Condición de rigidez:: E A L F E A L F

Ingeniería Mecánica

Resistencia de Materiales

Sergio José Rojas Fernández

ΣϑΡΦ

1

PROBLEMAS DE DEFORMACIÓN 1.- Una estructura simétrica ue c!nsiste en tres "arras articu#a$as esta car%a$a c!n una &uer'a P. e# (n%u#! ente #as "arras inc#ina$as ) #a *!ri'!nta# es + ,  . La $e&!rmaci/n unitaria a0ia# es #a "arra centra# es $e .2 34a#!r me$i!5. Determine e# es&uer'! $e tensi/n en #as "arras #atera#es si est(n *ec*as c!n una a#eaci/n $e a#umini! cu)! $ia%rama es&uer'! $e&!rmaci/n unitaria es e# $e #a &i%ura.

Condición de rigidez: δ CD

Sen500

=

∑ Fx =

0:

δ BD

Cos α ⋅ F CD

⇒ δ CD = 0.766δ BD

− Cos α ⋅ F AD = 0 ⇒ F CD = F AD

∑ Fy = 0 :

+ Senα ⋅ F CD + Senα ⋅ F AD= P F BD + 2 ⋅ Senα ⋅ F CD = P F BD + 1.5321 ⋅ F CD = P F BD

δ CD

F CD * LCD A * E LCD * F CD

Senα =

=

= 0.766 *

F CD * L

&

A * E

δ BD

F BD * L BD A * E

= 0.766 * L BD * L BD

L BD LCD

⇒

L BD

= LCD * Senα

=

F BD * L BD A * E


E BD

= δ BD = 0.049

⇒

L BD

LCD * F CD

F CD


δ BD

= 0.049 * L BD


⇒ δ CD

ΣϑΡΦ

2

= 0.766 (0.049 * L BD )

= 0.766 * LCD * Senα * F BD

= 0.5868 * F BD

Susiu!endo "ued#:

F BD

(

)

+ 1.5321* 0.5868 * F BD =

F BD + 0.899 * F BD $nonces: F BD F CD F CD

P

= P

= 0.5266 P = 0.5868( 0.5266 * P ) = 0.309 * P

Susiu!endo: 0.0375 * L BD

E CD

=

E CD

= 0.0375 *

LCD

=

0.0375 L BD

LCD

LCD * Senα

LCD

= 0.03

%or# con $ nos '#(os # di#gr#(# es+uerzo de+or(#ción uni#ri# ! ,usc#(os e es+uerzo corres-ondiene -#r# # de+or(#ción o,enid#: σ

= 30ksi

6.- L!s $at!s $e #a ta"#a ane0a se !"tu4ier!n en una 7rue"a $e tensi/n $e un acer! $e a#ta resistencia. La 7r!"eta $e 7rue"a tiene un $i(metr! $e . in ) una #!n%itu$ ca#i"ra$a $e 6. in. E# a#ar%amient! t!ta# entre #as marcas $e ca#i"raci/n en #a &ractura &ue $e .16 in ) # m8nim! &ue $e .6 in. 9race #a cur4a n!mina# es&uer'! $e&!rmaci/n unitaria 7ara e# acer! ) $etermine: e# #imite $e 7r!7!rci!na#i$a$; e# m!$u#! $e e#astici$a$; e# es&uer'! $e &#uencia 7ara un c!rrimient! $e .1<; e# es&uer'! u#tim!; e# 7!rcenta=e $e a#ar%amient! en 6.in ) #a re$ucci/n 7!rcentua# $e# (rea. ε

P Lb

σ psi

0,0002

1000

500000

0,0006

2000

1000000

0,0019

6000

000000

0,00

10000

5000000



0,009

12000

6000000

0,00!

12900

6!50000

0,00!"

1!00

6"00000

0,005!

1600

6#00000

0,006

1#00

6900000

0,009

1!000

"000000

0,0102

1!!00

"200000

0,01

15200

"600000

0,02

16#00

#!00000

0,06

1#!00

9200000

0,050"

20000

10000000

0,110#

22!00

11200000

$ract%ra

22600

1100000

%)

,) $ (ie de -ro-orcion#id#d σ PL

c)


= 6 .7 Mpa # un ##rg#(ieno de: 0.0042 in

ΣϑΡΦ






ΣϑΡΦ

!

/e c#cuo de # -endiene en e seg(eno reco de # gr#+ic# #rri,# en or# esc## o,ene(os e (oduo de e#sicid#d E = 1 ⋅ 10 9 pa

d) c#cuo de e es+uerzo de +uenci# -#r# un corri(ieno de 0.1

#r# ese c#cuo se r#z# un# -#r#e# # # sección (#s rec# de # gr#+ic# con un origen en e cu# # de+or(#ción es de 0.1 e"ui'#ene # 0.0001 in.  co(o resu#do no d# "ue e es+uerzo de +uenci# es igu# # i(ie de -ro-orcion#id#d o cu# nos r#i+ic# o dico en os i,ros "ue -#r#




ΣϑΡΦ

5

(#eri#es co(o e #cero e i(ie de -ro-orcion#id#d es c#si igu# o e (is(o "ue e es+uerzo de +uenci#. =

σ y

6.7 Mpa.

e) $s+uerzo ui(o. σ

= 11.2-#

U

>.- Una 7r!"eta $e #at/n $e 1 mm $e $i(metr! se 7rue"a a tensi/n usan$! una #!n%itu$ ca#i"ra$a $e  mm. Cuan$! #a car%a $e tensi/n P a#can'a un 4a#!r $e 6 ?N; #a $istancia entre #as marcas ca#i"ra$a se *a incrementa$! .166 mm. a5 Cua# s e# m!$u#! $e e#astici$a$ E $e# Lat/n@; "5 si e# $i(metr! $ecrece .> mm; cua# es #a ra'/n $e P!iss!n@

P = δ

20 KN

= 0.122 mm

δ =

P * L A * E

⇒ E =

P * L A * δ

3

E =

20 ⋅ 10 * 50 ⋅ 10 π

−3

0.122 ⋅ 10

−3

2

* ( 0.1) *

4

E = 1.044Gpa

υ

= −

ε y

=

ε X

=

υ

ε y ε x

0.00830 10 0.122

= −

50

= 0.00083

= 0.00244

0.00083 0 .00244

υ = 0.34




ΣϑΡΦ

6

.- Un 7e$esta# AB $e c!ncret! $e secci/n trans4ersa# cua$ra$a 4aria"#e tiene a#tura L. Las secci!nes trans4ersa#es arri"a ) a"a=! tienen anc*! " ) 6"; res7ecti4amente. a5 !"ten%a una &!rmu#a 7ara e# ac!rtamient!  $e# 7e$esta# s!meti$! a una car%a P $e c!m7resi/n 3$es7recie e# 7es! $e# 7e$esta#5. "5 ca#cu#e a# ac!rtamient! si L , ; " , .m; P , 1 ?N ) e# m!$u#! $e e#astici$a$ $e E $e# c!ncret! es $e 6 Pa.

P ( y ) dy

∫ ds = ∫ A( y ) E δ

b−b

( ) dy A( y ) E

= ∫ 0 P y L

by =

by = by

A( y )

(b

2

+

L b ( L − y ) 2

2 L 2 Lb

=

2 =

by −

L

b ( L − y )

−

= by 2

b

+

2

=

− by

by 2

L − y

b 2

bL 2 L

−

by 2 L

+

b 2

=

b−

by 2 L

2 L 2

 2 Lb − by  = ( 2 Lb − by ) A( y ) =   4 L  2 L 

2

2

δ = ∫

L

0

P 4 L2 dy

( 2lb − by ) E

#ciendo:

2

2

=

4 PL

E

dy

L

∫ ( Lb − by ) 0

2

2


u

=



ΣϑΡΦ

"

− by

2 Lb

du

= −bdy

dy

=−

2

⇒

du b

δ

= − 4 Pl Eb

L

∫ 0

du u2

negr#ndo: δ

=−

Eb 2

δ

δ

=

=

L

− 1  =  u  0

4 PL2

4 PL

Eb

4 PL2 Eb

1 − 1   Lb 2 Lb 

⋅

3

4 * 1800 10 4

⋅

9

24 10 * 0.8

*

1 2

L

 1      2 Lb − by  0

: enonces:

 enoces

δ

=

4 Pl

Eb

δ

1      2 L 

= 0.00075

.- Un marc! rectan%u#ar $e anc*! " ) a#tura >" esta articu#a$! en c s!7!rta$! en A ) D 7!r a#am"res 4ertica#es i$éntic!s ) car%a$! 7!r una &uer'a inc#ina$a P ue acta en B. E# $i(metr! $e #!s a#am"res es $e 6 mm. Si #!s es&uer'!s $e tensi/n en #!s a#am"res $e"i$! a #a car%a P n! $e"en e0ce$er $e 66 MPa; cua# es #a car%a m(0ima 7ermisi"#e P@ Des7recie cua#uier $e&!rmaci/n $e# marc!.

Se ,usc# e nguo : α

3  = #rc#n g    = 36 .86  4 

∑ Fy =

F A − F B

0

0:

+ C  − P * senα = 0

∑ Fx = 0 P cos α − C x

∑ M! =

=0

0

− 4bF A + 4bPsenα − 3bF b = 0




ΣϑΡΦ

#

+ 4 F A = 4 Psenα

3 F b

Condición de rigidez: δ A

=

4b

δ B

δ A

3b

F A * L

=

δ B

A * E

=

F B * L A * E

Susiu!endo en # ecu#ción de rigidez. F A * L F b * L F A F B A * E A * E =

⇒

4b

3b

=

4

3

or condición de resisenci#: σ A

=

F A

σ B

A

=

F B A

ero de # condición de rigidez ene(os: F B

=

3 4

F A

$nonces: π

( ⋅

F A

= σ * A ⇒ F A = 220 ⋅ 10

F A

= 691 .15 N ⇒ F B = 518 .36 N

6

*

4

* 2 10

−3

)

2

Susiu!endo #s +uerz#s en # ecu#ción de e"uii,rio:

P =

3 F B

+ 4 F A

4 * Senα

=

3 * 518.36

+ 4 * 691.15

4 * Sen( 36.86 )



enonces:

1800 N P MAX =

G.- Una "arra circu#ar s/#i$a $e a#umini! se a=usta $entr! $e un tu"! $e c!"re $e #a misma #!n%itu$. E# $i(metr! e0teri!r $e# tu"! $e c!"re es $e  mm ) e# $i(metr! interi!r es $e  mm. E# $i(metr! $e #a "arra $e a#umini! es $e 6 mm. En ca$a e0trem! $e# c!n=unt!; un 7asa$!r met(#ic! $e  mm $e $i(metr! 7asa a tra4és $e am"as "arras a (n%u#!s rect!s c!n




ΣϑΡΦ

9

e# e=e. Encuentre e# es&uer'! c!rtante 7r!me$i! en #!s 7asa$!res si #a tem7eratura se e#e4a a 6. 3E a#umini! ,  Pa; + a#umini! , 6>H1-G CJ 7ara e# c!"re: E , 16 Pa ) + , 1H1-G C5

 ; 200C %< ;23*10=6 >0C $%<;70 ?-# Cu ;17*10=6 >0C $Cu ; 120 ?-# Condicion de rigides: "

δ AL

" = δ CU

AL

AL

δ " = δ ∆" + δ Fal = α * ∆" * L +

Cu

Cu

F AL * L

δ " = δ ∆" − δ F!u = α * ∆" * L −

A * E

F CU * L A * E

gu##ndo #s ecu#ciones #neriores: α * ∆" * L +

F AL * L A * E

= α * ∆" * L −

F CU * L A * E

Susiu!endo ei(in#do ! o-er#ndo '#ores nos "ued#:

⋅

4 . 6 10

−4

+ 1.031 ⋅ 10 −8 * F AL = 3.4 ⋅ 10 −4 − 2.234 ⋅ 10 −8 − 2.234 ⋅ 10 −8 F CU

Condición de e"uii,rio:

∑ Fx =

0

:

Susiu!endo: @%< ; =5586.6 A @CB ; =2793.3 A

2 F CU

=

F AL


AL

τ

=

F AL

5586.6

=

2 A


2*

π 4

AL

= 56 Mpa

CU

=

τ

τ

F CU 4 A

( 0.008)

2793.3

= 4*

π 4

CU τ

= 14 Mpa

2

( 0.008)

2


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10

Condición de rigidez:: E A L F E A L F

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