Cálculo Vetorial - Apostila Christian.pdf

Grupo de Ensino e Pesquisa em Educação Matemática Notas de Aula No 5

5

.5

Christian Q. Pinedo

ii

Cálculo Vetorial e Séries

A meus pais Noemi e Em memória: Christian .

iii

iv


Título do original Cálculo Vetorial e Séries

Julho de 2010

Direitos exclusivos para língua portuguesa: UFT - CAMPUS DE PALMAS

Coordenação de Engenharia Civil/Elétrica Pinedo. Christian Quintana, 1954 512.8

Cálculo Vetorial e Séries / Christian José Quintana Pinedo : Universidade Federal do Tocantins. Campus de Palmas, Curso de Engenharia Civil/Elétrica, 2010. 250 p. il.

297mm

I. Cálculo Vetorial e Séries. Christian Q. Pinedo. II. Série. III. Título CDD 512.8 ed.

CDU

SUMÁRIO PREFÁCIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA

ix 1

1.1

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Principais propriedades da integral dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.4

Regras de cálculo das integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4.1

Integrais duplas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Exercícios 1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.5

Cálculo de áreas e volumes com integração dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.6

Mudança de variável em integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.6.1

Jacobiano de uma função de n variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Integrais duplas en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.7.1

Integrais iteradas em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Exercícios 1-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Aplicações da integral dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.8.1

Valor promédio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.8.2

Centro de massa de uma lâmina

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.8.3

Momentos de inércia de uma lâmina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.8.4

Área de uma superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

Exercícios 1-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Integrais triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

1.9.1

Integrais triplas mediante integrais iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

1.9.2

Volumes mediante integrais triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

1.9.3

Integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas . . . . . . . . . . .

39

1.10 Centro de massa e momentos de inércia de um sólido . . . . . . . . . . . . . . . .

42

Exercícios 1-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

1.7

1.8

1.9

2 INTEGRAL DE LINHA

47

2.1

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.2

Curvas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.3

Integral de linha de uma função escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.4

Aplicações da integral de linha de funções escalares . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

v

vi

Cálculo Vetorial e Séries Exercícios 2-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

Campos vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

2.5.1

Gradiente. Divergente. Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

Integral de linha de um campo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

2.6.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

2.7

Propriedades Fundamentais da integral de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

2.8

Integral de linha de um campo vetorial conservativo . . . . . . . . . . . . . . . .

76

2.9

Aplicações da integral de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

2.10 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

Exercícios 2-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

2.5 2.6

Trajetórias opostas

3 INTEGRAL DE SUPERFÍCIE

91

3.1

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

3.2

Superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

3.2.1

Plano tangente. Vetor normal a uma superfície . . . . . . . . . . . . . . .

95

3.2.2

Existência da integral de superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Exercícios 4-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.3

Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.4

Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Exercícios 4-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4 SEQÜÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS

109

4.1

INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.2

SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS REAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.2.1

Classificação: Limitação e Monotonia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.2.2

Subseqüências. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Exercícios 4-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.3

LIMITE DE SEQÜENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.3.1

Limite de uma seqüência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.3.2

Propriedades do limite de seqüência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.3.3

Seqüência de Cauchy.

4.3.4

Espaço métrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Exercícios 4-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.4

SEQÜÊNCIAS CONVERGENTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.4.1

Propriedades Fundamentais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.4.2

Critérios de Convergência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.4.3

Consequência da Propriedade (4.18). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.4.4

Teorema de Bolzano - Weirstrass. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Exercícios 1-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Miscelânea 1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

vii

Christian José Quintana Pinedo 5 SÉRIES DE NÚMEROS REAIS

155

5.1

INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.2

SOMATÓRIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Exercícios 2-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.3

SÉRIES DE NÚMEROS REAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.3.1

Série geométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

5.3.2

Série harmônica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

5.3.3

Série p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.3.4

Critério do n-ésimo termo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5.3.5

Condição de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

5.3.6

Propriedade de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Exercícios 5-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.4

SÉRIE DE TERMOS POSITIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.4.1

Critério de comparação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

5.4.2

Critério de integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

5.4.3

Critério de comparação no limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

5.4.4

Critério de Raabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Exercícios 5-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 5.5

SÉRIE ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 5.5.1

Condicionalmente convergente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

5.5.2

Critério de comparação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

5.5.3

Critério D’Alembert’s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

5.5.4

Critério de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

Exercícios 2-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 5.6

SÉRIES ALTERNADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 5.6.1

Critério de Leibnitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

5.6.2

Sumário dos Critérios para Séries de Números. . . . . . . . . . . . . . . . 206

Exercícios 2-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 APÊNDICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . História do cálculo.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

209

. . . . . . . . . . . . . . . . 209

viii


PREFÁCIO

Prosseguindo o nosso objetivo o qual é apresentar um bom material de estudo para suprir a carência de material adequado ao Cálculo Espacial para nossos leitores, apresentamos esta versão do livro Cálculo Vetorial e Séries Numéricas. A finalidade deste trabalho é orientar a metodologia para que o leitor possa identificar e construir um modelo matemático e logo resolvê-lo. A ordem de apresentação dos temas desenvolvidos, é somente com o desejo de que os leitores sejam os beneficiados em lograr maior entendimento do Cálculo Integral de funções de varias variáveis com valores reais.e estudo das Séries com números reais. Os estudantes, e professores e leitores em geral vinculados com o estudo da matemática avançada, espero encontrem nesta obra temas para a preparação de suas aulas, assim como para a aplicação de testes de avaliação. Cada capítulo se inicia com os objetivos que se pretende alcançar; os exercícios apresentados em quantidade suficiente, estão classificados de menor a maior dificuldade. No capítulo 1 o estudo de integrais múltiplas e suas aplicações no cálculo de áreas e volumes, assim como também na aplicação na busca do valor promédio, centros de massa, momentos de inércia, e cálculo de superfície. Quando necessário se faz uso para os cálculos das integrais mudanças de variáveis a coordenadas polares, cilíndricas, esféricas e outras. O capítulo 2 esta reservado para o estudo dos campos vetoriais, das integrais de linha, o teorema de Green e suas aplicações diversas, assim como a relação importante entre integral de linha e integral dupla No capítulo 3 se apresenta o estudo da integral se superfície, os teoremas de Stokes e o de ix

x


Gauss assim como suas aplicações. Os dois últimos capítulos abordam temas das seqüências e series de números reais respectivamente. Este livro terá melhor entendimento desde que seja estudado o livro “Integração e Funções de várias Variáveis” do mesmo autor, pois as notações, enfoque e abordagem dos temas segue a mesma linha do pensamento. Fico profundamente grato pela acolhida desde trabalho e pelas contribuições e sugestões dos leitores.

Christian Quintana Pinedo. Palmas - TO, julho de 2010

“A Matemática é a honra do espírito humano” Leibniz

Capítulo 1

INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA Carl Gustavo Jacob Jacobi nasceu em Postdam, Prússia, Alemanha, em 10 de dezembro de 1804. O primeiro mestre de Carl foi um dos seus tios maternos, quem ensino a ele os idiomas clássicos e matemática, preparando-lo para ingressar ao Instituto de Postdam em 1816 ainda com 12 anos. Desde muito cedo Jacobi deu provar de ter uma "inteligência brilhante"segundo declarou o diretor do Instituto quando Jacobi se formou em 1821 para logo ingressar á Universidade de Berlin e se doutorar em 1825. Em 1827 era indicado para professor extraordinário de Konigsberg ficando como professor permanente em 1829.

C. Jacob

Como Gauss, Jacobi poderia lograr uma grão reputação em filologia, se não for atraído pela matemática. Havendo observado em Jacob que tinha gênio matemático, o professor Heinrich Bauer deixou Jacobi trabalhar do jeito que queria, pois Jacob tinha se revelado a aprender a matemática de memória, ele dizia que seguia regras. O desenvolvimento matemático de Jacob oferece em certos aspetos um curioso paralelo com o seu rival H. Abel, também Jacob estudo muito as obras de L. Euler e J. Lagrange que aprendeu álgebra e cálculo conhecendo bem a teoria dos números. Esta auto-instrução iria a dar a Jacob forças para escrever sua primeira obra sobre funções elípticas, Euler, o mestre dos recursos engenhosos, achou em Jacob seu brilhante sucessor sua inspiração foi muito mais formalista que rigorista . Jacob e Abel de modo independente e simultâneo lançaram as bases da teoria das funções elípticas, tendo Jacob introduzido o que hoje constitui a notação para elas. Jacob ao lado de Cauchy foram os matemáticos que mais contribuíram para a teoria dos determinantes. Fui com ele que a palavra determinante recebeu aceitação final. Desde logo usou o determinante funcional que posteriormente Sylvéster iria a chamar de Jacobiano. Jacob também contribuiu para a teoria dos números, para a teoria das equações diferenciais ordinárias e parciais, para o calculo das variações e outros problemas da dinâmica. Em 1842 renuncia a sua cadeira em Konigsberg e com uma pensão do governo da Prússia viveu ate sua morte em 1851.

1

2


1.1

Introdução

Na tentativa de resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de integral definida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido e, no processo, chegar à definição de integral dupla.

1.2

Integrais duplas

Definição 1.1. Uma função f : D ⊆ R2 −→ R com domínio D dizemos que é limitada (acotada) em D se

existem r, s ∈ R tais que r ≤ f (x, y) ≤ s, D.

∀ (x, y) ∈ D

Seja f : D ⊆ R2 −→ R uma função limitada no conjunto fechado D, e f (x, y) > 0 ∀ (x, y) ∈ Tracemos retas paralelas aos eixos coordenados como indica a Figura (1.2), e suponhamos

que r1 , r2 , r3 , · · · , rn sejam retângulos que cubram a região D (uma cobertura de D).

Figura 1.1: Definição 1.2. Partição de um conjunto. O conjunto P = { r1 , r2 , r3 , · · · , rn } constitui uma partição da região fechada D. Definição 1.3. Norma de uma partição. A norma da partição P denotada kPk por definição é o comprimento da diagonal maior de

todos os retângulos ri contidos em P.

Seja A(ri ) = 4i x4i y a área do i-ésimo retângulo ri ∈ P, e seja (xi , yi ) um ponto arbitrário

escolhido noi-ésimo retângulo ri .

A soma de Riemann da função f : D ⊆ R2 −→ R associada à partição P é m X

f (xi , yi )A(ri ) =

i=1

m X

f (xi , yi )4i x4i y

i=1

onde f (xi , yi ) é a imagem da função para o ponto (xi , yi ) ∈ ri ,

i = 1, 2, 3, · · · , n.

Geometricamente, a soma de Riemann representa o volume do sólido embaixo da superfície

z = f (x, y) como indica a Figura (1.2).

3

Christian José Quintana Pinedo

Figura 1.2: Definição 1.4. Seja f : D ⊆ R2 −→ R uma função limitada na região fechada D. Um número L é o limite n X f (xi , yi )A(ri ) , se ∀ > 0, existe δ > 0 tal que da soma de Riemann i=1

n X f (x , y )4 x4 y − L < i i i i i=1

para toda partição P com ||P|| < δ e toda eleição do ponto (xi , yi ) ∈ ri ,

i = 1, 2, 3, · · · , n.

Por equivalência esta definição podemos expressar como L = lim

||P ||→0

n X

f (xi , yi )A(ri )

i=1

Caso exista o número L, sempre é único. Em coordenadas cartesianas a integral dupla escreve-se na forma

Z Z

f (x, y)dA.

D

Definição 1.5. Uma função limitada f : D ⊆ R2 −→ R é integrável sobre a região fechada D, e se escreve Z Z

D

f (x, y)dA = lim

||P ||→0

n X

f (xi , yi )A(ri )

i=1

Se f : D ⊆ R2 −→ R éZuma Z função integrável na região fechada D, e f (x, y) > 0,

D então a integral dupla

∀ (x, y) ∈

f (x, y)dA é igual ao volume do corpo cilíndrico limitado na parte

D

superior pela superfície z = f (x, y), nas laterais pela superfície cilíndrica cujas geratrizes são paralelas ao eixo-oz e na parte inferior pelo plano-xy. Propriedade 1.1. Se uma função f : D ⊆ R2 −→ R é contínua na região fechada D, então f é integrável. A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor.

4


1.3

Principais propriedades da integral dupla

Se a função f (x, y) é contínua na região fechada D, o limite da soma integral existe e não depende do procedimento da divisão da região D em regiões elementares e da seleção dos pontos em P . Suponhamos f : D ⊆ R2 −→ R uma função integrável na região fechada D, e seja C uma

constante, então C.f é integrável e: Z Z Z Z 1. Homogeneidade: C · f (x, y)dA = C · f (x, y)dA. D

2. Linearidade:

Z Z

D

[f (x, y) + g(x, y)]dA =

D

3. Linearidade: Z Z

f (x, y)dA +

D

Z Z

g(x, y)dA.

D

Se f (x, y) = f1 (x, y) + f2 (x, y) + f3 (x, y) + · · · + fn (x, y), então

f (x, y)dA =

D

Z Z

f1 (x, y)dA+

D

4. Aditividade: Se

Z Z

Z Z

f2 (x, y)dA+

D

Z Z

f3 (x, y)dA+· · ·+

D

Z Z

fn (x, y)dA

D

D = D1 ∪ D2 ∪ D3 + · · · ∪ Dn tais que Di ∩ Dj = ∅ se i 6= j e f (x, y) é

integrável sobre cada uma das regiões, então Z Z

D

f (x, y)dA =

Z Z

f (x, y)dA+

D1

Z Z

f (x, y)dA+

D2

Z Z

D3

5. Se g(x, y) é integrável em D, tal que g(x, y) ≤ f (x, y), Z Z

g(x, y)dA ≤

D

6. Se m ≤ f (x, y) ≤ M,

f (x, y)dA+· · ·+

Z Z

Z Z

f (x, y)dA

Dn

∀ (x, y) ∈ D, então

f (x, y)dA

D

∀ (x, y) ∈ D então para A(D) área da região D, tem-se: m.A(D) ≤

Z Z

f (x, y)dA ≤ M.A(D)

D

7. Sendo f (x, y) integrável em D, ela pode ser descontínua num número finito de pontos em D com “medida” nula. Suponhamos que f (x, y) seja contínua em D, logo existirá um (x0 , y0 ) ∈ D tal que:

Z Z

f (x, y)dA = f (x0 , y0 )

D

8. Da média: Se m ≤ f (x, y) ≤ M, para certo (x0 , y0 ) ∈ D tem-se Z Z

D

Z Z

dA

D

∀ (x, y) ∈ D, e g(x, y) conservar seu sinal em D, então

f (x, y)g(x, y)dA = f (x0 , y0 )

Z Z

D

g(x, y)dA

5


9. Em geral;

Z Z Z Z ≤ |f (x, y)|dA f (x, y)dA D

D

Todas estas propriedades se demonstram como seus similares para funções de uma variável. Propriedade 1.2. Darboux. Toda função limitada f (x, y) é integrável por falta ou por excesso num domínio finito1 . A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor. Exemplo 1.1. Determine m e M da propriedade acima descrita para a seguinte integral: Z Z

(x2 + y 2 )dA

D

onde D está limitada pelas retas x = −2, x = 3, y = x + 2, y = −2.

Solução.

Observe que D = { (x, y) /.

− 2 ≤ x ≤ 3,

−2 ≤ y ≤ x + 2 } e f (x, y) = x2 + y 2 .

Aplicando critérios de máximos e mínimos absolutos para funções de várias variáveis tem-se que m = f (0, 0) = 0 é mínimo absoluto, e M = f (3, 5) = 34 = M é máximo absoluto de f na restrição D. A área Z do Z trapézio D é A(D) = 22, 5. Portanto, 0 ≤ (x2 + y 2 )dA ≤ 34(22, 5) D

Exemplo 1.2. Idem ao exercício anterior para a integral pela fronteira da elipse 4x2 + 9y 2 = 36.

Z Z

x2

1 )dA, onde D é a região limitada + y2 + 1

D

Solução. Tem-se que D = { (x, y) /.

−

1√ 1√ 36 − 4x2 ≤ y ≤ 36 − 4x2 } 3 3

1 então de 1 ≤ 1 + x2 + y 2 segue que f (x, y) ≤ 1, assim o máximo + y2 + 1 absoluto acontece em (0, 0) e f (0, 0) = 1 = M . 1 O valor de mínimo absoluto acontece em (0, 3) e f (0, 3) = = m. Por outro lado, sabemos 3 que a área de qualquer elipse da forma b2 x2 + a2 y 2 = a2 b2 é πab, assim A(D) = (2)(3)π = 6π. Z Z 6π dA Portanto, ≤ ≤ 6π. 2 10 x + y2 + 1 Como f (x, y) =

x2

D

Em geral, uma integral dupla equivale a duas integrações simples sucessivas, uma em relação

a cada variável. Teorema 1.1. do Valor médio. 1

Dizemos que um domínio D ⊂ Rn é finito, se D for limitado.

6

Cálculo Vetorial e Séries Suponhamos que f : D ⊂ R2 −→ R seja contínua em D, então existe (x0 , y0 ) ∈ D onde Z Z

f (x, y)dA = f (x0 , y0 )

D

Z Z

1.dA = f (x0 , y0 )A(D)

D

onde A(D) é a área da região D. Demonstrar este teorema com rigor, requer alguns resultados sobre continuidade ainda não estudados neste livro, porém podemos esboçar algumas idéias. Como f é contínua em D, então existe um valor de máximo M e um valor de mínimo m para f em D, isto é m ≤ f (x, y) ≤ M, Z Z

D

mdA ≤

Z Z

∀ (x, y) ∈ D. Logo

f (x, y)dA ≤ M

D

Z Z

M dA

⇒

1 m≤ A(D)

Z Z

f (x, y)dA ≤ M

D

D

Como f é função definida em D e toma todos seus entre o mínimo m e o máximo M 2 Z valores Z 1 então existe (x0 , y0 ) ∈ D tal que f (x0 , y0 ) = f (x, y)dA A(D) D

1.4

Regras de cálculo das integrais duplas

Até o momento foi vista a integrabilidade de uma grande variedade de funções. ainda não foi estabelecida rigorosamente um método geral para calcular tais integrais. No caso de uma Zb variável, evitamos ter que calcular f (x)dx a partir de sua definição como limite de uma soma, a

mediante o uso do teorema fundamental do cálculo integral.

Lembre que este importante teorema diz que se f é contínua em [a, b] então Zb a

f (x)dx = F (b) − F (a)

onde F é uma antiderivada de f . isto é F 0 (x) = f (x). Esta técnica em geral não é válida para funções de várias variáveis. No plano-xy distingue-se três tipos principais de regiões da integração. 1. Seja F : D ⊂ R2 −→ R uma função contínua sobre o retângulo D, onde D = { (x, y) ∈ R2 /. a ≤ x ≤ b,

c≤y ≤d}

Fixando a variável y em [c, d], a função F depende só da variável x, logo F (x, y) é função 2

Este é o teorema do valor intermédio.

7

Christian José Quintana Pinedo de uma variável contínua em [a, b]. Logo está bem definido

A(y) =

Zb

F (x, y)dx,

a

c≤y≤d

é a área da região de interseção do plano Y = y com o sólido (Figura (1.3)). Pelo método de área de seções planas o volume do sólido é

V =

Zd

A(y)dy =

Zd Zb c

c

a

F (x, y)dx dy

Figura 1.3:

(1.1)

Figura 1.4:

de modo análogo, fixando a variável x tem-se que F (x, y) é função contínua de variável y em [a, b]. Assim, está bem definido

A(x) =

Zd

F (x, y)dy,

c

a≤x≤b

é a área da região de interseção do plano X = x com o sólido (Figura (1.4)). Portanto, o volume do sólido é

V =

Zb a

A(x)dx =

Zb Zd a

c

F (x, y)dy dx

(1.2)

2. A região de integração D está limitada pelo lado esquerdo e direito pelas retas x = a e x = b respectivamente, na parte superior pela curva y = f (x), e na parte inferior pela curva y = g(x) e cada uma de elas se intercepta com a reta vertical somente num ponto (Figura (1.5).

8

Cálculo Vetorial e Séries Para uma região assim defina integral dupla é calculada pela fórmula: Z Z

D

Zb fZ(x) F (x, y)dA = F (x, y)dydx a g(x)

onde primeiramente calcula-se a integral

fZ(x)

F (x, y)dy e na qual x é considerada constante.

g(x)

Figura 1.5:

Figura 1.6:

3. Para o caso a região integração D estivesse limitada na parte superior e inferior pelas retas y =d e y =c,

c < d e pelas linhas curvas x = g(y) e x = f (y) onde (g(y) < f (y)) cada

uma das quais se intercepta pela reta horizontal num ponto (Figura (1.6)), então Z Z

D

Zd fZ(y) F (x, y)dA = F (x, y)dxdy c g(y)

onde primeiramente calcula-se a integral

fZ(y)

F (x, y)dx e na qual y é considerada constante.

g(y)

Definição 1.6. As integrais (1.1) e (1.2) são chamadas de “integrais iteradas”de f e satisfaz: V =

Zb Zd c

a

V =

Zd Zb a

c

V =

Zb Zd a

c

Zb Zd

f (x, y)dydx

Zd Zb

f (x, y)dxdy

f (x, y)dy dx =

a

f (x, y)dx dy =

f (x, y)dydx =

c

a

c

Zd Zb c

a

f (x, y)dxdy

9


Assim, num domínio retangular pode-se invertir a ordem das integrações sem qualquer atenção aos limites de integração. E verificamos que cumpre o seguinte teorema Teorema 1.2. de Fubini3 . Seja f uma função contínua com domínio em D = [a, b] × [c, d], então Z Z

f (x, y)dydx =

Zb Zd a

D

f (x, y)dydx =

c

Zd Zb c

f (x, y)dxdy

a

A demonstração é exercício para o leitor. Exemplo 1.3. Z Z Calcular I = xLnydxdy onde D é o retângulo

0 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ e.

D

Solução.

Observe que: I=

Z Z

D

Para calcular

Z4

  Ze Z4 xLnydA =  xLnydx dy = 1

(1.3)

0

xLnydx tratamos y como se for constante e integramos respeito a x para

0

obter

Z4

xLnydx =

0

Substituindo em (1.3) Z Z

I=

D

4 1 2 x Lny = 8Lny 2 0

  Ze Ze Z4 e   xLnydx dy = 8Lnydy = 8(y ln y − y) = 8 xLnydA = 1

1

1

0

De modo análogo, mostra-se que: Z Z

xLnydA =

Z4 Ze 0

D

xLnydydx =

1

Z4 0

e 4 x2 x(yLny − y) dx = (e − e + 1) = 8 2 1 0

Pelas regras acima descritas, numa integral dupla, a ordem das integrações podem ser invertidas, mudando convenientemente os limites de integração, como mostra o seguinte exemplo. Exemplo 1.4. Calcular a integral Solução. 3

Z1 Z1 0

tan(x2 )dxdy.

y

Guido Fubini, nascido na Itália 1879 − 1943, provou um resultado bem geral sobre integral em 1907, porém Cauchy e seus contemporaneos sabiam que se cumpria a igualdade para funções contínuas

10


Para o cálculo de

Z1

tan(x2 )dx não existe fórmula de integração, de modo que devemos mudar

y

a ordem de integração.

D = { (x, y) ∈ R2 /. 0 ≤ y ≤ 1,

Tem-se que Z1 Z1 0

2

tan(x )dxdy =

y

Z1 Zx

y ≤ x ≤ 1 } então

2

tan(x )dydy =

0

0

0

Z1

x · tan(x2 )dx =

Exemplo 1.5. Seja f (x, y) = x2 ‘ + y 2 e seja D = [−1, 1] × [1, 1] calcular a integral

1 Ln(sec 1) 2

Z Z

f (x, y)dxdy.

D

Solução. Pelas regras de integração Z Z

f (x, y)dxdy =

2

2

(x + y )dxdy =

0 −1

D

=

Z1 0

1.4.1

Z1 Z1

Z1 0

1 4 2 2 ( + 2y 2 )dy = [y + y 3 ] = 3 3 3 0

1 1 3 x + xy 2 dy = 3 −1 ⇒

I=

4 3

Integrais duplas generalizadas

Apresentam-se dois casos. Primeiro caso: Quando a função F (x, y) for infinita em uma determinada “linha” em D. Neste caso circunda-se esta “linha” pelas linhas paralelas bastante próximas LL 1 , o que dará um novo domínio D1 no qual tem significado a integral dupla como mostra a Figura (1.7). A integral dupla sobre D será definida agora pelo limite Z Z

F (x, y)dA = lim

D

Figura 1.7: Domínio limitado

Z Z

D1 →D D1

F (x, y)dA

Figura 1.8: Domínio ilimitado

(1.4)

11


Todo fica simplificado, quando as paralelas LL1 forem paralelas a um dos eixos. Por exemplo se as paralelas forem paralelas ao eixo-y, onde a ≤ x ≤ b com F (c, y) infinito, então a igualdade

(1.4) podemos escrever: Z Z

D

Zb fZ(x) Zc− fZ(x) F (x, y)dA F (x, y)dA + lim F (x, y)dA = lim →0 c+ g(x)

→0

a g(x)

Segundo caso: Quando o domínio D for ilimitado. Neste caso poderíamos, por meio de paralelas a um dos eixos, ou aos dois, determinar um domínio limitado D 1 (por exemplo D1 = { (x, y) ∈ R2 /. a ≤ x ≤ c,

f (x) ≤ y ≤ g(x) }) como indica a Figura (??).

Depois poderiamos afastar estas paralelas a fim de restabelecer o domínio D. Definimos a integral dupla em D pelo limite, suposto existente Z Z

D

F (x, y)dA = lim 0

Z Z

D →∞ D0

F (x, y)dA

Quando a região de integração for D, for o primeiro quadrante do plano-xy (ou o plano tudo) o cálculo da integral fica na forma: Z Z

Zn Zn

F (x, y)dA = lim

n→∞ −n −n

D

Z Z

F (x, y)dA = lim

n→∞

Zn Zn 0

D

F (x, y)dxdy

F (x, y)dxdy

primeiro quadrante

plano tudo

0

Exemplo 1.6. Calcular a integral

I=

Z∞ Z∞ 0

Solução.

2

e−y dydx.

x

Calcular de início em relação a y é impossível determinar essa integral por métodos elementares. Mudando a ordem de integração resulta

I=

Z∞ Zy 0

Portanto, I =

Z∞ Z∞ 0

Exemplo 1.7. Z Z Calcular

Solução.

D

x

e

−y 2

dxdy =

0

2

e−y dydx =

Z∞ 0

1 1 2 2 ye−y dy = − [ lim e−m − 1] = 2 m→∞ 2

1 . 2

1 dydx, onde D é o disco unitário x2 + y 2 ≤ 1. 1 − x2 − y 2

12

Cálculo Vetorial e Séries Observe que D = { (x, y) ∈ R2 /.

− 1 ≤ x ≤ 1,

√ √ − 1 − x2 ≤ y ≤ 1 − x2 }.

Como a fronteira de D é o conjunto de pontos x2 + y 2 = 1, a função a integrar não está definida nestes pontos de fronteira. pois nestes pontos o denominador é zero. Calculemos esta integral iterada imprópria. √

Z1 Z1−x2

−1

√

=

1−x2

Z1

−1

1 dydx = 1 − x2 − y 2

Z1 h

−1

i √1−x2 arcsen √ 2 = 1−x

[arcsen(1) − arcsen(−1)]dx = π

Z1

1.dx = 2π

−1

Exemplo 1.8. 1 e x−y integral de f sobre D. Sejam f (x, y) =

D = { (x, y) ∈ R2 /.

0 ≤ x ≤ 1,

0 ≤ y ≤ x }. Calcular a

Solução. Tem-se Z Z

1 dydx = x−y

=−

Z1

D

0

Z1 Zx 0

0

1 dydx = x−y

Z1 0

Z1 h x i lim Ln(x − m) − Lnx dx Ln(x − y) dx = − m→x

0

0

1 [−∞ − Lnx]dx = +∞ + (xLnx − x) = +∞ − 1 − lim (k ln k − k) = +∞ − 1 + ∞

Portanto f não é integrável em D.

0

k→0

13


Exercícios 1-1 Z Z

1. Calcular

y2 dydx onde a região D = { (x, y) ∈ R2 /. 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 }. x2 + 1

D

2. Calcular as seguintes integrais: Zπ/2 cos Z θ r2 sen2 θdrdθ

1.

Z2π Za 0

0

Z1 Z1

7.

0

2.

0

−π/2

4.

0

1

2

y · cos xdydx

1 x2

(x − y)dydx

13.

0

−3

p

dydx

3.

8.

(x − y)dydx

6.

x2 + y 2 dydx

Z2 3e Z

9.

xdydx

xy 3 dydx

12.

1

0

Z1 Zy

2

ex/y dxdy

0

Z1 Z3x

ex+y dydx

Zπ/2Zy

senxdxdy

0 2x

2

cos(x )dxdy

0

Z2 Z2x

0

x2

√ 0 4−x2 √ √ Z πZ π

14.

dydx (x + y)2

1

0 y2

11.

Z4 Z2 3

Z1 Zy p x/ydxdy

0

1/2 √ Z3 Z9−x2

e

y/x

0

Z3 Zx

5.

Zπ/3 senx Z 1 (1 + p )dydx 1 − y2

10.

Z2 Zx2

15.

y

0 −y

3. Mudar a ordem de integração das seguintes integrais:

1.

Z1

1−x Z 2

f (x, y)dydx

2.

√

−6

−1 − 1−x2

4.

Z1 Zx 0

7.

10.

f (x, y)dydx

2−x Z2 Z

5.

Zπ senx Z f (x, y)dydx

1

√ 2 Z1 1+ Z 1−y f (x, y)dxdy f (x, y)dydx

0

0

Z1

1−y Z

0 y+2 1 Z Z

f (x, y)dxdy

0

11.

Z1 Z1−x2 f (x, y)dydx 0

0

(1−x)2 2

Z2π Za 0

f (x, y)dydx

0

12.

√ 0 − 1−y 2

y2

4. Dada a região D, decomponha

6.

9.

f (x, y)dxdy

0

√

2−y

Z2π Za

8.

3.

x2 −1 4

0

0

f (x, y)dydx

Lnx Ze Z f (x, y)dydx

Z Z

f (x, y)dA nas duas possíveis ordens de integração.

D

x2 − y 2 = 1,

3x = 2y 2 .

1.

D é a região limitada pelas curvas

2.

D é a região que não contêm a origem e é limitada pelas curvas y 2 = 9.

x2 − y 2 = 1,

x2 +

14

Cálculo Vetorial e Séries 5. Calcular as seguintes integrais pela inversão da ordem de integração. Z1 Z1 Z4 Z2 −3x2 1. e dxdy 2. nseny 3 dydx 3. y

0

0

√

Z1 0

x

arccos Z x

eseny dydx

0

6. Mostrar que: 1 1 ≤ 2 e 4π

1.

3. 1 ≤

Zπ Zπ

e

sen(x+y)

−π −π

Z1 Z1

−1 −1

x2

dA ≤ e

dxdy ≤6 + y2 + 1

2.

1 (1 − cos 1) ≤ 2

4.

Z Z

1 ≤ 6

D

Z1 Z1 0

0

senx dxdy ≤ 1 1 + (xy)4

dA 1 ≤ y−x+3 4

onde D é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 1), (1, 0) 7. Calcular as integrais caso existam. Z Z 1 1. √ dA, onde D = { (x, y) ∈ R2 /. 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 } xy D Z Z 1 p dxdy, onde D = { (x, y) ∈ R2 /. 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 } 2. |x − y| D Z Z x y 3. dxdy, onde D = { (x, y) ∈ R2 /. 0 ≤ x ≤ 1, ≤y ≤x} x 2 D Z Z 4. ln xdxdy, onde D = { (x, y) ∈ R2 /. 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ y } D

8. Calcular as seguintes integrais generalizadas:

1.

4.

Z∞ Z∞

−∞ −∞ Z∞ Z∞

dxdy 1 + x2 + y 2 e−|x|−|y| dxdy

−∞ −∞

2.

5.

Z∞ Z∞

−∞ −∞ Z∞ Z∞

dxdy p 3

(1 +

x2

+

y 2 )2

(x + y)e−(x+y) dxdy

0

0

Respostas: 1. (3.) 42; (4.) 1/3 ;(5.) 1/5 ; (6.) 1/2 (7.) ;(8.) 2. (10.) 9π; (11.) 0;

3.

Z∞ Z∞

6.

Z∞ Z∞

0 −∞

0

(a2

dxdy + x 2 + y 2 )2

xye−x

2 −y 2

dxdy

0

1 1 1 3 4 25 e − ; (9.) e4 − e3 + 2 6 4 3 12

15


1.5

Cálculo de áreas e volumes com integração dupla

1. Se F : D ⊂ R2 −→ R é uma função contínua na região fechada D, então V =

Z Z

F (x, y)dA

D

é a medida do volume do sólido limitado pela fronteira de D (geratrizes paralelas respeito algúm dos eixos de coordenadas) , pela superfície F (x, y) tendo como base a região D no plano de coordenadas. 2. Seja S uma região fechada no plano-xy e F : S ⊂ R2 −→ R é uma função contínua tal que F (x, y) = 1,

∀ (x, y) ∈ S, então a área da região s tem como medida A(S) =

Z Z

1 · dA

S

Exemplo 1.9. Determine a área da região plana que se encontra no primeiro quadrante e está limitado pelo círculo x2 + y 2 = 18 e a parábola y 2 = 3x. Solução. A região D está representada na Figura (1.9) e sua área está dada por A(D) =

Z3 0

√ 18−y 2 Z 6 + 9π 1.dxdy = 4 x 3

unidades quadradas. Exemplo 1.10. Determinar o volume da região limitada pelo plano-xy, o plano x + y + z = 2, e o cilindro parabólico y = x2 .

Tem-se que D = { (x, y) ∈ R2 /.

Figura 1.9:

− 2 ≤ x ≤ 1,

x2 ≤ y ≤ 2 − x }. O volume V do sólido

está limitado na base por D, nas laterais pela fronteira de D e na parte superior pelo plano z = 2 − x − y. V =

Z Z

D

2−x Z1 Z 81 (2 − x − y)dydx = (2 − x − y)dA = 20 −2 x2

Exemplo 1.11. Determine o volume V da superfície f (x, y) = xy limitada na base pelo plano-xy tendo como geratriz a fronteira da região D = { (x, y) ∈ R2 /.

Solução.

(x − 2)2 + (y − 2)2 = 4 } .

16

Cálculo Vetorial e Séries Considerando a integração primeiro em relação a y a variável x será tratada coo constante,

mas y só poderá ter a variação 2− assim V =

Z4

p p 4x − x2 ≤ y ≤ 2 + 4x − x2 ,

√ 2+ Z4x−x2

xydydx =

√ 0 2− 4x−x2

Z4 0

0≤x≤4

√ Z4 p 1 2 2+ 4x−x2 dx = 4 x 4x − x2 dx = xy √ 2 2− 4x−x2 0

p 4 2 x − 2 4 2 (x − x − 6) 4x − x + 16arcsen = = 16π 3 2 0

Portanto, o volume V = 16π.

1.6

Mudança de variável em integrais duplas

Suponhamos temos uma transformação ϕ : R2 −→ R2 de classe C 1 definida por ϕ(u, v) =

(5u − u2 , 2v), observe que a região D = [0, 1] × [0, 1] é transformada na região D 1 = [0, 4] × [0, 2], evidentemente a área A(D) = 1 e A(D1 ) = 8.

Podemos imaginar que, se x = x(u, v) e y = y(u, v) então é válida a igualdade Z Z

f (x, y)dxdy =

D

Z Z

f (x(u, v), y(u, v))dudv

D1

onde f ◦ T (u, v) = f (x(u, v), y(u, v)) é a função composta definida em D1 . Porém quando f (x, y) = 1 teríamos 1 = A(D) =

Z Z

D

1.dxdy =

Z Z

1.dudv = A(D1 ) = 8

D1

isto é um absurdo! O que estamos precisando para superar este impasse, é uma ferramenta que permita retificar essa medida na transformação. O determinante jacobiano é a mais indicado e assim definida.

1.6.1

Jacobiano de uma função de n variáveis

Definição 1.7. Seja ϕ : U ⊂ R2 −→ R2 uma transformação na classe C 1 dada por x = x(u, v), y = y(u, v). ∂(x, y) O Jacobiano de ϕ, se escreve ou J(u, v), é o determinante da matriz derivada dϕ(x, y) ∂(u, v) de ϕ. ∂x ∂x ∂(x, y) ∂u ∂v = ∂(u, v) ∂y ∂y ∂u ∂v

17

Christian José Quintana Pinedo • Para o caso particular da transformação

então

Z Z

y = y(u, v) tem-se:

x = x(u, v),

∂x ∂(x, y) = J(u, v) = mod ∂u ∂y ∂(u, v) ∂u f (x, y)dA =

D

Z Z

∂x ∂v ∂y ∂v

f (x(u, v), y(u, v))J(u, v)dudv

D1

• Para o caso particular da transformação

x = rsenθ,

∂x ∂(x, y) ∂r = J(r, θ) = mod ∂y ∂(r, θ) ∂r

r > 0 tem-se:

y = r cos θ, ∂x ∂θ ∂y ∂θ

=r

Este conceito do Jacobiano, pode ser estendida a funções de várias variáveis. Definição 1.8. Seja f : D ⊂ Rn −→ R uma função definida no conjunto fechado D.

Suponhamos que ϕ : U ⊂ Rn −→ Rn função contínua, diferenciável e injetora no conjunto

aberto U . Se S é um conjunto fechado contido em U tal que D é a imagem de ϕ em S, isto é: ϕ(S) = D = { (x1 , x2 , x3 , · · · , xn ) ∈ Rn /.

(x1 , x2 , x3 , · · · , xn ) = ϕ(y1 , y2 , y3 , · · · , yn ) =

= (ϕ1 (y1 , y2 , y3 , · · · , yn ), ϕ2 (y1 , y2 , y3 , · · · , yn ), · · · , ϕn (y1 , y2 , y3 , · · · , yn ), } Então (f ◦ ϕ)(x1 , x2 , x3 , · · · , xn ) = f (ϕ(y1 , y2 , y3 , · · · , yn )) · J(y1 , y2 , y3 , · · · , yn ) onde J(y1 , y2 , y3 , · · · , yn ) é o Jacobiano da transformação ϕ definida por: ∂(x1 , x2 , x3 , · · · , xn ) = J(y1 , y2 , y3 , · · · , yn ) = ∂(y1 , y2 , y3 , · · · , yn )

∂ϕ1 ∂y1 ∂ϕ2 ∂y1 .. .

∂ϕ1 ∂y2 ∂ϕ2 ∂y2 .. .

∂ϕn ∂y1

∂ϕ2 ∂yn

··· ··· ··· ···

Teorema 1.3. Mudança de variáveis.

∂ϕ1 ∂yn ∂ϕn ∂y2 .. . ∂ϕn ∂yn

Sejam D e D ∗ regiões elementares do plano. e seja ϕ : D ∗ −→ D transformação de classe

C 1 , supor que ϕ seja injetora em D ∗ e ϕ(D∗ ) = D. Então para qualquer função integrável

f : D ⊂ R −→ R tem-se Z Z

D

f (x, y)dxdy =

Z Z

D∗

∂(x, y) dudv f (x(u, v), y(u, v)) ∂(u, v)

18

Cálculo Vetorial e Séries A demonstração é exercício para o leitor.

Exemplo 1.12. Seja o Zparalelogramo limitado por y = 2x, y = 2x − 2, y = x e y = x + 1. Apresentar Z a integral xy · dxdy mediante a mudança de variáveis x = u − v, y = 2u − v.

Solução.

D

A transformação é injetora e está desenhada na Figura (1.10), de modo que transforma o retângulo D ∗ limitado por v = 0,

u = 0 e u = 1 sobre D.

v = −2,

Figura 1.10: Transformação linear ϕ ! ∂(x, y) 1 −1 = det O Jacobiano = 1. Assim ∂(u, v) 2 1 Z Z

xy · dxdy =

D

Z Z

(u − v)(2u − v) · dudv =

D∗

Z0 Z1

−2 0

(2u2 − 3vu + v 2 ) · dudv

Exemplo 1.13. Z Z 2 2 e−(x +y ) dA, onde D é a região do primeiro quadrante limitado pelo círculo Calcular I = D

x2 + y 2 ≤ a2 e os eixos coordenados. Solução.

Um dos propósitos do Teorema (1.3) é proporcionar um método mediante o qual seja possível simplificar os cálculos de algumas integrais duplas. Exemplo 1.14. Z Z 2 2 Calcular I = e−(x +y ) dA, onde D é a região do primeiro quadrante limitado pelo círculo D

x2 + y 2 ≤ a2 e os eixos coordenados. Solução.

Considerando a transformação x = r cos θ,

I=

Z Z

D

e

−(x2 +y 2 )

dA =

y = rsenθ onde 0 ≤ r ≤ a,

Zπ/2Za 0

0

2

e−r rdrdθ =

π 2 (1 − e−a ) 4

0≤θ≤

π , então 2

19

Christian José Quintana Pinedo Exemplo 1.15.

Z Z r x2 y 2 Calcular a integral 1 − 2 − 2 onde D é a região limitada pela elipse a b D

Solução.

A forma do integrando e a natureza da região sugere que x = a.u cos v, 0 ≤ u ≤ 1,

x2 y 2 + = 1. a2 b2

y = b.usenv. Então

0 ≤ v ≤ 2π ∂(x, y) a cos v −a.usenv = = abu(cos2 v + sen2 v) = abu ∂(u, v) b.senv b.u cos v

Z Z r Z2π Z1 p x2 y 2 2 Portanto, I = 1− 2 − 2 = 1 − u2 abududv = abπ. a b 3 0

D

0

Exemplo 1.16. Achar a área da região no primeiro quadrante do plano-xy limitada pelas curvas x2 + 2y 2 = 4, y = 2x,

1,

x + 2y 2 =

y = 5.

Solução. y , tem-se que a região do plano-xy fica x transformada num retângulo no plano-uv, onde 1 ≤ u ≤ 4, 2 ≤ v ≤ 5. Fazendo a transformação u = x2 + 2y 2 ,

O Jacobiano é determinado assim: ∂u ∂(u, v) ∂x = ∂(x, y) ∂v ∂x

de onde J(u, v) =

∂(x, y) = ∂(u, v)

A=

Z Z

D

1.7

∂u ∂y ∂v ∂y

v =

2x = y − x2

4y 1 x

2 = 2 + 4y x2

1 1 = , logo a área pedida é: 2(1 + 2v 2 ) 4y 2 2+ 2 x 1.dA =

Z5 Z4 2

√ √ 3 2 2 dudv = arctan( ) 2(1 + 2v 2 ) 4 3

1

Integrais duplas en coordenadas polares

Seja D ⊂ R2 uma região limitada pelas retas θ = α, θ = β e pelas circunferências r = a e

r = b.

Uma partição P da região D obtém-se traçando retas através do pólo e circunferências com centros no pólo, obtendo assim uma rede de regiões chamadas retângulos curvados. A norma da partição denotada ||P || é o comprimento da diagonal maior dos n retângulos

curvados. A área do i-ésimo retângulo curvado é igual à diferença das áreas dos setores circulares. 1 1 2 4i A = ri2 (θi − θi−1 − ri−1 (θi − θi−1 ) = 2 2

20

Cálculo Vetorial e Séries 1 = (ri − ri−1 )(ri + ri−1 )(θi − θi−1 ) 2

1 Considerando r¯i = (ri − ri−1 ), 4i r = (ri + ri−1 ), 4i θ = 2 θi − θi−1 tem-se 4i A = r¯i · 4i r · 4i θ. seja f : D ⊂ R2 −→ R função contínua e (¯ ri , θ¯i ) um ponto

na i-ésima subregião de D com θi−1 ≤ θ¯ ≤ θi . A soma de Riemann associada a f é dada por n X

f (¯ ri , θ¯i )4i A =

n X i=1

f (¯ ri , θ¯i )¯ r i · 4i r · 4 i θ

Figura 1.11: Coordenadas polares

A integral dupla em coordenadas polares é dada por Z Z

f (r, θ)dA = lim

D

||P ||→0

n X

f (¯ ri , θ¯i )¯ ri .4i r.4i θ =

i=1

Z Z

f (r, θ)r.drdθ

D

Observação 1.1. O volume do sólido que tem como base a região D no plano de coordenada polar, e que esta limitado superiormente pela superfície z = f (r, θ) onde f : D ⊂ R2 −→ R é função contínua

sobre D com f (r, θ) ≥ 0 em D é:

V =

Z Z

f (r, θ)r.drdθ

D

1.7.1

Integrais iteradas em coordenadas polares

1. Seja D = { (r, θ) /. α ≤ θ ≤ β, f :D⊂

R2

ϕ1 (θ) ≤ r ≤ ϕ2 (θ) } região polar no plano polar, e

−→ R função contínua sobre D como mostra a Figura (1.12). Então Z Z

D

Zβ ϕZ2 (θ) f (r, θ)r.drdθ f (r, θ)dA =

Figura 1.12: 2. Seja D = { (r, θ) /. a ≤ r ≤ b,

α ϕ1 (θ)

Figura 1.13: ψ1 (r) ≤ θ ≤ ψ2 (r) } região polar no plano polar, e

21

Christian José Quintana Pinedo f : D ⊂ R2 −→ R função contínua sobre D como mostra a Figura (1.13). Então Zb ψZ2 (r) f (r, θ)r.dθdr f (r, θ)dA =

Z Z

a ψ1 (r)

D

Exemplo 1.17. Z Z 2 2 Calcular I = e−(x +y ) dA, onde D é a região do primeiro quadrante limitado pelos eixos D

coordenados. Solução.

Seja a transformação x = r cos θ,

I=

Z Z

e

−(x2 +y 2 )

Calcular I =

Z2

π , então 2

0

0

√ 2+Z 4−x2

√ −2 2− 4−x2

Solução.

0≤θ≤

+∞ Zπ/2 Zπ/2 Z π −r 2 dθ = e rdrdθ = dA = 4 0

D

Exemplo 1.18.

y = rsenθ onde 0 ≤ r < +∞,

p 16 − x2 − y 2 dydx.

Tem-se que a região de integração é D = { (x, y) ∈ R2 /.

− 2 ≤ x ≤ 2,

2−

p p 4 − x2 ≤ y ≤ 2 + 4 − x2 }

A região D é o disco no plano-xy, o centro da figura circular é (0, 2) e raio r = 2. A função p f (x, y) = 16 − x2 − y 2 é a semi-esfera de centro (0, 0, 0) e raio 4, esta superfície é simétrica

respeito do eixo-z.

Assim, 0 ≤ θ ≤ π, para obter a variação de r substituimos na equação do disco 0 ≤ x 2 + (y −

2)2 ≤ 22 para obter 0 ≤ r ≤ 4senθ. Logo I=

Z2

√ 2+Z 4−x2

√ −2 2− 4−x2

√ 2 2+Z 4−x2

Z p 2 2 16 − x − y dydx = 2

√ 0 2− 4−x2

=2

Zπ/2 4senθ Z p 0

Portanto, I =

0

16 − r 2 rdrdθ =

p 16 − x2 − y 2 dydx =

64(3π − 4) 9

64(3π − 4) . 9

Exemplo 1.19. Determine o volume do sólido S limitado pelo cilindro y 2 − z 2 = 1.

x2 + y 2 = 4, e o hiperboloide

x2 +

22


Solução. A Figura (1.14) mostra o volume a calcular, a medida desse sólido é: Z Z p p V = [ x2 + y 2 − 1 − (− x2 + y 2 − 1)]dA D

Em coordenadas polares tem-se

Figura 1.14:

Z2π Z2 p √ V = 2 r2 − 1rdrdθ = 4 3 0

1

23


Exercícios 1-2 1. Calcular a área da região D limitada pelas curvas dadas. 1. 3. 4. 5. 6. 7.

y 2 = x, x − y = 2

D = { (x, y) ∈ R2 / 0 ≤ x ≤

π , 3

2. y = |x|, 4y = 4x2 + 1

senx ≤ y ≤ sec2 x } √ 3 1√ 1 2 4 y ≤ x ≤ D = { (x, y) ∈ R / , 0≤y≤ } 2 2 1+y 3 D = { (x, y) ∈ R2 / (x2 + y 2 )2 = 2ax3 }

D = { (x, y) ∈ R2 / (x2 + y 2 )3 = x4 + y 4 }

D = { (x, y) ∈ R2 / (x2 + y 2 )2 = 2a2 (x2 − y 2 ) }

2. Um sólido está limitado pelas superfícies y 2 + z 2 = 4ax, x = 3a, e está situado no interior de y 2 = ax. Achar seu volume. 3. Utilizar coordenadas polares para calcular as seguintes integrais. Z Z 2 2 1. ex +y dxdy D = { (x, y) ∈ R2 /. x2 + y 2 ≤ 1 } D

2.

Z Z

D

3.

Z4

√

√

dxdy 2 − x2 − y 2 16−x Z 2

e

−x2 −y 2

D = { (x, y) ∈ R2 /. x2 + y 2 ≤ 1 }

4.

dxdy

−4 − 16−x2

Za Za p a2 − x2 dxdy 0

y

4. Utilizar integral dupla para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas |x| = y 2 e 2|x| = y 2 + 4.

5. Calcular a área da região D = { (x, y) ∈ R2 /. 2 ≤ x2 + y 2 ≤ 4,

y ≥ 1 }.

6. Determine a área da região plana do primeiro quadrante, limitada pelo eixo-x, a circunferência x2 + y 2 = 18 e a parábola y 2 = 3x. 7. Mediante integrais duplas, determine a área de um círculo de raio r. 8. Determine a área da região limitada pela curva y = |x2 −2x−3| e as retas y+1 = 0, x−1 = 0 e x = 4.

9. Calcular a área da região D = { (x, y) ∈ R2 /. x2 + (y − 1)2 ≤ 1,

x2 + y 2 ≥ 1 }.

10. Para cada um dos seguintes exercícios, calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies. 1.

3x + 2y + z = 6,

2.

z = senxseny,

x = 0, z = 0,

y = 0,

x = π,

z=0 y = 0,

y=π

11. Calcule o volume do sólido limitado pelos planos x = 0, pelo cilindro z = 1 −

y2.

y = 0,

z = 0,

x+y = 1 e

24


12. Calcular o volume do sólido que não contêm a origem e que é limitado pelo gráfico 4−

r2 ,

z=

pelo cilindro r = 1 e pelo plano z = 0.

13. Calcular o volume do sólido interior à esfera z 2 + r2 = 16 e ao cilindro r = 4 cos θ. 14. Calcular o volume da região do espaço no primeiro octante, compreendida entre os cilindros x2 + y 2 = a 2 e x2 z 2 = a 2 ,

a > 0.

15. Calcular o volume do elipsóide

x2 + y 2 + 4z 2 ≤ 4.

16. Calcular o volume do cone de base r e altura h. ZZ 17. Calcular (cos(2x) + seny)dxdy onde D é a região limitada pelas curvas xy = 1, √

y=

D

x,

x = 2.

18. Achar o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos eixos coordenados, e o plano 2x + y + z = 6. 19. Calcular o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos eixos coordenados, e os planos

x + y + 4z = 20,

3x + 4y + 4z = 16,

20. Determine o volume de um tetraedro limitado por

x + y = 4. x y z + + = 1 e os planos coordenados. 3 4 5

25


1.8

Aplicações da integral dupla

1.8.1

Valor promédio

Sejam x1 , x2 , x3 , · · · , xn números qualquer, seu promédio está definido por n

[xi ]prom

x1 + x 2 + x 3 + · · · + x n 1X = xi n n i=1

Este conceito nos leva a definir o valor promédio de uma função de uma variável no intervalo [a, b] por

[f (x)]prom =

Zb

f (x)dx

a

b−a

Para o caso de funções f de duas variáveis , a razão da integral de f á área de D

[f (x, y)]prom =

Z Z

D

f (x, y)dA

Z Z

1.dA

D

é chamado de valor promédio. Exemplo 1.20. Calcular o valor promédio de f (x, y) = xsen2 (xy) sobre a região D = [0, π] × [0, π].

Solução.

Calculemos a integral sobre f . É imediato que A(D) = π 2 Z Z

f (x, y)dA =

Zπ Zπ 0

D

1 = 2

Zπ 0

1 xsen (xy)(xy)dydx = 2 2

Zπ Zπ 0

0

0

(x − x cos(2xy))dydx =

Zπ π 1 1 (xy − sen(xy)) dx = (2πx − sen(πx))dx = 2 4 0 0

π 1 1 1 = [πx2 − cos(2πx)] = [2π 3 + cos(2π 2 ) − 1] 4 2π 8 0

Logo o valor promédio é [f (x, y)]prom =

1.8.2

π cos(2π 2) − 1 + ≈ 0, 7839. 4 8π

Centro de massa de uma lâmina

Se tentamos balançar massas em uma alavanca (Figura (1.15), o ponto de equilíbrio x ¯ ocorrerá durante o momento total (massa por distância ao ponto de equilíbrio) zero, isto é, onde 3 X mi (xi − x ¯) = 0. i=1

26


Em geral quando se colocam m1 , m2 , m3 , · · · , mn nos pontos x1 , x2 , x3 , · · · , xn sobre o n X mi (xi − x ¯) = 0, de onde. eixo-x, seu centro de massa ou centro do sistema se define como: i=1

x ¯=

n X

mi xi

i=1 n X

(1.5) mi

i=1

Figura 1.15: Quando estudamos integração em uma variável para achar o centro de massa de uma lâmina homogênea consideramos aquelas cuja densidade ρ(x) da área era constante análogo a nossa fórmula (1.5).

Z

x ¯= Z

xρ(x)dx ρ(x)dx

Nesta seção estudaremos o modo de calcular o centro de massa mediante integrais duplas, de qualquer lâmina seja esta homogênea ou não. A Figura (1.16) mostra que a placa se equilíbra quando o ponto de apoio se encontra no seu centro de massa. Seja D uma lâmina que tem a forma fechada D no plano-xy, e seja ρ a medida da densidade da área da lâmina em qualquer ponto (x, y) de D onde ρ : D ⊂ R2 −→ R é função contínua sobre D. A massa total M da lâmina esta dada por M=

Z Z

ρ(x, y)dA

D

O momento da massa de uma lâmina D com respeito ao eixo-x é Mx =

Z Z

yρ(x, y)dA

D

O momento da massa de uma lâmina D com respeito ao eixo-y é My =

Z Z

D

xρ(x, y)dA

Figura 1.16:

27

Christian José Quintana Pinedo Portanto, o centro de massa da lâmina no ponto (¯ x, y¯) é Z Z

Z Z

xρ(x, y)dA

My x ¯= = DZ Z M

Mx y¯ = = DZ Z M

ρ(x, y)dA

D

yρ(x, y)dA ρ(x, y)dA

D

Exemplo 1.21. Uma lâmina na forma de um triângulo retângulo isósceles tem uma densidade de área que varia com o quadrado da distância ao vértice do ângulo reto. Se a massa se mede em kg e a distância em cm. Achar a massa e o centro da massa da lâmina. Solução. Observe que a distância do ângulo reto a qualquer ponto é igual a

p

x2 + y 2 , logo a densidade

é dada por ρ(x) = k(x2 + y 2 onde k é constante. A Figura (1.17) mostra a lâmina, assim:

M=

Z Z

D

Z Za a−x k(x2 + y 2 )dydx ρ(x, y)dA = 0

0

1 3 ka . Por outro lado, 6

de onde M =

Mx =

Z Z

D

Za a−x Z yρ(x, y)dA = k y(x2 + y 2 )dydx 0

0

1 5 a . Por último 15

de onde Mx =

My =

Z Z

xρ(x, y)dA =

1 5 a 15

D

Portanto o centro de massa é (¯ x, y¯) = (

2a 2a , ). 5 5

y

6

a

@ @

@

@

P (x, y) @

d

@

@

0

x

@ -

a Figura 1.17:

Figura 1.18:

28


Exemplo 1.22. Achar o centro da massa de uma lâmina homogênea (densidade constante) que tem a forma de uma região limitada pela parabola y = 2 − 3x2 e a reta 3x + 2y = 1.

Solução.

Podemos verificar sem dificuldade que o ponto de interseção da parabola e reta são os pontos 1 5 (− , ) e (−1, 1). A Figura (1.18) mostra a região de integração 2 4 Logo tem-se: Z1 2−3x Z 2 27 ρdydx = M= ρ 16

Mx =

My =

− 12

1 (1−3x) 2

Z1

ρydydx =

27 ρ 20

− 21

2−3x Z 2

1 (1−3x) 2

Z1

2−3x Z 2

ρxdydx =

27 ρ 64

− 21

1 (1−3x) 2

1 4 Portanto, (¯ x, y¯) = ( , ) é o centro da massa da lâmina. 4 5

1.8.3

Momentos de inércia de uma lâmina

Definição 1.9. Se uma partícula de uma massa se encontra a d unidades de distância de uma reta L então o número I = md2 chamamos de momento de inércia da partícula m respeito de L O momento de massa de uma partícula geralmente es denominado de primeiro momento e o momento de inércia é chamado de segundo momento Um sistema de partículas de massas m1 , m2 , m, m3 , · · · , mn situadas a distâncias d1 , d2 , d3 , · · · , dn

respectivamente, desde uma reta L tem o momento de inércia I que se define como a soma dos momentos das partículas individuais. I=

n X

mi d2i

i=1

É evidente que por nosso processo usual de passo al limite o momento de inércia de uma lâmina que tem a forma de uma região plane com densidade ρ : S ⊂ R2 −→ R contínua pode se

achar respeito a qualquer reta L.

Em particular é evidente, que os momentos de inércia la lâmina respeito aos eixos-x e y estão dados por; Ix =

Z Z S

2

y ρ(x, y)dA

Iy =

Z Z S

x2 ρ(x, y)dA

29

Christian José Quintana Pinedo O momento de inércia entorno da origem (0, 0) esta dado por Io = I x + I y =

Z Z

(x2 + y 2 )ρ(x, y)dA

S

O momento de inércia entorno da reta IL =

Z Z S

L : ax + by = c esta dado por ax + by 2 ) ρ(x, y)dA (√ a2 + b2

Exemplo 1.23. Uma lâmina com densidade ρ(x, y) = xy está limitada pelo eixo-x, a reta x = 8, e a curva √ 3 y = x2 . Determine sua massa total, o centro de massa e os momentos de inércia entorno dos eixos-x, y e z. Solução. Massa:

M=

Z Z

D

√ 3

√ Z8 Z x2 Z8 3 1 2 x2 ρ(x, y)dA = dx = y x yxdydx = 2 0 0

1 = 2

0

0

√ Z8 √ 3 3 10 8 768 1 3 x7 dx = x = 2 10 5 0 0

Centro de massa: Cálculo dos momentos. Respeito do eixo-y é My =

Z Z

D

1 = 2

√ 3

√ Z8 Z x2 Z8 3 1 2 2 x2 2 y x xρ(x, y)dA = dx = yx dydx = 2 0 0

0

0

Z8 √ 1 3 √ 3 3 8 1024 10 13 x dx = x = 2 10 3 0 0

Respeito do eixo-x é My =

Z Z

D

1 = 3

√ 3

√ Z8 Z x2 Z8 3 1 3 x2 2 yρ(x, y)dA = y x y xdydx = dx = 3 0 0

Z8 0

Logo, x ¯=

My 80 = , M 13

y¯ =

0

0

1 1 4 8 1024 x dx = x = 3 4 3 0 3

Mx 20 = M 9

Momentos de inércia: Respeito. Do eixo-x é Ix =

Z Z

D

√ 3

Z8 Z8 Z x2 3 2 √ x 6144 1 4 3 3 xy dx = . xy dydx = xy da = 4 7 0 0

0

0

30


Do eixo-y é Iy =

Z Z

D

√ 3

Z8 Z x2 Z8 3 2 √ x 1 3 3 3 2 x yda = x ydydx = x y dx = 6144 2 0 0

0

0

49.152 ≈7021,71. Do eixo-z é Iz = Ix + Iy = 7 Exemplo 1.24.

Determine o centro da massa de uma lâmina com forma da um quarto de círculo de raio r com densidade proporcional à distância ao centro do círculo. Solução. Pelos dados do problema, ρ(x, y) = k Em coordenadas polares.

M=

Z Z

D

também My =

Z Z

D

Assim, x ¯=

k

p

x2

p x2 + y 2 , onde k é a constante de proporcionalidade.

+

y 2 dA

Zπ/2Zr

=

0

0

r · rdrdθ =

kπr3 6

Zπ/2Zr p kr2 kx x2 + y 2 dA = (r cos θ)r 2 drdθ = 4 0

0

My kr4 /4 3r = = . M kπr3 /6 2π

Como a lâmina é simétrica respeito do seu eixo, concluímos que y¯ = x ¯=

3r . 2π

Exemplo 1.25. Calcular o momento de inércia da região D limitada pela hipérbole xy = 4 e a reta x + y = 5 com respeito à reta x − y = 0. Solução.

x−y A distância de qualquer ponto (x, y) da região D à reta x − y = 0 está dada por d = √ . 2 Logo 5−x Z4 Z Z4 5−x 1 75 1 2 IL = (x − y)3 dx dx = 16Ln2 + (x − y) dydx = 1 2 6 8 4/x 1 4/x

1

Definição 1.10. Raio de giro.

O raio de giro de um objeto respeito de um eixo L é o número R definido por

R=

onde I é o momento de inércia respeito do eixo-L, e M é a massa total do objeto.

r

I M

Solução. Exemplo 1.26. Achar o raio de giro de uma lâmina semicircular com respeito a seu diâmetro, se a densidade da lâmina em qualquer ponto é proporcional à distância entre o ponto e seu diâmetro . Solução.

31

Christian José Quintana Pinedo √ Podemos supor o semicírculo y = a2 − x2 , sua densidade é ρ(x, y) = ky. √ Za xZ2 −a2 4 ky 3 dydx = ka5 . Logo Ix = 15 −a

0

Por outro lado, M =

Za

−a

√

x Z2 −a2 0

Portanto, o raio de giro da lâmina é

1.8.4

2 2 ka . 3 r √ Ix 10 2 = a R= M 5

kydydx =

Área de uma superfície

No seguinte capítulo mostra-se que a área de qualquer paralelogramo de lados os vetores ~u = (u1 , u2 , u3 ) e ~v = (v1 , v2 , v3 ) está dado pelo módulo do vetor u × v.

A = ku × vk =

~i

~j

u1 u2 v1

v2

~k

u3

v3

Suponha que S seja a superfície f : S ⊂ R2 −→ R sobre

uma região fechada D no plano-xy, também suponhamos que f tem as primeiras derivadas parciais contínuas. Seja P uma partição da região D com retas paralelas aos eixos do plano-xy, sejam Pi ,

i = 1, 2, 3 · · · , n os retângulos

desta partição, então Pi = 4i x × 4i y.

Para cada i seja Si a parte da superfície S que se projeta

sobre o retângulo Pi . Seja P (xi , yi , zi ) o ponto de Si que se projeta sobre um vértice do retângulo Pi aquele que tiver as menores coordenadas do ponto. Figura 1.19:

Finalmente seja Ti o paralelogramo do plano tangente em P (xi , yi , zi ).

∂f ∂f (xi , yi )) e ~vi = (0, 4i y, (xi , yi )) os lados deste paralelogramo ∂x ∂y Ti , logo a área de cada um destes paralelogramos é k~ui × ~vi k onde Sejam ~ui = (4i x, 0,

~i ~j 0 ~ui × ~vi = 4i x 0 4i y

assim a área de Ti é dada por

∂f (xi , yi ) = 4 x · 4 y(− ∂f (x , y ), − ∂f (x , y ), 1) i i i i i i ∂x ∂x ∂y ∂f (xi , yi ) ∂y ~k

A(Ti ) = kui × vi k = A(Pi )

s

∂f (xi , yi ) ∂x

Somamos estas áreas todos os paralelogramos Ti ,

2

∂f + (xi , yi ) ∂y

2

+1

i = 1, 2, 3, · · · , n, logo calculamos o

32


limite quando n → ∞ para obter a área da superfície S. A(S) = lim

kP k→0

n X

A(Ti ) = lim

kP k→0

i=1

s

Z Z

A(S) =

D

n X

(Pi )

i=1

∂f (x, y) ∂x

s

2

∂f (xi , yi ) ∂x

2

∂f + (x, y) ∂y

∂f + (xi , yi ) ∂y

2

2

+1=

+ 1 · dA

sempre que o limite exista. Exemplo 1.27. Seja D a região do plano-xy limitado pelas retas x = 0, x = 1, y = 0 e y = 2. Calcular a √ área da superfície cilíndrica S definida por f (x, y) = 4 − x2 .

Solução.

Seja f (x, y) =

A(S) =

p

Z Z

D

A(S) =

∂f −y ∂f =0 e =p . A área da superfície é dada por ∂x ∂y 4 − y2

4 − y 2 , então s

Z Z

D

∂f ∂x

2

+

2

∂f ∂y

2

v " #2 Z Z u u −y t + 1 · dA = 02 + p + 1 · dA 4 − y2

p · dA = 4 − y2

D

Z2 Z1 0

0

2

p · dxdy = 4 − y2

x 2 A(S) = 2arcsen = π 2 0

Exemplo 1.28.

Z2 0

2 p · dy 4 − y2

Calcular a área da parte da superfície z = xy cortada pelo cilindro x2 + y 2 = a2 . Solução. Tem-se que a superfície S está dada pela função z = f (x, y) = xy logo região de integração é D = { (x, y) ∈ R2

− a ≤ x ≤ a,

logo, a área da superfície é

A(S) =

Za

√

aZ2 −x2

√ −a − a2 −x2

1 A(S) = 3

p p a 2 − x 2 ≤ y ≤ a2 − x 2 }

Z2π Za p p 2 2 x + y + 1 · dydx = r2 + 1 · rdrdθ 0

0

Z2π p a 2π p (r2 + 1)3 = ( (a2 + 1)3 − 1) 3 0 0

Propriedade 1.3.

−

∂z ∂z =y e = x. A ∂x ∂y

33


Dados uma semi-esfera de raio R e um cilindro de raio na base R. As superfícies entre os planos paralelos como mostra a Figura (1.20) tem a mesma área. A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor. esta propriedade diz que dados uma semi-esfera de raio R e um cilindro de raio na base R satisfazem a seguinte propriedade indicada na Figura (1.20) entre planos paralelos.

Figura 1.20: A modo de aplicação apresentamos o seguinte exemplo. Exemplo 1.29. Determine a área da superfície S1 formada ao cortar o hemisfério pelos planos paralelos z = h1 e z = h2 ,

x2 +y 2 +z 2 = R2 ,

0 ≤ h1 ≤ h2 é dado por

Verificar que a área da superfície cilíndrica S2 de

x2

+ y2

=

R2

z≥0

A(S1 ) = 2πR(h2 − h1 ).

entre os planos z = h1 e z = h2

também é A(S2 ) = 2πR(h2 − h1 ).

Solução.

p R2 − x2 − y 2 sobre o plano z = h1 é a circunferência A projeção da semi-esfera z = p p x2 +y 2 = [ R2 − h21 ]2 e a projeção sobre o plano z = h2 é a circunferência x2 +y 2 = [ R2 − h22 ]2 . Logo D projeção da superfície S1 no plano-xy é

q q 2 2 2 2 R − h2 ≤ x + y ≤ R2 − h21 } D = { (x, y) ∈ R /. 2

assim A(S1 ) =

Z Z

D

A(S1 ) =

Z Z

D

s

s

∂f p 2 R − x2 − y 2 ∂x

2

∂f p 2 R − x2 − y 2 + ∂y

y2 x2 + + 1 · dA = R 2 − x2 − y 2 R 2 − x2 − y 2

Z Z

D

mediante coordenadas polares

A(S1 ) =

Z2π 0

√

√

R2 −h21

Z

R2 −h22

R √ ·rdrdθ = 2 R − r2

A(S1 ) =

Z2π 0

Z2π 0

R[−

r

R2 − (

q

R2 −

h22 )2 +

R(h2 − h1 )dθ = 2πR(h2 − h1 )

2

+ 1 · dA

r p · dA 2 R − x2 − y 2 r

R2 − (

q R2 − h21 )2 ]dθ =

34

Cálculo Vetorial e Séries A área da parte cilíndrica é o comprimento de sua base pela sua altura, isto é A(S 2 ) =

2πRh = 2πR(h2 − h1 ).

Observe que A(S1 ) = A(S2 ).

35


Exercícios 1-3 1. Calcular o valor promédio de f (x, y) = ysenxy sobre D = [0, 2π] × [0, π] 2. Calcular o valor promédio de f (x, y) = e x + y sobre o triângulo de vértices (0, 0), (0, 1), (1, 0) 3. Calcular a massa de uma lâmina quadrada de lado a, se sua densidade em qualquer ponto 2ka4 de sua superfície é proporcionar ao quadrado da distância desde um vértice. Rpta 3 4. Para cada um dos seguintes exercícios, determinar a massa M , e o centro de massa (¯ x, y¯) da lâmina limitada pelas curvas dadas e com densidade indicada. 1.

y = ex , y = 0, , x = 0, x = 1;

2.

x = e−x , x = 0, x = 1;

3.

y = x, xy = 1, y = 0, x = 2;

4.

y = 0, y = cos x, 0 ≤ x ≤ π; ρ(x, y) = x p y = 0, y = 9 − x2 ; ρ(x, y) = y

5. 6. 7.

ρ(x, y) = 1 − 2x + y

ρ(x, y) = y 2

x = 0, x = 4, y = 0, y = 3; 1 r = 2senθ; ρ(r, θ) = r

ρ(x, y) = x

ρ(x, y) = x + 1

5. Para cada um dos exercícios, achar o momento de inércia respeito ao eixo dado da placa D cuja densidade e curvas que a limitam estão dadas. 1.

D está limitada por

x 2 + y 2 = a4 ;

2.


y = x2 ;

3.


y 2 = x2 , y 2 = x;

4.


x 2 + y 2 = a2 ;

5.


; ρ(x, y) = eixo-

ρ(x, y) = k

p

x2 + y 2 eixo-z

ρ(x, y) = k eixo-x

ρ(x, y) = ky eixo-y p ρ(x, y) = k x2 + y 2 eixo-x

6. Para cada um dos seguintes exercícios, determine os momentos Ix , Iy , I0 para a lâmina limitada pelas curvas dadas com densidade indicada ρ √ x, x = 16, y = 0;

1.

y=

2.

y = x2 , y = 9;

ρ(x, y) = x − y

ρ(x, y) = x

3. Quadrado de vértices

(0, 0), (0, m), (m, 0), (m, m);

4. Triângulo de vértices

(0, 0), (0, m), (m, 0);

5.

y 2 = 8x, x = 2;

6.

|x| + |y| = 1;

ρ(x, y) = x + 2y

ρ(x, y) = x + 2y

ρ(x, y) = 1

ρ(x, y) = 1

7. Sejam ABCD uma lâmina retangular com tem a função densidade ρ e P um ponto no interior da lâmina. Achar o raio de giro da lâmina respeito a os seguinte:

36

Cálculo Vetorial e Séries 1.

AB se a densidade ρ no ponto P é a soma das distâncias a AB e BC

2. A reta perpendicular á lâmina em B, se a densidade ρ no ponto P é a soma das distâncias a AB e AC 3. A reta perpendicular á lâmina em B, se a densidade ρ no ponto P é constante. 4. A perpendicular á lâmina no centro de massa, se ρ no ponto P é constante. 8. Sejam L1 e L2 laminas disjuntas no plano-xy com massas M1 e M2 , e com centros de massas (¯ x1 , y¯1 ) e (¯ x2 , y¯2 ) respectivamente. Verificar que o centro de massa (¯ x2 , y¯2 ) da lâmina L1 ∪ L2 está dada por: x ¯=x ¯1

m1 m2 +x ¯2 m1 + m 2 m1 + m 2

y¯ = y¯1

m1 m2 + y¯2 m1 + m 2 m1 + m 2

9. Determine a área da superfície indicada. 1. Da parte do plano

6x + 3y + 2z = 12 situada no primeiro octante.

2. Da parte da superfície

z 2 = 2xy a qual se encontra acima do retângulo situado no

plano z = 0 e limitado pelas retas

x = 0,

y = 0,

z = 3,

y=6

3. Da parte do cone z 2 = x2 + y 2 situado acima do plano-xy e cortada pelo plano √ x z = 2( + 1). 2 4. Da parte z 2 + x2 + y 2 cortada pelo cilindro z 2 = 2py.

37


1.9

Integrais triplas

Os conceitos explicados nas integrais simples e duplas estendem-se de modo natural para as integrais triplas e até de ordem n. Consideremos f : S ⊂ R3 −→ R uma função definida na

superfície limitada e fechada S, podemos traçar planos parale-

los a os planos coordenados, para determinar paralelepípedos P1 , P2 , P3 , · · · , Pn que estão contidos em S como mostra a

Figura (1.21).

Definição 1.11. O conjunto P = { P1 , P2 , P3 , · · · , Pn } constitue uma

partição da superfície S, onde a norma na partição kP k =

maior diagonal dos paralelepípedos que constituem a partição. Seja V (Pi ) = ∆i x∆i y∆i z o volume do i-ésimo paralelepípedo, Pi ,

Figura 1.21:

i = 1, 2, 3, · · · , m. Seja (xi , yi , zi ) um

ponto arbitrário escolhido em Pi .

A soma de Riemann associada à partição P da superfície f (x, y, z)é: n X

f (xi , yi , zi )V (Pi ) =

i=1

n X

f (xi , yi , zi )∆i x∆i y∆i z

i=1

Definição 1.12. Dizemos que o número L é da soma de Riemann, se ∀ > 0,

∃δ >0

tal que

n X f (xi , yi , zi )V (Pi ) − L < i=1

para toda partição P com kPk → 0 para toda eleição do ponto (xi , yi , zi ) ∈ Pi Definição 1.13. Uma função f : S ⊂ R3 −→ R é integrável na região fechada S, se existe um número L, e

este número é a integral tripla de f em S e denota-se L=

Z Z Z

f (xi , yi , zi )dV = lim

S

kPk→0

n X

f (xi , yi , zi )V (Pi )

i=1

A pergunta natural é: Quais tipos de funções são integráveis? A seguinte propriedade sem demonstração responde esta questão. Propriedade 1.4. Se a funçãof : S ⊂ R3 −→ R é contínua na região fechada S, então existe a integral tripla

de f sobre S.

Na verdade podemos permitir que exista um número finito de descontinuidades. Como é de esperar as integrais triplas tem propriedades

38


1.9.1

Integrais triplas mediante integrais iteradas

Consideremos D = { (x, y) ∈ R2 /. a ≤ x ≤ b,

φ1 (x) ≤ y ≤ φ2 (x) } uma região fechada

no plano-xy, onde φ1 , φ2 : [a, b] −→ R são funções contínuas com φ( x) ≤ φ2 (x) R3

Sejam ψ1 , ψ2 : D ⊂

ψ2 (x, y)

∀ (x, y) ∈ D.

∀ x ∈ [a, b].

−→ R funções contínuas na região fechada D onde ψ( x, y) ≤

Seja S = { } uma região fechada em R3 , se f : S ⊂ R3 −→ R é função contínua em S, a

integral iterada de f sobre S é Z Z Z S

Zb φZ2 (x) ψ2Z(x,y) f (x, y, z)dzdydx f (x, y, z)dV = a φ1 (x) ψ1 (x,y)

De modo análogo podemos definir outras quatro integrais de f (x, y, z) nas quais a primeira integração (dentro para fora) é resolvida respeito a uma variável distinta da z.

•

•

•

•

Z Z Z S

2 (y,z) Zf gZ2 (z) HZ f (x, y, z)dV = f (x, y, z)dxdydz

Z Z Z S

2 (y,z) Zd kZ2 (y) HZ f (x, y, z)dV = f (x, y, z)dxdzdy

Z Z Z S

2 (x,z) Zf HZ2 (z) GZ f (x, y, z)dV = f (x, y, z)dydxdz

Z Z Z

2 (x,z) Zb kZ2 (y) GZ f (x, y, z)dV = f (x, y, z)dydzdx

S

e g1 (z) H1 (y,z)

c k1 (y) H3 (y,z)

e H1 (z) G1 (x,z)

Exemplo 1.30. Calcular I = z = 0,

y = 0,

a k1 (y) G1 (x,z)

Z Z Z

f (x, y, z)dV onde f (x, y, z) = 3 e S está limitada pelas superfícies

S

y = x,

x + y = 2,

x + y + z = 3.

Solução.

I=

Z Z Z S

Exemplo 1.31. Calcular I = y 2 + z 2 = 4ax, Solução.

Z Z Z

2−y 3−x−y Z Z1 Z f (x, y, z)dzdydx = 5 f (x, y, z)dV = 0

y

0

f (x, y, z)dV onde f (x, y, z) = x2 e S está limitada pelas superfícies

S

y 2 = ax,

x = 3a.

39


Z Z Z

√

√

f (x, y, z)dV =

2 4ax−y Z

Z3a Z ax

√

x2 dzdydx =

√ √ 0 − ax − 4ax−y 2

S

=

Z3a

Z3a Z ax

2x2

√ 0 − ax

p 4ax − y 2 dydx =

27 5 √ 1 √ (6 3a + 4πa)dx = a (3 3 + 2π) 3 2

0

1.9.2

Volumes mediante integrais triplas

Seja f : S ⊂ R → R uma função definida na região fechada S, tal que f (x, y, z) = 1 para

todo (x, y, z) ∈ S, então

V (S) =

Z Z Z

é a medida do volume do sólido S

1dV

S

Exemplo 1.32. Achar o volume do sólido limitado na parte superior pela parabolóide z = 4 − x2 − y 2 e na

parte inferior pelo plano z = 4 − 2x.

Solução.

O volume do sólido está dado por

V =

Z2

√

2 2 2x−x Z −y Z 2 4−x

√ 0 − 2x−x2

4 1dzdydx = 3

Z2 p π 4 (2x − x2 )3 dx = 2 0

4−2x

Exemplo 1.33. Achar o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro z = y = x, x = 2, y = 0, z = 0.

x2

6 e os planos +4

Solução. A região de integração é D = { (x, y) ∈ R2 /. 0 ≤ x ≤ 2, O sólido é S = { (x, y, z) ∈ Seu volume é dado por

R3

V =

/. 0 ≤ x ≤ 2,

Z2 Zx 0

1.9.3

0

2 8/(x Z +4)

0 ≤ y ≤ x }. 8 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ 2 }. x +4

1dzdydx = 4Ln2.

0

Integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas

Para o caso ter região S ⊂ R3 um eixo coordenado de simetria, as integrais triplas têm menos

dificuldade em seus cálculos, para isto acontecer temos que recorrir ao uso das c coordenadas cilíndricas ou esféricas. Uma idéia da justificativa da forma das coordenadas cilíndricas é mostrada na Figura (1.22) e das coordenadas e esféricas na Figura (1.23)

40


1. As transformações de coordenadas retangulares a cilíndricas são: Como mostra a Figura (1.22): Se f : S ⊂

R3

x = r cos θ,

y = rsenθ,

z=z

−→ R é função contínua sobre S então

Z Z Z

f (x, y, z)dV =

Z Z Z

f (r cos θ, rsenθ, z)J(r, θ, z)dzdrdθ

S

S

onde

cos θ −rsenθ 0 ∂(x, y, z) = senθ r cos θ 0 = r J(r, θ, z) = ∂(r, θ, z) 0 0 1 Z Z Z Z Z Z Portanto, f (x, y, z)dV = f (r cos θ, rsenθ, z)r · dzdrdθ. S

S

Figura 1.22: Coordenadas cilíndricas

Figura 1.23: Coordenadas esféricas

2. As transformações de coordenadas retangulares a esféricas são: Como mostra a Figura (1.23): Se f : S ⊂ Z Z Z

R3

y = ρsenθ cos φ,

z = ρ cos φ

−→ R é função contínua sobre S então

f (x, y, z)dV =

S

x = ρ cos θsenφ,

Z Z Z

f (ρ cos θsenφ, ρsenθ cos φ, ρ cos φ)J(ρ, θ, φ)dρdφdθ

S

onde

cos θsenφ −ρsenθsenφ ρ cos θ cos φ ∂(x, y, z) J(ρ, θ, φ) = = senθsenφ ρ cos θsenφ ρsenθ cos φ = ρ2 senφ ∂(ρ, θ, φ) cos φ 0 −ρsenφ Z Z Z Z Z Z Portanto, f (x, y, z)dV = f (ρ cos θsenφ, ρsenθsenφ, ρ cos φ)ρ2 senφ · dρdφdθ. S

S

Exemplo 1.34. Determine o volume do sólido S sobre o cone z 2 = x2 +y 2 e o interior da esfera x2 +y 2 +z 2 = 2az. Solução.

41

Christian José Quintana Pinedo Em coordenadas esféricas a equação do cone é ρ = . Logo o volume é

V =

Z Z Z S

π , e a equação da esfera é ρ = 2a cos φ 4

Z2π Zπ/4 2Zcos φ ρ2 senφ · dρdφdθ = πa3 ρ senφdρdφdθ = 2

0

0

0

Exemplo 1.35. Mediante coordenadas cilíndricas, determine o volume do sólido acima do plano-xy e limitado pela esfera x2 + y 2 + z @ = 25 e o cone 16z 2 = 9x2 + 9y 2 . Solução. Em coordenadas cilíndricas, a equação do cone é z = As superfícies se cortam em aqueles pontos onde 25 − x2 − y 2 =

√ 3 r e o da esfera z = 25 − r 2 . 4

9 2 (x + y 2 ) 16

ou seu equivalente x2 + y 2 = 16. Em coordenadas cilíndricas esta equação podemos escrever como r = 4. Assim o sólido S é: S = { (r, θ, z) ; . 0 ≤ θ ≤ 2π, assim tem-se V =

Z Z Z

r · dzdrdθ =

S

p 3 r ≤ z ≤ 25 − r 2 } 4

0 ≤ r ≤ 4, Z2π Z4 0

0

√

25−r Z 2

r · dzdrdθ =

100π 3

3r/4

Exemplo 1.36. Calcular I =

RRR S

(x + y + z)(x + y − z)(x − y − z)dxdydz onde S é o tetraedro limitado

pelos planos x − y − z = 0, x + y − z = 0, x − y − z = 0. 2x − y = 1.

Solução.

Sejam u = x + y + z,

v = x + y − z,

∂(u, v, w) = ∂(x, y, z)

∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x

∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y

w =x−y−z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w ∂z

1 1 1 1 = 1 1 −1 = − 4 1 −1 −1

1 1 Logo o jacobiano J(u, v, z) = − = 4 4 A igualdade 2x − z = 1 se transforma em u + v + 2w = 2. Assim, a região D ∗ imagem

de S mediante esta transformação é o tetraedro limitado pelos planos u = 0, v = 0, w =

42


0, u + v + 2w = 2, então 1

I=

Z Z Z

(x + y + z)(x + y − z)(x − y − z)dxdydz =

S

1.10

(u+v) 2−u 1− Z 2 Z2 Z 0

0

0

1 1 uvw · dwdvdu = 4 180

Centro de massa e momentos de inércia de um sólido

Os conceitos de massa e centro de massa se generalizam com facilidade a regiões sólidas. O processo que conduz às fórmulas corretas é já conhecido e podemos resumir em poucas palavras: particionar, aproximar integrar Seja S ⊂ R3 um sólido e ρ : S ⊂ R −→ R uma função contínua sobre S que representa a

densidade de S em qualquer ponto (x, y, z) ∈ S.

1.- A massa total do sólido está dado por: M=

Z Z Z

ρ(x, y, z)dV

S

2. Os centros de massa: Os momentos de massa respeito dos planos coordenados em função da densidade são Mxy =

Z Z Z

zρ(x, y, z)dV,

Mxz =

S

Z Z Z

yρ(x, y, z)dV,

Myz =

S

Z Z Z

xρ(x, y, z)dV

S

Portanto o centro de massa do sólido S é o ponto (¯ x, y¯, z¯), onde Z Z Z

Myz x ¯= = Z SZ Z M

Z Z Z

xρ(x, y, z)dV

Mxz y¯ = = Z SZ Z M

, ρ(x, y, z)dV

S

yρ(x, y, z)dV ρ(x, y, z)dV

S

z¯ =

Z Z Z

Mxy = Z SZ Z M

zρ(x, y, z)dV ρ(x, y, z)dV

S

3. Momentos de inércia: Os momentos de inércia de S entorno dos eixos estão definidos como: Z Z Z • Ix = (y 2 + z 2 )ρ(x, y, z)dV , momento de inércia respeito do eixo-x. S

•

Iy =

Z Z Z S

(x2 + z 2 )ρ(x, y, z)dV ,

momento de inércia respeito do eixo-y.

43

Christian José Quintana Pinedo •

Iz =

Z Z Z

(x2 + y 2 )ρ(x, y, z)dV ,

momento de inércia respeito do eixo-z.

S

Observação 1.2. Para determinar o centro de massa, é bastante útil ter em consideração todas as possíveis simetrias. 1. Se S for simétrico respeito ao plano-xy e ρ(x, y, −z) = ρ(x, y, z), então z¯ = 0. Resultados análogos cumpre para os outros planos coordenados.

2. Se S for simétrico ao eixo-x e ρ(x, −y, −z) = ρ(x, y, z) então y¯ = z¯ = 0. Resultado análogo cumpre para os outros eixos.

Exemplo 1.37. Determine o centro da massa de um objeto material homogêneo limitado limitado pelos planos coordenados, o plano |:x + y = 1 y o parabolóide z = 4 − x2 − 4y 2 .

Solução.

Como a densidade é constante, ρ(x, y, z) = k, a massa total do objeto é dada por 2

M=

1−x 4−xZ −4y Z1 Z 0

2

0

0

k · dzdydx =

19 k 12

Também 2

Mxy =

1−x 4−xZ −4y Z1 Z 0

2

2

kzdzdydx =

95 k, 16

Mxz =

0

0

1−x 4−xZ −4y Z1 Z 0

2

Myz =

1−x 4−xZ −4y Z1 Z 0

0

0

2

kydzdydx =

9 k 20

0

2

kxdzdydx =

11 k 20

0

33 27 5 , , ), é o centro de massa do objeto. 95 95 3 Exemplo 1.38. Portanto, (

Achar o momento de inércia e o raio de giro respeito do eixo-z do sólido homogêneo limitado x y z pelos planos coordenados e o plano + + = 1, a, b, c são números fixos positivos. a b c Solução. O sólido é o tetraedro, a densidade do sólido é ρ(x, y, z) = k então temos c

c

b

x− b y a Z a x c− Z Za b− kabc 2 k(x2 + y 2 )dzdydx = Iz = (a + b2 ) 60 0

0

0

A sua massa total é

b

c

c

x− b y a Z a x c− Z Za b− kabc kdzdydx = M= 6 0

0

0

44

Cálculo Vetorial e Séries Portanto, o raio do giro está dado por R =

r

Iz = M

√ a2 + b2 √ . 10

45


Exercícios 1-4 1. Calcular as seguintes integrais.

1.

4.

1−x 1+y Z Z1 Z 0

0

Z2

Zy

1

7.

2y √ Z 3z

0

x · dzdydx 2.

z · dxdzdy x2 + y 2

1

y · dzdydx x2 + z 2

8.

4.

0

Z1 Zz Zy 0

0

z

0

0

0

xy z dxdyxdz

Z cos Z θZ

9.

0

0

Z Z Z

0

y · dydxdz z

xysen(yz) · dzdydx

π 2

2 3

cos

0

Zπ Zπ Zπ

0

0

pelas superfícies dadas e f é função dada. p 1. x = 0, x = a2 − x2 − y 2 ; f (x, y, z) = x. 3.

3.

yez dzdydx 6.

2. Para cada um dos seguintes exercícios calcular

2.

Zπ/2 Zπ/2Zx

y 0 √ 2 Lnx Z Z x x+y Z 2−

−Lnx

0

0

Lnx Z2 Zy Z yez · dzdxdy

5.

0 √

Z2 Zx Z 3y 1

2

2

4+rsenθ 0

r · dzdrdθ

f (x, y, z)dV , onde S está limitada

S

x2 + z 2 = a2 , y 2 + z 2 = a2 ; f (x, y, z) = x2 + y 2 . √ √ √ √ x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = a; f (x, y, z) = z

z = x2 + y 2 , z = 27 − 2x2 − 2y 2 ;

f (x, y, z) = 1

3. Calcular as seguintes integrais mediante coordenadas esféricas ou cilíndricas.

1.

0

3.

√ 2 2 Zb −y p

Zh Zb Z2 0

0 √

0

2x−x Z 2Za 0

0

x2 + y 2 · dzdydx

Za

2.

√

aZ2 −x2 0

0

√

Z1 Z1−x2

p z x2 + y 2 · dzdydx 4.

5.

√1 2

Z Zx

6.

0

4. Verificar que a integral

Z Z Z S

0

0

0

√

a2Z −x2 −y 2

z

√

0

2 2 1−x Z −y

p

0

√

2 2 1−x Z −y

z

0

p

p a2 − x2 − y 2 · dzdydx

x2 + y 2 + z 2 · dzdydx

(x2 ‘y 2 )−1 · dzdydx

|xyz| p dxdydz sobre o sólido S limitado pelo elipx2 + y 2 + z 2

x2 y 2 z 2 8a2 b2 c2 (bc + ac + ab) sóide 2 + 2 + 2 + = 1 tem o valor . a b c 15(b + c)(a + c)(a + b) 5. Verificar que

Z∞ Z∞ Z∞ 0

0

0

B · dxdydz =

x + y + z = u, x + y = uv, : y = uvw.

Z∞ Z1 Z1 0

0

0

B · u2 v · dudvdw mediante a transformação

46

Cálculo Vetorial e Séries 6. Achar a massa do sólido limitado pela esfera de raio a, a densidade do volume varia com Rpta. a5 π.

o quadrado da distância ao centro.

7. Achar o momento de inércia respeito de um diâmetro do sólido que se encontra entre duas esferas concéntricas de raios a e 2a. A densidade do volume varia inversamente com o 56πa3 k quadrado da distância ao centro. Rpta. 9 8. Para cada um dos seguintes exercícios, determinar a massa M , e o centro de massa (¯ x, y¯, z¯) da lâmina limitada pelas curvas dadas e com densidade indicada (k = constante). 1.

z = x, z = −x, y 2 = 4 − 2x, ;

ρ(x, y) = k

2.

z = 0, x2 + z = 1, y 2 + z = 1;

3.

y 2 + z 2 = 4ax, y 2 = ax, x = 3a;

ρ(x, y) = k

4.

z 2 = x 2 + y 2 , x2 + y 2 + z 2 = a 2 ;

ρ(x, y) = k

5.

z 2 = x2 + y 2 , x2 + y 2 + z 2 = 2az, sobre o cone, ρ(x, y) = kz

6.

x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 1 no primeiro octante, a2 b c

ρ(x, y) = k

ρ(x, y) = k

Capítulo 2

INTEGRAL DE LINHA George Green nasceou em Sneinton, no condado de Nottingham na Inglaterra em 14 de Julho de 1793. George Green Físico e matemático autodidata passou grande parte da sua vida a trabalhar num moinho do seu pai, à idade de 8 anos entrou para a escola de Robert Goodacre, em Nottingham, onde mostrou grande talento para a matemática. Aos 12 voltou a trabalhar na padaria até que seu pai construiu (1807) um moinho em Sneinton, uma aldeia próxima de Nottingham, onde começou seu aprendizado em mecânica com o gerente de moinho, William Smith. Com 30 anos Green tornou-se membro da Subscription Library, uma instituição fundada com o objetivo de servir de ponto de encontro de não-acadêmicos para discutir assuntos científicos. Aos 35 anos publicou Na sua obra “Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theory of Electricity and Magnetism”, a primeira e, segundo muitos, a mais importante obra sobre a aplicação da análise matemática à teoria da eletricidade e ao magnetismo, nesta obra introduziu a noção de “função potencial” no estudo dos campos magnéticos e também introduziu vários teoremas de análise vetorial que permitiam calcular o potencial eletrostático, foi o pioneiro na separação dos estudos teóricos da eletricidade e do magnetismo. O teorema de Green, que demonstrou nesta obra facilitou bastante o estudo das funções. Esta obra permiteu-le ganhar a influente proteção de Sir Edward Bromhead, de Lincoln, que patrocinou a publicação de mais três artigos em Cambridge e Edinburgh. Seu pai morreu (1829) e ele herdou uma renda suficiente para então finalmente poder se dedicar a estudar. Apenas aos 40 anos ingressa na universidade como estudante da licenciatura. Ensinou no Caius College e publicou mais seis artigos em Cambridge Transactions. Com a saúde declinando, voltou para Nottingham (1840) e morreu em Sneinton em 31 de Maio de 1841, com apenas 47 anos. Alguns anos mais tarde volta a Nottingham para trabalhar no seu moinho. Alguns anos mais tarde volta a Nottingham para trabalhar no seu moinho. Alguns anos mais tarde volta a Nottingham para trabalhar no seu moinho.Na matemática foi o autor de um teorema sobre geometria que leva seu nome, redescoberto após sua morte por Lord Kelvin (1846) e consegue a sua publicação num jornal de nome reconhecido. Este teorema .também é conhecido como teorema de Gauss, ou teorema de Michel Ostrogradski, como é conhecido na Rússia. Seu trabalho foi um marco na início do estudo da física-matemática moderna na Grã-Bretanha. Na mesma época, outros cientistas, entre os quais Carl Gauss, de forma independente, chegam a alguns resultados já antes alcançados por Green. O asteróide 12016 Green foi batizado em sua honra.

47

48


2.1

Introdução

Neste capítulo, aplicaremos conceitos e métodos de resolução de problemas a novas teorias, para obter resultados que têm muitas aplicações nas ciências. Abordaremos os conceitos de “campos vetoriais”, sendo que as principais aplicações estão orientadas para o estudo de campos de velocidade e campos de força, assim chamados porque a cada partícula de uma substância seja sólida, líquida ou gaseosa esta associada um vetor velocidade ou um vetor força. As integrais de linha, permitem achar o trabalho realizado quando uma partícula se movimenta em uma campo de força. O teorema fundamental do cálculo integral diz que: Se f : [a, b] −→ R é contínua em qualquer intervalo fechado [a, b], e F é qualquer Zb f (x)dx = F (b) − F (a). função primitiva de f então a

Agora, queremos generalizar o conceito de integral simples

Zb

f (t)dt de uma função f definida

a

em um intervalo [a, b], a uma integral de uma função definida sobre uma curva Γ. Esta integral se chama “integral de linha de f sobre a curva Γ", observe que, esta curva pode estar determinada pela imagem de outra função definida em R. Na geometria entendemos a palavra curva como o desenho de uma linha reta, um círculo, uma curva senoidal, etc. traçada na louça. Para estudar estes objetos científicamente, podemos pensar estas curvas no espaço Rn como a imagem de uma determinada função de um intervalo [a, b] de R para Rn . Esta função é chamada de trajetória, e a imagem da trajetória é a linha, o círculo, a curva senoidal, etc. que apreciamos na louça.

Figura 2.1: A função ~r é a trajetória, sua imagem ~r(t) é a curva observada. Neste capítulo estudaremos o conceito de trajetória, e de modo preciso o conceito de curvas, mostrando alguns exemplos. Estudaremos como as trajetórias podem modelar o caminho que segue algum objeto em movimento

49


2.2

Curvas regulares

Definição 2.1. Trajetória. Dizemos trajetória em Rn a toda função ~r : [a, b] −→ Rn . Os pontos ~r(a) e ~r(b) são chamados

de extremos da trajetória. A imagem de ~r é chamada curva de ~r. Definição 2.2. Funções coordenadas.

Seja ~r : [a, b] ⊆ R −→ R3 uma trajetória definida por ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)). As as

funções x, y, z : [a, b] −→ R, que são as coordenadas do vetor ~r(t) são denominadas “funções

coordenadas".

Exemplo 2.1. Consideremos a trajetória Γ descrita por um ponto P sobre uma circunferência de raio R que roda entorno do seu eixo com velocidade constante v (movimento uniforme) tal como se representa na Figura (2.2). A esta linha chamamos ciclóide.

Figura 2.2: Uma ciclóide em R2 Suponhamos que o ponto P se encontra na origem de R2 no instante inicial t = 0. Seja C = (α, β) o centro da circunferência. Então, sendo o movimento uniforme, o centro da circunferência move-se de acordo com as equações α(t) = vt,

β(t) = R.

Por outro lado, seja T o intervalo de tempo necessário para uma volta completa e seja ω o ângulo descrito por unidade de tempo (velocidade angular). Sendo o movimento uniforme, obtemos 2π = ωT ;

2πR = vT

v R Suponhamos também que a circunferência roda no sentido de x > 0. Portanto, em cada

donde se conclui que ω =

instante t > 0, a posição do ponto P pode ser determinada pelo ângulo θ formado entre o eixo −−→ y < 0 e o vetor CP , medido no sentido horário, tal como se representa na Figura (2.2). v Sendo ω a velocidade angular, temos f (t) = ωt = t. Assim, o ponto P move-se de acordo R com as equações ( x(t) = vt − Rsen( Rv t) y(t) = R − R cos( Rv t)

Portanto, o ciclóide é a imagem da trajetória contínua r(t) = (vt−Rsen( Rv t), R−R cos( Rv t)), onde 0 ≤ t ≤ Tf , sendo Tf o instante final da observação do movimento.

50


Definição 2.3. Trajetória diferenciável. Dizemos que a trajetória ~r(t) da Definição (2.2) é diferenciável de classe C 1 em [a, b], se cada

uma de suas funções coordenadas x(t), y(t), z(t) também fossem diferenciáveis de classe C 1 em [a, b].

Exemplo 2.2. Seja ~r : R → R2 definida por ~r(t) = (t, t3 ). Suas funções coordenadas x(t) = t e y(t) = t2

são contínuas em R, e suas derivadas também são contínuas, então ~r(t) é diferenciável de classe C 1. Definição 2.4. Curva parametrizada. Dizemos que uma curva Γ do espaço R3 é curva parametrizada, se ela é a imagem de uma trajetória ~r : [a, b] ⊆ R −→ R3 diferenciável de classe C 1 Exemplo 2.3. A circunferência Γ : x2 + y 2 = 9 completa pode ser escrita pela parametrização ~r(t) = (3 cos t, 3sent),

t ∈ [0, 2π] de tal modo que o gráfico de ~r encontra-se sobre a circunferência Γ

percorrendo no sentido positivo (anti-horário).

A mesma curva deste exemplo, pode ser escrita na forma ~r1 (t) = (3 cos 2t, 3sen2t),

t ∈

[0, π]. Ainda mais, a mesma curva pode ser representada como ~r1 (t) = (3 cos(2π − t), 3sen(2π −

t)),

t ∈ [0, 2π]. Neste caso, o percorrido é no sentido horário.

Exemplo 2.4. Seja Γ a curva do espaço descrita por ~r : [0, +∞) −→ R3 definida por ~r(t) = (a cos t, asent, bt),

onde a > 0, b > 0.

Suas funções coordenadas x(t) = a · cos t, y(t) = a · sent e z(t) = bt são diferenciáveis e

contínuas, logo a Γ é uma curva parametrizada. Definição 2.5. Curva fechada.

Uma curva Γ parametrizada definida pela trajetória ~r : [a, b] −→ R3 , dizemos que é fechada,

se ~r(a) = ~r(b).

Exemplo 2.5. Seja ~r : [0, 2π] → R2 definida por ~r(t) = (4 cos t, 2sent) é fechada, pois ~r(0) = ~r(2π). Definição 2.6. Vetor velocidade. Seja Γ uma curva parametrizada definida por ~r(t) = x(t)~i+y(t)~j+z(t)~k, e um ponto t0 ∈ [a, b]

de modo que ~r(t0 ) = P0 exista.

d~r (t0 ) = ~r 0 (t0 ) = x0 (t0 )~i + y 0 (t0 )~j + z 0 (t0 )~k é chamado "vetor velocidade da curva Γ dt no ponto P0 ". O vetor

Exemplo 2.6. Seja ~r(t) = (a · cos t, a · sent, bt) uma curva parametrizada. O vetor velocidade para esta

curva em qualquer ponto ~r(t0 ) = P0 do seu domínio é ~r 0 (t0 ) = (−a · sent0 , a · cos t0 , b).

51

Christian José Quintana Pinedo Definição 2.7. Curva regular.

Uma curva parametrizada Γ definida pela trajetória ~r : [a, b] −→ R3 é regular (ou suave) se

seu vetor velocidade ~r 0 (t) é diferente do vetor nulo.

Isto é, dizemos que uma curva Γ do espaço R3 é regular (ou suave) se tiver uma representação d~r da forma ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) tal que ~r(t) tem uma derivada ~r 0 (t) = (t) contínua e que dt nunca é igual ao vetor nulo. Em geral, as partículas que se movimentam no espaço percorrem caminhos suaves, estas partículas, usualmente não desaparecem nem aparecem espontaneamente, nem mudam de velocidade, é por isso que é importante o estudo das curvas suaves. Exemplo 2.7. 1. Seja ~r : [0, 2π] −→ R2 definida por ~r(t) = (a cos t, asent) é regular, pois (0, 0),

∀ t ∈ [0, 2π].

d~r (t) = (−asent, a cos t) 6= dt

2. Seja ~r : [0, +∞) −→ R3 a curva definida por ~r(t) = (a cos t, asent, bt) onde a > 0, b > 0. d~r Tem-se que esta curva é regular, pois (t) = (−asent, a cos t, 0) 6= (0, 0, 0), ∀t ∈ [0, +∞). dt Iremos denominar de “trajetória de integração” a uma trajetória constituída por uma ou mais (mas sempre em número finito) curvas regulares. Definição 2.8. Comprimento de arco de uma curva regular. Seja ~r : [a, b] ⊆ R −→ R3 uma curva regular, tal que ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), e seja t0 < t1

onde t0 , t1 ∈ [a, b].

O comprimento de arco da curva Γ representada por L(S) desde ~r(t0 ) até ~r(t1 ) é dado por Zt1 p Zt1 d~r [x0 (t)]2 + [y 0 (t)]2 + [z 0 (t)]2 dt L(S) = (t) dt = dt t0

t0

Definição 2.9. Região simplesmente conexa.

Uma região S ⊂ R3 dizemos que é simplesmente conexa, se toda curva simples fechada Γ em

S pode-se deformar continuamente a um ponto sem sair de S.

São regiões simplesmente conexa, Figuras (2.3) e (2.5); a Figura (2.4) não é simplesmente conexa

2.3

Integral de linha de uma função escalar

Dizemos que uma trajetória em Rn é qualquer função contínua ~r : [a, b] −→ Rn . A imagem

de uma trajetória é uma curva ou linha. Dada uma curva Γ ⊂ Rn , se ~r : [a; b] −→ Rn for uma trajetória1 tal que ~r([a; b]) = Γ, então ~r também se diz uma parametrização de Γ

Exemplo 2.8. 1

Uma trajetória também é conhecida como caminho

52


Figura 2.3:

Figura 2.4:

• Considere-se a trajetória ~h : [0, 2] −→ R2 definido por h(t) = (t, é o segmento de recta que une os pontos (0; 1) e (2; 2).

Figura 2.5: t + 1): A curva ~h([0, 2]) 2

• Dado a trajetória ~s : [0, 2] −→ R2 definido por ~s(t) = (t; t2 + 2); a correspondente curva ~s([0, 2]) é uma parte da parábola y = x2 + 2 com 0 ≤ x ≤ 2 :

Exemplo 2.9. • Para as trajetórias ~r : [0, 2] −→ R2 e ~s : [0, π] −→ R2 , definidos por ~r(t) = (cos t, sent)

e

~s(t) = (cos 2t, −sen2t)

as respectivas curvas, ~r([0, 2]) e ~s([0, 2]), coincidem com a circunferência de raio um centrada na origem. A trajetória ~s percorre a circunferência com o dobro da velocidade de ~r e no sentido oposto. • A trajetória ~r : [0, 2π] −→ R2 definido por ~r(t) =

percorre uma vez a elipse

r

2 (cos t, sent) cos2 t + 2sen2 t

x2 + y 2 = 1 no sentido anti-horário. 2

Lembrando que integrais simples (ou duplas) de funções escalares cujas imagens são não negativas em todos os pontos do domínio D, são números também não negativos e que representam a área da região do plano acima de S e abaixo da curva gráfico da função de uma variável (ou o volume do sólido no espaço acima de D e abaixo da superfície gráfico da função de duas variáveis). Com estas idéias apresentamos três problemas que conduzem à definição da integral de linha. Problema 2.1. Comprimento de uma linha. Suponhamos P e Q dois pontos do espaço Rn , designemos por P Q o segmento de linha que une esses dois pontos. Qual é o comprimento dessa linha? Sabemos que o comprimento do segmento P Q é dado por kQ − P k.

O segmento da reta P Q pode ser definido mediante a trajetória r : [0, 1] −→ R n definido por

r(t) = P + t(Q − P ).

53

Christian José Quintana Pinedo dr = Q − P , logo temos Note que dt

kQ − P k =

Z1 0

kQ − P kdt =

Z1 0

k

dr kdt dt

Portanto, o comprimento do segmento de reta kQ − pk está dado pela integral Com está idéia podemos heurísticamente aceitar a seguinte definição

Z1 0

k

dr kdt. dt

Definição 2.10. Seja f : S ⊂ Rn −→ R uma função escalar, S aberto, consideremos a trajetória ~r : [a, b] → Rn

de classe C 1 que representa a curva Γ ⊂ S. Chama-se integral de linha do campo escalar f ao

longo da curva ~r ó integral

Z Γ

f=

Zb

f (r(t))k

a

dr kdt dt

(2.1)

O rigor para justificar esta definição apresenta-se mediante os dois seguintes problemas. Problema 2.2. Massa total do fio. Como exemplo, suponha-se que temos um fio Γ, cuja configuração é dada por uma certa trajetória diferenciável ~r : [a, b] −→ R3 , com uma densidade de massa ρ. Qual a massa total do fio?

Para termos um valor aproximado desta quantidade, podemos adoptar o esquema que já deve ser familiar ao leitor. Ou seja, primeiro decompomos o intervalo [a, b] num número finito de subintervalos a = t0 < t1 < · · · < tn−1 < tn = b considerando ti+1 − ti = ∆t, e, de seguida, escrevemos a soma para obter aproximadamente a

massa.

M≈

n−1 X i=0

ρ(~r(t)) k ~r(ti+1 ) − ~r(ti ) k=

n−1 X i=0

ρ(~r(t)) k ~r(ti + ∆t) − ~r(ti ) k

Em princípio, melhores aproximações serão obtidas se tomarmos para ∆t um valor mais pequeno próximo de zero. A massa total M sería então dada pelo limite: lim

∆t→0

n−1 X i=0

ρ(~r(t)) k ~r(ti + ∆t) − ~r(ti ) k

(2.2)

Observe que este limite tem todos os ingredientes do que deve ser um integral e, portanto, é Z natural denotá-lo por ρ. Γ

No entanto, estas considerações não nos dão ainda uma forma prática de calcular o valor

exato da massa total. Precisamos de simplificar o limite (2.2). Para isso, comecemos por notar que d~r k ~r(ti + ∆t) − ~r(ti ) k =k (t) k ∆t→0 ∆t dt lim

54


logo M=

Z

ρ = lim

∆t→0

Γ

= lim

∆t→0

n−1 X

n−1 X i=0

ρ(~r(t)) k ~r(ti + ∆t) − ~r(ti ) k

ρ(~r(t))

k ~r(ti + ∆t) − ~r(ti ) k · ∆t ∆t

Zb

d~r (t) k dt dt

i=0

M=

a

ρ(~r(t)) k

supondo para a última igualdade que ρ e ~r são funções “suficientemente regulares”. 1 Por Z exemplo, se ~r é de classe C e é contínua, essa igualdade é válida. Fazendo ρ = 1, vemos que 1 dá-nos também o comprimento do fio da fórmula (4.19). Γ

Definição 2.11. Seja f : S → R uma função, com S um aberto de Rn , e consideremos uma trajetória ~r :

[a, b] −→ S de classe C 1 . Notemos por Γ a respectiva curva, isto é, Γ = ~r([a; b]). Chamamos

integral de linha de f sobre a trajetória ~r ao integral

Z Γ

f=

Zb a

f (~r(t)) k

d~r (t) k dt dt

(2.3)

Existem outras situações não contempladas nos casos acima descritos. Por exemplo, se quisermos calcular a área de um “muro” construído sobre uma curva e cuja altura é variável não é possível fazê-lo através de integral definida nem de integral dupla. Problema 2.3. Área de um muro. Consideremos uma curva Γ unindo dois pontos no plano-xy e uma função z = f (x, y) contínua em S onde S é uma região do plano contendo a curva Γ. Um muro é construído ao longo de Γ e tem altura igual à f (x, y) (supondo que f seja não negativa em S) em cada ponto (x, y)) de Γ. Qual é a área deste muro?. Solução. Para resolver o problema nós tomamos um partição da curva Γ obtendo n arcos pela introdução de n − 1 pontos em Γ entre os seus extremos.

Seja ~r : [a, b] −→ R2 uma curva regular, tal que ~r([a, b]) = Γ ⊂ R2 é a imagem de ~r.

Agora consideremos f : Γ ⊂ R2 −→ R uma função definida sobre a curva Γ.

Consideremos P = { t0 , t1 , t2 , · · · , tn } uma partição de [a, b] tal que a = t0 < t1 < t2 <

· · · < tn = b.

Estes pontos determinam uma partição da curva Γ pelos pontos ~r(a) = ~r(t 0 ), ~r(t1 ), ~r(t2 ),

· · · , ~r(ti ) = (xi , yi ), · · · , ~r(tn ) = ~r(b).

Traçando retas verticais por esses pontos (inclusive os extremos) dividimos o muro em n

55


Figura 2.6:

Figura 2.7:

“tiras’ ’. Denotando por ∆Ai a área da i-ésima “tira” a área do muro é dada por Área do muro = ∆A1 + ∆A2 + · · · + ∆An =

n X

∆Ai

i=1

Em cada subintervalo [ti−1 , ti ] para i = 1, 2, , · · · , n escolhemos um ponto arbitrário tî tal que ~r(tî ) = (ˆ xi , yî ) ∈ Γ. Vejamos uma aproximação para a área da i-ésima tira, ∆Ai . \ Para isso, tomemos no i-ésimo arco, ~r(ti−1 )~r(ti ), um ponto (ˆ xi , yî ) e consideremos a altura

f (ˆ xi , yî ) do muro neste ponto. O comprimento do arco ~r(ti−1 )~r(ti ) denotaremos por L(Si ) é dado por: Zti p [x0 (t)]2 + [y 0 (t)]2 dt L(Si ) = ti−1

Como f é uma função contínua e a i-ésima tira é estreita podemos aproximar o valor de f \ para f (ˆ xi , yî ) em todo (x, y) do arco ~r(ti−1 )~r(ti ) . Assim, a área da i-ésima tira é aproximada por ∆Ai ≈ f (ˆ xi , yî )L(Si ) enquanto a área do muro tem aproximação Área do muro ≈

n X

f (ˆ xi , yî )L(Si )

i=1

Como podemos intuir, se aumentarmos indefinidamente o número de arcos na partição, em cada arco o comprimento tende a zero e a função f tende a assumir o valor constante f (ˆ x i , yî ) . Desta forma a área do muro é Área do muro = lim

n→∞

n X


i=1

que sabemos tratar-se de uma integral e que é chamada integral de linha ou integral curvilínea

56


da função f ao longo da curva Γ e denotaremos

Z

f (x, y)dS. Assim,

Γ

Área do muro =

Z

f (x, y)dS

Γ

Definição 2.12. Se existe um número M ∈ R tal que para todo > 0 existe um δ > 0 tal que n X f (ˆ x , y ˆ )L(S ) − M < i i i i=1

para toda partição P = { t0 , t1 , t2 , · · · , tn } de Γ, então dizemos que existe a integral curvilínea de f com respeito ao comprimento de arco Γ e se escreve como Z

f (x, y)dS = M =

Γ

lim

kL(Si )k→0

n X

(2.4)


i=1

Onde kL(Si )k é o comprimento máximo de arco correspondente à partição considerada.

O conceito de integral de linha constitui uma generalização do conceito de integral definida Zb

f (x)dx. No caso da integral definida, a integral é efetuada ao longo do segmento de reta ab

a

− → pertencente ao eixo dos 0x, sendo f (x) uma função definida em qualquer ponto deste segmento de reta. Quando se define o integral

Z

f , é preciso ter em atenção que a parametrização utilizada deve

Γ

ser previamente estabelecida, uma vez que a fórmula (2.3) depende em geral de ~r. No entanto, como vamos ver agora, resta-nos alguma liberdade para escolher a parametrização. Sejam ~r : [a, b] −→ Rn e ~s : [c, d] → Rn duas trajetórias de classe C 1 , para os quais

existe um difeomorfismo2 ϕ : [a, b] −→ [c, d] de classe C 1 (em particular, ϕ0 = 0 em [a, b]), tal que ~s(ϕ(t)) = ~r(t). Intuitivamente, as trajetórias ~r e ~s percorrem a mesma curva, com os

mesmos pontos de inflexão, passando em cada ponto igual número de vezes, mas com velocidades e sentidos eventualmente diferentes. Assim, uma vez que d~s dϕ d~r (ϕ(t)) · (t) = (t) dϕ dt dt temos Zd c

0

f (~s(u)) k ~s (u) k du =

Zb a

0

0

f (~s(ϕ(t))) k ~s (ϕ(t)) kk ϕ (t) k du =

Zb a

f (~r(t)) k ~r 0 (t) k dt

onde na primeira igualdade utilizámos o Teorema da Mudança de Variável para integrais unidi2

Função diferenciável de modo que sua função inversa também é diferenciável

57

Christian José Quintana Pinedo mensionais. Exemplo 2.10. Consideremos as trajetórias ~r : [0, 2π] −→ R2 e ~s : [0, π] → R2 , definidos por ~r = (cos t, sent)

~s = (cos 2t, sen2t)

Estas trajetórias são parametrizações diferentes para uma mesma curva: ~r([0, 2π]) = ~s([0, π]). ~ = ~r(t), sendo ϕ : [0, 2π] −→ [0; π] o difeomorísmo de classe C 1 definido por Como ϕ(t) t ϕ(t) = π − , temos que o integral de linha de uma função f sobre a trajetória ~r é igual ao 2 integral de linha de f sobre a trajetória ~s. Exemplo 2.11. Calcular a integral de linha

Z

(xy + 3x)ds, sendo Γ o segmento que une o ponto A(−1, 0) ao

Γ

ponto B(2, 3). Solução.

Primeiro temos de parametrizar a curva Γ y−0=

3−0 (x + 1), 2+1

y =x+1

t ∈ [−1, 2] √ √ |r 0 (t)| = 1 + 1 = 2

~r(t) = (t, t + 1), r0 (t) = (1, 1), Z Γ

(xy + 3x)ds =

Z2

0

(x(t)y(t) + 3x(t))|r (t)|dt =

Z2

√ √ [t(t + 1) + 3t] 2dt = 9 2

−1

−1

Observe que a parametrização usada foi através da equação reduzida de uma reta no plano, e o intervalo de variação do parâmetro foi dado pelas abcissas dos pontos de extremidade do segmento de reta, já que foi considerado x = t. O resultado obtido seria o mesmo se tomássemos ~ Ou seja, o vetor as equações paramétricas da reta para parametrizar o segmento(orientado) AB. diretor é ~v = B − A = (3, 3) sendo a parametrização dada por ~r(t) = (−1 + 3t, 3t),

t ∈ [0, 1]

Sugerimos que calcule a integral de linha

Z

ou

~r(t) = A − t~v ,

t ∈ [0, 1]

(xy + 3x)ds, usando esta parametrização. Deverá

Γ

dar o mesmo resultado pois a integral de linha é independente da parametrização.

Claramente se observa mediante a definição a relação que existe entre uma “integral de linha" e uma “integral definida" sobre o eixo coordenado. No entanto, não é difícil compreender que a “integral de linha" é mais geral e flexível do que o seu parente mais pobre, a “integral definida".

58


2.4

Aplicações da integral de linha de funções escalares

Mediante a definição da integral de linha para funções escalares podems apresentar algumas aplicações: 1. Comprimento de um caminho: Seja f ≡ 1. Então, o integral de linha de f l(Γ) =

Z

f=

Zb a

Γ

k

dr (t)kdt dt

é o comprimento da curva Γ = ~r([a, b]). 2. Massa de um fio: Seja ρ : S ⊂ Rn −→ R a densidade de massa por unidade de comprimento

do material que constitui um fio descrito por um caminho ~r : [a, b] −→ R n . Então, o integral de linha de f

M=

Z Γ

ρ=

Zb

ρ(~r(t))k

a

d~r (t)kdt dt

é a massa M do fio 3.Centro de massa de um fio: Seja ρ : S ⊂ Rn −→ R a densidade de massa por unidade de comprimento do material que constitui um fio de massa M descrito por um caminho

~r : [a, b] −→ Rn e seja

f (x) =

1 x1 ρ, M

i = 1, 2, 3, · · · , n

O centro de massa é o ponto de coordenadas (¯ x1 , x ¯2 , x ¯3 , · · · , x ¯n ) calculadas da seguinte

forma

1 x ¯i = M

Zb

xi (t)ρ(r(t))k

a

dr (t)kdt, dt

i = 1, 2, 3, · · · , n

4. Momento de inércia de um fio: Seja L uma linha reta e designemos por dL (x) a distância do ponto x ∈ Rn . à linha L. O momento de inércia da linha Γ cuja densidade é ρ relativo

à reta L é a integral de linha da função f (x) = ρ(x)d2L (x), ou seja,

IL =

Zb a

ρ(r(t))d2L (r(t))k

dr (t)kdt dt

Exemplo 2.12. Seja Γ uma circunferência de raio a e centro na origem de coordenadas em R 2 . Determine o comprimento de Γ. Solução. A curva Γ podemos escrever na forma r(t) = 9acostheta, asenθ onde 0 ≤ θ ≤ 2π. Z2π Z dr Logo, l(Γ) = k (t)kdt = adt = 2πa. dt Γ

0

59


Calcular o comprimento Γ da hélice cilíndrica (Figura (2.8)) parametrizada por ~r(t) = (cos 2t, sen2t, t), Solução. Tem-se

t ∈ [0, 5π].

l(Γ) =

Z5π 0

0

k ~r (t) k dt =

Z5π 0

k (−2sen2t, 2 cos 2t, 1) k dt =

Z5π p Z5π √ √ k 4(sen2 2t + cos2 2t) + 1 k= l(Γ) = 5dt = 5 5π 0

0

√ Logo o comprimento da hélice é 5 5π

Figura 2.8:

Figura 2.9:

Exemplo 2.14. Seja um fio cuja configuração é dada pela espiral (Figura (2.9)) ~r(t) = (t cos t, tsent), p [0, 2π] e com densidade de massa ρ(x, y) = x2 + y 2 .

t∈

A massa M total do fio vem dada por;

M=

Z2π 0

0

ρ(~r(t)) k ~r (t)dt =

Z2π p 0

t2 (cos2 t + sen2 t) k (cos t − tsent, sent + t cos t) k dt

Z2π p i 2π 1 hp 1p = t 1 + t2 dt = (1 + t2 )3 = [ (1 + 4π 2 )3 − 1] 3 3 0 0

Exemplo 2.15. Seja Γ um fio de um material cuja densidade de massa é dada por

ρ(x, y) = p

e tem configuração de um espiral descrito pelo caminho ~r(t) = (t cos t, tsent) Determine sua massa e a coordenada y¯ do centro de massa. Solução.

1

1 + x2 + y 2 0 ≤ t ≤ 4π.

60

Cálculo Vetorial e Séries Tem-se

dr (t) = (cos t − tsent, sent + t cos t). Seja M a massa do fio, então dt M=

Z

ρ(x, y)dr =

Z4π 0

Γ

p 1 √ · 1 + t2 dt = 4π 1 + t2

A coordenada y¯ do centro de massa é dado por 1 y¯ = M

Z

1 yρ(x, y) = 4π

Z2π 0

Γ

p 1 tsent · √ · 1 + t2 dt = −1 1 + t2

Exemplo 2.16. Seja Γ ⊂ R3 um fio de um material com densidade de massa ρ(x, y, ) = z cuja configuração

é uma hélice cilíndrica descrita pela curva ~r(t) = (cos t, sent, t), momento de inércia respeito do eixo-x.

t ∈ [0, 4π]. Determine o

Solução. Como ~r(t) = (cos t, sent, t)

⇒

eixo-x é Ix (Γ) =

Z Γ

k

√ dr (t)k = 2 e o momento de inercia de Γ relativo ao dt

zρ(x, y, z)dr =

Z4π √ 0

√ 2tdt = 8 2π 2

61


Exercícios 2-1 1. Parametrize as curvas representadas nas figuras seguintes:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

2. Ache um campo vetorial conservativo que tenha o potencial indicado. 1. f (x, y, z) = x2 − 3y 2 + 4z 2 3. f (x, y, z) = arctan(xy)

2. f (x, y, z) = sen(x2 + y 2 + z 2 ) 4. f (x, y, z) = y 2 e−3x

3. Para cada um dos seguintes exercícios, determine a integral de linha. Z h i x2 2y 1 p 1. dx + 2 dy onde L é o arco y = x2 de (0, 0) até (2, 2). 2 2 2 4x + y 2 x −y L Z 1 5 2. [(x2 − 2y)dx + (2x + y 2 )dy] onde L é o arco y 2 = 4x − 1 de ( , 0) até ( , 2). 4 4 L Z 3. [(x + y)dx + (x − y)dy] L

4.

−→ −−→ 1. Através da curva L que é o segmento OA e AB onde A(2, 0), B(2, 1 e O(0, 0). −−→ 2. Através da curva L que é o segmento OB. Z √ [ydx + (x2 + y 2 )dy] onde L é o arco da circunferência y = 4 − x2 de (−2, 0) até L

5.

(0, 2). Z h i 1 −y p dx + p dy onde L é o arco da curva x2 − y 2 = 9 de (3, 0) até x2 − y 2 x x2 − y 2 L

(5, 4).

62


Z

7.

Z

8.

Z

x2 dy onde L é a curva y = x3 − 3x2 + 2x desde (0, 0) até (2, 0).

9.

Z

[(y − x)dx + x2 ydy] onde L é a curva y 2 = x3 desde (1, −1) até (1, 1).

p π y 2 sen2 x 1 + cos2 xds onde L é o arco da curva y− = senx de (0, 0) até ( , 1). 2

L

y 2 dx − xdy onde L é a curva y 2 = 4x de (0, 0) até (1, 2).

L

L

L

10.

Z

xy 2 dy onde L é o círculo x2 + y 2 = a2 no sentido anti-horário. x2 + y 2

11.

Z

xdy onde L é o segmento de reta

L

x y + = 1 desde o ponto de interseção com o a b

L

eixo das abscissas até o ponto de interseção com o eixo das ordenadas. Z at 12. [yzdx + zxdy + xydz] onde L é um arco da hélice x = R cos t, y = Rsent, z = 2π L

desde o ponto de interseção da hélice com o ponto z = 0, até o ponto de interseção

com o plano z = a. Z 13. [y 2 dx + z 2 dy + x2 dz] onde L é a curva de interseção da esfera x2 + y 2 + z 2 = R2 e L

o cilindro x2 + y 2 = Rx,

(R > 0, /z ≥ 0, sendo percorrido no processo de integração

no sentido anti-horário. Z 4. Determine f (x, y)ds se L é a curva no sentido anti-horário do conjunto de pontos S, onde

L

1.

f (x, y) = xy onde S é o triângulo formado pelo eixos coordenados e a reta x+2y = 1.

2.

f (x, y) = x2 + y 2 onde S é a semi-circunferência formada pelo eixo 0x e a metade superior da circunferência x2 + y 2 = 4.

3.

f (x, y) = xy − y 2 onde S = { (x, y) ∈ R2 /. |x| + |y| = 1 }

4.

f (x, y) = (x − y)2 onde S é um quarto da circunferência x2 + y 2 = 4 do primeiro

quadrante e os eixos de coordenadas. 5.

f (x, y) = xy onde S é determinado por α(t) = (4sent, 4 cos t),

0 ≤ t ≤ π.


2.5

63

Campos vetoriais

Um campo vetorial é sinônimo de função vetorial. Análogamente, uma função ordinária f que associa um número real a cada ponto de uma região do plano ou do espaço é chamada de campo escalar ou função escalar. Funções vetoriais frequentemente aparecem nas aplicações da matemática. O vetor velocidade do vento na atmósfera, é um exemplo de uma função vetorial. Outros exemplos de funções vetoriais são o vetor velocidade das partículas de fluidos de uma corrente também o vetor força da gravedade que exerce a terra sobre um objeto no espaço. Um campo de forças é um campo vetorial em que a cada ponto está associado um vetor força, estes campos são comuns em estudos de mecânica e eletricidade.

Figura 2.10: Campo vetorial que descreve o fluxo em uma tuberia Muitas das importantes propriedades dos campos vetoriais são de carater geométrico, consequentemente são independentes de qualquer sistema de coordenadas, logo muitas vezes definem-se propriedades de campos vetoriais sem referência a um sistema particular de coordenadas. Propriedades análogas de cálculo diferencial e integral estudados é possível definir para campos vetoriais, desde que suas funções componentes satiszafam essas propriedades. Se a cada ponto P de uma região está associado exatamente um vetor que tenha P como sua origem (ponto inicial), então a coleção de todos esse vetores constitui um campo vetorial. Os campos vetoriais independentes do tempo, são chamados de campos vetoriais estacionários. −→ Lembremos que todo ponto P (a, b, c) do espaço R3 pode ser escrito na forma do vetor 0P = (a, b, c) = a~i + b~j + c~k onde os vetores ~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) e ~k = (0, 0, 1) formam uma base canônica do espaço R3 . Denotemos com • o operador para o produto escalar de vetores; isto é, se ~u = u 1~i + u2~j + u3~k e ~v = v1~i + v2~j + v3~k são vetores de R3 , o produto escalar é definido por ~u • ~v = (u1~i + u2~j + u3~k) • (v1~i + v2~j + v3~k) = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 ∈ R Seja S ⊂ R3 e consideremos uma transformação F~ : S −→ R3 , muitas vezes levando em conta o significado físico ou geométrico de F~ , será conveniente interpretar F~ (X) com o ponto X ∈ S como um vetor aplicado em X. Sempre que quisermos interpretar F~ (X) desta forma, referir-nos a F~ como um campo vetorial e usaremos a notação F~ . Definição 2.13. Campo vetorial. Um campo vetorial em Rn é uma função F~ : S ⊂ R −→ Rn que associa a cada ponto X do seu domínio S um vetor F~ (X)

64

Cálculo Vetorial e Séries Um campo vetorial em três dimensões, é uma função F~ cujo domínio S ⊆ R3 e sua imagem

(contradomínio) é um subconjunto de R3 . Se (x, y, z) está em S ⊆ R3 então

F~ (x, y, z) = F1 (x, y, z)~i + F2 (x, y, z)~j + F3 (x, y, z)~k onde Fi : R3 −→ R,

são funções escalares.

i = 1, 2, 3,

Exemplo 2.17. Realizar a descrição do campo vetorial F~ dado por F~ (x, y) = −y~i + x~j.

Solução.

A seguinte tabela mostra os vetores F~ (x, y) associados a vários pontos (x, y) assinalados na Figura (2.11) y

(x, y) (1, 3) (1, −3) (3, 1) (3, −1) (−1, 3) (−1, −3) (−3, 1) (−3, −1)

F~ (x, y) −3~i + ~j 3~i + ~j −~i + 3~j ~i + 3~j −3~i − ~j 3~i − ~j −~i − 3~j ~i − 3~j

6 4

MBB

P i 3P

)

2 1

a a −2 −1 −4 −3

B

B

B

0

a 1 −1

a 2

B

B

B

a a 3 4

x

−2

BNB

1 P q −3 P −4

?

Figura 2.11: Para chegar a uma descrição de um campo vetorial F~ consideramos um ponto arbitrário (x, y) e definimos o vetor de posição x~i + y~j de (x, y).

2.5.1

Gradiente. Divergente. Rotacional

Consideremos o campo vetorial F~ : S ⊂ R3 −→ R3 descrito como F~ (x, y, z) = F1 (x, y, z)~i + F2 (x, y, z)~j + F3 (x, y, z)~k definido no aberto S ⊂ R3 . Suponhamos que F1 , F2 , F3 sejam de de

classe C 1 em S.

No cálculo vetorial o gradiente é a alteração no valor de uma quantidade por unidade de

espaço. O vetor gradiente ou simplesmente gradiente de uma campo escalar f é dado por: Definição 2.14. Gradiente. O gradiente de F~ , que indicamos por ∇F~ , é o campo vetorial definido em S e dado por ∇F~ =

∂F1~ ∂F2 ~ ∂F3 ~ i+ j+ k ∂x ∂y ∂z

(2.5)

65


O símbolo nabla ∇ foi introduzido por William Hamilton e rápidamente assimilado pela

comunidade científica:

O gradiente também pode ser generalizado em ordem - se fornecemos um campo vetorial obtemos um campo tensorial. • Por exemplo, o gradiente do potencial elétrico é o campo elétrico. O gradiente da energia de campo é a força de campo

Propriedades do gradiente. 1. Linearidade:

α, β ∈ R

∇(αf + βg) = α∇f + β∇g;

2.- Lei de Leibnitz na multiplicação: 3.- Lei de Leibnitz na divisão:

∇(f · g) = g · ∇f + f · ∇g

f ∇( ) = g

1 g2

[g · ∇f − f · ∇g] ;

g 6= 0

O vetor gradiente sempre será ortogonal às curvas de nível. Com efeito, seja uma função definida em e diferenciável em todo seu domínio, e suponhamos f (x, y) uma função definida em D ⊂ R2 .

Seja S = { (x, y) ∈ D /. f (x, y) = k,

k ∈ R } onde x = x(t) e y = y(t) são tais que

x(0) = x0 e y(0) = y0 ; então temos diferenciando em relação a t: ∂f dx ∂f dy · + · =0 ∂x dt ∂y dt

⇒

∇f (t0 ) • dr(t0 ) = 0

A equação final pode ser interpretada como o produto escalar do gradiente de f por um vetor tangente a f em (x0 , y0 ), logo os dois são perpendiculares entre si. Gradiente em outras coordenadas. 1. Coordenadas cartesianas:

∇f =

∂f ~ ∂f ~ ∂f ~ i+ j+ k ∂x ∂y ∂z

Onde { ~i, ~j, ~k } é uma base de R3 . ∂f 1 ∂f ∂f ~ k ~er + · ~eθ + ∂r r ∂θ ∂z Onde r representa a distância ao eixo-z, θ é o ângulo considerado, em geral sobre o plano z = 0 em relação ao eixo-x e r. O conjunto { ~er , ~eθ , ~k } é uma base de R3 .

2. Coordenadas cilíndricas:

∇f =

∂f 1 ∂f 1 ∂f ~eρ + ~eθ + · ~eϕ ∂ρ ρsenϕ ∂θ ρ ∂ϕ Onde ρ representa a distância à origem, ϕ é o ângulo entre a reta que liga o ponto à origem

3. Coordenadas esféricas:

∇f =

e o eixo-z e θ é o ângulo formado pela projeção da reta que liga o ponto à origem no plano z = 0 e o eixo-x. O conjunto { ~eρ , ~eθ , ~eϕ } é uma base de R3 . Definição 2.15. Campo conservativo. Um campo vetorial F~ que é o gradiente de um campo escalar f , é chamado de campo vetorial conservativo. Isto é. se F~ = ∇f

66

Cálculo Vetorial e Séries Em cálculo vetorial, o operador divergência é um operador que mede a magnitude de “fonte”

ou “poço” de um campo vetorial em um dado ponto, isto é, ele pode ser entendido como um escalar que mede a dispersão ou divergência dos vetores do campo num determinado ponto. Definição 2.16. Divergente. Seja F~ = (F1 , F2 , F3 ) um campo vetorial definido no aberto S ⊂ R3 e suponhamos que as componentes F1 , F2 , F3 admitam derivadas parciais em S. O campo escalar div F~ : S −→ R dado por

div F~ =

∂F1 ∂F2 ∂F3 + + = ∇ • F~ ∂x ∂y ∂z

(2.6)

denomina-se divergente de F . • Por exemplo, considere o volume de ar de uma sala sendo aquecido ou resfriado. O campo

vetorial neste caso é a velocidade do ar se movendo em um determinado ponto. Se o ar

é aquecido em uma determinada região ele irá se expandir em todas as direções, então o divergente do campo de velocidade nesta região será positivo pois se observarmos um pequeno volume nessa região teremos mais ar saindo do que entrando nesse volume. Se o ar resfria e se contrai, o divergente é negativo pois a há na região uma convergência de ar, se observarmos um pequeno volume nessa região teremos mais ar entrando do que saindo neste pequeno volume. • Um outro exemplo, se F~ denota o campo de velocidade de um líquido, então o div F~ (P ) mede a tendência desse fluido, ao ficar longe de P tem-se div F~ (P ) > 0 e ao acumular-se entorno de P tem-se div F~ (P ) < 0. Em cálculo vetorial, rotacional é um operador que descreve a rotação de um elemento infinitesimal em um campo vetorial. Em cada ponto do campo, a rotação é representada por um vetor. Os atributos desse vetor (módulo e direção) caracterizam a rotação nesse ponto. Definição 2.17. Rotacional. O rotacional de F~ , que indicamos por rot F~ , é o campo vetorial definido em S e dado por rot F~ =

~i ∂ ∂x F1

~j ∂ ∂y F2

Ainda mais, podemos indicar o rotacional como

~k ∂ ∂z F3

(2.7)

rot F~ = ∇ × F~

A direção do rotacional é o eixo de rotação, conforme determinado pela regra da mão direita, e a magnitude de rotação em um ponto do campo é a magnitude do vetor rotacional naquele ponto. Se o campo vetorial representa o fluxo de um fluido em movimento, então o rotacional representa a rotação de um pequeno volume em um determinado ponto. Um campo vetorial cujo rotacional é zero é chamado de irrotacional.

67


Rotacional corresponde a uma transformação linear de um campo de vetores em um outro campo vetorial, com significado empregado em diversos ramos da ciência, como eletromagnetismo e mecânica dos fluidos. O rot F~ elige a direção do eixo entorno do qual gira o fluido mais rápido, assim rot F~ é uma medida da rapidez da rotação (dextrogira3 ). Exemplo 2.18. Determinar o gradiente, divergente e rotacional de F~ (x, y, z) = xy 2 z 4~i + (2x2 y + z)~j + y 3 z 2~k. Solução. Tem-se: F1 = xy 2 z 4 , F2 = 2x2 y + z, F3 = y 3 z 2 , logo

∂F2 ∂F3 ∂F1 = y2z4, = 2x2 , = 2y 3 z ∂x ∂y ∂z

∇F~ = y 2 z 4~i + 2x2~j + 2y 3 z~k div F~ = y 2 z 4 + 2x2 + 2y 3 z ~ ~ ~ i j k ∂ ∂ ∂ rot F~ = ∂x ∂y ∂z F1 F2 F3

∂F ∂F2 ~ ∂F3 ∂F1 ~ ∂F2 ∂F1 ~ 3 − − − i− j+ k= rot F~ = ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂x rot F~ = (3y 2 z 2 − 1)~i + 4xy 2 z 3~j + (4xy − y 2 z 4 )~k =

A propriedade seguinte estabelece uma relação básica entre o gradiente e o rotacional de uma função Propriedade 2.1. Para qualquer F~ função de classe C 2 temos que

∇ × ∇F~ = 0.

Isto é o rotacional de qualquer vetor gradiente é o vetor nulo.

2.6

Integral de linha de um campo vetorial

Problema 2.4. Seja F~ um campo vetorial sobre uma certa região S de Rn . Interpretemos F~ como um campo de forças. Qual o trabalho W realizado por F~ para deslocar uma certa partícula ao longo de uma curva Γ ⊂ S descrita por ~r : [a; b] −→ Rn ? Para vermos qual a fórmula a utilizar, comecemos por supor que F~ é constante e ~r(t) é o segmento de reta entre os pontos P1 e P2 . Neste caso é bem conhecido que o trabalho realizado pela força F~ para deslocar uma partícula de P1 para P2 é dado por F~ • (P2 − P1 ) 3

A direção da rotação de acordo com a mão direita

68

Cálculo Vetorial e Séries Voltemos ao caso geral. Mais uma vez, para obtermos um valor aproximado de W , decom-

pomos o intervalo [a; b] num número finito de subintervalos a = t0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ · · · tn−2 ≤ tn−1 ≤ tn = b com ti+1 − ti = ∆t; ficamos assim com uma linha poligonal ~r(t0 ), ~r(t1 ), ~r(t2 ), · · · , ~r(tn−1 ), ~r(tn )

que serve como primeira aproximação á trajetoria ~r : [a, b] −→ Rn Em seguida, consideramos a soma W ≈

n−1 X i=0

F~ (~r(ti )) • [~r(ti+1 ) − ~r(ti )] =

n−1 X i=0

F~ (~r(ti )) • [~r(ti + ∆t) − ~r(ti )]

Em princípio, melhores aproximações para W serão obtidas se tomarmos para ∆t um valor mais pequeno. O trabalho W sería então dado pelo limite lim

∆t→0

n−1 X i=0

F~ (~r(ti )) • [~r(ti + ∆t) − ~r(ti )]

podemos escrever lim

∆t→0

n−1 X i=0

~r(ti + ∆t) − ~r(ti ) F~ (~r(ti )) • [ ]∆t ∆t

Z Mais uma vez, este limite tem todos os ingredientes de um integral, sendo, assim, notado por F~ • d~r. Procedendo com um argumento similar ao utilizado no caso do integral de uma função Γ

sobre uma trajetória, podemos concluir que

W =

Z

F~ • d~r =

Γ

Zb a

F~ (~r(t)) • ~r 0 dt

no caso de F~ e ~r serem suficientemente “regulares”.

Estamos assim motivados para a seguinte definição: Definição 2.18. Sejam S um aberto de Rn e F~ : S −→ Rn um campo vetorial. Consideremos uma curva Γ

em S descrita pela trajetória ~r : [a, b] −→ Rn de classe C 1 . Ao integral Z

F~ • d~r =

Γ

Zb a

F~ (~r(t)) • ~r 0 (t)dt

chamamos integral de linha do campo vetorial F~ ao longo do caminho ~r ou trabalho realizado pelo campo F ao longo do caminho ~r(t) . ~r(t + h) − ~r(t) dr (t) = lim . Tal como se Sendo ~r de classe C 1 , consideremos a sua derivada dt h dr ilustra na Figura (2.12), a derivada define a direção da tangente à linha Γ no ponto P = r(t). dt

69

Christian José Quintana Pinedo Note-se que à medida que h → 0 a secante P Q vai-se transformando na tangente

Figura 2.12:

Portanto, se o campo vetorial F~ for, em cada ponto P = r(t) ∈ Γ, ortogonal ao vetor tangente dr nesse ponto, então o trabalho W realizado pelo campo F~ ao longo do caminho ~r será nulo. dt Mais uma vez o integral de linha de um campo vetorial F~ depende, em geral, da parametrização escolhida. No entanto, suponha-se que temos uma curva Γ e duas parametrizações, ~r : [a, b] −→ Rn e ~s : [c, d] −→ Rn , para as quais existe um difeomorísmo ϕ : [a, b] −→ [c, d] de

classe C 1 tal que ~r(t) = ~s(ϕ(t)) e ϕ 0 (t) > 0, para todo t ∈ [a; b]. Mais uma vez, como s0 (ϕ(t))ϕ0 (t) = ~r 0 (t) temos Z Γ

F~ • d~s =

Zd c

F~ (~s(u)) • ~s (u)du = 0

=

Zb a

Zb a

F~ (~s(φ(t))) • ~s (ϕ(t))ϕ0 (t)dt

F~ (~r(t)) • ~r 0 (t)dt =

Z

F~ • d~r

Γ

Se F~ = (F1 , F2 ) e ~r(t) = (x(t), y(t)), podemos notar o integral de linha de F~ ao longo de ~r por

Z Γ

F~ • d~r =

Z

F1 dx + F2 dy

Γ

Exemplo 2.19. Consideremos o campo vetorial F~ (x, y) = x2~i + y~j e seja Γ a parábola descrita por ~r(t) = t~i + (t2 + 1)~j; t ∈ [0, 1]. Determine a integral de linha de F~ ao longo de ~r Solução.

70


Tem-se

Z

F~ • d~r =

Γ

Z1

F~ (~r(t)) • ~r (t)dt =

0

=

Z1 0

Exemplo 2.20.

Z1 0

(t2 , t2 + 1) • (1, 2t)dt =

1 11 1 3 1 4 2 (t + 2t + 2t)dt = t + t + t = 3 4 3 0 2

3

De dois modos diferentes, calcular a integral de linha do campo F~ (x, y) = (x2 , y 2 ) sobre a parábola Γ : y = x2 , desde A(0, 0) até B(1, 1). Solução. 1. Parametrizamos a curva Γ mediante ~r(t) = (t, t2 ), t ∈ [0, 1], logo ~r 0 (t) = (1, 2t) e F~ (~r(t)) = (t2 , t4 ). Aplicando a igualdade (2.8) segue Z

F~ (~r) • d~r =

Γ

Z

2

2

(x dx + y dy) =

dy dx + F2 ]dt = [F1 dt dt

√ t t 2. Parametrizamos Γ por ~r(t) = ( , ), 2 4 Aplicando a igualdade (2.8) segue F~ (~r) • d~r =

Γ

Z4 0

Z1

[(t2 )(1) + (t4 )(2t)]dt =

2 3

0

0

Γ

Z

Z1

1 1 t t2 t ∈ [0, 4], logo ~r 0 (t) = ( √ , ) e F (~r(t)) = ( , ). 4 16 4 t 4

t t2 1 1 ( , )( √ , )dt = 4 16 4 t 4

Z4 √ t t2 2 [( + )]dt = 16 64 3 0

Em coordenadas cartesianas, se conseguirmos representar paramétricamente as coordenadas (x, y, z) em função de somente um parâmetro t, teríamos que Z

F~ (~r) • d~r =

Γ

Z Γ

(F1 dx + F2 dy + Fz dz) =

Zb

[F1

a

uma vez que temos x = x(t), y = y(t) e z = z(t) logo, x0 =

dx dy dz + F2 + F3 ]dt dt dt dt

(2.8)

dz dx 0 dy ,y = e z0 = , etc. dt dt dt

Observação 2.1. Podemos calcular a integral de linha de uma função ao longo de uma curva, mesmo que ela assuma também valores negativos em pontos desta curva. Como nas integrais definidas o resultado será a diferença entre a área onde a F~ é não negativa e a área onde a F é negativa. Desta forma, não há restrição para o resultado da integral de linha, podendo ser positivo, negativo ou nulo. Propriedade 2.2. Seja ~r : [a, b] −→ R3 uma curva regular definida por ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) tal que ~r(t) =

Γ ⊂ R3 é a imagem de ~r.

71

Christian José Quintana Pinedo Quando F~ : Γ ⊂ R3 −→ R seja uma função contínua sobre Γ, então: Z

F~ (x, y, z)dS =

Zb

F~ (~r(t))|~r0 (t)|dt =

F~ (x(t), y(t), z(t))∇~r(t)dt

a

a

Γ

Zb

Um caso típico de problemas em Física e Química que envolvem integrais de linha é o trabalho efetuado por uma força variável para transportar um corpo de massa m do ponto A até ao ponto B através de uma trajetória curvilínea Γ. Exemplo 2.21. Consideremos uma força ~r(t) = x(t)~i+y(t)~j +z(t)~k que atua sobre uma partícula que descreve a trajetória ~r(t) = ~i cos t + ~jsent + 3t~k 0 ≤ t ≤ 2π, que corresponde à hélice ilustrada na Figura (2.13):

Temos portanto, que x(t) = cos t, y(t) = sent, z(t) = 3t pelo que o trabalho está representado por Z

F~ (~r) • d~r =

Γ

Z2π (−3tsent + cos2 t + 3sent)dt = 7π 0

uma vez que F~ (~r) • d~r = (3t~i + cos t~j + sent~k) • (−~isent + ~j cos t + 3~k).

Figura 2.13:

Podemos generalizar um pouco mais as nossas definições de integrais de linha. Para tal, suponha-se que Γ seja uma curva descrita por uma trajetória ~r : [a, b] −→ R n seccionalmente C 1 , isto é, r é contínua e o intervalo [a, b] admite uma decomposição a = t 0 < t1 < t2 < · · · < t n = b tal que ~ri = ~r

[ti−1 , ti ]

e definimos

é de classe C 1 . Considerando Γi = ~ri ([a, b]) tem-se Γ = Γ1 ∪ Γ2 ∪ Γ3 ∪ · · · ∪ Γn−1 ∪ Γn Z Γ

Φ=

Z

Γ1

Φ+

Z

Γ2

Φ+

Z

Φ + ··· +

Γ3

Z

Γn−1

Φ+

Z

Φ

Γn

sendo Φ uma função ou um campo vetorial em U . Exemplo 2.22. Sejam o campo vetorial F~ = yx~i + ~j, a curva Γ1 é o segmento de recta de P1 = (1, 1) para P2 = (0, 0) e Γ1 o segmento da parábola y = x2 entre (0, 0) e (1, 1). Consideremos a curva

72


Γ = Γ1 ∪ Γ2 . Determine

Z

F~ .

Γ

Solução.

O segmento de recta é parametrizado por ~r1 (t) = (1 − t, 1 − t),

parábola por ~r2 (t) = (t, Z

F~ =

Z1 0

Γ1

t2 ); t

((1 − t)(1 − t), 1) • (−1, −1)dt = −

=

Z1 0

Por outro lado, Z

Γ2

∈ [0, 1]. Logo

F~ =

Z1

0

(1 − 2t + t, 1) • (1, 1)dt

4 1 1 (2 − 2t + t2 )dt = −[2t − t2 + t3 ] = − 3 3 0

3

(t , 1)(1, 2t)dt =

0

assim

Z1 0

Z

F~ =

Γ

2.6.1

Z1

t ∈ [0, 1] e o segmento de

Z

Γ2

1 5 1 (t3 + 2t)dt = [ t4 + t2 ] = 4 4 0

F~ +

Z

1 F~ = − 12

Γ2

Trajetórias opostas

Seja Γ uma curva com parametrização ~r : [a, b] −→ Rn de classe C 1 . Podemos definir para Γ

uma nova parametrização ~r ∗ : [a, b] −→ Rn de classe C 1

~r ∗ (t) = ~r(a + b − t)

Designamos ~r ∗ a trajetória oposta a ~r. Intuitivamente, ~r ∗ percorre Γ em sentido inverso a ~r. Deixamos como exercício para o leitor mostrar que, dado um campo vetorial F~ qualquer,

temos:

Z

F~ • d~r ∗ = −

Z

F~ • d~r

Γ

Γ

Sempre que estiver claramente estabelecido qual a trajetória que estamos a considerar para uma dada curva Γ, ao notar −Γ queremos indicar a mesma curva mas percorrida pela trajetória oposta.

Assim, podemos também escrever: Z

−Γ

2.7

F~ = −

Z

F~

Γ

Propriedades Fundamentais da integral de linha

As integrais de linha satisfazem algumas propriedades de certa forma intuitivas, tendo em consideração que constituem uma generalização das integrais definidas, Se k ∈ R é uma constante

arbitrária e as curvas Γ1 e Γ2 são ilustradas na Figura (2.14), então:

73

Christian José Quintana Pinedo Z

1.

Z

k F~ (~r) • d~r = k

2.

Z

~ r)] • d~r = [F~ (~r) + G(~

3.

Z

Γ

F~ (~r) • d~r

Γ

Γ

Z

F~ (~r) • d~r +

F~ (~r) • d~r =

F~ (~r) • d~r +

Z

F~ (~r) • d~r

Γ2

Γ1

Γ

~ r) • d~r G(~

Γ

Γ

Z

Z

Para a demonstração destas propriedades, básicamente se utilizam as propriedades dos limites e dos somatórios. Quando calculamos uma integral de linha através de uma curva Γ, estamos trabalhando com uma determinada orientação desta curva. Se o caminho de integração for percorrido no sentido inverso, então o valor do integral de

Figura 2.14:

linha fica com sinal contrária.

Z É de observar que a expressão da integral de linha F~ (~r) • d~r no contexto da mecânica, tem um significado particularmente simples: Γ

Se dividirmos a trajetória Γ em pequenos segmentos de reta de comprimento |d~r| que rep-

resentaremos por vetores elementares d~r, então a integral de linha não é mais do que a soma,

para todos os segmentos infinitesimais (e no limite em que |d~r| tende para zero) da componente eficaz de F~ em cada segmento. Claro, a componente eficaz de F~ (pense F~ em como uma força e o integral como o cálculo de um trabalho) não é mais do que a projeção de F~ segundo a direção especificada por d~r em cada segmento de reta elementar. Exemplo 2.23. Z Calcular F~ •d~r onde F~ (x, y, z) = xy~i+xz~j−y~k, a curva Γ

6z

~r = x~i + y~j + z~k e Γ consiste nos segmentos orientados Γ1

(0, 1, 1)

de (1, 0, 0) a (0, 1, 0) e Γ2 é o segmento de (0, 1, 0) a (0, 1, 1) como mostra a Figura (2.15).

Γ2

Solução. Ao, longo da curva Γ1 tem-se que z = 0, considerando y = t, longo x = 1 − t e podemos escrever a equação do segmento retilineo como ~r(t) = (1 − t)~i − t~k. Também F~ (1 − t, t, 0) = (1 − t)t~i − t~k. Assim Z

Γ1

F • dr =

Z1 0

[(1 − t)t~i − t~k] • (−~i + ~j)dt =

Z1 0

(0, 1, 0) Γ1 (1, 0, 0) x = 0

y

-

Figura 2.15: (−t − t2 )dt = −

1 6

Ao , longo da curva Γ2 tem-se que x = 0, considerando z = t, longo x = 1 − t e podemos escrever a equação do segmento retilineo como ~r(t) = ~j + t~k.

74

Cálculo Vetorial e Séries Também F~ (0, 1, t) = −~k. Assim Z

F • dr =

Γ2

Portanto,

Z

F~ • d~r =

Γ

Z

F • dr +

Z

Z1 0

−~k • ~kdt = −1

1 7 F • dr = − − = − . 6 6

Γ2

Γ1

É importante ter em conta que as integrais de linha dependem da trajetória de integração escolhido, mesmo quando os pontos inicial e final são os mesmos. Esta afirmação podemos confirmar com o seguinte exemplo: Exemplo 2.24. Calcular a integral de caminho da função F~ (~r) = 5z~i + xy~j + x2 z~k segundo duas trajetórias de integração distintos, mas com os mesmos pontos iniciais A = (0, 0, 0) e B = (1, 1, 1). Solução. 1. Suponhamos a curva Γ1 seja o segmento de reta que liga A a B, mediante a trajetória ~r1 (t) = t~i + t~j + t~k. Fazendo as substituições de ~r(t) em F~ (~r) obtemos: F~ (r~1 (t)) = 5t~i + t2~j + t3~k

d ~r1 (t) = ~i + ~j + ~k dt

pelo que as integrais valem Z

F~ (~r) • d~r =

Γ1

Z1

(5t~i + t2~j + t3~k)(~i + ~j + ~k)dt =

Z1

(5t + t2 + t3 )dt =

37 12

0

0

2. Por outro lado, suponhamos a curva Γ2 que é o arco da curva parabólica ~r2 (t) = t~i + t~j + t2~k. Fazendo as substituições de ~r2 (t) em F~ (~r) obtemos: F~ (r~2 (t)) = 5t2~i + t2~j + t4~k

d ~r2 (t) = ~i + ~j + 2t~k dt

pelo que as integrais valem Z

F~ (~r) • d~r =

Γ2

Z1 0

(5t i + t j + t k)(~i + ~j + 2t~k)dt = 2~

2~

4~

Z1

(5t2 + t2 + 2t5 )dt =

7 3

0

− → Suponhamos agora a curva não está restrita a ser parte do eixo 0x, mas sim pode ser uma trajetória de integração qualquer, inclusive esta curva pode ser do tipo “curva fechada" como se ilustra na Figura (2.16). Fica então a questão:

75


Figura 2.16: Será que existem funções para as quais os integrais de linha entre dois pontos específicos não dependa da trajetória que os liga? Neste caso, quando a curva L for fechada teremos que a integral nem sempre é zero sendo a

pergunta natural. Porque?

Como é evidente da expressão acima, a complicação reside na representação paramétrica da curva, que nem sempre é trivial. Se a trajetória de integração é uma curva fechada, geralmente a integral escreve-se Exemplo 2.25. Z

Calcular a integral

F~ • d~r para F~ (x, y) = (x + y, y 2 ), onde

(1, 1)

1

Solução.

L3

Temos que L = L1 ∪ L2 ∪ L3 , logo F~ • d~r =

F~ =

L1

F~ =

L2

Z

L3

F~ =

Z

Z

L3

L3

x

L1

0

F~ • d~r

1

Figura 2.17:

2

(x + y, y )(dx, dy) =

Z1

(t, 0)(dt, 0) =

1 2

(2.9)

0

t ∈ [0, 1],dx = 0, dy = dt, logo 2

(x + y, y )(dx, dy) =

(x + y, y )(dx, dy) =

Z1

(1 + t, t)(0, dt) =

0

L2

2

L2

6

t ∈ [0, 1],dx = dt, dy = 0, logo

c) L3 : x = 1 − t, e y = 1 − t, Z

-

Z

L1

b) L2 : x = 1, e y = t, Z

F~ • d~r +

L2

L1 : x = t, e y = 0, Z

Z

F~ • d~r +

L1

L

a)

Z

F~ (~r)•d~r.

6y

L

L é a curva fechada da Figura (2.17).

Z

I

Z1 0

Z1

t2 dt =

1 3

(2.10)

0

t ∈ [0, 1],dx = −dt, dy = −dt, logo 2

(2 − 2t, (1 − t) )(−dt, −dt) = −

Das igualdades (2.9), (2.10) e (2.11) segue que

Z L

Z1 0

(2t − t2 )dt = −

1 1 1 4 F~ • d~r = + − = − . 2 3 3 2

4 (2.11) 3

76


2.8

Integral de linha de um campo vetorial conservativo

Quando um campo vetorial é conservativo o integral de linha depende apenas do valor da função potencial nos pontos inicial e final: Teorema 2.1. Teorema fundamental do cálculo. Sejam U um aberto simplesmente conexa de Rn , Γ uma curva em U descrita pela trajetória ~r : [a, b] −→ U de classe C 1 tais que P = ~r(a) e Q = ~r(b). Seja f : U −→ R uma função de classe C 1 . Quando F~ = ∇f, tem-se: Z

F~ • d~r = f (Q) − f (P )

Γ

Demonstração. d~r dx ~ dy ~ dz ~ (t) = (t)i + (t)j + k. dt dt dt dt ∂f ~ ∂f ~ ∂f ~ Por outro lado, F (x, y, z) = ∇f (x, y, z) = k. i+ j+ ∂x ∂y ∂z Z Z ∂f dx ∂f dy ∂f dx ~ · + · + · ]dt F • d~r = [ ∂x dt ∂y dt ∂z dt Como ~r(t) = x(t)~i + y(t)~j + z(t)~k

Γ

⇒

(2.12)

Γ

Observe que ao longo de Γ f = f (t); como ~r(a) = P e ~r(b) = Q. Podemos escrever a igualdade (2.12) na forma Z Γ

F~ • d~r =

Zb a

d f (x(t), y(t), z(t))dt = f (x(b), y(b), z(b)) − f (x(a), y(a), z(a)) = f (Q) − f (P ) dt

Em termos físicos, este resultado diz-nos que o trabalho realizado por uma força conservativa para deslocar uma partícula de um ponto P para um ponto Q do espaço, ao longo de uma qualquer curva, é igual à diferença da energia potencial entre Q e P . Exemplo 2.26. Considere-se a função f : R3 −→ R definida por f (x, y, z) = x2 y + z e o campo gradiente de f é F~ = ∇f = (2xy, x2 , 1): Seja Γ uma qualquer curva que una os pontos P = (0, 1, 1) e Q = (1, 0, 2) e ~r : [a, b] −→ R3

uma parametrização de Γ com ~r(a) = P e ~r(b) = Q. Então: Z

d~r = f (~r(b)) − f (~r(a)) = f (Q) − f (P ) = 1

Γ

Uma consequencia imediata do Teorema (2.1) é a seguinte: supondo que F é um campo vetorial conservativo e ~r : [a, b] −→ Rn é uma trajetória fechada, isto é, ~r(a) = ~r(b), e notando

77

Christian José Quintana Pinedo por Γ a respetiva curva, temos: Z

F • d~r = f (~r(b)) − f (~r(a)) = 0

Γ

Exemplo 2.27.

x ~ y ~ i+ 2 j. 2 +y x + y2 Seja Γ a circunferência descrita por ~r(t) = cos t ~i + sent ~j; t ∈ [0, 2π]. Temos então: Voltemos a analisar o campo vetorial F~ =

Z Γ

x2

Z2π Z2π Z2π F~ • d~r = (sent, cos t) • (−sent, cos t)dt = (sen2 t + cos2 t)dt = dt = 2π 0

0

0

Assim, como o integral de linha de F~ ao longo da trajetória fechada ~r é diferente de 0, podemos concluir que o campo vetorial F~ não é conservativo em R2 r {(0, 0)}. Isso significa que o integral de linha de uma função deste tipo ao longo de uma trajetória fechada é nula, independente da trajetória. Como vimos, a independência doa trajetória de integração relaciona o campo vetorial com o gradiente de um campo escalar f . Não é de estranhar o seguinte resultado Propriedade 2.3. Sejam contínuas com derivadas parciais contínuas num domínio S ⊂ R3 Z Z F1 , F2 , F3 funções F~ (~r) • d~r = (F1 dx + F2 dy + F3 dz) em L ⊂ S. Então: tal que L

L

1. Se a integral de linha é independente da trajetória de integração em S, tem-se que rot F~ = 0 pelo que, em coordenadas cartesianas, podemos escrever: ∂F1 ∂F3 = , ∂z ∂x

∂F2 ∂F1 = , ∂x ∂y

∂F3 ∂F2 = ∂y ∂z

∂F3 ∂F2 ∂F1 ∂F3 ∂F2 ∂F1 = , = , = em S, sendo S simplesmente ∂z ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z Z F~ (~r) • d~r é independente da trajetória em S. conexo, então

2. Caso aconteça

L

Definição 2.19. Dado um campo vetorial F~ = F1~i + F2~j + F3~k tal que é um campo fechado.

D j Fi = D i Fj

∀ i 6= j diz-se que F~

Assim, ser fechado è condição necessária para que um campo vetorial seja conservativo. Exemplo 2.28. Determinar se o campo vetorial F~ (x, y) = x ~i + y ~j definido em R2 é fechado. Solução.

78

Cálculo Vetorial e Séries Trata-se de um campo fechado porque se tem

de que seja um campo conservativo.

∂F1 ∂F2 = = 0 e, portanto, hà a possibilidade ∂y ∂x

Para determinar o respectivo potencial escalar, caso exista, consideremos as equações  ∂f   x= ∂x ∂f   y= ∂y

Da primeira equação, obtemos f (x, y) = que C é uma constante.

y2 x2 + C(y) e da segunda equação C(y) = + C em 2 2

1 Assim, o potencial escalar do campo F~ é dado por f (x, y) = (x2 + y 2 ) + C. 2 Exemplo 2.29. Campo gravitacional. Seja M uma massa pontual e situada na origem de R3 . O campo gravitacional gerado pela massa M está dado por ~r (x, y, z) = −GM F~ (x, y, z) = −GM 3 k(x, y, z)k k~rk3 em que r(t) = (x, y, z) e G é a constante universal da gravitação. Verificar se F~ é um campo conservativo. Solução. 1 1 = GM f (x, y, z) = GM p , então F~ = ∇f , assim F~ é 2 2 2 k~ rk x +y +z campo vetorial conservativo, o domínio do campo F~ coincide com o de f em R3 r {(0, 0)} Observe que se,

Exemplo 2.30. Campo gravitacional. y ~ i+ Consideremos o campo vetorial F~ : R2 r {(0, 0)} −→ R2 definido por F~ (x, y) = − 2 x + y2 x ~j. Determine se é conservativo. x2 + y 2 Solução. Podemos observar que F~ é um campo fechado. Note que para x 6= 0 tem-se −

y ∂ y = arctan ; x2 + y 2 ∂x x

x ∂ y = arctan x2 + y 2 ∂y x

y está definido no subconjunto de R2 em x que x = 6 0 e, e, portanto, não coincide com o domínio do campo vetorial F que é o conjunto No entanto, o campo escalar f (x, y) = arctan

R2 r {(0, 0)}.

y não é um potencial escalar do campo F~ x Seja Γ a circunferência de raio a e centro na origem descrita pela curva ~r(t) = (a cos t ~i + asent ~j; t ∈ [0, 2π], então Assim, a função f (x, y) = arctan

Z Γ

Z2π asent a cos t ) • (−asent, a cos t)dt = 2pi F~ = (− 2 , a a2 0

79


Sendo r(t) uma curva fechada, concluímos que F não é campo conservativo em R 2 r {(0, 0)}. Observação 2.2. Observe que se considerarmos o campo F definido apenas no aberto S = { (x, y) /. x > 0 } y então F é um campo conservativo, é o gradiente da função f (x, y) arctan . O mesmo ocorre x para o conjunto S = { (x, y) /. x > 0 }. logo existem subconjuntos de R2 r {(0, 0)} para os quais F~ seja conservativo. x > 0 } é conjunto conexo, entanto R2 r {(0, 0)} não é conexo. Note-se também que o integral de linha de F~ ao longo de uma circunferência centrada na Note que S = { (x, y) /.

origem não depende do raio. Desta observação surgem três importantes perguntas; 1. Será que o campo F~ é gradiente nos subconjuntos conexos de R2 r {(0, 0)}? 2. Será possível caraterizar os subconjuntos de R2 r {(0, 0)} em que F~ é um campo gradiente? 3. Será que a integral de linha de F~ ao longo de uma linha qualquer fechada entorno da origem é igual ao integral de linha de F~ ao longo de uma circunferência centrada na origem?

2.9

Aplicações da integral de linha

Seja ~r : [a, b] −→ R3 a representação de uma curva regular L e seja F~ : L ⊂ R3 −→ R uma

função contínua sobre L.

1. Comprimento de curva: Se L representa a trajetória de um fio de arame em R 3 e F~ (x, y, z) = 1,

∀ (x, y, z) ∈ L, tem-se que o comprimento L desse fio é dado por L=

Z

F~ (x, y, z)dS =

Z

dS

L

L

2. Massa e centro de massa: Se ρ : L ⊂ R3 −→ R é a função de densidade da massa de um fio de arame representada pela curva L, então a massa do arame é dado por M=

Z

ρ(x, y, z)dS

L

Portanto, o centro de massa do arame (¯ x, y¯, z¯), onde 1 x ¯= M

Z L

xρ(x, y, z)dS,

1 y¯ = M

Z L

yρ(x, y, z)dS,

1 z¯ = M

Z

zρ(x, y, z)dS

L

3. Momento de inércia: Se d(x1 , x2 , x3 ) é a distância desde o ponto (x1 , x2 , x3 ) do arame a uma reta ou ao plano, então o momento de inércia correspondente à curva L com função

80

Cálculo Vetorial e Séries densidade de massa ρ : R3 −→ R está dado por IL =

Z

d2 (x, y, z)ρ(x, y, z)dS

L

em particular, os momentos de inércia do arame respeito dos eixos x, y e z correspondentes são Ix =

Z

2

2

(y + z )ρ(x, y, z)dS,

Iy =

L

Z

2

2

(x + z )ρ(x, y, z)dS,

L

Iz =

Z

(x2 + y 2 )ρ(x, y, z)dS

L

4. Trabalho: Seja F~ = (F1 , F2 , F3 ) a representação de uma força, e seja L uma curva em R3 , suponhamos que uma partícula se movimenta ao longo de L. O trabalho total realizado pela força F~ ao longo da curva L é dado por W =

Z

F~ • d~r

L

Exemplo 2.31. Uma partícula se movimenta no plano-xy ao longo da reta A(a, b) ao ponto B(c, d), devido y x ~ ~j. Determine o trabalho W realizado pela força F~ . i− 2 à força F~ = − 2 x + y2 x + y2 Solução. Tem-se que a curva esta representada pela função ~r(t) = (a + t(c − a)~i + (b + t(d − b))~j sendo

0 ≤ t ≤ 1, logo o trabalho ao longo da curva L é W =

Z

F~ • d~r =

W =−

0

(−

x2

x ~ y ~j) • d~r(t) i− 2 2 +y x + y2

L

L

Z1

Z

2 1 a + b2 [a + t(c − a)]c + [b + t(d − b)]d dt = Ln 2 [a + t(c − a)]2 + [b + t(d − b)]2 2 c + d2

Exemplo 2.32. Determine a massa M e coordenadas do centro de massa de um arame na forma de hélice descrito pela curva ~r(t) = cos t ~i + sent ~j + t ~k entre t = 0 e t = 2π, se sua densidade é ρ(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 . Solução. √ d~r d~r Como ~r(t) = cos t ~i + sent ~j + t ~k então (t) = −sent ~i + cos t ~j + ~k e k (t)k = 2, logo a dt dt massa M é Z2π √ √ 4π 3 M = (1 + t2 ) 2dt = 2 2(π + )) 3 0

1 Logo, x ¯= M

Z2π 0

√ 3(π + 4π 3 ) t(1 + t2 ) 2dt = 3 + 4π 2

81


Determine o trabalho efetuado por uma partícula que se movimenta de (0, 0) até (2, 0) sobre uma curva que percorre o conjunto S = {(x, y)/. y = 1−|1−x|} se a força é F (x, y) = y 2~i+x~j.

Solução.

Definamos Γ = Γ1 ∪ Γ2 onde ~r1 (t) = t ~i + t ~j, (1 − t) ~j, 0 ≤ t ≤ 1 descreve Γ2 , logo W =

Z

F • d~r =

Γ

=

Z1

2

(t + t)dt +

0

2.10

Z

0 ≤ t ≤ 1 descreve Γ1 , e ~r2 (t) = (1 + t) ~i +

F • d~r +

0

F • d~r =

Γ2

Γ1

Z1

Z

[(1 − t2 ) + (1 + t)(−1)])dt = −

1 3

Teorema de Green

O teorema fundamental do cálculo estabelece que a derivação e integração são processos inversos, uma generalização apropriada deste teorema a integrais duplas de funções de duas variáveis é conhecido como Teorema de Green no plano. Existe uma importante relação entre as integrais duplas e as integrais de linha sobre curvas fechadas simples, que a continuação discutiremos. Vejamos como é possível relacionar integrais de linha com integrais duplas e vicê versa. Se F~ = (F1 , F2 ) é o gradiente de um campo escalar, e se no teorema fundamental do cálculo para integrais de linha (Teorema (2.1)) os pontos P e Q coincidem, então o teorema nos diz que a integral de linha de F~ ao longo de uma curva fechada (com restrições sobre a região D) é nula.

Se F~ não é gradiente de uma função escalar, a integral de linha pode ser relacionada à variação de F~ na região fechada. O teorema de Green é para curvas no plano: Teorema 2.2. De Green.

Seja L uma curva regular simples e fechada orientada positivamente e seja D ⊂ R2 a região

simplesmente conexa que consiste em L e seu interior. Se F1 (x, y) e F2 (x, y) são funções contínuas com derivadas parciais primeiras contínuas em toda uma região contendo D, então Z Z

D

I ∂F2 ∂F1 dxdy = [F1 dx + F2 dy] − ∂x ∂y

(2.13)

L

A demonstração deste teorema, implica um argumento de aproximação que não será apresentado. É exercício para o leitor.

Como F~ = F1~i + F2~j é um campo vetorial de classe C 1 no aberto D ⊂ R2 e seja L como no

Teorema de Green. ∂F2 ∂F1 − = (rotF~ ) • ~k, a expressão (2.13) pode reescrever-se em notação vetorial da Sendo ∂x ∂y

82


seguinte forma:

Z Z

(rotF~ ) • ~kdxdy =

D

I

F~ • d~r

L

O integrando sobre a região D é visto como algum tipo de derivada do integrando ao longo

do contorno que determina a região. Nesta forma, o teorema de Green é, também conhecido como teorema de Stokes no plano. ∂F2 ∂F1 Para o caso − = 1 então a área de D é ∂x ∂y dada por I Área(D) = F1 dx + F2 dy L

O Teorema de Green podemos estender a conjuntos mais gerais. Suponhamos D uma região fechada e limitada do

plano-xy delimitada por uma curva L que se pode representar como a união disjunta de um número finito de curvas lisas como indica a Figura (2.18).

Figura 2.18:

Isto é, suponhamos que o conjunto D tem como

fronteira as curvas fechadas α1 e α2 que percorrem no sentido positivo (anti-horário) em relação a D. Isto significa que a região D sempre fica no lado esquerdo quando uma partícula se movimenta sobre α1 e α2 . Corolario 2.10.1. Seja D um conjunto fechado e limitado de R2 tal que a fronteira percorre um número finito

de curvas fechadas simples Lk e suponhamos que cada Lk está orientada positivamente respeito de D.

Se F1 , F2 : D ⊂ R2 −→ R são funções contínuas em uma vizinhança de D, então Z Z

D

n I X ∂F2 ∂F1 dxdy = F1 dx + F2 dy − ∂x ∂y k=1L k

Exemplo 2.34. Seja D a região exterior à circunferência de raio a unidade que está limitado á esquerda pela parabola y 2 = 2(x + 2) e à direita pela reta x = 2 como indica a Figura (2.19). Utilizando o teorema de Green calcular Z

−y · dx x · dy + 2 2 2 x +y x + y2

L1

onde L1 é a fronteira exterior de D.

Solução.

Podemos escrever F1 =

x −y e F2 = 2 . 2 +y x + y2

x2

Figura 2.19:

(2.14)

83

Christian José Quintana Pinedo Observamos que F1 e F2 possuem singularidades na origem.

Designando com L2 a fronteira do círculo unidade orientada no sentido horário e observando ∂F1 ∂F2 − = 0, pelo teorema de Green concluimos que que ∂y ∂x Z

L1 +L2

logo

Z

(F1 dx − F2 dy) = −

L1

x · dy −y · dx + 2 2 2 x +y x + y2

Z

(F1 dx − F2 dy) =

L2

=0

Z

(F1 dx − F2 dy) =

−L2

onde −Γ2 é a fronteira do círculo unidade orientado no sentido anti-horário. Fazendo mudança de variáveis x = cos θ, y = senθ

Γ2 obtém-se Z

L1

Portanto,

Z

0 ≤ θ ≤ 2π na circunferência unidade

Z2π (P dx − Qdy) = (sen2 θ + cos2 θ)dθ = 2π 0

x · dy −y · dx + 2 2 2 x +y x + y2

L1

= 2π.

Exemplo 2.35. Transformação de integral de linha em uma de área. Z Calcular x4 dx + xydy , onde L é a curva triangular que une os pontos (0, 0), (0, 1) e L

(1, 0), orientada positivamente. Solução.

O gráfico indica la região limitada pela curva L.

y 6 1

Tem-se:

∂F1 = 0 e; ∂y ∂F2 F2 (x, y) = xy ⇒ = y, logo ∂x Z Z Z ∂F1 ∂F2 4 x dx + xydy = ( − )dxdy = ∂y ∂x F1 (x, y) = x4

@ @ ? @ y =1−x I @ @ x - @ -

0

1

L

Figura 2.20:

⇒

D

1−x Z1 Z Z1 1 1 1 1 2 1−x y dx = (1 − x)3 = = ydydx = 2 0 2 6 0 0

0

0

Observe que se hubiesemos resolvido a integral curvilínea deveriamos ter resolvido três integrais com as correspondentes parametrizações. Exemplo 2.36. Calcular a integral I =

I L

[(xy+x+y)dx+(xy+x−y)dy] onde L é a fronteira da circunferência

84


x2 + y 2 = ax Solução. Fazendo F1 = (xy + x + y) e F2 = (xy + x − y) tem-se que ∂F1 = x + 1, ∂y

∂F2 =y+1 ∂x

A mudança de variável x = r cos θ e y = rsenθ para 0 ≤ r ≤ a cos θ e −

descreve a circunferência dada, logo

π π ≤θ≤ 2 2

π

I=

Z Z

(y − x)dxdy =

D

Z θ Z2 cos

− π2

= (−r cos θ + rsenθ)rdrdθ

0

π

=

a3 3

Z2

− π2

[−cos4 θ + cos3 θsenθ]dθ = −

Portanto, o valor da integral I = −

a2 π 8

a2 π . 8

Observação 2.3. Existe uma ambigüidade no sentido em que a curva fechada é percorrida. Como vimos, neste −π π caso, ao integrar entre e estamos explicitamente a rodar no sentido anti-horário. Este 2 2 coincide com o sentido de circulação positivo. O sentido de circulação é positivo quando se circula ao longo da curva fechada de tal modo que a área que esta delimita se encontra à esquerda como indica a Figura (??). Propriedade 2.4. Se Γ é uma curva fechada simples que limita uma região para a qual se aplica o teorema de Green, então a área da região D limitada por Γ esta dada por: 1 A(D) = 2

Z

x · dy − y · dx

Γ

Demonstração. Sejam P (x, y) = −y e Q(x, y) = x então, pelo teorema de Green temos 1 2

Z

x · dy − y · dx =

1 2

Γ

Z Z

D

Z Z 1 ∂x ∂(−y) dxdy] = [1 + 1]dxdy = A(D) − ∂x ∂y 2

Exemplo 2.37. Determine a área da elipse Solução.

x2 y 2 + 2 = 1. a2 b

D

85

Christian José Quintana Pinedo Podemos parametrizar a elipse com as equações x(t) = a cos t,

y(t) = bsent;

Então, pela propriedade precedente 1 A(D) = 2

Z Γ

0 ≤ t ≤ 2π.

Z2π x · dy − y · dx = [(a cos t)(b cos t) − (bsent)(−asent)]dt] = abπ 0

Exemplo 2.38. Limitações na aplicação do Teorema de Green. Dado F (x, y) = (F1 , F2 ) =

(−y~i + x~j) (x2 + y 2 )

a) Calcular a integral de linha sobre circunferência x2 + y 2 = 1 Z Z ∂F2 ∂F1 b) Calcular Área = − dA, onde D es la região limitada pela curva de a). ∂x ∂y D

c) Estes resultados estão de acordo o no con el Teorema de Green? Solução. a) Parametrizando a circunferência x2 + y 2 = 1 ⇒

x = cos t F1 (x, y) = F2 (x, y) =

dx = −sentdt,

−y + y2)

⇒

F1 (x(t), y(t)) =

x + y2 )

⇒

F2 (x(t), y(t)) =

(x2 (x2

⇒

y = sent

dt = cos tdt,

0 ≤ t ≤ 2π

−sent (cos t2 + sent2 )

⇒

F1 dx = sen2 tdt

cos t + sent2 )

⇒

F2 dy = cos2 tdt

(cos t2

Integrando obtemos: Z L

Z2π [F1 dx + F2 dy] = [sen2 t + cos2 t]dt = 2π 0

b) Fazendo os cálculos diretamente en coordenadas cartesianas é:  −(x2 + y 2 ) + 2y 2 y 2 − x2  ∂F1   = = 2 ∂y (x2 + y 2 )2 (x + y 2 )2   (x2 + y 2 ) − 2x2 x2 − x 2 ∂F2   = =  2 2 2 2 2 2 ∂x (x + y ) (x + y ) Área =

Z Z

⇒

∂F2 ∂F1 − =0 ∂x ∂y

⇒

∂F2 ∂F1 − dA = 0 ∂x ∂y

D

c) Aparentemente estes resultados contradizem o Teorema de Green. Não obstante, este último não é aplicável à região en questão, dado que as funções F1 e F2 não têm derivadas parciais contínuas no ponto (0; 0), que está contido na região. Exemplo 2.39. Determinação de área mediante uma integral de linha.

86

Cálculo Vetorial e Séries Determine a área da região limitada pela hipociclóide que tem como equação vetorial ~r(t) = cos3 t ~i + sen3 t ~j,

0 ≤ t ≤ 2π

Solução. Da parametrização da curva temos: x = cos3 t

x2/3 = cos2 t e

⇒

y = sen3 t

Somando membro a membro temos: x2/3 + y 2/3 = cos2 t + sen2 t = 1 então y = ±

p 3

⇒

y 2/3 = sen2 t.

(1 − x2/3 )2 e; Área =

Este cálculo, utilizando a integral de área, é bas-

Z1

−1 −

√ 3 √ 3

2/3 )2 (1−x Z

dydx.

(1−x2/3 )2

tante complicado. O teorema de Green permite transformar esta integral em uma outra integral curvilínea, usando como trajetoria a hipociclóide do enunciado e definindo uma função apropriada para a integração. Lembre Z Z que a área de uma região D é dada por Área = dA. D

Assim, para aplicar Green deberíamos achar funções ∂F2 ∂F1 − = 1. F1 e F2 tais que ∂x ∂y Um par de funções simples que cumprem esta

Figura 2.21:

condição são: F1 = 0 e F2 = x.

do a parametrização, podemos escrever: d d x(t) = −3 cos2 tsent e y(t) = sen3 t ⇒ y(t) = 3sen2 t cos t x(t) = cos3 t ⇒ dt dt Z2π Z Z Z Logo, Área = dA = [F1 dx + F2 dy] = cos3 t3sen2 t cos tdt = D

=3

Z2π

3 cos t sen tdt = 4

0

3 Área = 8

0

L

4

2

Z2π

3 cos t sen 2tdt = 8 2

2

0

Z2π (1 + cos 2t)sen2 2tdt = 0

Z2π Z2π 3 2 2 (sen 2t + sen 2t cos 2t)dt = (1 − cos 4t) + 2sen2 2t cos 2t)dt = 16 0

0

3 2 1 3 2π 3 t − sen4t + sen 2t = π Área = 16 4 3 8 0

Deste modo como podemos observar, aplicamos uma ferramenta para obter a área de uma região limitada por uma curva fechada, que podemos adicionar ao método das coordenadas polares. Exemplo 2.40. Aplicação do teorema de Green a un problema físico sobre uma região não conexa.

87


Determinar o momento de inércia de uma arandela homogênea de radio interno a, radio externo b e massa M , respecto a um de seus diâmetros. Solução. Determinemos o momento de inércia respeito ao diâmetro colinear con o eixo x. Da Física sabemos que: Ix =

Z Z

ρy 2 dA

Onde ρ é a densidade superficial da arandela, supondo constante dado que é homogênea. Esta região não é simplesmente conexa porém, como

vimos

puedemos

estender

o

teorema

de

Green a este tipo de região com buracos, considerando:

Figura 2.22: Z Z Z Z ∂F2 ∂F1 dA = F1 dx + F2 dy − F1 dx + F2 dy − ∂x ∂y

D

L2

L1

Assim, podemos calcular a integral dupla do momento de inércia como duas integrais. Para isto debemos achar funções F1 , F2 tais que:

∂F2 ∂F1 − = y2 ∂x ∂y

1 Consideremos por exemplo F2 = 0 e F1 = − y 3 3 Aplicando Green con esta função tenemos: Ix =

Z Z

2

ρy dA = −

D

Z

1 ρ y 3 dx + 3

L1

Z

1 ρ y 3 dx 3

L2

Parametrizando estas curvas tenemos: ( x = b cos t ⇒ dx = −bsent dt L1 = y = bsent ⇒ dy = b cos t dt L2 =

(

x = a cos t y = asent

⇒

⇒

(2.15)

0 ≤ t ≤ 2π

dx = −asent dt

0 ≤ t ≤ 2π

dy = a cos t dt

Substituindo em (2.15)

Ix =

Z Z

D

2

ρy dA =

Z2π 0

1 Ix = ρ (b4 − a4 ) 3

1 ρ b3 sen4 t dt − 3

Z2π 0

Z2π 0

1 1 ρ a4 sen4 t dt = ρ (b4 − a4 ) 3 3

1 sen2 t(1 − cos2 t)dt = ρ (b4 − a4 ) 3

Z2π

sen4 t dt =

0

Z2π sen2 2t (sen2 t − )dt 4 0

88

Cálculo Vetorial e Séries 1 Ix = ρ (b4 − a4 ) 3

Z2π 0

1 − cos 2t 1 − cos 4t 1 − dt = ρ(b4 − a4 )π 2 8 4

Como a massa M = b2 − a2 segue que 1 1 Ix == ρπ(b4 − a4 ) = ρπM (b2 − a2 ) 4 4 Isto é o modo de expressar o momento de inércia: como o produto de um comprimento ou soma de comprimentos ao quadrado pela massa da arandela.

89


Exercícios 2-2 1. Para cada um dos seguintes exercícios determine o divergente de F no sistema de coordenadas dado. 1.

F (x, y, z) = (a11 x + a12 y + a13 z)~i + (a21 x + a22 y + a23 z)~j + (a31 x + a32 y + a33 z)~k

2.

F (x, y, z) = (x2 − y 2 )~i + (x2 − z 2 )~j + (y 2 − z 2 )~k

F (x, y, z) = (x2 + 1)~i + (y 2 − 1)~j + z 2~k

3.

F (x, y, z) = 4xz~i − 2yz~j + (2x2 − y 2 − z 2 )~k

4.

F (x, y, z) = exz (cos yz~i + senyz~j − ~k

5. 6.

F (x, y, z) = yLn(1 + x)~i + zLn(1 + y)~j + xLn(1 + z)~k;

7.

F (x, y, z) = ∇G;

8.

F (x, y, z) = ∇G;

G(x, y, z) = x3 − 3xy 2

G(x, y, z) = ex cos y + ey cos z + ez cos x

2. Calcular o rotacional ∇ × F , de cada um dos seguintes campos vetoriais. 1. F (x, y, z) = x~i + y~j + z~k

2. F (x, y, z) = yz~i + xz~j + xy~k

3. F (x, y, z) = (x2 + y 2 + z 2 )(3~i + 4~j + 5~k)

4. F (x, y, z) =

yz~i − xz~j + xy~k x2 + y 2 + z 2

3. Verificar que ∇ × (∇f ) = 0 para cada uma das seguintes funções; p

x2 + y 2 + z 2 1 3. f (x, y, z) = 2 x + y2 + z2

1. f (x, y, z) =

2. f (x, y, z) = xy + yz + xz 4. f (x, y, z) = x2 y 2 + y 2 z 2

4. Mostrar que F (x, y) = (y cos x)i + (xseny)j não é um campo vetorial conservativo. Z 5. Para cada um dos seguintes exercícios, calcular F • dr. Desenhar o arco Γ em cada Γ

caso. 1.

2. 3. 4. 5. 6.

F (x, y, z) = xy~i − y~j + ~k;

Γ é o segmento de (0, 0, 0) a (1, 1, 1).

F (x, y, z) = xy~i − y~j + ~k;

Γ é o arco dado por x = t, y = t2 , z = t3 , 0 ≤ t ≤ 1 1 F (x, y, z) = x~i − ~j + z~k; Γ é a curva x = cos θ, y = senθ, z = θ, 0 ≤ θ ≤ 2π π ~ ~ ~ F (x, y, z) = xi − y j + z k; Γ é o segmento de (1, 0, 0) a (1, 0, 2). π F (x, y, z) = 2x~i − 3y~j + z 2~k; Γ é a curva x = cos θ, y = senθ, z = θ 0 ≤ θ ≤ 2 π 2 ~ ~ ~ F (x, y, z) = 2xi − 3y j + z k; Γ é o segmento de (1, 0, 0) a (0, 1, 2 ).

7.

F (x, y, z) = y 2~i + x2~j + 0.~k;

8.

F (x, y, z) = z 2~i + 0.~j + x2~k; de (2, 0, 1) a (2, 0, 4)..

Γ é o arco x = t, y = t2 , z = 0, 1 ≤ t ≤ 2

Γ = Γ1 ∪ Γ2 é o segmento Γ1 de (1, 0, 1) a (2, 0, 1) e Γ2

90

Cálculo Vetorial e Séries 6. Para os seguintes exercícios, transformar as integrais curvilineas consideradas ao longo dos contornos fechados L, no sentido mpositivo, em integrais duplas sobre os domínios limitados por estes mesmos contornos. Z 1. (1 − x2 )ydx + x(1 + y 2 )dy L

2.

Z

(exy + 2x cos y)ydx + (exy − x2 seny)dy

L

7. Calcular a integral do Exercício anterior (1.) de dois modos considerando a circunferência x2 + y 2 = R2 como contorno de Integração L. 1. Diretamente. 2. Aplicando a fórmula de Green. 8. Para cada um dos seguintes exercícios utilizar o teorema de Green para calcular as integrais de linha dada. Comence desenhando a região D. I √ x 1. 2xydx + y 2 dy, onde Γ é a curva fechada limitada por y = , y = x entre os 2 Γ

2.

pontos (0, 0) e (4, 2). I √ x2 √ ydx + xdy, onde Γ é a curva limitada por y = 0, x = 2, y = . 2

3.

I

(2x+y 2 )dx+(x2 +2y)dy, onde Γ é a curva fechada limitada por y = 0, x = 2, y =

4.

I

xydx + (x + y)dy, onde Γ é o triângulo com vértices (0, 0), (0, 1), (2, 0)

5.

I

(e3x +2y)dx+(x2 +senydy, onde Γ é o retângulo com vértices (2, 1), (7, 1), (7, 5), (2, 5)

Γ

x3 4

Γ

Γ

Γ

Capítulo 3

INTEGRAL DE SUPERFÍCIE George Gabriel Stokes nasceu em 13 de agosto de 1819 em Skreen, Irlanda. Matemático e notável físico teórico britânico que se distinguiu pelas suas contribuições na dinâmica de fluidos com, as Equações de Navier-Stokes, na óptica e na física matemática (Teorema de Stokes.. De uma família de raízes profundas na Igreja da Irlanda, era filho de um reitor e recebeu sua educação elementar de seu pai e de um escriturário paroquial local. Entrou na Universidade de Pembroke (1837) e depois de formado, continuou ensinando naquela faculdade. Foi nomeado professor de matemática em Cambridge (1847), cargo que já havia pertencido a Isaac Newton, e permaneceu na Inglaterra pelo resto de sua vida. F. Gauss Na Inglaterra foi professor em Cambridge, secretário da Royal Society e, finalmente, seu presidente. Era profundamente religiosos e preocupado com a relação entre ciência e religião. Publicou mais de cem trabalhos científicos sobre variados assuntos, particularmente sobre hidrodinâmica.. Especialista em pesquisas para a determinação de viscosidade de fluidos, particularmente usando em seus experimentos conjuntos de esferas. Seus primeiros trabalhos correspondentes ao período 1842 − 1850, tiveram por objeto o movimento dos fluidos viscosos e a elasticidade dos corpos sólidos, e le levaram à solução matemática de muitos problemas de reconhecida importância prática e científica. Ofereceou uma explicação completa da suspensão das nuves. Com o artigo “On the Theories of the Internal Friction of Fluids in Motion, and of the Equilibrium and Motion of Elastic Solid” (1845), publicou a versão definitiva da equação Navier-Stokes. Entre todos os estudos de óptica de Stokes destacam-se os dois trabalhos clássicos sobre a mudança da refragibilidade da luz (On the Change of Refrangibility of Light, en Philosophical Transactions of London, 1852 e 1853 ) com a descoberta do fenômeno da fluorescência o efeito da luz ultravioleta sobre o quartzo. Do seu sobrenome vem a unidade de medida de viscosidade cinemática, no c. g. s., Stoke, igual à de um líquido cuja viscosidade é um poise e cuja massa volumétrica é um grama por centímetro cúbico (Vale 104 unidades MKS de viscosidade cinemática). Stokes fui muito hospitaleiro com os amigos, e prodigo em conselhos e ajuda a seus discípulos, fez que na pequena cidade de Cambridge que seus ensinamentos, junto com os de seus colegas Kelvin e C. Maxwell o fizeram ainda mais ilustre com uma vida simples rodeado de afeito e respeito de todos. Sua produção científica foi reunida em escritos matemáticos e físicos. Stokes faleceu em Cambridge em 1 de fevereiro de 1903

91

92


3.1

Introdução

Para contornos que não pertencem ao plano, o Teorema de Green é generalizado pelo Teorema de Stokes. As integrais de superfície estão para as integrais duplas como as integrais de linha estão para as integrais definidas. Com efeito, as integrais definidas correspondiam a uma integral de linha muito particular, → e a função correspondia em que a trajetória é um segmento de reta coincidente com o eixo dos − ox apenas à componente segundo x da função vetorial. Ao generalizar o conceito de integral para uma linha curva qualquer, tivemos de recorrer à notação vetorial, bem como vimos a conveniência de representar paramétricamente a curva. Do mesmo modo, as integrais duplas correspondem a integrais de superfícies no plano XY , ou seja, superfícies planas, representáveis por funções escalares de duas variáveis. Como é evidente, muitas superfícies de grande interesse - e mesmo até de elevada simetria, como é o caso das superficies cilíndricas e esféricas - não são planas, pelo que, uma vez mais, vamos generalizar o conceito de integral dupla, recorrendo a funções vetoriais. Tal como no caso dos integrais de linha, será muito útil representar paramétricamente as superfícies, pois desta forma conseguiremos transformar integrais de superfície em integrais duplas. Comecemos portanto, por estabelecer a notação e ver alguns exemplos de superfícies curvas e sua representação paramétrica.

3.2

Superfície

Numa disciplina de funções de várias variáveis estudamos um tipo de superfície, aquela que era o gráfico de uma função da forma, z = f (x, y) foram feitos os gráficos das mesmas e até calculamos retas normais e planos tangentes à superfície.

Figura 3.1:

Figura 3.2:

Existem alguns tipos de superfícies não estudados, como por exemplo o conjunto de pontos S = { (x, y, z) /. 3x − 3z − z 3 = 0 }. O gráfico desta superfície mostra-se na Figura (3.1) e como se observa é uma lâmina que se dobre sobre ela mesma, esta superfície não é o gráfico de

nenhuma função z = f (x, y). Lembre que, uma condição suficiente para que z = f (x, y) seja função é que a cada elemento (x, y) do domínio de f corresponda somente um e somente um elemento z da imagem de f

93


Outro exemplo de um gráfico que não representa uma superfície da forma z = f (x, y) é o toro, este sólido é gerado pela rotação de um círculo em torno de um eixo que lhe é externo e coplanar Estes dois exemplo de superfície que não representam funções do tipo z = f (x.y), induzem a estender nossa definição de superficies. As representações de superfícies no espaço cartesiano tridimensional podem escrever-se nas formas z = x2 + y 2 ou explicitamente como g(x, y, z) = 0. p Por exemplo, z = + a2 − x2 − y 2 ou x2 + y 2 + z 2 = a2 com a > 0 representam um semihemisfério de raio a centrado na origem.

Como vimos, para as curvas Γ nas integrais de linha, a representação paramétrica ~r = ~r(t) onde a ≤ t ≤ b , permitia estabelecer um mapeamento do intervalo a ≤ t ≤ b , pertencente ao eixo t na curva Γ no espaço-xyz como indica a Figura (3.3).

Figura 3.3:

Figura 3.4:

Do mesmo modo, na representação paramétrica de uma superfície far-se-á um mapeamento semelhante. Uma vez que as superfícies são bidimensionais, serão necessários dois parâmetros para as representar. O processo de representação paramétrica é ilustrado na Figura (3.6). Com superfícies, assim como com curvas, queremos distinguir entre o que é função(trajetória) e sua imagem (objeto geométrico). Definição 3.1. Função diferenciável. Seja ~r : D ⊂ R2 −→ R3 uma função , dizemos que ~r = (r1 , r2 , r3 ) é diferenciável de classe

C k , k ∈ N, se, suas funções coordenadas r1 , r2 , r3 : D ⊂ R2 −→ R3 possuem derivadas parciais

contínuas até a ordem k.

Definição 3.2. Parametrização própria. Seja D ⊂ R2 um aberto, dizemos que a função ~r : D ⊂ R2 −→ R3 é uma parametrização

própria de R3 se para todo P ∈ D: 1.

~r é injetora.

94 2.

Cálculo Vetorial e Séries ~r é diferenciável ao menos de classe C 2 e tal que a matriz  ∂r 1 (P )  ∂u  ∂r1 (P ) ∂v

∂r2 (P ) ∂u ∂r2 (P ) ∂v

 ∂r3 (P )  ∂u  ∂r3 (P ) ∂v

seja de rango dois. Exemplo 3.1. Sejam D = { (u, v) ∈ R2 /. u2 + v 2 < 1 } e r : D ⊂ R2 −→ R3 definido por ~r(u, v) = √ (u, v, 1 − u2 − v 2 ). Tem-se que ~r é uma parametrização própria de R3 . Definição 3.3. Parametrização própria para subconjuntos. Seja S ⊂ R3 um subconjunto, dizemos que, ~r : D −→ R3 é uma parametrização própria de

S, se ~r(D) ⊂ S, neste caso escrevemos r : D −→ S. Definição 3.4. Superfície regular.

Dizemos que S ⊂ R3 é uma superfície regular em R3 se, para cada ponto P ∈ S existe uma

parametrização própria de S.

Isto é ~r : D ⊂ R2 −→ S é tal que ~r(D) contém uma vizinhança de P ∈ S.

Deste modo, a representação paramétrica de uma superfície S tem a forma ~r(u, v) = x(u, v)~i + y(u, v)~j + z(u, v)~k onde , (u, v) ∈ D sendo D uma dada região no plano-uv . Assim, todo o ponto (u, v) ∈ D é mapeado num ponto S de cujo vetor posição é dado por ~r(u, v).

Assim, dizer superfície regular, é equivalente a dizer superfície parametrizada cuja definição é como segue Definição 3.5. Superfície parametrizada e diferenciável. Dizemos superfície parametrizada, a uma função ~r : D ⊂ R2 −→ R3 onde D é algum domínio

em R2 . A superfície S correspondente à função r é sua imagem: S = ~r(D)). Pelo que podemos escrever ~r(u, v) = (r1 (u, v), r2 (u, v), r3 (u, v))

Para o caso de ser ~r diferenciável logo é de classe C 1 (que equivalente a dizer que r1 (u, v), r2 (u, v) e r3 (u, v) são funções diferenciáveis, dizemos que S é uma superfície diferenciável. Assim como trajetórias levam um domínio da reta real (retas, semiretas ou segmentos de retas) em curvas, podemos imaginar que para o caso das superfícies, um domínio (área) de R 2 é levado a uma superfícies em R2 (Figura (3.5)) Bem que poderiamos imaginar que áreas de R2 são levadas a superfícies de R3 mediande dobreaduras, torsões, esticamentos, etc. isto é, um ponto (u, v) ∈ D representa um ponto (r1 (u, v), r2 (u, v), r3 (u, v)) ∈ S Exemplo 3.2.

95


Figura 3.5: Área de R2 é levada a superfícies de R3 Consideremos a representação paramétrica de um cilindro. A equação que representa uma superfície cilíndrica de raio a e altura 2 pode escrever-se, em coordenadas cartesianas, na forma. S = { (x, y, z) ∈ R3 /.

x2 + y 2 = 2

onde

−1≤z ≤1}

Uma possível representação paramétrica é dada por ~r(u, v) = (a cos u)~i + (asenu)~j + v~k onde 0 ≤ u ≤ 2π,

−1 ≤ v ≤ 1.

Qual a representação paramétrica de uma superfície esférica ? Quantas representações paramétricas são possíveis para uma dada superfície ? Exemplo 3.3. Z Z Calcular g(x, y, z)dσ , onde g(x, y, z) = x2 z,

D=

D

Solução.

p

1 − x2 − y 2 .

Temos Z Z D

g(x, y, z)dσ =

Z Z

D

p x2 1 − x 2 − y 2

s

1+

y2 x2 + dxdy 2 2 1−x −y 1 − x2 − y 2

onde D = { (x, y) ∈ R2 /. x2 + y 2 ≤ 1 } então I=

Z Z

D

3.2.1

x2 dydx =

Z1

√ 1+Z 1−x2

x2 dydx =

√ −1 1− 1−x2

π 4

Plano tangente. Vetor normal a uma superfície

Seja S ⊂ R3 uma superfície regular e P ∈ S, sabemos que existe uma parametrização própria

~r : D −→ S tal que ~r(u, v) = (r1 (u, v), r2 (u, v), r3 (u, v))

O fato ser ~r diferenciável em (u0 , v0 ) ∈ D é importante. Seja (u0 , v0 ) ∈ D tal que r(u0 , v0 ) ∈

S, fixando u = u0 obtém-se uma trajetória R −→ R3 definida por v −→ r(u0 , v) cuja imagem é

uma curva regular Γ1 = { r(u0 , v0 ) ∈ S /. (u0 , v0 ) ∈ D } que resulta de interceptar a superfície

96


S com o plano u = u0 , isto é Γ1 = ~r(u0 , v) = (r1 (u0 , v), r2 (u0 , v), r3 (u0 , v)) é uma curva regular em S, Sabemos pelo estudo das funções de várias variáveis ponto r(u0 , v0 ) é Tu =

1

que o vetor tangente Tu à curva no

∂y ∂z ∂x (u0 , v0 ) ~i + (u0 , v0 ) ~j + (u0 , v0 ) ~k ∂v ∂v ∂v

ou também que o vetor velocidade à curva Γ1 no ponto (r1 (u0 , v), r2 (u0 , v), r3 (u0 , v)) é dado por ~rv (u0 , v0 ) =

∂~r ∂r1 ∂r2 ∂r3 (u0 , v0 ) = (u0 , v0 )~i + (u0 , v0 )~j + (u0 , v0 )~k ∂v ∂v ∂v ∂v

Figura 3.6: Os vetores Tu e Tv são tangentes a uma curva em S, logo são tangentes a S De modo análogo fixando v = v0 obtém-se uma trajetória R −→ R3 definida por u −→

~r(u, v0 ) cuja imagem é uma curva regular Γ2 = { r(u, v0 ) ∈ S /. (u, v0 ) ∈ D } em S, isto é Γ2 = ~r(u, v0 ) = (r1 (u, v0 ), r2 (u, v0 ), r3 (u, v0 ))

Sabemos pelo estudo das funções de várias variáveis que o vetor tangente T v à curva no ponto r(u0 , v0 ) é Tv =

∂y ∂z ∂x (u0 , v0 ) ~i + (u0 , v0 ) ~j + (u0 , v0 ) ~k ∂u ∂u ∂u

o também seu vetor velocidade no ponto ~r(u0 , v0 ) é ~ru (u0 , v0 ) =

∂~r ∂r1 ∂r2 ∂r3 (u0 , v0 ) = (u0 , v0 )~i + (u0 , v0 )~j + (u0 , v0 )~k ∂u ∂u ∂u ∂u

Observe que os vetores Tu e Tv são tangentes a duas curvas que se interseptam no ponto ~r(u0 , v0 ), logo com esses vetores tangentes podemos determinar a equação do plano tangente à superfície S no ponto (r1 (u0 , v0 ), r2 (u0 , v0 ), r3 (u0 , v0 )) ∈ S. O vetor não nulo ~n = Tu × Tv é o

vetor normal a esse plano.

O fato ser o vetor normal não nulo, assegura que existe um plano tangente à superfície. Definição 3.6. Plano tangente. 1

Notas de aula; “Integração e Funções de Várias Variáveis” do mesmo autor,

97


O plano gerado pelos vetores Tu e Tv é o plano tangente a S no ponto ~r(u0 , v0 ) cuja normal é ~n = Tu × Tv . Por ser ~r uma parametrização própria cumpre que o vetor Tu × Tv 6= 0. Logo, dada uma superfície S, define-se o vetor normal ~n a essa superfície num ponto ~r(u0 , v0 ) como o vetor que é normal ao plano tangente à superfície nesse ponto como mostra a Figura (3.7). Para encontrar o vetor normal unitário a essa su∇g perfície no ponto ~r(u0 , v0 ) basta considerar ~n = |∇g| onde g(u0 , v0 , r(u0 , v0 )) = 0. Que forma tem ~n quando se representa paramétricamente a superfície ?

Figura 3.7:

Uma vez que u e v são coordenadas no plano-uv, ∂r e se calcularmos a derivada direcional de ~r(u, v) segundo u e v, ou seja, ~ru = ∂u (~r(u0 ,v0 )) ∂r ~ = Tu ×Tv 6= 0), ~rv = , e se estes vetores forem linearmente independentes (isto é, se N ∂v (~r(u0 ,v0 )) podemos utilizar a propriedade do produto vetorial para gerar um versor normal a S em ~r(u 0 , v0 ): ~n =

~n Tu × T v = |~n| kTu × Tv k

Quando Tu e Tv satisfazem Tu × Tv 6= 0, sendo contínuos em todos os pontos ~r(u0 , v0 ) em S,

então S tem uma tangente bem definida em todos os seus pontos, bem como uma única normal

que é gerada pelos vetores Tu e Tv , cuja direção depende continuamente dos pontos ~r(u0 , v0 ) de S. Diz-se então que é uma superfície regular. Definição 3.7. Superfície suave2 num ponto. Dizemos que uma superfície S é suave em ~r(u0 , v0 ) se Tu × Tv 6= 0 em ~r(u0 , v0 ). Definição 3.8. Superfície suave. Dizemos que uma superfície S é suave, se ela é suave em todos seus pontos ~r(u0 , v0 ) ∈ S. Existe sempre uma ambigüidade na definição do vetor normal unitário a uma superfície. Essa ambigüidade refere-se ao seu “sentido”, e essa vai constituir, na maior parte dos casos, uma escolha nossa. No entanto, e tal como no caso das integrais de linha, em que estabelecemos um “sentido” de circulação positivo, também no caso das integrais de superfície se torna necessário orientar as superfícies. Essa orientação será feita relativamente ao sentido de circulação ao longo da fronteira (curva) que as delimita. 2

Estritamente falando, a suavidade depende da parametrização ~r e não somente de sua imagem

98


Exemplo 3.4. Determine se a superfície dada pelas equações

x = u cos v, y = usenv z = u

u>0 é

diferenciável. Esta superfície é suave? Solução. Esta super4ficie podemos escrever na forma z = superfície é um cone como mostra a Figura (3.8)

p x2 + y 2 , a

Esta função é diferenciável, pois cada função componente é diferenciável como função de u e v. A superfície, não é suave em (0, 0, 0), pois de ~r(0, 0) = (0, 0) segue que: Tu = cos v~i + senv~j + ~k

⇒

Tv = −usenv~i + u cos v~j + 0~k

Tu (0, 0) = (1, 0, 1) ⇒

Figura 3.8:

Tv (0, 0) = (0, 1, 0)

De onde Tu × Tv = 0.

Podemos resumir alguma de nossas conclusões de modo formal. Definição 3.9. Se uma superfície parametrizada ~r : D ⊂ R2 −→ R3 é suave em ~r(u0 , v0 ), isto é Tu × Tv 6= 0

em (u0 , v0 ), definimos o plano tangente à superfície em ~r(u0 , v0 ) como o plano determinado pelos vetores Tu e Tv . Logo, ~n = Tu × Tv é um vetor normal, e a equação do plano tangente em

(x0 , y0 , z0 ) esta dado por

(x − x0 , y − y0 , z − z0 ) • ~n = 0 Exemplo 3.5. Determine o plano tangente à superfície esférica de centro a origem e raio 1. Solução. Seja D = { (x, y) ∈ R2 /. x2 + y 2 ≤ 1 } e a parametrização √ (u, v, 1 − u2 − v 2 )

r

: D −→ S onde ~r(u, v) =

√ Consideremos a curva Γ1 = { ~r(0, v) ∈ S /. (0, v) ∈ D }, isto é ~r(0, v) = (0, v, 1 − v 2 ) de v ∂r ~k, no ponto r(0, 0) = (0, 0, 1), tem-se que Tv = (0, 1, 0). (0, v) = ~j − √ onde Tv = ∂v 1 − v2 Por outro lado, consideremos a curva Γ2 = { ~r(u, 0) ∈ S /. (u, 0) ∈ D }, isto é ~r(u, 0) = √ u ∂r ~k, no ponto r(0, 0) = (0, 0, 1), tem-se que (u, 0) = ~i − √ (u, 0, 1 − u2 ) de onde Tu = ∂u 1 − u2 Tu = (1, 0, 0). Assim, ~n = Tu × Tv = ~k. Portanto a equação do plano tangente é z − 1 = 0.

Exemplo 3.6. Determine os pontos onde exista plano tangente à superfície S parametrizada por ~r : R2 −→

R3 , onde

x = u cos v,

y = usenv,

z = u2 + v 2

99

Christian José Quintana Pinedo Determine o plano tangente em (−1, 0, 1 + π 2 ) ∈ S Solução.

Tem-se Tv = −(usenv)~i + (u cos v)~j + 2v~k, e Tu = (cos v)~i + (senv)~j + 2u~k de onde Tu × Tv = (−2u2 cos v + 2vsenv)~i + (−2u2 senv − 2v cos v)~j + (u)~k No,ponto r(0, 0) = (0, 0, 0), tem-se que Tu × Tv = (0, 0, 0), logo não existe plano tangente em

(0, 0, 0) ∈ S.

Como Tu × Tv 6= 0 em (0, 0, 0) 6= (x, y, z) ∈ S então existe plano tangente en todos esses

pontos.

Em particular, no ponto ~r(1, π) = (−1, 0, 1 + π 2 ) tem-se , que Tu × Tv = (2, 2π, 1) e o plano

tangente pediso é

2(x + 1) + 2πy + (z − 1 − π 2 ) = 0 Definição 3.10.

Superfície orientável.

Consideremos então uma superfície regular. Esta diz-se orientável se um vetor unitário, especificado num qualquer ponto de pode ser continuado de uma forma única e contínua por toda a superfície . Claro que uma porção suficientemente pequena de qualquer superfície regular é orientável. No entanto, esta propriedade não se verifica necessariamente em superfícies finitas (é como nas rotações dos corpos - rotações infinitesimais comutam, mas rotações finitas não - recordar as aulas de mecânica, por exemplo). Um exemplo claro é a banda de Möbius (Figura (3.9)).

Figura 3.9:

Consideremos então uma superfície S que se pode representar como um conjunto finito de superfícies regulares. Esta diz-se orientável se conseguirmos orientar cada uma das superfícies regulares de tal modo que ao longo de cada curva C ∗

que constitui uma fronteira comum entre 2 superfícies regulares S 1 e S2 , a direção positiva de C ∗ relativamente a S1 é oposta à direção positiva de C ∗ relativamente a S2 - ver Figura (3.10):

Figura 3.10: Desta forma também temos um modo de definir um sentido para o vetor normal unitário a cada superfície regular, da forma como se ilustra na Figura (3.10) acima - é o sentido de avanço

100


de um saca rolhas posicionado perpendicularmente à superfície no ponto em causa, fazendo-o rodar no sentido de circulação positivo ao longo da curva C (à esquerda) ou C ∗ (à direita).

3.2.2

Existência da integral de superfície

Seja S ⊂ R2 uma superfície regular e g : S −→ R uma função definida sobre S, e seja

r : D ⊂ R2 → S uma parametrização própria de D, onde D é a região fechada em R2 como

mostra a Figura (3.11).

Figura 3.11: Seja P = { R1 , R2 , R3 , · · · , Rn } uma partição da região fechada D ⊂ R2 (cada Ri é um

retângulo), esta partição induz uma partição P ∗ = { σ1 , σ2 , σ3 , · · · , σn } onde σi = r(Ri ) para

i = 1, 2, 3, · · · , n.

Seja (u0i , vi0 ) ∈ Ri um ponto arbitrário tal que r(u0i , vi0 ) = (x0i , yi0 , zi0 ), a soma de Riemann de

g correspondente à partição P ∗ é n X

g(x0i , yi0 , zi0 )A(σi ),

onde A(σi ) = Área de σi

i=1

Caso exista o limite σi na partição P ∗ .

lim

kA(σi )k→0

n X i=1

g(x0i , yi0 , zi0 )A(σi ) onde kA(σi )k é a área máxima da superfície

O valor deste limite é a integral de superfície g sobre S e denotamos I=

Z Z S

g(x, y, z)dσ =

lim

kA(σi )k→0

n X

g(x0i , yi0 , zi0 )A(σi )

i=1

Observação 3.1. 1. Quando kA(σi )k → 0, explicitamente n → ∞ 2. A integral de superfície representa a área da superfície, é por isso que sua grandeza é medida em unidades quadradas.

101

Christian José Quintana Pinedo 3. Se S = r(D), então a integral de superfície está dada por I=

Z Z

g(r(u, v))k~ru × ~rv kdudv =

S

Teorema 3.1. Fundamental de integral de superfície. Seja S uma superfície regular de R3 , r : D ⊂ R2 −→ S uma parametrização tal que ~r(u, v) =

(r1 (u, v), r2 (u, v), r3 (u, v)). Se g : S −→ R é uma função contínua, então: Z Z 1. Existe g(x, y, z)dσ S

2.

Z Z

g(x, y, z)dσ =

S

Z Z

g(r1 (u, v), r2 (u, v), r3 (u, v))kru × rv kdudv

D

Observação 3.2. Seja D ⊂ R2 uma região fechada, e f : D −→ R uma função diferenciável de classe C 2 , e seu

gráfico é a superfície S = { (x, y, z) /.

de S é r : D −→ S ⊂

R3

z = f (x, y),

∀ (x, y) ∈ D } a parametrização própria

definida por r(x, y) = (x, y, f (x, y)).

Seja g : S −→ R uma função contínua, então Z Z

g(x, y, z)dσ =

S

Exemplo 3.7. Calcular a integral I = z = 0 e z = 3.

Z Z

g(x, y, f (x, y))

S

Z Z

s

df 1+ dx

2

df + dy

2

dA

(x2 + y 2 )dσ sendo S a superfície do cone z 2 = 3(x2 + y 2 ) entre

S

Solução. p Temos que z = 3(x2 + y 2 ), I=

Z Z S

√ dz 3x =p , dx x2 + y 2

√ dz 3y =p , logo dy x2 + y 2

v " √ #2 " √ #2 u Z Z u 3x 3y 2 2 t (x + y ) 1 + p + p =2 (x2 + y 2 )dxdy x2 + y 2 x2 + y 2 S

√ √

Z 3 Z3−x2 I=8 (x2 + y 2 )dydx = 8π 0

0

Portanto, o valor da integral I = 8π

Para um tratamento vetorial, consideremos então uma superfície S, representada paramétri-

camente através da equação genérica

~r(u, v) = x(u, v)~i + y(u, v)~j + z(u, v)~k

102


Sendo uma superfície regular ou então a soma de um número finito de superfícies regulares, ~ = ~ru × ~rv e um vetor normal unitário ~n = ~ru × ~rv de tal forma que tem um vetor normal N |~ru × ~rv | em todos os pontos de S (exceto, eventualmente em alguns pontos angulosos, como os vértices

de um cubo ou o vértice de um cone) define-se integral de superfície de uma função vetorial F em S como

Z Z

F~ • ~ndA =

S

Z Z

~ (u, v)dudv F~ (u, v) • N

(3.1)

D

Note-se que F~ • ~n é a componente de F~ normal à superfície S em cada ponto, pelo que a

integral de superfície vai corresponder ao cálculo do fluxo do campo vetorial F através de S . • Recordando a definição de ~ru e ~rv como derivadas direcionais segundo u e v.

→ − • Tendo em conta que, pela definição de produto vetorial, k N k = |~ru × ~rv | é igual à área do paralelogramo definido por ~ru e ~rv

~ kdudv , pelo que ~ndA = ~nkN ~ kdudv = N ~ dudv. temos que dA = kN

103


Exercícios 4-1 1. Calcular as seguintes integrais: Z Z 4 x y z 1. (z + 2x + )dq onde S é uma parte do plano + + = 1, situada no primeiro 3 2 3 4 S

2.

otante. Z Z xyzdq onde S é uma parte do plano x + y + z = 1, situada no primeiro otante.

3.

Z Z

xdq onde S é uma parte da esfera x2 + y 2 + z 2 = r2 , situada no primeiro otante.

4.

Z Z

ydq onde S é parte da semi-esfera z =

5.

Z Z p

S

S

S

p r 2 − x2 − y 2

r2 − x2 − y 2 dq onde S é a semi-esfera z =

S

p r 2 − x2 − y 2

6.

Z Z

x2 y 2 dq onde S é a semi-esfera z =

7.

Z Z

dq onde S é o cilíndro x2 + y 2 = r2 , limitado pelos planos z = 0 e z = H; r é a r2

S

p

r 2 − x2 − y 2

S

8.

distância entre entre a superfície e a origem de coordenadas. Z Z dq onde S é a esfera x2 + y 2 + z 2 = r2 e r é a distância entre entre a superfície r2 S

e o ponto fixo P (0, 0, c),

c > 0.

2. Calcular as integrais de superfície. Z Z 1. xdydz + ydxdz + zdxdy onde S é o lado positivo do cubo formado pelos planos S

2.

x = 0, y = 0, z = 0, x = 1, y = 1. Z Z x2 y 2 zdxdy onde S é o lado positivo da metade inferior da esfera x2 +y 2 +z 2 = r2 .

3.

Z Z

xdxdy onde S é a fase exterior do elipsoide

4.

Z Z

z 2 dxdy onde S é a fase exterior do elipsoide

5.

Z Z

xzdxdy + xydydz + yzdxdz onde S é a parte exterior da piramide formada pelos

S

S

x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 1. a2 b c x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 1. a2 b c

S

S

6.

planos x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1. Z Z yzdxdy + xzdydz + xydxdz onde S é a fase exterior da superfície situada no S

primeiro otante e formada pelo cilíndro x2 + y 2 = r2 e os planos x = 0, 0,

z = H.

y = 0,

z=

104


Z Z

y 2 zdxdy + xzdydz + x2 ydxdz onde S é a fase exterior da superfície situada no

S

primeiro otante e formada pelo paraboloide de revolução z = x2 + y 2 , pelo cilindro x2 + y 2 = 1 e os planos x = 0,

3.3

y = 0,

z = 0.

Teorema de Stokes

O teorema de Stokes permite-nos relacionar integrais de linha em integrais de superfície e vicê-versa. Teorema 3.2. Seja S ⊂ R3 uma superfície regular ou que se decompõe num número finito de superfícies

orientadas regulares, consideremos C a fronteira de S, constituindo uma curva suave ou que se decompõe num número finito de curvas suaves. Então, se F~ (u, v, z) é uma função vetorial contínua com primeiras derivadas parciais contínuas num dado domínio que contém S. Nestas condições, temos que

Z Z

(∇ × F~ ) • ~ndA =

S

I

F~ • d~r

(3.2)

C

~ - ver Figura onde ~n é o vetor normal unitário a S de acordo com o sentido de circulação em C

(3.12).

É importante não esquecer que o teorema de Stokes se aplica a superfícies abertas, pois só neste caso se estabelece inequívocamente uma curva delimitadora. De reparar que, pelo teorema de Stokes, se torna evidente que, se uma função vetorial se pode escrever como o gradiente de uma função escalar, então o integral ao longo de qualquer circuito fechado é zero. Voltamos a encontrar funções cujo integral de linha não depende da trajetória que liga os pontos inicial e final são as denominadas funções conservativas. Aqui como no Teorema de Green, a curva fechada C é a fronteira da superfície S, e novamente, se F~ é

Figura 3.12:

olhado como uma “anti-derivada"de (rotF ), então a integral sobre a região é igual a anti-derivada avaliada sobre a fronteira da região. Existem muitas superfícies que tem a mesma fronteira, e Teorema de Stokes diz que a integral sobre qualquer superfície apropriada dà o mesmo valor da integral sobre o contorno. Exemplo 3.8. Seja S a parte do parabolóide z = 9 − x2 − y 2 com z ≥ 0 e seja C o traço de S o plano-xy.

Verifique o teorema de Stokes. Solução.

105

Christian José Quintana Pinedo Devemos mostrar que as duas integrais de (3.2) tem o mesmo valor. 2x~i + 2y~j + ~k A superfície é um parabolóide elíptico, obtém-se que n = p o rotacional 4x2 + 4y 2 + 1 rotF =

Conseqüentemente

Z Z

~i ∂ ∂x 3z

~k ∂ ∂z 2y

~j ∂ ∂y 4x

(∇ × F~ ) • ~ndA =

S

= 2~i + 3~j + 4~k

Z Z

4x + 6y + 4 p dS 4x2 + 4y 2 + 1

S

aplicando propriedades para resolver esta integral de superfície temos Z Z

(∇ × F~ ) • ~ndA =

S

Z Z

(4x + 6y + 4)dA

R

onde R é a região do plano-xy limitada pelo círculo de raio 3 e centro na origem. Passando para coordenadas polares, obtemos Z Z

(∇ × F~ ) • ~ndA =

S

Z2π Z3

(4r cos θ + 6rsenθ)rdrdθ =

0

0

Z2π = (36 cos θ + 54senθ + 18)dθ = 36π 0

Por outro lado, para o cálculo da integral curvilínea, podemos escrever na forma I

F~ • d~r =

I

(3zdx + 4xdy + 2ydz)

C

C

onde C é o círculo x2 + y 2 = 9 no plano-xy. Como z = 0 em C esta integral curvilínea se reduz a I

F~ • d~r =

C

Como

I

I C

4xdy = 4

I

xdy

C

xdy é a áres da região (um círculo de raio 3) delimitada por C e, assim

C

Z Z S

(∇ × F~ ) • ~ndA == 36π

106


3.4

Teorema de Gauss

O teorema de Gauss permite-nos relacionar integrais de superfície com os integrais triplas já estudados anteriormente. Teorema 3.3. Seja T uma região fechada e limitada no espaço R3 , cuja fronteira é uma superfície S orien-

tável ou então se pode decompor num conjunto finito de superfícies orientáveis. Seja uma função vetorial contínua com primeiras derivadas parciais contínuas num dado domínio que contém T .

Nestas condições, temos que

Z Z S

F~ • ~ndA =

Z Z Z

div F~ dV

(3.3)

T

onde ~n é o vetor unitário normal que aponta para fora da superfície S. Em coordenadas

cartesianas, podemos escrever Z Z Z T

Z Z ∂Fz ∂Fx ∂Fy dxdydz = (F1 dydz + F2 dzdx + F3 dxdy) + + ∂x ∂y ∂z S

Se uma superfície para a qual o Teorema de Stokes é aplicado fosse deformada de tal maneira para criar uma superfície fechada , ou duas superfícies que compartilham a mesma fronteira, a superfície resultante não teria fronteira e assim o teorema de Stokes diz que a integral da componente normal do rotacional (circulação) de uma função vetorial sobre uma superfície fechada é nula. Se o integrando não é rotacional de alguma função, então a integral de superfície está relacionada à variação do integrando no interior da região fechada. Aqui olhando F~ como a anti-derivada de div F~ , a integral sobre a região T é igual a anti-derivada do in-

tegrando avaliado na fronteira de T .

Figura 3.13:

107


Exercícios 4-2 1. 2. Aplicando a fórmula de Stokes transformar a integral

Z

(y 2 +z 2 )dx+(x2 +z 2 )dy+(x2 +y 2 )dz

L

considerada ap longo de certo caminho fechado, na integral de superfície estendida sobre essa curva. 3. Calcular a integral r2 ,

z = 0:

Z

x2 y 3 dx + dy + zdz, onde o contorno Lé a circunferência x2 + y 2 =

L

1. Diretamente. 2. Aplicando a fórmula de Stokes e considerando a semiesfera z =

p

r2 − x2 − y 2 como

superficie. A integração ao longo da circunferência no plano xOy, debe efetuarse no sentido positivo. Definição 3.11. Exemplo 3.9. Definição 3.12. Definição 3.13. Definição 3.14. Exemplo 3.10. 1. 2. 3. Exemplo 3.11. Exemplo 3.12. Exemplo 3.13. Exemplo 3.14. Exemplo 3.15. Exemplo 3.16. Exemplo 3.17. Definição 3.15.

108


Capítulo 4

SEQÜÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS Leonhard EulerNasceu em 15 de abril de 1707 Basiléia na Suíça e Faleceu em 18 de setembro de 1783 em São Petersburgo na Rússia. Euler ampliou as fronteiras da geometria analítica e da trigonometria modernas deu contribuições decisivas para a geometria, o cálculo e a análise numérica. Euler conseguiu de seu pai o consentimento para mudar seus estudos para a Matemática ajudado pela persuasão de Johann Bernoulli, que intercedeu junto a seu pai. Johann Bernoulli tornou-se então seu professor. Euler ingressou na Academia de Ciências de São Petersburgo em 1727, dois anos após a sua fundação por Catarina I. Em São Petersburgo ele viveu com Daniel Bernoulli e tornou-se professor de Física na academia em 1730, e professor de Matemática em 1733. Neste mesmo ano ele casou-se e deixou a casa de Johann Bernoulli. Deste casamento Euler teve 13 filhos, dos quais apenas cinco sobreviveram à primeira infância. Ele costumava dizer que algumas de suas maiores descobertas foram feitas enquanto segurava um bebê nos braços, tendo os outros filhos brincando em suas pernas.

L. Euler

A publicação de diversos artigos e de seu livro “Mechanica”(1736 − 37) - no qual apresentava pela primeira vez a dinâmica Newtoniana na forma de análise matemática - iniciaram Euler nos caminhos de um trabalho matemático mais incisivo. Em 1741, por convite de Frederico o Grande, Euler associou-se à Academia de Ciência de Berlim, onde ele permaneceu por vinte e cinco anos. Neste período em Berlim ele escreveu cerca de 200 artigos, três livros de análise matemática, e uma publicação científica popular, “Cartas para uma princesa da Alemanha” (3 volumes, 1768 − 72). Em 1766 Euler voltou à Rússia e perdeu a visão do olho direito aos 31 anos e logo após retornar a São Petersburgo ficou quase inteiramente cego após uma operação de catarata. Graças à sua formidável memória ele foi capaz de continuar seus trabalhos em Ótica, Álgebra e movimentos lunares. Surpreendentemente após 1765 (quando tinha 58 anos) ele produziu quase metade de seu trabalho, a despeito de estar totalmente cego. Depois de sua morte, em 1783, a Academia de São Petersburgo continuou a publicar todos os seus trabalhos ainda não publicados durante quase cinqüenta anos.

109

110


4.1

INTRODUÇÃO

Ao definir uma função f sobre um conjunto A com imagem no conjunto B, denotada por f : A −→ B, estamos associando a cada a ∈ A um único elemento b ∈ B, para todos os elementos

de A.

O que caracteriza o nome da função é o contradomínio B da mesma. Se B é um conjunto de: • números reais, temos uma função real. • vetores, temos uma função vetorial. • matrizes, temos uma função matricial. • números complexos, a função é complexa. No decorrer de estudos de matemática, seja no ensino médio ou preparatório para a graduação, você deve ter encontrado por exemplo expressões da forma: 6; 8; 10; 12; 14; 16 coleções deste tipo definem uma “seqüência”. Dizemos que esta seqüência é finita pelo fato ter um número finito de elementos. Existem expressões por exemplo fa forma: 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; · · ·

ou

· · · ; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18

estas seqüências representam a idéia de seqüências infinitas. Esses três pontos indicam que na escrita, temos a continuar indefinidamente. Este capítulo trata principalmente de seqüências em números reais, porém as propriedades fundamentais sobre convergência explicam-se com a mesma facilidade para casos mais gerais. A menos que se faça referência, estaremos considerando seqüências com elementos no conjunto de números reais R. Representamos por N+ o conjunto dos números naturais positivos, isto é: N+ = { 1, 2, 3, 4, · · · , n, · · · } Observe que N+ é um subconjunto próprio do conjunto N; logo N+ ⊂ N.

4.2

SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS REAIS

Definição 4.1. Seqüência. Uma seqüência ou sucessão de números reais é uma função a : N+ −→ R que associa a cada

número natural n um número real a(n) o qual denotamos an .

O valor da seqüência a no número natural n é denominado “n-ésimo termo” ou “termo geral da seqüência a”; assim an representa o termo da posição n-ésima de uma seqüência. Do modo como definimos a seqüência, o domínio da função a é um conjunto infinito, mas o contradomínio poderá ser finito ou infinito. O domínio de uma seqüência é indicado por D(a) = N+ e a imagem de uma seqüência por Im(a) = { a1 , a2 , a3 , · · · }.

Denotamos o conjunto de todos os termos de uma determinada seqüência por {a n }n∈N+ .

111


Deve-se escrever uma seqüência {an }n∈N+ na ordem dos valores que ela representa, assim por

exemplo:

a1 , a2 , a3 , · · · , an , · · · Os números a1 , a2 , a3 , · · · , an , · · · são chamados “elementos da seqüência”, sendo an seu

termo geral.

A função a : N+ −→ R não é necessariamente injetiva, pode-se ter am = an com m 6= n,

quando a seqüência {an }n∈N+ for injetiva, isto é, quando m 6= n implicar am 6= an

diremos que ela é uma seqüência de termos “dois a dois distintos”.

∀m, n ∈ N+ ,

Exemplo 4.1. Seqüência identidade : É a função a : N0 −→ R definida pelo termo geral an = n. Seqüência de números pares : É definida pelo termo geral an = 2n. Seqüência de números ímpares : É definida pelo termo geral an = 2n − 1. Seqüência dos recíprocos : Seu termo geral an =

1 . n

Seqüência constante : Seu termo geral an = C, onde C é qualquer número real fixo.Para o caso C = 0 é chamada seqüência nula. Seqüência alternada : Uma seqüência alternada {an } pode ser definida por an = (−1)n n. Esta seqüência de números fica alternando o sinal de cada termo, sendo um negativo e o seguinte positivo, e assim por diante. Seqüência aritmética : A seqüência aritmética é definida por an = a1 + (n − 1)r onde a1 , r ∈ R são constantes, r é chamado razão. Esta seqüência também é chamada de progressão

aritmética P.A. Seqüência geométrica : Uma seqüência geométrica é definida por an = a1 q n−1 onde a1 , q ∈ R são constantes, r é chamado razão. Esta seqüência também é chamada de progressão

aritmética P.A. Seqüência recursiva : Uma seqüência é recursiva se, o termo de ordem n é obtido em função dos termos das posições anteriores. A importante seqüência de Fibonacci, definida por a1 = 1, a2 = 1 e an+2 = an+1 + an . A seqüência de Fibonacci aparece de uma forma natural em estudos de Biologia, Arquitetura, Artes e Padrões de beleza 1 . Exemplo 4.2. Seja a seqüência de termo geral an = (−1)n , observe que a2 = 1 e a4 = 1, isto não implica que 2 = 4. Portanto, a função que determina a seqüência {(−1)n }n∈N+ não é injetiva. 1

O livro "A divina proporção", Huntley, Editora Universidade de Brasília, trata do assunto.

112

Cálculo Vetorial e Séries Em particular o conjunto {an }n∈N+ = {a1 , a2 , a3 , · · · , an , · · · } pode ser finito, ou até mesmo

reduzir-se a um único elemento, como é o caso de uma seqüência constante, em que a n = α ∈ R

para todo n ∈ N+ .

Uma seqüência pode ser representada pelo seu termo geral, ou explicitando-se seus primeiros

termos, como mostra o exemplo a seguir. Exemplo 4.3. (a)

2 2 2 ; ; ; · · · seu termo geral é 1 2 3

(b)

12 ; 22 ; 32 ; · · · seu termo geral é

(c)

−1; 1; −1; 1; · · · seu termo geral é

(d)

1;

(e)

1 2 3 ; ; ; · · · seu termo geral é 2 3 4

(f )

2;

(g)

c; c; c; c · · · seu termo geral é

(h)

a; a2 ; a3 ; a4 · · · seu termo geral é

an =

2 n

a n = n2 an = (−1)n

√ √ √ 2; 3; 4; · · · seu termo geral é an =

5 8 11 ; ; ; · · · seu termo geral é 2 3 4

√

an =

n

n n+1 1 n

an = 3 −

an = c an = an , onde a ∈ R

Em cada um destes exemplos exibimos o termo n-ésimo ( termo geral), para assim ter uma forma compacta do modo geral na formação dos elementos da seqüência. 4 n Na seqüência (e) o quarto termo é , e o n-ésimo termo é an = 5 n+1 Uma representação gráfica bastante conveniente de uma seqüência é obtida assinalando os pontos a1 ; a2 ; a3 ; · · · ; an ; · · · num segmento da reta numérica real como se indica no seguinte

desenho.

{cn }n∈N+ =

n n o n + 1 n∈N+

{bn }n∈N+ = {(−1)n }n∈N+

{an }n∈N+ =

4.2.1

n2o n

n∈N+

1/2

2/3

r

r

r

r

0

c1

c2

c3

−1

···

1

r

r

b1 = b3 = · · ·

0

r

b2 = b4 = · · ·

1/2

2/3

1

2

r

r

r

r

r

0

a4

a3

a2

a1

Classificação: Limitação e Monotonia.

Definição 4.2. Limitada superiormente.

3/4

113


Uma seqüência {an }n∈N+ é dita limitada superiormente, quando existe um número real N ,

denominado cota superior da seqüência, que atende à seguinte condição: an ≤ N

∀ n ∈ N+

(4.1)

Isto significa que todos os termos an pertencem à semi-reta (−∞, N ]. Logo, qualquer número real maior do que N também será uma cota superior da seqüência {an }n∈N+ .

A menor dessas cotas é denominada supremo da seqüência {an }n∈N+ e denotada sup .{an }.

Definição 4.3. Limitada inferiormente. Uma seqüência {an }n∈N+ é dita limitada inferiormente, quando existe um número real M ,

denominado cota inferior da seqüência, que atende à seguinte condição: M ≤ an

∀ n ∈ N+

(4.2)

Isto significa que todos os termos an pertencem à semi-reta [M, +∞). Logo, qualquer número real menor do que M também será uma cota inferior da seqüência {an }n∈N+ .

A maior dessas cotas é denominada ínfimo da seqüência {an }n∈N+ e denotada inf .{an }.

Exemplo 4.4. • A seqüência {−2n}n∈N+ é limitada superiormente; observe que existe N ≥ −2 tal que −2n ≤ N

∀ n ∈ N+ . Neste caso sup .{−2n} = −2

• A seqüência {2n}n∈N+ é limitada inferiormente; observe que existe M ≤ 2 tal que M ≤ 2n

∀ n ∈ N+ . Neste caso inf .{2n} = 2

Observação 4.1. Lembre os seguintes fatos fundamentais: 1. Toda seqüência limitada superiormente tem supremo finito, e toda seqüência limitada inferiormente tem ínfimo finito. 2. Para todo ε > 0, o número real α = sup .{an }−ε por ser menor do que o supremo da seqüência, não pode ser cota superior de {an }n∈N+ . Logo pode existir um elemento an1 ∈ {an }n∈N+ tal que:

α = sup .{an } − ε < an1

(4.3)

3. Sendo β = inf .{an } + ε um número real maior do que o ínfimo da seqüência, não pode ser cota inferior de {an }n∈N+ . Logo pode existir um elemento an2 ∈ {an }n∈N+ tal que: an2 < β = inf .{an } + ε

(4.4)

Definição 4.4. Seqüência limitada. Uma seqüência {an }n∈N+ é dita limitada, quando o for limitada superior e inferiormente;

isto é, quando existir uma constante C > 0 tal que atende à seguinte condição: |an | ≤ C

∀ n ∈ N+

(4.5)

114

Cálculo Vetorial e Séries A conclusão desta definição é que, uma seqüência {an }n∈N+ é limitada quando o conjunto de

todos os termos da seqüência pertencem ao intervalo [M, N ].

Observemos que todo intervalo [M, N ] está contido num intervalo da forma [−C, C], sendo C > 0. Para isto é suficiente considerar C = max{|M |, |N |}.

Como a condição an ∈ [M, N ] ⊆ [−C, C] é equivalente a |an | ≤ C, então justifica-se (4.5);

isto é, uma seqüência {an }n∈N+ é limitada se, e somente se, existe um número real C > 0 tal

que |an | ≤ C para todo n ∈ N+ .

Daí resulta que {an }n∈N+ é limitada se, e somente se, {|an |}n∈N+ é limitada.

Quando uma seqüência {an }n∈N+ não é limitada, diz-se que ela é “ilimitada”.

Evidentemente, uma seqüência é limitada se, e somente se, é limitada superior e inferiormente. Exemplo 4.5. Mostre que a seqüência {n}n∈N+ não é limitada. Demonstração. Suponhamos que esta seqüência seja limitada. Então existe um C ∈ R tal que n ≤ C,

N+ .

Pelo Axioma de Arquimedes2 , sempre existe um q ∈ N tal que C + 1 ≤ q.

Comparando estas duas últimas desigualdades tem-se que n ≤ C e C + 1 ≤ q

⇒

∀n ∈

n≤

C ≤ C + 1 ≤ q. Sem perda de generalidade, podemos considerar n = q ∈ N, assim q ≤ C <

C +1≤q

⇒

q < q. Contradição!

Portanto {n}n∈N+ não é limitada.

Exemplo 4.6. 1. A seqüência de termo geral an = n é limitada inferiormente, mas não superiormente. Observe que inf .{an } = 1 2. A seqüência de termo geral an = 1 − n2 é limitada superiormente, mas não inferiormente. Tem-se que sup .{an } = 0

1 é limitada, tem-se que sup .{an } = 1 e inf .{an } = 0; n2 note que o ínfimo não é termo da seqüência.

3. A seqüência de termo geral an =

4. A seqüência de termo geral an = (−1)n é limitada , sendo que sup .{an } = 1 e inf .{an } = −1. 5. A seqüência de termo geral an = (−1)n n não é limitada nem superiormente, nem inferiormente. 1 n é limitada , tem-se que sup .{an } = 1 e inf .{an } = ; n+1 2 note que o supremo não é termo da seqüência.

6. A seqüência de termo geral an =

Definição 4.5. Seqüência crescente. Dizemos que uma seqüência {an }n∈N+ é estritamente crescente ou simplesmente crescente,

quando a1 < a2 < a3 < · · · isto é, quando an < an+1 para todo n ∈ N+ . 2

Axioma de Arquimedes: Para todo x ∈ R, existe n ∈ N tal que x ≤ n.

115

Christian José Quintana Pinedo Se temos que an ≤ an+1 para todo n ∈ N+ , diz-se que a seqüência é “não–decrescente”. Definição 4.6. Seqüência decrescente.

Dizemos que uma seqüência {an }n∈N+ é estritamente decrescente ou simplesmente decres-

cente, quando a1 > a2 > a3 > · · · , isto é, quando an > an+1 para todo n ∈ N+ .

Se temos que an+1 ≤ an para todo n ∈ N+ , diz-se que a seqüência é “não–crescente”. Definição 4.7. Seqüência monótona. As seqüências crescentes, não-decrescentes, decrescentes e não–crescentes são chamadas “seqüências monótonas”. Uma conseqüência destas definições é a seguinte: 1o Toda seqüência monótona crescente é limitada inferiormente pelo seu primeiro termo. 2o Toda seqüência monótona decrescente é limitada superiormente pelo seu primeiro termo. 3o A única seqüência monótona simultaneamente crescente e decrescente, é a seqüência constante. Exemplo 4.7. 1 é decrescente. n 1 2. As seqüências de termos gerais an = − e bn = n2 são crescentes. n 1. A seqüência de termo geral an =

3. A seqüência de termo geral an = 0n é monótona crescente. 4. A seqüência de termo geral an =

(−1)n+1 não é crescente nem decrescente. n

Exemplo 4.8. 1. As seqüências de termos gerais an = n2 e bn = Ln n são crescentes. 2. As seqüências de termos gerais an =

1 e bn = −n3 são decrescentes. n2

3. A seqüência de termo geral an = (−1)n é não monótona, isto pelo fato não ser crescente nem decrescente. Note que seus termos são alternados, positivos e negativos; por essa razão recebe o nome de seqüência alternada. Exemplo 4.9. Mostre que a seqüência de termo geral an =

n é crescente. n+1

Demonstração. Tem-se que an =

n n+1 e an+1 = , logo n+1 n+2 n+1 n+1 n2 + 2n + 1 an+1 = · = > 1 ∀ n ∈ N+ an n+2 n n2 + 2n

isso implica que, an < an+1

∀ n ∈ N+ .

116

Cálculo Vetorial e Séries Para descobrir se uma determinada seqüência em monótona, um recurso é a investigação do

sinal da derivada da função extensão. Para o Exemplo (4.9) podemos considerar a função extensão a R de an . Por exemplo, para x 1 todo número real x ≥ 1, seja f (x) = ⇒ f 0 (x) = . x+1 (x + 1)2 Sendo esta derivada positiva, implica que a função f (x) é crescente para todo x ≥ 1; isto é f (x) ≤ f (x + 1).

Logo em particular {an }n∈N+ é crescente para todo n ∈ N+ .

Exemplo 4.10. Determine se a seqüência Solução.

n

1 o é crescente ou decrescente. n2 + 1 n∈N+

2x 1 ⇒ f 0 (x) = − 2 < 0, n2 + 1 x +2 que f (x) é decrescente para todo x > 0. n 1 o Portanto, a seqüência é decrescente. n2 + 1 n∈N+ Considere a função f (x) =

∀ x > 0, isto quer indicar

Esta técnica embora eficiente, não podemos aplicar a todas as seqüências como mostra o

seguinte exemplo. Exemplo 4.11. Mostre que a seqüência de termo geral an =

n! é decrescente. (2n − 1)!

Demonstração. x! , isto pelo fato que (2x − 1)! o fatorial somente é definido para números inteiros não negativos. Por outro lado Observe que aqui não podemos definir a função extensão f (x) =

an+1 (n + 1)! (2n − 1)! n+1 = · = <1 an (2n + 1)! n! 2n + 1

n ∈ N+

de onde resulta que an+1 < an , ∀ n ∈ N+ . o n n! é decrescente. Portanto, a seqüência (2n − 1)! n∈N+ Exemplo 4.12. A seqüência cujo termo geral é: an = 1 + 1 +

1 1 1 1 + + + ··· + 2! 3! 4! n!

é crescente. Ela também é limitada, pois como n! ≥ 2n−1 2 ≤ an ≤ 1 + 1 +

∀n ∈ N+

1 1 1 1 + 2 + 3 + · · · + n−1 < 3 2 2 2 2


4.2.2

117

Subseqüências.

Consideremos o subconjunto infinito N0 = {n1 < n2 < · · · < nk < · · · } de N+ lembre que,

se existe alguma função f : N+ −→ R, também existem funções g : N0 −→ R, chamadas “função

restrição de f ” e denotadas f |N0 = g.

Em princípio poderíamos denominar seqüência qualquer função a : N 0 −→ R. A esta restrição

daremos o nome de subseqüência ou subsucessão. Definição 4.8. Subseqüência.

Dada uma seqüência a : N+ −→ R de números reais, as restrições de a a subconjuntos

infinitos de N+ serão denominadas subseqüências de {an }n∈N+ .

Representando a seqüência pelo conjunto ordenado {an }n∈N+ podemos dizer que suas subse-

qüências são da forma {ank }nk ∈N0 , sendo N0 um subconjunto infinito de N+ .

Lembre que N0 ⊂ N+ é subconjunto infinito se, e somente se, é ilimitado; isto é, para todo

n0 ∈ N+ existe nk ∈ N0 com nk > n0 .

Naturalmente, uma toda seqüência é subseqüência dela própria.

Exemplo 4.13. • Tem-se que

n 1 o n1o é subseqüência de . 2n n∈N+ n n∈N+

• Tem-se que {3n}n∈N+ é subseqüência de {n}n∈N+ . n n o n 2n o é subseqüência de . • Tem-se que 2n + 1 n∈N+ n + 1 n∈N+ Observação 4.2. n 1 o n1o Observe que podemos escrever na forma , onde N0 = 2N+ . 2n n∈N+ m m∈N0 n1o n 1 o seja subseqüência de . Isso justifica que 2n n∈N+ n n∈N+ Exemplo 4.14. n n2 + 1 o Demonstre que a seqüência é limitada. n2 + 2 n∈N+ Demonstração. x2 + 1 , calculando a primeira Considere a função de variável real definida por: f (x) = 2 x +2 2x derivada respeito de x tem-se que f 0 (x) = 2 > 0, ∀ x ≥ 1. (x + 2)2 n n2 + 1 o Logo a seqüência é crescente. n2 + 2 n∈N+ n2 + 1 1 2 5 10 Podemos escrever an = 2 = 1− 2 . Observe que a1 = , a2 = , a3 = , ··· n +2 n +2 3 6 11 quando n cresce indefinidamente para +∞, tem-se que an decresce para o valor 1. 2 Portanto, 1 ≤ an ≤ , ∀ n ∈ N+ . 3 Dentre as subseqüências de uma seqüência dada {an }n∈N+ , destacamos duas particularmente

importantes: a subseqüência par {a2k }k∈N+ e a subseqüência ímpar {a2k−1 }k∈N+ .

Toda subseqüência de uma seqüência limitada é limitada (respectivamente limitada superior

ou inferiormente)

118


Propriedade 4.1. Toda seqüência monótona é limitada se ela possui uma subseqüência limitada. Demonstração. Seja, por exemplo, an1 ≤ an2 ≤ · · · ≤ ank ≤ · · · ≤ N uma subseqüência limitada, da seqüência

não-decrescente {an }n∈N+ . Então, para qualquer n ∈ N+ , existe um nk > n e, portanto, an ≤ a nk ≤ N .

Logo an ≤ N para todo n ∈ N+ ; isto é {an }n∈N+ é limitada.

Exemplo 4.15. Seja a seqüência de termo geral an =

1 é monótona e limitada, 0 ≤ an ≤ 1. n!

Em virtude da Propriedade (4.1), ela possui uma subseqüência limitada {a2n }n∈N+ , observe 1 , também é limitada e é uma subseqüência de {an }n∈N+ . que a2n = (2n)! Exemplo 4.16.

  1, n Seja a seqüência de termo geral an =  n,

se,

n-ímpar

se,

n-par

Tem-se que a seqüência {an }n∈N+ possui uma subseqüência limitada {a2n−1 }n∈N+ , observe

que |a2n−1 | ≤ 1, porém a Propriedade (4.1) não se aplica. Pois, {an }n∈N+ não é monótona.

119


Exercícios 4-1 1. Obter a razão da P.A. em que o primeiro termo é −8 e a vigésimo termo é 30. 2. Obter o primeiro termo da PA de razão 4 cujo 230 termo é 24 e a razão é 2? 3. Qual é o primeiro termo negativo da PA ( 60, 53, 46, · · · ) 4. Quantos números inteiros positivos formados por 3 algarismos são múltiplos de 13. 5. Um atleta corre sempre 400 metros a mais que no dia anterior. Ao final de 11 dias ele percorre um total de 35200 metros. Quantos metros ele correu no último dia. 6. Qual a quantidade de meios aritméticos que se devem interpolar entre −m e 20m, a fim de se obter uma PA de razão 7?

7. Qual é a soma dos números inteiros de 1 a 350? 7 3 8. Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. :( , 1, , · · · ) , a partir do 5 5 primeiro termo, para que a soma seja negativa? 9. Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes correspondente a cada hora, baterá , de zero às 12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x. 10. Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na qual a soma do terceiro termo com o sétimo é igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono é igual a 60. 11. Escreva uma P.A. de três termos, sabendo que a soma desses termos vale 12 e que a soma de seus quadrados vale 80. 12. Um operador de máquina chegou 30 minutos atrasado no seu posto de trabalho, mas como a máquina que ele monitora é automática, começou a trabalhar na hora programada. a) Sabendo-se que a máquina produz 10n peças por minuto, em que n é o números de minutos, quantas peças a máquina produziu até a chegada do operador? b) Sabendo-se que depois de 1 hora, a máquina produz a mesma quantidade de peças, quantas peças terá feito a máquina ao final do expediente de 4 horas? 13. Dar exemplo de uma seqüência não constante, para ilustrar cada situação abaixo indicada: 1. limitada e crescente.

2. limitada e decrescente.

3. limitada e não monótona

4. não limitada e não decrescente.

5. não limitada e não monótona. 14. Determine os quatro primeiros termos das seqüências indicadas: n 1 o √ √ 2. { n + 1 − n}n∈N+ 3. {(−1)n n}n∈N+ 1. + 2n − 1 n∈N n e verifique quantos pontos da 15. Esboce o gráfico da seqüência de termo geral an = n+1 forma (n, an ) estão fora da faixa horizontal determinada pelas retas 5y = 4 e 5y = 6.

120


16. Escreva a forma mais simples para o termo n-ésimo de cada uma das seguintes seqüências. Determine se ela é limitada. 17. 1 1 1 , , , ··· 2 3 4 4. 0, 2, 0, 2, 0, 2, · · · 4 3 7. 2, 1, , 1, , 1, · · · 2 3

1 1 1 1 , , , , ··· 2 4 8 16 5. 1, 9, 25, 49, 81, · · · 3 2 5 4 8. 0, , − , , − , · · · 2 3 4 5

1. 1,

3. 1, 0, 1, 0, 1, · · ·

2.

6. 0, 3, 2, 5, 4, · · · 3 5 9. 1, , 2, , 3 · · · 2 2

18. Expresse pelo seu termo geral cada seqüência dada. 1 2 3 4 , , , , ··· 2 3 4 5 Ln2 Ln3 Ln4 3. 0, , , , , ··· 2 3 4 1 2 3 5. 0, 2 , 2 , 2 , · · · 2 3 4

3 7 15 31 , 2, , 2, , 2, , ··· 2 4 8 16 2 3 4 4. 1, 2 , 2 , 2 , ··· 2 2 2 − 1 3 − 2 4 − 32 sen2o sen3o 6. sen1o , , , ··· 2 3 2. 2, 1, 2,

1. 1,

19. Dê um exemplo de uma seqüência limitada e não monótona que possui uma subseqüência crescente. 20. Classifique as seqüências do Exercício 1-1 (??) quanto à limitação e monotonia, e selecione de cada uma delas uma subseqüência monótona. Qual de aquelas seqüências possui uma subseqüência constante?. 21. Determine o sup . e o inf . das seguintes seqüências. 1. 4.

n

n

− n2 + n 1−

1o

n

o

2.

n∈N+

n 2n o n!

n∈N+

5. {Lnn}n∈N+

n∈N+

n

2 o 3n − 4 n∈N+ n 3n2 o 6. n2 + n n∈N+

3.

7. {(−2)n }n∈N+

22. Dê um exemplo de uma seqüência {an }n∈N+ não constante, crescente e limitada superiormente.

23. Dê exemplo de uma seqüência {an }n∈N+ cuja distância entre quaisquer de seus termos consecutivos seja sempre 4.

24. Determine para cada caso, se a seqüência dada é crescente, decrescente ou não monótona: 1.

n (2n − 1)! o

2n · n! n∈N+ n 2n o 4. 1 + 2n n∈N+ n nn o 7. n! n∈N+

5n o 1 + 52n n∈N+ n n! o 5. 3n n∈N+ n o n! 8. (2n − 1)! n∈N+

2.

n

o 5n (30 − k0 ) + 52n n∈N+ n o 1 6. n + sen(n2 ) n∈N+ n o n! 9. 1.3.5...(2n − 1) n∈N+ 3.

n

121


4.3

LIMITE DE SEQÜENCIA

4.3.1

Limite de uma seqüência.

O conceito de limite de uma seqüência, está estreitamente ligado a os conceitos de limites ao infinito estudados numa primeira disciplina de Cálculo 3 . Consideremos a restrição de uma função de R em R restrita ao conjunto de partida N+ ; logo temos a seguinte definição de limite ao infinito. Definição 4.9. Limite ao infinito. Seja f : R −→ R , uma função e L ∈ R, diz-se que L é o limite de f (x) quando x tende para

+∞ e escreve-se lim f (x) = L se e somente se dado ε > 0, existe N > 0 tal que | f (x)−L |< ε x→+∞

sempre que x > N .

Definição 4.10. Limite de uma seqüência. Seja {an }n∈N+ uma seqüência de números reais, dizemos que o número real L é o limite de

{an }n∈N+ , ou que a seqüência {an }n∈N+ converge para L, quando para todo número real ε > 0, for possível obter n0 ∈ N+ tal que |an − L| < ε, sempre que n > n0 . Em linguagem simbólica temos: lim an = L

n→+∞

⇔

∀ ε > 0,

∃ n 0 ∈ N+ ;

n > n0

⇒

|an − L| < ε

Outra notação para indicar que uma seqüência {an }n∈N+ converge para L é: an → L;

n → +∞

Se {an }n∈N+ é uma seqüência de números reais, então as seguintes expressões: 1.

{an }n∈N+ é convergente para L em R.

2.

{an }n∈N+ converge a L em R.

3.

{an }n∈N+ tem um limite L em R.

4.

{an }n∈N+ tende a um limite L em R.

5. O limite de {an }n∈N+ existe em R, é o valor L. são equivalentes; sempre que an → L ∈ R, quando n → +∞.

É importante ressaltar que em nossa definição de “seqüência convergente” o valor L depende

não somente de {an }n∈N+ ; também depende do espaço (conjunto) em que estamos trabalhando. Exemplo 4.17. Utilizar a definição de limite de uma seqüência, para demonstrar que limite 3

1 . 2

"Cálculo Diferencial em R do mesmo autor.2008.

n

n o tem o 2n + 1 n∈N+

122


Demonstração. Devemos mostrar que para qualquer ε > 0, existe um número n0 > 0 tal que: n 1 2n + 1 − 2 < ε

para todo

n > n0

n 1 2n − (2n + 1) −1 1 Com efeito, − = = = 2n + 1 2 2(2n + 1) 4n + 2 4n + 2 Logo, devemos determinar um número n0 > 0 tal que: 1 <ε 4n + 2

para todo

n > n0

1 1 − 2ε 1 < ε é equivalente a 2n + 1 > ⇒ n> . 4n + 2 2ε 4ε n o 1 1 − 2ε n tem o limite . Portanto, se n0 = , a definição é válida; e + 4ε 2n + 1 n∈N 2

Tem-se que

Exemplo 4.18.

Mostre que a seqüência {n}n∈N+ não é convergente. Demonstração. Suponhamos que a seqüência {n}n∈N+ seja convergente para algum L ∈ R. Dado ε =

existe n0 ∈ N+ tal que |an − L| = |n − L| < ε sempre que n > n0 . 1 1 1 1 Como |an − L| < , |an+1 − L| < , logo |n − L| < , |n + 1 − L| < . 3 3 3 3 Sendo n < n + 1, deduzimos que: 1 = |(n + 1) − n| ≤ |n + 1 − L| + |n − L| <

1 >0 3

1 1 2 + = 3 3 3

2 , isto é contradição ! 3 Portanto, supor que {n}n∈N+ converge é falso!

então 1 <

Observação 4.3. Para o Exemplo (4.11), a seqüência cujo termo geral é: an = 1 + 1 +

1 1 1 1 + + + ··· + 2! 2! 4! n!

provamos que é limitada e crescente. Escrevemos e = lim an n→∞

O número e é uma das constantes mais importantes em diversos ramos do estudo da matemática, como observamos 2 < e < 3; na verdade e = 2, 7182 · · · . Exemplo 4.19. Mostre que a seqüência cujo termo geral é : que −1 < r < 1 converge para zero. Demonstração.

an = rn onde r ∈ R é um número fixado tal

123

Christian José Quintana Pinedo Se r = 0

⇒

an = 0,

∀ n ∈ N+ , logo an → 0 quando n → +∞.

Suponhamos que r 6= 0. Dado ε > 0, como 0 < |r| < 1, então Ln|r| é bem definido, além

disso como a função logaritmo é crescente, e Ln|r| < 0: |rn − 0| = |r n | < ε

⇔

⇔

nLn|r| < Lnε

n>

Lnε Ln|r|

Lnε , e teremos que an → 0 quando Ln|r| n → +∞. Por exemplo, isso acontece quando ε = |r|k onde k ∈ N+ . É suficiente escolher qualquer número natural n0 =

Exemplo 4.20. 1o converge no conjunto de números reais negativos para 0; porém n n∈N+ não converge no conjunto dos números reais positivos. A seqüência:

n

−

Exemplo 4.21.

n n o converge para o número L = 1. n + 1 n∈N+

Mostre usando a definição, que a seqüência: Demonstração.

A mostrar que, dado qualquer ε > 0, existe um n0 ∈ N+ tal que |an − 1| < ε sempre que

n > n0 .

Com efeito, dado qualquer ε > 0 : |an − 1| = |

1 n − 1| = <ε n+1 n+1

Isto quer dizer que, dado qualquer ε > 0, existe n0 = n > n0

⇒

⇔

n>

1 − 1. ε

1−ε tal que ε

|an − 1| < ε.

Exemplo 4.22. Mostre que a seqüência de termo geral an = Demonstração.

3n converge. n + sen2n

Observa-se que seu limite deve ser 3, é suficiente dividir numerador e denominador por n e sen2n → 0. lembrar que n Observe que: |an − 3| =

3|sen2n| 3 3 3 ≤ ≤ ≤ |n + sen2n| |n + sen2n| n − |sen2n| n−1

as duas últimas desigualdades havendo sido obtidas graças às desigualdades |n + sen2n| ≥ n −

|sen2n| ≥ n − 1. Fazendo agora intervir o número ε, obtemos uma desigualdade imediata de

resolver em n:

|an − 3| ≤

3 <ε n−1

⇔

n>1+

3 ε

124

Cálculo Vetorial e Séries Isto quer dizer que, dado qualquer ε > 0, existe n0 = n > n0

⇒

Portanto, a seqüência de termo geral an =

3+ε tal que ε

|an − 3| < ε. 3n converge para 3. n + sen2n

Exemplo 4.23. Determine o limite das seguintes seqüências: a) b) c)

1 (−1)n−1 1 1 ; ··· 1; − ; ; − ; · · · ; 2 3 4 n 4 6 8 2n ; ; ; ;··· ; ··· 3 5 7 2n − 1 q p √ p √ √ 2; 2 2; 2 2 2 ; · · · 2;

Solução.

a) O termo geral da seqüência está dado por an = (−1)n−1

resulta lim

n

n→+∞

0.

(−1)n−1 , n

∀ n ∈ N+ ,

n > 1, logo se n par

1 (−1)n−1 −1 = 0; para o caso n ímpar lim = lim = n→+∞ n n→+∞ n→+∞ n n

= lim

(−1)n−1 =0 n→+∞ n

Portanto, lim

b) Observe que o termo geral da seqüência é: an = 2 n→+∞ 2 − lim

1 n

2n , calculando o limite temos: 2n − 1

2n =1 n→+∞ 2n − 1

= 1. Portanto lim

2n = n→+∞ 2n − 1 lim

c) Observe que: √ 1 a1 = 2 = 2 2 p √ 1 1 1 1 a2 = 2 2 = 2 2 2 4 = 2 2 + 4 q p √ 1 1 1 1 1 1 a3 = 2 2 2 = 2 2 2 4 2 8 = 2 2 + 4 + 8 .. .

an =

q p √ 1 1 1 1 1 1 2 2 2 · · · = 2 2 + 22 + 23 + 24 + 25 +··· 2n

1 1 1 1 1 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ··· n = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + 2 + 3 + 4 + 5 + · · · n−1 = 2(1 − n ). 2 2 2 2 2 2 2 2 1 (1 − n ) lim .f (x) 2 , aplicando propriedade seguinte lim K f (x) = K x→a , resulta Assim, an = 2 Porém

lim 2

n→+∞

(1− 21n )

=2

lim (1− 21n )

n→+∞

Portanto lim an = 2. n→+∞

x→a

1

= 2 = 2.

125

Christian José Quintana Pinedo Propriedade 4.2. Seja {an }n∈N+ uma seqüência, e L ∈ R, então as seguintes afirmações são equivalentes: 1. A seqüência {an }n∈N+ converge para L. 2. A seqüência {an − L}n∈N+ converge para zero. A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor.

4.3.2

Propriedades do limite de seqüência.

Da definição de limite para uma seqüência, é necessário compreender o seguinte: 1. O número real n0 da Definição (4.10) em geral depende do número ε. 2. A desigualdade |an − L| < ε implica L − ε < an < L + ε, então an ∈ (L − ε, L + ε), isto significa que fora do intervalo real (L − ε, L + ε) existe no máximo uma quantidade finita

de termos da seqüência.

Lembre a seguinte propriedade de números reais: Propriedade 4.3. i) Seja x ∈ R e x ≥ 0, se x < ε para todo ε > 0, então x = 0. ii) Quando | x |< ε,

∀ε>0

⇒

x = 0.

Demonstração. i) Como x ≥ 0, então x = 0 ou x > 0. A possibilidade x > 0 não pode acontecer, pois se x > 0

então do fato x < ε e como ε > 0 em particular podemos escolher ε = x de onde ε = x < x

o que é contraditório. Por tanto x = 0. ii) Exercício para o leitor.

Observação 4.4. a) Se os termos de uma dada seqüência permanecem, a partir de uma certa ordem, constante, então a seqüência é convergente e seu limite é esse valor constante. b) Existem seqüências (não limitadas) cujos termos crescem indefinidamente à medida que o índice n aumenta, neste caso dizemos que a seqüência tem limite infinito e denotamos lim an = ∞

n→+∞

c) Dizer que uma seqüência {an }n∈N+ diverge equivale a admitir que lim an = ∞ ou que não existe lim an . n→+∞

n→+∞

126


d) Ao invés de escrever lim an = L , simplesmente escreveremos lim an = L . n→∞

n→+∞

e) Ao invés de escrever uma seqüência na forma {an }n∈N+ , simplesmente escreveremos {an }, entendendo que o índice n percorre o conjunto N+ .

Propriedade 4.4. Unicidade do limite. Se lim an = L1 e n→∞

lim an = L2 então L1 = L2 ; isto é, quando exista o limite de uma

n→∞

seqüência, este limite é único. Demonstração. Seja ε > 0 qualquer número real; e suponha que lim an = L1 e lim an = L2 sendo L1 6= L2 . n→∞

Será suficiente mostrar que | L1 − L2 |< ε para todo ε > 0.

n→∞

Do fato lim an = L1 da definição de limite temos que, dado qualquer ε > 0, existe um n→∞ ε n1 > 0 tal que | an − L1 |< sempre que n > n1 ; de modo análogo dado lim an = L2 da n→∞ 2 ε definição de limite temos que, dado qualquer ε > 0, existe um n2 > 0 tal que | an − L2 |< 2 sempre que n > n2 . ε Considere n0 = max .{ n1 , n2 } e n > n0 então cumprem-se as desigualdades | an − L1 |< 2 ε e | an − L2 |< . 2 Das propriedades de números reais, temos que: | L1 − L2 |=| L1 − an + an − L2 |≤ ≤| an − L1 | + | an − L2 |<

ε ε + =ε 2 2

para n > n0

Assim mostramos que para todo ε > 0, sendo n > n0 verifica-se pela Propriedade (4.3) | L1 − L2 |< ε o que implica L1 = L2 . Exemplo 4.24. Demonstre que a seqüência Demonstração.

n

1 n o converge para . 3n − 1 3

Dado qualquer ε > 0, temos a encontrar um n0 > 0 tal que: n 1 3n − 1 − 3 < ε,

∀ n > n0

n 1 1 1 Com efeito, tem-se que − = < ε ⇔ 6n − 3 > 3n − 1 3 6n − 3 ε n 1 + 3ε 1 Considerando n0 = tem-se que para todo n > n0 , então − < ε. 6ε 3n − 1 3 n n o 1 Portanto, a seqüência converge a . 3n − 1 3 Exemplo 4.25. Mostre que a seqüência {(−1)n } não é convergente.

Demonstração.

127


Suponhamos que lim (−1)n = L e consideremos ε = 1, então existe n0 > 0 tal que para n→∞

todo n > n0 tem-se |(−1)n − L| < 1.

Suponha n1 seja par, logo tem-se que se n1 > n0

⇒

tal que n2 > n0 tem-se | − 1 − L| < 1.

Assim, resulta que | − 1 − 1| < | − 1 − L| + |1 − L| < 2 Portanto, a seqüência

{(−1)n }

Exemplo 4.26. Determine se a seqüência Solução. Tem-se que lim n · sen n→∞

n

é divergente.

n · sen

2 < 2 contradição !.

sen π sen π π = lim 1 n = π · lim π n . n→∞ n n→∞ n n

logo no limite: lim n · sen

n→∞

4.3.3

⇔

πo é convergente. n

Podemos considerar a mudança de variável m =

Portanto, a seqüência

|1 − L| < 1; para o caso n2 ímpar

n

π , assim quando n → ∞ tem-se que m → 0; n

sen π π senm = π · lim π n = π · lim = π. · 1 = π n→∞ m→0 m n n

n · sen

πo é convergente para π. n

Seqüência de Cauchy.

Definição 4.11. Seqüência de Cauchy. Uma seqüência {an } é dita de Cauchy, quando para todos os ε > 0 dado, existe n0 ∈ N+ tal

que |am − an | < ε sempre que m, n > n0 . Exemplo 4.27. Mostre que a seqüência Demonstração.

n1o n

é de Cauchy.

Com efeito, para todo ε > 0, tem-se que: 1 1 |am − an | = − m n

1o Se m = n, em (4.6) seque que |am − an | = 0 < ε,

(4.6)

∀ n o ∈ N+ .

1 1 1 − < . n m n 1 Como deve cumprir que |am − an | < ε ⇒ <ε ⇒ n 1 Logo como m > n > n0 , é suficiente considerar n0 = . ε

2o Se m > n, em (4.6) seque que |am − an | <

3o Se m < n, em (4.6) seque que |am − an | < Como deve cumprir que |am − an | < ε

1 1 1 − < . n m m 1 ⇒ <ε ⇒ m

n>

1 = n0 . ε

m>

1 = n0 . ε

128

Cálculo Vetorial e Séries 1 Logo como n > m > n0 , é suficiente considerar n0 = . ε n1o Portanto, a seqüência é de Cauchy. n

Propriedade 4.5.

Toda seqüência convergente é de Cauchy. Demonstração. Suponhamos que a seqüência {an } seja convergente para L.

Podemos adaptar a definição de convergência para afirmar que, dado ε > 0 existe um inteiro

n0 > 0 tal que: |an − L| <

ε 2

sempre que

(4.7)

n > n0

Tanto faz m ou n, desde que sejam maiores que n0 , podemos adaptar nossa definição de convergência para obter: |am − L| <

ε 2

sempre que

(4.8)

m > n0

Das desigualdades (4.7) e (4.8) seque que: |am − an | = |(am − L) − (an − L)| <

ε ε + +ε 2 2

sempre que

m, n > n0

Portanto, {an } é de Cauchy. A diferencia entre a definição de convergência e de seqüência de Cauchy, é que o limite está incluído explicitamente na primeira definição e não na segunda. Posteriormente estudaremos o caso de que se uma seqüência é de Cauchy, então ela é convergente. Isto permitira determinar se uma determinada seqüência converge ou não, sem ter que calcular seu limite.

4.3.4

Espaço métrico.

Definição 4.12. Espaço métrico. Um conjunto E cujos elementos chamaremos de pontos, dizemos que é um espaço métrico, se para cada dois pontos p, q ∈ E podemos associar um número real d(p, q) chamado distância de p a q, tal que: •

d(p, q) > 0, se p 6= q; e d(p, p) = 0.

•

d(p, q) = d(q, p).

•

d(p, r) ≤ d(p, q) + d(q, r) para todo r ∈ E.

Considerando d(p, q) = |p − q| em R, resulta que R é um espaço métrico. Definição 4.13. Espaço métrico completo. Um espaço métrico C dizemos que é completo se, nele toda seqüência de Cauchy converge.

129


O conjunto dos números racionais Q com a métrica d(p, q) = |p − q| não é completo. Observe

a seqüência:

1, 4; 1, 41; 1, 414; 1, 4142; 1, 41421; 1, 414213; 1, 4142135; 1, 41421356; · · · Esta seqüência é de Cauchy, converge para

√ 2∈ / Q.

Propriedade 4.6. Se f : R −→ R é contínua então:

lim f (x) = f ( lim x)

x→∞

x→∞

A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor. Exemplo 4.29. Determine se a seqüência de termo geral an = en é convergente. Solução. Como a função exponencial f (x) = ex é contínua em R ⊃ N+ , temos que lim f (n) = n→∞

lim en = exp( lim n) = f ( lim n) = ∞.

n→∞

n→∞

n→∞

Portanto, a seqüência {en } é divergente. Exemplo 4.30. Calcular o limite de an = Solução.

q

p √ n n n.

1 1 √ 1 1 Lnn n n = (n n ) n = n n2 = exp(Ln(n n2 )) = exp( 2 ), então aplicando n L’Hospital e a Propriedade (4.6) temos: q 1 Lnn n √ n lim n = lim exp( 2 ) = exp( lim ) = exp(0) = 1 n→∞ n→∞ 2n2 n→∞ n Propriedade 4.7. Da média aritmética. a1 + a 2 + a 3 + · · · + a n Seja a seqüência {an } que converge para L, então lim = L. n→∞ n Demonstração.

Como

an =

n

Como lim an = L n→∞

⇒

an = L + δn onde lim δn = 0. n→∞

Logo a soma expressamos na forma:

(L + δ1 ) + (L + δ2 ) + (L + δ3 ) + · · · + (L + δn ) a1 + a 2 + a 3 + · · · + a n = n n =L+ Sendo lim δn = 0 n→∞

⇒

δ1 + δ 2 + δ 3 + · · · + δ n n

|δn | < ε sempre que n > n0 , logo a soma δ1 + δ2 + δ3 + · · · + δp = k

(constante) para algum p ∈ N+ , e |δk | < ε,

∀ k > p.

Então |δp+1 + δp+2 + δp+3 + · · · + δn | < |δp+1 | + |δp+2 | + |δp+3 | + · · · + |δn | < (n − p)ε. k a1 + a 2 + a 3 + · · · + a n (n − p)ε − L ≤ lim + lim < ε. Logo, 0 ≤ lim n→∞ n→∞ n→∞ n n n a1 + a 2 + a 3 + · · · + a n = L, em virtude da Propriedade (4.3) ii). n→∞ n

Portanto, lim

130


Exemplo 4.31. 1 Calcular o lim √ n→∞ 16n2 + 3 Solução.

"r

3 + 4

r

4 + 5

r

5 + ··· + 6

r

n+2 n+3

#

Este limite podemos "r escrever # r narforma: r 3 4 5 n+2 1 + + + ··· + lim √ = n→∞ 4 5 6 n+3 16n2 + 3 "r # r r r n 1 3 4 5 n+2 = lim √ · lim . + + + ··· + n→∞ 4 5 6 n+3 16n2 + 3 n→∞ n r n+2 n 1 Sabe-se que lim √ e lim = 1, assim pela propriedade da média = n→∞ n→∞ 4 n+3 16n2 + 3 "r # r r r 1 3 4 5 n+2 = 1. aritmética tem-se: lim + + + ··· + n→∞ n 4 5 6 n+3 # "r r r r 1 1 3 4 5 n+2 = . Portanto, lim √ + + + ··· + 2 n→∞ 4 5 6 n + 3 4 16n + 3 Propriedade 4.8. Da média geométrica. Suponhamos {an } seja convergente, tal que lim an = L, então: n→∞

lim

n→∞

√ n a1 · a2 · a3 · · · an = L

Demonstração. Como lim an = L, tem-se aplicando a Propriedade (4.6) à função f (x) = Lnx x > 0 , que n→∞

Ln( lim an ) = LnL, de onde lim (Lnan ) = LnL. n→∞

n→∞

Seja un =

√ n a · a · a ···a 1 2 3 n

⇒

Lnun =

1 (Lna1 + Lna2 + Lna3 + · · · + Lnan ). n

Calculando o limite quando n → ∞ e aplicando a Propriedade (4.6) segue que: lim un = lim

n→∞

n→∞

√ n

a1 · a2 · a3 · · · an ⇒

⇒ 1 (Lna1 + Lna2 + Lna3 + · · · + Lnan ) = LnL. n→∞ n

Ln( lim un ) = lim n→∞

Sendo a função exponencial g(x) = exp(x), tem-se: exp(Ln( lim un )) = exp(LnL) n→∞

Portanto, lim

n→∞

Exemplo 4.32. Calcular lim Solução.

n→∞

√ n

r n

⇒

a1 · a2 · a3 · · · an = L.

3 5 7 2n + 1 · · ··· 5 8 11 3n + 2

x ∈ R contínua e inversa da função logaritmo,

lim un = L.

n→∞

131

Christian José Quintana Pinedo 2n + 1 5 7 2n + 1 2 3 de onde lim = . Observe que a1 = , a2 = , a3 = , · · · , an = n→∞ 3n + 2 5 8 11 3n + 2 3 Logo pela propriedade da média geométrica segue que: lim

n→∞

r n

2n + 1 2 3 5 7 · · ··· = 5 8 11 3n + 2 3

Propriedade 4.9. Se uma seqüência {an } converge para um limite L, e se M < L < N , então, a partir de um

certo índice n tem-se que M < an < N . Demonstração.

Dado qualquer ε > 0, existe n0 ∈ N+ tal que a partir desse índice L − ε < an < L + ε.

Assim, podemos reescrever ε como o menor dos números L − A e B − L, para obter L − ε >

L − (L − A) = A e L + ε < L + (B − L) = B sempre que n0 > n. De onde para n < n0 tem-se que A < an < B.

Definição 4.14. Seqüência contrativa. Uma seqüência an é dita contrativa se existe a constante c com, 0 < c < 1 tal que |an+2 −

an+1 | ≤ c|an+1 − an |

∀n ∈ N+ .

Exemplo 4.33. São seqüências contrativas: • •

n1o n

n (−1)n o n

Propriedade 4.10. Toda seqüência contrativa é limitada. Demonstração. Observe que |an+2 − an+1 | ≤ c|an+1 − an | ≤ c2 |an − an−1 | ≤ · · · ≤ cn |a2 − a1 | ∀n ∈ N+ .

Seja sn = (an − an−1 ) + (an−1 − an−2 ) + · · · + (a3 − a2 ) + (a2 − a1 ), então sn = an − a1 .

Logo, |an − a1 | = |sn | ≤ |an − an−1 | + |an−1 − an−2 | + · · · + |a3 − a2 | + |a2 − a1 | ≤ [cn−1 +

cn−2 + · · · c2 + c + 1]|a2 − a1 |. Como 0 < c < 1

1 |a2 − a1 | 1−c

⇒

0 < 1 − cn < 1,

M = a1 −

∀ n ∈ N+ , assim |an − a1 | ≤

|a2 − a1 | |a2 − a1 | ≤ an ≤ a1 + =N 1−c 1−c

1 − cn |a2 − a1 | < 1−c

Considere o max .{|M |, |N |} = P e teremos que existe P ∈ R tal que |an | ≤ P, Portanto, toda seqüência contrativa é limitada.

Propriedade 4.11. Critério de Stolz - Cesaro.

∀n ∈ N+ .

132

Cálculo Vetorial e Séries Sejam {an } e {bn } duas seqüências tais que: lim bn = +∞ e {bn } monótona. Então: n→∞

lim

n→∞

an+1 − an an = lim =λ∈R n→∞ bn+1 − bn bn

A demonstração é exercício para o leitor. Exemplo 4.34. Determine se a seqüência de termo geral cn = Solução.

Ln(n!) converge. Ln(nn )

Suponhamos as seqüências de termo geral an = Ln(n!) e bn = Ln(nn ), como {bn} é monótona

crescente, segue que:

Ln(n + 1)! − Ln(n!) Ln(n + 1) Ln(n!) = lim = lim = n n+1 n n→∞ Ln(n ) n→∞ Ln(n + 1) − Ln(n ) n→∞ (n + 1)Ln(n + 1) − nLnn lim

1 + 1) Ln(n + 1) n Ln(n 1 n+1 n+1 = lim n→∞ nLn + Ln(n + 1) n→∞ Ln n + n Ln(n + 1) n √ Lne 1 Ln n n + 1 √ = = =1 = lim n→∞ Ln 1 + 1 + Ln n n + 1 Ln1 + Lne 1 n

= lim

Conseqüentemente, lim cn = 1; portanto a seqüência {cn } converge. n→∞

133


Exercícios 4-2

1. Mostre que a seqüência {an }n∈N+ , onde a1 = 0,

an+1 =

e limitada.

3an + 1 4

∀ n ∈ N+ é crescente

2. Quais das seguintes seqüências são monótonas. Quais são limitadas ? n1o n2 n∈N+ n 1 o 5. m2 m∈N+

1. {n2 }n∈N+ 4.

nn + 1o n

2.

n∈N+

3. Mostre que a seqüência de termo geral :

3.

n 1 o √ n n∈N+

6. {2n }n∈N+

an =

seqüência de números naturais.

√ n 1+ 5 2

n k o k + 1 k∈N+ n r o 8 r2 + 1 r∈N+

7.

√ n − 1−2 5 √ 5

∀ n ∈ N é uma

1 1 1 4. Considere as seqüências an : 1, , , , · · · e bn : 5, 3; 5, 33; 5, 333; · · · . 2 3 4 1. Os termos de {an } aproximam-se de 0, e os de {bn } de 5, 3334. Em qual dos casos a aproximação é mais rapidamente?

1 ? E, quantos 2. Quantos elementos de {an } estão fora do intervalo de centro 0 e raio 10 1 ? elementos de {bn } estão fora do intervalo de centro 5, 3334 e raio 10 3. Com a informação da parte 2., você tem algum argumento que permita decidir em quais dos casos a aproximação é mais rapidamente? 5. Pense na seqüência 1, 0, 1, 0, 1, · · · obviamente é limitada. Mostre que não existe nenhum número real que seja limite dessa seqüência.

6. Você deve ter estudado seqüências limitadas que não possuem l,imite. Pense na propriedade recíproca. Existem seqüências com limite que não sejam limitadas? 7. Mostre que, se lim an = L e lim an = M então L = M . n→∞

n→+∞

8. Construa uma seqüência que tenha subseqüências convergindo, cada uma para cada um dos números inteiros positivos. 9. Construa uma seqüência que tenha uma subseqüência convergindo para −3 e outra convergindo para 8.

10. Se lim an = L então lim |an | = |L|. Dar um contra-exemplo mostrando que a recíproca n→∞

n→∞

é falsa, salvo quando a = 0.

n1o converge para zero. n2 nn + 1o 12. Demonstre que a seqüência converge para 1. n

11. Demonstre que a seqüência

134


13. Para os seguintes exercícios, escreva os quatro primeiros termos da seqüência e determine se ela é convergente ou divergente. Caso seja convergente, achar seu limite: 1. 4. 7. 10. 13.

n n+1 o 2n − 1 n en o n n n nπ o sen n+1 2 n o 1 √ 2 n +1 o n 1 √ n2 + 1 − 1 1 no ) (1 + 3n n o r1/n e r > 0

n

16. 17.

2. 5. 8. 11. 14.

n n2 + 1 o

3.

senhn

6.

n

n

o

n senhn o

senn n (−1)n+1 (n + 1) o 2n

n√

n+2−

√

n+1

o

n 3 − 2n2 o

n2 − 1 n 2n2 + 1 o

3n2 − n o 1 √ 9. n2 + 1 − n n Lnn o 12. n2 n 1o 15. n n n

Sugestão: use lim (1 + x)1/x = e. x→0

Sugestão: considere os dois casos: r ≤ 1 e r > 1.

14. Uma seqüência é tal que: a1 = 0, 9, a2 = 0, 99, a3 = 0, 999, · · · , an = 0, 999999 · · ·. | {z } Determine o lim an . n-vezes . n→∞

15. No Exercício anterior, qual o valor de n para que, o valor absoluto da diferença entre a n e seu limite não seja maior do que 0, 0001? 16. Calcular se existem os seguintes limites: 1. 4. 7. 10.

n3 − 100n2 + 1 lim n→∞ 100n2 + 15n n lim n→∞ n − 1 (n + 1)4 − (n − 1)4 lim n→∞ (n + 1)4 + (n − 1)4 √ 5 n3 + 2n − 1 lim n→∞ n+2

2. 5. 8. 11.

√ n 2−1 lim √ n n→∞ 2+1 (2n + 1)2 lim n→∞ 2n2 (n + 1)2 lim n→∞ 2n2 n3 +n n→∞ n2 + 1 lim

3. 6. 9. 12.

2n − 1 n→∞ 2n + 1 n+1 lim n→∞ n n2 − 1 lim n→∞ 2n2 + 1 lim

n2 + 5 n→∞ n2 − 3 lim

17. Verificar o valor dos seguintes limites: 1. 3.

5. .7 9.

1 4n3 + 2n2 − 5 =− n→+∞ n + 2 − 8n3 2 3n2 − 2 n2 − 4n 3 lim + = n→+∞ 2n + 1 n−3 2 s 8n − 4 √ √ lim 3 = −2 n→+∞ (3 − n)( n + 2) p 5 lim [ n2 − 5n + 6 − 2] = − x→+∞ 2 q √ lim [ n 2n − 5n + 6 − n] = −∞ lim

n→+∞

2. 4.

6. 8. 10.

5n3 − n2 + n − 1 =0 n→−∞ n4 − n3 − 2n + 1 2n + 3 √ =2 lim n→+∞ n + 3 n q p √ n+ n+ n+3 √ lim =1 n→+∞ n+3 p lim [ n2 − 2n + 4 + n] = 1 n→−∞ √ n2 + 1 + n)2 lim ( √ =2 3 n→∞ n6 + 1 lim

135


18. Nos seguintes exercícios, use a Definição (4.10) para provar que a seqüência dada tem o limite L. n

4 o ; 2n − 1 n 8n o ; 4. 2n + 3 n 5k n o 0 ; 7. 2n + 3

1.

n 1 o 3 o √ ; ; L=0 3. L=0 n−1 n n 5−n o n 2n2 o 1 2 5. ; L=− ; L= . 6. 2 2 + 3n 3 5n + 1 5 n 3(30 − k ) o 0 ; L=0 . 8. 2n − 1

L=0 L=4 L=

5k0 2

19. Mostre que as seqüências n2 o é convergente. n+4

n

2.

n n2 o n n2 o n n2 e divergem; porém, a seqüência − n−3 n+4 n−3

20. Calcule o 4to elemento das seqüências

n log

k0

n2 o

n ou divergem. Caso convergir ache o seu limite.

√ e { k0 n n} e determine se elas convergem

21. Determine quais das seguintes seqüências são convergentes. Caso seja convergente, calcular seu limite. n2 + 1 o 1. n2 − 2n + 3 n 3n + n 4 o 4. 4n − n 5 √ 7. { n n}

n√ 3 n + 4o √ 3. n−1

n

o n 2. Ln(n + 1) n 5 + Lnn o 5. n2 + n p n 8. { n2 + n}

n

22. Determine o limite da seqüência:

√

2,

p

√ 2 + 2,

q

2+

6. {e−n · senn}

p

2+

√ 2, · · ·

23. Determine o limites das seguintes seqüências, sendo seu termo geral: 1 3n+1 1. an = 1 + 3n − 1 1 6n 4. an = 1 + n+1 2 n 7. an = 1 + n

2. an = 1 + 5. an = 1 + 8. an = 1 +

24. Determine se a seqüência de termo geral, an =

25. Estude a convergência da seqüência

26. Determine o valor do limite: lim

n→∞

n

s n

1 n n+4 1 n 2 n2 3 n n

1 2 3. an = 1 + 2n 1 n! 6. an = 1 + n!

(2n + 5)2n+5 nn−3 é convergente. (4n + 1)n+2 (n + 3)2n

√ 1 3n + 1(n + 7)n+ 2 o √ (3n + n2 + 5)(n + 3)n

Ln4n n· Ln10n

n

3 8 13 5n − 2 · · ··· . 2 5 8 3n − 1

136


27. Determine se a seqüência de termo geral an é convergente, onde: 2 3 n 1 1 1 1 an = 2 +3 +4 + · · · + (n + 1) 4 4 4 4 28. Estudar a convergência da seqüência de termo geral: an = 2n · n! = 0. n→∞ nn

n k3 − 1 Q . 3 k=2 k + 1

29. Mostre que lim

2an−1 + 3 para n ≥ 2. Mostre que a seqüência {an } converge. 4 an−2 + an−1 31. Sejam a1 = 1, a2 = 2, · · · , an = para n ≥ 3. Mostre que a seqüência {an } 2 converge.

30. Sejam a1 = 1, an =

32. Determine se a seqüência de termo geral, an =

12 + 32 + 52 + · · · + (2n − 1)2 converge. 12 + 2 2 + 3 2 + · · · + n 2

137


4.4 4.4.1

SEQÜÊNCIAS CONVERGENTES Propriedades Fundamentais.

Propriedade 4.12. Toda seqüência monótona convergente, é necessáriamente limitada. Demonstração. Seja {an } uma seqüência convergente com limite L.

De acordo com a definição de limite, para qualquer ε > 0, em particular para ε = 1, existe n0 a partir do qual se tem |an − L| < 1.

Usando a desigualdade triangular podemos assegurar que: |an | = |an − L + L| ≤ |an − L| + |L| < 1 + |L|

∀ n ≥ n0

(4.9)

Os únicos termos da seqüência que possívelmente não atendem esta condição (4.9) são: a1 , a2 , a3 , · · · , an0 −1 .

Considerando o número real c como o maior entre os números 1+|L|, |a 1 |, |a2 |, |a3 |, · · · , |an0 −1 |

teremos |an | ≤ C

∀ n > n0

Observe que a recíproca desta propriedade nem sempre é verdadeira; por exemplo a seqüência {(−1)n } ela é limitada, porém não é convergente. Exemplo 4.35. Mostre que a seqüência Demonstração.

√

2,

p √ q p √ 2 2, 2 2 2, · · · é limitada.

Pelo Exemplo (4.23) sabe-se que esta seqüência é convergente. √ √ √ √ Seja a1 = 2, a2 = 2a1 , a3 = 2a2 , · · · , an = 2an−1 .

Mostrarei que ela crescente, logo limitada.

Afirmo : Para todo n ∈ N+ tem-se an ≤ an+1 . p √ √ √ Com efeito, se n = 1 segue que a1 = 2 < 2 além disso a1 = 2 < 2 2 = a2 . Suponhamos para n = h que ah ≤ ah+1 e além disso que ah < 2.

Para n = h + 1 tem-se:

√ O termo geral é da forma ah+1 = 2ah , aplicando a hipótese de indução seque (ah+1 )2 = √ 2ah ≤ 2ah+1 , logo ah+1 ≤ 2ah+1 = ah+2 . √ √ = 2, pois 2a ≤ 4 pela hipótese indutiva. Por outro lado, ah+1 = 2ah ≤ 4q p √ √ p √ Portanto, a seqüência 2, 2 2, 2 2 2, · · · é limitada. Propriedade 4.13.

Se f : [β, +∞) −→ R é uma função tal que lim f (x) = L, então a seqüência de termo geral

an = f (n),

x→∞

n > β, é convergente e seu limite é igual a L.

Se lim f (x) = ±∞ então a seqüência é divergente. x→∞

138


Demonstração. Pela definição de limite no infinito para funções reais definidas em intervalos, segue que para cada ε > 0 , existe um número real N > 0, tal que |f (x) − L| < ε, Considerando que a seqüência de termo geral an = f (n),

∀ x ≥ N.

n > β é uma ‘´função restrição”

de f (x), escolhemos um índice n0 ≥ N e teremos |f (n) − L| < ε,

∀ n ≥ n0 .

A propriedade acima mencionada, resulta importante para o caso em que seja possível utilizala. O cálculo de limites torna-se relativamente simples, especialmente quando se usam técnicas de Cálculo, particularmente a Regra de L’Hospital. Propriedade 4.14. Se lim an = L, então toda subseqüência de {an }n∈N+ converge para o limite L. n→∞

Demonstração. Seja {an1 , an2 , · · · , ani , · · · } uma subseqüência de {an }n∈N+ . Dado ε > 0, existe n0 ∈ N+

tal que n > n0

⇒

|an − L| < ε.

Como os índices da subseqüência formam um subconjunto infinito, existe entre eles um n i0 > n0 . Então ni > ni0

⇒

⇒

ni > n0

Portanto, lim ani = L

|ani − L| < ε.

ni →∞

Propriedade 4.15. Uma seqüência {an } converge para L se, e somente se, as subseqüências {a2n } e {a2n−1 }

convergem para L.

A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor.

Uma seqüência divergente pode ter uma ou mais subseqüências convergentes, para limites distintos. Pode acontecer também que dada uma seqüência divergente, todas as suas subseqüências também sejam divergentes, como o caso da seqüência {n}.

Isso não contradiz o resultado da Propriedade (4.15), pois as duas subseqüências citadas na

propriedade, juntas contém todos os termos da seqüência original {a n }. Exemplo 4.36. A seqüência {(−1)n } é divergente, pois suas subseqüências par e ímpar convergem a valores

distintos.

De fato a2n = (−1)2n = 1, −1,

∀ n ∈ N+ converge para −1.

∀ n ∈ N+ converge para 1, enquanto a2n−1 = (−1)2n−1 =

Exemplo 4.37. A seqüência de termo geral an = e negativos, ela converge para zero.

(−1)n embora possua seus termos alternadamente positivos n

Isto pelo fatos das subseqüências a2n =

(−1)2n+−1 (−1)2n e an = convergem para zero. 2n 2n − 1

139


  n, se, n ímpar é divergente. A seqüência de termo geral an = 1  , se n par n De fato, a subseqüência ímpar tem como termo geral a2n−1 = 2n − 1, ∀ n ∈ N+ ela diverge; 1 e a seqüência par a2n = , ∀ n ∈ N+ , ela converge. 2n Exemplo 4.39.

  1 , se n par ou primo n . Consideremos a seqüência de termo geral an =  n, se, n ímpar ou não-primo Observe que esta seqüência {an } é divergente pelo fato não ser limitada.

Note que pelo menos possui duas subseqüências convergentes. Propriedade 4.16.

Sejam {an } e {bn } seqüências convergentes com limite L e M respectivamente, então: 1. A seqüência {C · an } converge para C · L. 2. A seqüência {|an |} converge para |L|. 3. A seqüência {an ± bn } converge para L ± M . 4. A seqüência {an · bn } converge para L · M . na o L n 5. A seqüência , sempre que M 6= 0 e bn 6= 0, converge para bn M

∀ n ∈ N+ .

Demonstração.

Seja ε > 0 dado. Pela definição de limite, existem índices n1 e n2 tais que: |an − L| < ε,

∀ n > n1

|bn − M | < ε,

∀ n > n2

(4.10) (4.11)

Considerando n0 = max .{n1 , n2 } de modo que (4.10) e (4.11) ocorram simultaneamente,

temos para n > n0 que:

1. Tem-se que |C · an − C · L| = |C||an − L| < |C|ε 2. Tem-se que ||an | − |L|| ≤ |an − L| < ε; 3. Tem-se que |(an ± bn ) − (L ± M )| ≤ (|an − L| ± |bn − M |) < ε + ε = 2ε; 4. Tem-se que |an · bn − L · M | ≤ (|an bn − bn L + bn L − L · M | ≤ (|bn ||an − L| + |L||bn − M |) ≤ (D + |L|)ε, onde D é uma constante positiva que limita a seqüência {bn };

5. Tem-se que: an − L = M · an − L · bn − LM + LM ≤ bn M M · bn ≤

|L| |L| 1 |an − L| + ε |bn − M | < C 1 + |bn | |M | |M |

140

Cálculo Vetorial e Séries Onde C é um número positivo tal que

1 ≤ C, |bn |

∀ n ≥ n0 (demonstre !).

Observação 4.5. De posse das propriedades apresentadas na Propriedade (4.16), fica mais prático o cálculo de limites. Não é mais necessário utilizar da função extensão f (x), a menos que se faça referência às propriedades analíticas como continuidade, derivabilidade, etc. Exemplo 4.40. n3 + 4 , procedemos aplicando a Propriedade (4.16) n→∞ 3n3 − 2n + 3 colocando em evidência o termo de maior grau, resultando: Por exemplo para calcular lim

n3 (1 + n43 ) 1 n3 + 4 = = lim n→∞ n3 (3 − 22 + 33 ) n→∞ 3n3 − 2n + 3 3 n n lim

1 = 0, p > 0. n→∞ np n3 + 4 1 Portanto, lim = n→∞ 3n3 − 2n + 3 3

lembre que lim

Observação 4.6. Mostra-se que, se {an } é uma seqüência convergente então: 1. Se α ≤ an ,

∀n ∈ N+ , então α ≤ lim an .

2. Se an ≤ β,

∀n ∈ N+ , então lim an ≤ β.

4.4.2

n→∞

n→∞

Critérios de Convergência.

Propriedade 4.17. Se uma seqüência {an } converge para zero, e {bn } é limitada, então a seqüência {an · bn }

converge para zero. Demonstração.

Seja ε > 0; como {an } converge para zero, para este ε, corresponde um n0 > 0 tal que

|an | < ε, sempre que n ≥ n0 .

Por outro lado, sendo {bn } uma seqüência limitada, existe uma constante N > 0 tal que

|bn | ≤ N,

∀ n ∈ N+ .

E certamente para qualquer n ≥ n0 teremos: |an · bn − 0| = |an · bn | = |an | · |bn | < ε N

Isto significa que lim an · bn = 0. n→∞

Portanto, a seqüência {an · bn } converge para zero.

141


Para a propriedade que acabamos de demonstrar, se exige que a seqüência {b n } seja somente

limitada, podendo ser convergente ou não; por essa razão não foi usada na demonstração a propriedade referente au produto de seqüências, a qual exige a existência dos limites das seqüências envolvidas. Exemplo 4.41. Determine se a seqüência de termo geral an = Solução.

sen(nπ + 2) é convergente. n2

Observe que an podemos escrever na forma an = bn · cn onde os termos gerais são: bn = 1 sen(nπ + 2) e cn = 2 . n Sabe-se que a seqüência {bn } é limitada, e a seqüência {cn } converge para zero. Portanto a seqüência de termo geral an converge para zero.

Uma propriedade importante dos números reais, é o fato que eles são completos. Intuitivamente, isto significa que a reta real não tem buracos; isto não ocorre com o conjunto dos números racionais, não satisfaz esta propriedade. Axioma 4.1. Axioma de completamento. Todo conjunto de números reais que tem uma cota superior tem uma mínima cota superior. Também, todo conjunto de números reais que tem uma cota inferior, tem uma máxima cota inferior. nn + 1o

é 1. n+2 O axioma de completamento, junto com as propriedades algébricas de números reais e o

Por exemplo, o supremo da seqüência

axioma da boa ordem, descrevem o conjunto dos números reais como um sistema completo. O “axioma do completamento”, será usado na demonstração da seguinte propriedade. Propriedade 4.18. Toda seqüência que é ao mesmo tempo limitada e monótona, é convergente. Se {an }n∈N+ é

crescente, então lim an = sup .{an }. n→∞

Demonstração. Suponhamos que a seqüência {an }n∈N+ seja monótona crescente e limitada, suponha que

L = sup .{an }.

Para todo ε > 0,

L − ε não é o limite superior, pois L − ε < L e L é o menor dos limites

superiores da seqüência.

Assim, para algum número natural n0 > 0, tem-se que: (4.12)

L − ε < a n0

r

r

a1

a2

r

···

r

···

r

r

L−ε

r

r

a n0

L

142

Cálculo Vetorial e Séries Do fato ser L o menor dos limites superiores da seqüência, então: ∀ n ∈ N+

an ≤ L,

(4.13)

Como a seqüência {an }n∈N+ é crescente, então: an ≤ an+1 ,

∀ n ∈ N+

⇒

a n0 ≤ a n

sempre que n ≥ n0

(4.14)

Das desigualdades (4.12), (4.13) e (4.14) tem-se: L − ε < a n0 ≤ a n ≤ L < L + ε Assim, L − ε < an < L + ε

sempre que n ≥ n0

|an − L| < ε sempre que n ≥ n0 .

⇔

Pela definição do limite, isto é equivalente a: lim an = sup .{an }. n→∞

Observação 4.7. • Na Propriedade (4.15), se a seqüência for monótona decrescente e limitada, mostra-se que: lim an = inf .{an }.

n→∞

• Se {an }n∈N+ é crescente e suponhamos que D seja limite superior desta seqüência, então {an }n∈N+ é convergente, e lim an ≤ D. n→∞

• Se {an }n∈N+ é decrescente e suponhamos que C seja limite inferior desta seqüência, então {an }n∈N+ é convergente, e lim an ≥ D. n→∞

Propriedade 4.19. Se lim an = L, então para todo k ∈ N+ , lim an+k = L. n→∞

n→∞

Demonstração. Com efeito, {a1+k , a2+k , · · · , an+k , · · · } é uma subseqüência de {an }n∈N+ . Exprime-se esta propriedade acima dizendo que o limite de uma seqüência não se altera quando dela se omite um número finito de termos. Pelas Propriedades (4.4) e (4.14) podemos concluir que: Para mostrar que uma seqüência {an }n∈N+ não converge: basta obter duas subseqüências

com limites diferentes.

Para determinar o limite de uma subseqüência {akn }kn ∈N+ que, a- priori, se sabe que con-

verge: basta determinar o limite de alguma subseqüência. Ele será o limite procurado. Exemplo 4.42. Consideremos a seqüência {an }, onde: a1 = 0, Então converge para 4.

an+1 =

2an + 4 3

para todo n ∈ N+

143


Com efeito, para todo n ∈ N+ tem-se que an ≤ an+1 . Observe, se n = 1 então a1 = 0 de 2a1 + 4 4 onde a2 − a1 = − a1 = ≥ 0. 3 3 Suponhamos que para n = h, cumpra que ah ≤ ah+1 . Então ah+2 − ah+1 = 2ah + 4 2 = (an+1 − ah ) ≥ 0. 3 3

2ah+1 + 4 − 3

Portanto, {an } é crescente.

Afirmo:

|an | ≤ 5.

Com efeito, |a1 | = 0 ≤ 5. Suponhamos que para n = h compre que |ah | ≤ 5. 2(5) + 4 14 2|ah | + 4 ≤ = ≤ 5. 3 3 3 Portanto a seqüência é crescente e limitada.

Para n = h + 1 segue que |ah+1 | ≤

Por último, suponhamos que lim an = L, então aplicando a Propriedade (4.19) L = n→∞

2an + 4 2L + 4 = . n→∞ 3 3

lim an+1 = lim

n→∞

De onde 3L = 2L + 4 Portanto, lim an = 4.

⇒

L = 4.

n→∞

Propriedade 4.20. Sejam: {an } uma seqüência; L ∈ R, e {bn } uma seqüência positiva de números reais tal que

lim bn = 0.

n→∞

Se |L − an | ≤ bn ,

∀ n ∈ N+ , então lim an = L. n→∞

Demonstração. Por hipótese {bn } converge para zero, pela Definição (4.10), para todo ε > 0, existe n 0 ∈ N+

tal que bn = |bn − 0| < ε sempre que n > n0 .

Para todo n > n0 tem-se que: |L − an | ≤ bn < ε.

De onde |an − L| < ε sempre que n > n0 .

Portanto, como ε é arbitrário segue-se que {an } converge para L. Exemplo 4.43. Determine se a seqüência Solução.

n n o converge. n+1

n (n + 1) − 1 1 1 1 = =1− , além disso sabe-se que < . n+1 n+1 n+1 n+1 n n1o 1 1 n é uma seqüência de números positivos tal que Logo, 1 − < , como = n + 1 n+1 n n

Observe que

1 n = 0, então aplicando a Propriedade (4.20) tem-se que: lim = 1. n→∞ n n+1 n n o converge. Portanto, a seqüência n+1

lim

n→∞

144


Propriedade 4.21. Critério de confronto.4 Sejam {an }, {bn } e {cn } três subseqüência tais que an ≤ bn ≤ cn

∀ n ∈ N+ , com {an } e

{cn } convergindo para o mesmo limite L. Então {bn } também converge para L. Demonstração.

Como lim an = lim an = L, então dado ε > 0, existe n0 > 0 a partir do qual tem-se: n→∞

n→∞

e

−ε < an − L < ε Como an ≤ bn ≤ cn

∀ n ∈ N+

(4.15) obtemos que −ε < bn − L < ε,

(4.15)

an − L < bn − L < cn − L, usando a desigualdade

⇒

Portanto, lim bn = L

− ε < cn − L < ε

∀ n ∈ N+ .

n→∞

Exemplo 4.44. Dada as seqüências de termos gerais an = sen2nπ, cn = (4.21) verificar que {bn } converge para zero.

1 1 e bn = 2 usando a Propriedade n n

Solução.

Tem-se que: 0 = sen2nπ ≤

1 1 ≤ , 2 n n

∀ n ∈ N+ , então: 1 1 ≤ lim =0 2 n→∞ n n→∞ n

0 = lim sen2nπ ≤ lim n→∞

1 = 0. n→∞ n2

Conseqüentemente, lim Exemplo 4.45.

Determine se a seqüência Solução. Sabe-se que 2n ≥ n,

n1o converge. 2n

∀ n ∈ N+ , então 1 1 1 ≤ , = − 0 n 2n 2n

∀ n ∈ N+

1 Em virtude da Propriedade (4.21) segue que lim n = 0. n→∞ 2 n1o converge. Portanto a seqüência 2n

Propriedade 4.22. Teste da razão para seqüência. Se una seqüência {an } de termos positivos satisfaz à condição lim

converge para zero. Demonstração.

n→∞

an+1 = L < 1, então ela an

an+1 an+1 < L, = L, então existe n0 > 0 tal que Seja 0 < L < 1, e suponhamos que lim n→∞ an an sempre que n0 > 0. 4

Teorema da seqüência intercalada ou Teorema do sanduíche.

145

Christian José Quintana Pinedo Seja p ∈ N+ maior do que n0 , então: |ap+2 | < L|ap+1 | < L2 |ap |

|ap+1 | < L|ap |; Em geral para qualquer k ∈ N+ tem-se: |ap+k | < Lk |ap | Como L ∈ (0, 1),

isto é − Lk |ap | < ap+k < Lk |ap |

lim Lk = 0.

k→∞

Portanto, pela Propriedade (4.19), segue que: lim ap+k = 0; isto é lim an = 0. n→∞

k→∞

Exemplo 4.46. Determine se a seqüência Solução. Tem-se

n 5n o n!

an+1 lim = lim n→∞ an n→∞

Logo a seqüência converge Exemplo 4.47. Determine se a seqüência Solução. Tem-se

é convergente.

5n+1 (n+1)! 5n n!

n 5n o n!

5 5n+1 n! = lim = 0 < 1. n n→∞ n + 1 n→∞ 5 (n + 1)!

= lim

para zero.

n 2n + n 4 o 3n − n 7

é convergente.

lim (2/3)n + lim n4 /3n 2n + n 4 (2/3)n + n4 /3n n→∞ n→∞ lim = lim = . 7 n n→∞ 3n − n7 n→∞ 1 − n /3 1 − lim n7 /3n n→∞

Aplicando o critério da razão separadamente a cada um dos limites, concluímos que a sen 2n + n 4 o converge para zero. qüência 3n − n 7 Propriedade 4.23. Desigualdade de Bernoulli

:

5

Quaisquer que sejam o número x ≥ −1 e o número inteiro n ≥ 1 vale a seguinte desigualdade

(1 + x)n ≥ 1 + nx.

Demonstração. Como x ≥ −1

0 ≤ (x + 1),!pela fórmula do binômio tem-se: ! n n n (1 + x)n = x0 (1)n + x1 (1)n−1 + x2 (1)n−2 + · · · 0 1 2 ! n ··· + x1 (1)n−1 + n−1 ! ! n n n 0 n Logo, (1 + x) ≥ x (1) + x1 (1)n−1 = 1 + nx. 0 1 Portanto, (1 + x)n ≥ 1 + nx sempre que x > −1. ⇒ !

Exemplo 4.48. 5

Jaques Jacob Bernoulli (1654 − 1705)

n n

!

x0 (1)n

146


(a) Mostre que se r > 1, então a seqüência {r n } é limitada inferiormente. (b) Mostre que se |r| > 1, a seqüência {r n } diverge. Demonstração. (a) Como 1 < r

r < r2 < r3

⇒

inferiormente por r.

⇒

r < rn < · · · ,

∀ r ∈ N+ , logo {r n } é limitada

Por outro lado, temos que r = 1 + d, e pela desigualdade de Bernoulli, seque que

rn =

(1 + d)n ≥ 1 + dn.

Assim, dado qualquer c ∈ R, podemos obter r n > c, desde que consideremos 1 + dn > c, isto c−1 . én> d Demonstração. (b) |r|n

Como |r| > 1 = (1 +

b)n

|r| = 1 + b para algum b > 0, pela desigualdade de Bernoulli tem-se que

⇒

≥ 1 + nb ∀ n ∈ N+ .

Dado qualquer número positivo L ∈ R, pelo axioma de Arquimedes existe p ∈ N + tal que 1 p ≥ (L − 1). b Considerando p = n e como 1 + nb ≥ L ⇒ 1 + (1 + n)b ≥ L de onde |r n+1 | = |r|n+1 ≥ 1 + (n + 1)b > L.

Conseqüentemente, não existe L ∈ R tal que L ≥ |r n |, Portanto, a seqüência {r n } diverge se, |r| > 1.

∀ n ∈ N+ .

Exemplo 4.49.

√ Mostre que se r > 0, então a seqüência { n r} converge para 1.

Demonstração.

Suponhamos bn =

√ n

r − 1; então bn > 0. √ √ Por outro lado, como n r = bn + 1 pela desigualdade de Bernoulli tem-se que r = ( n r)n = r−1 . (bn + 1)n ≥ 1 + nbn , de onde bn ≤ n r−1 Deste modo 0 < bn ≤ de onde pelo critério do confronto segue que bn → 0; isto é n √ n r→1.

4.4.3

Consequência da Propriedade (4.18).

Propriedade 4.24. Seja {an } uma seqüência crescente que converge para L. Então an ≤ L,

disso se ap ≤ α,

∀ n ∈ N+ então L ≤ α.

∀ n ∈ N+ , além

Demonstração. De fato, se p ∈ N+ então lim (an − ap ) = L − ap . n→∞

Como {an } é crescente então an −ap ≥ 0 se n ≥ p. Aplicando a primeira parte da Observação

(4.6) segue que ap ≤ L ∀ p ∈ N+ .

Se ap ≤ α ∀ p ∈ N+ , aplicando a segunda parte da Observação (4.6) segue que lim an =

L ≤ α.

n→∞

147

Christian José Quintana Pinedo Propriedade 4.25. Seja {bn } uma seqüência decrescente que converge para M . Então M ≤ bn ,

disso se β ≤ bp ,

∀ n ∈ N+ então β ≤ M .

∀ n ∈ N+ , além

Demonstração. De fato, se p ∈ N+ então lim (bn − bp ) = M − bp . n→∞

Como {bn } é decrescente então bn − bp ≤ 0 se n ≥ p. Aplicando a primeira parte da

Observação (4.6) segue que M ≤ bp M.

Se β ≤ bp

∀ p ∈ N+ .

∀p ∈ N+ , aplicando a segunda parte da Observação (4.6) segue que β ≤ lim bn = n→∞

Propriedade 4.26. i Para cada n ∈ N+ seja [an , bn ] um intervalo, suponhamos que: (4.16)

[a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ [a3 , b3 ] ⊃ · · · ⊃ [an , bn ] ⊇ · · · então existe c ∈ R tal que:

c ∈ [an , bn ]

∀ n ∈ N+

(4.17)

ii) Suponhamos que lim (bn − an ) = 0. Então existe um único c ∈ R que satisfaz (4.17). Além n→∞

disso, se λn ∈ [an , bn ]

Demonstração.

∀ n ∈ N+ , então {λn } converge para c.

i)

Das inclusões (4.16) deduzimos que a seqüência {an } é crescente, e a seqüência {bn } é de-

crescente. Como os termos desta seqüência estão contidos em [a1 , b1 ] logo elas são limitadas; pela Propriedade (4.18) concluímos que elas convergem. Selam L = lim an e M = lim bn . n→∞

n→∞

Pelas propriedades (4.25) e (4.26) temos que an ≤ L e M ≤ bn ,

(4.15) tem-se que ap ≤ bq ,

∀ n ∈ N+ . Da desigualdade

∀ p, q ∈ N+ de onde pela primeira parte da Observação (4.6)

concluímos que L ≤ bq . Sendo para todo p ∈ N+ , novamente usando a primeira parte da

Observação (4.6) concluímos que L ≤ M . Seja c ∈ R tal que L ≤ c ≤ M

⇒

c ∈ [an , bn ] ∀ n ∈ N+ .

Portanto, então existe c ∈ R tal que: c ∈ [an , bn ] ∀ n ∈ N+ .

Demonstração. ii) Seja c ∈ [an , bn ] ∀n ∈ N+ , então pela Observação (4.6) L ≤ c ≤ M . Como lim (bn −an ) = 0 n→∞

então:

L = lim an + lim (bn − an ) = n→∞

n→∞

= lim [an + (bn − an )] = lim bn = M n→∞

n→∞

Portanto, L = c = M ; se λn ∈ [an , bn ] ∀ n ∈ N+ , então an ≤ λn ≤ bn

pelo critério do confronto segue que {λn } converge para L = c = M .

∀ n ∈ N+ , então

148


4.4.4

Teorema de Bolzano - Weirstrass.

Propriedade 4.27. Bolzano - Weirstrass Toda seqüência {an } limitada de números reais, possui uma subseqüência convergente. A condição de seqüência limitada é essencial. por exemplo a conclusão não é válida para a seqüência {n}.

Por outro lado, seja {an } uma seqüência e A ⊆ R então uma e somente uma das seguintes

situações cumpre:

1. Existe somente um n0 ∈ N+ tal que an ∈ / A para todo n ≥ n0 . 2. Não há nenhum n0 tal que n0 ∈ N+ . Para o caso 1. os únicos termos da seqüência {an } que podem pertencer a A são a1 , a2 , a3 , · · · , an0 −1 .

Isto é A contém um número finito de termos da seqüência.

O caso 2. diz que A contem um número infinito de termos da seqüência. Isto tem a er com a demonstração pelo seguinte: Seja [a, b] um intervalo, e a < c < b. Suponhamos que [a, b] contenha um número infinito de termos da seqüência {an }, então ao menos um dos intervalos [a, c], [c, b] também contém um

número infinito de termos da seqüência {an }. Caso contrario, como [a, b] = [a, c] ∪ [c, b] teria um número finito de termos (contradição!).

Demonstração. do Teorema de Bolzano - Weirstrass. Seja {an } uma seqüência limitada por L ∈ R

an ∈ [−L, L],

∀ n ∈ N+ .

Seja α1 = −L, β1 = L

⇒

⇒

−L ≤ an ≤ an ,

∀ n ∈ N+ ; isto é

[α1 , β1 ] contém um número infinito de termos da seqüência

{an }. Conseqüentemente um dos dois intervalos [α1 ,

α1 + β 1 ], 2

[

α1 + β 1 , β1 ] 2

(4.18)

contém um número infinito de termos da seqüência {an }. Denotemos um dos intervalos que

contém um número infinito de termos da seqüência {an } por [α2 , β2 ]. Agora consideremos:

[α2 ,

α2 + β 2 ], 2

[

α2 + β 2 , β2 ] 2

(4.19)

contém um número infinito de termos da seqüência {an }. Denotemos um dos intervalos que

contém um número infinito de termos da seqüência {an } por [α3 , β3 ].

Continuando com este processo, obtém-se uma seqüência de intervalos: [α1 , β1 ] ⊇ [α2 , β2 ] ⊇ [α3 , β3 ] ⊇ · · · ⊇ [αn , βn ] ⊇ · · ·

(4.20)

cada um dos quais contém uma quantidade infinita de termos da seqüência {a n } e, β1 − α1 = 2L, β2 − α2 =

(2L) (2L) (2L) , β3 − α3 = 2 , · · · , βn − αn = n−1 , · · · 2 2 2

(4.21)


149

Pela Propriedade (4.27), existe λn ∈ [an , bn ] ∀ n ∈ N+ , onde {λn } é convergente.

Seja n1 ∈ N+ tal que an1 ∈ [α1 , β1 ], e n2 ∈ N+ tal que an2 ∈ [α2 , β2 ] onde n1 < n2 . Existe

n2 assumindo que [α2 , β2 ] contém um número infinito de termos.

Seguindo este processo, escolhemos n1 , n2 , n3 , · · · , nk , · · · com nk < nk+1 e nk+1 ∈

[αk+1 , βk+1 ] (de fato, [αk+1 , βk+1 ] contém uma quantidade infinita de termos da seqüência

{an }. Deste modo obtemos o conjunto N 0 = { n1 < n2 < n3 < · · · < nk < · · · } tal que

λn = ank+1 ∈ [ak , bk ]

Portanto, existe {ank }nk ∈N0 subseqüência convergente de {an }

Propriedade 4.28. Seja {an } uma seqüência convergente para L ∈ R, e seja N0 = { n1 < n2 < n3 < · · · < nk <

· · · }, então {ank }nk ∈N0 converge para L. Demonstração.

Seja ε > 0, como {an } converge a L, então existe n0 ∈ N+ tal que |an − L| < ε sempre que

n > n0 . Se j > n0 ,

⇒

nj > j > n0 e assim |anj − L| < ε.

Conseqüentemente se j > n0 , então |anj − L| < ε. Como ε > 0 é arbitrário, deduzimos que

{ank }nk ∈N0 converge a L. Propriedade 4.29.

Se L ∈ R, então existe um número natural n ∈ N+ tal que n ≥ L. Demonstração. Pelo absurdo. Suponhamos que, n < L, sabemos que é crescente.

∀ n ∈ N+ , então a seqüência {n} é limitada por L, além disso

Pela Propriedade (4.18) a seqüência {n} é convergente; isto contradiz o que foi mostrado no

Exemplo (4.18).

Portanto, se L ∈ R, então existe um número natural n ∈ N+ tal que n ≥ L.

150


Exercícios 1-3 1. Calcular se existem os seguintes limites: 1. 3. 5. 7.

(n + 2)! + (n + 1)! lim n→∞ (n + 3)! (2n + 1)4 − (n − 1)4 lim n→∞ (2n + 1)4 + (n − 1)4 (n + 1)3 − (n − 1)3 n→∞ (n + 1)2 + (n − 1)2 n3 + n lim 4 n→∞ n − 3n2 + 1 lim

2. 4. 6. 8.

1 lim + (1 + 2 + 3 + · · · + n) n→∞ n2 1 + 2 + 3 + ··· + n n lim − n→∞ n+2 2 √ √ 3 n3 − 2n + 1 + n4 + 1 √ lim √ 4 n→∞ n6 + 6n5 + 2 − 5 n7 + 3n3 + 1 100n3 + 3n2 lim n→∞ 0, 001n4 − 100n3 + 1

2. Verificar o valor dos seguintes limites: r p p a+b =0 11. lim a + a2 n2 + b + a2 n2 − 2 a2 n2 − n→∞ 2 √ √ 7 7 7 a n + a + a2 − 4 1+a √ 2. lim √ = 5 4 n→∞ 1−a a − 1 − a5 n5 + a4 − 25a2 + 144

an xn + an−1 xn−1 + · · · a1 x + a0 existe se e somente se m ≥ n. Qual é x→+∞ bm xm + bm−1 xm−1 + · · · b1 x + b0 o valor do limite se m = n?. E quando m < n ?

3. Mostre que lim

4. Calcular os seguintes limites: 1. 2. 3.

x3 x2 − x→+∞ 2x2 − 1 2x + 1 n an x + an−1 xn−1 + · · · a1 x + a0 lim x→+∞ bm xm + bm−1 xm−1 + · · · b1 x + b0 lim

(x + 1) + (x + 2)2 + (x + 3)3 + · · · + (x + n)n x→+∞ x5 − a 5 lim

n ∈ N.

5. Determine quais das seguintes seqüências são convergentes: n 3 n o n 2 n o 1. n 2. n(n + 1) 4 3

3.

n n! o 100n

6. É verdade que se {an } é de Cauchy implica que {an } é limitada? justifique sua resposta n n+4 o n 7 o 7. Usando a definição de seqüência de Cauchy, mostre que: √ e são de n2 + 10 n+7 Cauchy. 8. Mostre que a seqüência {an }, onde a1 = 0,

an+1 =

limitada por C = 1. Qual o limite desta seqüência?

3an + 1 4

∀ n ∈ N+ é crescente e

3bn − 4 5


9. Mostre que a seqüência {bn }, onde b1 = −3,

bn+1 =

10. Mostre que a seqüência {an }, onde a1 = 1,

an+1 =

limitada. Qual o limite desta seqüência?

limitada. Qual o limite desta seqüência?

√

2an


151

Christian José Quintana Pinedo 11. Sejam {an} e {bn} duas seqüências tais que an ≤ bn , lim bn .

∀ n ∈ N+ . Mostre que lim an ≤ n→∞

n→∞

12. Mostre que, se {an } é uma seqüência convergente então: 1. Se α ≤ an , 2. Se bn ≤ β,

∀ n ∈ N+ , então α ≤ lim an . n→∞

∀n∈

N+ ,

então lim bn ≤ β. n→∞

13. Construir um exemplo: a) De uma seqüência que possui duas subseqüências divergentes mostrando pelo menos duas delas. b) De uma seqüência que seja limitada superiormente e não seja de Cauchy. c) De uma seqüência não monótona e de Cauchy. 14. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras respeito a seguinte seqüência: an = −4 cos n5 + 7(−1)2n+1

senn n3

justifique sua resposta? a) Ela é limitada superiormente; b) Ela possuí no mínimo uma subseqüência convergente; c) Ela possuí mais de duas subseqüências convergentes; d) Ela é de Cauchy; e) 12 e −12 são limites superior e inferior respectivamente. 15. Usando a definição de seqüência de Cauchy, provar que: an =

√ 7 7n+3

e yn =

2n n2 +7

.

16. Construir um exemplo: a) de uma seqüência que possui duas subseqüências (uma divergente e outra convergente) mostrando-as; b) de uma seqüência que seja limitada inferior e não seja de Cauchy. c) De uma seqüência não monótona, limitada e de Cauchy. a) De uma seqüência que possui duas subseqüências divergentes mostrando elas.

17. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras respeito a seguinte seqüência: an = −4

cos n2 + [4(−1)2n+6 ]sen2n en

justifique sua resposta? a) Ela é limitada superiormente; b) Ela possuí no mínimo uma subseqüência convergente;

152

Cálculo Vetorial e Séries c) Ela possuí mais de duas subseqüências convergentes; d) Ela é de Cauchy; e) 102 e −120 são limitantes superior e inferior respectivamente.

18. Idem ao exercício anterior, para respeito a seguinte seqüência: zn = −4

cos n2 + [4(−1)n+5 ]sen2n en

19. Usando a definição provar que a seguinte seqüência converge para L: 5k0 5k0 n ; L= a) onde k0 é constante. 7n − 3 7 20. Resolva as seguintes questões : (a) Calcule o 4◦ elemento das seqüências

√ n e determine se ela converge ou diverge.

2n

Caso convergir ache o seu limite. (b) Determine se a seqüência dada é crescente, decrescente ou não monótona:

7n . 31 + 52n

21. Dê um exemplo de uma seqüência que seja limitada e convergente, porém não monótona. 22. Dada a seqüência (an ), onde an < 0 para todo n e an+1 > kan com 0 < k < 1. Prove que (an ) é convergente.

153


Miscelânea 1-1

1. Determine se as seguintes seqüências são convergentes ou divergentes: a) c) e)

2 , 3 3 , 2 4 , 3

3 4 5 , , , ··· 5 7 9 9 19 33 , , , ··· 10 24 44 25 82 193 , , , ··· 17 55 129

b) d) f)

2 , 3 2 , 1 1 , 3

3 , 5 5 , 6 2 , 5

4 5 , , ··· 7 9 10 17 , , ··· 15 28 3 4 , , ··· 7 9

@ @

2. Um triângulo isósceles cuja base esta dividida em 2n partes (quadrados) tem inscrito uma figura

.. .

escalonada segundo a Figura 1.. Demonstre que

@

@

.. @ .

···

@

a diferença entre a área do triângulo e a figura

@

@

escalonada é infinitesimal quando n cresce infinitamente.

F igura 1.

3. Determine se as seguintes seqüências são convergentes ou divergentes: a) {

p n

1 + n + n2 }n≥1

b)

n cos n o

c)

n n≥1 ) (r 5 7 2n + 1 n 3 · · ··· 5 8 11 3n + 2 n≥1 ( ) (2n+5) n−3 (2n + 5) n n+2 (4n + 1) (n + 3)2n

e)

g)

d)

f)

h)

n≥1

4. Mostre que a seqüência

(√ ) √ 3n3 + 2n − 1 − 3n3 − 2n − 1 √ √ n3 + n2 + 3n − n3 + n2 − 3n n≥1 ( ) ] na + 1 tan π2 [ na+1 na 3−2 na n≥1 (r ) Ln6 Ln3n n Ln3 · ··· Ln5 Ln10 Ln5n n≥1 ) (r Ln6 Ln3n n Ln3 · ··· Ln5 Ln10 Ln5n n≥1

√ n { an + bn }n≥1 converge para b, sempre que 0 < a < b.

5. Consideremos a seqüência {an }n≥1 convergente; mostre que se lim an = a, então n→∞

lim

n→∞

a1 + a 2 + a 3 + · · · + a n =a n

6. Calcular se existem os seguintes limites do termo geral an de uma seqüência: 1. 3.

(n + 2)! + (n + 1)! n→∞ (n + 3)! (2n + 1)4 − (n − 1)4 lim n→∞ (2n + 1)4 + (n − 1)4 lim

2. 4.

1 + (1 + 2 + 3 + · · · + n) n→∞ n2 1 + 2 + 3 + ··· + n n lim − n→∞ n+2 2 lim

154


5. 7. 9. 11. 13.

(n + 1)3 − (n − 1)3 lim n→∞ (n + 1)2 + (n − 1)2 n3 + n lim 4 n→∞ n − 3n2 + 1 n2 − 2n + 1 lim n→1 n3 − n xm − 1 lim n m, n ∈ Z x→1 x − 1 100n3 + 3n2 lim n→∞ 0, 001n4 − 100n3 + 1

6. 8. 10. 12. 14.

√ √ n3 − 2n + 1 + 3 n4 + 1 √ lim √ n→∞ 4 n6 + 6n5 + 2 − 5 n7 + 3n3 + 1 1 1 1 lim + + ··· n→∞ 1 × 3 3×5 (2n − 1)(2n + 1) x+2 x−4 lim 2 + 2 n→1 x − 5x + 4 3(x − 3x + 2) 2 (2n + 1)(3n2 + n + 2 3n lim − n→∞ 2n + 1 4n2 3 2 5n − n + n − 1 lim n→−∞ n4 − n3 − 2n + 1

7. Verificar o valor dos seguintes limites: 1. 3.

5. 7. 9.

11. 12.

1 4n3 + 2n2 − 5 =− 3 n→+∞ n + 2 − 8n 2 3n2 − 2 n2 − 4n 3 lim + = n→+∞ 2n + 1 n−3 2 s 8n − 4 √ √ = −2 lim 3 n→+∞ (3 − n)( n + 2) p 5 lim [ n2 − 5n + 6 − 2] = − x→+∞ 2 q √ lim [ n 2n − 5n + 6 − n] = −∞ lim

n→+∞

2. 4.

6. 8. 10.

15n3 − n2 + n − 1 =0 n→−∞ n4 − n3 − 2n + 1 2n + 3 √ =2 lim n→+∞ n + 3 n q p √ n+ n+ n+3 √ lim =1 n→+∞ n+3 p lim [ n2 − 2n + 4 + n] = 1 n→−∞ √ n2 + 1 + n)2 lim ( √ =2 3 n→∞ n6 + 1 lim

r p p a+b 2 2 2 2 a + a n + b + a n − 2 a 2 n2 − lim =0 n→+∞ 2 √ √ 7 7 7 a n + a + a2 − 4 1+a √ lim √ = n→+∞ 5 a − 1 − a5 n5 + 4 a4 − 25a2 + 144 1−a

8. Consideremos a seqüência {an }n≥1 convergente; mostre que se lim an = a, então n→∞

lim

n→∞

√ n

a1 · a2 · a3 · · · an = a

9. A seqüência de Fibonacci define-se como segue: a = 1, √a2= 1, an = an−1 + an−2 para √ n1 n 1+ 5 − 1−2 5 2 √ . n ≥ 3. Mostre por indução que: an = 5 r n n n n 30 + 40 + · · · + 600 10. Determine se a seqüência de termo geral, an = é convergente. n 11. Estude a seqüência de termo geral: an =

16 + 2 6 + 3 6 + · · · + n 6 n7

12. Mostre que toda seqüência contrativa é convergente.

Capítulo 5

SÉRIES DE NÚMEROS REAIS 5.1

INTRODUÇÃO

Seja {an } uma seqüência de números reais, a partir de ela podemos obter os seguintes ele-

mentos:

s1 = a 1 ; s2 = a 1 + a 2 ; s3 = a 1 + a 2 + a 3 ; .. . sn−1 = a1 + a2 + a3 + · · · + an−2 + an−1 ;

sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an−2 + an−1 + an

Isto é, podemos obter outra seqüência {sn }, chamada série onde seus elementos são somas

parciais de elementos da seqüência {an }.

Quando o índice n seja o maior possível (por exemplo n → +∞), teremos a escrever o termo

geral da seqüência {sn } como uma soma de uma quantidade indeterminada de elementos da

forma ai ,

i ∈ N+ .

A notação que permite exprimir esta soma é:

sn =

n X

ak .

k=1

Por se tratar {sn } de uma seqüência de números reais, todo o estudado no capítulo anterior

podemos aplicar a nossa série {sn }; por exemplo limitação, monotonia, convergência entre ∞outros. X an ≤ Logo, a série {sn } é limitada, se existe uma constante C ∈ R tal que |sn | ≤ C ou

C,

n=1

∀ n ∈ N+ .

A série {sn } é convergente, se lim sn = S ou lim n→∞

n→∞

único.

"

n X i=1

#

ai = S, para algum S ∈ R fixo e

Logo, podemos dizer que existem séries convergentes e séries divergentes. O objetivo deste capítulo é aprender a distinguir umas das outras. Antes de continuar com a análise de nossa seqüência {sn }, temos a entender melhor como X trabalhar com o símbolo (sigma) que abrevia nossas somas. 155

156


5.2

SOMATÓRIOS

Considere m e n dois números inteiros tais que m ≤ n e f (x) uma função definida para n X cada i ∈ Z , onde m ≤ i ≤ n. A expressão f (i) representa uma soma da seguinte forma: i=m

f (m) + f (m + 1) + f (m + 2) + · · · + f (n − 1) + f (n) ; isto é

n X

f (i) = f (m) + f (m + 1) +

i=m

f (m + 2) + · · · + f (n − 1) + f (n) . X A letra grega “sigma” é o símbolo do somatório, i é o índice ou variável, m é o limite

inferior e n é o limite superior. Exemplo 5.1. a) Seja f (i) = i + 2 , então 5 X

f (i) = (1 + 2) + (2 + 2) + (3 + 2) + (4 + 2) + (5 + 2) = 20.

i=1

b) Seja g(i) = cos(ix) , então n X i=1

g(i) = cos x + cos(2x) + cos(3x) + · · · + cos(nx).

Observação 5.1. n X Na expressão f (i) existem, (n − m + 1) somandos. i=m

Propriedade 5.1. a)

n X

i=m

b)

n X

c)

i=m

d)

n X

n X

g(i).

· · · distributiva

[f (i) − f (i − 1)] = f (n) − f (m − 1)

· · · telescópica

i=m n X

K = (n − m + 1)K.

n X

i=m

[f (i) ± g(i)] =

i=m

f (i) ±

i=m

[f (i − 1) − f (i − 1)] = f (n + 1) + f (n) − f (m) − f (m − 1)

Demonstração. A demonstração desta propriedade, é exercício para o leitor. Exemplo 5.2. Calcular o valor de S = Solução.

200 X √ √ [ i + 1 − i − 10]. i=1

· · · telescópica

157

Christian José Quintana Pinedo Pela Propriedade (5.1) temos que: 200 200 X X √ √ √ √ S= [ i + 1 − i] − 10 = [ 201 − 1] − 200(10) = −2001 i=1

Portanto S =

i=1

200 X √ √ √ [ i + 1 − i − 10] = 201 − 2001. i=1

Exemplo 5.3. Calcular uma fórmula para S =

n X

i=m

Solução.

[(i + 1)2 − (i + 1)2 ].

Considere f (i) = i , segundo a Propriedade (5.1) d) segue: n X [(i + 1)2 − (i + 1)2 ] = S= i=m

= f (n + 1) + f (n) − f (1) − f (n − 1) + f (n + 1) − f (n) − f (1) − f (0) = = (n + 1)2 + n2 − 1 − 0 = 2n(n + 1)). n X 2 2 De outro modo, observe que [(i + 1) − (i − 1) ] = 4i, assim temos que S = [(i + 1)2 − (i + 1)2 ] =

n X

i=m

4i = 2n(n + 1).

i=m

Portanto, S =

n X

i=m

[(i + 1)2 − (i + 1)2 ] = 2n(n + 1).

Exemplo 5.4. Usando as propriedades do somatório, mostre as seguintes igualdades: 1.

S=

n X

n(n + 1) i= 2

i=1

3.

U=

n X

i3 =

i=1

Solução.

n2 (n

+ 4

2.

T =

n X

i2 =

n(n + 1)(2n + 1) 6

i4 =

n(n + 1)(6n3 + 9n2 + n + 1) 30

i=1

1)2

4.

V =

n X i=1

a)

É consequência do Exemplo (5.3), observe que

n P

i=1

n(n + 1) 2 Solução.

4i = 4

n P

i = 2n(n + 1) então S =

i=1

n X

i=

i=1

b)

Consideremos f (i) = i3 , pela Propriedade (5.1) d) temos que a soma: n X i=1

[(i + 1)3 − (i + 1)3 ] = (n + 1)3 + n3 − 13 − 03 = 2n3 + 3n2 + 3n

(5.1)

158

Cálculo Vetorial e Séries Por outro lado: n X i=1

3

3

[(i + 1) − (i + 1) ] =

De (5.1) e (5.2) segue que 6 Portanto, Solução.

c)

n X

n P

n X

2

[6i + 2] = 6

n X

[i2 ] + 2n

(5.2)

i=1

i=1

[i2 ] + 2n = 2n3 + 3n2 + 3n.

i=1

i2 =

i=1

n(n + 1)(2n + 1) 6

Consideremos f (i) = i4 , pela Propriedade (5.1) d) temos que a soma: n X i=1

[(i + 1)4 − (i + 1)4 ] = (n + 1)4 + n4 − 14 − 04 = 2n4 + 4n3 + 6n2 + 4n

(5.3)

n n n X X X 3 4 4 i = i +8 [(i + 1) − (i + 1) ] = 8 Por outro lado, da parte a) deste exemplo,

8

n X

i=1

i=1

i=1

[i3 ] + 4n(n + 1).

i=1

Igualando a (5.3), temos 8 Portanto, U = Solução.

d)

n X

[i3 ] =

n X [i3 ] + 4n(n + 1) = 2n4 + 4n3 + 6n2 + 4n.

i=1 2 n (n +

1)2

4

i=1

Exercício para o leitor. Exemplo 5.5. Se a > 0, determine uma fórmula para a progressão geométrica

ak .

k=1

Solução. Seja S =

n X

n X k=1

ak = a + a2 + a3 + a4 + · · · + an−2 + an−1 + an , se multiplicamos por −a à soma

S obtém-se −aS = −a2 − a3 − a4 − · · · − an−2 − an−1 − an − an+1 ; logo S - aS = a − an+1 onde

S(a − 1) = a(an − 1) n X a(an − 1) . Portanto, S = ak = a−1 k=1

Exemplo 5.6. Achar uma fórmula para S =

k=1

Solução. Temos que S = 1 12(1 − ( )n ]. 2

n X

n X k=1

6 2k−1

6 . 2k−1

n n X X 2 1 = 6 = 12 ; pelo Exemplo (5.5) concluímos: S = k 2 2k k=1

k=1

159

Christian José Quintana Pinedo Portanto, S =

n X k=1

6 1 = 12[1 − )n ]. 2k−1 2

Exemplo 5.7. Determine uma fórmula para

n X k . 3k k=1

Solução.

n X k−1 n k [ k − k−1 ] = n − 0. 3 3 3 k=1 n n n n n X X X X k k−1 X k k 1 Por outro lado, − = − 3[ − ]= k k−1 k k 3 3 3 3 3k

Aplicando a propriedade telescópica,

k=1

= −2

k=1

k=1

k=1

k=1

n n n n 1 1 n X X X X k 1 k k 1 3 3 [( 3 ) − 1] + 3 = −2 + 3 · = −2 + [1 − ( )n ] 1 k 2 3 3k 3k 3k 3 3 −1 k=1 k=1 k=1 k=1

n n X X k k 3 1 n n 3 3 + 2n + [1 − ( ) ] = − 0 onde = − . n k k 3 2 3 3 3 4 4(3)n k=1 k=1 n X 3 3 + 2n k = − Portanto, 3k 4 4(3)n

logo −2

k=1

Exemplo 5.8. Determine a soma S =

k=1

Solução. n X k=1

n X

k · (k!).

Considere f (k) = (k + 1)!, pela Propriedade (5.1) c) temos: n n X X [(k + 1)! − k!] = (n + 1)! − 1 ; isto é [(k + 1) · k! − k!] = k · (k!) = (n + 1)! − 1. k=1

k=1

Portanto S = (n + 1)! − 1

Exemplo 5.9. Achar uma fórmula para

n X

sen(kx).

k=1

Solução.

Lembre a identidade cos(a + b) − cos(a − b) = −2sen(a)sen(b). n n n X X X Logo: [−2sen x · sen(kx)] = [cos(k + 1) − cos(k − 1)] então −2senx sen(kx) = k=1

k=1

cos(n + 1)x + cos(nx) − cos x − 1. n X cos(n + 1)x + cos(nx) − cos x − 1 Portanto, sen(kx) = − 2senx k=1

Exemplo 5.10. Calcular a soma S = Solução.

n X k=1

sen2n 2x.

k=1

160

Cálculo Vetorial e Séries Aplicando a propriedade telescópica temos: n X k=1

Por outro lado,

n X k=1

[sen2k 2x − sen2(k−1) 2x] = sen2n 2x − 1

[sen2k 2x − sen2(k−1) 2x]

n X k=1

sen2k 2x −

n X k=1

(5.4)

sen−2 2x · sen2(k−1) 2x = [1 −

n n X −1 X 2k 2 ] sen 2x = cot 2x sen2k 2x . sen−2 2x] sen2k 2x = [ sen2 2x k=1 k=1 k=1 n X sen2k 2x = sen2n 2x − 1. De (5.4) temos cot2 2x n X

sen2 2x

k=1

Portanto, S = tan2 2x(sen2n 2x − 1).

Exemplo 5.11. Determine o valor da seguinte soma T =

n X k=1

Solução.

1 loga

(22k ) log

a (2

2k+2 )

1 1 1 1 Temos que: = − loga (22 ) loga (22x ) loga (22x+2) loga (22k ) loga (22k+2 ) n X 1 1 1 − Logo T = loga (22 ) loga (22k ) loga (22k+2) k=1 1 1 1 Assim, T = . − loga (22 ) loga 22 log2 (22n+2 ) Exemplo 5.12. Calcular a soma T =

n X tanh(19kx) k=1

Solução. Observe que, T =

sech(19kx)

n X tanh(19kx) k=1

sech(19kx)

.

=

n X

senh(19kx) , análogo ao Exemplo (5.9) temos da

k=1

identidade para funções hiperbólicas cosh(a + b) − cosh(a − b) = − 2senh(a)senh(b). Logo n P

k=1

n X

[−2senh(19x)senh(19kx)] =

n X k=1

k=1

[cosh(19(k+1)x)−cosh(19(k−1))] então −2senh(19x)·

senh(19kx) = cosh(19(n + 1)x) + cosh(19nx) − cosh(19x) − 1,

Portanto,

T =

n X tanh(19kx) k=1

sech(19kx)

=

cosh(19(n + 1)x) + cosh(19nx) − cosh(19x) − 1 2senh(19x)

Exemplo 5.13. Determine uma fórmula para Solução.

n X k=1

bk · sen(x + ky).

161

Christian José Quintana Pinedo Considere S =

n X k=1

S=

[bk · sen(x + ky) − bk−1 sen(x + (k − 1)y)] , temos pela Propriedade (5.1) d):

n X [bk · sen(x + ky) − bk−1 sen(x + (k − 1)y)] = bn sen(x + ny) − senx

(5.5)

k=1

Por outro lado, S =

n X

[bk · sen(x + ky) − bk−1 sen(x + (k − 1)y)] =

n X

1X k b sen(x + ky) − b sen(x + (k − 1)y) = b

k=1

k=1

n X k=1

logo:

n

k

k=1

n

1X k b sen(x + ky) − b [sen(x + ky) · cos y − seny · cos(x + ky)] b k

k=1

n

n

k=1

k=1

X X 1 1 S = (1 − cos y) bk · sen(x + ky) − seny bk · cos(x + ky) b b Para determinar U =

n X k=1

Seja T =

n P

k=1

(5.6)

bk · cos(x + ky), pela Propriedade (5.1).

[bk · cos(x + ky) − bk−1 cos(x + (k − 1)y)] = bn cos(x + ny) − cos x , isto é n

1X k b cos(x + (k − 1)y) = T =U− b k=1

n

1X k b [cos(x + ky) · cos y + seny · sen(x + ky)] = U− b k=1

n

(1 − De onde U =

X 1 1 bk sen(x + ky) = bn cos(x + ny) − cos x cos y)U − seny b b

n X k=1

k=1

bk · cos(x + ky) = n seny X k b [bn · cos(x + ny) − cos x] b · sen(x + ky) + b − cos y b − cos y k=1

n n X X 1 1 b Em (5.6) temos S = (1− cos y) [bn cos(x+ bk sen(x+ky)− seny[ bk sen(x+ky)]+ b b b − cos y k=1 k=1 ny) − cos x]

Logo da identidade (5.5) vem: n X b sen2 y b − cos y bk sen(x + ky) + − ] [bn cos(x + ny) − cos x] = bn sen(x + S=[ b b(b − cos y) b − cos y k=1

162


ny) − senx. Portanto:

n X k=1

bk · sen(x + ky) =

b(b − cos y) [bn sen(x + ny)− b2 − cos2 y + sen2 y bn seny · cos(x + ny) + seny · cos x −senx − ]. b − cos y

163


Exercícios 2-1

1. Escrever os seis primeiros termos das somas dadas. 1.

5.

n X

k=1 ∞ X k=1

k k+1

2.

3 ( )k 2

6.

20 X 2k + 1 k=0 30 X

3.

3k + 2

sen(kπ)

7.

10 X k 2 − 2k + 3 k=1 ∞ X k=1

k=1

4.

2k 2 + k + 1

3 Ln( ) k

8.

n X

(−1)k

k=1 n X k=1

ak k3

k2 k+1

2. Determinar uma fórmula para cada uma dos seguintes somatórios: 1.

n X √ √ [ 2i + 1 − 2i − 1] i=1 n X

2.

2k

+ k(k + 1) k+1 2 (k 2 + k) k=1 √ n √ X k+1− k [ √ 7. ] 2+k k k=1 4.

10.

n X

16.

n X

k=1 n X

k2 [

k=1

19. 22.

n X

k=1 n X

k=1

11.

k=1 n X k=1

1 −1

14.

6 25 − ] k 10 100k

17.

3.

k 2 (k + 1)(k + 5k + 6)

6.

n X

k=1 n X

20.

1 24 + 10k − 25k 2

23.

n X

k=1 n X

ek − [3sena · cos a]k 3k

4. Mostre que a fórmula é evidente:

n X

n X k=1

5. Se X =

1 [ n

k=1

12.

Xk ] , mostre que

n P

k=1

15.

cot5 kx · sec9 kx sen2k (2x)

18.

k · xk+1

21.

cos2k

24.

6. Determine o valor de n ∈ N , se: 7. Seja | a | < 1, mostre que : S =

k=1

n(n + 1) Ln2. 2

(m + n + 1)! (m + k)! = . k! (m + 1)n!

2

(2 + k ) =

k=1

n X

k=1 n X

n X

k=1 n X

ak =

n X

k=1 n X k=1

Ln 2k =

n P

k=1

n X

Xk2 − X

n P

Xk .

k=1

(k + k 2 ).

k=1

1 quando n → ∞. 1−a

Ln[

k ] k+2

2k + 3 k 6k

n X ek + 2

k=1

[Xk − X]2 =

n X

k=1 n X

k=1

16 csc5 kx

k=1

n X

9.

k=1

3. Determine a validade da igualdade:

100 X

k=1

k=1

5k · sen(5k − x)

k=1

k=1 n X

4 (4k − 3)(4k + 1)

n X Ln[(1 + k1 )k (1 + k] 8. (Lnk k )(Ln(k + 1))k+1

1 2x2 + 6x + 4

k=1

13.

5.

n X

3k

2k + 1 k 2 (k + 1)2

cos(3kx) k 5k k · 2k √ [ 3 + x]k

164


8. Nos seguintes exercícios expresse as dizimas periódicas dadas como series geométricas e em seguida expresse as somas destas últimas como o quociente de dois inteiros. 1. 0, 6666 2. 0, 2323 3. 0, 07575 4.

0, 21515

9. Quando um determinado empregado recebe seu pagamento ao final de cada mês, ele deposita P reais em uma conta especial para a aposentadoria. Esses depósitos são feitos mensalmente, durante t anos e a conta rende juros anuais de r%. Se os juros são capitalizados mensalmente, o saldo A na conta ao final de t anos é: A = P + P (1 +

r r r r ) + · · · + P (1 + )12t−1 = P ( )[(1 + )12t − 1] 12 12 12 12 r

Se os juros são capitalizados continuamente, o saldo A ao final de t anos é: A = P + P e 12 + (12t−1)r 2r P (en − 1) . Use a fórmula para a n-ésima soma parcial de uma P e 12 + · · · + P · e 12 = r e 12 − 1 série geométrica para provar que cada uma das somas acima está correta. 10. Uma bola, jogada de uma altura de 6 metros, começa a quicar ao atingir o solo, como indica a Figura (5.1). A altura máxima atingida pela bola após cada batida no solo é igual a três quartos da altura da queda correspondente. Calcule a distância vertical total percorrida pela bola. 6y C C 4 C C C 6

2

0

u C C u C C C u C C C C u C CC Cu CCu C u u

?

Figura 5.1:

11. Mostre que

n X k=1

T empo

Ln(k + 1) = Ln[(n + 1)!].

x

165


5.3

SÉRIES DE NÚMEROS REAIS

Dada uma seqüência {an } de números reais, a soma infinita a1 + a2 + a3 + · · · + an−2 + an−1 + ∞ X an + · · · , será representada simbolicamente por an . n=1

∞ P

Nosso objetivo agora é estabelecer condições sobre a seqüência {a n } para que a soma infinita an tenha como resultado um valor de número real. Se este for o caso dizemos que a soma

n=1

infinita converge. Estas somas infinitas são denominadas “séries infinitas” ou simplesmente séries. Exemplo 5.14. Consideremos a série 1 +

∞ X 1 1 1 1 1 + + + + · · · que representaremos por . n−1 2 4 8 16 2 n=1

Para cada número natural n temos: sn = 1 +

1 − ( 12 )n 1 1 1 1 1 1 = 2[1 − ( )n ] + + + + · · · + n−1 = 1 2 4 8 16 2 2 1− 2

de modo que:

Ora a soma infinita

1 lim sn = lim 2[1 − ( )n ] = 2 n→∞ n→∞ 2 ∞ X

n=1

1 2n−1

desse modo, segue de (5.7) que

(5.7)

entenda-se como o limite da soma parcial sn quando n → ∞ e,

∞ X

n=1

1 2n−1

= 2.

Exemplo 5.15. Suponhamos temos a estudar a série 1 +

1 1 + + 2 3

∞ 1 P 1 + · · · que representa a série infinita . 4 n=1 n

A Figura (5.2) representa o gráfico da função 1 f (x) = , definida para x > 0, sobre o qual estão os x 1 pontos (n, ). n Comparando as áreas dos retângulos com a área sob o gráfico de f (x), observa-se que:

f (1) + f (2) + f (3) + · · · + f (n) ≥

Zn

f (x)dx

Figura 5.2:

1

esta soma pelo fato de que cada área de retângulo de base uma unidade e altura f (n) é o próprio f (n), assim: 1+

1 1 1 1 + + + · · · + ≥ Lnn 2 3 4 n

(5.8)

166

Cálculo Vetorial e Séries Como lim Lnn = +∞, usando a desigualdade (5.8) concluímos que: n→∞

1 1 1 1 = +∞ lim 1 + + + + · · · + n→∞ 2 3 4 n Logo é justo afirmar que

∞ 1 P = +∞ n=1 n

Estes dois exemplos tratados, motivam o conceito de convergência para séries numéricas. ∞ P an está relacionado com a convergência de sua seqüência de A convergência de uma série n=1

somas parciais {sn }. O n-ésimo termo sn é denominado n-ésima soma parcial da série. Definição 5.1.

Dizemos que a série é convergente, quando a seqüência {sn } de suas somas parciais for

convergente. Neste caso, a soma da série é o limite da seqüência {sn }, isto é: ∞ X

an = lim sn = S n→∞

n=1

(5.9)

Quando uma série não converge, ela é denominada divergente. Exemplo 5.16. Se an = 0 ∀ n ∈ N+ , a série gerada pela seqüência {an } é convergente, sua soma é zero; ∞ P isto é an = 0. n=1

Exemplo 5.17.

∀ n ∈ N+ , a série gerada pela seqüência {bn } é divergente, sua soma é indeter∞ P minada; na verdade bn = +∞ Se bn = 1

n=1

Exemplo 5.18.

Se an = (−1)n+1

∀ n ∈ N+ , então a série gerada pela seqüência {an } é divergente, a soma ∞ P (−1)n+1 = 1 ou −1 ou 0. de todos seus termos é indefinida; isto é n=1

Pela unicidade do limite lim sn = S, concluímos que essa soma não existe. n→∞

5.3.1

Série geométrica.

Uma “série geométrica” é da forma S =

∞ P

n=1

série, e o número constante a é seu coeficiente. Exemplo 5.19. Determine se a série geométrica converge. Solução.

arn−1 , onde o número r é denominado razão da

167

Christian José Quintana Pinedo Pela propriedade de somatório podemos escrever S =

+∞ P

αrn−1 = α

n=1

do Exemplo (5.5) segue-se que: sn = α

n X

ri−1 = α

i=1

+∞ P

rn−1 . Pelo resultado

n=1

1 − rn 1−r

(5.10)

Quando |r| < 1, mostramos no Exemplo (4.19) que lim rn = 0, tomando o limite em (5.10) n→+∞

quando n → +∞ tem-se: +∞ P

lim sn = α lim

n→+∞

n→+∞

rn

α 1− = = S. 1−r 1−r

α converge quando |r| < 1. 1−r n=1 É imediato que para o caso |r| > 1 a série diverge.

Isto é: S =

arn−1 = lim sn = n→∞

Exemplo 5.20. ∞ 4 P 4 4 4 1 = + 2 + 3 + · · · é uma série geométrica com r = < 1, então a série A série n 3 3 3 3 n=1 3 converge e sua soma é 2.

5.3.2

Série harmônica.

Uma “série harmônica” é da forma Exemplo 5.21. Série harmônica. Determine se série harmônica Solução.

+∞ P

1 . n=1 n

+∞ P

1 converge. n=1 n

Sabe-se que esta série representa o termo n-ésimo de uma seqüência {s n }, onde sn = Consideremos duas subseqüência de sn : sn = 1 + s2n = 1 +

∞ 1 P . n=1 n

1 1 1 1 + + + ··· + + ··· 2 3 4 n

1 1 1 1 1 1 + + + ··· + + ··· + + 2 3 4 n 2n − 1 2n

Suponha que sn → L quando n → ∞, então pela Propriedade (4.15) tem-se que sn → L

quando n → ∞ e s2n → L quando n → ∞, e pela Propriedade (4.16) (sn − s2n ) → 0 quando n → ∞.

1 1 1 1 1 1 1 1 + + + +··· + + ··· + + ≥ + + n+1 n+2 n+3 n 2n − 1 2n 2n 2n 1 1 1 1 + ··· + = de onde lim (sn − s2n ) ≥ 6= 0, caso o limite existisse. n→∞ 2n 2n 2 2 ∞ P 1 . é divergente. Portanto, a série harmônica n=1 n Porém, sn − s2n =

168


5.3.3

Série p.

∞ 1 P , onde p ∈ R é uma constante fixa. p n=1 n Na próxima seção mostraremos que a série:

Uma “série p” é da forma

∞ X 1 1 1 1 = 1 + p + p + ··· + p + ··· np 2 3 n

(5.11)

n=1

converge se p > 1, e diverge se p ≤ 1, p ∈ R. Observação 5.2. ∞ X A série (bn − bn+1 ) é denominada série de encaixe devido à natureza de seus termos: n=1

(b1 − b2 ) + (b2 − b3 ) + (b3 − b4 ) + · · · + (bn − bn+1 ) + · · · A seqüência de suas somas parciais {sn }, vem dado pela expressão: sn = (b1 − b2 ) + (b2 − b3 ) + (b3 − b4 ) + · · · + (bn − bn+1 ) = b1 − bn+1

(5.12)

Se a seqüência {bn } convergir para um número L, segue que {sn } converge para b1 − L. Exemplo 5.22. Mostre que a série

n=1

Demonstração. Observe que

∞ X

∞ X

n=1

1 converge. n2 + n

∞ X 1 1 1 1 =1− = − , logo; 2 n +n n n+1 n+1 n=1

lim

n→∞

Portanto, a série

∞ X

n=1

n2

n X i=1

1 1 =1−0=1 = lim 1 − n2 + n n→∞ n+1

1 converge. +n

Exemplo 5.23. Determine se a série Solução.

∞ P

n=1

Ln

n converge. n+1

∞ n X = [Lnn − Ln(n + 1)]. n+1 n=1 n=1 ∞ n n X ∞ P = Ln1 − Ln(n + 1) ⇒ lim Ln = lim [Ln1 − Ln(n + Logo, Ln n→∞ n→∞ n+1 n+1 n=1 n=1 1)] = 1 − ∞ = −∞ n ∞ P diverge. Portanto, a série Ln n+1 n=1

Observe que, podemos escrever

∞ X

Ln

169


5.3.4

Critério do n-ésimo termo.

A propriedade a seguir fornece uma condição necessária, mas não suficiente para que uma série numérica seja convergente. Propriedade 5.2. Critério do n-ésimo termo. ∞ X an convergente, então: Seja n=1

i) A seqüência {sn } de somas parciais é limitada. ii)

lim an = 0.

n→∞

Demonstração. i) ∞ P Se an converge, então existe em R o limite L = lim sn logo, sendo {sn } uma seqüência n→∞

n=1

convergente, ela é limitada.

Demonstração. ii) Denotando por {sn } a seqüência de somas parciais da série,

∞ P

n=1

an temos que an = sn − sn−1

e admitindo que a série é convergente, resulta que a seqüência de somas parciais {s n } converge para um certo número L, o mesmo ocorrendo com a subseqüência {sn−1 }, então: lim an = lim (sn − sn−1 ) = lim sn − lim sn−1 = L − L = 0

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

Observação 5.3. n ∞ 1 ∞ P P Nos Exemplos (5.21) e (5.23) observamos que as séries divergem, e Ln n+1 n=1 n n=1 n 1 = 0 e lim Ln embora lim = 0. n→∞ n→∞ n n+1 Com isso justificamos que a condição lim an = 0 não é suficiente para garantir a convergênn→∞

cia.

A observação precedente, justifica a seguinte propriedade. Propriedade 5.3. Se lim an 6= 0, então a série n→∞

∞ P

an diverge.

n=1

A demonstração é exercício para o leitor. Exemplo 5.24. ∞ P n e A séries n=1 n + 1

∞ √ P n ambas são divergentes.

n=1

A Propriedade (5.3) constitui-se no primeiro critério de convergência, para séries. Ao analisar

a convergência de uma série, em primeiro lugar observamos a convergência de seu primeiro termo geral sn , como sugere o seguinte diagrama:

170


- {an } diverge

-

an

an diverge

-

Fim

-

Fim

n=1

∞ P

∞ P

L 6= 0

-

∞ P

an diverge

n=1

-

n=1

-

lim an = L

n→∞

-

-

-

L=0

?

A condição lim an = 0 não dá informação sobre a convergência da série n→∞

∞ P

an sendo

n=1

necessária uma análise adicional para determinar se a série converge ou diverge. Exemplo 5.25. A seguinte tabela ilustra algumas situações: ∞ P

an

lim an

n→∞

n=1 ∞ en P 2 n=1 n ∞ P

n n=1 3n + 5 ∞ Lnn P 2 n=1 n

situação

∞

divergente

1 3

divergente

0

indefinida

Observação 5.4. Suponha temos uma série afirmar que:

∞ X

an convergente; isto é lim sn = S existe. Então é correto n→∞

n=1

lim (sn − S) existe se, e somente se lim sn = S existe.

n→∞

n→∞

Deduzimos assim, que podemos omitir um número finito de termos (entre os primeiros) de uma série infinita sem afetar sua convergência. Como no caso das seqüências numéricas, o acréscimo ou a omissão de um número finito de termos não altera a convergência de uma série, podendo alterar o valor de sua soma.

171


Propriedade 5.4. ∞ ∞ X X Se as séries an e bn diferem apenas em seus primeiros termos em uma quantidade n=1

n=1

finita, então ambas são convergentes ou ambas são divergentes. Demonstração.

Por hipótese, existe um índice n0 a partir do qual an = bn e, se {sn } e {tn } são as seqüências ∞ ∞ X X bn respectivamente, então para n > n0 temos: an e de somas parciais de n=1

n=1

(5.13)

sn = a 1 + a 2 + a 3 + · · · + a n

(5.14)

tn = b 1 + b 2 + b 3 + · · · + b n e sendo an = bn a partir da ordem n0 , resulta das igualdades (5.13) e (5.14) que:

(5.15)

sn = tn + [(a1 − b1 ) + (a2 − b2 ) + (a3 − b3 ) + · · · (an − bn )]

Observando a igualdade (5.15), e considerando que a expressão entre colchetes é constante, ∞ ∞ X X isto é, não depende do índice n deduzimos que as seqüências an e bn são ambas convern=1

gentes ou ambas divergentes.

n=1

Exemplo 5.26. ∞ ∞ ∞ ∞ X X X X 1 1 1 1 As séries e ambas são divergentes, entanto as séries e 2 n n−8 n (n − 8)2 n=9 n=9 n=9 n=9 ambas são convergentes. Procure justificar estas afirmações, identificando a quantidade de termos que elas diferem. Ainda mais, uma consequência da Propriedade (5.4), temos que para cada número k ∈ N + , ∞ ∞ X X as séries an e an são ambas convergentes ou ambas divergentes. n=1

n=k

Propriedade 5.5. ∞ ∞ X X Sejam an e bn duas séries numéricas e α ∈ R. n=1

(a) Se as séries

n=1

∞ X

n=1

an e

∞ X

bn são convergentes, então

convergem, e valem as relações: (an + bn ) = ∞ X

n=1

(b) Se

n=1

an e convergente e

∞ X

n=1

∞ X

an +

n=1

n=1

∞ X

(an + bn ) e

n=1

n=1

∞ X

∞ X

α · an = α ·

∞ X

n=1 ∞ X

∞ X

n=1

bn

(5.16)

an

(5.17)

n=1

bn é divergente, a série

α · an também

∞ X

n=1

(an + bn ) diverge.

172


(c) Se

∞ X

n=1

∞ X

an é divergente e α 6= 0, então a série

n=1

α · an é também divergente.

Demonstração. Na demonstração utilizaremos a Propriedade (4.16). Denotando por {sn }, {tn }, {un } e {vn } as seqüências de somas parciais das séries: ∞ X

∞ X

an ,

n=1

e

∞ X

n=1

∞ X

bn ,

n=1

(an + bn )

n=1

α · an respectivamente, temos un = sn + tn e vn = α · sn , e se as seqüências {sn } e {tn }

forem convergentes, então as seqüências {un } e {vn } também serão convergentes e, além disso lim un = lim sn + lim tn

n→∞

n→∞

n→∞

e

lim vn = α · lim sn

n→∞

n→∞

Isto mostra a parte (a).

Demonstração. (b) Pelo absurdo. Suponhamos que a série

∞ X

n=1

(an + bn ) seja convergente, então a seqüência {un } é convergente

e, por conseguinte, a seqüência {tn } também é convergente, pois tn = un − sn . ∞ X Logo a série bn é convergente. Isto é contradição com a hipótese. n=1

∞ X

Portanto, a série

(an + bn ) diverge.

n=1

Demonstração. (c) Pelo absurdo.

Suponhamos que a série

∞ X

n=1

α · an seja convergente, então a seqüência {vn } é convergente

e, por conseguinte, a seqüência {sn } também é convergente, pois sn = Logo a série

∞ X

1 · vn . α

sn é convergente. Isto é contradição com a hipótese.

n=1

Portanto, a série

∞ X

n=1

α · an diverge.

Observação 5.5. Quando as séries

∞ X

n=1

an e

∞ X

bn são ambas divergentes, a Propriedade (5.5) não dá infor-

n=1

mação sobre a convergência da série

∞ X

n=1

Exemplo 5.27.

(an + bn ).

173

Christian José Quintana Pinedo As séries

∞ X 1 n

e

n=1

converge.

∞ X −1

n=1

n

são ambas divergentes, entanto que a série

∞ X 1 −1 ( + ) n n

n=1

Exemplo 5.28. Observe, a série

∞ X

n=1 ∞ X

n=1

3 4n−1

3 1 + n−1 2 n +n 4

é convergente, enquanto as séries

∞ X

n=1

n2

1 e +n

são convergentes.

Exemplo 5.29. ∞ X n+1 é convergente. A série n4 n=1

n+1 1 1 = 3 + 4 ∀ n ∈ N+ ; sabemos que a série p converge se p > 1, logo as 4 n n n ∞ ∞ X 1 X 1 e são convergentes. séries 3 n n4 Observe que

n=1

n=1

Portanto,

∞ X

n=1

5.3.5

n+1 é convergente. n4

Condição de Cauchy.

Propriedade 5.6. Condição de Cauchy. Seja {sn } uma seqüência de números reais para a série convergente quer ε > 0, existe n0 > 0 tal que |sm − sn | < ε sempre que m, n > n0 .

∞ X

an , então para qual-

n=1

Demonstração. ∞ X Como an é convergente, seja S sua soma, isto é lim sn = S; pela definição de seqüência n→∞

n=1

convergente segue que:

∀ ε > 0,

∃ n0 > 0 tal que |sn − S| < ε

sempre que n > n0

ε Em particular podemos considerar: |sn − S| < , portanto, se m, n > n0 : 2 |sm − sn | = |sm − S + S − sn | ≤ |sn − S| + |sm − S| < Assim, ∀ ε > 0,

ε ε + =ε 2 2

∃ n0 > 0 tal que |sm − sn | < ε sempre que m, n > n0 .

Observe que se m = n − 1

|sn−1 − sn | = |an | < ε sempre que n > n0 ; isto é ∞ X an , não lim an = 0. Embora esta seja uma condição necessária para a convergência da série

n→∞

é uma condição suficiente

⇒

n=1

174


Exemplo 5.30. Determine quais das séries convergem ou divergem: ∞ X (n − 1)!

1.

n=1

n · n!

.

∞ √ X n(n − 1)!

2.

n!

n=1

.

1.

Solução.

Observe que ∞ X (n − 1)!

n=1

n · n!

∞ X (n − 1)!

Logo a série

n=1

Solução. 2.

n · n!

=

∞ X

n=1

∞

X 1 (n − 1)! = n · n(n − 1)! n2

onde p = 2 > 1

n=1

é convergente.

Tem-se que ∞ √ X n(n − 1)!

∞ √ ∞ X X n(n − 1)! 1 √ = = n · (n − 1)!! n

∞ √ X n(n − 1)!

é divergente.

n=1

Logo a série

n=1

5.3.6

n!

n!

n=1

n=1

onde p =

1 <1 2

Propriedade de Cauchy.

Existem casos onde a série têm seus termos decrescentes, então podemos utilizar a seguinte propriedade. Propriedade 5.7. Suponhamos temos uma série de termo geral an de modo que an+1 ≤ an para todo n ∈ N+ ;

logo:

A série

∞ X

an converge se, e somente se, a série

n=1

∞ X

n=1

A demonstração é exercício para o leitor. Exemplo 5.31.

Determine quais das séries convergem ou divergem: 1.

∞ X 1 n

n=1

3.

∞ X 1 . n2

n=1

2.

∞ X

n=1

1 nLnn

2n · a2n também converge.

175

Christian José Quintana Pinedo 1.

Solução.

1 1 , logo a2n = n . n 2 ∞ ∞ X X 1 Assim, 2n · n = 1 = +∞ diverge. 2 Temos que an =

n=1

n=1

∞ X 1 diverge. Pela Propriedade (5.7) a série n

n=1

2.

Solução.

Tem-se que an = Então,

∞ X

n=1

1.

1 , logo nLnn

2 n · a 2n =

Portanto, a série

∞ X

n=1

Solução.

3.

Tem-se que an =

∞ X

n=1

2n ·

a 2n =

1 . 2n Ln2n ∞

∞

n=1

n=1

X 1 1 X1 1 = = = +∞ isto último pela parte n n 2 Ln2 nLn2 Ln2 n

1 diverge. nLnn

1 1 > = an+1 , então podemos obter 2 n (n + 1)2

1 . (2n )2 1 n 

a 2n = 

1 1 − 2 1 = lim · 1 22n 2n n→∞ 2 n=1 n=1 n=1 n=1 1− 2 ∞ ∞ X 1 X 1 converge, então a série também converge. Como a série 2n n2 Logo,

∞ X

2 n · a 2n =

n=1

∞ X

2n ·

1 = (2n )2

∞ X

2n

=

∞ X

n=1

  = 1.

176


Exercícios 5-2

1. O que significa uma série

∞ X

an ser divergente?

n=1

2. Expresse cada decimal periódica como uma série e ache a expressão ord inária que ela representa. 1. 0, 232323 · · ·

2. 5, 146146146 · · ·

3. 3, 2394394 · · ·

3. Verifique se as seguintes séries são divergentes: 1. 4. 7. 10.

∞ X √ √ ( n + n + 1)

n=1 ∞ X

n=1 ∞ X

n=1 ∞ X

n=1

2.

n cos n

5.

[sen 4π n + 4] 4n

8.

n! 3n)!

11.

∞ X

n=1 ∞ X

n=1 ∞ X

n=1 ∞ X i=1

[(1 + (−1)n ]

3.

1 nsen n (

6.

1 1 + ) 3n 5n

9.

(n + 2)! 5n

12.

∞ X

n=1 ∞ X

n=1 ∞ X

n3 n3 + n 2 + 9 n! 2n

1 √ 2 n + 4n n=1 ∞ X 1 5 + 7n 8n i=1

4. Encontre uma série cuja n-ésima soma vem dado por: 1. sn =

2n 3n + 1

2.

n2 n+1

sn =

3.

sn =

1 2n

5. Para cada uma das séries, calcule a n-ésima soma parcial e o valor da soma da série no caso de ela convergir. 1. 4. 7. 10.

∞ n X 2

n=1 ∞ X

2.

3

n n+1 n=1 ∞ X 1 1 + 2n 3n n=1 ∞ X (n + 1)2 Ln n(n + 2) n=1 ∞ X

Ln

5. 8. 11.

13.

Lnn √ n2 n=1

14.

16.

∞ X n en 2 n=1

17.

n ∞ X 2 4 5

n=1 ∞ X

n=1 ∞ X

n=1 ∞ X

n=1 ∞ X

n=1 ∞ X

n=1

3.

2n + 1 n2 (n + 1)2

6.

1 4n2 − 1

9.

2n+1 32n

12.

1 nn

15.

√ n n+1 (−1) 3n − 2

18.

6. Encontre os valores de x que tornam a série

∞ X

n=1

∞ X

3 9n2 + 3n − 2 n=1 ∞ X 1 1 − 2n−2 3n+2

n=1 ∞ X

2 (4n − 3)(4n + 1) n=1 ∞ n X 2 sen(nπ + π2 ) 32n−2 n=1 ∞ X

n=1 ∞ X

n=1

e−n + en 6

1 − 2 cos n en

x2n convergente; e calcule o valor da soma.

177

Christian José Quintana Pinedo 7. Idem ao Exercício 6 para a série

∞ X (x − 3)n

n=1

2n+1

.

8. Sejam ai , bi ∈ R onde i = 1, 2, 3, · · · , n. Mostre a desigualdade de Cauchy - Schwarz: ∞ X

n=1

9. A série

∞ X

an bn

2

≤

∞ X

n=1

a2n

∞ X

n=1

b2n

an converge se, e somente se, para todo ε > 0, existe um n0 > 0 tal que n > n0

n=1

implica:

|an+1 + an+2 + an+3 + · · · + an+p | < ε 10. 11. 12.

para cada

p ∈ N+

178


5.4

SÉRIE DE TERMOS POSITIVOS

Uma série

∞ X

an onde cada termo an é maior ou igual do que zero é denominada série de

n=1

termos positivos.

Propriedade 5.8. Seja {an } uma seqüência com an ≥ 0 para todo n ∈

N+ .

Então a série

se, e somente se, a seqüência de somas parciais {sn } é limitada.

∞ X

an é convergente

n=1

Demonstração. Temos pela Propriedade (5.4) que se a série

∞ X

an converge, então sua seqüência de somas

n=1

parciais é limitada. Inversamente.

Suponhamos que a seqüência de somas parciais {sn } é limitada, como an ≥ 0 para todo

n ∈ N+ então:

sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an ≤ a1 + a2 + a3 + · · · + an + an+1 = sn+1 Logo, a seqüência de somas parciais {sn } é crescente; ainda mais sendo limitada segue pela ∞ X Propriedade (4.18) que {sn } é convergente, assim an é convergente . n=1

Exemplo 5.32. ∞ X 1 A série é convergente. n(n + 1) n=1

Observe que

1 1 1 = − para todo n ∈ N+ . n(n + 1) n n+1

Como sn =

1 1 1 1 1 + + + ··· + , tem-se que sn = 1 − ≤ 1 para todo 1·2 2·3 3·4 n(n + 1) n+1

n ∈ N+ .

Sendo os termos positivos, e a seqüência de somas parciais {sn } limitada, então série

é convergente.

∞ X

n=1

Definição 5.2. Dizemos que a série

∞ X

an é dominada pela série

n=1

Nesse caso

∞ X

n=1

Observação 5.6.

an é a série dominada e

∞ X

n=1 ∞ X

bn quando an ≤ bn ,

bn é a série dominante.

n=1

Para séries de termos positivos, os seguintes fatos são imediatos: 1. A seqüência sn de somas parciais é monótona crescente.

∀ n ∈ N+ .

1 n(n + 1)

179

Christian José Quintana Pinedo ∞ X

2. Se a série

an é dominada pela série

n=1

e {tn } satisfazem a relação sn ≤ tn ,

∞ X

n=1

bn , as respectivas séries de somas parciais {sn }

∀ n ∈ N+ .

Estes fatos junto com a Propriedade (4.21) estabelecem o seguinte critério de convergência conhecido como critério de comparação.

5.4.1

Critério de comparação.

Propriedade 5.9. Critério de comparação. ∞ ∞ X X bn duas séries de termos positivos: an e Sejam n=1

n=1

i) Se a série

∞ X

n=1

ii) Se a série

bn converge e an ≤ bn , ∀ n ∈ N+ , então a série

∞ X

an diverge e an ≤ bn , ∀ n ∈ N+ , então a série

n=1

∞ X

an também converge.

n=1 ∞ X

an também diverge.

n=1

Sendo as afirmações i) e ii) equivalentes, é suficiente mostra apenas uma delas. Demonstração. i) Sejam {sn } e {tn } as seqüências de somas parciais das séries

∞ X

an e

n=1

∞ X

bn respectivamente.

n=1

Como {tn } é uma seqüência convergente, ela é limitada e; sendo 0 ≤ sn ≤ tn , ∀ n ∈ N+ então

{sn }, além do monótona também é limitada e, portanto convergente. ∞ X Logo a série an correspondente é convergente. n=1

Observação 5.7. Embora os resultados que envolvem uma série dominada por outra sejam, em geral, enunciados e demonstrados, admitindo-se que esse domínio ocorra para todos os termos das séries, eles continuam sendo válidos quando uma das séries é dominada pela outra a partir de uma certa ordem. Exemplo 5.33. Determine a convergência ou divergência da série

∞ X 1+n 1 + n2

n=1

Solução.

Como n ≥ 1, então 1 + n2 ≤ n + n2 ≤ n(n + 1), logo Sendo a série também diverge. Exemplo 5.34.

1+n 1 ≥ , ∀ n ∈ N+ 1 + n2 n

∞ ∞ X X 1+n 1 é divergente, segue pelo critério de comparação que a série n 1 + n2

n=1

n=1

180


(a) Da relação Lnn ≥ 1, ∀ n ≥ 3, segue que

∞ X Lnn 1 1 ≥ , n ≥ 3 e, como a série harmônica n n n n=1

diverge, segue pelo critério de comparação que a série

∞ X

n=1

(b) As séries

∞ ∞ X X 1 1 e são convergentes, pois elas são dominadas respectivamente, pelas n! 2n2

n=1

séries

Lnn também diverge. n

∞ X

n=1

n=1

1 2n−1

Exemplo 5.35.

e

∞ X

n=1

n2

1 . +n

Se a série dominada for convergente, então a série dominante pode convergir ou divergir. ∞ ∞ X X 1 1 A série convergente é dominada pela série divergente . 2 n n n=1

n=1

Exemplo 5.36.

Mostre que a série

∞ X 1 é divergente se p ∈ R, np

n=1

Demonstração.

p ≤ 1.

1 1 ≤ p ∀ n ∈ N+ . Como a série Com efeito, se p ≤ 1 ⇒ np ≤ n, ∀ n ∈ N+ , logo n n ∞ ∞ X X 1 1 harmônica é divergente, então a série p ∈ R, p ≤ 1 também é divergente. n np n=1

5.4.2

n=1

Critério de integral.

Propriedade 5.10. Critério da integral. Consideremos a função f : [1, +∞) −→ R contínua e suponhamos que f seja não negativa e

monótona decrescente; isto é: (a)

f (x) ≥ 0, ∀ x ≥ 1.

(b)

f (x) ≥ f (y), sempre que 1 ≤ x ≤ y. Nessas condições a série

∞ X

f (n) é convergente se, e somente se, a integral

n=1

convergente.

Z∞

f (n) for

n=1

Demonstração. Seja sn = f (1)+f (2)+f (3)+· · ·+f (n) para n ∈ N+ , e consideremos a função F : [1, +∞) −→

R definida por:

F (t) =

Zt 1

f (x)dx

para

t ∈ [1, +∞)

como f (x) é contínua, pelo Teorema do Valor Médio para Integrais existe α ∈ R tal que k+1 Z f (x)dx = [(k + 1) − k]f (α) = f (α) sendo que α ∈ (k, k + 1); isto é k < α < k + 1. k

181

Christian José Quintana Pinedo Pelo fato ser f (x) decrescente não negativa, temos: k+1 Z 0 ≤ f (k + 1) ≤ f (x)dx ≤ f (k) k

para k ∈ N+ . Assim obtemos: F (n + 1) =

Z2

f (x)dx +

Z3

f (x)dx +

3

2

1

Z4

f (x)dx + · · · +

n+1 Z

f (x)dx

n

≤ f (1) + f (2) + f (3) + · · · + f (n) = sn ≤ f (1) +

Z2

f (x)dx +

Z3

f (x)dx +

3

2

1

Z4

f (x)dx + · · · +

Zn

f (x)dx = f (1) + F (n)

n−1

De onde: para

F (n + 1) ≤ sn ≤ f (1) + F (n) Suponhamos que a integral

Z∞

n ∈ N+

(5.18)

f (x)dx seja convergente. Como F (x) é decrescente, temos em

1

(5.18) que:

sn ≤ f (1) + F (n) ≤ f (1) + lim F (n) ≤ f (1) + n→∞

Z∞

f (x)dx

1

para todo n ∈ N+ . Assim a seqüência de somas parciais {sn } é limitada e, sendo monótona, pela ∞ X f (n) é convergente. Propriedade (5.8) segue que a série Inversamente.

Suponhamos que a série todo n ∈ N+ .

n=1

∞ X

n=1

f (n) seja convergente então existe N ∈ R tal que sn ≤ N para

De (5.18) temos que F (n + 1) ≤ N para todo n ∈ N+ .

Como F (t) é decrescente, isto implica que F (t) ≤ N para todo t ∈ [1, +∞). Sendo f (x) Z∞ f (x)dx converge. positivo, deduzimos de (5.18) que a integral imprópria 1

Além de dar informação relativa à convergência de uma série, o critério da integral pode ser usado para calcular a soma da série. Exemplo 5.37. 1 atende as condições da propriedade no intervalo [1, ∞). De fato, nesse x3 −3 intervalo a função f (x) é claramente contínua e não negativa e como sua derivada f 0 (x) = 4 x é negativa para todo x ≥ 1, então f (x) é decrescente. A função f (x) =

182


A integral imprópria

Z∞

f (x)dx = 1 é convergente, por conseguinte a série

∞ X 1 converge. n3

n=1

1

Observação 5.8. Quando utilizamos o critério da integral, o valor da integral imprópria não é necessáriamente igual ao valor da soma da série, no caso de esta convergir. Propriedade 5.11. Consideremos a função f : [1, +∞) −→ R contínua e suponhamos que f (x) seja não negativa Z∞ ∞ X f (n) e monótona decrescente. Se a integral imprópria f (x)dx converge, então a série Z∞

converge, e:

1

f (x)dx ≤

∞ X

n=1

f (n) ≤ f (1) +

Z∞

n=1

1

f (x)dx.

1

A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor. Exemplo 5.38. Mostre que a série

∞ X 1 , np

n=1

p ∈ R converge se p > 1 e diverge se p ≤ 1.

Demonstração. Tem-se f (x) =

1 , e observe que, quando p 6= 1: xp

+∞ Z f (x)dx = 1

1 · 1−p

m 1 = 1 − 1 lim xp−1 1 1 − p m→+∞ mp−1 1

Na igualdade (5.19) quando p > 1 tem-se que quando p > 1,

Z∞

f (x)dx =

Para o caso p < 1, na igualdade (5.19) tem-se que diverge quando p < 1, Se p = 1

⇒

Z∞ 1

+∞ = f (x)dx = Lnx

Exemplo 5.39. ∞ X e−n é convergente. A série n=1

Com efeito,

Z∞ 1

Z∞ 1

p ∈ R. 1

+∞ 1 e−x dx = − e−x = e 1

f (x)dx = −∞, logo a série

lim Lnm = +∞.

m→+∞

∞

X 1 1 , logo a série converge p−1 xp n=1

1

p ∈ R.

(5.19)

∞ X 1 xp

n=1

183


5.4.3

Critério de comparação no limite.

Propriedade 5.12. Critério de comparação no limite. ∞ ∞ X X an . Sejam an e bn duas séries de termos positivos e seja L = lim n→∞ bn n=1

n=1

i) Se L > 0, então as séries

∞ X

an e

n=1

ii) Se L = 0 e

∞ X

bn converge, então

n=1

iii) Se L = ∞ e

∞ X

∞ X

bn são ambas convergentes ou ambas divergentes.

n=1 ∞ X

an também converge.

n=1

bn diverge, então

n=1

∞ X

an também diverge.

n=1

Demonstração. A demonstração é consequência imediata da Propriedade (5.9) observe que em i) e ii) a série ∞ X

bn a partir de um certo momento, passa a dominar a série

an , enquanto em iii) a série

n=1

n=1 ∞ X

∞ X

bn passa a ser dominada pela série

∞ X

an .

n=1

n=1

1 Por exemplo, em i), fixando ε = na definição de limite de seqüência encontramos um índice 3 1 4 n0 tal que bn ≤ an ≤ bn , ∀ n ≥ n0 . 3 3 Exemplo 5.40. Determine se a série

n=1

Solução. Seja an = 1 (r = < 1). 2

∞ X 1 converge ou diverge. nn

∞ X 1 1 1 e consideremos b = ; sabe-se que a série geométrica é convergente n nn 2n 2n n=1

1 n n 2n an 2 n = 0. = lim n = lim Então, lim = lim 1 n→∞ n n→∞ bn n→∞ n→∞ n 2n ∞ X 1 Pela parte ii) da Propriedade (5.12) segue que a serie é convergente. nn n=1

Exemplo 5.41.

√ √ ∞ X 7 n 7 n Estamos a estudar a convergência da série , logo an = . 6n − 3 6n − 3 1 Observe que quando bn = √ , resulta n

n=1 √ 7 n lim 6n−3 n→∞ √1 n

√ √ 7 n n 7 · = > 1. n→∞ 6n − 3 1 6

= lim

184

Cálculo Vetorial e Séries Como a série

√ ∞ ∞ X X 1 7 n √ diverge, então também diverge. 6n − 3 n n=1 n=1

Observação 5.9. Observemos que a propriedade associativa não é válida para qualquer soma infinita. Por exemplo, a série

∞ X

(−1)n torna-se convergente quando seus termos são agrupados de

n=1

modo conveniente. De fato:

(−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · · + ((−1)n + (−1)n+1 ) + · · · + = 0 Este fenômeno não ocorre para série de termos positivos convergentes como mostra a seguinte propriedade. Propriedade 5.13. Do reagrupamento. O valor da soma de uma série de termos positivos convergente, não é alterado por um reagrupamento de seus termos. Demonstração. ∞ ∞ X X Seja an uma série convergente para S, e seja bn a série obtida por reagrupamento. n=1

n=1

Se {sn } e {tn } denotam, respectiva,mente, as somas parciais de seqüência {sn } converge para S e para cada n temos tn ≤ S.

∞ X

an e

n=1

∞ X

bn , então a

n=1

Ora, a seqüência {tn } é monótona e limitada por S, logo convergente. Se T é seu limite, ∞ ∞ X X então T ≤ S e, invertendo o raciocínio podemos analisar a série an como obtida de bn n=1

por reagrupamento, e uma repetição do argumento acima descrito implica que S ≤ T . Por tanto S = T .

5.4.4

Critério de Raabe

Propriedade 5.14. ∞ X an+1 Seja an uma série de termos positivos, se k = lim n 1 − então: n→∞ an n=1

1.

k > 1, a série

∞ X

an converge.

n=1

1.

k < 1, a série

∞ X

an diverge

n=1

1.

k = 1 nada a concluir. A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor.

n=1

185

Christian José Quintana Pinedo Exemplo 5.42. Determine quais das seguintes séries são convergentes, ou quais são divergentes: 1.

∞ X

1 2 n +1

∞ X

4n2

n=1

3.

n=1

2.

∞ X n2 − 1 2n2 + 1

n=1

a −1

Solução. 1. Tem-se que an =

1 1 e an+1 = . n2 + 1 (n + 1)2 + 1

an+1 n2 + 1 = Logo k = lim n 1 − = lim n 1 − n→∞ n→∞ an (n + 1)2 + 1 = lim

n→∞

De acordo com a Propriedade (5.14) a série Solução.

∞ X

n=1

2.

n2

2n2 + n = 2 > 1. n2 + 2n + 2

1 é convergente. +1

Observe que para todo n ∈ N+ tem-se: an =

De onde:

n2 − 1 2n2 + 1

e

an+1 =

(n + 1)2 − 1 n2 + 2n = 2(n + 1)2 + 1 2n2 + 4n + 3

an+1 = k = lim n 1 − n→∞ an −6n2 − 3n n2 + 2n 2n2 + 1 = lim n 1 − 2 = lim · 2 = 0 < 1. n→∞ n→∞ (n2 − 1)(2n2 + 4n + 3) 2n + 4n + 3 n − 1

De acordo com a Propriedade (5.14) a série

∞ X n2 − 1 é divergente. 2n2 + 1

n=1

3. ∞ X Na série

Solução.

a a a tem-se que: an = 2 e an+1 = . −1 4n − 1 4(n + 1)2 − 1 n=1 Pelo critério da Propriedade (5.14) tem-se: 4n2

an+1 4n2 − 1 a = k = lim n 1 − · = lim n 1 − n→∞ n→∞ an 4(n + 1)2 − 1 a 8n2 + 4n 8n + 4 k = lim n = lim 1 − 2 =2>1 n→∞ n→∞ 4n2 + 3n + 3 4n + 3n + 3

De acordo com a Propriedade (5.14) a série

∞ X

n=1

Exemplo 5.43.

a é convergente. −1

4n2

186

Cálculo Vetorial e Séries A seguinte série

∞ X

cos

n=1

sol

2n + 1 n2 + n

Aplicando a seguinte identidade

· sen

1 é convergente., calcular sua soma. n2 + n

2senA. · cos B = sen(A + B) + sen(A − B) temos:

−2n 1 1 2n + 2 · sen 2 = sen 2 + sen 2 an = cos 2 n +n n +n 2 n +n n +n 2n + 1

2 1 2 sen − sen an = 2 n n+1

Assim. sn = a1 + a2 + a3 + · · · ,. então: sn =

Portanto,

∞ X

n=1

cos

1 2 sen 2 − sen 2 n+1

2n + 1 n2 + n

· sen

⇒

1 sen 2 . = n2 + n 2

lim sn =

n→∞

sen 2 2

187


Exercícios 5-3

1. Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes: 1. 4. 7. 10. 13.

∞ X

n=1 ∞ X

n=1 ∞ X

n=1 ∞ X

n=1 ∞ X

n=1 ∞ X

1 2 n +1

2.

1 Lnn

5.

[| cos( 4π n e−n

− 6

+ 4n

π 2)

+ 4|]

en

8. 11.

ln n 5n

14.

Lnn n2

17.

19.

1 √ n2 + 4 n=1

20.

22.

∞ X

1 2n − 1

23.

n+1 n+2

26.

16.

25.

n=1 ∞ X

n=1 ∞ X

n=1

∞ X

∞ X

3.

1 √ n+1 n=1

1 √ n n+1 n=1

6.

1 nLnn

∞ X 1 1 − 5) ( 3n n

∞ X

9.

n=1 ∞ X

n! (5n)!

n=1 ∞ X

1 3 n + 4n

n=1 ∞ X

1 √ 2 n +n n=1

12.

∞ X n en 2 n=1 ∞ X

n=1 ∞ X

n=1 ∞ X

n=1 ∞ X

n=1

n=1 ∞ X

15.

Lnn n

18.

1 (n + 1)(n + 2)

21.

1 (2n + 1)2

24.

arctan n n2

27.

são convergentes. Sugestão compará-las com as séries

∞ X

n=1

i=1

∞ X i=1

7 (4n − 3)(4n + 1)

∞ X i=1

n=1 ∞ X

n · e−n

n=1 ∞ X

1 n(Lnn)2

n=1 ∞ X

1 e n2

∞ X

n=1 ∞ X

n=1

∞ X senh(2n) i=1

(−1)

n=1 ∞ X

3. Determine quais das séries convergem ou divergem: ∞ X |[cos 2π n + 1 ]| 2n

n=1 ∞ X

n=1

2. Usando o critério de comparação no limite, determine se as séries

n3

[2 + (−1)2n+3 ]

1 (2n)n

n

√

n+1 3n2 + 2

1 n · 2n

n−1 n

e−n

2

e

∞ X

n=1

1 n4

sen4

1 n

188


4. Use o critério da integral para determinar se a série dada converge ou diverge: 1.

∞ X i=1

4.

∞ X i=1

7.

1 4n + 3

∞ X Lnn i=1

10.

1 n+2

∞ X i=1

n

nk e−n , k ∈ N+

2.

∞ X

e−n

3.

i=1

5.

∞ X i=1

8.

∞ X i=1

11.

6. 7.

ne−n

i=1

1 n2 + 1 n n2 + 3

∞ X 1 n3

6.

∞ X i=1

9.

1 2n + 1

∞ X nk−1 , k ∈ N+ nk + c i=1

12.

i=1

5. A função zeta de Riemann para números reais é dada por : o domínio dessa função.

∞ X

∞ X 1 √ 3 n i=1

ξ(x) =

∞ X i=1

n−x . Determine

189


5.5

SÉRIE ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE

Definição 5.3. Série absolutamente convergente. ∞ ∞ X X Dizemos que uma série an é absolutamente convergente, se a série |an | é convergente. n=1

Observe, se an ≥ 0,

∀n ∈

n=1

N+

⇒

|an | = an , assim, a série é

∞ X

an é absolutamente con-

n=1

vergente. Para o caso de alguns termos an positivos e negativos, a convergência e a convergência absoluta não é a mesma. Exemplo 5.44. Toda série convergente, cujos termos não mudam de sinal é absolutamente convergente. Em ∞ X particular quando −1 < r < 1, a série geométrica rn é absolutamente convergente, pois n=1

|rn | = |r|n , com 0 ≤ |r| < 1.

A propriedade seguinte pode ser interpretada assim: “se tomarmos uma série convergente cujos termos são todos positivos e, de um modo completamente arbitrário, trocamos as sinais de alguns dos seus termos, obteremos ainda uma série convergente”. Propriedade 5.15. Toda série absolutamente convergente, é convergente. Demonstração. ∞ X Seja an uma série absolutamente convergente, para cada n ∈ N+ , seja bn = |an | − an . n=1

Por hipótese, a série

∞ X

n=1

|an | é convergente, além disso como: 0 ≤ bn = |an | − an ≤ |an | + |an | = 2|an |

para todo n ∈ N+ . Logo deduzimos pelo critério de comparação que a série Mais, an = |an | − bn e pela Propriedade (5.12) segue que a série

∞ X

∞ X

bn é convergente.

n=1

an é convergente.

n=1

Exemplo 5.45. ∞ X (−1)n A série é absolutamente convergente. Observe que: n2 n=1

Como

(−1)n 1 n2 = n2 ,

∀ n ∈ N+

∞ ∞ X X (−1)n 1 é convergente, segue-se que a série é absolutamente convergente. n2 n2

n=1

n=1

190


Exemplo 5.46. ∞ X (−1)n A série não é absolutamente convergente. Observe que: n n=1

(−1)n 1 n = n,

∀ n ∈ N+

∞ ∞ X X (−1)n 1 é divergente, segue-se que a série não é absolutamente convergente. n n

Como

n=1

n=1

Mais ainda, mostraremos na Seção 5.6 que a série

∞ X (−1)n

n=1

5.5.1

n

é convergente.

Condicionalmente convergente.

Definição 5.4. Série condicionalmente convergente. ∞ X an é condicionalmente convergente, quando for convergente, e a Dizemos que uma série série

∞ X

n=1

n=1

|an | for divergente.

Exemplo 5.47. X 1 A série (−1)n 2 é condicionalmente convergente. n n→∞ X 1 Com efeito, a série (−1)n √ converge pelo critério das séries alternadas, não obstante 3 n n→∞ X 1 X 1 (−1)n √1 = √ diverge, pois é uma série p com p = . 3 3 3 n n n→∞ n→∞ Propriedade 5.16. ∞ X an uma série dada de números reais, e definimos: Seja n=1

pn = ∞ X

i) Se

|an | + an , 2

qn =

an é condicionalmente convergente então,

n=1

ii) Se

∞ X

n=1

∞ X

n=1 ∞ X

n=1

|an | − an

|an | é convergente então,

pn −

∞ X

∞ X

n=1

pn e

∞ X

pn e

n ∈ N+ ∞ X

qn são ambas divergentes.

n=1

qn são ambas convergentes, e temos:

n=1

∞ X

n=1

qn .

n=1

Demonstração. i) Consideremos an = pn − qn , |an | = pn + qn . ∞ ∞ X X |an | seja divergente. an seja convergente e Suponhamos que se n=1

(5.20)

n=1

an =

191

Christian José Quintana Pinedo Caso

∞ X

qn seja convergente então

n=1

modo análogo, se

∞ X

∞ X

pn também é convergente, pois pn = an + qn . De

n=1

pn é convergente então

∞ X

qn também é convergente.

n=1

n=1

Por conseguinte, se uma ou outra das séries convergem, ambas devem convergir, e deduzimos ∞ X |an | converge pelo fato |an | = pn + qn . que a série n=1

Esta contradição mostra i).

Demonstração. ii) Para demonstrar ii) utilizamos as igualdades em (5.20) junto com a Propriedade (5.5) A Propriedade (5.13) pode ser considerada de forma mais geral para as séries absolutamente convergentes. Propriedade 5.17. ∞ ∞ ∞ X X X Se a série an é absolutamente convergente com soma S, e bn é obtida de an por n=1

um reagrupamento, então

∞ X

n=1

n=1

bn é absolutamente convergente e tem soma S.

n=1

Demonstração. É claro que: 0≤

∞ X

n=1

|bn | ≤

de onde segue que as somas parciais da série

∞ X

n=1

|an |,

∞ X

n=1

∀ n ∈ N+

|bn | formam uma seqüência monótona crescente

e limitada, sendo portanto convergente. ∞ X Assim, a série bn converge absolutamente, e resta mostrar que ela tem soma S. n=1

Denotemos, por {sn } e {tn } as somas parciais das séries e consideremos ε > 0 dado. A convergência absoluta da série

∞ X

an e

n=1 ∞ X

∞ X

bn , respectivamente

n=1

an garante a existência de um

n=1

índice n tal que |sn − S| <

ε 2

e

ε |an+1 | + |an+2 | + |an+3 | · · · + |an+p | < , 2

∀ p ∈ N+

Se m é um índice suficientemente grande, então a soma parcial tn contém todos os termos aj ,

1 ≤ j ≤ n, e certamente outros, e dessa forma podemos escrever: t m = a 1 + a 2 + a 3 + · · · + a n + a k1 + a k2 + · · · + a kr

onde k1 , k2 , k3 , · · · kr são inteiros maiores do que n. Se n+p0 é o maior dos números k1 , k2 , k3 , · · · kr

192


então: |tm − sn | ≤ |ak1 | + |ak2 | + |ak3 | · · · + |akr | ≤ |an+1 | + |an+2 | + |an+3 | · · · + |an+p0 | <

ε 2

e usando esta desigualdade obtemos: |tm − S| ≤ |tm − sn | + |sn − S| <

ε ε + = 2 2

A seguinte propriedade sobre o produto de Cauchy para séries absolutamente convergentes, será apresentado sem demonstração, o leitor interessado pode consultar [?]. Propriedade 5.18. ∞ ∞ X X Sejam an é bn séries absolutamente convergentes, então: i) A série

n=1 ∞ X

n=1

an bn é absolutamente convergente.

n=1

ii) O produto de Cauchy

∞ P

cn das séries

n=1

∞ X

an é

n=1 ∞ X

cn =

n=1

∞ X

bn é absolutamente convergente, e:

n=1

∞ X

n=1

an

∞ X

an

n=1

O critério de convergência a seguir, embora não conclusivo em alguns casos, constitui-se no mais importante teste de convergência para séries numéricas, não apenas do ponto de vista técnico, mais também como nas aplicações às “Séries de Potências”.

5.5.2

Critério de comparação.

Propriedade 5.19. Critério de comparação. ∞ ∞ X X Sejam an tais que bn duas séries e |an | ≤ K|bn |, ∀ n ∈ N+ , n=1

i) Se a série

∞ X

bn é absolutamente convergente, então a série

n=1

∞ X

∞ X

an também é absolutamente

n=1

convergente. ii) Se a série

K > 0:

n=1

an não é absolutamente convergente, então a série

n=1

∞ X

an não é absolutamente

n=1

convergente.

Demonstração. i) ∞ ∞ X X Se a série |bn | é convergente, pela Propriedade (5.12) segue-se que |an | é convergente, n=1

de onde pela Propriedade (5.15) segue que

∞ X

n=1

n=1

an é absolutamente convergente.

193

Christian José Quintana Pinedo A demonstração de ii) é exercício para o leitor.

Exemplo 5.48. ∞ X sen n A série é absolutamente convergente. 2n n=1 ∞ sen n X 1 1 é absolutamente É imediato que n ≤ n para todo n ∈ N+ . Como a série 2 2 2n n=1 ∞ X sen n convergente, pela Propriedade (5.19), a série é absolutamente convergente. 2n n=1

Exemplo 5.49. ∞ X n−2 é absolutamente convergente. (−1)n 3 A série n +1 n=1 n − 2 n ≤ n + 2 para todo n ∈ N+ . Com efeito, (−1) 3 n + 1 n3 + 1

Por outro lado, como n + 2 ≤ 3n e n3 < n3 + 1 então temos que:

Como a série

∞ X

n=1

mente convergente.

(−1)n

(−1)n n − 2 ≤ n + 2 ≤ 3n = 3 3 n + 1 n3 + 1 n3 n2

∞ X 3 n−2 (−1)n 3 é convergente, obtemos que a série é absoluta2 n n +1 n=1

Observação 5.10. ∞ X an é absolutamente convergente, então ela é convergente e: Se a série n=1

∞ ∞ X X |an | an ≤ n=1

n=1

Propriedade 5.20. ∞ X Seja bn una série absolutamente convergente, com bn 6= 0 para todo n ∈ N+ . Se a seqüênn=1

cia

na o n

for limitada (em particular se for convergente), então a série

bn convergente

Demonstração.

∞ X

an será absolutamente

n=1

a n ser limitada, então existe C ∈ R tal que a seqüência ≤ Pelo fato a seqüência bn bn C ⇒ |an | ≤ C|bn | para todo n ∈ N+ . ∞ X Pela Propriedade (5.19) segue que a série an é absolutamente convergente. na o n

n=1

194


5.5.3

Critério D’Alembert’s.

Propriedade 5.21. Critério D’Alembert’s1 . Seja an 6= 0 para todo n ∈ ∞ X

i) Se r < 1, a série

N+

an+1 = r ∈ R. e suponhamos que lim n→∞ an


n=1

ii) Se r > 1, a série

∞ X

an diverge.

n=1

Demonstração. i)

an+1 = r < s, existe p ∈ N+ tal Seja r < 1, e s ∈ R de modo que r < s < 1. Como lim n→∞ a n an+1 < s para n ≥ p. que an De onde |ap+1 | < s|ap |, também |ap+2 | < s|ap+1 | e assim sucessivamente, obtém-se que

|ap+k | ≤ sk |up | para k ∈ N+ . Seja K = max .{

|ai | /.i = 1, 2, 3, · · · p } então: si |an | ≤ K · sn

Como 0 < s < 1, e sabemos que

∞ X

para todo

n ∈ N+

sn converge; logo pelo critério de comparação

n=1

∞ X

n=1

também converge. ∞ X Portanto an é absolutamente convergente.

|an |

n=1

Demonstração. ii)

Seja r > 1 e consideremos t ∈ R tal que 1 < t < r, logo existe p ∈

para n ≥ p.

de modo análogo mostra-se que: |ap+k | ≥ tk · |ap |

Temos que:

∞ X

n=1

tk · |ap | ≤

∞ X

n=1

Portanto,

∞ X

∞ X k=1

k ∈ N+

k

t · |ap |diverge quando k → ∞; logo

an

n=1

Observação 5.11. 1

an+1 >t que satisfaz an

|ap+k |.

Sendo t > 1, e |ak | > 0, a série diverge.

para

N+

Também conhecido como Critério da razão.

∞ X k=1

|ap+k | também

195


an+1 não existe ou for igual a 1, o critério D’Alembert’s não pode ser 1. Se o limite lim n→∞ an usado, e teríamos que recorrer a outros métodos. 2. Segue do critério de D’Alembert’s e da Propriedade (5.2) que se {an } é uma seqüência de números não negativos e se:

an+1 < 1, lim n→∞ an

⇒

lim an = 0

n→∞

an+1 = +∞, as séries divergem. 3. Se lim n→∞ an

Fica como exercício para o leitor a demonstração da parte 3. desta observação.

Exemplo 5.50. ∞ X n A série é absolutamente convergente. 2n n=1 n Com efeito, seja an = n para n ∈ N+ , então: 2 1 (1 + ) an+1 n + 1 2n n an = 2n · n = 2

an+1 1 = . Calculando o limite, r = lim n→∞ an 2 ∞ X n Portanto a série é absolutamente convergente. 2n n=1

Exemplo 5.51. ∞ X an é absolutamente convergente, para todo a ∈ R. A série n! n=1

Com efeito, se a = 0 é imediato.

an para n ∈ N+ , então: n! an+1 an+1 |a| n! = an (n + 1)! · an = n + 1

Suponhamos que a 6= 0, e seja an =

an+1 = lim |a| = 0. Calculando o limite, r = lim n→∞ an n→∞ n + 1 Portanto a série

∞ X an

n=1

n!

é absolutamente convergente.

Exemplo 5.52. ∞ X 3n é divergente. A série 2n + 3 n=1

196

Cálculo Vetorial e Séries Seja an =

3n para todo n ∈ N+ , logo 2n + 3

3 2+ an+1 3n+1 2n + 3 n an = 2n + 5 · 3n = 3 · 5 2+ 2n an+1 = 3. Calculando o limite, r = lim n→∞ an ∞ X 3n Portanto a série é divergente. 2n + 3 n=1

5.5.4

Critério de Cauchy.

Propriedade 5.22. Critério de Cauchy2 . p Suponhamos que lim n |an | = r ∈ R. n→∞

∞ X

i) Se r < 1, a série


n=1

ii) Se r > 1, a série

∞ X

an diverge.

n=1

Demonstração. i) Seja r < 1, e s ∈ R de modo que r < s < 1. Como lim n→∞ p que | n |an || < s para n ≥ p. |ai | Seja K = max .{ 1, i /.i = 1, 2, 3, · · · p } então: s |an | ≤ K · sn Como 0 < s < 1, e sabemos que

∞ X

para todo

p n |an | = r < s, existe p ∈ N+ tal

n ∈ N+

n

s converge; logo pelo critério de comparação

n=1

também converge. ∞ X an é absolutamente convergente. Portanto

∞ X

n=1

|an |

n=1

Demonstração. ii)

Se r > 1, então existe p ∈ N+ tal que

p n

|an | ≥ 1 para n ≥ p.

Como |an | ≥ 1 para n ≥ p, seqüência {|an |} não converge para zero, pela Propriedade (5.2)

esta série diverge.

Portanto, lim

n→∞

p n |an | diverge se r > 1.

Observação 5.12. 1. Se o limite lim

n→∞

p n |an | não existe ou for igual a 1, o critério de Cauchy não pode ser usado,

e teríamos que recorrer a outros métodos. 2

Também conhecido como Critério da Raiz

197

Christian José Quintana Pinedo 2. Segue do critério de Cauchy e da Propriedade (5.2) que se {an } é uma seqüência se: lim

n→∞

3. Se lim

n→∞

p n

|an | < 1,

⇒

lim an = 0

n→∞

p n |an | = +∞, as séries divergem.

Exemplo 5.53.

Mostre que a série

∞ X n é absolutamente convergente. 2n

n=1

Demonstração.

Aplicando o critério de Cauchy e a Propriedade (4.6)tem-se que: lim

n→∞

r n

√ n 1 1 1 1 Lnn = lim n n = · exp( lim ) = · e0 = n n→∞ n→∞ 2 2 2 n 2 2

Segundo o critério de Cauchy, a série

∞ X n é absolutamente convergente. 2n

n=1

Exemplo 5.54. ∞ X A série np an convergente absolutamente se |a| < 1, e é divergente se |a| > 1. n=1 p p √ Com efeito, n |np an | = ( n n)p |a| para n ∈ N+ , de onde lim n |np an | = |a|. n→∞

Se |a| < 1 pelo critério de Cauchy, a série é absolutamente convergente. Se |a| > 1 a série diverge.

A propriedade seguinte relaciona os critérios de D’Alembert’s e Cauchy, para determinar a convergência de seqüências. Propriedade 5.23.

an+1 = L, então Seja {an } uma seqüência cujos termos são diferentes de zero. Se lim n→∞ a n p lim n |an | = L

n→∞

Demonstração.

Sem perda de generalidade podemos supor que an > 0 para todo n ∈ N+ .

Dado ε > 0, fixemos K, M tais que L − ε < K < L < M < L + ε. Existe p ∈ N+ tal que an+1 < M. n≥p ⇒ K< an ap+i Multiplicando ambos os membros as n−p desigualdades K < < M, i = 1, 2, · · · , (n− ap+i−1 an < M n−p para n > p. p), obtemos K n−p < ap ap ap Ponhamos α = p e β = p . K M √ √ √ Então K n α < an < M n β. Extraindo raízes, temos que K n α < n an < M n β para todo n > p.

√ √ Considerando que L − ε < K, M < L + ε, lim n α = 1 e lim n β = 1, concluímos que n→∞ n→∞ √ √ existe n0 > p tal que L − ε < K n α e M n β < L + ε sempre que n > n0 .

198

Cálculo Vetorial e Séries Assim, L − ε <

√ n a < L + ε sempre que n > n . isto mostra a propriedade quando L > 0. n 0

Para o caso L = 0, é suficiente somente considerar M e não K e M . Exemplo 5.55. Por exemplo, dada a seqüência n n o √ . n n! Consideremos an =

n nn o n!

estamos a determinar a convergência da seqüência

p n nn , então n |an | = √ . n n! n!

(n + 1)(n+1) n! (n + 1)(n + 1)n n! 1 n an+1 , então, no limite = · n = · n = 1+ an (n + 1)! n (n + 1)n! n n an+1 1 n lim = e. = lim 1 + n→∞ an n→∞ n n n o converge para a constante e. Portanto, a seqüência √ n n! Como

Propriedade 5.24. Riemann. ∞ X Seja an uma série condicionalmente convergente. Alterando convenientemente ordem dos n=1

termos da série dada, podemos fazer que sua soma fique igual a qualquer número pre-fixado.

Demonstração. ∞ X Seja an a série dada. Fixado o número c, começamos a somas os termos positivos de ∞ X

n=1

an , na sua ordem natural, um a um, parando quando, ao somar an1 , a soma pela primeira

n=1

vez ultrapasse o número c (isto é possível, pois a soma dos termos positivos de

∞ X

an é +∞).

n=1

Fazemos o mesmo processo com os termos negativos até parar quando somando a n2 que é negativo fique o mais próximo possível inferior que c (isto é possível, pois a soma dos termos ∞ X negativos de an é −∞). n=1

Prosseguindo analogamente, obtemos uma nova série, cujos termos são os mesmos de

∞ X

an

n=1

numa ordem diferente.

As reduzidas desta nova série oscilam em torno do valor c, de tal modo que (a partir da ordem n1 ) a diferença entre cada uma delas e c é inferior, em valor absoluto ao termo a nk , onde houve a última mudança de sinal. Ora lim ank = 0 porque a série k→∞

∞ X

n=1

an converge.

Portanto as reduzidas da nova série convergem para c. Exemplo 5.56.

199


Exercícios 2-4

1. Determine quais das seguintes séries são absolutamente convergentes. Quais são convergentes? Quais são divergentes? 1. 4. 7. 10. 13. 16. 19. 22.

∞ X

n=1 ∞ X

n=1 ∞ X

n=1 ∞ X

n=1 ∞ X

n=1 ∞ X

n=1 ∞ X

n=1 ∞ X

n=1

(−1)n−1 (−1)n (−1)n (−1)n (−1)n

1 2n − 1

2.

1 n+3

5.

n Lnn

8.

n n+1 n2 2n

nn 2n n!

∞ X

n=1 ∞ X

n=1

11. 14. 17.

(−1)n n! (2n − 1)!

20.

(2n + 1)! (3n)!

23.

(−1)n

1 (2n)2

cos n n2 + 1

(−1)n n2 − n ∞ X

n=1 ∞ X

n=1 ∞ X

n=1 ∞ X

n=1 ∞ X

n=1

n3 2n (−2)n n! nn 3n n! 22n (2n)! 2 2n

n!

∞ X

3.

1 (−1)n √ n n=1

6.

∞ X n3 + 2

9. 12. 15. 18. 21. 24.

n=1 ∞ X

n4 + 1

(−1)n sen(n−3/2 )

n=1 ∞ X

n2 3 n

n=1 ∞ X

n! 10n

n=1 ∞ X

n=1 ∞ X

n=1 ∞ X

n=1

senhn n2

(n − 3)2 n4 1 (2n + 1)!

n 2. Suponha mostrado que lim √ = e. Usando este resultado, discuta a convergência das n→∞ n n! séries: ∞ nn ∞ nn ∞ P P P (2n)! 1. 2. 3. n n n n=1 2 n! n=1 3 n! n=1 (2n) n! 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

200 12. 13. 14. 15. 16. 17.


201


5.6

SÉRIES ALTERNADAS

Para uma série de termos positivos

∞ P

n=1

an a seqüência {sn } de somas parciais é crescente, e sua

convergência passa a ser uma conseqüência de sua limitação. Precisamente, esse foi o argumento usado na demonstração do critério de comparação e o da integral, os quais são válidos para series de termos positivos. Observe que a série

∞ X

n=1

é convergente.

−2n não é convergente, embora seja dominada pela série

∞ X 1 que n2

n=1

Definição 5.5. Uma série cujos termos são alternadamente positivos e negativos, é denominada “série alternada” Séries alternadas encontramos quando estamos a estudar fenômenos ondulatórios, cujos modelos matemáticos tem por solução funções representadas mediante séries trigonométricas (séries de Fourier) da forma: u(x, t) =

∞ X

an cos

n=1

nπt nπt nπt + bn sen sen L L L

(5.21)

onde os coeficientes an e bn que aparecem na série representam a posição e a velocidade inicias, respectivamente, de um ponto da onda. As séries alternadas se apresentam em uma das seguintes formas: ∞ X

(−1)n an

ou

n=1

∞ X

(−1)n−1 an

n=1

onde an são termos de números reais positivos.

5.6.1

Critério de Leibnitz.

Propriedade 5.25. Critério de Leibnitz. Seja {an } uma seqüência de números tais que: i) ii)

a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ · · · ≥ 0 para todo n ∈ N+ lim an = 0

n→∞

Então a série

∞ X

(−1)n−1 an é convergente

n=1

Demonstração. Seja {sn } uma seqüência de somas parciais de

∞ X

(−1)n−1 an , então:

n=1

s2n = (a1 − a2 ) + (a3 − a4 ) + (a5 − a6 ) + · · · + (a2n−1 − a2n )

202

Cálculo Vetorial e Séries Como (ak − ak+1 ) ≥ 0 então a seqüência {s2n } é crescente.

Por outro lado, temos:

s2n = a1 − (a2 − a3 ) − (a4 − a5 ) − (a6 − a7 ) − · · · − (a2n−2 − a2n−1 ) − a2n Como (ak − ak+1 ) ≥ 0 então a seqüência {s2n } é limitada por a1 , isto é s2n ≤ a1 para todo

n ∈ N+ .

Sendo {sn } uma seqüência crescente limitada, pela Propriedade (4.18) ela é convergente para

algum S ∈ R, onde S ≤ a1 .

A mostrar que a seqüência {sn } converge para S. Dado ε > 0 seja n0 > 0 tal que para n > n0 |s2n − S| ≤

ε 2

e

|a2n+1 | ≤

ε 2

Logo, se n > n0 , então: |s2n+1 − S| = |s2n + a2n+1 − S| ≤ |s2n − S| + |a2n+1 | ≤

ε ε + =ε 2 2

Assim toda soma de um número ímpar de termos também depende de ε e S. Como ε é arbitrário, deduzimos que lim sn = S. Portanto, a série

∞ X

n→∞

(−1)n−1 an é convergente.

n=1

Observação 5.13. O critério de Leibnitz pode ser modificado de modo a exigir apenas que 0 < an+1 ≤ an , para

todo n maior ou igual a algum inteiro N . Exemplo 5.57. Determine se a série alternada

Temos que an =

Logo,

(−1)n+1

n=1

Solução.

n ∈ N+ ,

∞ X

⇒

1 converge ou diverge. Lnn

1 1 , então an+1 = , além disso sendo n < n + 1 para todo Lnn Ln(n + 1)

Lnn < Ln(n + 1).

1 1 1 < para n ≥ 2, e como lim an = lim = 0. n→∞ n→∞ Lnn Ln(n + 1) Lnn

Segue da Propriedade (5.25) que a série

∞ X

n=1

Exemplo 5.58. Estude a série Solução.

∞ X

n=1

(−1)n+1

1 . 2n

(−1)n+1

1 é convergente. Lnn

203

Christian José Quintana Pinedo Observe que an = 1 2n+1

<

1 1 e an+1 = para todo n ∈ N+ . Do fato 2n < 2n+1 2n n+1

⇒

an+1 =

1 = an para todo n ≥ 1. 2n ∞ X 1 1 = 0. Segue da Propriedade (5.25) que a série (−1)n+1 n é convergente. n n→∞ 2 2

Como lim

n=1

A Propriedade (5.25) é útil para determinar o ínfimo da n-ésima soma parcial de uma série convergente. Para o caso de séries alternadas, isto é facilmente determinado; de fato, nós mostraremos que o erro é não é maior que o primeiro termo. Propriedade 5.26. Resto de uma série alternada.

Se as hipóteses da Propriedade (5.25) são satisfeitas, e S e sn denotam a soma e a n-ésima soma parcial respectivamente, então: |S − sn | ≤ an+1

n ∈ N+

para todo

Demonstração. Sejam m, n ∈ N+ tais que m ≥ n, então: sm − sn = an+1 − (an+2 − an+3 ) − (an+4 − an+5 ) − · · · − (am−1 − am ) ≤ an+1 Como lim sm = S, então 0 ≤ S − sn ≤ an+1 . n→∞

Portanto, |S − sn | ≤ an+1 para todo n ∈ N+ . Exemplo 5.59. Aproxime a série

∞ X

(−1)n−1

n=1

Solução.

1 pelos seus seis primeiros termos. n!

O critério de Leibnitz diz que esta série converge, pois A soma dos seus seis primeiros termos é: s6 = 1 −

1 1 ≤ e (n + 1)! n!

1 = 0. n→∞ n! lim

1 1 1 1 + − + ≈ 0, 63194 2 6 24 120

Pela Propriedade (5.26) temos: |S − s6 | = |R6 | ≤ a7 =

1 ≈ 0, 0002 5.040

⇒

|S − 0, 63194| ≤ 0, 0002

De onde 0, 63174 ≤ S ≤ 0, 63214. Portanto, 0, 63174 ≤

∞ X

n=1

(−1)n−1

1 ≤ 0, 63214. n!

Propriedade 5.27. ∞ ∞ X X an também converge. |an | converge, então a série alternada Se a série n=1

n=1

204


Demonstração. Por hipótese a série

∞ X

n=1

|an | converge; pela propriedade do valor absoluto −|an | ≤ an ≤ |an |,

então 0 ≤ an ≤ |an | ≤ 2|an |. Logo 0 ≤ an + |an | ≤ 2|an |, Podemos escrever 0 ≤

∞ X

n=1

(an + |an |) ≤

critério de comparação segue que Porém

∞ X

an =

n=1

Portanto,

∞ X

∞ X

n=1

X

∞ X

n=1

∀ n ∈ N+ .

2|an |. Como a série

∞ X

n=1

2|an | é convergente, pelo

n = 1∞ (an + |an |) também é convergente.

[(an + |an |) − |an |] é soma de séries convergentes.

an é convergente.

n=1

Exemplo 5.60. ∞ X (−1)n−1 é convergente se p > 0 e, é divergente se p ≤ 0. A série np n=1

1 Para o caso p > 0, a seqüência { p } é monótona decrescente e tende para zero. n 1 Se p = 0, então p = 1 para todo n ∈ N+ , e a série diverge. Se p < 0 é imediato que a série n diverge. Exemplo 5.61. ∞ X (−1)n−1 é convergente. A série n n=1

1 É claro que a seqüência { } é monótona decrescente e tende para zero. Conseqüentemente n esta série é convergente (embora não o seja absolutamente convergente). Exemplo 5.62. Determine quais das séries convergem ou divergem: ∞ ∞ X X n (−1)n n (a) (b) (−2)n−1 Ln2n n=1

Solução.

n=1

(a)

Para aplicar o teste, note que, para n ≥ 1, tem-se

1 n ≤ . 2 n+1

2n−1 n+1 n n de onde ≤ ≤ n−1 , então an+1 ≤ an . n n 2 n+1 2 2 n Por outro lado, temos a calcular lim n−1 . n→∞ 2 Aplicando a regra de L´Hospital , tem-se que: Isto implica que

lim

x

x→∞ 2x−1

= lim

1

x→∞ 2x−1 Ln2

=0

⇒

lim

n

n→∞ 2n−1

=0

205

Christian José Quintana Pinedo Portanto, a série Solução.

∞ X

n=1

(b)

n converge. (−2)n−1

Pela regra de L´Hospital temos que:

1 x = lim 1 = ∞. n→∞ n→∞ Ln2x x lim

Portanto o critério para séries alternadas não se aplica; porém, aplicando o critério do n-ésimo termo podemos concluir que a série diverge, Observação 5.14. ∞ ∞ X X an ≮ +∞ indica que a an < +∞ significa que a série é convergente; e A notação

série diverge.

n=1

n=1

Definição 5.6. Dizemos que a série alternada

∞ X

an é absolutamente convergente, se a série

n=1

n=1

vergente.

∞ X

|an | é con-

Definição 5.7. Uma a série alternada

∞ X

an que é convergente, porém não absolutamente convergente, dize-

n=1

mos que ela é condicionalmente convergente. Observação 5.15. A Propriedade (5.27) estabelece que toda série absolutamente convergente é convergente. Não obstante, uma série convergente pode não ser absolutamente convergente. Exemplo 5.63. (a) A série alternada ∞ X 1 , não é convergente. n

∞ X

(−1

n=1

n+1 1

n

é convergente, não obstante a série

∞ X (−1n+1 1 = n

n=1

n=1

(b) A série

∞ X

n=1

3 (−1) n é absolutamente convergente, pois a série 2 n

∞ X 1 3 é uma série geométrica de razão r = <. 2n 3

∞ X (−1)n 3 = n 2

n=1

n=1

Portanto, a série

∞ X

n=1

(−1)n

3 é convergente. 2n

Observação 5.16. Para determinar a convergência ou divergência de uma série alternada, recomenda-se utilizar o critério da razão.

206

5.6.2


Sumário dos Critérios para Séries de Números.

Critério do n-ésimo termo

Série ∞ X an

Converge

lim an 6= 0

n→∞

n=1

da série geométrica para séries p Propriedade (5.5) Propriedade (5.5) Propriedade (5.7)

∞ X

arn

teles-

∞ X 1 p n n=1 ∞ X an

|r| ≥ 1

p>1

p≤1

n=1 ∞ X n=1 ∞ X

∞ X

∞ X ∞ X

∞ X

dos limites da comparação (an , bn > 0)

an (bn − bn+1 )

e

an

∞ X

an = f (n) ≥ 0

Z∞

bn < +∞

1

lim

an

n=1

e

∞ X

n=1

de D’Alembert’s ou da razão de Cauchy ou da raíz de Leibnitz ou para séries alternadas

∞ X

an

n=1 ∞ X

an =L>0 bn

∞ X

bn < +∞

absolutamente p lim n |an | < 1

an

nto∞

n=1 ∞ X

n=1

absolutamente n

(−1) an

2n · a2n < +∞

se, 0 ≤ bn ≤ an e

∞ X

bn ≮ ∞

Z∞

resto: f (x)dx ≮ +∞

0 < RN <

1

k>1 an+1 <1 lim nto∞ an

an

bn ≮ +∞

n=1 ∞ X

n=1

f (x)dx < +∞

n→∞

bn < +∞

soma: S = b1 − L

lim bn = L

n→∞

se, 0 ≤ an ≤ bn

an

n=1 ∞ X

n=1

n=1

de Raabe

∞ X

se se

an < +∞

n=1

n=1

∞ X

(an + bn )

n=1 ∞ X

n=1

da integral (f contínua, positiva e decrescente)

O critério não pode ser usado para provar convergência a soma: S = 1−r

se

(an + bn )

an

n=1

∞ X

Comentário

n=1

n=1

de comparação (an , bn > 0)

|r| < 1

n=1

n=1

para séries cópicas

Diverge

0 < an+1 ≤ an e lim an = 0 nto∞

an =L>0 bn

lim

∞ X

bn ≮ +∞

n=1

k<1 an+1 >1 lim nto∞ an lim

nto∞

f (x)dx

N

n→∞

e

Z∞

p n |an | > 1

∞ X

an < +∞ caso

L=

n=1

0 e

∞ X

bn < +∞

n=1

an+1 k = lim n 1 − n→∞ an inconclusivo se: an+1 =1 lim n→∞ an inconclusivo se: p lim n |an | = 1 nto∞

Resto: |RN | ≤ aN +1

207


Exercícios 2-5 1. Determine quais das seguintes séries são convergente ou divergentes. Quias delas são absolutamente convergentes? 1. 4. 7. 10.

∞ X

n=1 ∞ X

n=1 ∞ X

n=1 ∞ X

n=1

(−1)n−1 (−1)n−1

1 2n + 1 n Lnn

(−1)n−1 sen (−1)n−1

1

Lnn n2

n

∞ X

2.

1 (−1)n−1 √ n n=1

3.

5.

∞ X

1 (2n − 1)!

6.

1 n2 + n

9.

8. 11.

n=1 ∞ X

n=1 ∞ X

n=1

(−1)n−1 (−1)n−1 (−1)n−1

12.

∞ X

n=1 ∞ X

n=1 ∞ X

n=1 ∞ X

(−1)n−1

1 Lnn

(−1)n−1

1 n2n

(−1)n−1

Lnn n

(−1)n−1

n=1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 + − + − + − + − + · · · tem termos alternados positivos e 2 3 3 4 4 5 5 6 6 negativos e seu termo geral tende para zero. Entretanto é divergente. Porque não contradiz

2. A série 1 −

a Propriedade (5.25)? 3.

208 4.


Índice Área de uma superfície, 31 Axioma

Divergente, 66 Dizimas periódicas, 164

de Arquimedes, 114, 146

Elementos da seqüência, 111

de completamento, 141

Espaço métrico, 128 completo, 128

Bolzano, 148 Funções coordenadas, 49 Campo conservativo, 65 gravitacional, 78

Gradiente, 64 Guido Fubini, 9

Campo vetorial, 63

Gustavo Jacob J., 1

Campos vetoriais

Hélice cilíndrica, 59

estacionários, 63 Cauchy, 150 Centro de massa de um fio, 58 de um sólido, 42 de uma lâmina, 25

Infimo, 113 L´Hospital, 204 Leibnitz, 201 Limite ao infinito, 121

Cesaro, 132

de uma seqüência, 121

Comprimento de um caminho, 58

unicidade, 126

Comprimento de uma linha, 52 Condição de Cauchy, 173

Média

Coordenadas polares, 20

aritmética, 129

Cota

geométrica, 130

inferior, 113

Massa

superior, 113

de um fio, 58

Critério de confronto, 144

Massa total do fio, 53

Curva fechada, 50

Momento de inércia

Curva parametrizada, 50 Curva regular, 51

de um fio, 58 Momentos de inércia de um sólido, 42

D’Alembert’s, 194 Darboux, 5 Desigualdade de Bernoulli, 145 Difeomorfismo, 56

de uma lâmina, 28 Mudança de variáveis, 17 Norma de uma partição, 2 209

210


Partição de um conjunto, 2

Teorema fundamental do cálculo, 76

Produto de Cauchy, 192

Trajetória, 49

Propriedade de Cauchy, 174

Trajetória de integração, 51

Raabe, 184 Raio de giro, 30

Trajetória diferenciável, 50 Trajetórias opostas, 72

Reagrupamento, 184

Valor promédio, 25

Região simplesmente conexa, 51

Vetor velocidade, 50

Regra de L’Hospital, 138 Riemann, 188 Rotacional, 66 Série p, 168 absolutamente convergente, 189 alternada, 201 condicionalmente convergente, 190 de termos positivos, 178 geométrica, 166 harmônica, 167 Séries infinitas, 165 Seqüência constante, 112 contrativa, 131 convergente, 121 crescente, 114 de Cauchy, 127 decrescente, 115 limitada, 113 monótona, 115 Seqüência., 110 Somatórios, 156 Stolz, 132 Subseqüência, 117 ímpar, 117 par, 117 Supremo, 113 Telescópica, 156 Teorema de Bolzano - Weirstrass, 148 do sanduíche, 144

Weirstrass, 148

Cálculo Vetorial - Apostila Christian.pdf

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