CINEMÁTICA VETORIAL 1. Variação do Vetor Velocidade Sabemos que a velocidade possui uma intensidade associada a uma direção (tangente à trajetória) e sentido . Quando analisamos o vetor velocidade de um móvel, no decorrer do tempo, observamos que podem ocorrer mudanças tanto em sua intensidade quanto em sua direção. Eventualmente é seu sentido que se altera. Existe apenas um tipo de movimento em que a velocidade vetorial permanece constante. Isso ocorre no movimento retilíneo uniforme, uniforme , em que a velocidade tem intensidade constante (uniforme) e sempre a mesma direção (pois a trajetória é retilínea).
Há dois critérios básicos para se notar alterações na velocidade : a) a intensidade de varia, ou seja, o movimento é acelerado ou retardado; b) a direção de varia, ou ou seja, o movimento movimento tem trajetória curvilínea.
Movimento Curvilíneo Retardado
Exceto o MRU, MRU, todos os demais movimentos terão sua velocidade variando, seja em intensidade (movimentos acelerados e retardados) e/ou em direção (movimentos em trajetórias curvilíneas). Para indicar a variação do vetor velocidade, ocorrida entre dois instantes, definimos o vetor:
Por exemplo, 1 e 2 representam na figura abaixo as velocidades de uma partícula nos instantes t 1 e t 2. O vetor mostra a variação ocorrida em sua velocidade entre t 1 e t 2.
Combinando esses critérios, podemos elencar cinco tipos de movimentos em que ocorre variação do vetor velocidade: Movimento Retilíneo Acelerado
Movimento Retilíneo Retardado
Movimento Curvilíneo Uniforme
2. Aceleração Vetorial Média Com o objetivo de estimar a rapidez com que o vetor velocidade de um móvel varia entre dois instantes, foi criada a grandeza aceleração vetorial média . Aceleração vetorial média é a relação entre a variação da velocidade vetorial e o correspondente intervalo de tempo.
onde Como o intervalo de tempo é sempre positivo, o vetor aceleração média possui a mesma direção e o mesmo sentido que o vetor que representa a variação da velocidade vetorial . Vejamos:
Movimento Curvilíneo Acelerado
Exercícios Resolvidos 1
01. Uma partícula move-se em trajetória circular, com velocidade escalar constante de 10 m/s. A figura a seguir mostra suas passagens pelos pontos A e B, quando cumpre um quarto de volta em 2,0 segundos.
A aceleração tangencial características:
possui as seguintes
a) Essa partícula possui velocidade constante? b) Determine o módulo do vetor que indica a variação de sua velocidade entre os pontos A e B. c) Qual o módulo de sua aceleração vetorial média entre os pontos A e B? Resolução
02. Verifique se as afirmações abaixo são corretas (C) ou erradas (E) de acordo com o caráter vetorial da grandeza velocidade. I. Em qualquer movimento circular há variação de velocidade. II. Movimento uniforme sempre possui velocidade constante. III. A direção da velocidade será constante quando a trajetória for uma reta. Resolução
Nos movimentos uniformes, a intensidade da velocidade não varia e, portanto a aceleração tangencial é nula. A aceleração tangencial só existe em movimentos variados (acelerados ou retardados) e independe do tipo de trajetória (retilínea ou curvilínea). A aceleração centrípeta características:
possui as seguintes
3. Aceleração Vetorial Instantânea Sabemos que a velocidade ( ) pode variar em intensidade e em direção. Por esta razão, o vetor aceleração ( ) de um móvel num certo instante é decomposto em duas acelerações perpendiculares: a aceleração tangencial
, que indica a variação da
intensidade de e a aceleração centrípeta , que indica a variação da direção de . Desse modo, a aceleração instantânea ( ) fica definida pela adição vetorial dessas componentes:
Nos movimentos retilíneos, a direção da velocidade não varia e, portanto, a aceleração centrípeta é nula. A aceleração centrípeta só existe em movimentos de trajetórias curvas e independe do tipo de movimento 2
(uniforme ou variado). 4. Análise Vetorial de Movimentos Vamos, agora, identificar a aceleração vetorial em certos tipos de movimento e sua orientação com o vetor velocidade.
Como
é perpendicular a
, temos:
Movimento Retilíneo Uniforme É o único movimento que não possui aceleração vetorial, pois sua velocidade mantém-se constante em intensidade (uniforme) e em direção (trajetória retilínea). Ou seja:
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado A velocidade varia apenas em intensidade, pois é variado em trajetória retilínea. Logo, não possui aceleração centrípeta, ou seja, sua aceleração vetorial é tangencial (apenas para acelerar ou retardar). Exercícios Resolvidos
Movimento Circular Uniforme A velocidade tem intensidade constante, pois o movimento é uniforme. Logo, não possui aceleração tangencial. Entretanto, sua velocidade varia em direção (pois a trajetória é curva), ou seja, sua aceleração vetorial é centrípeta.
Mov. Circular Uniformemente Variado Pelo fato de a velocidade variar tanto em intensidade quanto em direção, esse movimento possui aceleração tangencial e aceleração centrípeta, sendo a aceleração vetorial do movimento a resultante de e
01. Uma partícula move-se em trajetória circular de raio 2 m, com velocidade angular constante de 2 rad/s. a) Qual o ângulo entre os vetores velocidade e aceleração da partícula num certo instante? b) Quais as intensidades dos vetores velocidade e aceleração da partícula? Resolução
02. Um ponto material move-se em trajetória circular de raio igual a 20 m, em movimento uniformemente acelerado. No instante t = 0, o módulo de sua velocidade vale 5,0 m/s e, 1,0 s após, vale 10 m/s. Determine o módulo do vetor aceleração no instante t = 1,0 s. Resolução
. Ou seja: 3
No instante t = 0, o móvel se encontra no ponto A e, a partir daí, desloca-se em sentido anti-horário completando uma volta a cada 8 segundos. 03. Com relação à aceleração vetorial de uma partícula, assinale verdadeiro (V) ou falso (F) para as frases abaixo. 01 – Num movimento com trajetória retilínea, a aceleração é constante. 02 – Nos movimentos retilíneos e uniformemente variados, a aceleração é nula. 04 – Nos movimentos circulares e uniformes, o vetor aceleração é constante. 08 – Nos movimentos curvos, a aceleração é nula 16 – Quando o módulo da aceleração centrípeta é constante, o movimento é retilíneo. 32 – Todo movimento uniforme é desprovido de aceleração. Resolução
EXERCÍCIOS 01. (VUNESP) Nas provas dos 200 m rasos, no atletismo, os atletas partem de marcas localizadas em posições diferentes na parte curva da pista e não podem sair de suas raias até a linha de chegada. Dessa forma, podemos afirmar que, durante a prova, para todos os atletas, o: (A) espaço percorrido é o mesmo, mas o deslocamento e a velocidade vetorial média são diferentes. (B) espaço percorrido e o deslocamento são os mesmos, mas a velocidade vetorial média é diferente. (C) deslocamento é o mesmo, mas o espaço percorrido e a velocidade vetorial média são diferentes. (D) deslocamento e a velocidade vetorial média são iguais, mas o espaço percorrido é diferente. (E) espaço percorrido, o deslocamento e a velocidade vetorial média são iguais. 02. (UEFS) Uma partícula vai do ponto X ao ponto Y, distantes 30 m, em 10 segundos. Se ela leva 5 segundos para retornar ao ponto X, pode-se afirmar que suas velocidades médias escalar e vetorial, são, respectivamente, iguais a: (A) 3 m/s e 3 m/s (B) 2 m/s e 4 m/s (C) 4 m/s e zero (D) zero e zero (E) 6 m/s e 4 m/s 03. Um ponto material possui movimento uniforme na trajetória circular de raio R = 3 cm representada abaixo.
Determine o deslocamento escalar (Δs) e o deslocamento vetorial (Δr) nos seguintes intervalos
de tempo: a) de 0 a 4 s. b) de 4 a 6 s.
04. Um móvel executa um movimento circular de raio r = 10 m. No instante t = 0 s ele se encontra no ponto A da figura e no instante t’ = 4 s passa pelo
ponto B.
Determine: a) a velocidade escalar média no intervalo de tempo considerado. b) o vetor velocidade média no mesmo intervalo de tempo. 05. Uma partícula movimenta-se ao longo de uma trajetória circular com velocidade escalar constante. A figura representa a partícula no instante em que passa pelo ponto P.
A seta que representa a velocidade vetorial da partícula em P é: (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 6 06. Um móvel percorre uma trajetória circular de raio R = 6 cm completando meia volta em 24 s. Determine: a) a variação de espaço e a velocidade escalar média do móvel. b) o módulo do vetor deslocamento e da velocidade vetorial média do móvel. 07. (OSEC) Dois móveis X e Y saem do mesmo ponto A e deslocam-se até o ponto B (diametralmente oposto) de uma circunferência de raio R. O móvel X vai pelo diâmetro e Y pelo arco da circunferência. Os 4
movimentos são efetuados com velocidades escalares constantes e os móveis gastam o mesmo tempo no percurso.
É FALSO que: (A) o módulo da velocidade vetorial média de X é igual ao de Y. (B) o módulo do vetor deslocamento de X é igual à distância percorrida por X. (C) os dois móveis deslocam-se com a mesma velocidade vetorial. (D) o módulo do vetor deslocamento de X é igual ao de Y. 08. (EFEI) Uma partícula descreve um movimento circular uniforme com velocidade v. Determine o módulo da variação do vetor velocidade em um quarto de ciclo. 09. Em 4 segundos, uma partícula percorre a quarta parte de uma circunferência de raio R = 4 m. Determine o módulo:
Considere que cada bala é abandonada a partir do repouso e que a aceleração gravitacional é g = 10 m/s2. a) Calcule o intervalo de tempo em que as balas devem ser abandonadas do recipiente. b) Utilize os eixos coordenados (x, y, z) desenhados e determine o vetor velocidade da bala em relação à esteira, no instante em que ela é abandonada do recipiente. 01. (UFSCAR) Nos esquemas estão representadas a velocidade v e a aceleração a do ponto material P. Assinale a alternativa em que o módulo da velocidade desse ponto material permanece constante.
a) da variação de espaço. b) do vetor deslocamento. c) da velocidade vetorial média. 10. (UFU) A figura a seguir mostra um equipamento para empacotar balas, composto de uma esteira que se move horizontalmente com velocidade v x, contendo os pacotes distribuídos de forma eqüidistante a uma distância d = 0,20 m entre eles. Um recipiente contendo as balas é colocado acima da esteira, a uma altura H desta. Deseja-se que cada pacote contenha apenas uma única bala. O sistema está ajustado inicialmente com os valores v x = 1 m/s e H = 0,20 m, para que cada bala caia no centro de cada pacote.
02. (FDC) Analise as afirmações: I - Em trajetória curva, uma partícula que está se movendo possui aceleração. II - Em trajetória reta, uma partícula que está se movendo possui aceleração. III - Se o módulo da velocidade de uma partícula está diminuindo com o passar do tempo, existe um componente da aceleração da partícula na direção e no sentido da sua velocidade. Dentre elas, somente: (A) III é correta. (B) II é correta. (C) I é correta. (D) I e II são corretas. (E) II e III são corretas. 5
03. (UESB) A velocidade escalar de um móvel varia no tempo segundo a função v = at + b, em que a e b são constantes. Se a trajetória é retilínea, é correto afirmar: (A) A aceleração escalar é zero. (B) A aceleração tangencial é zero. (C) A aceleração centrípeta tem módulo constante, diferente de zero. (D) A aceleração tangencial tem módulo constante, diferente de zero. (E) O módulo da aceleração total é a soma do módulo da aceleração tangencial com o módulo da aceleração centrípeta.
(A) I (D) IV
(B) II (E) V
(C) III
Texto para as questões 04 e 05. Desprezando-se a força de resistência do ar, a aceleração de queda de um corpo nas proximidades da superfície terrestre é, aproximadamente, igual a 10 m/s2. Nessas condições, um corpo que cai durante 3 segundos, a partir do repouso, atinge o solo com velocidade igual a v, após percorrer, no ar, uma distância h.
Em qual das alternativas seguintes estão melhor representados os vetores aceleração centrípeta nos pontos Q, S e U?
08. (UEL) Um corpo se desloca com velocidade escalar constante, sobre um plano horizontal, ao longo de uma trajetória representada na figura a seguir, onde os arcos PR, RT e TV são semicircunferências.
04. (UESC) Das grandezas físicas citadas, têm natureza vetorial: (A) Aceleração, velocidade e força. (B) Força, aceleração e tempo. (C) Tempo, velocidade e distância. (D) Distância, tempo e aceleração. (E) Velocidade, força e distância. 05. (UESC) Com base na informação, os valores da velocidade v, em m/s, e da distância h, em m, são iguais, respectivamente, a: (A) 45 e 10 (B) 10 e 20 (C) 10 e 30 (D) 20 e 45 (E) 30 e 45
09. (UERJ) Uma mangueira esguicha um jato de água como ilustra a figura.
06. (UEL) Um corpo descreve um movimento circular uniforme, no sentido A B C. Desprezando a resistência do ar, a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta de uma partícula de água são representadas no ponto P assinalado respectivamente por: Ao passar por B, o vetor aceleração é melhor representado por:
07. (UEL) Na figura abaixo, o vetor que pode representar a aceleração no movimento circular uniforme é:
6
10. (PUCMG) Uma pedra, amarrada num barbante, é posta a girar num plano vertical, executando o movimento circular, mostrado na figura.
13. (FATEC) Na figura representa-se um corpo em movimento sobre uma trajetória curva, com os vetores velocidade v e aceleração a e suas componentes, tangencial at e centrípeta ac.
Leia atentamente as afirmativas abaixo: I - Se o instante considerado na figura corresponder a um movimento retardado, então os vetores velocidade e aceleração tangencial poderão ser representados por c e a, respectivamente. II - O vetor aceleração centrípeta poderá ser representado pelo vetor f qualquer que seja o tipo de movimento. III - Se o instante considerado na figura corresponder a um movimento acelerado, a aceleração tangencial poderá ser representada por a, a força centrípeta por e a velocidade por b. Assinale: (A) se as afirmativas I, II e III estiverem corretas. (B) se apenas a afirmativa I estiver correta. (C) se apenas a afirmativa II estiver correta. (D) se apenas a afirmativa III estiver correta. (E) se apenas as afirmativas I e II estiverem corretas.
Analisando a figura podemos concluir que (A) o módulo da velocidade está aumentando. (B) o módulo da velocidade está diminuindo. (C) o movimento é uniforme. (D) o movimento é necessariamente circular. (E) o movimento é retilíneo.
11. (UEL) Uma pista é constituída por três trechos: dois retilíneos AB e CD e um circular BC, conforme esquema a seguir.
14. Uma partícula move-se em trajetória circular de raio R = 2,5 m com velocidade escalar constante e igual a 5 m/s. Calcule: a) o módulo da aceleração tangencial. b) o módulo da aceleração centrípeta. c) o módulo da aceleração resultante. 15. A figura representa a velocidade vetorial v e a aceleração vetorial a, de uma partícula que se move em trajetória circular de centro O, num determinado instante t. Sabendo que θ = 30º, |v| = 6,0 m/s e |a| = 4,0 m/s2, calcule:
a) o raio da trajetória. b) os módulos da aceleração centrípeta e tangencial.
Se um automóvel percorre toda a pista com velocidade escalar constante, o módulo da sua aceleração será (A) nulo em todos os trechos. (B) constante, não nulo, em todos os trechos. (C) constante, não nulo, nos trechos AB e CD. (D) constante, não nulo, apenas no trecho BC. (E) variável apenas no trecho BC.
16. (FESP) Em determinado instante, a velocidade vetorial v e a aceleração vetorial a de um partícula estão representados na figura a seguir. Qual dos pares oferecidos representa, no instante considerado, os valores da aceleração escalar a e do raio de curvatura R da trajetória?
12. (UEL) Das afirmativas abaixo: I - Quando a velocidade de um corpo é nula, sua aceleração é também nula. II - Quando a aceleração de um corpo é nula, sua velocidade é também nula. III - Os vetores velocidade e aceleração podem ser perpendiculares entre si. (A) Somente I é correta. (B) Somente II é correta. (C) Somente III é correta. (D) Apenas II e III são corretas. (E) I, II e III são corretas. 7
17. (UNIRIO) Uma esfera de massa M, suspensa por um fio, é abandonada do ponto S, conforme a figura abaixo.
(E) Todas as afirmativas são verdadeiras. 21. (UFU) O gráfico, abaixo, mostra a posição (s) de uma partícula em função de t 2 /2.
Os vetores velocidade (v) e aceleração (a) no ponto Q estão corretamente representados em: A inclinação do gráfico representa (A) o módulo da velocidade. (B) o módulo da aceleração tangencial. (C) o módulo da aceleração total. (D) o módulo da aceleração centrípeta. GABARITO 1. A 2. C 3. a) Δs = 3 cm Δr = 6 cm; ) Δs = 3 /2 cm Δr = 3 2 cm 4. a) vm = 5 /4 m/s; b)
5 2
m / s 5. A 2 a) Δs = 18,8 cm, vm = 0,78 cm/s; b) Δr = 12 cm,
6. vm = 0,5 cm/s 7. C 8. 18. (PUC-RIO) Dois corpos estão em movimento circular; o corpo A está em movimento circular uniforme e o corpo B em movimento circular uniformemente acelerado. Indique, por meio de setas, a aceleração e a velocidade de cada um deles, identificando-as. 19. (FDC) A velocidade escalar de uma partícula, que percorre uma circunferência de raio 64 m, varia de acordo com a função horária: v = 1,0 + 3,0.t ( v em m/s e t em s). O módulo da aceleração resultante da partícula no instante t = 5 s, em m/s 2, vale: (A) 3,0 (B) 4,0 (C) 5,0 (D) 8,0 (E) 16 20. (UEL) Considere as seguintes afirmativas: I - No movimento circular uniforme, os vetores velocidade e aceleração são perpendiculares entre si. II - Objetos de mesma forma e dimensões, mas com massas diferentes, quando soltos de uma mesma altura, por estarem sob a influência da mesma aceleração gravitacional, chegam ao solo no mesmo instante. III - Do ponto de vista microscópico, as forças responsáveis pelo atrito entre duas superfícies são as forças gravitacionais que atuam nas regiões em que as duas superfícies estão em contato. Assinale a alternativa correta. (A) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. (B) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. (C) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. (D) Apenas a afirmativa III é verdadeira.
v
m
v
m
v
2
9. a) Δs = 2 m;
b) 4 2 m; c) 2 m/s 10. a) 0,2 s;b) Módulo = 1 m/s, Direção = eixo x, Sentido = negativo do eixo x 11. C 12. C 13. D 14. A 15. E 16. A 17. B 18. A 19. D 20. E 21. D 22. C 23. B 24. a) a t = 0; b) ac = 10 m/s2, c) a = 10 m/s 2 25. a) R = 18 m, b) ac = 2,0 m/s2 e at = 2 26. C 27. E 28.
3 m/s2
29. C 30. C 31. B
8
