1) En una reunión se determina que 40 personas son afcionadas al juego, 39 son afcionadas al vino y 48 a las festas, adems !ay 10 personas que son afcionadas al vino, juego y festas, e"isten 9 personas afcionadas al juego y vino solamente, !ay 11 personas que son afcionadas al juego solamente y por #ltimo nueve a las festas y el vino solamente$ %eterminar& '$ El '$ El número de personas que es afcionada al vino solamente. ''$ El ''$ El número de personas que es afcionada a las festas solamente. DESARROLLO: JUEGO!" #$%O&' ($ES)AS!*
*U!+'"0
11
% &'11
% ('10
+allando ,: ,--'-" !" ,-&"!" ,!"/&" ,"
10
-I!./.'" '1%
+allando 0: +allando 1: 0-'-"-'&' 0-'-"-'&' 1-,-"-'! 1-,-"-'!* * 0-2*&' 0-2*&' 0&'/2* 0 Reempla3amos , porque 4a conocemos el valor 1- 5"6-"-'!* 1-2'!* 1!*/2' 1' 7 El número de personas que es afcionado al vino solamente son 7 El número de personas que es afcionado a las festas solamente son ' RES8UES)A: a) a) 9' 9'
2)Un alumno de la facultad, efectúa una encuesta sobre un grupo de 100 estudiantes, acerca de los hábitos de estudio en la Biblioteca de Ingeniería y aporta los siguientes datos "0 !studian trigonometría !studian álgebra ## !studian geometría ## 1# !studian trigonometría y álgebra !studian trigonometría y geometría 20 !studian álgebra y geometría $0
!studian las tres materias o 3an a la biblioteca
10 #
45uede asegurarse 6ue la encuesta reali7ada es correcta8 Desarrollo:
.ean
/ ' 9:;: estudia trigonometría< ' 9:;: estudia álgebra< + ' 9:;: estudia geometría<
Observación: 5ara
desarrollar esta clase de e=ercicios se recomienda ) >?ibu=ar@ el diagrama de Aenn y ubicar los datos dados B) .e debe iniciar por a6uel 6ue puede seCalarse con certe7a D) Una 3e7 6ue el diagrama se completa, se puede leer el número de estudiantes 6ue estudia cual6uier combinaciEn de materias
Gráficamente: T
A
1#
#
20
10 10
20 1#
5.
G
U
Analíticamente:
nF/ U U +) ' nF/) G nF) G nF+) H nF/ ∩) H nF/∩+) H nF+∩) G nF/∩∩+) nF/ U U +) ' "0 G ## G ## 1# 20 $0 G 10 ' %# %# !studiantes 6ue asisten a la biblioteca 100 H %# ' # !studiantes 6ue no asisten a la biblioteca 5or lo tanto la encuesta está bien reali7ada
$) !n una encuesta a 200 estudiantes, se hallE 6ue 1) J se comportan bien 2) 1$ son inteligentes $) 1J0 son habladores ") 120 son habladores e inteligentes #) 20 estudiantes se comportan bien y no son inteligentes J) 1$ se comportan bien y no son habladores K) 1# se comportan bien y son habladores, pero no son inteligentes 4Duántos de los 200 estudiantes entre3istados no se comportan bien, no son habladores y no son inteligentes8 Solución: !l
problema da como datos nFB) ' J nFI) ' 1$ nFL) ' 1J0 nFL∩I) ' 120 nFB∩IM) ' 20
nFB∩LM) ' 1$
nFB∩L∩IM) ' 1#
.e pide hallar nFBM ∩LM∩IM) ' 8
B
L #
1#
2#
"0
0 %
1K I
5rimero se ubica en el diagrama de Aenn nFB∩L∩IM) ' 1# luego nFB ∩IM) ' 20, despuNs nFB ∩LM) ' 1$, como se sabe nFB) ' J se puede saber Frestando) nFB ∩L∩I) ' "0 .e puede ubicar despuNs nFL∩I) ' 120, y por último se saca el número de personas 6ue son únicamente inteligentes y únicamente habladores teniendo nFI) ' 1$ y nFL) ' 1J0 Frestando) hora bien si hay 200 estudiantes Fse resta a esta cantidad Ftodo) las demás del diagrama de Aenn) nFBM∩LM∩IM) ' 1K Otra forma:
nFBM∩LM∩IM) ' nFBULUI)M nFBULUI) ' nFB) G nFL) G nFI) H nFB ∩L) H nFB ∩I) H nFL∩I) G nFB∩L∩I) nFBULUI) ' J G 1J0 G 1$ H ## H " H 120 G "0 ' 1$ nFBULUI)M ' 200 H 1$ ' 1K
") l final del semestre se hi7o una encuesta sobre las materias 6ue más perdiE la gente Dontabilidad, dministraciEn y Ouímica .iendo la clase de J0 alumnos, se tiene nFD∩∩O) ' 2 nFD∩) ' K
nF∩O) ' nFD) ' 2#
nFD∩O) ' 10 nF) ' 1#
nFO) ' $#
!:presar simbElicamente y hallar el número de personas de a) 4Duántos fracasaron e:actamente en una prueba8 b) 4Duántos aprobaron las $ pruebas8 c) 4Duántos fracasaron en la 1era y en la $ era, pero no en la segunda8 d) 4Duántos fracasaron al menos en dos pruebas8 e) 4Duántos aprobaron al menos una materia8 f) 4Duántos aprobaron la 2da E la $ era pero no la 1 era8 Solución:
U D
10
2 # 2
J
1%
O
a) nPFD∆)∆OQ ' $1 b) nFDUUO)M ' nFDUUO) ' nFD) G nF) G nFO) H nFD ∩) H nFD∩O) H nF∩O) G nFD∩∩O) nFDUUO) ' 2# G 1# G $# H K H 10 H G 2 nFDUUO) ' #2 nFDUUO)M ' J0 H #2 ' c) nPFD∩O) ∩MQ ' nFD∩O) ' 10 ||||| M ≡
U D
O
Ra respuesta es la parte 6ue tiene el doble rayado d) n9PFD∩) H FD∩∩O)QUPFD∩O) H FD∩∩O)QUF∩O)< ' 21 e) nPU H FD ∩∩O)Q ' # f) nPFMUOM) ∩DQ ' 2$
U D
10
# 2
2 J
1%
O
FM≡ U OM||| ) ∩D ' 2$ Una farmacia reba=E el precio de una lociEn y el de una crema Ra contabilidad al final de un día indicE 6ue JJ personas habían comprado cremaS 21 compraron lociEn y 21 ambos productos a 4Duántas personas apro3echaron la oferta8 b 4Duántas compraron solamente la lociEn8 c 4Duántas compraron solamente la crema8 Solución Donsideremos los siguientes con=untos D ' 9:;: comprE crema< R ' 9:;: comprE lociEn< ?e acuerdo al problema tenemos 6ue FD
R) ' 21
!ste será nuestro elemento cla3e para resol3er el problema, para ello la herramienta más práctica para solucionar el e=ercicio es mediante el uso de los diagramas de Aenn!uler
Dabe anotar 6ue dentro del total de personas 6ue ad6uirieron las cremas FJJ) se están contabili7ando las 6ue compraron cremas y lociones F12), de esta manera se tiene 6ue, para saber cuántas personas compraron SOLAMENTE cremas reali7amos el siguiente cálculo F.olamente Drema) ' FD) FD R) F.olamente Drema) ' ' #" ?e la misma manera, para conocer la cantidad de personas 6ue ad6uirieron .RT!/! lociones F.olamente Rociones) ' FR)
FD R) F.olamente Drema) ' '%
?e esta forma, 4cuántas personas apro3echaron la oferta8 D
R
D G R D R R)' FD R)' K# +ráficamente se obser3a la soluciEn del e=ercicio planteado FD
2 Una encuesta reali7ada a un grupo de empleados re3elE 6ue 2KK tenían casa propiaS 2$$ poseían automE3ilS "0# tele3isorS 1J# automE3il y tele3isorS 120 automE3il y casaS 1%0, casa y tele3isor y 10# tenían casa, automE3il y tele3isor a 4Duántas personas fueron encuestadas8 b 4Duántas personas tienen solamente casa propia8 c 4Duántas personas tienen solamente casa y tele3isor8 Soluci ón
Donsideremos con=untos
los
siguientes
D ' 9:;: tiene casa propia< / ' 9:;: tiene tele3isor< ' 9:;: tiene automE3il< ?e acuerdo tenemos 6ue
al
problema
FD
/ ) ' 10# !s decir, el número de empleados 6ue poseen los tres ser3icios corresponde a la intersecciEn de los tres con=untos partir de este cardinal, se encuentran los otros cardinales 6ue corresponden a las diferentes intersecciones entre los diferentes pares de con=untos 6ue puedan conformarse, tal como se obser3a a continuaciEn D FD F
/ ' 1%0 D ) ' 120 FD /) ' 1J# FD
/ / /
' 1%0 H 10# ' ) ' 120 H 10# ' ) ' 1J# H 10# '
?e esta manera, se puede representar gráficamente mediante los diagramas de Aenn!uler, así
bser3e 6ue la suma de los números 6ue se encuentran en la regiEn sombreada de corresponde al cardinal del con=untoS por e=emplo, FD) ' 2KK
FD) ' : G FD /) G ' : G 1# G10# G #, de donde : ' K2
FD
) G
FD
/)
.iguiendo el anterior raciocinio se llega a
a 5ara saber cuántas personas fueron encuestadas, calculamos el cardinal de la uniEn de los tres con=untos D / ' DG G / D / FD /) ' 2KK G 2$$ G "0# H 120 H 1%0 H FD /) ' #"#
/G
D
/
b Ra regiEn sombreada representa el número de personas 6ue tiene n solamente tienen casa propia, es decir, K2
c
Ra regiEn sombreada en la siguiente figura corresponde al número de personas 6ue solamente tienen casa y televisor F1%0 ' 10# G #) 6ue se obtiene de D FD FD FD
/ ' D G / /) ' FD) G F/) /) ' 2KK G "0# H "%2 /) ' 1%0
/ /)
!=ercicios propuestos
10) Un alumno de la facultad efectúa una encuesta sobre un grupo de 100 estudiantes acerca de los hábitos de estudio en la biblioteca de ingenierías y aporta los siguientes datos !studian -ísica "0, álgebra ##, geometría ##, física y álgebra 1#, física y geometría 20, álgebra y geometría $0, estudian las tres asignaturas 10, no asisten a la biblioteca # 5uede asegurarse 6ue la encuesta reali7ada es correcta8 11) !n una in3estigaciEn reali7ada sobre los hábitos de lectura de los estudiantes de la Uni3ersidad se encuentra 6ue " leen la re3ista , #0 la re3ista B, $0 la re3ista D, 20 la re3ista y B, 10 las re3istas B y D, 1$ las re3istas y D, 10 no leen ninguna de las re3istas Lallar el porcenta=e y e:presarlo simbElicamente a) 4OuN porcenta=e leen las tres re3istas8 b) 4OuN porcenta=e leen e:actamente dos re3istas8 c) 4OuN porcenta=e leen al menos dos re3istas8 d) 4OuN porcenta=e leen la re3ista o la D, pero no la B8 e) 4OuN porcenta=e leen e:actamente una re3ista8 f) 4OuN porcenta=e no leen la re3ista B y la D, pero si la 8 12) !n una encuesta hecha a 100 personas sobre sus conocimientos de idiomas resultE lo siguiente Lablan inglNs 2KS francNs 22S italiano 12S inglNs y francNs 10S francNs y alemán %S ingles, francNs y alemán JS alemán e italiano #S 1% hablan inglNs pero no alemánS el número de los 6ue hablan alemán es el triple de los 6ue hablan únicamente francNsS ninguno de los 6ue hablan italiano hablan ni francNs ni inglNs
Donceptos básicos sobre teoría de con=untos Lallar el número de personas y e:presarlo simbElicamente a) 4Duántos no hablan ninguno de los " idiomas8 b) 4Duántos hablan únicamente alemán8 c) 4Duántos saben al menos 2 idiomas8 d) 4Duántos saben italiano o francNs pero no inglNs8 e) 4Duántos no saben alemán y no saben inglNs, pero saben francNs8
