. La teoria del silogismo quedo programaticamente propuesta por Aristoteles como una teoria general de la inferencia. En efecto, al comienzo de los Primeros analiticos se define el silo gismo como «un argumento en el cual, establecidas ciertas casas, resulta necesariamente de elIas, por ser 10 que son, otra cosa distinta de las antes establecidaso''. Mas no nos hallamos en la teoria del silogismo ante una teoria general, por cuanto se limita a codificar una clase de 2
10
Analfticos
Primeros,
I, 24 b, 18.
inferencias que tienen estructura completamente particular. Resulta asl una forma de logica que representa parte de la que los modernos denominan «logica de predicados monadicosx". Se plantea una primera dificultad si advertimos que la logica de predicados monadicos comprende como subteoria una logica mas elemental constituida por la teorla de las conectivas (0 logica proposicionalv, en tanto que Ia teoria aristotelica del silogismo prescinde casi absolutamente de la misma. El desarrollo cronologico de la Icgica griega ocurrio en orden inverso al que pudiera considerarse el orden sistematico natural; en efecto: primero se construyo una teoria particular (la propia teoria del silogismo) y solo mas tarde ida fundandose (a traves de megaricos y estoicos) la teoria mas general de las conectivas. La dificultad teorica se complico, en el marco de la cultura griega, por las pol "micas y rivalidades mantenidas entre las dos escuelas: el Liceo y la Stoa; y posteriormente, a 10 largo de la historia de la logica premoderna, al enunciarse como opinion pre-judicial que la silogfstica debia representar la forma mas perfecta de Iogica. Antes de proseguir, adelantemos el esquema mudo de la teoria aristotelica del silogismo". Como premisa de la teoria, la clasificacion de Jas proposiciones que entran en el discurso cientifico y que, para Aristoteles, podian tener las siguientes formas: 3 A saber, una logica en que se analiza la estructura sujeto-prcdicado de las propostcioncs con la hipotesis de que cada predicado pucda aplicarsc solo a un suieto. , Como veremos en el capitulo 1, Ia teoria de los conectores es la teorla de los operadores logicos fundamentales que permiten construir nuevas proposiciones a partir de proposiciones dadas (por ejemplo, no, y, 0, si ... entonces, si y s610 si). 5 Como habiamos anunciado en cste caso (yen otros parecidos) a fin de facilitar nuestra descripcion, rccurriremos al uso de deterrninadas sirnplificaciones expositivas, sugeridas por la tradici6n logica posterior a Arist6tclcs (medieval e incluso moderna).
\
Il
I) Todos los A son B (proposicion universal afirmativa); 2) Ningiin A es B (universal negativa); 3) Algunos A son B (particular afirmativa); 4) Algunos A no son B (particular negativa).
EI predicado y el sujeto de la conclusion y de un silogismo reciben, respectivamente, los nombres de «termino mayor» y «termino menor»: por «termino medio» entendian el termino restante contenido en las premisas a y p. Si convenimos en indicar siempre con Aye el terrnino menor y mayor, respectivamente, y con B el terrnino medio, solo cabe la combinatoria que nos viene dada por las cuatro configuraciones siguientes de los tres terrninos en las dos premisas:
Proposiciones singulares como «Socrates es blanco: 0 indefinidas como «el hombre es bIanco» no Ie parecen a Aristoteles que pertenezcan al discurso cientifico. Para simplificar, diremos que una proposicion es aristotelica cuando cumpla cualquiera de las formas 1-4 anteriores. Convencionalmente, la proposicion cuyo sujeto sea A y el predicado B se indicara A " B. A partir de 10 eual, un silogismo sera. un esquema de in ferencia vdlido del tipo: Si a y
fI
entonces
y.
En dande se satisfacen las siguientes condiciones: 1) a,
p,
y son proposiciones aristotelicas ; los terminos B, C; P los terminos )' los terminos A, C.
2) a contiene
A, B;
Valga de ejemplo el tipo celeberrimo de silogismo que los logicos medievales denominaron «silogismo en Barbara»: Si todos los B son C y todos los A son B, entonces todos los A son C. (si todos hombres,
12
los hombres son mortales y todos los griegos son entonces todos los griegos son mortales).
II
C*B A*B Tales configuraciones posibles se conocen como figuras silogisticas. En verdad, Aristoteles no estudio mas que las tres primeras, ocupandose por vez primera de la cuarta su discipuIo Teofrasto. Cada figura da lugar a 64 distintos casos posibles de silogismo, en razon de la diferente forma que asuman las tres proposiciones a, p, 'Y (universal afirmativa, o universal negativa, etc.). Tales casos se denominan modos posibles de la figura dada. La teoria del silogismo estudia cudles sean los distintos modos posibles aquellos que representen inferencias validas, Aristoteles solo reconocia como «silogismos perfectos» los construidos en los modos validos de la primera figura. Demostrar un silo gismo significaria entonces transformar dicho silogismo en otro de la primera figura. La tecnica de la «transformacion» basase en un analisis bastante complicado de las relaciones que pueden subsistir entre las proposiciones. Por comodidad representemos, al uso medieval, las cuatro formas posibles de proposiciones aristotelicas a traves del denominado «cuadrado aristotelico», donde A representa una proposicion universal afinnativa, E una proposicion universal negativa, I una particular afirmativa y 0 una particular negativa (todas con los mismos sujetos y predicados) : \
13
A ..__ -----'c~o~""t'~oC';"oOs-----...
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I' subcontrarias
iuferencia valido unicamente
"
0
AyE Ilarnanse contrarias: no pueden ser entrambas verdaderas pero si pueden ser falsas ambas. I y 0 llamanse subcon-
trarias: entrambas pueden ser verdaderas, perc no falsas a un tiempo. A y 0, y respectivamente lyE, Ilamanse opuestas (0 tambien contradictoriasy por cuanto una de las dos sera verdadera si y s610 si la otra es falsa, I diccse subalterna de A, y 0 subalterna de E. En la logica aristotelica vige el principio
de la «reductio ad subalternatam»; es decir, de la verdad de una proposici6n (de forma A 0 E) siguese siempre la verdad de su subalterna: Todos los A son B; Algunos A son B
Ningun
A es B
Algunos A no son B
Ello es asi porque, en Aristoteles, los terminos de las
proposiciones nunca son vacios: si se emplea el termino A debe existir cuando menos un individuo que sea A. Por contra,
la Iogica moderna ha abandonado dicha hipotesis (considerada tecnicamente incomoda e inadecuada), por 10 que la «reductio ad subalternatam» ya no representa un principio de inferencia valido (si A es vacio, la proposicion «todos los A son B» es irrelevantemente verdadera, en tanto que «Algunos A son B» resulta falsa). 14
Otra relacion importante que puede subsistir entre las proposiciones es la estudiada en la teoria de la conversion; dicese que ~ se obtiene por conversion simple de a cuando ~ se obtuvo de a intercambiando sujeto y predicado (es decir, a tiene la forma A * B, en tanto que la de (J sera B * A); estamos ante una conversion «per accidens» cuando no solo se cambia el sujeto por el predicado sino tambien la cantidad (verbigracia : de «todos los A son B», se ha pasado a «Algunos B son A»). La conversion simple da lugar a un principio de en cases de proposiciones
de la
forma I 0 E; en el ambito de la Iogica aristotelica (no asi en la 16gica modern a), la conversion per accidens es legitima en proposiciones pertenecientes a la forma A. A traves de la teoria de la oposici6n, de la reduccion a la subalterna y de la conversion,
empleando asimismo
la tee-
nica del «razonamiento ad absurdum»', se puede probar que todo silogismo es sujeto de expresion en la primera figura. . /' En este sentido, como observara ya por vez primera Luka-
ir
siewicz, la teorfa aristotelica del silogismo representa un «sis- \ tema formal en miniatura», donde los silogismos pertenecientes
a la primera figura desarrollarian el papel de axiomas y, el de reglas, los principios de inferencia, a los que mas arriba nos hemos referido. Segun quedo tambien establecido anteriormente, la logica de
Aristoteles
carece de una teoria sistematica
de las conectivas,
por mas que en distintas ocasiones el Estagirita echara mana de determinadas leyes logicas proposicionales, manifestando en tal postura que era consciente de que dichas leyes no dependian de la teoria del silogismo. EI desarrollo de una teoria de las conectivas debese a Teofrasto, discipulo de Atist6teles y, de modo particular, a los 16gicos megaricos y estoi8 La argumentacion ad absurdum se introdujo por vez primera per Zenon de Elea en Ia presentacion de sus famosas paradojaa: para demostrar Ia verdad de una aflrmacion se demuestra que Ia hipotesis de su falsedad conduce
a contradicclon.
\.
15 I~A-Q
• >....OTECA
cos'. En elIos se encuentra un analisis, que hoy denominariamos veritativo-funcional, de las conectivas «no», «Y»), «0», «si ... entonces». En otras palabras, se estudian las condiciones necesarias Y suficientes para que una proposicion compuesta mediante el recurso de las conectivas sea verdadera 0 falsa, suponiendo que se conozca la verdad 0 falsedad de las proposiciones que Ia constituyen. Merece destacarse la elaboracion de una depurada teoria de la implicacion. Segun se desprende de un testimonio de Sexto Empirico, en el seno de Ia escuela megarico-estoica se produjo una acalorada disputa en torno a la naturaleza de las proposiciones condicionales. Filon esbozo un concepto de implicacion cuya correspondencia moderna seria la implicacion material:
«una proposici6n condicional es valida cuando no empieza con una verdad si termina con una falsedad; verbigracia, cuando es de dla y yo piatico entonces la proposici6n «si es de dia entonces platico» es validac''.
Es decir, se establece que una proposicion condicional siempre es valida excepto en una sola ocasion : cuando el antecedente sea verdadero y falso el consecuente. Segun tendremos oportunidad de vet mas adelante, considerase caracteristica de las implicaciones inateriales el poder ser verdaderas con independencia de las conexiones de significado que subsistan entre antecedente y consiguiente. Por ejemplo, todos los condicionales siguientes son igualmente verdaderos: a) b) c) d)
si si si si
3 3 3 3
es es es es
menor menor mayor mayor
que que que que
5, 5, 5, 5,
entonces entonces entonces entonces
3 es menor que 7; De Gaulle esta muerto; De Gaulle esta muerto; De Gaulle vive.
EI fundador de la escuela de Megara es Euclides de Megara (430-360); se consideran sus figuras mas reputadas Eubulides de Milcto, Diodoro Cronos y Fil6n (de Megara). Se reconoce en Crisipo (279-206) at maximo exponente 16gico de la escuela estoica. 7
a SEXTO EMPIRICO,
Pyrrhonneiae
Hypotyposes,
IT. 110.
A la irnplicacion entendida al modo filoniano, Diodoro de Crones opuso la suya peculiar: «Diodoro dice que una proposici6n condicional es valida cuando ni pudiera ni puede comenzar con una verdad y terminar con una falsedad. t'nra Diodoro, el condicional «si es de dla, entonces yo platico» es falso; y 10 es porque cuando es de dfa y yo suspendo mi platica tal proposici6n comienza con una verdad y termina con una falsedad. Por contra, la proposicion «si los elementos at6micos de las cosas no existen entonces Ius elementos at6micos de las cosas exlsten» es verdadera. En efecto, SCgll11 cl razonamiento de Diodoro, esta proposici6n se iniciarla siempre con un antecedente falso (los elementos at6micos de las cosas no existen) y terminarfa siempre con un consiguiente verdadero (los elementos at6micos de las cosas existenjo''.
En la argumentacion de Diodoro, un condicional es verdadero cuando la conjuncion del antecedente can la negacion del consecuente no puede ser verdadera. A Sexto Empirico debemos que nos haya lIegado otra terccra concepcion de las proposiciones condicionales (atribuida por Ciceron a Crisipo), transmitida asf : «un condicional es valido cuando la contradictoria del consecuente es incompatible con el antecedente. Para los autores de esta ultima definicion los dos condicionales aducidos mas arriba son falsos, en tanto que serfa verdadero el condicional siguiente «si es de dfa, entonces es de dia».
Tratase de una caracterizacion que corresponde plenamente a Ia idea de implicacion estricta, de la que nos hablan los logicos modernos. En efecto, para Crisipo, dos proposiciones son incompatibles cuando Stl conjunci6n es imposible. De donde se deduce, en el discurso de Crisipo, que a implica f1 si y solo si la conjuncion de a con la negaci6n de fJ es imposible; de otra forma: es necesario que a implique filonianamente f3. La implicacion filoniana es un concepto mas debil que Ia implicaci6n en el sentido de Diodoro y, esta, mas debil que la implicacion ofrecida por Crisipo. La concepcion de las ~ SEXTO
EMPIRICO,
\
16 2,
D
ibidem.
17
modaJidades que propuso Diodoro es de tipo temporal: «a es posible» significa para Diodoro «a se realiza en el presente 0 se realizara
en el futuro»;
«a es necesaria»
representaria,
tambien para Diodoro, «a vaJe ahora y valdra siempre en el futuro». Los operadores modales de Diodoro han sido objeto de reciente investigacion dentro de las logicas temporales; habiendo resultado que en el marco de esta teo ria especial de las modalidades la implicacion de Diodoro es esencial.mente mas debil que la implicacion estricta, Como es sabido, uno de los grandes hallazgos griegos relacionados con la problematica de la inIerencia 10 constituye [Ia creacion d<:!... metoda axiomatico. La estructura logica de los \Elementos de Euclides es ejemplo manifiesto de como un
,i
t
discurso racional riguroso pueda descornponerse guientes elementos esenciales:
'--V
en los si-
En realidad, en los Elementos de Euclides no se ve nada claro que sea un concepto primitive ni que entienda por proposicion primitiva; los mismos conceptos primitivos (punto, recta, etc.) se procuran definir a traves de los denominados Terminos ("OpO\). Dichos Terminos tienen en Ja obra de Euclides harto ambigua, por cuanto representan, ilustracioncs intuitivas para los conceptos primitives,
0 0
bien bien
autenticas definiciones verdaderas (en sentido moderno), JJegando a desempefiar en determinados casos la funcion de postulados, que no de autenticas definiciones. Por lo que se
refiere a las proposiciones primitivas, Euclides distinguia entre nociones comunes (representadas par principios comunes a todas
Jas ciencias, verbigracia: «la parte es menor que el todo») y 18
tincion que hoy carece de significacion y que el metodo axio- Ii matico moderno ha ido abandonando, . Todos sabemos que la estructura 16gica de los Elementos supuso, durante _siglos,..el..modelo absoluto , de_discurso rigurosa, hasta el punta de....que la expresion «more geometrico» era sinonima de «metodo riguroso». Modelo que permanecera intacto en la practica hasta la revolucion axiomatica de Hilbert, que, en el umbral de nuestro siglo, se presentara como la conclusion natural en que se resolvian los avances de distintos sectores de la matematica ochocentista (particularmente de la geometria). En cuanto al segundo grupo de problemas de nuestra clasificacion (problemas de «tipo semantico») el primer resultado que se cosecha es una rigurosa definicion del concepto
I) conceptos primitivos (que no se definen); 2) proposiciones primitivas (que no se demuestran); 3) definiciones de los nuevos conceptos, a partir de los conceptos primitivos; 4) demostraciones de las nuevas proposiciones, a partir de las proposiciones primitivas.
una funcion
postulados (especificos de la geometria). Se trata de una dis- :
de verdad. Definicion que suele atribuirse al propio Aristoteles ; en la Metaflsica,
efectivamente,
se lee:
«Decir de 10 que es que no es, 0 de 10 que no es que es, es 10 falso; decir de 10 que es que es, y de 10 que no es que no es, es 10 verdadero»w.
De otra manera, se dice que una proposicion es verdadera cuando afirma que las cosas se hallan de un modo determinado, y las cosas se hallan realmente de ese modo; en caso contrario, tendriamos una proposicion falsa, Si bien es cierto que el concepto de verdad como «correspondencia con los hechos» se encuentra ya en Platen. En el Cratilo y en el Sofista, Platen sostiene que una proposicion verdadera «afirma que los hechos son tal como son»; en tanto que una proposicion falsa «afirma que los hechos son distintamente de como son en realidade'". La definicion platonicoaristotelica de verdad quedara asu-
mida por la logica moderna. En el capitulo 2 tendremos ocasion de ver como constituye el concepto clave de toda la 10 ARIST6TELES, Meta/isica, T 7, 1011t>, 26-27. 11 PLAT6N, Crati/o, 385 b y EI SO/isla, 263, a, b.
.1
19
1"--
del significado, tras la rigurosa version maternatica que Ie diera en nuestro siglo el logico polaco Alfred Tarski. Establecida una definicion Iogica adecuada para el con-
teoria moderna
cepto de verdad, en el marco de Ia argumentacion
cientlfica,
los filosofos griegos sometieron a un analisis muy fino deter-
rninadas caracteristicas de tal nocion. Por ejemplo, plantearon 10 que los rnodernos denominarian «problema de la validez»: l.cuantos son los posibles estados de verdad de una proposicion? De otra forma, l.una proposicion es siempre definida-
mente verdadera 0 definidamente falsa, 0 caben tal vez otros posibles casos alternativos? La cuestion se estudiaba en el De Interpretatione de Aristoteles. EI ejemplo, discutido por el Estagirita, considera el problema de los Ilamados «futuros
contingentes». l,Tiene sentido, se pregunta Aristoteles, afirmar que una proposicion del tipo «manana aqui se librara una
proposiciones
no sean ni definidamente
verdaderas ni defini-
damente falsas. Desde un punto de vista filologico resultaria InUY aventurado atribuir al propio Arist6teles Ia consciencia de una propuesta semejante; incluso si fuera solo porque, segun es sabido, Aristotelcs no tenia una teorfa de las conectivas y por ende no podia distinguir netamente el principio
del tercio excluso (a 0 no-a) de la afirmacion metateorica del principio de la bivalencia (a es verdadera 0 bien a es falsa). Otra importante contribucion semantica por parte de los griegos fue la propuesta, avanzada por la escuela estoica, de una teoria del significado en el que quedan claramente distinguidos los dos aspectos del mismo que los modernos denominarian extension e intension. Como se desprende del testimonio del propio Sexto Ernpirico=:
batalla naval» es verdadera 0 falsa? Este pasaje del De Interpretatione origino una celebre polcmica historicgrafica, incoada en los alios veinte por el logico polaco Jan Lukasiewicz. En opinion de Lukasiewicz, Aristoteles es el padre de las modernas lcgicas polivalentes, por cuanto parece sugerir la posibilidad de un tercer valor de
«los estoicos sostienen que son tres las cosas que van conexas: 10 que cs significado, Io que significa y, por ultimo, el objeto. Lo que significa cs un discurso, por ejemplo, «Dion»; 10 que es significado es aquello que viene expresado y que nosotros comprendemos con nuestro pensamiento, pero no los barbaros, por mas que cyen la misma paiabra. Por ultimo, el objeto es aqueUo que existe externamente, en este caso el mismo Di6n. De estos tres elementos, hay dos que son corporeos: el discurso y el objeto, en tanto que la cosa significada, es decir, ct ·AE:x't'6v· ... es i ncorporea».
«violentaba» la posicion del filosofo griego en nombre de la logica moderna. A otros, ese ejemplo les sirvio de punto de apoyo para poner en tela de juicio la legitimidad del uso de ins-
Obviamente, el objeto corresponde a lo que hoy llamamos extension en el sentido de referenda concreta de un complejo de signos; en tanto que el «AEX"t'OV» corresponde a la in ten-
caracter filologico, Actualmente la polemica ha perdido hierro,
Por 10 que se refiere a nuestra tercera clase de problemas,
verdad junto a verdadero y a falso. Algunos comentaristas de Aristoteles juzgaron que la interpretacion de Lukasiewicz
trumentos
logicos
reconociendose
formales
en el estudio
que Aristoteles
de cuestiones
por 10 menos planteo
de
el pro-
blema de la polivalencia. Dentro de ciertos limites, puede
sostenerse incluso que el texto aristotelico sugiere una «situacion logics» bastante interesante, objeto de estudio unicamente en nuestros dias en el ambito de las denominadas logicas non standard. A saber, una situacion en la que, mientras por un lado vige el principio del tercio excluso (a 0 no-a),
al mismo tiempo se admite la posibilidad de que determinadas 20
sion, es decir, al concepto
que el discurso expresa.
es bien sabido que los griegos descubrieron numerosas para-
dojas Iogicas. La mas significativa de las cuales, por las profundas e imprevisibles consecuencias
que tUYOen el desarrollo
de la historia de la Iogica, la denominada «paradoja del mentiroso»:
Ia persona que afirma «miento»
provoca
una con-
tradiccion al mentir si y solo si dice la verdad. Atribuida a 11 SEXTO EMPIRICO, Adversus
Mathematicos,
viii. 11. 12.
21
Eubulides de Mileto (perteneciente a Ja escuela megarica), la
I
paradoja en cuesti6n tuvo una historia harto curiosa; durante sigJos fue objeto de analisis y discusiones de todo genero. Sin embargo, al parecer, una solucion definitiva s610 se propondria en nuestro siglo a traves de la formalizacion de los lenguajes: mediante una rigurosa distincion entre los diversos niveles linguisticos (el lenguaje-objeto y el metalenguajey parece posible en primera instancia refutar por «mal construidas» (y por tanto como «inexistentesi en el ambito de los lenguajes
formales) las expresiones que impliquen ciertas form as de autorreferencia; estas formas son caracteristicas de la paradoja \ del mentiroso y otras analogas, No obstante, como se vera en los capitulos segundo y tercero, la evolucion de la logica demostrara de un modo imprevisible como, a determinado nivel muy fino de forrnalizacion, se reproducen inevitablemente form as fuertes de autorreferencia sumamente parecidas a la situacion logica manifestada por la antinomia del mentiroso. A diferencia del caso intuitivo, observaremos aqui que ya no se obtendran contraindicaciones puras y simples, sino informaciones
positivas
que poseeran
la forma de teore-
mas limitativos. F"_En 10 que concierne ala cuarta clase de problemas, limitemonos a recordar el caso tal vez mas significative, representado por el concepto de «infinite». Los griegos plantearon con
meridiana claridad una contraposicion
entre dos concepciones
opuestas de infinito, destin ada a desempefiar un papel-cJave en la problematica moderna en torno a los fundamentos de Ja matematica: se trata de la concepcion potencial y actual de infinito. Con sus famosas paradojas Zenon de Elea puso en evidencia las profundas dificultades de una concepcion actual de infinito, que entiende 10 infinito como un todo constituido por una multiplicidad de elementos ultimos distintos. Los argumentos de Zenon contra la pluralidad impugnan la posibilidad de que un ente geometrico, tal un segmento, se halle constituido por infinitos elementos ultimos. En efecto, supuesto que los elementos ultimos carecen de magnitud, el 22
scgmento en su integridad deberia resultar nulo; por contra, si los elementos tuvieran una magnitud no nula, el segmento en su integridad deberia resultar infinitamente grande. Los argnmentos contra el movimiento (por ejemplo, la «c1icotomia» y «Aquiles y la tortuga») originan una situacion l6gica que, con la perspectiva de la modern a filosofia de la matematica,
pudiera interpretarse asl:
si el infinito es actual, entonees el movimiento es imposible. En efecto (nos hallamos en el argumento de la dicotomia):
supongamos que queremos recorrer cierto segmento; antes de
haberlo recorrido todo, deberemos haber recorrido su mitad,
y, por consiguiente,
la mitad de la mitad, y as! en adelante.
Para llegar al final necesitariamos un tiempo infinitamente largo. La propuesta de una concepcion potencial del infinito, avanzada por Aristoteles como resolutiva frente a las paradojas de Zenon, puede entenderse como obtenida par contraposicion en el enunciado de arriba: el movimiento es posible, luego el infinito no es actual. La concepcion aristotelica de infinito, en el sentido de «indefinida posibilidad de dividir» constituira el fundamento del calculo infinitesimal moderno destinado, entre otras cosas, a representar el instrumento matematico de la cinematica clasica. En tal contexto teorico se hara posible no ya demostrar que Aquiles puede veneer a la tortuga, sino, tambien, calcular el instante exacto en que la supera, conocidas las velocidades respectivas de los dos concurrentes. Las dificultades sacadas a la luz por Zenon volveran a cscena cuando (segun veremos en el capitulo 4) en la segnnda rnitad del siglo XIX replantee Georg Cantor una concepcion actual del infinito matematico: se propondra entonces el problema de si las paradojas de Zenon se recomponen 0 no dentro de la teoria de conjuntos cantoriana. No habra mayor dificultad en reconoeer que, en el nuevo contexto, los argumentos contra el movimiento no originan contradicciones.
En 23
efecto, un principio caracteristico de la teoria de conjuntos explicita que un conjunto infinito (a diferencia de 10 que ocurre can los conjuntos finitos) puede ponerse siempre en correspondencia biunivoca con cualquiera de sus partes propias, En consecuencia, un intervalo de tiempo dado, entendido como infinidad actual de instantes, puede ponerse en correspondencia biunivoca 10 mismo con un segmento del recorrido, entendido como infinidad actual de puntos, como can una parte propia suya. De ahi que sea posible, inclusive en el mismo ambito de una concepcion actual del infinite, que en el intervalo de tiempo que dura por ejemplo un minuto, Aquiles recorra 10 metros, en tanto que en el mismo lapso Ia tortuga solo alcance medio metro. Mas critico aparece, por contra, el caso de los argumentos «de tipo metrico», contra la pluralidad. Se trata de justificar Ia compatibilidad entre las condiciones siguientes: I) un segmento esta constituido por una infinidad (actual) de puntos ; 2) todo intervalo degenerado (constituido por un solo punto) del segmento tiene longitud nula ; 3) la reunion (tal como se entiende en teoria general de conjuntos) de todos los interval os degenerados del segmenta coincide can el segmento; 4) el segmento cs un intervalo de longitud no nula. Si acordamos que una operacion de suma aritmetica se defina en el conjunto (infinite) de las longitudes (todas nulas) de los intervalos degenerados, obtendremos una contradiccion: efectivamente, nuestro segmento habria de tener a un tiempo longitud nula y no nula. Una po sible via de solucion viene representada por la hipotesis de que las sumas infinitas de este tipo sean simplemente indefinidas. Tratase, sin embargo, de una cuestion harte delicada que involucra a la moderna teoria maternatica de la medida y que, incluso en nuestros dias, no puede decirse que se halle definitivamente resuelta. 24
En cierto sentido resulta verdad que las paradojas constituyen todavia fuente de problemas".
2. L a I 6 g i cam
de Zenon
e die val
Caracteristica peculiar de la logica medieval es su prolunda dependencia de una estructura lingiiistica particular, la de la lengua latina, amen de la metaffsica y la teologia. Por cuya razon se Ia ha aproximado a una sintaxis y sernantica de un lenguaje natural determinado, el latin, mas que a una logica al uso en nuestros dias. En el ambito de este plantearniento fundamental, los medievales elaboraron, no obstante, Iinfsimos analisis logicos, cuyo interes escuetamente cientifico ha sido par largo tiempo infravalorado, y solo recientemente ha salido a luz gracias a la historiografia abierta a la cultura logicomatematica-s. Por 10 que se refiere a la problernatica de la inferencia, los medievales consiguieron armonizar las dos tradiciones aristotelica y megarico-estoica, reconstruyendo la logica proposicional que se presupone en la teoria del silogismo. El resultado global es una forma de logica que comprende una parte substancial de la moderna logica sentencial y la logica de los predicados monadicos". Junto a un analisis veritativo-funcional de las conectivas (que vim os se encontraba ya en la kigica megarico-estoica), 13 Para una dlscusion de las paradojas de Zenon a la Iuz de la ciencia modema vease A. GRUENBAUM, Modern Science and Zeno's Paradoxes, Middletown, Connecticut. 1967. II De los filosofos medievales que S0 significaron dcsde un punta de vista 16gico hay que recordar: Pedro Abelardo (1079-1142); Guillermo de Shyreswood (1200/1210-1266/1271); Ramon Llull (1235-1315); Juan Duns Scoto (1266-1308); c\ an6nimo autor de In Universam Logicam Quaestiones, quien, habiendo sido confundido en un principia con Duns Scoto, se Ie llam6 peslcriormente «Pseudo Scoto»: Guillermo de Ockham (1295-1349). 1~ Algunas leyes logico-proposicionales serlan mAs tarde redescubiertas ell eI siglc XIX, asociandoselas hoy a autores modernos: tal es el ejemplo de las famosas leyes denominadas «de Morgan», conocidas ya por el Pseudo Scoto'fyTOckham.
25
los medievales plantearon tambien una teorla elaborada de la cuantiflcacion.
Esta teorfa se presenta, en perfecta coherencia
con el planteamiento medieval, como un estudio del comportamiento logico de determinados pronombres latinos (omnis, quidam, nemo, etc.). En el marco de ese lenguaje se describen algunas leyes fundamentales relativas a los cuantificadores: por ejemplo, las relaciones de interdefinibilidad entre el cuantificador existencial y el cuantificador universal (<
a «no todos
no» y, dualmente,
«todos»
equivale
a «no algunos no»); asl como las leyes sobre el cambio de cuantificadores (mientras que de la proposicion «a/guien esta en una relaci6n dada con todos» se puede inferir «todos estan en aqueIla relaci6n con alguien»,
Ia relacion
inversa en ge-
neral no vale)l6 Un argumento que ha sido objeto de estudio particularmente profundo es la teorla de la implicaci6n (cconsequentias segun la terminologia medieval), que se debe sobre todo al Pseudo Scoto y a Ockham. Reasumiendo el debate, que vimos comenzara en la escuela megarico-estoica, sobre la naturaleza de las proposiciones condicionales, los medievales elaboraron muy finas clasificaciones de los distintos tipos de implicaci6n, sacando a luz incluso los que hoy denominamos «paradojas de la implicacion». Verbigracia, Ockham cita como parad6jicas las consequentiae que resultan validas solo por necesidad del consecuente 0 por imposibilidad del antecedente, sin establecer por 10 demas una relacion de conexi6n entre antecedente y consecuente (es el caso, dice Ockham, de los condicionales «si un hombre corre entonees Dios existe», 0 bien, «si un hombre es un mono entonees Dies no existe»), Las consequentiae de este tipo se JJamaron materiales en contraposici6n a las consequentiae formales, que son aqueJJas que establecen una conexi6n de significado entre antecedente y consecuente." 18 En el slmbollsmo moderuo: 3Y'txa 't:;fX3ya .... 3Y\fxa) es una ley 16gica. 17 Segun otros autores la contraposici6n males tiene un significado dlstinro.
26
-)-'v'x3ya
(pero
conseonemtae
no
el inverso
materiales
y for-
Adviertase que la idea medieval de consequentia materia110corresponde en general con la idea moderna de impli~11"i611 material (ni por tanto con la implicaci6n de Filon): 11.1'
pura los modern as, un condicional con consecuente siempre vcrdadero (necesario) 0 bien con antecedente siempre falso [lmposible} determina tam bien una implicaci6n estricta. En el ambito de la teoria de las consequentiae, se codificnron numerosos e importantes principios relativos al concepto de implicacion. Entre eUos el principia, en primera instancia de curacter antiintuitivo y en conexion can las paradojas de las ronscquentiae materiales, segun el cual «ex absurdo sequitur
quodlibet». Propuesto por vez primera por el Pseudo Scoto,
cliche principio pasara a la historia como «ley de Duns Scoto»: como veremos en el capitulo 1, en la version «una contradiccion implica cualquier proposicion» (si a y no-a en-
ronces {J) ese llegara a ser, en la logica moderna, una ley
discriminante destinada a separar importantes clases de logicas distintas, Se ha observado que una caracteristica de la logica medieval es su planteamiento netamente metalingiiistico, Lo que nosotros llamamos hoy «leyes logicas» se presentan casi siempre en forma de esquemas de inferencia (de la premisa a sequitur la conclusion /3) precisadas con frecuencia mediante
"I empleo de las categorias modales. Hallamos aqui, por tunto, 10 que podriamos denominar una «rnetateorla sintactica cxpresada en un lenguaje modal». Entre otras cosas, a los logicos medievales debemos un desarrollo sistematico de la tcoria de las modalidades, que representaba el grueso de la novedad de la 16gica neoaristotelica (Ja teoria de los silogismos modales, desarrollada en los Analitici Primi, contenia clcctivamcnte algunos errores notorios de caracter tecnico). /I este proposito resulta significativo que hayan sido objeto de estudio no solo los operadores modales tradicionales «meccsario», «posible», «contingente», etc.), sino tambien operadores de tipo temporal (esiempre», «toda vez») 0 epistemico (<
27
1"-
tulo 3, s610 en tiempos muy proximos a nosotros entraran sistematicarnente en la problematica logico-rnatematica. Los
medievales fueron conscientes tambien de lo que los modernos Ilamaran «paradojas de las modalidades (0 de los contextos intensionales)», debidas a la aplicacion del principio de «substitucion de los identicos: en el ambito de las proposiciones modales. Segun un ejemplo significativo de Buridan: supongamos que tu desconoces cuantas monedas tengo en mi bolsiUo, y que valga «el numero de monedas de mi bolsillo es 2».
Puesto que vale «2 es par», y «tu sabes que 2 es par», debiera entonces valer: «ttl sabes que el mimero de monedas que tengo en mi bolsillo es par». La cual es, evidentemente, absurdo.
Por 10 que se refiere a problemas de tipo semantico, se elaboro una muy fina teoria del significado. EI establecimiento de la distincion fundamental entre suppositio y significatio de
los terminos es, dentro de ciertos lfmites, muy afin a la distincion estoica entre objeto y ASX.-rOV (y por ende, en cierta medida, anticipa Ia distincion moderna entre extension e intension). No obstante, y a pesar de poseer muchos caracteres de 10 que hoy llamariamos una semdntica extensional, Ia teoria de la suppositio se presenta en concreto como mucho mas compJeja y articulada, al incluir argumentos de distinta indole
de caracter 16gico y metafisico. Desde el punto de vista moderno, resulta particularmente
significativa Ia distincion entre suppositio formalis y supposltio materialis. La primera involucra la idea moderna de uso, Ia segunda, la de mencion de un complejo de signos. Dos casos
significativos, citados por Guillermo de Shyreswood como
ejemplos respectivos de suppositio formalis y suppositio materialis, son los siguientes: «homo currit», «homo est disyllabus». En el primer caso, el termino «homo» tiene una referencia concreta (cabalmente una suppositio) distinta del mismo termino (que por tanto viene usado para expresar otro); en el segundo caso «homo» se refiere a sf mismo en cuanto termino (de ahi que entonces venga mencionado). Por vez
primera en la historia de la l6gica se alcanza de este modo
28
una conciencia clara de la necesidad de distinguir entre difercntes niveles linguisticos, Resulta interesante que Ockham usumiera como propia esa distincion linguistica y pueda constituir el instrumento de solucion para la famosa paradoja del mcntiroso. Mas surgia una seria dificultad por cuanto no todas las formulaciones conocidas de la antinomia parecian l!1I primera linea solubles a traves de esta via. La disputa en t orno al caso del mentiroso no se consideraba por tanto conclusa.
A diferencia de la griega, la logica medieval no posee
much as conexi ones con Ia matematica,
a pesar de haber des-
urrollado un analisis logico-filosofico para algunos conceptos Iundamentales que afectan a esta ciencia. En lo referente al concepto critico de «infinite» sue1e predominar Ia concepcion uristotelica de infinite potencial. Particularmcnte significativa uparece, sin embargo, en este clima cultural, Ia posicion de Ockham, quien propuso aceptar ciertas caracteristicas, de
Indole supuestamente paradojica, del concepto de infinito, vcrbigracia : el principio que sostiene que la «parte puede ser igual al todo»l8. Se trata de una anticipacion genial de la
t
coria del infinito
actual que, como es sabido, no se vera
confirrnada hasta la segunda mitad del siglo pasado por los matematicos
estudiosos
1. Lei b n i z
y
de Ia teoria de conjuntos.
I a 16 g i c a
m a t e m a t i c a moderna
EI enfasis logico-matematico que descubrimos en el Me-
dievo continua y se incrementa durante el Renacimiento. En III cpoca que asiste al nacimiento de la ciencia modema, eI destine de Ja logica aboca, por contra, a una creciente asimi-
lucien de la misma por parte de la ret6rica. Lo cual produce
unturalmente una situacion de anquilosamiento esterilizante de las investigaciones logicas: la silogistica aparece como un
cuerpo acabado y clauso (que nada tiene que ver con su per-
I. Cf.
Centllaquium
Tlzeofogicum, 17 C; Quodlibeta
Septem,
I, q. 9.
29
-
-)
feccion, desde el punto de vista de una sistematizacion rigurosa), de interes languidecente. La logica y la matematica siguen caminos dispares. Causa, y al propio tiempo efecto, de tal disparidad 0 divergencia es la restriccion Iingufstica de Ja l6gica tradicional, limitada, como se ha visto, al analisis de la estructura sujeto-predicado de las proposiciones, en tanto que el lenguaje de las nuevas ciencias es esencialmente -..... ) relacional. En ese clima cultural resulta significativo que algunos creadores de las nuevas teorias matematicas, tal Descartes (inventor de la geometria analitica), sostengan una idea de la logica muy alejada de la logica formal: las reglas de Descartes representa.n vagos principios de caracter intuitivo, con muy pocas conexiones con la ciencia de la Iogica'", EI divorcio logica-ciencia se interrumpira unicamente con Leibniz (1646-1716). Pero el «Leibniz logico» pasara desapercibido hasta finales del siglo diecinueve-"; la «fortuna: filosofica de Leibniz ira pareja con su metaffsica, en tanto que su exito matematico correra indisoluble a la creacion del calculo infinitesimal. En nuestra epoca se ha definido a Leibniz como «fundador de la logica matematica». Sin embargo, como ha sido justamente observado, no se trata tanto del «primer logico matematico moderno» cuanto, con mayor razon, de un genial anticipador del espfritu de la moderna ciencia de la logica. La idea central de la Iogica leibniziana es la de un calculo logico, mas general que los mismos calculos matematicos, que aparecen ligados al concepto de «cantidad». Dicho calculo, y ello es sumamente importante, puede ser susceptible de interpretaciones diversas. Con esta idea, Leibniz no solo anti19 Por supuesto que tarnbien se dan excepciones en el marco de la misma tradici6n cartesiana. Y asl, por ejemplo, se debe a Pascal la propuesta de una idea de axiomatizacion de las teorfas matematicas muy pr6ximas al planteamiento moderno. 20 EI redescubrimicnto de las obras logicas de Leibniz se debe a Couturat y a Russell. Vease L. COUTURAT, Opuscuies et fragments inedits de Leibniz, Paris 1903; B. RUSSELL, A Critical Exposition of the Philosophy of Leibniz, Londres 1900.
30
\\lplL paladinamente la nocion moderna de calculo logico, sino 1J1l~. udcmas, en el preciso momento en que funda la mas lmpnrtante teoria matematica «de tipo concreto» (el calculo [ntlnitcsimal), entrevc la posibilidad de un planteamiento maIl'lIlillico alternativo, que solo Ilegara a imponerse en la se~Illl(la mitad del siglo XIX: a saber, una matematica «de tipo lillsl ructo», no ligada necesariamente a la cantidad, en la que turn tcoria puede describir, en general, una multiplicidad de cstructuras diversas, incluso muy heterogeneas entre S1. EI concepto de calculo, para Leibniz, se encuentra hondamente relacionado con otras dos ideas fundamentales: I) Ia constitucion de un lenguaje universal (characteristica universa/is) ; 2) la posibilidad de mecanizacion de todo tipo de razonamiento (a traves del ars combinatorial. La primera idea, dentro de ciertos limites, anncipa los modernos lenguajes artificiales. No debe pasar por alto el q IIC, en este contexto, Leibniz concibiera asimismo Ia posibiIidad de 10 que hoy llamamos aritmetizacion de los lenguajes q uc, segun tendremos ocasion de ver en los capitulos 1 y 2, III logica moderna empleara para la demostracion de algunos teoremas fundamentales. Leibniz se da cuenta de que, una vez analizados los discursos en ideas simples e ideas compuestas, siempre se puede representar, de modo significante, todo discurso con un numero, para 10 cual basta con asociar 11 umeros naturales a las ideas simples y, por consiguiente, rcpresentar toda idea compuesta (mediante ciertas ideas simples) como un producto de ruimeros primos cuyos exponentes scan los mimeros asociados a las ideas simples que integran la idea compuesta. Parejamente, la segunda idea leibniziana (por la que el Iilosofo aleman se declara deudor de Lullo y Hobbes) desempeiiara un papel fundamental en la Iogica moderna: el ideal
31
del calculemus+ y la esperanza de hallar un algoritmo capaz de resolver de modo mecanico cualquier problema maternatico, 0 incluso cualquier problema racional, volvera en nuestro siglo. Como tendremos ocasion de ver, la logica moderna demostrara los limitcs dentro de los cuales tal programa puede realizarse ; individuando clases de problemas que (en relacion con ciertos contextos teoricos) son solubles de modo mecanico, y otros que, par contra, resultan insolubles. EI calculo Iogico que elaborara Leibniz se presenta como un «calculo de conceptos», muy proximo formalmente al moderno «caiculo de clases»; incluye asimismo como fundamental una teoria muy rigurosa sobre la relacion de identidad. Semejante calculo leibniziano, sin embargo, no puede asimilarge sin mas a un calculo de clases, ya que Leibniz se preocupa par dade al propio tiempo una interpretacion extensional e intensional; es mas, desde un punta de vista filosofico, para 61 prevalece Ia interpretacion intensional. La presencia de esta doble interpretacion crea algunos problemas. Por ejemplo, una proposicion universal afirmativa como «todos los hombres son rnortaJes», si la interpretamos extensionalmente significa «la clase de los hombres estit incluida en la clase de los mortales»; dentro de una interpretacion intensional viene a decir «la propiedad "mortal" se halla incluida (contenida) en la propiedad "hombre"». Y esta inversion de la relacion de inclusion en el caso extensional e intensional origina ciertas dificultades tecnicas. Par otra parte, Leibniz, a pesar de su adscripcion «intensionalista» por motivos filosoficos, se encuentra atraido, desde una perspectiva matematica, par la sencillez de la interpretacion extensional asf como par SD comcda representabilidad geometrlcav. 21 «Cuando surjan controversias no habra necesidad de disputaa, al Igual que no las hay entre dos contadores. Bastara con tomar 1a plume, sentarse ante el abaco y decirsc rccfprocamentc: [calculcmosl». 22 Las clases pueden representarse como figuras en el plano, de forma que 1a rclacion de inclusion entre clases pueda vlsualizarse sobre esa base. La tecnlca de 1a representacion geometrica de la «logica de clases» se estudiana de forma sistematica por Euler.
La contraposicion extension-intension es un problema palpitante en la logica de Leibniz (a quien se debe ademas la acufiacion de la misma terminologia «extension-intension»). Resulta significativo que hubiera planteado el problema de manera muy afin a como, dos siglos mas tarde, 10 planteara Frege, a saber, en estrecha conexion con la cuestion del significado de la identidad. La idea es que cuando se afirma «A = B» se hallan en juego tres pIanos distintos: el plano de los signos, el de los conceptos expresados (intensiones) y el de las referencias concretas (extensiones). La identidad que se pretende sostener cuando se asevera «A = B» subsiste entre las extensiones (no asi entre las intensiones, ni mucho menos entre los signos); de otra forma, cualquier afirrnacion de identidad se reduciria a la forma trivial «A = A». En el cuadra de ese 'planteamiento, no obstante, brota una grave dificultad que, con ciertas limitaciones (segun se vio) habia sido atisbada ya por los logicos medievales, y que constituira el punto de arranque de la teoria del significado de Frege. La dificultad considera la sustituibilidad de los idenficas en cualquier contexto. En efecto, la definicion leibniziana de identidad se halla representada por el celebre principio «de identidad de los indisccrniblcs» :
«4
=B
significat A et B esse idem, seu ubique sibi posse
substituie'".
No obstante, Leibniz advierte que la substitucion de los identicos no siempre es correcta. De ahi que afiada a continuacion : 23 L. COUTURAT, op, cit., p. 261. Mediante
el simbollsmo
tmducir de forma adecuada esta definicion en el ambito
segundo
ordcn»:
x
=
Y
=
df
moderno podemos de una «Iogica de
'fjP(Px~pY)
(por definicion, dos individuos son identlcos cuando ticnen las mismas pronicdades, es decir, el primer individuo goza de una propiedad generica si y 11610si goza de ella el segundo).
32
33 :l.
Dal!a Chiara.
«Nisi prohibeatur, quod fit in iis, ubi terminus aliquis certo respectu considcrari declaratur, ver. g. Iicet trilaterum et triangulum sunt idem, tamen si dicas triangulum, quatenus tale, habet 180 gradus, non potest substitui trilaterum. Est in eo aliquid materiale».
He aqui meridianamente la conciencia de una distincion entre 10 que los modernos daran en Hamar contextos extensionales y contextos intensionales: en tanto que en el primer caso el principio de substitucion siempre es Iicito, en el segundo caso puede conducir a falacias. La proposici6n «Todo trilatero es un triangulo, y todo triangulo es un trilatero» es un ejemplo de contexto extensional; mientras que la proposicion «Un triangulo, en cuanto tal, tiene 180 grados» es un ejemplo de contexto intensional. Leibniz parece aproximarse aqui a la idea (que luego apoyaria a sabiendas Frege) segun la cual en el caso de una proposicion intensional como «Un triangulo, ell cuanto tal, tiene 180 grades», Ia extension del termino «triangulo» no es la usual. Efectivamente, Leibniz compara esta situacion 16gica can un caso de suppositio materialis (est in eo aliquid materiale), en la que ocurre justamente que un termino signifique algo distinto respecto a lo que significa habitualmente. Un problema muy importante, y para ciertos puntos abierto todavia (no obstante haber sido objeto de analisis por varios estudiosos), refierese a la presencia en la 16gica ieibniziana de una teoria de las relaciones. Durante mucho tiempo, la tendencia dominante entre los historiadores fue la de negar a la logica de Leibniz una dimension relacional, considerada incompatible con su planteamiento meta fisico, segun el cual la condicion necesaria y suficiente para que una proposicion sea verdadera estriba en que «praedicatum inest subjectr» •. Por consiguiente, la
estructura sujeto-predicado de las proposiciones debiera ser
absolutamente fundamental, y cualquier otro tipo de estructura, en ultimo analisis, reductible a esta. Tal interpretacion viene avalada por la autoridad de Russell, para quien Leibniz, aun reconociendo la existencia de proposiciones relacionales, 34
1I1i1hltlrlu no obstante a las relaciones un valor «puramente 1111,"1>•• una suerte de «accidente del espiritu que contempla III Ielncior» •. Sin embargo, recientemente, la tesis russelliana 1111.11Io subvertida poniendose en evidencia que en Leibniz 1It1.1110 se encuentra una logica de relaciones, sino que este II~NIIII considerarla mas fundamental que la 16gica de estructura IIIIUlo"predicado; por cuanto se identifica con la misma logica JI~ I)ius". De cualquier forma, el problema tecnico y filol6gico 111.1 tina
reconstrucci6n de la 16gica
de
relaciones, conocida
t,rl'clivamente por Leibniz, se halla todavia en gran parte nblerto. 1\ pesar de alguna excepcion significativa, el desarrollo de III logica matematica realiza, tras la muerte de Leibniz, un HIlIIOde mas de un siglo. EI afio 1847, con la publicaci6n Hllllllllitnea de la obra Formal Logic, de Augustus De Morgan, y 'I1,e Mathematical Analysis of Logic, de George Boole, sella 1,1 ucta de nacimiento oficial de la 16gica moderna. Apenas si nos detendremos, en esta «Introduccion», en los contenidos de las investigaciones logicas del siglo XIX, que, l'lI muchos casas, constituiran parte integrante de los argu1I1CIltOS tratados en los capitulos subsiguientes. A titulo de mera orientacion historica nos limitaremos nqui a esbozar esquematicarnente las principales corrientes que salen a la escena de la 16gica decimon6nica.
I) Corriente algebrico-logica (fi/one algebrico-logico )25, nacida en Inglaterra y desarrollada posteriormente en Alemania y Estados Unidos, cuya fundamental perspectiva es la elaboracion de cdlculos abstractos, que sean susceptibles de interpretaciones diversas, tanto logicas como matematicas, Desde 140 A este respecto veasc, por ejemplo, M. MUGNAI, «Bertrand Russell c il problema delle rclazioni in Leibniz. Nota critica alla 'Bsposizicne critica della Filosofia di Leibnlz'», en curso de publlcacion en Rtvista di Ftlosofta. u Los principa1esexponentes de esta orientaci6n son los ingleses Augustus Do Morgan (1806-1871) y George Boole (1815-1864); el americana Charles Sanders Peirce (1839-1914) y e1 aleman Ernst Schroder (1841-1902).
35
este punto de vista, los logicoalgebristas se presentan como los continuadores naturales de las teorias de Leibniz, aunque no lleguen a conocer las obras logicas del gran filosofo aleman.
En tal planteamiento, la logica se convierte en una disciplina matematica; mejor, una rama de la matematica abstracta,
desvinculada de la idea de cantidad y caracterizada por el estudio de las relaciones entre calculos generales y clases de estructuras que son interpretaciones de dichos calculos. George Boole, en particular, diferencia un tipo de estructura abstracta que tendra fortuna, hasta el punto de ser llamada con justicia algebra de Boole. Este concepto (con escasas modificaciones respecto a 10 propuesto originariamente por Boole) haliara en nuestro siglo numerosisimas aplicaciones en
los campos mas diversos (Iogicos, matematicos,
fisicos, ciber-
neticos, etc.). Los motivos generales por los que determinadas estructuras abstractas, y no otras, representan a posteriori esquemas conceptuales extremadamente fecund os y de amplisima aplicacion, constituye un problema muy obscuro todavia para la actual filosofia de la matematica. II) Corriente de la logica de conjuntos (filone insiemisticologico}, que propane una perspectiva, en ciertos aspectos, inversa de la anterior.
Aqui la cuestion no estriba ya en transformar la Iogica
en una rama de la matematica; por contra, se trata de buscar
solucion para determinadas
dificultades conceptuales,
muy
hondas, que nacen del interior de ciertas teorias matematicas
(verbigracia el analisis infinitesimal), acotando un «fundamento logico seguro: para tales teorias. Los problemas que surgen en el ambito de esta perspectiva se clasifican, por tanto, en dos tipos: 1) como explicitar la logica que puede asumir ese papel fundacional respecto a la matematica; 2) como realizar la reduccion de todas las teorias maternaticas mas importantes conocidas a esa Iogica, 36
Tal programa fue desarrollado a un tiempo, aunque con planteamientos y lenguajes distintos, por Georg Cantor (18451918) y Gottlob Frege (1848-1925). EI metoda seguido por Frege es mas estrictamente Iogico: en la realizacion del programa de la fundamentaci6n logica de la matematica, Frege constituye buena parte de 10 que hoy se llama «Iogica de predicados». Por contra, el camino seguido por Cantor se halla mas estrechamente ligado a la matematica, realizandose en el marco de su «teorfa (matematica) de conjuntos». No obstante, como tendremos ocasion de ver, caracteristica
de Ia
teoria cantoriana de conjuntos es hallarse construida sobre pocos y simples postulados, que tienen toda la apariencia de «verdades
universales»
y, por tanto, de principios
«esencial-
mente logicos»26. As! pues, en ambos casos se puede hablar de una «logica general», a Ia cual se reducen las teorfas matematicas (realizacion de un programa que, por 10 mismo, se llama logicistico). A pesar de haberse alcanzado perfectamente esta reduccion y rigurosamente explicitada Ia «Iogica general» que cons-
tituye su fundamento, el programa logicistico hubo de pasar sin embargo, por una gravisima crisis. En 1902, Bertrand Russell demostraria, con el descubrimiento de su famasa antinomia, la contradictoriedad de tal «logica general» tanto en su vertiente cantoriana como en la fregeana. jEI fundamento Iogico del complejo de teorias matematicas resulta, paradojicamente, inconsistente!
En los capitulos
2 y 4 veremos como
los fundamentalistas de nuestro siglo reaccionaron frente al shock producido por el descubrimiento de Russell. III)
La corriente constructivista
(fi/one costruttivistico)
808-
tiene, a diferencia de los logicistas, que no se trata de un problema de fundamentaci6n de la matematica. La matematica tiene un caracter primitivo
y representa esencialmente
el resul-
26 Tcngase edemas presente que 1a 16gica de Frcge y la tcorta de conjuntos de Cantor, dentro de ciertos Hmites, son mutuamente traducibles ; en cierta medlda, se trata «de la misma teona»,
37
tado de construcciones mentales humanas. Por tanto, el principal problema estriba en justificar el cuerpo de las teorias matematicas como fruto de un tal complejo de construcciones mentales. Se topa con la objecion que representa el hecho de que no toda la matematica,
hist6ricamente
elaborada,
parece poder justificarse sobre esta base. EI propio analisis infinitesimal (por no hablar de la teoria cantoriana de conjuntos) apela esencialmente a hipotesis de caracter metafisico, como si los entes matematicos existieran independientemente de n080tr08 en un mundo supraceleste, y no fueran, por contra, resultado de las construcciones de nuestro pensamiento. Se trata consiguientemente de acotar cudl sea la matematica
que admite una justificacion filosofica de tipo constructivo. Sobre este problema no existe una respuesta unfvoca por parte de todas las direcciones constructivistas. Por ejemplo, segiin el fil6sofo y matematico frances Henri Poincare, el principal «pecado metafisico» de los matematicos clasicos fue usaf, en ciertas circunstancias, definiciones impredicativas, a saber, definiciones en las que un eute matematico se define
mediante una referencia esencial a la totalidad a la que el mismo pertenece. Ahora bien, semejante actividad definitoria sera no circular unicamente en la hipotesis metafisica de que los entes matematicos existan independientemente de nuestro pensamiento. Esta idea de Poincare (que, por 10 demas, el fil6sofo frances no llegaria a desarrollar en todas sus consecuencias) constituye el fundamento de la direcci6n denominada
predicativlstica.
Segiin Jan Luitzen Egbertus Brouwer (1881-1966), fundador de la direcci6n intuicionista, la responsabilidad de las hip6tesis metafisicas en matematicas se debe ya al propio uso de la logica. Por ejemplo, el principio logico del tercio excluso (que dice que todo ente matematico goza 0 no goza de determinada propiedad) implica que las propiedades de los entes matematicos se hallan establecidas una vez por todas, independientemente de nuestras construcciones mentales. La l6gica intuicionista creada por Brouwer y, como tendremos
38
ocasion de ver, desarrollada en nuestro siglo tambien por
otros autores, exime justamente de la funci6n de constituir fa logica adecuada en el marco de una concepcion construetiva de la matematica, Tengase presente que las distintas orientaciones construetivistas dan origen a cuerpos de teorias matematicas diferentes. Nos enfrentamos as! con la curiosa situaci6n en que asumir
una determinada hip6tesis filosofica parece ser determinante del tipo de matematica que se produce. IV)
La corriente axionuuico-formallstica
formalistico)
(filone assiomaticos610 manifiesta rasgos ernbrionarios en el siglo XIX.
Y llegara a imponerse en nuestro siglo gracias a las obras del matematico aleman David Hilbert (1862-1943) y de 'su escuela. Un mayor perfeccionamiento y sutilizacion del metodo axiomatico se considera instrumento fundamental de esta orientaci6n: se consigue precisar de forma rigurosa la idea de teorla axiomatica que describiremos minuciosamente en el
capitulo I. Caracterfstica del nuevo planteamiento (respecto a la axiomatica tradicional) es el abandono del criterio de la evidencia, tornado como garantia de verdad, por los postulados de una teoria matematica, A tal conclusi6n habia conducido naturalmente la existencia de distintas teorias maternatieas alternativas, todas eorrectas en apariencia ; en particular, la existencia de geometrias diferentes. Brota asi la idea general de que justificar una teoria matematica puede significar simplemente demostrar su correccion
formal,
es decir, demostrar
que la teoria no origina
contradicciones. En tal perspectiva (de manera muy dispar a
t
10 que ocurre en la perspectiva logicistica 0 constructivistai, fundamentar la matematica significa, por tanto, reconstruir el sistema de teorias matematicas historicamente conocidas en . versi6n de teorias axiomaticas formales y demostrar que se trata de teorias no eontradictorias. , Espontaneamente aflora la siguiente cuesti6n: lcuales son
los instrumentos conceptuales con que resulta posible demos-
39
trar la no contradictoriedad de las teorias matematicas ? En otros terminos, i,cual es la teoria (rnatematica) capaz de justificar tales instrumentos? Segun veremos, nos hallamos ante un problema central del dominio de las investigaciones Iogicas de nuestro siglo; problema que dad lugar a algunos resultados imprevisibles que pondran en grave aprieto a las perspectivas de la direcci6n formalistica. 4.
L a I 6 g i c a,
hoy
l,Cabe aportar una caracterizacion suficientemente precisa y sintetica de la Iogica matematica de nuestros dias? Suele ser de general conocimiento la dificultad de responder con una definicion a la pregunta «l,en que consiste una determinada ciencia X?», dificultad que obliga en muchas circunstancias a adoptar lIanamente la definicion formalmente circular (que es en realidad mas honda de lo que a primera vista pudiera parecer) «La ciencia X es el sujeto de que se ocupan los investigadores de X». En el caso de la logica, resulta menos dificil que en otras ciencias poder aportar una caracterizacion general, si bien no todo 10 precisa que se debiera, de los problemas de que se ocupa la logica de nuestros dias. Existe un acuerdo general por 10 que respecta a una definicion minimal (minimale): la [logica es el estudio de la estructura deductiva de las teorias \ cientificas 0 en cualquier caso de los discursos racionales suficientemente rigurosos. A pesar de ser correcta, esa definicion resulta excesivamente restrictiva, al incluir s610 la parte de la Iogica que hemos dado en llamar «teoria de la deduccion (0 de la inferencia)». Segun se vio, a 10 largo de la historia la logica ha ido desernpefiando otros cometidos, que pueden describirse en sintesis como investigacion de una constitucion de teorfas rigurosas para determinados conceptos clave, que se usarian sistematicamente en el ambito de otras ciencias. En primer lugar, construccion de teorias capaces de suministrar
t
40
una respuesta satisfactoria al problema de los fundamentos de la matematica. No se trata tanto de evitar, aplicado a la matematica, el esquema de definicion circular citado mas arriba, cuanto, sobre todo, de partir de la hipotesis de que la matematica sea el complejo de teorlas historicamentc elaboradas por q uienes se lIamaban matematicos y sobre esa base constituir una teoria general en la que todas esas teorias (0 la mayoria de elias) admitan una justificacion 0 al menos un encuadramiento. EI problema de los fundamentos de la matematica, si bien se ha lIevado historicamente «la parte del leon» en la problematica logica modern a, no ha sido el unico. Son muy importantes las investigaciones ordenadas a la clarificacion de algunos conceptos que no tienen interes exclusivamente matematico, verbigracia, el concepto de «procedimiento mecanico» (al que se ha entregado un sector de la logica que toma el nombre de «teoria de la computacion»), En nuestros dias se hallan en vias de desarrollo aplicaciones de las tecnicas logicas a ciertos problemas caracteristicos de las ciencias empiricas. En lo que hace referencia a la logica en sentido estricto, es decir, a la teoria de la deduccion, la his tori a de la misma ha oscilado entre dos interpretaciones opuestas: una subjetivista, que describe la Iogica como «estudio de las leyes del pensamiento», y una interpretacion objetivista, que entiende por logica «el analisis de la estructura de las teorias objetivamente dadas». Entre los subjetivistas de mayor relieve podemos recordar en el siglo XVII a los logicos de Port Royal y, en el XIX, al gran Iogico-algebrista Boole. La interpretacion objetivista se impuso definitivamente, en la segunda mitad del siglo pasado, con la obra de Frege, quien mantuvo una polemica sistematica frente a toda forma de psicologismo en logica. En nuestros dias, el equilibrio subsistente entre logica y psicologia es de] siguiente tenor: en tanto que la psicologia recurre, en determinadas circunstancias, a ciertas tecnicas logicas (tipieo es, por ejemplo, el caso de la psicologia genetical,
41
I
la Iogica prescinde absolutamente del problema de los procesos mentales que constituyen el origen de las estructuras deductivas
objetivamente
dadas. Las mismas posiciones
que,
en el ambito de la problematica de los fundamentos de la maternatica (tal la posicion intuicionista), hacen referencia a una «actividad de la mente», se refieren siempre a un tipo de «mente» completamente idealizada y abstracta, que tiene muy poco en comun
con la «mente concreta»,
sujeto de es-
tudio de los psicologos, No obstante, no se excluye que la posibilidad de afrontar con tecnicas formales rigurosas el estudio de los procesos geneticos (posibilidad que hoy se encuentra en mantillas) tenga tales desarrollos en el futuro que permita a una nueva forma de psicologismo (distinta por supuesto de la tradicional) integrarse de nuevo en la lrigica. La teoria de fa inferencia por antonomasia,
institucionali-
zada bajo el nombre de logica cldsica, se organize sistemati-
camente, en sus lineas fundamentales,
en un area de tiempo
que se puede encontrar entre 1879 y 1936. 1879 significa la fecha de publicacion de la Ideografla de Frege y, 1936, el afio de la demostracion del teorema de Church sobre la indecidibilidad de la logica de predicados. Un poco simplemente pudiera decirse que los resultados obtenidos a partir de esa fecha no supondrian innovaciones substanciales en el ambito de la teoria clasica de la inferencia. Mas en el instante preciso en que parece haber dado con una teoria trabada de una manera casi definitiva, surge el gran problema de las logicas alternativas respecto a la logica clasica: la Iogica clasica lrepresenta la verdadera teoria de la deducci6n 0, por contra, pueden existir otras Iogicas tanto 0 mas correctas que la misma 16gica clasica? Durante mucho tiempo, la unicidad de la Iogica aparecia como condici6n necesaria para la comunicaci6n: dos individuos que pensaran con 16gicas distintas, deciase, podrian en-
tenderse como maximo en determinados puntos aislados, pero no globaImente. Tales individuos, por otra parte, no podrian
ni siquiera llegar a un acuerdo en una suerte de metateoria 42
comun,
por cuanto tambien
en esa metateoria cada uno con-
tinuaria sirviendose de su pro pia 16gica. A este respecto, un argumento que en la historia de la 16gica y de la filosofia se ha empleado
con cierta freeueneia, era del siguiente tenor:
incluso en el momento en que un posible objetor me pro-
pusiera una logica aiternativa, en ese instante estaria realmente
usando mi propia logica, y en razon de 10 cual su propuesta se me haria inteligible (asi, por ejemplo, de este tipo fue en multiples circunstancias Ia argumentacion del «no dialectic» en sus eonfrontaciones
can el «dialectico»
respeeto a Ia utili-
zacion del principio de no contradiccion), A lo largo de la historia, la tesis de la unicidad ha ido casi siempre acompafiada de la tesis del caracter a priori de la logica. Piensese en la posicion de Leibniz y Kant, en los principios-base del programa logicistico avanzado par Frege o en la descripcion de la Iogica como complejo de verdades analiticas, que propugnara en las decadas de los veinte y los treinta Ia Eseuela de Viena. Desde un punto de vista teorico,
las dos tesis son en realidad independientes. La logica podia ser a priori en el sentido, verbigracia, del puro eonvencionaIismo; y en tal caso habra tantas Iogicas cuantos lenguajes poseamos. A la inversa, Ia I6giea podria ser (mica sin ser a priori; por ejemplo, en la hipotesis de que sea la experiencia la que imponga la unica 16gica «justa», De hecho, la 16gica matematica fue unica 0 casi unica por un largo periodo. Durante buena parte de la primera mitad del siglo, la Iogica cIasica conocio substancialmente tres «rivales» de importancia:
la 16giea intuieionista
que pro-
pusiera en los albores de la centuria el holandes Brouwer, sistematizada axiomaticamente por otro holandes, Arend Heyting, en los afios treinta: Jas logicas mod ales, de rancia tra-
dicion, replanteadas en forma moderna por el ingles Clarence Irving Lewis a partir de 1912; y, por ultimo, las logicas polivalentes, estudiadas sistematicamente
por vez primera par eI
polaco Jan Lukasiewicz desde 192D.Esa pluralidad de Icgicas no clasicas no tuvieron por efeeto inmediato Ia refutacion
de
43
t
I
la tesis de la unicidad de la Iogica. Las logicas modales, en
cuanto ampliaci6n de Ia logica clasica, no sup on ian autenticas propuestas alternativas. La logica intuicionista, en su presen-
tacion originaria (de modo particular en su vertiente brouweriana), se ofrecia como elemento constitutivo de un enfrentamiento entre dos concepciones opuestas de la matematica; dicha situacion no alteraba en el fondo la tesis de la unicidad, sino que, por el contrario, ponia sobre el tapete el problema de la eleccion de la Iogica justa. Las Iogicas polivalentes, si se abstrae del comportamiento de Lukasiewicz y otros pocos, se verian acogidas por los circulos 16gicos como meres artificios matematicos 0 poco mas. En nuestro, dias, la situacion se ha complicado mucho mas. Se ha producido una suerte de explosion demografica de logicas distintas, hasta el extrema de que resulta harto dificil dar una clasificacion satisfactoria de la silva de logicas hoy conocidas. Cabe una clasificacion muy general (portadora por tanto de una informacion escasa) si destacamos, por
ejernplo, dos criterios de distinci6n. El primero de los cuales, el de la valencia, permite dividir la clase de las logicas en dos grandes subclases, que contienen respectivamente las logicas bivalentes (para las que toda proposicion ad mite solo dos estados posibles de verdad, a saber, el verdadero y el falso) y las Iogicas polivalentes (para las que existen valores de verdad
intermedios entre el verdadero y el falso). EI segundo criterio distingue las teorias de los operadores Iogicos extensionales de las teorias de los operadores logicos intensionales. Caracteristica de los primeros es poder ser descritos como funciones de valores de verdad 0 de conjuntos de valores de verdad con
I
verdad de la proposicion a en relacion al mismo estado de cosas (la proposicion «no hace calor» es verdadera respecto al estado de cosas representado por la ciudad de Montevideo el dia 10 de julio de 1973 si y solo si la proposicion «haec calor» es falsa respecto al estado de cosas en cuestion). La operacion logica «en el futuro» no goza, por contra, de esta propiedad caracteristica. Asi, por ejemplo, el valor de verdad de la proposicion «en el futuro hace calor» (es decir, «hara calor») en el estado de cosas representado por Montevideo el 10 de julio de 1973, depende del valor de verdad de la proposicion «hace calor», pero no en el mismo venideros.
Dentro de esta doble particion (Iogicas bivalentes-polivalogicas extensionales-intensionales) conviene separar ademas las teorias de los operadores fundamentales (las tra-
lentes;
:
dicionales conectivas y cuantificadores, y sus generalizaciones), que admiten descripciones extensionales e intensionales, de las teorias de los operadores especiales que, por regla general, no
admiten (al menos en el ambito de la bivalencia) tratamientos extensionales intuitivamente razonables (como ejemplos de operadores especiales pueden citarse los operadores temporales, as! el operador «en el futuro» considerado mas arriba, los operadores mod ales tradicionales, etc.). De forma esquematica sificacion como sigue:
Extcnsionales
tamiento
Intensionales
como operador extensional,
al poderse asumir que
el valor de verdad de una proposicion negada no-a en relacion a cierto estado de cosas depende exclusivamente del valor de 44
podriamos representar nuestra cla-
Polivalenles
Bivalentes
referencia siempre a un unico estado de cosas; peculiar de los segundos es adrnitir una descripcion veritativo-funcional con referencia exclusiva a un sistema multiple de estados de casas.
Verbigracia, la operacion 16gica de negacion admite un tra-
estado de casas, sino en otros
estados de cosas, que representan a Montevideo en tiempos
{FUndamentales { Especiales
{_ Fundamentales {.
Tengase presente que un calculo Iogico, en general, no determina univocamente la propia ubicacion en el esquema 45
que acabamos de dibujar (esquema que halla su fundamento obviamente en conceptos de naturaleza sernantica). Cabe el que un mismo calculo pueda describirse indiferentemente como
una logica bivalente intensional 0 como una logica polivalente extensional. Sucede asi, por ejemplo, con la 16gica intuicionista y con muchas logicas modales.
iQue significado general puede tener esa especie de «torre de Babel» amasada por las diferentes Iogicas ? iComo puede responderse en ese cuadro a la objecion tradicional que dice que la unicidad de la 16gica es condicion necesaria para la cornunicacion ? De hecho, junto al problema fundamental de la comunicacion, se abren otros interrogantes de pareja reI evan cia. Imaginemos ados individuos que piensan con logicas distintas: I) ies posible que nuestros dos personajes se den cuenta de que emplean logicas diferentes? 2) /,podria tener cada uno la capacidad de describir la logica de su interlocutor?
3) l.puede admitirse que un mismo ser inteligente se sirva de logicas diferentes en situaciones distintas, conservando un comportamiento racional coherente? 4) en caso positivo, itiene sentido postular que sea la experiencia quien determine la eleccion de la Iogica ? 5) sea cual fuere la respuesta que se otorgue a los interrogantes anteriores, l,existe necesariamente una Iogica privilegiada, que constituya el fundamento de todas las demas ?
A todas esas preguntas intentaremos dar cumplida respuesta en el ultimo capitulo, una vez que tengamos en nuestro poder los instrumentos tecnicos necesarios para concretar nuestra argumentacion,
I.
1.1.
TEO RIA DE LA DEMOSTRACION
Preliminares
La teoria de la deduccion puede estudiarse segun dos puntos de vista diferentes. EI primero de ellos prescinde por completo del problema de los significados de los lenguajes de que se ocupa; la segunda perspectiva se plantea el problema del analisis de dichos significados. Pongamos
un ejemplo.
Una nocion
que es, por obvios
motivos, uno de los conceptos-clave de la teoria de la deduc-
cion, es la relacion «... siguese logicamente de ...» (analizar rigurosamente esta relacion representa c1aramente e/ problema
de la teo ria de la deduccion), Ahora bien, resulta que la rela-
cion en cuestion admite un riguroso analisis en el marco del primero y del segundo puntos de vista. Del siguiente modo:
a) caracterizacion segun el punto de vista I: «la proposicion jJ siguese logicamente de la proposicion a cuando: si asumimos a y aplicamos las reglas de deduccion, en un numero finito de pasos obtenemos jJ»; b) caracterizacion segun el punta de vista II: «jJ siguese Iogicamente de a cuando: cualquiera que sea la interpretacion de a y de jJ, si a es verdadera tambien jJ resulta verdadera».
46
47
Obviamente, las dos caracterizaciones expresan conceptos distintos, por mas que en los razonamientos intuitivos y en los mismos razonamientos cientificos tengamos tendencia a intercambiar continuamente entre si ambos sentidos. La se-
gunda caracterizacion hace referencia a los significados: no solo es necesario comprender 10 que expresan a y {J sino tambien referirse a todas las posibles interpretaciones de a y {J. La primera caracterizacion exige s610 la aplicacion mecanica de unas reglas determinadas;
par tanto, puede
«ensefiarse»
incluso a un ordenador (un ordenador que deduce de manera completamente
parecida al proceso que sigue un ordenador
para las operaciones aritmeticas), La distincion clara entre los dos enfoques que representan, respectivamente, el pun to de vista I y el punto de vista II, se impuso como fundamental en la 16gica moderna, sobre todo a partir de Frege. A este respecto se habla de la distinci6n entre Sin taxis y Semantica 0 tam bien entre Teorfa de la demostracion y Teoria del significado. Dedicaremos el capitulo 1 a la teoria de la demostracion y, a la teoria del significado, los capitulos 2 y 3.
La primera mision que debe cumplir toda teoria de la
deduccion es el analisis de las operaciones logicas mas importantes comprometidas
en nuestros razonamientos.
Vimos
en la «Introduccioro la utili dad de distinguir las teorias de los operadores logicos fundamentales de las teorias de los operadores 16gicos especiales. Peculiaridad de los primeros es admitir por 10 menos una caracterizaci6n
(en particular, casi
todas las teorias matematicas y fisicas) pueden expresarse con todo rigor sirviendose solo de tales operaciones Iogicas. Y son: las conjugaciones «no», «y», «0», «si ... entonces», «si y 5610 si», que llamamos
conectivas
0
conectores; las locuciones cuantificadores, y Ia
«todos», «algunos», que denominamos relacion de identidad. Ante todo veamos
c6mo
puede construirse
un lenguaje
formal que emplee solo esas operaciones Iogicas ; donde por lenguaje formal entendemos un lenguaje descrito rigurosamente. Es sabido, en efecto, que el lenguaje ordinario es un lenguaje de contornos difusos; por ejemplo, hoy cabe la discusion sobre si la palabra «week-end» pertenece 0 no a la lengua castellana. Los mismos lenguajes de las teorias cientificas son
a vcces difusos; verbigracia, en tanto que cs indudable que el
predicado «pan> pertenece al lenguaje de la aritmetica, y no tiene nada que ver con e!la el predicado «rubio», puede discutirse si la expresion «desmesuradamente grande» pertenezca o no a dicho lenguaje. Resulta uti! en multiples ocasiones formalizar el lenguaje,
es dccir, dcfinir con precisi6n esos contornos
indeterminados.
Empei'io que puede llevarse a cabo precisando cuatro clases de ingredientes lingiHsticos de que se hace uso:
1.2. Las logicas [undamentales
I
curso racional. Muchas teorias cientificas
extensional
intuiti-
vamente razonable (en el ambito de la bivalencia). Por supuesto
que esta es una descripcion de caracter semantico; cupiendo asimismo un tratamiento puramente sintactico de los opera-
dores fundamentales. Dichos operadores resultan ser simplemente las operaciones logicas-base que inciden en todo dis-
I) los nombres individuales y los predicados, que denominamos tambien constantes descriptivas; 2) las operaciones logicas, que tambien !lamamos constantes logicas;
3) las variables (cuyo uso conviene porque a menudo en una teoria cientifica debe poderse bablar de entes genericos) ;
4) los simbolos auxiliares, como los parentesis, Los denominados lenguajes formales elementales constituyen una categoria de lenguajes bastante sencillos, y suficiente-
mente ricos des de el punto de vista expresivo al propio tiempo,
49
48 4.
Dalla Chiara.
pudiendo expresar cualquier teo ria interesante, elemental contiene:
Un lenguaje
I) Como constantes descriptivas, cierto numero (que puede ser desde 0 hasta el maximo infinito numerable) de nombres individuales y predicados. Para los nombres individuales (que llamaremos tam bien constantes individuales) emplearemos los signos aI' a2, . , ., a" ' . .. Para los predicados los signos Pi, Pi, ... , pi. P~,.. ,' P~,P~, ... , donde el exponente (o Indice superior) representa el numero de argumentos (0 sujetos) a los que se puede aplicar el predicado, en tanto que el subindice (0 indice inferior) tiene por finalidad distinguir entre SI predicados diferentes que posean el mismo numero de argumentos. Por ejemplo, P~figura un predicado que se aplica a un solo sujeto (como «bueno»), Pi se establece para un predicado de dos argumentos (como «padre de»), para un predicado de tres argumentos (como «se encuentra entre»), etc.
Pr
2) Las constantes Iogicas son: las conectivas, para los cuales usamos los sign os --; (no), /\ (y), V (0), -+ (si ... entonces), <-> (si y solo si); los cuantificadores, para los cuales usamos los sign os V (todos), 3 (algunos), y el predicado de identidad que indicamos con el signo =. 3) Como variables variables individuales, x, y,
Z, Xl' X2,
..
,' XH
tenemos: una infinitud numerable de para las cuales usamos los simbolos ..
,.
4) Como simbolos auxiliares:
los parentesis,
Los elementos de estas cuatro clases de signos constituyen 10 que se llama el alfabeto dellenguaje elemental considerado. Toda sucesion finita de elementos del alfabeto se denornina palabra. Las constantes individuales y las variables son los terminos individuales del lenguaje (es decir, las palabras des\ \ tinadas a designar individuos). Una formula bien formada (0 simplemente una f6rmula) es una palabra que tenga una de las siguientes form as:
50
1) t, = t1 (que se lee II. es igual a (1), 0 bien P;:"t! ' , . 111 (que se lee fI' .'., In poseen P;;), donde P~ es un predicado de n argumentos y tI, ... , tl., tj, ••• , tn son terminos individuales del lenguaje. Las formulas que tienen esta estructura se lIaman atomicas; 2) (...,a) (que se lee no a), (a /\ (J) (que se lee a y J]), (a V (J) (a 0 (J), (a -> (J) (si a entonces (J), (a <-> (J) (a si y solo si (J), donde a y (J son formulas del lenguaje; 3) vx,a (para todos los x, vale a), 3x,a (para algunos x, vale a), donde a es una formula y x, es una variable dellenguaje. Una proposicion es una formula en la que toda posible variable Xi cae sicmpre en todas sus ocurrencias en el campo de accion de un cuantificador aplicado a Xi (es decir, ocurre siempre en una subexpresion de la forma vx,(J 0 3X,(J). Intui-i tivamente, las proposiciones no hacen afirmaciones en relacion a individuos genericos, sino solo en relacion a individuos particulares (denotadas con su nombre) 0 bien en relacion a todos 0 algunos individuos. Por ejemplo: 3x,P;x, y son proposiciones, en tanto que Pix es una formula, pero no una proposicion (SI Pi representa el predicado «pasear» Y al el nombre Alejandro, 3xIPi y Pial son, respectivamente, las versiones formales para las dos proposiciones «algunos pasean» y «Alejandro pasea», mientras que Pix designa la expresion «un individuo generico X pasea»). Una variable Xi' que se de en una formula a, llamase /igada en a cuando, en todas sus ocurrencias, cae en el campo de accion de un cuantificador aplicado a X,; en caso contrario decimos que esa variable esta fibre en a, Verbigracia, Xi esta ligada en 3xIPixlx2' y se halla libre en 3XIPrXIX2 ---+ Pix!. De las definiciones dadas resulta, consiguientemente, que una proposicion es una formula que no contiene variables libres. Para "indicar que Xl' ' .. , x; se encuentran libres en a escribiremos a(x" ... , xn)' Con a(x,/t) indicaremos el resultado de la substitucion en a de la variable Xi en todas sus ocurrencias par el terrnino t. Entenderemos que tal substitucion sea siempre
Pia,
51
entre
a V ....,a) y la regIa denominada de Duns Scoto (si he demos-
de accion de un cuantificador aplicado a Xj' Tomamos esta precaucion Iinguistica a fin de evitar posibles incorrecciones
en la deduccion. Demos un ejemplo: esta claro que toda
segunda, la logica minimal. Desde un punto de vista intuitivo puede decirse que la logica clasica representa una postura determinista 0 descrip-
principio del dictum de omni (supuesto que todos gozan de
vale objetivamente. La Iogica intuicionista y la logica minimal,
correcta, en el sentido de que no de lugar a confusiones
variables libres y ligadas: es decir, en el caso en que t sea una variable, por ejemplo, la variable x., al quedar por substitucion convertida en x, no debe caer, en a, en el campo
trado una contradiccion puedo demostrar cualquier formula'). En tanto que la logica clasica asumia ambas reglas, la logica intuicionista
teoria de la inferencia racional incluye entre sus principios el una propiedad determinada siguese que, tomando un caso al
azar, tambien ese caso goza de ella). EI principio del dictum de omni puede formalizarse del siguiente modo: si vale 'Q'xa(x) entonces debe valer a(x/t) para todo termino t. Lo cual solo es valido intuitivamente por convenio de que Ia substitucion indicada con a(x/t) sea correcta. De lo contrario podriamos llegar a absurdos como el que sigue: vale: 'Q'xax,Pj'xlx,
tiva: cuando afirmo una proposicion
I
I
I
(por ejemplo: todo hombre tiene un padre).
De donde, por un dictum de omni incorrecto, por el termino X2 se obtiene:
substituyendo
(algunos hombres son padres de sf mismos).
En este caso, la substituci6n es incorrecta porque el termino substituyente X2' en Ia substitucion dada, cae en el campo
de accion de un cuantificador aplicado a x,. En el contexto lingiiistico de los lenguajes elementales,
construir una Iogica fundamental
significa determinar un sis-
tema de reglas de deduccion que configuren el comportamiento de las conectivas, de los cuantificadores y de la identidad. A lo largo de la historia se han registrado por lo menos tres logicas fundamentales de particular interes: la cldsica, la intuicionista y la minimal (minimale ), Las tres tienen un bagaje de reglas comunes, reglas minimales, y se hallan «separadas»
entre sf por la asuncion de dos reglas criticas, la regla del «ter-
cio excluso» (para toda formula a puedo siempre demostrar 52
, , ,
a quiero indicar que a
por contra, reflejan un planteamiento epistemologico: si afirmo a quiero indicar que «yo conozco a» (sobre esta base
viene rechazado el principio del tercio excluso, que, en el ambito de un planteamiento epistemologico, equivaldria a una hipotesis de omnisciencia). Mas asi como para el intuicionista toda contradiccion
es fatal, por cuanto
conduce
necesaria-
mente a la degeneracion de todo el discurso, el minimalista admite la posibilidad de contradicciones locales'. Durante mucho tiempo se creyo que el planteamiento descriptivo del logico era el mas consonante con el comportamiento logico concreto del matematico,
Xl
3x,Prx,x,
solo asume Ia segunda y, ni Ia primera ni Ia
y que, par contra, el
planteamiento epistemologico originaba inevitablemente una matematica de tipo «patologico». Pero los grandes avances de la rnatematica intuicionista demostraron (como veremos en el capitulo dedicado a los problemas de los fundamentos de la matematica) que la cuestion no puede liquidarse tan alegremente. Por otra parte, el hacer racional del matematico resulta ademas en muchas ocasiones de tipo minimal (si no mas debil), Piensese, por ejemplo, eo el comportamiento habitual del matematico no axiomatico frente al problema de las antinomias de la teoria intuitiva de conjuntos: el sabe muy bien que la teoria intuitiva de conjuntos, de la que se veasc, en la Introducci6n, el apartado 2. e En realidad tambien el 16gico minimalista lIega a admitir la posibilidad de contradicciones locales s6lo en medida limitada. No logra evitar, en efecto, el principia de inferencia codificado por la lIamada «regia debit de Duns Scoto», que dice que «si he demostrado una contradicci6n puede demostrar cualquler formula de forma negative». 1
53
sirve cuando escribe, por ejemplo, un tratado de Analisis,
es,
como demostrara Russell en 1902, contradictoria. A pesar de 10 cual, continua echando mano de ella. loy ello? Porque es consciente de que las antinomias de los conjuntos surgen s610
Verbigracia, las reglas siguientes establecen normas
al\{J a
en determinadas situaciones-Ilmite de la teorIa; y por ende, si «se esta atento» a no caer en tales situaciones-1imite no se
corre peligro de desastre. Pero eso significa exactamente admitir la posibilidad
de contradicciones
locales, es decir, admitir
el principio segun el cual una contradicci6n particular no se refieja necesariamente en toda la teoria hasta el punto de
(de la premisa a 1\ {J puedo inferir tanto la conclusion a como la conclusion (J). a,{J al\{J
el matematico, tambien el ffsico se comporta en multiples como un 16gico minimalista.
Tal, las contra-
dicciones que pueden aparecer en el ambito de la teoria de la medida en mecanica cuantica, no obligan, por supuesto, al fisico a que aplique lisa y llanamente el principio de Duns Scoto, con el abandono consiguiente de tada la mccanica cuantica como si de una teoria insensata se tratase. El mismo fisico, en el caso en cuesti6n, admite la posibilidad de contradicciones locales.
Analicemos ahora con mayor detenci6n la estructura de nuestras 16gicas fundamentales. "Que es una inferencia? Desde una perspectiva intuitiva, una inferencia representa un «transito» de unas premisas dadas a una conclusion. La eual puede
simbolizarse asi: •
es licito pasar de determinadas premisas a determinadas coni '\ clusiones. En otros terrninos, las reglas establecen las estruc-
I turas de las inferencias que se consideran correctas. Puesto
,
l
-1l;V
que, al razonar, no hacemos otra cosa que manipular operaciones logicas, que alternativamente vamos introduciendo y
eliminando, las reglas de inferencia podran describirse en ge-
neral como normas que regulan Ja introducci6n y eliminaci6n
de las constantes 16gicas.
54
Puede ocurrir que una premisa depend a a su vez de otra
premisa, la cual queda «descargada» en la conclusion. Por ejemplo: si bajo la hip6tesis a vale {J, entonces yo puedo concluir a -e- {J, descargando la premisa a (de la premisa «estoy contento» bajo la hip6tesis de que «nieva», puedo inferir: «si nieva estoy contento»),
En casos como este simbolizamos
convencionalmente entre parentesis la premisa que queda descargada. El ejemplo anterior (que ejemplifica la regia denominada de candicianalizaci6n) se indicara simb6licamente del siguiente modo: raj
{J
a
Una regla de inferencia establece las condiciones en que
I
\I
(de las dos premisas a y (J puedo inferir la conclusi6n a 1\ (J).
aI' ... , an donde aI' ... , an son las premisas
y, a, la conclusion .
pres-
al\{J -{J
~~
cuartearla en un conjunto caotico de afirmaciones. Y no s610
circunstancias
0
cripciones intuitivamente del todo naturales que regulan la eliminaci6n e introduccion, respectivamente, del conector:
a __,,_ {J.
La tabla l* contiene la descripci6n detallada de las reglas minim ales, intuicionistas y clasicas, EI lector que prefiera no sobrecargar en exceso su cuenta de conocimientos
tecnicos,
puede pasar adelante sin temor a no comprender 10 que se expone a continuacion. Supongamos que disponemos adernas de un sistema de reglas (clasicas, intuicionistas
0
minirnales)
y queremos definir
.. Las tablas se hallan situadas al final del capitulo 6.
55
sobre esta base los conceptos de demostracion, demostrabilidad a partir de un conjunto de hipotesis y ley logica. Intuitivamente, \ demostrar significa partir de premisas e «ir razonando» meIdiante la aplicacion de reglas de deduccion hasta conseguir una conclusi6n. EI concepto formal de demostracion quiere ser la explicaci6n rigurosa de esta idea intuitiva. Una demos'tracion formal es una configuracion finita de reglas que satisraga los requisitos siguientes: I) en la configuraci6n la forma
ocurren
dos reglas yuxtapuestas
en
PI' ... , Pm y
cuando a, es una conclusion de /31' ... , Pm segun la primera regIa, en tanto que y es una conclusion de aI' .. " an segun la regia segunda; 2) la configuracion final).
termina
con una unica regia (Ia regIa
Una demostraci6n tiene par tanto una forma caracterIstica donde la conclusion de la regIa final es el teorema , de la demostracion, en tanto que las premisas de las reglas , ocurrentes en la configuracion, que no tienen ninguna otra sabre sf mismas (es decir, que no se obtienen a su vez de otras premisas), son las premisas de fa demostracion. Toda conclusion de una regIa ocurrente en una demostraci6n depende de todas las premisas que ocurran por encima de ella (verbigracia, en la dernostracion
'l de «arbol»,
al\{J
y 1\
a
y
al\y a 1\ y depende de a, y, a 1\ (J, y 1\ J, en tanto que a depende solo de a 1\ f3 y y s610 de y 1\ J). 56
Puede suceder que en el curso de la dernostracion quede descargada mediante la aplicaci6n de una de las reglas que admiten la descarga de premisas, por ejemplo, a traves de la regia de condicionalizaci6n, como en el caso siguiente:
al\f3 f3 al\f3-+{J Las hipotesis de una demostracion son todas las premisas de la demostraci6n que no han sido descargadas. Y asi queda definido rigurosamente el concepto de demostracion. Naturalmente, hablaremos de demostraciones clasicas, intuicionistas y minimales segun que el sistema de reglas empleado sea clasico, intuicionista 0 minimal. Diremos que una formula a es demostrable a partir del conjunto de hipotesis K cuando exista una demostracion cuyas hipotesis se hallen contenidas en K y cuyo teorema sea a. Segun que la demostracion sea clasica, intuicionista 0 minimal, hablaremos de demostrabilidad clasica, intuicionista 0 minimal y escribiremos abreviadamente en los tres casos: K
I- a
(a es clasicamente
K
I- a
(a es intuicionisticamente
K
I- a
(a es minimalmente
c
I
M
demostrable
a partir
demostrable
demostrable
de K); a partir de K);
a partir
de K).
Se da un caso particularmente interesante cuando K no contiene formulas, es decir, cuando a es demostrable a partir de ninguna hipotesis. Ello significa que en el curso de la demostracion se han descargado todas las premisas de la demostracion (a traves de la aplicacion de las reglas ad hoc). En cuyo caso diremos que a es una ley logi£a (clasica, intuicionista 0 minimal, segun los casos) y escribiremos, respectivamente: I- a, I- a, I- a. Una ley logica es, pues, una formula elM
57
II·
r que es dernostrable sin recurrir a ninguna hipotesis particular y echando mano unicamente de las reglas logicas. Esta situacion parece en primera linea dar razon a una tesis filosofica que domino largamente, la cual sostenia que la logica es a priori, carece de contenido y nada tiene que ver con la experiencia. La definicion formal de ley logica dada mas arriba admite la siguiente reinterpretacion intuitiva: las leyes logicas son aqueUas afirmaciones cuya validez depende exclusivamente de las reglas del raciocinio. Tendremos ocasion de ver como tal interpretacion, por mas que a primera vista parece totalmente natural 0 razonable, en realidad no puede llevarse hasta las ultirnas consecuencias. Salta a la vista una dificultad obvia: si Ia logica es a priori y sin contenido, l.c6mo pueden llegar a sostenerse por 10 menos tres logicas fundamentales distintas? ~De que depende la no unicidad de las
«reglas del pens ami en to» 1.3.
,Y
I) Semiaxiomatizacion. Una teorfa se dice semiaxiomatizada cuando la distincion entre sus proposiciones fundamentales y sus proposiciones derivadas no es totalmente precisa.
?
Teoria de los sistemas [ormales
A estas alturas de la exposicion, disponemos de una definicion formal para la relacion de «dernostrabilidad a partir de ... ». Nuestra definicion constituye c1aramente una caracterizacion rigurosa segun el enfoque sintactico para el concepto intuitivo de c ... siguese 16gicamente de ...». La nocion abstracta de demostrabilidad interesa sobre todo por sus aplicaciones, es decir, par como entra en los discursos racionales en que suele recurrir a la demostracion, en otras palabras, par como entra en las teorias. De una manera muy natural, la Iogica, en cuanto teoria de Ia deduccion, Ilega a ser asi l;-teorfa g~n';;;l de las teorfas. ~Que teorfas? Todas las teorias que posean una estructura suficientemente rigurosa. Sin violentar en demasfa la realidad, cabe afirmar sin mas que tcda teoria posee una estructura axiomatica al menos ~mbrlonari~. En efeeto, ninguna teorfa es un eonjunto caotico 58
de afirmaciones, muy al contrario, es un sistema de proposiciones de entre las cuales pueden definirse las proposiciones que son fundamentales, privilegiadas, respecto a las demas, que proceden de aquellas por via de raciocinio. Las propos iciones fundamentales pueden ser definiciones, que introducen conceptos especificos de Ia teoria, 0 incluso tambien afirmaciones particularmente irnportantes relativas a los conceptosbase de la teoria. Las teorias cientificas, y las teorias filosoficas que son suficientemente sistematicas, gozan efectivamente de una estructura de esc tipo. Podemos distinguir !_!'esniveles de «perfeccion axiom~tica».
II) Axiomatizacion no formal. Una teoria se dice axiomatizada de un modo no formal cuando el conjunto de sus proposiciones fundamentales se hall a rigurosamente precisado; no obstante, su lenguaje no es un lenguaje formal sino un lenguaje de «contornos difusos».
Ill) Axiomatizacion formal. Una teorfa se dice axiomatizada de modo formal cuando se encuentra precisada rigurosamente desde el punto de vista lingiiistico y desde el punto de vista deductivo. Lo cual significa que su lenguaje es un len-I guaje formal, quedando asimismo precisados rigurosamente el sistema de sus proposiciones fundamentales y el sistema de las reglas de inferencia de las que se sirve. Muehas de las teorias mas importantes en el dominic matematico y ffsico se eneuentran cuando menos en el segundo nivel de axiomatizaci6n. Por contra, las teorias escasamente matematizadas suelen refugiarse en el primero. En muchas ocasiones, el transite del segundo al tercer nivel es pura cues: tion de routine formal que, en determinados casos, ni siquiera
59
vale Ia pen a dar, a no ser por puro ejereicio didactico, Sin embargo, oeurre a veces que una obra de formalizaci6n permite la clarificacion de algunas dificultades graves de orden conceptual de las teorias comprometidas. Verbigracia, en general resulta de utilidad formalizar cuando se sospeche una situaci6n de incoherencia logica, Las teorias que son objeto de estudio especifico de la 16gica se encuentran casi siempre en el tercer nivel de perfecci6n axiornatica. Lo cual tarnbien se da porque, cuando se estudian las propiedades generales de las teorias, conviene constituir un «modele abstracto» de teoria, que pueda dominarse rigurosamente en todos los detalles. i,Se trata de una violencia operada frente a teorias concretas que se han dado a lo largo de la historia? Realmente, son muchas las razones que inducen a pensar que las propiedades generales, individuadas al estudiar estas teorias-limite en el modelo abstracto, sean propiedades interesantes que, prescindiendo de ciertos para metros secundarios, se pueden transferir juiciosamente incluso a teorias concretas, al estilo de como se aplica la geometria euclidiana a la realidad ernpirica que, como es obvio, no se halla constituida por «autenticos» puntos, rectas, planos, etc. Sobre este particular se sostuvieron en el pasado posiciones muy discutibles. Asi, algunos estudiosos contrapusieron teorlas formales a teorias concretas, concluyendo que determinadas propiedades de las teorias formales (verbigracia, las propiedades sacadas a luz por los as! llamados teoremas limitativos de los que nos ocuparemos en el apartado 1.5) no val en para las teorias concretas. Mas adelante tendremos la oportunidad de ver c6mo dicha tesis se hace insostenible. En cierto aspecto seria como decir que el teorema de Pitagoras no puede aplicarse a la experiencia porque la realidad no sea un modelo geometrico abstracto. Pasemos ahora a una descripci6n precisa del concepto de teoria axiomatica formal. Cuando se estudia una teoria formal exclusivamente desde el punto de vista sintactico, prescindiendo en absoluto del problema de sus posibles significados, se
60
habla tam bien de sisfEl1a formal. Un sistema formal T queda ' I completamente determinado por tres componentes: su len- 1 \ \ guaje, el sistema de sus 'proposiciones fundamentales 0 axio. mas y, por ultimo, el sistema de sus reglas de inferencia. , Simbolicameute podemos escribir T =
V
T
La teoria en que se estudian las propiedades de las teorias formales se denomina J!1etateorfa de las teorias estudiadas, que se conocen por el nombre de teorias-objeto. Por ejemplo, la metateoria en que se han descrito las regIas de deducci6n era una teoria expresada en un lenguaje no formal (un fragmento de literatura castellana) y que empleaba a titulo de abreviacion eiertos simbolos particulares. Conviene que el lector se perciba atentamente de la distincion neta entre los signos de la teoria-objeto y los sign os de la metateoria: las constantes descriptivas y logicas, las variables y los simbolos auxiliares son signos de la teoria; el simbolo f- y las letras , tl, t2, ... , tn, ... ; a, {3, y, aI' ... , am ... son sign os de la metateoria, Estas ultimas son variables metateoricas que «se hall an en lugar» de terminos genericos y de formulas genericas de T (por ejemplo, cuando en la metateoria escribimos a entendemos: cualquier formula bien form ada de La teoriaobjeto). EI problema que se plantea a este respecto es el siguiente: i,resulta factible e interesante transformar la propia metateoria en un sistema formal? La respuesta al interrogante es positiva, pero abre la puerta a nuevos problemas que contemplan la iterabilidad del proceso de formalizacion de la metateoria. Enel plano-abstracto caben dos situaciones distintas: I
61
~-.-
I) Una situaci6n de regreso al infinito por parte de las metateorias: T (teoria-objeto), MT (metateoria), MMT (metateoria de la metateoria), MMMT, ... ----i) 2) Posibilidad de interrumpir la cadena infinita de las metateorias en el sentido de que, en un momenta determinado, un elemento de la cadena llegue a contener la propia metateoria 0 incluso la metateoria de una teoria siguiente, Por ejemplo: T, MT, MMT,
o
MMMT.
bien:
T, MT, MMT, MMMT. ~-...------'
Y entramos asi en el terreno de uno de los problemas cruciales de la 16gica: el problema de la posibilidad de una autofundamentacion de las teorias, al que daremos respuesta en los pr6ximos apartados. En la tabla 5 se expone mientras tanto un ejemplo de sistema formal de gran importancia hist6rica: se trata del sistema de la aritmetica elemental, cuya axiomatizaci6n se debe al16gico italiano Giuseppe Peano (1858-1932) y al aleman Richard Dedekind (l831-1916). Para expresar el sistema de la aritrnetica conviene emplear un lenguaje formal mas rico, desde el punto de vista expresivo, respecto a los lenguajes form ales estudiados hasta ahora. Se trata de un tipo de lenguaje que contiene simbolos para las funciones, amen de los correspondientes a nombres individuales y predicados. Nos remitimos a la tabla 4 para ver como es posible obtener, en general, tal enriquecimiento expresivo. Tengase presente que dicho enriquecimiento es solo comedo, no esencial en linea de principia, par cuanto las funciones pueden tratarse siempre como predicados particulares.
62
1.4.
Propiedades importantes de los sistemas formales
Con surna frecuencia, el tipo de analisis que se desarrolla en la teorfa de la demostraci6n tiene la siguiente forma: se definen algunas propiedades generales de que pueden gozar los sistemas formales y se estudian las condiciones necesarias y suficientes, con el objeto de que un sistema formal dado las posea. En el caso particular de ciertos sistemas formales que corresponden a teorias matematicas concretas de interes (verbigracia, la aritmetica, el analisis, la teoria de conjuntos, la geometria euclidiana, etc.) se procura individuar cudles sean las propiedades sintacticas validas para tales sistemas. Las propiedades que son objeto de estudio de la sintaxis suelen corresponder a ciertos requisitos epistemo16gicos interesantes. Avancemos un breve elenco de las principales propiedades sintacticas. Por mor de simplicidad (y por limites de espacio), nos referiremos, de ordinaria, unicamente a sistemas clasicos (es decir, a sistemas con reglas de inferencia clasicas). Por lo demas, aunque, como ya se ha visto, muchas razones induzcan a pensar que la 16gica empleada en concreto por el cientifico sea en diversas circunstancias mas debil que la 16gica clasica, a lo largo de la historia las teorias (matematicas y no matematicas) form ales se estudiaron preferentemente en su version clasica.
No
contradictoriedad
0
coherencia
Un sistema T es no contradictorio (0 coherente) cuando no existe una proposicion a de T tal que tanto a como ...,a sean teoremas de T. De ocurrir otra cosa, T es contradictorio (0 incoherente). En el caso de sistemas clasicos 0 intuicionistas, en virtud de la regia de Duns Scoto, la coherencia de un sistema equivale a la existencia de una proposici6n dellenguaje del sistema 63
I
I
no demostrable en e1 sistema (en tanto que un sistema es incoherente si y solo si toda proposicion del sistema es un teorema). Para los sistemas minimales, sin embargo, hay que distinguir dos propiedades sintacticas diferentes: la coherencia (incapacidad de demostrar contradicciones) y la consistencia (incapacidad de demostrar todas las proposiciones). Un sistema minimal puede ser consistente sin ser coherente. Como se ha vista, esta distinci6n corresponde a una profunda exigencia intuitiva, fa exigencia de poder admitir contradicciones locales, sin que estas tornen ipso facto «inconsistentcs» (en el sentido tecnico e intuitivo) a toda la teorfa. Completud
s in t a c t ic a
Un sistema T es sintacticamente completo cuando para tad a proposicion a, T es capaz de demostrar a 0 bien -. a. La completud corresponde a un requisito epistemologico muy importante; un sistema completo se halla, en efecto, con capacidad para decidir (en el sentido de demostrar 0 refutar) cualquier problema que pueda expresarse en su lenguaje. Riqueza
(Ricchezza)
Un sistema T es rico cuando con tad a proposicion existeneial 3x,a(x,) que sea un teorema de T, T contiene una constante individual Ca tal que a(x,jco) sea tambien un teorema de T. Con otras palabras, todas las veees que T haga una afirmacion, posee entonces tam bien un nombre para ejemplificar dicha afirrnacion. Contrariamente al caso anterior, la riqueza no corresponde a un requisito epistemologico particularmente comprometedor. Se trata unicamente de garantizar que la teoria sea «bastante rica» desde el punta de vista expresivo, a saber, que contenga todos los nombres individuales que Ie pueden servir para ejemplificar sus afirmaciones.
l
Decidibilidad
T es decidible cuando el conjunto de sus teoremas es un eonjunto decidible, es decir, siempre es posible para toda ( proposicion de T decidir en un numero finito de. pasos si se trata 0 no de un teorema de T. Intuitivamente, la decidibilidad de un sistema equivale a la posibilidad de mecanizar la solucion de cualquier problema que se exprese en el lenguaje del sistema. Si T es decidible, al menos en linea de principia, siempre resulta posible construir un calculador que, en un numero finito de pasos, aporte la solucion para todo problema capaz de expresarse en T. Axiomatizabilidad Un sistema T es axiomatizable cuando existe un sistema T' con los mismos teoremas de T, y el eonjunto de los axiomas de T' es deeidible. La axiomatizabilidad garantiza la posibilidad de «conocer» efectivamente el sistema con el que se las tiene que haber. Resulta obvio que si no estamos capaeitados para responder en un numero finito de pasos a la pregunta «una proposicion dada l.es 0 no un axiorna del sistema ?», no podemos decir en verdad que eonoeemos el sistema. Los conceptos de riqueza y de completud sintactica se hallan involucrados en dos teoremas importantes de la teoria de la dernostracion, el teorema de Henkin y Hasenjaeger sobre las extensiones ricas y el teorema de Lindenbaum sobre las extensiones completas. Antes de enunciarlos, recordemos que por extension de un sistema T se cnticnde un sistema T' que contenga entre sus teoremas todos los teoremas de T. Teorema sabre las
de Henkin extensiones
l'
I
Ii
y Hasenjaeger ficas
Todo sistema formal coherente admite una extension rica eoherente. En otros terrninos, siempre es posible «enrique- 1/ cer» un sistema sin perder la coherencia. '.
65
64 5.
Dalla Chiara.
Teorema de Lindenbaum sabre las extensiones
completas
La definicion _geu_npredicado
P'; tiene
en general la forma:
,
.'j
Todo sistema formal coherente admite una extension coherente completa. Tengase presente que el teorema de Lindenbaum no garantiza la posibilidad de conservar una propiedad eventual de axiomatizabilidad del sistema de partida. Resulta, por tanto, verdadero, que siempre se puede completar de forma coherente un sistema coherente (es decir, hacer al sistema capaz de resolver cualquier problema que pueda expresarse en el 1 mismo). Pero ella suele darse en general con mengua de la cognoscibilidad del sistema en cuesti6n. Hasta el momenta nos hemos interesado siempre por las propiedades de los sistemas formales que involucran la comIponente deductiva. Otra componente fundamental de todo dislcurso racional riguroso es la definitoria. Finalidad de la acti, vidad definitoria es la introducci6n de nuevos complejos linguisticos (0 expresiones) que tienen por (mica mision simplificar las posibilidades expresivas y que, en linea de print cipio, pueden siempre eliminarse al no permitir la demostra\ cion de teoremas «substancialmente» nuevas. Los caracteres fundamentales de las definiciones son consiguientemente los dos siguientes:
\l
I
----?>
I) Eliminabilidad de las definiciones. Toda expresion definida puede ser substituida en cualquier sitio por la correspondiente expresi6n definiente.
2) No creatividad de las definiciones. Los teoremas que no contienen expresiones definidas son siempre demostrables sin el uso de definicioues. Con otras palabras, las definiciones no permiten demostrar proposiciones
--ry.
nuevas expresadas en ellenguaje anterior; es decir, no determinan novedades deductivas, sino unicamente novedades expresivas. 66
donde la formula a (tambien llamada definiens) no contiene el predicado p~ (llamado tambien definiendum). Esta ultima
condici6n,
intuitivamente,
garantiza la no circularidad de Ia
definicion. La definicion de una constante individual a, puede tener la forma:
(i '0)
(en cuyo caso se habla de definicion explicita). mismo, Ia forma:
0 bien, asi-
a(x/a,)
a condicion de que a(x) no contenga a, y ademas sea demostrable la existencia de un unico individuo que goce de la propiedad descrita por a(x) (es decir, sea un teorema 3y[a(y) /\ 'v'z(a(z) -+ z = y)]). Definiciones de este tipo se denominan tambien implicitas. La oportunidad de recurrir a definiciones implicitas se verifica en todas las circunstancias en que la teoria de partida no tiene suficientes nombres indivi-
duales. Cuando consigue entonces demostrar Ia existencia de un {mica individuo que goza de una determinada propiedad, puede introducir par definicion un nombre para este individuo. Una extension definitoria de un sistema formal T es un1
sistema formal T' cuyos axiomas son todos los axiomas de T un cierto sistema ordenado de definiciones, en el que todo definiens contiene solo expresiones definidas ante-
y, ademas, riormente
0
bien expresiones de T.
Un predicado (0 una constante individual) se dice definible en un sistema T cuando existe un teorema de T que tenga la forma de una definicion para dicho predicado (0 para dicha constante). 67
A veces, las definiciones tienen una forma condicional: se introduce una cierta expresion por definicion si y solo si se verifica una determinada condicion. Ejemplo de definicion condicional, en aritmetica, es la definicion de la operacion de division: y of 0-> [x/y = z .... z·y =x)
Ilego a concebir de una forma harto precisa la posibilidad de una «aritmetizacion de los lenguajes». Sea entonces T un sistema suficientemente potente. Re- ' sulta que T, ademas de hablar de numeros naturales, de sus I propiedades y relaciones, esta capacitado para hablar tam bien de sus propios signos, de sus propiedades y relaciones. Y ella en virtud de que siempre es posible asociar a los signos de T
En el caso en que y sea igual a 0, se dice que la operacion de division es «indefinida». Se puede construir una teoria rigurosa para las definiciones
como signos) de forma tal que las relaciones entre signos
condicionales (que son muy frecuentes en las teorias cientfficas) modificando ligeramente las condiciones generales sobre definiciones, estudiadas parrafos mas arriba. 1.5.
Los teoremas
limitativos
Consideremos ahora una clase particular de sistemas formales, muy importantes por cuanto incJuye las versiones
formales de la mayoria de las teorias cientfficas matematizadas. Se trata de sistemas formales llamados suficientemente
\ potentes.
Se dice que
un siStemaes'suJicienteme7zte
pote7lte
cuando tiene capacidad para expresar y demostrar por 10
menos cuanto expresa y demuestra la aritmetica
I Resulta I
elemental.
I
numeros
estudiadas
(en caso limite, puede usar los propios por la sin taxis se transformen
mimeros
asi en relaciones
entre numeros estudiadas por la aritmetica. En particular ocurre que para todo termino t y para toda formula a pertenecientes al sistema T, T contiene un nombre de ell os que
indicamos, respectivamente, con los sign os f y a. Mas: la mayoria de los conceptos sintacticos, verbigracia, los conceptos de formula, axioma, demostracion de, teorema, y cohe-
rencia, se hacen definibles mediante formulas de T (formulas que indicamos, respectivamente, con FormT(x), AxiT(x), Dem-t», y), TeorT(x), COheI'T)' Esta situacion de autorreferencia se realiza de una manera muy fuert~, sancionada por el teorema de fa diagonalizacion:
para cualquier propiedad que exprese T, T contiene siempre una proposicion que afirma que el sistema goza de dicha propiedad.
obvio que muchas teorfas matcmaticas y practica-
mente todas las teorias fisicas satisfacen este requisito, rigu-
rosamente definible con criterios formales.
Teorema
estan capacitados para hablar de si mismos, realizando por
Para toda formula a(x) de T se puede construir efectivamente una proposicion y de T tal que
Los sistemas suficientemente potentes gozan de Ulla caracteristica singular: por 10 menos dentro de ciertos limites,
tanto una suerte de autorreferencia. A este descubrimiento -llegaron, de un modo explicito y sistematico, aunque independientemente, alla por 1930, el logico austriaco Kurt Godel
y el polaco Alfred Tarski. Pero la idea hunde sus origenes -e-; epocas mas rernotas: segu~ se via en la «Introduccion», estaba plenamente conscicnte de ella Leibniz, por ejemplo, quien 68
de
la
diagonalizaci6n
fT
y .... a(x/Yl
[Cuidado: no hay que confundir y con y! y es un nombre individual, y es una proposicion cuyo nombre en el sistema
T es
y.
69
II
Por ejemplo, si a(x) expresa la propiedad de «ser un mimero pam, el teorema de la diagonalizacion garantiza la existencia de una proposicion que afirma «yo soy un numero pam. EI mecanismo que se emplea para demostrar el teorema es una tecnica caracteristica que «funciona» en las situaciones de autorreferencia. Cantor la ideo para otros fines (exclusivamente matematicos), por 10 que recibe tarnbien el nombre de «metodo de la diagonal de Cantor», El teorema de la diagonalizaci6n comport~ C.9.lJ10 consecuencia inmediata la afirmacion de algunos limites de los_ -sistemas formales: resulta que la capacidad para «hablar de sf mismos» es, en el ambito de la coherencia, incompatible con tipos de capacidad. ~ otr05 Limites expresivos suficientemente
de potentes
los
sistemas
Un sistema suficientemente potente y coherente T no puede contener una formula P(x) tal que para toda proposicion a de T, la equivalencia a+-> (J(x/a) sea un teorema de T. En otros terminos, T no puede expresar una propiedad tal que: dicha propiedad valdra para una proposicion generica de T si y solo si vale dicha proposicion. En efecto, supongamos que T exprese una formula P(x) de este genero (en virtud de la cual se tenga: f- a+-> (J(x/fi), para toda a). Entonces T del teorema afirme no f- y +->P(x/y) T
T
expresa tambien _, P(x) y, por tanto, en virtud de la diagonalizacion, debe existir una y que gozar de p. Entonces vale simultancamente: y f- Y +-> _, P(x/J!), es decir, y afirma aI mismo T
tiempo gozar y no gozar de la propiedad descrita por P(x). De donde f- P(x/y) <--+ _, P(x/y) que es una contradiccion. T
l,Que interes puede tener ese genera de combinatoria expresiva? Un gran interes intuitivo. Aunque estemos en un ambito de pura sin taxis, podemos desde ahora poner de relieve que una definicion eventual de verdad por las proposi70
ciones de T se comportaria exactamente como nuestra
p,
obedeciendo a la condiciou: para toda proposicion a de T, ii es verdadera si y solo si a. Ya sabemos que esta es una vieja definicion que procede de Platen y Aristoteles ; como veremos en el capitulo proximo, esta tradicional concepcion filosofica de la verdad se puede transformar en una definicion formal rigurosa. Ahara bien, segun se dijo, los griegos eran conscientes de que el concepto de verdad puede producir «malos trances» logicos, descubriendo la farnosa antinomia del mentiroso que, en version rigurosa, puede derivarse construyendo, por ejempIo, Ia siguiente proposicion : «La proposicion impresa en la pagina 71, lineas 13 y 14 del libra La Logica (Labor 1976) no es verdadera». Se deduce facilmente que la proposicion en cuestion, que afirma la prapia falsedad, es verdadera si y solo si no es verdadera. La misma posibilidad de expresarla da lugar a una contradiccion. Pero nuestra proposicion tiene exactamente la estructura formal de la y construida recientemente, que afirmaba a un tiempo gozar y no gozar de la propiedad descrita por P(x). Volveremos a replantearnos este problema mas adelante, cuando estudiemos semantica. Aqui, desde un punto de vista sintactico, nos ceiiimos a poner de relieve un inevitable limite expresivo de los sistemas formales suficientemente potentes y coherentes: tales sistemas no se hallan capacitados para definir un predicado que se com porte como se comportaria un razonable predicado de verdad para el sistema.
Limites
deductivos
Se demuestra que todo sistema T, suficientemente potente y axiomatizable, se encuentra siempre capacitado para definir el predicado TeoI'T(x) y por 10 tanto [expresando tarnbien 71
l
..., TeorT(x)], por el teorema de la diagonalizacion, expresa siempre una proposici6n y que afirma la propia indemostrabilidad [(f- y +-> ..., TeorT(x/Y)]' Razonando sobre las caracT teristicas de esta f6rmula y, se demuestra que si y fuera un teorema del sistema T entonces T seria incoherente. Por 10 dernas, intuitivamente incluso, ella resulta justificable: y afirma la propia indemostrabilidad; si acaso fuera demostrable se originaria
representa la version en T de la afirrnacion «si T es coherente, entonees y es indemostrable», afirmaci6n que, como se
vio, es demostrable, de la metateoria de T. Y si la metateoria ha sido «traducidas de modo natural en la teoria, tal demostraci6n metate6rica resulta reproducible en la misma teoria. En conclusi6n, los resultados que hemos descrito pueden
resumirse en los enunciados de los tres teoremas siguientes, que reciben en la Iiteratura 16gica las denominaciones respectivas de teorema de Tarski, primer teorema de Giidel y segundo teorema de Godel.
con toda una contradicci6n.
Resulta que no s610 y sino tambien su negacion ..., y es indemostrable. Por consiguiente, y es sintacticamente indecible en T y el sistema T es, por ende, incompleto. En realidad, para demostrar que _, y no es un teorema de T, es necesario emplear una hipotesis mas fuerte que la mera coherencia de T. Se trata de una hip6tesis de _w-col1!.c_ rencia: T es w-coherente cuando es incapaz de demostrar que: 3, . .. gozan de una propiedad determinada y que al \ propio tiempo existe un numero natural que goza de la negaci6n de dicha propiedad. A la hip6tesis de w-coherencia se puede renunciar (como demostr6 Rosser en 1936) con perdida, sin embargo, de algunos requisitos importantes que, desde un punto de vista intuitivo, contemplan la «naturalidad» de la traduccion de la metateoria en la teoria-objeto. Adoptan do una teoria «innaturab (0 como tambien se dice «no can6nica») puede construirse una proposicion que afirma de modo «no natural» la propia indemostrabilidad y que resulta indecidible bajo la mera hip6tesis de la coherencia de T. Dado el caso que se adopte una traducci6n «natural», la proposici6n y resulta particularmente interesante por su contenido, por cuanto afirma no s610 la pro pia indemostrabilidad, sino tambien la coherencia del sistema. Con otras palabras, la equivalencia entre y y Coher- es un teorema de T (f- Y +-> CoherT)' En efecto, la implicaci6n y -> Coher.; es una T ejemplificacion, expresada en T, del principio de Duns Scoto (si una proposici6n es indemostrable, el sistema es entonces coherente). La implicaci6n inversa Coher.; -+ y, por contra,
Teorema
Tarski
Un sistema suficientemente potente y coherente no puede expresar una f6rmula flex) para la que valga: 'T a <-+ fl(xfO-) para toda proposici6n.
-on,
72
de
Primer
teorema
de
Godel
Todo sistema suficientemente potente,
coherente es sintacticamente
Segundo
teorema
de
incompleto.
y
axiomatizable
y \
Godel
Todo sistema suficientemente potente,
coherente es incapaz de demostrar una proposici6n que exprese, de forma canonica, Ja coherencia del sistema.
. Desde un punto de vista intuitivQ.,___£] ..§ignifisado mas profundo de losteo-remas Iimitativos es haber sacado a Iuz una si!uaci6n de_incompatibilidad entre algunos importantes requisitos epistem~16gicos, cabalmente los siguientes: a) coherencia; b) maxima capacidad y seguridad deductiva (representadas
" ~
I
axiomatizable
por condiciones formales de completud y axiomatizabiJidad); 73
I
iJ
c) m~xi~a riqueza expresiva, con capacidad de «autodescnpcion»,
Esta situaci6n de incompatibilidad icontempla s610 los sistemas formales 0 tambien las teorias concretas (no for. males)? Durante mucho tiempo, determinadas interpretaciones filosoficas hicieron usa de los teoremas limitativos como prueba de la existencia de una contraposici6n entre formalismos e intuici6n. Se hablo del «ajedrez de la forrnalizacior» y de la demostracion de una superioridad de la intuici6n humana respecto a las inteligencias mecanicas, que son asimilables a los sistemas formales. En realidad, tales interpretaciones se manifestaron un tanto superficiales. No se acierta a comprender, efectivamente, como las teorias intuitivas (no forrnalizadas) puedan ser declaradas inmunes de la situacion de incompatibilidad puesta en evidencia por los teoremas limitativos. Y no se debe al azar el que las antinomias por autorreferencia, tal la antinomia del mentiroso, surgen ya a unnivel intuitivo. Mas que revelar un limite del pensamiento formal, los teoremas limitativos dilucidaron la presencia de eiertas dificultades serias del conocimiento en general. La formalizaci6n perrnitio descubrir donde yacian exactamente tales dificultades y transformar asi, en informaciones positivas, meras paradojas del pensamiento intuitivo.
Il
1.6.
II
Demostraciones
p
\metateoria de P C.iP;:Z de oemoctrer que P es coherente
~.,
de coherencia
EI segundo teorema de Giidel puso en claro la imposibilidad de una autojustificacion sintactica de teorias coherentes; en otros terrninos, la imposibilidad de interrumpir el regreso al infinito de las metateorias descritas aI final del apartado 3. Ello nos plantea un problema: icuales son las hip6tesis extraordinarias que es menester realizar con el fin de demostrar la coherencia de un sistema formal correspondiente a una teo ria rnatematica «importante», verbigracia, el sistema P de
74
Ia aritmetica ? Es decir, l,cuanto se debe reJorzar P para demostrar que P es coherente? Pudiera suceder que una demostracion de Ia coherencia de P no exija necesariamente todos los instrumentos conceptuales legitimados por P, y, no obstante, exija al propio tiempo cualquier principio que no se halle justificado por el propio P. Una situacion de tal Indole puede ilustrarse graficamente del siguiente modo:
c'
No cabe duda que un problema del maximo interes estriba en Ia minimalizaci6n de los medios teoricos empleados para demostrar Ia coherencia: l,cmiles son los instrumentos «mas de biles» que permitan demostrar la no contradictoriedad de Ia aritmetica ? A este proposito, el primer resultado de interes se obtuvo en 1936 por el 16gico aleman Gerhard Gentzen, quien demostro la coherencia de P sirviendose de un principio aritmetico que, a pesar de no hallarse justificado en P, es, no obstante, «muy ann» a los principios que P Iogra justificar. A partir de 1936 se han ideado otras muchas demostraciones de coherencia de Ia aritmetica, en ocasiones un tanto dispares entre sf y caracterizadas por el usa de instrumentos teoricos de naturaleza harto diferente. Curiosamente, todas estas demostraciones, par mas que a primera vista pueda no aparecer evidente, involucran de alguna forma el principio aritmetico empleado por Gentzen.
75
Queremos ilustrar ahora de forma sencilia e intuitiva este principio. Es sabido que el conjunto de los mimeros natu-
\ rales, como por 10 demas cualquier otro conjunto infinito, puede ponerse en correspondencia biunivoca con una parte J J
propia: existe ya una parte del conjunto de los numeros naturales que esta constituida por tantos elementos cuantos son los numeros naturales (por ejemplo, los numeros pares son tantos cuantos numeros naturales hay, a pesar de constituir
un subconjunto propio del conjunto de los naturales). Lo cual significa que siempre resulta posible «volver a barajar» los numeros confiando solo a una parte de los mismos el «papel»
de mimeros
naturales
y reservando
eventualmente
otros papeles a los restantes. Un ejemplo de «barajamiento» muy sencillo es el siguiente: un orden en el que preceda antes el cero que todos los mimeros pares, y luego todos los nu-
meros impares: 0,2,4,6,8,
... , 1,3,5,7,9,
...
En el ejemplo de marras, los mimeros pares bastan para
representar todos los mirneros naturales, en tanto que los numeros impares pudieran representar otros entes maternaticos, verbigracia, el conjunto de los mimeros transfinitos; tendriamos asi que el 1 representaria el primer numero transfinito (que suele indicarse habitualmente con la letra w)3.
Entre los numeros transfinitos hay algunos que gozan de caracteristica : cuando se elevan a co dan lugar a sf mismos (XW ~ x). Los mimeros de este tipo se han reconocido tambien por s-numeros, y el s-mimero mas peuna particularidad
quefio viene indicado por eo. Volviendo a barajar los numeros
naturales de una forma mucho mas complicada de 10 que se hizo mas arriba, resulta que tambien eo puede representarse como un numero natural. EI principia aritmetico empleado fVr.a teorIa de los numeros transfinitos fue elaborada en la segunda mitad del siglo XIX por Georg Cantor.
76
por Gentzen no es otro que el principio comun de inducci6n matematica
extendido
hasta el eo. A saber, el principia
si-
guiente: supongamos que una propiedad [descrita por una formula a(x)] cuando valga para todos los numeros menores que un numero
cualquiera y, menor que eo, valga tambien
para y. En tal caso, dicha propiedad vale para todos los numeros men ares que eo. (\1Y[Y
< 60 -+ \1z(z < Y -+ (a(z)
-+
a(y»)]-+
\1Y[Y
< 60 -+ a(y)]).
La induccion matematica, hasta llegar a eo. l,representa el instrumento minimal necesario para la demostracion de la coherencia de la aritmetica ? Esta conclusion no puede sostenerse sin mas, aunque hay por 10 menos dos circunstancias que parecerian confirmarla: la presencia de una eo-induccion en todas las demostraciones interesantes de coherencia de la aritrnetica ; y Ia demostrabilidad en la aritmetica de la indue-
cion hasta llegar a todo numero menor que so. No obstante, Solomon Feferman demostro en 1962 que la 60-induccion es, en cierto sentido, mas fuerte que la simple hipotesis de la no contradictoriedad de la aritmetica ; por 10 tanto, se trata de un instrumento, en rigor no indispensable. La presencia de este extraiio numero transfinito en las demostraciones de no con-
tradictoriedad de P representa pues, hoy por hoy, una cir-
cunstancia de caracter cas! empirico, para la que no se canoce todavia una explicacion teorica completamente satisfactaria. Cuando pasamos de la aritmetica a teorias matematicas mas comprometidas, cual el analisis, puede obtenerse una dernostracion de coherencia a traves del uso de un principia de induccion mas fuerte, a saber, una induccion hasta un
numero transfinito mayor que
EO
(igualmente representable,
sin embargo, como un numero natural). Desde un punto de vista intuitivo, estos numeros estan/ midiendo la fuerza de los instrumentos canceptuales neccsarios
para la justificaci6n sintactica de una teoria determinada. Es
como
si estuviese
atribuyendo
un «precio»
a las distintas
77
1\
teorias matematicas, decidiendo poco a poco cuanta «fianza matematicai debe invertirse para aceptar la aritrnetica, el analisis 0 la geometria. Perc, una situacion
de este tipo l,na tiene todos los carac-
teres de la circularidad? A tal fin surge inmediatamente la imagen de un grupo de escaladores que, en la cord ada, se
apoyan unos en otros sin estar nadie «a resguardo».
Curio-
samente, el metoda axiomatico, que en sus orIgenes se ideo , tambien para impedir toda forma de circularidad en el con-
unto I c6mo
de las teorias maternaticas,
demostr6
2.
aislado
representa un punto
de vista intuitivo
2.1. Fundamentacion: par Frege de la teoria del significado
un proceso
lineal (en el que no se admiten las circularidades), el complejo de las teorias matematicas (y mucho menos el complejo de las
Suele atribuirseJe caracter de acta de nacimiento de la moderna teoria 16gica del significado al opusculo de Frege Sentido y referencia, que se public6 en 1892. En este articulo, Freguntrodujo una di~tinci6n fundamental entre dos clases de significados de las configuraciones linguisticas: los signiftcados como extensio&!.s que representan la referenda con-) creta de las configuraciones linguisticas y los significados como intensiones, que representan el contenido conceptual. En reali~ \
teorias cientificas) no admite que se Ie represente como un sistema formal unico,
Las razones generales por las que ciertas relaciones de
circularidad entre sf
SOll,
en muchos
casas, utiles y fecund as
permanecen bastante obscuras. En tanto que disponemos de condiciones formales satisfactorias que nos permiten describir las relaciones internas en una teoria singular, no podemos
I
dad, segun es sabido, la distinci6n entre extension e intension
decir que lo mismo valga en el caso de la totalidad de las Las leyes que gobiernan la «dialectica- entre las distintas teorias yacen en el fondo, hoy por hoy, desconocidas en su mayor parte.
I teorias.
es muy antigua: ya se descubre claramente en la 16gica de los estoicos. Sin embargo, unicamente despues de Frege se desarrolla una semantica rigurosa y sistematica fundada sobre tal distinci6n. lEn que consisten las referencias concretas y los contenidos conceptuales de las configuraciones lingiiisticas? Consideremos (res clases de palabras particularmente importantes de un lenguaje, cuyos elementos
r,
vedad expresiones:
I
denominaremos
J) los nombres individuales; II) los predicados; III) las proposiciones.
78
DEL SIGNIFICADO
contrariamente
una forma de circularidad resulta ineliminable en el \ pensamiento matematico. En tanto que cada sistema formal
I
TEO RIA EXTENSIONAL
por mor de bre-
79
Ii
En el caso de los nombres individuales y los predicados, resulta bastante natural decidir en que estriban, respectivamente, las extensiones y las intensiones. Se puede asumir razonablemente que Ia extensi6n de un nombre consista en el individuo concreto designado por tal nombre (verbigracia, la extension de «Juan Perez» es el individuo que neva el nombre de «Juan Perez»), Igualmente, que la extension de un predicado de un argumento sea el conjunto de tcdos los individuos que gozan de tal predicado (verbigracia, la extensi6n del predicado «hermosos sea el conjunto de todos los individuos hermosos); y, asimismo, que la extension de un predicado de dos argumentos sea el conjunto de todos los pares ordenados de individuos que gozan de dicho predicado, es decir, una relacion con dos argumentos (por ejemplo, la extensi6n del predicado «padre de» sea el conjunto de todos los pares ordenados de individuos cuyo primer elemento sea padre del segundo elemento). Y, en general, que la extensi6n de un predicado de n argumentos estribe en un conjunto de zz-plas ordenadas de individuos (es decir, una relaci6n de n argumentos). Las intensiones de un nombre y de un predicado son, por contra, los conceptos que las dos expresiones rnanifiestan. En el caso de las proposiciones, en tanto que es natural establecer que la intensi6n consista en el contenido conceptual expresado por Ia proposici6n (el «pensamiento», que decia Frege; 0 el «Azx:r61J», como escribian los estoicos); mas dificil resulta determinar en que estriba la referencia con creta de una proposici6n. La propuesta avanzada por Frege, que despert6 en un principia eierta pcrplejidad, pero que mas tarde se impuso decididamente, debido especialmente a sus ventajas tecnicas, fue la siguiente: Ia extension de una proposici6n es su valor (0 estado) de verdad, es decir, la circunstan cia de que la proposici6n en cuesti6n sea verdadera 0 fa/sa. EI origen de la perplejidad debese al hecho de que, de este modo, llegan a coincidir en el significado extensional dos proposiciones, verbigracia «2 + 2 .. 4» y «estamos en el
afio 1267» (en cuanto que ambas son falsas). Y ella parece, en primera linea, contrario a la intuicion y al uso comun. Este tipo de solucion, no natural en apariencia, viene sugerido par un criteria general que guia toda la construecion de la semantica fregeana y que llamaremos «criteria de Frege». Se trata del principio siguiente:
Criterio
II
de
Frege
La extensi6n (0 la intensi6n, segun) de una expresion no debe cambiar cuando en la expresi6n se substituya una SUb.expresion par otra que posea la misma extension (0 Ia misma intension, segun), Evidentemente, si adoptasernos Ia solucion segun la cual la referencia concreta de una proposici6n es el pensamiento expresado par la proposicion, el criterio de Frege resultaria, en paridad con todas las otras condiciones, facilmente violentado. Por ejemplo, las dos proposiciones «Manuel de Falla es Manuel de Falla» y «el autor de La vida breve es Manuel de Falla» resultarian tener distintas extensiones, aun habiendose obtenido una de otra por substitucion de una subexpresian can expresi6n equiextensional, La dificultad estriba en que el criterio de Frege lIega a violarse, en determinadas circunstancias, incluso cuando se adopt a por convenci6n que la extension de una proposicion sea un valor de verdad. Par ejernplo, las dos proposiciones: «Antonio sabe que Manuel de Falla es Manuel de Falla» y «Antonio sabe que Manuel de Falla es el autor de La vida breve», pueden tener distintas extensiones, a pesar de haberse obtenido una de otra mediante una substituci6n que respeta el criteria de Frege. Violaciones de este tipo, como conocian ya los medievales, se verifican facilmente siempre que se las tiene uno que haber con proposiciones indirectas. lDebese concluir, pues, que en ciertos casas el criteria de Frege puede falsearse ? Dado que Frege pretende salvar la
80
81 6.
Dalla Chiara.
Ii
validez universal de su criteria, habra que concluir que las Ifextensiones y las intensiones de las expresiones no estan u111~vocamente determinadas, sino que dependen del contexto. Por
ejemplo, asi como en el caso de la proposicion «Manuel de Falla es el autor de La vida breve», la extension
de la propo-
sicion es su valor de verdad; en el caso de la proposicion
indirecta «Antonio sabe que Manuel de Falla es el autor de La vida breve», la extension de la subexpresi6n «Manuel de Falla es el autor de La vida breve» no es su extension ordinaria, es decir, su valor de verdad, sino el pensamiento que la proposicion expresa, a saber, 10 que en un contexte directo constituiria su intension. De esta forma se obtiene un sistema multiple de extensiones e intensiones: cada expresi6n tiene una extension y una intension ordinarias. Pero, en ciertos contextos, Ia extension de una expresion puede ser, antes que su extension ordinaria, su intension ordinaria; por 10 tanto, surge Ia necesidad de constituir una nueva intension. Y el proceso puede iterarse. Obtenemos aSI una situacion cuya diagramacion esquernatica puede ser la siguiente: Intenslcn;
.xt.nS;6n~
=
extensrcn,
intensiorq = extension,
_-------
__ __
_
expresidn
Esta extrafia multiplicacion de entidades semanticas reprcsenta una de las grandes dificultades de la teoria fregeana del significado, pero no la mas grave. La dificultad de mayor notabilidad estriba en la vaguedad de la definicion de intension. ~Que son los conceptos? ~Como se les puede dar un tratamiento riguroso ? Despues de Frege, mientras Ia teoria
82
de los significados como extensiones ha sido ampliamente desarrollada en forma matemittica, la teoria de las intensiones perrnanecio durante largo tiempo en el mismo punto exacto en que la dejara el propio Frege. En los proximos apartados describiremos los desarrollos mas importantes de la semantica extensional; en el capitulo 3 analizaremos las teorias recientes sabre Ia intension ..
2.2.
La semontica
tarskiana
Entre Sentido y referencia y la fundamentacion rigurosa de la semantica extensional pasaron unos cuarenta afios. No obstante, en esc periodo, aunque no existia todavia una teoria rigurosa del significado, se usaban muy a menudo coneeptos sernanticos, de modo informal, en Ia demostracion de algunos metateoremas importantes de la logica. EI gran sistematizador de Ia semantica extensional seria Alfred Tarski, qui en, en una serie de memorias escritas entre 1930 y 1936, publicadas primero en polaeo y luego en aleman, constituye Ia teoria maternatica de los significados como extensiones. Asumamos entonces el punto de vista extensional, es decir, convengamos en iden!ific.ru:..jQ_s_signif_icado-.Sde l~pr_e§iQDes con _8_U_S extensiones en el sentido de Frege. Tarski se propone responder a los siguientes problemas: ~que significa asociar un significado a una teoria, es decir, interpreter una teoria? i,Que significa que una proposicion sea verdadera respecto a una interpretacion dada y que una interpretacion verifique los axiomas de una teoria ? i,Que es exactamente una \ verdad logica'l Las respuestas de Tarski son sumamente naturales. Se trata de expresar en «buena caligrafia formal» los :..........: principios que el pensamiento comun y el pensamiento cientifico aplican continuamente, incluso de un modo no ex-, plicito. Comencemos por el primer problema: l,que quiere decir interpretar una teoria 0 simplemente un Ienguaje? Es inmeI',f
83
I
diato responder que interpretar \ _ minar dos componentes:
11 el
'---I>
como
universo
de las cosas
un lenguaje significa deter-
de que se intenta
tarnbien se dice, el universo del discurso;
~)_Ios significados que asumen en este universo tintas constantes descriptivas del Jenguaje.
hablar
las
0,
dis-
Por mor de simplicidad supongamos que nos enfrentamos con un lenguaje elemental L. En tal caso, la operacion de interpretacion de L puede describirse abstractamente a traves de un par ordenado
individual v(ai) per-
2) el significado que v asocia a un predicado de un argumenta p~ es un conjunto de individuos deJ universe V; con otras palabras: v(Pt} es un subconjunto de U (en forma: i v(Pj) ~ U). EI significado que v asocia a un predicado de dos argumentos p(2 es un conjunto de pares ordenados de individuos de U. Con otras palabras: v(Pi) es un subconjunto de todos los pares ordenados de elementos de U (en forma: v(Pi~ U2, donde U2 representa el conjunto de todos los pares ordenados de elementos de U). En general, el significado que v asocia a un predicado de n argumentos es un conjunto de n-pla ordenados de individuos de U. Con otras palabras: v(P.") es un subconjunto del conjunto de todos los n-pla de elementos de U (en forma: v(P:l ~ U., donde U. representa el conjunto de todos los n-pla de elementos de U).
P:
84
La terminologia tecnica prefiere hablar de realizacion del lenguaje Lode estructura asociada a L antes que de interpretacion de un lenguaje L. Hemos lIegado al punto en que podemos definir el concepto de verdad de una proposicion d, un lenguaje L respecto a una realizacion dada < U, v) del lenguaje L. Para mayor claridad, comencernos por examinar el caso de una proposicion de forma muy sencilla; par ejemplo, la siguiente: Pia, (que puede representar la afirrnacion «Julio es prudente»). ~Que condiciones se exigen para que Ptal sea verdadera en la interpretacion < U, v)? Intuitivamente nos sentimos inclinados a responder; la proposicion Pial es verdadera en la interpretacion fijada cuando el individuo que es el significado del nombre a, goce efectivamente de la propiedad que es el significado del predicado Pi (en nuestro ejemplo: la proposicion «Julio es prudente» es verdadera cuando realmente Julio es prudente). Siguiendo estas indicaciones y puesto que hemos convenido en indicar el significado de al Y PI en Ia interpretacion respectivamente' con v(a,) y v(Pj) podemos escribir entonces:
Pia, es verdadera en la interpretacion pertenece a v(PD.
si y solo si v(a,)
EI lector habra advertido como no hemos hecho otra cos a que aplicar la definicion aristotelica de verdad. EI gran merito de Tarski fue el de transformar en una definicion maternatica rigurosa una idea intuitiva de verdad, profundamente enraizada en el pensamiento comun y del que se sirven continuamente nuestros razonarnientos, si bien con frecuencia de modo inconsciente, Hasta ahora s610 hemos determinado 10 que significa «verdad» solo en el caso de proposiciones de forma particularmente sencilla. En proposiciones mas complejas, que se construyan mediante aplicaciones de operadores logicos a partir de proposiciones atornicas, podernos, sin embargo,
85
I
«razonar» de modo natural aprovechando el significado intuitivo de los operadores logicos. 0 sea, aplicamos un tipico procedimiento definitorio por induccion sobre el numero de los operadores logicos que ocurren en las proposiciones para las que queremos definir el concepto de verdad. En primer lugar, definamos la verdad para proposiciones atomicas, con cero constantes 16gicas; en un segundo tiempo, demos par supuesto el conocimiento del significado de «verdad» para las proposiciones mas simples y, sobre esta base, determinemas las condiciones de verdad para las proposiciones mas complejas. Convengamos en abreviar Ia expresion «la proposici6n a es verdadera respecto a la interpretacion R = con 1= a y analicemos los casos siguientes. R 1) sea a una proposicion atornica. En tal caso a tiene una de las formas siguientes: a, = aj; P~ail'" ain. Definamos entonces: 1= a, = a, si y s610 si el individuo v(a,) es identico al indiR
viduo v(a,); 1= P;:'all ... a,,, si y solo si la n-pla de individuos R
v(a,,,» pertenece
a v(P;;').
2) sea a una proposicion compuesta mediante conectivas a partir de otras proposiciones. En tal caso, a tiene una de las formas siguientes: +t (3, (3 II y, (3 V r, (3 -+ ,)" (3 <-> y; y supongamos que se conocen las condiciones de verdad para (3 y y. Pongamos entonces:
= -,(3 si y R
solo si no
1= (3
.R
(...., (3 es verdadera cuando (3 no es verdadera); 1= (3 II y si y solo si 1= (3 y 1= y R
((3 II y es verdadera 86
R
cuando
R
(3 y y son verdaderas
F= (3 V y si y solo si 1= (3 0 bien R
v y
((3
es verdadera
n
cuando
1= y R
(3 es verdadera
1= (3 --+ y si y solo si 0 no 1= (3 0 bien f= y R R R
0 lo es y);
((3 -0 y) es verdadera cuando (3 no es verdadera 0 bien es verdadera la proposicion y); 1= (3 <-> y si y .solo si (1= (3 y 1= y) 0 bien (no 1= (3 ni tamR
poco
r=n y)
R
((3 H y) es verdadera cuando verdaderas 0 simultaneamente
R
R
(3 y y son 0 simultaneamente falsas).
3) sea a una proposicion compuesta mediante cuantificadores a partir de proposiciones mas simples, En tal caso a tiene una de las siguientes formas: 't;fxd3, 3xd3; sup6ngase, ademas, que se conocen las condiciones de verdad para p, Aqui la intuicion llevaria a establecer las siguientes condiciones naturales: 't;fxd3 es verdadera cuando cualquiera que sea el ejemplo extraido del universo U, (3 es verdadera para tal ejemplo; 3xd3 es verdadera cuando para un ejemplo, por 10 men os extraido de dicho universo U, (3 es verdadera para dicho ejemplo. No obstante, para poder exigir cuerdamente tales condiciones, es necesario disponer en el lenguaje de nombres para todos los individuos del universo; cosa que en general no suele garantizarse. Establezcamos entonces ampliar el lenguaje L de forma que dispongamos siempre de todos esos nombres (si u es un individuo del universe U convengamos en indicar con u su nombre)'. Podemos escribir entonces:
1= vx,fJ si y solo si para todo individuo u de U, 1= (3(x./u); R R 1= 3x,(3 si y solo si para un individuo, por 10 menos, u del R universo U, 1= (3(x./u). R
a la vez);
Esta hipotesis comporta en general una ampllacion infinita del lenguaje L, en cuanto el universe U pudiera ser mas que numerable. I
87
De este modo hemos construido una definicion formal rigurosa para el concepto de verdad de las proposiciones de L respecto a una realizacion R. En este momento disponemos ya de todos los instrumentos que nos permiten definir de manera natural los mismos conceptos de modelo de un sistema formal, verdad l6gica y consecuencia 16gica. Modelo
de
un
sistema
formal
Un modelo de un sistema formal es una realizacion del' lenguaje del sistema que hace verdaderos a todos los axiomas del sistema.
Verdad
16gica
Una proposicion es una verdad logica cuando sea verdadera en toda realizacion posible del lenguaje a que pertenece.
Consecuencia
16gica
Una proposicion a es una consecuencia logica de un conjunto de proposiciones K cuando toda realizacion (del lenguaje de K y de a) que haga verdaderos todos los elementos de K hace verdadera tam bien a la proposicion a. Llamaremos teoria deduct iva a un sistema formal interpretado, es decir, a un sistema formal con una realizacion asociada. Y eonvendremos en reservar el terrnino generico de «teoria» para los sistemas formales asi como para las teorias deductivas. __ --j? Una teorla se dice realizable cuando admite por 10 menos un modelo. Por ultimo, diremos que una prcposicion a es \~ . verdadera en una teoria T cuando a es una consecuencia logica de los axiomas de T.
l
88
I.
2.3.
La teoria de modelos
La semaI]!i£e_ tarskian_asonstituye el fundamento de un sector muy importante de Ia logica moderna, el cual a partir de los afios 30 conocio un gran desarrollo y se institucionalizo bajo el nombre de teoria de modelos. Aludiremos solo a algunos problemas-clave que constituyen las premisas de Ia teorla de modelos, sin adentrarnos en los desarrollos de la teoria, que exigen instrumentos ccrnplicados de algebra abstracta. Un problema muy importante contempla las relaciones sub- \ sistentes entre ciertos conceptos sintacticos fundamentales que, l a nivel intuitive, se usan de forma intercambiable, Del cual problema constituyen ejemplo caracteristico los dos siguientes pares de conceptos: a) el concepto sintactico de coherencia y el concepto se- .I: mantico de realizabilidad, . b) el concepto sintactico de demostrabilidad ell u~a~ori!!. y el concepto semantico d~_ verdad en ut;; teorla, El maternatico no formal usa continuamente los elementos de estos pares de conceptos de forma intercambiable. Por ejemplo, si quiere demostrar la coherencia de cierta teoria (0 de cierta hipotesis)respecto a una teoria dadar~'Construye un modelo que verifique todos los axiomas de la teoria (0 los axiomas de la teoria con la inclusion de Ia hipotesis considerada). De este modo, por ejemplo, Eugenio Beltrami demostro en 1866 la coherencia de la geornetria no euclidea (hiperbolica) construyendo un modelo para tal teoria en el ambito de la geometria euclidea. Por contra, el matematico no formal esta siempre convencido de que una teoria coherente «hable de cualquier cosa» y tenga consiguientemente un modelo. Los progresos de la logica pusieron en evidencia la ilicitud de la confusion entre las nociones de coherencia y realizabilidad: ' en ambos casos intervienen conceptos cuyas definiciones exigen 89
insttumentos conceptuales total mente distintos. En este cuadro, conseguir demostrar cudles sean las situaciones 16gicas en que los dos conceptos en cuestion resultan equivalentes (en el sentido de ser legitimamente intercambiables) y cuales las situaciones en que tal equivalencia no se de, significa aportar un resultado de notable informacion. En el caso de la 16gica clasica elemental puede demostrarse la equivalencia entre los elementos de los dos pares de conceptos: coherencia-realizabilidad; demostrabilidad ellverdad en. Esta equivalencia no persiste, en general, cuando se pasa a 16gicas de tipo superior; es decir, a 16gicas con lenguajes no elementales, en que se admita la cuantificacion sobre los predicados amen de los individuos (don de se pueden expresar efectivamente afirmaciones del tipo: «todas las propiedades ... », «algunas propiedades ... », «todas las propiedades de propiedades ...», etc.).
_-
J
Teorema fundamental de la l o g i c a c l a s i c a elemental J) Una teo ria es coherente si y s610 si es realizable. II) Las proposiciones verdaderas en una teoria son tad as y s610 todas las proposiciones demostrables en la teo ria. Las dos partes J) Y II) del teorema fundamental, si bien en primera instancia pareeen expresar afirmaciones cornpletamente distintas, tienen en realidad «el mismo contenido logier» en el sentido de que se puede demostrar c6mo J) valdra si Y s610 si vale II). La parte mayormente informativa del teorema fundamental viene representada por las dos implicaciones que van de izquierda a derecha (T es coherente => T es realizable; a es verdadera en T => a es demostrable en T). Las dos implicaciones inversas (T es realizable => T es coherente; a es demostrable en T => a es verdadera en T) son, por contra, probables en forma bastante trivial. La implicaci6n de izquierda a de-
1) por la riqueza contiene nombres en correspondencia con toda su afirmaci6n existencial ; 2) por la completud su concepto de demostrabilidad goza del principio del tercio excluso, y, como tal, puede «representar» a tad os los efectos un concepto de verdad. Construyamos entonces la realizaci6n canonica C de T' usando los mismos ingredientes linguisticos que T'.
,., I {~\
90
recha (de lode II) se denomina tambien teorema de adecuacion (adeguatezza) 0 de completud semantica de la 16gjca-elemental, por cuanto afirma justamente la adecuaci6n del sistema de reglas de deduccion clasicas, que son capaces de demostrar todas las verdades en cualquier teoria. Este teorema fue demostrado por vez primera por Godel en 1930. La implicaci6n inversa se llama tam bien teorema de correccion 0 de validez de la 16gica elemental, por cuanto afirma justamente la correccion de las reglas de deduccion, que permiten demostrar s610 verda des en una teo ria. \: La formulaci6n J) del teorema de adecuaci6n puede demostrarse construyendo para una teoria cualquiera coherente T un modelo suyo de particular interes que recibe tambien el nombre de modelo canonico de T. A tal fin se aprovechan los dos teoremas sintacticos sobre extensiones ricas y completas, que hemos enunciado en el capitulo anterior. Si T es coherente, utilizando los teoremas de Henkin-Hasenjaeger y de Lindenbaum se puede demostrar que existe una extension T' de T que es coherente, rica y compieta. Resu1ta pues que las cornponentes puramente sintacticas de T' son suficientes para determinar de modo natural un modelo. En efecto T' goza de dos caracteristicas importantes:
a) como universo de C tomemos el conjunto de las constantes individuales de T'; b) los significados que asociamos en C a las constantes individuales son las mismas constantes individuales: v(a,) = a,
91
(en otros terrninos, toda constante llega a desernpefiar el doble papel de nombre del lenguaje y objeto del universo). Los signifi.cados que asignamos en C a los predicados, son relaciones que se comportan exactamente como postula la parte deductiva de T'. A saber: v(P~,) subsiste entre los objetos an, ... , a.. si y solo si Ia proposicion P;/an ... Gin es un teorema de T'. Sacandole partido a las propiedades de coherencia, riqueza y completud de T' se demuestra facilmente que la realizacion canonica C es un modelo de T'. Y, por tanto, a fortiori, al ser T' una extension de T, es un modele tarnbien de T. EI teorema de adecuacion, l,es caracteristico de Ia logica (elemental) clasica 0 bien puede extenderse tarnbien al caso de las logicas fundamentales mas debiles (intuicionista y minimal)? En el proximo capitulo veremos como resulta factibJe elaborar una descripcion sernantica adecuada para las lcgicas intuicionista y minimal, respecto a las cualcs el teorema fundamental resulta extensible. No obstante, sera caracteristica de esta descripcion semantica el realizarse en el ambito de la logica clasica, es decir, para el logico que procure «pensar» intuicionfsticamente (0 minimalmente) no solo en la teoriaobjeto, sino tam bien en la metateoria, tales demostraciones, en consecuencia, careceran de significado. EI teorema fundamental de la logica clasica tiene consecuencias muy importantes. La primera que hemos de recordar , 1 aqui viene representada por el llamado teorema de compacidad I (0 finitud sernantica) segun el cual una teoria es realizable si y solo si toda su subteoria can sistema de axiomas finito es realizable (0 de forma equivalente: una proposicion es conse. cuencia logica de cierto conjunto de hipotesis si y solo si es 1 consecuencia logica de un subconjunto fin ito suyo). En efecto, por definicion, los conceptos sintacticos poseen determinadas propiedades de finitud: una teoria incoherente debe contener una subteoria con numero finite de axiomas que es ya incoherente, por cuanto la demostracion de una contradiccion puede comprometer s610 un numero finito de axiomas; por igual 92
razon, una proposici6n es demostrable a partir de un conjunto dado de hipotesis, solo cuando ya es demostrable a partir de un subconjunto suyo finito. Ahora bien, el haber \ reducido, mediante el teorema fundamental, los conceptos semanticos a los conceptos sintacticos correspondientes, permite transferir esta propiedad de finitud al propio ejemplo semantico (en donde nunca pareciera de suyo natural poseer tales propiedades). La demostraci6n del teorema de adecuacion, escuetamente descrito mas arriba, nos posibilita tambien una informacion ulterior muy importante, referente a la cardinalidad (es decir, al mimero de los elementos) del modelo canonico. Puesto que toda teorla contiene siempre un numero finito de teoremas existenciales y, por ende, toda teoria rica contiene un numero infinito de constantes individualcs, nuestro modelo canonico debe con tener, por construccion, un numero infinito numerable de elementos. Pudiera suceder, sin embargo, que dos constantes individuales at y a, sean linguisticamente distintas y que, no obstante, la teoria T' demuestre su igualdad (situaciones de este tipo se verifican tam bien en los lenguajes no formales cuando se disponga de dos nombres para un mismo objeto y se hagan, por ejempio, afirrnaciones como la siguiente: «la estrclla de la manana es igual a la estrella de la tarde»), En cuyo caso tendriamos: 1)
IT'
a, ~ a, y pOI' tanto
1= a, ~ a,; c
pero: 2) y(a,) ,;, ,'(a,), es decir, a, ,;, a,. Contrariamente a la primcra impresion que puede someter a prueba at no experto, no se trata de una paradoja: la relacion que es el significado del predicado de identidad no es aqui Ia «vcrdadera identidad», sino sola mente una relacion «suficienternente semejante», que satisfaga las dos reglas logi93
cas sobre la identidad. Con otras palabras, aunque no del to do identicas, at Y a, son empero mutuamente substituibles salva veritate, y ella basta para ponernos a salvo de situaciones paradojicas, No obstante, se demuestra que siempre es posible con traer (contrarre) el modele canonico, de forma que se eviten las repeticiones inutiles: los elementos para los que resulta verdad que son iguales, se hacen asi realmente identicos. Por supuesto, esta contracci6n puede tener, en determinados casas, el efecto de rebajar la cardinalidad de la realizacion canonica y transformarla en una realizaci6n fin ita. Los razonamientos esgrimidos, unidos al teorema de correccion (que afirma que toda teoria realizable es coherente) justifican en este momento el siguiente teorema: Teorema
II
de
Lbwenheim-Skolem
Una teoria realizable admite siempre un modele que es finito 0 infinito numerable. En otros terminos, sus elementos no son «mas» que los numeros naturales. Historicamente, el teorema de Li:iwenheim-Skolem se demostro algunos afios antes del teorema de adecuacion, mediante el empleo de nociones semanticas informales. E1 primer nucleo del teorema serfa demostrado por Lowenheim en 1915, generalizandolo mas tarde el noruego Skolem. Sobre esta base se habla hoy de un teo rem a de Li:iwenheim-Skolem «hacia arriba» (una teoria realizable por 10 menos en una cardinalidad transfinita es realizable en toda cardinalidad transfinita. mayor); y de un teorema de Li:iwenheim-Skolem «bacia abajoi (una teoria realizable por 10 menos en una cardinalidad transfinita es realizable en toda cardinalidad transfinita menor)", Los teoremas de Lowenheirn-Skolem admiten asimisma intercsantes gencralizaciones del caso de lenguajes con alfabetos infinitos mas que numerables. 2
94
\,.'
Desde un pun to de vista intuitivo, los teoremas de Lowen- \ heim-Skolem demuestran como Jas teorias elementales, que adrniten por 10 menos un modele infinito, no consiguen caracterizar la cardinalidad de su universo, es deeir, el numero de cosas de que .hablan, Naturalmente, esto es particularmente grave en el easo de teorias que hablan de nurneros, por ejemplo, en el caso de muchas teorias maternaticas, Resulta pues una eonseeuencia de los teoremas de Lowenheim-Skolem Ia inevitable no categoricidad de toda teoria realizable en el transfinito. La no categoricidad representa para una teo ria un «fracaso descriptivo», En efecto, una teorla es categorica cuando describe solo model as isomorfos entre si, es decir, identicos desde el punto de vista estructural (modelos isomorfos pueden diferenciarse al maximo por los individuos contenidos en sus respectivos universos, perc Ia estructura de las realizaciones deben ser iguales). En la tabla 6 se da la I definicion rigurosa de isomorfismo. Ahora bien, las teorias matematicas tienen en muchos)! casos un modelo intuitivo privilegiado, que representa el uni- j verso de las cosas que el maternatico intenta real mente des-I cribir, cuando acomete la axiomatizacion de Ia teoria. Por ejemplo, en el caso de la aritmetica formal P, el modelo intuitivo contendra los numeros 0, 1,2,3,4, . ,. (que concebimos intuitivamente) y ninguno atro. Los resultados de no categoricidad, a que hemos hecho referencia recientemente, vienen ahora a confirmar la inevitable existencia de model os de P, los cuales contienen tambien «otras cosas» que de ningun modo "podemos representarnos como «verdadcros numeros». Modelos de este tipo son los llamados patologicos 0 tarnbien model os no estdndar de la aritmetica (en tanto que el modelo intuitivo se reconoce por estandari'. En primera instancia, la existencia de modelos patolcgicos representa una ruina para la formalizacion : los sistemas for3 Puede demostrarse que Ia aritmetica formal es no categories ya en la cardinalidad numerable. Con otras paiabras, P admite modelos numerubles que no son isomorfos can el modelo intuitive.
95
males «no aciertan» a describir fielmente 10 que intuitivarnente quisierarnos que hicieran. Sin embargo, este tipo de fracaso aparente se ve transformado pronto en un analisis positive que ha conducido a informaciones muy interesantes. En la decada de los sesenta, Abraham Robinson elaboro una idea que se revelo de suma fecundidad: la de aprovechar positivamente ciertos model os patol6gicos de la teo ria de los mimeros reales, tratando como numeros «infinitesimos» los elementos no estandar de los modelos en cuestion, Como es sabido, la nocion intuitiva de «cantidad infinitesima» conocio un gran desarrollo decisivo en la obra de los fundadores del calculo infinitesimal, particularmente en los trabajos de Leibniz. Pero mas tarde habria de ser desechada de la sisternatizacion rigurosa de la misma teo ria (ocurrida en el siglo XIX): los infinitesimos no tuvieron una existencia maternatica parecida a la de los numeros verdaderos; era solo una «rayon de parler» imprecisa. La leo ria constituida por Robinson y lIamada, por obvios motivos, analisis no estdndar devolvi6 1a legitirnidad 16gica a esa antigua idea de los fundadores del analisis, idea que se halla profundamente enraizada en el pensamiento matematico intuitivo. Tengase presente que el anal isis no est dndar no representa una teo ria alternativa respecto al analisis clasico, pues no permite demostrar teoremas nuevos que no resuitan ya demostrables en el analisis clasico, Sus ventajas son, sobre todo, de tres tipos: a) notable simplificacion en la demostracion demostrados can medios clasicos ;
de teoremas ya
b) posibilidad de demostrar, en una situacion conceptual intuitivamente mas simple, teo rem as que en ellenguaje clasico resultarIan diffcilmente concebibles; c) mayor adecuaci6n respecto al usa que el cientffico empi rico bace de los conceptos analfticos, en las aplicaciones.
Desde un punto de vista filosofico, puede sorprender la circunstancia por la que solo un desarrollo logico y formal extremadamente refinado baya consentido la recuperacion de una dimension intuitiva profundamente enraizada en el pensamiento matematico y en el uso que, de la maternatica, hace el cientifico empirico,
2.4. El problema de la autoiundamentacion de las teorias En el capitulo 1 se via como las teorias suficientemente potentes y coberentes no pueden expresar un razonable predicado de verdad y, por tanto, no pueden expresar de forma completa su metateoria. En este capitulo bemos desarrollado la semantica para cualquier tipo de teoria elemental. iCon que instrumentos conceptuales? Resulta facilmente comprensible que los instrumentos empleados pertenecen todos a una teoria matematica particular: 1a teoria de conjuntos. iQue es la teoria de conjuntos? Se trata de una teoria que, a pesar de su relativa sencillez y naturalidad, desde un punto de vista intuitive, es, al mismo tiempo, y segun se vera en el capitulo 4, extremadamente potente desde un punto de vista " matematico. Con cierta simplificacion podriamos decir que, ) intuitivamente, la teorfa de conjuntos representa 1a «teoria : C extensional de los conceptos». Normalmente, una teoria comun no pretende tratar sus universales como objetos propios: por ejemplo, la aritmetica no pretende tratar el concepto de «numero primo» como un objeto propio, es decir, como un numero natural particular. Caracteristica de la teoria de conjuntos es, por contra, la aspiracion a transformar posiblemente todo su universal en un objeto propio-, Esta aspiraci6n se encuentra i sintetizada en dos principios que son el fundamento de la teoria creada por Georg Cantor a partir de 1872: el principio de comprension y el principio de extensionalidad.
I
I
1
~ Para un desarrollo
96
de esta idea, vcasc CASARI, 1969.
97 7.
Dalla Chiara.
hipotesis, segun la eual todo concepto es representable como
J) Principia de comprension
Todo concepto puede representarse como un objeto que este en relacion con todos y solo con todos los objetos que disfruten de tal concepto. La relacion subsistente entre un objeto que representa un concepto y los objetos que gozan de tal concepto es la copula, que indicamos por@ II) Principio de extensionalidad
Los conceptos-objeto estan completamente determinados por los objetos que gozan de ellos. Mientras el principio J) representa la afirmacion de la posibilidad de «objetivar» siempre los conceptos, el principia II) afirma el caracter
extensional
de los conceptos,
es
decir, el hecho de que un concepto esta determinado por los individuos que gozan de ella. Podemos expresar en un lenguaje elemental los dos principios de comprension y de extensionalidad de la forma siguiente: J)
II)
3YVy[xEy<-ta(x)]; vz[z EX<-+Z EY]-+X
=y
Si convenimos
en Hamar conjuntos a los objetos-conceptos de que nos ocupamos y traducimos la copula E como relacion de pertenencia entre conjuntos, los principios J) y II) se Ieeran
del siguiente modo:
J) como quiera que fuese dado un concepto que sea des-
cribible a traves de una formula a(x) del lenguaje, existe siempre un conjunto al que pertenecen todos _y solo todos los objetos que gocen de tal concepto;
II) si dos conjuntos tienen los mismos elementos, entonees son iguales.
«Esta teoria extensional de los conceptos que, a primera vista, parece extremadamente natural y razonable, ha resul1/
tado incoherente. En 1902, Bertrand Russell demostro que la 98
un objeto, conduce a contradicci6n. Consideremos efectivamente el concepto descrito por la formula «no pertenecer a sf mismo»; y supongamos que, segun quiere el principia I),
,
l\
exista un objeto Y al que pertenecen todos y solo todos los objetos x que gozan de tal concepto,
es decir, que no per-
tenezcan a si mismos. Vale entonces: todo objeto pertenece a Y si y solo si no pertenece a si mismo (vx[x E Y +-7 X $ x]). De donde se obtiene por dictum de omni: Y pertenece a Y si y solo si Y no pertenece a Y (y E Y <-+ Y ¢ y). Lo cual es una contradiccion,
Despues del descubrimfento de la incoherencia de la teoria
cantoriana, la actividad de los «conjuntistas» se orienta hacia
la constitucion de teorias fundadas sobre el debilitamiento del principio I), pero con el mantenimiento del principio II) (que no resulta peligroso). Estas teorias (conocidas por teorias axio- I maticos de conjuntos, y contrapuestas asimismo a la teo ria cantoriana, Hamada tarnbien teoria intuit iva 0 ingenuai debian maximalizar (massimalizzare ) la capacidad de representacion \ de los universales, sin caer no obstante en los desastres a que
abocaba el principio de comprension,
La tabla 7 describe una de las mas famosas teorias axio-
maticas de conjuntos: la de Zermelo-Fraenkel (propuesta por Ernst Zermelo en 1908 y posteriormente perfeccionada por Abraham Fraenkel). Ahora bien, puede demostrarse que las teorias axiomaticas de .copjuntos al uso estan todas capacitadas- para el
-
teoremas de la teoria de model os, examinados
en el apartado
,
anterior se transforman en teoremas formales de la teoria de , conjuntos. Pero una teoria axiomatica de conjuntos, por ejemplo, la de Zermelo- Fraenkel (que abreviaremos por ZF) es un particular sistema formal elemental, que resulta as! capaz de expresar la semantica de todas las teorias elementales y, por tanto, tambien la propia semantica. ;,No contradice todo esto el teorema de Tarski descrito en el capitulo precedente? 99
Mas; 6no demuestra, sobre La base del mismo teorema de Tarski, la ineoherencia inevitable de la teoria axiomatica de conjuntos, que no pod ria «por menos de» constituir en su interior la antinomia del mentiroso? Tales conclusiones drasticas no son necesarias. En efecto, como se recordari, eI teorema de Tarski rechaza s610 que un sistema formal suficientemente potente y coherente T pueda eontener una definicion de verdad Ver(x) para la que valga: f- Ver(a) <-+ a, para T
toda a. Pero no prohibe el caso que, fijada Ver(x) para toda a no sea una f3 para la eual f- Ver(ii) <-+ f3, a condici6n de que no J- a ~ T
fJ.
T
En otros terminos,
un sistema formal coherente
puede contener una definicion de verdad por la que la verdad de una proposicion no equivalga a la misma proposicion; esta ultima restriccion efectivamente, en general, basta para evitar la formacion de la antinomia del mentiroso. La teo ria de conjuntos, si es coherente, se encuentra pues en esta extrafia situaci6n: de un lado, logra describir sus propias realizaciones (y por tanto, definir un concepto de verdad por sl misma); de otro, «no acierta a» describir como realizacion propia su universo completo (eonstituido por la clase de todos los conjuntos). Es como si la teoria consiguiese autodescribirse solo «a trozos», pero no en su integridad. Podemos ilustrar la situacion con el siguiente diagrama: v
V = universo completo de ZF (que contiene todos los conjuntos posibles); Vo = parte del universo que ZF logra describir como realizacion propia.
Si ZF es coherente I)
f-
ZF
siguientes:
RealzF(Vo)
(es un teorema 2)
valdran las relaciones
f- Verv(ii)Hav, ZF'
de ZF: Vo es una realizaci6n para todo a
de ZF);
0
(es un teorcma de ZF: la verdad en Vo de una proposicion equivale a la proposicion «relativizada» en el un iverso Vol; 3) no fa <-+ au~. ZF (la equivalencia entre a y la «relativizada» universo Vo no es un teorema de ZF); 4) no f- Mod z.(Vo) ZF
(en ZF no es demostrable modelo de ZF).
que la realizacion
de a en el
Vo es un
La afirmacion 3) es consecuencia del teorema de Tarski: si valiese efectivamente J- a -H av, por la afirrnacion 2) tendriamos
t, Verv.(ii)
ZF
•
<-+ a, y por tanto
ZF lograria
definir un
predicado de verdad por el que la verdad de una proposici6n equivalga a la misma proposici6n. La afirmaei6n 4) es una consecuencia del segundo teorema de Godel: en efecto, si valiera f- Mod( Vol, por el teorema fundamental de la logica, ZF
ZF estaria capacitado
para demostrar la propia cohereneia, y ello va contra el segundo teorema de Godel, En este momento, el lector ha podido darse cuenta de que / (contrariamente a un prejuicio profusamente extendido) la ,I autorreferencia no es de suyo fuente de contradiccion, Par contra, una forma fuerte de autorreferencia resulta adernas, para algunas de las mas importantes teorias cientlficas, ine-
100
101
vitable. Sin embargo, cuando se superan clertos limites, los limites establecidos justamente por los teoremas limitativos de la logica, el «hablar de si mismos» conduce a desastres. En cierto sentido, la leccion practica de los teoremas limitativos consiste en haber enseiiado como resulta factible correr por el borde del precipicio sin caer en su abismo. 2.5.
L6gic(J8 polivalentes, e inductivas
probabilisticas
Hasta aqui hemos ido desarrollando una semantica bajo la hip6tesis general de que los estados de verdad sean dos. Es decir nos hemos estado moviendo en el primer cuadro de la clasificaci6n que se hizo a su tiempo en la «Introduccior» (el marco de las logicas bivalen-"s). La hipotesis de la bivalencia nos perrnitio una notable simplificacion en toda nuestra construcci6n. No obstante, las dudas sobre la oportunidad de semejante hip6tesis simplificadora vienen de muy lejos: muchos ejemplos parecian pro bar la conveniencia de asumir, por 10 men os, un estado intermedio de verdad entre 10 verdadero y 10 falso. Consideremos, por ejemplo, el caso de dos proposiciones como las siguientes: «El numero nama la musica»; «EI proximo presidente del gobierno ochenta».
espafiol mide un metro
6Que sentido puede tener atribuir a estas proposiciones valor de verdad 0 falsedad? 6No resulta, por el contrario, mas razonable, declararlas indefinidts respecto al estado de verdad? Como es sabido, el problema fue planteado ya por Arist6teles ·en el famoso ejemplo de la proposicion «Manana se librara aquf una batalla naval», Y se recordo, en la «Introduccion», que este pasaje del texto aristotelico dio lugar a una celebre polemica historiografica, abierta por Lukasiewicz. 102
Desde un punta de vista teorico, una vez aceptado el prin~ipio de la polivalencia, es po sible constru~r u~a gran varied ad _de logicas polivalentes distintas, haciendo variar tantocl mimero de valores de-verdadcomo las condiciones sernanticas impuestas a los operadores 16gicos fundamentales. Y es al mismo Idtkasiewicz (seguido por otros estudiosos) a quien se debe la elaboracion de una serie de logicas polivalentes de gran interes. Estas logicas resultan todas subteorias ~especto a la logica clilsica, en el senti do de que todaS-las reyes polivalentes tam bien leyes clasicas, pero no ocurre generalrnente el caso inverso, Por contra, son, en muchos casos~ inconfrontables respecto a las Iogicas intuicionista y minimal. Las logicas polivalentes suelen ser, como la Iogica biva, lente_ clasica, veritativo_-juncionales. ConOtras palabras, .el _~.~ valor de verdad de una proposicion depende exclusivamente de los valores de verd'!_d de sus partes atomlc~ (0 de oportunas transformaciones de sus partes atornicas). Un .tiRo bastante interesante de logica polivalente no relativo-funcional puede obtenerse transfiriendo a la semantica logica los conceptos de la ~oria de la probabilidad: a tal fin basta concebir una atribuci6n de valoresaeverdad como una asignacion de valores de probabilidad a las proposiciones del lenguaje, asignacion que, naturalmente, debe obedecer a los axiomas del calculo de probabilidades. En cuyo caso resulta que el ;;alar de probabilidad de una proposicion compuesta no es general funcion de los valores de sus proposiciones componentes. L6gicas de este tipo recibieron el nombre, par motivos evidentes, de logicas probabi/{stiE_qs. Tales logicas constituyen la base de un sector de investigaciones hoy en expansion, que recibe el nombre de 16gica in4!!E!!!!. EI problema central de la logica inductiva puede sintetizarse de la forma siguiente: 6Como pueden codificarse los principios que nos guian en nuestras asignaciones de probabilidad? En otros terminos, si tenemos cierto sistema de datos, la traves de que reglas racionales asignamos valores de probabilidad a las hip6tesis generales? Los problemas de la logica inductiva se encuentran todavia
son
o
11/"
103
hoy en vias de elaboracion. Y no estan del todo claras las. relaciones que existen entre este tipo de teorizacion 16gica y las situaciones teoricas concretas ..... en las que se hace usa del concepto de probabilidad 0 de.formas , de induccion (como, por ejemplo en la estadlstica 0 en la, ffsica), En afios recientes los enfoques logicos de tipo polivalente han tenido, en sus distintas formas, una gran difusi6n. En su
origen, se juzgo a la 16gica polivalente, sobre todo en los circulos logicos, como un habil artiiiCW--matematico. En lineas generales, no se ponia en dud a el que la Iogica fundamental fuese esencialmente bivalente. Todavia en 1952, Rosser y Turquette, presentando el primer manual de logicas polivalentes, describian en forma un tanto cuestionable la importancia y el significado de este tipo de logica para las teorias cientificas (en particular para las teorias fnatemiticas). Los factores que hicieron cambiar muy rapidamente [a situacion a este respecto fueron,
sabre todo, los siguientes:
3.
TEORIAS DE LA INTENSION Y LOGICAS ESPECIALES
3.1. La semdntica de Kripke Historicamente, el termino semantica extensional empleado con dos sentidos distintos, por 10 men os:
se ha
I) el uso afortunado de jnstrumentos polivalentes y probabilisticos en la solucion de .prcblcmas clasicos relativos a los fundamentos de la matematica. De tal introduccion de un
I) en el sentido de semantica desarrollada en el ambito de la teoria extensional de los conceptos (es decir, de la teoria de conjuntos);
conjuntos, hablaremos en el capitulo 4; 2) el fenomcno de proliferacion de las Iogicas y la utilidad de describir su sernantica de forma intercambiable, en el marco de un enfoque bivalente 0 polivalente; 3) los progresos de la Iogica inductiva, a la que hemos aludido antes; 4) el desarrollo de analisis logicos aplicados a la preblematica de las ciencias empiricas.j donde es determinanteel usa del concepto de probabilida
2) en el sentido de semantica segun el cual el valor de verdad de una proposicion respecto a un estado determinado de cosas (tecnicamente respecto a una realizacion) depende solo de dicho estado de cosas.
«conocimiento
de tipo aproximado»
En esta situacion,
en Ia teoria clasica
de
Ia postura intuitiva tradicional tiende a
hacer un giro de ciento ochenta grados: lalQgica bivalente se. enjuicia como de maxima idealizacion (el verdadero artificio matematico), en tanto que se mantiene que logica «concreta» eventual seria esencialmente p?li~~Iente. 104
La semantica que estudiamos en el capitulo anterior es extensional ambos sentidos. No obstante, se vio como este
en
tipo de sernantica implica solo un aspecto de la teoria del significado de Frege: escapa a esta teoria, por ejernplo, la posibilidad de construir un analisis adecuado de los contextos
indirectos. Para superar estos limites, se impuso recientemente un punto de vista que podriamos llamar «semiextensional», que se caracteriza por el mantenimiento de la componente 1)
con abandono, al propio tiempo, de la componente 2).
105
I[
El expediente tecnico fundamental de este programa fue una realizaci6n de la semantica tarskiana, ideada por Saul Kripke hacia finales de la decada de los cincuenta. A posteriori, la idea-base de Kripke parece casi el «huevo de CoI6n» respecto a la teoria clasica de modelos, y no deja de ser curiosa que, entre la fundamentaci6n tarskiana de la semantica y una generalizacion tan natural de la misma, hayan tenido que transcurrir treinta alios largos. Merito de Kripke fue haber roto una dicotomia caracteristica de la semantica tars kiana, que consiste en considerar siempre, en 10 referente a las relaciones entre las proposiciones y los estados de cosas (tecnicamente, las realizaciones) a que las proposiciones se refieren, exc1usivamente dos casas-limite: el representado por un estado de cosas unico y el representado por todos los estados de casas posibles. Como se recordara, en el primer contexto queda definido el concepto de verdad, en tanto que en el segundo quedan definidos los conceptos de verdad logica y consecuencia Iogica, La idea de Kripke es, por contra, en general, que la verdad de una proposicion puede depender no solo de un unico estado de cosas y ni siquiera de todos los estados posibles, antes bien de un oportuna «sistema de estados de casas» particularmente relevante segun el discurso que se construye. En rigor, una realizacion en el sentido de Kripke (correspondiente a la idea intuitiva de «sistema de estados de cosas») puede definirse sencillamente como una familia de realizaciones en el sentido de Tarski, familia a la que puede imponerse cierta estructura relacional, que varia de un caso a otro. En los apartados que continuaran consideraremos algunas aplicaciones del enfoque kripkiano a la constitucion de una semantica para las logicas especiales y las Iogicas fund amentales no clasicas; asi como al problema de una caracterizaci6n «semiextensional» del vago concepto fregeano de intension.
3.2.
Las logicas modales
Las Iogicas modales constituyen el ejemplo mas antiguo de «Iogicas especiales», en el sentido de logicas que no admiten (por 10 menos en el ambito de la bivalencia) una descrip- II ci6n semantica extensional intuitivamente plausible. Como es ~ sabido, remonta sus origenes hist6ricos a Arist6teles; en tanto que el terrnino «modalidad» viene de la tradici6n logica medieval que distinguia los modos con que las proposiciones podian ser verdaderas: «necesariamente verdaderas», «contingentemente verdaderas», etc. El fundador de las logicas mod ales modernas fue el ingles C. -1. Lewis, quien, a partir de 1912, elaboro una- serie de calculos ordenados a regular el comportamiento Iogico de las locuciones «es necesario que ... » y «es posible que ...». Durante I mucho tiempo, no se consiguio dar una interpretacion semantica intuitivamente satisfactoria para todos estos calculos ideados por Lewis (y posteriormente por otros estudiosos). En todo caso, la pluralidad de las logicas modales conocidas que aparecieron, en cierta medida, todas razonables, demostraba como el uso intuitive de los conceptos de «nccesidad» y «posibilidad» no era completamente univoco. Si indicamos respectivamente con L y con M los operadores «es necesario» y «es posible» (y escribimos La para «a es necesario» y Ma para «a es posible»), nos podernos preguntar si valen las siguientes relaciones: I)La
..... ...,M...,a
2) La
->
Ma(--)o...., L~
a;
a
a -e- Ma;
3) L( a -> fJ) -+ (La -> Lf3) (Ma -> MfJ) -e- M(a -+ fJ);
4) La -+ LLa MMa-+Ma; 5) a=v LMa MLa-+a; 6) MLa_La Ma-+LMa.
Se advierte en seguida que, mientras las relaciones 1)-3) representan unas caracteristicas fundamentales y, aparente-
106
107
mente, irrenunciables de los conceptos intuitivos de necesidad y posibilidad, los principios 4)-6) resultan mucho mas opi-
nables. En realidad, a nivel intuitivo, las preguntas «si algo es necesario, ies necesario que sea necesario ?» (4)); «si alga es actual, i,es necesario que sea posible ?» (5)); «si algo es posiblemente necesario, I.es necesario ?» (6)) admiten como igualmente razonables tanto una respuesta afirmativa como negativa. De ahf el origen de la pluralidad de los calculos modales. Los principios 1)-3) dan lugar al calculo modal minimal que ha sido llamado sistema n. T + 4) da lugar al llamado sistema S.; T + 5) al sistema B, mientras S + 6) determina el sistema S•. Puesto que S. y B no son uno subsistema del otro, resultando no obstante ambos subsistemas de S5, sus relaciones
guiente:
son representables
por el diagrama si-
posible»: la verdad de una necesidad significaria «verdad en to do mundo posible»; en tanto que la «verdad de una posibilidad» significaria «verdad por lo menos en un mundo posible». Sin embargo, la dicotomia caracteristica de la semantica tarskiana (que, como se ha visto, consideraba solo dos casoslimite: 0 todos los mundos posibles 0 s610 un mundo posible) no conseguia
dar una justificacion,
sobre esta base, para la
pluralidad de las distintas logicas mod ales. Con la semantica
I
I
kripkiana se hace natural imaginar que una realizacion en el
'\
i
sentido de Kripke represente intuitivamente un «sistema de mundos» estructurado de cierta manera particular: los mundos correlacionados entre sf en esta estructura, son justamente los mundos que son posibles uno frente a otro 0, como tambien se dice tecnicamente, los mundos accesibles entre S1. Las distintas condiciones que se pueden imponer a esta relacion de
It
accesibilidad son justamente las que dan lugar a tantas 16gicas mod ales distintas. Resulta que una relaci6n de accesibilidad (solo) refiexiva determina el sistema T; en tanto que una
relacion reflexiva y simetrica determina B; una relacion retlexiva y transitiva, S4.; y, por ultimo, una relaci6n de equiva-
lencia) es decir, dotada de las propiedades reflexiva, simetrica
y transitiva) deterrnina S5' El termino «determina» tiene un
EI instrumento de la semantica kripkiana ha conseguido aportar una interpretaci6n intuitivamente plausible para todos estos calculos diferentes, que, en el tratamiento de Lewis
significado tecnico preciso, a saber: las proposiciones verdaderas en todo mundo de una realizacion de Kripke cualquiera, cuya relacion de accesibilidad sea una relaci6n de equivalencia, son todas y solo todas las proposiciones demostrables en S5' Y analogamente en los demas casos. Las distintas condiciones de accesibilidad I,representan algo
logico de los operadores mod ales comporta, de forma extre-
accesibilidad
habian quedado, en conjunto, bastante misteriosos. En realidad, hacia tiempo que se tenia concicncia de que el analisis
madamente
natural, la antigua idea leibniziana
del «mundo
I En realidad, para obtener T es precise enriquecer el sistema de reglas de deduccion con una nueva regIa (caracrenetica de las logicas modales); la
I regIa siguiente: I08
:a
(si he demostrado
a puedo demostrar: a es necesaria).
que tenga significado en una perspectiva intuitiva? En muchos
casos resulta posible afirmarlo. Por ejemplo, una relacion de reflexiva y transitiva, pero no simetrica, puede conectarse facilmente con la idea intuitiva de «accesible» en el sentido de «posible en el futuro». Sin embargo, las logicas \ modales constituidas a 10 largo de la hfstoria son mas que los cuatro sistemas que hemos considerado, y no se puede aportar
una interpretacion
intuitivamente
significante
para
109
todas ellas. En este sentido, la evoluci6n de las logicas modales representa un ejemplo muy caracteristico del proceder del analisis 16gico. En muchos casos, se trata de indagar sobre
determinadas estructuras racionales, de las que el razonamiento cientifico y comun se sirven continuamente, perc con frecuencia de forma muy imprecisa, confusa y a veces contra-
dictoria. Las teorias propuestas por los 16gicos son, al propio
tiempo que explicaciones para estas estructuras creaciones de nuevas estructuras. 3.3.
L6gicas temporales epistemicas
intuitivas,
y 16gicas
Pararemos la atencion en este apartado sobre dos~eml'los particulares de 16gicas especiales (las logicas temporales y las logicas epistemicasi, ya que se trata de dos casos que, de modo bastante singular, representan respectivamente,
un gran exito
y un gran golpe para la sernantica kripkiana. Como se vera, esta situaci6n tiene consecuencias
tam bien sabre el problema
de la constitucion de una teoria general de la intension. . Las logicas temporales significaron el ingreso en la Iogica \ matematica de una dimension, la del tiempo, que una larga tradici6n mantuvo radicalmente alejada de la logica. Segun
!
.J
, "
f
opinion
cultivada durante mucho
tiempo, caracteristica fun-
damental de la 16gica seria la abstraccion del tiempo, Esta abstraccion afectaba a la ciencia de la logica en su conjunto, como si se tratase de un limite te6rico especifico suyo: piensese, por ejemplo, en muchas objeciones de tipo dialectico segun las cuales, por el mero hecho de hallarse fundamentada esencialmente sobre la abstraccion del tiempo, la logica formal seria incapaz, de suyo, de asumir el devenir de 10 real. Hoy podemos decir que «el tiempo ha entrado con decision en la logica». Aunque el fenomeno no sea exclusivamente recientes, solo despues de 1950 se ha asistido a una verdadera 2 Como es sabido, Jos 16gicos medievales, los 16gicos arabes y antes los megdricos y estolcos esbozaron formas de 16gica temporal.
110
explosion de investigaciones
en este campo, ligadas sabre todo
a los nombres de Arthur Prior y Nino Cocchiarella. La semantica kripkiana tiene, en el caso de las logicas temporales, una aplicacion extremadamente natural. Puede
imaginarse efectivamente
que una «situacion
de cambio»
sea
describible formalmente mediante una realizacion kripkiana {M'};'l donde toda M, representa el estado de cierto mundo en el instante i, mientras I cs el intervalo temporal conside-
rado. Por motivos obvios, una realizaci6n kripkiana del genero recibe tam bien el nombre de historia. Los problemas mas comunes de que se ocupan los 16gicos del tiempo tienen esta forma: se trata de definir mediante razonables condiciones semanticas de los operadores temporales (como por ejemplo, «en futuro», «en pasado», «siempre», «cualquier vez», «sucede \ en cierto tiempo t», etc.) y elaborar por tanto calculos, ca-
paces de regular, desde un punto de vista sintactico, el uso de estos operadores,
es decir, el usa de inferencias
de tipo
temporal. Al iguaI que las Iogicas fundamentales, regulan el usa de las conectivas y los cuantificadores (y por ende el uso de inferencias de tipo fundamental). El lector no se maravillara ciertamente reconociendo que,
tambien aqui, no resulta posible escapar a situaciones de no univocidad. No existe una 16gica temporal unica, capaz de regular el uso correcto de las inferencias temporales. Carac- {, teristica de estas inferencias es, entre otras cosas, la inevitable ( dependencia de la hip6tesis sobre estructura del tiempo, lEI I
tiempo es finito 0 infinito? lLinealmente ordenado 0 no? ~Con orden discreto, dense ° continuo? etc., etc. Todas estas diferentes hipotesis sobre la estructura del tiempo dan lugar a otros tantos calculos temporales distintos. En la tabla 8 ' damos el ejemplo mas sencillo de calculo temporal, elllamado «calculo temporal minimal» (ideado por Lemmon) cuyo lenguaje contiene s610 dos operadores temporales «en el futuro» y «en el pasado», y cuyos axiomas no albergan ninguna hipotesis sobre la estructura del orden temporal. El concepto de «instante: constituye un problema imporIII
tante en las Iogicas temporales. EI concepto de instante que se en las logicas temporales ha sido tornado : prestado de la descripcion fisico'matematica clasica de los fen6menos sujetos a cambio, fundandose en la hip6tesis de atomos de tiempo (justamente los instantes) en que no pueden ocurrir cambios (a este respecto vale todavia el parangon con la flecha de Zenon). La aplicacion kripkiana de este punto de vista se realiza en la hip6tesis de que todo cambio pueda
I usa habitualmente
describirse a traves de un conjunto de transformaciones
ins-
tantaneas caracterizadas por cambios de valor de verdad de las
! proposiciones del lenguaje en los distintos estados del mundo ,M" donde toda M,; en cuanto realizacion tarskiana (biva-
l, Iente), goza tanto del principio de no contradicci6n (una proposicion y su negaci6n no valen ambas en M,) cuanto del principia del tercio excluso vale en M,).
(una proposicion
0
su negaci6n
~Se puede abandonar una hip6tesis de tanto exito historico como la de los atomos del tiempo? ~Tiene sentido asumir como concepto-base, antes que el instante, un concepto de
tempusculo, entendido como intervalo de tiempo Llt «suficientemente breve», y describir una situaci6n de mutaci6n en el interior de un tempusculo zl t sin volver a caer en la subdivision de L1t en atomos de tiempo? Tenemos una posibilidad
en la hip6tesis de que el cambio caracterizado por el paso de a a ~ a en el tempusculo L1t defina una «zona» (cinfinitesimas respecto al orden de tamafio de los umbrales ternporales considerados) en que valga a la vez a y -rt a y tal zona no sea ulteriormente subdivisible en dos zonas. en que valga definidamente a 0 """1 a. Con otras palabras, una mutaci6n puede implicar una contradiccion, la cual debe ser no obstante «suficientemente breve» y no durar a lo largo de todo el tempusculo considerado. EI primer enfoque formal de importancia hacia una Iogica temporal sin atomos de tiempo y «con contradicciones» fue propuesto en 1968 por el 16gico finlandes G. H. von Wright. Este tipo de logica admite una descripcion semantica natural
«a la Kripke», donde los elementos de las realizaciones kripkianas representan, aqui, los estados del mundo en un tempusculo L1t dado, mas que en un instante i dado. Tecnica-
mente,
todo
MAt
puede
describirse
como
una realizaci6n
(tarskiana) polivalente con conjunto infinito continuo de valores de verdad. Puesto que relativamente a los mundos M", ya no son validos los principios de no contradiccion y del
tercio excluso, se hace posible, sabre esta base, describir formalmente una situacion que corresponda a la idea intuitiva
segun la cual «puede darse una contradicci6n en el interior de un tempusculo», De este modo, un tipo particular de 16gica especial polivalente consigue traducir algunas ideas que, desde un punto de vista intuitivo, parecen sugeridas por una logica de tipo dialectico, Con estas breves alusiones a las logicas temporales hemos hallado forma de medir la potencia del instrumento kripkiano, el eual eonsigue,
ademas,
subsumir sugerencias
que parecen
venir de tradiciones fi1os6ficas alternativas respecto a la cultura logico-maternatica". El caso de las J6gicas epistemicas representa, por contra, dentro de ciertos limites,
un golpe
bajo para la sernantica «a Ja Kripke». EI problema fundamental de las logicas epistemicas es la constitucion de un calculo y una semantica intuitivamente adecuados, para los operadores l6gicos «X sabe que ...»,
«X piensa que ...», «X cree que ...», etc., operadores que llamamos justamente epistemicos. Puesto que, en general, un individuo no es omnisciente, no tiene ningun sentido representar el conjunto de sus conocimientos como un conjunto constituido por todas las proposiciones verdaderas en una
realizacion tars kiana determinada (resultaria efectivamente que a, X conoce a 0 bien --. a). Parece, no obstante, que un conjunto tal de conocimientos pueda para toda proposicion
a Como se observe en la «Introduccion», firmar la posibilidad de una «englobacion» de Ia dialectica.
112
casos como estes parecen CODen la 16gica de ciertos aspectos
113 8.
DaUa Chiara.
I I
venir razonablemente representado como una interseccion oportuna entre tantos conjuntos cuyos elementos son pro posiciones compatibles con los conocimientos de X. Se trata de una idea que admite una descripcion natural semantica a traves del instrumento kripkiano. Podemos imaginar en efecto que los elementos de una realizacion kripkiana R representen los «mundos compatibles con los conocimientos de X», y asi definir la verdad en R de la proposicion «x couoce a» como verdad de a en todo elemento de R. Sin embargo, surge una dificultad bastante grave: segun este tipo de tratamiento resulta que, si es verdadero «X conoce a» y si la implicacion a --;.-fJ es una ley logica, entonces tambien es verdadero «X conoce fJ». En efecto, si a --7- fJ es una ley Iogica por el teorema de correccion, es verdad en todo mundo Mx compatible can los conocimientos de X; por tanto si a es verdadera en todo Mx tambien fJ debe ser verdadera en todo Mx; , y por tanto es verdadero que «X conoce fJ». [Cualquiera que conozca los axiomas de un sistema formal dado (por ejemplo, de la geometria euclidea) conoce inevitablemente entonces tam bien todos los teoremas de tal sistema! Este es un resultado que contrasta can la intuicion y el usa com tin. Par tanto no cs posible aplicar el instrumento kripkiano de forma tan senI cilIa y directa en el caso de las Iogicas epistemicas, EI problema de caracter general, comprometido en este tipo de dificultad, puede sintetizarse asi: i,hasta que punto la mente humana se encuentra cerrada respecto a un sistema de reglas de deduccion ? Con otras palabras, i,hasta que punto la mente humana se asemeja a un sistema formal? Si echamos una ojeada a la tabla 4, donde se describen las reglas de deduccion, nos daremos facilmente cuenta de la «naturalidad» de tales reglas. Todo ser racionaI situado frente a las premisas de una regla determinada puede sacar la conclusion. Pero en cuanto comienza a iterarse el proceso de aplicacion, empiezan a surgir las dificultades. i,Se puede 0 de que modo tiene sentido establecer una suerte de «umbra » de deducibilidad?
1
Tales son los problemas abiertos todavia por las logicas epistemicas, a los que se intenta dar hoy una solucion, recurriendo tambien a instrumentos sacados de la teoria de la probabilidad y de la teoria de la informacion". 3.4.
Teorias de la intension
Otro campo en que el instrumento de la semantica kripkiana se ha aplicado con exito, solo relativo, contempla el problema de la constitucion de una teoria general de la intension. Como se ha visto, la dificultad principal del concepto fregeano de intension venia representada por su vaguedad que, contrapuesta a la cabal delimitacion del concepto de extension, durante mucho tiempo llego a obstaculizar el desarrollo de una teoria de las intensiones que tuviera una dignidad matematica parangonable a la de la semantica extensional. De hecho, la teoria de los significados como inten- \ siones perrnanecio, durante casi media siglo, en el punta exacto en que la dejara Frege. En 1947, con la obra Meaning and N.§_~ (Significado y Necesidad), Rudolf Carnap propuso una explicacion rigurosa para el vaporoso concepto fregeano de intension. EI fundamento de su propuesta consiste en distinguir en la equivalencia 16gica una condicion necesaria y suficiente para que dos proposiciones tengan intension igual. En este punto, la tentacion abstracta llevaria espontaneamente a identificar, asimismo, la intension de una proposicion can la clase de las proposiciones Iogicamente equivalentes a ella (es decir, con lo que los algebristas de la logica denominan «elemento del algebra de Lindenbaum asociado a la proposicion»), Pero Carnap rechaza ese paso que juzga antiintuitivo : La intension ( de una proposicion es, para el, una entidad extralinguistica
II
, Estes problemas
fueron
estndiados de modo particular
por J. HINTIKKA,
1962 Y 1970.
,_"
114
0~
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01~O"
115
' a la que se impone como (mica condicion el ser comun a /1 todas las proposiciones logicamente equivalentes. Pero, i,resulta realmente adecuado, respecto a la intuicion y al uso comun, asumir que dos proposiciones sean equiintensionales, si y s610 si son 16gicamente equivalentes? Consi-
deremos, por ejemplo, los dos pares siguientes de proposiciones:
a) .Los estudiantes solteros se alojan en la primera planta de la residencia universitaria. a') Los estudiantes no casados se alojan en la primera planta de la residencia universitaria. b) Jorge sabe que: «0 llueve 0 no Ilueve», b') Jorge sabe que: «si la hipotesis de que la lluvia comporte un descenso de temperatura implica que llueva, entonees llueve». La intuicion
comun,
partiendo de la indicaci6n de Frege,
se vera obligada a concluir naturalmente que a) y a') tienen
la misma intension, por cuanto expresan «el mismo pensamiento», en tanto que b) y b') tienen distintas intensiones
(b podria ser verdadera, inclusive aunque b' fuera falsa).
Por contra, segun la definicion de Carnap, deberia verificarse exactamente la situacion inversa. En efeeto, a) y a') no son logicamente equivalentes, puesto que la proposicion «x es soltero si y solo si x no esta casado» no es una verdad logica. Por el contra rio, b) y b') resultan logicamente equivalentes,
dado que las dos proposiciones subordinadas en b) y en b') representan dos ejemplos de verdades logicas (clasicas), y las verdades logicas son todas Iogicamente equivalentes entre sf. No obstante, mientras que la subordinada de b) representa un ejemplo de verdad logica particularmente simple e intuitivo, el principio del tercio excluso, la subordinada de b') ejemplifica una verdad logica clasica mas compleja y de ningun modo intuitiva, la Hamada ley de Peirce (]« -> (3) -+ a]-+ a). lEI caso de las proposiciones a) y a') parece demostrar por 'tanto la 'noportunidad de asumir la equivalencia logica como una condicion necesaria para que dos proposiciones sean
116
equiintensionales, en tanto que el caso del par b) y b') demuestra que la equivalencia 16gica no es racionalmente ni siquiera una condicion
suficiente para la equiintensionalidad.
_(:;i!.r:!!.apj'ue__£Qnsciente de las dificultades que planteaba su _definicion de intension. En 10 concerniente a la oportunidad I de imponer la equivaiencia logica como condicion suficiente I
para la equiintensionalidad,
el reconocio
que, con tal condi-!
cion, se obtiene un concepto de intensi6n mas debil que el de , Frege, concepto
que, en general, no se aplica
con exito all
analisis de contextos de tipo epistemico, En el caso de con- . textos epistemicos., la relacion de equiintensionalidad debe
substituirse par una relacion mas fuerte, de isomorfismo intensional: esta Ultima nocion no encontro nunca, sin embargo, un nivel de precision totalmente satisfactorio para Carnap ni para otros autores.
En cuanto a la oportunidad de la condicion de necesidad de Ja equivalencia Iogica, Carnap se ve forzado siempre a concebir la «verdad 16gica» en un sentido bastante lato, a saber, como sinonimo de «verdad analitica», e inc1uir asi, entre las verdades logicas, proposiciones cuya verdad depende exclusivamente del usa Iinguistico, eual es el easo ejemplar de «x es soltero si y solo si no esta casado».
Pero los distintos ensayos de Carnap por establecer una formal rigurosa de «verdad analitica» nunca se vieron coronados por el exito. Tras las huellas de la critica acerba de analiticidad que llevara a cabo Willard Van Orman Quine, la tendencia general de los estudiosos hoy es reconocer/) la imposibilidad de una distincion de principio, realizada con definicion
criterios puramente formales,
entre verdades analitieas y ver-
dades sinteticas. EI instrumento de la semantica kripkiana permiti6 transformat de modo natural la definici6n de Carnap de intensi6n: as! como resulto relativamente facil renunciar a Ia necesidad de la condicion de equivalencia logica para la equiintensionalidad, aparece mucho mas problematica por contra la posibilidad de abandonar la suficiencia de la condici6n. 117
0<'(
i .
A Richard Montague, sobre todo, se debe la sistematiza-
' cion maternatica
de una nueva teoria de la intension, caracte-
, rizada por el uso del instrumento kripkiano en el ambito de
En la sistematizaci6n de Mon\ \un enfoque «semiextensional». tague, las extensiones y las intensiones de las expresiones de un lenguaje resultan siempre definidas relativamente a una
realizaci6n kripkiana R_= {M,},.,,__donde los subindices i de los mundos M( representan puntas de referencia genericos que varian en razon de los contextos (de vez en cuando podrian ser instantes temporales, 0 bien contrasignos de mundos
posibles, etc.). Mientras la extension de una expresi6n siempre
queda definida respecto a un mundo particular M" la intension se define respecto a toda R. EI concepto de extension no
sufre modificaciones
respecto a la sernantica
tarskiana:
a) la extension en M, de una constante individual es un " elemento del universe de M(; b) la extension en M, de un predicado de un argumento es un subconjunto del universe de M(; la extension de un predicado de n argumentos es un conjunto de n-plas ordenadas de elementos del universo; c) la extension en M, de una proposici6n es un valor de verdad: el valor verdadero cuando la proposicion es verdadera en Mt; el valor falso, en cualquier otro caso.
l[
La intension de una expresion en la realizacionR queda identificada simplemente can el sistema de sus extensiones en
los diferentes elementos M, de R (en abstracto, un sistema
tal de extensiones puede describirse tarnbien como una funcion que a todo subindice i asocia la extension en M~de la
expresion considerada). Verbigracia: si R representa el sistema solar en cierto intervalo temporal I, la intension de la constante individual «Tierra» es el conjunto de todos los objetos concretos que corresponden a la Tierra en los diferentes instantes que pertenecen al intervalo I; en tanto que la intension de la proposicion «la Tierra esta en el perihelia» 118
es el conjunto de valores de verdad de la proposicion en cuestion en los distintos instantes de I. Puede suceder que el lenguaje contenga operadores logicos 0 que satisfagan la condici6n siguiente: la verdad en M, de una proposicion a que contiene 0 depende de la verdad de subproposiciones de a en otros mundos de R (operadores de este genero son, por ejemplo, los operadores mod ales y los temporales). En casos como estos resulta entonces que la extension de a (es decir, su valor de verdad en M,) viene a depender de la intension de ciertas subexpresiones de a. , Cuando esto sucede decimos que a es un contexto intensional; I, en cualquier otro caso, decimos de la proposicion a que es "
II
I
I
I'
un contexto extensional.
Los contextos extensionales respetan el criterio de Frege (descrito en el apartado 2.1): siempre es licito substituir, en
un contexto extensional, una subexpresi6n por otra expresi6n
I
equiextensional sin alterar Ia extension de la expresion origi- i.
nat. Los contextos
intensionales,
par contra,
violentan
el
criterio de Frege, como demuestran ejemplos famosos que han sido objeto de largas discusiones logicas y filosoficas, entre los cuales valga el ejemplo siguiente: es verdadero: «es necesario que la estrella de la manana sea igual a la estrella de la manana»; y es falso: «es necesario que la estrella-'de la manana sea igual a la estrella de la noche». Como se recordara, Frege, a fin de preservar la validez
universal de su criteria, habra ideado el artificio de la multi-
plicacion de las entidades semanticas que, en el caso de la teoria de Montague (por lo demas tambien en la de Carnap), se habia eludido. Las ventajas obvias de esta teoria semiextensional de la intension
vienen representadas
par su rigor y su precision
formal. Quedan todavia en cuesti6n algunas dificultades serias de tipo general, entre las cuales destacan las siguientes:
119
V
I) La equivalencia logica permanece como condicion suficiente (aunque no necesaria) para la equiintensionalidad. En efecto, dos proposiciones logicamente equivalentes tienen el mismo valor de verdad en toda realizacion tars kiana ; por consiguiente, a fortiori, poseen la misma intension.
'v
2) En los contextos episternicos no es posible, en general, substituir una expresion por otra expresi6n equiintensional sin alterar la extension e intension de la expresion original. Lo que contrasta con una exigencia profundamente enraizada segun la cual en un contexto del tipo «x conoce a» se entiende que 10 que X conoce es justamente la intension de a (y, por tanto, la substitucion de a por una fJ equiintensional deberia ser siempre lieita). 3) Resulta sumamente dudoso que esta definicion formal de intension represente una explicacion rigurosa para el concepto intuitivo de intension propuesto por Frege. Piensese por ejemplo en el caso de la proposicion citada mas arriba «la Tierra esta en el perihelio». i,Cabe sostener en realidad que el «pensamientr» expresado por la proposicion en cuestion sea identificable con un sistema de val ores de verdad? Piensese luego en el caso de un predicado, verbigracia, el predicado «hombre», Desde un punta de vista intuitivo, el conocimiento de la intension de «hombre» no presupone de ningun modo el conocimiento de sus diferentes extensiones en los diferentes momentos historicos: intuitivamente, la intension de «hombre» se acerca mas a una suerte de «idea platonica de hombre» mas que a un conjunto de individuos. Todos estos argumentos inducen a pensar que la actual teoria semiextensional de las intensiones, no obstante poseer un gran interes logico, represente no tanto una teoria adecuada de la intension cuanto, mejor, una etapa intermedia entre la teorfa extensional y la teoria intensional del significado. 120
3.5. Semdntica kripkiana para las l6gicas [undamentales En los apartados anteriores hemos visto algunos exitos y otros tantos fracas os del enfoque kripkiano. Tomemos ahora ~ en consideracion un nuevo caso de aplicacion conseguida: el caso del analisis semantico para las 16gicas fundamentales no clasicas, EI lector recordara que las 16gicas fundamentales no clasicas (en particular la intuieionista y la minimal) correspond en intuitivamente a un punto de vista «epistemologico»: cuando afirmo a entiendo decir que «yo conozco a», y no que «a vale objetivamente». Esta perspectiva ad mite una descripcion semantica rigurosa mediante una transformacion del enfoque kripkiano, considerado en los apartados anteriores. La modificacion a adoptar es simplemente la siguiente: en vez de asumir una familia {M,},o de mundos posibles, asumamos una familia {Ki}i¤[ de «sistemas de conocimientos parciales» (y coherentes) de mundos posibles. Estos sistemas de conocimientos K, estan ordenados por la relacion s; de inclusion: si un sistema K, se encuentra incluido en K, (K, s; K,) quiere decir que K, representa una posible «ampliacion de conocimiento» respecto a Ki. La relaci6n que corresponde naturalmente al concepto de verdad de una proposici6n a en un mundo M" es, en la nueva situacion, la siguiente: el sistema de conocimientos K, a/irma a (0 como tambien se dice, constriiie a (constringe) a a ser verdad era, 0 simplemente constrihe a a). Escribiremos abreviadamente: K, II-a. La diferencia fundamental entre el concepto de verdad y el de afirmacion viene representada por el hecho de. que, mientras la verdad goza (al men os en el ambito de la '\'\ bivaleneia) del principio del tereio exciuso, la relacion de afirrnacion, en general, no goza de ella. Con otras palabras, mientras vale: 1= a, 0 bien p -.a; no vale: K, 11- a, 0 bien Mi
Mj.
121
Como se hizo a su tiempo para el concepto
de verdad,
determinaremos ahora el comportamiento de la relacion ... 11- ... respecto a la forma de las proposiciones:
1) K, 11- P~tl ... t; si y s610 si Prt; . , . tn pertenece a K,; 2) K, 11-- .., f3 si y solo si toda ampliacion K, de K" no K, 11- f3; 3) K, 11- f3 /\ y si Y solo si K, 11- f3 y K, 11- y; 4) K, 11- f3 V 'Y si y solo si K, 11- f3 0 bien K, 11- 'Y: 5) K, 11- f3 -+ 'Y si y solo si para toda ampliaci6n K, de K" si x, 11- f3 entonces Kj 11- 'Y; 6) K, 11- f3 +-> 'Y si y s610 si K, 11- f3 -+ y y K, 11- 'Y -> f3 ; 7) K,
11-
vx,f3
si
y
s610 si para toda ampliaci6n K, de K"
K, 11- f3(x./t) para todo ejemplo t; 8) K, 11- 3x,/i si y s610 si para un caso por 10 menos t, K, 11- f3(x./t).
Como demostraria en 1965 Kripke, las leyes 16gicas intuicionistas resultan ser todas y s610 todas las proposiciones afirmadas por toda K, en un sistema cualquiera de conocimientos parciales {K,l,er que obedczca a las condiciones descritas mas arriba. Y modificando !igeramente estas condiciones se puede obtener un resultado analogo para la misma 16gica minimal.
- -')- 3) omnisciencia en potencia: si nunca llegara a conocer ..., a, en un punto determinado conocera a (si para todo K, '2 K, no K, 11- ..., a, entonces, para determinado Kj;2 K" K, 11- a).
Justamente esta fuerte idealizaci6n es la que no permite una aplicaci6n natural de la semantica kripkiana de tipo «episternologico: a los problemas todavia planteados por las 16gicas epistemicas, anterior.
de las que nos ocupabamos
en el apartado
Un caso limite de la semantica kripkiana de tipo epistemologico permite la descripci6n de la 16gica clasica: es el
representado por familias que contienen un sistema unico de conocimientos y que, por 10 tanto, corresponden a una mente «omnisciente, privada de evolucion». Las leyes logicas clasicas resultan ser todas y solo todas las proposiciones que se afirman en todo sistema de conocimientos que pertenezca a
una familia-unidad de este tipo. La descripci6n sernantica
kripkiana parece,
pues, sugerir
naturalmente una metafora que interpreta la 16gica clasica
como un especie de «logica de Dios», al tiempo que concibe
la 16gica intuicionista como la «logica de una mente ideal en
evolucion».
Intuitivamente, podemos suponer que un sistema {K,}iE! represente una «mente ideal» en evolucion: todo K, es un \ \ estadio de este desarroIlo, del que los K, siguientes representan \ posibles ampliaciones. En base a nuestras condiciones semanticas puede demostrarse que en nuestra mente abstracta impusimos una triple idealizacion (respecto a las mentes humanas
I
concretas) :
-----;7 1) memoria absoluta: en todo estadio, la mente recuerda todo aquello que ha conocido previamente (si K, ~ K, Y K, 11- a, entonces K, II-a);
__~ _) 2) coherencia: si en determinado estadio conoce a, en los estadios siguientes nunca conocera ..., a (si K, 11- a, entonces, para todo K, 2 K" no K, 11- .., a);
122
123
4.
EL PROBLEMA DE LOS FUNDAMENTOS DE LA MATEMATICA
4.1. Matematica y logica Los afios sesenta seiialaron en el campo de la critica de los fundamentos de la matematica, un cambio de rumbo tan rotunda que todavia no hemos podido calibrar en todo su significado. Por su importancia, tal giro parece digno de parangonarse a otros dos grandes momentos de la historia de la 16gica del siglo xx: 1902 (descubrimiento de la antimonia [I de Russell) y 1931 (demostraci6n del teorema de Godel). En el fondo (si dejamos de momento al margen el fen6meno del constructivismo mate matico que durante mucho tiempo tuvo su propia historia independiente), y simplificando un tanto las cosas, diriamos que la historia de las modernas investigaciones sabre los fundamentos de la matematica se puede subdividir en tres grandes periodos, de tres afios eada uno, separados entre si por un resultado explosivo, cuya caracteristica seria poner en crisis el program a general del perfodo precedente, los giros que seiializaron respectivamente el final del primer periodo (1902) y el segundo periodo (l931) pueden , describirse ambos como «una mala pasada» jugada por el i esquema de la paradoja 16gica que toma el nombre de paradoja POt autorreferencia. Como es sabido,_una situaci6n 16gica de autorreferencia (que se verifiea cuando un termino 0 un concepto aplicase a 51 mismo) en muchos casas, aunque no siempre,
I
125
puede resolverse en contradicci6n. EI ejemplo mas antiguo conocido de contradiccion por autorreferencia esta representado por la celebre antinomia del mentiroso descubierta por los griegos (de la cual nos hemos ocupado en el capitulo 2). La antimonia de Russell, mediante lin easo particular de autorreferencia (el principia cantoriano de cornprension ejemI plificado en el easo de un concepto que se refiera a S1mismo), habia demostrado la incoherencia de la «logica general» a la que los grandes /ogicistas del siglo XIX, Cantor y Frege especialmente, habian reducido los conceptos fundamentales de la I matematica. La teoria cantoriana de los concept os, fundada sobre los principios de cornprension y de extensionalidad, gozaba de dos caracteristicas muy significativas:
II
..v I) era una teoria sumamente potente desde un punto de vista matematico, ya que conseguia definir en su interior los conceptos primitives y demostrar, tam bien en su interior, los teoremas de todas las teorias matematicas conocidas mas importantes. La aritmetica, el analisis, la geometria, etc., se I( can:ertfan, par ende, en ramas particulares de la teoria de I conjuntos. ~ 11) era una teo ria extraordinariamente simple y natural por su contenido: sus dos postulados aparecian como principios universal mente validos e indiscutibles. A primera vista, pues, se tenian en mano todas las condiciones para poder hablar de una «logica general» sumamente potente: reducir a la teoria de conjuntos todas las principales .!eorias matem.ticas signifieaba resolver el problema de ia fundamentaci6n logica de la matematica. Todo 10 cual com-portaba, naturalmente, algunas consecuencias filosoficas harto significativas. Par ejemplo, sobre esta base, era correcto concluir: la rnatematica es logica, y, como tal, no verifica hipotesis sabre eI mundo, carece de contenido. El cientffico empirico emplea exactamente la matematica del mismo modo 126
como recurre a la logica, y todo ser pensante can nuestra propia Iogica, tendria, en potencia par 10 menos, nuestra misma matematica, EI descubrimiento de la incoherencia de esta «Iogica ge-i neral» ponia evidentemente en crisis las mismas bases de tall programa de fundamentacion de la matematica, fatigosamente realizado en la segunda mitad del siglo pasado. Como es facil advertirse de ello, se puede debilitar tal logica a fin de evitar las dificultades que pusiera sobre el tapete Russell, garantizando al mismo tiempo una fundamentacion satisfactoria para la maternatica. Las teorias axiomaticas de conjuntos (verbigracia, la teoria de Zermelo-Fraenkel descrita en la tabla 7) absuelven justamente de ese deber. De ese modo, en efecto, se obtiene un tipo de teoria que no se asemeja en absoluto, como en el easo anterior, a una «verdadera logica» fundamentada sobre principios simples que pueden manifestarse universalmcnte validos. Se trata sobre todo de complejas teorias matematicas, cuyos postulados poseen, en la mayoria de los casas, forma de especiales hipotesis existenciales y, como tales, no pueden eonsiderarse verdades lcgicas. Cay6, por ultimo, la segunda componente de la teoria cantoriana de conjuntos, que garantizaba la realizacion del programa logicistico de fundamentacion logica de la matematica, I,Cual puede ser el significado filosofico de una reducci6n, en que la teoria fundamentante aparezca en muehos aspectos mas problernatica que las mismas teorias que se pretendia fundamentar? La historia ensefia que se respondi6 a esta grave dificultad con la «escapatoria- filosofica del j.QlJ1Ja./ismo, el cual propane una reduccion 16gica mas sutil respecto a la anterior. En tanto que el logicismo pretendio una reduccion directa de lo mas complejo (matematica) a 10 mas simple (Iogica), y habiendo fallado segun se ha visto en este terreno, el formalismo se contenta, por su parte, con una reduccion indirecta. Una vez aceptada la reducibilidad de toda la mate- I matica a una teoria axiomatica de eonjuntos, se trata demostrar la correccion (es decir, la coherencia) de esta ultima
I~
de
127
a traves de razonamientos sintacticos que sean justificables en de Ia misma teoria, Esta posibilidad de autojustificacion sintactica no es una pretension irracional a primera vista, puesto que la coherencia de una teoria es una propiedad de un sistema de «cosas concretas», los signos de la teoria; y 1a teoria de conjuntos se ideo con el fin de poder describir las propiedades de todos los conjuntos posibles. Obviamente, una situaci6n 16gica de tal indole tiene todos los caracteres de un caso de autorrefe-
cl interior
p
-
. rencia. Hasta 1931, sin embargo, la escuela de David Hilbert (padre, como es sabido, del programa formalistico) estaba i
I
convencida
de poder eludir par ese camino el «fantasma del can paciencia se fueron elaborando demostraciones parciales de coherencia can las miras puestas en a1canzar, en ultima instancia, una fundamentaci6n sintactica de
I mentiroso»:
toda la matematica (reducci6n de los mas complejo =mate-
matica=-
a 10 mas simple -sintaxis-).
Pero, segun se via,
en 1931 «el mentiroso seguia inquietando»: Godel demostr6 que la teoria de conjuntos, si es coherente,
no esta
capacitada
para demostrar la pro pia coherencia. La cadena reductora de las teorias matematicas no tiene un elemento ultimo, capaz de autojustificarse. Es, pues, inevitable el regreso de las teorias
al infinito.
4.2. Cambios recientes de perspectiva en fa problematica fundacional De
forma
distinta
a
10 que
ocurriera
casos precedentes, el giro de la decada
con
los
dos
de los sesenta no
\\ se caracterizo por un solo resultado explosivo: 10 hizo por una revolucion de metod os en conexion con viejos pro-
blemas. En_196J,_el maternatico norteamericano Paul Cohen ob-
tuvo una solucion
relativa para un gran problema irresolute
demostr6 la imposibilidad de resolver en las teorias elementales de conjuntos al uso el problema de «l,cuimtos son los numeros reales ?». Y ello con la creacion de un metodo nuevo,
el denominado metcdo del forcing (constriccion) que en un principio apareci6 como un tanto esoterico
al mundo de los
16gicos. En cierto sentido, el resultado de Cohen se realiz6 en un clima inverso respecto al de 1902 y 1931. Los resultados de
Godel se habian logrado sin ninguna esperanza previa, al tiempo que su demostracion se establecio con metod os ciertos e indiscutibles (en el caso de Russell se trataba adernas, segun ha quedado visto, de contados y simples pasajes logicos).
Por contra, el resultado de Cohen se estaba esperando, pero producia extrafieza su tipo de solucion,
Las rcacciones natu-
rales que siguieron a los hallazgos de Russell y Godel fueron de estados criticos, de necesidad de un replanteamiento general. La que sigui6 a los trabajos de Cohen seria una prolife-
racion
forcing.
de resultados
nuevos,
de desarrollos
del misterioso
A estas alturas quiza sea oportuno resumir escuetamente el problema del continuo. En el marco de su teoria general de conjuntos, Cantor creo una nueva «aritmetica del transfinito», que constituia una generalizacion al caso infinito de la ..... aritmetica usual de los numeros naturales (finitos). En este/. )
cuadro te6rico habia demostrado que el que pertenece al conjunto de los numeros temente al conjunto de los puntos de la el mimero (transfinito) que pertenece al
numero (transfinito) reales (0 equivalenrecta) es mayor que conjunto de los nu-
meros naturales; contravenia de este modo una idea intuitiva
profundamente arraigada segun la cual el infinito representaria una suerte de limite para nuestras rnedidas y careceria de sentido «ir mas alia del infinito». Cantor estaba convencido de la no existencia de numeros transfinitos mas pequeiios que
el numero de los reales (numero que recibe tam bien el nombre de «cardinalidad del con_tinuo» y se indica con la letra hebrea ).:I) y mayores que el mimero de los naturales (llamado
128
129 9.
Dalla Chiara.
'>
a
!_ambien cardinalidad del numerable e indicado con letra hebrea subindicada ~o). Con otras palabras: ~ seria el siguiente inmediato transfinito de ~o. Este es el contenido de la celebre «hipotesis del continuo» .9.ue Cantor intento en vano dernostrar.
En 1938, Godel demostro la coherencia relativa de la hipotesis cantoriana del continuo respecto a las teorias axiomaticas usuales de los eonjuntos (por ejemplo, la teoria de Zermelo-Fraenkel): si ZF, con la suma de la hipotesis del
continuo
fuera incoherente,
entonees
seria incoherente
la
misma ZF. Por supuesto, ello 110 significa haber demostrado la hipotesis del continuo. Nuestra hipotesis se hace demostrable, sin embargo, cuando se afiada a ZF un nuevo axioma (llamado por Godel axioma de constructibilidady, que afirma que todo eonjunto es construible, es decir, definible linguisticamente mediante una definicion en la que se haga referencia
I
solo a eonjuntos eonstituidos anterionnente en la jerarquia de , los tipos ideada por Russell, Intuitivamente, podemos ilustrar la situacion de la forma siguiente. Segun una idea avanzada por primera vez por Russell, el universo natural de la teoria de conjuntos es una jerarquia estratifieada en tipos (0 inveles), que podemos
visualizar como un cono invertido y sin base:
,,
,,
,
I
I
primer nivel contiene todos los posibles subconjuntos del conjunto vacio, el segundo todos los subconjuntos del primer nivel, y asi tantas veces cuantos sean los rnimeros
un nuevo nivel CUYDS elementos son todos los conjuntos cons-I . tituidos anteriormente, y por tanto se vuelve a empezar por
ese proceso?
I
130
cuantos
sean los
mimeros
naturales \
niveles siguientes, ni mucho menos a toda la jerarquia
COID-
pleta!). La idea godeliana de constructibilidad representa un desarrollo conjuntista-abstracto de los principios filosoficos que orientaron un importante sector del constructivismo maternatico moderno:
el sector predicativista,
avanzado por vez pri-
mera por Henri Poincare. Como se recordo en la «Introduccion», para los predicativistas solo tienen existencia matematica definicion predicativa;
a saber, una definicion en la que no se
haga referencia a la totalidad de los entes a que el ente sujeto de definicion perteneee (ejemplo de definicion no predicativa es el siguiente «el numero real menor cuyo cuadrado sea mayor 0 igual a 2», que hace referencia a la totalidad de los numeros reales, totalidad a la que pertenece el ente que quiere definirse (es decir, el numero V2, pertenece).
EI vertice del eono representa el conjunto vacio. Los dis-
; tintos planos representan los distintos niveles de jerarquia:
Tantas
(finitos y transfinitos) cuya existencia se demuestra en la teorfa de conjuntos. Ahora, ~l axioma de constructibilidad afirma ..... que to do conjunto de esta jerarquia puede describirse mediante-una definicion en la que se haga referencia unicamente a niveles de la jerarquia constituidos anteriormente (jnunca a
aquellos entes abstractos que sean definibles mediante una
I
el
I
el principio constituyendo en el nivel siguiente todos los subconjuntos del nivel precedente. i,Cuimtas veces hay que iterar,
En realidad,
'I
naturales.
Una vez agotados todos los numeros naturales, se constituye
reconocer
existencia
maternatica,
a todo el
cono de los conjuntos construibles, es mucho mas de lo que los predicativistas tradicionales estarian dispuestos a conceder. Nada asegura efectivamente que aquellos mimeros transfinitos que se han usado esencialmente
en la construccion
de nuestro
131
cono sean, a su vez, definibles predicativamente. Supongamos, no obstante, que se quiere «liberalizar» un famoso juicio del matematico constructivista Leopold Kronecker, que decia: «Dios cre6 los mimeros naturales y 10 dernas lo hicieron los hombres», e imaginemos un Padre eterno que nos haya dado no s610 los numeros finitos, sino tambien todos los numeros transfinitos. En tal caso, todo el cono de los conjuntos construibles serian «obra del hombre» y, como tal, aceptable tambien por un matematico constructivista. Desde un punto de vista filosofico se trataria de una forma de «constructivismo debil», que pasaria a depender de una hip6tesis extraordinaria (y no justificable segun los principios del constructivismo tradicional) de existencia de los numeros transfinitos. Mientras Godel demostraria que dicha forma de construetivismo debil permitiria resolver el problema cantoriano del continuo (sin tener que afirmar la validez), Cohen demostraria como fuera posible falsificar no s610 esta forma de constructivismo (descrita por el axioma de constructibilidad) sino tambien la misma hip6tesis cantoriana del continuo. De : consuno, los dos resultados de Godel y Cohen vendrian consiguientemente a afirmar la indecidibilidad de la hip6tesis del continuo en las teorias elementales de conjuntos; es decir, la I incapacidad de estas teorias de resolver el problema «icuantos son los numeros reales ?». EI resultado de Cohen puede obtenerse a traves de la construcci6n de un modelo para ZF, muy parecido al cono de los construibles, en el que no obstante se insertan en un momento determinado conjuntos de tipo especial, los llamados conjuntos genericos. La inmisi6n de estos conjuntos en el cono de los construibles tiene un efecto un tanto perturbador: no se llega a poder contar el continuo como se hacia antes (10 que permite falsificar la hip6tesis del continuo); al mismo tiempo, 103 conjuntos genericos no resultan definibles mediante una definicion predicativa (10 que permite falsificar el axioma de constructibilidad). Intuitivamente, las caracteristicas de un conjunto generico pueden describirse del siguiente modo: se trata de un conjunto infi-
'I
132
nito, tal que la verdad 0 falsedad de toda proposici6n que lo contemple depende siempre s610 de un conocimiento finito de su composici6n. Por ejemplo, el conjunto de todos los mimeros naturales (l1amado tambien w) no es un conjunto generico : hay que conocer toda la composici6n de w para poder decidir la verdad de muchas proposiciones sobre os, En el caso de un conjunto generico, por contra, para toda proposicion a existe una informacion finita que constriiie a a o ...,a a ser verdadera. Justamente por no ser nunca relevante el conocimiento completo de su composici6n para decidir cuales sean las propiedades de que disfrutan, los conjuntos genericos resultan poseer s6lo la propiedad de que gozan casi todos los conjuntos. Lo que explica el origen de su nombre. La idea que subyace en el concepto de conjunto generico es de origen intuicionista. A los matematicos intuicionistas se debe, efectivamente, el desarrollo sistematico de una teoria de las «totalidades ill fieri», contrapuesta a las teorias de las «totalidades en acto», que constituia el fundamento del en- . foque cantoriano. La contraposicion nacia de la espinosa cuesti6n relativa al caracter actual 0 potencial del infinito matematico: asi como para Cantor y para los 16gicos el CODcepto de infinito actual es una idea necesaria, que no solo legitima, para fundamentar 16gicamente el cuerpo de la matematica clasica ; para los intuicionistas se trata s610 de una incorrecta extrapolaci6n del mundo del fin ito, carente de un sentido maternatico preciso. Usando la idea de «totalidad in ! fieri» (frente a «totalidad en acto») y al mismo tiempo la 16gica intuicionista (antes que la 16gica clasica), los intuicionistas crearon una teoria de los numeros reales alternativa i . respecto a la clasica: el analisis clasico y el analisis intuicionista resultan no com parables desde el punto de vista de la !\c inclusi6n teoretica, en el sentido de que ninguna de los dos es subsistema del otro. EI concepto fundamental del analisis intuicionista es de la sucesi6n de mimeros naturales tal que toda propiedad de
.1
133
la sucesion depend a exclusivamente de un segmento inicial finito de la sucesi6n (sucesiones de este tipo reciben el nombre de «Selecciones libres»). Salta inmediatamente a la vista que existe una clara conexi6n entre esta idea intuicionista de «sucesion de selecciones libres» y el concepto de Cohen de conjunto generico. La conexi6n se hace mas honda cuando se refleja sobre la siguiente circunstancia: el metoda del forcing que entra en la definicion de «conjunto genericoi implica la misma relaci6n de afirmaci6n (0 cons/ricci6n) de la que se hizo uso cuando se describi6 la semantica kripkiana para la 16gica intuicionista. Las razones profundas por las que se verifican conexiones como las mencionadas permanecen todavia en la obscuridad. Desde un punto de vista historico, se tiene la impresi6n de haber asistido a una significativa «vendetta» de Brouwer frente al sistema de Cantor. Todavia en 1925, el logicista Ramsey hablaba de los intuicionistas como de una «amenaza bolchevique». A posteriori, hoy se tendria que afirmar que, en el fondo, Ramsey tenia razon: aunque, por supuesto, nunca se hubiera imaginado el que justamente desde el intuicionismo llegarla un instrumento tan «revolucionario» como el forcing, capaz de ofrecer, en el terreno clasico, una solucion relativa a un gran problema irresoluto de Cantor. Sobre el empleo de semanticas polivalentes se fundamenta un metoda alternativo al forcing, el cual permite construir modelos para la teoria de conjuntos, modelos capaces de falsear el axioma de constructibilidad y la hip6tesis del continuo. De este tipo fueron los propuestos por vez primera por ei norteamericano Dana Scott y recibieron el nombre usual de «modelos de Boole de la teoria de conjuntos». Elforcing y la aplicaci6n de metodos polivalentes representaron el ingreso en la teoria clasica de conjuntos de una suerte de «conocimiento aproximado», que le era esencialmente extrafio. Y resulta significativo que este tipo de aproximaci6n pueda ser indiferentemente interpretado como expresi6n de un punto de vista intuicionista (con el forcing) 0 probabilistico (con los modelos de Boole). Intuitivamente, en ambos casos
l
134
se trata de una situacion kigica en que es necesario transformar un tipo de conocirniento incierto en un tipo de conocimiento cierto. Como se ha visto, en el caso del forcing se las ha de haber con determinados conjuntos (los conjuntos genericos) en relacion a los cuales se tiene siempre una informacion finita y limitada (si bien extensible indefinidamente). En virtud de esa situacion, no obstante, toda proposicion sobre estos conjuntos esta constreiiida a ser verdadera 0 falsa por una de estas informaciones. Es como si, sin conocerlo todo, [pretendieramos decidirlo todo! En el caso de los model os booIeanos, par contra, sucede que, en un momenta dado de la construccion, se llega a contraer en un unico valor de verdad cierto todo un sistema de valores de probabilidad. [Cual si pretendieramos conocer con certeza 10 que en realidad co nocernos solo aproximativamente! Esta aplicaci6n a gran escala de metodos no clasicos sobre el terreno clasico i,tiene un significado desde un punto de vista fundacional? 1.0 bien se trata s610 de una mera cuesti6n de selecci6n de medios tecnicos ? En el fondo, la teoria de conjuntos se encuentra en una situaci6n extrafia: desde el exterior, sigue representando (segun el espfritu de la 6ptica cantoriana) la teoria de la totalidad en acto (0, si se quiere, la teoria de los conceptos objetivos), caracterizada por dos componentes: I) objetividad de los conceptos, en el sentido de independencia de nuestro conocimiento (en virtud del principio de extensionalidad, las totalidades estan determinadas por sus elementos); 2) determinismo, que procede del recurso a la 16gica clasica: no se admiten situaciones de pertenencia incierta 0 difusa. Aparentemente, todo contexto de tipo indeterminista, intensional 0 conceptualista, deberia resultar incompatible con los principios-base de la teoria de conjuntos. Sucede justamente~ lo contrario: no s6lo la teoria de conjuntos hace uso de principios antagonistas para la construcci6n de sus propios mo135
-}
delos, sino que, adernas, se revela con capacidad de funda// men tar en su interior esos mismos principios antagonicos. Piensese, por ejemplo, en la teoria «semiextensional» de la intension, 0 en Ia descripcion kripkiana de la logica intuicionista, 0 en la fundamentacion conjuntista de las logicas polivalentes 0 de la misma teoria de las probabilidades. i,Significa todo ella unicamente maxima generalidad y grandisimo poder fundacional de la teo ria de conjuntos? Es una conclusion po sible. No obstante, sabemos que los «juegos no se han hecho» para la teo ria de conjuntos; por incapacidad \ de la teoria para resolver algunos de sus problemas fundaI mentales (por ejemplo, el del continuo) hoy los conjuntistas manifiestan no saber todavia con exactitud «en que consiste un conjunto». Con toda probabilidad este revoltillo de conceptos y metod os, antipodas en apariencia, depende tambien de la situacion de incertidumbre general que respira la teoria. Sin duda, el status de las investigaciones fundacionales de estos ultimos quince afios da la impresi6n de una especie de fecunda confusi6n. Esta situacion recuerda, en ciertos aspectos, la del Analisis en 1700: gran libertad en la aplicacion de metodos aun cuando no se hayan apoderado totalmente estes ni se conozcan exhaustivamente. El trueque increible de metodos e instrumentos conceptuales entre enfoques fundacionales distintos, a los que estamos asistiendo hoy, significa obviamente el final de toda forma de «ideologismo», Si no algo mas: la imposibilidad de describir las distintas vias fundacionales como el desarrollo coherente y sistematico de un unico punto de vista general. En otros terrninos, una com pIejidad mayor de las tcorias respecto a los puntos de partida filosoficos. En el fondo, la filosofia de la matematica de comienzos '\del siglo xx se debatio prevalentemente en torno a un unico gran tema: la version moderna del viejo problema de los \ universales. Se encontraban en liza, fundamentalmente, tres concepciones antagonistas: una concepcion descriptiva de Ia rnatematica (a la que se adscribian los logicistas y la ma-
yoria de los conjuntistas) segun la cualla actividad matematica describe un tipo de realidad que, des de un pun to de vista puramente logico, no es muy distinto de la realidad de la que " se ocupan las ciencias empiricas. Una concepcion constitutiva de la matematica (elaboradas por las distintas form as de constructivismo: intuicionista, predicativista, etc.) segun Ia cual la actividad matematica crea los entes y las estructuras de que ( trata. Y, por ultimo, una concepci6nJormalista, segun Ia cual ! la actividad matemaii;;-~ puede identificarse con la elaboracion de un conjunto de sistemas formales. Esta triparticion filoso fica rigida parece hoy, segun vimos, superada en muchos casas por investigaciones concretas sobre los fundamentos de la matematica, Todo ello no significa necesariamente decadencia 0 regreso de la filosofia de la matematica a una condici6n de mera «prehistoria» respecto a los resultados tecnicos. Como sucede tambien con otras ciencias, se tiene hoy Ia impresion de cierta discrepancia entre las categorias filosoficas de que se hace usa y las cuestiones concretas que surgen en el interior de las investigaciones fundacionales. Con toda probabilidad, el problema estriba en encontrar nuevas y mas adecuadas categorlas generales en que poder encuadrar los nuevos resut't:ados.
II
t
136
137
,..--.
5. LOGICA Y CIENCIAS EMPIRICAS
5.1.
Semdntica de las teorias empiricas
EI analisis logico (sintactico y semantico) que se estudio en los capitulos 1-3 no se apliea necesariamente a una clase
privilegiada de teorias; segun se via en repetidas ocasiones tal analisis interesa, por 10 menos en linea de principia, a todo discurso racional con la condicion de que sea suficientemente sistematico y riguroso. Sin embargo, y en muchas circunstancias, se apunto la sospecha de que este tipo de tratamientd tuviera el maximo significado en el caso de teorias abstractas, matematicas sabre todo; mientras, inexorable y paulatinamente va perdiendo interes, aunque no correccion,
a medida que se aleja del caso de las ciencias abstractas.
Para las mismas teorias ffsicas, cuya estructura formal es muy proxima a la de las teorias maternaticas, se ha planteado varias veces el valor y la utili dad del mismo metodo axiomatico, Para algunos antares, axiomatizar una teorfa fisica es una actividad cuando menos imitil (un puro ejercicio
formal); para otros, se trata, adem as, de una peligrosa defor-
maci6n de los caracteres peculiares de las teorias en juego. Algunos sectores, por contra, sostuvieron la unicidad del
tipo de analisis lcgico en el estudio de las teorias cientificas (aunque no neeesariamente la unicidad de fa logics): y en particular, la oportunidad de aplicar los metodos de la teoria 139
de modelos incluso extramuros del estrecho marco de las teorias matematicas, En especial, es a Patrick Suppes, a Joseph Sneed y a Marian Przelecki a quienes debemos un desarrollo sistematico de una sernantica de las teorias flsicas, en el cuadro conceptual de Ia teoria abstracta de modelos. Discutiremos brevemente este tipo de perspectiva. Como sabemos ya, en el ambito de la teoria de modelos (en virtud del teorema fundamental de la logica) una teoria esta determinada por la familia de las realizaciones (0 estructuras) que son sus modelos. Axiomatizar una teoria equivale, pues, a determinar una clase particular de estructuras. Mas tam bien una teoria fisica pueda describirse oportunamente de este modo, mediante una familia particular de estructuras. Pero l,que es una estructura fisica? l,En que difiere de una estructura matematica ? La propuesta avanzada estriba en COTIcebir una estructura fisica como un particular enriquecimiento estructural de una estructura maternatica estandar. En general ella tendra entonces la siguiente forma:
En realidad una descripcion asi de las teorias fisicas cornporta una idealizacion muy fuerte frente a las teorias concretas. No se debe al azar, pues, que algunos autores como Sneed, por ejemplo, prefieran hablar a este proposito de teorias fisico-matematicas antes que de teorias ffsicas, verdaderas propias. La idealizacion llevada a cabo afecta, sobre todo, al concepto de «magnitud ffsica». Venimos prescindiendo, cfectivamente, de dos componentes muy importantes ambas: 1) las magnitudes fisicas «concretas» no asumen nunea como valores numeros reales singulares, sino siempre y al maximo intervalos de numeros reales (el resultado de una medida no puede ser nunea un numero unico, sino un numero «mas 0 menos algo», es decir, un cierto conjunto de numeros), 2) para tener un significado fisico, las magnitudes deben definirse operativamente: en otros terminos, no basta decir que para una situacion fisiea dada existe el valor de una magnitud determinada; es necesario indicar el camino para hallar ese valor; a saber, establecer un complejo de operaciones que permitan efectivamente a cada situacion que nos interesa el valor adquirido por la magnitud considerada.
1) Ro es una estructura maternatica estandar (por ejemplo, el modelo estandar del analisis); 2) D es un conjunto particular (finito) de objetos ffsicos; 3) gl' gk son magnitudes fisicas, describibles abstractamente como funciones que asocian a los objetos de D mimeros reales (0 n-pla de nurneros reales) en Roo 0
0
~Tiene todo esto un significado «practice» unicamente, del que es inevitable prescindir cuando se haga un tratamiento puramente teorico ? En realidad, resulta que tam bien estas componentes esenciales de la actividad fisica son susceptibles de un analisis logico riguroso. Un analisis tal permite determinar un nuevo concepto de estructura flsica, estrechamente ligado con las estructuras estudiadas por la teoria abstracta de model os, pero al propio tiempo mas cercano al que se hace en la «fisica real».! Se trata sencillamente de modificar el concepto anterior de estructura fisiea en el sentido siguiente: esta vez el eonjunto D representa, mas en general, cierto con-
0'
Por ejemplo, en el caso de la mecanica clasica de las particulas, puede considerarse que la teoria este determinada por una familia de estructuras del tipo (Ro, D, t, e, m, f> donde: Ro es el modelo estandar del analisis; D representa un conjunto (finito) de particulas; t, e, m.f son las funciones que corresponden a las magnitudes tiempo, espacio, masa y Juerza. Las condiciones que se imponen a los elementos de esta familia de estrueturas correspond en a los axiomas de la mecanica clasica,
1
Este tipo de analisis sJ encuentra
desarrollado
en
DALLA
CHIARA
SCABIA-
TORALDO DI FRANCIA, 197'3.
140
141
I..
_
I
junto de situaciones fisicas, en tanto que las magnitudes gt no son puras funeiones matematicas que van de objetos a numeros, antes al eontrario, quedan determinadas por sus
definiciones operativas (susceptibles de una descripci6n formal rigurosa). Estas definiciones operativas tienen por caracte-
ristiea haber asociado siempre un marco de precisi6n (la pre-
cisi6n de la medida): el valor que una magnitud g, asocia a una determinada
situaei6n
fisica es un intervalo
real cuya
amplitud viene determinada por la precision de g,. Las precisiones de las magnitudes se reflejan tambien sobre la definici6n de verdad de las proposiciones de un lenguaje en una estructura fisica dada (una definicion tal de verdad puede formularse readaptando, de forma natural, al nuevo caso, la definicion de Tarski). La nueva situacion se caracteriza, ademas, porque la verdad de una proposici6n en la que ocurren
nombres para determinadas magnitudes g, queda definida a excepcion de cierto valor 6 que depende de las precisiones de las g,. De aqui se sigue que una proposici6n y su negacion
pueden ser ambas verdaderas, en euanto ambas son compa-
tibles con la 6 en juego. Un analisis de este tipo demuestra, a un tiempo, la vasta aplicabilidad de las ideas generales de la teoria de modelos y, sin embargo, la necesidad de ir adaptando poco a poco
~ sus instrumentos
a las earacteristicas peculiares de las distintas situaciones te6ricas consideradas. Historicamente, los I te6ricos de los modelos fueron siempre matematicos, obvia-
mente preocupados, de modo especial, por las aplicaciones de tipo matematico, Con toda probabilidad la tendencia contemporanea a abrir la teoria tam bien hacia las problematicas de las ciencias ernpiricas,
despertara
nuevas interrogantes
teres para la misma teo ria pura de modelos.
de in-
5.2.
EI problema de fa «logica de fa mecdnica cudntica»
i,Puede admitirse que una teoria fisica influya en la logica, e incluso sea capaz de cambiarla? 0, por el contrario, i,es la 16gica, por definicion, independiente de la experiencia? La posibilidad de una dependencia de la 16gica respecto a la
experiencia, se sostuvo recientemente en relaci6n con una circunstancia que, por 10 menos inicialmente, suscito cierta
perplejidad. Parecio que la mecanica cuantica debiera sugerir \ naturalmente una 16gica de tipo fundamental, distinta de la 16gica clasica, de la intuicionista y la minimal. Tenia por caracteristiea esta logica, Hamada 16gica cuantica, ~l ser una
sublogica de la 16gica clasica, en q;;e la principal ley que §~ viola es el principio de propiedad distributiva de la conjuncion respecto a la disyunci6n [a 1\ (fi V y) <-+ (a 1\ (3) V (a 1\ y)] y su forma dual, leyes minimales ambas. Por contra, la 16gica cuantica no admite una confrontacion (respecto a la relacion de inclusion teoretica)
can las Iogicas intuicionista
y minimal,
al eliminar el principio del tercio excluso. i,En que sentido la mecanica cuantica conduce natural-If
mente a una nueva logica (0 si se prefiere, viola una ley de
la 16gica)? EI problema se planteo en forma fuerte y en forma
debil. Segun la afirmacion fuerte, la mecanica cuantica constrine a la adopci6n de una 16gica distinta. LJeg6 a mantenerse adernas que un famoso experimento de microfisica, el experimento del interferometro de agujeros permite una explicacion de la Iogica clasica, Nos encontramos en sum a ante una suerte de experimentum crucis capaz de separar la logica de 1a mi-
crofisica de la logica de la macrofisica. Desde un punto de vista filosofico e intuitivo apareceria enormemente sugestivo si las cosas se manifestaran en tales terminos, No obstante,
se trata de una vision simplista: ~l fenomeno del interferometro admite una ~Plicaci6n cohe rente incluso en el ambito de la logica clasica; a condici6n e que se acepte el principio (extral6gico y no 16g' 0 seg" el cual el concepto de «objeto 142
143
ffsicc» en el ambito microscopico no goza de todas las propiedades de que disfruta el mismo concepto en el ambito macroscopico. No parece, pues, que pueda sostenerse la afirmacion fuerte. En la afirrnacion debil, la mecanica cuantica se limita a «sugerir» una logica diferente. ~En que sentido? La estructura matematica fundamental de que se sirve la mecanica cuantica abarca una estructura algebraica cuyas operaciones
pueden interpretarse, de modo harto natural, como operaciones logicas. Resulta cabalmente que las dos operaciones
que representan respectivamente
los conectores
gozan del principio de distributividad.
Yaqui
en lenguaje mas claro). Por el contrario, el estudio de los
problemas tecnicos de esta particular logica fundamental, pro-
blemas que en la actualidad
planteados,
siguen estando en gran parte
se convierte en un problema tipicamente logico. ~Puede influir, pues, la fisica en la logica ? Se ha visto que,
cuando menos, existe la posibilidad de sugerirlo. En el capitulo
siguiente se contemplaran como estos interrogantes lIegan a incidir en el problema general de la unicidad y Ja autouomia
de la logica.
«y» y «0» no
incide una
polernica entre los estudiosos: la estructura en cuestion ;_,es s610 una estructura matematica 0, por contra, se hace legitimo e interesante interpretarla tambien como una logica ? Disputas
de este genero pueden prolongarse indefinidamente sin mayor incluso si solo fuera porque no se acoto preliminarmente que significa «una verdadera logica». Resulta mas fecundo, por contra, desplazar el angulo de mira del problema: demos por supuesto que se trate de una estructura logica. ~En que razones se fundamenta la afioracion de tal provecho,
estructura? ;_,Queinterpretacion intuitiva cabe dade? En este orden de ideas resulta entonces que, en general, en una situacion indeterminada en que se haga usa esencial de la teoria
de probabilidades (con logica-base clasica) se pueden definir
razonablemente nuevas conectivos logicos, que se comporten como conectivos cuanticos, En conclusion: la logica cuantica no parece sea necesaria a la mecanica cuantica (perfectamente encuadrable en el marco
( de la 16gica clasica), A pesar de todo la logica cuantica puede
definirse de modo natural en la estructura matematica de la mecanica cuantica, como, par 10 demas, en otras situaciones teoricas
de tipo indeterminista.
As! las casas, resulta escasa-
. mente probable que la logica cuantica permita resolver (como : sostuvieron algunos) determinadas dificultades conceptuales de \,Ila mecanica cuantica (aunque pueden contribuir a expresarlas 145
144 10.
uaua
Chiara.
6. 1.UNICIDAD 0 PLURALIDAD
DE LOGICAS?
Ya podemos pasar a responder a los problemas planteados
a su tiempo en Ia «introduccion»
en torno a Ia cuesti6n:
1.<
Segun se vio, en el campo restringido de las tres logicas fundamentales (clasica, intuicionista y minimal), resulta muy diffcil determinar cual sea la logica adecuada respecto al pensamiento intuitivo: con toda probabilidad, nuestros razo-)I
namientos
.
concretos I
i
se suceden segun cierta «mixtura» \
de
las tres. I Admitido H dato historic, de una situaci6n pluralista, intentamos responder a lo~ terrogantes abiertos en la «Introduccion: re~p~o--a--l1( posibilidad de comunicaci6n que tendrian seres pensantes con 16gicas diferentes. A tal fin, 147
I
imaginernos,
por ejemplo,
una circunstancia
del siguiente
tenor: supongamos que los habitantes inteligentes de la tierra emplearan siempre la logica clasica, y que consiguen inter-
cambiar mensajes con los seres extraterrestres los cuales se sirven siempre de la Iogica intuicionista. l.Que posibilidad
tienen estos seres de advertir que estan manejando logicas distintas,
de describirse
y comunicarse
(suponiendo
que uno
haya comprendido la estructura sintactica del mensaje del otro)? Es muy probable que el ser extraterrestre, maravillado
por ciertas inferencias que encuentra sistematicamente operadas en el mensaje del terrestre, en un momenta determinado
consiga descubrir ~rpretacion segun Godel-GlivenkQ_de la [ogica, clasica en la Iogica intuicionista. La idea sobre la --q;;;;- se funda tal interpretacion es la siguiente: desde el punto de vista intuicionista, el logico clasico confunde indebidamente los dos tipos de disyunciones inclusivas y los dos tipos de cuantificadores existenciales, que son considerados, par contra, rigurosamente distintos; y, adernas, confunde las proposiciones con su propia negacion. Para el logico clasico, efec-
tivamente, los elementos de los tres pares a V p Y~ ( ~ a II ~ P);
3xa y _, vx ..., a; a y _, ..., a expresan Ia misma cosa; para el intuicionista, se trata de ideas completamente diferentes. Sobre esta base, el intuicionista consigue descubrir y justificar
las leyes Iogicas clasicas, interpretando toda disyuncion a V P afirmada por el clasico como _, ( _, a II ~ P), toda afirma-
cion existencial
3xa como
_, VX..., a, y, por ultimo,
toda
proposicion como su doble negacion. Al adoptar este punto de vista, nuestro extraterrestre se vera naturalmente obligado
a concluir: el terrestre es un limitado desde el punto de vista
logico,
ya que cae demasiadas
veces en confusiones
ilicitas,
En el banda opuesto, el terrestre podra asumir actitudes
diferentes ante el discurso del extraterrestre: en un principio se sentira atraido a juzgarlo como un ser limitado, por advertirlo incapaz de realizar ciertas inferencias. Podra luego hallar
una explicacion para esta debilidad deductiva de su interlocutor, ideando una de las multiples posibles descripciones 148
clasicas de la Iogica intuicionista (por ejemplo, la semantica segun Kripke, de la que nos ocupabamos en el capitulo 3, 0 bien una de las interpretaciones de la logica intuicionista en la Iogica modal S4' etc.). En todo caso resulta que, en la situacion de hipotesis, terrestres y extraterrestres estan perfectamente capacitados para darse cuenta de estar empleando logicas distintas, describirse reciprocamente desde el punto de vista logico y comunicar, sin po seer una metateoria comun. El unico requisito que deben cumplimentar en comun es la capacidad de describir la sintaxis; y esta capacidad, como es sabido, equivale al conocimiento de una parte de la aritmetica que, dentro de ciertos limites, es independiente en gran parte de la logica utilizada. Si antes que intuicionista
fuera nuestro extraterrestre un
polivalente (verbigracia, segun la 16gica de tres valorcs de
Lukasiewicz) nos hallariamos nuevamente
ante una situaci6n
analoga a la anterior. Al principio, el terrestre se veria impulsado a juzgar al extraterrestre como un ser Iimitado desde el punto de vista deductivo (en cuanto restringido a una sublogica de la del terrestre); mas tarde construiria la descripci6n semantica clasica para las logicas polivalentes. Por el contrario, el extraterrestre,
en una primera aproximaci6n,
juz-
garia con toda probabilidad al terrestre como un ilogico e
incluso como un loco. Poco a poco, sin embargo, ida cap-
tando que la semantica del terrestre es un caso limite de la propia (caso en que a las proposiciones se asignen s610 los dos valores de verdad extremos) y pasaria sin mas a juzgar aI terrestre como un ser limitado. Entre otras cosas, el ultimo ejemplo permite poner de manifiesto la falta de fundamento de un prejuicio filos6fico muy extendido/ incluso el individuo que rechaza el principio de no contradfcion, en realicfud de verdad se sirve necesa-
riamente del mr,mo. Nuestro ferrestre no tiene entre sus leyes logica -rt (a II _, ~tcha mana de ellas); pero puede comprender y justificar la 16gica de quien exige el principio de no contradiccion. Y viceversa,
149
,/
Con esto damos por respondidas en sentido positivo las dos primeras cuestiones. Preguntemonos ahora si resulta admisible que un mismo ser inteligente emplee logicas distintas en diferentes situaciones, manteniendo un comportamiento racional coherente. La respuesta serla obviamente negativa siempre que se pretendiera identificar un ser pensante con un unico sistema formal. No obstante, son muchos los argumentos que inducen a asimilar Ia actividad racional de un
ser inteligente, a u~ sistema multiple de sistemas formales parciales mucho mas que a un unico sistema formal. Y ella en virtud de que, en el caso ejemplar del hombre, suele mostrarse, por un lado, incapaz de alcanzar todos los teoremas
de un sistema formal dado; y, por otro, no parece sujeto a Iimites absolutos de un sistema formal unico, sacados a luz, como es sabido, por teoremas limitativos de Ia 16gica. Evidentemente, la capacidad que tiene el matematico, y que no tiene la aritmetica formal, de demostrar la no contradictoriedad de la misma aritmetica, no depende de modo esencial de la intuici6n humana, es decir, de algo extraformal, sino
de que_~_hombre puede englobar al mismo tiempo la aritmetica formal y su metateoria, expresable en la teo ria formal de conjuntos:- No obstante, tampoco seria justificado- aho'ra identificar, por ejemplo, la actividad matematica del hombre con la teoria formal de conjuntos, puesto que entonces se haria deductivamente inaccesible, para el maternatico, la proposicion que afirma la no contradictoriedad de la teoria de conjuntos, y asi lo demas. Parece pues que sea imposible eliminar la referencia a un sistema multiple de sistemas formales, carente del Ultimo elemento. Y por los argumentos vistas anteriormente, quiza los
I elementos de este sistema multiple tengan logicas bases distiotas, sin que par ello surjan necesariamente
situaciones
de
'. incompatibilidad 0 de incomunicabilidad. Si es verdad que el hombre usa 16gicas distintas en contextos diferentes, i,debemos culpar a la experiencia el imponerle la logica adecuada que ha de utilizar en las diferentes 150
situaciones? En el capitulo anterior se vio como las teorias empiricas pueden, cuanto menos, constituir una sugerencia para la constitucion de nuevas logicas, Las dificultades, a que hicimos mencion, en sostener la existencia de un experimentum crucis que obligue ademas a utilizar, en una situacion dada, una Iogica determinada, no basta para demostrar la independencia de la logica respecto de la experiencia. Desde este punto
de vista, la logica comparte la suerte de todas las teorias: la posibilidad de teorias alternativas no significa arbitrariedad de las mismas teorias 0 arbitrariedad de la eleccion, Esa falta general de arbitrariedad es -a pesar del pluralismo- la que justamente pone en entredicho la tesis estrictamente convencionalista que afirma la pura y simple asimilacion de las , distintas logicas a multiples lenguajes diferentes. En efecto, / los lenguajes (las lenguas naturales, por ejemplo) gozan de una caracteristica
fundamental:
la invarianza
de las teorias
respecto a las traducciones de los lenguajes. Invarianza que,
/
dentro de ciertos limites, puede definirse rigurosamentc, y, en
general, no vale fuera del ambito de los discursos cientificos. Ahora bien, la clase de las logicas no goza de este tipo de -
.a--
ciones entre lenguajes. Los argumentos examinados tienden todos a crear una imagen intuitiva de logica que, si se quiere emplear una terminologfa tradicional, podriamos llamar sintetica «a posteriori».
Ya solo nos queda una ultima pregunta por responder: la existencia de una 16gica privilegiada. Evidentemente, los raZO-j namientos aduc\'dOS mas arriba. confirman la no necesidad, desde un punto de vista teoricc, de una Iogica privilegiada. La superioridad historica de IJlogica clasica tiene un Signi-i' ficado practice y ps' cologie I'ln muchos contextos, la lcgica clasica representa un~til, de caracter abstracto, capaz de simplificar, desde el punto de vista~matematico, determilSI
nadas situaciones conceptualrnente cornplejas: por ejemplo, el uso de la teoria de la probabilidad formalizada en la logica clasica representa una manera comoda de superar el obstaculo de la poIivaiencia. (Pero una teoria cientifica que contenga como subteoria Ia teoria de Ia probabilidad, puede entenderse como una teo ria intrlnsecamente polivalente). No se excluye que el «derrocamiento» teorico de la logica clasica al que estamos asistiendo en nuestros dias tenga en el futuro consecuencias aplicativas. Pero, obviamente, carece de sentido formular, en este caso, previsiones de futuro.
gI
TABLAS
TABLA
1.
REG LAS DE DEDUCCl6N
Reglas minimales Reglas de eliminaci6n
Reglas de introducci6n Coujuncion
a/\(J _--
a/\(J
a(J --a/\{3
{3
a Disyuncion
[a]
{3
a
aV(J
y
y
aV{J
a V {J
[(J] y
Implicacion
la]
.r: a-+{J
aa
--7-
{3
{J Doble
implicacion aH{3
a<->(J
a-+{J 152
153
Reglas de introducci6n
Reglas de eliminacion Negacion
[a]
-,
2.
EJEMPLO
DE DEMOSTRACl6N
Empleando el sistema de reglas minimales demostraremos la propiedad transitiva de que goza la implicaci6n. A saber:
[a]
{J
TABLA
(J
1- (a -+ (J) __,. ((fJ __,. y) __,.(a __,.y»
-,a Cuantificador
universal
a(x/y)
\tx a(x)
\txa(x)
a(x/t)
Entre parentesis, junto a cada raya, iremos indicando las reglas de que nos servimos conforme avanzamos. aa--+{J
a condici6n de que y no ocurra en Jas premisas de las que dependa a
(eliminaci6n de
{J
(eliminaci6n de -+) y
Cuantificador existencial a(x/t)
[a(x/t)] 3x a(x) {J
3xa(x)
(J a condicion de que t no ocurra en 3x a(x), ni en fJ ni en otras premisas (distintas de a(x It) de las que fJ
-+)
(introducci6n de
a-+y
--+
({J --+ y) -+
(a -> y) (introducci6n de
(a
((fJ
--+
(J)
-+
-+
y)
-+
(a
-+
y
con descarga de a) -e-
con descarga de (J-+y)
» (intrcduccion de carga de a
-e-
(J)
-+
con des-
depende.
TABLA
Identidad t
=
t
a(x/t,)
Regia intuicionista
a -, a II Regia cldsica aV-,a 154
.... a(x/t,)
3.
ALGUNAS
LEYES L6GICAS
DE IMPORTANCIA
Leyes minimales
I) a
-e-
(jJ __,.a)
(principio del a fortiori)
2) [a -e- ({J -+ y)]--+
[(a -+ (J) -+ (a -> y)]
3) [a -+ (fJ
[{J
-+
y)]-+
r-
4) [a -+ (fJ
-+
-+
(a
-e- y)]
y)] .... [a II {J -+ y]
(ley de Frege)
(ley de cambio del antecedente) (ley de importacion-exportaci6n de la implicacion ] 155
5) a ->..., ..., a 6) ..., ..., ..., a
(doble negacion -> ..., a
9) a V (3 10) a
-+ (
a -e- ..., (3)
-rt
-r-t
(ley de contraposicion del «tollendo tollens»)
(3)
(primera gan)
1\ ..., (3)
-+ ..., ( ..., a
TABLA
(ley de Brouwer)
7) (a -+ (3) -+ ( ...,(3 -+ ..., a)
8) a 1\ (3 -+ ..., ( ...,a V
debil) debil
ley debil de De Mor-
debil de Duns Scoto)
II) vxa -e- 3xa 12) vxa-+..., 13) 3xa
3x ..., a
-+ ..., 'Ix
14) 3yvxa(X,
Y)
VX3ya(x, y)
15) a _,_ (
-t-t
a
->
(3)
-+
(a
(ley fuerte -+
f3)
de Duns
Scoto)
(ley debil de Filon de Megara)
Leyes clasicas 17) a
V ..., a
18) a+-->..., 19) (a
H
f3)
(ley de la doble negacion fuerte)
<-->...,
a V f3
(ley fuerte de Filon de Megara)
20) (..., a -e- f3) --+ ( _,f3 __,. a) 21) a 1\ f3
1) es una variable 0 una constante individual; 2) tiene la forma fi(t" ... , tn) donde f; es un simbolo funcional de n argumentos y 11, ... , tn son terrninos.
(ley del tercio excluso) ..., a
(ley de contraposicion fuerte del «tollendo ponens»)
0
a V ..., (3)
(primera ley fuerte de De Morgan)
22) a V (3 e-e- ..., ( ..., a 1\ ..., (3)
(segunda ley fuerte de De Morgan)
H
..., ( ...,
23) [(a ___,_ (3) --+ a 1 -+ a 24) vxa <--> ..., 3x""
a
25) 3xa <-->..., 3x ..., a 156
CON S[MBOLOS FUNCIONALES
donde el Indice superior 0 exponente indica el numero de argumentos de la funci6n, en tanto que el subfndice 0 Indice inferior permiten distinguir simbolos funcionales distintos y que posean el mismo numero de argumentos. Un termino de un lenguaje (con simbolos funcionales) es una palabra que posee una de las formas siguientes:
Leyes intuicionistas 16) ..., a V f3
ELEMENTALES
fLf~,...,fi,f~,...,f~,f~, ...
...,a
-+
LENGUAJES
Una funcion de n argumentos es una operacion que a todo n-pla ordenado de individuos, pertenecientes a un conjunto dado (el dominio sobre el que se halla definida la funcion), asocia como valor uno y s610 un individuo. Son ejemplos de funcion de un argumento: «padre natural de», «raiz cuadrada positiva de». Son ejemplos de funcion de dos argumentos: «distancia entre ... y ...», «sum a de ... y ... », etc. Un lenguaje elemental con simbolos para funciones contiene un determinado numero de letras:
0
(segunda ley debil de De Morgan)
(principio
4.
TABLA
\
(ley de Peirce)
, '-...____ ~
,
/
5.
SISTEMA
FORMAL
(ELEMENTAL)
DE LA ARTTMETlCA
EI lenguaje de este sistema formal que indicaremos con P (inicial de Peano) contiene las siguientes constantes descriptivas: 'Iuna constante individual a1 que llamamos «cero». Un simbolo funcional de un argumento Ii que llamamos «suceson 0 «siguiente». Dos simbolos funcionales de dos argumentos fi y f~ que llamamos, respectivamente, «suma» y «producto», Por
I
157
2) La representaci6n cp «conserva Ia estructura». Es decir, para cada constante individual a., cp(v(a,)) ~ v'(a,). Asimismo, para cada predicado P;', la relacion v(P;) subsiste entre los elementos UiI' ... , u.; de U si y solo si la relacion V'(P;I) subsiste entre los elementos cp(u,,), ... , cp(u
comodidad, a fin de seguir el simbolismo at usa, convendremos en escribir 0 por a,; I' por fi(t), t, I, por /i(t" I,), y, por ultimo, t,' I, por n(t" I,).
+
Los axiomas de P son las siguientes proposiciones: I) vx[..., x' ~ 0]; 2) vxVy[x'
+0
3) vx(x 4) vx(x,O
~ y' -e-
X ~
y];
~ x) II vxVy[x
+ y'
~ 0) II vxVy[x·y'
5) a(O) II vx(a(x)
~ (x
~ (x·y)
+
+ y)'];
TABLA
x];
--+ a(x')) --+ vxa(x).
6.
ISOMORFISMO
ENTRE
FORMAL
(ELEMENTAL)
Los axiomas especificos de ZF son las proposiciones
SI-
I) VXVy[vz(z E x e-e- Z E y) -e- x ~ y] (axioma de extensionalidad); 2) VZ3YVx[x E Y <-+ X E Z II a(x)], con tal no se halle en estancia libre en a. (axioma de aislamiento); 3) VZ3YVx[x E Y +-t vu(u E X -+ (axioma del conjunto potencia);
U E
4) VZ3YVx[x E Y +-t 3u(u E Z II x (axioma del conjunto reunion);
Dos realizaciones R ~ y R' ~
DE ZERMELO-
(ZF)
guientes:
REALIZACIONES
I) Existe una correspondencia es decir, una representacion que a uno y solo un elemento de U' y es elemento de U' se le asocia uno
SISTEMA
EI lenguaje de ZF contiene una sola constante descriptiva, el predicado de dos argumentos Pi que lIamamos «predicado de pertenencia». Siguiendo can el simbolismo al uso escribiremos t, E tl en vez de P'f_ttfj'
1) afirma que 0 no es sucesor 0 siguiente de ningun numero. 2) establece que dos mimeros con sucesores iguales son iguales entre sf. 3) y 4) definen las operaciones de suma y producto. Por ultimo, 5) es el principio de induccion matematica segun la cual: cuando una propiedad (descrita por una formula del lenguaje a(x)) esta dotada del cero y «se transmite», ademas, por cad a nurnero a su siguiente 0 sucesor, entonces tal propied ad vale para todos los numeros,
TABLA
7.
FRAENKEL
5) 3Y[Vx(vz(..., -> vz(vu(u
(axioma
ZEX) E Z
<-+
x) -+
u)] E
Y--+
y))]
E X --+ 3u(u E z)) II vuv(u E X II VEX -e- ..., 3W(W E U II WE V)) -> 3Y[Vz(z E x--+ --+3 u(u E Y II U E Z II vv(v E Y II V E Z -e- V ~
(axioma
Y
z)]
II vx(x Z E
la variable
del infinito);
6) vx{vz(z
I
-+ x E y) U ~
E
que
II u # v-+ u)))l}
de eleccion): 159
158 I~~/
7) \tx3Y[u(x,
y) 1\ \tz(a(x, z) -e- z ~ y)] __,_ 3X(X E U 1\ a(x, y)] que las variables u y v no se hallen
-> \tu3 v\tY[Y E v H
(con tal (axioma del remplazamiento
0
substituci6n);
E x) _,. 3Y(Y E X 1\ -. (axioma de fundamentaci6n).
8) \tx[3Y(Y
3Z(Z E Y
1\
TABLA
libres en c)
Z EX))]
I) es el principio cantoriano de extensionalidad. 2) es el debilitamiento propuesto por Zermelo del principio de comprensi6n: toda propiedad descrita por una f6rmula del lenguaje aisla, en un conjunto ya dado, un subconjunto
consti-
8.
CALCULO
TEMPORAL
MINIMAL
Los operadores temporales del calculo minimal son: F (cen el futuro»), P (cen el pasado»). La aplicacion de F 0 de P a una formula dellenguaje da lugar a una nueva formula (es decir: Fa y Pc son formulas si a es una formula). Los axiomas siguientes:
del calculo
minimal son las proposiciones
I) _, F -, (a _,. (1)_,. (Fa -+ F(1) (si siempre en el futuro a -+ /3, entonces: en el futuro a implica
en el futuro (1);
tuido por los elementos del conjunto de partida que disfrutan de dicha propiedad. EI axioma del conjunto poiencia afirma
2) _, P _, (a -e- (1)-+ (Pc -+ P(1)
que contiene todos los elementos de un conjunto dado. El
4) a
1a existencia de un conjunto que contiene todos los subconjuntos posibles de un conjunto dado; en tanto que el axioma del conjunto reunion establece la existencia de un conjunto
axioma del infinito sostiene la existencia de un conjunto que contiene el conjunto vaclo (carente de elementos) y que con cada elemento suyo contiene el conjunto unidad de dicho ele-
mento (es decir, el conjunto que contiene solo tal elemento).
El axioma de eleccion afirma que, para todo conjunto que encierre s610 conjuntos no vacios y disyuntos entre sl, existe un conjunto «selective» que se obtiene eligiendo exactamente
un elemento por cada elemento del conjunto de partida. EI axioma de remplazamiento
es una generalizacion
(propuesta
por Fraenkel) del axioma de aislamiento: si los argumentos
(si siempre en el pasado a __,_ (1, entonces: en el pasado a implica en el pasado (1); 3) a --7- _, P _, Fa (si a entonces siempre en el pasado a habra sido futura); -+ _,
F -. Pc
(si a entonces siempre en el futuro a sera pasada). Las reglas temporales del calculo minimal son las dos siguientes: -,F -.a
_u__
(si se ha demostrado a se puede demostrar: siempre en el futuro a)
_a__ _,u
(si se ha demostrado a se puede demostrar: siempre en el pasado a).
-s P
de una funcion descrita por una formula del Ienguaje constituyen un conjunto, entonces tambien dichos val ores constituyen un conjunto. Por ultimo, el axioma de fundamentaci6n asevera que los conjuntos se fundan con respecto a la relacion de pertenencia: cada conjunto no vacio contiene por 10 menos un subconjunto cuyos elementos no pertenecen al conjunto de
partida.
161
160 II.
Dalla Obiara
BIBLIOGRAFIA COMENTADA
Dos son los criterios que nos han guiado en la compilaci6n de esta breve resena bibliografica: citar exclusivamente obras de caracter general que puedan tener interes para el lector no especialista y reducir a limites excepcionales las referencias a las memorias origina1es. Seguimos el orden de relaci6n tematica que dio cuerpo a los capltulos. Anteceden algunas obras de historia de la 16gica y ciertos manualcs. NOTAS
ORIENTADORAS
Historia de fa logica Muy completa es la Storia della !oglca de C. MANGIONE,contenida en la obra general de GEYMONAT Storia del pensiero filosofico e scientifico (Garzanti, Milan 1972). En su haber positive, entre otros valores, destaca la detenida atencion que presta a la 16gica contemporanea: la parte dedicada at siglo xx constituye, a un tiempo, una historia y un diafano tratado te6rico que cubre los sectores fundamentales de las investigaciones Iogicas en nuestros dias. Un criterio inverso sirvi6 de pauta a KNEALE (1962), muy recomendable para la historia de la J6gica antigua y medieval. EI BOCHENSKI (1956), en la parte que dedica a la logica matematica moderna, se distribuye por argumentos (verbigracia, La loglca de praposicianes, La /6gica de terminos, etc.). El SCHOLZ(1931), a pesar de su cortedad, es un clasico de Ia historia de la logica que constituye incluso en nuestros dias un punto obligado de referencia. El NIDDlTCH (1962) es un uti! resumen esquematico. En el BARONE (1957) el lector puede hal1ar un minucioso analisis hist6rico, teoretico, de las relaciones entre 16gica y filoscffa durante los siglos XVIII y XIX. Recibe amplia desctipcion el desarrollo del sector logico-algebraico.
( ~
163 +'1.
..
Dalla Chiara.
,
Manuales Conviene distinguir por 10 menos dos tipos de manuales de l6gica: los «faciles», de caracter eminentemente divulgador, y los que procuran ofrecer una exposicion relativamente completa y tecnicamente rigurosa de algunos capitulos fundamentales de Ja 16gica (sintaxis y semantica de las teorfas formales; y a veces teoria de la recursi6n, tcoria de numeros y teorla de conjuntos). Los manuales pcrtenecientes al segundo grupo 0 tipo se enfocan como textos universitarios de logica (del primero 0 segundo ciclos). De los manuales faciles 0 elementales hay que mencionar: el BLANCHE (1968), de Jectura Ilana por su caracter «discursive»; entre otros factores positivos, este reline el de tratar, junto a la 16gica clasica, l6gicas no clasicas como la intuicionista y las polivalentes y modales. EI MAN~ GIONE(1965) constituye una 6ptima combinaci6n de distintas exigencias, como la claridad, el rigor tecnico y la brevedad. EI QUINE (1965) es un instrumento muy util para quien se disponga a «Iormalizar» (es decir, a traducir en lenguajes formales expresiones del lenguaje comun). EI TARSKI(1941) represcnta, entre los manuales, un claslco: amen de otras cosas, contiene una exposicion sintetica de la «teorla de las relaciones», que acostumbra faltar en textos analogos. Tambien AGAZZI (964) tiene ei valor de ser de lectura facil y recoger numerosas informaciones de tipo hist6rico. Entre los manuales del segundo tipo citemos por orden de difieultad ereciente: SUPPES(1957) con una exposicion sintetica de la teoria de la deduccion natural est como una parte dedicada a la teoria de la definicion (suprimida normalmente en los manuaies); reserva un capitulo muy interesante at problema de la axiomatizacion de las ciencias emplricas que eonstituye un punto de referencia obligado para los estudiosos del tema, ROBBIN (1969) destaca por reunir las cualidades de sintesis, claridad y abundancia de informacion. Estudia asimismo la 16gica intuicionista y reserva un notable espacio a Ia l6giea de segundo orden. ROGERS (1971), a pesar de su estilo «discursive» y un tanto vacio, desde el punto de vista formal, aporta valiosa informaci6n. MENDELSON(1963) posee una exposici6n tecnica detallada de los teoremas limitativos, concediendo todo un capitulo a Ja demostraci6n de cohereneia de la aritmetica can los metodos de Gentzen.
SHOENFIELD(1967) representa indudablemente el manual hoy dispo~ nible mas rico en informaciones; cubre los sectores fundamentales de la logica clasica: desde la teoria de la demostraci6n hasta la teoria de 010~ delos, desde la tcorta de la recursi6n hasta la teorfa de conjuntos. STEEN (1972) acomete principalmente l6gicos de la aritmetica formal.
el cstudio
de los problemas
(Como manuales «faciles», contamos en castellano con los de FERRA~ TER Y LEBLANC,Y DEANO, asi como con las traducciones de Mitchell, y de Kupperman y MeGrade, entre otros. Como manuales de nivel superior, hay que citar los de SACRISTAN,MOSTERiNY GARRIDO,asi como las traducciones de Quine y de Hilbert y Ackerman, entre otros muchos. Un libra especialmente intcresante y de cardcter intermedio, entre los dos grupos anteriores, es el de HASENJAEGER. vcese el apcndice de bibJio~ grana en castellano. N, del T.) 1.
Teoria de la demostracion
Los elementos institucionales de la teorfa de la demostraci6n (sobre todo clasica) se contienen en todos los manuales. Una exposicion siste~ matica, y de facil Iectura al propio tiempo, de la tcorla de la deduccion natural se hal1a en PRAWITZ (1965). Los problemas de la formalizacion de la sintaxis y de la «autofundamentacion» de las teorias se anaJizan en DALLA CmARA SCABIA.AGAZZI (1961) es una clara introduccion a los problemas dcl metodo axiomatico. Una presentaci6n critica de los problemas mas recientes de la teoria de Ja demostraci6n se encuentra en CELLUCCI(en curso de pubJicaci6n). Por la complejidad de los temas y la dificultad tecnica de los textos, pasaremos per alto la cita de algunas contribuciones fundamentales a la teorfa de la demostraci6n (por ejemplo, las de George Kreisel), que carecen de significado para el lector no especialista. 2.
Teorla extensional del significado
Los elementos institucionales de la semantica extensional se eneuentran en cualquier manual. La fundamcntaci6n fregeana de la teoria del sig~ nificado sc halla en el clasico FREGE (1892). Para Ia fundamentaci6n
LYNDON(1966) es a un tiempo muy cscueto y muy riguroso. Resulta util sobre todo para quien desee comprender el enfoque algebrista de la logica
CASAR!(1959) constituye un tratado muy riguroso y desarrollado en todos los detalles tecnicos de Ia Hamada «logica pura» (cuyo Ienguaie contiene s610 constantes 16gicas y variables, careciendo de constantes descriptivas).
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165
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tarskiana de la semantica extensional, cl lector no especialista puedc leer con provecho TARSKI(1944), que es una exposicion de caracter divulgador, con analisis filos6fico de los problemas suscitados por la definici6n 16gica de verdad. La memoria originaria de TARSKI(1935) resulta, no obstante, de dificil Icctura no aconsejandose esta al principiante. Obras generales sobre Ia teorfa de modelos son, par ejempJo, ROBINSON(1963) y BELL-SLOMSON (1969). A pesar de ser «self contained), estos textos exlgen el desarrollo de elaboradas tecnicas de npo algebraico y unicamente pueden leerse con faeilidad euando el lector dispone de eierta prcparaci6n (0 al menos de «cierta forma mental») matematica. £1 problema general de la teorla de ccnjuntos como «teorla de los conceptcs» fue discutido y desarrollado tecnicamente por CASARI(1969). Una exposici6n del analisis no-estandar se eneuentra en ROBINSON(1966). Se considera un tratado exhaustive y de facil lectura a un tiempo el REsHER (1968), que eontiene tambien una profusa bibliografia puesta al dia hasta el ano 1965. Otro manual, mas antiguo, dedicado al mismo tema os el ROSSER-TURQUEITE (1952). CosTANTINI(1970) examina los problemas de la 16gica inductiva, conteniendo al propio tiempc distintos enfoques a la cuesti6n de los fundamentos del calculo de probabilidades. 3.
Teorlas de la intension y 16gicas especlales
4.
EI problema de los fundamentos de la matemdtica
Existe actualmente una copiosa bibliograffa en torno al problema de los fundamentos de la matematica que no viene al caso reeoger aqui. EI lector no especialista leera con provecho obras de caracter general sobre el tema, que contengan una deseripei6n sintetica y un analisis critico de los distintos tipos de enfoque funcional. Asi, los textos siguientes: CASARI (1973) que representa una exposicion sumaria de caracter divulgador; CASARI(1964); HATCHER(1968); MOSTOWSKI (1966); CELLUCCI (1967); GEYMONAT(1972) y (1947). Para los problemas de la teoria de conjuntos con particular referencia al problema del continuo, COHEN(1966). 5.
Logica y ciencias emplricas
Contrariamente al caso anterior, el tema «logica de las ciencias ernpiricass tiene una literatura recentisima. Se trata, efectivamente, de una problematica en gestaci6n. Limitemonos a recordar, para la semantica de las teorfas empiricas: SNEED(1971); PRZELECKI(1969); DALLACHIARA SCABIA~ToRALDO DI FRANCIA (1973). Para los problemas de Ia 16gica cuantica: PUTNAM(1969); JAUCH(1971); MACKEY(1963); VAN FRAASSEN (de inminente aparici6n).
Una exposici6n general de la semantlca «a 10 Kripke» se encuentra (ademas de en la memoria original de KRIPKE [1963]) en HUGHESCRESSWEU(1968) que representa uno de los manuales de 16giea modal mas completos de que disponemos en la actualidad. Para las 16gieas temporales: PRiOR (1967) contiene Ia deseripci6n de varios calculos temporales y al propio tiempo algunas discusiones filosoficas que se originan a partir de los problemas planteados por este tipo de 16gicas. COCCHIARELLA(1965) desarrolla sistematicamente, en todos los detalles tecnicos, una semantica «a 10 Kripke» para las J6gicas temporales. Los problemas de las 16gicas epistemicas se encuentran examinados sobre todo en HINTlKKA(1962) y (1970). POI' su parte, la scmantica kripkiana de la 16gica intuieionista y minimal qucda desarrollada en FITTING (1969). Para Jas teorias de Ia intension, CARNAP(1947) representa un punto de referenda clasico ; en tanto que MONTAGUE(1968) y (1970) hilvanan el punto de vista que hemos Ilamado «semiextensional» en la fundarnentaci6n de una teoria abstracta de la intensi6n.
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175
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,
INDICE
Tntroducci6n . 1. La 16gica griega 2. La togica medieval 3, Leibniz y fa 16gica mntenuulca 4. La logica, hoy
moderna
l . Tcoria de la demostraci6n . 1.1. Preliminares , . 1.2. Las logicas [undomentoles 1.3. Teor!a de los sistemas formales 1.4. Propiedades im portantes de los sistemas [ormales 1.5. Los leoremas timitativos . 1.6. Demostraciones de coherencla .
47 47 48 58 63 68 74
2.
79 79 83 89
Teoria extensional del significado . 2.1. Ftmdamentaci611 por Frege de fa teoria del significado 2.2. La senuintlca tarskiana . - . 2.3. La tcor!a de modetos . 2.4. El problema de la autoiundomeruocion de las teori as , 2.5. Logicas polivalentes, probabilisticas e inductivas
3. Teorlas de la intensi6n y 16gicas especiales 3.1. La semaruica de Kripke .-. 3.2. Las 16gicas modcles . 3.3. Logicas temporales y logicas epistemicas 3.4. Tcorias de ta intension 3.5. Semontica kripklana para las 16gicas iundamentoles
L)
7 10 25 29 40
97
102 105 105
107 110 -
I t5 12t
177
4.
El probJema de Jos fundamentos de la matematica 4.1. Mutemotica y l6gica 4.2. Cambios recientes de perspectiva en la problematica fundacional .
139 139 143
6.
147
(,Unicidad . I. 2.
3. 4. 5. 6. 7. 8.
0
de Iogicas?
Reg/as de dcduccion Ejemplo de demostracion Algunas leyes logicas de importancia Lenguaies elementaies COil simbol os tunctonotes Sistema formal (elemental) de fa arltmetica . lsomoriismo entre realizaciones Sistema formal (elemental) de Zerrnelo-Fraenkel (ZF) . Calculo temporal minimal
153 153 155 155
157 157 158 159
161
comentada
163
Bibliografta
general
169
bibliografico
o
Il
pluralidad
Bibliograffa
Apendice
I
128
5. L6gica y ciencias empiricas 5.1. Semantica de las teorias emptncas -r: 5.2. EI problema de ta «16gica de fa meconica ctuuuico»
Tablas
I
125 J 25
. de obras
en castellano
175
,, ,
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