MODELOS, COMPUTADORAS Y ANALISIS DE ERROR Los metodos numericos constituyen tecnicas, mediante las cuales el posible formular problemas matematicos, de tal forma que pueden resolverse utilizando operaciones aritmeticas. Aunque existen muchos tipos de metodos numericos estos comparten una caracteristica comun. Invariablemente requiere n de un buen numero de tediosos calculos aritmeticos, no es raro que con el desarrollo de computadoras digitales eficientes y rapidas, el papel de los metodos numericos en la solucion de problemas de ingenieria, hayan aumentado de forma considerable en los ultimos años. MÉTODOS SIN COMPUTADORA Además de proporcionar un aumento en la potencia de cálculo, la disponibilidad creciente de las computadoras y su asociación con los métodos han influido de manera significativa de la solución a cuál de los problemas en ingeniería. Antes de la era de las computadoras los ingenieros solo contaban con 3 métodos para la solución de problemas. 1.- Se encontraban las soluciones de algunas problemas usando métodos exactos y analíticos dicho soluciones resultaban útiles y proporcionaban una comprensión excelente de comportamiento de algunas sistemas. No obstante las soluciones analíticas solo pueden encontrarse para una clase limitada de problemas. Estos incluyen aquellos que pueden aproximarse mediante modelos lineales y también aquellos que tiene una geometría simple y de bajas dimensiones. En consecuencia, las soluciones analíticas, tiene un valor práctico limitado porque la mayoría de los problemas reales son no lineales, e implican formas y procesos complejos. 2.- Para analizar el comportamiento de los sistemas que se usaban soluciones graficas, las cuales tomaban la forma o monograma; aunque las técnicas graficas se utilizan a menudo para resolver problemas complejos los resultados no son muy precisos. Además, las soluciones graficas sin la ayuda de una computadora son un extremo tediosas y difíciles de implementar. Finalmente, las técnicas graficas están limitadas a los problemas que pueden describirse usando 3 dimensiones o menos. 3.- Para implementar los métodos numéricos se utilizaban calculadoras y reglas de cálculo. Aunque en teoría dichas aproximaciones deberían de ser, perfectas adecuados para resolver problemas complicados, en la práctica se presentaban varias dificultades debido a que los cálculos manuales son lentos y tediosos.
Además los resultados no son consistentes ya que surgen equivocaciones cuando se efectúan los numerosos cálculos de esta manera. Formulación: leyes
Formulación: exposición
fundamentales explicadas
profunda de la relación
brevemente.
del problema con las leyes fundamentales
Solución: métodos muy elaborados y con
Solución: método de la
frecuencia complicados
computadora fácil de usar
para hacer manejable el problema
Interpretación: la facilidad de calcular permite holísticamente y
Interpretación: análisis
desarrollar la intuición; intuición; es
profundo limitado por
factible estudiar las
una solución que
sensibilidad y
consume tiempo
comportamiento de los
La era antes de la computadora
La era de las computadoras
MODELO MATEMÁTICO Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS El conocimiento y la comprensión son prerrequisitos para la aplicación eficaz de cualquier herramienta si no sabemos cómo funcionan las herramientas por ejemplo tendremos serios problemas para reparar un automóvil aunque la caja de herramientas sea la más completa. Esta es la realidad particularmente cuando se utilizan computadoras para resolver problemas de ingenieros. Aunque las computadoras tienen una gran utilidad, son prácticamente inútiles si no se comprende el funcionamiento de los sistemas de ingeniería. Esta comprensión es inusualmente es empírica resulta esencial, solo estamos a la mitad del camino. Durante muchos años de observación y experimentación los ingenieros y los científicos han advertido que ciertos aspectos de sus estudios empíricos ocurren una y otra vez. Este comportamiento general puede expresarse como las leyes fundamentales que engloban en esencia el conocimiento acumulada de la experiencia pasada. Así muchos problemas de ingeniería que resuelven con el empleo de un doble enfoque: empírico y análisis teórico.
Debe destacarse que ambos estrechamente relacionados conforme se obtienen nuevos mediciones, las generalizaciones llegan a modificarse o a un descubrirse otros nuevas. En lo particular generalizaciones sirven para organizar principios que se utilizan para sintetizar los resultados de observaciones y experimentos en un sistema coherente y comprensible, del que se pueden obtener conclusiones. Desde la perspectiva de solución de un problema de ingeniería, el sistema es aun más útil cuando el problema se expresa por medio de un modelo matemático.
UN MODELO MATEMÁTICO SIMPLE Un modelo matemático se define de manera general, como una formulación o una ecuación que expresa las características esenciales de un sistema físico o de un proceso en términos matemáticos. En general, el modelo se representa mediante una relación funcional de la forma: Variable dependiente = F (Variable independiente, parámetros, funciones de fuerza) Donde la variable dependiente es una característica que generalmente refleja el comportamiento o estudio de un sistema, las variables independientes son, por lo común dimensiones tales como tiempo y espacio, a través de las cuales se determina el comportamiento del sistema; parámetros son el reflejo de las propiedades o la composición del sistema y las funciones de fuerza sin influencias externas que actúan sobre el sistema. PROGRAMACIÓN Y SOFTWARE Hemos vistos desarrollos de modelos matemáticos a partir de la fuerza total para predecir un dato. Para el modelo matemático hacer a mano sería muy laborioso y tomaría mucho tiempo pero, con la ayuda de la computadora tales cálculos pueden realizarse fácilmente. PROGRAMAS COMPUTACIONALES Los programas computacionales son únicamente conjunto de instrucciones que dirigen a la computadora para realizar una cierta tarea. Hay mucha gente que escribe programas para un amplio rango de aplicaciones en los lenguajes de alto nivel, porque tienen una gran variedad de capacidades. Aunque habrá algunos ingenieros que usaran toda la amplia gama de capacidades, la mayoría necesitara realizar los cálculos numéricos orientados a una ingeniería.
PROGRAMACIÓN ESTRUCTURADA En los comienzos de la computación, los programadores nos daban mucha importancia a que sus programas fueran claros y fáciles de entender. Sin embargo ahí se reconoce que escribir programas realizados y bien estructurados. ALGORITMO Procedimientos matemáticos general que vamos a aplicar a los problemas que se nos presentan; es un procedimiento matemático que nos indica la seria de pasos y decisiones que normas a tomar para la solución del problemas CARACTERÍSTICAS. Finito: Siempre debe terminar en un determinado número de pasos: Definido: Las acciones deben definirse sin ambigüedad Entrada: Puede tener una o varias entradas Salida: Puede tener una o varias salidas Efectividad.- Todas las operaciones deber de ser los suficientemente básicas para que pueden hacerse en un tiempo no mayor que el de una persona que tenga lápiz y papel. ERROR En los cálculos numéricos el optimista pregunta, que tan preciso son los resultados calculados. El pesimista pregunta, que tanto error se ha introducido; desde luego las 2 preguntas corresponden a lo mismo. Sólo que en raras ocasiones los datos proporcionados serán exactos, puesto que suelen originarse en el proceso de medida. De modo que hay un error probable en la información de entrada. Además, el propio algoritmo introduce error, quizás redondeos innecesarios o inevitables y la información de salida contendrá entonces el error generado por ambas fuentes.
EXACTITUD Se refiere a la cercanía de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa. PRECISIÓN Se refiere al número de cifras significativas que representa una cantidad, a esto se refiere cuando se habla de doble precisión, dependiendo de la máquina que estemos utilizando. DÍGITOS SIGNIFICATIVOS Son aquellos números diferentes de cero, en una cifra o guarismo, leyendo de izquierda a derecha; empieza con el primer dígito diferente de cero y terminan con el tamaño que permitan las celdas que guardan la matiza. ERRORES INHERENTES O HEREDADOS Son errores en los valores numéricos con que se va a operar, puede deberse a 2 causas, sistemáticos o accidentales: Errores sistemáticos: Debido a la imprecisión de los aparatos de medición. Errores accidentales: Debido a las apreciaciones del observador y cortas causas ERROR DE TRUNCAMIENTO: Se debe a la interrupción de un proceso matemático antes de su terminación. Sucede cuando se toman solo algunos términos de una serie inf. ó cuando se toma solo un numero finito de intervalos un caso adicional de error de truncamiento ocurre cuando una calculadora poco sofisticada solo toma en cuenta los dígitos que aparecen en la pantalla y no analizan los primeros dígitos perdidos. ERROR DE REDONDEO Debido a las limitaciones propias de la máquina para representar cantidades que requieres un gran número de dígitos. ERROR DE REDONDEO INTERIOR Se deprecian los dígitos que no pueden conservarse de la localización de memoria correspondiente (pensando de una manera estricta este caso puede considerarse como un truncamiento).
ERROR DE REDONDEO SUPERIOR Este caso tiene dos alternativas, según el signo del número en particular: a) Para números positivos: el último digito que puede conservarse en la localización de memoria se incrementa en una unidad si el primer digito despreciado es mayor o igual que el 5. b) Para los números negativos: el último digito en la localización de memoria memoria se reduce en una unidad si el primer digito despreciado es mayor o igual a 5. ERROR ABSOLUTO: Es la diferencia entre el valor de un número y su valor aproximado. y= valor real y*= valor aprox. Ey = |y-y*| (valor absoluto)
ERROR RELATIVO: Es el cociente del error absoluto entre el valor real Ry= ey/y Ry= y-y* Para todo y diferente a cero.
Ejemplos:
∑
Cos x
= 0.8775825619 valor real
Aplicando la serie Taylor
= 1 valor aprox.
n=0 1+
Error absoluto: ey= |y-y*| ey= |0.877582 -1| ey= 0.122418
Error Relativo:
= ry= = 0.324215 ry=
Para n=1
(()
=
Ey=|y-y*|= |0.87758256 + 0.87500000 |= 0.00258256 Ry=
= 0.00294281
Para n=2
(() = ey= |y-y*|= |0.87758256-0.87760416|= 0.00002160
= 0.00002461
ry= =
Para n=3
(() =
ey= |y-y*|= |0.87758256-0.87760416|= 0.00000010
= 0.00000011
ry= =
*Calcular el Cos 0.5 (Rad) Valor real y valor aprox. Utilizando la serie Taylor para las interacciones: n=1, n=2, n=3, n=4. -
calcular el error absoluto, el error relativo
NOTA: como ya se resolvió por serie de Taylor interacción 1, 2, y 3 solo tomamos sus resultados y resolvimos la interacción 4. n=4 1+
= = 1+ =
1-0.125+0.00260416-0.00002170+0.00000010=0.87758256
ey= |y-y*| = |0.87758256 – 0.87758256| = 0 ry=
= =0
*Calcular para sen (0.5) con la serie de Taylor -
Para n=0 n=1 n=2 n=3 n=4
-Calcular valor real, valor aproximado, error absoluto, error relativo. Sen (0.5) = 0.47942554 Para n=0
(-1)° Ey= |y-y*| = |0.47942554 – 0.5|= 0.02057446
= 0.04291482
Ry= =
Para n=1
=
0.5 - 0.02083333 =0.47916667
Error absoluto Ey = ly-y*l Ey = l0.47942554-0.47916667l = 0.00025887 Error relativo
Ry= Ry=
Para n=2
= 0.5 – 0.02083333 +0.00026042 =0.47942709
Error absoluto Ey= |y-y*|
Ey= |0.47942554 – 0.47942709| = 0.00000155 Error relativo
Ry= Ry=
Para n=3
=0.47942709- 0.00000155 =0.47942554
Error absoluto Ey= |y-y*|
Ey= |0.47942554 – 0.47942554| = 0 Error relativo
Ry= Ry=
Para n=4
=0.47952554
– 0.00000001=0.47942555
Error absoluto Ey= |y-y*|
Ey= |0.47942554 – 0.47942555| = 0.00000001 Error relativo
Ry= Ry=
*Calcular por
donde x=0.3 interaccion n=0 a n=8
*Calcular valor real, valor aproximado, error absoluto, error relativo. Valor real
N=0
Valor aproximado
Error absoluto Ey= |y-y*|
Ey= |1.3498588 –1| = 0.34985881 Error relativo
Ry= Ry=
Para n=1
Error absoluto Ey= |y-y*|
Ey= |1.3498588 –1.3| = 0.04985881 Error relativo
Ry= Ry=
Para n=2
= 1.3 + 0.045 = 1.34500000
Error absoluto Ey= |y-y*| Ey= |1.34985881 –1.34500000| = 0.00485881 Error relativo
Ry= Ry=
Para n=3
= 1.34500000 + 0.0045 = 1.3950000
Error absoluto Ey= |y-y*|
Ey= |1.34985881 –1.39500000| = 0.00035881 Error relativo
Ry= Ry=
Para n=4
Error absoluto Ey= |y-y*|
Ey= |1.34985881 –1.34983750| = 0.00002131 Error relativo Ry=
Ry=
Para n=5
Error absoluto Ey= |y-y*|
Ey= |1.34985881 –1.34985775| = 0.00000106 Error relativo
Ry= Ry=
Para n=6
Error absoluto Ey= |y-y*|
Ey= |1.34985881 –1.34985876| = 0.00000005 Error relativo
Ry= Ry=
Para n=7
Error absoluto Ey= |y-y*|
Ey= |1.34985881 –1.34985880| = 0.00000001 Error relativo Ry=
Ry=
Para n=8
Error absoluto Ey= |y-y*|
Ey= |1.34985881 –1.34985880| = 0.00000001 Error relativo
Ry= Ry=
*Calcular para x=0.7, n=1, n=2, n=3, n=4 *Valor real, valor aproximado, Error absoluto, Error relativo
ln(x+1)=
Para n=0 ln(0.7+1)=0.53062825 valor real Valor aprox.
Error absoluto Ey= ly-y*l = l0.53062825-1l = 0.46937175 Error relativo Ry=
= = 0.88455854
Para n=1 Valor aprox.
Error absoluto Ey= ly-y*l = l0.53062825-0.30000000l = 0.23062825 Error relativo Ry=
= = 0.43463244
Para n=2
Valor aproximado Error absoluto Ey= ly-y*l = l0.53062825-0.54500000|=0.28562825 Error relativo Ry=
= = 0.53828316
Para n=3 Valor aproximado
Error absoluto Ey= ly-y*l = l0.53062825-0.13066667l= 0.39996158 Error relativo Ry=
= = 0.75375101
Para n=4 Valor aproximado
Error absoluto Ey= ly-y*l = l0.53062825-0.19069167l= 0.33993658 Error relativo Ry=
= = 0.64063038
SOLUCIÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS NO LINEALES Solución o raíz de una ecuación es el valor de x el cual logra satisfacer la ecuación. Su formula general esta expresada de la sig. Manera:
+
+
+
+….. x+
=0
Graficar la sig. función en un plano cartesiano y tabular con: Inicial para x= -5 rango
Step incremento= 0.5
10 +12x-5=0
x
-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Final para x= 5
f(x) 185 143.5 107 75.5 49 27.5 11 -0.5 -7 -8.5 -5 3.5 17 35.5 59 87.5 121 159.5 203 251.5 305
F(x)=10x^2+12x-5=0
√
A=10 B=12 C=-5
√ √ √
X1= 0.32736184495
f(x)=
+12(0.327)-5=0
f(x)= 1.0692+3.924-5= 0.05
f(x)=
+12(0.327)-5=0
f(x)= 23.31729-18.324-5= 0.00671
√ √ √
X2= -1.52736185
CAMBIO DE SIGNO DE DESCARTES El cambio de signo de descartes es el análisis que se hace para localizar las raíces de la tabulación, es el rango. x
f
-2
11
-1.5
-0.5
-1
-7
-0.5
-8.5
0
-5
0.5
3.5
1
17
1.5
35.5
2
59
Rango donde se encuentra la raíz
*Calcular las raíces para el sig. Sistema de ecuación. f(x)=
a) b) c) d)
-7x-13=0
Tabular de -5 a 5 de 0.3 Graficar Realizar por formula formula general general el cálculo Determinar el cambio de signo de descartes
x
f(x)
x
f(x)
-5
297
0.1
-13.59
-4.7
262.89
0.4
-14.04
-4.4
230.76
0.7
-12.51
-4.1
200.61
1
-9
-3.8
172.44
1.3
-3.51
-3.5
146.25
1.6
3.96
-3.2
122.04
1.9
13.41
-2.9
99.81
2.2
24.84
-2.6
79.56
2.5
38.25
-2.3
61.29
2.8
53.64
-2
45
3.1
71.01
-1.7
30.69
3.4
90.36
-1.4
18.36
3.7
111.69
-1.1
8.01
4
135
-0.8
-0.36
4.3
160.29
-0.5
-6.75
4.6
187.56
-0.2
-11.16
4.9
216.81
Nota: Los números sombreados significa en donde se encontró el cambio de signo.
Por formula general:
f(x)=
-7x-13=0
a= 11 b= -7 c=-13
√ √ = √ X2=
X2= -0.8145
√
X1= 1.4509
f(x)= 11(1.4509)-7(1.4509)-13= 23.15621-10.1563-13= 0.00008 f(x)= 11(-0.8145)-7(-0.8145)-13= 7.29751+5.7015-13= 0.00098725
RELACIÓN DE NEWTON Sirve para determinar donde existen raíces positivas, su fórmula es la sig:
Donde a1, a2, a3 son los primeros coeficientes del polinomio dado. Ø Intervalo donde existen raíces positivas *Ejemplo: Calcular la relación de newton para el intervalo donde existen raíces positivas.
a1x
a1 = 1 a2 = -2.0374 a3 = -15.4245 a4 = 15.6696
a2x
a3x
a4x
√ √ El rango de las raíces positivas
0≤x≤5.9160
*Calcular el rango de raíces positivas en base a la relación de Newton F(x) = F(x) = F(x) =
F(x)=
=0
a1 = 1
El rango de las las raíces raíces positivas positivas 0≤x≤5.38
a2 = -5 a3 = -2 a4 = 76
F(x) = a=1
=0
a2=-25 a3=164 a4=-320
= 17.233 El rango de las raíces positivas 0≤ 0 ≤x≤ 17.233
F(x) = a1 = 1
a2 = -2 a3 = 8 a4 = -4
REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES La regla de los signos de los signos de descartes especifica que el número de raíces positivas es igual al número de cambios de signo de los coeficientes o es menor que este número en una cantidad igual a un entero par. *Método de búsqueda. Este método sirve para determinar el intervalo donde existe una raíz Fórmula:
donde n= subintervalo
*Calcular las raíces positivas de la función:
a1= 1
a2=-2.0374 a3=-15.4245 a4=15.6696
√ √ =
=
=5.91607968 (0≤x≤5.91607968)
*Calcular los intervalos para los subintervalos de n=2
f(x)
xa Xa+h Xa+2h
0 2.95803984 5.91607968
35.4936 -29.29068846 -391.4689244
Este valor se sustituye en la función f(x)
Raíz Raiz
2 raíces positivas
*Calcular las raíces positivas de la sig. Función
*Calcular los intervalos para los subintervalos n = 12
a1= 1 a2= -5 a3= -12 (0≤x≤7)
X
f(x)
Xa
0
-79
Xa+h Xa+2h Xa+3h Xa+4h Xa+5h Xa+6h Xa+7h Xa+8h Xa+9h Xa+10h Xa+11h Xa+12
0.58333333 1.16666666 1.74999999 2.33333332 2.91666665 3.49999998 4.08333331 4.66666664 5.24999997 5.83333330 6.41666663 6.99999996
-39.62668808 -12.75386825 -0.16796885 -0.87654307 -11.10816899 -24.31249960 -31.16025271 -19.54321105 25.42577779 121.4128013 288.8628822 550.9999782
Raíz positiva
*Calcular las raíces positivas de las sig. Funciones.
a) b) c) d)
Calcular Calcular los intervalos Calcular los subintervalos para n = 12 Realizar la tabla de tabulación y determinar los cambios de signo de Descartes
a1= 1 a2 =-25 a3=164
√ √
(0≤x≤17.23368794)
= 1.43614066
X
Xa Xa+h Xa+2h Xa+3h Xa+4h Xa+5h Xa+6h Xa+7h Xa+8h Xa+9h Xa+10h Xa+11h Xa+12h
f(x)
0 -320 1.43614066 -133.0733915 2.87228132 -31.49954221 4.30842198 2.49378860 5.74456264 -13.32115847 7.18070330 -61.17214280 8.61684396 -123.2869238 10.05298462 -181.8932607 11.48912528 -219.2189131 12.92526594 -217.4916401 14.36140660 -158.9392014 15.79754726 -25.78935606 17.23368792 199.7301364
Raíz positiva Raíz positiva
Raíz positiva
a) Calcular Xrmax
b) Calcular los intervalos para subintervalos de n = 13 c) Determinar y marcar los cambios de signo de Descartes donde se encuentra la posible raíz a1= 1 a2= -3 a3= -1
x
Xa Xa+h Xa+2h Xa+3h Xa+4h Xa+5h Xa+6h Xa+7h Xa+8h Xa+9h Xa+10h Xa+11h Xa+12h Xa+13h
0 .27735010 .55470020 .83205030 1.10940040 1.38675050 1.66410060 1.94145070 2.21880080 2.49615090 2.77350100 3.05085110 3.32820120 3.60555130
(0≤ (0≤x≤3.60555128)
f(x)
-5 -0.27232758 3.84646954 7.18538590 9.71542788 11.54961370 12.94297339 14.29254886 16.13739383 19.15857386 24.17916636 32.16426057 44.22095757 61.59837029
Raíz positiva
METODO DE BISECCION , METODO DEL MEDIO INTERVALO, BÚSQUEDA BINARIA. Para xa ≤ x ≤ xb
Xm =
+xb=xm
f (xm) * f (xb) -xa=xm
| ≤ Ep
Una vez que el intervalo contiene la raíz, ha sido localizado por el técnico de búsqueda este puede todavía subdividirse reiteradamente para encerrar aun mas a la raíz localizada. Este proceso se continúa hasta que el sub intervalo sea tan pequeño que la raíz será determinada. El procedimiento es el sig.: 1) Se determina el punto medio del intervalo Xm =
2) Se determina el producto f (xm) * f (xb), si este producto es negativo o nos indica que las funciones son de signo contrario, quedando localizada la raíz entre xm y xb, si el producto es f(x) no la atravesado el eje x entre e ntre xm y xb y la raíz debe encontrarse entre xa y xm. 3) Se selecciona el intervalo el cual tiene la raíz, se bisecta y se vuelve a repetir el procedimiento, esto se realiza hasta que la raíz es localizada con la precisión deseada aplicando la formula .
| |
f(x) = x3 - 25x2 + 164x - 320 = 0 Intervalo= 2.8722812 ≤ x ≤4.30842189 xa 2.8722812
xm = (xa+xb)/2
xb
f ( xa)
f (xm) funcion
f (xb)
|(xa+xb)/2| ≤ Ep ≤ 0.0001
3.5403525
4.3084218
-31.4995422
-7.174221
2.4937886
0.718
3.5403525 3.94938715
4.3084218
-7.174221
-0.64194669
2.4937886
0.179
3.94938715 4.12890448
4.3084218
-0.64194669
1.3329829
2.4937886
0.085
3.94938715 4.03914582 4.12890448
-0.64194669
0.4498886
1.3329829
0.044
3.94938715 3.99042268 4.03914582
-0.64194669
-0.11612114
0.4498886
0.024
3.99042268 4.01478425 4.03914582
-0.11612114
0.17457277
0.4498886
0.012
3.99042268 4.00260347 4.01478425
-0.11612114
0.3115348 0.17457277
0.006
3.99042268 3.99651308 4.00260347
-0.11612114
-0.0420012 0.03115348
0.003
3.99651308 3.99955828 4.00260347
-0.0420012
-0.005303 0.03115348
0.001
Intervalo= 4.30842189 ≤ x ≤ 5.74456264 xa
xm = (xa+xb)/2
xb
f (xm) funcion
f ( xa)
4.30842189 5.02649227 5.74456264 2.49378821 -0.29841478
f (xb)
|(xa+xb)/2| ≤ Ep ≤ 0.0001
-13.32115847
0.35903519
4.30842189 4.66745708 5.02649227 2.49378821
2.51534999
-0.29841478
0.1795176
4.66745708 4.84697468 5.02649227 2.51534999
1.44552772
-0.29841478
0.0897588
4.84697468 4.93673348 5.02649227 1.44552772
0.65565201
-0.29841478
0.0448794
4.93673348 4.98161288 5.02649227 0.65565201
0.19887129
-0.29841478
0.0224397
4.98161288 5.00405258 5.02649227 0.19887129 -0.04474249
-0.29841478
0.01121985
4.98161288 4.99283273 5.00405258 0.19887129
0.0783259
-0.04474249
0.00560993
0.01710654
0.04474249
0.00280496
4.99844266 5.00124762 5.00405258 0.01710654 -0.01373938
-0.04474249
0.00140248
4.99283273 4.99844266 5.00405258
0.0783259
Intervalo= 15.79754726 ≤ x ≤ 17.23368796 xa
xm = (xa+xb)/2
xb
f ( xa)
f (xm) funcion
f (xb)
|(xa+xb)/2| ≤ Ep ≤ 0.0001
15.79754726 16.51561761 17.23368796
-25.7893561 74.31342236
199.7301441
0.35903518
15.79754726 16.15658244 16.51561761
-25.7893561 21.23663587
74.31342236
0.17951759
15.79754726 15.97706485 16.15658244
-25.7893561 -3.01535338
21.23663587
0.0897588
15.97706485 16.06682365 16.15658244
-3.01535338
8.92372372
21.23663587
0.0448794
15.97706485 16.02194426 16.06682365
-3.01535338
2.90772722
8.92372372
0.0224397
15.97706485 15.99950456 16.02194426
-3.01535338 -0.06539309
2.90772722
0.01121985
15.99950456 16.01072441 16.02194426
-0.06539309
1.41826865
2.90772722
0.00560993
15.99950456 16.00511449 16.01072441
-0.06539309
0.67571379
1.41826865
0.00280496
15.99950456 16.00230953 16.00511449
-0.06539309
0.30497999
0.67571379
0.00140248
F(x)= x4-5x3-12x2+76x-79 = 0 Intervalo= 4.66666664 ≤ x ≤ 5.24999997 xm = (xa+xb)/2
xa
xb
f ( xa)
f (xm) funcion
|(xa+xb)/2| |(xa+xb)/2| ≤ Ep ≤ 0.0001
f (xb)
4.66666664 4.95833331
5.24999997 -19.54321105 -2.26670882
25.42577779
0.14583333
4.95833331 5.10416664
5.24999997
-2.26670882 10.13816317
25.42577779
0.07291667
4.95833331 5.03124998
5.10416664
-2.26670882
3.59323003
10.13816317
0.03645833
4.95833331 4.99479165
5.03124998
-2.26670882
0.57983013
3.59323003
0.01822917
4.95833331 4.97656248
4.99479165
-2.26670882 -0.86402495
0.57983013
0.00911459
4.97656248 4.98567707
4.99479165
-0.86402495 -0.14727754
0.57983013
0.00455729
4.98567707 4.99023436
4.99479165
-0.14727754
0.21497737
0.57983013
0.00227865
4.98567707 4.98795572
4.99023436
-0.14727754
0.03352581
0.21497737
0.00113932
F(x)= x4-3x3-2x2+17.81x-5 = 0 Intervalo= 0.27735010 ≤ x ≤ 0.55470020 xa
xm = (xa+xb)/2
xb
f ( xa)
f (xm) funcion
f (xb)
|(xa+xb)/2| ≤ Ep ≤ 0.0001
0.2773501
0.41602515
0.5547002 -0.27232759
1.87719663 3.84646954
0.06933753
0.2773501
0.34668763
0.41602515 -0.27232759
0.82356062 1.87719663
0.03466876
0.2773501
0.31201887
0.34668763 -0.27232759
0.28069208 0.82356062
0.01733438
0.2773501
0.29468449
0.31201887 -0.27232759
0.00542352 0.28069208
0.00866719
0.2773501
0.2860173
0.29468449 -0.27232759 -0.13314526 0.00542352
0.0043336
0.2860173
0.2903509
0.29468449 -0.13314526 -0.06378365 0.00542352
0.0021668
0.2903509
0.2925177
0.29468449 -0.06378365 -0.02916065 0.00542352
0.0010834
MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN Xn=xa+δ Xn=xa+δ E
δ
Xa ≤ x ≤ xb
XN
XA
Razón T.T C
A
F(xb)
B
=
XB
D
F(xa)
Xb-xa
Criterio
+ (positiva) xa ≤ x ≤ xn
F(xn)*f(xb)= -(negativo) xn ≤ x ≤ xb
F(x)= x4-5x3-12x2+76x-79 = 0
Intervalo= 4.6666 ≤ x ≤ 5.24999
xn=xa+ɗ
xa
xb
4.6666
f (xa)
f(xb)
d
xn
f (xn)
Ep.
5.24999 -19.5461331 25.42462751 0.25356517 4.92016517 -5.07267633
0.05153591
4.6666 4.92016517 -19.5461331 -5.07267633 0.20131837 4.86791837 -8.63380116
0.01073288
4.86791837 4.92016517 -8.63380116 -5.07267633 0.03291061 4.90082898 -6.42778779
0.00394549
4.90082898 4.92016517 -6.42778779 -5.07267633
0.00173647
0.0108073 4.91163628 -5.67583669
F(x)= x3-25x2+164x-320 = 0
Ep=0.00001 ≤ x
Intervalo= 2.87228000 ≤ x ≤ 4.30842000
Criterio: F(xa)*f(xn) < 0 xb=xn F(xa)*f(xn) > 0 xa=xn xn
xa
xb
f(xa)
f(xb)
d
xn = xb - d
f (xn)
≤ Ep≤ 0.0001
1 2.87228
4.30842 -31.49954221
2.49378015 0.10555254 4.20286746 190,774,089
2 2.87228
4.20286746 -31.49954221
1.90774089 0.07598391 4.12688355 131,535,270
0.01841193
3 2.87228
4.12688355 -31.49954221
1.31535227 0.05028955
4.076594 0.84331102
0.01233617
4 2.87228
4.076594 -31.49954221
0.84331102 0.03140141 4.04519259 0.51585257
0.00776265
5 2.87228 4.04519259 4 .04519259 -31.49954221
0.51585257 0.01889872 4.02629387 0.30655684
0.00469383
6 2.87228 4.02629387 4 .02629387 -31.49954221
0.30655684 0.01112274 4.01517113 0.17906493
0.00277018
7 2.87228 4.01517113 4 .01517113 -31.49954221
0.17906493 0.00646025 4.00871088 0.10354479
0.00161155
*Calcular las raíces raíces positivas del siguiente polinomio utilizado el método de falsa posición, calcule las interacciones cuando n = 12 F(x) = -0.1x4-0.15x3-0.5x2-0.25x+1.2 a1=-0.1 a2=-0.15
a3=-0.5
√ √ √ X -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
F(x) -53.80000000 -35.13750000 -21.80000000 -12.62500000 -6.60000000 -2.86250000 -0.70000000 0.45000000 1.00000000 1.21250000 1.20000000 0.92500000 0.20000000 -1.31250000 -4.10000000 -8.80000000 -16.20000000 -27.23750000 -43 -64.72500000 -93.80000000
Cambio de signo
Cambio de signo
F (x) = -0.1x4-0.15x3-0.5x2-0.25x+1.2 intervalo = -2 < x < -1.5
n xa xb 1 -2 -1.5 2 -2 -1.69565217 3 -1.73063384 -1.69565217 4 -1.73063384 -1.69984751
F(xa) -0.70000000 -0.70000000 -0.66709372 -0.66709372
F(xb) 0.45000000 0.09090663 0.09090663 0.08206244
d 0.19565217 0.03498167 0.00419534 0.00337233
xn=xb-d -1.69565217 -1.73063384 -1 .69984751 -1.69984751 -1 .70321984 -1.70321984
F(xn) ep 0.09090663 ------------------ -------0.66709372 0.02021321 0.08206244 0.01811123 0.07491576 0.00197997
MÉTODO NEWTON – RAPHSON
f(xb) f(x)
xa ≤ x ≤ xb
xa
xb xn+1 m
f(xa) Considera la grafica de la función xn es una primera aproximación a una raíz raíz , si dibujamos una recta tangente tangente a la curva x=a xn interceptarán el eje x en un valor xn + 1 que constituye una aproximación mejorada ala raíz la pendiente de la tangente es f(xn) – f (xn+1) (xn+1) la cual presenta la derivada derivada de la función en punto n xn - xn + 1 Xn lo que simbolizamos con f´(xn) resolviendo la ecuación para xn+1 tenemos la siguiente ecuación xn+1= xn – f (xn) de donde se repite el procedimiento con d f´(xn) Esta nueva aproximación obteniendo un valor mejorado ala raíz y continuamos hasta que 2 valores consecutivos de la raíz difieran en una cantidad menor que cierto valor de error permitido que controla el valor predecible de la raíz.
F (x) = x 3 – 25x2 + 164x -320 = 0 F (x) =3x2 - 50x + 164 = 0 n 1 2 3 4 5 6
xn 4.308421986 3.72390385 3.94676863 3.99722694 3.99999172 4.00000000
F(xn) 2.49378862 -4.32517815 -0.67576380 -0.03337671 -0.00009936 0
F´(xn) 4.26640073 19.40718715 13.39251636 12.07212263 12.00021528 12
F(xn)/ F´(xn) 0.58451814 -0.22286478 -0.05045831 -0.00276478 -0.00000828 0
Xn+1 ep 3.72390385 0.15696381 3.94676863 0.05646766 3.99722694 0.01262333 3.99999172 0.00069120 4.00000000 0.00000207 4 0
F(x)= -0.1x4-0.15x3-0.5x2-0.25x+1.2 F´(x)= -0.40x3 - 0.45x2 -1x - 0.25=0 Intervalo = -2 < x < 1.5 n
xn
F(xn)
1 2 3 4 5
-2 -1.77777778 -1.73873165 -1.73765561 -1.73765481
-0.700000000 -0.09187624 -0.00240055 -0.00000170 0
F´(xn) 3.15000000 2.35301784 2.23090205 2.22760807 2.22760562
F(xn)/ F´(xn) -0.22222222 -0.03904613 -0.00107604 -0.00000080 0
Xn+1 -1.77777778 -1.73873165 -1.73765561 -1.73765481 -1.73765481
ep 0.12500000 0.02245667 0.00061925 0.00000046 0
F(x) = -0.1x4-0.15x3-0.5x2-0.25x+1.2 F´(x)= -0.40x3 - 0.45x2 -1x - 0.25=0 Intervalo = 1< x < 1.5 n 1 2 3 4
xn
F(xn) 1 0.20000000 1.09523810 -0.01454231 1.08920532 -0.00006219 1.08917930 0
F´(xn) -2.10000000 -2.41054963 -2.38995046 -2.38986189
F(xn)/ F´(xn) -0.09523810 0.00603278 0.00002602 0
Xn+1 1.09523810 1.08920532 1.08917930 1.08917930
ep 0.08695653 0.00553870 0.00002389 0
*Determinar las raíces positivas por medio del método newton raphson F(x) = x5- 3x4+3x3-17x-3=0 F´(xn)= 5x4-12x3+9x2-17=0 x -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
F(x) -5293 -3275.34375000 -1919 -1047.53125000 -519 -222.21875000 -73 -10.40625000 7 4.90625000 -3 -11.28125000 -19 -25.96875000 -29 -18.15625000 27 141.15625000 377 808.96875000 1537
Raíz positiva (-1.5≤ (-1.5 ≤x≤-1) Raíz positiva (-0.5≤x≤0) (-0.5≤x≤0)
Raíz positiva (2.5≤x≤3) (2.5≤x≤3)
Intervalo = -1.5≤x≤-1 n 1 2 3 4 5
xn
-1.5 -1.34932127 -1.30863471 -1.30581933 -1.30580634 -1.30580634
F(xn) -10.40625000 -1.84880357 -0.11252868 -0.00051455 -0.00000010
F´(xn) 69.06225000 45.44015974 39.96926207 39.60403579 39.60235460
F(xn)/ F´(xn) -0.15067873 -0.04068656 -0.00281538 -0.00001299 0
Xn+1 -1.34932127 -1.30863471 -1.30581933 -1.30580634 -1.30580634
ep 0.11167002 0.03109085 0.0215603 0.00000995 0
Intervalo= -0.5 ≤ x ≤ 0 n
xn 1
-0.5
f(xn)
f'(xn)
4.90625
-12.9375 -0.37922705
2 -0.12077295 -0.95280868
f(xn)/f'(xn)
xn+1=xn(f(xn)/f'(xn))
|(xn+1 - xn)/xn+1| ≤ Ep≤0.00001
-0.12077295
3.14
-16.846522
0.05655818
-0.17733113
0.31894109
-0.005242 -16.6451217
0.00031493
-0.17764606
0.00177278
4 -0.17764606 -0.00000022 -16.6437232
0.0000001
-0.17764607
0.00000007
0
-0.17764607
0
3 -0.17733113
5 -0.17764607
0 -16.6437232
Intervalo= 2.5 ≤ x ≤ 3 n
xn 1
f(xn) 2.5
f'(xn)
-18.15625
f(xn)/f'(xn)
47.0625 -0.38579017
xn+1=xn(f(xn)/f'(xn))
|(xn+1 - xn)/xn+1| ≤ Ep≤0.00001
2.88579017
0.13368615
2 2.88579017 12.11760658 116.323194
0.10417189
2.78161829
0.0374501
3 2.78161829
1.20603414 93.7034892
0.01287075
2.76874754
0.00464858
4 2.76874754
0.01662911 91.1272124
0.00018248
2.76856505
0.00006591
5 2.76856505
0.0000033 91.0910189
0.00000004
2.76856502
0.00000001
6 2.76856502
0 91.0910117
0
2.76856502
0
MÉTODO DE LA SECANTE xa ≤ x ≤xb
M=f’(x)
Xn+1 xa
Xn-1 xn
F(xa) F(xn-1)
m=
F(xn+1)
=
Utilizando el método de Newton Raphson
| |
F(x)= x4-5x3-12x2+76x-79=0 Intervalo = 2.1 ≤ x ≤ 2.5
1
2.5
2.1
-3.0625
0.8231
2
2.1
2.184473337
0.8231
0.40744376
-0.08280432
2.267277657 0.03652147
3
2.18447334
2.26727766
0.40744376 -0.22348814
0.02933087
2.23794679 0.01310615
4
2.26727766
2.23794679 -0.22348814
n
xn-1
xn
f(xn-1)
f(xn)
0.02448622
-0.084473337
-0.00289628
xn+1
Ep≤0.001
2.184473337
2.24084307
0.03866
0.0013625
F(x)=x4-2.0374x3-15.424x2+15.6696x+35.4936=0 Intervalo = 3.944053118 ≤ x ≤ 4.4370599758
1
4.43705998 3.944053118
10.9819303
-25.656687
-0.34523472
4.28928784
0.08048766
2
3.94405312
-25.656687
-3.35947823
-0.05201586
4.3413037
0.01198162
3
4.28928784
4.3413037 -3.35947823
1.33107987
0.01476099
4.32654271
0.00341173
4
4.3413037
-0.03855114
-0.00041548
4.32695819
0.00009602
n
xn-1
xn
f(xn-1)
4.28928784 4.32654271
1.33107987
f(xn)
Intervalo = 1.972026559 ≤ x ≤ 2.465033199 n
xn-1
1
xn
2
1.97202656
2.12453298
Ep≤0.001
-13.1972309 5.91089891
-0.15250642
2.12453298
0.0717835
5.91089891 0.00134378
-0.00003465
2.12456763
0.0000163
f(xn-1)
2.4650332 1.972026559
xn+1
f(xn)
xn+1
Ep≤0.001
F(x)=25x3-6x2+7x-88=0 Intervalo = 1.5 ≤ x ≤ 2 n
xn-1 1 2
xn 2
-6.625
-0.03049982
1.53049482
0.01992481
-6.625 -1.71469495
-0.01064889
1.54114372
0.0069097
0.00028672
1.54085699
0.00018608
f(xn-1) 1.5
1.5 1.53049452
102
3 1.53049482 1.54114372 -1.71469495
f(xn) f(xn)
0.047446
xn+1
Ep≤0.001
*Calcular las raíces del sig. Polinomio. F(x)= -0.5x2+2.5x+4.5=0
f’(xn)= -1x+2.5=0
Por el método de Newton Raphson Intervalo= -1.5 ≤ x ≤ -1 n
xn
1 2 3
f(xn) -1.5
f'(xn)
|xn+1-xn/xn+1| ≤Ep≤0.00001
4
-0.09375
-1.40625
0.06666667
-1.40625 -0.00439453 3.906525
-0.001125
-1.405125
0.00080064
-0.0000063 3.905125 -0.00000016 -1.40512484
0.00000012
-1.405125
-0.375
f(xn)/f'(xn)
xn+1= xn(f(xn)/f'(xn))
Intervalo= 6 ≤ x ≤ 6.5 n 1
xn
f(xn) 6
f'(xn) 1.5
f(xn)/f'(xn)
-3.5 -0.42857143
xn+1= xn(f(xn)/f'(xn))
|xn+1-xn/xn+1| ≤Ep≤0.00001
6.42857123
0.66666667
2 6.42857123
-0.09183673 -3.92857143
0.02337662
6.40519481
0.00364964
3 6.40519481
-0.00027323 -3.90519481
0.00006997
6.40512484
0.00001092
*Determinar las raíces de la función: F(x)= -82x-90x2+44x3-8x4+0.7x5=0 Por el método de secante Intervalo= -1 ≤ x ≤ -0.5 n
xn-1
xn
1
-0.5
2
-1.0
3
f(xn-1) -1
f(xn)
12.47812500 -60.70000000
-0.41474143
-0.58525857
0.70864649
xn+1
Ep≤0.001
-0.58525857 -60.70000000
7.35649476
0.04483104
-0.63008961
0.07115026
-0.58525857
-0.63008961
7.35649476
3.59894824
0.04293881
-0.67302842
0.06379940
4
-0.63008961
-0.67302842
3.59894824
-0.73065376
-0.00724626
-0.66578216
0.01088383
5
-0.67302842
-0.66578216
-0.73065376
0.05154407
0.0004775
-0.66625967
0.00071670
6
-0.66578216
-0.66625967
0.05154407
0.00065209
0.00000612
-0.666265780
0.00000917
Intervalo= 0 ≤ x ≤ 0.5 n
xn-1
1
xn
0.5
f(xn-1) 0
-58.47812500
f(xn) 0
Intervalo= 4.5 ≤ x ≤ 5 n
xn-1
xn
f(xn-1)
1
5.0
4.5
2
4.5 4.93066171 -170.80312500
f(xn)
27.50000000 -170.80312500
xn+1 0
Ep≤0.001 0
0
xn+1
Ep≤0.001
-0.43066171
4.93066171 0.08734359
-6.39204599
-0.01674345
4.94740516 0.00338429
3
4.93066171 4.94740516
-6.39204589
1.58252140
0.00332267
4.94408249 0.00067205
4
4.94740516 4.94408249
1.58252140
0.01046623
-0.00002183
4.94410432 0.00000442
5
4.94408249 4.94410432
-0.01046623
-0.00001697
-0.00000004
4.94410436
0.00000001
*Calcular las raíces de la función f(x)= 5x3-5x2+6x-2=0 por el método de falsa posición Intervalo= 0
xa 1 2 3 4 5 6 7
xb 0 0 0 0 0 0 0
f(xa) f(xb) ∂ xn f(xn) Ep 0.5 -2 0.375 0.0789474 0.4210526 0.01312145 0.4210526 -2 0.01312145 0.0027444 0.4183082 0.01312145 0.0065607 0.4183082 -2 0.00092207 0.0001928 0.4181155 0.00092207 0.000461 0.4181155 -2 0.00006592 1.368E-05 0.4181017 0.00006592 3.296E-05 0.4181017 -2 0.00000472 9.9E-07 0.4181007 0.00000472 2.57E-06 0.4181007 -2 0.00000034 7E-08 0.4181006 0.00000034 1.7E-07 0.4181006 -2 0.00000002 1E-08 0.4181006 0.00000002 0
MÉTODO DE BIRGE-VIETA El método de Birge-Vieta aplica Newton raphson para encontrar una raíz del polinomio p(x). Dado un punto x(k) evalua p(xk) y p’(xk) mediante división sinté tica cuando encuentra una raíz p; elimina el factor x-p mediante división sintética y continua trabajando sobre el polinomio restante. El proceso se repite hasta encontrar la raíz del polinomio. Ejemplo: P(x)= x3-2x2-5x+6
valor inicial 0.8333
División sintética 1
-2 0.8333
-5 0.9722
6 -4.9766
1
-1.1667 0.8333
-5.9722 -0.2778
1.0234
1
-0.3333
-6.25
0.8333
≠0
X1=0.8333-(1.0234/-6.2500)=0.997044 X1=0.997044=xk 1
-2 0.997044
-5 -0.99999
-6 -5.982254
1
-1.002956 0.997044
-5.99999 -0.005894
0.017746
1
-0.005912
-6.005884
0.997044
≠0
X1=0.99704-(0.017746/-6.00589352)=0.999999 X1=0.999998
1
-2 0.999998
-5 -1
6 -5.999988
1
-1.000002
-6
0.000012
0.999998 X=1 es la raíz
≈ ᴓ si es la raíz
P(x)= x3-25x2+164x-320=0 2.8722812 Para xk: 4.3084218 15.79754 1
-25 2.8722812
2.8722812
1 -22.1277188 2.8722812 1 -19.2554376
164 -63.55703071
-320 288.500452
100.4429693 -31.4995476 -55.30703142
≠0
44.69296858
X1=2.8722812-(-31.49954763/44.69296858)=3.577079933 X1=3.577079933=xk 1 3.57707993
-25 164 3.577079933 -76.63149748
-320 312.5241171
-21.42292007 87.36850252 3.577079933 -63.83599664
-7.47588285
-17.84584014
≠0
23.53250588
X1=3.577079933-(-7.475882852/23.53250588)=3.894763179 X1=3.894763179=xk 1
-25 3.894763179
164 -82.19989925
-320 318.5920204
1
-21.10523682 3.894763179
81.80010075 -67.03071903
-1.40797958
1
-17.21047364
14.76938172
3.894763179
≠0
X1=3.894763179-(-1.40797958/14.76938172)=3.990094155 X1=3.990094155=xk 1
-25
164 -83.83150251
-320 319.8798533
1
-21.00990584 80.168.49749 3.990094155 -67.91065112
-0.120146741
1
-17.01981169
3.990094155
3.990094155
12.25784637
≠0
X1=3.990094155-(-.01201467408/12.25784637)=3.999895774 X1=3.999895774 1
3.999895774 1
X=4 es la raíz
-25
3.999895774
164 -83.99822815
-320 319.9987491
-21.00010423
80.00177185
-0.001250853
≈ᴓ Si es
la raíz
Xk=4.3084218 1
-25
4.3084218
164 -89.59195341
-320 322.4937878 2.4937783
4.3084218
74.85195341 -70.58554819
-16.3831564
4.266405223
4.3084218 1
-20.6915782
1
≠0
X1=4.3084218-(2.49378783)/4.266405223=3.7239004461 X1=3.7239004461=xk 1
3.723900446
164 -79.23014709
1
-21.27609554 3.723904461
84.7698529 -65.36268266
1
-17.55219108
19.40717025
3.723900446
-25
-320 315.6748334 -4.32516659
≠0
X1=3.7239004461-(-4.325166598/19.40717025)=3.946768822 X1=3.946768822=xk 1
-25 3.946768822
164 -83.09223642
-320 319.3242388
1
-2105323118 3.946768822
80.90776358 -67.51525229
-0.675761227≠0 -0.675761227≠0
1
-17.10646236
13.39251129
3.946768822
X1=3.946768822-(-0.6757612266/13.38251129)=3.997226963 X1= 3.997226963=xk 1
3.997226963
164 -83.95285068
-320 319.9666236
1
-21.00277304 3.997226963
80.04714932 -67.9750273
-0.033376428≠0
1
-17.00554608
12.07212202
3.997226963
-25
X1=3.997226963-(-0.03337642759/12.07212202)=3.999991715 X1=3.999991715=xk
1
-25 3.999991715
164 -83.99985915
-320 319.9999006
1
-21.00000829
80.0014085
-0.000994209
3.999991715
X=4 es la raíz
≈ᴓSi es
la raíz
Xk= 15.79754 1 15.79754 1 1
-25 15.79754 -9.20246 15.79754 6.59508
164 -145.3762299 18.62377005 104.1860401 122.8098102
-320 294.2097523 ≠0 -25.79024766
Xi= 15.79754-(-25.79024766/122.8098102)=16.00754153 Xi=16.00754153=xk 1
16.0075415 1 1
-25 16.00754153 -8.992458473 16.00754153 7.015083057
164 -143.9471525 20.05284754 112.2942334 132.3270809
-320
320.9967897 ≠0 0.996789712
Xi=16.00754153-(0.9967897115/132.3470809=16.0000099 1 16.0000099 1
-25 16.000001 -8.99999
164 -143.99999 20.000008
-320 320.001305 0.001305 ≈ᴓ si es la raíz
X=16 es la raíz
*Calcular las raíces reales o iguales a 0 del siguiente polinomio P(x)=x4-5x3-5x2+23x+10 a) Encuentre posibles raíces con el cambio de signo de Descartes a partir del -4 a 6 de .6 en .6 b) Encontrar las raíces xi utilizando ando el método de Birge-Vieta x -4 -3.4 -2.8 -2.2 -1.6 -1 -0.4 0.2 0.8 1.4 2 2.6 3.2 3.8 4.4 5 5.6
f(x) 414 204.1536 77.6256 11.8656 -12.5664 -12 0.3456 14.3616 23.0496 22.5216 12 -6.1824 -26.5824 -40.6464 -36.7104 0 87.3696
Xk=-2.2 -2.2
Xk=-2.2 Xk=-1
Xk=2
Xk=5
1 1 1
-5 2.2 -7.2 -2.2 -9.4
-5 15.84 10.84 20.68 31.52
Xi=-2.2-(11.8656/-10.192)=-2.030955095 Xi=-2.030955095=xk
23 10 -23.834 1.8656 -0.848 11.8656≠0 -69.344 -70.192
1 -2.03096
-5 -2.03096 1 -7.03095 -2.03096 1 -9.05191
-5 23 10 14.27955 -8.4358 -8.43588 9.272534 4.153642 1.564138≠0 18.40443 -56.2249 27.68389 -52.071
Xi=-2.030955095-(1.564138841/-52.07108844)=-2.000916567 Xi= -2.0009 1 -2.0009 1 1
-5 -2.0009 -7.0009 -2.0009 -9.0018
-5 23 10 14.0082 -18.0247 -9.955 9.00082 4.9753 0.0449≠0 14.0082 -54.0641 27.0199 -49.0888
Xi= -2.0009-(0.0449/-49.0888)=-1.9999 1 -1.9999
1 X=-2 es la raíz
-5 -1.9999 -6.9999
-5 23 10 13.9999 -17.9476 -10.0042 8.9992 5.0023 -0.0042 ≈ᴓ si es la raíz
Xk=-1 1 -1 1 1
-5 -1 -6 -1 -7
-5 6 1 7 8
-5 -0.1428 -5.1428 -0.1428 -5.2856
-5 0.7323 -4.2656 0.7547 -3.5108
23 -1 22 -8 14
10 -22 -12≠0
Xi=-1-(-12/14)=-0.1428 Xi=-0.1428=xk 1 -0.1428 1 1
23 10 0.6091 -3.3713 23.6091 6.6286 ≠0 0.5013 24.1104
Xi= -0.1428-(6.6286/24.1104)=-0.4177 Xi=-0.4177=xk 1 -0.4177 1 1
-5 -0.4177 -5.4177 -0.4177 -5.8354
-5 2.2669 -2.737 2.4372 -0.2995
23 10 1.1432 -10.0846 24.1432 -0.0846 ≠0 0.1251 24.2683
Xi=-0.4177-(-0.0846/24.2683)=-0.4142 Xi= -0.4142=xk 1 -0.4142 X=-0.4142 es la raíz
1
-5 -0.4142 5.4142
-5 2.2426 -2.7424
23 10 1.1421 -9.9997 24.1421 0.00093 ≠0
Xk=2 1 2 1 1 Xi=2-(12/-25)=2.48=xk 1 2.48 1 1
-5 2 -3 2 -1
-5 -6 -11 -2 -13
23 -22 1 -26 -25
-5 -5 2.48 -6.2496 -2.52 -11.2496 2.48 -0.0992 -0.04 -11.3488
23 -27.899 -4.899 -28.145 -33.044
10 2 12≠0
10 -12.1495 -2.1495≠0
Xi=2.48-(-2.1495/-33.0440)=2.4149= xk 1 2.4149 1 1
-5 -5 23 10 2.4149 -6.2429 -27.1428 -10.0214 -2.585 -11.2426 -4.1498 -0.0214≠0 2.4149 -0.4107 -28.1417 -0.1701 -11.6533 -32.2915
Xi= 2.4149-(-0.0214/-32.2915)= 2.4142 =xk 1 2.4142 1 X=2.4142 es la raíz.
-5 -5 23 2.4142 -6.2425 -27.1417 -2.5857 -11.2425 -4.1417
10 -9.999
0.0009 ≈ᴓ si es la raíz
Función p(x)= x -4 -3.4 -2.8 -2.2 -1.6 -1 -0.4 0.2 0.8 1.4 2
f(x) -495 -99.3485 21.1766 27.2794 8.1245 0 4.9795 9.5846 3.4474 -2.0275 45 2
-3.4 2 2
Xk=-3.4
Xk=0.8 Xk=1.4
5 -6.8 -1.8 -6.8 -8.6
-8 -14 6 9 6.12 6.392 25.8672 -108.348 -1.88 -7.608 31.8672 -99.3484≠0 29.24 -93.024 342.1488 27.36 -100.632 374.016
Xi=-3.4-(-99.3484/374.016)=-3.1343=xk 2 -3.1343 2 2
5 -6.2687 -1.2687 -6.2687 -7.5374
-8 -14 6 9 3.9766 12.6104 4.3553 -32.4567 -4.0233 -1.3895 10.3553 -23.4567≠0 23.6244 -61.4359 196.9138 19.6011 -62.8254 207.2691
Xi= -3.1343-(-23.4567/207.2691)=-3.0211=xk 2 -3.0211 2 2
5 -6.0422 -1.0422 -6.0422 -7.0844
-8 -14 6 9 3.1487 14.656 -1.9819 -12.1387 -4.8512 0.656 4.018 -3.1387≠0 21.4026 -50.0036 149.0842 16.5514 -49.3476 153.1022
Xi= -3.0211-(-3.1387/153.1022)=-3.0416=xk
2 -3.0416 2 2
5 -6.0832 -1.0832 -6.0832 -7.1664
-8 -14 6 9 3.2946 114.3117 -0.9482 -15.3655 -4.7053 0.3117 5.0517 -6.3655≠0 21.7973 -51.987 157.1758 17.092 -51.6753 162.2275
Xi= -3.0416-(-6.3655/162.2275)=-3.0023=xk 2 -3.0023 2 2
5 -6.0046 -1.0046 -6.0046 -7.0092
-8 -14 6 9 3.0161 14.9631 -2.8916 -9.3323 -4.9839 0.9631 3.1083 -0.3323≠0 21.0437 -48.2166 141.8692 16.0599 -47.2535 144.9775
Xi= -3.0023-(0.3323/144.9775)=-3=xk 2 -3 X= -3 es la raíz
2
5 -6 -1
-8 3 -5
-14 15 1
6 -3 3
9 -9 0
Xk= 0.8 2 0.8 2 2
5 1.6 6.6 1.6 8.2
-8 5.28 -2.72 6.56 3.84
-14 6 9 -2.176 -12.9408 -5.5526 -16.176 -6.9408 3.4473≠0 3.072 -10.4832 -13.104 -17.424
Xi= 0.8-(3.4473/-17.424)=0.9978=xk 2 0.9978 2 2
5 1.9956 6.9956 1.9956 8.9912
-8 -14 6 9 6.9803 -1.0174 -14.9844 -8.9646 -1.0196 -15.0174 -8.9844 0.0354≠0 8.9714 7.9343 -7.0674 7.9518 -7.083 -16.0518
Xi= 0.9978-(0.0354/-16.0515)=1=xk 2 1 2 X=1 es la raíz
5 2 7
-8 7 -1
-14 -1 -15
6 -15 -9
9 -9 0
Xk= 1.4 2 1.4 2 2
5 2.8 7.8 2.8 10.6
-8 10.92 2.92 14.84 17.76
-14 6 9 4.088 -13.8768 -11.0275 -9.912 -7.8768 -2.0275≠0 24.864 20.9328 14.952 13.056
Xi= 1.4-(-2.0275/13.056)=1.2447=xk 2 1.2447 2 2
5 2.4894 7.4894 2.4894 9.9788
-8 -14 6 9 9.322 1.6455 -15.3775 -11.6722 1.322 -12.3544 -9.3775 2.6722≠0 12.4206 17.1054 5.9136 13.7426 4.751 -3.4638
Xi= 1.2447-(2.6722/-3.4638)=2.0161=xk 2 2.0161 2
5 4.0323 9.0323
-8 18.21 10.21
-14 20.5844 6.5844
6 13.2748 19.2748
9 38.86 47.86
*Calcular las raíces del sig. Polinomio por el método de Birge-Vieta P(x)= 5x3-x2-5x+1 a)Calcular las posibles raíces por el cambio de signo de Descartes Des cartes a partir de -3 a 2 de 0.4 en 0.4 b)Calcular las raíces por método de Div. Sintética por el método de Birge-Vieta. x -3 -2.6 -2.2 -1.8 -1.4 -1 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1 1.4 1.8
f(x) -128.00 -80.64 -46.08 -22.40 -7.68 0.00 2.56 1.92 0.00 -1.28 0.00 5.76 17.92
Raíz=-1
Raíz= 0.2 Raíz=1
*Calcular las raíces del siguiente polinomio: P(x)= 2x6-3x5-13x4+29x3-27x2+32x-12 a) Realizar las tabulaciones y encontrar los cambios de signo según descartes para encontrar las posible raíz real de .3 en .3 de -5 a 5 b) Calcular las raíces por el método de Birge-Vieta c) Realizar la grafica del polinomios
X -5 -4.7 -4.4 -4.1 -3.8 -3.5 -3.2 -2.9 -2.6 -2.3 -2 -1.7 -1.4 -1.1 -0.8 -0.5 -0.2 0.1 0.4 0.7 1 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 2.8 3.1 3.4 3.7 4 4.3 4.6 4.9
F(x) 28028 18325.49857 11441.73363 6706.626212 3573.483008 1603.25 449.815808 -153.635188 -407.219968 -455.904232 -400 -304.613452 -218.043008 -129.127648 -73.545472 -39.0625 -19.731712 -9.042328 -2.019328 3.726788 8 9.068528 5.764352 0.632492 4.130048 39.875 150.944768 407.224532 913.805312 1820.431808 3332 5720.104508 9335.635712 14622.42663
-3.2
0.4
2
-3 -6.4 -9.4 -6.4 -15.8
-3.2 2 2
-13 30.08 17.08 50.56 67.64
29 -54.656 -681 -216.448 -242.104
-27 32 -12 82.0992 -176.3174 461.8158 55.0992 -144.3174 449.8185 ≠0 774.7328 -2655.462 829.832 -2799.78
Xi= -3.2 – (449.8158/-2799.7798) = -3.0393 = xk
2 -3.0393 2
2
-3
-13
29
-27
32
-12
-6.0786
27.5928
-44.3519
46.6592
-59.7503
84.3416
-9.0786
14.5928
-15.3519
19.6592
-27.7503 72.3416≠0
-6.0786
46.0672 -184.3641
-15.1572
60.66
-199.716
606.997 -1904.596 626.6562 -1932.347
Xi= -3.0393 – (72.3416/-1932.3466) = -3.0018 =xk 2 -3.0018 2 2
-3 -6.0037 -9.0037 -6.0037 -15.0074
-13 29 -27 32 -12 27.0273 -42.1074 39.3457 -633 15.1879 14.0273 -13.1074 12.3457 -5.0596 3.1879 ≠0 45.0492 -177.3358 571.6726 -1753.106 59.0765 -190.4432 584.0183 -1758.166
Xi= -3-0393 – (3.1879/-1758.1658) = - 2.9999 = xk 2 -2.9999 2 2
-3 -5.9999 -8.9999 -5.9999 -14.9998
-13 29 -27 32 -12 26.999 -41.9956 38.9856 -35.9558 11.8672 13.999 -12.9956 11.9856 -3.9558 -0.1327 ≠0 44.9979 -176.9898 569.9222 -1745.665 58.9996 -189.9804 581-9078 -1749.621
Xi= -3-0393 – (3.1879/-1758.1658) = - 2.9999 = xk X= -3 es la raíz
Xk= 0.4 2 0.4 2 2
-3 -0.8 -2.2 -0.8 -3
-13 -0.88 -13.88 -1.2 -15.08 -15.0 8
29 -5.552 23.448 -6.032 17.416
-27 9.3792 -17.6208 6.9664 -10.5644
32 -12 -7.04832 9.9806 24.95168 -2.0193 ≠0 -4.2617 20.6898
29 -6.9637 22.0362 -7.2136 14.8225
-27 10.963 -16.0369 7.3741 -8.6627
32 -12 -7.9783 11.9507 24.0216 -0.0492 ≠0 -4.3096 19.7119
29 -6.9985 22.0014
-27 10.9985 -16.0014
32 -12 -7.9991 11.998 24.0008 -0.0019 ≠0
Xi= 0.4 – (-2.0193/20.6898) = 0.4975 = xk 2 0.4975 2 2
-3 -0.995 -2.005 -0.995 -1.01
-13 -0.9974 -13.9974 -0.5024 -14.4998
Xi= 0.4975 – (-0.0492/19.7119) = 0.4999 = xk 2 0.4999 2 X= 0.5 es la raíz
-3 -0.9999 -2
-13 -0.9998 -13.9998
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES (ALGEBRAICAS) a11 x1 + a12 x2+ a13 x3 + ... a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2+ a23 x3 + ... a2n xn = b2 a31 x1 + a32 x2+. a33 x3 + ... a3n xn = b3 .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 x1 + am2 x2+ am3 x3 + ... amn xn = bm
Ax= B Donde: A = es la matriz de coeficiente b = es el vector del coeficiente X = es el vector de solución Determinados (solución única) Consistentes
Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Indeterminados (familia de soluciones)
Inconsistentes (no tiene solución)
x x + y = 10
y
y
-10
20
-13
0
10
-3
10
0
x – y = 3
7
y= 10 – 10 – x x=3+y
(-10, -20) 20 18 16 14 12
(0, 10)
10
(10, 7)
8 6 4 2 -2
-10 -8 -6 -4 -2
2 -4 -6
(10, 0) 4
6
8 10 12
(0, -3)
-8 -10
(-10, -13)
-12 -14
x=3+y
x = 3 + 3.5
y = 10 – (3 + y )
x = 6.5
y= 10 – 3 – y 2y = 7 Y = 7/2 = 3.5
MÉTODO DE GAUSS El método de Gauss consiste en resolver un sistema de ecuaciones lineales transformándola en una matriz. Haciendo la diagonal principal “unos” y el triángulo inferior “ceros”. Matriz Identidad: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Diagonal Principal
Triangulo Inferior
Triangulo Superior
Para hacer la diagonal principal “unos” y el triángulo inferior “ceros” se debe de
proceder a hacer las operaciones básicas de las matrices. 1) Intercambiar filas. 2) Dividir entre un escalar. 3) Multiplicar entre un escalar y sumar una fila. fila. Ejemplo: *Determinar la solución de un sistema de ecuaciones lineales 2 x 2 3x + 4y = 3 x + 5y = 7
* + * + * + =
F2
F1
=
F1(-3)+F2
=
F2(-1/11)
[ ]
y = 18/11
verificación:
x + 5(18/11) = 7 x = 7 – 90/11 x = -13/11
x + 5y = 7 -13/11 + 5(18/11) = 7 77/11 = 7 7=7
3x1 + 6x2 – 2x3 = 11 x1 + 0x2 + 4x3 = 9 4x1 + 3x2 – 5x3 = -5
=
F1
=
F2
F1(-3)+F2 F1(-4)+F3
=
F2(1/6)
=
F2(-3)+F3
=
F3(-1/14)
x3 = 33/14 x2 = -8/3 + 77/14 = 119/42 x1 = 9 – 4(33/14) = 126/14 – 132/14 = -6/14 = -3/7
Verificación: x1 + 0x2 + 4x3 = 9 -3/7 + 132/14 = 9 -3/7 + 66/7 = 9 63/7 = 9 9=9
Sistema de Ecuaciones 4 x 4: 20x1 - x2 – 4x3 + x4 = 30 -x1 - 30x2 + 3x3 - x4 = 40 x1 + x2 – 32x3 – x4 = 40 -x1 - x2 – 2x3 -25x4 = 50 20
1
-4
1
30
-1
-30
3
-1
40
1
1
-32
-1
40
-1
-1
-2
-25
50
=
F1 <-> F3
40
3
-1 -1
1
-4
1
30
-1 -1 F1 (1) + F2
-2
-25
50
-32
-1 2/29
40
1 -1
1 -30
-32
20
40
F1 (-20) + F3 F1 (1) + F4 40
-31
-1 -2
-21
636
21
0
-34
-26
1 0
1 -29
0 0
-32
1 0
1 1
31/29
-770
0
-21
636
21
-770
90
0
0
-34
-26
90
-32
-1 2/29
40
80
=
F2 (-1/29) 1
-80/29
F2 (21) + F3
0
1 1
-32 31/29
0
0
19095/29
651/29
0
0
-34
-26
40
-1 2/29
1 0
1 1
31/29
-24010/29
0
0
1
90
0
0
-34
-26
90
-1 2/29
40
-80/29
=
F3(29/19095)
-80/29
217/6365 -4802/3819
F3(34)+F4
1 0
1 1
-32 31/29
0
0
1
0
0
0
-1 2/29
40
1
1
-32
-80/29
0
1
31/29
0
0
1
0
0
0
217/6365 -4802/3819 = -26
90
-80/29
217/6365 -4802/3819 1
-90/26
F4(-6365/158112) -158112/6365
506978/3819
x4 = 1267445/237168 x3 = -770 x2 = -80/29 +31 – 725/58 = 913/58 x1 = 1604 – 98560/4 + 725/4 = 97675/4
Verificación: x1 + x2 – 32x3 – x4 = 40 -97675/4 + 913/58 – 32(-770) – 725/4 = 40 -5665150/232 + 3652/232 + 5716480/232 – 42050/232 = 40 9280/232 = 40 40 = 40
*Otro ejemplo: X1 + 10X2 - X3 = 10 X1 - 2X2 + 10X3 = 12 10X1 + 3X2 + X3 = 14
=
F1(-1)+F2
=
F2(-1/12)
F2(97)+F3
F1(-10)+F3
=
F3(-12/935)
X3 = 1226/935 X2 – 11/12 X 3 = -1/6 X1 + 10X2 – 1X3 = 10
X2 – 11/12(1226/935) = -2/12
X 1 + 10(88/85) – 1226/935 = 10
X2 – 613/510 = -2/12
X 1 + 176/17 – 1226/935 = 10
X2 = -1/6 + 613/510
X 1 = 10 – 176/17 + 1226/935
X2 = 88/85
X 1 = 896/935
896/935 + 10(88/85) – 1226/935 = 10 PROBLEMA CORRECTO
=
2X1 + 3X2 – 5X3 = -3 4X1 – X2 – 2X3 = -12 -3X1 + 10X2 - 5X3 = 11
=
F1(1/2)
=
F1(-4)+F2
=
F2(-1/7)
F1(3)+F3
F2(-29/2)+F3
F3(14/57)
X3= -83/57 X2 - 8/7X3 = 6/7 X1 + 3/2X2 – 5/2X3 = 3/2 X2 – 8/7(-83/57) = 6/7
X 1 + 3/2(-46/57) – 5/2(-83/57) = -3/2
X2 + 664/399 = 6/7
X 1 – 23/19 + 415/114 = -3/2
X2 = 6/7 – 664/399
X 1 = -3/2 + 23/19 -415/114 = -224/57
X2 = -46/57
-224/57 + 3/2(-46/57) – 5/2(-83/57) = -3/2 -224/57 – 23/19 + 415/114 = -3/2 PROBLEMA CORRECTO
MÉTODO DE GAUSS – JORDAN (MATRIZ AUMENTADA) X1 + 2X2 – X3 = 10 X1 – X2 + 3X3 = 5 3X1 + X2 – 4X3 = 3 1 2 -1 10 1 0 0 1 -1 3 5 0 1 0
1 2 -1 10 1 0 0
1 2 -1
10 1
= 0 -3 4 -5 -1 1 0 = 0 1 -4/3 5/3 1/3 -1/3 0
3 1 -4 3 0 0 1
0 -5 -1 -27 -3 0 1
0 -5 -1 -27 -3
F1(-1) + F2
F2(-1/3)
F2(-2) + F1
F1(-3) + F3
1 0 5/3 20/3 = 0 1 -4/3 5/3
0 0 =
0 1
F2(5) + F3
1/3 2/3 0 1/3 -1/3 0
1 0 5/3 20/3 1/3 = 0 1 -4/3 5/3
0 0 -23/3 -56/3 -4/3 -5/3 1
0 0
F3(-3/23)
1/3
F3(-2/3) + F1
7/23
5/23
= 0 1 0 113/23 13/23 -1/23 -4/23 0 0 1 56/23 4/23
5/23 -3/23
X1 = 60/23 X2 = 113/23 X3 = 56/23
PROBLEMA CORRECTO
0
-1/3
0
1 56/23 4/23 5/23 -3/23
F3(4/3) + F2 1 0 0 60/23 1/23
2/3
=
PROBLEMAS DE LAS HOJAS: 4x1 – 8x2 = -24 X1 + 6x2 = 34 4
-8 -24
1 0
1
6
0 1
34
=
F1 F2
34
0 1
0 -32
-160
1 -4
=
X2 = 5
4 -8
-24
1 0
34
=
-1/32 4/32
0
1
0 1 160/32 -1/32 4/32 F2 (-6) + F1
1 0 4 -6/32 -24/32
X1 = 4
0 1
1 6
F2 (-1/32)
1 5
34
F1 (-4)+ F2
1 6
0
1 6
=
-1.1X1 + 10X2 = 120 -2X1 + 17.4X2 = 174
-1.1
10
120 1 0
-2
17.4 174 0 1
= 1 -9.0909 -109.0909 -0.9090 0 -2 17.4
174
F1 (-1/1.1)
0
=
1
F1 (2) + F2
1 -9.0909 -109.0909 -0.9090 0 0 -0.7818 -44.1818
=
-1.8181 1
F2 (-1/.7818) 1 -9.0909 -109.0909 -0.9090 0 0
1
56.5129
2.3254 -1.279
F2 (9.0909) + F1
X1 = 404.6623 X2 = 56.5129
= 1 0 404.6623 20.2309 -11.627 0 1 56.5129
2.3254
-1.279
0.5X1 – X2 = -9.5 1.02X1 – 2X2 = -18.8
0.5
-1
-9.5 0 1
1.02 0.04 -18.8 0 1 F1 (2)
1 -2
- 19
2
0
F2 (1/0.04)
2 0
= 1.02 -2 -18.8 0 2
=
51
1 -2 -19 2 0 = 0 1 14.5 51 50 F2 (2) + F1
104 100
0 1 14.5
-2 -19
F1 (-1.02) + F2
0 0.04 0.58 2.04 2
1 0 10
1
50
X1 = 10 X2 = 14.5
=
10X1 + 2X2 – X3 =27 -3X1 – 6X2 + 2X3 = -61.5 X1 + X2 + 5X3 = -21.5
10 2 -1
27
-3 -6 2 1
1 5
1 0 0
1 1
5
-21.5 0 0 1
-61.5 0 1 0
= -3 -6 2
-61.5 0 1 0
-21.5 0 0 1
10 2 -1
F1 F3
27
F1 (3) + F2
1 1 5
- 21.5 0 0 1
0 -3 17
-126 0 1 3
0 -8 -51
242 1 0 0
1 1
5
F1 (-10) + F3
42
0 -8 -51
F2 (-1/3)
1 0 0
-21.5 0 0
= 0 1 -17/3
-63.5 0 1/3 2
0 1 -17/3
42
0 -1/3 -1 = 0 1 - 17/3 42
0 0 -289/3
578
1 -8/3 -8
1
0
1/3 -1/3
2 -1
-6 -3/289 8/289 24/289
F3 (17/3) + f2 F3 (-32/3) + F1
1 0 0 0.5 32/289 11/289 322/289
X1 = 0.5
0 1 0 8
X2 = 8
-1/17
0 0
1 0 32/3 -63.5 0
0 0
=
F2 (8) + F3
1 0 32/3
F3 (-3/289)
1
0 -1/3 1
242 1
F2 (-1) + F1
=
-3/17 - 9/17
0 0 1 -6 - 3/289 8/289 24/289
X3 = -6
8x1+2x2-2x3=-2 10x1+2x2+4x3=4 12x1+2x2+2x3=6
8 2 -2 -2 1 0 0
1 1/4
-1/4 -1/4 1/8 0 0
10 2 4 4 0 1 0
= 10 2
4
4
0
1 0 =
12 2 2 6 0 0 1
12
2
6
0
0 1
2
F1(1/8)
F1(-10)+F2 F1(-12)+F3
1 1/4 -1/4 -1/4 1/8 0 0 1/2 13/2 13/2 -5/4 1
0 1 1/4 -1/4 -1/4 1/8 0 0 0 = 0 1 -13 -13 5/2 -2 0
0
1
-1
5
9
-3/2
0
0 -1
F2(2/1)
5
9
-3/2 0
=
1
F2(1/4)+F1 F2(1)+F3
1
0 3
3
- 1/2 1/2
0
1
0
3
3 - 1/2 1/2
0 1 -13 -13 5/2
-2
0 =
0
1 -13 -13
0
-2
1
0
0
0 -8
-4
1
F3(-1/8)
1
5/2 -2
0 0
=
1/2 1/8 1/4 -1/8
F3(-3)+F1 F3(13)+F2
1 0
0
3
- 1/2
1/2
0
0 1
0 -13/2
7/8
5/4 -13/8
0 0
1
1/2
-1/8
1/4 -1/8
x1 = 3/2
x2=-13/2
x3 = 1/2
2x1-6x2-x3=-38 -3x1+x2+7x3=-34 -8x1+x2-2x3=-20
2 -6 -1 -38 1 0 0
1 -3 -1/2 -19 1/2 0 0
-3 -1 7 -34 0 1 0 = -3 -1 -8 1 - 2 20 0 0 1
7
8 1 -2
F1(1/2)
34
0
-20
0
1
0
0
=
1
F1(3)+F2 F1(8)+F3
1 1/4 -1/4 -1/4 1/8 0 0 0 1/2 13/2 13/2 -5/4 1 0 =
1 1/4 0 1
0
0
-1
5
9
-3/2
0
1
F2(2/1)
-1/4 -1/4 -13 -13
-1
5
9
1/8 0 0 5/2 -2 0 -3/2 0
1
F2(1/4)+F1 F3(1)+F3
1
0 3
0
1 -13 -13
0
0 -8
F3(-1/8)
3 - 1/2 1/2
-4
0
1
0
5/2 -2
0 =
0
1 -13 -13
1
1
0
0
-2
3
3
1 ½
- 1/2
1/2
0
5/2
-2
0
1/8
1/4 -1/8 F3(-3)+F1 F3(13)+f2
=
1
0
0
3
- 1/2
1/2
0
0
1
0 -13/2 7/8
5/4
-13/8
0
0
1
1/4
-1/8
1/2
-1/8
x1 = 4
x2=8
x3 = -2
METODO DE GAUSS SEIDEL 2x1 – 6x2 + x3 = 12 -x1 + 7x2- x3 = -8 x1- 3x2 + 2x3 = 16
x1 = (12 + 6x2 - x3)/2 x2 = (-8 + x1 + x3)/7 x3 = (16 - x1 + 3x2)/2
{0, 0, 0} x1 = (12 + (6*0) -0)/2 x1 = 6
x2 = (-8+6+0)/7
x3 = (16-6+(3*-0.28))/2
x2 = -0.28
x3 = 4.58
{6, -0.28, 4.58} x1 = (12 + (6*-0.28) -4.58)/2 x1 = 2.87 x2 = (-8+2.87+4.58)/7
x3 = (16-2.87+(3*-0.07))/2
x2 = -0.07
x3 = 6.46
Ep = | (6-2.87)/6 |
Ep = 0.521
{2.87, -0.07, 6.46} x1 = (12 + (6*-0.07) -6.46)/2 x1 = 2.56 x2 = (-8+2.56+6.46)/7
x3 = (16-2.56+(3*0.14))/2
x2 = 0.14
x3 = 6.93
Ep = | (2.56 -2.87)/2.56 |
Ep = 0.121
{2.56, 0.14, 6.93} x1 = (12 + (6*0.14) -6.93)/2 x1 = 2.95 x2 = (-8+2.95+6.93)/7
x3 = (16-2.95+(3*0.26))/2
x2 = 0.26
x3 = 6.91
Ep = | (2.95-2.56)/2.95 |
Ep = 0.13
{2.95, 0.26, 6.91} x1 = (12 + (6*0.26) -6.91)/2 x1 = 3.32 x2 = (-8+3.32+6.9)/7
x3 = (16-2.95+(3*0.31))/2
x2 = 0.31
x3 = 6.97
Ep = | (3.32-2.95)/3.32 |
Ep = 0.111
{3.32, 0.31, 6.97} x1 = (12 + (6*0.31) -6.97)/2 x1 = 3.44 x2 = (-8+3.44+6.97)/7
x3 = (16-3.44+(3*0.34))/2
x2 = 0.34
x3 = 6.7
Ep = | (3.44-3.32)/3.44 |
Ep = 0.03
{3.44, 0.34, 6.7} x1 = (12 + (6*0.34) -6.7)/2 x1 = 3.67 x2 = (-8+3.67+6.7)/7
x3 = (16-3.67+(3*0.33))/2
x2 = 0.33
x3 = 6.66
Ep = | (3.67-3.44)/3.67 |
Ep = 0.05
{3.67, 0.33, 6.66} x1 = (12 + (6*0.33) -6.66)/2 x1 = 3.66 x2 = (-8+3.66+6.66)/7
x3 = (16-3.66+(3*0.33))/2
x2 = 0.33
x3 = 6.66
Ep = | (3.66-3.67)/3.66 |
Ep = 0.001
X1 = 3.66 x2 = 0.33 x3 = 6.66
PROBLEMA CORRECTO
POR MEDIO DE GAUSS 2x1-6x2+x3=12 -x1+7x2-x3=-8 X1-3x2+2x3=16
2
-6
1
12
1
-3
2
16
-1
7
-1
-8
-1
7
-1
-8
1
-3
2
16
2
-6
1
F1-- F3
12
F1(1)+F2 F1(-2)+F3
1
-3
2
16
1
-3
2
16
0
4
1
8
0
1
¼
2
0
0
-3
-20
0
0
F2(1/4)
-3 F3(-1/3)
1
-3
2
16
0
1
¼
2
0
0
1
20/3
X3=20/3
x2=2-1/4(20/3)
X1=11/3
X2+1/4+3=2
x2= 2 -20/12->5/3
X2=1/3
X1-3x2+2x3=16
x2= 6/3 - 5/3 = 1/3 1/3
X3=20/3
-20
Por Metodo De Gauss – Seidel X1=12x+6x2-x3
0, 0, 0
2 X2= -8+x1+x3 7 X3=16-x1+3x2 2 X1=(12+6(0)-0)/2= 12/2=6
X2=(-8+6+0)/7=2/7 =-0.2857
X3=(16-6+3(-0.2857))/2=9/2=4
X1=(12+6(0.2857)-(4))/2= 6/2=3
X2=-(8+3+4)/7=1/7 =-0.1428
X3=(16-3+3(-0.1428))/2=13/2=7
3-6 =1 3 X1=(12+6(-0.1428)-(7))/2= 4/2=2
X2=(-8+2+4)/7=1/7 =0.1428
X3=(16-2+3(0.1428))/2=14/2=7
X1=(12+6(0.1428)-(7))/2= 5/2=2.5 X3=(16-2.5+3(0.2142))/2=15/2=7.5
2.5-2 =0.25 2.5
X2=(-8+2.5+7)/7=1.5/7 =0.2142
X1=(12+6(0.2142)-(7))/2= 6/2=3 X2=(-8+3+7)/7=2/7 =0.2857 X3=(16-3+3(0.2857))/2=14/2=7
X1=(12+6(0.2142)-(7))/2= 6/2=3 X3=(16-3+3(0.2857))/2=14/2=7
3-3 =0 3
X2=(-8+3+7)/7=2/7 =0.2857
X1+X2+6X3=8 X1+5X2-X3=5 4X1+2X2-2X3=4
1 1 6
8
1
1
6
8
1 5 -1
5
0
4
-7
-3
4
4
0
-2
-26
-28
2 -2
F1(-1)+F2
F2(1/4)
F1(-4)+F3
1 1
6
8
1
0
31/4
35/4
0
1
-7/4
-3/4
0
1
-7/4
-3/4
0
-2
-26
-28
0
0
-59/2
-59/2
F2(-1)+F 1
F3(-2/59)
F2(2)+F3
1
0
31/4
35/4
1
0
0
1
0
1
-7/4
-3/4
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
F3 (-31/4)+F1
x1=1
F3 (7/4)+F2
x2=1 X3=1
ESCUELA PREPARATORIA “JOSÉ DE ESCANDÓN” NOMBRE: HANNELORE GOVELA CONTRERAS
MATERIA: CÁLCULO NUMÉRICO
MAESTRO: ING. JOSÉ ALEJANDRO SALINAS ORTA
APUNTES DEL CUADERNO
6°SEMESTRE “B”
29 DE MAYO DEL 2012
