O espaço vetorial R
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No espaço tridimensional, cada ponto é indicado por três coordenadas (x, y, z). Assim, todo vetor de R , localizado na origem será indicado por (x, y, z) onde (x, y, z) são as coordenadas de suas su as extremidades. Assim, o vetor u da fig.3, será u = (x, y, z). 3
O módulo do vetor u, de R3 é determinado por
expressão essa obtida a partir do cálculo da diagonal de um paralelepípedo retângulo. r etângulo.
- ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR Definição 1- Adição de Vetores: Dados os vetores u = (u1, u2, u3, ..., u n) e v = (v1, v2, v3, ..., vn), de Rn, define-se o vetor soma s = u + v, tal que s = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, ..., u n + vn) A adição de vetores goza das seguintes propriedades: P1) u + v = v + u (comutatividade) Temos: u + v = (u 1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, ..., u n + vn) = (v 1 + u1, v2 + u2, v3 + u3, ..., v n + un) (comutatividade da adição de números reais) = v + u. P2) (u + v) + w = u + (v + w) (associatividade) P3) Vetor nulo, simbolizado por 0 = (0, 0, 0, ...0), tal que 0 + v = v + 0 = v. P4) Vetor simétrico. Para cada vetor v, existe o vetor - v, simétrico a v, tal que v + -v = -v + v = 0. Conseqüência: o simétrico de u = (u1, u2, u3, ..., u n) é -u = (-u1, -u2, -u3, ..., -u n). Os vetores u e -u têm a mesma direção, o mesmo módulo, porém, seus sentidos são opostos. P5) O módulo da soma de dois vetores não é igual à soma dos módulos dos dois vetores.
Definição 2 - Multiplicação por escalar - Sejam: o vetor v = (v 1, v2, v3, ..., v n) de Rn e o escalar r R. Define-se o produto do escalar r pelo vetor v, como sendo o vetor rv, tal que rv = (rv 1, rv2, rv3, ..., rv n). A multiplicação de um escalar por um vetor goza das propriedades: P6) rv = vr. (comutatividade) P7) r.(u + v) = ru + rv. (distributividade em relação à adição de vetores) P8) (r + s). v = rv + sv. (distributividade em relação à adição de escalares).
P9) 1.v = v P10) 0.v = 0. P11) -1.v = -v. P12) rv é paralelo a v, sendo r um número real. P13) (r.s)v = r.(s. v) EXERCICIOS
1) Sejam u = (2, -4, 6), v = (-3, 12, -4) e w = (6, 3, -1). Determine o vetor x tal que: a) x = u + v b) x = 3u + 2w c) x = 2u - v d) x = 2 (u + v) + 3w e) x = 2 (3 u + 2w) - 3 (5 v) e) u + 2v = x - w f) 3 (u + 2x) = 4x + 2w 2) Se u = (2, 2, 1), v = (0, -2, 4) e w = (7, -3, -2), determine o módulo do vetor 3 u - 4v + 2w. 3) Determine o vetor w, tal que w = 3u + 2v, se u = 3i - 2 j + 5k e v = -5 i + 6 j - 3k. 4) Calcule o módulo dos vetor 3u + v, se u = 3i - 2 j + 5k e v = -5 i + 6 j - 3k.
- PRODUTO ESCALAR Sejam u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) dois vetores, que formam um ângulo .
- PRODUTO VETORIAL O produto vetorial, como o próprio nome diz, é uma multiplicação de dois vetores onde o resultado será também um vetor. Para indicar o produto vetorial de u por v escrevemos u x v ou u v (nesta última notação lê-se u vec v.
O Produto vetorial u x v é definido como sendo um vetor que apresenta as seguintes características: MÓDULO: | u |.| v |. sen , onde é o ângulo formado pelos dois vetores. DIREÇÃO:- perpendicular ao plano formado por u e v. SENTIDO:- determinado pela regra da mão direita, conforme mostra a figura abaixo:
Com a mão direita aberta, formando um plano, aponta-se o primeiro vetor com o polegar. Os demais dedos apontam o segundo vetor. A palma da mão indicará o sentido do produto. Um algoritmo simples pode ser usado para se obter o produto anterior. (1) Escreve-se as coordenadas do segundo vetor debaixo das coordenadas do 1º vetor. (2) repete-se, à frente, as duas primeiras colunas. (3) elimina-se a primeira coluna. (4) efetua-se os produtos conforme i ndicados pelas linhas. Observe as cores e as posições dos produtos na figura a seguir.
PROPRIEDADES DO PRODUTO VETORIAL Para o produto escalar são válidas as propriedades: P1. u x v = -(v x u) (anti-comutativa) P2. r.(u x v) = (ru) x v P3. u x v = 0
u
= rv
u
// v.
P4. (u x v) x w ¹ u x (v x w) (anti-associativa)
EXEMPLOS - No caderno
- PRODUTO MISTO O produto misto de três vetores consiste na combinação de produtos escalares e vetoriais. Podemos ter as seguintes formas: (1) u.(v x w) e (2) ( u.v) x w. Na forma (1), ao efetuar o produto ( v x w) o resultado será um vetor que ao multiplicar escalarmente por u resultará em um escalar. Temos para essa forma: quando u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) e w = (x3, y3, z3), v x w = (y2z3 - z2y3, z2x3 - x2z3, x2y3 - y2x3) e u.(v x w) = x1.y2z3 - x1z2y3 + y1z2x3 - y1x2z3 + z1x2y3 - z1y2x3 que é um escalar igual ao determinante da matriz
Para a forma (2), u.v = x1x2 + y1y2 + z1z2 que é um escalar. Assim, (u.v) x w = (x 1x2 + y1y2 + z1z2).(x 3, y3, z3) que é um vetor.
Lista de Exercícios [01]
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[03]
[04]
Resp.:
[05]
Resp.:
[06]
Determine o vetor w, tal que w = 3u + 2v, se u = 3i - 2 j + 5k e v = -5 i + 6 j - 3k.
[07]
Resp.:
[08]
Resp.: