Autor: Ing° RYarihuaman A.
CAPITULO 6 I. METODO: DETERMINACIÓN DE LA INCLINACIÓN (t) 1. GENERALIDADES Durante la solución del problema fundamental de la fotogrametría, entendida como la obtención de coordenadas de los puntos del terreno a través de las coordenadas de sus imágenes, el valor de la inclinación inclinación de la aerofotografía es obtenida directa o indirectamente. Los métodos de determinación de inclinación, pueden ser clasificados en exactos y aproximados, en ambos se requiere conocer: -
La distancia principal del fotograma y Las coordenadas de por lo menos tres (03) puntos puntos de apoyo y sus imágenes.
Con estos, es posible calcular los valores valores de los parámetros de Orientación Espacial: -
Ángulo de inclinación (t) Ángulo de orientación (s) Acimut de la línea principal () Coordenadas del centro de perspectiva-CP en el sistema sistema del terreno, incluye la altura de vuelo (Z).
Los métodos aproximados actualmente no son empleados.
2. METODO DE CHURCH Es un método exacto, que da solución al problema de la Resección y Orientación Espacial, es decir, se obtiene las coordenadas tridimensionales del CP y los parámetros de orientación de la aerofotografía en relación al terreno, respectivamente. Ofrece una solución completa al problema fotogramétrico, sin embargo a pesar de su poca flexibilidad, es útil en el cálculo de la inclinación por su simplicidad en el proceso y precisión. El método tiene como base, la propiedad perspectiva de los ángulos: “Los ángulos formados por dos rayos (rectas) son invariables, independiente de la inclinación del pla no de la imagen en relación al plano datum del terreno.”
Ver figura 1. Geometría de la resección espacial. Datos de entrada, necesarios: a. Las coordenadas coordenadas de por lo menos tres (03) puntos de apoyo en un determinado sistema del terreno (por ejemplo, UTM). b. Las coordenadas de las imágenes de los los puntos de apoyo en el sistema de la foto con origen en el CP y los ejes XX´ y YY´ , paralelos a los sistemas sistemas de la marcas. c. Las coordenadas aproximadas del CP, en en el sistema del terreno escogido para los puntos de apoyo. La obtención de estas coordenadas son aproximadas, la Z la altura de vuelo nominal de acuerdo al datum vertical vertical referido, las coordenadas (Xo, Yo) pueden ser obtenida, identificando el punto principal de la foto en una carta topográfica, o identificando e interceptando, líneas radiales en la foto y/o carta.
1
Autor: Ing° RYarihuaman A.
El problema es resuelto por aproximaciones sucesivas, de tal forma que las coordenadas aproximadas del CP se ajusten a la propiedad de la perspectiva que es base del método. Obteniéndose: a. El valor del ángulo de inclinación (t) b. El valor del ángulo de orientación (s) c. El valor del acimut de la línea principal ()
3. SECUENCIA DEL CALCULO: a. DATOS: - Xi, Yi, Zi : coordenadas de por lo menos tres (03) puntos de apoyo. - Xo, Yo, Zo : coordenadas aproximadas iniciales del CP xi, yi, zi, :coordenadas imágenes en la foto, de los puntos de apoyo, observar que zi = -f. b. CALCULO DE LAS DISTANCIAS DISTANCIAS DEL CP A LAS IMÁGENES IMÁGENES DE LOS PUNTOS DE APOYO: d 2 i x 2 i y 2 i z 2 i
2
Autor: Ing° RYarihuaman A. c. CALCULO DE DE LOS COSENOS DIRECTORES DE LOS RAYOS PERSPECTIVOS PERSPECTIVOS EN EL SISTEMA DE LA FOTO: l i
x i
; mi
d i
y i d i 2
Verificar el cálculo:
;
1 l
i
m
2
i
n
2
ni
z i
d i
i
d. CALCULO DE LOS ANGULOS ENTRE LOS RAYOS PERSPECTIVOS: Con base en la ecuación del ángulo entre dos rectas, se tiene: cos cos cos cos 1 cos cos 2
cos cos 1 cos cos 2
cos cos 1 cos cos 2
, donde 1,2 ; 1,2; 1,2, corresponden a los ángulos que cada recta forma con los ejes del sistema de coordenadas. ki , es el coseno del ángulo comprendido entre dos rayos perspectivos con origen en el CP, al plano de la foto.
k i
l . l j
i
mi . m j
ni. n j
, donde j = i + 1..... Identifican los puntos de
apoyo en las imágenes. Este cálculo de k i, debe realizarse con mucha atención, por cuanto, no existen valores aproximados, no tiene ningún control, por lo tanto es definitivo el valor que se obtiene. e.
CALCULO DE DISTANCIAS INICIALES DEL CP A PTOS. DE APOYO: D
2
i
( X i
X 0
)2
(Y i
Y o
)2
( Z i
Z o )
2
f. CALCULO DE LOS COSENOS DIRECTORES DE LOS RAYOS RAYOS PERSPECTIVOS EN EN EL SISTEMA DEL TERRENO: Li
g.
( X i
X o )
Di
;
M i
(Y i
Y o )
Di
;
N i
( Z i
Z o )
Di
CALCULO DE LOS ANGULOS ENTRE LOS RAYOS PERSPECTIVOS: Ki , es el coseno del ángulo comprendido entre dos rayos perspectivos desde el CP al terreno.
K i
Li . L j
M i . M j
N i. N j
; Donde j = i + 1,...son los puntos en el
terreno Si las coordenadas aproximadas del CP, coincidieran con las verdaderas del sistema del terreno, de acuerdo con la propiedad fundamental del método, el coseno del ángulo entre los rayos perspectivos sobre el terreno y el correspondiente en las imágenes, también coincidirían. K i h.
k i
CALCULO DE LAS CORRECCIONES PARA XO, YO, ZO Como las coordenadas iniciales del CP son aproximadas, entonces: K i k i K i k i K i
3
Autor: Ing° RYarihuaman A. , para determinar las correcciones Xo, Yo, Zo, que causan las discrepancias ki , obtendremos la diferencial total de k i , teniendo como variables X O, Y O, ZO. Como los incrementos son pequeños, las ecuaciones de corrección tendrán la forma siguiente: K i Ai . ( X ) Bi . (Y ) C i . (Z ) , los coeficientes A, B, C, se obtienen a través de variables auxiliares, que llamaremos Ii, Ji : I i
k i .
J i
1
1
Di
k i .
D j
1
1
D j
Di
Observar que el uso de k i, debido a que su cálculo es definitivo, independiente de las coordenadas del CP. Se tiene que: Ai
Li I i
Bi
M i I i
C i
N i I i
L j J i
M j J i
N j J i
Las tres ecuaciones de corrección (∆Ki) se resuelven por la “ Regla de Cramer ” o solución de ecuaciones matricial x= R -1L, si hubiera más de tres puntos de apoyo, tendríamos superabundancia de ecuaciones, por lo tanto, el sistema tendría que solucionarse mediante un proceso de ajuste por ejemplo mínimos cuadrados. Los valores de las incógnitas Xo, Yo, Zo , son sumados a las coordenadas iniciales del CP, obteniendo de esta forma los primeros valores corregidos, los mismos que son utilizados en el recalculo de los ángulos entre los rayos perspectivos, repitiendo lo actuado en las letras “e, f, g, h” de la secuencia del cálculo, obteniéndose el nuevo Ki. Si este no es satisfactorio de acuerdo a la tolerancia propuesta por ejemplo 10-7, se repite el cálculo de los nuevos Xo, Yo, Zo. Para tal efecto se utiliza los mismos coeficientes de Ai, Bi, Ci, por cuanto las variaciones son mínimas, salvo que las coordenadas del CP contengan errores muy groseros. El procedimiento se repite hasta alcanzar la tolerancia, conseguido, se usan los últimos cósenos directores Li, Mi, Ni,. Para el cálculo de los parámetros de orientación espacial (t, s, α), mediante la formación de 3 conjuntos de 3 ecuaciones simultaneas, que contienen las nueve incógnitas: l 1u1
m1v1
l 2 u1
m2 v1
n2 w1
L2
l 3u1
m3 v1
n3 w1
L3
n1 w1
L1
;
l 1u 2
m1v 2
l 2 u 2
m2 v 2
n2 w2
M 2
l 3 u 2
m3 v2
n3 w2
M 3
n1 w2
M 1
;
l 1u 3
m1v3
l 2 u 3
m2 v3
n2 w3
N 2
l 3u 3
m3 v3
n3 w3
N 3
n1 w3
N 1
Ver figura 2-23: Computo del Método de Church, resección y orientación espacial.
4
Autor: Ing° RYarihuaman A. Solución Analógica: SOLO REFERENCIAL
5
Autor: Ing° RYarihuaman A. SPACE RESECT ION AND AND ORIENTATION
INGRESAR DATOS I Ground Xg 1 57934 2 31378 3 54204
II-1 II-1
RESULTADO
Coordinate (Ft.) Yg Zg 20972 61 612 30476 107 40103 2734
Image Image Coordi Coordinate nates s (mm) (mm) x y 1 10.74 98.28 2 75.91 -105.47 3 -101.53 -22.69
II-2
Xg - Xo
Yg - Yo
Estimated values values First adjusted value Sec ond adjusted value Thrid adjus ted value Fourth adjusted value 5to adjus ted value 6to adjus ted value 7mo adjusted value
z= -f -152.4 -152.4 -152.4 Zg - Zo
2 3 4 5 6 7 8
d
Camera Station (Ft.) Xo Yo 48000.0 30517.0 50020.907 30037.623 50016.734 30001.398 50001.837 30000.789 50001.283 30001.867 50001.397 30002.006 50001.405 30002.013 50001.404 30002.014
Zo 19100.0 20161.447 20002.227 19998.869 20000.395 20000.501 20000.494 20000.494
181.66 200.28 184.52
l 0.059122 0.379020 -0.550228
m 0. 541013 -0 -0.526613 -0.122965
n -0.838934 -0.760935 -0.825911
k 0.375877868 0.484672743 0.593828088
Angulo ° 67.9214192 61.00896635 53.57086587
1 2 3
9934 -16622 6204
-9545 -41 9586
-18488 -18993 -16366
D 23056 25239 19956
L 0.430857 -0.658574 0.310890
M -0 -0.413985 -0 -0.001624 0. 480366
N -0.801860 -0.752514 -0.820120
K 0.320332666 0.411627575 0.592705718
Angulo ° 71.31695569 65.69288242 53.65074981
1 2 3
7913 -18643 4183
-9066 438 10065
-19549 -20054 -17427
22956.12 27384.87 20555.44
0.344705 -0.680774 0.203503
-0 -0.394911 0. 016008 0. 489670
-0.851601 -0.732319 -0.847827
0.382654928 0.490178265 0. 5987823
67.50176775 60.64770093 53.21726399
1 2 3
7917 -18639 4187
-9029 475 10102
-19390 -19895 -17268
22807.76 27266.24 20439.35
0.347130 -0.683583 0.204863
-0 -0.395891 0. 017406 0. 494223
-0.850159 -0.729665 -0.844852
0.376148259 0.485020835 0.593713933
67.90469996 60.98616256 53.57899451
1 2 3
7932 -18624 4202
-9029 475 10102
-19387 -19892 -17265
22809.84 27253.62 20439.88
0.347752 -0.683353 0.205587
-0 -0.395829 0. 017437 0. 494240
-0.849934 -0.729880 -0.844666
0.375811004 0.484634572 0.593769281
67.92555329 61.01146667 53.57505345
1 2 3
7933 -18623 4203
-9030 474 10101
-19388 -19893 -17266
22811.76 27254.33 20440.75
0.347747 -0.683315 0.205605
-0 -0.395843 0. 017397 0. 494167
-0.849930 -0.729917 -0.844705
0.375871273 0.484668191 0.593826008
67.92182695 61.00926453 53.57101394
1 2 3
7933 -18623 4203
-9030 474 10101
-19389 -19894 -17267
22811.86 27254.49 20440.74
0.347740 -0.683315 0.205599
-0 -0.395847 0. 017391 0. 494160
-0.849931 -0.729917 -0.844710
0.375877994 0.484672908 0.593828394
67.92141137 61.00895551 53.57084405
1 2 3
7933 -18623 4203
-9030 474 10101
-19388 -19893 -17266
22811.86 27254.49 20440.73
0.347740 -0.683315 0.205599
-0 -0.395847 0. 017391 0. 494160
-0.849930 -0.729916 -0.844710
0.375877899 0.484672786 0.593828097
67.92141728 61.00896355 53.57086517
∆K 2=k -K
∆K 3=k -K
II-3
II-4
II-5
II-6
II-7
II-8
ADJUSTMENT ADJUSTMENT EQUATIONS EQUATIONS Δk=
A (Δ X˳) + B (Δ Y˳) + C (Δ Z˳) =
III 1 2 3
I -2.3 -2.331 3181 81EE-05 05 -3.0 -3.090 9082 82EE-05 05 -1.3 -1.361 6145 45EE-05 05
J -2.8 -2.847 4794 94EE-05 05 -1.5 -1.533 3331 31EE-05 05 -2.4 -2.435 3557 57EE-05 05
A
B
8.70 8.7090 90EE-06 06 1.55 1.5588 88EE-05 05 -1.4 -1.472 726E 6E-0 -05 5
C
∆K 1=k -K
9.69 9.6996 96EE-06 06 4.01 4.01EE-05 05 -7.3 -7.315 153E 3E-0 -06 6 3.58 3.5834 34EE-05 05 3.54 3.5430 30EE-06 06 3.06 3.0695 95EE-05 05
0.05 0.0555 5545 452 2 0.07 0.0730 3045 452 2 0.00 0.0011 1122 224 4 1s t A dj dj us us t
Matriz Inversa
23547.11876 67404.74794 3516.873712
Matriz M: Integrada por los cosenos l, m, n (1,2,3)
-0.0 -0.006 0677 7771 71 -0.0 -0.005 0550 5055 55 -0.0 -0.004 0495 9542 42 2nd A dj dj us us t
∆K4= k -K
-0.0 -0.000 0027 2704 04 -0.0 -0.000 0034 3481 81 0.00 0.0001 0114 142 2 3rd A dj dj us us t
10420.70709 -42948.982 -57496.17823 -20999.17 11635.85922 14396.7732
2020.907 -479.377 1061.447
CALCULO PARA ENCONTRAR ENCONTRAR u,v,w (1,2,3) Oz= Inv M . C C= Coseno Director de OA,OB, OC con Z Inversa Matriz M 0.488895315 0.787676587 -1.222313 1.047953426 -0.731027944 -0.3909602 -0.48172969 -0.41591719 -0.3382625 Ox = Inv M . A A= Coseno Director de OA,OB, OC con X
Oy = Inv M . B B= Cose Coseno no Dire Directo ctorr de de OA,O OA,OB, B, OC OC con con Y
-4.173 -36.225 -159.220
-14.897 -0.609 -3.358
0.00 0.0000 0066 669 9 0.00 0.0000 0038 382 2 0.00 0.0000 0058 588 8 4t h A dj dj us us t
1: ∆Xo ∆Yo ∆Zo : ∆Xo ∆Xo ∆Yo ∆Zo3: ∆Zo3: ∆Xo ∆Xo ∆Yo ∆Zo ∆Zo
∆K 5=k -K
4: ∆Xo ∆Yo ∆Zo
-0.553 1.077 1.526
∆K6= k -K
0.00 0.0000 0006 066 6 0.00 0.0000 0004 046 6 0.00 0.0000 0002 021 1 5t o A dj dj us us t
-0.0 -0.000 0000 0001 01 -0.0 -0.000 0000 0002 02 -0.0 -0.000 0000 0003 03 6t o A dj dj us us t
0.0000001
∆K 7=k -K
0.00 0.0000 0000 000 0 0.00 0.0000 0000 000 0 0.00 0.0000 0000 000 0 7 m o A dj dj us us t
4: ∆Xo ∆Yo ∆Zo 4: ∆Xo ∆Yo ∆Zo : ∆Xo ∆Xo ∆Yo ∆Zo ∆Zo
0.113 0.139 0.106
0.008 0.007 -0.007
-0.001 0.001 -0.001
-57.43129481 -57.43129481 Oz= u(3), v(3), w(3) 0.042035179 -0.02685028 Ta Tan(s )= -u(3)/-v( 0.998755292 Cos t= w(3)
302.5687052 2.859015419
Grado 302 2
Minuto 34 51
Segundo 7.339 32.456
250.9228878
250
55
22.396
Ox = u(1), v(1), w(1) -0.619529342 -0.619529342 0.783556762 0.047139438 Oy = u(2), v(2), w(2) -0.7 -0.783 8384 8471 7159 59 -0.620739746 0.016302408 tan α = -w(1)/-w -w(1)/-w "α geodesico"
6
Autor: Ing° RYarihuaman A.
FIGURA 3: VALORES DE LOS PARÁMETROS DE ORIENTACIÓN.- t, s, i.
CALCULO DE LOS PARÁMETROS DE ORIENTACIÓN ESPACIAL: Sea “ ui, vi, wi ”, los cósenos directores de los ejes “x, y, z” (sistema paralelo al sistema de las marcas, con origen CP) con relación a los ejes del sistema del terreno “X,Y,Z”.
, v , w .... se refieren a los ejes x, y, z
u
i (1, 2, 3) ....se refieren a los ejes X, Y, Z Por lo tanto: u
1
u
2
u3 v
1
v
2
v3 w
1
w2 w3
Coseno del ángulo entre x – X
Coseno del ángulo entre x – Y
Coseno del ángulo entre x – Z
Coseno del ángulo entre y – X
Coseno del ángulo entre y – Y
Coseno del ángulo entre y – Z
Coseno del ángulo entre z – X
Coseno del ángulo entre z – Y Coseno del ángulo entre z – Z
7
Autor: Ing° RYarihuaman A. Como observamos son nueve los parámetros, a través de ellos es posible calcular los ángulos t, s, (parámetros de orientación). Ver figura 3.: Valores de los parámetros de orientación. cos t = w3 tan s = -u3 / -v3 tan = -w1 / -w2
.....(1) .....(2) .....(3)
Como realizar el calculo?
Los parámetros ui, v i, wi, pueden ser calculados también, a través del ángulo formado por dos rectas, ejemplo la recta OA con X, así tendremos: cos
cos cos 1
a
1
Coseno del ángulo entre la recta OA y eje x.
cos cos 1
b1
Coseno del ángulo entre la recta OA y eje y.
c
Coseno del ángulo entre la recta OA y eje z.
cos 1
A1 Coseno del ángulo entre la la recta OA y eje X.
1
cos cos 2
u
Coseno del ángulo entre eje X con eje x.
cos cos 2
v
Coseno del ángulo entre eje X con eje y.
1
1
w1 Coseno del ángulo entre eje X con eje z.
cos 2
Por lo tanto, el coseno del ángulo entre la recta OA y el eje X, será:
A1
a1 .u1
b1 .v1
c1 .w1
...... (4)
l 1u1
m1v1
l 2 u1
m2 v1
n 2 w1
L2
l 3u1
m3 v1
n3 w1
L3
n1 w1
L1
, el eje X con las rectas OB y OC, respectivamente tendremos: A2
a2 .u1
A3
a3 .u1
b2 .v1
c2 .w1
.......(5)
c3 .w1
.......(6)
b3 .v1
Las expresiones (4), (5) y (6) en forma matricial:
A1 a1 A a 2 2 A3 a3
Donde:
a1 a 2 a3
b1 b2 b3
c 2 M c3
b1 b2 b3
u1 c2 v1 c3 w1
c1
c1
u v w
1
y
1
1
O x
Si, tenemos en consideración los ejes Y y Z, se obtendrán las otras seis (06) ecuaciones. En forma abreviada matricial, las nueve (09) ecuaciones, serian expresadas de la manera siguiente: A = M Ox B = M Oy
.......... (7) .......... (8)
8
Autor: Ing° RYarihuaman A.
u .......... (9) ; v w
2
C = M Oz
2 2
O y ,
u3 v O z 3 w3
A = Matriz, cósenos directores del ángulo de las rectas OA, OB, OC con eje X. B = Matriz, cósenos directores del ángulo de las rectas OA, OB, OB, OC con eje Y C = Matriz, cósenos directores del ángulo de las rectas OA, OA, OB, OC con eje Z M = Matriz, cósenos directores, ángulo de rectas OA, OB, OC con ejes x,y,z; para los cálculos considerar los cósenos de las rectas Oa, Ob, Oc Ox = Matriz, cósenos directores, ángulo de rectas eje X con ejes x,y,z Oy = Matriz, cósenos directores, ángulo de rectas eje Y con ejes x,y,z x,y,z Oz = Matriz, cósenos directores, ángulo de rectas eje Z con ejes x,y,z x,y,z Con la finalidad de encontrar los parámetros de orientación, se resuelven las ecuaciones (7), (8) y (9); mediante la regla de Cramer u otros métodos se soluciona el sistema: Ox = M-1 A Oy = M-1 B Oz = M-1 C La última relación incluye el valor w 3, ver (1), posibilita el cálculo de la inclinación (t), de la misma forma las otras dan solución al problema de la orientación espacial. cos t = w3 tan s = -u3 / -v3 tan = -w1 / -w2
EJERCICIO 1: En trabajos individuales, programar en hoja de cálculo Excell, el formato de computación del método de Church, que indica la fig 2.3 Computation form for the Church Method of space resection and space orientation. Solucionar aplicando matrices. Identificar los datos de ingreso, cálculos, resultados.
EJERCICIO 2: Las imágenes de tres puntos de control aparecen sobre la aerofoto inclinada tomada con una cámara que tiene una distancia focal de 150,0 mm. Las coordenadas fotogramétricas y los correspondientes valores de los puntos de control de campo son los siguientes:
Puntos A B C
Coordenadas Fotogramétricas Puntos de X (mm) Y (mm) X (pies) -100.78 71.11 1,531,367.3 106.19 76.02 1,528,225.0 2.23 -91.47 1,530,737.5
campo Y (pies) 500,413.2 501,830.2 503,649.0
Elevación (pies) 611.7 934.4 799.1
Empleando el método de Church, solución matricial , calcular los seis elementos de orientación exterior de la foto, Δk=0.00000001
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