Universidad de las Fuerzas Armadas “ESPE. Olvera, Christian. Consulta de Electrónica 2.
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Christian Olvera Criterio de ar!hausen crolveraDes6e.edu.ec Universidad de las Fuerzas Armadas “ESPE Abstract —
In electronics, the ar!hausen sta"ilit# criterion is a mathematical condition to determine $hen a linear electronic circuit $ill oscillate. ar!hausen%s criterion is a necessar# condition &or oscillation "ut not a su&&icient condition' some circuits satis&# the criterion "ut do not oscillate.
6uramente oscilante # coincide coincide con la solución de la ecuación 4:5 en el dominio de la &recuencia' 2
2
s + ω0 =0
425 8a Fi-ura : muestra el esuema -eneral de un sistema con realimentación 6ositiva'
I. I() I()*O+UCCI( I( En &orm &ormaa -ener eneraal un osci oscila lado dorr es un sis sistem tema realimentado, donde la -anancia tiende a in&inito. Son circuitos inesta"les ue sirven como -eneradores de se/ales el0ctricas. 1a# dos clases de osciladores' Osciladores senoidales Osci Oscila lado dore ress de rela rela3a 3aci ción ón 4ond 4ondas as tria triann-ul ular ares es o rectan-ulares5. Am"os se usan como "ase de tiem6o en eui6os de 6rue"a # medida, 6ara 6rocesado de se/al en sistemas de comunicaciones analó-icas # di-itales, 6ero en este caso es6ec7&ico se va a tra"a3ar con se/ales senoidales con un 6er7odo esta"le. II. +ESA** +ESA**O8 O88O 8O +E +E CO() CO()E(I E(I+OS +OS En -ene -enera ral, l, un osci oscila lado dorr ser9 ser9 un sist sistem emaa ca6a ca6azz de -enerar 6or s7 mismo una se/al oscilante. 8a ecuación ue descri"e un oscilador es la si-uiente' 2
d v 2
dt
+ω
2 0
v =0
4:5 cu#as soluciones son se/ales armónicas de &recuencia ;<. 1a"itualmente, los circuitos osciladores sinusoidales se "asan en sistemas realimentados realimentados inesta"les, es decir, decir, sistemas cu#a res6uesta transitoria es oscilante. +esde el 6unto de vista del dominio de la &recuencia, esto si-ni&ica ue el sistema ten-a dos 6olos com6le3os cu#a 6arte real sea nula o 6ositiva. El caso de dos 6olos ima-inarios 6uros corres6onde a una se/al transitoria =
Fi-ura :' Esquema de un sistema realimentado.
8a &unción de trans&erencia de este circuito es la si-uiente' A ( s )=
V o V i
=
a( s) 1 −a ( s ) f ( s )
4>5 En ausencia de se/al de entrada 4vi?<5, ue es la situación de los osciladores, la condición 6ara ue la salida 6ueda mantenerse es' a ( s ) f ( ( s )=1
4@5 En esta situación, una se/al 6resente en la salida, des6u0s de 6asar el lazo de realimentación # la eta6a am6li&icadora, tendr7a eactamente el mismo valorB es decir, se mantendr7a en el sistema. El sistema es 6or tanto ca6az de mantener una se/al cu#a &recuencia sea tal ue se veri&iue la ecuación @. 8a condición e6resada en la ecuación @ se conoce como Criterio de ar!hausen. O"s0rvese ue este criterio esta"lece dos condiciones' ¿a
( s ) f ( ( s )∨¿ 1
4a5 arg ( a ( s ) f ( ( s ) )= 0 + 2 n π
4"5
Universidad de las Fuerzas Armadas “ESPE. Olvera, Christian. Consulta de Electrónica 2.
8a situación en ue se cum6len las condiciones de ar!hausen corres6onde al caso en ue la &unción de trans&erencia A4s5 tiene dos 6olos ima-inarios 6uros, ue dan lu-ar a una res6uesta transitoria 6uramente oscilante o 6er&ectamente armónica. Estas condiciones &i3ar9n una &recuencia de la oscilación ; <, una -anancia a< # una atenuación & < de la red de realimentación cr7ticas.
2
En se-undo lu-ar, hemos esta"lecido ue un oscilador de"e ser ca6az de -enerar la se/al 6or s7 mismo, es decir, sin nin-una se/al de entrada o ecitación eterna. Inmediatamente sur-e la 6re-unta' ui0n -enera la oscilaciónJ
8a res6uesta se encuentra teniendo en cuenta ue las corrientes de continua ue consideramos normalmente son en realidad un 6romedio de ma-nitudes ue tienen +e"en tenerse en cuenta dos consideraciones un com6ortamiento estad7stico' la concentración de im6ortantes' 6ortadores # su velocidad. Kohnson estudió la distri"ución en &recuencias de la corriente # encontró un En 6rimer lu-ar, desde un 6unto de vista 6r9ctico resulta es6ectro "lanco, es decir, ue inclu7a todas las im6osi"le construir un am6li&icador ue ten-a &recuencias. 4Este &enómeno es tam"i0n conocido como eactamente la -anancia cr7tica. En -eneral, su valor ruido "lanco5. As7 6ues, de"ido al ruido, en el sistema ser9 al-o ma#or o al-o in&erior. En caso de ue sea ha# 6resentes se/ales de todas las &recuencias. 8a se/al in&erior, la 6osi"le oscilación se amorti-uar9 hasta de una determinada &recuencia 4la &recuencia desa6arecer. En caso de ue sea su6erior, en 6rinci6io, seleccionada 6or el oscilador5 se ver9 6ro-resivamente la am6litud de la oscilación aumentar7a de &orma am6li&icada hasta alcanzar la am6litud de saturación. inde&inida. Esto ltimo suceder7a si se 6udiera construir un am6li&icador ue &uera totalmente lineal, es decir, ue 6ara cualuier entrada, la salida &uera la entrada multi6licada 6or una constante. En la 6r9ctica, es im6osi"le construir un am6li&icador con esas condiciones #a ue la se/al de salida est9 limitada 6or las tensiones de alimentación 4o 6olarización5 del am6li&icador. As7, en la 6r9ctica, los osciladores se constru#en de &orma ue Ga4s5&4s5G H :, aunue cercano a :. Un oscilador de estas caracter7sticas es ca6az de am6li&icar 6ro-resivamente una se/al de una determinada &recuencia hasta ue alcanza la am6litud corres6ondiente a la saturación del am6li&icador. Como consecuencia de esta &alta de linealidad, la ecuación : no descri"ir9 con total 6recisión el sistema. Otra consecuencia im6ortante es ue la se/al -enerada no ser9 6er&ectamente sinusoidal, sino ue 6resentar9 un cierto -rado de distorsión ue dar9 lu-ar a la 6resencia de armónicos en el desarrollo en serie de Fourier.
III. CO(C8USIO(ES El des&ase de con3unto de la -anancia de lazo, a4s5&4s5, de"e ser nulo. Esta es la condición de &ase. El módulo de a4s5&4s5 de"e ser la unidad 6ara ue el circuito 6ro6uesto &unciones como oscilador. 4condición de -anancia, o de mantenimiento5 L Para -arantizar ue la oscilación em6iece, es 6reciso cum6lir la condición de -anancia 6or eceso 4al-o ma#or ue :5' condición de arranue, es 6or esto ue *2 de"e ser un tanto ma#or a *: en el circuito de -anancia *EFE*E(CIAS
M:N htt6'$$$.elo.3mc.ut&sm.clsriuelmea6untesosciladore s2@R )echnical Universit# o& +enmar!, +T 2R<< on-ens8#n-"#, +enmar! M>N .8ucell# *e#es, “Electrónica # microelectrónica 6ara cient7&icos
