MÉCANIQUE DES FLUIDES
2017/2018
En vue de préparer l’analyse dynamique du mouvement des fluides, nous devons nous donner les moyens de décrire le mouvement des particules fluides dans ces écoulements. C’est l’objet de la cinématique des fluides qui s’attache à faire une description des écoulements sans avoir recours au calcul des actions mises en jeu.
La particule fluide est choisie comme étant une entité élémentaire permettant une description complète des écoulements ; il s’agit d’un ‘’paquet’’ de molécules entourant un point donné qui se déplace avec le fluide. C’est -à-dire, -à-dire, elle contient assez de particules pour négliger toute fluctuation de leur nombre mais sa taille reste négligeable devant la taille macroscopique du fluide. Elle est caractérisée du point de vue
thermodynamique par sa masse volumique, , sa pression,
, et sa température,
. Pour étudier le
mouvement, on fait appel à la position et à la vitesse de la particule qui se translate, tourne sur elle-même et se déforme quand elle s’coule.
(,⃗ ,,)
On considère une particule fluide (brièvement particule), et on suit son mouvement par rapport à un repère orthonormé direct .
⃗ ⃗ ⃗
= ,,
, ,
A l’instant , la particule occupe la position particule occupe la position . Sa position est donnée par : PROF : H. EL GHAZI
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Trajectoire
. A l’instant quelconque, la
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= ( , , )) = , , , = , , , = , , , = ℎ, , , − = (, , ) = ( , , ) = = ( , , ) = = ( , , ) = = ( , , ) ⃗ = ⃗ = ( , , ) = (, , ) = (, , ) = ( , , ) = [ ] == [ [ ] = , , = = [ ] = 4 = = [ ] = 4 C’est -à-dire -à-dire :
,
La fonction
et
est continue et continûment dérivable autant de fois qu’il est nécessaire. On suppose
en plus, que pour
et fixes, fixes, cette fonction qui à
fait fait correspondre
est bijective, si bien que :
A chaque instant on on peut définir, en tout point de l’espace, un vecteur qui représente la vitesse, à
l’instant , de la particule fluide occupant la position
à l’instant
. Cette vitesse est donnée par :
C’est -à-dire -à-dire :
,
et
De la même façon, on définit l’accélération de la particule fluide, occupant la position
l’instant
à
, comme suivant :
C’est -à-dire -à-dire :
,
et
Soit une particule dont la position à l’instant est est donnée par :
A l’instant
, la particule occupe la position :
La vitesse de la particule est : ,
et et
L’accélération de la particule est : : ,
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et et
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Cette description de Lagrange se base sur la notion de trajectoire. Elle consiste à suivre une particule donnée au cours de son mouvement au sein du fluide. C’est l’évolution de la position des particules qui permet la description du mouvement. Une technique de visualisation des trajectoires consiste à marquer une « particule fluide » par l’utilisation d’un traceur coloré , dans le cas d’un liquide, ou de fumé e, dans le cas d’un gaz et ensuite de suivre l’’é volution de sa position au cours du temps. Une autre méthode consiste à injecter de fines particules métalliques, chacune s’ identifiant à une particule fluide, et photographier l’écoulement pendant un temps suffisamment long. Même particule
Remarquons que la détermination des trajectoires revient, en pratique, à déterminer la fonction introduite précédemment.
complète du mouvement. En terme de terminologie, on appelle
ℎ
(, , )
La connaissance de
, les inconnues de Lagrange.
pour
,
,
1 :
,
et donnés, donne une description
et les variables de Lagrange. La fonction , càd , et
ℎ
Dans la suite du chapitre, on abondera parfois ces notations et les fonctions ,
par , et .
et , seront remplacées
La description Lagrangienne présente une utilité certaine, par exemple lorsqu’on veut suivre un traceur dans unéc oulement, mais elle conduit aussi à des difficultés d’analyse considérables dès que l’on souhaite exprimer legradient de la vitesse puisque les dérivations spatiales portent alors sur des particules différentes ; c’est pourquoi onlui préfère le plus souvent la description Eulerienne.
Dans la pratique, il est difficile d’identifier, et donc de suivre, une particule fluide en mouvement. Il apparaît donc judicieux d’introduire une description alternative pour un écoulement.Le concept de champ est extrêmement important dans l’étude de la mécanique des fluides, comme il l’est dans les autres théories PROF : H. EL GHAZI
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de champs comme en électricité et en magnétisme, en mécanique du solide et en transport de chaleur et de masse. :
La distribution de la pression sur le corps humain est un champ scalaire.
La distribution de vitesse est un champ de vecteur (Champ vectoriel). Le champ de vitesse donne l’intensité et la direction de la vitesse en chaque point
,,
à chaque instant.
Cette description de l’écoulement consis te à établir à un instant donné l’ensemble des vitesses
, ,
associées à chaque point de l’espace occupé par le fluide. A chaque instant, l’écoulement du fluide est décrit au moyen d’un champ de vecteurs vitesses. Autrement, e n chaque point de l’espace
, repéré par
rapport à un système fixe, on observe le passage des particules au cours du temps et on ne s’intéresse pas aux
identités changeantes des particules, mais à la vitesse que possède la particule qui y passe à l’instant .
, , , ,
Les composantes indépendantes
de
sont les inconnues d’Euler et sont des fonctions de quatre variables
et , dites variables d’Euler ;
, ,
représentent les coordonnées d’un point fixe
dans le référentiel d’étude, autrement dit, elles ne dépendent pas explicitement du temps.
,,,
, , ,,, ,, ,, ,,
La valeur de toute fonction du champ de l’écoulement donnée au moyen des variables d’Euler correspond donc à la particule fluide localisée au point
à l’instant considéré.
Dans le tableau ci-dessous, on réc apitule l’ensemble de ces deux descriptions : Euler
Variables Inconnues
,,,,,, ,,,,,,
Lagrange ,
,
,
Dans le domaine de la mécanique, les deux descriptions sont utilisées. En mécanique dessolides, et tout particulièrement du solide rigide, c’est la description de Lagrange qui est prioritairement utilisée. En mécanique des fluides, comme on le verra dans c e cours, c’est la description d’Euler qui est prioritairement utilisée. Sous un pont, c’est la vitesse du courant de la rivière qui est importante, et non l’origine de l’eau (nuage, neige fondue, . . . ).
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Un exemple, extrait de la vie courante, de l’utilis ation des deux descriptions est bien connu. Pour la circulation des voitures sur une route, « Bison futé» util ise la description d’Euler pour donner la vitesse de « l’é coulement des voitures », mais le « gendarme » utilise la description de Lagrange pour viser une voiture particulière afin d’apprécier son excè s de vitesse. On peut passer d’une description de L agrange à celle d’Euler, et réciproquement. Donnons un exemple trè s simple :
Soit un écoulement défini en variables de Lagrange :
= == + = = { = , , , ,,, = = == = = ,, ,, = = { = = . == .. ,
Déterminer l’expression de la vitesse selon les deux descriptions :
Soit maintenant un écoulement défini en variables d’Euler par :
Pour trouver
en fonction du temps, on doit résoudre les trois EDs suivantes :
D’où :
Avec
et des constantes dépendantes des CI. On retrouve donc la description de Lagrange.
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Les lignes de courant sont les lignes qui, à un instant fixé
, sont tangentes, en chaque point, au
vecteur vitesse local du champ de l’écoulement. Elles sont donc définies par l’équation :
= ,,, = = ,,, ,,, ,,,
En coordonnées cartésiennes, elles satisfont les équations :
Même instant
Photo instantanée de l’écoulement
Il ne faut pas confondre une ligne de courant et la trajectoire d’une particule. Cette dernière est l’ensemble des positions prises par une particule déterminée au cours du temps. Les lignes de courant donnent, elles, à un instant fixé, la direction de la vitesse des particules en tout point occupé par le fluide, elles représentent donc la topographie du champ des vitesses à un instant donné. Pour les trajectoires, les équations différentielles à résoudre sont :
:
= = ,,, ,,, ,,, =
En régime stationnaire, les lignes de courants coïncident avec les trajectoires.
On appelle tube de courant l’ensemble des lignes de courant qui s’appuient , au même instant, sur un contour C fermé quelconque tracé dans un fluide.
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Tube de courant à
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L’introduction du tube de courant est intéressant, surtout, au niveau de l’étude du régime stationnaire.
Un écoulement est dit stationnaire (ou encore permanent) lorsque toutes les grandeurs caractéristiques du mouvement sont invariables dans le temps (Vitesse, Masse volumique, Pression, Température,…). Ce qui se traduit par le fait que :
= ,,, = ,,
Autrement, exprimée en variables d’Euler, la vitesse ne dépend pas explicitement du temps.
Sur le plan cinématique, le champ de vitesse ne varie pas dans le temps et par suite :
Les lignes de courant sont fixes dans l’espace.
Les trajectoires se confondent aux lignes de courant.
Les écoulements qui ne sont pas stationnaires sont dits tout naturellement instationnaires. Ce type d’écoulement ne sera pas traité dans ce cours. Leur description est mathématiquement complexe et dans la pratique on cherche un éventuel régime pseudo- stationnaire en définissant, s’elle existe, une période au bout de laquelle les paramètres de l’écoulement reprennent les mêmes valeurs identiques. A défaut, ils seront définis par leur valeur moyenne sut la durée choisie.
On considère l’écoulement instationnaire défini , en variable d’Euler, par :
Les lignes de courant , à l’instant
= ||
= = sont données par :
Les lignes de courant sont donc l’intersection des deux surfaces.
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= = =
= 7
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:
On considère l’écoulement stationnaire défini, en variable d’Euler, par : Les lignes de courant sont données par :
== =
= =
Pour éviter la divergence du deuxième terme, le déplacement suivant l’axe (Oy) doit être nul :
=
.
L’équation à résoudre est :
=
.Soit
= =
D’où :
Les lignes de courant sont définies par l’intersection des deux équations.
On considère une fonction dépendant des variables d’Euler, par exemple la masse volumique :
,
. Sa dérivée partielle, , désigne concrètem ent son taux de variation lorsqu’on se place en un point
fixe du référentiel d’étude du fluide. Sa variation élémentaire lorsque les quatre variables d’Euler varient de façon infinitésimale est :
D’où :
= = , ′= ⃗ ⃗ ⃗
On obtient ainsi le taux de variation de
′ et
infiniment voisins :
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entre les instants et
et entre deux points
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′ = = = (⃗.∇ ) Lorsque
et
, les quantités
représentent les positions successives d’une particule de fluide aux instants et
,
et
représentent les composantes de la vitesse de cette particule. La dérivée
totale ou aussi la dérivée particulière est :
Soit :
La dérivée comporte deux termes :
Le premier est le taux de variation temporelle en un point fixe de l’espace.
Le second est la contribution convective qui représente le taux de variation spatiale à un instant fixe.
: En procédant comme précédemment, on obtient l’accélération d’une particule fluide. Il vient :
⃗= ⃗ = ⃗ = ⃗ (⃗.∇ )⃗ ⃗= ⃗ (⃗.∇ )⃗ = ⃗ grad⃗rot⃗∧⃗
En utilisant l’expression du dernier terme, on obtient:
En s’appuyant sur l’analogie avec le cours de l’électrocinétique, on appelle le vecteur courant volumique de masse le vecteur défini comme suivant :
Où
, ,
⃗⃗,, = , ⃗, ⃗, = , ⃗,
est la masse volumique et
la vitesse de la particule au M où elle se trouve.
C’est l’équivalent du vecteur courant volumique de charge :
Où :
est la charge volumique.
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On appelle débit massique,
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la masse de la quantité de matière qui traverse toute surface
normale aux lignes de courant pendant l’unité de temps. On l’exprime en étant :
.−
. Il est défini comme
= = ∆→lim ∆∆ = ℎ = ⃗. = = = .ℎ = ⃗. = ⃗. = ⃗. Σ ⃗ = = ∬ ⃗, . ℎ En effet, considérons un élément de surface
de normale . Pendant
, la quantité de matière
traversant la surface élémentaire est celle contenue dans un cylindre de base
et de hauteur
. Par conséquent, le débit massique élémentaire est :
Il en résulte pour une surface quelconque :
Ce qui représente en électrocinétique l’intensité du courant qui n’est qu’un débit de charge à travers une surface.
On s’intéresse parfois au débit volumique qui représente le volume du fluide qui traverse une surface pendant l’unité de temps. D’après ce qui précède, il a pour expression :
= = ∆→lim ∆∆ = = ∬ ⃗ , .
Pour un écoulement incompressible, les deux débits sont liés par la relation suivante :
,,,
Considérons un volume , contenant une masse dans un référentiel d’étude
=
. La variation de la masse du fluide peut être attribuée soit :
L’existence d’un échange de matière à travers la surface.
Création de matière au sein du volume (terme inexistant dans notre cas).
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d’un fluide, délimité par une surface fermée fixe
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S D’où : V
Avec :
⃗
= = ∭ = ∯ ⃗. ∭ = ∯ ⃗. = (⃗) (⃗) = et
Il en résulte :
En utilisant la formule d’Ostrogradsky et en permettant les opérateurs
Comme le volume
et intégration :
est quelconque, on en déduit localement la relation suivante, dite l’équation de
continuité, traduisant la conservation de la masse :
:
En régime stationnaire, l’équation de continuité ou de conservation de masse se réduit aux équations intégrale et locale suivantes :
:
∯ ⃗. =
Et
(⃗) =
Considérons un fluide s’écoulant dans une c analisation de section variable en régime stationnaire. On suppose que le courant volumique de masse est uniforme sur toute section transversale. D’après ce qui précède, on a :
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⃗
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⃗. = = ∬ ⃗. ∬ ⃗. ∬ ⃗. = = =
Puisque l’écoulement ne s’effectue pas latéralement, on obtient alors :
Finalement, on trouve :
Si de plus, le fluide est de compressibilité négligeable (eau par exemple), la relation précédente devient :
Ainsi, dans l’étranglement précédent, la vitesse à la sortie est supérieure à celle de l’entrée. Ce que l’on met en évidence, par exemple en diminuant la section de l’extrémité d’un tuyau d’arrosage.
⃗, ⃗, =⃗,, ⃗,,.⃗ =
Un écoulement est dit plan lorsque la vitesse
est constamment parallèle à un plan fixe et ne
varie pas en tout point d’un axe perpendiculaire à ce plan. Notant plan, on a donc :
ce plan et
l’axe normal à ce
et
, ⃗, =⃗,, ⃗,,.⃗ =
Un écoulement est dit de révolution lorsqu’on peut décrire le champ de vitesse, dans un demi -plan méridien, à l’aide de deux coordonnées cylindriques orthoradiale.
. Le vecteur vitesse n’a donc pas de composante
et
Dans le domaine occupé par le fluide, un écoulement est dit irrotationnel lorsque le vecteur tourbillon
(= ⃗)
du champ de vitesse est nul.
= ω = ∇ ∧⃗ =
Ce qui entraine une simplification notable de l’expression de l’accélération : PROF : H. EL GHAZI
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⃗= ⃗ grad⃗
Ainsi, dans un tel écoulement le champ de vitesse peut se mettre sous la forme d’un gradient d’une fonction vu que le rotationnel d’un gradient est toujours nul :
⃗ = Φ V =
Par analogie avec l’électromagnétisme
() ⃗ =
, la fonction
Φ
et
la
représente le potentiel des vitesses. Les surfaces
donné, sont les équipotentielles, et le vecteur vitesse leur est normal.
mécanique
Φ = Cte
du
point
, à un instant
= = = = = = Φ. = ∫ Φ = Φ Φ = ∫ ⃗. = ∫
En coordonnées cartésiennes :
,
En coordonnées cylindriques :
,
et
et
La circulation du champ des vitesses le long d’un contour
est :
Il en résulte également que la circulation du champ des vitesses le long d’un contour fermé quelconque est nulle.
Un écoulement est dit incompressible si la masse volumique, , d’un élément du fluide est constante au cours de son mouvement, c’est -à-dire :
=
Ce qui concerne principalement les liquides mais aussi les gaz pourvu que les variations de pression ne soient pas trop importantes. Il en résulte :
⃗
⃗ =
D’où l’existence d’un champ de vecteur tel que :
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⃗ = ∇ ∧⃗ ⃗⃗ ==∇⃗ ∧ ⃗ = Ψ = Ψ = =
Ce vecteur peut être mis sous la forme :
,
, étant une fonction des coordonnées dans le plan
dite fonction de courant. L’équation
donne alors, en coordonnées cartésiennes :
et
Pour un déplacement élémentaire
Pour
, on a :
= Cte = , on a :
Ce qui constitue l’équation différentielle à résoudre pour obtenir la forme des lignes de courant.
L’écoulement irrotationnel, incompressible, plan et stationnaire constitue très souvent une bonne approximation d’écoulement réel des liquides et ou les gaz. Eliminons la vitesse dans les deux expressions :
∆∅ =
soit
⃗ = ∅ ⃗ = ∅ ∅ = et
. Il vient :
Cette équation, connue sous le nom d’équation de Laplace, rappelle celle satisfait par le potentiel électrostatique en l’absence des charges.
⃗ = ⃗ ⃗ = ⃗ = ⃗ ⃗ = ⃗ = Ψ = Ψ Ψ = ∆ = De même, en éliminant la vitesse entre les équations
donc :
soit
, on trouve
et
On obtient une équation analogue pour la fonction
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et
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.
soit
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Pour l’étude d’un grand nombre d’écoulements plans classiques, on utilise souvent la fonction complexe définie comme suivant :
= , ,
avec
= =
Considérons un écoulement plan modélisé par la fonction potentielle complexe Donc :
, , = , = , = , = , =
Par suite :
et
Les lignes de courant sont définies par : horizontales parallèles à l’axe (Ox).
Les équipotentielles sont définies par
, c’est à dire :
= =
, ce qui correspond à
droites verticales parallèles à l’axe (Oy).
.
. Ce sont donc des droites
. Elles sont donc des
Le champ de vitesse est défini par :
∅ = = = ⃗ = = ∅ = = = ⃗
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,
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La vitesse est donc uniforme et dirigée suivant l’axe (Ox).
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=
On considère un écoulement plan modélisé par la fonction potentielle suivante :
= = et
une constante réelle.
où
= () = ,, = = = = = ∅ = = = ⃗ = = ∅ = = = ⃗
La fonction de courant et le potentiel des vitesses sont alors :
Les lignes de courant sont donc des droites qui passent par l’origine
Les équipotentielles sont donc des cercles concentriques centrées sur l’origine
.
.
Le champ de vitesse peut être alors déterminé alors comme suivant :
Deux cas à distinguer :
Si
> <
: l’écoulement est dirigé vers l’extérieur (écoulement divergent). On est en présence d’une
source à l’origine.
Si
: l’écoulement est convergent càd il est dirigé vers le centre. On est en présence d’un puits
à l’origine.
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:
=
Un tel écoulement est caractérisé par une fonction complexe comme suivant : La fonction de courant et le potentiel des vitesses sont alors :
= , , = ∅ = = ⃗ = = ∅ === = ⃗
Le champ de vitesse peut être alors déterminé alors comme suivant :
Les lignes de courant sont des cercles concentriques centrés sur l’origine tandis que les équipotentielles sont des droites passant par l’origine. Deux cas à distinguer :
Si
Si
><
: l’écoulement s’effectue dans le sens trigonométrique (Figure ci-dessous). : l’écoulement s’effectue dans le sens horaire autour de l’origine.
= =
On considère un dipôle constitué d’une source de débit
=
située en
. Le potentiel complexe résultant peut s’écrire sous la forme :
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et un puits de débit
situé en
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On pose :
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= = = ∅ == . ∅ ≈ = ≈ = . = .. = ,
et
On déduit aisément que :
Dans le cadre de l’approximation dipolaire, on obtient :
Par suite, le champ de vitesse est :
Ce qui analogue aux expressions du potentiel électrostatique crée par un dipôle électrostatique.
= = = = , =
Les lignes de courant sont telles que courant correspond donc à
D’où l’équation d’un cercle de centre
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. En coordonnées cartésiennes, la ligne de
. Ce qui se réduit à l’équation suivante :
et de rayon
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.
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Un écoulement est dit laminaire s’il est régulier dans le temps et dans l’espace. Dans le cas contraire, il est dit chaotique ou turbulent. Ces deux types s’observent aisément en versant le contenu d’une bouteille d’eau :
Si la vitesse d’écoulement est faible, l’écoulement est laminaire.
Si la vitesse est assez importante, le régime est qualifié de turbulent.
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Série N° : 2 : En régime stationnaire, le champ de vitesse d’un fluide, en coordonnées cartésiennes, est donné par :
= = = ,
et
Déterminer l’équation de la ligne de courant qui passe par le point A de coordonnées :
,,
.
On considère un fluide s’écoulant dans une conduite cylindrique avec une distribution radiale des vitesses de la forme :
=
r étant la coordonnée radiale et 1. Calculer le rapport
une constante égale à la moitié du rayon
.
2. Déterminer le débit volumique en fonction de 3. En déduire la vitesse moyenne du fluide.
:
de la conduite.
et
.
Un liquide, de masse volumique , s’écoulant dans une conduite cylindrique avec une distribution radiale des vitesses de la forme :
r étant la coordonnée radiale et
= le rayon de la conduite.
1. Déterminer l’expression du débit massique en fonction de , 2. Déterminer l’expression de la vitesse du liquide.
et
.
3. Déterminer le débit de l’énergie cinétique . 4. Comparer ce résultat à celui obtenu en supposant que la vitesse est uniforme et égale à la vitesse moyenne.
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> > ⃗, = ⃗ ⃗
Dans la description d’Euler du mouvement d’un fluide le long d’un axe vertical descendant (Oz), le champ de vitesse a pour expression pour et :
1. Déterminer l’expression du champ d’accélération . 2. Quelle est la nature du mouvement ? 3. Comparer ce résultat à celui d’une chute libre. Commenter : En coordonnées cartésiennes, le champ de vitesse dans un fluide a pour expression :
⃗= ⃗ ⃗ ⃗
1. Montrer que l’écoulement est incompressible. 2. L’écoulement est -il irrotationnel ? 3. En déduire alors le vecteur tourbillon.
On étudie l’écoulement stationnaire d’un fluide dans un plan décrit par la fonction courant de forme :
, = = Cte = = = ⃗ = ⃗ = ⃗ >≤ > > avec et
1. 2. 3. 4.
sont des constantes
Déterminer les composantes du champ de vitesse. L’écoulement est -il incompressible ? Montrer que le long d’une ligne de courant, on a : Tracer les lignes de courant dans les cas particuliers suivants :
,
et
.
On décrit une tornade de rayon par un écoulement incompressible à symétrie cylindrique autour de l’axe (Oz). Le champ de vitesses est de la forme suivante :
La vorticité est uniforme dans la tornade, nulle en dehors :
1. Déterminer le profil de vitesse orthoradiale. 2. A quelle distance du centre de la tornade cette vitesse est-elle maximale ? 3. Déterminer le potentiel de l’écoulement à l’extérieur . Quelle est la forme des équipotentielles ? 4. Montrer que l’accélération particulaire peut s’exprimer sous la forme : PROF : H. EL GHAZI
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⃗ = ⃗(⃗ = ⃗) ≤ ⃗, = ⃗ ⃗, =⃗ ⃗, ⃗ = ΦΦ Φ Φ = Φ = = = : ⃗ = = = = =
5. Déterminer le vecteur
pour
.
On étudie l’écoulement stationnaire et irrotationnel dans le plan d’un fluide parfaitincompressible, autour d’un cylindre fixe de rayon , d’axe Oz et de hauteur supposée infinie. Loin du cylindre, la vitesse est uniforme : On peu t décrire l’influence du cylindre sur le champ de vitesses par l’ajout d’une perturbation : 1. Trouver deux relations satisfaites par les composantes du champ de vitesses.
2. On définit le potentiel des vitesses par , montrer que vérifie l’équation de Laplace. 3. On se place en coordonnées cylindriques, déterminer et montrer que . On cherche une solution du problème sous forme : et on donne le Laplacien en coordonnées cylindriques d’une fonction so us forme :
4. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par 5. Montrer que la fonction
et
.
vérifie l’ED suivante :
une constante
6. Pour , déterminer et montrer que cette solution est compatible avec la condition sur le long du cylindre . 7. Cherchons une solution pour la fonction sous la forme : avec un entier. En l’injectant dans son ED, déterminer l’une des constantes. 8. Déduire des conditions aux limites la constante d’intégration. 9. Exprimer le potentiel des vitesses et montrer que :
10. Etablir l’ED des lignes de courant autour du cylindre.
On considère l’écoulement d’un fluide décrit par le champ de vitesse s suivant :
⃗ = (⃗ ) ,
1. Cet écoulement est-il incompressible et irrotationnel ? 2. Déterminer la forme des lignes de courant. 3. Déterminer la trajectoire d’une particule se trouvant à l’instant initial au point . Vérifier qu’elle coïncide avec une ligne de courant. 4. A partir de l’équation de la trajectoire, déterminer l’expression de l’accélération de la particule de fluide à l’instant .
5. Déterminer la dérivée particulaire de la vitesse PROF : H. EL GHAZI
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. Commenter 22
