Conversión Electromecánica de la Energía

Conversión Electromecánica de la Energía.

Juan A. Tapia

Universidad de Concepción Facultad de Ingeniería Depto Ingeniería Eléctrica

Conversión Electromecánica de la Energía Apunte de Clases

Juan A. Tapia (Ph. D.) Agosto 2006

1

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.




























Juan A. Tapia

Capítulo 1 PRINCIPIOS DE CONVERSIÓN ELECTROMECÁNICA DE LA ENERGÍA 1.1 Introducción Variados dispositivos pueden convertir la energía eléctrica en energía mecánica y viceversa. La estructura de esos dispositivos puede ser de diferente naturaleza dependiendo de la función que ellos realizan. Algunos de ellos son utilizados para la conversión continua de energía. Estos son conocidos como motores o generadores. Otros son usados para producir fuerzas de traslación conocidos como actuadores, tales como solenoides, reles y electroimanes. Todos estos dispositivos, aunque difieren en la estructura, operan bajo un mismo principio 1.2 1.2 Princip io de Conversión de la Energía Energía Un principio genera válido aplicable a todos los sistemas físicos es el de conservación de la energía. Éste establece que la energía no se crea ni se destruye sino que sólo se transforma. Este principio, junto con las leyes que rigen la teoría de los campos eléctricos y magnéticos, los circuitos eléctricos y mecánico permiten establecer las relaciones funcionales de un acoplamiento electromecánico simple.

R

i

Acoplamiento magnético v

θ ,x

e

T,f

Figura 1. Acoplamiento A coplamiento magnético

Un sistema electromecánico básicamente esta compuesto de (1) un sistema eléctrico, (2) un sistema mecánico, y (3) un campo de acoplamiento. Ver Figura 1 . Por lo tanto para un intervalo de tiempo Δt , se tiene que la transferencia de energía desde la puerta eléctrica hacia la puerta mecánica esta dada por la ecuación 1




























Juan A. Tapia

El último término de esta ecuación representa el conjunto de pérdidas existente en el sistema electromecánico, esto es la energía de pérdidas debido al flujo de corriente por el bobinado del de l sistema eléctrico e léctrico (Joule, Ri2). Perdidas en el núcleo debidas a la variación del flujo magnético (Histéresis y corrientes parásitas) y perdidas mecánicas por la fricción y roce de las piezas en movimiento. Todas estas pérdidas son convertidas en calor, por lo tanto la ecuación anterior puede ser escrita como: Energía eléctrica de entrada desde la fuente - Pérdidas = Joule

Energía mecánica de salida - Pérdidas de roce y ventilación

+

Variación de la energía almacenada en el campo de acoplamiento - Pérdidas en el núcleo

(2)

Ahora considerando un intervalo infinitesimal de tiempo dt , éste balance energético queda determinado por: dW eléctrica = dW campo + dW mecánica

(3)

Donde: dW eléctrica es la variación de la energía eléctrica en la puerta eléctrica, expresada por dW eléctrica = eidt

(4)

Este valor resulta positivo cuando fluye hacia el sistema (convención motor). Análogamente, la variación de la energía mecánica es dW mecánica = f m dx

(5)

Para movimiento lineal, o dW mecánica = T m d θ

(6)

Para movimiento rotatorio. La variación de energía mecánica resulta positiva cuando fluye saliendo del sistema. Esta puede separarse en la variación de la energía cinética, dW cinética cinética, y la variación de la energía potencia dW potencial , al existir partes móviles que varían su posición. En general gene ral se tendrá que dW eléctrica ≠ dW mecánica por lo que la energía acumulada en el campo de acoplamiento podría ser recuperada totalmente. La variación de la energía eléctrica y mecánica se puede evaluar a través de las ecuaciones 3 y 4. Sin embargo la dW campo , no se puede medir directamente y debería calcularse en base a las diferencia dW eléctrica − dW mecánica , lo que implica determinar la evolución de cada una de las variables en el tiempo.




























Juan A. Tapia

variación ( dW campo ) es sólo función de los estados inicial y final y no de su trayectoria. Esta es una característica de los campos conservativos e involucra despreciar las pérdidas debidas a los cambios de estado. Por lo tanto, cualquiera sea la trayectoria que lleve al sistema a un estado final es válido.

Figura 2 Sistema electromecánico electromecánico simple

Considerando el sistema electromecánico de la Figura 2. Asumiendo que la pieza móvil es mantenida fija en una posición ‘ x x’ tal que la variación de la energía mecánica sea nula ( dW mecanica = 0 ). La corriente se incrementa desde un valor cero hasta el valor final i final . En tal condición el incremento de la energía en el campo, sólo puede provenir de la puerta eléctrica. De la ecuación 3 se tiene dW eléctrica = dW campo

(7)

Si las pérdidas son despreciadas, la tensión inducida en el devanado esta dada por e=

d λ dt

(8)

donde λ son son los enlaces de flujo. Luego reemplazando la ecuación 8 en 4 dW campo = id λ

(9)

La relación entre los enlaces de flujo de la bobina y la corriente para una largo de entrehierro determinado esta dada en la Figura 3. Para bajas corrientes, la relacion con los




























flujo aumentan desde mediante la expresión:

λ 1

a

λ 2,

Juan A. Tapia

la energía almacenada en el campo puede ser calculada

s Figura 3 Característica Característica λ -i para el sistema electromecánico de la Figura 2 W campo =

∫

λ 2

λ 1

id λ

(10)

Debido a el sistema inicialmente estaba desenergizado los enlaces de flujos aumentan desde cero hasta el valor λ final , es decir W campo =

λ final

∫0

id λ

(11)

Esta ultima expresión resulta independiente del tiempo, por lo que no se requiere conocer i(t) ni v(t). En cambio, es necesario sólo conocer la relación i( λ ,x) y puesto que el sistema no esta trabajando, x actúa sólo como parámetro. Cabe hacer notar que la ecuación anterior representa el área entre el eje λ y la característica λ-i. La curva λ -i de un sistema electromecánico como el mostrado en la Figura 2, depende del largo del entrehierro y la curva de magnetización del material magnético (relación entre la intensidad de campo H y la densidad de flujo magnético B para un material determinado). Para la Figura 4ª, se tiene que x1< x2 < x3 < x4. Para un valor particular de largo de entrehierro, la energía almacenada en el campo esta representada por el área ‘A’ de la Figura 4b. El área ‘B’, que corresponde al área entre la curva λ -i y el eje de corriente es conocida como ‘Coenergía’ y esta definida como: W '

=∫

i final

λ di

(12)




























Juan A. Tapia

De la Figura 4b se tiene λ final

∫0

id λ +

i final

∫0

λ di = i final λ final

(13)

' ' Notar que W campo > W campo , si la característica λ -i es no-lineal y W campo = W campo si es

lineal. x1

x2 x3 x4

(a)

(b)

Figura 4 (a) Característica λ -i para diferentes largo de entrehierro. entre hierro. (b) Grafica representación de la energía y la coenergía

1.4 Fuerzas en un Sistema Electro mecánico mecáni co Simpl e

1.4. 1.4.1 1 Movimiento Movim iento a Corriente Constante Considerando que en el sistema electromecánico de la Figura 2 la pieza móvil se mueve desde una posición x=x1 hasta una posición final x=x2 tal que en el proceso el entrehierro disminuye. Las características λ -i para ambas posiciones están mostradas en la Figura 5a. Si el movimiento se realiza muy lentamente, de tal forma que la variación de los enlaces de flujo es nula e=d λ λ /dt =0, =0, la corriente a través de este proceso se mantiene constante durante el movimiento en un valor i=v/R. El punto de operación se mueve desde la posición ‘a’ a la posición ‘b’ como se muestra en la Figura 5a. Durante el movimiento se tiene que la distribución de energías es: •

Variación de la energía en la puerta eléctrica






























•

Juan A. Tapia

Variación de la energía del campo dW campo = área (0bc)- área(0ad )

(15)

Por lo tanto la energía mecánica puede ser encontrada a través de: dW mecánica = dW eléctrica − dW campo

(16)

=área (abcd ) – [área(0bc) - área(0ad )] )]

(17)

=área (abcd ) + área(0ad ) - área(0bc)

(18)

= área (0ab0)

(19)

Figure 5. Punto de operación o peración para el movimiento del sistema de la Figura 2 a corriente constante

Si el movimiento se realiza bajo la condición de corriente constante, el trabajo mecánico hecho esta representado por el área sombrada de la Figura 5. Notar que esta área también representa el aumento de la coenergía






























Juan A. Tapia

1.4. 1.4.2 2 Movimiento Movim iento a Enlace de Flujo Cons Constante tante Si se considera ahora un movimiento extremadamente rápido de tal manera que los enlaces de flujo pueden ser asumidos constantes, como se muestra en la Figura 6. Siguiendo un procedimiento similar al anterior, se tiene que la variación de la energía eléctrica esta dad por

Figure 6. Punto de operación para el movimiento del sistema de la Figura 2 a enlaces de flujo constante.

∫

λ 1

∫

dW eléctrica = eidt = id λ = 0

(23)

λ 1

La energía en el campo dW campo = área (0pd ))- área(0ad )

Luego la energía mecánica dW

dW

(24) dW

(25)






























Juan A. Tapia

Notar que para movimiento rápido, la energía eléctrica de entrada es cero (id λ =0) λ =0) debido a que los enlaces de flujo se mantienen constantes. Por lo tanto, la energía mecánica es entregada enteramente por la energía del campo. En el límite cuando el desplazamiento es diferencial, dx, es pequeño, las áreas (0ab) en la Figura 5a y (0ap) en la Figura 5b serán esencialmente las mismas. Es por ello que el valor de la fuerza calculada es independiente si su cálculo es a partir de la energía o coenergía. Sin embargo, en ambas expresiones se debe considerar las variables en la que se expresan la energía y la coenergía y el signo algebraico. Naturalmente la fuerza fuerz a depende sólo de la posición, x, y el campo magnético, el que puede expresarse en función de los enlaces de flujo o la corriente u otras variables relacionadas con ellas. Sin embargo, existen diferencias, desde el punto de vista matemático entre las funciones utilizadas y como están expresadas. Es claro de los resultados anteriores que si la característica de magnetización (curva λ -i -i) y de aquí la energía almacenada en el campo de acoplamiento no fuera afectada por el movimiento del móvil, entonces la variación de energía mecánica seria nula.

1.4.3 1.4.3 Fuerza en el caso Lineal Lin eal Para el caso lineal se tiene que los enlaces de flujo son proporcionales a la corriente que los produce. Gráficamente esto es una característica lineal de la curva de magnetización, Figura 7. Por lo lo tanto la relación enlace de flujo-corriente, es función de la posición, es decir: λ = L( x)i

(29)






























Juan A. Tapia

O de forma similar φ =

Ni R ( x)

(30)

Donde L y R son la inductancia y reluctancia respectivamente del circuito magnético. En este caso se tendrá que ambas: energía y coenergía son iguales y están dadas por

∫

∫

∫

' W campo = λ di = L ( x )idi = L ( x ) idi = W campo

1 2

' = L( x)i 2 W campo

(31)

(32)

la fuerza es calculada a través de la expresión de la variación de la coenergía en campo como: ' (i, x) ∂W campo ∂ ⎡1 ⎤ = ⎢ L( x)i 2 ⎥ f m = ∂ x ∂ x ⎣ 2 ⎦ i =constante

f m =

1 dL( x) 2 i 2 dx

(33)

(34)

O a partir de la expresión de la energía f m = −

∂W campo (λ , x) ∂ ⎡1 ⎤ = − ⎢ R( x)φ 2 ⎥ ∂ x ∂ x ⎣ 2 ⎦ λ =constante

1 dR( x)

2

(35)






























Juan A. Tapia

1.4. 1.4.4 4 Dispositiv o con doble excitación Muchos dispositivos electromecánicos poseen más de una puerta eléctrica por donde son excitados. Es deseable obtener las expresiones para poder evaluar la fuerza (o torque) de sistemas que operan con más de un grupo de bobinas. Para el caso de 2 bobinas excitadoras (ver Figura 8) se tiene que la relación λ-i es λ 1 = L11i1 + L12 i2

(37)

λ 2 = L21i1 + L22 i2

(38)

Donde L11 y L22 son las inductancias propias de las bobinas 1 y 2; L12 es la inductancia mutua entre las bobinas. La variación de la coenergía para un sistema de dos bobinas y movimiento angular esta dada por po r ' = λ 1di1 + λ 2 di2 dW campo

(39)

Para obtener la coenergía, se debe integrar esta última expresión. Como en el caso anterior, es conveniente mantener la posición fija de la pieza móvil y aumentar la corriente desde cero a su valor final separadamente en cada circuito, es decir i2 o

' (i1o , i2 o , θ o ) = W campo

i1o

∫ λ (i = 0, i ,θ )di + ∫ λ (i , i 2

0

1

2

o

2

1 1

0

2

= i2o ,θ o )di1

(40)
































i2 o

∫

Juan A. Tapia

i1o

∫

' (i1o , i2 o , θ o ) = L22i2 di2 + ( L11i1 + L12i2 o )di1 W campo 0

(41)

0

Resolviendo se obtiene finalmente 1 2

1 2

' (i1o , i2 o , θ o ) = L11i12 + L12 i1i2 + L22 i22 W campo

(42)

Se deja de ejercicio el cálculo de la energía W campo. De la expresión anterior, el torque desarrollado por sobre la pieza móvil se calcula de acuerdo a la ecuación 22, como ' (i1, i2 , θ ) 1 2 dL11 ∂W campo dL 1 dL T m = = i1 + i1i2 12 + i22 22 2 d θ d θ 2 d θ ∂θ

(43)

Notar que la expresión del torque contiene términos de naturaleza distinta. Un término que es proporcional al producto de las corrientes y a la variación de la inductancia mutua con el ángulo entre los ejes magnéticos de las bobinas. Esta componente del torque es debida a la interacción mutua entre los enlaces de flujo del estator y rotor y actúa de manera de alinear ambos ejes tal que la energía sea mínima (maximizar la coenergía). Los
































Juan A. Tapia

1.5 1.5 Sistema de Ecuaciones de un Dispo Dispo siti vo Electrom Electrom ecánico ecánico

1.5. 1.5.1 1 Dispositi vo con excitación única El circuito eléctrico del sistema electromecánico estudiado puede ser descrito utilizando la ley de Kirchhoff , es decir v = Ri +

d λ dt

(45)

Para un sistema lineal, los enlaces de flujo están dados por la ecuación 29, luego introduciendo esa expresión y derivando se obtiene v = Ri +

d

[ L( x)i)] = Ri + L( x) di + ∂ L( x) dx i

dt

v = Ri + L( x )

dt

di dt

+ x&

∂ L( x) i ∂ x

∂ x dt

(46) (47)

El primer termino, Ri, corresponde a la caída de voltaje en la resistencia del bobinado. Desde el punto de vista de conversión de energía resulta irrelevante es de interés minimizarlo y sólo influye sobre el rendimiento del dispositivo. El segundo término, es del
































[v ] = [ R ]⋅ [i ] + p[λ ]

Juan A. Tapia

(49)

p: operador derivativo

[v] = [ R] ⋅ [i ] + p{[ L(θ )] ⋅ [i ]}

(50)

[v] = [ R] + [ L(θ )] p + θ &[T (θ )] ⋅ [i ]

(51)

donde ⎡ R1

[ R] = ⎢

0⎤

⎥ : Matriz de resistencia ⎣ 0 R2 ⎦

⎡ dL11 ⎢ d θ [T (θ )] = ⎢ dL ⎢ 21 ⎣ d θ

dL12 ⎤

d θ ⎥ ; Matriz de torque dL22 ⎥

⎥

d θ ⎦

La coenergía puede ser expresada como:































Máquinas Rotatorias

Juan A. Tapia

Capítulo 2 MÁQUINAS ROTATORIA 2.1 Introducción Los dispositivos de conversión electromecánica de la energía pueden clasificarse según: o o o o

Características del Circuito Magnético (Lineales o no-lineales) Número de puertas eléctricas (excitación (e xcitación simple o múltiple) Tipo de movimiento en el espacio (lineal o rotatorio) Tipo de movimiento en el tiempo (incremental o continuo)

Las maquinas eléctricas en particular las rotatorias, son dispositivos de conversión electromecánico de desplazamiento rotatorio y movimiento continuo en el tiempo. Sus circuitos magnéticos se conforman en base a fierro especiales (alecciones que reducen la reluctancia y minimizan las perdidas) por lo que dependen del grado de excitación. Los bobinados excitadores son típicamente dos pero también existen de excitación simple o más de dos. El objetivo que se desea lograr es fijar las condiciones eléctricas y/o magnéticas necesarias para que exista un torque medio resultante no nulo. Para ello se desarrollara un modelo
































Juan A. Tapia

establece una regla nemotécnica para obtener la dirección de la fuerza como se indicada en la figura 1.

Figura 1. Regla de la mano derecha para motores.

Algunas topologías constructivas de máquinas rotatorias son mostradas en la figura 2. Básicamente es un circuito magnético excitado por bobinas que son alimentadas por corriente (Alterna y/o continua) y con un entrehierro, que es por donde se realiza el


































(a)

Juan A. Tapia

(b) Figura 2. Estructura clásica de las máquinas rotatorias

(c)


































Juan A. Tapia

considerada. La figura 4b, se observan las FMM FMM la resultante de la interconexión de las bobinas del estator. Además se muestra la componente fundamental de la onda de FMM. Para un instante dado se puede tener que la distribución de FMM impone una distribución de densidad flujo como la mostrada en la figura 5.

Eje magnético fase a


































Juan A. Tapia

diseñadores conforman los bobinados y el de las caras polares de modo de producir un B( θ θ ) con forma senoidal en el espacio. Particularmente válido en máquinas de corriente alterna, no así en el caso de máquinas de corriente continua, donde la onda de flujo es mas aplanada.


































Juan A. Tapia

En el caso de maquinas con 2 polos, al recorrer los 360 grados mecánicos del entrehierro, se recorre una vez la pareja de pares de polos. Sin embargo para una maquina de 4 polos, al recorrer los primero 180 grados mecánicos, se recorre completamente el primer par de polos. Al avanzar de 180 a 360 grados mecánicos, se recorre el segundo par de polos repitiendo la misma situación magnética que se tenía en el primer par de polos.


































Juan A. Tapia

2.4.1 Representación Vectorial del Campo Magnético Considerando el caso general en el cual los conductores conducen una corriente cualquiera, se genera una distribución de densidad de flujo determinada por dichas corrientes. En general las máquinas son construidas de forma que tengan simetría de media onda (tal que sólo existan componentes armónicas impares). Así entonces, esta onda periódica puede ser descompuesta o desarrollada en series de Fourier tal tal que: ( ) = B fund + B θ B θ

B ∑ 3, 5 , 7 ,...

arm

(4)

Esta fundamental es una onda senoidal de periodo 360 grados eléctricos que cambia de magnitud y ubicación en el tiempo, es decir, que en un instante queda determinada por su amplitud y posición. Esto implica que el campo magnético puede ser representado por un vector, cuya magnitud será proporciona al valor máximo de B fund . Asimismo, para cada una




































Juan A. Tapia




































Juan A. Tapia

valor de las corrientes en la bobinas ortogonales, se puede generar un campo magnético resultante que tenga la misma magnitud y fase del generado por las corrientes circulando por el estator y rotor. Figura 11.




































2.4.2 Torque en Máquinas Eléctricas i) Máquinas con Geometría Cilíndricas

Juan A. Tapia




































Juan A. Tapia

entre ellas. A partir de la ecuación 9, el T e resulta máximo para δ =90 =90 y δ =270 =270 y tiene el sentido tal que tiende a alinear las FMM de rotor y estator. Notar que es posible obtener expresiones para la coenergía y el torque en función de los ángulos δ δ




































v = N

donde

d φ dt

Juan A. Tapia

(12)



































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































Máquinas Inducción Trifásica

Juan A. Tapia

(a)

(b)

(c) Figura 5. FMM y corrientes en el rotor jaula de ardilla

Se repite, por tanto, la situación del rotor bobinado en el caso de rotor tipo jaula de




























Juan A. Tapia

Se ha visto que para las MI’s, en ambos tipos de rotor, las corrientes circulantes provocan una distribución de FMM de rotor que tiene el mismo número de polos de la FMM del estator y que retraza en un ángulo algo mayor que 90º. Desde el punto de vista del estator, la FMM de rotor provoca, tal cual en los transformadores, una alteración del flujo en el entrehierro que se refleja en una caída de las de las tensiones inducidas en el estator y en un aumento de la corriente para compensar estas caídas, así el efecto de reacción de armadura es apreciado en el estator como una componente de carga de la corriente de estator que compensa el efecto de R.A de R.A,, de las corrientes rotóricas. Este efecto es observado en el estator sólo a través del flujo en el entrehierro.

4.4 Circuito equivalente En la búsqueda de un circuito equivalente que permita modelar al MI operando en estado estable, se aprovecha la similitud existente entre el principio de funcionamiento del MI y del transformador. En ambos casos en el circuito secundario (rotor en el caso de la MI) se tienen tensiones y corrientes inducidas debidas al campo variable producido en el primario (estator). De hecho si a un MIRB se mantiene con el rotor bloqueado (sin girar) y se miden las tensiones de estator para una determinada condición de "carga" en el rotor, se aprecia que están en la relación del número de vueltas equivalentes de los bobinados. En condiciones de giro del rotor a una velocidad ω m, las tensiones y corrientes del rotor tienen ahora la frecuencia frecuencia de deslizamiento. Si la MI esta en operación se tendrá un efecto adicional a los transformadores motivado por esta "transformación" de la frecuencia de estator a rotor. Por conveniencia, se considera un MI rotor bobinado, para el caso jaula de ardilla, el circuito de rotor puede ser representado por un bobinado trifásico equivalente. Si por el bobinado de estator y rotor circulan corrientes trifásicas, se generan g eneran CMR´s que giran a la velocidad sincrónica en el entrehierro. Estas distribuciones de campo producen un CMR resultante que gira a la misma velocidad induciendo tensiones en ambos bobinados: en el estator a la frecuencia de la fuente f fuente f 1 y en el rotor a la frecuencia de deslizamiento f deslizamiento f 2=sf 1.

4.4.1 Circuito de Estator El voltaje de la fuente aplicado al bobinado del estator, difiere del voltaje inducido en la caída de voltaje en la impedancia de fuga del estator. Esto es V 1=E 1+I 1(R1+jX 1 ) )

(8)

Donde V 1 es el voltaje de la fuente, E fuente, E 1 es la tensión inducida o fuerza contraelectromotriz ( fcem), fcem), I I 1 es la corriente del circuito de estator y R y R1 y X 1 son la resistencia y reactancia de fuga del estator, respectivamente.




























Juan A. Tapia

FMM que exactamente contrarresta la FMM del rotor. La componente de excitación I excitación I φ la φ es requerida para imponer el flujo resultante en el entrehierro y es función de la fcem E fcem E 1. Esta corriente de excitación puede ser descompuesta en una corriente asociada a las perdidas en el fierro I c que se encuentra en fase con E1 y una componente de magnetización I magnetización I m. El circuito equivalente que representa cada una de estas componentes de la corriente de estator se muestra en la figura 6. Notar que no existe diferencia en forma entre este circuito equivalente y el deducido para el caso del primario del transformador. La diferencia se encuentra en la magnitud de los parámetros. En efecto, la corriente de excitación es considerablemente más grande que caso del MI, debido a la presencia del entrehierro. En MI ésta puede llegar a ser tan grande como el 30 al 50% de la corriente de estator I 1 dependiendo del tamaño del motor (en el caso de transformadores la corriente de excitación es sólo de entre un 1 a un 5%). Asimismo, la reactancia de fuga es mayor en el caso del MI, debido al entrehierro y al hecho que los bobinados se encuentren distribuidos a lo largo de la periferia del estator (y rotor) mientras en los transformadores están concentrados en un núcleo.

Figura 6. Circuito equivalente del bobinado de estator de una MI

4.4.2 Circuito de Rotor Como se demostró en secciones anteriores, el rotor (ya sea de jaula o bobinado) reacciona frente a la FMM de estator creando una FMM que tiene el mismo número de polos de la distribución de corrientes del estator y que viaja a la misma velocidad. Esta reacción del rotor induce en los bobinados del estator una tensión el cual resulta en una corriente de compensación (carga) que hace que absorba mayor corriente de la fuente. Esta es la única forma de saber que es lo que ocurre a través del entrehierro con la interacción entre los flujos de estator y rotor. Si se considera un rotor equivalente del tipo bobinado que representa el rotor real, con el mismo número de fases y polos que el bobinado del estator, para un mismo flujo y




























Juan A. Tapia

Donde a es la razón de vueltas entre el bobinado de estator y el bobinado del rotor equivalente. Si ambos rotores son magnéticamente equivalentes, sus amperes-vueltas deben ser iguales, por lo que la relación entre la corriente en el rotor real I real I rotor rotor y la corriente en el rotor equivalente I equivalente I 2s 2s esta dad por I 2 s

=

I rotor a

(10)

De igual manera la relación entre la impedancia de fuga del rotor equivalente la del rotor real debe ser Z 2 s

=

E 2 s I 2 s

=

a 2 E rotor I rotor

= a 2 Z rotor

(11)

Al igual que en caso del transformador, el voltaje, corriente e impedancia del rotor son referidas a las cantidades del estator mediante la definición del rotor equivalente. Ahora en términos de los valores de rotor se tiene que Z 2s 2s =

E 2 s I 2 s

=R2+jsX 2

(12)

Donde R Donde R2 y X y X 2 son la resistencia y reactancia de fuga del rotor referidas, respectivamente. El estator ve una onda de flujo y de FMM que gira a la velocidad sincrónica. Este flujo induce en el estator una fcem E fcem E 1 y un voltaje de deslizamiento en el rotor E rotor E 2s 2s. Debido a que la velocidad relativa a la onda de flujo con respecto al rotor es s es s veces veces la velocidad respecto del estator, la relación entre las tensiones inducidas es E 2s 2s=sE 1

(13)

Asimismo, la FMM de rotor debe contrarrestar la FMM de carga del estator I estator I 2 y debido a que el número de vueltas del bobinado equivalente es el mismo que el de estator se tiene que I 2s 2s=I 2 Luego se tiene que para el circuito de rotor

(14)




























Juan A. Tapia

El circuito equivalente que representa esta ecuación, para el circuito de rotor es el mostrado en la figura 7

Figura 7. Circuito equivalente del bobinado de rotor equivalente

4.4.3 Circuito Equivalente de la MI Desarrollando la ecuación 15 a partir de las ecuaciones 13 y 14 se tiene que I 2 s

=

E 2 s R2

=

sE 1

+ jsX 2 R2 + jsX 2

=

E 1 R2 s

+ jX 2

= I 2

(16)

es decir, el estator ‘ve ‘ve’’ en el entrehierro un voltaje inducido E inducido E 1 y una corriente de carga I carga I 2 y R por la ecuación 16 estas condiciones son idénticas a conectar una impedancia 2 + jX 2 a la s tensión E 1. Consecuentemente, el efecto del rotor sobre el circuito de estator puede ser incorporado agregando esta impedancia. El circuito resultante es le mostrado en la figura 8 R El traspaso de potencia activa hacia el rotor se encuentra reflejada en la resistencia 2 que s es función del deslizamiento y por lo tanto de la carga mecánica. Notar que cuando el voltaje y la corriente de rotor son reflejadas al estator, su frecuencia es la frecuencia del estator. Todo el fenómeno que ocurre en el rotor cuando se observa del estator ocurre a la frecuencia de éste debido a que los bobinados de estator solo observan una onda de flujo y FMM que viaja a la velocidad sincrónica. El circuito equivalente de la maquina de inducción trifásica es el mostrado en la figura 8.






























Juan A. Tapia

R1 +

jX 1

I 2

I 1

a

jX 2

I φ +

V 1

R fe

E 1

I fe

-

-

R2 s

X m I m b

Figura 8. Circuito equivalente estándar de una MI.

4.5 Análisis del Circuito Equivalente de la MI

4.5.1 Circuito Equivalente usando Teorema Thevenin Para simplificar el análisis, el circuito de estator puede ser reemplazado por su equivalente Thevenin. Thevenin. Este teorema permite reemplazar cualquier red lineal por una impedancia más una fuente de voltaje.

+ R fe

R X m X






























Juan A. Tapia

• Voltaje Thevenin V th

= V 1

R + jX

( R1 + R ) + ( X 1 + X )

(18)

• Impedancia Thevenin Z th

= Rth + jX th =

( R1 + jX 1 )( R + jX ) ( R1 + jX 1 ) + ( R + jX )

(19)

Luego el circuito equivalente de la figura 8 se puede reducir al circuito de la figura 10

Rth

X th

I 2

a

X 2

R2 s

V th

b

Figura 10.Circuito equivalente de la maquina de inducción

4.5.2 Análisis del Circuito Equivalente A partir del circuito equivalente de la figura 10, se tiene que la potencia que cruza el R entrehierro es aquella que se disipa en la resistencia 2 , luego se tiene






























P mec

= 3 I 22

R2 s

Juan A. Tapia

− 3 I 22 R2

(22)

(1 − s)

(23)

Asociando términos P mec

= 3 I 22

R2 s

o P mec = P g (1 − s )

(24)

Se tiene entonces que de aquella potencia que cruza el entrehierro hacia el rotor, la parte dad por (1-s (1-s)) es desarrollada como potencia mecánica interna, mientras que la fraccion dad por ‘ s’ s’ es disipada en el circuito de rotor. Por lo anterior, resulta evidente que un motor de inducción operando a un deslizamiento alto, resulta ineficiente. El torque electromecánico interno se calcula a partir de la potencia de entrehierro como T =

P g ω s

(25)

a partir de la ecuación (24), se tiene T =

P mec (1 − s )ω s

=

P mec ω m

(26)

ya que la velocidad mecánica de ω m=(1-s)ω =(1-s)ω s. La ecuación (26), establece que el torque mecánico desarrollado por la máquina es igual al torque electromagnético, lo que resulta lógico a partir del principio de acción y reacción. A partir de la ecuación (20) y (25), se tiene que el torque






























3

T =

ω s

*

Juan A. Tapia

Vth 2 R2 

2

 R + 2  th  + ( X th + X 2 ) s   R2

3 V th

T ≈

>> X th + X 2 y además

(29)

R2

>> Rth , esto implica que para s s valores pequeños de deslizamiento, el torque se puede aproximar a

para s

≈ 0 se tiene que Rth +

R * 2 s

2

ω s R ′ 2

s

(30)

esto es, el torque tiene variación proporcional s, s, así mismo para s ≈ 1, se tiene que R Rth + 2 << X th + X 2 , luego el torque para deslizamientos cercanos a 1, se puede s aproximar como T ≈

3 ω s

*

V th2

+ ( X th + X 2 )

2

*

R 2 s

(31)

es decir, el torque una variación inversa respecto a s a s.. Las asíntotas y la característica de torque se muestran en la figura 11.

El torque máximo se puede obtener a través de derivar la expresión (29) e igualando a cero, es decir dT ds

=0

(32)






























Juan A. Tapia

Figura 11. Característica torque-deslizamiento torque-deslizamiento del motor de inducción. Se muestran las asuntotas de la curva para deslizamiento deslizamiento cercanos a 0 y 1.
































sT max

Juan A. Tapia

R2

= Rth

2

+ ( X th + X 1 )

2

(35)

Evaluando este valor de s de sTmax en la expresión del torque se tiene T max

=

V th

3 2ω s R

th

+

Rth

2

2

+ ( X th + X 1 )

2

(36)

Se observa de esta ultima expresión que, T max es independiente de R2 pero sT max si es función de R2 . Es decir, variando el valor de la resistencia de rotor, es posible variar la velocidad a la cual el T max agrega Rext para obtener T max a cualquier max ocurre. En MIRB se agrega R velocidad en particular a la partida.. partida.. En el caso de los motores tipo Jaula de ardilla, el arreglo de las barras (profunda y doble jaula) junto con el efecto de la frecuencia variable ( efecto skin) skin) permiten obtener un cierto manejo de la resistencia de rotor. El efecto de la variación resistencia de rotor en la característica torque deslizamiento se observa en la figura 13
































Juan A. Tapia

Entonces se tiene que S T max

≅

R2 X th

′

+ X 2

V th

2

(37)

y T max

≅

3

2ω s ( X th

+ X 2 )

(38)

4.5.3 Característica Torque-Deslizamiento El torque por ampere decrece a medida que el deslizamiento aumenta. Esto causa problemas cuando la máquina es accionada desde una fuente de frecuencia fija y por lo tanto en la partida el deslizamiento es máximo. Este es un problema que se intenta resolver en el diseño de la máquina, esto es producir suficiente torque de partida con una corriente limitada. El fenómeno físico por la cual éste fenómeno se produce se puede explicar a través de las figuras..
































Juan A. Tapia

A bajo deslizamiento, los voltajes inducidos en las barras de la Jaula son generados por la onda de flujo, B flujo, B,, que avanza a la la velocidad de deslizamiento por sobre el rotor. rotor. Debido a que la velocidad de cada barra es la misma, la distribución del voltaje es la misma de la distribución de B. Esto B. Esto se ilustra a través de las flechas de línea continua en la figura...a. Para un valor bajo de velocidad de deslizamiento la impedancia de la barra es puramente resistiva por lo que la corriente de la barra esta en fase con el voltaje inducido. La distribución de corriente se observa en línea de trazos en la figura 14a. 14a. El El torque en esas condiciones esta dado por el producto Bil , donde l es el largo de la barra. Se observa entonces que cada una de las barras aporta en la misma dirección al torque total, la polaridad en cada una de ellas es en el mismo sentido. Puesto que B que B e i son distribuciones 2 senoidales, el torque tiene una distribución del tipo sen tipo sen . Para un alto deslizamiento, el voltaje en las barras aun esta en fase con la distribución de B de B y resulta mayor debido a que el deslizamiento es alto. Sin embargo, la impedancia de las barras resulta aumentada por el mismo y el término inductivo crece. Las corrientes en la barra ahora desfasan al voltaje por lo que la distribución de las corrientes de la barra atrasan a la onda de voltaje. Luego el torque de las barras variara la polaridad según se muestra en la figura 14b 14b. Algunas de las barras aportan con una polaridad negativa al torque total. Resulta entonces que a pesar que la corriente ha aumentado, el torque total es menor.

4.6 Determinación de Parámetros
































Juan A. Tapia

4.6.3 Ensayo de vacío Idealmente este ensayo interesa hacer girar la MI a la velocidad sincrónica en tal caso no se inducen tensiones en el rotor y no circulan corriente por eate. Asi la potencia la que toma el motor corresponde a la requerida para su magnetización solamente. . Para esta condición se mide corriente, voltaje y potencia trifásica de vacío. Este ensayo es equivalente al ensayo de circuito abierto en los trafos y permite determinar los parámetros de la rama shunt del circuito equivalente.

4.7 Clases de MIJA Dependiendo Dependiendo del tamaño tamaño de la jaula, jaula, el MI puede presenta presentarr diferentes diferentes característ características icas TT- . Veamos como se obtienen variaciones de la resistencia resistencia de rotor para geometrías fijas fijas de las barras de rotor. La no uniforme distribución de la corriente permite que la resistencia del rotor a 50 hz (rotor bloqueado s=1) s=1) sea varias veces mayor que la frecuencia a deslizamiento nominal. Esto se logra con un adecuado diseño de la forma de las barras de rotor.
































Juan A. Tapia

conecta ambas jaulas. De esta manera a alta frecuencia ( s s = 1) la corriente circula por la barra superior de alta resistencia. A baja frecuencia ( s s = s nom) la corriente circula por ambas jaulas conectadas en paralelo. Para el adecuado diseño de la jaula, los MI pueden desarrollar buenas características de partida partida y de trabajo. trabajo. Las Las caracterís características ticas T- de 4 diseños diseños mas mas comúnmente comúnmente utili utilizados zados en la industria se muestran en la figura 16: 1 6:


































Juan A. Tapia

- Baja corriente. - Tmax ocurre cuando s = 0.5. - Alto s nominal.

4.8 Métodos de partida de motores de inducción. Dependiendo del tipo de diseño, un MI tiene a la partida altas corrientes que alcanzan entre 5 y 8 veces la corriente nominal. El motor es capaz de soportar estas corrientes hasta por tiempos aproximados a 20 segundos. Los métodos son: • -Partida Y-∆ : Se conecta inicialmente en Y con lo que se aplica una tensión V 11 1 T baja a


































Juan A. Tapia

4.9 Control de velocidad en MI La maquina de inducción operando desde una fuente de corriente y voltaje constante acciona la carga a una velocidad angular esencialmente constante, con variaciones mínimas de velocidad desde vacío hasta condiciones de plena carga. Sin embargo donde se requiere velocidad variable es necesario desarrollar mecanismos para lograr este objetivo.

•

La velocidad sincrónica puede ser variada por: Cambio en el nº de polos: El bobinado del estator se diseña para cambiar en la razón 2:1. El rotor tipo jaula reacciona de manera que siempre siempre produce el mismo numero de polos del estator. Para el caso de RB un re-arreglo similar al de estator se debe hacer. Figura 18


































Juan A. Tapia

•

Control de voltaje: El torque eléctrico desarrollado por la MI es proporcional al Voltaje al cuadrado. Luego si la carga presenta una variación con la velocidad, variando el voltaje la velocidad variara.

•

Variación de Rotor: En el caso del MIRB, es posible conectar al rotor un circuito externo de manera que la resistencia efectiva pueda ser variada y con ello la velocidad de operación del motor. Figura 20.

































Motor de Inducción Monofásico

Juan A. Tapia

Capítulo 5 MOTORES DE INDUCCIÓN MONOFÁSICOS. 5.1 Introducción Los Motores monofásicos se utilizan extensamente en el rango de potencias fraccionaria basta 1.5-2 kW, deben, su nombre a que para su funcionamiento só1o requieren requ ieren disponer de una alimentación monofásica. Su modelación se establece aprovechando el circuito equivalente obtenido para los MI 3φ. Su principal inconveniente es que carecen de torque de partida por lo cual debe incluirse algún sistema para su arranque. Se utilizan en electrodoméstico, bombas, ventiladores, etc (figura 1a 1a). En las siguientes secciones se analiza el principio de funcionamiento, revisa la modelación, determinación de parámetros


































Juan A. Tapia

CMP CMR(+)

⇒

CMR(-)




































=

NI max 2

cos ( ωω ) + ωω− θ

= FMM(+)+FMM(-) FMM(+)+FMM(-)

Juan A. Tapia

NI max 2

cos ( ωω ) ωω+ θ (3)




































s +

=

n s

− nr n s

= s

Juan A. Tapia

(4)

Respecto del campo de secuencia negativa, el rotor esta girando en dirección opuesta, por lo tanto respecto del FMM(-) del FMM(-) el el deslizamiento




































Juan A. Tapia




































= φ max cos(wt ) φ = la tensión inducida se calcula como d φ φ

Juan A. Tapia

(7)




































para rotor bloqueado φ +

Juan A. Tapia

= φ − con lo que E que E +=E -=E .

Si ahora el rotor se hace girar a alguna velocidad por medio de un mecanismo auxiliar, en el sentido de sec(+) de sec(+),, el deslizamiento, s deslizamiento, s,, estará determinado por la diferencia de velocidad.



































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































Máquina Sincrónica

Juan A. Tapia

rotor se ha movido solo una porción de revolución a su alta inercia. Por lo tanto, en el instante indicado el rotor tendera a alinearse con los polos del estator, generando un torque en sentido contrario respecto del instante (t=0).

t=0

t=t 1 Figura 31. Torque sobre el rotor a la partida

Conversión Electromecánica de la Energía

Recommend Documents