Suponga demandas tales que q1
=
a − p1 − γ ( p1 − p2 )
q2 = a − p2 − γ ( p2 − p1 ) CTi
=
cqi
Dos empresas producen un bien cada una, con una estructura de costos Ci(xi) = cixi. a) Comente como se captura el grado de diferenciación diferenciación de productos a través del parmetro. b) !ncuentre la función de reacción de la empresa i. c) !ncuentre los precios " cantidades de equilibrio, como as# también los bene$cios. d) %ué sucede con los precios, cantidades producidas " bene$cios cuando &. 'umenta el costo de producción de una empresa. . 'umenta el parametro . a) Comente como se captura el grado de diferenciación diferenciación de productos a través del parmetro. γ ∈ [ 0; ∞ ]
Siendo
el grado de diferenciación
γ
Si bao entonces una variación en el precio de la competencia no incidencia sobre mi demanda. !n el caso extremo, los dos bienes son independientes entre s#. γ
Si es alto entonces una variación en el precio de la competencia tiene bastante incidencia sobre mi demanda, en el caso extremo ambos bienes son idénticos. b) !ncuentre la función de reacción de la empresa i. *amos a maximi+ar el bene$cio " derivamos con respecto a la variable endógena p1 " despeamos la función de reacción.
π 1 ( p1 ,
p2 ) = IT ( p1 , p 2 ) − CT ( p1 , p 2 ) = p1q 1 − cq1 = ( p 1 − c )q 1
π 1 ( p1 ,
p2 ) = ( p1 − c ) [ (a − p1 − γ ( p1 − p 2 ) ]
∂π 1 ( p1 , p2 ) ∂ p1
= [ (a − 2 p1 − γ (2 p1 − p2 ) ] + (c + γ c ) = 0
a − 2( p1 )(1 + γ ) − γ p2
+
( c)(1 + γ ) = 0
FR p1 ( p2 ) =
a + c (1 + γ )
2(1 + γ )
+
γ p2
2(1 + γ )
De forma análoga. γ p1 a + c (1 + γ ) FR p2 ( p1 ) = + 2(1 + γ ) 2(1 + γ ) Observamos que la pendiente de la función de reacción es positiva y menor a 1, esto significa que si yo considero que la otra firma va aumentar el precio, según el grado de diferenciación yo debería aumentar el precio también pero cobrando un precio un poco menor que ella. odemos reescribir la función de reacción mediante una resta de precios. p1 2(1 + γ ) = a + c (1 + γ ) + γ p2 2 p1 + γ p1 = a + c (1 + γ ) + γ p 2 − γ p1
( p1 )(γ + 2) = a + c (1 + γ ) − γ ( p1 − p 2 ) FR p1 ( p1 , p2 ) =
FR
p2
( p1 , p2 ) =
a + c(1 + γ )
(γ + 2) a + c (1 + γ )
(γ + 2)
−
γ ( p1 −
−
γ ( p2 −
p2 )
(γ + 2) p1 )
(γ + 2)
!as funciones de reacción son análogas por lo que en el equilibrio ambas firmas fi"aran el mismo precio. p1 = p2 = p p =
a + c(1 + γ )
(γ + 2)
#$ora $allamos las cantidades que llevara cada una al mercado q1 = a − p1 − γ ( p1 − p 2 ) = q 2
q1 = a −
a + c (1 + γ )
(γ + 2)
− γ (
a + c (1 + γ )
(γ + 2)
−
a + c (1 + γ )
(γ + 2)
)
q1 = a −
q1 =
a + c (1 + γ )
(γ + 2)
(γ + 2)a (γ + 2)
q1 = q2 =
q1 = q2 =
−
a + c (1 + γ )
(γ + 2)
aγ + a − c (1 + γ )
(γ + 2)
=
=
aγ + 2a − a − c (1+ γ )
(γ + 2)
a (1 + γ ) − c (1 + γ )
(γ + 2)
( a − c )(1 + γ ) (γ + 2)
#$ora $allamos las cantidades agregada Q = q1 + q2 = 2
( a − c )(1 + γ ) (γ + 2)
%inalmente calculamos los beneficios. π 1 ( p1 ,
p2 ) = π 2 ( p1 , p 2 ) = ( p1 − c )q1 = (
π 1 ( p1 ,
p2 ) = (
π 1 ( p1 ,
a + c (1 + γ )
a + c(1 + γ ) − c (γ + 2) (a − c )(1+ γ ) ( ) (γ + 2) (γ + 2)
p2 ) = π 2 ( p1 , p2 ) =
(a − c ) 2 (1 + γ ) (γ + 2) 2
&esumiendo el equilibrio. q1
=
a − p1 − γ ( p1 − p2 )
q2 = a − p2 − γ ( p2 − p1 ) p1 FR ( p1 , p2 ) =
FR
p2
(γ + 2)
− c )(
( p1 , p2 ) =
a + c(1 + γ )
(γ + 2) a + c (1 + γ )
(γ + 2)
−
γ ( p1 −
−
γ ( p2 −
p2 )
(γ + 2) p1 )
(γ + 2)
(a − c )(1 + γ ) (γ + 2)
)
p1 = p2 =
(γ + 2) ( a − c )(1 + γ )
q1 = q2 =
π 1 ( p1 ,
a + c(1 + γ )
(γ + 2)
(a − c) 2 (1 + γ )
p2 ) = π 2 ( p1 , p2 ) =
(γ + 2) 2
#nalicemos a$ora los casos e'tremos. γ
(ue ocurre con la estructura de mercado si es igual a cero. )n principio la demanda de mercado queda definido de la siguiente manera. q1 = a − p1 q2 = a − p 2
!o que se puede observar es que dentro de cada mercado, los precios del otro bien no afectan. or lo tanto cada firma es monopolio dentro de su mercado. #$ora buscaremos la estructura. p1 = p2 =
q1 = q2 =
π 1 ( p1 ,
a + c(1 + 0)
(0 + 2)
=
(a − c )(1 + 0) (0 + 2)
a+c
2 =
a−c
p2 ) = π 2 ( p1, p2 ) =
2 (a − c) 2 (1 + 0) (0 + 2) 2
=
( a − c) 2 4
*omo $emos discutido, cada firma termina siendo un monopolio dentro de su mercado. γ
(ue sucede si p1 = p2 = lim
γ →∞
q1 = q2 = lim
γ →∞
tiende a infinito
a + c (1 + γ )
(γ + 2)
=c
( a − c )(1 + γ ) (γ + 2)
=
a−c
1
π 1 ( p1 ,
p2 ) = π 2 ( p1 , p 2 ) = lim
(a − c)2 (1 + γ )
=0
(γ + 2)2
γ →∞
γ
+i el valor de es igual a cero entonces estamos en presencia de un mundo en competencia perfecta. d) %ué sucede con los precios, cantidades producidas " bene$cios cuando &. 'umenta el costo de producción de una empresa. . 'umenta el parametro . a + c (1 + γ )
p1 = p2 =
q1 = q2 =
π 1 ( p1 ,
(γ + 2)
a + c (1 + γ ) + c − c
=
( a − c )(1 + γ ) (γ + 2)
p2 ) = π 2 ( p1 , p2 ) =
(γ + 2)
=
=
a + c (2 + γ ) − c
(γ + 2)
(a − c )(1 + γ ) + (a − c ) − (a − c ) (γ + 2)
(a − c) 2 (1 + γ ) + ( a − c) 2 − ( a − c) 2 (γ
+
2) 2
=
=
(a − c )
=
(γ + 2)
(a − c )(2 + γ ) (γ + 2)
( a − c) 2 (2 + γ ) (γ
+
2) 2
1 ∂ p
=
∂c
1
<
2
∂q
(γ + 1) (γ + 2)
∂c
∂π
=
∂c
<1
− (γ + 1)
= −1 <
(γ + 2)
<−
1 2
(γ + 1) 2(a − c ) . . −1 < 0 (γ + 2) (γ + 2)
∂ p ∂γ
=−
(a − c ) ( y + 2) 2
<0
- ∂q ∂γ
∂π ∂γ
= −(−
=−
(a − c ) (γ + 2) 2
(a − c)2 (γ + 2) 2
)>0
+ −2(−
(a − c )2
2
(γ + 2)
( y + 2)3
) = ( a − c)2 [ 3
−
+
1 ( y + 2)2
]
−
c (γ + 2)
(γ + 2) −
(a − c ) (γ + 2)
( a − c) 2 (γ
+
2) 2
=
( a − c) 2 (γ
+
2)
−
( a − c) 2 (γ
+
2) 2
∂π ∂γ
2
= (a − c ) [
2 (γ + 2)
3
−
(γ + 2) (γ + 2)
3
] = (a − c)[
−γ
]< 0 (γ + 2) 2
