Corrección Examen de Mesa, Cálculo III, 28 de agosto de 2012

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa

Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas

Correcci´ on Examen de Mesa on

28 de agosto de 2012

1, 2, 3, 4

Tabla de Respuestas 1.- *25 puntos )Resolviendo, hallar la soluci´ on general de la ecuaci´ on x2 y = y (3x (3x 





− 2y ) .

Respuesta: 

Planteamos z = y , la ecuación on se convierte en x2 z = z (3x (3x 

− 2z) ⇒ z



3 z x

=

− x2 z , 2

2

ecuaci´ on de tipo Bernouilli, planteamos 1 = uz, on uz , convirtiendo la ecuación on en

− x3 u + x2 ,



u =

2

cuya solución on general es u=

c 1 c + x2 + = x3 x x3

3

⇒ z = c +x x

2

=x

− x cx+ c 2

de donde y=

1 2 x 2

− 2c ln(x ln(x

2

+ c) + d.

2.- (25 puntos )Determinar el valor de y (1), sabiendo que y es soluci´ on del problema a valor inicial x

 y − 2y + y = 2e2e ,  yy(0)(0)==1,1−, 1. 





Respuesta:

La ecuación on diferencia diferenciall asociada asociada al problema problema es lineal no homog´ homog´ enea enea de segundo segundo orden. orden. Resolvemos Resolvemos primero la ecuación on diferencial lineal homogénea, enea, que dicho sea de paso es a coeficientes co eficientes constantes. El polinomio poli nomio caracter´ıstico ıstico es p( p(λ) = λ2 2λ + 1 = (λ (λ 1)2 .

−

−

Por lo tanto el sistema fundamental de soluciones es SF = particular planteamos y = αx2 ex , remplazamos y obtenemos (αx2 ex + 4αxe 4αxex + 2αe 2αex ) La soluci´ soluci´ on on general será

{ex, xex}. Para determinar la solución on

− 2(2αxe 2(2αxex + αx ex ) + αx ex = 2e 2 ex ⇒ α = 1. 2

2

y = c1 ex + c2 xex + x2 ex .

Los valores de c1 y c2 son obtenidos remplazando las condiciones iniciales y(0) = c1 = 1, 1, y (0) = c1 + c2 = 

Por lo tanto y = ex



−1 ⇒ c

1

− 2xex + x ex e y(1) = e − 2e + e = 0. 2

= 1, c2 =

−2.

y (1)) = 0.

3.- (25 puntos ) Determinar y(2), sabiendo que y es soluci´ on del del problema a valor inicial

 y − 3y + 2y2y = 4t,4t,  yy(0)(0)==3,32.2,. 





Respuesta:

La ecuación on diferencial es lineal li neal de segundo orden a co coeficientes eficientes constantes no homogen´ ea. ea. Resolvemos primero la ecuación on diferencial diferenc ial homogénea enea asociada asoci ada 

cuyo polinomi p olinomio o caracter´ c aracter´ıstico ıstico es p(λ) = λ2 fundamental



− 3y + 2y 2y = 4t, − 3λ + 2 = (λ (λ − 2)(λ 2)(λ − 1), de donde se tiene como sistema SF = {e t , et }. 2

La soluci´ soluci´ on particular la obtenemos planteando y(t) = αt + β , que remplazando da on

−3α + 2αt 2αt + 2β 2β = 4t 4 t ⇒ α = 2, β = 3, 3, por consiguien consiguiente te la soluci´ solucion oń particular es y = 2t + 3. La soluci´ on on general de la ecuación on diferencial diferencial es y = c1 e2t + c2 et + 2t 2t + 3. 3. Las condiciones condiciones iniciales iniciales dan el sistema sistema y(0) = c1 + c2 + 3 = 3, 3, y (0) = 2c1 + c2 + 2 = 2. 2. 

Resolviendo el sistema, obtenemos c1 = c2 = 0, siendo por consiguiente la solución on del problema a valor inicial y = 2t 2t + 3 y (2) = 4 + 3 = 7. 7.

⇒

y(2) = 7. 4.- (25 puntos )Un ingeniero civil se encuentra en el Beni inspeccionando la construcci´ on de un camino. A 400 m al este del ingeniero se encuentra un jaguar que empieza a perseguirlo con una rapidez de 10 m/s; el ingeniero al darse cuenta corre de sur a norte con una velocidad de 5 m/s para refugiarse en su movilidad. Utilizando m´ etodos etodos diferenciales, d iferenciales, determinar la longitud que recorrer recorrer´ ´ıa el jaguar para para atrapar al ingeniero. Respuesta:

En el instante t el ingeniero se encuentra en el punto I = (0, (0, 5t) y el jaguar se encuentra en el punto J = (x, y), ver figura. Como el jaguar persigue al ingeniero con la vista, la velocidad es colineal y tiene el mismo sentido que J I , de donde

−→

 x˙  y˙

Por consiguiente

 x˙  y˙

=

10 x2 + (5t (5t



2

− y)

2



−x  . 5t − y

=

10

−J→I J−→I .

Utilizando el hecho que y = y/ ˙ x˙ , se tiene 



y =

y

− 5t ,



xy = y

x

− 5t ;



derivando otra vez, y sabiendo que t = 1/ 1 /x˙ , se obtiene

 x − (y − 5t)  x + x y 2



xy =

−5t



=5

2

10 10x x

2

=

2

2



.

2x

√

1+y2

Como x 0 se tiene xy = . 2 Debemos resolver una ecuación on diferencial de segundo orden, reducimos el orden planteando z = y , obteniendo 

≥



√ 1z+ z 

2

=

1 2x

⇒ ln(z ln(z +

 1 + z ) = ln(Cz ln(Cz 2

1/2

)

⇒z+

 1 + z

2

= Cz 1/2 .

Determinemos C , por las caracter´ caracter´ısticas del problema, ver figura, y (400) = z (400) = 0, de donde C = 1/ 1 /20. Despejemos z , 

2

(1 + z ) = (x1/2/20

2

− z) ⇒

1 y =z= 2

Integramos y obtemos



1/2

x

20

1/2

−

− 20 20x x



1 3/2 x 20 20x x1/2 + D. 60 D determinamos utilizando la condición, on, ver figura, y(400) = 0, de donde D = 800/ 800/3. El ingeniero deber´ deber´ıa recorrer 800 800/ /3 m antes de ser atrapado, esto obtenemos calculando y(0). Ahora bien, el jaguar corre dos veces más as rápido apido que el ingeniero, por que debe recorrer el doble de recorrido en el mismo lapso de tiempo; es decir, 1600 /3 m. y=

−

3


Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matemáticas aticas

Examen de Mesa


1

Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente

a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de nado transcripci´ on puede suceder que ninguna on ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on on y si el desarrollo desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on adicional de 5 puntos por la pregunta. on Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas

correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.-

a

2.-

b

3.-

c

4.-

d

1.- (25 puntos ) Resolviendo, hallar la soluci´ on general de la ecuaci´ on x2 y = y (3x (3x 





− 2y ) .

Respuesta:

a) y = 12 x2

− c ln(x ln(x

2

2

+ c) + d,

c)

y 2 = ce2x + d,

e)

Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.

b) y = c ln(x ln(x +

√ 1 + x ) + d, 2

d) y = 12 (ln x)2 + c ln x + d,

2.- (25 puntos ) Determinar el valor de y(1), sabiendo que y es soluci´ on del problema a valor inicial x

 y − 2y + y = 2e2e ,  yy(0)(0)==1,1−, 1. 





Respuesta:

a) y (1) = c)

−e,

y (1) = e,

e) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.

b) y (1) = 0, 0, d) y (1) = 2e, 2e,

3.- (25 puntos ) Determinar y (2), sabiendo que y es soluci´ on del del problema a valor inicial

 y − 3y + 2y2y = 4t,4t,  yy(0)(0)==3,32.2,. 





Respuesta:

a) y(2) = 0, 0,

b) y(2) = e4 + e2 + 5, 5,

c)

y(2) = 7, 7,

d) y(2) = e2 + 2e 2e

e)

Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.

− 3,

4.- (25 puntos ) Un ingeniero civil se encuentra en el Beni inspeccionando la construcci´ on de un camino. A 400 m al este del ingeniero se encuentra un jaguar que empieza a perseguirlo con una rapidez de 10 m/s; el ingeniero al darse cuenta corre de sur a norte con una velocidad de 5 m/s para refugiarse en su movilidad. Utilizando m´ etodos etodos diferenciales, d iferenciales, determinar la longitud que recorrer recorrer´ ´ıa el jaguar para para atrapar al ingeniero. Respuesta:

a)

800 3

c)

400 m,

m,

b) 500 m, d)


2

1600 3

m,



Examen de Mesa


2


Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .





b

2.-

c

3.-

d

4.-

a






− 2y ) .

Respuesta:

a) y = 12 (ln x)2 + c ln x + d,

b) y = 12 x2

√ 1 + x ) + d,

ln(x + y = c ln(x

e)


2

2

+ c) + d,

d) y 2 = ce2x + d,

2

c)

− c ln(x ln(x


 y − 2y + y = 2e2e ,  yy(0)(0)==1,1−, 1. 





Respuesta:

a) y(1) = 2e, 2e,

b) y(1) = e,

c)

y(1) = 0, 0,

d) y(1) = e,

e)



 y − 3y + 2y2y = 4t,4t,  yy(0)(0)==3,32.2,. 





Respuesta:

a) y (2) = e2 + 2e 2e c)

− 3,

b) y (2) = 0, 0,

y (2) = e4 + e2 + 5, 5,

d) y (2) = 7, 7,

e) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s. 4.- (25 puntos ) Un ingeniero civil se encuentra en el Beni inspeccionando la construcci´ on de un camino. A 400 m al este del ingeniero se encuentra un jaguar que empieza a perseguirlo con una rapidez de 10 m/s; el ingeniero al darse cuenta corre de sur a norte con una velocidad de 5 m/s para refugiarse en su movilidad. Utilizando m´ etodos etodos diferenciales, d iferenciales, determinar la longitud que recorrer recorrer´ ´ıa el jaguar para para atrapar al ingeniero. Respuesta:

a)

1600 3

c)

500 m,

e)


m,

b)

800 3

m,

d) 400 m,

2



Examen de Mesa


3


Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .





c

2.-

d

3.-

a

4.-

b






− 2y ) .

Respuesta:

a) y 2 = ce2x + d,

b) y = 12 (ln x)2 + c ln x + d,

− c ln(x ln(x

c)

y = 12 x2

e)


2

2

+ c) + d,

d) y = c ln(x ln(x +

√ 1 + x ) + d, 2


 y − 2y + y = 2e2e ,  yy(0)(0)==1,1−, 1. 





Respuesta:

a) y (1) = e,

b) y (1) = 2e, 2e,

c)

d) y (1) = 0, 0,

y (1) =

−e,



 y − 3y + 2y2y = 4t,4t,  yy(0)(0)==3,32.2,. 





Respuesta:

a) y(2) = 7, 7,

b) y(2) = e2 + 2e 2e

c)

y(2) = 0, 0,

d) y(2) = e4 + e2 + 5, 5,

e)


− 3,

4.- (25 puntos ) Un ingeniero civil se encuentra en el Beni inspeccionando la construcci´ on de un camino. A 400 m al este del ingeniero se encuentra un jaguar que empieza a perseguirlo con una rapidez de 10 m/s; el ingeniero al darse cuenta corre de sur a norte con una velocidad de 5 m/s para refugiarse en su movilidad. Utilizando m´ etodos etodos diferenciales, d iferenciales, determinar la longitud que recorrer recorrer´ ´ıa el jaguar para para atrapar al ingeniero. Respuesta:

a) 400 m, c)

800 3

b)

m,

1600 3

m,

d) 500 m,


2



Examen de Mesa


4


Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .





d

2.-

a

3.-

b

4.-

c






− 2y ) .

Respuesta:

a) y = c ln(x ln(x +

√ 1 + x ) + d,

b) y 2 = ce2x + d,

2

c)

y = 12 (ln x)2 + c ln x + d,

e)


d) y = 12 x2

− c ln(x ln(x

2

2

+ c) + d,


 y − 2y + y = 2e2e ,  yy(0)(0)==1,1−, 1. 





Respuesta:

a) y (1) = 0, 0,

b) y (1) = e,

c)

y (1) = 2e, 2e,

d) y (1) =

e)


−e,


 y − 3y + 2y2y = 4t,4t,  yy(0)(0)==3,32.2,. 





Respuesta:

a) y (2) = e4 + e2 + 5, 5,

b) y (2) = 7, 7,

y (2) = e2 + 2e 2e

d) y (2) = 0, 0,

c)

− 3,

e) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s. 4.- (25 puntos ) Un ingeniero civil se encuentra en el Beni inspeccionando la construcci´ on de un camino. A 400 m al este del ingeniero se encuentra un jaguar que empieza a perseguirlo con una rapidez de 10 m/s; el ingeniero al darse cuenta corre de sur a norte con una velocidad de 5 m/s para refugiarse en su movilidad. Utilizando m´ etodos etodos diferenciales, d iferenciales, determinar la longitud que recorrer recorrer´ ´ıa el jaguar para para atrapar al ingeniero. Respuesta:

a) 500 m,

b) 400 m,

c)

1600 3

e)


m,

d)

2

800 3

m,

Corrección Examen de Mesa, Cálculo III, 28 de agosto de 2012

Recommend Documents