CONTOH TAUTOLOGI SOAL A.Buktikan bahwa proposisi berikut “TAUTOLOGI” !! {(pvq)⇒r } ⇔{ (p⇒r)∧(q⇒r) } {p⇒(q∧r) }⇔{(p⇒q)∧(p⇒r) } {(p∧q)⇒r}⇔{(p∧ ∼r)⇒∼q) {(p∧q)⇒r}⇔{(p⇒r) v (q⇒r)} (p⇒r)⇒{(p∧q)⇒r}∧{p⇒(q∧r) }⇒(p⇒q) B.Tentukan Konvers, Invers, dan Kontraposisi dari Proposisi berikut,Kemudian tentukan kebenarannya! Jika x=5 , Maka x^2=25 Jika x^2 bilangan asli, Maka x bilangan asli Jika ∆ABC sama kaki, Maka ∠A= ∠C Jawaban A.Pembuktian “TAUTOLOGI” {(pvq)⇒r } ⇔{ (p⇒r)∧(q⇒r) } Jawab : p q r { ( p v q ) ⇒ r } ⇔ { ( p ⇒r ) ∧ (q ⇒ r ) } BBB BBBBBB B BS B SB SS S B SB B BB BB B B SS BS BS SB SBB BBBBBB S BS BS BBS S S SB S BB BB B S SS SBBBB B Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI {p⇒(q∧r) }⇔{(p⇒q)∧(p⇒r) } Jawab : p q r { p ⇒ (q ∧ r) } ⇔ { (p ⇒ q) ∧ ( p ⇒r ) } BBBBBBBBB BBSSSBBSS BSBSSBSSB BSSSSBSSS SBBBBBBBB SBSBSBBBB
SSBBSBBBB SSSBSBBBB Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI {(p∧q)⇒r}⇔{(p∧ ∼r)⇒∼q)} Jawab : p q r ∼q ∼r { (p ∧ q ) ⇒ r } ⇔ { (p ∧ ∼r) ⇒∼q )} B B B S S BB B SB B BS S BB SB BS BSB BSSBBSB B SS B BS BB BB S BB S S SB BS B S BS S BS BB SB S SB B SS BB SB S SS BBS BB SB Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI {(p∧q)⇒r}⇔{(p⇒r) v (q⇒r) } Jawab : p q r {(p ∧ q ) ⇒r } ⇔ {(p ⇒ r) v (q ⇒ r )} BBBBBBBBB BBSBSBSSS BSBSBBBBB BSSSBBSBB SBBSBBBBB SBSSBBBBS SSBSBBBBB SSSSBBBBB Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI (p⇒r)⇒{(p∧q)⇒r}∧{p⇒(q∧r) }⇒(p⇒q) Jawab : p q r (p⇒r) ⇒ { (p∧q) ⇒ r } ∧ { p ⇒ (q∧r)} ⇒ (p ⇒ q) BBBBBBBBBBBB BBSSBBSBSSBB BSBBBSBBBSBS BSSSBSBBBSBS SBBBBSBBBBBB SBSBBSBBBSBB SSBBBSBBBSBB SSSBBSBBBSBB Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI
Jawaban B.Konvers, Invers, Kontraposisi dan Tabel Kebenaran Jika x=5 , Maka x^2=25 Jawab : p : x =5 q : x^2=25 konvers (q ⇒ p) Jika x^2=25 , maka x=5 Invers (∼ p⇒∼q) Jika x≠5 , maka x^2≠25 Kontraposisi (∼q⇒∼ p) Jika x^2≠25 , maka x≠5 Negasi (p∧∼q) x=5 , akan tetapi x^2≠25 Tabel Kebenaran p q ∼ p ∼q Implikasi ( p⇒q) Konvers (q ⇒ p) Invers (∼ p⇒∼q) Kontraposisi (∼q⇒∼ p) Negasi (p∧∼q) BBSSBBBBS BSSBSBBSB SBBSBSSBS SSBBBBBBs Jika x^2 bilangan asli, Maka x bilangan asli Jawab : p : x^2 bilangan asli q : x bilangan asli konvers (q ⇒ p) Jika x bilangan asli, maka x^2 bilangan asli Invers (∼ p⇒∼q) Jika x^2 bukan bilangan asli , maka x bukan bilangan asli
Kontraposisi (∼q⇒∼ p) Jika x bukan bilangan asli, maka x^2 bukan bilangan asli Negasi (p∧∼q) x^2 bilangan asli, akan tetapi x bukan bilangan asli Tabel Kebenaran p q ∼ p ∼q Implikasi ( p⇒q) Konvers (q ⇒ p) Invers (∼ p⇒∼q) Kontraposisi (∼q⇒∼ p) Negasi (p∧∼q) BBSSBBBBS BSSBSBBSB SBBSBSSBS SSBBBBBBs Jika ∆ ABC sama kaki, Maka ∠A= ∠C Jawab : p : ∆ ABC sama kaki q : ∠A= ∠C konvers (q ⇒ p) Jika ∠A= ∠C, maka ∆ ABC sama kaki Invers (∼ p⇒∼q) Jika ∆ ABC bukan sama kaki , maka ∠A ≠∠C Kontraposisi (∼q⇒∼ p) Jika ∠A ≠∠C, maka ∆ ABC bukan sama kaki Negasi (p∧∼q) ∆ ABC sama kaki, akan tetapi ∠A ≠∠C Tabel Kebenaran p q ∼ p ∼q Implikasi ( p⇒q) Konvers (q ⇒ p) Invers (∼ p⇒∼q) Kontraposisi (∼q⇒∼ p) Negasi (p∧∼q) BBSSBBBBS BSSBSBBSB
SBBSBSSBS SSBBBBBBs
LOGIC GATE
http://www.aaezha.com/2012/11/logic-gate.html http://davidrevala.blogspot.com/2012/07/rumus-logika-matematika-dasar.html
AND =if(and(cell_1, cell_2, cell_x)=true,1,0)
OR =if(or(cell_1, cell_2, cell_x)=true,1,0)
NOT =if(not(cell_1)=true,1,0)
NAND =if(not(if(and(cell_1, cell_2, cell_x)=true,1,0))=true,1,0)
NOR =if(not(if(or(cell_1, cell_2, cell_x)=true,1,0))=true,1,0)
1.Buatlah sebuah pernyataan majemuk yang berbentuk implikasi. Pembahasan : Pernyataan yang berbentuk implikasi harus mengikuti pola ” JIKA ……. MAKA ……” contoh : JIKA hujan deras, MAKA kampungku banjir 2. p : 2 adalah bilangan genap q : 2 adalah bilangan prima Buatlah notasi untuk pernyataan : “ dua adalah bilangan prima dan genap.
: Notasi Pernyataan “dua adalah bilangan prima DAN genap” adalah konjungsi (^) Maka notasinya : q ^ p Pembahasan
3. Buatlah tabel kebenaran untuk pernyataan : (p => q) ^ ~p Pembahasan
:
Tabel kebenarannya adalah sbb P B B S S
q B S B S
~p S B S B
P => q B S B B
(p => q) ^ ~p S S S B
4. Kontraposisi dari : “ Jika 6 adalah bilangan genap maka 2+3 = 6” adalah…? Pembahasan :
Kontraposisi = Tukeran + Pasang Kumis Berarti : Kontraposisi dari ” Jika 6 adalah bilangan genap maka 2+3=6″ adalah “Jika 2+3 ≠6 maka 6 bukan bilangan genap” 5. Negasi dari pernyataan berkuantor : “ Beberapa rumah roboh diterpa puting beliung” adalah…… Pembahasan :
Pernyataan “beberapa…” termasuk kuantor eksistensial, dan ingkarannya adalah kuantor Universal.
Berarti negasi dari “ Beberapa rumah roboh diterpa puting beliung” adalah ” Semua rumah tidak roboh diterpap puting beliung” 6. Nyatakan notasi yang ekuivalen dengan pernyataan berikut : ~ [ p ^ q] ≡…………………………. Pembahasan :
Sesuai dengan de’Morgan, ingkaran dari konjungsi adalah disjungsi. maka : ~ [ p ^ q] ≡ ~p v ~q 7. Invers dari pernyataan “Jika nilai ku 75, maka aku lulus ujian” adalah …. Pembahasan :
Invers adalah Pasang Kumis Maka invers dari “Jika nilai ku 75, maka aku lulus ujian” adalah “Jika nilai ku bukan 75, maka aku tidak lulus ujian” 8. Jika p bernilai benar, q bernilai salah, dan r bernilai benar, tentukan nilai kebenaran dari : ( p ^ q) => (p ^ r) Pembahasan :
jika p BENAR, q SALAH maka (p^q) SALAH Jika p BENAR, r BENAR, maka (p^r) BENAR sehingga SALAH => BENAR adalah BENAR Jadi nilai kebenaran ( p ^ q) => (p ^ r) adalah BENAR 9. Tuliskan formula (rumus) untuk Silogisme : Pembahasan :
Silogisme itu mengikuti kaidah/rumusan sbb : Premis 1 :
p => q
Premis 2 :
q => r
Kesimpulan : p => r
10. Buktikan apakah (p <=> q ) equivalen dengan (p => q) ^ ( q v p) ? Pembahasan :
Dua pernyataan tsb ekuivalen jika NILAI KEBENARAN MEREKA SAMA. Kita gunakan tabel kebenaran : Perhatkan tabel berikut : 1 p B B S S
2 q B S B S
3 P <=> q B S S B
4 P => q B S B B
5 qvp B B B S
6 (p =>q) ^ (q v p) B S S B
Dari tabel diatas tampak bahwa nilai kebenaran di kolom 3 ( p <=> q ) sama dengan nilai kebenaran di kolom 6 (p =>q) ^ (q v p) Artinya mereka EKUIVALEN.
