CP 6 - PROTENDIDO CONTEUDO 06 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

CURSO DE CONCRETO PROTENDIDO REFERÊNCIA: NORMA NBR 6118 / 2003 LUIZ CHOLFE LUCIANA A. S. BONILHA

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

FEVEREIRO/2012


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1 - CONSIDERAÇÕES INICIAIS 1.1 - Introdução Este capítulo é uma coletânea de exercícios aplicados em provas do curso de concreto protendido. Os problemas de dimensionamento quanto aos Estados Limites de Utilização devem ser complementados com a verificação do Estado Limite Último, obrigatória por norma.

1.2 - Formulário: Combinações da NBR- 8681 COMBINAÇÕES DE UTILIZAÇÃO  Combinações quase-permanentes m

n

i =1

j =1

Fd,uti = FGi,k + 2j FQj,k  Combinações freqüentes m

n

i =1

j =2

Fd,uti = FGi,k + 1 FQ1,k + 2j FQj,k  Combinações raras m

n

i =1

j =2

Fd,uti = FGi,k + FQ1,k + 1j FQj,k

COMBINAÇÕES ÚLTIMAS  Combinações últimas normais m

n

i =1

j =2

Fd = gi FGi,k + q [FQ1,k + 0j FQj,k]

0 , 1 e 2 : conforme tabela 5 da NBR-8681 gi e q : coeficientes de ponderação conforme NBR-8681


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2 - DIMENSIONAMENTO 2.1 - Exercício 1 A estrutura abaixo representa uma laje, de seção transversal constante, em balanço, submetida às ações: g = peso próprio, com c = 25 kN/m³ q = 2 kPa (carga acidental distribuída) G = 50 kN (carga concentrada permanente) Q = 20 kN (carga concentrada acidental) A laje deverá ser protendida com cabos de 4 cordoalhas de 15,2 mm, com força útil de protensão, após todas as perdas, de 150 kN por cordoalha, na seção de engastamento (A). Dimensionar a armadura de protensão, na seção de engastamento (A), com protensão completa, seguindo as diretrizes da NBR-7197.

vista lateral A

cabos

A p (distribuída)

seção transversal (A) A

B

modelo de cálculo DADOS COMPLEMENTARES · Utilizar um número inteiro de cabos · fck = 32 MPa ; fctk = 2 MPa · Adotar CG dos cabos a 5 cm da borda superior : Yo = 0,05 m · Fatores de utilização :

· Tensões máximas para os Estados Limites :


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RESOLUÇÃO a) Características geométricas Ac = 3,00  0,45 = 1,35 m² Ic = 3,00  (0,45)3 / 12 = 0,02278 m4 Wcsu = W cin = 0,02278 / 0,225 = 0,10124 m³

b) Ações externas g = 1,35 25 = 33,75 kN / m q = 2  3 = 6,00 kN / m G = 50 kN Q = 20 kN

c) Esforços solicitantes na seção (A) Mg,A = 33,75 (10)2 / 2 = 1687,5 kN.m Mq,A = 6,00  (10)2 / 2 = 300 kN.m MG,A = 50  10 = 500 kN.m MQ,A = 20 10 = 200 kN.m

d) Tensões normais devidas às ações externas g: q: G: Q:

csu,g = - cin,g = 1687,5 / 0,10124 = 16668 kPa csu,q = - cin,q = 300 / 0,10124 = 2963 kPa csu,G = - cin,G = 500 / 0,10124 = 4939 kPa csu,Q = - cin,Q = 200 / 0,10124 = 1975 kPa

e) Tensões normais devidas à protensão de 4 15,2 a tempo  na seção (A) ep = 0,225 - 0,05 = 0,175 m P = 4  (- 150) = - 600 kN / cabo

csu,NP = (-600 / 1,35) - [-600 (-0,175) / 0,10124] = - 444,44 - 1037,14 = - 1481,58 kPa cin,NP = - 444,44 +1037,14 = 592,70 kPa


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f) Dimensionamento: Protensão Completa 1 - Combinações freqüentes : (descompressão)

Na fibra superior :

16668 + 4939 + 0,7  2963 + 0,5  1975 + m'  (- 1481,58) = 0 m' = 16,65  adotado 17 cabos Verificação da fibra inferior com 17 cabos 17  592,70 - ( 16668 + 4939 + 0,7  2963 + 0,5  1975) = - 14592,70 | 14592,70 | < 19200  OK 2 - Combinações raras : (formação de fissuras)

Na fibra superior :

16668 + 4939 + 2963 + 0,6  1975 + m''  (- 1481,58)  2400 m'' = 15,76  adotado 16 cabos Verificação da fibra inferior com 16 cabos 16  592,70 - (16668 + 4939 + 2963 + 0,6  1975) = - 16271,80 | 16271,80 | < 19200  OK Resposta: m = 17 cabos de 4 15,2 , distribuidos na largura de 3 m, na parte superior, a cada ~17 cm.


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2.2 - Exercício 2 O pilar central de uma passarela, construído com formas deslizantes, com seção transversal constante, foi protendido segundo a direção vertical (protensão centrada), conforme indica a figura.

Ações atuantes, além da protensão: G = 2000 kN H = 180 kN G1

reação da superestrutura, representando as cargas permanentes força horizontal acidental (com 1 = 0,6) peso próprio do pilar com  = 25 kN / m³

Sabendo-se que o pilar foi projetado com 8 cabos, determinar o número de cordoalhas por cabo para se ter protensão total na seção de engastamento bloco x pilar. A força de protensão, após todas as perdas, é P = - 110 kN. DADOS COMPLEMENTARES · Características: Ic = ( / 64)  (D4 - d4) ,

W c = Ic / (D / 2)

· Utilizar concreto com fck = 34 MPa e fctk = 3 MPa · Os cabos devem conter igual número de cordoalhas · Desprezar efeitos de 2ª ordem e cisalhamento

CURSO DE CONCRETO PROTENDIDO REFERÊNCIA: NORMA NBR 6118 / 2003 LUIZ CHOLFE LUCIANA A. S. BONILHA Combinações de Utilização  Combinações freqüentes m

n

i =1

j =2

Fd,uti = FGi,k + 1 FQ1,k + 2j FQj,k

 Combinações raras m

n

i =1

j =2


RESOLUÇÃO a) Características Ac = 0,7854  [(1,60)2 - (1,10)2] = 1,0603 m² Ic = ( / 64)  [(1,60)4 - (1,104)] = 0,2498 m4 Wc = 0,2498 / 0,80 = 0,3123 m³

b) Ações externas, no engastamento G = 2000 kN G1 = 1,0603  20  25 = 530,15 kN MH = 180  20 = 3600 kN.m

c) Tensões externas devido G  G = - 2000 / 1,0603 = - 1886,26 kPa devido G1  G1 = - 530,15 / 1,0603 = - 500,00 kPa devido MH  MH,máx,min = ± 3600 / 0,3123 = ± 11527,38 kPa d) Tensões devidas à protensão de 1 cordoalha

P(o) = - 110 / 1,0603 = - 103,74 kPa

7


8

e) Dimensionamento / Verificações 1 - Combinações freqüentes Fibra mais tracionada:

c,P + G + G1 + 1 FQ1  0

m'  (- 103,74) - 1886,26 - 500,00 + 0,6  11527,38  0 m'  43,7 cordoalhas  adotado m1 = 48 cordoalhas Fibra mais comprimida:

c,P + G + G1 + 1 FQ1  | 0,6 fck |

48  (- 103,74) - 1886,26 - 500,00 - 0,6  11527,38 = - 14282,21 | 14282,21 | < | 0,6  34000 | = | 20400 |

 OK

2 - Combinações raras Fibra mais tracionada:

c,P + G + G1 + FQ1  1,2 fctk

m''  (- 103,74) - 1886,26 - 500,00 + 11527,38  1,2  3000 m''  53,41 cordoalhas  adotado m2 = 56 cordoalhas Fibra mais comprimida:

c,P + G + G1 + FQ1  | 0,6 fck |

56  (- 103,74) - 1886,26 - 500,00 - 11527,38 = - 19723,08 | 19723,08 | < | 20400 |

 OK

f) Representação gráfica: combinações freqüentes e raras

-449,35 +3.331,68

Resposta: Adotado 56 cordoalhas (8 cabos de 7 cordoalhas cada).


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2.3 - Exercício 3 Dimensionar a armadura de protensão, da viga abaixo esquematizada, com protensão completa, segundo as recomendações da NBR - 7197.

DADOS COMPLEMENTARES · Utilizar cordoalhas de 12,7 mm · Força útil de protensão após todas as perdas: N = - 115 kN / cordoalha · Adotar igual número de cordoalhas por cabo · Número de cabos = 4 · I = b  h3 / 12 ; W = I / y · Mg1 = 400 kN.m · Mq1 = 300 kN.m · MQ2 = 200 kN.m · Concreto :

1 = 0,8 1 = 0,8

2 = 0,6 2 = 0,6

fck = 30 MPa ; fctk = 2,0 MPa

Tensões máximas para os Estados Limites


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Combinações de Utilização  Combinações freqüentes m

n

i =1

j =2


n

i =1

j =2


RESOLUÇÃO

a) Características geométricas Ac = 0,50  1,00 = 0,50 m² Ic = 0,50  (1,00)3 / 12 = 0,0417 m4 Wcsu = W cin = 0,0417 / 0,5 = 0,0833 m³

b) Carregamentos externos Mg1 = 400 kN.m Mq1 = 300 kN.m MQ2 = 200 kN.m c) Tensões normais externas devido g1 cin,g1 = - csu,g1 = 400 / 0,0833 = 4800 kPa devido q1 cin,q1 = - csu,q1 = 300 / 0,0833 = 3600 kPa devido Q2 cin,Q2 = - csu,Q2 = 200 / 0,0833 = 2400 kPa d) Tensões normais devidas à protensão de 1 cordoalha de 12,7 mm, a tempo  Yo = 0,10 m ;

e = 0,50 - 0,10 = 0,40 m

;

NP = - 115 kN

c(o)su,NP = - 115 / 0,50 + 115  0,40 / 0,0833 = -230 + 552 = 322 kPa c(o)in,NP = - 230 - 552 = - 782 kPa


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e) Dimensionamento com protensão completa 1 - Combinações freqüentes (descompressão)

Na fibra inferior

cin,P + g1 + 1 q1 + 2 Q2 = 0

(- 782)  m1 + 4800 + 0,8  3600 + 0,6  2400 = 0 m1 = 11,66 cordoalhas (: 4 = 2,92)  adotado 3  4 = 12 cordoalhas de 12,7 mm Verificação da fibra superior com 12 cordoalhas de 12,7 mm 12  322 - 4800 - 0,8  3600 - 0,6  2400 < |18000| - 5256 < |18000|  OK 2 - Combinações raras (formação de fissuras)

Na fibra inferior

cin,P + g1 + q1 + 1 Q2  2400

(- 782)  m1 + 4800 + 3600 + 0,8  2400  2400 - 782  m1  2400 - 10320 - 782  m1  - 7920 m1  10,13  adotado 12 cordoalhas de 12,7 mm Verificação da fibra superior com 12 cordoalhas de 12,7 mm 12  322 - 4800 - 3600 - 0,8  2400 < |18000| - 6456 < |18000|  OK

Resposta: Adotado 12 cordoalhas de 12,7 mm , ou seja, 4 cabos de 3  12,7 mm cada.


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2.4 - Exercício 4 A estrutura abaixo representa uma viga de seção transversal constante, biapoiada, submetida às ações g1 (peso próprio), g2 (sobrecarga permanente distribuída) e Q (carga concentrada acidental). A viga deverá ser protendida com cabos de 4 cordoalhas de 15,2 mm, com força útil de protensão, após todas as perdas, de 150 kN por cordoalha, na seção central de momento máximo. Dimensionar a seção central, com protensão limitada, seguindo as diretrizes da NBR7197, utilizando-se um número inteiro de cabos.

DADOS COMPLEMENTARES · Ac = 0,65 m² · Ic = 0,1695 m4 · fck = 32 MPa ; fctk = 2,2 MPa · = 20 m · g2 = 34 kN / m · Q = 300 kN · c = 25 kN / m³ · Adotar CG dos cabos em Yo = 0,10 m · Fator de utilização para Q: 1 = 0,7 e 2 = 0,6 · Não considerar o Estado Limite Último e fases de execução (protensão)

CURSO DE CONCRETO PROTENDIDO REFERÊNCIA: NORMA NBR 6118 / 2003 LUIZ CHOLFE LUCIANA A. S. BONILHA Combinações de Utilização  Combinações quase-permanentes m

n

i =1

j =1

Fd,uti = FGi,k + 2j FQj,k

 Combinações freqüentes m

n

i =1

j =2

Fd,uti = FGi,k + 1 FQ1,k + 2j FQj,k

Tensões Limites

RESOLUÇÃO

a) Características geométricas Ac = 0,65 m²

Wcsu = W cin = 0,226 m³

Ic = 0,1695 m4

Ycsu = Ycin = 0,75 m

b) Carregamentos: momentos fletores na seção central g1 = 0,65  25 = 16,25 kN / m

Mg1 = 16,25  (20)2 / 8 = 812,50 kN.m

g2 = 34 kN / m

Mg2 = 34  (20)2 / 8 = 1700,0 kN.m

Q = 300 kN

MQ = 300  20 / 4 = 1500,0 kN.m

c) Tensões normais devidas às ações externas devido g1: devido g2: devido Q:

cin,g1 = - csu,g1 = 812,50 / 0,226 = 3595,13 kPa cin,g2 = - csu,g2 = 1700,0 / 0,226 = 7522,12 kPa cin,Q = - csu,Q = 1500,0 / 0,226 = 6637,17 kPa

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d) Tensões normais devidas à protensão de 1 cabo de 4 cordoalhas 1 cabo = NP = 4  (- 150) = - 600 kN ep = 0,75 - 0,10 = 0,65 m

c(o)in,NP = [(- 600) / 0,65] + [(- 600)  0,65 / 0,226] = - 923,08 - 1725,66 = - 2648,74 kPa c(o)su,NP = - 923,08 + 1725,66 = 802,58 kPa e) Número de cabos: protensão limitada 1 - Combinações quase permanentes

Na fibra inferior:

cin (g1 + g2 + P) + 2 Q = 0

3595,13 + 7522,12 + 0,6  6637,17 + m'  (- 2648,74) = 0 m' = 5,70  adotado m' = 6 cabos Na fibra superior com m' = 6 cabos 6  802,58 - (3595,13 + 7522,12 + 0,6  6637,17) = - 10284,07 kPa | 10284,07 | < 0,6  30000 = 19200 kPa  OK 2 - Combinações freqüentes

Na fibra inferior:

cin (g1 + g2 + P) + 1 Q  1,2 fctk

3595,13 + 7522,12 + 0,7  6637,17 + m''  (2648,74) = 2640 m'' = 4,95  adotado m'' = 6 cabos Na fibra superior com m'' = 6 cabos 6  802,58 - (3595,13 + 7522,12 + 0,7  6637,17) = - 10947,79 kPa | 10947,79 | < 19200 kPa  OK Resposta: 6 cabos de 4 cordoalhas de 15,2 mm.


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2.5 - Exercício 5 Uma viga de seção transversal em forma de T, conforme detalhe a seguir, deverá resistir aos seguintes esforços solicitantes: Mg1 = 280 kN.m Mg2 = 60 kN.m

devido ao peso próprio devido ao revestimento g2

Mq1 = 400 kN.m

sobrecarga 1

Mq2 = 220 kN.m

sobrecarga 2

1 = 0,6 1 = 0,3

2 = 0,4 2 = 0,2

A viga será protendida com cabos de cordoalhas de 15,2 mm, com força útil de protensão, após todas as perdas, de 160 kN / cordoalha. a) Considerando-se as Normas NBR-7197 (Concreto Protendido) e a NBR-8681 (Ações e segurança), descrever os tipos de protensão quanto aos Estados Limites de Utilização. b) Dimensionar a seção, ou seja, calcular o número mínimo de cordoalhas para que se tenha, segundo a NBR-7197, protensão limitada. DADOS COMPLEMENTARES · Ac = 0,335 m² · Ic = 0,01803 m4 · Ycsu = 0,28 m · Ycin = 0,52 m · W csu = 0,0644 m³ · W cin = 0,0347 m³ · Yo = 0,08 m (posição do CG dos cabos) · fck = 30 MPa ; fctk = 2,1 MPa


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Combinações de Utilização conforme NBR-8681  Combinações quase-permanentes m

n

i =1

j =1

Fd,uti = FGi,k + 2j FQj,k  Combinações freqüentes m

n

i =1

j =2


n

i =1

j =2


Tensões Limites

RESOLUÇÃO a) Tipos de protensão segundo os Estados Limites de Utilização (NBR-7197 e 8681) Nas classificações são utilizadas as combinações quase-permanentes, as freqüentes e as raras. Os estados limites de utilização estão associados à fissuração do concreto podendo ser de descompressão, formação de fissuras e abertura de fissuras. As protensões podem ser completa, limitada e parcial, conforme a seguinte sinopse:

Em todas as combinações respeitar-se-á o Estado Limite Último.


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b) Dimensionamento da seção 1 - Esforços solicitantes Mg1 = 280 kN.m Mg2 = 60 kN.m Mq1 = 400 kN.m Mq2 = 220 kN.m 2 - Tensões normais devidas às ações externas devido g1: devido g2: devido q1: devido q2:

cin,g1 = 8069,16 kPa cin,g2 = 1729,17 kPa cin,q1 = 11527,38 kPa cin,q2 = 6340,06 kPa

csu,g1 = - 4347,83 kPa csu,g2 = - 931,68 kPa csu,q1 = - 6211,18 kPa csu,q2 = - 3416,15 kPa

1

2

0,6

0,4

0,3

0,2

3 - Tensões normais devidas à protensão de 1 cordoalha a tempo  Yo,in = 0,08 m ep = 0,52 - 0,08 = 0,44 m

c(o)in,P = [(- 160) / 0,335] + [(- 160)  0,44 / 0,0347] = - 477,62 - 2028,82 = - 2506,44 kPa c(o)su,P = [(- 160) / 0,335] - [(- 160)  0,44 / 0,0644] = - 477,62 + 1093,17 = 615,55 kPa 4 - Determinação do número de cordoalhas com protensão limitada i) Para combinações quase-permanentes

csu,P + g + 2j FQj,k  | c | cin,P + g + 2j FQj,k = 0 · Na fibra inferior



cin,P + g + 2j FQj,k = 0 m'  (- 2506,44) + 8069,16 + 1729,17 + 0,4  11527,38 + 0,2  6340,06 = 0 m' = 6,25



adotado 7 cordoalhas


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· Na fibra superior com 7 cordoalhas

csu,P + g + 2j FQj,k  0,6  30000 = 18000 7  615,55 - 4347,83 - 931,68 + 0,4  (- 6211,18) + 0,2  (- 3416,15) = - 4138,36 | 4138,36 | < | 18000 |

 OK

ii) Para combinações freqüentes

csu,P + g + 1 FQ1,k + 2j FQj,k  | c | cin,P + g + 1 FQ1,k +2j FQj,k = 2520 · Na fibra inferior



cin,P + g + 1 q1 +2 q2 = 2520 m''  (- 2506,44) + 8069,16 + 1729,17 + 0,6  11527,38 + 0,2  6340,06 = 2520 m'' = 6,17



adotado 7 cordoalhas

· Na fibra superior com 7 cordoalhas

csu,P + g + 1 q1 + 2 q2  18000 7  615,55 - 4347,83 - 931,68 + 0,6  (- 6211,18) + 0,2  (- 3416,15) = - 5380,60 | 5380,60 | < | 18000 |

 OK

Resposta: m = 7 cordoalhas de 15,2 mm ; P = - 1120 kN.


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2.6 - Exercício 6 A estrutura abaixo representa uma viga-calha de cobertura de um galpão industrial, com seção transversal constante, biapoiada, submetida às seguintes ações externas: g1 g2 q Q

peso próprio com  = 25 kN / m³ ação permanente (telhas) ação variável (água e sobrecarga) ação variável concentrada (talha)

10,2 10,0

A viga deverá ser dimensionada com protensão através de 4 cabos, simetricamente distribuidos, com igual número de cordoalhas. As cordoalhas serão de 12,7 mm, com força útil de protensão, após todas as perdas, de 115 kN / cordoalha, na seção central (seção mais solicitada).

Dimensionar a armadura de protensão, com protensão limitada, segundo as recomendações da NBR-7197.


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DADOS COMPLEMENTARES · fck = 30 MPa · fctk = 2,04 MPa · = 16,00 m · q = 14,00 kN / m · g2 = 18,00 kN / m · Q = 60,00 kN · Desprezar engrossamentos junto aos apoios · Não há necessidade, para simplificar, da verificação da execução e Estado Limite Último Fatores de Utilização

Tensões Máximas para os Estados Limites

RESOLUÇÃO

a) Características geométricas Ac = 0,15  1,20  2 + 0,20  0,30 = 0,42 m² Ic = 2  0,15  (120)3 / 12 + 0,30  (0,20)3 / 12 = 0,0434 m4 Wcsu = W cin = 0,0434 / 0,60 = 0,07233 m³


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b) Carregamentos externos (momentos fletores) = 16,00 m g1 = 0,42  25 = 10,50 kN / m g2 = 18,00 kN / m q = 14,00 kN / m Q = 60,00 kN Mg1 = 10,50  (16,00)2 / 8 = 336,00 kN.m Mg2 = 18,00  (16,00)2 / 8 = 576,00 kN.m Mq = 14,00  (16,00)2 / 8 = 448,00 kN.m MQ = 60  16,00 / 4 = 240,00 kN.m c) Tensões normais externas devido g1 : devido g2 : devido q : devido Q :

cin,g1 = - csu,g1 = 336,00 / 0,07233 = 4645,38 kPa cin,g2 = - csu,g2 = 576,00 / 0,07233 = 7963,50 kPa cin,q = - csu,q = 448,00 / 0,07233 = 6193,83 kPa cin,Q = - csu,Q = 240,00 / 0,07233 = 3318,13 kPa

d) Tensões normais devidas à protensão de 1 cordoalha de 12,7 mm, a tempo  Yo = 0,10 + 0,051 = 0,151 m e = 0,60 - 0,151 = 0,449 m NP = - 115 kN

c(o)su,NP = [(- 115) / 0,42] + [115  0,449 / 0,07233] = - 273,81 + 713,88 = 440,07 kPa c(o)in,NP = -273,81 - 713,88 = - 987,69 kPa e) Dimensionamento com Protensão Limitada 1 - Combinações quase-permanentes

CURSO DE CONCRETO PROTENDIDO REFERÊNCIA: NORMA NBR 6118 / 2003 LUIZ CHOLFE LUCIANA A. S. BONILHA Na fibra inferior:

22

cin,Np + g1 + g2 + 2 q + 2 Q  0

4645,38 + 7963,50 + 0,6  6193,83 + 0,4  3318,13 + m  (- 987,69)  0 m  17,87 cordoalhas  adotado 4 x 5 = 20 cordoalhas Na fibra superior com 20 cordoalhas: - 4645,38 - 7963,50 + 0,6  (- 6193,83) + 0,4  (- 3318,13) + 20  440,07 = - 8851,03 | 8851,03 | < 18000

 OK

2 - Combinações freqüentes

Na fibra inferior:

cin,Np + g1 + g2 + 1 q + 2 Q  1,2 fctk

4645,38 + 7963,50 + 0,8  6193,83 + 0,4  3318,13 + m'  (- 987,69)  2448 m  16,65 cordoalhas  adotado 4 x 5 = 20 cordoalhas Na fibra superior com 20 cordoalhas: - 4645,38 - 7963,50 + 0,8 (-6193,83) + 0,4 (-3318,13) + 20 (440,07) = - 10089,80 | 10089,80 | < 18000  OK

Resposta: Adotado 20 cordoalhas, ou seja, 4 cabos de 5 12,7 mm cada.


23

3 - ESTADO LIMITE ÚLTIMO 3.1 - Exercício 1 Verificar se, no Estado Limite Último de ruptura sob solicitações normais, a seção transversal abaixo indicada está satisfatória, considerando-se as armaduras ativas adotadas.

DADOS COMPLEMENTARES · Concreto:

fck = 30 MPa

· Aço CP190 RB :

fptk = 1900 MPa fpyk = 1710 MPa fpko = 1197 MPa

· Ap(o) = 1,40 cm² por cordoalha · Ep = 200 000 MPa · pi = 6 ‰ (pré-alongamento) Coeficientes de ponderação: 

s = 1,15



c = 1,4



g = q = 1,4

CURSO DE CONCRETO PROTENDIDO REFERÊNCIA: NORMA NBR 6118 / 2003 LUIZ CHOLFE LUCIANA A. S. BONILHA Momentos fletores atuantes: Mg = 12800 kN.m (permanente) Mq1 = 7600 kN.m (acidental variável) Mq2 = 4000 kN.m (acidental variável) Fatores de combinação das ações:

Diagrama (p x p) e (pd x pd) do aço CP 190 RB

No intervalo 0  pd  5,20 ‰  pd = Ep  pd No intervalo 5,20 ‰  pd  9,43 ‰  pd = curva indicada No intervalo pd 9,43 ‰  pd = fpyk / s

24


25

RESOLUÇÃO a) CG dos cabos: Yo = 0,20 m

dp = 2,75 - 0,20 = 2,55 m

b) Momento de cálculo solicitante (Msd) Msd = 1,4  (12800) + 1,4 (7600 + 0,6  4000) = 31920 kN.m

c) Equilíbrio da seção transversal Adotando-se inicialmente pd = fpyk / s = 1710 / 1,15 = 1486,96 MPa Força de tração na armadura protendida Npd = Ap pd = 4  18  1,40  (10)-4  1486,96  (10)3 = 14988,56 kN Área comprimida da seção de concreto: cd = (30 / 1,4)  0,85 = 18,214 MPa Ncd = Acc  cd = Npd  Acc = Npd / cd = 14988,56 / 18,214  (10)3 = 0,823 m² Posição da LN  y = Acc / b = 0,823 / 1,2 = 0,686 < 0,85

 OK

LN na mesa

x = y / 0,8 = 0,686 / 0,8 = 0,857 m Deformação p: p = [(dp - x) / x]  3,5 ‰ = [(2,55 - 0,857) / 0,857]  3,5 = 6,913 ‰ Alongamento total: pd = p + pi = 6,913 + 6,00 = 12,913 ‰

pd = 12,913 ‰ > ''p = 9,43 ‰  pd = 1486,96 MPa confirmada d) Momento resistente de cálculo (MRd) zp = 2,55 - y / 2 = 2,55 - 0,686 / 2 = 2,207 m MRd = Npd  zp = 14988,56  2,207 = 33079,75 kN.m e) Verificação MRd = 33079,75 kN.m > Msd = 31920 kN.m Resposta: Satisfaz.


26

3.2 - Exercício 2 Dimensionar a armadura de protensão, no estado limite último, para a seção abaixo esquematizada:

DADOS COMPLEMENTARES

· Concreto fck = 34 MPa · Aço CP 190 RB · c = g = q = 1,4 · Pré-alongamento da armadura pi = 5,0 ‰ · cd = 0,85  fcd · y = 0,8  x · x = x / d

Ações Permanentes | Mg1 = 2500 kN.m | Mg2 = 1000 kN.m Ações Variáveis

| Mq1 = 2000 kN.m | Mq2 = 500 kN.m

 Combinações últimas normais m

n

i =1

j =2


0 = 0,7 0 = 0,6


27

RESOLUÇÃO a) Momento de cálculo solicitante (Msd) Msd = 1,4  (2500 + 1000) + 1,4  (2000 + 0,6  500) = 8120 kN.m Msd = 8,120 MN.m b) Momento absorvido pela flange superior (Msd,f) Msd,f = bf  y  cd  (d - y / 2)

bf = 1,0 - 0,2 = 0,80 m y = hf = 0,30 m x = 0,30 / 0,8 = 0,375

Msd,f = 0,80  0,30  0,85  (34 / 1,4)  (1,40 - 0,30 / 2) Msd,f = 6,193 MN.m

x,f = x / d = 0,375 / 1,40 = 0,268

 Tabela

z = 0,888 pi = 9,45 ‰

pd = 9,45 + 5,00 = 14,45 ‰

 pd = 1500 MPa

Ap,f = (Msdf 104) / (z  d pd) = (6,193  104) / (0,888  1,40 1500) = 33,21 cm² c) Momento absorvido pela alma

Md = Msd - Msd,f = 8,120 - 6,193 = 1,927 MN.m K6 = b d2 / Md = 0,20  (1,40)2 / 1,927 = 0,203 K6 = 0,203





 Tabela





x = 0,34 z = 0,859 pd = 6,794 ‰

pd = 6,794 + 5,00 = 11,794 ‰

 pd = 1486 MPa

As,Md = (1,927  104) / (0,859  1,40  1486) = 10,78 cm² d) Armadura final Ap = Ap,f + As,Md = 33,21 + 10,78 = 43,99 cm²  43,99 / 1,40 = 31,42 32 cordoalhas de 15,2 mm Resposta: Adotado 8 cabos de 4  15,2 mm.


28

3.3 - Exercício 3 Dimensionar a seção abaixo esquematizada, sabendo-se que nela atuam os seguintes momentos fletores: Ações (momentos fletores) atuantes: Ação permanente Mg1 = 1.800 kN.m Ação permanente Mg2 = 1.230 kN.m Ação acidental principal Mq1 = 1.000 kN.m Ação acidental Mq2 = 780 kN.m

o = 0,7 o = 0,6

2,60 m 0,10

Utilizar cordoalhas  15,2 mm (o)

A p = 1,40 cm² / cordoalha

1,00 m

0,90

Mgi, Mqi 0,10 0,50

0,30

0,30

1,00

0,50

OBS: Utilizar apenas armadura ativa Ap (número par de cordoalhas) Materiais

CONCRETO: fck = 34 MPa AÇO: · Aço ativo CP190 RB : Ep = 200.000 MPa Coeficientes de ponderação: s = 1,15 c = 1,4 g = q = 1,4 Dados complementares:

cd = 0,85 fcd y = 0,8 x x x  d

 Combinações últimas normais m

n

i =1

j =2


Pré-alongamento da armadura  pi = 5,5 ‰

CURSO DE CONCRETO PROTENDIDO REFERÊNCIA: NORMA NBR 6118 / 2003 LUIZ CHOLFE LUCIANA A. S. BONILHA RESOLUÇÃO a) Momento de cálculo solicitante Msd = 1,4* (1.800+1.230) + 1,4 * (1.000 + 0,6 * 780) = 6.297,20 kN.m Msd = 6,2972 MN.m b) Momento absorvido pela flange superior Msd,f = bf * hf * σcd * ( d – hf/2) Msd,f = 2,00 * 0,10 * 0,85 * 34/1,4 * ( 0,90 – 0,10/2) Msd,f = 3,509 MN.m x = y / 0,80 = 0,10/0,80 = 0,125

x = x/d = 0,125/0,90 = 0,139 TABELA

z = 0,949 pd = 10,00 ‰

pd = 10,00 + 5,50 = 10,50 ‰ TABELA

pd = 1.510 MPa

Ap,f = Msd,f * 104 / (z * d * pd ) = (3,509 * 104) / (0,949 * 0,90 * 1.510) = 27,21 cm2 c) Momento absorvido pela alma (Msd, alma = ΔMd) ΔMd = Msd – Msd,f = 6,2972 – 3,509 = 2,7882 MN.m K6 = b * d2 / ΔMd = 0,60 * (0,90)2 / 2,7882 = 0,174 K6 = 0,174

  x = 0,42







TABELA



z = 0,825 pd = 4,83 ‰

x =  x  d = 0,42  0,90 = 0,378 m

pd = 4,83 + 5,50 = 10,33 ‰

  pd = 1.490 MPa TABELA

Ap,alma = (2,7882 * 104) / (0,825 * 0,90 * 1.490) = 25,20 cm2 d) Armadura final Ap = Ap,f + Ap,alma = 27,21 + 25,20 = 52,41 cm² Ap(0)  1, 40 cm2  52,41 / 1,40 = 37,4

Resposta: Ap  38  15,2 mm.

29


30

3.4 - Exercício 4 Verificar se, no estado limite último de ruptura sob solicitações normais, a seção a seguir indicada apresenta condições satisfatórias de segurança, considerando-se as armaduras ativas e passivas.

2,40 m

0,70

0,30

0,60

0,30

Armadura ativa

2,70 m

(4 cabos)

E p = E s= 200 000 MPa  pi = 5,0 ‰ (pré-alongamento) 0,30

0,05

0,15

Armadura passiva (8 barras)

ARMADURA ATIVA: 4 cabos com 28 cordoalhas de 15,2 mm cada · Ap(o) = 1,40 cm² / cordoalha ARMADURA PASSIVA: 8  16 mm · As(o) = 2,00 cm² / barra MATERIAIS · Concreto:

fck = 30 MPa

· Aço ativo CP190 RB :

fptk = 1900 MPa fpyk = 1710 MPa fpko = 1197 MPa

· Aço passivo CA 50 A :

fyk = 500 MPa

CURSO DE CONCRETO PROTENDIDO REFERÊNCIA: NORMA NBR 6118 / 2003 LUIZ CHOLFE LUCIANA A. S. BONILHA Coeficientes de ponderação:   s = 1,15  c = 1,4  g = q = 1,4 Momentos fletores atuantes: Mg1 = 10 000 kN.m Mg2 = 8 000 kN.m Mq1 = 18 000 kN.m

o = 0,8

Mq2 = 8 000 kN.m

o = 0,6

Combinações últimas normais m

Fd    i 1

gi

n   FGi, K   q  FQ1, K   oj FQj, K  j 2  

Diagrama (p x p) e (pd x pd) do aço CP 190 RB

No intervalo 0  pd  5,20 ‰  pd = Ep  pd No intervalo 5,20 ‰  pd  9,43 ‰  pd = curva indicada No intervalo pd 9,43 ‰  pd = fpyk / s

31


32

RESOLUÇÃO a) Momento solicitante de cálculo (Msd) Msd = g  (Mg1 + Mg2) + q (Mq1 + o  Mq2) Msd = 1,4  (10000 + 8000) + 1,4 (18000 + 0,6  8000) = 57120,0 kN.m = 57,12 MN.m b) Equilíbrio da seção transversal b1) Força de tração resultante:

RT = Rst + Rpt



Armadura passiva:

As = 8  16 = 8  2,0 = 16,00 cm²



Armadura ativa:

Ap = 4  28  15,2 = 4  28  1,40 = 156,80 cm²

Tensões adotadas nas armaduras sd 

fy k 500   434, 78 MPa s 1,15

pd 

fpy k 1710   1486, 96 MPa s 1,15

Rstd = Ap sd = 16,00  (10)-4  434,78  (10)3 = 695,65 kN Rpd = Ap pd = 156,80  (10)-4  1486,96  (10)3 = 23315,53 kN RTd = 695,65 + 23315,53 = 24011,18 kN b2) Área de concreto comprimida: cd  0, 85

fck 30  0, 85  18, 2143 MPa  18214,29 kPa c 1, 4

RTd = Rccd Rccd = Acc  cd  Acc 

Rccd 24011,18   1, 3183 m2 cd 18214, 29

b = bf = 2,40 m y

Acc 1, 3183   0, 5493 m  hf  0, 70 m b 2, 40

x

y 0, 5493   0, 6866 m 0, 8 0, 8

 OK

(LN na mesa )


33

b3) Deformações:

sd 

2,70  0,05  0,6866  3,5  10,01 ‰ ds  x  3,5  x 0,6866

 p 

sd confirmada !

2,70  0,15  0,6866  3,5  9,50 ‰ dp  x  3,5  x 0,6866

pi = 5,0 ‰ pd = p + pi = 9,5 + 5,0 = 14,5 ‰

c) Momento resistente de cálculo (MRd)

y y   MRd  Rstd   zs    Rpd   zp   2 2   0,5493  0,5493    MRd  695,65   2,65    23315,53   2,55   2  2    MRd = 1652,41 + 53050,99 = 54703,40 kN.m = 54,70 MN.m

d) Comparação Msd : MRd Msd = 57,12 MN.m > MRd = 54,70 MN.m

Resposta: A seção não satisfaz o estado limite último.

pd confirmada !


34

4 - TRAÇADO GEOMÉTRICO, PERDAS E ALONGAMENTO

4.1 - Exercício 1 

Desenho esquemático do cabo

Para o cabo acima desenhado determinar: a) A equação geométrica do traçado sabendo-se que os trechos curvos são parábolas do 2º grau com equação  = a ² (tg  = d / d). Determinar a ordenada  da abcissa  = 10 m.

b) As perdas por atrito, alongamento teórico e as perdas por acomodação da ancoragem, com os seguintes dados: · Ap = 12  1,40 = 16,80 cm² · Ep = 200 000 MPa · Aço CP 190 RB :

fptk = 1900 MPa fpyk = 1710 MPa

·  = 0,22 (coeficiente de atrito) · K = 0,01  · w = 3 mm (escorregamento da ancoragem) DADOS COMPLEMENTARES A é uma ancoragem passiva e D é ativa.

Pi = 0,77 fptk ou 0,86 fpyk (o menor valor) Pi = Ap  Pi (força aplicada junto ao macaco) Po(x) = Pi  e -[ + kx]

  2 Yi / li


35

x

 l,x = (1 / Ep Ap)  Po(x) dx : considerar as projeções horizontais e folga de 20 cm em D o ____________ w = w Ep Ap / p  20,00 m , com p = coeficiente angular da reta Po(x) RESOLUÇÃO a) Traçado geométrico Equação da curva AB ou CD :  = a ² , origem em B ou C para  = 20,00   = 2,40 m  a = 2,40 / (20,00)² = 0,006 Equação da curva :  = 0,006 ² para  = 10,00   = 0,6 m para  = 20,00   = 2,40 m d / d = 0,012 

(d / d)D = 0,012  20,00 = 0,24 rd

(13,49º)

b) Perdas por atrito Força inicial de protensão (Pi) 0,77 fptk = 0,77  1900 = 1463 MPa (adotada) 0,86 fpyk = 0,86  1710 = 1470 MPa Pi = Ap  Pi = 16,80  (10)-4  1463  (10)3 = 2457,84 kN ponto D : Po(x=0) = 2457,84 kN

(D)

trecho DC :  = 2  2,40 / 20 = 0,24 rd ponto C : Po(x=20) = 2457,84  e -[0,22  0,24 + 0,01  0,22 20] = 2231,07 kN

(C)

trecho CB :  = 0,24 + 0 = 0,24 rd ponto B : Po(x=30) = 2457,84  e -[0,22  0,24 + 0,01  0,22 30] = 2182,53 kN

(B)

trecho BA :  = 0,24 + 0 + 0,24 = 0,48 rd ponto A : Po(x=50) = 2457,84  e -[0,22  0,48 + 0,01  0,22 50] = 1981,16 kN

(A)


36

DIAGRAMA Po(x)

c) Alongamento teórico Al,total = [1 / 200000  (10)3  16,80  (10)-4 ] [20,0  2081,845 + + 10,00  2206,80 + 20,2  2344,455] = 0,33 m (ou 6,58 mm/m)

d) Encunhamento : p (trecho DC) = 11,338 kN / m _________________________________________ w = 3  (10)-3  200000  (10)3  16,80  (10)-4 / 11,338 = 9,43 m < 20,00 m Po(x=w) = Po(x=9,43) = 2457,84 - 9,43 11,338 = 2350,92 kN Po(x=0) = 2457,84 - 2  9,43 11,338 = 2244,00 kN

 OK

CURSO DE CONCRETO PROTENDIDO REFERÊNCIA: NORMA NBR 6118 / 2003 LUIZ CHOLFE LUCIANA A. S. BONILHA 4.2 - Exercício 2 

Traçado em Elevação:

Para o cabo acima esquematizado, determinar:

a) TRAÇADO GEOMÉTRICO a1) Equação da curva que representa o eixo do cabo no trecho AB. a2) Ordenada do cabo no ponto x = 6,00 m. a3) Ordenada do cabo no ponto x = 12,00 m.

b) PERDAS IMEDIATAS: ATRITO E CRAVAÇÃO b1) Calcular as perdas por atrito. b2) Calcular as perdas por cravação da ancoragem. b3) Traçar o diagrama das perdas.

c) ALONGAMENTO TEÓRICO c1) Calcular o alongamento teórico do cabo.

37


38

DADOS COMPLEMENTARES

Ponto A : ancoragem ativa Ponto F : ancoragem passiva Aço CP 190 RB :

Fptk = 1900 MPa Fpyk = 1700 MPa

Ep = 200 000 MPa

Pi = 0,77 fptk ou 0,86 fpyk

(o menor valor)

Pi = Ap  Pi

 = a  ² Po(x) = Pi  e -[ + Kx] ____________ w = w Ep Ap / p

 = 2 Yi / li (por trecho) w  18,00 m

x

 l,x = (1 / Ep Ap)  Po(x) dx o

· utilizar projeção horizontal para os comprimentos · acrescentar 30 cm em A

 = 0,20 K = 0,01 

w = 6,0 mm Ap = 16,80 cm² RESOLUÇÃO a) Traçado Geométrico

 

 = a ²

Trecho AB:

 = 1,30 - 0,15 = 1,15 m  = 3  6,00 = 18,00 m

a = / 2= 1,15 / (18)2 = 0,00355 Equação da curva no trecho AB :  = 0,00355 ²

CURSO DE CONCRETO PROTENDIDO REFERÊNCIA: NORMA NBR 6118 / 2003 LUIZ CHOLFE LUCIANA A. S. BONILHA Ordenada para x = 12,0 m

Ordenada para x = 6,0 m

39

 = 6,0 m  = 0,128 m yo = 0,15 m

y(x=12) = 0,278 m

 = 12,0 m  = 0,511 m yo = 0,15 m

y(x=6) = 0,661 m

b) Perdas Imediatas b1) Força inicial de protensão (Pi) 0,77 fptk = 0,77  1900 = 1463 MPa 0,86 fpyk = 0,86  1710 = 1470,6 MPa



Pi = 1463 MPa

Pi = Ap  Pi = 16,80  (10)-4  1463  (10)3 = 2457,8 kN b2) Perdas por atrito

Trecho AB

yi = 1,30 - 0,15 = 1,15 m li = 18,00 m

 = 2  1,15 / 18,00 = 0,1278 Trecho BC

(7,3 º)

yi = 0 li = 3,00 m

 = 0 Trecho CD

yi = 1,40 - 0,15 = 1,25 m li = 12,00 m

 = 2  1,25 / 12,00 = 0,2083 Trecho DE

yi = 0,40 m li = 3,00 m

 = 2  0,40 / 3,00 = 0,2667 Trecho EF

(11,9 º)

yi = 0 li = 12,00 m

 = 0

(15,3 º)


40

Variação da força por trecho: Po(x) = Pi  e -[ + Kx]









Pi = 2457,8 kN



 = 0,20 K = 0,01 = 0,002

Ponto A :

x=0

Po(x=0) = 2457,8 kN

Ponto B :

x = 18,00 m

Po(x=18) = 2457,8  e -[0,20  0,1278 + 0,002  18]

 = 0,1278

Po(x=18) = 2311,06 kN

x = 21,00 m

Po(x=21) = 2457,8  e -[0,20  0,1278 + 0,002  21]

 = 0,1278

Po(x=21) = 2297,24 kN

x = 33,00 m

Po(x=33) = 2457,8  e -[0,20  0,3361 + 0,002  33]

 = 0,3361

Po(x=33) = 2151,24 kN

x = 36,00 m

Po(x=36) = 2457,8  e -[0,20  0,6028 + 0,002  36]

 = 0,6028

Po(x=36) = 2027,30 kN

x = 48,00 m

Po(x=48) = 2457,8  e -[0,20  0,6028 + 0,002  48]

 = 0,6028

Po(x=48) = 1979,23 kN

Ponto C :

Ponto D :

Ponto E :

Ponto F :

b3) Perdas por acomodação das ancoragens

Hipótese: w  18,00 m

w = 6,0 mm

p = (2457,8 - 2311,06) / 18,00 = 8,1522 kN / m ____________ w = w Ep Ap / p _________________________________________ w = 6  (10)-3  200000  (10)3  16,80  (10)-4 / 8,1522 = 15,72 m < 18,00 m Po(x=15,72) = Pi - w  p = 2457,8 - 8,1522 15,72 = 2329,65 kN Po(x=0) = Pi - 2  w  p = 2457,84 - 2  8,1522 15,72 = 2201,50 kN

 OK


41

c) Alongamento Teórico do Cabo l = 48,00 + 0,30 = 48,30 m

x

 l,x = (1 / Ep Ap)  Po(x) dx o

Trecho

Po (médio)

l

Po (médio)   l

AB

2384,43

18,30

43635,07

BC

2304,15

3,00

6912,45

CD

2224,24

12,00

26690,88

DE

2089,27

3,00

6267,81

EF

2003,26

12,00

24039,12 ______________  = 107545,33

 l total = [1 / 200000  (10)3  16,80  (10)-4]  107545,33 = 0,32 m  l total = 32,0 cm = 320 mm Alongamento unitário aproximado = 320 / 48,30 = 6,62 mm / m


42

4.3 - Exercício 3 A viga a seguir detalhada, é protendida longitudinalmente com aderência posterior, com 4 cabos de 10 1,2 mm, sendo solicitada, além da protensão, pelos seguintes esforços externos: Mg1 = 1320 kN.m

momento fletor devido ao peso próprio

Mg2 = 3680 kN.m

momento fletor devido aos revestimentos

MQ,max = 3000 kN.m

devido às ações variáveis

Determinar as perdas de protensão no cabo  situado na 2ª camada, devidas à retração e fluência do concreto, sabendo-se que: 1- A força inicial aplicada em cada cabo foi: Pi = - 2048,20 kN 2 - A protensão dos 4 cabos é efetuada em uma única operação aos 21 dias (idades fictícias para a retração = 30 dias e para a fluência = 55 dias)

3 - As forças de protensão atuantes na seção, descontadas as perdas imediatas, são as seguintes: · cabo 1 : Po1 = - 1800 kN · cabo 2 : Po2 = - 1700 kN 4 -  = Ep / Ec28 = 6,50

com Ep = 200 000 MPa


43

5 - Área de 1 cabo de 10  1,2 mm = 14,0 cm²

6 - Idades do concreto nos instantes da aplicação dos carregamentos: t = 21 dias : protensão + g1 t = 30 dias (fictícia) para a retração t = 55 dias (fictícia) para a fluência t = 60 dias : carregamento g2

t = 130 dias (fictícia) para a fluência

7 - Coeficientes para retração e fluência cs (, 30) = -12,0  (10)-5

 (, 55) = 1,88  (, 130) = 1,42 8 - Po = Po / Ap : tensão inicial no aço de protensão, descontadas as perdas imediatas, no instante da protensão (valor > 0)

9 - Expressão para determinação das perdas por retração e fluência (tensão média)

Pc+s = cs(, 30)  Ep +   (, 55)  [c,Po + c,g1] +   (, 130)  c,g2 _______________________________________________________________________________

1 -   [c,Po / c,g1]  [1 + (, 55) / 2] OBS: A expressão acima pode ser aplicada, com os devidos ajustes, para cada um dos dois tipos de cabos.

10 - Perda de força de protensão

P(c+s) = Pc+s  Ap RESOLUÇÃO a) Tensões provocadas pelos carregamentos permanentes na fibra adjacente ao cabo  devido g1 : c,g1 = Mg1  Y,cabo 2 / Ic = 1320  (0,90 - 0,20) / 0,3488 = 2649,08 kPa devido g2 : c,g2 = Mg2  Y,cabo 2 / Ic = 3680  0,70 / 0,3488 = 7385,32 kPa


44

b) Tensões devidas à protensão, na posição do cabo 



4

 Poi = 2  (- 1800 - 1700) = - 7000 kN i=1



4

 Poi  epi = 2  (- 1800  0,80 - 1700  0,70) = - 5260 kN.m i=1

 c,Po = - 7000 / 0,96 - 5260  0,7 / 0,3488 = - 7291,67 - 10556,19 = - 17847,86 kPa c) Tensão Po do cabo 

 Po = - 1700 / 14,0  10-4 = 1214,3 MPa

d) Cálculo das perdas {NUMERADOR} = -12,00 10-5 200 000 000 + 6,50 1,88 (-17 847,86 + 2 649,08) + 6,50 1,42 7 385,32 = - 24 000,00 - 185 729,09 + 68 166,50 = - 141 562,59 kPa {DENOMINADOR} = 1 - 6,50 (- 17 847,86 / 1 214 300,00)  (1 + 1,88 / 2) = 1,185



 Pc+s = - 141 562,59 / 1,185 = - 119 462,10 kPa

e) Perda da força de protensão do cabo 

   P(c+s) = Pc+s  Ap = - 119 462,10  14,0  10-4 = -167,25 kN % de perda: (167,25 / 1700)  100 = 9,83 % Força após fluência e retração = - (1700 - 167,25) = - 1532,75 kN % de perda em relação a Pi: [(2048,20 - 1532,75) / 2048,20]  100 = 25,17 % Resposta: Perda de 25,17 %.

CP 6 - PROTENDIDO CONTEUDO 06 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

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