Cucu, Popa, Rezistenta materialelor 2

CUCU Hortensiu-Liviu

Anca GabrielaPOPA

TEORETTCE STNTEZE 9r APLTCATTI de REZISTENTAMATERIALELOR Parteaa ll-a

t"1', .rr.r

i

iiri:

-i'li;ii.ii, .':'' ( i.l ;: '

'

i.,X ij':-i, )il:

".J"^-i"!49*-*(q* MEDIAMIRA 2006

7{ CUCU $ef lucriri dr. ing.Hortensiu-Liviu dr. ing.AncaGabrielaPOPA Conferenliar CE $l APLICATII DE REZISTENTAMATERIALELOR s INTEZETEORETT

prof.dr. ing.EugenPANTEL Referen{igtiinlifici: prof^dr. ing.lronimMARTIAN prof.dr. ing"AdrianMirceaIOANI Tehnoredactarea:

A

/lL

Design"S.R.L. S.C.,,LI L Structural raldesign. ro Website:www.Iilstructu

,IL ttttlts. t

D--a

. --TRUCTURhL Corectura: Grafica: Coperta:

Autorii VIRAGPeter Autorii

EDITURAMEDIAMIRA str. Horeanr.47-4911 400275Cluj-Napoca c.P. 117.O.P.1 Descrierea CIP a Bibliotecii Na{ionale a Romfiniei

cucu, HORTENSIU-LMU Sinteze teoretice Ei aplica{ii de rezisten{a materialelor / Hortensiu-Liviu Cucu,Anca Gabriela Popa.- Cluj-Napoca: Mediamira,2006 284p.;2Ax29cul.. Bibliogr. ISBN (10) 973-713-097-9;ISBN (r3) 978-973-713-097-6 I. Popa,Anca Gabriela 539.4(075.8X076)

CopyrightO 2006 Reproducereaintegraldsau parfial5a textuluisau ilustraliilordin acest volum este posibild numai cr: acordul prealabilscris al autorilor.

\-

CUPRINS capitolul1:

COMPUSE SoLICITAR|

....... 1.1.lntroducere 1.2.lncovoierecu efort axial . ' 1.2.1. incovoiereoblicdcu efort axial Exemplede calcul

dreapticu efortaxial 1.2.2.incovoiere Exemplede calcul 1.3.lncovoiereoblici 1.3.1, incovoiereoblicdcu forte coplanare Exemplede calcul

1.3.2.lncovoiereoblicdcu fortenecoplanare Exemplede calcul Problemepropuse

STAREAGENERALAOe SOLICITARE pland....... detensiune 2.1,Starea

1 3 3 13 34 eo ug

54 54 63 75 80 95

capitolul 2:

2.2. Stareade tensiunesPaliali spatiald 2.3.Stareade deformafie elastice...".......' intre constantele Legdturi 2.4. .......... 2.5.Teoriide rezistenle Exemplede calcul Problemepropuse

Gapitolul3:

102 103 104 '105 106 109 116

ENERGETICE METODE

119 3.1.Introducere.......... 118 Mdrimienergetice 3.1.1. i21 3.i.2. Teoremeenergetice..,.,...... 124 energetice.......... 3.2.Aplicatiialemetodelor 3.2.1. Clasificareastructurilordin punctde vedereal graduluide 124 nedeterminarestatici 126 determinate static sisteme la energetice metodelor 3.2.2. Aplicarea 3.2.2.1- Calcululdeplasdrilorsistemelorstaticdeterminate 126 aplicdndTeoremaI a lui Castigliano ' 128 Exemplede calcul 3.2.2.2.Calcululdeplasirilorsistemelorstaticdeterminate 137 aplicindformulalui Maxwell-Mohr-"..... 141 Exemplede calcul 3.2.3.Aplicareametodelorenergeticela sistemestaticnedeterminate147 3.2.3.1.AnalizaSSND prinaplicareateoremeiluiMenabrea 149 150 ExemPlede calcul (sau metoda forlelor metoda utilizdnd SSND Analiza 3.2.3.2. 152 eforturilor) 153 ExemPlede calcul 162 Problemepropuse

_-t

"f

Gapitolul 4:

BARE SOLICITATEPESTELIMITADE ELASTICITATE

165 4'l.Proprietdli|emecanicealemateriale|orgiipoteze.deca|cul'.'..'.''...... 167 pe secliune i.2.. niiir.^pbst-elastici a stiriide solicitare 167 4.2.1.SolicitareaaxialAin domeniulpost-elastic 167 4.2.2. Incovoiereapost-elasticd 169 ExemPIede calcul 170 incircdrilorlimitd """" 4.3. Determinarea 171 4.3.1.Metodacinematicd 173 axial """" 4.3.2.Sistemede baresolicitate 173 4'g'2.1.Sistemesiaticdeterminate"""" 173 ExemPlede calcul 174 4 -3'2'2'Sistemestaticnedeterminate" "' : " " "'' "' 174 ExemPlede calcul """' 178 incovoiate drepte 4.3.3. Calcululplastical barelor 178 determinate static """'" 4'9.2.1-Sisteme 178 Exemplede calcul 186 4.3.2.2' Sistemestaticnedeterminate 186 Exemplede calcul 196

Prcblerne Prcpuse

Capitolul 5:

FLAMBAJUL BAREI DREPTE

..'....' 5 .1.Introducere FlambajulsimPlu 5.2. 5 .3'Ca|cululpractic!aflambaj. ' , . ' . ' . . : ' ' . . . . . 5.3.1.bectiunicu ambeleaxemateriale""""" de calcul ExemPle o axdmaterialisi unaimateriald 5.3.2.Secfiunicu de calcul ExemPle cu compreslune" ' ' la incovoiere barelorsolicitate 5.4.Flambajul Exemplede calcul

ProblemePropuse Gapitolul 6:

199 199 200 203 206 214 217 222 227 233

CALCULUL PRAGTIC LA $OC

6.1,Introducere ".".".. dinamic coeficientului 6.2.Evaluarea 6.2.1.$ocvertical 6.2-2.$oc orizontal la goc girigiditate 6.3.Calcululderezistenfd Exemplede calcul

ProblemeProPuse

239 244 244 241 241 2M 252

Anexe Anexa 1 1.1. Mdrimimecanicegi unitili de misuri

1.2.Denurnirile prefixelor pentruformarea 9i simbolurile gisubmultiplilor multiplilor uzuali

255 255

Anexa2 2.1.Rezistenle de calculpentruconstruc{ii civile,industriale gi agricole dinolel(STAS 1010810 - 78),......... 2.2.Rezistenle gide calcul(valoridebazd)ale caracteristice betoanelor obignuite 2.3.Rezistenle de rupere,limitede curgere, rezistente de calcul.... gicoeficienti 2.4.Modulide elasticitate de contraclie transversali...

257 258 259

Anexa3 pentruprofilulcorniercu aripiega|e......... 3.'l. Caracteristici pentruprofilul 3.2.Caracteristici | ............... pentruprofilul 3.3.Caracteristici U ..............

260 262 263

geometrice Anexa4 Caracteristici alesecliunilor simple.....

264

Anexa5 Diagrame de momentsimple

265

256

gipoziliilecentruluide Anexa6 Rezultantele greutatepentrudiagramele d e moment simple ........:...... . . 266 Anexa7 Formule de integrare numerici(regula luiVeregciaghin) ......... 267 Anexa8 pentrustabilirea 8.1,Coeficienli lungimii de flambaj 8.2.Coeficienli de profil pe curbelede flambaj 8.3. Tncadrarea

8.4.Coeficienli e , f pentruotelOL37

268 269 270 271

Anexa9 Coeficienli c pentrucorectarea momentelor de ordinulll ........ 272 Anexa10 Valorimaxime alesdgefilor pentrucAtevatipurideTncirciri simple

Bibliografieselectivi

273 274

__e

Rezlstenta matedalelor ll

Capitolul1

COMPUSE SOLIEITAru 1.1INTRODUCERE ca fiind Soticitareasimptda fostdefinitdin primapartea Rezistenleimaterialelor de acelagitip (o sau t) nu necesitd tensiunilor aceasolicitarepentrucaredeterminarea solicitirilorsimpleintri eforturilor.in categoria de efecteale componentelor suprapuneri curentd(solicitarea secliunea toatesolicitirilepentrucareavemun singurefortnenulin in cazulin care existi doud incovoiereasimplSpurdgi torsiunea). axiald,forfecarea, eforturinenule (incovoiereasimpld cu lunecare),e{ectulacestoraeste diferit unul t . Solicitirilesimplecare producetensiuninormaleo, iar celilalt tensiunitangenliale in Tabelul1.1' suntsintetizate de construQii aparin elementele fn cele ce urmeaz6,vom prezentasoltcftirtb compuse, deci acele solicitdri pentrucareln secliuneacurentdaparcel pulindoui eforturinenule,efectulacestora(in tensiuni)fiind acetagi.Mai exact,vom trata acele solicitiri care se producin mod (oblici gi dreapti)cu efort de constru{ii,gi anume:incovoierea frecventin elementele oblici (cufo(e coplanare 9i necoplanare)' axial gi Tncovoierea revenimasupraunor pentruo maibuni inlelegerea noliunilor ce vorfi introduse, Presupunemcd consideraliideia ficute in parteaintii a Rezisten{eimaterialelor. de axe la sistemul analizdmo sec{iunede o formi oarecare,pe care o raportdm ortogonalyOz, avAndoriginealn centrulde greutateO al secliunii,axa Oy orizontald, (figura1.1)' iaraxaOz verticalS

l

yo -.v r_-.> v

tt

. ----? ,o ' .zo -l

Figura1.1 Fald de acest sistemde axe central,se pot calculamomentelede ine(ie axiale

t, = fz'oA 9i l. = Jy'dA, AA precumgi momentulde ine(iecentrifugal lo = Jy'z dA .

-.2

/ r'i

Rezistenlamaterialelorll

axe Pentru o rotirecu un unghi ct a sistemuluide axe, se obline un alt sistem de loo . Din (y"oz"), fa!6 de care valorile acestor momente de ine(ie vor fi lro , lro , la valori extreme mullimeainfinitda valorilorunghiuluia, existi o valoarecr"ce conduce respectivnula ale momentelorde inerfieaxiale (maximi pentru l, 9i minimSpentru lr), pentru momentulde inerlie centrifugallo. Sistemulde axe astfel oblinut poaftd numele de de srstem principal central, iar valorilemomentelorde inerlie axiale calculatefali acesta,av6nd valori extreme,se numesc momente principale de inerfie' Este de relinutfaptul cA, daci secliuneaare o axi de simetrie,acea axi este una pe ea. Planele din axele sistemuluiprincipalcentral, cealalti fiind perpendiculari planele(xOy)qi fonnatede o axi principalicentrali (Oy sau Oz) cu axa barei(Ox),deci (xOz)se numesc PlanePrinciPale.

Nr. crt. 1.

Tabelul 1.1 - Solicitirisimple in elementelede construclii Condilii de rezisGnti Tensiuni Efort nenul Solicitare Solicitiri axiale a. intindere

N.

N"

" -= A ;

=Y;.* lo,l,"*

b. compresiune P .-->

?.

Forfecare

T'

T,

- lT.l,*< n, I| t._l ^4lmax A",

3.

incovoiere simpl6

o*=M, T'.

My

lrrlI =L#TL
(Navier) cu lunecare

M., o,-i.=

My

=k"* 1o*1,",

(Navier) T' ' S ,r,

T.

t

-P

=--

b '1 ,

sRt

tfl I &tmd

(Juravski) 4.

Torsiune

.{:5"

ii, I

L.--

Mr

(secliunicirculare) M. r(r): ; . r tp

l rl rmax_r I

t M. t trmax_
rJ ]NCOVOIERE CU EFORTAXIAL 1.2.1INCOVOIEREOBLICACU EFORTAXIAL incovoiereaoblicd cu efort axial este solicitareacompusd la care in se{iunea m,,menrti eforturilenenule sunt: N*, M, 9i M.. in cazurile curente, trebuie semnalatdgi prrwfi1a for[elor tdietoare (Ty$i T.). Efectul acestora asupra stirii de solicitareeste insd rlrrcE$ilabil fati de cel produs de cele trei eforturi sus-amintite,ln cazul in care se doregte 'ncnsderareaTn analizd gi a fo(elor tiietoare, se va face determinareatensiunilor mr,nentiafecu formula lui Juravski,dupd modelul prezentatla lncovoierea simpld cu fnnecare. Pentru oblinereatensiunilortangenlialetotale se va aplica suprapunereade deffie, $nAndcont de faptul cA tensiuniler"u - oblinutedin T, gi c,o- oblinutedin T. sunt s@ffiricoplanarigi perpendiculari. Tensiunilenormaletotaleo" Tnstadiulelasticse oblin prin suprapunerede efecte, ,wwHe€nd acliunea independenti a fiecirui efort. Cu relaliilede la solicitirile simple, msea

vor fi: N"

- din efortulaxial N* :

o" =1*

(1 . 1 )

- din momentulincovoietorM, ;

M.. o"= f ' t

(1 . 2 )

M' : - din momentulincovoietor

Mo'*= 1-.y

(1 . 3 )

'7

infinitezimale Considerindcd suntemin domeniuldeplasirilor(gi deformaliilor) putemaplicaprincipiul pmcurngi in domeniulde comportare elasticaa materialului, intr-rrnnunct curent al normale lotale efeetelor,astfel ci tensir:nile rypunerii mdmuniiau expresia:

o"(y,z)=*.? r*f v

{1.4)

in studiul acestei solicitAricompuse este esenlialdlnlelegerea echivalenlei,din de vedere static, dintre tripleta de eforturi (N*, Mr, M.), acfiondndin centrul de Wrunrst Srreuhteal secfiunii,gi efortul axial N*, acliondndin punctulA(yo,zo),numit pol (figura fl2 . Coordonateleacestuiavor fi date de relatiile: M. t.=N;

M' 9r to=N;

(1 . 5 )

Trebuiesubliniatfaptulci in relaliile(1.1),(1.2)9i (1.3),precum9i (1.4),fiecare rd$rnrne cele trei eforturitrebuieconsideratcu semnulcorespunzitor.Convenliade semne mnsata pentru eforturile din secliunea curenti este urmitoarea (vezi ,,Rezistenla ,mlr';mrerblelor - partea l"): (a) efortulaxial N* se considerdpozitiv,atuncicAnd,|rage"de sec{iune,deci cAnd @trduceintindere;

'.-.


(b) momentele (My9i M,) se considerepozitiveatuncicAndproduc incovoietoare intinderiTncadranul| (acoloundecoordonatele y gi z suntpozitive).

p

N,to

tyo,z0)

t î

I I

Figura1.2 {

Spre exemplificare,in figura 1,2, toate cele trei eforturi sunt pozitive,ceea ce conducela oblinereaunor coordonatepozitivepentrupolulA. De asemenea,mentionAmcd polulA poatefi situatin afara sec{iunii.

1 l

1l (

Din figura 1.2 se observdci cele doui componenteale momentuluiincovoietor din secliunese pot exprimacu relaliile

iM,

= irt..zo

(1.6)

[M , = N * ' Yo

(1.4)se poatescriegi subforma: JinAndcontde acestea,ecualiatensiunilor

o-(y,z)=*f,,-* =.fi r-| Vom notaeu

L [^J i ,= # sii, =#

'l

(1.7)

Ir! r,l T

t'oj j (1.8)

t

razele principale de inerlie (de gira,tie) ale sectiunii. Cu acestea, se obline forma cea mai utilizati a ecualieitensiunilornormaleintr-unpunctcurental sectiunii:

1 I

o^(y,z)=* =.f r) [t. ?

I

(1.e)

relaliecare reprezintdecualia unui plan. ln studiul tensiunilorcare apar la incovoiereasimpld s-a definit axa neutrd ca fiind locul geometrical punctelor in care tensiunilenormale totate suntnule. PunAndcondiliac? o" : 0, din relalia(1.9)se obtineecualiaaxei neutre(n-n):

(r* * -z++ v l= o

(1"10)

\.[t;)

Rela{ia (1.10} reprezintd ecualia unei drepte. Pozi}ia axei neutre la solicitarea de incovoiereoblic5cu efort axial,poatefi stabilit5ugorpe baza urmdtoarelorObservalii:

t.

I I

E

-

Rezistentamaterialelorll

3i axa neutre(n-n)nu treceprin originegi taie axelede coordonate in doui de relafiile: tpumfficlefrnite ')

t: Yn= - :

9l

t., Zn = ---!-

zo

Yo

(1 " 1 1 )

bi unghiulp fdcutde axaneutre(n-n)cu axaOy,estemesuratin acelasicadran m rmadagi sensca gi unghiulcr,,definitde

n ese datderetalia:

Fn"t=lfrl

(1.12\

ltOfl=

(1.13)

|.FO"l

Sbservafie: Axa neutrd poate tdia secliuneasau nu. in primul caz, axa neutrd lirmnailte secliuneain doud zone (intinsdgi cornprimatd); tensiunilenormaletotale de pe ree doudzone vor avea semnediferite. Dacd axa neutri este situati in afara secliunii,tensiunilenormalevor avea pe 1n'nmgasec[iuneacelagisernn,al efortuluiaxial N". Pentrufiecarepoziliea axei neutre(n-n),descrisi prin tdieturilepe axe (1.11) se ruate determinaun pol corespunzitorA, de coordonate( yo;zo). Sdmburele central (SC) reprezintd locul geometric al polilor pentru care axa -eluffi nu taie sefiiunea gi -decr- tensiunilenormale au acelagi semn. Acest domeniu sfte situatin interiorulsecliunii,in jurul centruluide greutate,conturulsdu depinzAndde sonna secliunii transversale. Limita sa este reprezentati de citre locul geometric al rclilor pentru care axa neutrd este tangentd la contur gi care se numegte timita s€mburel ui centraI (tSC). Pentru determinareaLSC se utilizeazdurmdtoareateoremi: atunci cAnd axa neutrdse rotegtein jurul unui punct,polulse deplaseazi pe o dreapti. in figura 1.3 este reprezentatdomeniulsimbureluicentralin cazul unor secliuni uzuale.Este de refinutfaptulcd la sectiunilesimetricesimburii centralisunt simetrici. I ln

/

/-11-a ;; \

J- - {,H -.-.}.* \ Y lv i*B-*i a)

Figura1.3

AA


Referitorla impunereacondilii|orde rezistenld,vom precizaurmStoare|e: (n,,n")' diferitela intindere9i compresiune cu rezistenle (1)ln cazulmaterialelor doui cazuri,funcliede poziliaaxeineutre: cumestebetonul,trebuiediscutate normaleextremeau tensiunile secliunea, a) dacaaxaneutrdintersecteazi < 0 ), 9i se impundoudmndilii: semnediferite(o".*u*> 0 9i o^,*,n

s R' Io"'""

N, inr

(1 . 1 4 )

n" tlo",,"l=

b) daci axa neutrd este situati in afara secliunii 9i (o*'."')' br) ambele tensiuni extreme sunt intinderi (O
se

impunecondi!ia: (1.15)

o*,*"" 3 R,

ar

(o^,''n< o*''"* < 0)' b2)daci ambeletensiuniextremesuntcompresiuni se imPunecondifia: (1'16) =lo",,.lsR" lo"l,u* cu rezistenleegale la intindere9i compresiune (2) tn cazul rnaterialelor (R,= R" = R), cumestede exempluolelul,se impuneo singuricondilie:

ill

g

(1.17)

lo..l < R

r t\ ,' I in valoareabsolutAa unde lo,l."*=max(o",..';lo*'nlJreprezntavaloareaextremS tensiuniinormaletotaledin secliune' atuncilo*l*u*= o*,'r*iar DacdN*> 0 (efortulaxialestede intindere), @bservafie:

atuncilo,l,"*= io-.'"1' dacdN, < 0 (efortulaxialestede compresiune), curente,secliuneatransversaliare doui axe de simetrie9i in cazulaplicaliilor valorile poatefi inscrisi intr-undreptunghi(figura1.4).Penhuo astfelde secliune, punctele "M" 9i "m"' maximi respectivminimd ale tensiunilornormaleapar in 9ivorfi datede: colluridiagonalopusealedreptunghiului reprezentand

t " f f i =N" A =rlM,i [ w r - lM,l) v lt.,J

ffi W

v

az

Figura1.4

(1.18)

: _.-q.._

: : fz

3 d

Rezistenfamaterialelorll

in relalia(1.18)cu semnulsdu (,,+"daci @bservafie:EfortulaxialNxse introduce in timpce momentele i-1.reprezintd o intindere9i ,,-"daci N, reprezintio compresiune), ;ncovoietoare se introducin valoareabsolutd. geometrice Exemplu: Si presupunemci eforturileseclionale9i caracteristicile ale secliuniitransversaleau astfelde valoriincAt

l N "=6 l 5 N =, A

mm'

N= I n n' , l * l n a "- . l = 1 1 b Wr

W'

mm'

tensiunea conform observalieienun{atemai sus, dacd N" > 0 (intindere),atunci extremi va fi pozitivi 9i va avea valoarea = 65 +115= 180# Gx.,a* in iimp ce valoareaminimd =65-115=-59-\ ox,min mm' contrar' semn are este mai micd - Tnvaloareabsolutd- 9i general,in secliunile Condiliaderezistenlivatrebuiverificati,incazulce|mai pulin una pericufoase,Prin secfiune periculoasd se inlelege o secliune in care cel dintrediagrameleeforturilorseclionaleale un extremglobal'

ale uneibaresunt secfionale eforturilor ci diagramele Exemplu:sd presupunem notatecu (1),(2)9i (3)' sunt: periculoase, in figura1.5.Secliunile celereprezentate lui lN*1,u,; (1)= secliuneacorespunziftoare lui lMrl,""; (2) = secliuneacorespunzitoare lui lM,l.""' corespunzAtoare (3) = sectiunea

Figura1.5

-)


Agadar, pentru a verifica o bara solicitati la incovoiere oblici cu efort axial, trebuieformatetrioletelede eforturi:

lN"l,", lNl'l= )l l1,a(r l' ' ' vI

)l

Ilruf'l

fl'rf)l

)l =f'.4,1*"_ lr) llt'ltl:,| t:) Jlnltf

=lrvr,l Iltrrt!')l

r 'rmil ll 'l Ll -l -,{ lvf gi apoi, verificatd condilia de rezistenle corespunzdtoare,sub una dintre formele prezentatein relaliile(1.14) + (1.17), pentrufiecaredintre cete trei tripletede eforturi.in cazul in care inegalitateacorespunzdtoarecondilieide rezisten{deste verificati pentru fiecare dintre acestea, vom spune cd ,,baraverificd (sau rezisti)"; ln cazul in care cel pulin una dintre tripletele de eforturi conduc la nerespectareainegalitifii condiliei de rezisten{d,vom spune cA ,,baranu verifici (sau nu rezistd)". @bservafie: Este posibil ca, in unele cazuri,doui sau chiar toate cele trei din secliunile(1), (2) gi (3) definitemaisus si coincidA,fapt ce conduce,in mod evident,la reducereanumiruluide conditiiderezistenldimpuse(de verificat). t-l

Iitrl!'ll

Tipuri de problemela incovoiereoblici cu efgrt axial Dupdcum s-a ardtatin parteaI a Rezistenlei materialelor, suntdefinitetrei tipuri gi efortulcapabil.Formularea de probleme: verificarea, dimensionarea acestorprobleme gi detaliereamoduluide rezolvare pentrucazulgenericilustratTnfig,qra suntprezentate t. o .

z q

Figura1.6

Rezlstentamaterialelorll

" Verfficare . la:e - grinda:

- forma qi dimensiunilesecliuniitransversale - rezemirile - incircirile (P, Q, q, etc.) - poziliaincircdrilor Pe bard - rezistenlade calcula materialului(R) . r,riecunoscute: - daci grinda rezistdsau nu (dacdsunt verificatecondiliilede rezistenld) '?ezolvai'e: (xOz)9i (xOy)9ise traseazd Se extrag forlele exterioare date in planeprincipale (deci, din fiecarefo(5 elementard :;aSramelede eforturiprin suprapuneride efecte 9i apoi prin insumare): -;arat a Nx- din fo(ele situatepe axa barei (ox) sau paralelecu aceasta; . Mv - din fortele sau componenteleforlelor din planul (xOz) ce sunt paralelecu

:..

axa barei (Ox) sau cu axa (Oz), nefiindsituatepe acestea; . M. - din fortele sau componentelefo(elor din planul (xOy) ce sunt paralelecu axa barei (Ox) sau cu axa (Oy), nefiindsituatepe acestea' Se identifici secliunile periculoaseprecum 9i valorile maxime absolute ale

acestoragise formeazhtripletelede afcrturilorlN.l,*, lftlri,"" 9i IM.l,"-corespunz6toare

=ln-1,", ll*f'l Ir'r!,1

lt!'l

eforturi: '{

lnlt!tl I

-l

ilruf)l =lM,l**ol lluf)l (r)llMf)l llny,l

lru.l,,, llnt!"|=

Se calculeazdcaracteristicilegeometriceale secliuniitransversalea barei: aria' 3.. :ccrdonatclcccntruluidc greutate,rnomentelede inerlieaxialegi rnoduliiderezistenli

ft -+ fw' A; fz^ -+ 1', tr, - * tw.

Se verificdcondilia de rezistenli corespunzitoaretipului de material9i solicitirii 4. oblinute- vezi relaliile(1.14)+ (1.17)- pentrufiecaretripletdde eforturiObservalie: Daci toate inegalitdlile definind condilii de rezistenli sunt indepfinite,atuncivom spune cA ,,baraverifici (bara rezistd)"' ll. Dimensionare . Darlg: - grinda:

- rezemdrile - incdrcdrile(P, Q, q, etc.) - pozi{iaincircdrilor Pe bari - forma sectiunii transversale (obignuit, se aleg secliuni dreptunghiularesau alcituite din profile laminate ,,1"sau

ei ,,U");NU gidimensiunile - rezistentade calcula materialului(R)

7 Rezietenfa materialelor ll

10

.N@:-dimensiuni|esec1iuniitransversaleagrinzii . Rezolvarg: 1". Se extrag fo(ele exterioarein cele doud plane principale- (xOz) 9i (xOy) - 9i se traseazi diagramelede eforturi: . Nx - prin suprapunereaefectelorforlelor ce aclioneazi paralel cu axa barei

(ox); r Myi- din fiecarefo(5 din planul (xoz) ac{iondndparalelcu axa barei (Ox) sau cu axa (Oz), nesituatePe acestea; j Mzj - din fiecarefo(d din planul(xoy) , acfiondndparalelcu axa barei (Ox] sau cu axa (Oy), nesituatePe aceasta. Observa{ie: ln cazulin care necunoscutanu intervinepe una din direclii,se vor putea suprapunedirect efectele,oblinAndu-seo diagramdtotald pe direclia respectivd

i,l

s dl

I

(in mod obignuitMf"tsauMf'). 2o. Se identificd sec{iunile periculoase gi se formeazi tripletele de eforturi corespunzitoareacestora, @bservatie; Diagrameie cje eforiuri Mu $ilsau M. se ob(in ca aidiurare cie diagrame elementare,trasarea diagramelorglobale Mf"' gi/sau Mft nefiind posibild datoriti prezenlei necunoscuteiTn valorileacestora.tn acest context,din diagrame se poate ajunge la supoziliacd secliuneapericuloasi corespunzdtoareunui anumit efort poate fi situati in mai multe pozilii pe axa barei,in funcfiede valorileluate de variabili (necunoscuti). Se ajunge astfel la un num5r sporit de secliuni periculoase, corespunzitoareunor valori maximeabsoluteale eforturilorN, , Mu9i respectivM'. 3o. Se scriu condifiilede rezistenldaferentetuturorsec{iunilorpericuloaserefinutein pasul(2'), la limit5,ca egalitdfi. Din rezolvareaecualiilorastfeloblinute,se vor obline mai multevalori ale necunoscutei. Observatie: Dimensionarea urmiregte stabilirea dimensiunilor secliunii transversalea barei. ln condi{iade rezistenldapar insi caracteristicigeometriceale acesteia(A, Wv gi Wr) care sunt funclii ale dimensiunilor,depinz6ndde forma secliunii. Astfel, din condilia de rezisten{5se poate determina numai o singurd caracteristicd geometicd necunoscutd.in cazul general Tnsi sunt necunoscute toate cele trei caracteristicigeometrice, ceea ce implici impunerea unor condi{ii preliminareintre se impuneun dimensiunilesectiunii.De exemplu,?n cazul secliunilordreptunghiulare = geometrici formi cu o complexd,se secliunile alcdtuite raportal laturilork h/b. Pentru recomandddimensionareaprin lncercdri. in final, se va selecta dintre valorile ob{inute la punctul (3"), valoarea pozitivi 4". minimi. ln mod obligatoriu se verificd bara cu valorile efective ale caracteristicilor 5". geometricepentrusecliuneaaleasd.

0 il

I i

I 1[

Rezistenp materialelorll

11

se poate cere fie stabilirea gbservafie: intr-o problemede dimensionare, fie stabilireapozilieipunctuluide ale secliuniitransversale, geornetrice dimensiunilor a bareisi se oblini o anumiti transversald in sec[inea aplicalieal uneifo(e, astfel?ncAt normale. a tensiunilor distribulie normalesAaibi acelasisemnpe toati De exemplu,se poatecereca tensiunile de rezistenlici nu se va facedin considerente in acestcaz,dimensionarea sectiunea. Pentruaceasta,polulfictiv,determinat din condiliaca axa neutri si nu taie secliunea. centralcu relaliile(1.11)trebuiesd se situezein limitelesdmburelui lll. incircare caPabilS transversale secliunii . rc,: - grinda: - forma9i dimensiunile - rezemdrile uneia - incircirile,cu excePlia bard pozi{ia lncdrcirilor Pe (R) materialului a calcul de rezistenla . Necunoscute: 'valoareacapabilda incircdriineprecizate I

l !

'@!w.:

@bservafie:lntr-o astfel de problemi se cere, in general,stabilireavalorii capabilea unei incirciri, deci valoareamaximi pe care o poate lua incdrcarea respectivi,astfelincdt ln punctulcel mai solicitatdin secliuneacea mai solicitati, de calcul.Cu altecuvinte, normalitotala(of si egalezevaloarearezistenlei tensiunea condiliade rezistenldscrisi pentruacestpunctse exprim6ca o egalitate' esteidenticcu cel descrismaisus, al uneiastfelde probleme Modulde rezolvare de semnificalia (ll), singuradiferenldfiindreprezentati la o problemdde dimensionare (aici- incircare). necunoscutei Trasareadiaorameitensiunilornormaletotale(ol"') in secfiuneacurenti a uneibaresupusi la incovoiereoblici cu efortaxial pentru trasareadiagrameitensiunilornormaletotale intr-o secliune,,A" se parcurgurmdtorii Pagi: 1o. Se extragvalorileeforturilorseclionaleNf', Mf' 9i Mf). Apoi, se reprezintd acesteeforturipe seciiuneatransversalia barei, lin6nd cont de semnullor, de y 9i z sunt | (cadranulincarecoordonatele de semnegi de pozifiacadranului convenlia -ambele- pozitive). ), normaledinfiecaredin celetreieforturi(Nf tensiunilor Zo. Se traseazidiagramele de la solicitirilesimple(figura1.7)' tvtf;)Si Mf)), aplic6ndregulilede trasarecunoscute (A ; lv ; l' ; Wr ; geometrice ale secliuniitransversale @bservafie:Caracteristicile se pot preciza W, ) suntdejacunoscute,astfelinc6tvaloriledin diagramelesus-amintite complet.

)


3o.

pozitiapoluluiA(yo;zo)in secliunecu relaliitp(1.13): Se stabilegte MlA) y o=N F;

Mll)

zo= N ]oTi

se introduccu semneleefective. undeeforturile de inerlie(giralie)alesecliunii: 4o. Se stabilescrazeleprincipale

i,=\Fi 5o.

n_ ={F '' '

Utiliz6ndrela{iile(1.11)se stabilesctdieturilepe axelede coordonate(Oy 9i Oz)

ale axei neutre(n-n):

i2

Yn

'2 .

Z''. =- - :

Yo

i3 zo

Apoi, unind puncteleNr (yni0) gi Nz(0; zn),se traseazi axa neutrd(n-n)' Prin collurilecele maiindepdrtateale secliuniise duc doui paralelela axa neutrd 6o. (gi apoi o perpendiculardpe toate acestetrei drepte,ce va reprezentaliniade referinli a diagrameiolotur. Diagramatensiunilornormaletotaleeste liniari, cu valoarenulSin axa neutrd(n-n)qi cu valoriextremepe cele doud paraleletrecf,ndprin collurilesecfiunii. @bservalie: in cazul in care axa neutri nu taie secliunea,diagrama of;td va pistra acelagi semn pe Intreaga secliune,existdnd numai pe zona aferenti secliunii (Figura1.7). /r

@ o2

or=Y tM,l oa=ff

Figura1.7

",=ffi


I EXEMPLE DECALCUL

EI Exemplul1.1: PentrustAlpul dinfigura1.8,se cere: a)verificarea stdlpuluidin olelOL37,gtiindcd rezistenla de calculesteR = 210 N/mm2: b) trasarea diagramei tensiunilornormale labaza st6lpului.

>z)

fre 6a DGl

v

-+

lmmj

.va mii IL

i

230

Figura1.8

Rezolvare a) Verificarea st6l pului 1". Extragem fo(ele exterioaredate in planele principale(xOz) gi (xOy) 9i trasim, prin suprapunerede efecte,diagrameleN*, M, gi Mr. Facem men{iuneaimportantdci la trasareadiagramelorde momentse respeclS urmdtoareleconvenlii: - diagramelevor fi reprezentateintotdeaunape parteafibreiintinse; - semnul unui momentva fi consideratpozitivdaci produceintindereafibrei din cadranull. Forlele din planul (xOz) gi diagramele de eforturi corespunzdtoare sunt reprezentate in figura1.9.

Rezistenlarnaterialelorll

14

@

["

[kNl

(o-*-,"

200 +1 0 0 =300

1 1 0 0 *0 , 1 7 =1 7

Figura1.9 La trasareadiagramelorde momentincovoietorMr s-a linut cont cd: (i) fibra corespgnzdtoarecadranului | (fibra a cdrei intindere corespunde momentuluipozitiv)este fibra marcatdcu ,dt''; (ii) actiuneafo(ei P2determind?ntindereafibrei ,,stg"iar cea a sarciniiuniform distribuiteq a fibrei,,dr". Forfetedin planul (xOy) gi diagramelede eforturicorespunzdtoaresunt redate in figura1.10.

0,115m +it\_

@*@f =@' [kNm]

,f-\

{vov j \4/

[kNm]

.|,.u

[kNm]

15

RezistenF materlalelorll

2' .

La trasareaacesteidiagrames'a linutcontc5: unuimomentpozitivestecea (i) fibraa cirei intindereestecorespunzitoare notatd,,d/' fibrei,,dr"iar forlaorizontaliH pe cea P2produceintinderea (ii)fortaverticalS a fibrei,,stg"' periculoase: (1)- cu lN-1,"Se identificisec{iunile

(2)- cu lMrln"* (3)- cu lM,l** N*,Mv9i M' , se observici: Dinanalizadiagramelor . secliunea(1) poatefi considerati gi,in consecin!5, lM,l,"*esteconstant oriundePeinillimeastdlPului; (2)estecu siguranlilabazastAlpului; . lMrl,,_9i implicitsecliunea . (3) afldcu siguranlilabazastdlpului' lM=[.*9i secliunea se Atuncic6nd valoareamaximdabsolutda unui efort se atingenu numaiintr-o in carecel pulin secfunedistinctici pe un interval,se va relinepentruanalizlsecliunea se va efectuanumaiinseciiuneade la rci un efortesteexlrem.RezultdcAverificarea este .aza stAlpului, undeiripletade valorialeeforturilor kN [l ttt"l= 3oo

l=orrru* lltvt,

:"

||M.l=18,5kNm (1)'(2)qi (3)coincid' in acestcazsecliunile aie secliunii: geomeirice Se deierirtiiiicaiacierisliciie - ana:

A=23.34-20.30 =182cm"

- momentelede inerlie: '

It =zz.za, _zo.3o3=30.332,67cm4 12 12 ]-t 30.203 =14.473,17cma l, -34'233_

L'

- moduliide rezistentS:

I I

I

rz

rz

14.473,'l7cmo= 1.258,54cm3 11,Scm

la pasul Se verifici indeplinireacondilieide rezistenli Tnsingurasecliunerelinuti cu numirul 2o:

r.

l=ry.H.ffit* lo"i,.,=1o",,,n E -t

Rezietentamaterialelorll

,

Rezulti:

63'101Nmm

300-10iN

,

r.-T-.T-

t6-t

l- x ! m u

18.5-106 Nrnm --=

182. 1O ' ?m m 2 1 . 7 8 4 , 2 7 . 1 0 'm m ' NN =66,49 ";
1.258,54.103mmr

:

agadar,stdtpulverifice(rezistd). b) Trasareadiaqrameitensiunilornormale(of;"r) la bazastAlpului dinsecliune(cusemn): 1". Se extragvalorileeforturilor 1N.=-300kN ; =+63kNm; JM' [M"=+18,5kNm gi le reprezentdm pe sec{iunea datd;

@

@.u,.,

,,'eh(i=.=,i@ -L

@ INrm#]

,.t

,

,1 .

i

-=t'\

1258,54 x

ffffiS"=r+,ro

Figura 1.11 2".

Se traseazi diagramelesimple oI. , oY', of;' corespunzdtoare eforturilordin se{iuneade la bazastdlpului. poluluiA: 3". Se stabilesc coordonatele 18,5 ' lo 6 Nmm . 6 7 mm . lu^=!!. - _ 3 0 0.103N = -6-|1 ' -r" " !' ' N , l ,u I

r, .^ -=- 21omm i =^=l !- 6 3 'io"Nr ytm . t" N * -3 00.10' N

4".

de inerfie(degiralie)ale,pcfiunii: Se calculeazirazeleprincipale

= E =@ =1J:1 2 , e 1 c m = l2 e , r m m ; f, lg 2 c n t ' l ''-1n

lt

=..F= m+=

8,e2cm= 8e,2mm .


5o.

17

Se determini tdieturileaxei neutre(n-n)pe axelede coordonate: 89'22mm2 = +r29.o2mm [o^=-9.-: yn 6l,5hm l-' i29,l2rnm2 = +79.37mm l.^ = -ri - _ -210mm zo t"

giapoise reprezintdaxa (n-n)pe secliune. 6'. Prin collurilecele mai ?ndepirtatede (n-n),respectivstAngasus gi dreaptajos, se duc doui paralele la (n-n) gi o perpendicularila aceasta, ce va reprezentalinia de referin{Aa diagramei of' . Distribulia tensiunilor normale totale pe secliune este reprezentati printr-o diagrami liniarS,cu valoarenuli pe (n-n),cu valoareminimi in punctul (m) (colluldin stdngasus al secliunii)gi maximdin punctul(M) (colluldin dreaptajos al secliunii). Prininsumareavalorilordin diagramele simple,se obfine: f N ---- *-; =+33'53 i lo"'"" IN = -66,49 . n'rrt fo,,,n Diagramatensiunilortotaleeste reprezentatiin figura 1.11.

4l Exemplul1.2: Un stdlpde betonincastratlabazd estesolicitatca in figura1.12. Xgi Rt = 2-\, sunt:R" = 12se cere: betonului $tiindcd rezistenlele ' mmt' mm'

n

a) si se verificestAlpul; b) sd se reprezintediagrama tensiunilornormale totale Tn sec{iuneamaxim solicitati; c) si se determinevaloareaforlei Q astfelincAtin secliuneamaxim solicitati si nu apardintinderi. x+ t4 v"=25 '_ m+y

Figura1.12

18

Rezistenfamaterlalelorll

Rezolvare a) Verificareastilpului 1". Se traseazddiagramele de eforturi.Fo(a P aclioneazd centricAiproducenumai gi propriea acestora. din betonse linecont de greutatea efortaxial.in cazulelementelor Aceastase considerica 9i incdrcareuniformdistribuitd aclionind,in acestcaz.dupd axabarei(Ox): g = yu'A =25.0, 3 . 0=, 4lS . m Fo(a Q are componentele in planeleprincipale: = Q, Q'cosa (inplanulxoy), Q, = Q'sina (?nplanulxOz). Dingeometria sec{iunii rezultd: fsincr= 0,8 200= tgo = 1,333:+ c!= 53oZ'48" U' ffi l"o.o = 0,6 = -10'0,6.3 = -lSkN;, eforturile:Mu= -Q.coscr,.3 Rezultd M. = Q.S ina'3= 1 0 . 0 , 8 .=3+ 2 4 k Nm Diagramele de eforturisuntreprezentate in figura1.13.

@

Il.N*t

@

kNm

G)

600+ 3x3= 609

2".

3 0.

10x0,6x3

= 24 10x0,8x3

Figura1.13 maximsolicitate Secliunea esteceade la bazastAlpului (in incastrare), unde: =_6oskN; lN_ =-tgkNtn; lM' l.M'=*24kNm' geometrice Caracteristicile alesecliunii transversale sunt: A = 30.40'=1.200cm2 ;

Rcz*rtents materialelor ll

19

lW, =b.;h'=;_qjq = 8.ooocm3 ;

)'6

6

I

mai ra. Fe

h 4 o 'to' = 6.ooocm j lt-w . = 6l ' = 6

4"

Se calculeazd-cu relalia(1.1S)-tensiunileextreme:

=*-[H.H] ##*#-[###.###)= -"ffi = *5,075 xe,zs+ +),

( j o",., = -5,075 + 6,25=+t,175 *mm- (intindere), I I r'l = -5'075-6,25 =-llJ25# (compresiune). lo"*,n Tensiunileoblinutese compardcu rezistenterecorespunzdtoare: f Nr.R,=2 16*."*=+1,175 mm' J

N= mm'

N, =-11,32s -\
b) Trasareadiagrameitensiunilornormafetotale t",) @ 1"

609kN

Valorileeforturilorin se{iune:

- 18kNm 18kN m + 24kNm 24kNm

20

Trasareadiagramelorsimple of, ,

tx ' este oY' esteredatdin figura1.14.

@ nr.'1

18 x ,| 0" .=, ?q 8000x '10" - '- -

Figura1.14

Rezistentamaterialelorll 3 0.

CoordonatelepoluluiA sunt:

=-3e,4omm ; [u^= [='u'19'TTI N* -609.lo'N

l'" '

4".

M"

-l8'l ouNmt +2e'55mm (= -60110#= lt'= alesectiunii: deine(ie(giralie) Razeleprincipale ib.h'

1 = r/ .rz = += 'v

4oogm = r rs,47mm ;

ll b.h Jtz Jtz lh b, = {= :oo9 = 86,6omm . I' = 1f rz .h I b Jrz .112 5".

sunt: Tdieturileaxeineutrepe axelede coordonate

86'602mm2 = +r90,34mm fu- = -E - ; Yo - 39,40mm l'" i3 I tts,47'*# -; = -T29 , 5 5 rt = _451,2hm lt"= ,"pr"=*ntatein figura1.'14. Poziliaaxeineutre "rr" 6o, Varialiatensiunilornormaletotale(figura1.14)este liniardpe sec{iune,valorile giverificate la punctula). extremefiindcelecalculate @bservatie:Axa neutrd(n-n)taie intotdeaunacadranulopus celuiin care se gdsegtepolulA(yo; zo). c; Determin?reavalorii fo4ei Q astfel incit in secfiuneamaxim solicitati si nu aoari intindEri Condiliacare se impuneeste ca valoareatensiuniinormaletotale maxime o*,.o = 0 . (Tntindere) sd fie nuld: (1^18)in funcliede fortanecunoscutiQ: Exprimimaceastitensiune-dinrela$,a 609.1 0 3(Q . c o s o . 3 . 1 0 uQ . s in c r' 3 . 1 0 u )

6* ,ma* =-1 2 o o . t o t ' I tr**,

.

enoorC J

@bservafie: Pentru oblinerea valorilor o*,ro in fala parantezei se va lua ln consideraresemnul (+). Dupd efectuareacalculelorgi rearanjare,rezult6:

.,.ao. .,=-5,075 G*,-* [9€-1d T#l= \/

-5,075 +0,625,Q

gi,din condiliaca aceastitensiunesi fie nuld,oblinem: *s,07s+0,62 5=. Q 0 =

. Q =19 =8,12kN 0.625

21

Rczistenlamaterlalelorll

pentru aceastevabare a fortpi Q, axa neutrdeste tangenti la secliune,tdieturile ei pe axele de coordonatefiind: fvf. Q'sincr'3m 8,12'0,8'3'10'-a?mm' -609 N, N, -8,12'0,6'3'10' =+24mm; l, =t, _ -Q.cosa'3m - 609 N" N"

f l'o l\/

- - g 4 l l "r i

=r

!

: [r. = -L --86,9q = +234,36mm -32 i'" Yo i: I t$.ql' _ _5s5,5smm

-;=-- -'z+ l="=

figura 1.15. Axa neutr6gi diagramatensiunilornormaletotalesunt reprezentatein Tensiuneanormali extremdva fi: lN-l (Q'cosa'3m * -Q sina'3m)

l o^1,* =| o".,'nl =o .*[ ,

\4-J=

( n r,

= 609.lo, too:iir*8,12'3'to' lffi*

0,8 =

!_

) 19.15 a.oooJ mm.

se poatearStacd atuncicind axa neutri estetangentala secliune,tensiunea

egaldcu lc*1.*=' ry arevaloarea totaliextremd 'rrormali

1,15 Figura

Et Exemplul 1.3: (k o re o tu A Y' -r--" v " 'nqhiular ----\'

stalpul din figura 1.16 cu secliune Se se dimensioneze

t = ] = 1 ,5 ) d i n o te l OL 3 7 (R = 2 19-X - 1' mmb

ox in cu dimensiunilestabilite,sd se traseze diagrama tensiunilor normale sediunea maxim solicitati.

)

Rezistenfa materialslorll

22

IrW Figura1.16

Rezolvare a) $tabitlrea dimensiunilor sectiunii transversale Extragem fo(ele ln planele principale gi trasim diagramele de eforturi, prin 1". suprapuneride efecte. . Fo(e in planul(xOz) I

-i*,, ruz

-t----F*-

30 500+ 200= 700

Figura1.17


23

. Fo(e in planul(xOy) .i ^ ,, b/2 -l--tr-

E

. -. * -' -. + y 2,0, {=25 -

n

Figura1.18

Y. Se identifici secliunile periculoase precum gi tripletele de eforturi corespunz6toare acestora.Din analizaatenti a diagramelordeeforturi(figurile1.17 gi 1"18) rezultd c5, in acest caz, cele trei secliunicoincid gi reprezinti secliuneade la ha-a stAlpului.Agadar,avem:

=-zoo lrxl ; fru" =-30-too'n [
1 M=+25 '

3'.

[ t N* ] , lM, geometriceale secliuniitransversale Se calculeazdcaracteristicile a stdlpului

ttfrlindcont de raportuladoptatintre dimensiunile sale f = I = 1,5. Jinind cont gi de b poziliasistemuluide axe,avem: A=b.h

A = 1,5.b2

|.. b .n ' l '' 1 2 l , _ h .b ' .

=o,zatzsu' ; {r,=0,125b0

ll,

t-

--

[w.= o'rt' '

I

l'

Ll.

.

12

6

l*=*

=o,ezsu' ; {w,=o'25b' LW'

'

RozistenF materialelor ll

4o. se scriecondiliade rezistenldla limitd(ca egalitate)in secliuneade !a stdlpului, totulTn lindndcontde unitililede misuri alefiecdreimdrimi(transformdnd gi [rnm]gi,desigur,mdrimiderivate):

=1o","'" =* lo,1,,* I=ry.W.ffi lnlocuindin relaliade maisuseforturile geometrice ale 9i caracteristicile exprimate in funcliede dimensiunea b, avem: l_

*ffifu'=tto

(30+100.h).106 700.103, /wv .l v r v u.i l /.tu \J Vf

|

j --

r-x rm a x (i ,5 .b,).106 ' (0,375.br).ton

Efectudnd calculelerezult{: o'0,4666667 ,_9,ot*o'0,4+ g,l_u,,r,, n b'

b,

b2 bt

sau, dupi simplificiri .b - 0,1g= 0 210.b3- 0,8666667 Rezolvareaecualieide gradul lll oblinutese poate face in rnod aproximativ

metoda Tnjumitdliriiintervaiului.Aceasti metodd permite obtinereaunei aproximative a ecualieif(O)=Odaci se procedeazd astfel: f(0); - se calculeazd - se alege o valoarebr suficientde mare pentruca solutiasi fie (o;0,); intervalul - ca urmare,semnelet(o)9i f(U,)vorfi contrare; (o;U,)gicalculdm - injumitilimintervalul f(b,),undeb, = [ , - daci f(br) aresemncontrarlui: . (o),atunci Tnjumdtilim intervatut(o;nr)Si catcutimf(br'), unde

b. b.'= '2 . t(n,),atunciinjumdtilimintervatut (br;n,)gicatcutdm f(b,"),unde b",,=.b..apa. "2 - se procedeaz|Tn continuareanalog,p6ni la oblinereaunei solulii aproximative, cu o eroarepresupusiacceptabili. Avem,deci: f(b)= 210.b'*0,8666667.b-0,18 =0 'bo=0m f(0)= ' 9'16 ' bt = 0,2m f(0,2)= 210 .A,23- 0,8666667.A,2 -0,18 = + 1,3266667

Rezletenlamaterialelorll

25

. bz = 0,10m (b2= lqjg ) 2 f(0,10)= 21A.0,103_0,9666667 . 0,10_ 0,1g= _0,05666677

. bs= 0,15m (b3= bib, = 210. J,',U.-0,8666667 f(0,15) . 0,1s- 0,18= +0,39875

'b + = 0,125m f(0'125)= + 0,1218229 = ' bs 0,1125m = + 0,0215039 f(0,1125) 'bo = 0,10625m = - 0,0201961 f(0,10625) 'b z = 0,109375m = - 0,000019022 f(0,109375) = ' be 0,1109375m = + 0,0105718 r1O,t tOSeZS) Acceptimca soluliebn"c= 110mm,gi avemspoihn""= 1,5'11Omm = 165mm.

ib=ttomm;

Se aleg ca dimensiuniale secliuniitransversale: 5'.

h=165mm

Cu valorilealese, se determini: - eforturilela bazastAlpului:

fN"= _zookN ; jr, = -ro-too.0,165 = -46,5kNm ; = [M. +25kNm - caracteristicilegeometriceefective ale secliunii transversale: = 181,5cm2 A = 11.16,5 f. = tt'to.s' .l" ?=4'll7'78cma

;

to.s.r r' i, tt=

-;-=l'830'l2cma

I

n.r6i2

=4ee'r2cm' i l*'= ? l6's:tt'=33? . 7 5 c mr lvy' = ---" -t 6 - tensiuneamaximd(absolutd) labazastAlpului: _ z o o ,1 0 r N t^ | | " x lrox 1815 J6:mm: = 2 0 6 ,8 6-\. mm'

*

46,5.10€ N mm J557;:;;=*

R : 210 -\ mm'

25 .10 6 Nmm

z22,Ts.10 3mm 3

,

Rezultici dimensiunile alese(b =1'1Omm, h =165mm)suntcorespunzatoare.

ir" Rezistenfamatsrialelorll

normale(o') in secliuneamaximsolicitati b) Trasareadiaqramei,tensiunilor esteceade la bazastfilpului' ceamaisolicitatd S-astabilitcAsectiunea 1"'

c-

sunt: Eforturile

[N"= - zookN ; = iM, -ou'tkNm; = [M. *25kNm' pe secliuneadati (figura1'19)' carese vor reprezenta normalesimpleof' , oY', of' din fiecare tensiunilor 2". Se traseazidiagramele

,6'

efort. 129.72 I

ul

Figura1.19 3".

Se stabilesccoordonatelepoluluiA:

+

25'lo6 Nmm = -3 s , 7 1 mm ; lu^=!!.N* -7oo'lo ' N I" _46,5.106N1mm =+66.r*3mrn . lr, =Mu_ N* -700. 1 0 ' N principale de inerfie(degiralie)ale sec-tiunii: se calculeazdrazele = 4 , 7 b 3 c m= 4 7 , 6 3 mm; |., =.E ="@. I' V A ! 181 ' 5 c m'

= 3,r75sn=31,75mm . l' = .E =^@. tat,scm' 1ln \i l''

R al 1' pl c( ct

27

Rezlrtentamaterialelorll

v.

se determini tiieturile axei neutre (n-n) pe axele de coordonate: ,

6*

fu =-L--31'752mm2= +28,23mm; - 35,71mm l'n Yn { lr =-L--47'632mm2 = -34,r5mm +66'43mm zo

Trasim (n-n)Si"poiOi"gr"ta oLont, in care se obline: N f -,. + 75'13 = +129'12-\ = -38'57+ 93'16 io'''u"

1N lo*'''n

;

= -38'57-93'16-75'13= -206'86 mm'?

El Exemplul 1.4: Pentrustfilpufdin figura 1.20,se cere: = a) stabilireaincirciriicapabile H."0,gtiindc6 R 210 N/mm2 b) trasareadiagrameitensiunilornormale(o*),in secliuneamaximsolicitat5.

= 150

)w.

av /

- .. - ,- .> y q * 10 kN/m

Figura1.20

Rezolvare: a)9!eE!!!l.ea1ncarci4iH""p lor din celedoui plane (date)gi componentele 1". Se extragfo(ele exterioare va line principalegi se traseazddiagramelede eforturiprin suprapunerede efecte' Se (deci, cel I oont ci momentulincovoietorpozitiveste cel ce produceintinderiin cadranul ce intinde fibra ,,dr",aflati la coordonata y pozitivi, respectivz)'

&

r lli

1ll

Rezlstenla rnderlabbr I

fo(e in planul(xov) 0,32m

Hhxi

I,'l l

r"i

e ,tkNl ri v t[kNm]

/'h q,

=

[kNm]

- r-r----j--r=-

ftil\

&/[kNm] 48

L_J!H

iH -ffi----i--F-rH IH

H

l@

LI

iE=

tl tl

iF . iF . iH

- - l- t - - - r - - I 190+ 950 = 500

r' 1150"0 , 3 2 =48

10*#*80

Figura1.21 . fortpln planul(xoz) 0' 15m

Fk-

/-n\ q'

x+

lkNml

:

Figuia1'22

pot ird aparS solicitifile maxime; 20. se identificSsecliunile periculoase,in care acesteavor fi: (1) - sectiuneade la baza stAlpului,in care avem:

sookN; [[.r!ll= ll^l

; (1)lFf,l=p.H-zzsl lkNml l[u!)l= r28kNm U' l


29

(2) - sec{iuneade actiunea fo(ei orizontaleH*p (3 m de la baza stAlpului):

soorru ; lrufrl= ,,{

; lvf)l=zz,stlrtm lu9,l:53kNm

Vom relinedoar tripletade eforturiaferenti sec{iunii(1), fiindcdnecunoscutaH meirc doar in aceasta. geometriceale sec{iuniitransversalea stAlpului: Se determini caracteristicile :' n = z'00.2)+ 60.1= 18ocm'z;

6 0 .13 , f. - -" '\ ^ (z.zo ll..= 2'l l+ -- - = 9 . 0 0 5 c m" : l'

[ 12 )

12

| | n n r3 2\' | . 100 + (s-^,J '^zt-+ -r It-= z .l ' u ' ' r

l' .

l 12

'\ 2

2 )l

1.603 = 133.360cma

t2

qoos I lW' = '''"i" =600,33cmr; 15 | '

2

= 133'360 = 4.r67,5cm, 11ry32 t' (1),la limiti: Se scriecondiliade rezistenliin secliunea _500.10:+13H-2 2 5 1 ' 1 0 ' + 1 2 8 . 1 0_6 : 2 1 0 , lo!)l i ^ lma 1 8 0 .1 0 '

600,33.10'

4.167,5.10'

m urde vom obtinedoui ecuatii: = 2r0 (+ 4,ss7.H-31,479)+30,714 (a) 27,778+ (b)

= 2lA 27,778+ (- +,SOt'H $7 ,a79\+30,714

Se oblinsoluliile: ; iH(a)= +3Z,gZkN = lH{o) -27,82kN. Se re[inedoar soluliapozitivd,astfelincdt vom obfine H*P = 37'82kN' |t Trasareadiagramei tensiunilor normale (or) in sectiunea cea mai solicitati 'l" Sectiuneacea mai solicitati este cea de la baza stdlpului,eforturilefiind deci:

lN,= -sookN ; ; 1t, = ,.rt,t2-22,5= -9og6kNm lM' = *tzgkNm' Pe sec(iuneatransvercali dati, se vor trasa diagramelede tensiuninormaledin \ " din M, 9i din M, (figura1.23).

T


30

g 154.45

M

Figura1.23 30.

Se stabilesccoordonatelepoluluiA:

4"

128'louNryrm = -256mm; lu..= !L 'u N* - 5oo'10 ' N l M, _ _9o,96.lo 6 Nmm = + 1 8 1 . 9 2 mm l, = 'lo'N 5oo N" |.-' de ine(ie(degiralie)ale secliunii: razeleprincipale Se cafculeazA

I

Ill

ru ltl

5".

Se determini tiieturile axei neutre(n-n)pe axelede coordonate: = +289,40mm; [u- = -L - -272'192mm2 yo -256mm l""

-= -2,,somm. l=-= -L - -70,732mm l-"

6".

zo

+ i81,92mm

Oi"gr"ta of'' , in careavem(figura1.23): Trasdm(n-n)Si "poi u N *fso,qero'l.t rT * r2 8 . iONmm__ 500.10] [_ l= + t s + , + s _ \ ; l*x m a r I

1 8 0 ' 1 0 2 mmzl .6 0 0 ,3 3 ' 1 0 ' mm' 4. 167' 5' 10' mm' /

mm-

( g o ,g.le0 u N m m 128' 106N mm I s o 0 ' 1 0 3N . in N mm' 4.167,5' 10' mm' ) l" x ' m i n 1 8 0 .1 0 ' z mm2[6 0 0 ,3 3 .1 0 'mm'

br--


31

loculgeometric al E Exemplul1.5: PentrustAlpuldin figura1.24sd se determine @ilortn carepoateactionafo(a P astfelincdttoatdsecliuneas5 fie comprimatd.

Figura1.24

Rezolvare: Locul geometrical polilorin care poate aclionaforta axial6 P astfel incdt tensiunilenormalesd aibd acelagisemn pe toati secfiunea,este sdmburelecentral. Pentrudeterminareaacestuiase va construiLSC (limitasdmbureluicentral),care multimeapolilorpentrucareaxaneutrdestetangentila secfiune. reprezintd geometrice alesecliunii Se determindmaiintAicaracteristicile - arw.

A = 20.2+ 50.1=90cm2

- poziliacentruluide greutateal secliunii?n raportcu fibra superioard (figura1.25): zo =

20.2.1+50.1'27=

15,44cm

- momentelede ine(ie axiale: t''10' = 25.452,22cma f, --zo'z' *20.2 14,442* * l'50. I 1,56'z i

l'': u l, z-zo' 50.13

12

It=-o-* t=l '337 ' 5 c m ' ' - razele de inertie (girafie): I

lt = t;7 l < ' r.r1 =16,82cm =,,/i l ItX1,,

|

tr

fiq??i

l',=ili={-,.=3,85cm

punctului2"):

ly.'=-*=1,48cm, -,r

{

=6, | .z ,= -:1 6 ' 8 1

RezultdpolulA, (1,48;0). teoremS:atuncic5nd axa neutrds 5o. Se aplicdurmdtoarea punct,polulse deplaseazd pe o dreaptd. o laturda Se oblineastfelsegmentulA,A, carereprezintd 6o. Datoritisimetrieisectiuniifald de axaOz,LSCva rezultar Astfel,la rotireaaxeineutrein jurulpunctuluiC'(simetric cu C) se 0) simetric cu A,. in continuare se repeti pagii3"- 6". Pentru(n, -nr) se oblintiieturile: = -7'45cm: ]u., = Lzn. 39,19cm gi polulA' de coordonate:

[u"= t-'

3'852= L99cm : -7,45

l',=

--16'82'?=-i.z2cm : 39,r9

precumgi simetriculsdu Ar.

Retlstents mater{alelor ll

Rotindaxaneutrd Tnjurulpunctului I seajunge in pozilia(n, - no) cutiieturile =* ; l.vn. lz". =+35,56cm; L

"4

9i polul Aode coordonate

LSCestereprezentat de poligonulA,A2A3A4A;A;.pentruca axa neutri si nu taiesectiunea, rezultAnd numaicompresiuni, estenecesarca fo(a axiali P sd aclioneze ir interiorulacestuipoliEon;

15,44cm

t ()

o) ot

tY, tl I hJ

!J !

ir(nJ z

Figura1.25

:-"C


1.2.2 INCOVOIERE DREAPTA CU EFORT AXIAL ln acest caz,in sectiuneacurentea barei existi doui eforturinenule:efortulaxial (N*) gi o componentda momentuluiincovoietor,situatd pe una din axele principaleale sec{iunii(M, sau M.). Faptul cd momentul incovoietor aclioneazd dupd o axd principali este o consecinli a faptului cd fo(ele exterioaredate sunt toate cuprinseintr-unul din planele principale- fie in (xOz) gi atunci se obline componenta Mu, fie in (xOy), ceea ce conducela obfinereacomponenteiM.. in cele ce urmeazl, vom consideracazulin care forfeleexterioareactioneazdin planul (xOz); ca urmare, pe secliuneacurenti aclioneazi efortulaxial N* 9i momentul lncovoietorMn.Tn cazul in care planul de acliune al fo(elor este (xOy), in relaliile de calcul ce vor fi prezentate in continuare, se inlocuiesc m6rimile corespunzdtoare celeide pe axa Oz, incovoieriipe axa Oy cu cele corespunzdtoare MY

-')

Mt

--+

W.

Wrn ffi

ffi

l Y -l ' Wv

etc.

M y '9

q rrfidm ilmd

i

* x

x

Figura1.26 Toate relaliileprezentatein paragraful1.2.1pentrucazulincovoieriioblicecu ofn rf qvial conn f n artin rrlnri z anr r r qr r r inf i r!

t lnAnr ! c nnt c i[ - 4 . - =O vv'

ij- Jr

'r

vq

r! r/

Carrmarn

nhlinem'

poluluiA: - Coordonatele

I = vtl Y o * ]=u

{" I l7

t"

M,, -

t

-a

N*

( 1.1e)

Deci,polulA este situat pe axa Oz,la distanfae, numitdgi excentricitate.

- Eestb tensiunilornormale

"'=*.? "=*['.?'J

(1 . 2 0 )

- F:"iatia axei neutre (n-n)

t*=*-z=o t-

(1.21)

&Sadar,axa neutri (n-n) este o dreapti paraleli cu vectorulmomentincovoietor tffi! , axa normal5pe acesta,Oz, in punctulde coordonati:

, =-L

- ne

(1.22)

SeErameletensiunilornormalesimple 9i totale pentru cazul compresiunii in figura1.27. {rwlrtilEe zuntprezentate Conditilede rezisten{i au aceeagiformi ca giin cazul incovoieriioblice cu efort - ?ncazul materialelorcu R, * R" [o*.r"*. R, , (Oacao*,,"" t 0)

('23)

- in cazul materialeloravdnd R, = R" = ft (rezistenld egald la intindere 9i ,immwmesiune)
(1.24) loarte utili a ecualieitensiunilorse intAlnegtein cazul O particularizare dreptunghiularemasive(ptine).ln acestcaz, lindndcont de poziliaLSC -Fxti6r cea minimda SimbureluiGentral)pe secliune,valoareamaximi 9i, respectiv, UJLfirmltud potfi scrisesubforma: rannsr-inii I

oma x,mn = * [ , ' . + J , , lttt" I ' ' lN"l tat

-

.:_-:i

.

(1.25) (1 . 2 6 )

secliuniiparalelicu axamomentului; b = dimensiunea = pe axamomentului. normalS secliunii h dimensiunea carepreiauintinderigi suntposibiletreisitua{ii Ecualia(1.25)se aplicdmaterialelor dMncte: central,ceeace sdmburelui carepolul,"A"estesituatin interiorul a), lel | | < \, 6' "rrin gi tensiunile extreme(o.u" 9i implicifaptulci axaneutrd(n-n)nu taiesecliunea o,,n) vorfi de acelagisemn;

,.t-


36

@+

@

fqL/ t\ Gmin

n__

My

q Figura1-27

central;in acestcaz nl lel=|, aOicapolul,"A"se aflSexactla limitasAmburelui extreme(o',n- in la secliune9i unadintensiunile axa neutri (n-n)estetangentS respectiv0,,* - in cazulin careN' este cazulin careN* estede compresiune, estenulS; de intindere) sirnbureluicentral,ceea c) leit , aOicapolul,,A"estesituatin afaradomeniului f tensiunileextreme(o',n 9i faptulc5 axa neutra(n-n)taie secliunea, implicd ce or"" ) avOndsemnecontrare' terenuride carenu preiauintinderi(deexemplu, in cazulmaterialelor @bservafie: =0) ecualia(1'25) ziddriigialtelepentrucareR, fundare,betoanede clasdinferioard, in limitelesdmburelui se aplicddoarin situaliilein care IE = :, deciforla aclioneazi a 9ib). central(cazurile aclioneaz1 cuoexcentricitate lel> | t""t" amplasati Dacdfo(a de compresiune normalepe zona a tensiunilor areloc o redistribuire in afaralimitelorsambureluicentral) este: activda secliunii(figura1.28).iniltimea activi a secliunii 0 = 3'c,

(1"27)

unde s-a notat h

" =t-

(1 . 2 8 )

37


@ .

/ ,/:_i

.r1

+rj a1

6min

.-.-----.)

omax = 0

Figura1.28 Evidentci in acest caz putem vorbi numai de compresiune,valorileextreme ale ensiunilorfiind:

= lo'u* o ; 2.N I =

( 1.2e)

lc.in 3.b.c incovoiereadreapti cu efort axial este un caz particularal incovoieriioblice cu efort axial, prezentatdin paragraful 1.2.1. ln consecin!6,abordarea problemelor de .erificare,dimensionaregi efort capabilse face in acelagimod. Verificarea la compresiune excentrici a sectiunilor dreptunghiulare masive care sunt frecventutilizatein practicacurenti) presupuneurmitoarele etape de calcul: 't', Se stabilesceforturileseclionale(N" 9i Mr) din sectiunearespectivS,oblinute prin 'educereain centrulde greutatea efectelorfo(elor exterioaredate. 2'. Se calculeazi excentricitateagise compari cu limitasAmbureluicentral:

huI

lel= f-4 : ' I lN-l 3'. Se stabilescvalorib extreme ale tensiunilor,linAnd cont de tipul materialului9i de valoareaexcentricititii,dupi cum rezultddin tabelulde maijos:

l

i

"J


38

Tabelul1.2 Materialcare nu preiaTntinderi

Materialcare preia intinderi

{R'= o}

(n, O) '. h

lndiferentde valoarea excentricitS!ii

e<-

0*:*['-+J @bservafii: (1)Daci: h

or"* = mln

e>-

6

N [,.g]91)

b .h [' -

h 6

-n

fo."" 2.N 1

h )

I

Iomin 3.b .c h Q = --e 2

@bservafii: @bservafii: (1) Diagrama tensiunilor (1) Diagrama tensiunilor normale este rePrezentatd normale este reprezentatd diagrama in figura1.29.b. Tnfigura1.29.e.

l"l t i, tensiunilor normale este in figura1.29.a reprezentatd '

h

rr

.

lul. t,

diagrama

tensiunilor normale este reprezentatdin figura 1.29.b (2) Conditiile de rezistenli se (2) Condi{iiade rezistenld (2) Condiliiade rezistenli I se scrieastfel: se scrie astfel: exprimdastfel: .

este cazut lq " *, suficientdverificarea tensiunii in

I

=it,'"l= lol**

extreme.

| , zlNl =lo,"l=ffi=n" I ,, [o1,"*

Itrtl( olel) | =rr.11+ " ls Rl

bhI

h J

h J='"

. in I I I

| I

t' I

este cazut ld ' *, necesare gi verificarea tensiunii normale de intindere:

_N+ '[| '-, , 1_6 o h.1" , J1=' ']"= n , ^ ""=b o*"^ 'io*'nl

trl

a! gl '

Se

I

r^ r_ N. [ n* 6. l"l l . n ^ lc *i n l =b h ['*

-

(3) inillimea zonei active este: a -3 ' c .

I I l*

I

L L

Gmax

c. Figura1.29

,/ EXEIT4PLE DE CALCUL

El Exemptul1.6: Pentrustdlpulmetalicdinfigura1.30,se cere: a) verificare in secliunea(1-1)de la bazastdlpului; b)verificare in se{iunea(2-2),subtalpafundalieide betonsimplu; cltrasarea diagramelcrtensiunilcr normale (o* ) ?nsecliunile (1-1)gi (2_Z). Sedau:

t =eooxru ; lP,

=200kN; JP,

lq=,sl' .

lm

l'

^ ttrt , =u,.,.,. lT"t"r

= [r*.",,tu#

[n=ero-\ m*' I =eoo$ lp, Im-


40

20 mm

t

1 390mm

I+

f1r'/, (.\' t Figura1.30

Rezolvare a)

paragrafulanterior,se stabilesc 1". Jindndcontde regulilede semneprezentatein dinsediunea(1-1): eforturile

; fN ,:-3 o o -2 oo=- 5ookN

l*, 2".

=81kNm =ru.[-roo'0,1e5

Secalculeazdexcentricitatea: ,r = S1'106Nmm=162mm

l"l soo.t o'N

3o,

a stilpului: alesecfiuniitransversale geometrice se stabilesccaracteristicile ; -25 ' 3 5 = 1 9 3 , 6 c m2 A = 27,4'39 =46.122,13cma , _27,4:39:_25.353 ; =--7i--

',

w - 'v -

a

46'122'13=2.365,24cm3 19.5

Se verificd indeplinirea condiliei de rezistenfi; deoarece nu este cazul unei masive(pline),aceastase scriesub forma generalS: dreptunghiulare

=\*M'.R lol r r m il A

Wv

B1.106Nmm 500.103N r6t,""= 19t60.i02m;t . 236524.103mm ,,

N-
= -s16,2kN = -soo-(t,z'0,s. 0,6).25 ; Jru, =

l"

= lM, 15'4'2,6- 2 0 0 '0 , ' 1 9 511 7 k Nm Se calculeaziexcentricitatea: lel=1ll-louNIm = 226,66mm ' ' 516.2.10 ' N

3'.

intrucdt este vorba de un materialcare nu preia intinderi,se compari

cu valoarea I = lry ercentricitatea 66

= 200mm,care reprezintilimita s6mburelui

cntral. Rezultdrr l"l r 1, fapt pentrucare se adoptdpentrucalculultensiunilorrelaliile 6'

't.29),Se lucreazicu:

= 373,34mm c =l-e =''1oo-zza,66 ; 22 = a 3.c = 3.373, 3=41 . 1 2 0 , 0 2 mm ; 4'.

normalesunt: Valorileextremealetensiunilor or* Omin

=0 i 2 . (- 516,2). 103mm

= 1 , 0 2N; = . mm3'b-c 3 9 0 0 mm' 3 7 3 , 3 4 mm

2'N =€=

-310 kN= m2oE > p, = 33oS - 1'02' -o 10

m'

m'

m'

Rezulti ci sec[iunea(2-2) nu verifici (se depdgegtecapacitateaportanti a terenului, numiti gi presiuneadmisibilipe teren).

;

r Rezistenfamaterialelorll

c) TrasareadiaEramelor tensiunilornormale(o) in sectiunile(1-1)si (2-2) Jindnd cont de semneleeforturilorob{inute,de poziliaaxelorsistemelorde referinliqide convenlia de semnepentrueforturi,avem: . Secliunea (1-1)

@+ @:

@

omin= 60,08 ?

lN/mm l Y _.->

_(0 25,83

a6sx = 8,42

34,25

! a

Figura1.31 e=Zo=*16 2 mm

i'"

Zn= -L " z^

tsq.z'=14697mm -162

Valorlledin diagramesunt: - 500.10rN -Tno)':

M..

-l^n o x ' :

= -25,83 N; mm"

193,6.1O'?rnm'?

8 1 .1 0 6N .mm = +34,25 N ; 2365.24.103 rnm3 mmr\l

:)- ' lo,* = -25,83+ 34,25= a$,!lI mmI

- in olobr:

F u

IN

| 0,,n = -25,83-34,25 = -60,08-:; t mm-

. Secliunea (2-2)

a 1 n

($+ @

1tttmm21

v

o) o-.,= = o

l-

soi*

_______i_ lz

V

Figura1.32

I


43

Valoriledin diagramesunt: - 516,2. 103 N = N; -0,48 ---": -in of': 900.1.200mm' mm'

-in

oY ':

917.fi6 )-6 N.mm = -0,54 N; 900'1200'?mm mm-

io.",=o-I- ; - in olobr:

i o' ' " = ' t * [l Exemplul {.7: Un zid de sprijin din beton simplu este agezat pe o fundalie din *'c{sqi materialgi este supus impingeriipdmAntuluia cdrei varialiese considerdliniar5, p. = 10kN/mt gi p, = 30kN/m2,(Fig.1.33,a). a) Sd se verifice secliunea de la baza zidului de sprijin, gtiind ci greutatea specificda betonuluiesteyo =Z2kN/m3 gi rezisten{ele de calculale acestuia sunt Rt =0,5N/mm2, respectivR" = 4,7Nfmmz ^ Sd se reprezintediagrama de varialiea tensiunilornormalein sectiuneade la baza zidului. b) Sd se verifice funda{ia zidului de sprijin gtiind ci greutatea specifice a pimAntuluieste yo =18kN/ms 9i presiuneaadmisibilipe terenulde fundare este pr :0,5N/mm'. Sd se reprezinteapoi varialiatensiunilornormalepe talpa fundaliei.

Rezolvare Pentru elementelecu lungime mare gi stare de eforturiomogen6,se va calcula un tronsonde lungimeb : 1m. a) Verifica4easecliunii la bazi zidului de s.priiin (sectiunea 1-1) 1o. Se evalueazd mai TntAiforlele gravitalionale{greutatea proprie a zidului ) gi punctelede aplica{ieale acestora(Fig.1.33,a) Gr =0,4'3'1'22=26,4kN 1

6, = =0,8.3.1'22= 26,4kN. Se determinJeforturilein centrulde greutateal secliunii1-1 {Fig.I .33,b) N, =G,+G, +P =26,4+26,4+30'1=82,8kN(compresiune) M, = -26,4. 0,4- 30 . 0,4+ 26,4'0,067+ 10' 3 . f,S*

20;'3 . = 1 54,21kN . L

Reziet6nlamaterialelorll

p, = 10 xN/m?

R r = p1.3m.1m

Fr* 30 kNJm

b)

0.174 N/mm2

Figura1.33


2o.

46

gi se comparecu limitasAmburelui Se calculeazf, excentricitatea central( h,/6 ): 1'20= 54'21= o.654mt .. = & o.2t '

Nl

82,8

6

Deoarece excentricitateaeste mai mare decit limita s6mbureluicentral, axa neutri va tiia sectiune, producdndu-se astfel tensiuni normale de intindere gi compresiune. 3".

Secliunea poate preluaintinderi (R,;.0), deci tensiunileextremese calculeazd

cr relalia(1.25):

=-ooun( xz,ztz). = * 9l =;q* 1'0:= * 9:99911 6.,* [r 'ffi 5[, ( h, ) 1,2.10".10" 1,2 ) A1[ Rezultd: 6,", = 0,157N/mm'z < R, = o,SN/mm2 c,rn=-0,295N/mm2;1"1," ( R" = 4,7 Nfmm 2 , Cecisecliuneade la baza ziduluiverifici condiliilede rezistenli. Diagramatensiunilornormaleeste reprezentatdin figura 1.33,b. Axa neutrdeste definitdde tiietura:

'.:-'i:: += *=-o'183m b) Verificarea fundatiei (sectiunea 2-2) 'T". Se evalueazi fortplegravita{ionale(flgura1.33,a) - greutateapropriea fundaliei: G, =2,1'0,8'1'22= 36,968kN. - greutateapropriea masivuluide pAmf,ntcare descarci pe fundalie: . Gp= 0,3'3'1'22 = 19'8kN Se determindeforturilein centrulde greutateal fundaliei O, (figura1.33,c) Nz =Nr +G, +Gp =82,8+36,96+19,8=139'56kN'

2".

u M, : -(19,8. a,9+ 26,4.0,55+ 30 . 0,55+ 26,4'0,083)+10 . 3' 2,3+'o=' .,t,u= 2 = 71,g6kNm Se calculeazi excentricitateagi limitasdmbureluicentral:

= o.s15m u.' = !!a =,11196N,

139,56

? =#= o,3bm


gi tensiunile axaneutrdtaiesecliunea normale Deoareceez:0,512t+=0,35, '6

3".

extremevor avea semne diferite.Terenulde fundareinsd nu preia intinderi,in tensiunilornormalepe talpa de fundare.Presiunea consecinliare loc redistribuirea maximdse calculeazS cu relalia(1.29)

lol,*=* - ?i*fHS " 4o.

=0,174N/mm'
= 0,535m. = I - e, =2J9 -0,51s 2'2

fnillimea zonei activeeste: a=3c*1,605m Diagramatensiunilornormaletotaleeste reprezentatdin flgura 1.33,c.

Q Exemplul 1.8: Fundalia excentricd a unui stAlp din beton armat are forma gi .l;'-^h.i'Fif^.li^ urrrrvrrstwtr[q

uilr

fin',.rrvqrq

1 eA r.va.

EFa*t'rila Lrvrrqrrrv

?n ea.+]',naa rrr ssullul

na

lq

l".a:q

slqr]rsrql -1Alh'il"i

a,'6+' 99r11,

No= 200kN To= 100kN Mo= 150kN 9i greutateaspecificea betonuluieste yb= 24 kN/m3. a) Sa se stabileasci pozilia stAlpului pe funda{ie (distanla xo de la marginea fundaliei la muchia stdlpului)astfel incAt pe talpa fundatieisd nu apare tensiuni normalede intindere. b) Se se verificefunda{iagi si se traseze diagramatensiunilornormale la baza ei gtiindcd p,:0,220 N/mm' .

Bezolvare a) Stabilirea pozitiei stilpului astfel incAt pe talpa fundatiei si nu apari intideri Condilia care se impune este ca excentricitateasd fie in limitele sAmburelui central,adicd

(-) bisl b 1o, Se determind eforturile in centrul de greutate al fundafiei; se noteazd cu x distanladintreaxele normaleln secliuneade la baza stilpului respectiva fundafiei: 24 = 303,58kN N,,= No*G, = 200+2,4'1,2'1,5' Mr = 150+ 100. 1,5- 200x = (eOO-ZOOx)
nrrirff

rrtieblorI

47

a,

T.

(* ) Se imPune condilia

!!r _ 3oo- 2ooxst !a = ?,4=o.q lel | = '| Nn

303,68

6

6

Rezultdecua{ia 300-200x.0.0 303,68 de underezulti x > 0,892m. = fundalieila muchiastdlpului: 3". Se alegex 0,9m.Rezultddistanlade la marginea xo= 1,20- (0,9+ 0,2)= 9,16.

Rezlstenfamaterlalelorll

pe talpafunda$ei b) Trasareadiaorameitensiunilornormale din secliune: 1o. Se calculeazieforturile Nr= 303'58kN M = 300-200'0'9=120kNm central: 9i se comparicu limitasamburelui 20. se calculeazeexcentricitatea

o,+* 0,395m.1= u=J9-= ' 6 303,68

A x a ne u tr dfi i nd situatiinafarasecliunii,V o ra p a re n u ma it e n s iu n in o rma le d compresiune' extremese calculeazlcu relalia(1'25) 3o. Tensiunile

(tte'zzr) *q995-)=-0'1054 =--'9t:9u o-^;1?'f1 ' K['- 2 ,4 ) Rezulti gi

z+.1 ,2 '1 0 6 < P'= 0'220N/mm2 = lol,* = lol*,. l-0,20961N/mmt 0 6ma,= -0,0013N/mm2 -

Decifundaliaaretoatita|paactivSgiverificdcondiliaderezistenli.

g | E x e m p |u |1'9 :Pe n trustA lpu|dinfigural'35,c u n o s c d n d y o = 2 4 k N/ m3 , s e c e re ] (2'2) toatit ,,L"a fundaliei,astfelca in sec{iunea dimensiunii a) determinarea sectiuneas6fieactivSgis6nusedepSgeascipresiuneaadmisibi|dpete P' = 2 2 5 kN/m2; ; metalic)cu R = 210N/rnm2 (labazastalpului sec[iunii(1-1) b) veriflcarea (1-1)gi (2-2)' de tensiuninormale(tr*) in secliunile c) trasareadiagramelor

Figura1.35

{ Dfimengionqreafundatiei lil''- Se stabilesceforturilein secfiunea(2-2),de labazafundafiei: INl"t

=-90-150-(1.1.0,6).24 =-240 *14,4.1

1

=1 2,07,94 I t u f ") =9 0 '0 ,2 6 6 +(to .+).2

Y-

tkNI;

[kNm ].

Excentricitateaeste:

Itr,t!*')l n7.s4

",=ffi=zo_.ffitml Pentruca toati secliuneasi fie activd,impunemeondilia ,- = htt-t' ' 6 "^ @bservatie: h reprezinti dimensiunea secliunii perpendiculard pe axa mmentului, in exemplu L; obtinemastfel: f.

127,94 L 240+ 14,4.L 6 tr-

Se obtineecualia: 14,4'L2+240.L - 767,64= 0

nrindsoluliile:

t,=ltffiS=-19,41m a, '

5'.

-2 4 0 i 9 1 9 ,0 8 6 3 ,7 5m. =+2

2.14,4 Convinenumaisoluliapozitivd. AlegemL=2,75mgiob{inem: - eforturile:

= I*l' 'l -27e,6kN;

LM!'4 = 127,94kNm. - excentricitatea: . 106N-.mm _ 127,94 = 457.58mm 279.6.10'N ", 2 750 mm = 458,33mm 6 Rezultdci toati sec{iunea tilpii fundalieiesteactivi, iartensiunile extremesunt:

= Trn3##* s*a' 1s-o-\;s ['-';1ii#H'):-.'u' (, 6.457,58mm) 279,6.103N o.,n=_Ti06ililt2j$dffi.['r* ^,203_\ ,.ruo11111 mm, )=_u

=lo ..l=0 ,203 N;
I


intrucAt Rezulti ci dimensiuneaaleasA L = 2,75m este corespunzetoare, (0) gi nu este depdgiti presiuneaadmisibilipe intreagasectiuneeste activa(o,", teren. b) Verificarease4iuniide la bazastilpului (1-1),de labazastdlpuluimetalic: secliunea 1". Se stabilesceforturilein

; Iruf'l = -90- 150= *240kN + (ro.+) 2 = 103,94kNm. tn,t!''= 90.0,zoo 2o.

Se calculeaz6 caracteristicilegeometrice ale secliunii transversalea stAlpului

metalic:

A=2.(25.1,6)+50.1=130cm2;

t 'rlo' = 63.684,93cm4 t, =2.lzs,J',a'+ (25.1,6)-25,8,1* ; L12112 =2.394,17cm3. -, - 63'694'999rn' *,,, =ffi 3".

Se calculeazdtensiunileextremedin secfiunea(1-1),cu relalia(1.20): "x'r:.

v..mdr---

RezultS:

240.103N 103,94.106 N.mm 130 '102 mm2 2394,17'103mm3

= +24,95N/mm2; fo*,."* = lo*,',n -61,BBN/mm2;

=lo-,^l=61.98 lol r ,,n ,' r I rma

N=.R=210

mm,

Nt=. mm,

StAlpulverificd decicondiliade rezistenli. c) Trasareadiaqramelortensiunilornormale(o-) in sectiunilg(1-l) si (2-2) . sefriunea(1-1)

@ +

@ ^

Q9 Cdin =

61,A8

Figura1.36

2+o. 1otN

= 18,46N/mm'; l"s'l= 130 .1oz mmz

g-+g|-I+ =43,41N/mm2; lofl.,l= | 2 .3 9 4 .1 7 .1 0 o m m o . secliunea(2-2)

ll--*r---il

:;1;-i @ +

@

@ omln = 0,203

Figura1.37

Rezlstentamaterlalelorll

52

qr = 5'5kw#

o.s

I I -t-_-+--

2,3m

I

o,u I

Figura1.38 Rezolvare:

a)Sllllesssrsi[ii q*o 1". Se stabilegteefortul axial in centrul de greutate al secliunii (1-1), stabilind greutdlileaferentecelor doui pirli ale ziduluide sprijin: = 64,17kN- pentrucea Tnformdde paralelipiped dreptunghic; G.,= (0,9.3,1.1)'23

\ I lrt triunghiulari; ceain formdde prismd G, =ll;.3,1'1,41'23l=49,91ktt - pentru ) ) L\z (figura1.38). Apoi, lindnd cont de poziliilecelor doud centrede greutate,de rezultanteleforlei p pe 1 ml gi - respectiv- ale lui er gi QzpentruTndltimea de 3,1 m gi lungimeade 1m a zidului,se oblineforturileaferentesecliunii(1-1): p(t-t)- -3 . 1- 64,17- 49,91=-1 17,08kN;

p1(r-r)-(s,s.s,r r,,.,'] f ry.[* to-,-5,5) S-e \ (+-o,t)*M,17(T (+ T).4e,e1'

-17,8+) ? r,^)=(t,ooo'Qz,*o[r

sau M[ mmplnecondilia ca valoarea excentricitAtiisd corespund;5interiorului

central:l"l. * lilfir mrWezintidimensiuneasecliunii normald la axa momentului(deci h = 2,3m); - 17,84JkNm i^l (1,6.Q,'*o

' , , 9 , =-

lReanltS:

117,09kN .2,3 117,08

6

+ t7,94

6

Qz*"= .4,@v

2,3m

-=

=39'20kN/m

1.6

in plusgreutateaproprlea h centrulde greutateal acesteisecliuni,aclioneazd G, = (3,5.o,g.1).2,3= 72,45kN dinsecfiunesunt: Eforturile -Nft-t)*G, = 117,a8+72,45= 1(z-z) 189,53kN(compresiune);

z)-(s,s p1(z s,rr) ,] [].0,e).[Su*+0," t3 #.or)- (u,) flrr

[T

-i t-)=14e,57 kN'n -a,7 '

Excentricitateaeste:

1",1=$$q=o,78em. ' 183,53N limiteisAmburelui Valoarealui corespunzltoare centraleste: u':t = o'589m' o

Rezult6: f .

intrucOtterenulde fundarenu preiaintinderi,tensiunilenormalese calculeazi cu iotu* = 0 ;

eat i l e( 1 . 2' e ) : unde 3o.

>*=0,58gm. 11 l"rl=0,z6gr 6

Deoarece

j t.N l 2 .1 8e,s3.103N l o"_",^ =_ -.L =_ +=_ 0 ,1 32N/m m r . 3 .b .c 3 .1 .0 0 0mm ' 960,84mm I

h 3.500mm = 9 6 0 , 8 4 mm. c = =-e= -'--: "-"' -789,1 6 mm 22 =0,132N/mmt
putemafirmacd terenulpreiapresiunile transmise de citre talpafundaliei. (2-2)este: lndllimeazoneiactivedin secliunea = = = 2,88m . a 3.c 3.960,84mm=2.882,52mm

i iI I

I

-d

Rezistentamaterialilor ll

1.3iNcovolEREoBLlcA Am definit in partea intAi a Rezistenleimaterialelorincovoierea simpld ca fiind peste una acea solicitarein care vectorulmomentdin secliuneacurenti se suprapune din axele principale centrale. in cazul c6nd vectorul moment incovoietor nu se suprapunepeste nici una dintre axele principalecentraleale secliuniivom spune ci incovoierea este oblici. in elementele de construclii,incovoierea oblicd apare in urmitoarele doui situalii: a) Toate for{ele exterioareaclioneazi in acelagi plan, dar planul lor nu coincide cu niciunuldin planeleprincipaleale grinzii(xOz) sau (xOy)' Prin urmare,vectorul momentincovoietordin secliuneacurenti nu este suprapuspe nici una dintreaxele principale centrale ale secliunii, fiind perpendicularpe planul fo(elor gi are componentepe ambele axe principale(M, gi Mr. Acesta este cazul incovoierii obtice cu forle coplanare(figura1.39,a). b) Fo(ele exterioarenu sunt coplanare,ele fiind cuprinsein planeleprincipalegi/sauin alte plane; prin urmare,vectorulmomentincovoietordin secliuneacurenti nu este nici in acest caz suprapuspe niciunadin axele principalecentraleale secliunii9i in general - in fiecare din secliunile transversale ale grinzii existi at6t o componenti a momentului M, cAt 9i o componenti Mr. Acesta este cazul incovaierii obtice cu forle necoplanare(figura1.39'b)'

/./-/

-/2.1._.>l

\"2

--

a)

Figura1.39

OBLICACU FORTECOPLANARE 1.3.1INCOVOTERE in cazul acesteisolicitiri, vectorulmomentincovoietorva pdstraaceeagidirecfie, normali la planulinclinatalfo(elor, pentrutoate secliuniletransversaleale grinzii(figura 1.40).Momentulincovoietortotal se poatedescompunein componentedupd cele doud axe principale:

=t.coscr {*, lM, =M'sina

(1 . 3 0 )

de efecte,posibildTn ipotezacA r6mdnemin |n urma aplicirii suprapunerii gi deplasirilormici,se obline ecualia tensiunilar domeniulelasticai al deformaliilor normaledinsecliuneacurenti: M., Mo.(Y,z)= --r-'z+ tL 'Y I,,

(1 , 3 1 )

I,

normaletotalepoatefi prininlocuirearelatiilor(1.30)in (1.31),ecualiatensiunilor scrisi subforma:

o*(y,z) =t[ff'.YtJ

(1.32)

ecualiaunui faptulc6 fiecaredintrerelaliile(1.31)gi (1.32)reprezintd se remarcS plan-

I

lz

Figura1'40 Axa neutrd se definegteca fiind loculgeometricat punctelorde pe secliuneln caretensiunilenormalesuntnule.Prinegalareacu zero a expresiei(1.32)'se obline *uaJia axei neutre,notatd(n-n): sina z+_.y

cosc

=v

(1 . 3 3 )

l. . l-

t

le, ja

ua

Se observdfaptul cd ecualia (1.33)reprezinti ecualiaunei drepte' De asemenea' se observdcd axa neutr6: (1) trece prin origineasistemuluide coordonateyOz (centrulde greutateal secliunii); (2) tangentaunghiuluiB de inclinarea axei neutre(n-n)cu axa oy este dat de : tgB= !.iga lz

relatiecare permiteprecizareapozilieiaxei neulrein secliune(fig' 1'al)'

(1.34)

I tI


56

(n)

I

\ 0\o t\ - --'i lo

Figura1.41 @bservafie:ln cazul general I * cr, adicd axa neutrd nu este perpendiculardpe planulde acliune al momentuluiincovoietor. Daci lr t l . 9l

lr " l .:+

Dacd

l, =l,

=

B>cr P<6p.

=

F = a", caz in care lncovoierea barei este simpli.

Condiliilede rezistenfdla incovoiereoblici sunt: egalelalntinderesi compresiune a) pentruun materialcu rezistenle (Rt= R. = R) cUmestede exempluolelul lol*"*3 R,

(1"35)

reprezintd valoareaabsolutdextremda tensiuniinormale. undelol.* = max(
R" llo,,"[s

(1'36)

unde tensiunea maximd (oio) este pozitivi, reprezentfrndo ?ntindereiar cea minimd (on.in)este negativd, fiind o compresiune;fiecare tensiune trebuie comparati cu rezistenla corespunzitoare.

Exemplede verificarea condi{iilorde rezistenfd: . Pentruo secliunede ofel(avdndR"

= R = 210N/mm' ), s-aoblinut:

Io.,n= -202,67N/mm'z; 1 [o'"* :175,83N/mm'?' Se verifiedinegalitatea Nlmmz< R = 210N/mm2 202,67 . lol** = max(o,",,1o,*l)=

Rezistenlamaterlalelorll

'

Pentruo secfiunedin beton avdnd R" =12'5N/mm29i Rt:1'5N/mm2s-a lomin= -10'24N/mm'?;

' oblinut:

to",* = 1,02N/mmr.

= 1'5N/mm2; [o'u" = 1'o2N/mmt'R, se verrTrca: = 10,24N/mm'? < R" = 12,5N/mm2' tF'"I

Secliuni inscriptibile in dreptunghi ln acest caz particularvalorile extreme omaxgi om6ole tensiunii ngrmale Sunt (figura1'42)' egale,au semne contrare9i apar in doui colluriopuse ale dreptunghiului Tensiunilenormaleextremese pot scrie

6'n:*[ff.ff]

(1 . 3 7 )

( n)' 69

@ =#r*#: Figura1.42 Ro= R, = R, 9i compresiune, Pentruun materialcu rezistenleegalela Tntindere este suficientdverificareavaloriiabsolutea tensiunilornormaleextremein secliunea maximdsolicitati;conditiade rezistentise poatepunesubforma:

lo.l,*=lMl..* tr.ffJ=*

(1.38)

r Rezistenfamaterialelorll

Tipuri de probleme la incovoierea oblici cu fo4e coplanare Pentruformulareacelortrei tipuride probleme(verificare,dimensionaregi efort capabil),se vor face referirila desenulgenericde maijos: I I

I T "l -,Y

I planul for.Glor

Figura1.43 l. Verificare . @!e.: - grinda:

- forma gidimensiunilesec{iuniitransversale rezemirile incdrcirile (Pi , Qi, Mai)

-unghiu, ";,iij::[]ijil['"' (OL37),R = 210 N/mmz de calculR; pentruoleluldeconstruclii - rezistenla condiliile de rezisten{d) saunu. ' Necunoscute - dacdgrindarezistd(verificd 'B@gE: 1". Se traseazi diagramade momenteM" in planulfor{elor,fdcfrndabstracliede faptul ci planul forfeloreste un plan inclinat.Trasarease face prin suprapunerea prealabilA diagramelor elementaresau, prin particularizarea gi trasarea a reacliunilor diagrameide forfi tiietoareT" gi apoia celeidemomenttotalMo. 2". Se extragevaloareamomentului incovoietortotalextremlMol*r*. geometrice 3o. Se calculeazd caracteristicile alesectiuniidate: [=n

I

LYn

-) -+

-) -+

(coordonatelecentrului de greutateal se{iunii)

(momentele

de inertieaxiale) Se verificdcondiliade rezistenti (1.38):

{*'

Lw.

(rnoduliide rezisten!i)

to*t=tM;* [ff*ffJ=@bservafie:Daci inegalitatea este lndeplinitd, vom spuneci grinda (rezist5), iarin cazcontrar,cd ea nu verifici(nurezistd).


ll. Dimensionare . Date: - grinda: - formasecliuniitransversale (NU gidimensiunile)" - rezemdrile - incdrcdrile(Pi , Qi, Moi) gipozi{iileacestora(a; b; c ...) - unghiula ficut de planulfo(elor cu axa Oz a sectiunii (R) - rezistenlade calcula materialului ' Necunoscute - dimensiunib secliunii transversale (b gi h pentru secliunea dreptunghiular5; respectivsimbolulprofiluluilaminat,,l,, sau "U',) *) in mod obignuit,este vorba despre o secliune dreptunghiulard,cu raporlul |b = t O"t, sau despreprofilelaminate ,,l"sau ,,U". " Rezolvare: 1'. Se traseazddiagramade momente Mo in planulforlelor (cu aceleagiobservalii sa gi la problemelede verificare). 2".

Se extragevaloarealM"l,"". @bservafie:Condiliade rezistenfi (1.3S)se mai poatescriegi sub forma:

W.,

ii:i* l-"o. o. f}l ,inol=n WY [W,/ L

J

= k esteun coeficientde formd al sec{iunii,el fiindegalcu: -pds ----r W(n pentrudreptunghi lk = i = 1,5...2,0 to I

Jk=5...7 pentruprofil"U" It<=2...0pentruprofil"1"

t

:r".

Se alegeforma secliuniigi coeficientulde formi k. Se dimensioneazdsecliunea: Wy,nec =

s'.

lM"l,"^.(coscr+ k . sina)

Se alegdimensiunile secfiunii: -

pentrudreptunghi, dincondilia*, = L^[, 6

fl

n' - - -W"""" v,nec ]b = t, w,t = 6.nt >

pentruprofilelaminate, secliunea se alegedintabelelece prezintdsortimentul standardizat, astfelincdtsi aveffiWy,et ) Wr,n"".

Cu valorileefectivealeWr giW, se verificdcondiliade rezisten,td (1.38):

=1M"1,," 1o1,,",", [":. ffi)=*

r 60


Daci inegalitatea esteindeplinitd, alegerea ficuti estecorectd;in cazcontrar,se revinela punctul(4'), se modificddimensiunile secliuniigi apoi se parcurgedin nou pasul(5'). lll. incircarecapabili ..Da!g,: - grinda:- formagidimensiunile sec{iuniitransversale

-ffiHi:,

cuexceptia uneia (a;b;c ...) acestora sipoziliite

- unghiulcral planuluiforlelor - rezistenlade calcul R . Necunoscute- incdrcareaneprecizatd(P."p/ g"upi Mo,""p).

'B@!re.: 1o.

Se traseazi diagramelede momentincovoietorM* ; ('=, ,) in planulfo(elor, prin suprapunerede efecte; 2o. se identificd secliunile periculoase, adicd acele secliuni in care, prin suprapunereaefectelor, s-ar putea obline valoarea maximd absolutd a momentului incovoietortotal. Se plecd de la ideea cd valoareamaximAa momentuluiincovoietor total poatesi apari intr-o secliunein care cel pufinuna din diagramelesimpletrasatela punctulf inregistreazdun extrem. in aceste m secliuni se evalueazdprin insumare momentul incovoietortotal, oblinAndu-seagadar m expresii.Dintre acestea,se vor pistra doar cele k contindnd necunoscuta(ele). Evident,avem k 3 m. 3o. Se calculeazdcaracteristicile geometriceale sectiuniidate

[z^ LYn

-) -)

Jt' Ll.

-+ -+

Iw,

I'

lw.

4o. Din condilia de rezisten$ (1.38) scrisi la limiti, se determind momentul incovoietorcapabilal secliuniidate: R lM-^^^l= , I u'@Pr ".+q + !I c, Wvw, Se egaleazd,pe rAnd,cele k expresiide la punctul2", scrisein valoareabsolutd cu Mo,op. Din rezolvareaacestorase oblin 2kvaloripentrunecunoscuteleproblemei. 6o. Dintretoate valorileoblinutese pdstreazi doar cele pozitive. gcapseu Moo) reprezintdminimulacestora. Forla capabila(Pcap, 5".

Rezistenla materialelor ll

Trasarea tensiunilornormale(o-,',) intr-o sectiunecurenti a unei -diagramei qinzi solicitatela incovoiereoblici cu forte coplanare Pentru trasarea acestei diagrametrebuie cunoscuti valoarea gi semnul incovoietor in secliune. -romentului Fagiide parcunssuniurmdtorii: iiPe sec{iuneatransversalia grinzii,raportatdla sistemulde axe principalcentral yoz) se reprezinte planulfortplor, dupdcuma fostindicatin problemi. :'". se stabilegtesensulmomentuluiincovoietorde pe secliune,tinand cont de *rnnndtoarele reguli(figura1.44) (a)vectorulmomentincovoietor esteintotdeauna normalpe planulforlelor; (b) momentulincovoietor estepozltivatuncicdndproduceintinderiTncadranulI. adicdacoloundeambelecoordonate (y gi z) suntpozitive.

{ J_.._+y

l1

.r

\planulfortplor I

Figura1.44 Pentrucazul prezentatin figura 1.44,un momentpozitivtrebuiesi produci intinderiincollul,,D"al secliunii, situatin cadranull. Se oblineastfelsensulunghiului c aecarevectorulmomentincovoietor(ftn")il facecu axa Oy. 3'.

Se descompune momentul din sec{iune (tvt") in componentele dupd axele fHl,,= M_.cos cr 9nnclpale: { ' ' LM'= Mo'sin cr lindnd cont de faptulcd suntemin domeniulde valabilitatealformuleilui Navier laxele Oy 9i Oz fiind axe principalede ine(ie), se pot trasa diagrameletensiunilor normale din fiecare componentE,adicd of;" gi precizAnd semnele gi valor1le "Y", extreme. Spre exemplificare,se consideri cazul sectiuniiprezentatein figura 1.44. pentru Mo< 0, rezulti diagrameledin figura 1.45.

F

r 62

Rezlstenfamaterlalelorll

Figura1.45 4"

Pentru trasareadiagrameitensiunilornormaletotale ol', se determindmai intdi

unghiulde inclinarea axeineutre(p):

I

ltgpl= Ir.ltocd | tI,

Se traseazdaxa neutrE(n-n),care trece prin origineasistemuluideaxe, Tnaga fel Tncdtunghiul B pe care il face axa (n-n) cu axa Oy sd fie mdsuratin acelagicadran 9i Tn acelagisens ca 9i unghiul cr. Se duc apoi paralelelela (n-n), trecAndprin colturilecele mai indepdrtateale sec{iunii. 5o.

Se reprezinti diagrama olot,in raportcu o liniede referin!6normalSla axa neutrd

(n-n). Diagramaeste liniarfr,avfrndvaloriextremein cele doui colturiale secliuniicare sunt cele mai indepirtate de axa neutri gi valoarenulSpe aceasta(figura1.46).

i I tn-n)

Figura1.46

RezistenF materialelorll

efectelor(insumarea Valoriledin diagrama olo' se oblin prin suprapunerea componentelor momentului morilor)din cele doui diagramesimple,corespunzdtoare lim:ovoietor. Celedou6valoriextremesunt = +(o,+ o, ) Jo."* lo',n=-ft',+or ) lM l.cosc

Or :L 3 *;

(t^

lM-l.sincr

'u --

Valorileefreme se oblin in collurilediagonalopuse ale dreptunghiului,notate cu tuil9i, respeciiv, m. I OGMPLE DE GALGUL

El Exemplul1.11: Pana de acoperigde secfiunedreptunghiulardreprezentatiin figura . 47. este confeclionatd din lemn. $tiind ci rezistenla de calcul a lemnului este a = 13N/mm' , se cere: a) sd se verificepana; b) si se reprezinte apoi diagrama tensiunilor normale in secliuneamaximsolicitatd; c) si se determine sdgeata totald la jumdtatea deschiderii oanei. aplicdnd metoda grinzii fictive (conjugate).Se dd: E = 100N/mm' , P2= 1 kN

Figura1.47 Rezolvare e| Verificarea panei '". Se calculeazi reacliunilegi apoi se traseazediagramelede eforturiT" gi M" in 3hanulfortelor(figura1.48)

r Rezistentamaterialelorll

4\

\9 tkNl

@ lkN.ml

Figura1.48 2". 30.

RezultS, lM"l*"*= 5,79kN.m geometrice Se calculeazd ii dreptunghiu caracteristicile alesecliun lare: f-

12'18'=5.832cma ll..l' 12 I

t R. t 13 lf- ='" '" =2.592cm4 12 t' I

ta

to2

= l'--1"- = 648cm3 | 1't7.. l'6 I rn .tr2 . +.

f*.=:-=43 2 c m' Se verificiconditiade rezistenli: ("o* .l --- o=

sin *"' o-) "lo*1,"*lM.i,* W' + W' l
) , ( si nl 5o coslso -+ .- --i ---< R = l 3N /mmz. lo,^rl-m ^.ax .= 5 ,7 9 ' 1 0 6| -- . 4 32.10' mm, / l = i 2,l 0N 1mm2 ' \6 4 9 1 0 , m m ,

Decipanade acoperig verificd.


b) Trasareadiaqramei tensiunilor normalg o, @ 'to. in secliuneamaximsolicitatiM, = +5.79kN.m 2'.

Poziliaaxei neutreeste datd de:

= = rsp= 5;?1? ts(r -' sf 0,6028857-+F 31"0s'. 2.592

normaledin compomenetele momentuluiincovoietor Diagramele tensiunilor dupd in figura1.49, tensiunilor normaletotalesuntreprezentate axegidiagrama

fil)

v7 3,47

,* Figura1.49

Valoriletensiunilor normalesunt: f^', - sJgil0'_gg{5' = 8,63N/mm2; lo*'o+a.1oJ 5,79'106 'sin15"= = 3 , 4 7 N/ mm2 loy. : ^ 432.',10' l. . o,o = lo,,nl= 8,63+ 337 = 12J0N/mm2 cf Siiiqeatatotali la iumitatea deschideriioanei Se aplici metodagrinziifictive. 4r, Se calculeazdmomentulfictiv total (in planulfo(elor) ln secliuneaC, de la r,.mitatea deschideriipanei. . Diagramele in figura1.50,a; de momentsimplesuntreprezentate . Grinda fictivi, ob{inutdprin inlocuireareazemelorreale cu cele fictive ?nfigura1.50,b; mespunzdtoare, estereprezentati

-h-

11

I


66

Pr= 1 k N

Pe = 2kN

Figura1.50 . Dinincdrcarea grinziifictivecu diagrama M1se obline(figura1.51,a): R" = 3. 6.7s,3 = 1 3 . 5 k N. mu '3 M{,1= V^ .3-R. .9.g = 13.s.1! = 25.31kN.m3, 88 . Din incircarea grinziifictivecu digramaMz rezultd(figura1.51,b): Rr=.}.3.6=9kN.m2 Ittt^

=0+6.V8 -2.R2 =0+Va =

IM,

=0.:>6'Vo -4.R, =0 *Vo =

*.*,

f

= 3kN.m2

n, =6kN.m2

R. =1.1,5.3=2,25kN.m2

.m3. Ml'/= -% .3 + R. .1= -3 .3 +2,25.1= -6,75kN

ReztubnF rnabrhhbr

tl

67

@ 1.5

r,sI

R,'

;k

d)

3rn

R.

rR"

fl\i* 1m l , 2m

1,0 a

vo

I

t5

3m

t

Figura1.51 grinziifictivecu diagrama ' Dinincdrcarea Msse obtine(figura1.51,e): F1 lo =2.2.6=6kN.m2 \ 1/,

=d Rr =2kN.m2

v^ :

:4 kN .m2 3 .R n

Ru 1 = ;.1 .3

= 1 ,5 k N .m 2

MIIJ= _v, .3 + R, .1= _2.3 + 1,5.1=_4,5kN.ms. 'Din incircareagrinziifictivecu urtimadigramd,Ma,rezurtd(figura 1.51,d): R1 6 =:'1,125.1,5= 0,84kN.m2 IMo =0=6.Vu -3.R2 -1.R6 =0 = Va:1,406kN.m2 IMu =0=6.vo -5.Ru -3.R2 =0 =+ Ve =1,965kN^m,

Ru= I. o,7s. 3 = 1,125kN. m, z MI?= 3. VB. B -1.Ra = 3. 1,405 _ 1,125 :3,09kN.m3.


. Momentulfictivtotalin sectiuneaC rezultd:

M,,"= 2o.

..

E tl t

= 25,31 .m 3. - 6,75- 4,S+ 3,0g= 17,1SkN

$e determindcomponentelemomentuluifictivin cele doud plane principale: (xoy): M,,=M," .cosc =17,15.cos(-tS!=16,57kN.m3; Mo : M,,..sincr= 17,15.sin(-15f

.m3. - 4,441rN Se determindcomponentasdgeliidupScele doud axe principale: (xoz):

3".

4

(ov), q" =g- = -=rolo=l!'1.=,= -17,13mm E.l. 10*x2,592.10n (oz): w"" =5 = r=1û,?'=1^!".=, =28,41mm . E'1, 10*x 5.832.104 @bsentatie: Sdgeata are direclie perpendiculard pe vectorul de moment tncovoietor, 4". Sdgeata totaldeste (figura1,52):

f" = il/.' * w.' = J1Tjg\z&4f

= 33,17mm

Direcliadupd care se producesdgeatatotaldeste definitdprin:

tq'= vc =17,1! 0'6029 + wc

2s,4i=

q :31o05"

adicdq = B. Rezultddecicd s6geataestenormaldpe axaneutrd(figura1.S2).

'iffi: ; I

z

Figura1,52

Exemplul1.12=Pentrupanade acoperigreprezentati in figura1.s3,se cere: a) sd se dimensioneze dinprofillaminatl, cu R = 210N/mm2 ; b) sd se trasezediagrama tensiunilor normaletotaleof;t"rin reazemul,,B".

tr *

$ e ffi


kdvare orinzii { Dimensionarea de eforturiT* 9i Moin planulforlelor(figura1.54). S'"- Se traseazddiagramele extrem:M"l.* = 71,4kN'm ' Se extragemomentulincovoietor Yde formi alse{iunii k = 7 9i rezult5: 3"- Se alegecoeficientul lM"!--,. (cosc + k'sin cr) wr,* =

:r!4jg'Nt@=

ffi-

= 1,021cmt. = 1.021'106mm3 F=40kN

Mo= 70 kt'tm

i=t

j

lvn=roztl

f.1.0r -

-t

* 1 ,0 +

4.0m 4em

I l.l.o;,

;1 .o t

lva=ttau 2I 2I

;

I

71' 4

Pigura1'54 profilul 4["- Din tabelele cu sortimentede profile laminate I standardizate,se alege lffi , avAndcaracteristicile:

= 19'otocmo {1, Ll.= 818cmo

I*,:,t.oeocme [w, =114cm3

ltRezistenlamateraalelorll

5o.

Cu acestevalori,tensiuneamaximdefectivdva fi:

lo*l'u'u'=r;,^-r!ffi)Prin urmare, profilul ales (136),nu este corespunzdtor.Revenind la tabele, se alege profilulmai mare, imediaturmitor, 140avdnd:

= 1'49ocm3 J*, lw, =149cm'

ft, =29.210cmo [1.=1.16ocmo Cu acestevalori,avem: (

cos 17o =71'4' to' lo*l-u*,", I13u-o6p+, ,

sin 17'

)

**.*raJ=

= 186,87N/mm' < R : zloN/mm2; din profil| 40, decipanase va confecfiona hl Trasarea

diaoramei

tansirrnilor

normale

-

tobrin reazemul

B

1".

esteM* = -70kN.m. incovoietor in reazemulB valoareamomentului

2".

Poziliaaxeineutreestedati de = 7,6980148 -+ 0 =82o3G'.

= tgp '' +#xtg17' 1.160

in figura1.55. normaletotaleestereprezentatd Diagrama tensiunilor

My

Figura1.55


=Z1*,#: =45,85N/mm,; i"Y, J 70 . 106. sin17' = 137,36N/mmz;

l"v.

6ra"

149.103

= lo,u,nl= = 183,21N/mm2 45,85+137,36

t@lExemplu!1.13:Pentrupanade acoperig dinfigura1.56,se cere: a) stabilirea valoriisarciniicapabileq."o; b) trasareadiagrameitensiunilor normaleolot"r in secliunea maximsolicitatd, = pentrug Qcap. P= 2 kN

P^ .

.s

230

,

"cap

-.

Tfu,, ""1i t t-"

Ltwl Y z

Figura1.56 kzolvare ry Stabilireasarciniicapabile f" Se traseazddiagramele de momentincovoietor Mi din fiecareforld elementard, nu*rdin vedereaplicarea principiului suprapunerii efectelor (figura1.57). f . Se identificdsec{iunilein carear puteasi apard- prinsuprapunerea efecteloro valoareextremda momentului incovoietor. Se oblinastfelurmdtoarele sec{iuniincare od pulino diagramisimpli areun extrem: (1)- pe reazernul simplu(stdnga) (2)- Tndreptulfo(ei concentrate (p) (3)- lajumdtatea deschiderii (4)- pe reazemul articulat(dreapta)

J)fl-

Rezistenfamaterialelorll P= 2 kN

i

din fo4ele uniformdistribuite de pe c.onsoladin slanga

1,125

; ;

din fo4ele uniformdistribuite de pe consolsdin dreapta din fo4ele uniformdistribuite din deschidere

din fo(a concentrati

Figura1.57 Se calculeazAvalorile momentelorcorespunzetoare acestor sectiuni,prin insumarea valorilordincelepatrudiagrame. ln cazul diagramelordin forle distribuitepe consolegi a celei din forla concentratd, vomfolositeorema fundamental5 a asemdnirii;incazuldiagramei dinfo(a pe deschidere, distribuitd vomoblinevaloareamomentululdintr-o sec[iunecurentidupd gi scrieriiexpresieiacestuiefortin secliunearespectivd(figura calcdlareareactiunilor 1.58):

Figura1.58


( / = 6m;x:2m ), avem: in exemplul considerat q'6.2 M(x)= '''\' '/ - - \h.z 1 -/\ . 2 = + a . 2

2

Prin suprapunerede efecte (insumare)oblinem: . secliunea(1): M(1)= -11 25 . O 'secliunea (2): 'sec{iunea(3):

[kN. m]

tvt(Z)=2,875.q+2,67

[kN'm]

Itt(S)=3,375'q+2

[kN'm]

. secliunea(4):

3o.

fU(+)=-1,125.q [kN.m] geometriceale sectiunii: Se calculeazdcaracteristicile

l f, _ zs.t+'_2 0 .3 o=30'332'67cm" l'v

12

lr-=t!,'u'12 ['z fyy' l --Y

O 30'203 =r4.473.r7cma lz

3o'33?'6zcm' =r.J!4,z7cm1 17cm

t+'+z:.'t zcmo= 1.258,54cm3 l*, 1l,5em t mai Se scriecondiliade rezistenld - la limitd- in celepatrusecfiuniidentificate sus,subforma: (.-\

=lM(k).ltr . ff,J=* lol,l.".

:e unde rezulti: . in sec{iunile(1) Ei (a):

lof'|,* =1'125q

cos19o sin19o \ 'to' ( 1.784,27'10'mm3 1.258,54. 103mm3J !--r=

= 210N/mm'z

-) 9r = Qo= 236,7kNlm . in secliunea(2): .f = h.ar c.o+2.67).10u l| o"!.,) lm lax

"ot19" .

=*

\1 .T 8 4 ,2 7 .1 0omm"

"'nt9o= - ) =

1.258,54.10" mm" /

= 210N /m m 2 + 9z : 9 1 ' 7 0 k N /m

. in sectiunea (3): sin19" cos 19o \ .q+z).to' =il,ezo 't 'I 1.784.27.103mm'' 1.258,54, lol',1** 103mm'J = 210N/mm2 -) Qs 7831kN/m -

f 74


5". AdevAratavaloarea incircdrii capabileesle valoareasimultanminimdgi pozitivi, deci " Qep= 78,31kN/m' b) Trasarea diaqramei de tensiunilor normalg of;t'rlrcggltunea maxim solicitati Pentru a obline valoarea maximi reald a momentuluiincovoietor,se vor trasa diagramelede eforturiin planul fo(elor T" gi Mo considerdndg=g".o =79,31kN/m (figura1.59). P= 2 kN

I vA = 353,73kN

q = 78,31kN/m

tV n = 353,06kN

2

1q

991

2@,30

Figura1.b9 RezultdM** = 266,30kN.m. Pentrureprezentareadiagrameiox este necesari stabilireapozilieiaxei neutre:

= " = :9l*':lig; ,ts(1e1 e\ / =0,7216371r Itgpl F=3so4e, -'' !.tsa f. 14.47g,17cmo Se va line cont de cadranul prin care trec fo(ele P gi q, de faptul cd vectorul moment trebuie sd fie normal pe,aceste foqe gi ci, fiind pozitiv, trebuie sd producl lntinderiincadranulI (la coordonatele y giz pozitive) Diagramatensiunilornormaleeste reprezentatdin figura 1.60.

;* s 8.

&

tr ;

Rezlstenfamaterialelorll

-as!$$1"]i1$=e,,an

@

oH-,-'n 141,'t2

*\*,

h

__H flffffi-'o',',

orr*= 210,01

Figura1.60

1.3.2INCOVOTERE OBLTCA CU FORTENECOPLANARE Dupd cum s-a aritat in paragrafulintroductiv,in acest caz, fortpleexterioarenu zuntcuprinsetoateintr-unacelagiplan,acliondndfie in planeleprincipalefie in alte phne.Ca urmare,in acestcaz,relaliile(1.30)lSipierdvalabilitatea gi estenecesarsi se cu celedoui componente ujcreze alemomentului incovoietor dinsecliuneacurentd: M, (produsdde componeptele forlelordin planulprincipal - componenta xoz) gi (produsd M, de componentele forfelordin planulprincipal xOy). - componenta Pentru studiul incovoieriioblice cu fo(e necoplanare,trebuie mai intdi rcscompusetoate forlele exterioaredupd cele doui plane principale,xOz 9i xOy, ras6ndapoidiagramele de momentcorespunzdtoare Mr, respectivMz.Aplic6ndapoi suprapunerii efectelor, tensiunile normaleTnsecliuneacurentise vorscrie: mincipiul M" Mox-i'*i''

( 1.3e)

,.>5

76

Rezistontamaterialelorll

Ecua{iaaxei neutre(n-n), ce trece giin acest caz prin origine,va fi:

* , .=* !!n . u =o l,

(1.40)

l,

Poziliaaxei neutrepe secliunese stabilegtecu retalia(1.34) I tgp= |.tgcr l-

unde

= !L too -My Observafie: ln cazulincovoieriioblicecu fo(e necoplanarenu se mai poate vorbi de un plan al fo(elor,valoareaunghiuluio fiindvariabildde la o secfiunela alta. Pentru sec{iunilece pot fi inscriselntr-un dreptunghi(secliunicurent TntAlnitein aplica{ii),valorilemaximd 9i minimi ale tensiunilornormaleapar in colluri opuse ale dreptunghiului. Qondiliile de re-zistenfdla incovoier.eob!ici cu forle necoplanare: a) pentru un material avand cu rezistenle diferite la intindere gi compresiune, R, * R", gi pentrucares-auobfinut:

fo."*=

g

Loru*.0

condiliile de rezistenld se_scriu:

Jo'"*s R' llo'''l
lo',*l
,

\

,.

- secliunea(1) undeavemvaloareaabsolutdmaximda lui Mr(]Mrl**Jgi M!), valoareaaferentia componentei M,; - secliunea(2) unde avem valoareaabsolutdmaximda lui M. (ttt.l*._)gi Mt), valoareaaferentda componenteiM,;


77

Figura1.61 Deciverificarease va facecu perechilede eforturi:

=

[lrr,t.,l ltr,tl]'l (t)lir,i*-,, =1ry'1 9r

-,fi.*::{Mi"l

Modul .de form.ularesi rezolvare a celor trei probleme ale Rezistenfei (verificare.dimensionaresi efort capabil)la incovoiereoblici cu fo(e nrateriatelor oblicecu fo(e coplanare. recoplanare suntaceleqica giin cazulincovoierii pentru o secliunedublu simetrici 9i un in continuare Acesteavor fi detaliate R" = Rr = R egalela intinderegi compresiune rmterialcu rezistenle l. Verificare 1".

Se descompunforleleexterioaredate in planeleprincipale(xOy)gi respectiv

{sz). T.

de momentincovoietor Setraseazidiagramele Oinforteledinplanul(xoz) Jtttt,) forteledinplanul(xOy) l.(M,)din

: de momentese va faceprin @bservafie:Daci esteposibil,trasareadiagramelor unor diagrameelementare;in caz contrar,se traseazdmai intdi suprapunerea de momentecorespunzitoare de forli tdietoare(f, gi \) apoidiagramele diagramele (Mrgi respectivM, ). 3".

(1),undese producelMrl,* Si respectiv(2), secliunilepericuloase Se identificd

apoiperechilede eforturi: d lM,l,* , formdndu-se

[lttt..l =lul]'l

=t"i"t "'ti',i:i-, Il5 -

; F 1

Rezistenlamatoraalelor ll 40

geometrice se calculeazicaracteristicile alesecliuniitransversale a grinzii

lz^ --> i" IYn 5".

I'' --) iw, lt,

lw.

Se verifici condiliade rezistenli in cele doui sectiuni:

lYlll =lyllll*

jh",,,r l "*l * * 4- * = - '*' | ,",, lMf)l lM!''l

*;* *L t* ll"t'l',"=

DacA ambele inegalitSlisunt verificate,vom spune ci bara verifici sau rezist6; daci cel pu{in una dintrecondiliinu este indepliniti, vom spune ci bara nu verificdsau nu rezisti. ll. D!mensionare 1". 2".

Se descompunfo(ele exterioare(date)in planelepr.incipale (xOz)gi (xOy). Se traseazi diagramelede momentincovoietor My gi M. .

3o.

Se identifici secliunilepericuloase:

(1)- cu lMrl.", (2)- cu lM.l."" gi se formeazdperechilede eforturi:

4".

Dinscriereacondi[iilor de rezistenld (1)gi (2) la limitd,considerAnd in secliunile o

vatoarea coeficientului de formdal sectiuniik = I!

w' , se obtindoudvatorii*'l]']"" lwJ'"L"

dintrecare se va alege Wn""= max(Wjt}",Wj'*") Coeficientulk se alegein funcliede formasecliunii: k = I = f,S...Z ' secliunedreptunghiulard: b . profilelaminate: = k 5+g 5o.

Se alegdirnensiunile sectiunii . secliunedreptung hiulari: r

h

.h;""

lw..- =:!ee--Yr"@ din I

lr,=!,* bnu. I

6

Rezistentamaterlalelorll

. profilelaminate: din tabele, incAtsd av€Bt Wy,et2 Wy,n"". Se stabilegtegi valoarea W.* gi se verifici condiliilede rezistenli in secliunile y (2) cu valorile Wu."rgi W.."r. Dacd cele doui inegalitdli sunt ?ndeplinite,alegerea de la punctul 5" este nzdtoare; daci cel pulin una nu este indeplinitS,se revine la 5", se aleg mai marigi se parcurgeapoi pasul6", pdni la validareadimensiunilor alese,

nncircarecapabili (xoz)9i (xOy). datein planeleprincipale Se extragforleleexterioare (dinfiecareincircare). diagrameelementare Se traseazidiagrameleJ!*tl l(M.)'", maximi a momentuluiincovoietorM, sau M. . in acestesecliunik, se formeazd il"aroarea flnr(k)l

| , 61n1pg p'enechile care le vom pSstradoar pe cele in care intervine,cel de eforturi .]1'''v

llN49'l mufinin una dintre componente,incdrcareacapabili necunoscuti. .1". Se calculeazi caracteristicile geometriceale sectiunii. la limiti (folosindtoate combinaliib posibile de rezistenli Din scrierea condi{iei 5'" ae semnelortermenilordin Mugi M,) in secliunilede la punctul3o,se oblin mai multe *aloripentruincircarea necunoscuti. Adevirata incdrcarecapabili este valoareapozitivdgi minimi. 5'. Trasarea diaqramei tensiunilor normale totalg Trasareadiagrameide tensiuni normale (o|')se face in mod similar cazului rrncovoierii oblice cu fortp coplanare,cu urm5toarelemenliuni: 'r'. Se cunosc componentelemomentuluiincovoietortotal Mugi M, (consideratecu semnul9i valoarealor din secliuneaindicatd). 2". Unghiul,,B"fdcut de axa neutri (n-n)cu axa Oy . se va mdsura in acelagicadran gi in acelagisens cu unghiul o,, ce ar corespundemomentuluiincovoietortotal de pe secliune

M:v/N l ;+r \4 gi care are sensulinspre acesta; . va avea valoareadati de

r,nnr=f ffi :h1

Rezist€nlamatcrial€lorll

81

@ | {z) I VO = 162,1411t1 I

56,42

56.53

Figura1;64 Din componentelefo(elor din planul xOy se traseazi diagrama M,, se poate ildiffzasuprapunereade efecte: P., sin tr = 6,34 kN

(2) (1)

Figura1.65

--rd

80

Rezistenfa materialelor ll

/ EXEMPLEDE CALC]UI

Q Exemplul1.l4: Pentrugrindadin o{el OL37 din figura 1.62,gtiindcd rezisten{ade calcula materialului este R = 210 N/mm2,se cere : a) verificare; b) sd se reprezintediagrama tensiunilornormale in sectiunea C"' (la st6nga forfei P2). =15kN

Figura1.62

Rezolvare: a) Verificareaqrinzii 1o. Se descompun forleleexterioare in celedoui planeprincipale. Cu excepliafortpi Pr,toate fo(ele se gesescin planelexOy gi xOz;in consecin{d se proiecteaze forta inclinatdpe direcliile axelory 9i z (figura1.63). P, cos u ='13.59 kN

q = 20 kNlm

P' sinu = 6,34kN I r 10.kN I i 3m I

Figura1.63 2o" Din componentele fo(elor cuprinsein planulxOz se traseazddiagramaM, (figura 1.64)

r Rezistentamaterialelorll

82

3".

Se identificdsecliunilepericuloase; (1) - unde avem ltttrl*-

la 3,107m in dreaptareazemuluiA ;

(2) - unde avem lM=1,u. ---t

la jumitatea deschiderii'

Se stabilescvalorilemomenteloraferentein acestesecliuni: 9:l!1.(-12,68)+ 2'?93.(-15)= -21.03kNm in secliunea(1): ' 263 Mg)=

(2): in secliunea

Ml'' = 102,14'3 - (20 ul'i = 56.42kNm

Se alcdtuiescperechilede eforturidinsectiunilepericuloase:

(1) e\ 40

flu,,l = ltvtlll=b6,53kNm

=t*i't=21'o3kNm irt'i"""., : lvtl,',1= b6,42kNm llv"l .._-. vrare€nt , 1

l,

=ryr'l:21..34kNm llM,l*_

Se calculeazi caracteristicilegeometriceale secliunii:

It,=,l+f

+e 2o) ru']*+=04523,33cm0

|

= ?ot'2 50'13 lt, z'T.T:2.670,83cma =V#g= 2.383,25cm3 Jw, lw- = t1 0 50

2'679'83 = 267,ogcm3

Se verifici condiliade rezistenldin secliunilepericuloase

(1) - secliunea

,lr r,.r !'/l

lMf'l+ ' IMY'I ' =

l- x lr ox

Wy

W,

56.53.1061.1.m 21.03.106N.m ' '103mm' 2.389,75.103mms267,09

= 102,40N/mm2 < R = 210N/mm'?; - sectiunea(2)

,,a r, l-\.rr

l Mf'l l rrl t!''l s6.42,106N.m21.03'106N.m

=l _ _ _ j _ _ _ _ L I : _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 1 -

t-x tma W,

W,

L

2.389,75.1Oomm'267.08.103mm'

= 103,51Nfmm' < R = 210N/mm2. Deoarecein ambele sec{iuniavem ]
I

t*


tf Reprezentafea varialiei4e tensiunilor,normale totale(orto)in C't 1'-

se reprezintd intdipe secfiunemomentele dinsecliunea indicati(cst)

= m JM, +50,+2rr'1. LM'=-21'34kN'm

T - linand contdeformulalui Navier,se traseazidiagramele (oI' ) gi ("y=), stabilind gnnele acestora. ili"-

Valorileextremealetensiunilor se calculeazA cu relafiile: Ir r cq l

* =23.61N/mm2 ryl=, !9'q1?'.T Wy 2.389'75' 10'mm3 - --'- " '/ " " l u9"'l -21,34.100N. = r ' vv' 26T,08.ro'r# 79'9oN/mm2

g respectiv

sensulin caretrebuiemisuratunghiulcr(formatde citre vectorul - Se stabilegte mnprnent total de pE secliunegi axa oy) si unghiulp, formatde axa neutri (n_n)cu axi. Mdrimeaacestuiadin urmi este 1.. lM_l 64.523,33cma21,34kN.m I t g 9 l = *.-: _

' -''

:',' l' r ' ' i' = 9,1375941 I, iMrl 2.670,83cm4 S6,4zkN.m -+

F = 83o45'

Omin :103,5i tl/mm2

gmax =

- 103,51l{/mmZ

Figura1.66

^;fl

Rezietentamaterialelor'!l

5o. Se reprezinti unghiulp (in acelagicadran9i in acelagisens cu unghiulfictiv a, oblinAndu-sepoziliaaxeineutre(n-n)pe sec(iuneaconsideratd. 6". Se duc paralelela axa neutrd(n-n) prin collurilecele maiindepdrtateale secliunii 9i, fald de o linie de referinli normaldla (n-n),se reprezinti diagramaliniari (o*tot),cu valoarenuli in (n-n). 7". PrinTnsumarea valorilordin diagramele tensiunilor simple,se oblin: = 103'51N/mm' Jo'u* ' lo',n = -103,51Nfmm'?

f,E Exemplul 1.15: Si se dimensionezeconsoladin figura 1.67,solicitatdla incovoiere oblici cu for{e necoplanare,?nvariantele: a) ca secliunedreptunghlutard [f = r[ = 1,S1,Olnlemnavdndrezistenlade calcul \ D)

R=13N/mm2;. b) profillaminatl, din OL 37 (R = 21ONlmm'z). Sd se traseze diagramade varialie a tensiunilornormale ("1") in secliuneade incastrare,pentruambelevariante. P 2= l o k N

Pr = 10kI

.-.> x q = 3 k N /m

r li2m l lll

Y

fffi

'l ffit-->v + r^l \r v z

Figura'1.67


85

Rezolvare: a) Dimengionarea consolei 1". se descompunforlele exterioarein cele doud plane principale;deci, se proiecteaziforleleinclinateP1gi p2pe direcliiley gi z (figura1.6g).

sin P = 1,291* x

2o. se traseazi prin suprapunerede efecte diagrameleM, - din fo(ele din planul (xOz)(figura1.69)9i M, - din fo(ete din ptanutxOy (figura1.70). P.,sin a = 8,19kN

Pt cos fi

foqe in o planul(xOz)

'-'-.>

-

4,83 kN

x

Vz I

| 8 ,19

/G\ (M,i i \_1,/

+ /-;\ \ \__!/ Mu'/

/1h

I r.'-'

Yv-/

I

Figura1.69

-i

86

R6tlstenla materialelorll

P, sin fl = 1,29kl forte fn planul(xoy)

" - '- '>

x

Q=3kN /m F 1 co scr = 5 ,7 4kN 2m

w /P \

+

I s,zq I

@ + /-t\ tM-'l \i,/

=

@ Figura1.70 Se identificdsecliunile periculoase.Se observi cd cele doud secliuni coincid, producindu-seambeleln lncastrare.Eforturilesunt: lM.,l si lM-l | .rma x . I v l ma x.

3o.

flrvr | l''' Y I

= 22,6BkN.m

1."* -

.m = 1 5 ,3zkN lll"' n zr-t l6 u , 4" "

Se scrie condiliade rezistenli sub forma.

=# lo*l*""

(t,l*r< lH,''l):n

. in variantaa (sectiune W-''n*: I =,|,Uastfelci : dreptunghiulari, din lemn) k= ' w' *b

w,,n*=e+y,l= = 3.158,10' 103mm': 3 . 1 5 8 , 1 0 c m3 . in variantab (secliuneprofillaminatl, din OL37),alegemk = 8, $i rezulti:


Wy,n* =

87

=

= 693,52.103mm3= 693,52cm3 Se aleg dimensiunile secliunii:

= b"t"'hfu 6

. variantaa:

!* Sl*L =3.1s3,1ocm3 6 i . =il=-rr.= 6 € J5 8Jo =21,09cm lo"*

--t

Lhn""= 1,5.bn* = 31,64cm

fb=zzcm s e aleg careseobline , pentru {i = a-", [ , ^,

22- 322

E1 . :3'574'67cmg ^ lW,'': I i2.22' = 2'581'33cm3 lW'., = to . varianlab; din tabelulcuprofilelaminatel, se alegeprofilul| 32, avdnd: :693,52cm3 = t IWr,* 782cm3 Wu.n"" lr lt = o+ata^*3 ,/r r ilr lvvz,ef

,

valorileefectiveale 5'. Se verificdsectiunile alese,lnlocuindin condiliade rezistenld nodulilorde rezistenldWy,"r , W,."r: . variantaa 2 2 ,6 8 .1 0 0 N .m m 1 5 ,3 7' 106N .mm ll r " x r m ax ,e9f .T 5 4 ,6 7 .1 0 3 mm3 ' 2 .5 8 1 33.103mm3

= 12,00N/mm' < R = 13N/mmz =::"* ---+secliuneaaleasd,avand{? estecorespunzitoare. lh = 32cm . variantab 22,68.106N'mm . 15,37'10uN'mm 84,70- 1o3rnm = = 210.47 = Nlmmz R 210N/mm2

lo*1,"","782.47,103mm3

, *a/


@bservatie: in general,in RezistentaMaterialelor(ca 9i in proiectareacurentd) se admite depSgirearezistenlelorTnlimita a 3o/o;de exemplu,dacd avem lorl*u" > ft = 210 N/mm2trebuieca fo'*1,,.< 1,03,R= 216,3N/mm2. b) Reprezentareatensiunilor normate totale (o*rot)in sectiunea de incastrare . variantaa (secfiunedreptunghiulari)

= g#:28.3e4,67cma 60.074,67cma i t.,ur

,,,.=?#=

=f =#gif# gH[tH =143378e5 Foot ifri *0=55"06'. Diagrama tensiunilor normaleestereprezentati ?nfigura1.71.

\c x ',/ v 6.04

smin

12,O4

tnt "f Figura1.71 . varianta6 - din tabelelecu profilelaminateI se obtine: ftrv,ef = r2.519664 r/ -

I J

'

l'''"t

gi rezulti

= 555cma a?.510cm415,37kNm

ltgFl=-ss#m?-

_,

=11,2zs4g

-B =86"1 5 ' Diagrama tensiunilor normaletotaleestereprezentatd in figura1.72-


89

@

181.46

29,00

I

I

lr--Ll

Mz=15'32

omax

210,46

'i l ( n )

/G\ \6x

,/

Figura1.72

EI Ex e r np lu ll.l 6:Pentrugrindametalicddinf ig u ra l. T 3 (R= 2 1 O N/ mm' ), s e c e re : a) stabilirea incirciriicapabileP,,oo, din condiliade rezistenli; b) cu valoareainc&rcdriicapabiledeterminatela punctulprecedent,si se reprezinte varialiatensiunilor normale(oft) in secliuneamaximsolicitatd. Pe=3 i
q r=5 H

600 x io-l

f>

Figura1.73

.-...t

Sezielgnfa malorialglor ll

Rezolvare: a) Stabilireaincdrcirii capabilep,,*o: 1o.

Se traseazddiagramelede momenteprinsuprapun$b'foefecte 'Mv,i (i =14 , din fiecaredin cele patrufo(e elementare din planurxoz (figura1.74\; ' Mzi (i=1p, din fiecaredin ceredoudforfeerementare din flanurxoy (figura1.75). Pz = 3 kttt fo4e ln planul (xOz)

O

@,=ff*

+

2.5ro,

+.

@.=@* @,=@

@,=@ @'=@/* (0)

(1I(

figurAt.ZS

2,5n )(


2".

Se identificfrsecliunileunde ar putea sA apare momenteincovoietoareextreme: . lMylr"* poate sA apari in sectiunile: (1) - in dreptulf04ei P1' (2) - la jumitatea deschiderii (3) - pe reazemuldindreapta poatesd apari in secliunile' lMTlmax (0) * pe reazemuldinstAnga (1) - in dreptulfo(ei P1 Valoriledin fiecarediagrami, corespunzfitoareacestorsectiuni,s-au stabilitdupd cum urmeazi: ' ^ {[(tr,t"),;(M").;(M")o; - in ''-' Drinasemdndri [(M.),;(M.),; - in (Mr)z , pornindde la schemastaficede grinddsimplu rezematdincircati cu fo(a uniform distribuiti q {determindnd rea{iunile +L 9i, apoi, valoarea momentuluiin sectiuneacurentd(in cazul nostru,x = 2): q' I .Z-(o.x}. 4 5 .t 2 -!tt.e\. M{x)= 2'i.; -, i2,5kiim " ,, 2 2=i.2_\4

(Ml

=12kNm [,1(x) f

_

*". 'r.u

Figura1.76 Astfel,au fost oblinutevalorileprecizatemai sus in celepatrudiagrame(Mr)gi celedouddiagrame(M.) ; cu acestevalorise formeaziperechile: (0)

(1)

(?)

(3)

Jln,ri''l=okNm llu f,l=1 okNm ; ml"l=lt,ozr,+12- 0,8- 1,zl=t1,02P1+ 10) kNm ll +al kNm; lltl,i= l- o,o+n, =(o,BSp, ui"l=10,65q +12,s +10) kNm -1'1,s1 {l

+sl kNm; ll*f,l=l*o,srq SkNm Jlrtrf'l= =lokNm ; I n,ti',I

;


Se vor pestra doar perechile (1) gi (2), intrucAt in celelalte doud nu intervine necunoscuta(P1). 3". Se calculeazi caracteristicile geometriceale secliuniitransversalea grinzii:

f,

r .g= o' = .i33.360cmo ^ l to -z' ,n n^) .31r .l*

) n i'=''lu*\ou'z/ ll .', -= r . t 1l l2' o 6 91,2" =e .o o 5 cm a tut=-uuo =4.167,bocm" l*" = |"v 32 g'oos =600.33cm3 lw- = {'15

Se scriecondiliade rezistenldla limitd(lo*lrr*= R) in secliunile(1) gi (2), linfind cont de defini{iamodulului;agadar,in cazul termenilorcu semn incert,vom considera succesivsemnelet pentrutermenulrespectiv, . secliunea(1) 4".

(t,oz.p, + to).tou tt.mm (- 0,64.q + o) . tou tt.mm N = - z',n -* -'" mmt 4.167,50.103mm3 600,38. 103mm3 (0,24475 . P,+ 2,3995) + (-,|,0661. P,+ 9,9945) = 2 t O

Oblinem:

p,(')=-A+0,sgt
rr i) r ' P frr):166,00k N -0 ' M l1 \

. secliunea(2) (o,es.q + to) tou Nt.ffiffi.(-o,se.p, * 5) . 106N.mm .,n OOO^g3.10tr"f--=z1u @ . .R + 8,3288)= 210 (0,20396P,+ 2,3995)*(-0,S82825

N

r

Oblinem: 5o.

ValoarearealSa forleicapabile P',""0va fi cea pozitivdsi minimddintre cele patru

valorioblinutela 4" . Rezulti R,*o = 166kN. b) Reprezentarea diaqramei tensiunilor normale (o*tf in secfiunea Egxim Eolicitati 1". se traseazi mai intai diagramelemomentelorincovoietoare(My) gi (M,) pentru : (figui-a1.779i i.78) P, P',"uo

\-o

Rezlstenlamaterlalelorll P,

cos32"

,!

=".0 140,78kN forle in planul (xoz)

93 P 2 =3 k N

n r m= 4-KN-

O

I I I

z

,

lz\

|

Vn = 93,47tkltl

r* !I uf)=jtr,ur "B-l !r

2i

I

I I

93,4

178,94

Figura1.77

** | uXL.o,t* forfein p!anu! /vf"h;\

n

\.!Y,/

8= as'lsrNtI

I * Y

* V

n=ckN r -m

Figura1.78

.d

r I


2o.

Secliunea cea mai solicitatd este cea in care actioneaze P1; momentele lM, = +128,94kNm; Tncovoietoare in aceastdsectiunesunt: i ' ' tM' =- 99'56kNm 3".

Pentru a putea reprezentadiagrama (o*tot)Tn aceastd secliune, se determind

unghiulI de inclinarea axei neutre: 1.. lM.l 133.360cma 99.56 kNm I l+anl l -v rr

-r

-;!

l,

-

l Mrl

9 .0 0 5 cma

-

P =83" 0 4 ' '

178,94kNm

= 8.2398504

4o. Diagramatensiunilornormaletotale, precum gi componenteleacesteia pe axele principaleale secliuniisunt reprezeniatein figura 1.79.

/[r \ Iy x'''z ./

\,-/

I

185,84 i/:f

*---

{ t il ,

.--_-!

ivlr, 1

I tct

t'.r0

1tVmm21

\ Mz=- 99'56Sm - - _- - - - .- .L

---.-.->

\ \

My= 178,9+kl'lm

_\___

('min

- 208,78

'il (n)

f-l \y

dmax

208,78

't i") Figura1.79

y

PT 6rl

inc


95

PROBLEME PROPUSE c Problema 1.1: Un stdlp metalicavand secliuneagi incircdriledin figura 1.80 este "castratintr-o fundaliede beton. 1. ConsiderAnd incdrcirile: P = 700kN H= 50kN Q= 1OkN/m, se cere: a) diagramatensiunilornormalein secliuneaunde aclioneazdforla H; b) diagramatensiunilornormalein secliuneade incastrarea stilpului in fundalie. 2. Pentruipotezade incdrcarecu: P = 700kN H= 50kN I = OkN/m, se cere: diagramatensiunilornormalesub fundafie. Se neglijeazdgreutatea proprie a stAlpului,iar pentru betonul din fundalie se ::nsiderd greutateaspecificdTo= 25kN/m3.

E o

-.+

<*

y

.i

t, profilU30 Ar = 58,8cm" 1",= 8030cmo l,r = 495cmn

Figura1.80

96


Rdspunsuri: 1. a) o,"" =20,39N/mm2; Y" = 1'445,8mm; b) o."" =96,42N/mm2; Y" = 90'33mm; 2. loi*"*= 0,374N/mmz; t ,-\* a* Problema 1.2:

G'in = -1 19,27N/ mm'z;

zn=-113,42mm. o'in = -195,30N/mm2; Zn=99,24mm. a=1,728m.

Pentrubara din figura 1.81,se cere :

a) trasareadiagramelor tensiunilor normaledin fiecareefortgi totale,precizAnd poziliaaxeineutre; b) sd se determine valoarea tensiunilor normale totalein punctele 0; 1; Z;3; 4; 5; gi = = 6; 7; 8; A, de coordonate y -Scm9i z +10cm.

Figura1.81 Rdspunsuri: a)

or"" = 12,5N/mm2;

o'in =-22,5N lmm2; Zn= -7,5cm'

b)

Y" = 6'67cm; or = -7,5N/mm2;

oz = +2,5N/ mm2;

os = +12,5N/mm2;

o+ = +5N/mm2;

o's= -2,5N/mm2;

oo = *12,5N/mm2;

oz = -22,5N/mm2;

os = -15N/mrn2;

oo = -5N/mm2;

on = -15,42N/mm2 '

i.. .' I'

r|FProblema1.3: Un stAlpdin beton incastratlabazd este solicitatca in figura 1.82. de calculale betonuluisunt R" =12N/mm2giR,=2p7ntm2,se $tiind cd rezistenlele cere: a) sd se determinesarcinacapabildQ."o; b) cu Qoo determinat, sd se reprezintediagramatensiunilornormale totale in secliuneamaximsolicitatd; c) care trebuie sd fie valoareafortpi Q astfelincit in sec{iuneamaxim solicitatd sd nu apardintinderi?

i t

L

$


'-'> y

j' It

la= 25 kN/m3

,f,

Ir Zt I I f I I t I

, a a

Figura1.82 Rdspunsuri: a) Q""o= 10,27kN ; b)

6 ra" = 2 N/m m 2;

o.in = -1 0,33N/ mmz ; zn =272,1mm '

c)

Yn= -202,7mm; Q = 6,94kN.

lProblema 1.4: Stdlpul gi fundatia lui (figura 1.83) sunt confectionatedin beton sinplu Bc10iyo = 22kN/m3,R" = 6,5N/mmzgi Rr = 0,6N/mm2). Se cere: a) sd se verifice stdlpul gi si se traseze diagrama de variatie a tensiunilor normalela baza sa; ,, b) sd se verificefundalia, gtiind cd Pr=0,2N/mm2gi sd se traseze diagrama tensiunilornormalepe talpa ei; c) si se stabileascdpozilia stdlpuluipe fundafieastfel incAt toatd talpa ei si fie activd.

f' tI


98

q =4

0.6m z <-.-

(i) stdlpuldispuscentricpe tundage

(il)sHlpuldispusexc€ntric

Figura1.83

Rdspunsuri: = 0 ,1 2 N /mm2 ;

a)

6*

b)

lol*:0,199N/mm'z; x:56mm .

c)

o.tn = -0,54N/mm2;

a = 858mm.

z" = 189,8mm.


f Problema1.5:Un st6lpmetalic(OL37,R = 210Nlmm2) de sec{iune dreptunghiulard esteincastratlabaze, ca Tnfigura1.84. Se cere: a) considerind raportullaturilor|: D

Z, si se dimensioneze stdlpul;

b) sd se reprezintediagramatensiunilornormalein secliuneade la baza st6lpului. q=5H

Figura1.84

Rispunsuri: a) bn* = 84mm; se alege b = B5mm, h = 170mm; b)

o.* =+188,43N/mm2i6în=*za2.}zh{lmm'; axa neutri este paralelScu oY; Y" = -1,5mm.

r Problema 1.6: Pentruzidul de sprijindin figura 1.85se cere: a) verificarea secfiunii de la baza zidului, gtiind cd rezistenlelede calcul ale betonuluisunt R":4,7N/mm2 gi Rr =0,5N/mm?, iar greutateaspecifici a yu= 22kN/m3; materialului b) verificarea blocului de fundalie, confeclionat din acelagi beton, gtiind ci presiuneaadmisibilipe tereneste p, = 0,3N/mm2; c) si se reprezinte varialia tensiunilor normale la baza zidului, 9i pe talpa fundaliei.

-!-

100

Rezistenlamaterialelorll 100 kNlm'z

Figura1.85 Rdspunsuri: a) / mm'; or,n= -0,51N/ mm2: 0.", = +0,15N D)

|

|

a^^^..,

c)

a = 1,02m.

2

= 161,"* u,JUZr\/ mm- ;

a* Probfema'1.7:Pana de acoperigdin figura 1.86 este confeclionatddin lemn gi are h

secliuneadreptunghiulard, cu i = 1,5. $tiind cd rezistenlade calcula lemnuluieste D R = 10N/ mm' . se cere: panei; a) dimensionarea b) reprezentareavariatieitensiunilornormaletotaleTnsec{iuneamaxirnsolicitate.

Figura1.86


101

Rdspunsuri: a) bnu"= 13,17cm ; se alegeb = 1Scm,h = 20cm; b)

=+ 6m ax . m in8 ,2 1 N /m m 2 ; F = 3 5 o 4 1 ' 1 8 " .

ft Problema1.8: o bari de secliune130confeclionatidin olel oL37 (R = 210N/mmr; E=a1.105N/mm2)este solicitatdca Tnfigura1.87. Se cere; a) determinareavalorii maxime pe care o poate lua forla P astfel incdt bara sd satisfaci condilia de rezistenle(p",e); b) cu P""o determinat,sd se traseze diagrama tensiunilor normale totale in secliuneamaximsolicitatS; c) si se calculezesigeata in secliuneamaxirnsolicitati, aplicindmetoda grinzii fictive. Pentruprofilul130se dau : lu = 9800cma; l, = 451cmo; Wv = 653cmt;

W.=72,2cmt'

-t1 -l

El ol (f,

I I

+ Figura1.87

Rdspunsuri: a) PSJ= 1436kN,P[? = 24,83kN* b) c)

P*o= 14,36kN.

secliuneamaximsolicitatdeste C; omax,min=t210N/mmt; tgp=4J,45i = F 8 8 o4 0'56'. vc =2?96mffitwc =9,24mmifc=2297mm.


Capitolul2

STAREAGENERALADE SOLICITARE 2.1STAREADE TENSTUNE PLANA(STP) Stareade tensiunepland (STP)se realizeazic6nd vectoriitensiunesunt cu un plan dat (xOz).

. Varialiatensiunilorin jurul unuipunct(figura2.1) Pe o secliunecu normalan carefaceunghiulcr,cu axaoz, tensiunile o" gitangenlialer" suntdatede relafiile: ""

o*

= 5i9*

io'

."os2cr+ ro. sin2o

a79..cos 2d.-r*..sin2a

ro =

(2.1a1 (2.1b)

unde o*, o. gi x". sunt tensiunilein secliuninormalela axele de (o, = 0, T*y = Tyz= 0 ).

Figura2.1 normaleo au 'Directiile principalereprezintidirec{iileo pentrucaretensiunile valoriextreme(maximi,respectivminimi)gitensiunile tangenlialet suntnule.Ele se stabilesc ca fiindsoluliileecua{iei: tg2o =

2'u

(2.2)

o* - G ,

gi suntintotdeauna ortogonale. . Tensiunile principale care apar pe direcliileprincipale,se noteazd cu 6. = 6r*

respectiv 02 = omin9i au valOrile:

o',- 9l%*

\2

o" *o. I 2)

''p


. Din studiulvarialieitensiunilorin jurul unui punctse pun in evidenlacei doi invarianli: Itr=o-*6.=61 ff,

+02

(2.4)

= o* . 6r - a' o=0 r . 0 2

Acestemdriminu-gimodificdvaloareain cazulrotiriiaxelorde coordonate. . Tensiunilehngentiale extremeapar pe direcliilebisectoareale unghiurilor gi au valoarea formatede direcliileprincipale Lmax/min *

(o * -or) --

(2.5)

2

. Stareade tensiuneplani la bare se caracterizeazdprin 6, :0. . Traiectoria tensiunii principale este infigurdtoarea liniei poligonale care marcheazddirecliileprincipalerespectivein punetesueeesive.

(STS) 2,2 STAREADE TENSIUNESPATTALA Starea de tensiune spa{iald (figura 2.2) este complet determinatdde tensorul tensiunilor

[""

rry

"-l t=l"* Gy' "I try o.l

(2,6)

LTo

(r"y =ry* ,rw=a"y gi t* =t*,) ln bazaprincipiuluidualitSliitensiunilortangenliale tensorul(2.6) are doar gase componentedistinctegi este simetric.

ll I

i-t

r "Yx

,i, to ,-'

.-+ y

. Directiile principale, pe care tensiuniletangenlialet sunt nule iar cele normale iau valorileextreme 6r ) Gz> o' se stabilesccu ajutorulcosinugilordirectori:

104

RezistenfamatErialelorll

f r ) -_ (", - o)' .* - rw.\,y

['nJ --

( m ) _ ( o- - o ) ' r r . - r - ' ? , y

(2.7)

t;,r-;{G;t6:a ll'.[!)'*1:f 1)' f\n/ \n/ \n/

In expresiile(2.7) se ?nlocuiesc succesivG=61r G=oz gi o=o, gi se obtin cosinusurile directoareale normalelortensiunilorprincipale. Directiileprincipalesunt ortogonale. . Tensiunile normale principale intr-un punct (o,>02>o.) sunt solu!iile ot - l,o' + lra * l, = Q

ecuatieiseculare

{2.8)

unde1,,1,gi l, suntinvarianfii. ' Invarianfii,in cazulspalialse definesccu relaliile: fl, = o * +o v + oz = oj + o. 2 + og I z\ I z z '1f, = o* 'cty + oy ' oz + oz ' o" - ( t , r ' + r n' + r . *') =o r '6 2 +e 2 'o , 3 +o 3 '0 1 r\ l, t 2 2 = ' Ty r ' + ou ' t o' + or ' r *r ' ) +2 t r u 'r n 'T - = o . r . o z . o s ||, o^ 'oy ' o. - { o*

(2.9)

ale planelor 'Tensiunile tangenlialeextremese produc?nplanelebisectoare principale gi au valorile lrr,sr: *9?t

=* q;9. 12s,s2

= *9*t rp,2.r

(2 . 1 0 )

2.3STAREADE DEFORMATTE SPATTALA . Deplasirile unui punct al unui corp sunt precizatedupd axele de coordonate: u - dupi axa Ox; v - dupi axa Oy; w - dupi axa Az. . Starea de deformatie in jurul unui punct este precizatdcomplet de tensorul l-l---- 1! : t ^-

uet( , r t l t a U | l u r eT rl

It

I '- ir',

_r " = l;l1Yr *

Ey

z^llv l

1u | 2'o I

1z.tty

\i1 I €- l lr'^ zY" ' t careestesimetric(7*, =y* , Tw =\.y, \o =yo).

. Legitura intre deplasirigi deformalii estestabilitide relafiilelui Gauchy: dt eu Aw y t---. "ex 'Az aY. (2.12) eu av Av Ait a,v 0u V = -+-' =_+_' v --"{-1/ c,.

I xY

ay

ax'

-

I \z

-.

az

6y'

I4

ox

Dz


' Invarianliise definescanalogstdriide tensiunespaliald.primulinvariantal deformaliilor €o= r* +ay+rz = s1+€2+6s (2.13) estedeformaliaspecifici de volum.

2.4LEGATURA INTNECONSTANTELE ELASTICE lntre constanteleelasticeE, G gi pr(moduliide elasticitatelongitudinal,respectiv fran-
si nnpfiniantrrl

lrri Fniccnn\r

v

awic{6 ralafia, .etsiiq. v^rgrq

tr r J=-

(2.14)

2-(1+p)

Legea lui Hooke generalizati Legea lui Hooke exprimd legdtura dintre tensiuni gi deformalii prin intermediul relaliilor: - ?ncazul stdriide tensiunespaliald 1'' 1r / \'t e*=, [o*-p(o, +o.Jl ; y, = 6 1f T." z rl -F(o, +o-)l ; yr,=ff "u: E [o, =*[o. -p(o-*oo) ; r- =3 ""

(2 . 1 5 )

- ln cazul stdriide tensiunepland (o. = Q; 4 c r = ; ( o. ,

tr

- lr . or )

1t rz = = (o z -tl tr q3

--E\ul

\ .o rJ

(2.16)

F r* f , v2trf - r

Sbservatie: Deformafiaspecificide volum(2.13)rezulti, prin adunarearelaliilor(2.15)ca 1-2u fi[nd egald cu 8- . =- .;(2.171 "E in fun{ie de aceasta,legea lui Hookegeneralizatise poate scrie sub forma: T,y=G-y"y o" =}'.e,+2.G'e*; or=1"-€,+2.G.er;

rr==G.Tn

6.:)u-eu+2'G,e.l

r*:G.yo

G_

E

,4+D ( 2.1e)

9i 1-

(2.18)

2'p'G

1 -2 .v se numescconstantelelui Lam6.

: )tfl


2.5TEORTT DEREZTSTENTA Prin stare de solicita." litita (SSL) se inlelege un nivel de ,solicitare la atingerea ciruia se modificd proprietilile mecanice sau geometriceintr-un punct al corpului. Valoarearezistenleide curgere(o") la materialeleductile,respectivrezistenlala rupere (o, ) pentrucele casantereprezintdvaloricaracteristiceale $SL. Valorile o" 9i o, se determindexperimental. Apreciereastdrii de solicitarein cazul unor stdri de tensiune complexe se face printr-unfactor caracteristiccare descrie: stareade tensiuneintr-un punct ---+tensiuniprincipale(o.,, or, o. ); * tensiunitangenfiale maxime(r,u* )l -

etc' stareade deformatie * deformatiiprincipale( el , e. , e. ); --rdeformatiaspecificavolumicas.,;

{#

etc. stareaenergeticd ---+energiapotenlialdde deformalieW"; -+energiapotentialSde modificarea volumuluiW,; -+energiapotenlialdde modificarea formei W,.

9bserva,tie: intre starea de tensiune gi cea de deformalie existd o legdturi biunivocS, exprimatdprin legeageneralizatia lui Hooke(2.15),(2.16)sau (2.18). in stdri de solicitarecomplexe (definiteprin tensiunileprincipale or ) o, > o, ), condilia de rezistenli se exprimdsub forma: 0".h ( R

(2.20)

in care oecheste o funclie de tensiunilenormaleprincipale: o""n= f(or,o,o.)

(2.21)

gi reprezintdtensiuneanormaldcare ar trebuiprodusd[a intindereaxial5pentrua obtine o stare de tensiunecu acelagigrad de periculozitateca al stdrii generale de tensiune (figura2,3).

Figura2.3


107

pe bazacerorase definegteoechcon$tituie Alegereacriteriilor obiectulTeoriilor * rezistenfi sau Teoriilor stirilor de solicitare limitil, prezentatesuccintin ,cmntmuare. 1".Teoriatensiunilornormalemaxime(teorial) Se presupuneci stareade tensiunedintr-unpunctdin corpeste caracterizati pnr tensiunile principale6t)62>or. Ruperearezultiatuncicdnd o,u*=o["", unde ,n1'*este valoarealimiti in solicitareaetalon(intinderesau compresiuneaxialS). ffierrltd condilia o, < R, 9i deci

(2.22a)

oech = ol

Dacd o, < 0 , trebuieverificati gi condilialo.l< R", ceea ce conducela:

(2.22b)

O.^r = 16.l

2'. Teoria deformafiilor specifice liniare maxime (teoriall) in aceastd teorie se alege drept criteriudeformalia e,"* , adici r, < eL"", unde ca gi o$"*. Rezultd ffi are aceeagisemnifica{ie o , -F .(o , +or)< R , o " * , = o r -p .(o,

-o..) Ca gi in cazul teoriei l, daci rs < 0 , trebuie verificati 9i condilia

(2.23a)

l o u -p .(o ,,* or)< R ,

o*r,,=los- p .(o,+ or) {2.23b) 3". Teoriatensiunilortangenlialemaxime(teorialll) Aceasti teorie considerica gi criteriude aprecierea niveluluide solicitare rs'lsiunea tangenlialimaxime " r*

= 9 L _ 5 < to-.. - -max 2

rnrvaloarealirnitdla solicitareaetalonva fi f-

n

o9-ol

R

2

2

'max

Rezultdcondiliade rezistenli

s

o ,-o r(R

(2.24) Aceastiteorieesteaplicatinumaimaterialelor cu rezistenle egalela intinderegi (R" = R, = P 1. oornpresiune 4". Teoriaenergieipotenfialede modificarea formei(teoriaV) Se aplici, ca gi precedenta, numaimaterialelor cu R" - R, = R . Parametrul de unparalie adoptateste energiapotenlialdde deformaliecare corespundevarialiei {armeiW Om h = Ol - o3

*,=#h,-orY +(o., -o.f *(o,-o.,f]

(2.25)

;

108


PentruvaloarealimitnWf se obline girezulti

o*n =

Wf =

ltv

1;lp

R'

,

- oal" * 1o,- orf + (o. - o,)'] {Z [or

(2.261

5'. Teoriastiirilor limitdde tensiunea lui Mohr Aceastdteorie se bazeazdpe observaliaci atingereastirii frtitd este foar6 pulininfluenlatd de tensiuneaintermediard or. in esenld,ea esteobktffiere a teorid tensiunilortangenlialemaxime la materialecu rezisten{ediferite la intinderegi (R" * R,). compresiune Tensiunea echivalentd rezultd

= 61-fi:". oech

(2.27)

@bservafie:DacdSTPesteconsideratica un cazparticular al stdriide tensiune spaliald(o, > o. > ou), rezultdde fapt

",=9U*|J"++* oz =0

""=;-!"e;n* Expresiiletensiuniiechivalenteo"* la baresuntdatemaijos: . in teoria o.""

o e ch= | .| " W

. in teoria e*"*

=?o *1:1,1;,*oa o""n

. in teoria r,,,"*

ou"n= JJt *41

. ?nteoria W'

o*n= Jo'*3t'

. in teoria Mohr

*""

o*n=[,-*E.[,.*)**tt

Alegereateorieide rezistenfise bazeazdpe modulderuperea materialului . materiale casante -+ prezintdrupereprin smulgere,produsd de tensiunile normale teoriide rezistenli utilizateI

. o,"* . tr*

materiale: beton,fontd,o{eldur, sticli; . mateialele ductile -+ prezinti rupere pnn lunecare, produsi de tensiuniletangenliale . oro^ teoriide rezistenli utilizatei .W, materiale: olelde construclii,aluminiuetc.


't09

/ EXEMPLEDE CALCUL trl Exemplul 2.1: Si se studiezestareade tensiune pland definitd prin tensorul tensiunilor ( ,'t r*,) (1so T- =l -" l=l 6,) t 50 \!a

uJo) [*/"']

(figura2.4,a).

Figura2.4 Sd se precizezetensiunileprincipale,direcliileprincipalegi tensiuniletangenfiale extreme.

Rezolvare . Tensiunileprincipalese calculeazi cu relalia(2_3)

girezulti:

o, = 158,61N1mm2 o,:-38,61N/mm2

. Direcliile principale seoblindin(2.2) 2ro = o,5bb + tg;.u ' = G*-6y = #L 150+30

o, = 14"23'38" { lctz= 104"23'38" Tensiunilegi direcliileprincipalesunt reprezentatein fig 2.4,b. . Tensiuniletangenlialeextremese calculeazdcu relalia(2.5)

t.z =-tz.!="+-

158'61-+ 38'61= 98,61N/mm,

giaparpe direcliilebisectoare principale. aledirecliilor

110


printensorul definitd El Exemplul2.2:Sedd stareade tensiune (o. r^, r*) (120 80 o )

L = 1 " * G y r o l = l a o 1 0 o l. [r^

x ,,

o .)

[0

O

40)

(p = 0,3). teoriide rezistenld Sd se determineo".n in diferitele

Rezolvare 1o, Se determindmai Tntditensiunileprincipale,care sunt soluliileecualiei seculare (2.8), Invarianlii,care reprezinti coeficienliiacestei ecualii, se calculeazdcu relaliile

(2.e): l,r:o* +o'y+oz =120+ 10+40 =170: l, =o"o, +6yoz+ozox-ft-rt *

+"u')=12a'rc+10-40+ 4a'fl}-802 =0; "n' fu=.,"Gr6,-(o*ro' +cr'co"*o..*rt)* 2r,rr."co=12a'10'40-(+o'eot)=-208.000. Ecuafiaseculari se scrie sub forma ao -170o' -208,000=0 . Se aduce ecualiala forma normaldprin substitu{ia t. 170 o:X*J="* 3. ecuatie de forma Rezultdo xu*Po'+q=0,

p=t,-f : +:

unde

-e.033,3333

q = -3t,' * ]t,t, - t" : -2.1703 +208.000= -155,9259.103, ' " 27 ' 3' 27 Discriminantulecualieieste 1, ^^^^^^^rs 1t . = 1 - 1 , =,,(-s.ose,m3)" --,^^-.^r,r = -3,31i.i010 <0 " -a(-57i,925'103f oo' " *r' ceea ce inseamnd cd existi trei rdddcinireale. Pentru rezolvareaecualiei de gradul 3 se apeleazd la formula lui Moivre. Se calculeazi maiintAi, unghiulajutitor
3Jdq sJ5(-tss,gzse.1o') cos&p=- -"-* =--" ' -+q=21"32'36"(
2Je'633,3333'

Rdddcinile ecualieinormale sunt: .>_ .)

L /r^r- wo .cos(zt,s+348062): ^^^ 9 ' .^_ I Js Js.eea,eaee lPi 1o5,4157 -^ 1 -_3 \ , v ' lt.t ; 3 ""


*, :

*, =

2-1-

;ii 2 -,

i "5

111

- 1201= {5 Jeffiffi5 .cos(-sa,+sos1se8)= -16,6667 ; llnl.cos1* ;

jlpi.cos(e +120')= cos(r+ls+e+eooz): . -8s,74s1 6it "ln*t..rtt,

Revenindla substituliaficutd, rezultdtensiunileprincipale: Gr= Xl * f .=tos,+t57 *!:162,0823N/mm'? ; 33 o, = X, + ! = *16,6667 *1J9= 4o N/mm2: 33 170 = -32.0824N lmm, . o" = X" + !r = -BB.74gt* 33 Se verificdaceste solu{ii lr = 162,0823+ 40 - 32,0824= 17A

.40+ 4A.(* lZ,OeZt)+ .r Oe,oees (- aZ,OaZ+) tz= 162,0823 =o .40.(= ra 162,0823 32,0824)= -297999,56 = -208.000 20.

Determinareatensiunii.oon in diferiteleteoriide rezistenfd: - dupi teoriatensiunilornormalemaxime(
t---:-

l-

t- - - - - - :

/ti ,

\

--r--r:-r- - - r :4 - - - -----l-: - uupu Lcuila errerglcr Putelluare ue llluqlruatc a ruillret ( vvf I

o*n =dr[o, -orI +(o, *o.f +(o. -o,)'l=

=170N/mm' 40)'+(+o+ zz,oeza)' - 162,0823)'] +(- :z,oez4 f,fuur,ourtSe constatd cd cea mai restrictivdeste teoria lll, cea a tensiunilortangenliale maxime. @bservafie: Daci materialul studiat este ductil (o!el de construclii), avAnd valoarealimiti in solicitareaetalon la intindereaaxiald oL* -- o" = 250N/mm2 se poate defini coeficientulde siguranldal stdriide tensiuneca fiind

c=93" oech

Rezultd,pentrucelepatrucazuriconsiderate: =\5424 ; - ?nteoria| (o,". ) : c = ^g= 162.0823

;

112


- in teoriall (c-^.) ,

250 :1.5653 : ": 159,7070

=1,2875; - in teorialll (t,u* ) : c = #at 194,1647 - in teoriaV (W,),

"

=* =\4705 . 170

F Exemplul 2.3: Pentrugrindametalice(R = 210N/mmt, R, = 150N/mm21din figura 2.5 se cere: a) sd se traseze diagrameletensiunilorprincipale o, gi o, 9i si se stabileasci direcliileprincipale(1) qi (2) in punctelea, b, c, 0, c', b'gi (a') ale secliuniimaxim solicitate; b) sd se verificetensiuneaprincipaldextremd.

250 250

Figura2.5

Rezolvare a) Tensiuni si direclii principale in sectiunea maxim solicitati 1o. Se traseazddiagramelede eforturi(figura2.6). P = 2100kN Mo= 600kN 'm

Figura2,6

z ![ d


113

Secliunea maximsolicitatieste?nincastrare: =2.100kN; lrl I rmax = 1.920kNm . tMl I tmax 9bservatie:Dacdeforturile extremeaparin secliunidiferite,se vorverificadou6 mctunigianumeundeapare

(i ) {]yh* $i (2){*,.*' la r e r e n t I

|l l r""

YSe calculeazdcaracteristicilegeometriceale secliunii.Se observd ci secliunea pr-,ezintidoui axe de simetrie,care coincidcu axele principale;centrulde greutatese di la intersectialor. Rezultd ,, = z({E+ (12

1,6._1_003 = 527.3e5,83cma 12

30 .2,5.b12s,j+ )

w, =4H&=1o.14s,ocm3

52,5 ' Momentele punctelor staticecorespunzitoare a-b-c-0-c'-b,-a' sunt: S"=S "'=$ = 3.843,75cm3 Su- Sr,= 30.2,5.51,25 = 5.343,75cm3 S" = S"'= 3.843,75 +1,6.25.37,5 So= 3.843,75 + 1,6'50.25= 5.843,75cm3 Se. Se traseazidiagramele tensiunilornormale9i tangenlialeprecizdndvalorilein cerute(figura2.7,a): mnmc{ele Tensiunile normalese calculeazd cu formulalui Navier:c = Y L,Z - 1.920.106 =

; o,, - -.6a= 191,13N/mm'? . 10' -191,13N/mm2 10.045.6

o;

oo= - 1.920.106 Uprffi|6;.50 =

- 1 .9 2 0 . 1 n 6

"" Uffia.25

= -180,03N/mm'?I or,= -ou= 180,03N/mm2 = -91,01N/mm2 ; o",--6" =91,01N/mm?

oo = 0'

't, Tensiunile = tangenliale se calculeazicu formulaluiJurawsky, ' " fb . t , ta=ta,=0

2.100 . 103x3.843,75. 103 'b ,i n f -'b ',su p

-

. 104 300x527.395,83

= 5,10N/mm2 (punctulse gisegte in talpd)

114


ub,suD -

!b'.inf -

2J0A .103x3.843,75' 103

. 10 16x527.395,83

= 95,66N/mm2

(punctul se gdsegteTninimi) c

2.100 . 103x5.343,75. 103=132,991r/mm2 c 16x527.395.83.104 . 103 2j00 .103x5.843,75 = 145,43N/mm'?

16x527.395,83 ' 10

40.

Determinareatensiunilorprincipale(o' > or) se face cu relatia(2.27)

o,,=;.),fe;+a iardirecliileprincipale rezulti din(2.2) tg2a=4 o

. in punctul(a) : o=-191,13N/mm2 ;r = 0. Rezulti

o',=aY"Py

ts2a=0=

=

(compresiune axiali) l; =1rnr,,,.N/mm,

],::?:;"

. ln punctul(b,n,- in talpd): o = -180,03N/mm2 ; r = 5,10N/mmz

o',=--$Qet]fr eonti+o,ro'* ts2a=j#*

=-0,0s66 :+

or =0,14N1mm2 oz =-180,17N/mm'z

) :: =:#Tr,r" ,*'= -1"37,17,

. in punctul(buuo - in inimd): o = -180,03N/mm2;t= g5,66N/mm2

=19&r1fr80,0yn4-9s,66,* o,, ''A 2

2'

or=41'34N/mm2 g.2=-22137N1mm2

=i?ffi =-1,0627 tgzu = :: =:.:,.111?0,u. r,,=-2s.22,14, \ . in punctul(c): o = -91,01N/mmt ; r,= 132,99Nfmm2

o,, = 44

2

o',= 95'05N/mm2 +Jg1,u' .4.1g2,gg' =+ 2'

62= -186,06N/mm2

lQ2a=2'132'99 = -2,e22s + -91,01

) :,==n:l;:;llo-,o'=-35'33'1e"

. in punctul(0): o = 0: r = 145,43N/mm'z otz = X145,43

tg2cr=oc =

.

Gr= 145,43N/mm2 (forfecarepuri) oz = -145,43N/mm2

c{'1= +45o a2

= +135"


115

. in punctul( c' o = g1,01 N/mmz ; r = 13l,ggN/mm2 ): = 186,06N/mm2 o',=ryt *Js1,ar.A.1inrr' * or o, : -95,05N/mm2

=' :??'?n=2,9225= 0r =35o33'19" ts2a " ' ---g 1 2= 91'01

+ 125o33' 19"

. in punctul(bi",- in inimd):o = 180,03N/mm,r = g5,66N/mm2 ;

o', : E*EtlJTegO3, +a€s,66, = 2

2

tg2u=ffi =\a621 *

ot=221,37N1mm2

oa=_41,34N/mm2 at =23"22'14" s"2= 113"22',14"

. Tnpunctul(b""0-in talpd): o,,=180,03N/mm2; t = S,10N/mm2

o,,=E*E*;*80p3,-.4€ro, = :: =iXr;lr^Y#' z =?;?'1?:0.0566 ts2a = 180.03

e1 = 1"37',17" az: +178037',17"

r=0 - ln puncful{a):o=1g1,03Nimm2; -191,03. 191.03 o. = 191.03N/mm2 or,r=-n-*t = (intindereuniaxial5) Z o,=0 tg2a:0

=

0' Gz = *90o

Diagrameletensiunilorprincipalesunt reprezentatein figura 2.7,b iar directiile principalein figura 2,7,c. b) Verificarea tensiunii prlncipale extreme Tensiunea principald extremd apare in secliunea de legdturd talpd-inimd,in punctulsituatin inimd: = ob,.rp= 221,37Nlmm' > R = 21ON/mm'? ol,max lorl*,, = ioo',*l- 221p7Nf mm2> R = 210 N/mm'? in concluzie,tensiunileprincipaledepdgescvaloarea rezistenleide calcul gi nu verifici condiliade rezisten!6. @bservafie:Totugi,in secfiuninormale : lol,* 191,13N/mm'< R = 21oN/mm, qi

. R, = 15oN/mm'z l"l,u"= 145,43N/mmt decigrindaverificd^

-)

116

Reziaten{a materlalelor ll \J/ INhm'l

(ompEslun€

QI o)

F {

(1) (t)

Figura2.7 Problema eventualei ceddri ln secliuni inclinate (pe direcliile tensiunilor principale)se pune in general pentru grinzile la care apar in aceeagi sectiune atdt momenteincovoietoarecdt gifo(e tdietoaremari.

PROBLEMEPROPUSE cr Problema 2.1: se dd stareade tensiunedefiniti prin tensorul(figura2.g)

l o * r*y " *) fg o 0

o)

L=l', oy .*l=l o 80 zol[rui'm'] [".* xn o.) (o

zo 50)

a) sd se determinetensiunileprincipalegi tensiuniletangentialeextreme. b) Sd se calculezeoon in diferiteleteoriide rezistenld(p = 0,3), lz I

iio "=50N /mm'

cE = 20 N/mm: ('y = 80 N/mm' '- '-

- >y

ReEistenlamaterialelorll

hmsun; flil

\=220, lz=1.530, 13=3.240; 6.t= 6z= 9o N/mmzI os = 4o N/mmz; r'rz= 0, rr, = t25 Nfmm2, tr, = T25N/mm'z'

b$ ftt teoria oru* :

o".r,= ol = 90N/mm2 ;

in teoria e."* :

o""r'= 51N/mm2;

'tnteoria tn,"* :

o"* =50N/mm2;

'rnteoria W, :

6".n:50N/mm2


Capitolul3

METODEENERGETICE 3.1 INTRODUCERE Stareade solicitareintr-un corp deformabileste caracterizatdprin trei aspecb

- slareade deformare,careeste descrisdprin parametriigeometrici: gideformatii; - stareade tensiune,care este descrisdprin parametriifizici:tensiunigi - stareaenergeticd,descrisdprin mdrimienergetice(lucrumecanic,energid|Analiza stdrii de solicitarea corpului deformabildin punct de vedere permiteabordareaunor problemecomplexe,intre care amintim: - stabilirea unor metode practice pentru caleulul deplasdrilor barelor sistemelorde bare supuse la solicitdricomplexe; - rezolvareastructurilor static nedeterminate; de ealeulaproximative(metodaelementelorfinib - formulareaunor met-eide metodaechivalentei). Pe parcursulacestuicapitolse vor utilizaurmdtoarelenotalii: . P - forld generalizatd (for!5 concentratd, distribuitd, cuplu concentrat distribuit); . u ' deplas are generalizafd ( translatiesau rotire ); . o - tensiunegeneralizafd(o*,ou,..-,r*r,...); . e - deformalie specificd generalizatd( e*,er,...,T,y,...). De a$emenea, studiul energetic se bazeazd pe urmdtoarele fundamentale: - materialuleste solicitatpAndla limitade elasticitate; - fortele exterioaresunt aplicate static (adicd cu o intensitatecrescAndde h zero la valoareafinald); - se neglijeazdfrec6rileinterioaregifrecdrilein reazeme; - procesul de solicitare este adiabafrc (nu se face schimb de cilduri qr exteriorul)qi izotermic(nu se modificdtemperaturilecorpurilor).

3.1.1MARIMIENERGETICE a) Corpul deformabil este actionat de srsfeme de fo4e oalecare si are p rop rietdti mecan ice oareca re. . Lucrul mecanic al fortelor exterioare- variabileindependente: deplasdrile (figura3.1,a):

l" = f e'ou

(3 . 1 )


119

' Lucrul meeanic exbrtor compJementar - variabileindependente: forlele (figura3.1,a): P

L "= J u .d p

(3.2)

du a)

b)

Figura3.1 . Lucrulmecanical tensiunilor- variabileindependente : deformaliile (figura 3.1,b):

L "= f o .d e

(3.3)

' Lucrul mecanic complementaral tensiunilor- variabileindependente: tensiunile(figura3.1,b):

1 . = fe .d o

(3.4)

Li = -Lo

(3.5)

t Lucrul mecanic interior:

. Lucrul mecaniccomplementarinterior: Li = -L-"

(3.6)

b) Pentru sig-tenede fo4e conseruativesl corpuri elasticese definescin . Energia potenlialdde deformaliespecificd: Ws = L o

(3.7)

. Energia potenlialdcomplementardde deformaliespecificd: W t =L"

(3.8)

120

Rezisten{amaterialelorll

c) Pentru sistemede fo4e conseryativesi corpuri liniar elastice{eqea lui Hooke): suprapunerii efectelor - se aplici principiul gi in plus: de independenld al variabilelor - se menlinecaracterul L" =L" =*. t . u

(3.e) 1

L"=L"=W" = W; = -.o.t

a)

(3 . 1 0 )

b) Figura3.2

- pentru un corp in sfare de fenslune spafiald, energia potenliald deformalie specificd se exprimdin func{iede tensiunigi deformaliisub forma: w. =;.G*s" +oyry +..,*r*yT,y*...)=

(3 . 11 ) =

+ 6 2.2+o.r, ) )'{o,r, . energia potenliald de defonnafie se definegteprin:

w =Jw..ov

(3.12)

- pentru starea de solicitare a barelor (ou = o= = x\, = 0 ) rezultd: . energia potenliald de deformalie specificd: w, =

+.

(o"€*+r"yT"y+ ruyu)=

_1 - Z ("?^,. i, , r i. )

I r - " -EJ

(3 . 1 3 )

Rezlstenta materialelor ll

't21

. energia patenliaiH de deformafie:

w=|\I*o-.{$0,.I#0..IS."]

(3.14)

N, M, T, Mt - sunt eforturiledin bard ; A - aria secliuniibarei ; - momentulde inerlieaxial ; | 11 - mom€ntulde inerliela torsiune(lt= lp - momentde ine(ie polar pentru

secliuni circulare/inelare) ; E,G- constanteleelastice (modululde elasticitate longitudinal respectiv transversal); k - coeficientde coreclie ce apare la termenul din forla tdietoare gi introduceo ajustarefald de ipotezadistribuliei uniforme a lensiunilor pe secliune. tangentiale @bservafie: in relaliade calcul a energieipotenlialede deformalieapar termeni de forma :

(Etort)' 'ds Z I Rigiditateta efo't

iI

- pentru sisteme de bare, energia potentiali de deformalie se ob(ine prin insumareaenergiilorbarelorcomponente:

w = tw ,

(3 . 1 5 )

3.1.2TEOREMEENERGETICE Se va nota in continuare6 ca simbolal variatiei. a) Sisteme de forte oarecare, proprietiti mecanice oarecare. deformatii mici sau finite . Principiul lucrului mecanic virtual (al deplasirilorvirtuale) ,,Pentruun corp deformabilaflat in echilibrusub acliunea forlelor exterioaregi interioare,lucrul mecanicvirtual al fortplorexterioare(aL") este egal cu lucrul mecanic virtualal tensiunilor(sau eforturilor,6L") pentru orice deplasarevirtuald (5u) cinematic admisibili." 6L" : 61-"

(3.16)

:

*J

Rezistenta materialelor ll

. Principiul lucrului mecanic complementar virtual (al forlelor virtuale) ,,Pentrupoziliade echilibrua unui corpdeformabil, lucrulmecaniccomplementar al fo(elor exterioare (al'.) este egal cu lucrul mecanic complementar virtual al tensiunilor(Ot-*)pentruoricecdmpde fortpstaticadmisibil." 6L" = 6L"

(3.17)

b) Forte conservative, proprietifi elaglice. deformafii m ici . Teorema de minim a energiei potenliale totale ,,Stdriide solicitarereale (pozilieide echilibru)a corpuriloralcdtuitedin materiale stabil elastice , aclionate de sisteme de forle conservative,fi corespundeo valoare minimda energieipotenlialetotale." (3'18) de echilibru 6r = 0 ; n--+minimpentruconfiguralia . Teorema de minim a energiei potenliale complementare totale cele care conducla o valoare ,,Dintretoatecdmpurilede tensiunistaticadmisibile, minimi a energieipotenlialecomplementaretotale corespundstirii de solicitarereale a corpului." de echilibru 6n' = 0 ; n + minimpentruconfigurafia @bserva!ie: - energia potenliald totald se definegteca n=W-U unde U se referdla potenfialulfortplorexterioare,adicd U = P'u (P "'ariabi!); - anafog, energia potenliald complementard totald este n' = W. -U'

(3.19)

(3.20)

G.21)

unde U' = P.u (P variabil)se referela potenlialulfo(elor exterioare. . Teoremele lui Castlgliano Prima teoremd a iui Casiigfiano: ,,Derivata energiei potenliale complementarede deformaliein raport cu o fo(d generalizatl (ce aclioneazdin punct pe o direclie r) este egald cu deplasareageneralizatdin punct pe direclia fortei." ll,=-

aru-

'a P

(3.22)

A doua teoremd a lui Castigliano'. ,,Derivata energiei potenliale de deformaliein raportcu o deplasaregeneralizatSeste egalS cu forla generalizatS ce actioneazi pe directiadeplasirii."

P' -g/v

du'

It

(3.23)

Rezistenlamatorialelorll

123

. Teoremalui Menabrea(pentrusistemestaticnedeterminate): ,,Energiapotenliali complementaldde deformalieeste minimi in raport cu wloareanecunoscutelor staticnedeterminate."

.:

aW =o ' aa

(3,24)

W =L"

(3.25)

w =1P .u

(3.26)

. Teorema lui Clapeyron: - pentru mateiale liniar elastice: 2

c) Fo4e cofrsewative. proprietifi liniar+lastice, deformafii mici . Formula lui Maxwell-Mohr (pentru deplasiri punctuale )

[" N

P M* ' - * f ! - I . t,.d s+[9 .*,' o r l - r - !'mi'os u r =L l* 'ni'os*lE rGA ' -b G rr J

(3.27)

unde: - N, M, T, M1 reprezinti diagramelede eforturidin incdrcdriledate - l'ri,ln|, t1,ms sunt diagramelede eforturi din fortp generalizati unitard introdusi ln punct pe directiadeplasirii. lntegralelese pot efectuacu regulaluiVeregciaghin" Aplicarea formulei lui Maxwell-Mohrgi a regulii lui Veregciaghinvor fi detaliatein paragratu|3.2 (Aplicafiiale metodelorenergetice). . Taaramala

da rae.inraa.ilala

^ a lucrului mecanlc (Beffi): ,,Lucrulmecanic al unui sistem de forle P;, produs prin deplasirile provocate de un alt sistem P; , este egal cu lucrul mecanic al sistemuluide forfe P1, produs prin deplasirile datorate primului sistemPr."

ft'u.,= Pi.u;r -

(3.28)

a deplasdrtbr (Maxwell) .' ,,Deplasareageneralizati A'', produsi pe

direcfiai de o Tncdrcaregeneralizatdunitateaplicati pe direclial, este egali cu deplasarea generalizati A;,, produsi pe direclia i dintr-o forld generalizati unitate aplicati pe prima direclie r'." A,i = Aii

(3.2e)

= *-lfl

Rezistentamatcrialelorll

124

ENERGETICE ALEMETODELOR s.2 APLICATII la sistemele static Metodele energetice se aplice in scop 9i in mod diferit determinate(SSD)9i cele static nedeterminate(SSND)'

DIN PUNCTDE VEDERE 3,2.1 CLASIFICAREASTRUCTURILOR STATICA AL GRADULUIDE NEDETERMINARE fi expusein acest capitol' in vedereaunei mai bune inlelegeria metodelorce vor clasificdriistructurilor' se prezinti in continuarenoliunilede bazi, ce au stat labaza a) Grade de libertate (GL) a unui corp' Numimgrad de libeftate(gl) posibilitateadistinctdde migcare grade de libertate:2 translalii9i o - o bari, considerati ca element plan, are 3 rotire. din bare este: - Numdrultotalde grade de libertateai unei structurialcdtuite (3'30) GL : 3.(NB) unde s-a notatprin NB numdruldebaredin structuri' b) Legaiuri simPie iLSi cu alte corpuri ce suprimi un - Numim tegdturd simpld (ts) acea interac{iune perfectcu cea grad de libertatecorpuluistudiat.Noliunease suprapuneaproape dependul(bariscurtd,foarterigidd,articulatd|aambelecapete)' - Reazemeleutilizatein structuriledin bare sunt :

1') ReazemulsimPlu( RS) =

ffi;

X Figura3.3

- suprimd1 gradde libertate cu o legiturdsimpli (1 ls sauun pendul) - esteechivalent -introduceoforlS detegd t u ri(re a c liu n e )d e v a lo a re n e c u n o s c u t d c e de aclioneazdpe o direc{ie cunoscutS(direclia normali la suprafata rezemare). l 2')Arrieulalia(A)

a,(necunoscut)

4

-

7ih7

H (necunoscut) ---+-

Figura3.4

t

tI

'

V (necunoscut)

r


125

- suprima2 gradede libertate; (2 ls sau2 pendulinecoliniari); - esteechivalent cu 2 legdturisimple - introduce: - o fo(i de legdturi (reacfiune)de valoare gi direclie necunoscuti, sau - 2 forle de legdturi necunoscutede direcliicunoscute (aleseTnmod convenabil). 3')incastrarea(i)

u..

M (necunoscrd)

n lnecunoscut; /Y 0, (necunoscut)

M (ne$noscut)

/H (necunoscrit) t I V (neilnosut)

Figura3.5 - suprimd3 gradede libertate; cu 3 legiturisimple(3 ls sau3 pendulinecoplanari); - esteechivalentd - o forli de legiturd (reac{iune) de valoare gi - introduce: gi un momentnecunoscut, directienecunoscuti sau - 2 fo(e de legiturd necunoscutede direclii (alesein modconvenabil) gi un momentnecunoscut. cunoscute Ca urmare,numirultotalde legdturisimpleale uneistructuripoatefi stabilitcu LS =1.RS +2. A + 3 . i (3 . 3 1 ) c) Gradulde nedeterminare statici (n) - Numim gmd de nedeterminaresfaficd al structurii (nJ diferenladintre numirul de legdturi simple (LS) 9i cel al gradelor de libertate (cL) corespunzitoarestructurii : n=LS -GL (3.32a) g . Nle = (r.RS + n 2.A +3.i)(3.32b) Prinutilizarea acesteiultimenoliunistructurile se clasificd dupi cumurmeazi: . mecanisme- structurile avAndn < 0 gi carenu fac obiectulde studiual Materialelof'; ,,Rezistenfei . StructurlStat c Determinate(SSD)- structurileavdnd n = 0 , gi pentru potfi detenninate carereacliunilenecunoscute din ecualiilede echilibru; . StrueturiSfafic NeDetemrinate * structurileav6nd n > 0 ; in (SSIVDJ cazul acestor structuri,ecualiile de echilibru nu sunt suficientepentru determinarea reacliunilor, fiindnecesariformularea (de unorecualiisuplimentare exempluecualiide compatibilitate a deplasirilor).

126

Rezlstenlamaterialelorll

3.2.2 APLICAREA METODELOR ENERGETICELA SISTEIIE STAT|CDETERMTNATE (SSD) Metodeleenergeticesunt aplicatela SSD Tn scopuldeterminirii deplasdrila potfi in cazulgeneral: Reamintim faptulci deplasdrile - translalii(notatecu u, v, w 9i consideratea fi pozitive in sensul axehr corespunzitoare Ox,Oy,Oz); q gi (notate cu considerate a fi pozitivein sensorar). - rotiri Exemplu: Pentrugrindadin figura3.6, sdgelilew gi rotirile0 l - in secliunea(D): - wo > 0 ; - eo >0.

q">-x m?nmv7

Figura3.6

d

2 ir

Calcululpractical deplasirilorsistemelorde bare se bazeazi pe: 1) TeoremaI a lui Castigliano; 2) Formulalui Maxwell-Mohr. 3.2.2.1. Galculul deplasirilor sistemelor static determinqlle(SSD) aplicind teoremaI a luiCastiqliano PrimateoremSa luiCastigliano,exprimati matematicprin relafia(3.22'y:

u'=0{-

aPi

permitecalcululdeplasirilorin raportcu o forli generalizatdce aclioneazi pe direc{iai. in cazul sistemelordin bare alcituite din materialecu comportareliniar-elastic5. energiapotenliali de deforma{ie(W = W') se exprimi cu relalia(3.14)respectiv(3.15). lnlocuindacesteexpresiiin relalia(3.22)rezultd:

, =>[(+f+]'. (333) i*+f*'ln,. f,9[+]0,. r+,-f+]..] b GA (a q ) hE.l[aqjoG.r oo( aBJj *? L n E A \a q ) care reprezinti exprimareaprimeiteoremea lui Castiglianopentrubare liniar-elastice.

a

?

ir

Rezlstenlematerialelorll

127

@bservafiiprivindnecesitatealuirii in'considerarea termenilorcorespunzitori celorpatrueforturiN, T, M gi M1: 1'. Termenuldin efortaxial(N),trebuieluatin considerare la structurialcdtuite din barearticulate(detipulgrinzilorcu zdbrele),undede fapt estegi singurul efortce aclioneazd;TncazulgrinzilorTncovoiate el poatefi neglijat. 2". Termenuldinforldtdietoare(T),trebuieluatin considerare la grinzilescurte$i < 4); in cazurilecurente,se neglilieazi. inalte(curaportullungime/Tnillime 3o.Termenuldin momentde torsiune(M), trebuieluatTnconsiderare la grinzile Tncovoiate ce sunt gi puternictorsionate(Tnspecialla grinzide fronton);in cazurilecurente,se negl'ljeazd. Ca urmarea considerentelor ficute maisus,se ajungela expresiaaproximativd simplificatd a teoremeiI a iui Castigliano:

,=dI#(#) ,,]

(3.34)

Etapede calcul pentru determi4?readeplasirilor intr-un punct curent A al unei qrinzi static determinate: 1". in secliuneaA se introduceo forti generalizatifictivdastfel: . o forldconcentratd Pu, pe direcliatranslaliei cdutate(Lto,va sau wo ), sau . un momentconcentratfictiv Mo.o, corespunzdtor rotiriiqo @bservafie:ln cazul in care in secliuneaclioneazddeja o fo(i pe direclia deplasiriicdutate, nu se vor maiintroduce forfefictive,utilizdndu-se incdrcareareald. 2". Se scriu expresiileanaliticeale momentuluiincovoietorM(x), pe fiecaredin intervalelede varialiea acestuiasau a rigiditdtiila incovoiere.La scriereaacestor expresiise va line contde forlelegeneralizate fictiveintroduse la punctul1". 3o. Corespunzdtor fiecdruiinterval,se vor evaluaderivatelemomentului incovoietor in raportcu for[ageneralizati?ntrodusiin sec,tiunea A la punctul1": M ,( x) -:+' . a ' in cazulin carese urmare$te oblinerea valoriiuneitranslalii(uo,vo dPo

sau wA ) - --'l'' -' . oM,(x) in cazul in care se urmiregte oblinereavaloriirotirii 9o. dMo^ 4". Se aplici relalia (3.34,),descompundndfiecare din integralepe cdte un interval de varialie a funcliei momentincovoietor.La efectuareaproduselorcorespunzdtoare,se va line cont de faptul ci fo(ele fictive Po gi Mo,o sunt nule. @bservafii: a) in cazul barelor cu rigiditatela incovoierevariabildpe lungime,integralelese vor descompunepe intervalecu rigiditaieconstantS;

R€zistenlamaterialelorll

: ,;

il

b) pentruevaluareacorectaa celordoudtipuride rezultateoblinute(translafie gi respectivrotire),menliondm faptulci uniteillede misurd ale numardtorilor (cantitd{ile ce urmeazia fi divizateprinrigiditatea la incovoierea barei- E.l) sunt; [kN.m3] - in cazuliransla{iilor, respectiv - in cazulrotirii. [kN.m2] pF CALCUL / EXEMPLE

& Exemplul 3.1; Pentrugrindasimplurezematddin figura3.7 se cere calcularea sdgelilor in punctele C 9i D (w. gi wo) precumgi a rotiriiin punctulC (q" ). S e dd E l, = 1. 1 0 1 3 N' mmt.

\v

t,,

L , .,.,.'!z"E.ry rri 2m

6

3m

3m

Figura3.7 Re*olvare a) Galcululsiqetii in eapitul liber C ( w" ) 1". Se introduce o forti fictivd P aclionAnd in acest punct pe direclia verticali (direcliaaxeiOz). 2". Se stabilescexpresiileanaliticeale momentului. Se determindreacliunile 'P.8 (too.g).4 .^-Vo =- -: +j!*=1,333.P+533,33 ^6b

p .z (t . r, =266,667- 0,333' P vu=ff-o o a ).2 a


Se observdfaptulcd apardoui intervale de varialieatAtpentrufuncfia moment expresiile momentului sunt: cdt 9i pentrurigiditate; intervall, pentru x = [o;z]

Mr =- p.*- loo- ' x' 2

intervalll, pentru x e [O;o]

yrr= (266,662 .t). * - to? " - 0,333

Frin derivare in ranort cu forta P. se obtin : intervall: Mr(x)=-P-x - 50 . x2

av'(x) -=-x AP

= (eoo,eor Mrr(x) - 0J33.P).x - 50.x'z

intervalll:

9gP =-0,333'x

AP momentului incovoietorgi a derivatelorsale Tn rela{ia Se ?nlocuiescexpresiile 4!" 3"3t Si se oblin:

w""= ^ 1 ,

i ( - p , x - s 0 ." ,) .( - x) .cx+

2-E-lY d'

*+

.'[f(zaa,aat.p).r - so.x' ].(- o,:il.x).ox 0,333

E.l, d.. linind acum cont de faptul ci, de fapt,fo(a P este fictivi (P = 0), rezultd: Ir.6 w- = - _ . - . iso.*, .6ya -1- . l(- aa,a s. xl , + 1 6 , 6 6 x7',). d x = " z- E.l v i E .l, d'

{i' - ryry:.{|'* ry*+l' =-1- poo = =:+ +s.+oo) - 6400 E.l, 41" E .l, 3 i" E .l, a lo E ' 1 , =- eooku , mJ' l = 9- 0 0 .1 0 t2 N .m m 3= -90mm = -9cm .10" .mm' E'lu'

1

N

Semnul negativoblinut denotd faptul cd sdgeatareald din punctulC se produce in sens inverssensuluiales pentrufo(a fictivdP; prin urmare,punctulG urcd cu 9 cm. b)

(wo)

Pentrucalcululsdgeliiin punctulD (wo),se procedeazdanalog,introduc6ndforla t'. fictivdin sectiuneade la jumitatea deschiderii.RezultS: Va =533,333+0,5'P Ve= 266,667+ 0'5'P '

uj

130

RezistenfamaterialelorIl

AX

7t ze'rv1\@ Yrt

E.ry

@A

'1.,^ t* .,"

Figura3.9 2'-3". Expresiilemomentelorgi ale derivatelorlor ln raportcu forta fictivd P sunt: (l) x e [o;z] Mr(x)=-50' x2 dM'(x) - O AP 1 ? f^^1 .,il/ \ /^.^\ ^^ x - )u' x- = u,J' r' x + l oo,oor' x - )v' x' ( li) x € [ u; J l M (x , = tr,o o---,o o+/ u^- J " r.r"

D M,,(x) = o .s.x AP

(ltl) x e [3;6] M"'(*) = (266,667 + 0,s. P). x * 50- x' - P. (* - l) aMrrr(x) =_o.b.x+3 AP 4". Se inlocuiesc aceste expresii in relalia (3.34) ce exprimi teorema la Gastigliano,lintnd cont de faptulci fo(a P este nuli. Rezultd;

lui

. ro.*' ).o dx+ x-: x- 50'x').o,s' dx+ +''S(ruu,uur' t iF

*" =# 6.t

'13

'rr\

6 6 7 . x* '-)/5.\(0- 0 - 2 s + l l* x= + +- , . jl\'-266, +3l3 ' , 5 . x + : ).d o l" ) - '- E . l, 1 1 3 3 ,3 lo3 E.t, |

^\

i

l.

l'

j lo

.-r 16\ - - , t6 lu * t . [- r: s' .-sr. {: l + z s. t- +] + s o o .2{1l ,- r 5 0. I:l l= 3 l,J 4l', 31, E . l, t ,

= + .I ( i . zr-u-ô^- 5 06 ,2 5 -9 .6 0 0 +i .2 0 0 +8.i00 -5o6,zs+ i4.400- 3.d00- i0.800+ i.- r so) = - r'237's[r.N *, IJ = D3,75mm I E.I

t

c) Galcululrotiriiln capitul liber momentulfictiv Msin acestpunctgi 1". PentrucalcululrotiriiinC (q"), se introduce avem:


V.c=533,333-0,167.M0 Va = 266,667+ 0,167.Mo. q = 100 kNlm

Figura 3.10 gi derivatele Expresiile momentelor lorsunt: (l) x. [o;z] M ( x) =M o- 50'x2 dM'(x)_ n oMo (ll) x e [o;6] M"(") = (200,002+ 0,167. Mo). * - 50 . x2 oM,,(x)= 0.167.x oMo Din relalia(3.34)rezulti:

,. =#

t iL

.x.dx= * x')ox.+ ilruu,uut - 50x').0,167

==l (-so){l' . =l- .1, {l' - B.u.3 .4] = oo.ooo 2.E.tv 3lo E lr 3lo 4 L

E.l,

)"

'

E.l,

1.1013N.mm2

= 4,3333.10-2rad(: Z"ZS')

El Exemplul 3.2: Si se determinecomponenteledupd axe a deplasirii capitului liber al bareidin figura 3.11,a. Secliuneabareieste profil130(A=69,1cm2;lv=g.B00cm4). Se dd R = 210N/mm' $i E = 2,1'105N/mm2.

132

Rezistenfamat€rlalelorll

I'r H-l H*;$::^ 3".

'I', i

\

H I H I Hl- Hl-

V

b)

Figura 3.11 Rezolvare ComponenteledeplasdriicapdtuluiliberA sunt: . uA- translaliadupd axa Ox (orizontaldin punctulA) . wA- translaliadupi axa Oz (verticali)gi ' QA- rotirea(unghiulformatde tangentala axa deformati in sectiuneaA cu axa bareiOx). a) Determinareacomponqntei verticale w4 (figura3.11,a) 1". ln capdtul liber A existd deja o fo(d concentratdcare aclioneaz| pe direclia deplasdriicdutate; in acest caz, derivatelese vor exprima in funclie de for{a reald P=50kN. 2. Se scriu expresiileanaliticeale eforturilorgi se calculeazdderivateleacestora.Se considerdcd sunt doud intervalede varialie (A-8, porliuneaorizontalda barei gi B-C, partea verticald).Se mai observi cd pe intervalulB-C apar atdt eforturidin incovoiere cAt gi din compresiune.Astfel, in expresia (3.33) vom re{ine atdt termenul datorat momentuluiincovoietorM cdt gi cel corespunzdtor efortuluiaxial N. Expresiilemomentuluiincovoietorgi efortuluiaxial, precum gi derivatelelor in

doil nes b )! 10. SE z

pre

raportcu fo(a P suntsintetizate maijos: Derivatain raportcu P Intervalul

Expresia efortului

ra) ta p j

A-B

x. p,zl B-C x e [0,+]

N

0

,0

M

-P .x

-X

N

-P

-1 Y2

M

-2'P-o.-:'2

-2

L

;^: ut l<


133

Se exprimdteoremalui Castigliano:

4.( *^ =*|-io.oo"* *x-xlx+ i{-r),.-rp*l* jf . t t - o-zr )\ ( r F*Ij. =, [iFp c 'nl6 d J c'trfo Dupi inlocuiregi integrarerezultd: l' * i lr [ *'l' lo t lu l wn=EP. 4'* *xox'?1, ? 1 ,.4 ' P ' l, l. Lr l= 50'103x4.103 2j"1Asx69,1.102

i.f+4

504.10 fJ

9i in final wn = 0,138+ 55,717= 55,855mm. Primultermen reprezint5ciepiasareaverticalSdatoratdefortuluiaxial, iar cel de-al doilea deplasareaprodusi de incovoiere.Se observd cd efortul axial are o contribu{ie nesemnificativiin sdgeatatotald(sub 0,25o/o), fiind deci negtijabil. b) Determinareacomponentei orizontale u4 (figura3.11,b) 1". Deoarece?n punctulA nu ac{ioneazi nici o fo(d dupd direcliadeplasirii cdutate, se introduceforla fictivi H. 2". Din Tncdicdriiereale gi fictive (P, q, Hi, eforturile(din incovoieregi efort axiai), precumgi derivatelelor in raportcu forta H sunt date in tabelulde maijos: Derivatain raport cu H

Intervalul

Expresia efortului

l ol

l.aHJ A.B x * [qe]

B-C x * [0,+]

N

H

1

M

- P .x

0

N

-P

0

M

-2.P-e.f;-n."

-x

3".

Se inlocuiesc eforturile gi derivatele lor ?n expresia teoremei-Ti Casiigliano, cont de faptul cd: fndnd

- fo(a H estefictiv5,deciH=0 - daci efortul sau derivataacestuiasunt nule pe un interval,atunci valoareaintegralei in careacesteaintervinva fi de asemeneanuld,

(-*) r,.]=+[n "^=+f[zP-'t') +t,',,-; t'i,]= 1012

x 9.800-10a(* 2,1.105

.qt *1a .+o\ B)

-

l2f,

134

Rezastenfamaterialelorll

uo = 54,42mm' Se observdcd deplasareaorizontalSse datoreazdexclusivincovoierii. c) Determin3rea rotirii q1(figura 3.11,c) 1". Pentrucalcululrotiriise introducein secliuneaA un momentconcentratfictiv Mo. 2'. Expresiileeforturilorgi ale derivatelorlor tn raportcu M0sunt sintetizatemai jos: Derivata?n raport cu Me

Intervalul

A-B

x * p,z] B-C x u [0,+]

Expresiaefortului

f a) latutJ

N

0

0

M

-P'x -Mo

-1

N

-P

0

M

-2.P_0 t'_r,

-1

3". Se inlocuiesceforturilegi derivatelelor Tnexpresiateoremeilui Castigliano(Mo=O)'

4!.p- q . L )

1 f 2"

*)' (-1 )'dx.Jl-t z),r - r.) . o x l= * ^ = r r ,L J(-P l {l"l= = , [r { l' * zp.*lr.g r .l,L 2l o 2 sl,l lo

(

1oe z' 10 4') = -^ + 2'50 o ;,t*ffioo *. luo7 i'T ) en = 0,0295radiani -+ en = 5o18'22". Toate cele trei componenteale deplasdriiin A au rezultatcu semn pozitiv,ceea ce semnifici faptul ci deplasirile se produc in sensul forfelor (reale sau fictive) de pe direcliile corespunzitoare. Pozilia punctului A dupd consumarea deplasdrilor este reprezentatiin figura 3,12.

Figura3.i2

a

1 I

(


135

deplasiriipunctuluiApentrusistemul componentele El Exemplul3.3: Sd se determine dinfigura3.13. de barearticulate Se dau :

i A, = o;5Ar

; o,, = 3oo

Ar = 5cm2

; crz:45o;

E=2,1'105N/mm2; l=3m. I

I

I

I

I

I

= 30" =4

H

'y

P= 100k N

3,13 Figura Rezolvare Se introduce sistemul de axe xOy cu originea in punctul A. Gomponentele deplasirii sunt ur (dupd axa verticaleOx) giva (dupd axa orizontalSOy). : i' a) Componenta verticali ua 1o. in punctulA existi forfa P care aclioneazdpe directieverticald. 2o. in bareledublu articulateale sistemuluiapar numai eforturiaxiale constante,care se determinddin ecua{iilede echilibru:

1 .cosu..= P; fl x=o -+ N ,'co su+Nr = . lI" = o -+ N .,'si n cr, N z' sinctz demaisusrezult6: sistemului Prinrezolvarea


gi, Tnlocuindvalorilefuncliilortrigonometrice,obtinem:

= o'7gz'P; {N''=0'518'P '

3".

|.Nz Derivatele eforturilor in funcfiede fo(a p sunt:

l*=a,ft2;

{

l-t#=0,518 4". Din relalia (3.33) relinem numai primultermen,corespunzdtor efortuluiaxial (restuleforturilor suntnule).Teoremalui castiglianose exprimdsub'forma: ,l

ua=;4

tr-

4 . '1. l o,tl z .p.a , r c z . dEx.+4 J o , s r a . p . 0 , 5 1 8 . d x

Lungimile barelorsunt:

=3,464m; lr,=J-=-+coscri cos3Oo I

{

= 4,248m. l rr=-J-:-j ' coscr2- cos45' t DeplasarearezultS:

.p.(.,++ ,^ =F+ .@,tszf E.Ar

E .A ,

(o,sr 8),.R.r,

P.( _ , n, (o,sra)'l -E 4 , f(o,zaz)' L co sd , -&

"or % l=

f(o,zee)', . ^ (o,sre)'l - 100.103.3.103 t l . t n a . s . t o " ' l "o r sg -'' " *4 5 "l =

un 3,396mm.

b) Componenta orizgntali v6 1o. Se introducein punctulA fo(a fictivi H pe direclieorizontald. 2". Ecualiilede echilibruale noduluiAsunt: +Nr.cosa,r:p; -+ N.,.coscr1 IIX:0 .sina, :Ne'sinaz +H. llv = o -+ N, Din rezolvareasistemuluide ecuatiirezulti:

,N '

=o '7 3 2 '(e +u );

[N. =0,518'P -0,896'H '

3o.

Derivatele eforturilor in raportcu forlafictivdH sunt:


137

4". inlocuindexpresiile eforturilor in teoremalui Castigliano (H=0), 9i ale derivatelor rezulti:

P.t l(o,ttzf , n, 0,518.(-o,ago)l ,, _ '^ - E r\'L c os q -& c o s o , l= 100.103x3.103[(o,zsz)'., 0,464 I -' x 5'102 l"otSO, cos45"l 2,1.105 vn : -l,983mm.

Deplasarea vAse producein senscontrarforteifictiveH considerate. Deplasarea totali

=3,932mm f =fii+4 =F396'*1,98y estereprezentati in figura3.14.

Figura3.14

3.2.2.2.Calcululdeplasirilor sistemelorstatic determinate{SSD)aplicind formulaMaxwell-Mohr FormulaMaxwell-Mohr, in cazulcel maigeneral, c6ndse iauin considerare toate celepatrueforturiseclionale, se oblinedin teoremaI a lui Castigliano prinintroducerea notaliilor: AN _=n.

aP AT

-= t.

aq

AM -=m.

aR aM.

J=lTl.,

aP

b-d

1 38


in consecinli,formulaMaxwell-Mohr pentruun sistemde bare se scrie sub forma:

'rt f t, 'rtrl.m '.M,.m,, I o'* ds +Jti o'*J=; o' "'=*LJ=+ J ot' -.

I 'rN'n,

(3.35)

in aplicaliileformuleilui Maxwell-Mohr, semnificaliatermeniloreste urmitoarea: . N, T, M, Mt sunt diagramelede eforturidin incircdri exterioare; ' ili, ti, [li, lrlti - diagrame de eforturi din fortd generalizatdunitari introdusdin punctpe direcliai a deplasdriicdutate; " (EA), (GA), (El), (Glt)- rigiditateabarei la solicitareasimpld (efortaxial, fo(d tdietoare,incovoiere,respectivtorsiune).

'

@bservalii: 1" Deplasareaciutatd a punctuluipoate fi o transla{iesau o rotire. Dacd este o translalie(u, v, w), atuncifo(a generalizatdintrodusi in punct este o forti concentrati P=1.in cazul rotirii,se va consideraun momentconcentratM0=1. 2" lnterpretarea semnului deplasdrii: daci deplasarea calculati are valoare pozitivd, inseamnd cd ea se producefn sensul forlei generalizate unitare introduse. Jindnd cont de observafiilefdcutein paragrafulprecedentasupranecesitdliiludrii in considerarea termenilorcorespunzdtorieforturilorsecfionale,ajungem la concluzia cd, pentru grinzile incovoiate curente, ?n formula Maxwell-Mohr este suficienti considerarea unui singurtermen,deci:

,') ' =t[J+]

(3.36)

@bservafie: Formula lui Maxwell-Mohrse aplici chiar dacd rigiditateala ?ncovoierea barei (E'[) nu este constantd;in acest caz, integralape lungimea(/) poatefi descompusdpe intervaleunde rigiditateaeste constanti.

ruru

EE

Figura3.15 Astfel,pentrugrindadin figura3.15,rezult5:

,,=lT?0.=+Jn, m,ds.+ftm,ds..#,it m,ds

-

Rezlstentamatedalelorll

139

vor fi - de fapt - de Agadar,integralelece intervinin formulaMaxwell-Mohr forma:

[u.m,.os

d Calculul acestor integrale se face ?n mod practic prin aplicarea regulii lui Veregciaghin,care se poate exprimasub forma:

Jt'r

.ds= frr,,r .rns

(3.37)

unde: rr

flr'a= aria din diagrama(M) cuprinsi intre secliunilede abscisi 0 9i I

i

*n = coordonatadin diagrama(m), corespunzdtoarecentruluide greutate G al

t

ariei Qrr,r.

Figura3.16 @bservalii se aplicdsuccesivpe intervaleunde diagrameleM, 1o. Regulalui Veregciaghin gi legeade varialieconstante. m au monotonia respectiv se va line cont din formulaMaxrrvell-Mohr, 2". Ca urmare,pentruevaluareaintegralei de: a) intervalelepe care rigiditateala Tncovoiereeste constanti (E.lr = const.) gi distincti de cea a intervalelorvecine; b) intei-vaieiedin diagi'ameieM gi m pe care iegea de vai'ialieeste distincti de cea a intervalelorvecine. in tabelul 3.1 sunt prezentatevalorile ariei (On,l)9i ale coordonateicentrului de greutate(xn)pentru c6tevadiagramede momentincovoietor(M), intdlnitein mod curent la aplicafiilede calcul ale deplasirilor. Fentruo buni identificare,intr-unadintre coloane este menlionatgi gradulfuncliei. Atragem de la inceput atenlia asupra faptului cd valoarea coordonateicentrului de greutate(xn)este raportati fali de capdtuldinstdngaal intervalului.


140

Nr. crt.

Diagrama(M)

1.

2.

3.

4.

Grad

-iL

1.rrrr^ .u

x' (gradl)

\.v^ .t 2"

3

x2 (gradll)

L .w^ .t 3"

-'{ 4

X"

1.rt,t^ .z

1 -" {. 5

1"

4

* (gradll)

., 3.*"

X,

? .w^ .n

'rtiltiiifiiillnr'

L, -

6.

t

xo (grad0)

(gradlll)

5.

Tabelul3.l Coordonatacentrului de greutate (xn) (Ortr) Aria

l^

-' {. 2

1o

1o

I -,

I

2

-------L---4

(gradll)

3"

3o I

Trebuie subtiniat faptul cd - in cazul poziliilor (3), (4) gi (6) - este absolut obligatoriu ca in secliunile marcate cu (*), prirna derivati a funcliei M (deci, panta tangenteila grafic)si fie nuld;in caz contrar,formuleleprezentatenu sunt valabile.

I I I

I

t


Etape in calculul deplaslrilor {wo - siqeati si rpo- rotirq) lntr-un punct curent A al unei qrinzi static determinate cu piutorulformulei Maxwqll-Moh{: 1o, Se traseazi diagramelede moment incovoietor(M)i din fiecare fortj elementard dati (i = 1... n, n fiind numdrul fo(elor elementaredate). Diagramelede moment elementaresunt date TnAnexa 5. 2". Se traseazi diagramam, dupd cum urmeazS: din fo(d concentratd ' pentru calcululsigelii wA se traseazddiagrama mun^ unitari Po: 1, introdusi in punctulA pe direcliadeplasirii; ' pentru calcululrotirii qa de traseazi diagramam*^din momentulconcentrat unitarMo= 1, aclionfind?nPunctulA. 3o.

Aplicdndformula Maxwell-Mohr9i regulalui Veregciaghinse evalueazd: - wA - prin integrareasuccesivi a diagramelor(M)1cu (m*o ) - qo - prin integrareasuccesivea diagramelor(M);cu (rn,no ).

/ EXEMPLEDE CALGUL

CQExemplul 3.4: Pentru grinda simplu rezematdanalizatdanteriorcu teorema I a lui Castigliano, (w",wo gi qc ) folosindformulaMaxwell-Mohr se cere calcululdeplasdrilor (gt, : t.1o13N.mmt). = 10OkN,h

( p1''*^1lu'^''iif.

Figura3.17


Rezolvare 1o. Se traseazi diagramelede moment Tncovoietordin cele doud forle elementare q pe consol5 -+ (M1), date: q pe deschidere -* (M2). 2".

Se traseazddiagramelede momentincovoietordin: - forld conceniratdunitardaclionAndin C ---+(rq ) - forli concentrati unitard action6ndln D -.-+( m, ) - moment concentratunitaraclionAndin C --+ (mr)

3". Se determinddeplasdrilecerute: a) Se calculeazesigeata in capitiil iiber w", intei'gdndir41gi apoi Mzeu m1,aBlieand formulaMaxwell-Mohrgi regulalui Veregciaghin; ariilegi pozililecentrelorde greutate ale diagramelorse oblin din tabelul3.1 lindndcont de intervalele de variatieale funcliilor (m gi M) 9i cele cu rigiditatela incovoiereconstantd;avem: xg

o ",

z1[q r-2il*1 [(-zoo) 01[?.r-rrl, ==j: [(-zoo) w. ""c-2q.r,L 3 jLat'l'EtL 2 J'Ls'r't1*

.*,[3 450 6][* c,r]=-ffk* *'l:-equeJt*#;= : -90mm : -9cm b) in mod similar,se obline sigeata la jumitatea desehiderii wo, in locul diagrame: (m.,) se va folosi(mr). @bserva$ie:ln cazul diagramelorde momentcare nu se gdsescin tabelul 3.1 se procedeazdla descompunereaacestorain diagramecu forme geometricesimple gi arie cunoscuti (dreptung hiuri,triunghiurisau parabole). Astfel,diagrameleMr gi mr pe intervalulA- D au formi trapezoidali.Trapezulse descompunein dreptunghigitriunghi, care se integreazdapoi independent.

,r,t.ierpt] *":+ {tt-roo) sJ (+,,r.[F'T) '] (3,,r]-' [;

.,[+ [i.* .)[;,il=, q*#ril#S= El,:'k*,,]: = 123,75mm= 12,38cm

c) Pentru rotirea qc, avem:

qc=

:

tL*

1 t(-zoo\.z o [3 ,,)l*_L,l(? oros) [1 r).]= 11.=1_ [(_zqo) 2€t E .r, z E.ry L '-s -

tr

I

L

[**.''.]=1!*:#q$#

\3 ))

L\3

) \z ))

=4,3s33 (=zzs,) 10-zrad


143

prinutilizarea Agadar,rezultatele suntidenticecu celeoblinuteanterior, teoremei formuleiMaxwell-Mohr I a lui Castigliano. Se observiinsi faptulci utilizarea estecu multmai expeditivigi, de aceea,ea estein generalpreferatiin aplicaliilecurentede calculal deplasdrilor.

deplasiriicapdtului componentele liberal bareidin Q Exemplul3.5: Si se determine 3.2cu teoremalui Castigliano). figura3.18(analizatiin exemplul IA = 69.1cm2 1., t Sedau:

1',=9'Soocma

'

N/mm2 E=2,1.105 P= 50kN

x+

iz YA

H - iz @

Figura 3.18 Rezolvare a) Galculul deplasirii verticale wa 1o. Se traseazi diagramelede eforturi din fo(ele date (figura 3.19,a - diagrama efortuluiaxial gi 3.19,b,c* diagramelemomentuluiincovoietordin fo(a P, respectivq). 0

h

w a)

144


ln punctul A se introduce o forfi concentratdunitari pe direclie verticali (a deplasdriicautate wo) gi se traseazi diagramelen1 gi m1 corespunzitoareacesteia 2o.

(figura3.20,a,b). rP=1

P=1

1., +

H; W b)

Figura3.20 3o.

Se aplici formulalui Maxwell-Mohr,ludndin consideraregi efectulefortuluiaxial:

*^=;[#i*,.n, *.*Jit,+M,)',.o*]=

:d*lu'n,dx.+[i"'m, dx*i*, *,rr] lntegralelese efectueazi cu regulaluiVeregciaghingi rezulti: 106 *o =Ei-[(-50)xax(-1)l+ fi, , 2, , / --\ .l _\ 1. = (-z)+g(-ao)xax(-21 .,10r, t L;(-100)x2xi(-z)*t-too)x4x

#H#*. #ffiffi

=0"1 38 +55'71 7

= 55,855mm.

b) Galcululdeplasirii orizontaleua 1". Diagramele (figura3.19). de eforturidinincSrcdrile datesuntaceleagi punctul pe 2". in A se introduce o forli concentratiunitari direclieorizontald(H=t) gi se traseazidiagramele de eforturin2gi m2,corespunzitoare acesteia(figura3.21). H= 1

Figura3.2'l


145

Se aplicdformulaMaxwell-Mohr: 1 (', I ',. wA=F - lN,.n,.dx+_ |lM,.m,.dx+ E l,[d tr.Ad

it,''..,of

Cu regulalui Veregciaghin,integraleledevin: a n ' tzf

4

4

e

I

= *o= ,iE.[(-roo).+*2 F+)*g(-ao)*4;(-4).J 1.120.1A'2 2J 1o'x9.8oo104 =54.42mm. =

c) Rotirea qn '1". Diagramelede eforturisuntaceleagi(figura3.19). in capitul liber A se introduce momentul coneentrat Mo=1 gi se traseazd 2". diagramelecorespunzitoarens=Ogim3 (figura3.22).

Figura3.22 3o.

gi regulaluiVeregciaghinrezultd: Cu formula Manruell-Mohr (r

t

,

1 . ) o-. ' en=g.4 =.,, Jt,.ms.oxJ= J*,.n. [lt,.mu.dx*

:

.. 1, --\ . /.rl lgsf r (-''l : o. 4" (-t)+ 2x(-t)*F100)x 5(-ao)" =t LZF,00)x

.

606,67 1oe ,E =2rffiggg.10T=0,0295radiani ^ ^4Ê-^*^-: -+ Qr=5"18'22".

suntidentice cu celeoblinute aledeplasdrii cAceletreicomponente Se observd Castigliano. teoremeilui in exemplul 3.2prinaplicarea GI Exemplul 3.6: Si se calculezesdgeata la jumitatea deschideriipentru pana din solicitatica in figura3.23.Se dd: E = 10aN/mm'z. lemn,de secliunedreptunghiulard,

a

:

Rezietenfamaterialelorlt

-> x t

Figura3.23 Rezolvare Sigeata totald se obline prin suprapunerede efecte. Pana de acoperig esn, supusd la incovoiereoblicd. Deoarecefortple actioneazdin plane diferite,se vor trasa diagramelede momentin cele doui plane principalegi se vor determinacomponentsg sdgelii produsede acestea. a) Calculul componentei verticale wc 1"' Se traseazi diagrama componentei Mu a momentului Tncovoietor, dmr componentelefo(elor paralelecu axa principaldOz (fortpleuniformdistribuiteq). 2". Se introduce fo(a generalizati P=1 pe direclie verticalS in punctul C ih jurnitatea deschiderii)gi se traseazddiagramade momentm1 (in ptanulprincipalxOz). 3o. Se aplicd formula lui Maxwell-Mohr, efectudnd integralele cu regula lu, Veregciaghin(figura3.24,a).. t ; '- '1?!-t ' .r, .o*= lu,- | 2*t=.1,12sr1,5 wc= ;f [M" * 3.0,7sI E .l rd , E.tyL 3 B- ' - J

Momentelede ine(ie ale secfiuniisunt;

- 1o]
h.b. ,tr

15x103 a =1.250cm4.

Cu aceastarezultd

*"" = ---1'o51Jot1- = 3,7smm. 10*x2.812.5.104

b) Calculul componentei orizontale v" 1". se traseazd diagrama componentei M, a momentului lncovoietor, din componentelefo(elor situate?nplanulprincipalxOy (figura3.24,b).


147

Figura3.24 2"' Se introduceforla generalizati P=1 pe direclie orizontaldin secliunea C gi se faseazd diagramade momentm2. 3". Cu formulalui Maxwefl-Mohrrezulti: 'r-1o12f I 2 1 Vc=E1l , J M,.m,,d*= ;"rl z, ; . ( _ lS ) x 1 5 " i o , z Is ..' rd e .trl z 3 |

-11'12! u =. -10t,',==-gmm. "' 104.1.250.104 SdgeatatotalAin secliuneaC este

t" = Jwai 4 =!875t;rt =e,75mm Direc{iaeieste dati de unghiulofald de axa Oy = -2,4-+ 6,= -o1o22,4a*. tg' = Jo = * wc J,/5

3.2.3 APLIGAREA METODELOR ENERGETIGELA SISTEME STATICNEDETERMTNATE (SSNDI Metodele energetice sunt aplicate la SSND in scopul ridicdrii nedeterminirii statice,adici pentru determinareafo(elor de legdturd necunoscutece exced numdrul ecualiilorde echilibrustatic^ Un sistem de n ori static nedeterminatse poate transformaintr-un sistem static determinat.numit sistem de bazd (SB), solicitatde for{etedate gi n fo(e de leg6turi necunoscute. Trebuie subliniatci sistemulde bazd nu este in general unic, pentru o aceeagi structurd putAnd exista mai multe sisteme de bazd. De exernplu,pentru sistemul din figura 3'25 avdnd gradul de nedeterminaren=3 se poate alege ca SB oricare din variantelea, b, c, d sau e.

148


x^

@

--+ S.S.D,

\' * /k xl

3 fo(e necunoscute(X,,)L, X.)

i--

l c xctl ,

#

Yx,

:ry*

le .d,

^1 ,#o

T-F

le I

,rr-

i, Figura3.25 Dintre numeroasele sisteme de bazi corespunzdtoareunei structuri static nedeterminate,unele sunt avantajoase,iar altele (total) dezavantajoasedin punctul de vedere al analizei viitoare. De aceea, una dintre problemelede extremi importanldTn studiul SSND este alegerea judicioasd a sistemuluide bazd (SB). Ca idee de bazd, mentiondmfaptul ci se va avea in vedere oblinereaunui sistem static pe care trasarea diagramelorde mornentenecesaresd se facd cu ugurinldgi sd permiti un calcul facil gi expeditivpe intervalelece apar, indiferentde metodade rezolvarealeasi. La baze aplicirii metodelor energetice la SSND sti observalia de importanld majord cd: deplasdrile reale ale punctelor SSND in care s-au supimat legdturi, pe direc,tia forlelor de legdturd necunoscute introduse in locul legdturilor suprimate, sunt nule. De exemplu,referindu-nela SSND din figura3.25 gi la SBr, se observdcu ugurinld faptul cd transla{iilepe orizontaldgiverticaldin punctulB gi rotireaacestuia sunt nule. Pentrucalculu!forlelorde legdturi necunoscutese apeleazdla doud nnetode: Aplicareateoremeilui Menabrea; Jt". 12". Metoda fortelor (metoda eforturilor).

t


149

3.2.3.1.AnalizaSSNDprin aplicareateorqmeilui Menabrea Teoremalui Menabrea reprezinti o particularizare a teoremeiI Castigliano pentrucazufSSND.Aceastas-arputeaenunlaastfel:,,lnoricaredin puncteleSSNDin care- pentru oblinereaSB - s-au suprimatlegdturi,introducilndu-sefoftp de legdturd, deplasdilerealepe direclia acestorforle necunoscutesuntnule". Pi din cazulteoremeiI a lui JinAndcont de faptulcd rolulfo(ei generalizate (de la SSD)estepreluatde forlade legituri necunoscutd Castigliano Xq,teoremalui poate Menabrea se exprimamatematic, in cazulcelmaigeneral, [email protected]$:

a , = d W*=o ' oX'

(3.38)

(3.1a)9i (3.15)ale energieipotenliale sau,linAndcontde expresiile complementare de deformalie:

. l# t#).'. i#[#J." . i# [#).'l=' ^=n[l* i#)0.

(3.3e) fdcuteasupranecesitiliiludriiln considerarea finAnd cont de observaliile termenilor corespunzdtori eforturilor secfionale, se ajungela concluziaci, Tncazurile grinzilor curenteale incovoiate,teoremaMenabrease poate exprimasub forma apoximativd restrdnsi:

^=;[i*(#)0,]=o

(3.40)

Se remarcdfaptulcd se pot scrien ecualiide forma (3.38),(3.39)sau (3.40),c6te una pentrufiecareforld de legdturi necunoscutd. Etape de calcul oentru ridicarea nedeterminirii statice a unui $SND. utilizAnd teoremaluiMenabrea: 1o. Se stabilegtegradul de nedeterminarestatici a structurii,cu ajutorul formulel

(3 '32 ' b ) : 2".

n =(r.n s+2 .A +e .i )- e.Ne Dupi o atenti analizd a avantajelor ce le-arputeaoferiin calcul,se alegeun

sistemde bazd (SB), prin eliminareaa n legituri simplegi introducereain locul acestora a n fortp de legdturi necunoscute(Xt,X2,..., &). 3o. Se scriu expresiile momentuluiincovoietorM;(x) pe fiecare din intervalelede varialiea legiiacestuiasau a rigiditi{iila incovoiere. 4". Corespunzdtorfiecdruiinterval,se vor evaluacele n derivatede forma; aMl(x), undei= 1 ... n . 6xi 5". Se scriu apoi cele n ecualii de forma (3.40) ce vor conduce la obtinereaunui sistemcu n necunoscute.Prin rezolvareaacestuia,se ob{invalorilefo(elor de legdturd necunoscute,astfe!cd nedeterminarea staticdeste ridicati.


dinfigura3.26,se ceretrasarea [[l Exemplul3.7: Pentrusistemulstaticnedeterminat diagramelorde eforturi. a)

l'*-

kN i n ' {q :5 0

tsm

o t_i-*-11_* \e.rG.i7 Y.

I

t

't-+t*

'

/q:50

kNlm

rTTTN r:.tllllj {ur v/,

a ,t.t.,

.|:**-f \

w

,f

tL

+---lL---+

200kN

(q atlll!j

lP=

= 50kN/m

i:-rrn

v./t ze.ty

' .+

t

rr

4

-f |I zza,sz

n +

x .- >

| ,43*X* 7 I '',

E'ly

r

3m

Figura3.26 Rezolvare 1o.

gradulde nedeterminare statici: Se stabilegte n = (t.1+2. Q+ 3 ' 1 )-3 . 1= 1 fiind necesari suprimareaunei Sistemuleste deci o dati static nedeterminat


151

graduluide Se alegesistemulde bazi din figura3.26,bobfinutprinsuprimarea T. grindi rezematd o simplu astfel Se ob{ine din incastrare. rotirii bertate corespunzdtor corespunzdtoare legiturii Xr (momentconcentrat) incdrcatd cu forlpledategi reacliunea simplesuprimate. sistemuluidebazdse obtindin ecualiilede echilibrustatic: Reacliunile =o; 7vB -x1-200.3+5 0 . 2 . 1= 0 fMo = 0; 7V o+X , -2oo'4-50 ' 2 ' B = 0 IM, Rezulti: =228'57*) V^ ''

t

V^= 71.43+& 7 (figura3.26,c),gi se scriuceletrei 3". Se alegtrei intervalede varialiea momentului expresiianaliticealeacestuia: (l )x e[ 0; 2] r r ( l) r ,.r i v i \^ r - - -

cu ' X-

2 or-2 -- - L r

(11)xe[2;5] trilr1x)= -(50.2).(x-1)+( 228,57-*l.t*-tl' I

(lll)xe [0;4]

4o-

_*). * ; = _xr +(71,4g M(ilr)(x) 7' Se calculeazdexpresiaderivateifiecirui momentin raportcu necunoscutaX1:

aMr(x) _o 6X,,

x e [0;2]

aMIl(x)_ _*-2 7 dX,

xe[2 ; 5 ]

aMrrr(x) = I_1 7 6X,

x e [0;4]

se exprimdcu relalia Se impunecondiliaca rotireain reazemulB si fie nuli;
*,=fri(-

+ zs'x')'o]ox

+ 100+ 228,57.x-+ .+i[-'oo*

t

"

- 2 ]o ** .[* + ? *.) - 457,14 ' , )\

*!'7l) -x.l l,i-'.)o* .-f [. (t''ou ,l t7 )

7

7 )

152


.p,=#T.i[- (,'ru,t' (2- x)dx+ - +) .(1 ru',,'*)] ",-

.+i[,.[',,0.. +)-*,][;-')o-=

2#'*ssr,,o)].0"* = . ]) * *.(rur,ro ++i[-' [-,'tt,ut .+'!(+ x1-714,"8) .-.*i["'. . . * x" ['o,ro*) - [- + +- zr,+s)

=#t[[- +) *1,. [0,+,ze - * ^,)+1. . (i ",-,.oru) ",*,s7. -';l-

. . r,t

tr

" t +l' .(-r-!-r,,or'l 3 1.'( 7 "r z t o .l:l: ) +l'.*,

1[ ' o'2 0+fr)

+ z,tsx,) -rc,s+'x., - ya+,iz = -ay!! . l2g JL* z'(-gss,az 7.E.ly

Dincondilia ss-0 *

7.E.ty

7.E.ly

=194,87kN'm Xr' =u121^?'

16,34 Astfel,s-a ridicatnedeterminareastatic6. Diagramelede eforturise traseazdacum prin metodelecunoscutede la sistemele staticdeterminate(figura3.26,d).

3.2.3.2.Analiza SSND utilizinci metoda fo4elgr (sau metoda eforturilorl La baza acestei metode std observafiacd deplasdrilereale in puncteleSSND in care au fost suprimatelegituri gi unde au fost introduseforfe de legdtur5,pe directia acestorfo(e, sunt nule. in cazul acestei metode,cele n ecualii (corespunzdtoare celor n forle de legdturi necunoscute: Xr, Xz, ..., Xn ) se scriusub forma: Ai =6,,'X., +0,r.Xz +'...+6,.,'X,+... +6,n.Xn+A,o =Q (3.41) = unde i 1...n. Semnificaliatermenilordin (3.37)este urmitoarea: Ai = deplasarea totald a punctului ssND, pe direclia forlei de legiturd generalizateXi ; = Ei; deplasareapunctuluipe direcfiaforlei I din acliuneafor[ei X1= 1, calculati Pe SB; = A;s deplasarea punctului pe direclia forfei Xi din actiunea forfelor exterioare date, calculatdpe SB. Calcululdeplasdrilorpe sistemulde bazi (staticdeterminat)se face de obicei cu formula Maxwell-Mohr.

153


Etape de cgrlculpentru ridicarea,nedeterminiriist*Lce a unui SSND. utilizdnd

@@!er:

Se stabilegtegradulde nedeterminarestatici al structurii:

1".

n :(r.ns +2'A +si )-s r r r a . Dupd o atentd analizda avantajelorce le-ar putea oferi ?ncalcul,se alege un SB 2". (prinefiminareaa n legdturisimplegi introducereain loculacestoraa fortplorde legdturd Xr, Xe, ..., & ). necunoscute 3o. Se traseazi, pe SB ales, diagramelede momentincovoietor: Mo* - din fiecare forld elementarddati (prin suprapunerede efecte); k = 1...m, unde m = nt. de fortp elementare. mi - din fo(a de legiturdXi = 1; i= 1...n' regula de 4". Se calculeazd coeficienliift gi A;s,folosind formula Ma>
1" | ',1 lA , o = l= M o -

t n1. - . m , . dx =

l; ( M o,

.m , +M o r 'f f i i *. . . +M o ,

.m,)dx

dE, t dEl gi de n ecuafii avind ca necunoscutereacliunile sistemul 5". Se formeazd se rezolvd staticnedeterminateXr,definitde ecualiile: A,:0,cu i=1...n a1

6,,'X.

5.,'X ,

a n' x .

5,rlx,

: 6nr'Xr

6 n z' X

++

: ai

:

!I

I

+ ... +

6,;.Xt : 6,,'X, :

+ aro

0

*

0 (3.42)

6 .,i .X i

+ 4",

4,,

=0

Prin rezolvareasistemuluide ecualii (3.42),se oblin valorilecelor n necunoscute staticdeste ridicatS. Xr, Xz, ..., Xn giastfelnedeterminarea "/ EXEMPLEDE CALCUL

!A Exemplul 3.8: Se cere ridicareanedetermindriistatice a sistemuluidin figura 3.27 (analizatanteriorprin aplicareateoremeilui Menabrea),utiliz6ndmetodafortplor-

154

vr

/l


f***

,., I 2.E1y

q = 50 kN/m

v

r**^

z

,2m,-3m,-4m

Figura3.27 Rezolvare 1".

Se stabilegtegradulde nedeterminarestaticd: n : (1.1+ 2.0 + 3.1)- 3.1 = 1 2". Se alege sistemulde bazi (figurag.2l,b) 3". Pe SB se traseazi diagramelede momentTncovoietor din forfeledate {fig. 3.28 a, b) gidin fortageneralizatd (fig. Xr 3.28c). q = 50 kN/m

,'' y Z'E)y y./ I

f**--

E-lv

rzl

a) b)

X t =1

Figura3.28


155

gi As: Se calculeazd coficienlii6n f.4

4,.,= [=f m1.m1dx EIv d

u"=+[;(-1?] [3u,,]= i o ' o=

,, 1

( t o ' ,+Mo r)'m,d x Jr,, r tr I 1 11

t (1 =, 2.400r,Jlz f g) ]. rl (-1)J*+ o'.==,, (-100) ") tt L. L; L; [-r,,1

' l ( , - 9*)J - . ( ! .2 ' 4 o o4 ) [1 r - 1 ) l= 4 5 4 .7 6 " JEly( -( ! 2. 2 . 470 0 o)\7) E ty\2 7 )1 3 \ 7 iJ in acestcaz,sistemul(3.42)confinedoarecualia: A , = 6 rr.X , + A .o = Q;

=o --+ Xr = 194,90kN.m ! .*, - 4s4,To 3 oblinutprinaplicarea metodeifo(elor esteidenticcu cel Se observicd rezultatul dar cd aceastdmetodi este mult mai oblinutprin aplicareateoremeilui Menabrea, expeditivd.

E Exemplul3.9: Sd se trasezediagramele de eforturipentrugrindadinfigura3.29.

Figura3.29

Rezolvare Se stabilegte gradul de nedeterminarestatici. Aplicdnd formula (3.32.b) n=(t'RS+2'A+3.i)-S.ru4 se obline n = 3. Observdndcd toate fo(ele ce ac,tioneazisunt verticale,rezulti ci reacliunileorizontalesunt nule gi, implicit,gradulde nedeterminarestatici scade la n = 2 - De fapt, gradulde nedeterminarestaticdreflectd numirul reacliunilorce excede numdrulde ecualiide echilibrustaticce pot fi scrise;in cazulplan, acest numdrfiind 3, rezultdcu ugurinli ci numdrulde reacliunisuplimentare este 2. 1o.

156


2". Alegem sistemulde bazi din figura 3.30.a,oblinut prin suprimarearotirilordin incastriri. 3". Se traseazi diagramelede momente - din fo(ele date Mor- din fo(a concentratdP (fig.3.30,b) Moz- din forla uniformdistribuitdq (fig.3.30,c) - din fortplegeneralizateXi=1 mr - din Xr=1 (fig'3.30,d) mz- din Xz=1(fig.3.30'e) 4". Se calculeazi coeficienlii5rr (integrdnd(m1)cu cu el ?nsugi),&z = 6er- integrdnd (m1)cu (mz),6zz- integrind (m2)cu el insugi gi Als respectivA2s- integrdndambele diagrameMs cu (m1)gi respectivcu (m2).

Figura3.30

Rezlstenlamaterlalelorll

-4;.. - ' 1=--L[] ,-,l ,1 lL.(-1)l= ',J 6.E .ly E .ty J L3

L2

't rt nI . ,i t (. - 1, l) l = 1 : t o.,=+ 6 E rv L3 LZ't - t l I r't 2'! 6,=rt. l, t - rl nI , t-? r-.'''l= . ,l 6.E ty L3

1 (t pab

-\'o=E.lu lZ n

_o) f 3 r _q) ] . [1 f_ el.r_q ]ln1 . ( ! t : 3] r "li L3\t) \7J J -E . r , \ , /13\t))

- +t3f ') l+( -')] +=T ; r ' ( " * 3 b ) + o z o l - + # = = -^ J . f r y( .' . (a+3.a.b , + , o,t*1911 4 6 .E.l vL )

p.a.b .\

(t

(t P . a . b \ [ z I a )l t lt f b\ / a)l r,'=E [z n "J Ld[-zJJ. [ \z n 'J Lr [-zJ.[-z)j*rr, t

* i .( ! . o'u'. nl i r l - r',_] i:E . l y [3

B

= -= j , f = f 6-E.1,I t' 5".

) L2 '

i . a + . [ u .iu *s.a ) +a .2 .a 1i- .q ' t' -

E .l, 6.r

E . l, 2 4

. (b ' * 3 .a .b+ z.a \ +!!3 4

Se formeazdsistemulde ecuataal .X', + 6,r.x, + A.,o = o [6.,., 16r,'X, + 6r,.X, + Ln = o l- .. lz.t.x., +

I

t.x"

P 'a'b ;--(a2+3 ' a . b + 2 . b 2 )

-

l.'

b'z) Ii'l'n.x, + 2.r.x" - l-g-q .(2az+3-a.b+ Prinrezolvarea sistemului de ecualiioblinem:

x,,=LFt,.# , ''=*p.a2

.b

l,

_e. * r.' 12 ' Vomfaceacumurmitoareleparticularizdri: (1) dacd P = 0, atunci = A2 =-q ' tt X.1-Y n

fi: iar momentultajumitateadeschideriiva M'"- = 9 ' l t 24

,

q.t4 a.13 = 4

t158

Rezistenta materialelor ll

(2) dacd 9=0 gi o:b=f,atunci 2' X.=X^=P'1 4 jumitatea iar momentulla deschideriiva fi: M^:0.

Xr

l q .l.2

TI

lz

o.t'

l8

@

I ,t

2\

Figura3.31 Diagramade momentefinald se obline prin suprapunereadiagramelor(1) si (2) din figura 3.31, sau particularizdndvalorile a, b, ( 9i P, q 9i tras$nd diagramelede eforturipe sistemulde bazd. Considerindq= 30kN/m,P=100kN,a=2m, b = 4m gi /=6m, oblinem: x. =1!.4+ '6212

30'62 =

^,=19#!.1f

178.89 kNm

=134,44 kNm


X, = 178, 89 kN'm

159

x,= 134,44 kN.m

V" = 115,93

@ tr.rut 115,93

134,44

@ ttx*t 13S,58

Figura3.32

= 0 V s= 1 1 5 , 9 3 k N - 0 ; o V.-134,44+178,89-30.6.3 -1 0 0 , 2 -+ -+0 V n= 1 G 4 , O z k N IM " =0 ; o Vo+134,44-178,89-30.0'3-1 0 0 . 4 = Iu^

T(x): 164,07-30 -2-3Ox: 0 -+ * --Y: 30

0,135m

1'195' M,.*= 164,07.1,135-178,89-100'0,135-30.: 138,58kNm. 2 reprezentate Diagramele de eforturisunt in figura3.32.

CJ Exemplul3.10: Sd- se determinefo(a capabild pentru grinda din figura 3.33 [1..= 7.s90 cmo alcdtuitidin profill28{.v . Se dd R=210N/mm2. _-" = cm" 542 lW"

Figura3.33

160

Rozi$tenfamaterialelorll

Rezolvare Se riciicdmaiintii necjeterminarea siaticda grinzii. Grindaeste o datd staticnedeterminatd. Se alege sistemulde bazd din figura 3.34.a,prin suprimareareazemuluisimplu

1". 2". din A. 3o. Pe sB se traseazi diagramelede momentedin forlele date (Ms1gi Moz- figura 3.34,bgic) gidiagramam1din Xl=1 (figura3.34;d). 4". Se calculeazi coeficientii:

u,,=*j*.*, ,,.=+[* uu36.1. r;.]:i.f .ffi,.ox* iu* .', c".l= = ^,, {[jror

= + Liesse-Jseu3u-*t 33 I'r . 3 ']= =*('' .2so-s2,sp) Et..' I

5o.

Sistemulconlineo singurSeeuaiie: 6.,rX.+A,o=0. Dupd simplificarearigidit5lii(Etr), rezultd: 132X1=$1,5P-1'250

a)

b)

c)

d)

Figura3.34


161

giastfelreacliunea ciutatdeste: X, =0,3977'P-9,4697. Pentrustabilirea fortpicapabilese parcurgin continuare aceleagi etapede calcul grinzilor ca 9i la incovoierea simplda staticdeterminate. 6o. Dincondilia de rezistenld se determind momentulcapabilalsecfiuniibarei: = = = 113,82kNm M."p w, 'R 542'103'210'10-6 . periculoase 7". Se evalueazimomentul prinsuprapunerea in secliunile efectelordin fo(eledategiforlade legdturd X1: distanleiBC): - in secliuneaE (lajumdtatea .P - 9,4697) Me= 125- 1,5.P - 3X1= 125- 1,5.P - 3(0,3977 M, = (153,4091-2,6931.P) kNm; - in secliuneaB: .P -9,4697') . Ms= -3 'P + 6X' = -3 'P + 6(0,3977 .P- 56,8182) M" = (-0,6138 kNm.

X, = 27,46kN

Figura3.35 8". Se pune condilia ca momentul in sectiunile periculoasesd nu depdgeascd valoareamomentuluicapabilal sec{iunii:

lMl
162


<113,82-+ P*n> 14,70kN 153,4091-2,6931.P * 153,4091 +2,6931.Ps 113,82-) p*o < 99,22kN - in secliuneaB

j- o,otaa.p- 56,8182i -ZT8,0 kN (nu convine) 0,6138.P + 50,8182<11982-+ pap < 92,86kN Dintre toate soluliile oblinute se selecteazd valoarea minimd gi pozitivd, rezultAnd: P"uo=92,86 kN p=Pcan Diagramelede eforturipentru sunt trasatein figura3.35.

PROBLEMEPROPI.JSE ex Problema3"1: Pentrugrindadin figura3.36se cere si se determinesigeata 9i rotireala jumitatea deschiderii N.mm2.Se 9i in capdtulliber.Se di (Elr=1,2'rOt31 recomandd aplicarea formuleilui Maxwell-Mohr.

Figura3.36 Rdspunsuri: wc = 15mm,gc = 0,0025 radianiiwo = *27,5mm,go= -0,0108radiani.

0x Problema 3.2: Pentru grinda simplu rezematd din figura 3.37 sd se determine sdgelilein secliunileC,D 9i F. 2qa

J +-r la

+ Figura3.37

t

-

o til

,163


Rdspunsuri: w^ = 37.339a ; wD= 6,3394;uF = 26 qa3. El u tr t, Ety

ox Problema 3.3: Si se determinesegeatatotald la jumdtatea-deschiderii gi in capdtul liberpentrupana de acoperigdin lemndin figura3.38. Se dau:b=12cm, h=20cm, E=104N/mm2.

) ','L ',u )

'," ) ''o)

a=20'

Figura3.38

Rdspunsuri: lc = 21,92mmifo = -12,80mm.

s Problema 3.4: Se se traseze diagramelede eforturi pentru grinda static nedeterminatd dinfigura3.39.

P= 1 2 0 kN

q = 30 kN/m

@

J"

@

@ /\

o

J." I '* J Figura3.39

Rdspunsuri: Mr = -202,5kNm;M" = +146,25kNm i Mg= *135kNm.

164


s Problema3.5:Sd se geseascevabareaforfeicapabile careactioneazigrindadublu incastraticu secfiune"T"dinfigura3.40.Se dd: R=210N/mm2

20Ox14mm

/n ZN ',

L

il

8m

l.

Figura3"40

Rdspuns.' Q",o= 21'55kN/m '

0* Problema 3.6: Sd se dimensioneze din profil | (R=210 N/mmz) grinda nedeterminatd din figura3.41.

I'

T Figura3.41

Rispuns.' lMl.* = 135kNm-+ profil 130.

t

\ Rezistenfamaterlalelorll

165

Gapitolul4

BARE SOLICITATEPESTELIMITADE ELASTIGITATE gl 4,1 pROpRtETATtLEMECAN|GEALE MATERTALELOR IPOTEZEDE CALGUL Analizastirii de solicitarea barelorrealizatdin capitoleleanterioare a admis,ca liniarelasticia materialului. Astfel,legeaconstitutivd se i:otezi de calcul,comportarea prinrelalia exprimd o=E'e (4 . 1 ) refaliecunoscutdca legea lui Hoake (figura4.1,a) S-a considerat ca stadiu limi6 elastic starea de solicitare in care tensiunea extremdintr-un puncteste egald cu valoarearezistenleide calcula materialului. Comportarea materialelor pAnd la rupere este descrisi de diagrama o-s schematizatri (curba caracteristice).in figura 5,1 sunt reprezentate aceste curbe schematizate corespunzitoare unui material elastic ductil (figura 4.1a,b) respectiv casant(figura4.1,c) (5

or

a) maierialideal elasto-plastic

b) matefialideal elastiecu consolidare

c) materialidealelastic

Figura4.1 Se poate observa ci in cazul materialelor ductile cu stare de deformare neomogeni pe secfiune,atingereastlrii de curgereintr-un punct nu implicS,in general, stadiul de rupere (cedare).Aceeagi observalieeste valabild gi pentru sistemele static nedeterminate.Se pune astfel Tnevidenld o rezewd de rezistenfd in raport cu stadiul la care se face dimensionarea. Pentru analiza comportirii barelor peste limita de elasticitate se admit urmitoarele ipoteze: (a) Relaliatensiuni- deformaliieste exprimatdprin modelulideal elasto - plastic (curba lui Prandtl, figura 4.1,a); se adopti deei eomportarealiniar elasficd pdni la curgere urmatd apoi de comportareperfect plasticd (E=0) p6ni la cedare:

166


(b) Deformaliile geometricd suntmicipdndla cedare(liniaritatea a problemei); (c) lpotezalui Bernoulli(a secfiunilor plane),pentrubarefird slibiri de sectiune. in consecinli,distribuliacieformaliilor specificepe secliuneln stadiilepostelasticeesteasemenea celeidinstadiulelastic. Analizastdrii de solicitareintr-o secliunegi evolu{iaacesteiapdnd la cedare, refevdexistenlamaimultor stadii de solicitare: ' stadlul elaslrb ln care toatd sectiunealucreazd in domeniul elastic

I

de stadiul curgerii defihrd definitprin ' limitastadiuluielasticeste reprezentatd faptulai, in punctulcel maisolicitatal sectiunii, aparecurgerea(e,"* =ec gi o,"* =o"). Restulsecliuniilucreaziin domeniuldecomportare elasticd. 9bservafie: mirimile geometricegi fizice corespunzitoare acestuistadiu se noteazicu indicele"c". ' stadiul elasto-plasfrcapare atunci cAnd o parte a sectiuniilucreazi in domeniulde (e""gi o:o"). Acestamai este numitgi stadiude cedare sau stadiu limitd. Din punctde vederemecanic,atingereaacestuistadiucorespundecu pierdereauneilegdturisimple. @bserva{ii: (1) Mirimile geometricegi fizice corespunzdtoare acestui stadiu se noteazdcu indicele"pl". (2) Pierdereaunei legdturisimpleeste echivalentdcu dobindireaunui grad de libeftate suplimentar.in acest stadiu,sistemelestaticdeterminatese gi cedeazd. transformd in mecanisme Sistemelestatic nederminate se transformdIn mecanismenumaiatuncicind stadiulplastica fost atinsintr-unnumdrde secfiuniegalcu gradullor de nedeterminare plusunu. Vom consideraln continuareca stadiu de cedare (limitd sau ultim) al und sttucturi stadiulin care igi pierde proprietateade indeformabilitate geometricdgi se transformdin mecanism,Acesta va fi numit mecanismde cedare iar fo(ele care il producvor fi numiteincdrcdri limitii gi notatecu indicele"lim".

(r i1 f,

Rezietenfamaterialelorll

167

4.2 ANALIZA POST- ELASTICAA STARIIDE SOLTCITARE PE SECTIUNE , 4.2.1SOLICITAREA AXNLAiT.IOOUEruIUL POST-ELASTIC Stareade deformafieintr-o secfiunesolicitati axialin stadiulelasticeste uniformd (figura4.2,a).in stadiulcurgeriide fibr6, distribuliadeformaliilorspecificeeste, conform ipotezei(c) asemeneacelei din stadiulelastic (figura4.2,b), ceea ce implicdfaptul ci fenomenuldecurgereapare simultanin toate punctelesec{iunii.

b)

a)

@@

@@

Figura4.2 Se observi cd atingerea stadiului de curgere de fibri coincide cu atingera stadiuluiplastic.Efortulplasticeste N p r= N " :A ' o "

(4.2) NI

Secliunilesolicitateaxial nu au rezervdde rezisten[d,raportul ] tiinO unitar. N" Atingereaefortului plastic Nprintr-o secliune a unei bare static determinatesolicitati axial presupunetransfornnarea acesteiaTnmecanism;bara se deformeazifiri a prelua p6ni efort suplimentar la cedare(atingereadeformalieispecificeultime eu).

4.2.2INCOVOIEREA POST.ELASTICA ln secliunile barelor incovoiate in domeniul elastic, distribulia deformaliilor specificeliniare este liniard (figura 4.3,a). Curgereaapare mai intAi in fibra extremd, restul secliunii lucrAnd in continuare in domeniul elastic (figura 4.3,b). Efortul corespunzdtorstadiuluide curgerede fibrd este (4.3) M" = W,'o"

168


@@ €66< 8" 6.;n(

NT;

o"

'ftH M"=w r.6"

M o
Figura4.3 PentrueforturiM t M", sec,tiunea se comportepa4ialelasticai pa(ial plastic (figura4.3,c).Se poateremarcaprocesulde plastifiere, carese propagedinsprefibra maxim solicitati. Pentruasigurareaechilibrului, au loc redistribuiri de tensiunipe secliune9i axaneutriigi modificipoziliafaldde stadiulanterioral curgeriide fibrd. Stadiulplasticestereprezentat in figura4.3,d.lntreagasecliunese considerd, in modidealizat, a fi in curgere.Dincondiliile de echilibru N= f,o".dA =0+A, = A " 9i

Mo '=f,o ..z .dA - ) M=6" " [ k d A .

k

.o]

rezulti cd (a) axa neutrA(np- np)in stadiul plasticimparte sec{iuneain doui p5(i de arie egald; (b) momentulplasticpoatefi exprimatsub forma,similari stadiuluielastic Mol = \1

'o"

(4.4)

undeWprse numegtemodul de rezistenldplasticAise calculeazdca sumi a momentelor staticecorespunzitoare ariiloregaleAi gi A" separatede axa (no-no): neutrd Wpr= Si +S" (4.5) Atingereastadiuluiplasticintr-osecliunea uneibareincovoiate esteechivalentd din punctde vederemecaniccu formareaunei articulalii plastice,deoarecerotirease poateproduceliber 9i sec{iuneafunclioneazica o articula[ie. Articulaliaplastici se deosebegte de articulalia structuraliprinurmitoarele: . rotirease facesubmomentconstantM=Mo'fin articulatiile structurale avem M=0); . rotirease producenumaiinsensulincarearticula{ia plasticis-aformat(nu estereversibilS). Rezeruade rezistenfd a secliunii unui elementincovoiat se exprimi prin valoarearaportuluidintreeforturilecorespunzitoarestadiuluiplasticAi limitastadiului elastic(curgerea de fibrd): o=M t -= wo ' M . W,

L

(4.6)


numit gi caeftcient de adaptare plasficd a secfiunii. Valorile acestuia pentru secliuni uzualesunt: . secliunedreptunghiulard : a=1,5 . secliunecirculari : a =1,7 . sec{iunesimetrici | a=1,17. : I EXEMPLEDE CALqUL

pentrusecliuneadinfigura4.4. rezervade rezistenld [E Exemplul4.1: Si se determine

Rezolvare a) 1o.

Se determindpozi{iaaxei neutre(n -n) 20x1,4x 0,7+ 50 x 0,8x 26 a ,

t"=ffi=15,82cm

2o.

(W, ): Se calculeazimodululde rezistenle ,'v-

*'

0'8x-503 20x 1'43 + 0,8x 50x 10,582: 19.216,56cma * - + 20x 1.4x 15.122 12 12 =no.219,5q:540cm3.

-ar,uu

b) Caracteristici qeometrice in domeniul nlastic (figura4.5) 7,5 n-

21,25 cm 500xBmm

Figura4.5

4,' 4 2,5 c m


170 10

Se determini poziliaaxei neutre(np-np) din conditiaca

A r=A z=1 2 A :20x 1,4+50x0,8= 68cm2 Az = xn.0,8 =

2".

AFI

;

J Xn = 42,5cm.

Se calculeazd modululde rezistenfd plastic S/01= S.,+Sz 7q Sr : 20 x 1,4x8,2+ 7,5 x 0,8 x !! = 252,1cm3

Sz: 42,5x 0,A*4 '2

=722,5cm3

+722,5= 974,6cm"' Wor= 252,1 c)

este

"=Wl=W=180 @bservalie: pentru sectiunile nesimetrice,valoarea coeficientuluia este mai mare decAtla cele simetricecu aceeagiarie.

UM|TA ITCANCANIUON 4.3 DETERMINAREA Calcululstructurilorin domeniulplasticare ca obiectiveprincipale: . stabilirea mecanismelorde cedare gi a incdrcdrilor care le produc numite sarcini limitd; . stabilireastdrii de eforturi in diferite stadii de lucru (curgere de fibri, elasteplasticsau cedare); . evaluarearezervelorde rezistenldale structurii. Este necesar s6 evidentiem faptul ci structurile static determinate cedeazd la formarea primei articulaliiplastice (Tncazul solicitdriila incovoiere)sau la intrarea in curgere a primei bare (pentru sisteme alcdtuite din bare solicitate ta efort axiat). Structurilestatic nederminatecedeazi dupd formarea unui numdr de (n+1) articula{ii plasticesau intrareain curgerea (n+1)bare, n fiind gradul de nedeterminarestaticd al structurii. Analiza structurilorin domeniulpost - elasticse bazeazdpe urmdtoareleipoteze: . in oricarestadiu de lucru al structuriisunt satisfdcutecodiliilede echiibrustatic, exprimate pe forma nedeformati a structurii; :

I \

!


171

'condilia de elasticitate(exprimatdprin 6
4.3.1METODACINEMATICA -

practici,rapidegi eficientdpentrustabilirea Metodacinematicd esteo alternativd incdrcArilorlimitd. Dezavantajulmetodei constd in faptul cd nu permite analiza comportiriiin stadiileanterioare ceddrii. presupune Aplicareametodeicinematice urmdtoarele etapeprineipale de calcul: presupune (1)Se formatmecanismul de cedare; (2) in fazaimediatpremergitoareceddrii,se exprimi echilibrulstructuriiprin aplicareaPrincipiului Lucrului MecanicVirtual(PLMV- paragraful3,1.2); din ecualiilede lucrumecanicvirtualrezultdvalorileincircirilor limiti. in continuare se vordetaliaceledoudetapeprincipale de calcul: (1) Precizareamecanismuluide cedare (1a)- se stabilegte gradulde nedeterminare al structurii(n) gi se introduce * plastice. un numdrde (n+7)articulafii Pozilia#ulafiilor plasticeestearbritard, totugise line contde faptulcd acestease formeazdin secliunilecu eforturiextreme.Astfel,cele mai probabile poziliiale articulaliilor piasticesunt: . in secliunile de incastrare; . in nodurilestructurilor de tip cadru; 'in secliunileundesuntaplicateforleconcentrate; . la jumitateadeschiderilor pe careacfioneazd forledistribuite. @bservafie:De multeori esteposibildformareamaimultormecanisme de cedare.ln acest caz se vor forma gi studia toate mecanismelede cedare posibile. (1b) - se calculeazd caracteristicele geometrice ale sec{iunii in domeniuiplasticAieforturile piastifieate corespunzAtoare seeliunilor (Nprsau M4).

172


(2 ) Aplicarea Principiului Lucrului Mecanic Virtual {2a) - se dfi sistemului o deplasare viftuald cinematicd admisibild (in generai unitard),astfei incdt tronsoaneiecie bar6 cuprinsei'ntre doua articulatii (plastice sau structurale)si se deplasezeca gi corpuri rigide (in care nu apar eforturi); (2b) - se scrie ecua{ialucruluimecanicvirtual 6L" * glo

(4.7)

Pentruscriereaacesteiecualiise vor lua Tnconsiderareurrndtoarele: ' pe tronsoanelede bari dintre doui articula{ii,efectueaz6lucru mecanic numai eforturiledin articulaliileplasticein care apar rotirisau din barelesolicitateaxial aflateln curgere.Alte forfe interioare(eforturi)nu apar, deci gLo= -51_.= . (4,8) IMo,,i -0, +!Noi,r Ar unde: j : 1J1+1 reprezintdnumdrularticulalieiplastice 0, este rotireaarticulalieiplasticeidin deplasareavirtualSimpusd k : 1,m+ 1 reprezintdnumdrulbarei solicitateaxial aflatdin curgere Ao este deplasareacorespunzdtoarebarei k din deplasareavirtualdimpusd. @bservafie: lucrul mecanic interior este intotdeauna o mdrime negativd; in consecinfi lucrulmecanical tensiunilorva fi intotdeaunapozitiv. ' lucrul mecanic exterioreste produs de toate incircirile date (fo(e concentrate sau distribuite, respectiv momente concentrate) prin deplasdrile corespunzitoare (translaliisau rotiri):

=IR *,.T[io, *, o")*!M*.or aL" unde: P1 wi Qt

(4.e)

- este fo(d concentratd - deplasareaw; pe direc{iafo(ei Pi datoratedeplasdriivirtualeimpuse - for{i uniformdistribuitd

w,(s) - deplasareatronsonuluide bard pe care aclioneazdq, Mor

- momentconcentrat

0k

- rotireatronsonuluide bard pe care acfioneazdMo*.

@bservafie: integralelese pot efectugcu regulaluiVeregciaghin (2c)- prin rezolvareaecuatieide lucru mecanicvirtual(4.7) rezultdvalorile sarcinilorlimitdcorespunzdtoaremecanismuluide cedareconsiderat. @bservafie: Daci sunt posibilemai multe mecanismede cedare, se vor obtine sarcini fimitd corespunzitoarefiecdrui mecanismstudiat. Mecanismul de cedare real esfe celpentru care s-a obfinut sarcina limitd minimd.

t

4!*


173

4.3.2 SISTEMEDE BARE SOLICITATEA)(|AL 4,3.2.1 . Sisteme staticdeterminate /

EXEMPLEDE CALGUL

Q Exemplul4.2: Pentrusistemul articulat de baredinfigura4.6se di: cx,=30o,9=45o Ar = 5crn2, Az = 0,BAr o" = 250Nimm2' Se cere sd se stabileascdvaloareasarciniilimiti R.

Figura4.6 Rezolvalre Sistemuiestestaticdeterminat, decicedareapoateapareprinintrareain curgere a barei1 sau2. Dinconditiile de echilibru staticrezultdeforturile in barelesistemului =0 lIx fN,,sincr= N,sinp fN,= 1,366.p 1-1 =0,966.P [N,cosa+Nrco s B = P-( |. Nz ILZ=0 plasticesunt: iareforturile = A r'o"= 5'102x250x10=-3 Np1,r 125kN = Az'o" = 0,8'5' '102 x 250x 10-3= 100kN. Np1,2 Cedareasistemului se poateproduceprinintrarea in curgerea barei1: = 125+ fl(')= 91,5kN Nr= Nor,r -+ 1,366ff(1) sauprinintrareain curgerea barei2: N, = Npr,z + 0,966ft(2)= 100=+E(2)= 103,5kN. Mecanismul de cedarereal corespunde valoriiminimea forfeilimitdcalculate. deci q = min(q(1);R('?))= 91,5kN,

174


cedareaproducandu-se in urmacurgeriibarei1.

4,3.2.2.Sisteme static nedeterminate

/

EXEMP.LEpE CALCUL

!B Exemplul4.3: Seconsiderisistemulde barearticulate dinfigura4.7. gtiind ci toatebarelesuntconfeclionate din acelagimaterial(o"= ZSOlUm.') gi au aceeagi arie(A),se ceresd se stabileascd valoarea for{eilimitdpr.

,{

Figura4.7 Rezolvare Sistemuleste o datdstaticnedeterminat. Mecanlsmele de cedarese obfinprin intrareain curgerea doudbare. Mecanismul 1 - formatprinintrarea in curgerea barelor(1)gi (2)(figura4.7b). Echilibrul limitdal noduluiOse exprimiprintr-oecuafiede proiec[ie pe verticald: B -o"'A -o" ' A . s in c r= 0 unde:

sin*=*=o , u . Rezultd:

i(o=1,6'o " ' A ' Mecanismul 2 - formatprinintrareain curgerea barelor(1)si (3)(figura4.7c). Echilibrul structurii se exprimdprintr-oecualiede momentein raportcu nodulB, astfelinc6tefortulnecunoscut din bara(2)si nu intervini:

IM. =o ; E (' ) ' 4- o".A.4- o".A' 3=o Rezultd:

7 " ' =I'o " 'A = 1,75' o"' A.

1 Rezlstenfamaterialelorll

175

Mecanismul 3 - formatprinintrareain curgerea barelor(2)Si(3) (figura4.7d). in acest caz, cregtereasarciniiverticaleP este preluatdde bara ('l) pAni la intrareain curgerea acesteia. Nr = o"'A ' Scriind echilibrul la limitd a nodului O printr-oecualie de proieclie pe verticald rezulti: E(t)= o" ' A + o" 'A . sing i(t) = 1,6'o" 'A . Se observd cd sarcina limitd corespunzdtoareplastificdriicelor trei bare este inclusi Tncazurileanalizateanterior. ln concluzie,sarcinalimiti este 1,6'o"' A n = min(q(,),P{z))=

gi

br mecanismulde cedare real este mecanismul1, format prin intrarea Tn curgere a barelor(1) gi (2).

Gi Exempiui4.4; O bard cie rigiciiiaieinfinii5esie soiiciiaii rje o iorli conceniraii F care aclioneazdla jumdtateadeschideriiei gi suspendatiin capitul din stdngacu de curgereo". Capdtuldin dreaptaal ajutorulunuitirantavAndA, =3.A gitensiunea bareise realizeazdindoui variantede prindere: a) articulat(figura4.8,a) a treitiranlide ariiegaleA, - Ag= A+= A, dispugi b) suspendatprinintermediul simetric,av6ndaceeagitensiunede curgereo" cd gi tirantulAD; cr= 30". Si se determineforla limitdgi mecanismul de cedarepentruceledoudcazuride rezemare.

Figura4,8

Rezlstenlamaterialelorll

176

Rezolvare

a) Cazulbareisuspendati-articulati Sistemuleste staticdeterminat, fiind posibilun singurmecanismde cedareprin intrareain curgerea tirantului(1); Nr = Nor: c" .(3.A)= g .o" .A Echilibrullimitdalsistemuluisepoateexprimaprin ecualiade momente: 3'o"'Ax2'a-P,xa:o

IM"=o, de unde rezultdsarcinalimitd: E =6'o"'A'

b) Cazul barei sustinuti prin 4 tiranti Sistemul este o datd static nedeterminat mecanismulde cadre se formeazd, teoretic, prin intrarea in curgere a doi tiran{i. Din configuraliasistemuluirezultd insi cdteva particularitd{i: - datoritdfaptului cd trei tiran{iconcurdintr-un punct (C), intrareain curgere a -

tirantuluiAD conducela formareaunui mecanismde cedare; din simetria dispunerii tiranlilor 2,3 gi 4 rezultd egalitatea eforturilor Nz = No,ceeace inseamndcd cei doi tiranlivor intrain curgeresimultan;

intrarea in curgere a tiranlilorinclinali 2 gi 4 nu conduce la formarea unui mecanismde cedaredeoareceeforturilepot fi preluatede tirantiiverticali(1 gi 3) pdni la intrareain curgerea unuiadintreacegtia. Din considera{iilede maisus rezultdcd sunt posibiledoui mecanismede cedare: -

.- - !-

:- - 1- - - - - -

plillrul pnil llitlalea --!--..t

In culgere a urafirurur l.\u 9r rer qe-al oollea pnn Inlrarea ln Gurgere a

+- -

-

- ,- - - ,- - - -

a!* - - - a,,r ,- a

aR

celor trei tiranli concurenli. . MecanismulI (figura4.9,a) Echilibrullimitfrse poateexprimaprintr-oecualiede momentnulTnpunctulC: Iw"=O

:

3.o".A.2a-ff.a=0

-+ B(')=6.o".A

sau aplicAndprincipiullucruluimecanicvirtual(metodacinematicd).in acest ultim caz se di mecanismuluio deplasare virtuali 6 = 1, cinematic admisibilSgi se exprimd egalitatea 6L"=51-

:

f;'1=3'o"'A'1 '2

-+ ff(t)=6'o.'A

@bservafie: mecanismulde cedareeste identiccu cel de la punctulprecedent. . Mecanismul2 (figura4.9,b) Echilibrullimitdse poateexprimafie printr-oecualiede moment,fie prin aplicarea principiului lucruluimecanicvirtual.

t

1 Rezistenfamaterialelorll Meffinismul

177

I

-" + +---------r lrrecanismul2

Figura4.9 IMo =0

: 2'(o"'A.cosa-2a)+o'"-A.2a-P,'a=0 ne)= (2+ 4.cos30o).o".A= 5,40.6".A

+ 6L" =51-,,

n

*=2'(o.'A'cosct^1)+o"'A'1

= (2+4.cosu).o".A = 5,46.o".A -+ P,(t) Din analizacelor doui mecanismede cedarese ob{inecd sarcinalimiti este : mecanismul de cedare real fiind format prin intrarea in curgere a celor trei tiranti concurenli(mecanismul2) @bservafie: dacd se meregtearia tiran{ilorconcurenli, se poate ajunge la situalia in care mecanismelede cedare se formeazi pentru aceeagi sarcind limiti. Pentru aceasta este necesar ca : p(t)=p(2) adicd 2.o..A., =(2+4.cosa),o".A" gi rezultdaria tiranlilorconcuren{i: Az=---3-'.A' " 2+4 'cuscr,

:0,366'A.i

(.q,=s'R)

178


Dacd A, < 0,366.A,, cedarease produceprinmecanismul 2 (intrareain curgere a celortrei tiranliconcurenli) gi daci A2> 0,366.4, atuncicedarease produceprin curgerea tirantului izolatAD (mecanismul 1).

4.3.3CALCULULPLASTICAL BARELORDREPTEINCOVOIATE 4.3.3.1.Sisteme static determinate

/

EXEMPLEDE CALCUL

Q Exemplul4.5; Pentrugrindadin figura4.10 , se cere : a) Sd se determinesarcinalimitd (Pr)aplicflndmetodacinematicd. Se di : o" = 250N/mmz b) Sd se stabileascdrezervade rezistentda grinzii. 300x 20 mm M o= 1 0 0 kN 'm

Figura 4.10 Rezolvare a) Stabilirea sarcinii limitii P1 al) Determinarea ca.racbrtsticilorqeometrice ale.seqiunii in domeniul plastic (figura 4.11,a) 300x 20 mm

23,14

22.14 ->y

,86

I 7

39,85

I

v

z

b)

Figura4.11

t

_*-


179

1". Se stabilegtepozilia axei neutre in stadiul plasticdin condiliaca cele doui arii formate sd fie egale

A .=A .=4 2 Ariatotali a sectiuniieste A - 30.2+60.1 +10'2=1 4 0 c m2 Notim cu q distanlala carese situeaziaxaneutrdin raportcu fibrainferioaria tilpii superioare. Rezufte:

2",

A r = 30.Z+11.1=1!^-A+ I = 1 g c m 2 Se calculeazd modululde rezistenliplastic Wpr= 51+52

unde S1 9i 52 sunt momentelestaticeale ariilorA1 gi A2 in raportcu axa neutri plasticd (np-np); Sr = 30.2.11+10.1.5= 710cm3 S: = 10.2' 51+ 50' 1.25 = 2270cm3 Rezulti = 710+2270 = 2980cm3 Wo1 3'. Se determini momentulpiastic, pentrucare se formeazi articulaliaplasticd: = Wpr.o"= 2980.103.250:10-o = 745kN.m. Mos a2) Anlicarea metpeleLsinematicepentru determin timitd 1". Se formeazdmecanismelede cedare.Deoarecegrinda este static determinati, este suficienti introducereaunei singurearticulaliiplastice. @bservalie: articulaliaplasticdnu se formeazdin mod cert in reazemularticulat de capit (A), unde momenteleincovoietoaresunt nule. ln reazemulintermediarB, valoareamomentuluiincovoietor este cunoscutd: Me= -100 -20.3.1,5= -190kN.m 9i lMrl. Mo,= 745kN'm , deci rezultd cd in reazemul B nu se formeazd articulalieplastici. Consola BD este legati rigidde tronsonulde grindi BC gi se va migcasolidarcu acesta. Observafie: dacd momentulin reazemulintermediardepdgegtevaloareaMpr, trebuie considerat9i analizatun mecanismde cedare suplimentarformat prin apari{ia unei articulaliiplasticein acest reazem.

1 80


Analiza ?ncdrcdrilorde pe grindd conduce la urmdtoareleipotezede formare a articulalieiplastice: (l) (ll)

in secliuneaC, unde aclioneazi fo(a concentratd; in secliunea E situatd la jumitatea deschiderii AB pe care aclioneazi fo(a distribuiti. Mecanismelede cedarerezultatesunt reprezentatein figura4.12. MecanismulI

a=f,

q = 20 kN/m

Mo= 100 kN .m a)

Mecanismul ll

= 100kN.m b)

s ' =4c

u,=$

Figura4.12 2". Se dd sistemului o deplasarevirtuald6 = 1 (cinematic admisibili)gi se exprimd prinecualiade lucrumecanicvirtual(4.7) echilibrul 6L"= 6L" Se considerdcd tronsoanelede grindi dintre doud articulalii(plasticesau structurale) se migci ca gi corpuririgide.Din aceastdipotezdrezulti cd singurele eforturisuntmomentele dinarticulaliile plasticeiar lucrulmecanicinterioresteprodusde acesteaprin rotiriletronsoanelor de bardpe careacfioneazi: EL"= 1M0,,,.0, i

Lucrulmecanicexterioresteprodusde : (P) prindeplasiribsecliunilor 'fortple concentrate undeacesteaac{ioneazi ( w i ):R .w, ;

q Rezistenfa maierialelor ll

. forfeledistribuite punctelor (q) printranslaliile de pe intervalul undeacestea ac[ioneazi(w): S

Jo(s)'*'os

0

Integralase poate efectua cu regula lui Veregciaghin.Pentru fo(e uniformrezulti : distribuite s

q ' jw 'Os= Q ' o * unde cl* reprezintdaria deplasdrilorvirtuale pe intervalul[0,s] de al forfelor; distribulie . momentele (Mon de bardpe care concentrate ) prinrotirile0* ale tronsoanelor -

actioneazi:

Mo*'o*

Termenii de lucru mecanic sunt pozitivi daci forla generalizati gl deplasareageneralizatdau acelagisens. Obse:^.ratie: fiind valabildipotezamicilordefoi"malii,i'espectivdeplasiri, rezulti cd rotirilebarelorsunt mici qi se pot aproximaprin tangentelelor: 0Etgo in continuarevor fi analizatecele doud mecanisme: Mecanismull

. 1 . t . 0 * e o .l' o-,2 0 ' 19 s- r o o .1 61 = . p. 1 + 2 0 24 4 2 2 51. =f +S2,5

= =310,416 +e,)=nr,,.[1*+'l 6Lo= Mpr.(0, 4) *'745 12 \6

P,+52,5= 310,416 -+ qo = 257,91kN

6L" = 61" * Mecanismu[2

= 0 ,4 .ff + G2 .1 61 " -'f 5. ! + z o 2' ] . r . r o- z o2' +5.]' s- r o o -e = 5 f r

a\

.

.l *+* l= i.t+s : zsa .(q+er)=Mo, 6L,= Mpr f5 s) 5 6L" = 51- =)

0,8'R + 62 = 298 -+

= 440kN R(rr)

Fo(a limitd este valoarea minimd obtinutd Tn urma analizei tuturor mecanismelorde cedareposibile:

q = minh(r),p(l,r)= ZS7,91kN . Mecanismuldecedarerealestemecanismul1


@bservalie: dace fortple uniformdistribuitesunt q=7OkN/m,din analiza celor doui mecanismede cedare rezultd:

Mecanismul |:

P,+246,25= 310,416 -+ ff(r)= 64,166kN

Mecanismulll :

0,8.ff +267 = 2gg

-)

Eor)= 38,75kN

Decimecanismul de cedarerealestemecanismul ll gi ff = 3B,75kN Se remarcifaptulcd nu se poatestabili ,,apriori"mecanismul de cedare real,acestadepinzdnd valoarea incdrcdrilor. de Trebuiede aEemenea menlionat faptulci ecuatiade lucrumecanicvirtual turnizeazdvaloripentruo singurdnecunoscutd. Dacdbaraeste aclionatdde mai multefode generalizate cu valorinedeterminate, intreacesteatrebuiestabilitdo legdturS. b) Rezervade rezistentii Aceastaestedatdde coeficientulde adaptareplasticda secfiunii M., W^, P' Ct=---!:=

M"Wy

geometrice Caracteristicile alesecliuniiindomeniul elasticsunt(figura4.11,b): .2 .63 . 1 ' 3 2 30 + 60 + ' t 0 . 2 . 1= zc= 40,85cm 140 "! Y =

30'23 1 ' 6 03 + 1.6o.8862 + 10' 23 + 1o.?.39B sz + .a o -2 -2 r-1 4 2 * 1)

= as.Jzg,gtcmo 83.923,81 r^, = 2.053,94cm3 w.., = ------:-:--:--:40.86 Rezervade rezistenlda secfiuniieste: 2.980 =1,45. a=: 2.053,e4

EE Exemplul4,6: O bari deformabili AB, articulati la un capit gi suspendatd la celSlaltprintr-untirant vertical BC, este solicitatdde o for!5 uniform distribuitd.Bara gi tirantul sunt confeclionatedin olel OL37, av&nd o" =250N1mm2. Secliunea barei AB este datd ln figura 4.13,b. Tirantul BC este confeclionat din doud profile cornier L100x100x10av6ndaria A1=156m2, solidarizate cu sudurdde col!(figura4.13,c). Se cere: a) sd se determinesarcinalimiti a sistemului(q1)gisi se precizezemecanismul

Rezistonfamaterialelorll

de cedare: b) sd se determinedistribuliatensiunilorremanentein secliuneabarei incovoiate AB, in ipoteza cd ineircarea s-a fdcut pAnd la atingerea momentuluiplastic (M$ urmatdde o descdrcarecompletS; c) si se dimensionezesectiuneatirantutuiBC asfel inc6t cedareasistemuluisd survini printr-unmecanismdiferitde cel stabilitla punctula). secl.1-1

seat.?-2

+'z'ryI-+ ,

110 mm

lffiLo^^

Eln i n

Rl n bt'-'Fl-'i =lu

I a

I t4--i--J4

+w +ru

t'

I

a,

,l

A, = 15 cm2

a)

c)

Figura 4.13

Rezolyelq a) Stabilirea sarcinii limiti (prin metodacinematici) Sistemulse compunedintr-obard incovoiatdAB gi un tirant (bari intinsd) BC. in ansamblu, sistemul este static determinat.Cedarea poate surveni in doud moduri: - prin intrareain curgerea tirantului(mecanismull) sau - prin formareaunei articulaliiplasticein bara incovoiati AB (mecanismulll). 1". Se calculeazdeforturileplastice: Bara incovoiati (AB) are secliuneasimetricdin raport cu axa Oy; axa neutrd ln stadiulelasticAi cel plasticcoincidin acest caz (fiindchiar axa de simetrie). RezultS: Wo,= 2'So = 2'810 = 1620cm3 / cn\ So= 20 .1.20,5+z'l20.1 .+ | = Bl ocm' 2) \ 9i 250'10-6= 405kN.m M' : Wpr.qc= 1620.103' Tirantu!(Be) luereazdla intindere;efortulplastic?ntirant este = 750kN. = A-o. = 2.Ar .6" =2'15.102.250.10-3 Np1

,t--/

184


2',

Se formeazdmecanismelede cedare: - mecanismulI prin intrareain curgerea tirantuluiBC (figura4.14,a)gi - mecanismulll prin apariliaunei articulaliiplasticein bara incovoiatdAB; Deoarecebara este aclionatdde o forfd uniformdistribuitri,articula{iaplastici se presupunecd apare la jumitatea deschiderii(figura4.14,b). 3'. Se d5 sistemuluio deplasarevirtuald 6 = 1 cinematicadmisibilfigi se exprimi echilibrulin stadiulpremergdtorcedirii prin ecua{iade lucru mecanicvirtual : - mecanismul| : 6Lo= No,.5 = 750.1= 750 1

6L" =q.;.1.8=4.q '2 '

: 7?o= 167,skN/m qf" ; "4

6L":51" + - mecanismulll :

.(0,+0,)=4os.( =Mor 6Lo ++ll =zoz,s ' t4

(t

\

\z

)

4)

5L"=q.l-:.1.41.2=4.q

6Lo=6L" =

qlt'='T'u =50,625kN/m.

Sarcina limitiminimiestegr=50,625kN/m iarmecanismul de cedarerealestell , prinformarea ob{inut plastice articulaliei lajumdtatea deschiderii bareiincovoiate AB. mecanismulI

j

u'

] Figura4.14

b) Tensiuniremanentein sectiuneabqreilncovoiate Diagrama(idealizati)a tensiunilornormalein secliuneacomplet plastifiati (solicitatd de momentulMs ) estereprezentati ?nfigura4.15,a.

-1 Rezlslenlamaterialelorll

185

La descircare,secliunea se comportiliniarelastic,distributia tensiunilor normale liinddati de formulalui Navier

o(-)= U3.2 . ly

in care M(-)reprezintdmomentul?ncovoietor aplicat.La descdrcareacompletdM(-)=-Md. geometrice Caracteristicile ale secliunii barei incovoiate (figura 4.13,b) in 18 '403

=274[0cma

domeniul efasticsunt:

| -20'423 '1212

9i

w" =27:?o= 1308,s7cm3 .

'21 Rezultdvalorileextremeale tensiunilorla descdrcareacompleti 405'106 = r-r = tffiE +309,5N/mm'z olnir',n

Diagramaacestor tensiuni estereprezentati in figura4.15,b insumAnd celedouddiagrame rezultd distribulia tensiunilor normale remanente reprezentatd Tnfigura4.15,c. /l}t

R-l

).'zoorrrrn+

59,5

Figura4.15 Se poate observa cu ugurinte antisimetriadiagramei tensiunilor remanente; datoritd acesteia momentul rezultant este nul iar tensiunile fonneazd un sistem autoechilibrat. c) Dimensionarea tirantullri BQ astfel incdt cedarea sistemuluisd survind printr-un mecanismdiferitde cel oblinutde cel ob{inutla punctula). La punctula), cedareasistemuluise produceprin formareaarticulafieiplasticein bara incovoiatd . Se observd ci in ecualia de lucru mecanicvirtual corespunzdtoare acestuimecanismde cedare(ll) , nu intervineefortuldin tirant,deci aceastava rdmdne neschimbatdindiferentde dimensiunile secliunii acestuia, Pentruca cedareasd se producSprin mecanismul(l) (prin intrareain curgerea tirantului)este necesarca sarcinalimiti corespunzitoareq/r)se fie mai mici decdt cea aferentimecanismului ll (qlrr), adicd qfr)sq["]= S0,625kN/m (*)

t

{ fl{

186


Ecuafiade lucrumecanicvirtualpentrumecanismul I se exprimdsubforma(vezi punctula): 4'q = No'1 ; gi introducdnd fn aceastacondi(ia(*) rezultdcd efortuldintiranttrebuiesd fie , la limiti = 202,5kN N6= 4.QI")= 4.50,62b . Se gtie ci efortuldin tiranteste N* = A.o. de unde rezulti ci aria sec{iunii tirantuluitrebuie sd fie

20al:103.10-2=8,1cm2 n =M . oc

250

Pentruun cornierrezulti A,,2= Y = 4,05cm2gi se alegedin tabelulcu profile laminateun corniercu arieegali sauinferioariacesteivalori. Se poatealege,de exempluL40x40x5cu A1=J,/96m2. Pentruacestarezulta .102.25A.10-3 = :189,5kN N"i 2.3,79 gidin ecualiade lucrumecanicvirtuala mecanismului I oblinem 4.q =189,5-+

gf')= 47,375kN1m

Mecanismul ll giecualiaacestuianu se modifici.Tnfinalrezultd 47,375kN / rn Qr= min(47,375;50,625)= gi mecanismulde cedarerealeste(l). 4.3.3.2.Sistemestaticdeterminate /

EXEMPLE DE CALCUL

EI Exemplul4.7: Sd se determineforla lirniti 9i sd se precizezemecanismulde cedarepentrugrindadinfigura4.16.Se cunoagte oc=250N/rnm2. A

Figura 4.16

t-

300x20mm


187

Rezolvare Se va aplicametodacinematici.Grindaeste de doudori staticnedeterminati. reacliunileorizontalein reazemesunt Datoritdinsi moduluide acfiuneal incdrcdrilor, gradul se reducecu unu. practic, de nedeterminare nulegi,din punctde vedere a doud de cedareeste necesari introducerea Pentruformareamecanismelor prezumtive sunt: ale acestora plastice. Poziliile articulalii - in secliuneade incastrareB; - TnsecliuneaC undeaclioneazifo(a concentrati(4P); fo(a concentrati(2P); D undeaclioneazd - in sec{iunea - in reazemularticulatA. Suntposibilepentruun numdrm = Ci =

de cedarela care 6 mecanisme h= se adaugi un mecanismde cedareparlialobfinutprinformareauneisingurearticulalii plasticein reazemularticulatA, Pentruinceput se va consideracd in reazemularticulatA nu se formeazi in numir de trei, plasticd,Mecanismele de cedareposibild?naceastdipotezS, articulalie in tigura4.17. suntreprezeniate se analizeaziprin metodacinematici:se dd fieciruiao deplasare Mecanismele 6 = 1 gi se exprimiecualiade lucrumecanicvirtual6L*= 51*. admisibilS cinematic o Mecanismul I 61.= 4P.1+2P ?_p.r = *p " 33

= tr[]. + 2Q,)= 61.=Mo,(or 3) 3*, -frnrr,=0,192 M' -6L,-r1alt=frrll" +R(r) 6Lu o@LlI

6 1=4P " .t+zv.!-e l=1 , +20,)=nlt, ?J=ito, 61"=Mpr(or [*. =**0,:0,214 M' alu=51o -.rr=i*r,-)pr0r) o Mecanismullll 6L"=4P'1-P'1=3P

, 0 ,)=tr[; .t)=]*, 6 L o=Mo (0+2 6L"- 6Lo-+ 3P=

?

itr

-

B("')= 0,5Mo,.

189

Rezlsfenfa metefialelor lI

MecanigmulI

+

it"

io,=tse,=f

:i 2m i2 m i 4 m

o'=f

02

er;tgg,:= f,

0.=tg6,=.f,

2 mi Z m

4m

Mecanismullll

iw iMo'0z=itg0: 4 , i iz m : 4m

=+

Figura4.17 Celelalte mecanismede cedare se pot forma doar dacl in reazemul A apare articulalieplasticd.(figura4.18) r MecanismullV (mecanismde cedarepar-tiali) 6L" : P'1

6L"=M''e'=i U o, 1 6'L, =5Lo-+P =rMr

;

t

*B ('u )= 0 , 5Mo ,

-=


189

Figura 4,18 plasticise formeazipentruo sarcini limiti superioari Se constatdci articulafia celorcare conducla mecanismele I gi ll. in consecin{i,toatemecanismele de cedare careconlinarticulalieplasticdin reazemulA nu se pot producein mod real gi nu mai estenecesardanalizaacestora. Din analizarezultatelor oblinutepentrumecanismele l, ll gi lll rezulti cd sarcina limitdeste 0,192Met ff = min(P,('),P(|r),P(ttr))= 9i cedarease produceprin mecanismull. Pentruprecizareavaloriiacesteisarcinise vor calculacaracteristicile geometrice ale secliuniiindomeniulplastic( figura4.16): r pozilia axei neutrenp-np,din condilia: A -a "1

-A 2 = A 30'2+60'1.2:132 cmz

A r=t l. r , ,= r y - + T:t 5 5c m. o modululderezistenfiplastic,cu relalia: Wo,=S ,+S , s. : sb .1,2.q= 1815cmg 2 s. = b .1.2.?+30.2.6= 37b cm 3 2 Wol= 1815+375= 2190cm3. Momentulplastical secliuniibareieste Mo= Wpr'oc = 2190'103 '250' 1 0 4= 5 4 7 , 5k Nm iarsarcinalimiti rezultd i = 0,192'Moi= 0,192'547,5 = 105,12kN .

1 90

Rezistenlamatorialelorll

@ Exemplul4.S: O grindAcontinu6cu treideschideri (/=6,0 m) esteincircatdca in figura4.19,agi aresee{iunea ale5iuitidin-2profileu30- ol3z, ca in figura4.19,b. P=#; Mo={5; profitutU3O, oc =250 N/mmz,iarpentru 5"30 momentul staticaljumdtalii de sec{iune esteSu= 316 cm3,se ceresarcinalimitdqr. $tiindcd:

2U30

t tf rfua

l t iw

$v= 316 cm3

i 1l ]t ll-l-Jl

@

>y

--t-

''z a)

b)

Figura4.19

Rezolvare Mecanismelede cedare ale grinzilorcontinuese formeazdnumai in deschiderile acestora. Se va analiza fiecare deschidereln parte considerfind,in mod obligatoriu, articulaliiplasticein reazemeleintermediareB gi C. Pe deschiderea AB sunt posibile mecanisme de cedare avAnd trei articulafii plastice. in mod obligatoriutrebuie consideratearticulafii plastice in incastrare gi in reazemulintermediarB. Poziliaceleide-a treia articulaliiplasticese poate alege: - in secliuneaunde aclioneazdforta concentratdP sau - la jumdtateadeschiderii,corespunzdtoractiuniiforfelordistr,ibuite uniformq. Rezultfrastfeldoud mecanismede cedareposibib (figura4.20) o Mecanismull

6 1 ": P .r* q .1 .1 .6= L e .r +3 q =4,2q 2 5. 6L"= Mop(Zg, +Zar)=*,,1+*+l = 1,5Mel \+

z)

-+ qf')= 0,357Mor 6L" = 61-"-+ 4,2.9 = 1,5.M0, r Mecanismulll

= p ? " o . 1 t u =+ . 3 * s q = 4 ,5 .q 6Lu JZSJ

6 L "= Mo1(20 ,+Zor)=Mrl : *: l:13 3 M" P,' "t3 3) ' 6L"= $l-o-+ 4,5'q:1,33,M0, * ql")= 0,296Mor.

:4r!*

19'l


centraleBC esteposibilun singurmecanismde cedareformat Pe deschiderea plasticein celedoui reazemeB 9i C gi lajumitateadeschiderii. prinapariliaarticulaliilor (figura4.20)

lV Mecanismul

I Mecanismul - _l_

V Mecanismul

Mecanismulll

r.(

i'1€

= -1a-

e'=E i 2m

2m:

t,

- 3i :

Mecanismullil

I

iMt

:_s!L+-aD+ Figura4.20 r Mecanismullll

6L"= 1,4. q'

1

r.

1'6 = 4,2"q

Mpr +20,)=*,f3.3i={33 61"=Mo1(20, ' P' "[ 3

3)

6L"= d-" -+ 4,2.g = 1,33.M'-+ ql"')= 0,316Mo,.


192

Pe ultimadeschidereCD, mecanismelede cedareapar prinformareaarticulaliilor plasticeTnreazemulintermediarC gi in una din poziliile: - sub momentulconcentratMosau - la jumitatea deschiderii. Trebuie notat cd in reazemul de capdt D nu se formeazi articulalie plasticS, momentulfiindnul. Analizarnecanismelor(figura4.20)furnizeazdurmdtoarelevaloriale fo(ei limiti: o MecanismullV Momentul concentratMs aclioneazdchiar in articulaliaplastic5;astfel, el va fi consideratsuccesivpe cele doui tronsoanede bar5, alegAndu-sein final cazul cel mai defavorabil. Meacfioneazdpe tronsonuldin stdnga:

* o = 9 '' 1 = 3 ,0 ' q 6 1 "- q . 1 r ' 6 +M n' 0 ' = 3 9' 302 (?

1\

+e l 2 )= M"l :*; | = 1,25Mpr 6 L o= Me r(2 o ' \2 4) = = 6L" EL"-+ 3,6'q 1,25'Md-+ q = 0,347Mor' dindreapta: Meac{ioneazipetronsonul 1

a.62

6L" = q.;'t'U +M0.0,= 3 q -} f -

I

q --2 , 7 . q

6L" - 1,25 Mpl 6 L u = 6 L o -+ 2 ,7 ' 9 = 1 ,2 5 ' Mor -+ q = 0,463 M'

Mer; 0,463 Mr)=0,347 Mp'. Q['u)=min(0,347 o MecanismulV

6 1c " ='2q1 ' ' u + M n .o ,= 3 q + q g1 = a ,o .o 30

()

3

i \

6Lo =Mpr(20,+or)=M"i l+= | - M'l F 3) "\3 6L" = $l-o -+ 3,4 'Q = Mpr-t qfu) = 0,294 M' Sarcinalimiti pentrugrindacontinui considerativa fi: qr = min(0,357Mer;0,296Mor;0,316 M, :0,347Mo,;0,294Mo,;)

i I i

I t

q;=0'294 MPr' mecanismulde cedarerealfiind mecanismulV. PentrusecliuneaconsideratiTnfigura4.19,b,simetrici in raportcu ambeleaxe, se obtine: Wo = 45, = 4'316 = 1264 cm3 =316 kNm Mo,=Wo,.cc=1264.103.250'10-6

II tt

t I

=- +'4 -

!,

Rezastentamaterialolorll

193

Sistemulde for{e limitdva fi: Q= 0,294'316 = 92,9 kN / m,

g*aq = r = 111,48 kN, g$q t, =

= 111,48 kNm.

!8 Exemplul4.g: O grindi metalicd din olel 140 (Sr=$$7 cms) este rezematd gi incdrcatd ca in figura 4.21. Tiranlii sunt confeclionalidin leavd rotunde cu diametrul exteriorD=60 mm gi grosimeapereteluit'3mm,avand aria sectiunii4=5,37cm2.gtiind cd rezisten(ade curgere a oleluluidin grindi gi tiranfi €ste o"= 250 N/mmz.Se cere sd se determinesarcinalimiti qrgisd se precizezemecanismuldecedare, t40 S.,= 857 cm"

I

ro'n

ro'n

I

lz'l A = 5,37 cm2

Figura4.21

Rezolvare Se aplicd metoda cinematice.Mecanismelede cedare se pot forma prin aparitia articulaliilorplasticein bara incovoiatdsau intrareaTncurgerea tiran[ilor. Momentulplasticdin articulalieeste tt l vl p l :

ti, vvd' ( ) C-

4c\ = z.r ) y' OC -

a oEa = 4' Oir t

a n3 ' lU

r n* 6 or n 'ar J r J 'l r J

,4o E r - f,r =+aO ,U l \l \| l l l

iar efortulplasticdin tiranli este: Nd = A'o" = 5,37'103'250'10-3- 134,25kN. Mecanismele de cedare se pot forma numai pe deschiderile grinzii. Pe deschidereaAB este posibil un singur mecanismde cedare (figura 4.22) format prin introducereaarticulaliilorplastice Tn lncastrarea A, in reazemul intermediar B gi la jumitatea deschiderii.

194

RezistenF materialelorll

Mecsnlsmul ll

0l

=io.-5 - 1'

i M" 5m

Mecanlsmullll

MecanismullV

Figura4.22

Rezislenfamaterialelorll

195

r MecanismulI

5 L " =q l .r.ro=s .q z

6L, =M'(201 +26")=!.428,5=

342,8

6L" - 6Lo -+ 5'q =ZA|,S--; q['' = 68,56 kNlm TronsonulBC poate ceda in urmdtoarelevariante: - prin formareaa doud articulaliiplastice,una in reazemulintermediargi alta la jumitatea deschiderii(mecanismulll); tiran,tii lucreazdin stadiu elastic; - prin formareaunei articulafiiplasticeTnreazemulintermediarB gi intrarea in curgerea tiranlilor(mecanismullll); - prin formareaunei articulaliiplasticela jumitatea deschideriigi intrareain curgerea tiranlilor(mecanismullV). Anafiza acestor mecanisme reprezentate grafic in figura 4.22, conduce la urmdtoarelevalori ale sarciniilimitd: r Mecanismulll

EL "= q .!-t-to-q 1 .?.2= +,6.q 2 25 8L o- M e,(20,+or)=!'+za,s=

257 , 1

6L" = fll-o+ 4,6.q =iet J-+ ql")= bs,BgkN/m o Mecanismul lll 6 1 . = q 1 1.12=6.9 2 = EL " M er'o + Npr'6'+No, 'coscr'6'=

. + tt+,zs.# + fi4 ,zs.cos30 = 428,5 : 244 ,4r $ # r

l\Ianoniemr

6L* = 6L" -+ 6.q = 244,47 rl l\/

ql"')= 4A,74kN /m

-u4: Q. ; , 1 . 7 = 3 , s .Q

2 6Lo = Mer'o + Npr'6'+No,'cos cr'6'=

= 4 28 ,5 '!+i f,a ,2 5 .(1 = z+o,ts 0+ ,8 0 6) .3 t(

6L" =6Lo +3,5.q:240,15

-+ql'u) =68,61 kN/m

Pentruformareaunui mecanismparlialde cedare,este necesardaparilia unei articulaliiin punctulC. Aceastaeste posibil5dacd momentulfortelordistribuitede pe consolaCD este egal cu momentulplastic:lM"l = M' , sau explicit l*2ql= 428,5-+214,25kN/m.


Aceastdvaloareeste mult mai mare dec6t fo(ele limiteoblinutedin analiza de cedarece includarticulatie l-lV, ceea ce inseamnicd mecanismele mecanismelor plasticein punctulC nu se potproducein modreal. Sarcinalimitda sistemuluieste q, : min(08,56; 40,74kN/m 68,61)= 55,89;40,74; ||L mecanismului corespunzdtoare

PROBLEMEPROPUSE cr Problema 4.1: Se considerdsistemulformatdin doud bare articulatereprezentatin figura 4.23. $tiind cd oc= 250Nimm2,se cere sd se determine sarcina iimiti Pr a sistemului. 2180x8 0 x 8 Ar = 12,3crn2

@

2 L 8 0 x80x10

Figura4.23 Rdspans.' Pr=355,08kN. .r Problema 4.2: O bard rigidfi ABC este suspendatdprin intermediula trei tiranli 9i solicitati de o forld P (figura4.24). $tiind ci: Ar= 5 cm2,Az= 1,5 A1 9i o6=250 N/mmz, se cere si se stabileasci fo(a limitSPra sistemului.

Figura4.24


197

Rdspuns; Pr=162,5kN.

ax Problema 4.3: Sd se determinesarcina limiti gi si se precizezemecanismulde cedarepentrugrindadin figura4.25. Se d5: o"= 250 N/mm2. 200 x 24 mm

Mo = 200 kN'm

600x 10mm

Figura4.25 Rdspuns; Pr=56,10 kN.

Jx Problema 4.4: A bard deformabildeste incastrati la un capdt9i suspendatdprintr-un tirant verticalla celilalt. Secliuneabarei este un profil l3eiar a tirantului2L 30x30x4.Se di: 130:Sr=131sme L30x30x4; At=2,27 cmz oc=258 N/mm2. Se cere se se stabileasci sarcina limiti a sistemului gi si se precizeze mecanismul de cedare. 2L30x30x4

|

ffi

4m

|

2m

Figura4.26

I


19 8

Rdspuns.' kN. Pr=190,5

asProblema4.5: Sd se calculeze sarcinalimiti pentrugrindacontinuidin figura4.27, gtiindci oc=250 N/mmz. , 200mm ,

t------+

,l sÎ sÎz*lZ^lz^la^ +z^+ Figura4.27 Rdspuns.' kN/m. 9r=87,67

oxProblema 4.6: Si se determinesarcinalimitdpentrugrindadubluincastrati solicitatd ca in figura4.28. Se dd o"= 250 Nlmm?. 240x 14 mm

100x 14mm

L

-r

3m

L

3m

L

3m

L

Figura4.28 Rdspuns; qr=367,75 kN/m.

:l l L


199

Capitolul5

FLAMBAJULBAREIDREPTE 5.1 INTRODUCERE Flambajuleste fenomenul de pierderea stabilitilii formei de echilibru la barete drepte comprimate.Se remarcd agadar faptul ci flambajul este specific solicitdriide compresiune,nefiindcompatibilcu solicitareade intindere.

't AV I

I I

Pl

fuv il

rl rl rl rl

tl

II

',1

w

4 irtirudeF ent ici * fl8mbal lmpGjbil

@Erp6iuns @ntrici + flamlcaiul esta posibil

Figura5.1 Pericolulpierderiistabilitdtiiformei de echilibru apare in cazul barelor zvelte in care se dezvolti tensiuninormalece pot provenidintr-unefort axial de compresiune,din incovoiere sau din combinaliaincovoiere cu efort axial (compresiuneexcentrici). De asemenea,fenomenulde flambaj poate apare in cazul barelordrepte cu secliunedublu simetrici deschisd,supuse la torsiune?mpiedicati(flambajprin incovoiere- torsiune).

5.2 FLAMBAJULSIMPLU Pentru barele comprimate axlal, fenomenulde pierderea stabilit5liiformei de echilibrueste denumit flambaj simplu. Sub o anumiti valoare a fo(ei de compresiune axiale, barele pot flamba, gi deci iegi din exploatare,inainte ca tensiunilenormale sd atingdvaloarearezistenleide calcul. Valoareaforfei pentru care bara pdrdsegtepozilia iniliald rectiliniede echilibrugi trece Tntr-opozilie curbilinie de eehilibrueste numiti fogd ertfied_de f.lambaj gi se noteazd cu P* . Fo(a criticd se determind eu formula lui Euler o - 4_ ltr

in care : E I tt

n t.E l

- modululde elasticitatelongitudinal, - momentuldeinerfiealsecliunii, - lungimeade flambaj .

(5.1)


CAttimpforlaaxialdP . P",, barardmAnedreapti,fiindin echilibrustabil.Pentru gi dacd PtPo., para flambeazd9i nu mai P=P",, bara este Tn echilibruindiferent in final,baracedeaziprinatingerealimiteide curgere satisfaceconditiilede exploatare; rupere. saua rezistenleide nu maifunclioneaziipotezamicilordeformalii. @bservafie:in cazulflambajului in consecinld: . echilibrulnu mai poatefi exprimatpe forma nedeformatia barei (se va a elementului); exprimape formader.ormatd efectelor. suprapunerii - nu maiestevalabilprincipiul Condilia de stabilitate,care exprimi evitareascoateriidin lucrua unui element prinflambaj,se scriesubforma

t I I

(b . 2 )

o=$=o." - A --., . P-. criticdde flambaj. undeo", =;r reRrezintitensiunea

Pentrucalcululpractic,relalia(5.2) se transformdpentrua pune in eviden!5 rezistenlade calculR prin introducereacoeficientuluide flamhaiI , definitca (5.3)

t-,R oo

devine Cu aceastdnotatie,conditiade stabilitate N -< R

(5.4) o'A axial. formdutilizatipentrucalcululpracticla flambajal barelordreptecomprimate de flambajg, Dinrelalia coeficientului semnificaliei @bservafie:Stabilirea (*)

6- =%-=to.R se poate scrie succesiv: n' .El n' .E.i2 nz -E =q'K 6,= l?A=--4-= ^z

|

A

=.,' '

i

^

4=x

x'.E 1

*= ?

= e ( f)

^, i -razade giralie( inerlie) a sec{iunii, 7" - coeficientulde zveltele Analiza acestormdrimise va face in paragrafulurmitor.

in care:

5.3 CALCULULPRACTICLA FLAMBAJ in cazul ludrii in considerarea flambajului,condiliade rezistenli specifici in parteaTntdia Rezistenfei centricia barelordrepte(studiatd solicitiriide compresiune : esteinlocuiticu condiliade stabilitate materialelor)

:

"::*

t; Rezistenfamaterialelorll

Compresiune centrice firi luarea in considerare a flambajului (ReMat l) * Condiliade rezistenld: IPI

Fl-""=;-rA

Gompresiune centrici cu luarea in considerare a flambajului (ReMat lll . Condiliade stabilitate:

=>

:-{L-=* tot__ I lmex

g.

Aereaiv

"lecti"

Din analizacelor doui relalii de mai sus, se observdfaptul ci diferentaconste Tn aparifia,in condifia de stabilitate,a coeficientului
rea pe se realizeaziTn func{iede tipul tabeluluidin 8.3. conform Anexa (2) i - eoefieientulde zveltefeal barei cu relalia - se calculeazd t)

tr=?

(5.5)

I

existAndcdte o valoarecorespunzdtoare fiecireiadintreaxeleprincipaleale sectiunii (y qiz) : transversale !.

x, =;L t,

]"r=? lz

{3) /, - Iundimea de flamhai a harei, reprezinti distanladintre doui puncte succesive de inflexiunesau de extremale axeideformatea barei. Observalie: Lungimilede flambaj pe cele doui axe (Oy Si Oz) pot fi diferite.De exemplu,pentru verificareala flambaj a tilpiisuperioare (talpa comprimati) a grinzii de acoperiga haleidin figurade maijos se obline: /,, = AB : BC = CD = DE = t :'.,I*ih or.r -,{ ;,.^f-. "-\ !t= AC=CE=2.|. iF

ii,. Y"-p:lt$ ilg,--re$i9,11 _jj tt'..^'i \;.*-_;:

,,,'*, pa1i l :\l ;::' -:.;;;5-;"'

202


{ I

Figura5.2 (a) lungimeaefectivi a barei(l ); (b) modulde rezemareal bareila capete; (c) modul de incircare al barei; (d) varia{iasecliuniitransversalein lungulbarei. - pentruaplicaliilecurente,lungimilede flambajale barelorcu secliuneconstantd pe lungime,incircate cu forld concentratdla capetesunt reprezentatein figura 5.3. Se poate generalizasub forma : - I, depindede:

1

[.t = It. {

unde coeficientulp ia valoriledin figura 5.3.

:I

l'\

lX r i\tir

1,0

0,7

0,5

Figura5.3 Tnexemplelede calcul din aceasid carte se va consideracd barele au rezemiri identicepe cele doui direc$i9i l, = 4a = l r .


(4) i - raza princioaldde ine4ie(de aintier - este o caracteristicigeometricda secliuniitransversalea barei, cu valori pentruceledoudaxeprincipale (Oygi Oz): distincte

i,=lF .l L =\iA

(5.7)

''

unde:- iy gi I, sunt momentele de inerliein raportcu axeleprincipale centrale alesecliunii; a barei. - A esteariasecliuniitransversale Din punctulde vedereal moduluide calculla flambaj,se distingdoui tipuride sectiuni: , sectiunicu ambeleaxe(OygiOz)materiale; . secliunicu o axdmaterialigi unaimateriald.

5.3.1SECT|UN| CUAMBELEAXEMATERTALE Pentruacestesecliuniambeleaxeprincipale centrale"taie"materialul (figura5.4).

rZ

Figura5.4 L Verificare .8@: - lungimeabareil; - secliuneatransversali(formdgi dimensiuni); - incdrcareaP; - rezisten{ade calculR. . Se cer€: - verificareacondilieidestabilitate p

'

gr in . A

'@.: 1o. Se stabilegtelungimeade flamhrajtt = Ir. { , pe baza rezemdrilorreale ale barei gi a valorilorcorespunzitoareale coeficientuluip (Figura5.3). 2o.

geometriceale sectiuniitransversale: Se calculeazi caracteristicile A - aria; lr,l, - momentelede ine(ie axialefali de axeleprincipale ale secliunii.


@bservafie:in cazulsecliunilor alcituitedin doui profilelaminate(figuraS.4,d gif ), se dau(sause scotdintabele)caracteristicile geometrice aleunuiprofil: F

lA,'

j ,,,

l.l

,

:l

ll" Pentrusecliunerezulti: A = 2.A r l ' = 2 ' l Yt I

z^rzl

t.=2'1t.,+A, ' (f':l 2 ll I L

undec estedistanlaintrecentrelede greutatealecelordoudprofile(misuratdin raport cu axaOz ). 3o. Se calculeazd razeleprincipale de ine(ie(degiralie)alesectiunii:

ii=t/i '' . 4".

/i_

"={R

Se stabilesccoeficientiide zveltele 0 ,t..= +

'i, (, ^ = -:/,_ t-

5o. Din curbele de flambaj(Anexa8.4), prin interpolare, se oblin coeficienliide flambaj:

6o. sus : 7".

r, +Q, L,.) 9. Coeficientul de flambajal secfiuniiestevaloareaminimidintreceleob{inutemai g = g m ;n= m i n(gr;g.) Se verifici condilia de stabilitate:

=P.R io*1.", rp'A Dacd inegalitateaeste indepliniti,vom spunecd "st6lpulnu igi pierdestabilitatea' sau "stdlpulnu flambeazi". ll. incircare capabili (Efort capabil) . Date: - lungimeabarei 4: - secliuneatransversalf,; - rezistentade calcul R; . Se cere: - incircarea (sarcina)capabili P*o

a Rezistentamaterialelorll

205

. Rezolv.are: Pagii 1" + 6" sunt identicicu cei descrigila problemade verificare;diferd doar ultimul pas. 7". Din conditiade stabilitatese stabilegte (5.8) P*o=g.A.R @bservafie: Varia{ia mirimilor care intervin in calculul la flambaj al barelor drepte: . Se pornegte de la presupunereacd momentul de ine(ie (l) al unel secliuniscade. . Atunci : (,+

n ' -E , i \lF* t'.R . Rezultd cd coeficientul de flambaj (pminapare pe direcliacu ine(ie

l ,t

3l=

ll

I

^

=O=-*

'

minimS1.,n. . Astfel,verificareasau determinareasarciniicapabilese pot efectuadirect pe ciirec[ia(Oy sau Oz ) unciemomeniuirie ineriieaxiaiesie minim. lll. Dimensionare

..re,:

- lungimea bareiX,; - incdrcareaP; - rezistenlade calcul R. - forma gi dimensiunilesec{iuniibarei

. Se cere: . Rezolvare: Dimensionareasecliunii nu poate fi efectuatd direct din conditia de stabilitate, deoareceapar doud necunoscutedependente(q SiA ) . Dimensionareala flambaj a barelor comprimatecentric se face printr-o metodd aproximativa,numitd metada coeficientului de profil. Coeficientul de profil se definegteprin : .A2 J( = -

(5.e)

I I

iar valorilelui sunt aproximativconstantepentrudiferitetipuri de secliuni.In Anexa 8.2, sunt date valorileuzuale ale coeficientuluide profil k. 1". Se stabilegtelungimeade flambaj,lindnd cont de lungimea reald (!. ), modul de rezemaregi vaioriiecoeficienliiorp (figura5.3 ) !.,=yt.!, 2".

Din Anexa 8.2 se aleg (Tnfuncliede forma sec$unii),coeflcienliide profil: ,A'= J Kv

ly

,A 2

l( - = -

'1

Rezbtontamaterialelorll

3o.

Se calculeaz5coeficientii: P

lk. R 1.=Ir.1l'vP Dincurbelede flambaj( Anexa8.4)se oblin:

4o.

€, +9, 1, +
gise considerd

nu esteobligatorie, deoarecemetodade dimensionare @bservafie:lnterpolarea esteoricumunaaproximative. 5o.

Se calculeazearia necesarda sectiunii ft-^- =

P

iar in cazul sectiunilor

alcituite se obtine pentru un profil A'n"" = 6o.

profilullaminat)astfelincAt A"r ) An". sau, in Se aleg dimensiunilesecliunii(sau"k

cazul sectiuniloralcituite din doud profile A,.*,) A,.n"". 7". in mod obtigatoriu se face verificarea secliunii alese, urmand pagii 2' + 7" de la problemade verificare.Metoda coeficientuluide profilfiind o metodd aproximativi nu garanteazd rezultatulfinal. Astfel, secliunea aleasi poate sd nu verifice condifia de stabilitate(o* >R) sau, dimpotrivi, sd fie supradimensionati(o,,,(
.,

E vE f,IT II t-r\Ltttr

E LL

NE ut-

AAI \rr.lLt

AT IT LrL

m Exemplul 5.1: Sd se verifice stabilitateastdlpului din figura 5.5, gtiind cd R = 210N/mm'. Sd se determlneapoiincdrcareacapabildaferenti acestuia.

Itv

P= 3 0 0 0 kN

I

i, o 10 20 40

q

0.998 0_983

o.s27

o atc 80 0.694 100 0.552 120 o.432 60

Figura5.5

-a

Rezittenla materialelorll

Rezolvare a) Verificarea stilpului 1o. Se stabilegtelungimeade flambaj : 1.,: 1t.(. jos; unde, datoriti prinderilor(incastraresimpli rezemare- sus), rezulti $:0,7 . =0] 4m = 2,8m= 280cm= 2.B00mm. [t 2".

geometriceale secliunii: Se calculeazdcaracteristicile R = 2. (30'2)+ 60 .1= 1B0cm2;

q3+(so z).st'l+''9=o' =133.360cma t"=2.1 *(t.oo).0' ' 1 2 \ --l 112

J

=e.''scma ,,=r.l'' rt!r' +(zo,so)'o'.l.s1. +(oo.r),0? L_

3o.

principale Se calculeazdrazele de inerlieigiratie)ale sec{iunii:

=27,22cm; i,' =,F=,m+ V A U 180cm' =z,o7cm. ,,=,l+= ./n;?o=!:T' \l A V 180cm' 4".

Se stabilesccoeficienfiide zveltele :

x ,=!=i 999m =1o,z 9i

27,22cm 28ocm:39.60. ?"_:!r _ ' i. 7,A7cm @bservalie:Coeficienlii de zveltele l" 9i coeficienlii de flambaj a sunt adimensionali. 5". Din tabetul r = r(q) prezentatTn figura 5.5, prin interpolare,se calculeazd coeficienlii de flambajpe direcfiileOy giOz : .L r =1 0 ,29 l"= 0 g=1 , 0 0 0 -+ X=24 -)
i,

(-o,otz)[e]

+20[] + 10,29 10'29'{:0'017) =*0,009 -+x20 .I, = 39,60

?,.=2O

-+

l"=40

-)

x e, =1,000+(-o,oos)=9,991

-)

e = 0,983 q=A,927

+2o[r]

(- o,oso)[,p]

+ 19,60

x

208


-*=1gq#ps)=-0,055

= 0,gze + (- o,oss) 9. = 0,983

= o'ssi; Rezultdie' lq. = 0,928. 6" ,

Coeficientul de flambajal secliuniieste: tp= min(9r;9,)=0,928.

7" ,

Se verificdconditiade stabilitate: lo^l r r rmax

=

P

e.A

3.000-103 = ---------------t = 179,60N/mm' < R = 210N/mm2. 0,928' (1B0. 1O'?mnn: 7 Rezultdcd stAlpulnu igi pierdestabititatea(nu flambeazd). lo^l rtrol I

b) incircarea capabili a stiilpului Pagii 1o+ 6o au fost parcurgila verificare. 7". Se determind,din condiliade stabilitate,valoareaincdrcAriicapabile: . 210=3.507.840N=3.go7,g4kN. P*p= e. A. R : 0,928.180.1O'z

@ Exemplul 5.2: Sd se dimensionezedin profitlaminatI stAlpuldin figura 5.6. $e dd R = 210N/mm2.

Figura5.6

i I

i I

t

I I

Rezolvare 1o. Lungimeade flambajeste : t t =0,5 4 = 2m= 200cm= 2000rnm 2". Din tabele (Anexa8.2), pentrusecliuneprofil l, se aleg coeficien{iide profil ky=0,48 k.=11. i


3o.

209

Se calculeazdcoeficientii:

=162A8 4".

Prininterpolare se oblincoeficienlii de flambaj(+, gi e. ): '€v=3 3 ,94

6 20,2 41,5

A 0,983 0,927

(+20,70)... (-0,056) (+13,74)... x 13'74'(-0'056) = 0.946 + -+ .o..= 0.983 ' 20.7 F

'4.= 16 2,48

134,6 182,6

50

(+48,00) ... (-0,120) (+27,83) ... x 27'83;!-=oJZO) = 0,482 -) (P,= o,ssz + ' 40,0 = O,+gZ. Rezulti 9 = min(0,946;0,482) Arianecesaria secliuniieste:

=+= An""

6"

(p 0,552 0,432

=35,58cm2 -'-,3?9999. u=3457,81mm2

9.R 4,482.210N/mm' Dintabelelecu profilelaminate| , se alegeprofilul122,cu A"1= 39,6) An""= 34,58cm2. Momentelede ine(ie (efective)ale secliuniisunt: lv = 3.060cmo . ; l, = 162crna

7".

@bservafie: Urmeazdetapade verificarea secliuniialese. Razeleprincipalede inerlie:

.i,,= ll' =.i:: lg.ooo = 9,41cm; .l-i vA

'

ll34,58

=^lX=2,16cm' \JA .\134,58 '.=,1+ 8".

Goeficienliide zveltele:

x.,=L= 39tt =z1zs; '

iu

9,41cm

210


)'.' =!= 39!! =e2,5e. i. 2,16cm oo

de

Se stabilesc(prin interpolare) valorileefectiveale coeficienlilorde flambaj l,

0,993 4,927

(+20) ... (-0,056) (.+1,25) X __+

' L' = 92,59

qy

g ir do sg de p6 SE tn

_ n oR?_ 1,25.(-.0,056) _ 0,980 '24 (p

l"

0,694 0,552

80 100

(+20) ... (-0,142) (+12,59). . . x -> Se alege

= 0,605 9. = 0,694+12',59'\-0',142) 20

q = min(0880;0,60s)= 9,695

= 10". Se verificdconditia de stabilitate:lo,l , | ,plmax

P Q er' Aer

=R

= **ry#
t Agadar,alegerea fdcutd(profil122)estecorespunzitoare.

fie tnr

5.3.2 SECTIUNT GUO AXA MATERTALA $t UNA TMATERTALA t

Acesttip de secliuneestespecificstAlpilor alcitui{idin elementemultdepirtate pldcule pozilionate solidarizate intre ele cu in lungulaxei barei,la anumitedistante (figura5.7). Seclilnea A - A

pEculesudatela distanlal, rnontant i*-t,3

u^^n,'u, , _o_'_ 1filru

i i " nd/)

s ,' i

Figura5.7 ., -, ' ','. a'

tlll

lz(a*iit"t"ti"tg)

E€

-\


211

O secfiuneestecu atatmaieficientA la flambaj,cu cat materialul estedispusmai departede axele centrale(deoarececregtemomentulde inerfiegi, implicit,raza de giratie,scizAndcoeficientul de zveltele).Marea,majoritate a secliuniloralcdtuiteavf,nd doui axe materialeau momentde inerfiereduspe unadin direc(iileprincipale, fiinddeci sensibilela flambajin planparalelcu aceastiaxd.Acestneajunspoatefi Tnldturat prin profilelor principald gi depdrtarea implicitcregterea de aceastiaxd momentului de ine(ie p6ndla o valoareapropiatide cea corespunzdtoare celeilaltedirec{iiprincipale.Alte secliunialcituitedin elementemultdepirtatesolidarizate cu pldculesunt reprezentate ?nfigura5.8.

rZ: . <---E+

, rZ <------a-*

.

Figura5.8 Cele doui profile (elementelongitudinale)care alcdtuiescsecliunea se numesc man'.anti. Axa centrald care inteisecteazi montanlii se numegte axd maieriaid iar ceafaltd,care nu taie montanliieste axa imateriald. StAlpiisolidarizalicu plicute pot prezentadoud forme de pierderea stabilitilii: flambaJul local * se produce atunci cdnd montantul se incovoaie Tntredoud pldcufe- Evitarea flambajului local se realizeazd prin mdsuri constructive, de limitarea distanleidintredoud plicule consecutive. - flambatul general - se produce prin incovoiereaTntregiibare, iar siguranta se verifici prin calcul. @bservatie: ln aplica{iile prezentate vom considera cE axa imateriald este in fiecare caz axa Oz; in cazul in care axa imaterialdar fi axa Oy (gi nu Oz), ar trebui inversaterela{iilecorespunzitoaremdrimiloraferentecelor doud axe . in acest paragraf se utilizeazA urmitoarele nota[ii pentru caracteristicile geometriceale montantului(figura5.9): 41 - aria montantului; lur,lzr - momentelede iner{iein raportcu axele principaleale montantului(Gry,

e i'Y- t-

9i G,z,); principale proprii axelorcentrale alemontantului; - excentricitatea

r:r

l'v' - i . = i''1 - razelede- inertie ' ' -' ' ' - (oiratie) \e " --r' - ' ale montantrrhri. I A , , ' ' ' 1A .

Figura5.9

212


c lt (. se

- distantaintrecentrelede greutateale celordoi montanfi; - distanlalntreaxelea doudplecuteconsecutive; - lungimeastAlpului(barei). consideri cd pldculeleau rol constructiv,de solidarizarea barei gi nu

contribuiela preluareaefortuluiaxial. Asigurarea barei impotriva flamhaJului local se realizeazi prin condi{ia constructivd !.1< 40.i,1 {5,8) Aceasti condilielimiteazddistanladintredoui pldculeconsecutive.lngeneraldistan{a l, se alegemultiplude 10 mm giconstantdpe lungimeastAlpului. verificarea flambajului general se face cu conditia de stabilitate: oq,=-\
l,-+i,=f/t* ^ , = t ' % * , I{

curba de flambai

Pe direclia axei imateriale Oz se determind un coeficient de flambaj transformaf tp,.,dupd schemaurmdtoare:

n-

/.1

vA

)' l-)'o ='[d*t"''

l.-+i. =.1* +L- . =aI ,

i. l

;

ll-r

L4

drba ds flambaj

|

= --- 1 -l ? -)/,t 1 .,) V A, in schema de mai sus intervin urmdtoarele mdrimi: 1 ,r=

^

. coeficientul de zvelteteal montantului o, =; A

0

!1

(5.e)

. coeficientulde zvelteletransformat

? \= . J E+ 1 1

(5.10) Rezultdci verificareastf,lpiloravdnd secliunealcdtuiti din elementedepdrtatese face dupd regulilede la secliunilepline,inlocuindinsd pe ),. cu X.o. in cele ce urmeazdse va detaliamodul de rezolvareal celortrei problemeale Rezistenleimaterialelorpentrusecliunilecu o axd materialdgi una imateriald. l. Verificare . Date: - lungimeabarei t; - alcdtuirea secliunii transversale (tipul montantului gi distanta intre centrelede greutateale montan{ilorc); i I

I

tt

\ Rezistenfamaterialelorll

213

- distanlaintre Pl6cu[e/'; - incdrcareaP; - rezistentade calcula materialuluiR. - verificareaflambajuluilocalgigeneral.

. Wgg,: . Rezolvare: 1o.

Se stabilegtelungimeade flambaj 1,, abarei, in funclie de rezemare(coeficientul

P- figura5'3) !., =1s..(. 2o.

geometriceale secliuniitransversale: Se calculeazi caracteristicile geometriceale montantului: - se cunosc (din tabelelecu profile)caracteristicile A1, lyr, 1,,, e (pentruprofileleasimetrice) - se determini razelede giralie (ine(ie) ale montantului

,r:l* , _ - ll" ,,, \lA, pentruintreagasecliune(figura5.10) geometrice caracteristicile - se calculeazd

i,=1p=iu,

A = 2.Ar l, =2'lyt

i.=ff*i,,'

I

(c

r.=z[t.,+ t -

\2 )'

.A.,II J

e t

iii c,i lc, i -'l -'-oi-

I

r :l ir i

Ni'c- -l i -i; ]A:

+-* rl Y

z1

l}

z1

Figura5.10 a a secliunii.in acestcaz, se di dimensiunea @bservafie:in uneleprobleme distanfadintrecentrelede greutateale montanlilorse poatestabilicu ugurinld: c=a-2' e

214

3".


Verificareaflambajuluilocal se face cu relafia(b.B) (,1< 40 .i.l

Din acest punct, calcululse sepai-i pe cele doui axe prineipaie; t Calculul pe axa materiald Oy: 4". Se determindcoeficientulde zveltete 0

l , =1 lz

5"'

Din curba de flambaj,prin interpolareliniari se obline coeficientulde flambaj: lv+9'

6o,

o Calculul pe axa materiald Az: Se determindcoeficientiidezveltete , -(, , 'u,-l l

L.,=? lz't

gi se calculeazi coeficientulde zveltetetransformat

\u- J)"1*E,

7".

Din curba de flambaj,prin intei'polareliniaie,rezuiti

8".

fr, + Qu. Pentruverificareaflambajuluigenerafse mai determind: Coeficientulde flambajal sec{iuniieste e = gmin= min (gr,
9'.

Se verifici conditia de stabilitatelo I , I elmax

D

'
Dacd inegalitateaeste satisfacute,Eespune ci stdlpulnu flambeazi. @bservatie: Secliunilealcdtuitedin elementedepdrtatese incadreazi pe curba de flambaj B pe ambeledirectii. ll. incircare capabild . Date: - lungimeabarei !; - distanlal,lntre plicu{e;

. Se cere: . Rezolvare:

- rezistenlade calcula materialului R; - alcdtuireasecfiuniitransversale- tipul montantului; - distanlac intre centrelede greutateale montantilor. - determinareafortei capabilep",o

Etapelede calculsunt identicecu cele ale problemeideverificare(1"+B'),cu excepliaultimuluipas, care devine:poo= q. A .R


lll. Dimensionare . Date: - lungimeabareil; P; - incdrcarea R; de calculamaterialului - rezistenla . gg-€Ig.: - alcituireasecliunii transversale - tipulmontantului; - distanlac intre centrelede greutateale montan[ilor. pldcule. I, intre distanla '@l€Ie,: la flarnbajesteo problemdcomplexicare implici determinarea 1". Dimensionarea geometriceale montantului: unui numdr mare de necunoscute(caracteristicile distanlaintremontanlic Aipldcule/, ), multedintreacesteadependente. 41, ly' 1..,; problemei se facein treietape: de dimensionare Abordarea prinaplicarea (a)- dimensionarea metodeicoeficientului de profilpe direclia montantului (Oy): axeimateriale e; Se stabilesc:41,lr1,1,,gi,daci estenecesar, (b) - stabilireadistanlei/, intre axele pliculelorse face din condiliade evitarea flambajului local: !.1< 40.i.1 Lungimeapanoului(/,) se ategemultiplude 1Ommgi astfelincAt,pe cdt posibll, barasd se dividi in panouriegale. (c) - determinarea distanlei intre montanli se face din condi,tia de echistabilitate a secliunii (5'11) l, = xn Condilia(5.11)exprimdfaptul ci secliuneaare momentede inerlieegale pe axa materiald9i cea imateriali. Pagii pe care ii presupune acest calcul sunt practic invergi celor parcurgi la verificaregi sunf schematizalimai ios.

Dimensionare

Verificare i

/^ \ '

I

t , = 2. 11" * l i l . Al , (a)

(d)

L\z/j

,tr

^zl _ fx . = r Ei :A tr=A - =yy nt * ot )

(b)

(c)

00 )". = .--_; lut =:lzt lz

(c)

(b)

L,,=Jt **,

(d )

' ,:do

/;2 .

^

^Lr:-7

(, l=

(a)

(., =

l .=i L,

n',={t+t.=1a.4

.n,l= r. ' -2.1r.,*l,9)' L'' \2) .l "


216

4

ln continuare sunt detaliate relatiile de calcul utilizate in calculul practic de dimensionare al barelor ccmprimate centric, cu secliune alcituitd din elemente depirtate. 1o. 2o.

Se stabilegtelungimeade flambaj:1,,=1t.'!. Se alege forma secliuniigi ?n funclie de aceasta, ooeficientulde profil k, din

Anexa8.2. Se calculeazicoeficientul: Eu= n,,/qI 'll P 4o. Din curba de flambajcorespunzitoarerezulti coeficientulde flambaj pe direc{ia ilrbadel!91!!L (aProximativ)' )cP, axeimaterialeOy: l, 3o.

5o.

Se determindaria necesar6a sec-tiunii p

An* =r Qr'R 6o. Din tabelul cu profile laminatese alege montantulgi se extrag caracteristicile geometriceale acestuia:A1, lr1,l.r. ln continuarese face verificareape direcliaaxei materiale(Oy) a secliuniialese. geometriceale secliuniipe direcliaaxei materiale: 7". Se calculeazdcaracteristicile A=2A. l' =21't i, = ir,,=,f*1. tAr gi, in funclie de acesta,se calcuieazi - prin zveltele de 8". Se determindcoeficientul interpolare- coeficientulde flambajreal (valoareaexacti): ^

^t 9o.

l.

=il

srba d€ flambai

d o

) QY'

c

secliuniipedirecliaaxeimateriale: Se verificdstabilitatea P o* = aR gr'A I

se revinela punctul @bservafie: Daci nu estesatisficuti condiliade stabilitate, 6" gise alegeun profilcuariemaimare,dupdcarese parcurgpagii7'+9";procedeulse condiliade stabilitate. repeti pdni cdndesteverificatS panoului)/, din condifiile: 10'. Se stabilegte distanlaintreplicule(lungimea . < 40'i..; . multiplu de 1Omm; . si rezulteun numdrintregde panouri,

Notd: i,,,=,F

t F

T Rezistentamaterialelorll

pe inSlfimeaunuipanou: 11". Se calculeazd coeficientul de zvelteteal montantului ^ = : - l, &r tr,

(5.11)se determinevaloareacoeficientului 12". Din condifiade echistabilitate de (Oz): z\reltete de directiaaxeimateriale

x,:J*,1 13". Se calculeazdraza de ine(ie pe direcfiaimaterialS v

i .=i r '

l\Z

14." Se stabilegtevaloareamomentuluideinerfiepe direcliaimateriald(Oz): (*) t. =i|.A 15". EgalAndvaloareamomentuluideine(ie exprimatdprin relalia frtzl

t-. = 2 . 1 t , , + [ .9Al ] L-' \2) j sl valoarea (*), oblinutA in pasul 14', se obline o ecuatie de gradul l, din care se rjetermindciisianlac ciintrecenireieciegreuiateaie monianliior.

(a)De obiceiin schilelede execuliese trece dimensiuneaa (lilimea secfiunii), in sus la multiplude 10 mm. detenninatd ?nfunc{iede c Airotunjitd (b)Nu este necesardverificarea, deoareceprocedeulde determinare al distantei implici de fapt intre montantieste unul exact, Condifiade echistabilitate la flambajin celedoui plane: tensiunilor convenlionale egalitatea 0*

9r'A

9u'A

@bservafie:Pot si apard gi combinafiiale celor trei probleme(verificare, stdlpuluipe direclia forli capabili);de exempluse poatecereverificarea dimensionare, distanleidintremontanliidin condiliade echistabilitate a axeimaterialegi apoistabilirea secliunii.

/ EXEMPLE DE CALCUL cu ES.Exemplul5.3: Pentrustalpulmetaliclncastratla bazi gi liberla vdrf,solidarizat plicule din figura 5.11 se cere: a) verificare la flambaj b) stabilireafortpi capabile. Pentruprofil130se dau: Ar = 69,1cm2 lvr= 9.800cma; l,r = 451cmo; R=210N1mmz.

Rezlstenp materlalelorll

218

r$

r-:,I 11= 6o crn

c=1somml

Figura 5.11 Rezolvare a) Verifi carea stf,lpului 1o- Lungimeade flambajeste: /r : tr.l :2.3m = 6m = 600cm= 6.000mm 2". Caracteristicilegeometricealesecfiunii: A = 2'A, =2.69,1=138,2cm2 lv = 2'lvr= 2' 9.800= 19.600cm4 n l " ,^ ." n " (i brl ' l _.o,c_tE A i " )' l : (,,-tE ' u '\-* , ' 4'rJ \ ' rI ' r, nr'[t.J lizr ];'' Lrr'1-' " " ' I 2 J I Razelede giralie: ,iz&.z' [,

1 91cm ir=#= 1/@=1 138,2 ,tr :792cm t =!; 451 =

6et a55cm 30

4"

Se verificdflambajullocal: 4, = 60cm; 4O.i..,=40 . 2,55= 102cm Rezultd ! 1< 40. i., gi nu se produceflambajullocal al montantului. Se determindcoeficientulde zveltelepe direcliaaxeimaterialeOy 6oocm = 50.3g x = Liu 11,91cm '

="#.:

.\

Rezbtente materlalelorll 50

Coeficientulde flambaj pe directia axei materiale rezulti: Lv = 50,38

-) av:o,ez7.!g*@=0,87G (+2o) (+10,3s)

60.

(-o,ose) x

Se determindcoeficientulde zveltelepe directiaaxei imaterialeOz: l, 600cm ^ l,-:r=-::-:J=75,76 ' i, 7,92cm 6ocm =23.b3 x,=1, i.r 2,55cm

7".

2{ 9

+ l.r =JE;n =Jrs;/63 +'zs,$,=7e,33

Dincurbade flambaj,prininterpolare liniardrezultd It, = 79,33

=0,829.19:q#A=0,G99 -+ tp,, (+20)

(+1ep3) Bo.

Se alege
9o.

Se veriflcdcondiliade stabilitate

(-o,rss) x

2.000'103N =207,04N/mmz
P g,A

b) incircarea capabili a stlilpului Pagii 1"+8" sunt identici cu cei parcurgi la verificare. lncircarea capabil5 a st5lpuluise calculeazi din condiliade stabilitategi rezulti . 210N/mm2= 2.028.637,gN 10'. P*p= 9. A. R =0,699.(138,2.10t)mm' = = 2.028,64kN.

Q Exemplul5.4: Si se dimensioneze stAlpulcu pldculedin figura5.12,din doud profileU dispusefafdin fa!i. Se va utilizacurbade flambajdinexemplul5.2. Se dd rezistenta de calcula ofeluluiR = 210N/mmz. Rezolvare Etapa(a) - Stabilireamontantului(profil laminatU) 1o. Lungimea de flambaj = 3,i5m:3 iS c m= 3 1 5 0 mm Ir =4,7.4,5

220

Rezletenlamaterialelortl

.-f^r"'^ io = 4 ,5 m

I

Figura5.12

2oDin Anexa 8.2 se alege coeficientulde profil pe direc{iaaxei material: k, = 1,26 (pefitrusectiunealcdtuiti din doud profileU, dispusefald ?nfa!a). 3". Se calculeazdcoeficientul 7

4".

Prin interpolareliniarddin curba de flambaj,oblinem rp"(coeficientulaproximativ

de flambaj)

€q

(+3o,t) (+ 18,62)

(- o,res) x

-+ ev:o,B2s.gg#g

:0,145

5".

Se determind arianecesarda unuimontant:

6".

P 350.103 = 1118,57mm2 = 11,19cm2 2.
7".

in continuarese face verificareasectiuniialese: . Se calculeazdcaracteristicile geometriceale secliuniipe direcliaaxei materiale A, =2'Ar."r = 2'13,5=27Cm2 =2 'lr, : 410cma lr.a1

: : /1 "={l+ lo 9cm t=3' rr:rrt=!A

\

Rezistenfamaterialelorll 80.

221

pedireclia coficientulde zveltele axeimateriale Secalculeazi =!+= 31:JT= 80,76 ?u., '

i,

3,9cm

Prin interpolare,se oblinecoeficientulde flambajreal gu: Lv = 80,76

-) 9".

gy,* = 0,694+

0,76.(-0,142) = 0,688 20

Se verifici condiliade stabilitatepe direcliaaxei materialeOy: .D

vl lo'î=---i '
= P-1 Uffiffi

=188'42Ni
Rezultdcd alegereaa doui profileU10 este corespunzdtoare. Etapa (b) - Stabilirea distanfei dintreplicute (/.')

= =\47cm = 10".carcutim '" Jk* J# Din condilia de a nu se produce flambaj local, rezulti distanla maximi intre pldeule | 1,. = 4O'i., = 4A' 1,47= 5B'$crn Se alege l, 3ln,^, = 58,Bcm, astfelca lunginneastdlpului!. = 4,5m sd se imparti intr-un numir ?ntregde panouri;numdrulminimnecesareste: 450cm I n"*=lrn* =uu,,Bot=''o" Se vor consideran=g intervale,de lungime t, = ! =1{T*

= 500mm.

Etana {c} - Stabilirea distantei intre montanti 11". Coeficientulde zvelteteal montantuluieste: /, - Socm =34.01 1""' i,'r 1,47cm 12". Se determindcoeficientulde zveltelepe direcliaaxei imaterialeOz clin cond$a a sectiunii.Rezulti: de echistabilitate

=732i . ?,.= ,l*, - rl = Js0,z62 -34,012

Rezietenfamaterialelorll

13".

Raza de inerliepe direcliaimateriali este

i,' =+= +::n =4,3ocm . t alc 14". Momentulde inerliepe direclia^". imaterialieste egal cu l, = i,..,A= 4,302. 27 = 4gg,23cma . 15'. Se exprimd momentul de ine(ie in funclie de caracteristicilegeometrice

montantutui

t.=21t.,-i:l' A,l= 4ss,z3 . L\z )J

Rezulti:

z.lzg,gn(9-)' ,u,ul=4ss,z3 L\4/l

ale

gi,dupdefectuarea calculelor, obfinem c = B,08cm. Cu aceasta,distanlaintre profileva fi €t=c*2e; e= 1 , 5 5 c m; 3 = 8,08+ 1,55. 2 = 11,18cm. gise rotunjegta in sus la multiplude 10mm.in final,rezulti a=120 mm.

5.4 FLAMBAJUL BARELOR SOLICITATELA INCOVOIERE CU COMPRESIUNE Barelesolicitatela compresiune centriciau sdgelilew nule p6ni la atingerea incdrcdrilor criticePo, c6ndeste posibilio configuralie de echilibruinstabilcu w:e0. Pierdereade stabilitateprodusi in acestfel se numegteflamhajprin hifurcare (figura 5 . 13) .

""-Jlr"" w*0t.

Figura5.13

E, ll

s( pi c( e1 pl

\


223

(figura5.14) este Comportarea barelorsolicitatela incovoieregi compresiune calitativdiferit5.

l"

Figura5.14 Tncircareatransversaldproduceincovoiereabarei gi apar astfel sdgeliile wo ;e0 . I

sagEli.La ursirrerearurrerr, sagcurc ioiieie axiaie i, pioquc o sijpiimeniaiea aGesIUr se miresc, bara deformdndu-secontinuu. in acest caz nu se mai pune problema pierderii stabilitdlii formei iniliale de echilibru, ci a apariliei deforma{iilormari. ln consecin{dechilibrultrebuieexprimatpe forma deformati, ln teoriade ordinulll. Pentru valori reduse ale fo(ei de compresiuneP, aceastapoate fi echilibratdde eforturilecare se produc in bari. Peste o anumiti valoare a forfei, echilibrul nu mai poate fi menlinut gi bara realizeazdun salt ajungind intr-o noui pozilie de echilibru. Valoarea f,* a fortpi de stabilitatese realizeazAprintimitarea echilibrului (figura5.15). E^ * ^ l^

- . . : - l^

n

- - - 1. . ^

^

^ '. r l i ! 4 - q 4 +- - -

-

----r--

- x- .- r :

Figura5.15 Calcululsdgeliigi a momentuluiincovoietorin teoriade ordinulll se poate face cu formulele lui P6rry (5.12)


=JbM,,

$i

( s.13)

'-% ln ecualiile(5.12)gi (5.13)semnificaliatermeniloreste urmitoarea: wr, Mr - sigeatd gi momentincovoietorin teoriade ordinul| (liniard) W,,, M,,

- sigeati gi momentTncovoietor in teoriade ordinulll (neliniard);

r'El P.: T i,

- forld critici euleriani pentrubara comprimatdcentric_

Formulelelui P6rrysunt rigurosvalabilenumaipentrucondifiilede rezemaregi incircare in care au fost deduse.Pentruincircdri diferitese introduceun coeficientde corec-tie c (Anexa9). Tnmodobignuitse noteazdcu p R = 1 -l = 1 -

o

PE

(5.14)

6E

unde o este tensiuneadati de fo(a axiali P gi o. este tensiuneacriticd. P A R ot=A=f o- -

n'E

(5 . 1 5 )

Relaliageneralizatdpentrumomentulde ordinulll se scrie atuncisub forma = 9'M, M,, ,'n ,/

(5.16)

Condilia de stabilitafe pentru barele solicitate la incovoiere cu compresiune se exprimdprin relaliaempiricd: {517)

ln aceastirelaliese consideri: ,t

deoareceflambajulse poate producedupd oricaredintreaxele ' e=emin=min(
in continuarese vor detaliacele trei problemeale Rezistenteimaterialelor. l. Verificarc 'Date:

- lungimeabareigimodulderezemare - incdrcirile - sec$unea{formagi dimensiuni) - rezistenfade calcul

--d!4l-

-\


225

. Se cere: - verificarea stabilitafli bareiinteoriade ordinulll. . Rezolvare: 1o. Se traseazd diagramelede eforturi N gi M in teoria de ordinul I gi se stabilesc secliunilepericuloase r rl

(1ll /"'* '' LMu'**' ei

2".

e{*':-,

alesec{iunii: Sedetermindcaracteristicile,geometrice (aria) A (momentelede iner{ie)

ly, l.

ir=

r {i''.= -A Itz

wy sau W.

(razelede inerlie) (modululde rezisten!5in raportcu axa fati de care se

produceincovoierea); Se face maiint6i calcululla flambaj (conformparagrafului5.2). 3". Se calculeazdlungimeade flambaja barei l, = 1t.!. Se determini coeficienliide zvete{e gi coeficienliide flambaj prin interpolare 4". liniard ^

A, =

^L' :

lc

Jt..

[, ' t-

-------J

Qy

----)

Qz

gise alege g = g ,i n = mi n (q r,q.).

5'. Se verificd daci este necesard considerarea influenlei efortului axial asupra incovoierii: -+ nu estenecesargic=n=1 gisetrecela pasulS'; dac{N<0,15.g,in'A'R -+ este neeesargi se trece la pasul 6"N > 0,15.qr,n.A.R 6'.

Se determindtensiuneanormali din mnpresiune o:P

A

gitensiuneacritici dupd Euler n2-E or=T_ unde 1"se ia cu acelagi indice ca gi M (dupn axa pe care se produce incovoierea). 7'. Se calculeazi coeficientuldecorecfien n=1-9 oE

cfun$e de schemade incircarea barei. gi se seoatedin tabel(Anexa9) coeficientul


8".

Se verificdconditiade stabilitate: N cM o'"* =rp."a+;'*

Dacd aceastaeste satisfdcuti, se spune ci bara nu igi pierdestabilitatea. @bservafie: Sdgeataln teoriade ordinulll se determindcu formulalui p6rry:

w'':!l-'

n Sdgeata in teoria liniard wr se determind cu metodele prezentatein capitolele anterioare(de exemplucu formula lui Maxwell- Mohr). ll. Dimensionare Nu se poate realiza direct datoritd numdrului prea mare de necunoscute dependentecare intervinin relafiade stabilitate;in general,dimensionarease face prin incerciri. lll. incircare capabilS . Date: - lungimeabareigimodulde rezemare; - secliunea(formdgidimensuni); - rezistenlade ealpu!; ' pozi{iaincircdribr; dacd existi mai multeincircdri, se dd gi o relalieintre acestea astfel incit eforturile si fie exprimate in funclie de o singuri variabild(P, q, etc.). gere: - determinareavaloriimaximea incdrcirii necunoscute(p""0, Q*0, etc.). 'se . Rezolvare: Pagii 2" +7' sunt practicidenticicuceiaiverificdrii.primulpas se modificdin felul urmdtor: 1'. $e traseazi diagramele de eforturi N gi M in teoria de ordinul l, prin suprapunerede efecte (din fiecare incircare). Se vor consideraca secfiunipericuloase toate secliunile ln care o diagramd simpld (fie de efort axial N,, fie de moment lncovoietor M,;;inregistreazdun extrem.Considerdndci avem n ?ncdrcdrisimple,intr-o secfiune periculoasd,fie aceasta C, diagramelede eforturi se obfin, prin insumare de efecte,ca funcfiide incdrcareanecunoscutd(fie aceastap). Rezulti

=iru, ru"(n) =tM, ru"(p) in continuarese parcurgpagii 2"+7" cagifn prouf"ra de verificare. ln ultimul passe scriecondiljade stabilitate la limiti,in toatesecfiunile periculoase. 8'. Rezultddeciecualiide forma

o,u*=ffi.;ry=*

c (

-\


din rezolvarea fo(ei capabilePf;Jcorespunzetoare cerorarezult5valoarea eforturilor din secliunea C. Dupd rezolvareaecuafiilorde stabilitatedin toate secliunilepericuloasese selecteazd valoareafo(ei capabile; aceastaestevaloareaminimigi pozitividintretoate rezultatele oblinute. /

EXEMPLE DE CALCUL

El Exemplul5.5:Sd se verifice stilpuldinfigura5.16gisi se determine sigeatala vArf in teoriade ordinulll. Secliunea estealcdtuitidinprofil130gise dau: Ar = 69,1cm2; lo,,= 9.800cmo;

lrr= 451cm*;

ir, = 11,9cm;

i..,= 2,56cm;

Wr' = 653cm3;

Wrr=73,2cma;

R = 210N/mm2; E=2,1.10s N/mmz

I

o = 3k N

..-.>

1I

P=100kN

+

sectiunea 1-1 I

el

c\l I

'lI

+ Figura 5.16

Rezolvare a) Verificarea stilpului in teoria de ordinul ll 1". Se traseazi diagramelede eforturiin teoriade ordinulI (figura5.17).Se constati cd forla P producenumaiefort axial,iar Q numaiincovoierein planulprincipalxOz: lM,l,"*= Q' / = 3' 2 = 6kNm.

228

Rezistenlamaterialelorll P= 1 0 0 k N Q= 3 kN

@ -A

I V

n

o

TI II L,

l

t-.. .....".-.-...1

100kN

Z/

6 kNm

Figura5.17 Dinanalizadiagramelor de eforturirezufteo singurisecliunepericuloase, situatd in incastrare: [!ir,ti = 6kNm { I .,md = [lNl'* lookN geornetrice Caracteristicile ale secliuniisunt cunoscute, deci se poatetrece la calculu I flambajul ui (pentrusolicitarea centriciP). 2". Lungimea de flambaja bareiesteaceeagipe ambeledireclii: tt =V .1.=2. 2 = 4 m. 3". Se determini coeficienlii de zveltelegi cei de flambaj.Deoarecedirecliade inerlieminimiestereprezentati de axaOz a secfiunii irin =ir = 2,56cm,

estesuficienticonsiderarea flambajuluiin acestplan.Rezulti t, 41099, n n'=j=2,s6arn = 156.2b secliunileI flambeazd in planparalelcu tilpiledupi curbaB. DinAnexa8.4obtinem:

10..."..............(o,oez) 6,25............,.. x . - 6.25x {- 0.032)

x

-fu=-:z: -0,02

l.

150 160

I

0,303 0,271

gi, prin interpolareliniar6,rezultd:emin=(p, =0,303-0,02=O,283. 4". Se verificd dacd este necesari considerareainfluenlei efortului axial asupra incovoierii;se calculeazi 0,15-q* -A.R = 0,15x0,283x69,1.102 = 61,6kN x210 = 61599,19N qi N=100kN>61,6kN, deci determinareacoeficien$lor c ai n in teoriade ordinulll este necesari.

-l Rezlstenfamaterialelorll

229

5".

c Ain se calculeazimaiintiitensiuneanormali Pentrustabilirea coeficien{ilor 1o'103-= o =I 14.47N/mm, A 69,1. 1 0 . gi tensiuneacritici dupdEuler(dupdaxaOz,pe careesteposibilflambajul);

=# ="i\?\!^?'=B4,BeN/mm2. o= ' L., (156,25) 6'.

Coeficientuldecorectien este: n = 1-9

o.

' tlL7 =1-EAb: o'B3o'

Dintabel(Anexa9) se scoatecoeficientul c pentrubaraTncastratd la un capit 9i (pozifia9): liberdla cel5laltincircati cu forfeconcentrate, axialgi transversal c = 1+0,2349 = t* o,n4ff= oE

84,89

1,040.

7". Se verifici condiliade stabilitateTn secliuneapericuloasd,linAnd cont ci se producedupdaxaOz: incovoierea 1oo'103 , 1 0 1 0 . 6 ' 1 0 6 .' *9.!.-

'-

72'2 103 =Jil;l,,lu}.,,l#l;;ff;i1-,,0f# = 155,265N/mm2,

in teoriade ordinulll. decistdlpulverifici normale ln teoriade ordinulI (c = n :1) sunt @bservafie:Tensiunile = 134,239N/mm2. +83,102 olJ""= 51,137 Se poate observacd in teoria de ordinul ll, cregtereatensiunilornormale efectuluifor[ei axialeasupraTncovoierii, estede 15,66%. datorateconsiderdrii b) DetermiEarea siqefii la virf ?nteoriade ordinul ll Se aplicdformulalui P6rry,subforma: wu=S n n s-adeterminat la punctula)(6") undecoeficientul n = t-*

:0,830.

1". Calcululsdgeliiin teoriade ordinulI se poatetucecu formulalui Maxwell-Mohr (sauoricareaiii meiocii energeiicd).Deoareceeforiuiaxiainu prociucesdgeatd,se va (figura5.18). consideranumaiefectulincovoierii lntegralele apare se efectueazicu regulaluiVeregciaghin 9i rezultd(incovoierea in planulxOz):

:!

230


*l

I p = t0 0 kN

@ A

a=3kN+

-l

il

I

t

II

@

t1

I

L-1 II tl

fJ

-,L

6 kNm

E kNm

Figura E.1B 2'.

Sdgeatain teoriade ordinulll este: w'| 8'45 wrr=lt -'to.18mm. o.g3o @bservatie:Sdgeatain teoriade ordinulll are o cregterede 20,43o/o fafi de cea obfinuti in teoria liniard.Se constati ci sdgeataare o cregteremai pronuntatidecfit tensiuneanormaldin teorianeliniari.

E Exemplul5.6: Baradin figura5.19,aestecomprimaticentricde forfa P = 300kNgi solicitatdtransversalde forfa uniformdistribuitdq. secliuneabareieste alcdtuitddin doui profileU20 (figura5-19,b).Se cunosc: . caracteristicile geometrice ale profiluluiU20 (figura5.19,c) A.r=32,2cm2;e=2,01cm; b=75mm |ty1 - ,l o4 Anm4. lvvlll -rv r

l^t - { o{ ^- 3. vYyl- lwlvlll

lrr = 148cma i

W.t:27cms;

,

- r d^^. i l y l - r-r'7 ,Vtl l l ,

itr =2,14em;

. rezisten{ade ealculgi modululde elasticitatelongitudinal R = 210N/mm2 E:2,1.105N|mmr.

I

i4 profl U. c)

i

. I

I i

t

Figura5.19

RezFtenF materialelorll

ln teoriade ordinulll a fortpimaximecare poateaclionabara a) detenninarea (q*o); b) sigeata in teoria de ordinul ll in sec{iunea maxim solicitati (pentru qoo determinatla punctulprecedent).

Rezolvare fortei q."p@ a) Determinarea de eforturi(figura5.20). 1". Trasareadiagramelor

P.300 kN

@ @

il,

tO.

i

\_@

l;

300[kNl

i

' g, 1z sq

Figura5.20 Secliuneamaxim solicitati este la jumitatea deschiderii

J N=-300kN ]u=rrlt,=3,125q [kN'm] 2".

Caracteristicilegeometricealese{iunii: A = 2A.,= 2. 32,2=64,4cm2; l, = 2lrr -+ i, = i9 =7,70cm; Distanla dintre centrele de greutate ale profileloreste

c = (b- e)= 2'(z,s- z,ol)=1o,98cm f

rxz

-l

l-

'

-r

=2.23l,o2cma t.=211.,. L +(qgq] .ez,2l |,:l' .R,|=-zlr+a \ 2 ) ) L,\ 2 / ' . 1

-+i.=E,=W=5,8ecm' 3'.

Lungimeade flambaj

Ir=V.{,=1,0'5m=5m

de zveltelepe Oz.Coeficientul Direcliacu inege minimdestedupdaxaprincipald 4'. aceasti direc$erezutti Soocm=g4.g9. ., _t, _ = n'=T -vr' ve' s ,8 9 " *

2?2

Rezistenfarnaterialelorll

Din curba de flambaj B se obline 1

'{

80 90

0,694 o,622

gi, prin interpolareliniardrezultd

10......^...........(_ o,ozz) 4,89................X

:

* _ a,ggx(:o,ozz)= _{,o.b 10 (Pmrn = gz = 0,694-0,035= 0,659 5'. Severificfr influenlaefortuiuiaxialasupraincovoierii .A'R = 0,15x0,659x 0,15.rp^,n 04,4.102 x210x10-3= l33,6gkN. N = 300kN>133,68kN, decieste necesareconsiderarea acesteiinfluen{e. 6". Se determind:

o=fA = l?! i9: =46,58N/mm2 e4.4.1A2 x2'1'1o5 =l-=ffi=4e1'61N/mm'z -3'142 o- =n?i

'

-lt -500cm-or, =6 4 ,9 4' trv:t=

7".

r,? 0 " , coeficien{ii pentrucalculul decoreclie Tnteorianeliniard sunt: n=1-g=0,90 5 oE

gidin tabel (Anexa9) rezulti c = 1,0. 8'. Condilia de stabilitate,la limitd, scrisd in secfiunea de la jumitatea deschiderii devine: 6- m --ax -

Ne r in .A

cM.

+-' ' n

t =R "

W,

gi, explicitdndtermenii,se obline 300.103 * 1 .3,125.q.106_rrr., - 4 'v' 0,659x64,4.102' 0,905 2.191.103 : Dupi efectuareacalculelorse obline ecuafia = 210 70,689+9,039.e de unde rezulti q*" = 15,41kN/m.

a Rezistenlamaterialelorll

233

b) Siqeata la iumitateadeschiderii(sectiuneamaximsolicitati) 1".SdgeataTnteoriade ordinull, pentruQ= Q""p= 15,41kN/m , se determinicu formula luiMaxwell-Mohr(figura5.21) 15,4.|kN/m

Figura 5.21 w"^ = f i t ro * =L (r*? -r4 B .1Gx2.s*9*tzs) = E trJ

:

Ely\

3

I

)

=1,5.cm' 15,63mm

fr##Hrc=

Pentru calcululsigelii a fost consideratdnumai incovoiei"ea din forlele q, deoarece axialSnu producesigeatd. compresiunea 2'. in teoriade ordinulll, sigeatarezulticuformulalui P6rry:

=\723cm. w,,=5=r:u9:T "

n 0.905 10%maimaredecAtin teoriade ordinull. Sigeataestecu aproximativ

PROBLEMEPROPUSE ox Problema 5.1: Si se verifice stabilitateast6lpuluidin figura 5.22,gtiind ci R = 210N/mm2. P= 2 5 0 0 k N I

1i{ .ll

-ll +L

w

Figura5.22

234


Rdspuns.' o. =210N/mm'

0x Problema5,2: si se dimensioneze, linand cont de flambaj,stalpulcu secliune inelaridinfigura5.23.Sedf,: t = 0,10D 9i R = 210N/mm2 .

f-. Figura5.23

Rdspuns;

An"" = 39,68cm2 $ealege:D=120mm, t=12mm.

s Problenna5.3: Se considerdbara dubluincastratdcomprimaticentricdin figura 5.24. Secliuneabarei se realizeazddin doud profile U16, sudate continuu,agezatein doui variante: (1) spatein spate

Q)tup in fa!6.

geometrice Caracteristicile aleprofilului U16sunt: A, =24cm2: lr,,= 925cmoi l.r = 85,3cma; e = 1,B4cm; b = 65mm. de calcula oleluluieste R = 210N/mmz $tiindcd rezistenla , se cere: a) si se siabileascifo(a capabiliin celedoui variantede execufie; b) si se calculeze raportulintreinerliaminimigiforfelecapabileoblinutein cele doui variantede execufie.

T


l*

T

235

varianta(2)

.l

i

* r*

ztvzl

*

z1

z1

Figura5.24 Rdspunsuri:

= 467,7tt
a)

= s36,6+trt't PiSJ p(z)

l(z)

b)

1f;y=a'6+; ffi=1,28 'z mp

tx Probfema 5.4: StAlpulincastrat la bazd gi liber la vdrf din figura 5.25 are sectiunea alcituitd din doui profile U30solidarizatecu plicule. $tiind c5; Ar = 58,8cm2; lr, = 8030cmo; ir,,:11,7cm; l.r = 495cmai e = 2,70cm;

iut= 2,90cm;

gi rezistenlade calculeste R:210N/mm' , sd se verificestdlpul. I p = 2 1 0 0 kN |

. v

1r || "l I I I l. -'t-

I

2U,o

r-",-::/_

Pi T #" i N " U i J 1"" j ;" - l I

:oomm

I

77277

ll!@---lf,rr?l Itr tlt --r l*t".l f*l lsoomm

lSm----troq1 1 IH H I+ ILtFF--Trr\fl t
Figura5.25

238


Rdspuns.'

o, = 203,62N/mm2.

.s Problema5.5: PentrustAlpuldin figura5.26,av6ndsecliuneaalcdtuitddin profileI solidarizate cu pl5cule,se cere: a) dimensionarea montantutui (R= ZtoN/mmt); b) stabilireadistan[eidintrepldcule1,: c) determinarea distanleic intrecentrelede greutateale montantilor.

J"=:"*

I

i

o :I .- .- a- .- ,-

i

+y

! t

fz

lfL----rrrrrzl

lturr---FfilT l@h".dl

l.Ml

i

I

-

Finr rra 6 DA r lvurq v t&v

Rdspunsuri:

a) montanth2 b) t1=400mm(10p a n o u ri) c) c = 120mm

I I

I

i

I i

aY'Probfema 5'6: Pentrustdlpulmetallicdin figura 5.27, av?ndsectiuneasolidarizatdcu plScule,se cere: a) Stabilireaforlei capabile pe direcfia materialS,gtiind ci montantut U20 are urmdtoarelecaracteristicigeometrice: A, =32,2cm2i lr, = 191Ocma; i, =7,70cmi lr =14&cmai e = 2,01cm;

irr =2,14cmi

b) determinarea distanlei a intre montanli, din condilia de echistabilitatea sec!iunii;

\


237

c) considerAnda = 100mm, sA se stabileasci forfa capabil5corespunzdtoare. Se di R = 210N/mm2,

l*' i

E E

oi --+-.

I

@

x

I

'c

i

o c G

iz

(o

Figura5.27

Rdspunsuri:

o) P*p,v= 907,46kN; b) a = 120mm; c) Pop= 792,5kN.

rr Problema 5.7: Grinda static nederminatedin figura 5.28 este solicitatdla incovoiere giefort axial. Se cere: a) verificareagrinzii?nteoriade ordinulll; b) sdgeatala jumdtateadeschideriiin teoriade ordinulll. N/mm' . Se dd: R = 21ON/mmt, E =2,1.106 200x12mm

N=4O0kN

N= 4 O0kN

<--

ffi Figura5.28

Rdspunsuri:

8) o,", =224,25N1mm2: b) w[ = -2mm.

234


lndicafie: $istemul este o datd static nedeterrninat.Pentru trasarea diagramei de momentincovoietortrebuie ridicatdnederminarea,prin aplicareateoremeilui Menabrea ^^.. lcru

^ f--..1^: cr rrJtilrurrtt

ir^.^.,^tl lvrd,(wtiil

ir^Lrvtuilr

-

/.,^-: (vtrz,t

^^-lt^r..r udlJil.ulul

4\ oj.

rF Problema 5.8: Pentru stAlpul din figura 5.29 se cere sd se calculeze lungimea maximd €,.* p€ care o poate lua consola, astfel incit si fie verificati conditia de stabilitatein teoria de ordinulll. Se dau: R = 210N/mm', E =2,1'1Oo N/mmz. profilului Caracteristicilegeometriceale U30sunt: A, = 58,8cm2; lr.,= B030cmu; W' = 535cm3; ir,,- 11,7cmi lrr = 495cmo; W.l :67,8cm3; irr = 2,90cm; e=2,70cm; b=100mm-

+-+ I tp = 7 5 0 k N

arl ts Fh ffi FlI ht:i'H-' |

i

|

??h?

r*H) 7i

rz

Figura5.29

Rdspuns;

ln funcliede rqodulde dispunerea secliunii,avem: e* = 5,83cm - in cazulin care P actioneazdTnplanul(xoy); e,,* = 13,75cm- in cazul?ncare P acfioneazdin planul(xOz);

I E-


239

Capitolul6

CALCULULPRACTTC LA $OC 6.1 INTRODUCERE Solicitareaprin goc se caracterizeazdprin aplicareaincdrcdriiasupra elementului de construc{ieintr-un timp foarte scurt, astfel incdt viteza de deformare9i acceleraliile imprimatesunt mari. in mod real, fenomenulgoculuieste urmat de vibralii libere ale elementuluistructural,inso{ltede apariliadeformaliilorplastice. Studiul experimental al caracteristicilormecanice ale materialelor aratd cd aplicareadinamicda incdrcirii conduce la cregterealimiteide curgereodatd cu viteza de incircare, iar ruperea are, in consecinli, un caracter mai casant. Modulul de elasticitateE nu este practicinfluenlatde vitezade incircare. Analiza rdspunsuluielementelorsolicitatela goc relevi faptul ci deformaliilegi deplasdrilemaxime apar inainte ca forlele de amcrtizaresi atenuezeefectul acliunii dinamice. Rezultd astfel cd pentru evaluareasiguranfeiunui element de construclie prezinti interesdoarfaza premergitoareinceputuluivibrafiilor. Studiul riguros al solicitdrilorprin goc este deosebit de complex, necesitAnd luarea in considerare a caracteruluipronunlat aleator al acliunilor 9i modificdrile caracteristicilor mecaniceale materialelor. Calculul practie simplificat, pe baza ciruia se oblin rezultate suficient de exactepentrusitualiilecurente,admiteurmitoarele ipoteze: (1)comportareaelementelorse considerdelastici, fdrd incursiuniin domeniul plastic; (2) deplasirile sistemuluisupus la goc sunt propo(ionalecu fo(ele aplicate (staticsau dinamic); (3) deformareasistemuluise produceinstantaneu; (4) se neglijeazdmasa(9i respectivine(ia) corpuluicare sr.lportdgocul; (5) corpul care producegocul este rigid gi, dupd impact,funclioneazdsolidar cu elementulstructural. Rdspunsu/ dinamic al elementelorde construclie(deplasare,tensiunesau efort) se determindcu relatia: Ro=V.R,r (6.1) unde:

R", este rispunsul structuriila actiuneastatici a incdrcdrilor;

V este coefrcient dinamie, sau multiplicator de impact. Determinareacoeficieniuluidinamicse bazeazi pe iegea conservirii energieiin procesulciocnirii.Relaliilede calcul ale acestuiadepind de direclia pe care se migcd corpulcare produceimpactul;se distingastf.eldoudsitu4tii: - goc verticat(cddereacorpurilor,fortp produsede ciocaneleutilajelor,deplasdri brugteale ro$lorpodurilorrulantedatoritdneplaneitiliiciii de rulare,etc.); - goc oizontal(izbirea elementelorde construcliede cdtre vehiculesau mase rezultatein urma unor exploziietc.)


6.2 EVALUAREACOEFICIENTULUI DINAMIC 6.2.1$OCVERTTCAL Pentru $oc verticaltransversal(figura6.1,a) sau longitudinal(figura 6.1,b), coeficientul dinamicareexpresia: (6.2) unde:

v' - vitezacorpuluicarecade in momentulimpactului; g - acceleraliagravitalionald; h - indllimeade la carecade corpul. intre acestemirimiexisii relafia:

v, = nEQlh

(6.3)

Mdrimea5r, reprezintideplasarea care s-ar producedacd forla P ar actiona static pe direcliade migcarea corpuluicare produceimpactul9i are un caracter conventional.

tu

P = m.S *

-,1:Ii

* t. ln I { | '4"

60"

Figura6.1 @bsenrafie:Daci se cunoagtemasa corpuluicare produce impactulm, incdrcareacorespunzitoare estereprezentatd de greutateaacestuia P=m.g (6.4) u nd e g =9 ,81 m/s'?. Din rela$a(6.2)rezulti ci pentruh > 0, coeficientul dinamicV > 2. ln realitate, coeficientul dinamicoblinutpe caleexperimentali are valorimai reduse,deci calculul simplificatete acoperitor.Abaterilesunt datoratein specialnerespectiriiipotezelor introduse in par4raful6.1,dintrecarecelemaiimportante sunt: plasticeTnzonade impact; - aparigadeformalilor - cediri de reazemesauimbindri: rmseicorpului - neglijarea lovit.

5*.

\


241

6.2.2 $OC ORTZONTAL $oculorizontalseproduceatuncic6ndforfaimpulsiviP nu incarcdbaradupd lovire(figura6.2).

..m.v (1 )

P=m'g

Figura6.2 oe ^^

- - - - 4- a: uuill'lala

dinamicrezultS:

l.-.^!:------t

-: lJa uuPa

rtilPdul,

lur+ar nu Pluuuueruutu 'lreuailru.

a- J -

h

J -. --

r.

\!r=-L '

uueilcteillul

(6.5)

Jg '6 "

semnifica{iatermenilorfiind aceeagica gi in paragrafulprecedent.

gt RtctDtTATE DE REZTSTENTA 6.3 CALCULUL LA gOC pringoclucreazdin cond$ide siguranfidaci Elementle de construc$isolicitate estesatisfdcutdcondilia de rczistenp: oc"rr* - V. arr""* < R in care:

(6.6)

R este rezistenta de calcula materialului;

ry este coeficientuldinamic (vezi paragraful6.2) gi ost,mdeste tensiunea maxima calculatdin ipotezaacliunii statice a forlei impulsiveP. Pentru exploatarea normal5, elementul de constructietrebuie sd satisfaci gi condilia de rtgiditate: 6din.rr, = ip.6r,.no*

in care:

(fro,

tu., /

5,.,* este deplasareape direc{iade migcarea corpuluicare produce impactulTnipotezaac{iuniistaticea forlei P 9i f"o, este deplasareamaxim admisdprin standardegi norme.

Mdrimeatensiuniio", gi a deplasdrii6", este propo(ionaldcu forfa P, considerati a fi aplicatdstatic. Multiplicatorulry (coeficientuldinamic)depinde de viteza corpuluiin momentulimpactului9i deplasarea6$, care apare la numitor- relaliile(6.2) 9i (6.5).


Legatde acestease potface urmdtoarele @bservafii: (a) Cu cAt rigiditateaunui elementde construcliecregte,deplasarea6., scadegi coeficientuldinamiccregte.Tnconsecinld,cregferearigiditdlii amplificd efectul dinamic al forlei. (b) Reducereacoeficientului dinamicse poate obline prin inlroducerea unui straf de amortizareln zona impactului.Straturilede amortizare se realizeazddin materialeelasticecu modulde elastieitateE redus (cauciuc,lemn)carepermitdeplasdrimarisubfortaP aplicatdstatic. @bservalie: Utilizareastratului amortizoreste mult mai ra[ionali in cazul elementelorsupuse la qoc longitudinal(de exemplupiloli bdtuli in teren) decAt dimensionarea secliuniidincondiliade rezisten!5 infaza de batere. Solicitirib prin goc sunt deosebitde periculoasein cazul elementelorde construcliein care se producconcentriride tensiuni(variafiibrugteale se{iunii, crestituri,goluri,etc.).Rupereapringocse poateproducecasant- chiargi la materiale ductile,sub sarcinistatice- datoritdfaptuluici deformatiile plasticenu se pot dezvolta completla viteze mari de aplicarea incdrcirii. Materialelecasantevor fi testate in prealabilla gocAi,pe cdt posibil,evitate. Tn continuaresunt prezentateetapelede calculpentrucele trei problemeale RezistenfeiMaterialelor. l. Verificare . Date: - schemastaticda barei; - forla P careproducegocul - indllimeah sauvitezav,; sectiuneabarei; de calcu!a nnaterlalului - rezistenla R; E. - modululdeelasticitate . Se cere: - verificarea eonditiei de rezistenfigide rigiditate la goc. . Rezolvare: 1o. Pe schemastatici a bareise considerd ac{iunea staticda forleiP qi se determind pe direc$aacesteia5o. deplasarea @bseruafie:Determinarea deplasirii 6", se poateface cu formulaMaxwell-Mohr (paragraful 3.2.2.2)sau aftemetodd(deexemplucu metodagrinziifictivepentrubarele incovoiatesaudirectpentrubarelecomprimate axial). 2". Se determinicoeficientul dinamiccu relafiile(6,2)sau(6.5),respectiv y=1+

\l aY ,, -

V' /-----=-

g'6"'

1

6o

pentru goc vertical pbnku goc orizontal.

{ 9' ba

3o. Se facecalcululstatic al barei(trasarea diagramelor de efoiluri)in urmacdruiase stabilegte efortulmaxim(Nn'. sau M* ) gi secliunile periculoase.

T Rezistentamaterlalelorll

243

4". Se determindtensiunileextremein secliunilepericuloase, cu relaliilespecifice solicitdrii simplecareapare: pentrucompresiunecentricd, pentruincovoiere,

respectiv

sauprinsuprapunere de efectein cazulsolicitirilorcompuse. 5". Se calculeazitensiuneadinamicdgi se comparicu rezistenlade calcul- relatia (6.6): 6 0.

ddin.oa" = V'o"t.tu*

( R'

Dacdestesatisficutdcondiliade maisus,se spuneci bararezistdla goc. Verificarea la 9ocpresupune condi{iei de rigiditate stabilirea deplasiriidinamice 6 6 1 n= g ' 6 .1

,

care se comparaapoi cu valoareaadmisibili dati f,0,. ll. Dimensionare

. re,:

. Se cere:

- schemastaticea barei; - forfaP careproducegocul - inalfimeah sauvitezav,; - sectiuneabarei; R; de calculamaterialului - rezistenla E; - modululdeelasticitate secliuniitransversale. dimensiunilor - stabilirea

. Flaznlrraro'

fl 6-*iderdnd for{a P aplicatdstatic,se determini deplasareape direcliafortpi, ca geometrice ale secliunii (aria A pentru solicitarea axiale, funcfie de carac.teristicile respectivmomentulde ine(ie I pentruincovoiere)-+ 0",(R;l). 2o.

$e precizeazi coeficientuldinamic -+ ,y(n;t).

3o .

Se determindtensiuneanormaldstaticS-+ c,,(n;W)

4".

Se scrie conciiliacie rezisienti la goc, la limiti oo',: y(A;t).o.,(AW)
Tn cazul Tn care caracteristicile numerice pot fi exprimate prin intermediul unei singure mirimi, ecua$a rezultati se poate rezolva numeric sau analitic. Este cazul secfiunilorsimple - circulare(razaR);

(l = 1.'.2). - dreptunghiulare D

Pentrucelelaltecaz:n (de exemplu,profilelaminate),se considereinecua{ia: \r(A;l)-o.,(A;W)
Rezietentamaterialelorll

lll. Sarcini capabilfr . Date: - schema statici a barei: - dircnfiz

fnrtoi

P'

- indllimeah-sauvitezav,; de calcula materialului R; - rezistenfa elasticitate E. - modulul.de ' 9e cere: - forla maximi care poate solicitabara (sarcinacapabilela goc). . Rezolvare: 1o. Din forfa P aplicatdstaticse deterrninddeplasarea-+ a,,(p); 3o.

Se precizeazl coeficientuldinamic -r V(P); Se calculeazdtensiuneastatici extreme -+ oo(R)

4" -

Din condiliade rezistenli la goc, scrisi la lirnitd,se ob{ineo ecua{ieeieforma:

2".

ry(e)1o"(r)= 3 prinrezolvarea cdreiaseoblinesarcina capabiliP. /

EXEMPLEDE CALCUL

E Exemplul6.1: Se consideri grinda metalicddin figura 6.3, incastratdin A gi simplu rezematd in B, avAnd secfiunea alcdtuitddin doud profile U20 . Pe capdtul tiber C al grinziicade o masi de 100 kg de la o indllime h=3cm . Se dau: - caracterisicilegeometriceale profiluluiU20 : lur= 1910cma; W,.,= 191cm3; - R=210N/mm2; E=2j.105N/mm2: - I = 9,81m/s2' Se cere : (a) si se determinesdgeatadinamici in capdtultiberC ; (b) verificareagrinziila goc ; (c) sd se stabileasci Tnillimea maximd h,,* de la care poate sd cadd masa m = 100k9, astfelinc6t grindasi nu cedeze la impact .

i

iI

t

I It

u

4m

t

2m

t

Figura6.3

Rezistenlamaterialolorll

Rezolvare gi este solicitati la goctransversal GrindaABC este o dati staticnedeterminatd de cdtrefo(a = 981daN = 9,B1kN. P = m.g = 100k9. 9,81m/s2 a) Siqeala dinamici in sectiuneaC 1o. Se calculeazi sigeata static6 in secfiuneaC (w.,,"), consider6ndgrinda solicitatd staticde fortaP (fig.6.a). . Baraesteo dati staticnedeterminatd 9i se va ridicamai?ntAinedeterminarea, aplicindmetodaeforturilor(paragrafu I 3.2.3.2): P = 9.81kN a)

P .9,81 kN

Figura6.4 se construiegtesistemulde bazd ( S.B.) prin eliminareaunei legdturi (figura6.4.,b) suplimentare se traseazadiagramele de momenteMo din forla P gi m, din necunoscuta staticnedeterminatd X, ='l se calculeazicoeflcienlii : e

r'

ti,,,=Jtllrd x=1 .0 .0 .4 =y= 21,83 3 3 0t lll

=-j ts ,oz . + . 2 * a . 3 9 , 5 4 . 4 .+ A ,o= fMo.ml .dx l=- s o e , z + Lvt

246


- se formeazeecualia

6 ,1.X, * A ,o = g

girezulti necunoscuta =17.167skN. X.' =-A,o -966,24 6,, 21,33 Cu aceastdvaloare,diagramade mornentefinaldeste reprezentatd in figura 6.4,c. . Se calculeaze (figura sageatain secliuneaC, aplicdndformulaMaxwell-Mohr 6.5). P = 9,81kN

Figura6.5 Rezulti: =r' wsr,c

1

tr lY

t.,

l(M,+Mr)'m'dx 6

.o.3 .o- 1.os.oz .4.2 -1.os.oz .+.?.q1= =-l- [1.s8.86 E lyLz

3

2

2

3

-i

_ 65,4kN'm3 EI, Penbu sec$uneaalcStuiti din doui profileU dispusefa!5 in faln (figura6.3) rezultd l, =2.|y =2'1.91O= 3.820cm4 W, = 2'Wr, =2.191= 382cm3,

L

T Rezistenfamaterialelorll

247

Cu aceasta,se obfinesigeatastaticiin capdtulliber 6?'4'1012 . =B.o4mm w-^ = . 21.14".3.820. 1 0 " coeficientul dinamicpentru$ocvertical: 2o. Se calculeazd

3o. Sigeata dinamicdeste: Wdin.cV'Wut.c= 3,909.8,04= 31,429mm ^:3,14Cm b) Verificarea qrinzii la eoc Coeficientuldinamlca fost stabilitin paragrafulprecedent. Se determind tensiunile extreme in cazul solicitdrii statice. Din diagrama 1".

(figura6.4,c)rezultelMl*- = 19,62kN.mgi tensiunilenormale momentelor incovoietoare -lMl* -19'62'1 q 6= 5 1 3 6 N/ mm2 lol r rsr,ru W

2o. gi

382. 10 "

Tensiuniledinamicevor fi 6oe': V' lqo* : 3'909'51'36: 200'77N/mm2
decigrindarezisti la goc.

c) Determinareainil$mii h,,-. (de la carepoatese cadi sarcinaP) Dincondiliade rezistenfi,scrisi la limiti 6dinr*, = V.a 'lol*,,'", = R

vo,a,=-E- =g*=4,088 . lolr,,,"* 51'36 i dinamic Maideparte,din expresi" "o"fi"'"ntulu

rezultd

v' :1+.h* t=l y =4, 0 8 8 8,04 obtinem

I = h* 34,33mm.

C0 Exemplul6.2: Pe mijlocul unei grinzi metalicede secfiune dreptunghiulari cade greutateaP=1kN de la o ?nd[imeH=20cm. (a) Se se dimensionezegrindaconsiderAndI = t, b (b) Sd se calculezesdgeatadinamicd. . Se dau: R = 21oN/mm2qi E = 2,1'105N/mmz

248

Rczistenlamaterialelorll

=1kN

H=20cm

+Lr + '' Y hl -f

1 ' -i- 't i z

Figura6.6 Rezolvare a) Dlmensionarea qrinzii 1o, Se calculeazdsdgeatastatici la jumdtateadeschiderii. Pentrugrindasimplu rezematdaceastraeste: (Anexa 10) w.t i I i

i

I iI

'v-*Tr-

h

gi,lindndcontde raportulimpusal laturilor(i = , ), rezulti

o.(z .u = ) 'z . b o ,tt =_ --12

I

II

I I

II I

I II I

II

3

er: aceasta, sigeata devine ! v _= -

"

i I I I

1000.(3000)3 3 48.2,1.10', 2.bo

4.417.857.143 b*

undetoatemirimilesuntexprimate in [trt]Si [mm]. 2". Coeficientul dinamicpentrugocverticaleste 2.20 0

=1+

\-r=1+

' ba = 1+ {1+ 0,9955.10-4. b4 4.O17.857.143

3". Tensiuneamaximi aparein sectiuneade la jumdtateadeschiderii, undeavem rnomenfulincovoietor

P't 1'ooo'3'ooo =/ c U . u u u l \ . l T l l T l r =7so.oooN.mm, -.

I

I II II

48.Ely

Secliuneadreptunghiulari are momentuldeine(ie: , b'h'

I

I

P .f

f v f d= 7- = -

4

gieste egali cu:

O-

='-

M.

'W' Exprim6nd modululde rezistenli in func{ie deraportul impusal laturilor, rezultd q 'l ' b '4 'ba =2 ' bu w v.'= 6

6

3-


750.000.31.125.000 o., = __I16il =

9l 40

b3

la9ocrezulte Dincondifia derbzisten[d

t't'ot;ooo =v.oo=t*l?*o,ssss.ro*.t* nr'to ooin )

termenii sau,rearanjand .b3 .b4< 0,0001866 t + Jt + o,ggss.10-4 .b" - 1+ 0,9955.104 0,0001866 Ecuatiase rezolvanumeric.Notdm: b3-./t + o,ssss'10* .b4 F(b)= 6,6991866.

>1

giavem: rb=0 o b = 100

-) -+

f(O)=-t F(b): 86,82

Se injumdtSlegteintervalul -) o b=50 . b=60 -) . b:55 -+

F(b)=-163s7 F(b)=#727 F(b): 0,8471 o b = 56 -+ F(o)=146a6 = Se alegeca gi solulieb 55mm. RezuJtih:2'55 = 110mm. aleasd(bxh = 55x110mm): Se verificisectiunea W"t =

1.ooo.(a.ooo)'=0,4391mm;

48.2,1., 105. 6.100.416,667

=91P ', V=1+ 6sl

=G.1oo.41o,o67mma; = 31,20;

1.000.3.000 = 6,7618N1mmz;

4.11.091,667 55.11o'z= = ---:: 11.091,667; vv.. v6

oR=210N/mm2=3120'6,7618=21096N/mm2 6drn Depdgirearezistenleide calcul este de aproximativ0,5% (valoare acceptabili), deci sec{iunea aleasi satisface conditia de rezistenli la goc. .

b) Siqeata dinamici Sdgeatamaximdapare la jumitatea deschiderii wain= V' wst= 31'20'0'4391= 13'7mm'

250


[E Exemplul6.3: O greutateP = lOkNcadeaxial,de la 15cm inSlfime, pe varfulunui c.fAln

mofalin

da

conlir ev v :r s .

rna rv

nifratiqts

a -_

s

F q( r

Arm |

| !

Qx

vq

FA 99

-vt

R = 210 N/mmzgi E = 2,1. 105N/mmt .

verifice stAlpul,gtiind ce

E o lf,

n

H=1m

Figura6.7

Rezolvare 1'

2".

Stdlpului, solicitatla compresiune axiali,Tiesteaplicatun goclongitudinal. Deplasarea la vArfdin acliuneastaticia forleiP este P .H 10-10 3 x 1 ^ ^ ^=0,02976mm '": EA ^ A=a2 =4x4=16cm2 Coeficientuldinamic V=1+

t* !

4.,

= .1 +.

l^ v

2x15

= 32,76 ^11* :--:-:-:=-:0,02976

Tensiuneanormalgstaticdin stdlpeste

o", * =9=|!jg=6,25N/mm'

4".

A 16.10' Cond(ia de rezistenfd,sescrie :: : : ocin Y'o"t 32,76x6,25= 204,78N/mmt < R =210N/mm2. Deplasareadinamic6la v6rf este J* : Y .A"r:32,76x 002976= 0,975mm.

L-

-T Rez'Ftenfamatcfi alelor ll

E Exemplul6.4: Un stAlpmetatic,confeclionat din profil140,estelovitla vdrf de o greutateP, carese deplaseazd Euvitezade v = 1m/s.gtiindcd: lv = 29.210cm4;W, = 1.460cm3; l, = 1.160cma; W, = 149cm3; g = 9,81m/s2; R=210N/mm2; E =2,1 . 1 0 s N/ mm2 , se cere sd se determinemasamaximi a curpuluicare lovegte,astfelTncit stilpul sd respectecondiliade rezisten!*fa9oc. v=1m/s

-rts

I

I

El

tol

s,i I

'l

+

Figura6.8

Rezolvare 1"' Se considere@ P ca filrd aplicati static transversalpe axa stilpului. ln aceasli ipotez6,sdgeatahvirf este (Anexa10): Pt3 *o =EEr

2".

Coeficientul dinambsecalculeazicu relalia(6.5)

Y=d;

,i

,

gi,lnlocuindexpresiasege$,se ob{ine

,, , '

u/- V{

JIEI

ffi

Momentulstalic nraximeste in incastrare M ro = P ' l

gi tensiuneamaximdrezultil P.t

otr,t"t =F

lI


4".

Condiliade rezistenldla goc este ooin= Y 'o " t

(R

v

p.t

gi,scriindla limitS,rezulti $E t

- ..- :r - =|\

n

t ,'l g' ( .' Pw

De aici rezultdsarcinacapabili la goc P=91-.R:.W'? 3v2El Mirimile care intervinse inlocuiescin expresiade mai sus avind ca un1dfide mdsurdde bazi [N]9i[mm]:

. w2 4 7 1 * 7 s w2 r=99'9i ' --3*tood?'-u90 . 2 1 0 2 - r"Io/ 2J{ot'-=

| Deoarece nu s-a precizataxa dupd care se produce gocul, vom evalua fo(a capabil5pe ambeleaxe: - pe axa Oy:

= 125.28N P.= j,716751'169: . ' 29.210 - pe axa Oz: P- =171.675149' =32,85N L 160 Rezulti

P = min(P'P.)=32,851.t iarmasamaximia corpuluicareproduceimpactulpoatefi

ffi.",=!:3:S=3,3sks. g

9,81

PROBLEMEPROPU$E f Problema 6.{: O grindd metalici este incastratdla ambele capete gi are secliunea alcituitd din profil 124(y=4.250cmat Wy =3S4cm3).La jumitatea deschideriicade o sarcind P=SkN, de la o inillime h=Scm. $tiind cn (,=6m, R=210Nlmm2 gi E = 21.f 0sV*mt , se cere: a) verificareagrinzii la goc; b) Tneqineamaximd de la care poatd si cadi sarcina p.

F'

'I Rezistenlamaterialelorll

253

= 5k N

@ Figura6.9

Rdspunsurt:

c* Problema 6.2: Stdlpul metalicsimplu rezematdin figura 6.10 este lovit la jumdtatea Tnallimiide sarcina P=10kN, care se deplaseazeorizontal,cu viteza v:1m/s. Seciiuneastf,ipuiuiesie aiciiuiti dii-rdoufi pr-ofiiei40, suciaieconiinuu.$iiincicd sarcina P se poate deplasape oric€lredintreaxele sec{iunii(Oy sau Oz), se cere: a) verffieareastAlPuluila goc; b) sd se determine viteza maxime a sarcinii P; c) segeatadinamicS. Se dau: . N/mmz, g =9,81m/s2 R: 210lVmht , E =2,1.705 Profil 140: lr.,: 29-21Ocma; W' = 1.460cm3; lr = 1.160cma; b =155mm;

W,, = 149cmt; A, =118cm2.

@-i15

+

i z1

P = 10k N

h .GtI l,r vrtr

r4O

Figura6,10

-;)

254

Rozistentamaterialelorll

Rdspunsuri:

= 85,63N/mm2, ?) oo,n,y

cdin,,= 176,60N/mmz < R.

b) V.*,, =2,45m1s,

Vr*.. = 1,19m1s

: !1 gm/s. Vr"* = min(vrr",r,v*"*,,) = 3,06mm; wdin,,= 4,07mm. c) woin.v

cx Problema 6.3: Sd se dimensionezegrindasimplu rezematddin figura 6.11, realizatil din lemn gi avdnd secliune pdtrati, gtiind ci este solicitatdla goc vertical, de sarcina P = 2kN , care cade la jurndtateadeschiderii,de la tnilfim€? h = 3cm. Se dau: R = 210N/mm29i E = 2,1.10s N/mmz. = 2kN

* h=3c m

ffi1

+r+ Figura6.11 Rdspuns;

bn""> 13,5cm;se alege b = 15cm.

.i' Problema6.4: Pe capdtulliberal uneiconsolemetalice,avdndsecfiuneadin figura 6.12,cadeo sarcindP, de la iniltimeah = 1Scm. se -si determine: a) vatoareamaxirnia sarciniiP, astfelinc6tgrindasd rezistela goc; b) sdgeatadinamiciin capitulliber. Sedau:E :13N/mm29i E = 1.10a N/mm2 .

Figura 6.12 Rdspunsuri:

?) P*u*= 2,36kN; b) wo* = 6,36mm.

b

r.db-

\


255

ANEXA 1 1.1 Mdrirnimecanicegi unitifi de misuri

Nr. crt.

Mirimea mecanici

1.

Fo(d, incircare concentrate For!5 distribuiti - liniar

2.

3.

4.

Denumirea unit5[iide misuri in Sl

Simbol

Unitilida milsuri utilizatein aplicafii curente

newton

N

KN

newtonpe metru

N m

KN m

- pe suprafald newtonpe metru pdtrat

N m-

KN

Tensiune mecanicd (efort unitar)

Moment (incovoietor sau de torsiune)

newton pe milimetru pdtrat

nowfnn

nri mctn

mmN.m

Obs.

1kN= 103N

1$=103I

1q= 10' + m.

F

N

t

Echivalenfacu unitilile de m{surd Sl

daN -...-.; cm'

t

kN-m daN-cm

d"T = cm'

-\ 1o-1

mm'

lk}l-m = 106N.mm 1kN.m= 1OadaN.cm

1.2 Denumirile gi simbolurile prefixelor pentru formarea multiplilorEi submultipliloruzuali submultipli

Denumirea prefxului

mili

Simbolul prefixului

m

multlpll centi deci deca hecto kilo d

Factor de multiplicare 1 0 -3 10-' 1 0 '

da

10

h

k

1o'? 103

256


ANEXA2 2.1 Rezistenlede calculpentruconstrucliicivire,industrialegi agricoledin ofel (STAS10{08/0- 78} i nl N I

Lmm' l

Specificafie

Produselaminate Rezistenlanormatd Rezistenla de calcul - intindere,compresiune, incovoiere; - forfecare. B. Gordoanede suduri lmbindricapla capsolicitate la: - compresiune; - intindere; - forfecare. imbiniri de col!,solicitate la forfecare lmbindrinituitecu.nituridin - forfecare; pe per4iigiurii. - presiune D. imbiniri bulonatecu guruburi din grupa , , - forfecare; - presiunepe pereliigiurii; - intinderein t'rjd. E. imbinid bulonatecu guruburi' brub - forfecare: - presiunepe peretiigiurii; - intinderein tiji.

Simbol

Coeficient aplicat fafi de R

Marca o,telului

oL37 oL52

RN

230

350

R Rr

0,6

21A 120

300 180

R:

1,0

210

300

Ri Ri

0,8

170

240

0,6

130

180

R;

o,7

150

21A

Ri

0,9

oL34 170

oL44 220

R;

2,A

42A

600

(4.6)

(6.6)

Ri

0,8

17Q

240

R;

2,O

Rl

420

600

0,8

174

240

Rl

0,6

130

180

R3 Ri

1,6

340

480

O,B

170

240

Rezistenlannaterialelorll

257

ANEXA2

2.2

Rezistenfe caracteristice gi de calcul (valori de bazi) ale betoanelorobignuite Înl -N l -l l

Lmm'l

Tipul rezistenlei

Notatia

compresiune

R*

intindere

Rk

compresiune

R"

intindcre

R,

Glasa de beton Bc EC BC

ttc

ttc

BC

B€

3,5

5

7,5

t0

Bc t5

a

4,5

6,4

8,5

12,5 1 6 , 6 20,5 24,3

2A

25

3{t

35

rtc 40

28

3 1 , 6 38,5

Irc

Bc 50

BC

60 45

caracteristice

de calcul (valori de bazi)

0,76 0,92 1 , 1 9 1,43 1,65 1,86 2.03

a,a

3,2 4,7

AE

o ,5

9,5

12.5

15

18

2,2

2,51 2,78

20,5 22,5 26,5 3 1 , 5

0,6 0,8 0,95 1 . 1 1,25 't,35 1,45 1 , 6 5 1,85

258


ANEXA2 2.3 Rezistenfede rupere,limitede curgere,rezistenfede calcul Vatori informative, in f#l Materialul OfelOL37in piesecu t<'l6mm 16
Rezistenfa de rupere o,

Limltade curgere 0c

Rezistenlade calcul

i, C, In

370 370

240 230

220 210

I, C, In I, C, In

440 440

290 280

260 250

I, C, In I, C, ln

520 520

360 350

315 310

I, C, In

350

230

210

I, C, In

450 400

260

I, C, In

I, C, In

500

Solicitarea

r,c, In

I

l bu

c

300

240 150 210 45 160

ll

200 360

180

Aila|e AFMn SaUAt-Mq eCrurSaI Aliaje Al-Mg-Si cdlit-revenit

I, G, In

Aliaje Al-Zn-Mg

I, C, In

Potiesteriamati cu fibre de stide tip roving Zidarie de piatra bruta cu mortar de ciment' Ziddrie de piatr5 lucrate[n asize cu mortardeciment* Ziderieuscat6* Zideriede cdrAmidS*

t,c,h I

c

170-230 200-270

120-160

100-140

140-190

30G.580 300-450 260-450

200-500

120-160 170-250

1,6-2,4 o,E-1,2 U

Betonsimplu8100-8300 Lemnmolidsau brad - in lungulfibrelor

U,O-J

tl I

a,o2-0,'t2 b,c-1u,c 0,75-'t,35

?_ 1 0 0,45-0,9

3345 52-77 60-100

13 15 11-13 2-2,5

52 93 123

't7-21

c LenngonmgS*il --tnfr€dfrrebr -perpeldohpefrrc

o5-1 'tu 60-175

8,$.17

tl

pe fibre - perpendicular

OU

c tl I

13-15

funcliede caliti$b 1*fei $ mortarului l-lntindere;C-comWesine;ln-incovoiere; ll -intinderedinincovoiere:F-Forfecare

L

\* Rezistenfamaterialelorll

25S

ANEXA 2

2.4 Moduli de elasticitate 9i transversald

coeficienfi de

contraclie

Modulde elasticitate longitudlnalE IN/mm2]

Moduld€ elasticitate transversalG IN/mm2]

Coeficient de contractie transversali p

O[eluricarbon

(2,0+ 2,1).105

( 8 , 0+ 8 , 1 ) . 1 0 4

O,24+ O,28

Olelurialiate

(2 ,1 + 2 ,2 1 -1 0 5

( 8 , 0+ 8 , 1 ) - 1 0 4

0,25+ 0,30

Material

Fonti cenugiealbi

hI

(1 ,' 1 5 + 1 ,6 0 )-1 0s

4,5.104

0,23+ 0,27

Cuprulaminat

1 ,1 .1 0 5

4,0.104

0,31+ 0,34

Cuprutrefilat gronzfosforoslaminat

. ^ .^5 | ,J' lu

z+,:r'Iu

Aluminiulaminat laminat Duraluminiu Zinclaminat Plumb Sticld Granit Calcar

1,15.105

4,2-104

0,32* 0,35

0,69.10s

(2,6 + 2,9).104

0,32+ 0,36

0,71.105

3,7.1A1

0,84-105

2,2.101

o,27

o,17.105

0,70-104

4,42

0,56.105

2,2'101

0,49.105

Marmurd

0,42.105

Gresie

0,56.105

Zidirb de piatri Ztdefiede cir5midd Betonmarca B 150-B 400

0,25

0 ,1 8 .1 0 5 (0,06+ 0,1).105 .105 (0,027+0,030) (0,21+0,33).105

(0,08+ 0,13).104

a,2g

Lemn: -

in lungulfibrelor transversalpe fibre

Cauciuc

Bachelitii Celuloid

(0 ,1+ 0 ,1 2 ).1 0 s (0,00*0,01).105 0,00008.10s 0,00043.105 (0,000143+ +0,000275).105

0,055-104

o,47 0,36 0,33+ 0,38

260

Rezastenlamaterialelorll

ANEXA 3.1 Caracteristici pentru profilul cornier cu aripi egale Conform: STAS424- 80

PROFITCORNIERCU ARIPI EGALE Dimensiuni,mase,mdrimistatice

Lungimifixs 4 +12m

Exemptu oenotarepedesen: g=5mm;l=10225 a=50mm; mm; Pentru L 50x50x5 ...10225

Calile!i oL 37

| = momentul de inertie raportat la axa de incovoiererespective

w

vYr

r";-

+-e+

,l|

urmenstunue Secltunrl

L 20x20x3

20x20x4 25x25x3 25x25x4 25x25x5 30x30x3 30x30x4 30x30x5 35x35x3 35x35x4

35x35x5 40x40x3 40x40x4 40x40x5

Imml a

s

r 3,s

atJ

f1

1,,+,5

25

3,5 5 J

30

2,5

4 c

35

z.J

40

6

2,67

axelof e

ManmrBslaoce oemru axe|g de ncovo|ere Y _Y :Z-Z l vo l t

[cm'l

lcmtl

lclnl

o,88

0,60 u,ti4 o,72 0,76 0,E0

0,3s

0,28 0,36 0,/15 0.sE o,7'l

0,59 0,5E

I,Jti

0,u4

1,4U

0,65

1 ,7 8

O,EE

1.EO

2,14

2,16

2,51

0,92 o,gtt 1,00 '|,o4

0,85 1,04 0,90

1,84

1,07

1,14

1 ,4 5

1,tiu 2.09

2,42

u,4'l 0,80 1,01 t,20

2.29 2,95 3,50 3,45

0,66

1,45

1,06 Lr)t 1,04

1,14

1,21

r,1u

4,47

lq5

1,21

5,43

'l ,91

1,Z U

6,43 td+

1,97 2,43

5,06

4,OrJ

9,16

2,88

1,:J4

3,89

3,06

,36

8,97

?,46

1,52

I,t I

+v

1 1,0

3,05

AAA

,45

12,E

3,61

1,51 1,50

4A

4,16

1,4S

4,45 5,ZC

,42 .82

6,89

,80

3 ,5

5 7

4,E0

60x60xB

I

9,03

7,Q9

,77

60x60x10

lo

't,'tu

8,69

,85

70x70x6

6

8,13

6,38

YJ

6

I

7Qx70x7 6

I

{s

6,56

6 {(

5,62

4,57

aai

5,42

1b

14,6 19,4 22,8 29.2 34,9

70

o.74 0,73 o,90 0,89

6

5&d0x7

70x70xE

u,/5

4 6

60

i v =1,

tcml

,23 1,28 ,32

3,49

5(h5OR6

@r6Ox6

w v oW '

lkEml

4,30

qR

45

5t)

ursranF

2,97 2 ,t4 3,38

?70

5

6tb<6(}r5

b

1 ,8 5 z,2t) 1,74 2,27 2.7E zJn 3,28 2,35 3,08

5

50*5Ox4 50<5O"5

Masa

llnlarA

1,42

45x45x4 45x45x5 t15x45x6

Ana

seqiunli A tcrnl

2

4

= raza de gkalie rapoilatA b axa de

Incovoiererespectivd

*t z1 z Denumirea

= modulul de rezistenti raportat la axa de incovoisr€ rcspedive

,Bl

|,JO

4,41

t6

36,9

7,?7

2,13 2,12

9,40

7.38

97

42,4

or4

1 0 ,6 0

U,3U

z,tJ1

47,5

9,52

2,11

|

70x7Ox9

I

11,90

9,it4

2,O5

52,6

10,6

2,14

70x70x'10

10

13,10

1 0 ,3

2.W

57,2

11,1

2,09

-1 Rezistenfamaterialelorll

241

Anexa 3.1 (continuare)

urmensrunrle seqlunll lmml

Denumirea L 80x80xG 80x80x8 80x80x10

a

120x,l20x10 120x120x12

80

130x130 x o 140x140x 140x140x 140xluK}x 6 150x 1 5 0 x 1 2 150x 15 0 x 1 4

f1

ursranla axelot

lklml

lcm]

tffil

2,17 2,54

2,50

15,50

1 0,9 1 ?,2

2,54

10

( , tu

13,4

11

18.70

14,7 12,2

10

f,

11

10 an

12

o

l?

130

'1/t

12 15 16 12 14

7,5

? al

? ta

36E

:u.o

8.6

3,81

472

25-5

37.6

8.4

122

cf 3 a3

I

rto,/t

18 12 14

5 1 ,0

4I),1

160x 16 0 x 1 8

18

8,s

43,3 49,1 54,8

,

6(]5

24,6 29,',| 36,0

3,61 J,b J

54,4

3,97

58,2

5,!i4

Aq R

3,92

w2 689 Tt2 r37

2,14

4,31 66,8

79,1 67,7

4,30 4,28 4,60

845

tE-2

4,5E

Ea,7

4,56

15/

9ir9 iEo

ttt,3

4,9

+.E

913

746

rl,9i

'[ 0116

9.E

1,92

IUJ.U

4.E9 4,47

zj

150x150x1I

l6

3,06 3,04 3,03

3,,10

J5:,

1 6 0 x 1 60 x16

19,9

r 6.2 2 ' t .6

45.7

17

2,72

145 177 207

1l ,a

1A

160

21,6

232

150x1 50x 16

160x160x14

2,74

138

17,A

34,E

16

z t.

15,U

3a5

2,41

125

19.2

3,EO 3.S 3.S8 4.?n ..12

12,6

lcml 2,44 2,43 2,74

ZZ7

30.9

9.57

lv= lr

116

2,5E 2,ttz 2,74 2.AZ 2,90

sr"3

W" =W' tcml

16,1 18,0

4"7

16

140

2,26

1 2 ,3 0 13,90

12 12

150

lv=lt

1, 9

E

90

120

Y ' Y :z' z

e

55,8 72,2 87,5 104

E

100

ManmrtesEtce pentruaxelede incovoiere

tcrn'l

1U

130x 1 30 x {?n,{2n-

r

Masa

liniara

9.35

90x90xB

90x90x9 90x90x1 0 90x90x11 100x 10 0 x 8 100x100x10 100x 10 0 x 1 2

g,

Aria seqiunii A

.;d

:x,o

a,4r

34,5 /tit,u

r5 {,Et

l El

114,0

262


ANEXA3.2

Garacteristicipentruprofilul I

Penlruh=220mm;l=1250mm; | 22 ...125A H = tneltjmeaprcfilului d = grosimeainimii R = razade rotuniireinterioari a tiilpilor r = razade rotunjirea t5lpilorla varf | = momentulde Ineryeraportatla axa de incovoierercspectva W = modululde re-zislenliraportatla axa de Tncov,oiere respectiva

ri

i = J; = raza d€ giraliemportatdla axa de incovoiorerespective rA Sy= momentulstaticalsemiseqiunii b = lStimeatSlpilor t = grosimeamediea telpilor

:

"j

'

14.1

\ RezistenlamaterlalelorIl

263

ANEXA3.3 CaracteristicipentruprofilulU

Conform: STAS 5&t - 80

PROFILU Dimensiuni,mase,merimislatice

Lungimifixe 6+12m

Exemptud€ notarepe desen: pentruh=120mm;l=1250mm; u 12 ... 1250

Calitefl oL 37

h = indgmeaprofilului d = grosimeainimil t = grosimeamediea Hlpilor | = momentulde ine4ieraportatla axa de Incovoiererospectivi W = modululde rezistenlaraportatla axa de incovoiererespectivg r = '

{ O

= razade giralieraportat5la axa de incovoiere respedive

Sy= momentul stalicalsemiseqiunii b = Elimeatelpilor ey= distantaaxeiZ - Z de la margineaextedoarl a inimii

Simbol

u

h

6.5

b

d

42

5 ,5

80

45

6

1A

1(n

5Ll

ti

12 14

120 r40

16

160

18

180 204 220 244 260 300

20 22 24 zo ou

Aria secliunii

Dimensiunibsegiunii Inrn] t 7,5 8,0

A Icm'l 9.03 1 1 ,4 a2

a

55

I,t)

w

10.0

1 7 ,0 20,4

10,5

24,O

2t,0

10

1 1 .0 11 ,5 12,5 1 3 .0 t4 .0

37,4 42,3 48,3

10

16,0

56,E

70

8,0

7q

80 85 90 100

9,0

'd2,2

Manmttestaticepentruaxeiede inCovoiera

Masa liniare Ikdrnl 7,09 E,El 10,6 13.4

1 6 ,0 18,8 22,0 25,3 29,4 33,2 3 /,9

46,2

z-z ly

wy

iy

tz

tYz

i"

tcml

Icnrl

Icml

57.5 106 205 364 605 925

2,52 3,10

Icml s,07

Icml

17,7 26,5

Icmtl 14,1 19,4

o,Jo

1,25 1,33

41,2

?o{

8,49

't,47

60,7 86,4 tto

4,62 5,45 6,21

29,3 43,2 62,7 85,3

r350

150 I

o.vo

1910 2690 3600 4820 8030

lvl

245

IQ

Icml 1.42

11,1

1,59

14,8

1,t5

51,4

144

1E.3

1,89 2,O2

6E,E

1,83

2.30 2,42

317

33,6 39,6 47,7

2,s6

It95

67,6

2,90

J to

197 24E

q@

tcmtl

89,6 114 146 179 221

I 8,48 I

gy

15,9 24,5 36,3

144

s00 | 9,22 311

sy

2.14

1,45 ,R R

1,60

1,92 2,Q1 z, t4

2,23 2,36 2.70


ANEXA 4 geometriceale sectiunitorsimpte Canacteristici

b.h3 , 1 . ,= - -

w"=S -o

'12

,l- =- h.b' '12 = l.t'

Â=

n.D2

4

I

b'h(6' 12'

r I t., =l '164

.

=

W- = '6

*6ti/

h'b'

n'D 4

Tr' D 4

= W - = ' tt' D t W .. v' 32

' o- - 3t

I

iI

iI I

r,=r,=";?-(,'-".) R=

tUD'(t-or)

to= t-!'t 6-o.;

w,=w,=t.f'{.'-"')

Rezlstentamateraalelorll

ANEXA 5 Diagramede moment simple

Barasimplu rezemati,cu Tncdrcare pe deschidere

M,*=+l

'^12

M* = t ,

v2 '.

u2 H{2

pe capitul consolei

Gonsola

l M.* l = P ' l


266

ANEXA6 gi pozifiilecentruluide greutate Rezultantele pentru diagramele de momentsimple B- - :4 :-

Forma diagramei

Rezultanta

R=M.s

R= 1M' s 2

ru4,tua

J^

- - - a - _ _ r _ _ : rrrLrr LrE Getttt

greutate

s

?= b=

t

1 a=*S 3

o=3'

1 I

R=l- M . " 3

2 R =:M.s ?

fl =-S

4

.3

o:-S 4

3 B

a = -S

,5

O=-S

8


267

ANEXA 7 Formule de integrarenumericd(regulalui Veregciaghin) Diagrama m tTll

Diagrama M

M.m's

1v .r., 2

M2

M

1

1v.r., 2

-M.m.s .,

1 u.* .,

1rr,,t.r. .

2

3

**(',

f

6

j {t, * M,).m.s { t ,* 2 M ,) .m .s |[tr, f

1u.r..

* t (r,

frur.r"

+ m, ). s

+ 2mr).s

n,t(z,.n, +m,).s

+mr).M,+(m,+zm,).Mr].s

#t(rq

+ 3m,).s

1 ". - .s itrvr.rn

f

rur(sm, +nr,).s

3u.r.. 3

f nr.* u

f

rr,r(s*, +3mr).s

?u .* -,

a ru.r. .

f

rtlls*, +5m,).s

I

- r vr .ilt- s a

3

12

268


ANEXA 8

8.1 Coeficienfipentru stabilirealungimii de flambaj

l, = F'l

I' I

$chema staticd

u

L-"-

1,0

2,O

0,7

0,5


269

ANEXA 8 8.2 Coeficienli de profil:

Sectiunea

,A , K=

T

Axay .A -' K, 1,

Axay . A'- K '1,

Secliunea

Axay .A' J( ='

ffi

Axaz ,A,=l( 'l

l, 0,60

h< 20

ZP

1,32

5,10

- .- .- > v

2t

4,60

2,0

h< 20

1,20

6,70

t=15

1,8

h> 20

1,0

7,60

h <20

1,20

fr:J., lH--il i

2,90 4,0

h< 20

1,75

1,80

t=15

3,6

3,6

h>20 1,20

1,20

26L

26L

9,65

-t1 I

nl I

I

I I

I

I

1,90

4,0

h < 20 0,58 h <2 0

II

h>20 1,0

t=10

JiL

W

7,0

t=10

/ r\ ( j>" \i / i

h > 2 0 0,50

h>20

0,48

h < 20

1,16

2,80

h >2 0

0,90

3,24

h >2 0

11

+

h

-ryJ

2sL t)

h

2s!D

270


ANEXA 8 8.3

incadrareain curbele de flambaj

Nf,

a. Tuburi laminatela cald, suduri 1.

Gurbade flambaj

Tipul profilulul

crt.

A#-

-{ -l l

Y *#

b. Profiledublu T, laminatesau sudate, din tabld oxieupatii, care flanrbeazd in plan paraletcuinima a. Chesoanesudate, profite solidarizate

---tr.r L

++

++

A- Rc

lr -Fl -

+

2.

b- Profiledublu T, laminatesau sudate, din tabli oxlcupat-, care flambeazd in plan paralelcu tilpile

*t+T t

I

f

r

B-Rc

I

- t--

- lT l-

I Profile deschisencu o axi de simetrie 3.

a. Flambaj in plan cu axa de simetriey-y

4? -+--fl-f -

/1kffi

nlrc

,-8rF

G. Rc

b. Flambaiin plan perpendlcular pe axa de simetrie* *@bsewaSi: - Fbmbajulse produceprin incovoiere-risucire dacd g pentru l, Tnraportcu axa de simetrieesE md mic dec6tq pentrul, in raportcu axa perpendicularipe axa de simetrie;?n acest caz verificaea prercterii stabiliti{iise face cu l,tr =1.1,r, c6nd coeficientulq luat din tabeleleB esie rnaimicdecat g determinat cu 2!,luatdin tabeleleC. - ln acelagimodse facegi veriflcarea barelordinf+ singurdcomierd.

\.


271

ANEXA 8

8.4 Coeficientiq, E pentruolel OL37[n." =zoo=$l \

e

I

10

0,997

10,0

.tn LV

n nao

,n

30 40 50 60

o,974 0,952 0,921 0,879 0,826

34,4 40,9 52,1

7A

80 90 100 110 124

vrv9v

c

B

A I

mm'J

,l

9,0

4,762

77,4 91,6

0,690 0 ,61 6

127,4

t08,3

0,546

14B,9

4,482

172,O

I

q

q

A

q

€

10

0,996

10,0

10

0,992

10,0

on

n oo2 vrvu9

.)n a

.)n

rr oa(r

ar l a

30 40 50 60

0,960

30,6

o,927

41,5

0,931 0,881

0,893 0,829 o,7M

31,3 42,6 55,2

65,9

70

80 90 100 110 120

0,694

0,662 0,552 0,488 4,432

53,2 6 U ,1

96,0 114,1 134,6

157,6 182,6

30 40 50 60 70 80 90 100 110

12A

Q,821

0,755 0,686 0,619

0,555 0,496

0,443 0,396

69,1 84,5 t01,

120,8 142,2 165,3 190,7

272


ANEXA9 Gobficienlic pentrucorectareamomentelorde ordinul ll Schema de incircare

Goeficientulc

M"

J',{,.H)+0,4k

lM'l>lMrl 7777?

1,0 1-0,31* oE

1- 0,49

oE

sI :. Q1p ' oE

f,l II

A

1- 0,49

oE

0r

1-0,6ioE

= 1,0

1+0,2344 L oE

n2 .E

= -------:-A z

R.ezistenfamaterialelorll

ANEXA 10 valori maxime ale sdgelilor pentru citeva tipuri de incirciri simple Valoareaextremi a sigelii gi sectiuneain carese produce

Schemastaticd

w,a,:H,

X

'"

X = 4.

w,*=S , ,"*=, w *= * W ," x = [, Pr t

w*e*:4BEl 'la

w -' ma

w* :

Sola 384E 1

Mî2

rJGi

x:V

,A*=t

h x=+ J3


274

Bi bliosrafie selectivd 1. Beleg,A. A., Voinea,R. P., Rezistenlamaterialelorpentruinginericonstructori, vol. ll, EdituraTehnici,Bucuregti, 1953. 2. Bia,C., RezistenlamaterialelorIl, lnstitutulPolitehnicCluj-Napoca,1977. 3. Bia, C., ffle, V,, Soare, M. V,, Rezr'stenla materialelorgi teoria etasticitdfflEditura gi PedagogicA, Didacticd Bucuregti, 1983. 4. Caracostea,A., Rezrsfenlamaterialelorgiteoria elasticitd,tii, sec!. lll in Manualpentru caleululconstrucliilor, EdituraTehnicd,Bucuregti,1977. 5. Citirig, A., Petrina,M., Sfafiba construc[iilorMetodede calcul gi apticalii,Editura Dacia,Ciuj-Napoca, 1991. 6. Deutsch,1.,Goia, 1.,Curtu, 1., Neamfu,T., Sperchez,F., probtemede rezistenta matertablor,EdituraDidacticagi Pedagogicd, Bucuregti,1983. 7. Diaconu,M., Problemede rezistenlamaterialelor,partea l, InstitutulPolitehniclagi, 1979. 8. Diaconu,M., Gorbdnescu, D., Rezistenla mateialelor,vol. 3 9i4, Institutulpolitehnic lasi,1990. 9. Gere,J. M.,Timoshenko, S. P., Mechanics of Mateials,Chapman& Hall,Newyork, 1994. 10. Gioncu, v., lvan, M., Bazelecalculului struc'turilor la stabititate,Editura Facla, Timigoara, 1983. 11 Gorbenescu, D., Popa,A. G., Ancag,A. D., Rezrstenla materialelar,vol.l, Editura Fundatiei$tiinli 9i Tehnici,Bucuregti, 2005. 12. lfle.V..Elia.C.. Rezisten{a materialelor,vsl. ll, Institutu! Politehnic Cluj-Napoca, 1927. 13. fffe,V.,Elia.c.. 9.a.. Rezrsfen,ta materiatelor - culegerede problerne,Institutul Politehnic Cluj-Nry,

1987.

Rezistenfamatorialelorll

27s

14. fvan,M., Vulpe,A., Bdnuf,V., Sfafic4 stabilitatea gidinamicaeonstrucliitor, Editura gi Pedagogicd, Didacticd Bucuregti, 1982. 15. Juncan,N., Toader,1.,Construclii metalice,vol. l, lnstitutulPolitehnic Cluj-Napoca, 1984. 16. Ma(ian, 1.,Cucu,H. L., Problemede sintezddin rezisten[a materialelar, EdituraU. T. Pres,Cluj-Napoca, 2004. 17. Ma(ian, f., loani,A. M., Rezrstenla materialelor, vol. ll, InstitutulPolitehnicClujNapoca,1991. 18. Massonnet,C., Cescotto,S., M6caniquedesmatdriaux"Scienceset lettres,Lidge, 1979. 19. Mateescu,D., Caraba,1., Construclii metalice,EdituraDidacticSgi pedagogici, Bucuregti, 1981. 20. Mazilu,P., Rezistenla mateialelor; lnstitutul de Constructii Bucuregti, 1974. 21. MissirVlad,1.,lbinescu,M.,SfrenghtofMateials,EdituraCermi,lagi,1998. 22. One[, T., Tertea, 1.,Proiectareabetonuluistructural,Casa C6(ii de gtiinld, ClujNapoca,1995. 23. Panfel,E., loani,A., Turda,D., Popa,A., Lessonsaf S'trenght of Materiats. Theory& Problems, Partll, EdituraNapocaStar,Cluj-Napoa,20A4. 24. Popa,A. G., Rezisfen{a materialetor.'indrumdtor de lucrdi, Universitatea Tehnicddin Cluj-Napoca, 1998. probleme, 25. Posea,N., Anghel,Al., Manea,C., Hotea,Gh., Rezisfenla materiatetor. Editura$tiinlifica9i Enciclopedicd, Bucuregti, 1986. 26. Soare,M. V., llle,V., Bia, C., Panlel,E., Petrina,P., lordache,D., Soare.C Rezisten!a matei aleIor in apIi calii, EdituraTehnic.i,Bucuregti,1996.

4,:' s :{*& *ro

27.,

,. Fn@oplq"q3$6Xe6s11

:

27. fgdose 1.,Qonslan.tinesgg, Q..,M,;Stpica;,M.,&zrsfenfarqat*ialelor,Aplicalii, . l, , Editura Tehnic6, Buolrggti, leeO. . ,, :{ , '.: N:, Rozlgfeofa natenaaorSt teodaeta$ata$i,fnqiutufFoltehniclagi, 2S.Ungr4.egrur, 1979.

i'l' Y, rwd 'r )1. '

./*.\ 'g'

e Ej t'q \\-. t 6

'-tli"-

*\ --;

Cucu, Popa, Rezistenta materialelor 2

Recommend Documents