Ingeniería Mecánica
Resistencia de Materiales
Sergio José Rojas Fernández
ΣϑΡΦ
1
PROBLEMAS DE DEFORMACIÓN 1.- Una estructura simétrica ue c!nsiste en tres "arras articu#a$as esta car%a$a c!n una &uer'a P. e# (n%u#! ente #as "arras inc#ina$as ) #a *!ri'!nta# es + , . La $e&!rmaci/n unitaria a0ia# es #a "arra centra# es $e .2 34a#!r me$i!5. Determine e# es&uer'! $e tensi/n en #as "arras #atera#es si est(n *ec*as c!n una a#eaci/n $e a#umini! cu)! $ia%rama es&uer'! $e&!rmaci/n unitaria es e# $e #a &i%ura.
Condición de rigidez: δ CD
Sen500
=
∑ Fx =
0:
δ BD
Cos α ⋅ F CD
⇒ δ CD = 0.766δ BD
− Cos α ⋅ F AD = 0 ⇒ F CD = F AD
∑ Fy = 0 :
+ Senα ⋅ F CD + Senα ⋅ F AD= P F BD + 2 ⋅ Senα ⋅ F CD = P F BD + 1.5321 ⋅ F CD = P F BD
δ CD
F CD * LCD A * E LCD * F CD
Senα =
=
= 0.766 *
F CD * L
&
A * E
δ BD
F BD * L BD A * E
= 0.766 * L BD * L BD
L BD LCD
⇒
L BD
= LCD * Senα
=
F BD * L BD A * E
Ingeniería Mecánica
E BD
= δ BD = 0.049
⇒
L BD
LCD * F CD
F CD
Resistencia de Materiales
δ BD
= 0.049 * L BD
Sergio José Rojas Fernández
⇒ δ CD
ΣϑΡΦ
2
= 0.766 (0.049 * L BD )
= 0.766 * LCD * Senα * F BD
= 0.5868 * F BD
Susiu!endo "ued#:
F BD
(
)
+ 1.5321* 0.5868 * F BD =
F BD + 0.899 * F BD $nonces: F BD F CD F CD
P
= P
= 0.5266 P = 0.5868( 0.5266 * P ) = 0.309 * P
Susiu!endo: 0.0375 * L BD
E CD
=
E CD
= 0.0375 *
LCD
=
0.0375 L BD
LCD
LCD * Senα
LCD
= 0.03
%or# con $ nos '#(os # di#gr#(# es+uerzo de+or(#ción uni#ri# ! ,usc#(os e es+uerzo corres-ondiene -#r# # de+or(#ción o,enid#: σ
= 30ksi
6.- L!s $at!s $e #a ta"#a ane0a se !"tu4ier!n en una 7rue"a $e tensi/n $e un acer! $e a#ta resistencia. La 7r!"eta $e 7rue"a tiene un $i(metr! $e . in ) una #!n%itu$ ca#i"ra$a $e 6. in. E# a#ar%amient! t!ta# entre #as marcas $e ca#i"raci/n en #a &ractura &ue $e .16 in ) # m8nim! &ue $e .6 in. 9race #a cur4a n!mina# es&uer'! $e&!rmaci/n unitaria 7ara e# acer! ) $etermine: e# #imite $e 7r!7!rci!na#i$a$; e# m!$u#! $e e#astici$a$; e# es&uer'! $e uencia 7ara un c!rrimient! $e .1<; e# es&uer'! u#tim!; e# 7!rcenta=e $e a#ar%amient! en 6.in ) #a re$ucci/n 7!rcentua# $e# (rea. ε
P Lb
σ psi
0,0002
1000
500000
0,0006
2000
1000000
0,0019
6000
000000
0,00
10000
5000000
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0,009
12000
6000000
0,00!
12900
6!50000
0,00!"
1!00
6"00000
0,005!
1600
6#00000
0,006
1#00
6900000
0,009
1!000
"000000
0,0102
1!!00
"200000
0,01
15200
"600000
0,02
16#00
#!00000
0,06
1#!00
9200000
0,050"
20000
10000000
0,110#
22!00
11200000
$ract%ra
22600
1100000
%)
,) $ (ie de -ro-orcion#id#d σ PL
c)
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= 6 .7 Mpa # un ##rg#(ieno de: 0.0042 in
ΣϑΡΦ
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!
/e c#cuo de # -endiene en e seg(eno reco de # gr#+ic# #rri,# en or# esc## o,ene(os e (oduo de e#sicid#d E = 1 ⋅ 10 9 pa
d) c#cuo de e es+uerzo de +uenci# -#r# un corri(ieno de 0.1
#r# ese c#cuo se r#z# un# -#r#e# # # sección (#s rec# de # gr#+ic# con un origen en e cu# # de+or(#ción es de 0.1 e"ui'#ene # 0.0001 in. co(o resu#do no d# "ue e es+uerzo de +uenci# es igu# # i(ie de -ro-orcion#id#d o cu# nos r#i+ic# o dico en os i,ros "ue -#r#
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5
(#eri#es co(o e #cero e i(ie de -ro-orcion#id#d es c#si igu# o e (is(o "ue e es+uerzo de +uenci#. =
σ y
6.7 Mpa.
e) $s+uerzo ui(o. σ
= 11.2-#
U
>.- Una 7r!"eta $e #at/n $e 1 mm $e $i(metr! se 7rue"a a tensi/n usan$! una #!n%itu$ ca#i"ra$a $e mm. Cuan$! #a car%a $e tensi/n P a#can'a un 4a#!r $e 6 ?N; #a $istancia entre #as marcas ca#i"ra$a se *a incrementa$! .166 mm. a5 Cua# s e# m!$u#! $e e#astici$a$ E $e# Lat/n@; "5 si e# $i(metr! $ecrece .> mm; cua# es #a ra'/n $e P!iss!n@
P = δ
20 KN
= 0.122 mm
δ =
P * L A * E
⇒ E =
P * L A * δ
3
E =
20 ⋅ 10 * 50 ⋅ 10 π
−3
0.122 ⋅ 10
−3
2
* ( 0.1) *
4
E = 1.044Gpa
υ
= −
ε y
=
ε X
=
υ
ε y ε x
0.00830 10 0.122
= −
50
= 0.00083
= 0.00244
0.00083 0 .00244
υ = 0.34
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.- Un 7e$esta# AB $e c!ncret! $e secci/n trans4ersa# cua$ra$a 4aria"#e tiene a#tura L. Las secci!nes trans4ersa#es arri"a ) a"a=! tienen anc*! " ) 6"; res7ecti4amente. a5 !"ten%a una &!rmu#a 7ara e# ac!rtamient! $e# 7e$esta# s!meti$! a una car%a P $e c!m7resi/n 3$es7recie e# 7es! $e# 7e$esta#5. "5 ca#cu#e a# ac!rtamient! si L , ; " , .m; P , 1 ?N ) e# m!$u#! $e e#astici$a$ $e E $e# c!ncret! es $e 6 Pa.
P ( y ) dy
∫ ds = ∫ A( y ) E δ
b−b
( ) dy A( y ) E
= ∫ 0 P y L
by =
by = by
A( y )
(b
2
+
L b ( L − y ) 2
2 L 2 Lb
=
2 =
by −
L
b ( L − y )
−
= by 2
b
+
2
=
− by
by 2
L − y
b 2
bL 2 L
−
by 2 L
+
b 2
=
b−
by 2 L
2 L 2
2 Lb − by = ( 2 Lb − by ) A( y ) = 4 L 2 L
2
2
δ = ∫
L
0
P 4 L2 dy
( 2lb − by ) E
#ciendo:
2
2
=
4 PL
E
dy
L
∫ ( Lb − by ) 0
2
2
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u
=
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"
− by
2 Lb
du
= −bdy
dy
=−
2
⇒
du b
δ
= − 4 Pl Eb
L
∫ 0
du u2
negr#ndo: δ
=−
Eb 2
δ
δ
=
=
L
− 1 = u 0
4 PL2
4 PL
Eb
4 PL2 Eb
1 − 1 Lb 2 Lb
⋅
3
4 * 1800 10 4
⋅
9
24 10 * 0.8
*
1 2
L
1 2 Lb − by 0
: enonces:
enoces
δ
=
4 Pl
Eb
δ
1 2 L
= 0.00075
.- Un marc! rectan%u#ar $e anc*! " ) a#tura >" esta articu#a$! en c s!7!rta$! en A ) D 7!r a#am"res 4ertica#es i$éntic!s ) car%a$! 7!r una &uer'a inc#ina$a P ue acta en B. E# $i(metr! $e #!s a#am"res es $e 6 mm. Si #!s es&uer'!s $e tensi/n en #!s a#am"res $e"i$! a #a car%a P n! $e"en e0ce$er $e 66 MPa; cua# es #a car%a m(0ima 7ermisi"#e P@ Des7recie cua#uier $e&!rmaci/n $e# marc!.
Se ,usc# e nguo : α
3 = #rc#n g = 36 .86 4
∑ Fy =
F A − F B
0
0:
+ C − P * senα = 0
∑ Fx = 0 P cos α − C x
∑ M! =
=0
0
− 4bF A + 4bPsenα − 3bF b = 0
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#
+ 4 F A = 4 Psenα
3 F b
Condición de rigidez: δ A
=
4b
δ B
δ A
3b
F A * L
=
δ B
A * E
=
F B * L A * E
Susiu!endo en # ecu#ción de rigidez. F A * L F b * L F A F B A * E A * E =
⇒
4b
3b
=
4
3
or condición de resisenci#: σ A
=
F A
σ B
A
=
F B A
ero de # condición de rigidez ene(os: F B
=
3 4
F A
$nonces: π
( ⋅
F A
= σ * A ⇒ F A = 220 ⋅ 10
F A
= 691 .15 N ⇒ F B = 518 .36 N
6
*
4
* 2 10
−3
)
2
Susiu!endo #s +uerz#s en # ecu#ción de e"uii,rio:
P =
3 F B
+ 4 F A
4 * Senα
=
3 * 518.36
+ 4 * 691.15
4 * Sen( 36.86 )
enonces:
1800 N P MAX =
G.- Una "arra circu#ar s/#i$a $e a#umini! se a=usta $entr! $e un tu"! $e c!"re $e #a misma #!n%itu$. E# $i(metr! e0teri!r $e# tu"! $e c!"re es $e mm ) e# $i(metr! interi!r es $e mm. E# $i(metr! $e #a "arra $e a#umini! es $e 6 mm. En ca$a e0trem! $e# c!n=unt!; un 7asa$!r met(#ic! $e mm $e $i(metr! 7asa a tra4és $e am"as "arras a (n%u#!s rect!s c!n
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e# e=e. Encuentre e# es&uer'! c!rtante 7r!me$i! en #!s 7asa$!res si #a tem7eratura se e#e4a a 6. 3E a#umini! , Pa; + a#umini! , 6>H1-G CJ 7ara e# c!"re: E , 16 Pa ) + , 1H1-G C5
; 200C %< ;23*10=6 >0C $%<;70 ?-# Cu ;17*10=6 >0C $Cu ; 120 ?-# Condicion de rigides: "
δ AL
" = δ CU
AL
AL
δ " = δ ∆" + δ Fal = α * ∆" * L +
Cu
Cu
F AL * L
δ " = δ ∆" − δ F!u = α * ∆" * L −
A * E
F CU * L A * E
gu##ndo #s ecu#ciones #neriores: α * ∆" * L +
F AL * L A * E
= α * ∆" * L −
F CU * L A * E
Susiu!endo ei(in#do ! o-er#ndo '#ores nos "ued#:
⋅
4 . 6 10
−4
+ 1.031 ⋅ 10 −8 * F AL = 3.4 ⋅ 10 −4 − 2.234 ⋅ 10 −8 − 2.234 ⋅ 10 −8 F CU
Condición de e"uii,rio:
∑ Fx =
0
:
Susiu!endo: @%< ; =5586.6 A @CB ; =2793.3 A
2 F CU
=
F AL
Ingeniería Mecánica
AL
τ
=
F AL
5586.6
=
2 A
Resistencia de Materiales
2*
π 4
AL
= 56 Mpa
CU
=
τ
τ
F CU 4 A
( 0.008)
2793.3
= 4*
π 4
CU τ
= 14 Mpa
2
( 0.008)
2
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