UNIDAD EDUCATIVA “IBARRA”
PREGUNTAS MODELO PARA EL EXAMEN SUPLETORIO, REMEDIAL Y DE GRACIA MATEMÁTICA SUPERIOR AÑO ACADÉMICO 2016-2017
= ⁄ í = ⁄ í = ⁄ í ∪∪∪∪ == 0,0,21,,32,,43,,54,,65,,76,,87,8,9 ∩∩∪ == ∅1,2,3,5,7,9 ∩∩∩ == 3,25,7 TEORÍA DE CONJUNTOS 1) Si
;
y
Realizar los cálculos respectivos con sus gráficos y escribir si es verdadero o falso los siguientes enunciados:
Respuesta: Verdadero
2) Dado los conjuntos A, B y C del ejercicio anterior. Realizar las siguientes operaciones con sus respectivos gráficos.
∩∩
∅ 0,4,6,8 1,9 3,5,7 2 ⁄ ⁄ ⁄ = í = í = í = ⁄ í ′′ ′ ;; ;; 0,1,4,6,8,9 ;
3) Si
;
;
;
;
;
;
Respuesta: ; y
Realizar las siguientes operaciones con sus respectivos gráficos.
Respuesta:
4) Termine de llenar la siguiente tabla POR COMPRENSIÓN
== ∈ ℕ ∕3 < ≤66 24 ∧ == ∈∈ ℕℕ⁄⁄1 36 < =<121224∧ = ∈ ℝ⁄ 5 6 = 0 Mgs. Mario Suárez
POR EXTENSIÓN
CARDINALIDAD
CARDINALIDAD DEL CONJUNTO POTENCIA
= 4 = 3 = 3 = 3 = 4
Preguntas modelos para el examen Supletorio, Remedial y de Gracia
1
= 3,8 == { ∈∈ ℝℝ⁄⁄√ 51 5 =4 =}0 == ∈∈ℝℝ⁄⁄| 5 134| =324 = 0 = 0,5,3,2 == ∈∈íí⁄⁄|| 6846| |≥≤46 == ∈∈íí⁄⁄9lo+g 32 = 6534= 88
= 4 = 8 = 1
= 8 = 64 = 2
5) Dados los siguientes diagramas de Venn, llene la siguiente tabla
′ ∪∪∪′′ ′∩∩ ∪′ ′∩∩
Conjunto Diagrama de Venn
6) En una urna existe 10 bolas numeradas del 1 al 10. Elabore un diagrama de Venn y calcule la cardinalidad del conjunto de bolas enumeradas con un número par y primo. 1 7) En una urna existe 10 bolas numeradas del 1 al 10. Elabore un diagrama de Venn y calcule la cardinalidad del conjunto de bolas enumeradas con un número impar o con un número múltiplo de 4? 7 8) De 36 estudiantes de un curso, 21 no tienen tien en dificultades de aprendizaje aprend izaje en Matemática, 27 no las tienen en lenguaje y 4 tienen dificultades únicamente en lenguaje. ¿Cuántos estudiantes tienen dificultades de aprendizaje únicamente en Matemática 10 9) En una clase, 10 alumnos tienen como preferencia solamente sola mente la asignatura de Matemática, 15 prefieren prefier en solamente Estadística, 20 prefieren Matemática y Estadística, y 5 no tienen preferencia por ninguna de Mgs. Mario Suárez
Preguntas modelos para el examen Supletorio, Remedial y de Gracia
2
estas asignaturas. Elabore un diagrama de Venn y calcule el número de alumnos de la clase que tengan preferencia por Matemática o Estadística Esta dística o ambas asignaturas. asignatu ras. 45 10) En un grupo de 50 personas, 6 tienen como preferencia solamente el color amarrillo, 10 prefieren solamente el color blanco, 6 prefieren el color amarrillo y blanco, 10 prefieren el color blanco y café, 12 prefieren el color amarrillo y café, 4 prefieren los 3 colores y 10 no tienen preferencia por ninguno de los tres colores. Elabore un diagrama de Venn y calcule el número de personas que tienen preferencia por lo menos uno de los tres colores 40 11) En un grupo de 50 personas, 6 tienen como preferencia solamente el color amarrillo, 10 prefieren solamente el color blanco, 4 prefieren solamente el color café, 6 prefieren el color amarrillo y blanco, 10 prefieren el color blanco y café, 12 prefieren el color amarrillo y café, y 10 1 0 no tienen preferencia por ninguno de los tres colores. Elabore un diagrama de Venn y calcule el número de personas que tengan preferencia por los 3 colores colo res 4
LÓGICA MATEMÁTICA 1) Termine de llenar la siguiente tabla sobre la relación entre la teoría de conjuntos y la lógica proposicional Conjuntos Proposiciones
∪∪ ⇔ ∩∩ ⟹
2) Termine de llenar la siguiente tabla de valor de verdad para las proposiciones compuestas conside rando V=1 y F=0 p 1 1 0 0
q 1 0 1 0
∧ ∨ ∨ ⇒ ⟺ ↓ ¬ ¬ 1 0 0 0
3) Hallar los esquemas modulares de los siguientes circuitos conmutadores y realice la tabla su verdad a)
b)
c)
d)
e)
f)
Mgs. Mario Suárez
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3
g)
h)
10) Elabore la tabla de verdad para comprobar los siguientes ejercicios a) Comprobar que
b) Comprobar que
c) Comprobar que
∧ ↔∼ → ∨ ∨ → ∧ → ↔ ∼ ∨ ∼ ∨ ↔ ∧∼ ↔∼ ↔ ∼ ∨ ∼ →∼ ∨∼ → ∧∧ → → ∼ ∼ ∧∧ ∧ ∼ ↔ ∼ ∧∧ ∨ ∼ ∧ ∼ → ∧ ∼ → ∼∼ ∧ ¬¬ ∨∨ ⟹ ∧ ¬
d) Comprobar que
e) Comprobar que
f) Comprobar que
g) Comprobar que
h) Comprobar que
i) Comprobar que
j) Comprobar que
es contingente
es tautológico
es contingente
es tautológico
es contradictorio
es contingente
es contingente
es tautológico
es es contingente
es contingente
11) Bajo la suposición de que los valores de verdad de las proposiciones simples p, q, r, y s son respectivamente 0, 0, 1, 1, indique el valor de verdad de F
¬ ⇔ ∨ ∨ ∧
12) Bajo la suposición de que los valores de verdad de las proposiciones simples a, b, c, y d son respectivamente 0, 0, 1, 1, indique el valor de verdad de V
13) Determine el valor de verdad de las proposiciones p, q, r si la proposición
Mgs. Mario Suárez
∧¬= ; →; = ; =
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es es falsa
4
14)
15)
16)
17)
Mgs. Mario Suárez
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5
18) Identifique el contrarecíproco de la proposición
19) Identifique la contrarecíproca de la proposición
20) Con base en el texto, seleccione las proposiciones simples
21) Seleccione la expresión que representa la proposición:
Mgs. Mario Suárez
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6
22) Relacione la proposición con su equivalente
23) Identifique la proposición que es contradicción
Respuestas 14D; 15C; 16A; 17C; 18C; 19D; 20B; 21A; 22C; 23B; 24B; 25A
Mgs. Mario Suárez
Preguntas modelos para el examen Supletorio, Remedial y de Gracia
7
NÚMEROS IMAGINARIOS Y NÚMEROS COMPLEJOS 1) Efectúe las siguientes operaciones
√ √ 163√255√ 163√255√ 44√ 44√ 99 4√ 4√ 162√253√ 162√253√ 494√ 494√ 8181 4√ 4√ 322√503√ 322√503√ 984√ 984√ 162 162 3√ 3√ 323√505√ 323√505√ 84√ 84√ 1818 5√ 5√ 482√505√ 482√505√ 122√ 122√ 1818 5√75 5√75 2√ 325√ 325√ 123√ 123√ 1818 2√ 4 4 [4√ 25( 25 (5√ 163 163√ 64)] 64)] ℎ 3√ 3√ 16[ 16 [2√ 4 4 (7√254√ 7√254√ 36)] 36)] 2√ 2√ 12[ 12 [4√50( 4√50 (5√ 483√ 483√ 128)] 128)] 3√ 3√ 48[ 48 [2√ 8 8 (7√754√ 7√754√ 72)] 72)] 32 √25 23 √ 4 4 52 √ 16 16 74 √25 52 √ 4 4 73 √ 16 16 35 √ 36 36 75 √ 99 35 √50 32 √ 8 8 52 √ 32 32 73 √ 1818 53 √ 18 18 54 √ 32 32 25 √50 72 √ 88 32 √ 8 8 73 √ 18 1814 √ 32 32 15 √50 √50 52 √ 12 12 13 √ 27 2734 √ 48 48 25 √75 √75 g)
2) Resuelva los siguientes ejercicios a) b)
13 9 9√ 9√ 22 5√ 5√ 22 2(15√ 15√ 316√ 3 16√ 2) (35√ 35√ 317√ 3 17√ 2) 28 67 4(6√ 3 √ 2) 47√ 320√ 3 20√ 2) (47√ 8912 7415 3√ 22 5√ 5√ 22 2√ 2√ 22 9√ 33
Mgs. Mario Suárez
1 Preguntas modelos para el examen Supletorio, Remedial y de Gracia
8
ℎ 2 3 2 2 3 23 52 15 32 23 14 75 50 27 ∙ 18 8 27 98 ∙ 75 34 √ 8∙8 ∙ 79 √ 18∙ 18∙12 √ 32 32 15 √50 √50 54 √ 12∙ 12∙ 13 √ 2727 ∙ 32 √ 48 48 25 √75 √75 128 √ 50√ 50 18√ 18 32 32 √ √ √ 128√ √ 7272 125 √ 20√ √ 20180 45√ 45 80 80 √ √ √ 125√ 180
1 1 1 52 23 3310 14 76 259 356 21√ 21√ 22 60√ 60√ 33
c)
3) Resuelva los siguientes ejercicios
1) Resuelve los siguientes ejercicios
= 5 3 ; = 4 2 = 55 3 ; = 4 2 23 5 34
a) Sea
, calcular
b) Sea
, calcular
Mgs. Mario Suárez
1
Preguntas modelos para el examen Supletorio, Remedial y de Gracia
13
9 15 103 12 9
54 5455 55 23 52 32 25 2 2 3 3 122 64 ℎ 428 2 64
45 5 2 20960 23 2 4
4) Considerando que la siguiente expresión es un imaginario puro, calcule el valor de x. Realice la respectiva comprobación
12
5) Considerando que la siguiente expresión es un imaginario puro, calcule el valor de x. Realice la respectiva comprobación
42 23 34 12 32 2 64
8
6) Considerando que la siguiente expresión es un imaginario puro, calcule el valor de x. Realice la respectiva comprobación
12
7) Considerando que la siguiente expresión es un imaginario puro, calcule el valor de x. Realice la respectiva comprobación
34
8) Considerando que la siguiente expresión es un real puro, calcule el valor de x. Realice la respectiva comprobación
Mgs. Mario Suárez
43 Preguntas modelos para el examen Supletorio, Remedial y de Gracia
10
9) Considerando que la siguiente expresión es un real puro, calcule el valor de x. Realice la respectiva comprobación
42 52 34 52 12 14 32
2
10) Considerando que la siguiente expresión es un real puro, calcule el valor de x. Realice la respectiva comprobación
253
11) Considerando que la siguiente expresión es un real puro, calcule el valor de x. Realice la respectiva comprobación
= 2 7 = 4 3 = 4 5 = 3 2 = 1 √ √ 33 = √ 3 = 4 4 = 6 = 2 ∙ 12) Graficar
3
y y su conjugada
13) Calcule el módulo y represente gráficamente
a)
b) Para
y y
, compruebe que
5
| || ≤ || ||
14) Expresar en forma polar. Realice los gráficos respectivos
260 60 60 2150 150 4√ 2225 22 2255
b)
c)
15) Realice las siguientes operaciones. Exprese la respuesta en sus diferentes formas Dado calcule
Rectangular o binomial
Cartesiana
Formas de un número complejo Polar Coordenada Polar
0 12 12 , ,, Mgs. Mario Suárez
Exponencial
Preguntas modelos para el examen Supletorio, Remedial y de Gracia
11
Rectangular o binomial
Cartesiana
Formas de un número complejo Polar Coordenada Polar
, 3 ,, 30 30 30 30
Exponencial
16) Realice las siguientes potencias
4 5 4 3 4 2 2 3 2 3 3 3 2 3 2 ℎ 5 2 2 3 3 3 2 2 1 Mgs. Mario Suárez
940 7 24 24 16 8888 469 119 119 12 1200 119 119 12 1200 597 597 12 1222 1475 4282 25229 5657398 2187 243 164833 11087 256 8 2 12 12 Preguntas modelos para el examen Supletorio, Remedial y de Gracia
12
1 1 (√ (√ 3) 3 ) (√ (√ 3) 3 ) 1 3 √ 2 2 1 3 3 √ 1
(√ 2)2) 74 74 (√ 2)2) 4 4 4 13 13 2 56 56 -1
2 353 353
18) Calcule las siguientes raíces.
b)
√ 99
Para k = 0, 1, 2…….8
1 √ 33
Mgs. Mario Suárez
92 √ 9 92 2
2 √ 2 3 3 2 5 5
Preguntas modelos para el examen Supletorio, Remedial y de Gracia
13
LÍMITES 1)
lim
x
2
2 x 3
x 3
3
x
4
2)
6 x x
lim x 3
2
15 2 x x
2
5/8 3)
lim
x
3
4 x
x 3
x
3
2
21 x
9 x
10/6 4) lim
3
x
(4 x 2
(2 x 2
4 x 3)( x 2
7 x 3)(4 x 2
7 x 30)
12 x 9)
13/9 5)
x
lim x 2
3
x
4
x
2 x
3
2
8 x 12
7 x
2
20 x 12
1 6)
2 2 2 2 3 x 6 2 x 5 x 2
lim x
4/9
7) lim
1
x
x
2
32
x
1 1/2
8)
lim
1 x
x 0
x
2
1
2
1/2 9)
lim
1 x
1 x
x 0
x
1
10)
lim
x
2
x 3
2 x 6 x
2
x
2
2 x 6
4 x 3
-1/3 11)
lim x 2
3 x 6 1
4 x 7
-3/2 12)
lim x 4
3
5 x
1
5 x
-1/3 13)
lim x 4
2 3
Mgs. Mario Suárez
x
2 x 1 Preguntas modelos para el examen Supletorio, Remedial y de Gracia
14
3/4 3
14)
8 x
lim x 0
2
x
1/12 15)
lim x 0 3
1 x
1
1 x
1
3/2 16)
lim 3
x 64
x
8
x
4
3 4
17)
x
lim
3
x 3
x x 1
x 1
13/12 18)
x
lim
4 x 5
3 x 13
x 1
x 1
19/24 19)
x
x
lim
3 x 2
1
x
5 x 1
1 3/4
3
20)
x
lim
3
8
x 0
x
x
2
4
2
-1/4
Límites infinitos 1)
lim 2
x
x
0 2)
lim 2
x
x
0 3)
1
lim
1
x
1 2
x
1/2 4)
2
lim
1
x
1 5
x
1 1
5) lim
1 e x
x
e
x
0 6)
2
lim x
x
2
1
0 7)
2
lim x
x 1
0 8)
lim x
x
3
2 x
2 x 5 3
7
1/2 Mgs. Mario Suárez
Preguntas modelos para el examen Supletorio, Remedial y de Gracia
15
9)
lim x
2 x
2
3 x
2
3 x 5
2 x 1
2/3 10)
2 x
lim
2
3 x
x
x
4
4
1
2 11)
x
lim
2
x
x
4
7
1
Límites trigonométricos 1)
lim
sen7 x
x 0
x
7 2)
lim
sen3 x
x 0
x
3 3)
lim
1 cos x
x 0
x
2
1/2 4)
lim
1 cos x
x 0
x
0 5)
lim
1 cos 5 x
x 0
x
0 6)
lim
1 cos 7 x
x 0
x
0 7)
6 x sen2 x
lim x 0
2 x
3 sen 4 x
2/7 8)
4 x
lim x 0
5 x
sen3 x
3 sen 2 x
1/11 9)
lim
1 cos 6 x
x 0
sen6 x
0 10)
lim x 0
1 cos 4 x sen4 x
0 11)
lim x 0
1 cos 3 x 1 cos 4 x
9/16 Mgs. Mario Suárez
Preguntas modelos para el examen Supletorio, Remedial y de Gracia
16
DERIVADAS 1)
y
2
4 x
2 x
dy
dx
2)
y
7
x
1
5
x
x
3
8x
2
4
4 x
dy dx
7 x
6
5 x
4
3
x 4
1
3)
y
7 x
2
8 x
2
2
52 2 7 x 2 dy 3
dx
4)
y
(2 x 2
dx
5) y ( x 5 2 x)( x 3 x 2
dx
6)
y
x
2
24 x
8 x
7
7 x
6
6 x
5
35 x
4
x 3
8
6 x
2
8) y x
3
3 x
x
x
1
6 x 2
( x 2
3) 2
4 x
2
4 x 9
12 x 3 ( x 2 1)x 2 3
3
2
dx
(3 x 1) 2
dy y
12 x
4
dx
10)
2
dy
4 x 14
20
3 x 1
dx
y
3
dy
9)
4x
3
dx
7) y
3
dy 2 x
2
x 7)
dy 2
2
5)(4 x 1) dy
x
x
7x
2 x 4 x
1
3
3
2/ 3
dy dx
2(8 x 7) 33 4 x 2
7 x 3
1
11) y
1
( x
2
9) 2 dy dx
Mgs. Mario Suárez
Preguntas modelos para el examen Supletorio, Remedial y de Gracia
x( x
2
9)
17
3 2
12) y
1
1
(16
x
2
)2 3
dy
dx
13)
y
5
2
6 x ( x
3
dx 1
2 3 x 3
2
x
dx
3
2x
dx
y
3
x
2
x
1
x2
3
dy
17)
3
3
dy
y
4)
3x 3
dy
16)
2
4) 3 dx
15) y
x )
2 3
dy
y
3
( x
14)
x(16
2
2 33 (2 x 3) 2
3
2 x
dy dx
33 ( x 2
3) 2
3 18) y x 1 ( x 2) 4
dy dx
(7 x 2)( x 1) 2 ( x 2) 3
19) y x 2 (2 x) 3 2
dy dx
20) y x 1 ( x 2
2
1)
(5 x 2)( x 2)(2 x) 2
3
dy dx
21) y x 2 3 ( x 2 1)
2( x 1)( x 2 1) 4 (2 x 2 3 x 1)
1
dy dx
22) y
( x 2) 2 ( x 2 1) 2 ( x 3) x 1
1 x 1 x
dy dx
Mgs. Mario Suárez
Preguntas modelos para el examen Supletorio, Remedial y de Gracia
1 x 2 (1 x) 2 (1 x)
18
23) y 3
1 x
3
1 x
3
dy dx
8 x 2 3 24) y 2 5 x
4 3
2 3 3
3
(1 x ) (1 x )
2
dy dx
x 3 1 25) y 3 2 1 x
2 x 2
2(8 x 2
3)(16 x 2
(2 x 5)
80 x 6)
3
4
dy dx
36 x 2 ( x 3 (2 x 3
1) 3
1) 5
26) Elaborar las gráficas manualmente y utilizando GeoGebra a) Hallar la ecuación de la tangente y de la normal en el punto de abscisa -1 de la función f(x) = x2+3x+5 Tangente: x-y+4=0 ; Normal: x+y-2=0 b) Hallar la pendiente de la l a tangente en el punto de abscisa abs cisa 1 de la función f(x) f(x ) =
−
-1 c) Calcular la pendiente de las tangentes a la función f(x) = -x +5x-6 en los puntos de intersección con el eje x 1 y -1 2 0 d) Hallar el punto de la función f(x) = 5x-x en el que la inclinación de la tangente es 45 (2,6) 2 e) Hallar la pendiente y la ecuación de tangente en la función f(x) = x +2x+1 en el punto (-3,4) m=-4 , 4x+y+8=0 2 f) Hallar la pendiente y la ecuación de tangente en la función f(x) = x -2 en el punto (1,-1) m=2 , 2x-y-3=0 3 g) En la curva y = x +x, hallar la ecuación de la tangente paralela a la recta y = 4x 4x-y+2=0 ; 4x-y-2=0 h) Determine una ecuación de cada una de las rectas que pasan por el punto (2,5) y son tangentes a la curva y = 4x-x2 y = 2x+1 ; y = -2x+9 2
Derivadas logarítmicas y exponenciales 1)
y
ln( 4 x
5)
dy dx
2)
y
ln( 6 x
4
dx
3)
y
2 ln
x
6
6 x
2
x
Mgs. Mario Suárez
5
7)
dy 1
4 x
Preguntas modelos para el examen Supletorio, Remedial y de Gracia
19
7
dy
dx 4)
y
2 ln
4
x
3
4x
dx y
2
dx
3 x 2 2( x 3
ln
1 x
2
1 x
2
log( 2 x
log 5 ( x
3
x
2
4
1 x
log 8 (6
1 2 x
)
x
2
2 log e
2 x 3
6
dx y
2 x
3)
dy
10)
1)
dx y
2 log e
dy
9)
4 x 2 )
dx y
8 x
log( 1 2 x)
dy
8)
3( x 1)( x 2
dx y
1)
1 2 x x 2
dy
7)
1
dy
y
x( x
1
x 1
ln 3
x
6)
2
2
dy
5)
x 2
6 log 5 e(3 x 2 x 3
2 x)
x 2
)4
4 log 8 e( 2 x)
dy dx
11) Hallar el ángulo de intersección del siguiente par de curvas y
ln( x 3) y y
12) Hallar el ángulo de intersección del siguiente par de curvas y
ln( x 1) y
y
6 x 2
ln( 5 x 2 ) 30057`49,52``
ln( 7
2 x)
127053` 13)
y
6e
2u
dy dx
14)
y
4e
e
12e
3u
dx y
dy
15)
2u
12e
x
3u
ln x
1 x ln x ex dx x
dy
16)
y
e
2 x
ln
x
2
1 x ln x 2 2e dx x dy
Mgs. Mario Suárez
Preguntas modelos para el examen Supletorio, Remedial y de Gracia
2x
20
17)
y
x
e
x
2
dy
dx
18)
y
x
dx y
x 3
ln x
dy
19)
e x ( x 2)
x
ln x 1
2 x
ln x
x
dy dx
x
x
(2 ln x) 2 x
x
20) y ( x 1)
x ( x 1) x ln( x 1) dx x 1
dy
Derivadas trigonométricas 1)
y
sen3 x
dy dx
2)
y
3 cos 3 x
cos 4 x
dy dx
3)
y
4 sen4 x
3 sec 3 x
2 x cos x
2
2 xsenx
2
tan 3 x
dy dx
4)
y
2
2
senx senx
dy dx
5)
y
cos x
2
dy
dx
6)
y
tan
3
x
dy dx
7)
y
3 tan
2
x sec 2 x
csc csc 3 x
dy dx
8)
y
3 cos x
sec2 x dy dx
9)
y
2 senx
cos
3
x
2
sen 3 x
dy dx
10)
sen 4 x
y
(x
sen
2
1) dy dx
Mgs. Mario Suárez
6 sen3 x cos 3 x
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2 x cos( x 2 1)
21
11)
y
(x2
sen
1) 3 dy dx
12)
y
sen
3
(x2
dx y
(3 2senx )
6 xsen 2 ( x 2
1) cos( x 2
10 senx(2 cos x 3) 4
cos x
csc x
dx y
senx
dx y
1 x
cos 2 x
(1 x) sec 2 x 2 tan x (1 x) 3
2
dx y ln
(1 x 2 ) csc 2 x 2 x cot x (1 x 2 ) 2
senx 1 senx senx 1 senx
dy dx
20)
y
senx senx
dx y
sec
x
senx
dy
21)
x
cot x
dy
19)
2
(1 x) 2
dx y
csc
tan x
dy
18)
cos x
dy
17)
1)
dy
16)
(2 cos x 3) 5 dx
y
10 cos x (3 2senx) 4
dy
15)
1
2
dx y
1) 3 x 2
5
dy
14)
1) dy
13)
6 x cos( x 2
cos x
senx senx cos x1 ln( senx )
cos x
dy dx
22) Hallar el ángulo de intersección del siguiente par de curvas:
y
cos x cos x senx1 ln(cos x)
tan tan x y y
cot x
53007`48,37’’ 23) Hallar el ángulo de intersección del siguiente par de curvas:
y
senx y y
cos x
109028`16,39``
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22
Derivadas compuestas 1) Si
4 y
x
y
2
6
;
y
u
3
10u
, encuentre
dx du
22(3u 2 (u 2) Si y
au au
;
u
b x b x
3
10)
10u 6) 2
dy
, encuentre
dx
4ab
(a 1) x b(1 a)2 3) Si
y
u
6
; u
1 2 x , encuentre
dy dx
6(1 2
x
)5
x
4) Si y x 4 5 ; x log z , encuentre
dy dz 4 log 3 z log e z
5) Si
u
ln( y 4) ; y
x 2 , encuentre
du dx 2 x x
6) Si
y
e
3u
;
u
2 x
3
3 x
, encuentre
2
dx x
u senu ;
u
ln x ,
encuentre
4
dy
9(2 x 2 1)e 3( 2 7) Si y
3
3 x )
dy dx (ln (ln x) ln x cos(ln x)
sen
x
Derivadas implícitas 1)
x
2
y
2
1 dy dx
2)
x
3
y
3
x
dx
x 2
y 2
b dy dx
4)
2
x y
3
y
dx
5)
xy
y
x
c
dy 2
y
1
dy 3) x 2 y 2
2
Mgs. Mario Suárez
2 y
a
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23
3 x
dy dx
6) xy y 3
dx 2
x
xy
y
2
dx x
3
xy
2( x 1)
y
3
y x 3 y 2
1 dy
8)
y
b dy
7)
2 x y
x 2 y
1
dy dx
Máximos y Mínimos
= 7 5 4
1) Considere la función a) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica en la ordenada al origen. b) Calcule las coordenadas coordenad as de los puntos máximo y mínimo locales. loc ales.
ℎ = 2525 5 5
c) Calcule la velocidad inicial.
d) Calcule el instante en que la velocidad es 0. e) Calcula la altura máxima alcanzada por el objeto.
y
3 y 2 x
= 55 4 4 5,79; , ℎ 30 = 2525 10 10 0 = 25 = 2,5 31,25
2) Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba desde un punto O en el suelo. La altura los segundos viene dada por la ecuación. a) Calcule la altura a los 2 segundos. b) Halle una expresión en función fu nción de t para la velocidad v del objeto.
3 x 2
, ,
del objeto a
3) Hallar los máximos y mínimos de las siguientes funciones. Determinar también, los puntos de inflexión y los intervalos en que la curva es cóncava o convexa. a) y = 12-12x+x3 Mínimo en (2,-4); máximo en (-2,28); punto de inflexión en (0,12); (0 ,12); cóncava hacia abajo en x0 y cóncava hacia arriba en x0 b) y = x3+2x2-4x-8 Mínimo en (2/3,-19/2); máximo en (-2,0); punto de inflexión en x=-2/3; cóncava hacia abajo en x-2/3 y cóncava hacia arriba en x-2/3 4) Una caja rectangular de base cuadrada con tapa tiene una capacidad de 1000 cm3. Hallar las dimensiones de la caja para que el material empleado en la constru cción de la caja sea el más económico. x =10 y h =10
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24
5) Una caja rectangular tiene una base cuadrada y no tiene tapa. El área combinada de los lados y el fondo es de 48 cm2. Hallar las dimensiones de la caja de máximo volumen que cumpla estos requerimientos. x =4 y h =2 6) Hallar el radio de un recipiente cilíndrico de hojalata de un litro de capacidad, para que en su construcción entre la menor cantidad de hojalata, si el bote es abierto por arriba
= 1/1/
dm
7) Si un recipiente cilíndrico de hojalata (cerrado en ambos extremos) ha de tener V como volumen, encuéntrese las dimensiones que requieran la mínima cantidad de hojalata.
= /2 /2 ℎ = 4/ 4/ ;
8) Un fabricante de guitarras averigua que puede vender x instrumentos instr umentos por semana a d dólares cada uno, siendo 5x=375-3d la relación entre x y d. El costo de la producción C es (500+15x+x2/5) dólares. Demostrar que se obtiene la máxima ganancia cuando la producción es aproximadamente de 30 instrumentos por semana. Recuerde que la Ganancia (G) es igual a la venta total (V=dx) menos el costo de la producción (C), es decir, G=V-C. 9) Se ha construido una presa de almacenamiento de agua cuyos costes de mantenimiento diarios son una función de la cantidad de agua que la misma tiene almacenada. Tales costes (en dólares) vienen dados por la siguiente expresión C(x) = x 3 + x 2 − 8x + 73 donde C(x) representa el coste si el volumen de agua, en millones de metros cúbicos, es x. Calcular el coste mínimo diario que supone el mantenimiento de la instalación. Si un día la presa tiene almacenados 3 millones de metros cúbicos de agua, ¿cuánto se ha gastado de más respecto del coste mínimo? $ 18,519 10) Una fábrica está especializado en la producción de cierto tipo de automóviles. Los costes de fabricación al año, C(x) en dólares, están relacionados con el número de automóviles, x, a través de la siguiente expresión: C(x) = 10x2 + 2000x + 250000. El precio de venta de cada automóvil es de $ 8000. ¿Cuántos automóviles debe fabricar para maximizar beneficios? ¿A cuánto ascenderán estos beneficios? 300 automóviles; $ 650 000
Diferenciales Hallar las diferenciales de las siguientes funciones. 1)
2)
3)
= √ 2 3 = √ + = √ ++
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2 = 32 32 3 = 3 = 2 12 √ 1 Preguntas modelos para el examen Supletorio, Remedial y de Gracia
25
= √ +++ = 8 = 1 = +− = +−
4)
5)
6)
7)
8)
INTEGRAL INDEFINIDA
= 73 4 3 38 = 8 3 3 = 3 = 1 1 =
Integrar las siguientes expresiones 1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
∫ ∫ ∫ ∫ 3 ∫ √ 2 5 27 ∫ 27 ∫ + ∫ √ 22 1 ∫ √ 2
Mgs. Mario Suárez
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2 6 6− 7 32 9 215 25 25 353 27 1 33 33 2 2 2 6 1 29 2 26
10)
∫ √ 6 5
11) Hallar y graficar la ecuación de la curva que tiene pendiente
dy dx
2 x
5,
120 6 5
y que pasa por el punto
(5,4) y
12) Hallar y graficar la ecuación de la curva que tiene pendiente
dy dx
x
2
5x
4
( x 1)( x 2) y que pasa por el
3
punto 3,
= 13 32 2
2
13) Hallar la ecuación de la curva para la cual
y
,,
2
6 x , y que pasa por los puntos (0,2) y (1,3) y
14) Hallar la ecuación de la curva para lo cual
y
,,
x,
1 2
x
4
1 2
x 2
y que pasa por el punto (1,2) con una pendiente
5
= 16 2 16 112 |7 4| 14 |1 | 710 |55 3| 12 | 2|2| 23 1 √
2
15 7 4 16 1
17 57 3 18 1 21 19 1 √ √ Mgs. Mario Suárez
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27
Integral de funciones f unciones exponenciales
13 28 35− 43
12 ⋅ 33 88 1 2 ⋅ 5−5 12 ⋅ 33 118 ⋅ 7− 7 13 12 13
5 3 ⋅7⋅ 7− 6 7 8 8 9 Integración por partes
13 − 12 − −
1 2 Mgs. Mario Suárez
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28
3 4 5
2 2 12 14 12 14
Integración por fracciones parciales
1 1 4 2 2 4 2 2 213 39
4 3 3 2 9 1 2 4 4 547 6 5 5 1 13141 6 6 1 1 2 23
4 7 7 36 Mgs. Mario Suárez
12 2 1 1 3 3 1 1221 1 3 3 2 2 1 1 74 | 1 1| 2211 1 3 1 2 1 4 | 1 1| 275 | 1| 911 3227 | 2 2| 9952 2
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29
2 8 8 28 84 9 9 31
10 10 1 1
4 2 12 | 1| 1 1 √ 1 21 1
INTEGRAL DEFINIDA
1 1 2 3 2 2 − 1 − 3 3 − 2 1 4 4 − 5 5 6 6 1
73 405/14
11/12
293/10
27/4
5/24
Área como integral definida Hallar el área limitada por 1) y = 3-x2 ; y = 1-x (9/2)u2 2) y = x-x2 ; y = -x (4/3)u2 Mgs. Mario Suárez
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3) y2= 2x; y = x-4 18 u2 4) y2= 4x; x2=4y (16/3)u2 5) y = 25 – x2; y = (5-x)2 (125/3)u2 6) y = x3+3x2+2; y = x3+6x2-25 108 u2
7) Si la función de demanda es y 39 x 2 , hallar el excedente del consumidor si
5 x
0
2
. Realizar la
gráfica respectiva manualmente y empleando el programa Graph o cualquier otro programa.
5 = 3939 2 = 1314 39 = 39 3 52 ∙ 1314 = 221524 6558 = 10,41 Excedente del consumidor
8) Si la función de oferta es
y
9 x
y
x
0
7,
hallar el excedente para el productor 10/3
9) Las funciones de demanda y oferta en un mercado de competencia pura o libre son respectivamente y
14
x
2
y y 2 x 2 2 ; determinar el excedente del consumidor y del producto
Calculando el punto de intersección entre las funciones se considera el punto (2,10) Excedente del consumidor
14 = 14 2 ∙ 10 = 2828 8 20 = 16 3 3 3 Excedente del producto
2 2 2 = 2 ∙ 10 3 2 = 2020 163 4 = 332 10) La función de demanda es
y
20
3x
2
y la función de oferta es y
2 x 2 ; determinar el excedente
del consumidor y del producto en un mercado de competencia libre o pura excedente del consumidor = 16 excedente del producto = 32/3
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