UNIVERSIDAD ANDRES BELLO FACULTAD DE ECONOMIA Y NEGOCIOS ESCUELA DE INGENIERIA COMERCIAL
FINANZAS CORPORATIVAS Profesor
: R Balbontín
CONSUMO INTERTEMPORAL - MODELO DE UN PERIODO 1) Suponga que se cuenta con los siguientes datos de un individuo cualquiera: Y0=Y1=$500.000, tasa de interés de equilibrio en el mercado de capitales 10%. a) Determine las posibilidades óptimas de consumo de este individuo. b) Grafique señalando el punto crítico que separa una posición acreedora de una deudora. c) Si consume hoy $120.000 y proyecta un consumo mañana de $800.000. ¿Estará realizando un uso eficiente de sus recursos?
Solución: a) Recta Mercado de Capitales o Ecuación Presupuestaria determina todos los posibles puntos de consumo óptimos de un individuo cualquiera: C1 = Y1 + Y0.(1+r) – C0.(1+r) C1 = 500.000 +500.000 .1,1 –1,1.C0 C1= 1.050.000 – 1,1.C0
b) y c)
El área bajo la recta del mercado de capitales determina todas las posibilidades de consumo no óptimas.
Recta del Mercado de Capitales determina to dos los pares de consumos óptimos.
FUTURO
VF Riqueza = 500.000 x 1,1 + 500.000 = 1.050.000
Punto de consumo eficiente Ahorrante
C1=918.000
Punto de consumo no eficiente
C1=800.000
Y1=500.000
Deudor
C0=120.000
Y0=500.000
.
VP Riqueza = 500.000+(500.000/1,1) = 954.545,45
C1 = 1.050.000 - 1,1 C0, reemplazando
C0 = 120.000
C1 = 1.050.000 – 1,1.120.000
C1 = 918.000
Recta del Mercado de Capitales. (Posibilidades de consumo óptimas)
PRESENTE
1
2) Se tiene una función de utilidad dada por U(C 0,C1) y la recta del mercado de capitales dada por C1= Y1 + (Y0-C0).(1+r). Determine la relación de óptimo de consumo para cualquier agente del mercado.
Solución: FUTURO Optimo de consumo se da cuando la pendiente de la curva de utilidad es igual a la pendiente de la recta del mercado de capitales
VF Riqueza
C1
Las preferencias de una persona están determinadas por la Función de Utilidad U(C 0, C 1) Recta del Mercado de Capitales. (Posibilidades de consumo óptimas)
Y1
Pendiente recta = -(1+r) C0
Y0
VP Riqueza
PRESENTE
La relación de óptimo de consumo está dada por:
U
mCURVA UTIL
mRECTA MDO CAP
TMgS
mRECTA MDO CAP
dC1
dC0
C0
U C1
(1 r )
3) Un individuo posee un ingreso de $100 ahora y de $100 posteriormente. Puede pedir prestado o prestar en un mercado financiero a una tasa común de 10%. Además, esta persona tiene preferencias de consumo dada por la expresión: U(C0,C1) = C01/2 .C1 a) Determine las cantidades óptimas de consumo. b) ¿Cuál es el valor presente y futuro de su riqueza? c) Encuentre la estrategia que este individuo debería adoptar en el mercado financiero (debería pedir prestado o prestar). Grafique. d) Que pasa si ahora se puede pedir prestado o prestar en un mercado financiero a dos tasas diferentes. La tasa de ahorro es de 6% y la de endeudamiento de 10%. Grafique.
Solución: = 100 Y0 ra =r=dr = 10%
Y
1
U(C
= 100 1/2 . C1 0,C1) = C0
2
a) Recta Mercado de Capitales o Ecuación Presupuestaria: C1 = Y1 + Y0.(1+r) – C0.(1+r) C1 = 100 +100.1,1 –1,1.C0 C1= 210 – 1,1.C0 U
TMgS m RECTA MDO CAPITALES
1 1 C 0 2 C1 C1 (1 r ) 2 1,1 1,1 C1 2,2 C 0 1 U 2 C0 C 2 0 C1 C 0
C1 = 210 – 1,1.C0, reemplazando C1 = 2,2.C0 2,2.C0 =210 – 1,1.C0 3,3..C0 =210 210 , C0 6364 C0 3,3 C1 140
b) VP Riqueza W0 Y0
Y1
(1 r )
100
C1 100 140 C0 63,64 190,91 1,1 (1 r ) 1,1
VF Riqueza W1 Y0 (1 r ) Y1 100 1,1 100 C0 (1 r ) C1 63,64 1,1 140 210
c) Esta = persona ahorrante (Y 0>C0), por lo tanto debería Ahorro Y0 – Ces Ahorro = 36,36 prestar plata al 10%. 0 = 100-63,64 FUTURO 210
Ahorrante U(63,64;140) = 63,641/2.140 = 1116,85
C1=140
Ahorro inicial más intereses
Y1=100
Deudor Ahorro
C0=63,64
d) = 6% ra
r
d
Y0=100
190 91
PRESENTE
= 10%
3
Recta del Mercado de Capitales o Recta Presupuestaria (Sector Ahorrante) C1 = Y1 + Y0.(1+ra) – C0.(1+ra) C1 = 100 +100.1,06 –1,06.C0 C1= 206 – 1,06.C0 entre [0,100] U
TMgS m RECTA MDO CAPITALES
1 1 C 0 2 C1 C1 (1 ra ) 2 1,06 1,06 1 U 2 C0 C0 2 C 0
C1 2,12 C0 entre [0,100]
C1
C1 = 206 – 1,06.C0, reemplazando C1 = 2,12.C0 2,12.C0 =206 – 1,06.C0 3,18.C0 =206 206 C0 64 ,78 C1 137 ,33 C0 3,18 W0 Y0
Y1
(1 rd )
100
C1 100 140 C0 63,64 190,91 1,1 (1 rd ) 1,1
W1 Y0 (1 ra ) Y1 100 1,06 100 C 0 (1 ra ) C1 64,78 1,06 137,33 206 Esta persona es ahorrante (Y 0>C0), por lo tanto debería prestar plata al 6%. Ahorro = Y0 – C0 = 100-64,78 Ahorro = 35,22 FUTURO
Recta con tasa del 6% 206
Ahorrante U(64,77;137,33) = 64,771/2.137,33 = 1105,23
C1=137,33 Y1=100
Deudor Recta con tasa del 10%
Ahorro
C0=64,78
Y0=100
190 91
PRESENTE
4) Se tiene la siguiente función de utilidad U(C0,C1) = 2.000 + C 01/2 .C11/4 de un individuo X. Se esperan ingresos de $2.000 para el momento 0 y de $2.500 para el momento 1.La tasa de interés del mercado de capitales es 5,26%.
4
a) b) c) d)
Determine la recta del mercado de capitales o ecuación presupuestaria. Calcular C0 y C1 óptimos. Determine si esta persona es ahorrante o deudor. Grafique. Determine C0 y C1 óptimos, si ahora U(C 0,C1) = 2.500 + C01/2 .C11/4.
Solución: Y0= 2.000 Y 1= 2.500 r a =rd = r = 5,26% U(C 0,C1) = 2.000 + C01/2 .C11/4 a) Recta Mercado de Capitales o Ecuación Presupuestaria: C1 = Y1 + Y0.(1+r) – C0.(1+r)
C1 = 2.500 +2.000 .1,0526 –1,0526.C0
C1= 4.605,2 – 1,0526.C0
Recta del Mercado de Capitales o Recta Presupuestaria
U
b) TMgS m RECTA
1 1 1 C 0 2 C1 4 2C1 2 (1 r ) 1,0526 1,0526 1 1 3 U C0 C1 4 C 0 2 4 C1
C 0
MDO CAP
C1 0,523 C0 C1 = 4.605,2 – 1,0526.C0, reemplazando C1 = 0,5263.C0 en la recta presupuestaria: 4.6052 , C0 0,5263.C0 =4.605,2 – 1,0526.C0 1,5789.C0 =4.605,2 1,5789 C0 2 916 . 71 , C1 153 . 5 07 , VP Riqueza W0 Y0
Y1
(1 r )
2.000
C1 2.500 1.535,06 C0 2.916,71 4.375,07 1,0526 (1 r ) 1,0526
VF Riqueza W1 Y0 (1 r ) Y1 2000 1,1 2.500 C0 (1 r ) C1 4.605,2 c) Esta persona es deudor (Y 0
Pago de la deuda con intereses
Ahorrante
Y1=2.500
Deudor C1=1.535,06
U(2.916,71; 1.535,06) = 2000 + 2.916,711/2.1.535,061/4 U(2.916,71; 1.535,06) = 2.338,05
Deuda
Y0=2.000
C0=2.916,71
4.375 07
PRESENTE
5
d) Llegará a los mismos consumos óptimos que en la letra b), porque los exponentes de la función de utilidad no han cambiado (C 01/2.C11/4), sólo ha cambiado una constante. Esta es irrelevante para la determinación de los consumos óptimos, ya que al calcular la Tasa Marginal de Sustitución, las derivadas de la Utilidad no se ven afectadas con la constante.
5) Se tiene la siguiente función de utilidad: 1
1
U (C 0 , C1 ) C 0 4 C1 6
Una dotación inicial de 1.800 miles de pesos y una función de transformación o de posibilidades de producción dada por: F1 90 I o 100 La tasa de interés del mercado de capitales es de 10%. Determine y grafique: a) Inversión óptima. b) Flujo que genera la inversión. c) Retorno marginal y retorno promedio de la inversión. d) VAN e) Riqueza final en cero. f) Consumos óptimos. g) Valor de la deuda o inversión que permiten alcanzar los consumos anteriores.
Solución: Y0 = 1.800 Riqueza hoy sin invertir en factores productivos. Riqueza mañana sin invertir en factores productivos. Y1 = 0 Función de Transformación: F1 90 I o 100 r = 10% Y1 0 VP Riqueza sin Inversión W0 Y0 1800 1800 1 r 1,1
VF Riqueza sin Inversión W1 Y0 (1 r ) Y1 1800 1,1 0 1980 a) El óptimo de inversión se da cuando la curva de posibilidades de producción es tangente a la recta del mercado de capitales, es decir, se puede expresar matemáticamente: TMgT m RECTA MDO CAP
dF1 dI 0
(1 r )
90 2 I0
2
45 1,1 I 0 I0 1,1
45
I 0 1673,55 Inversión óptima hoy (año 0).
b) F1 90 1673,55 100 F1 3781,81 La inversión reditúa o entrega un flujo en el futuro (año 1) de 3781,81 (miles de $). c) El retorno marginal corresponde a la tasa de retorno que me reporta la inversión del último proyecto en factores productivos (se invierte en factores productivos hasta que el
6
último proyecto me entrega lo mismo que el mercado de capitales), porque el siguiente proyecto me entrega menos y me convendría invertir en el mercado de capitales. Luego el retorno marginal es igual a la tasa del mercado de capitales, igual a 10%. El retorno promedio de la inversión o Tasa Interna de Retorno (TIR) es el retorno que me entrega el flujo futuro de la inversión respecto de ella. F F0 3781,81 1673,55 Re torno Pr omedio Inversión 1 1,2598 125,98% F0 1673,55 d) El VAN de la inversión corresponde al aumento de riqueza presente producto de la inversión en factores productivos. Sea W0: VP Riqueza sin invertir en factores productivos. W0*: VP Riqueza después de invertir en factores productivos.
VAN Inversión Riqueza W0* W0 VAN Inversión I 0
Por lo tanto,
F1
1 r
1.673,55
3.781,81 1.764,46 1,1
VAN Inversion 1.764,46
e) La riqueza final en cero es el VP riqueza una vez que invertí en factores productivos. Riqueza Final hoy = VP Riqueza sin Invertir en factores productivos + VAN Inversión W0* = W0+ VAN = 1.800 + 1.764,46 = 3.564,46 1
1
f) Función de Utilidad: U (C 0 , C1 ) C 0 4 C1 6 El óptimo de consumo se da: U
TMgS m RECTA MDO CAP
C1
1 1 3 C 0 4 C1 6 6 C1 3 C1 4 (1 r ) 1,1 5 1 1 U 4 C0 2 C0 C 0 4 C1 6 6 C1
C 0
2,2 C0 3
Después de invertir en factores productivos, se desplaza la recta del mercado de capitales:
C1 W0 (1 r ) (1 r ) C0 C1 = 3.564,46x1,1 - 1,1.C0 C1= 3.920,91 – 1,1.C0
Recta del Mercado de Capitales desplazada.
.
C1 = 3.920,91 – 1,1 C0, reemplazando C1 = (2,2/3).C0 en la recta presupuestaria: 7
(2,2/3).C0 = 3.920,91 – 1,1.C0 C0
3.920,91 3 5,5
(5,5/3).C0 = 3.920,91 C 0 2.138,68
C1 1.568,36
g) Esta persona es deudor (C0 > Riqueza Disponible), por lo tanto debería pedir prestado plata al 10%. Deuda =C0 – Riqueza Disponible = C0 – P0 = 2.138,68 – 126,45 Deuda = 2.012,23 Año 1
W1* = W0*x1,1 = 3.920,905 3918 38 3781,81
Pago de la Deuda más Intereses = 2.012,23x1,1 = 2.213,45
Recta del mercado de capitales desplazada producto de invertir en factores productivos.
W1 = 1980 C1 = 1.568,36
Flujo que reditúa o entrega la inversión en el año 1 F1 = 3781,81
Deuda
100
Recta del mercado de capitales sin invertir en
Riqueza disponible = 126,45
factores productivos.
W0=1800
C0 = 2.138,68
W0* = 3.564,46
Año 0
Inversión = 1673,55 Aumento Riqueza o VAN Inversión = 1.764,46
6) Suponga que el aporte de los accionistas es de UF 1.000 a través de 500 acciones para un conjunto de proyectos que requieren de una inversión de UF 1.500, cuya rentabilidad media es de 15%. Además suponga que la tasa del mercado es de 8%. Por otro lado, esta empresa no paga dividendos en 0. Determine: a) N° de acciones a emitir y precio de cada acción emitida b) Rentabilidad que obtendrán los nuevos accionistas c) ¿Qué sucedería si la empresa en vez de emitir acciones pide prestado los recursos que le faltan para los proyectos?
Solución: X=o UF 1.000
n =o500 acciones
I
0
= UF 1.500
TIR = 15% r = 8% Div0 = 0 a) La empresa posee un patrimonio inicial de UF1.000, a través de 500 acciones. Hoy no se reparten dividendos.
8
X0
1.000 UF 2 500 n0 Se invierte UF1.500 en proyectos que generan una rentabilidad media de 15%. El precio inicial de cada acción hoy antes de invertir es de P0
F1 I 0 (1 TIR) 1.500 1,15 UF1.725 VAN I 0
F1
(1 r )
1.500
1.725 .1500 1.597,22 UF 97,22 1,08
El VAN de la inversión en proyectos lo ganan los accionistas, y eso se ve reflejado en un aumento en el precio de las acciones que ellos poseen. El nuevo precio será de P0 .
Existe además un Déficit = (X 0 – I0) = 1.000-1.500 = UF500. Este déficit se financia con emisión de nuevas acciones. Luego el monto a emitir es E0 UF 500 m0 P0 . Sea m0: Número de acciones nuevas a emitir. El patrimonio final después de invertir en proyectos, financiando el déficit con emisión de nuevas acciones es: X 0 X 0 VAN E0 (n0 m0 ) P0
X 0 1.000 97,22 500 1.597,22 (500 m0 ) P0
1.597,22 500 P0 m0 P0 1.597,22 500 P0 E0 1.597,22 500 P0 500 (1.597,22 500) 1.097,22 P0 P0 UF 2,194 500 500 E0 UF 500 m0 P0 m0
500 227,894 . Emitir 227,894 acciones nuevas. 2,194
Balance Económico Empresa en t = 0 (emitiendo acciones)
ACTIVOS (UF)
PASIVOS (UF)
Activos de Inversión (I0)
1.500
VAN
97,22
TOTAL Valor Empresa: Ve
1.597,22 F1
(1 r )
Deuda
0,0 (X0*):
Patrimonio Aporte Inicial VAN Emisión Nuevas acciones
1.000 97,22 500
TOTAL
1.597,22
1.725 UF 1.597,22 1,08
b) Sabemos a priori, bajo los supuestos del modelo de 2 períodos, que la rentabilidad del accionista será la rentabilidad del mercado de capitales, es decir, 8%.
9
Precio de las acciones en el futuro: P1 Luego: Re ntabilidad accionista
X 0 (1 r )
(n0 m0 )
P1 P0 P0
1.597,22 1,08 P1 UF 2,37 (500 227,894)
(2,37 2,194) 0,176 0,08 8% 2,194 2,194
c) Si la empresa financia el déficit emitiendo deuda, entonces el balance económico de la empresa será: Balance Económico en t = 0 (Emitiendo Deuda)
ACTIVOS (UF)
PASIVOS (UF)
Activos de Inversión (I0) VAN
P0
Deuda (B)
500 (X0*):
97,22
TOTAL X 0
1.500
1.597,22
Patrimonio Aporte Inicial VAN
1.000 97,22
TOTAL
1.597,22
F1 B0 (1 r ) (1.725 500 1,08) (1.725 540) 1.185 (1 r ) X 0 n0
1,08
1,08
1,08
UF1.097,22
1.097,22 UF 2,194 500
P1 X 1 ( F1 B0 (1 r )) (1725 500 1,08) UF 2,37 n0 n0 500
Luego se puede concluir que la rentabilidad que obtiene el accionista, cuando la empresa emite deuda es 8%. Además la riqueza final o valor final de la empresa es la misma (UF 1.597), emitiendo acciones nuevas o emitiendo deuda. 7) La empresa "BARMAN FORBEBER" constituida inicialmente por un millón de acciones, sin deuda, posee una riqueza inicial de 2,5 millones de UF. Tiene a su disposición el siguiente conjunto de oportunidades de inversión, expresado a través de la siguiente función (en millones de U.F.): F1 28I 0 Considerando una tasa de interés de mercado de 6%. Determine: a) La inversión óptima, el VAN de los proyectos y el valor presente de la empresa. b) Si la empresa externo necesitavía recursos para llevar a cabo la inversión óptima, recurre a financiamiento deuda. En este contexto determine: Balance económico de la empresa a t = 0 y riqueza de los accionistas.
10
c) Suponga ahora, que la empresa reparte el 100% de los recursos srcinales de los accionistas como dividendos (en t = 0), financiando todo los recursos necesarios, tanto para los dividendos como para la inversión óptima, con 50% de deuda y 50% con emisión de acciones. Determine lo solicitado en la parte b).
Solución: F1 28 I 0 ,
a)
Y0 2,5 ,
r=6%
Óptimo de inversión con mercado de capitales : TMT = -(1+r)
dF1 28 1 28 1 2 2 TMT dI 0 2 28 I 0 2 I 1,06 4 I 0 1,06 0 I0
7 7 6,23 1,06 2 1,1236
F1 28 6,23 13,2075 VAN Pr oyectos I 0
Inversión Optima: I 0 6,23
F1 13,2075
F1 13,2075 6,23 6,23 (1 r ) 1,06
VAN 6,23
El VAN de los proyectos lo ganan los antiguos accionistas, porque ellos tomaron la decisión de invertir en los proyectos. Valor Empresa
F1
(1 r )
13,2075 12,46 1,06
Valor Empresa 12,46
11
b) Si la empresa necesita recursos para llevar a cabo la inversión óptima, recurre a financiamiento externo vía deuda. En este contexto determine: Balance económico de la empresa a t = 0 y riqueza de los accionistas. X0*: Patrimonio Total X antiguos accionistas: Patrimonio de los antiguos accionistas X nuevos accionistas: Patrimonio de los nuevos accionistas W antiguos accionistas: Riqueza de los antiguos accionistas W nuevos accionistas: Riqueza de los nuevos accionistas
Sea
X 0* X antiguos accionistas X nuevos accionistas X 0*
( X 0 VAN )
0
X
(2,5 6,23)
0
* 0
X0*: Patrimonio Total
X 0* X antiguos accionistas Wantiguos accionistas 8,73
P0 X 0 I 0* 2,5 6,23 3,73 P0 3,73
Déficit financiero se financia con deuda
Deuda 3,73
Déficit financiero se financia con emisión de deuda al 6%.
c) Suponga ahora, que la empresa reparte el 100% de los recursos srcinales de los accionistas como dividendos (en t = 0), financiando todo los recursos necesarios, tanto para los dividendos como para la inversión óptima, con 50% de deuda y 50% con emisión de acciones. Determine lo solicitado en la parte b). Si se reparten dividendos por el 100% de los recursos srcinales, quiere decir que se repartieron todo el patrimonio inicial de 2,5 millones de UF en dividendos para los accionistas antiguos. Div0 2,5 P0 3,73
Déficit financiero de la inversión
Deficit Financiero Div0 P0 2,5 3,73 6,23 Se financia con 50% deuda y 50% emisión de acciones nuevas
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Deuda 3,115
E 0 m P0* 3,115
X 0* X antiguos accionistas
* E0: Monto a emitir con “m” acciones nuevas a precio P 0
X nuevos accionistas
X 0* ( X 0 Div0 VAN )
X 0*
(2,5 2,5 6,23)
X 0* 9,345
X0*: Patrimonio Total
E0
3,115
X antiguos accionistas 6,23
Wantiguos accionistas X antiguos accionistas Div0 6,23 2,5 8,73 X nuevos accionistas Wnuevos accionistas 3,73 X 0 (n0 m) P0* n0 P0* m P0* n0 P0* E0
9,345 1.000.000 P0* 3,115 P0* 0,00000623 millones UF 6,23 UF
n0: N° de acciones antiguas m: N° de acciones nuevas a emitir P0*: Precio de cada acción emitida
Como E0 3,115 m P0* m 0,00000623 m 500.000 acciones nuevas.
Déficit financiero se financia con 50% deuda y 50% emisión de acciones nuevas.
Conclusiones: Por lo tanto, el valor de la empresa no cambia independiente de como se financie la inversión en proyectos. La riqueza de los accionistas antiguos no cambia independiente de cómo se financie el proyecto y si se reparten o no dividendos (irrelevancia de la política de dividendos).
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