Módulo 1: Conteúdo programático – Equação da quantidade de Movimento Bibliografia: Bunetti, F. Mecânica dos Fluidos , São Paulo, Prentice Hall, 2007.
Equação da quantidade de movimento para o volume de controle com aceleração linear em relação a um referencial fixo: r r
P = m.v relativo vrelativo = em relação ao volume de controle móvel r
vrelativo + varrastamento = v abs. ( fixo ) r
r
r
r
varrastamento = em relação a um referencial fixo.
r
∑ F = m.a abs r
r
d v abs dt r
r
d v rel
r
= a abs r
dt
r
= a rel
r
não há rotação ) a abs = a rel + a a ( quando não r
∑ F = m.(a rel + a a ) r
r
r
∑ F − m.a a = m.a rel r
r
r
r
∑ F − m.a a = m. r
d v rel dt d p sist r
r
∑ F − m.a = m . r
sist
sist
sist
dt
r
r
∑ F sist −m sist .a a = r
d p sist dt
Teorema do Transporte de Reynold’s:
∫
d η . ρ .d ∀ dN dt
=
vc
dt
∫
r
r
+ η . ρ .v × n.dA vc
r
r
N = P
como η =
N
então η =
m
P m
r
= v r
Logo resulta na eq da quantidade de movimento :
Projetando na direção “ x ” temos:
d ∫ vr . ρ .d ∀ x ∑ F + ∫ vr . ρ .v × n.dA xext . − ∫ ρ .d ∀.aa = dt x vc s.c. r
r
r
Projetando na direção “Y ” temos:
∑ F yext . − ∫
vc
ρ .d ∀.a
a
=
y
d ∫ vr . ρ .d ∀ y dt
r
r
r
+ ∫ vr . ρ .v × n.dA s.c.
Projetando na direção “Z ” temos:
∑ F z
− ∫ ρ .d ∀.aa = ext z vc
d ∫ vr . ρ .d ∀ z
dt
r
r
r
+ ∫ vr . ρ .v × n.dA s.c.
1º EXERCÍCIOS RESOLVIDO
No esquema abaixo, o fluido água deixa o bocal com velocidade constante de 10 m/s, atingindo uma 2 placa plana. A área do bocal é de 100cm . Determinar a força atuante aplicada pelo fluido à placa na direção “ x ”. Considere regime permanente e propriedades uniformes nas superfícies de controle. 3 Adotar massa específica da água de 1000 kg/m .
Da eq da quantidade de movimento para a direção X temos:
d ∫ v . ρ .d ∀ r x − ∀ = + ∫ vr . ρ .v × n.dA ρ d a ∑ F . . ∫ xext . a dt x vc s.c. r
r
r
A única força externa é a reação do placa no jato de fluido. Não há aceleração do volume de controle e o regime é permanente logo:
∫
r
r r
− R = V r ρ V r xn dA A
Na direção X só há uma fluxo de entrada no volume de controle e as propriedades são uniformes logo:
− R = −V r ρ V r
∫
A
Numericamente temos:
R = 1000.10 2 .100.10 −4 = 1000 N
2
dA = − ρ V r A
2º EXERCÍCIO RESOLVIDO 2
O tanque da figura, quando vazio, apresenta massa de 200 kg. A área da base do tanque é de 1m . Os atritos existentes podem ser desprezados. No interior do tanque, há uma coluna de fluido mantida constantemente com 2m de altura. O fluido entra por 1 e sai por 2 e 3. Considerando o escoamento em regime permanente e propriedades uniformes nas superfícies de controle, determinar: a-) b-)
A força aplicada ao cabo de aço; A leitura da balança. 2
2
2
Dados: V1 = 10 m/s ; V 2 = 5 m/s ; V 3 = 17,5 m/s ; A 1 = 20cm ; A2 = 5cm ; A3 = 10cm .
Da equação da quantidade de movimento para a direção X temos:
d ∫ vr . ρ .d ∀ x ∑ F + ∫ vr . ρ .v × n.dA xext . − ∫ ρ .d ∀.aa = dt x vc s.c. r
r
r
A única força externa é a do cabo de aço aplicada ao tanque. Não há aceleração do volume de controle, em X existem dois fluxos de saída e o regime é permanente logo:
∫
r
r r
∫
r
r r
− Rcabo = V r ρ V r xn dA + V r ρ V r xn dA A2
A3
∫
r
∫
r
− Rcabo = + V r ρ V r dA + V r ρ V r dA A2
A3
Projetando as velocidades no eixo X
∫
∫
A2
A3
− Rcabo = + V r cos 60 ρ V r dA + − V r ρ V r dA Como as propriedades são uniformes temos:
∫
2
∫ dA
2
− Rcabo = + ρ V r cos 60 dA − ρ V r A2
A3
Integrando
− Rcabo = + ρ V r 22 cos 60 A2 − ρ V r 23 A3 Pela equação da continuidade determina-se a velocidade 2
ρ 1V 1 A1
= ρ 2V 2 A2 + ρ 3V 3 A3
Como o fluido é incompressível
V 1 A1 = V 2 A2 + V 3 A3 10.20 = V 2 .5 + 17,5.10 V 2 = 5
m s
Substituindo os valores na Equação na quantidade de movimento temos: 2 2 2 V1 = 10 m/s ; V 2 = 5 m/s ; V3 = 17,5 m/s ; A 1 = 20cm ; A2 = 5cm ; A3 = 10cm .
2
2
− Rcabo = + ρ V r 2 cos 60 A2 − ρ V r 3 A3 Numericamente temos: 2 2 4 − Rcabo = 1000[5 . cos 60.5 − 17,5 .10].10 − = −300 N
Rcabo = 300 N
Item B : Leitura da balança:
Este item consiste na aplicação da Equação da quantidade de movimento na direção Y Nesta direção só há um fluxo de entrada, logo é negativo
∫
r
r r
RY − mg = V r ρ V r xn dA A1
∫
r
RY − mg = − V r ρ V r dA A1
A projeção da velocidade é contra o eixo Y
∫
RY − mg = − − V r ρ V r dA A1
Como as propriedades são uniformes temos:
2
∫
RY − mg = ρ V r dA A1
2
RY = ρ V r 1 A1 + mg Numericamente temos: R y = 1000.10 2.20.10 −4 + 200.10 = 2,2kN
1º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO PELO ALUNO No esquema temos um canal de largura igual a 1,8m. Podemos considerar que nas superfícies de controle 1 e 2, as velocidades são uniformes; na superfície 1 a velocidade é de 0,5 m/s e há distribuição de pressão hidrostática. A comporta AB apresenta a mesma largura do canal. Supondo regime permanente, determinar: a-) b-)
A velocidade na superfície de controle 2; A força aplicada na comporta AB.
2º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO PELO ALUNO No esquema, o carrinho com o jato de água, apresenta massa de 75 kg e está em repouso no instante t = 0 segundo. O carrinho é acelerado por um jato de água lançado por um bocal fixo, cuja área é 30cm2. A velocidade do jato é de 35 m/s em relação ao bocal. Supondo não haver atritos e desprezando a resistência do ar, determinar a velocidade do carrinho no instante t = 5 segundos. Considerar a variação da quantidade de movimento do volume de controle desprezível e propriedades uniformes. Dados: A1 = A2 2 = 30cm
3º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO PELO ALUNO No esquema abaixo há escoamento em regime permanente com propriedades uniformes em todas as seções de escoamento e o fluido é incompressível. Determinar : a-) b-) c-)
O fluxo em massa pelo sistema de controle (1). Sabendo-se que a superfície de controle (3) é circular , determinar o diâmetro. A resultante das forças geradas pelos escoamentos 3
2
2
Dados: ρ = 1000 kg/m ; A1 = 20 cm ; A2 = 30 cm ; v1 = 2 m/s ; v2 = 2,5 m/s ; v3 = 1,5 m/s
4º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO PELO ALUNO A turbina da figura extrai a potência de 2,9 kW da água do escoamento considerado ideal. Calcular as forças exercidas sobre a redução e sobre a turbina respectivamente.
5º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO PELO ALUNO Na instalação esquematizada, há o escoamento ideal de 314L/s de água (massa específica de 1000 kg/m³) pelo interior da turbina. A pressão na entrada da mesma é 18N/cm² e na saída, vácuo com intensidade de 2 N/cm². Considerando a aceleração da gravidade com intensidade de 10 m/s², determinar: a) a potencia fornecida á turbina pelo escoamento de água b) a força na direção X
6º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO PELO ALUNO Um jato atinge uma pá que se localiza num plano inclinado. O peso do conjunto é 40N e a área do jato 50 cm². Qual deve ser a velocidade do jato para que ocorra o equilíbrio estático?