Kesetimbangan Benda Tegar dan Dinamika Rotasi
kata kunci
Benda tegar
Hokum kekekalan momentum sudut
Momen inersia
Pusat massa
Titik berat
torsi
www.gambarakrobat.com
ikelas X anda telah mempelajari dinamika partikel, dimana benda yang diam atau bergerak dianggap sebagai seba gai suatu titik materi (ukuran benda diabaikan), sehingga gaya-gaya yang bekerja pada benda hanya mungkin menyebabkan gerak translasi. Dalam bab ini, anda akan mempelajari dinamika dan keseimbangan benda tegar. Dalam benda tegar, ukuran benda tidak diabaikan, sehingga gaya-gaya yang bekerja pada benda dapat menyebabkan menyebabkan gerak translasi dan rotasi terhadap sutu poros. Pada benda tegar dikenal titik berat atau pusat massa. Salah satu aplikasi titik berat atau kesetimbangan ditampilkan pada foto diatas.Tampak seseorang sedang berjalan diatas sebuah tali.Timbul pertanyaanMengapa seorang diatas dapat berjalan diatas sebuah tali tanpa terjatuh?Apa yang menyebabkan hal tesebut? Kita akan menemukan jawabannya pada bab ini.
A. Dinamika rotasi Tujuan pembelajaran :
Memformulasikan pengaruh torsi pada sebuah benda dalam kaitannya dengan gerak rotasi benda tersebut.
Mengungkap analogi hukum II newton tentang gerak translasi dan gerak rotasi
Memformulasikan momen inersia untuk berbagai bentuk benda tegar.
Memformulasikan hukum kekekalan momentum sudut pada gerak rotasi.
Menganalisis masalah gerak dinamika rotasi benda tegar untuk berbagai keadaan.
Menganalisis gerak menggelinding tanpa slip.
Dibuku kelas X anda telah mempelajari tentang dinamika partikel. Dimana suatu benda (dianggap sebagai sutu titik materi) mengalami gerak translasi (bisa lurus atau melengkung) jika resultan gaya pada benda itu tidak nol (∑F≠0).
Untuk menyelesaikan masalah dinamika partikel.
Anda harus mahir menggambar diagram benda bebas, kemudian menggunakan ∑F=ma. Dalam subbab ini anda akan mempelajari dinamika benda tegar (benda yang ukurnnya tidak diabaikan), dimana resultan gaya dapat menyebabkan gerak translasi dan juga rotasi (berputar dalam poros tertentu). Rotasi disebabkan oleh adanya torsi, yakni ukuran kecenderungn sebuah gaya untuk memutar suatu benda tegar terhadap titik poros tertentu. Tampak ada analogi antara besaran translasi dan besaran rotasi. Gaya F mirip dengan torsi τ, massa m mirip dengan momen inersia I, dan
percepatan linear a mirip dengan percepatan sudut α. Dalam bab sebelumnya untuk menyelesaikan masalah gerak translasi partikel dapat diselesaikan secara cepat dan mudah menggunakan hokum kekekalan energy mekanik daripada dinamika partikel ∑F=ma. Ternyata masalah gerak rotasi tertentu seperti menggelinding dapat diselesaikan dengan mudah hokum kekekalan energy mekanik daripada dinamika partikel ∑F=ma dan ∑τ=Iα.
Dalam bab ini anda akan diperkenalkan dengan hokum kekekalan momenteum sudut dan aplikasinya. 1.Torsi
Penyebab gerak suatu benda adalah gaya. Pada gerak rotasi, sesuatu yang menyebabkan benda untuk berotasi atau berputar disebut momen gaya atau torsi. Konsep
torsi dapat dilihat pada saat kita membuka pintu.Cobalah membuka pintu dari bagian yang dekat dengan engsel. Bagaimanakah gaya yang kalian keluarkan? Sekarang, cobalah kembali membuka pintu dari bagian paling jauh dari engsel. Bandingkan gaya yang diperlukan antara dua perlakuan tersebut. Tentu saja membuka pintu dengan cara mendorong bagian yang jauh dari engsel lebih mudah dibandingkan dengan mendorong bagian yang dekat dari engsel.Gambar diatas menunjukkan sebuah pintu yang tampak dari atas.Gaya dorong F diberikan pada
pintu dengan membentuk sudut α terhadap arah mendatar. Semakin besar
gaya yang diberikan, semakin cepat pintu terbuka. Semakin besar jarak engsel dari tempat gaya bekerja, maka semakin besar momen gaya sehingga pintu lebih mudah terbuka. Momen gaya didefinisikan sebagai hasil kali antara gaya dengan jarak titik ke garis kerja gaya pada arah tegak lurus. Dari gambar diatas, maka besarnya momen gaya adalah:
τ = F.d = F.r sin α dengan:
τ = momen gaya (Nm) F = gaya yang bekerja (N) r = jarak atau lengan (m)
Momen gayamerupakan besaran vektor, sehingga persamaan (1) dapat dinyatakan dalam bentuk:
τ=rxF Momen gaya total pada suatu benda yang disebabkan oleh dua buah gaya atau lebih yang bekerja terhadap suatu proses dirumuskan:
Στ = τ1 + τ2 + τ3 + ... + τn Arah momen gaya memenuhi kaidah tangan kanan. Genggaman jari bertindak sebagai arah rotasi, dan ibu jari sebagai momen gaya.
Arah momen gaya ( τ ) tegak lurus terhadap r dan F. Jika r dan F terletak pada bidang yang tegak lurus sumbu putar, maka vektor τ arahnya sepanjang sumbu putar menuruh kaidah tangan kanan seperti ditunjukkan pada gambar berikut.
Contoh Soal :
1. Dua roda silinder dengan jari-jari r 1 = 30 cm dan r 2 = 50 cm disatukan dengan sumbu yang melewati pusat keduanya, seperti pada gambar. Hitunglah momen gaya total pada roda gabungan! Penyelesaian: Diketahui: r 1 = 30 cm = 0,3 m r 2 = 50 cm = 0,5 m F1 = -50 N (berlawanan arah jarum jam) F2 = +50 N (searah jarum jam)
Ditanya: Στ = ... ? Jawab: Komponen gaya F 2 yang tegak lurus r 2 adalah: F2 sin 60o sehingga:
Στ = τ2 – τ1 = r 2 . F2 sin 60 o – r 1 F1 = 0,5 x 50 x (1/2 √3) – (0,3 x 50) = 6,65 Nm 2 2. Tentukan momen gaya yang dialami benda pada gambar di bawah ini!
Pembahasan : Pada gambar di atas, momen gayanya searah yaitu sama-sama searah jarum jam sehingga resultan momen gayanya merupakan jumlah dari semua torsi yang bekerja.
∑τ = 6 (6 x 10 -2) + 4 (0) + 10 (2 x 10 -2) ⇒
∑τ = 36 x 10 -2 + 20 x 10 -2
⇒
∑τ = 56 x 10 -2 Nm
⇒
∑τ = 0,56 Nm. 3. Jika poros perputaran oleh gaya-gaya yang bekerja berada pada titik pusat persegi, maka hitunglah momen gaya total.
Pembahasan :
Pada gambar di atas, gaya yang sudah memenuhi syarat yaitu tegak lurus dengan lengan gayanya adalah F2 dan F3. F1 jelas tidak memenuhi syarat dan torsinya sama dengan nol. Sedangkan F4 harus diproyeksikan terlebih dahulu menjadi F4x dan F4y sebaga berikut :
Dari gambar jelas terlihat bahwa F4x dan F4y memenuhi syarat yaitu tegak lurus dengan lengannya. Jika R2 adalah lengan F2, R3 adalah lengan F3, R4x adalah lengan F4x dan R4y adalah lengan F4y, maka resultan torsinya adalah :
∑τ = τ2 + τ3 + τ4x − τ4y ⇒
∑τ = 20 (0,1) + 10 (0,2) + F4 cos 45 o (0,1) − F4 sin 45 o (0,2)
⇒
∑τ = 2 + 2 + 40√2 (½√2) (0,1) − 40√2 (½√2) (0,2)
⇒
∑τ = 4 + 4 − 8
⇒
∑τ = 0.
2. Momen Inersia
Inersia adalah kecenderungan benda untuk mempertahan keadaannya naik itu tetap
diam atau bergerak.Benda yang sukar bergerak dikatakan memiliki inersia yang besar.Bumi yang selalu dalam keadaan rotasi memiliki inersia rotasi.Jadi, Momen Inersia adalah ukuran besarnya kecendrungan berotasi yang ditentukan oleh keadaan benda atau partikel penyusunnya.Kecenderungan sebuah benda untuk mempertahankan keadaan diam atau bergerak
lurus
beraturan
disebut
dengan
Inersia.Inersia
disebut
juga
dengan
Lembam.Keadaan alami benda ini berkaitan erat dengan hukum I Newton.Oleh karena itu, Hukum I Newton disebut juga hukum inersia atau hukum kelembaman. Momen inersia dari sebuah partikel bermassa m didefinisikan sebagai hasil kali massa partikel (m) dengan kuadrat jarak tegak lurus dari titik poros ( r 2). Momen inersia sebuah partikel dirumuskan sebagai berikut :
mr
2
Oleh Karena momen inersia I pada gerak analog dengan massa m pada gerak translasi, maka fungsi momen inersia sama dengan fungsi massa. Jika massam pada gerak translasi menyatakan ukuran kemampuan benda untuk mempertahankan kecepatan liniernya, momen inersia benda pada gerak rotasi menyatalan ukuran kemampuan benda untuk mempertahankan kecepatan sudutnya. Sebuah benda tegar
disusun oleh banyak partikel yang terpisah yang masing-masing memiliki massa m
1
, m2 , m3 ,.... untuk menentukan momen inersia dari benda-benda seperti itu terhadap suatu
poros tertentu, mula-mula kita harus mengalihkan massa tiap-tiap partikel dengan kuadrat jaraknya dari poros
2 2 2 r r 1 2 3
r
,
,
,..... kemudian dijumlahkan atau kita tulis
........ mi ri m1r1 m2r2 m3r3 2
2
2
2
i
Catatan
Momen inersia suatu benda bergantung pada poros rotasinya. Semakin tersebar massa benda terhadap poros rotasinya, semakin besar momen inersianya. Dari sini didapatkan bahwa benda-benda dengan massa sama dapat memiliki momen inersia yang berbeda
Contoh Soal
Massa bola
adalah 100 gram dan massa bola
m
1
m
2
adalah 200 gram. Kedua bola dihubungkan
dengan kawat yang mempunyai panjang 60 cm dan massanya diabaikan.Sumbu AB terletak di tengah-tengah kawat. Momen inersia sistem kedua bola terhadap sumbu AB adalah ……. Pembahasan Diketahui :
Massa bola 1 m1 100 gram
100
1
Jarak bola 1 dari sumbu rotasi Massa bola 2 m2
1000 r
200 gram
30cm
200
1000
1
Jarak bola 2 dari sumbu rotasi
0,1kg
r
30
2
2
0,1kg 0, 3m
0,1kg 0, 09m2 0, 2kg 0, 09 m 2
0, 009kgm 0, 018kgm
0,027 kgm
2
2
0, 2kg 0, 3m
2
2
0, 3m
0, 3m
30
Ditanya : Momen inersia sistem kedua bola Jawab : 2
0, 2kg
30cm
m1r1 m2 r2
100
100
Momen
inersia
benda
tegar
dengan
massa
terdistribusi kontinu. Benda tegar sebagai massa dari berbagai partikel (titik materi) dan momen inersia kita peroleh dengan cara menjumlah seperti pada persamaan sebelumnya. Jika sebuah benda memiliki distribusi massa yang kontinu, seperti silinder pejal atau pelat, kita perlu menghitung momen inersia dengan metode integrase untuk menghitung penjumlahan. Jika suatu benda tegar tidak dapat ditampilkan
Gambar 2.1 benda tegar dibayangkan
sebagai kumpulan partikel, tetapi merupakan distribusi
terdiri dari sejumlah elemen kecil dm
massa yang kontinu, penjumlahan dengan tanda (∑) pada
yang
persamaan sebelumnya diganti dengan tanda integral (∫). Kita bayangkan membagi benda menjadi berbagai elemen massa kecil dm yang berjarak tetap r dari poros rotasi, sehingga momen inersia I dapat dinyatakan oleh :
(1.3)
r
2
dm
berjarak
menghasilkan
r
r
dari 2
dm
poros
O
Gambar 2.2 momen inersia berbagai benda yang umum dikenal
Menentukan momen inersia benda pejal teratur
L 1 2
Momen inersia sebuah partikel bermassa m yang
L
po
berjarak
r tetap
dinyatakan oleh persamaan
dari
sumbu
rotasi
2
mr
Masalah kita adalah menetukan momen inersia batang (benda pejal) terhadap poros yang
(a)
melalui titik pusat batang dan tegak lurus pada batang (gambar 1.3 a). Massa
batang
M
yang
terdistribusi
homogen sepanjang L tidak dapat kita anggap sebagai benda titik (partikel). Supaya dapat dianggap partikel maka batang sepanjang Lini
dm
kita bagi-bagi dengan panjang sangat kecil dr , yang memiliki massa dm. Misalnya kita ambil suatu massa dm yang berjarak tetap r dari poros, maka partikel d mini akan menghasilkan momen inersia dl terhadap poros melalui p (lihat gambar 1.3 b ), dan ini
(b)
memenuhi persamaan, yaitu : Gambar 2.3 momen inersia pada batang
dl
2
r dm
Oleh Karena jarak r tetap, maka kita harus memilih elemen kecil dr sebagai variable integral dan mengubah dm ke variable dr . kita anggap batang pejal massa M , panjang L adalah homogen maka massa jenis linier
massa
M
panjang
dm
dr
atau dm
L
adalahtetap, sehingga
dr dengan konstan
Sekarang kita bisa memperoleh persamaan integral dl
2
r dm dl
r
2
( dr )
Dan integrase memberikan L r 2
r
L
r dr . 3 L 3
r
2
L
2
2
2
L L p 3 2 2 3
Substitusi
3
M
L
2L L 3 8 12 3
3
, maka diperoleh momen inersia batang homogen terhadap titik pusatnya p,
yaitu 3
p
M L .
L
12
p
1 12
2
ML
Teorema Sumbu Sejajar Kita sudah dapat menentukan momen inersia batang bermassa M dan panjang L terhadap poros melalui pusat massanya, yaitu
pm
1 12
2
ML . Bagaimana jika kita diminta
untuk menentukan momen inersia ini terhadap poros melalui salah satu ujung batang (seperti pada gambar di bawah)
d
L
2
A Pm Gambar 2.4 momen inersia yang terdapat pada batang berputar Cara menghitungnya adalah dengan menggunakan teorema sumbu sejajar . Pm
s
Gambar 2.5 teorema sumbu sejajar
Jika momen inersia terhadap pusat massa adalah
melalui titik sembarang (titik s),
s
pm
maka momen inersia terhadap poros sejajar
, yang berjarak d dari pusat massa bisa dihitung dengan
rumus
2
s pm Md Poros Sembarang
Mari kita gunakan teorema sumbu sejajar yang dinyatakan oleh persamaan ( 1.4) untuk menghitung momen inersia batang terhadap poros melalui ujung batang (titik A), yang berjarak
d
L
2
dari pusat massa batang, seperti yang ditunjukkan gambar (1.4)
A pm Md 2 L A ML M 12 2 1
A
1
ML 2
12
ML2
4
2
A
2
2
4 ML 12
atau A
ML2 12
1 3
2
3ML 12
ML2
3. Hukum Kekekalan Momentum
Dalam Bab 5 Anda telah mempelajari bagaimana masalah interaksi antara dua benda yang bergerak linear dipecahkan dengan menerapkan hukum kekekalan momentum linear.Secara analogi, kita berpikir bahwa pada gerak rotasi pun kita dapat menggunakan hukum kekekalan momentum sudut. a. Apakah Momentum Sudut Itu?
Anda telah mengenal besaranmomentum linear yang dinyatakan oleh
p mv .
pada gerak
rotasi, yang analog dengan momentum linearadalah momentum sudut. Massa analog dengan
momen inersia, kecepatan linear analog dengan kecepatan sudut, maka momentum sudut sama dengan hasil kali momen inersia
I dengan
L
kecepatan sudut
L
.
I
Seperti momentum linear, momentum sudut juga merupakan suatu besaran vektor. Arah momentum sudut
L
dari suatu benda yang berputar diberikan oleh aturan tangan
kanan: putar keempat jari yang dirapatkan sesuai dengan arah gerak rotasi, maka arah tunjuk ibu jari menyatakan arah vektor momentum sudut (Gambar 3.1). Jika lengan torsi terhadap poros diberikan, besar momentum sudut
r
dan kecepatan linear
L
v
benda (bemda dianggap partikel)
dapat dihitung seebagai berikut:
I
2
mr
dan
v
, sehingga
r
L
I
v
(mr 2 )( ) r
Besar momentum sudut partikel L
Gambar 3.1 aturan putaran tangan kanan untuk torsi
b.
mrv
Kaitan antara Momentum Sudut dengan
Torsi
Gaya
F
adalah turunan fungsi momentum linear p
terhadap waktu, atau ditulis F
dp
dt
. Dari persamaan
ini akan kita turunkan kaitan antara momentum sudut L dengan momen gaya
.
F
Kecepatan linear
v
r
dp
dt
d (mv)
dt
, sehingga
F
d ( mr )
dt
Dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan
r
, kita peroleh
2
rF
Anda telah mengenal
rF sebagai
d (mr )
dt
momen gaya
dan
2
mr
sebagai momen inersia
I
, sehingga
dL
dt
Persamaan diatas menyatakan kaitan antara momentum sudut
L
dengan momen gaya
.
Momen gaya adalah turunan dari fungsi meomentum sudut terhadap waktu. Pernyataan ini merupakan pernyataan yang lebih umum dari hukum II Newton untuk gerak rotasi. c. Formulasi Hukum Kekekalan Momentum Sudut pada Gerak Rotasi
Hukum kekekalan momentum linear menyatakan bahwa jika pada suatu sistem tidak bekerja resultan gaya luar ( F 0 ), momentum linear sistem adalah kekal (tetap besarnya). Pada gerak rotasi pun Anda akan menjumpai hukum kekekalan momentum sudut. Untuk resultan torsi luar sama dengan nol ( 0 ), maka dari Persamaan
kita
peroleh jika
dL
dt
0,
maka
L
konstan
Atau dengan kata lain, momentum sudut sistem adalah kekal (tidak berubah). Hukum
kekekalan momentum sudut berbunyi: jika tidak ada resultan momen gaya luar yang bekerja pada sistem ( 0 ) , momentum sudut sistem adalah kekal (tetap besarnya). Kekekalan momentum sudut dapat didemonstrasikan dengan baik oleh seorang penari es.Pada gambar 3.2 penari diperlihatkan memulai rotasinya dengan kedua lengan terentang.Dengan melipat kedua lengannya, penari itu memperkecil momen inersianya terhadap poros ( I mi r i 2 ; untuk
r i
mengecil maka
I juga
mengecil) dan sebagai
akibatnya, dia berputar lebih cepat (kecepatan sudut bertambah besar).
gambar 3.2 ketika seorang penari mempercepat rotasinya dengan memperkecil momen inersianya terhadap poros rotasi, momentum sudut penari adalah kekal
Jika
L1
I 1 1
adalah momentum sudut awal penari (Gambar 3.2) dan
L2
I 2 2
adalah momentum sudut akhir penari (Gambar 3.2.), dan pada penari tidak bekerja resultan torsi ( 0 ), momentum sudut penari adalah kekal, atau kita tulis L1
I11
L2
I 2 2
Perbandingan antara energi kinetik sebelum dan sesudah kedua lengan anak direntangkan
memberikan
hasil
bahwa
energi
kinetik
sistem
berkurang
(tidak
kekal).Dapatkah kita simpulkan bahwa pada kasus dimana hukum kekekalan momentum sudah berlaku, hukum kekekalan energi tidak berl aku.
Diskusi 1. Dapatkah suatu benda memiliki lebih dari satu nilai momen inersia? Selain dari bentuk dan massa benda, informasi apakah yang harus diberikan untuk menentukan momen inersia? 2. Selembar plastik tipis homogen berbentuk segitiga sama sisi. Pertimbangkanlah dua poros rotasi. Kedua poros tegak lurus pada bidang segitiga. Poros A melalui pusat segitiga dan poros B melalui salah satu titik sudutnya. Jika kecepatan sudut terhadap tiap poros adalah sama, poros manakah yangmenghasilkan energi kinetik rotasi lebih besar? Jelaskan. 3. Silinder tipis berongga, silinder pejal, bola tipis berongga, dan bola pejal diletakkan diam di puncak suatu bidang miring. Semua benda tersebut memiliki massa dan jari-jari sama. Benda-benda itu kemudian dibebaskan pada saat yang bersamaan. Bagaimanakah urutan benda-benda itu ketika mencapai dasar bidang? Jelaskan jawaban Anda. 4. Berapakah sudut antara vektor kecepatan linear dengan vektor momentum sudut? 5. Jika pada suatu sistem momentumnya kekal, energi mekaniknya juga kekal. Jelaskan jika pernyataan benar dan berilah contoh kebalikannya jika pernyataan salah. 6. Jika torsi yang bekerja pada sebuah partikel terhadap poros yang melalui titik tertentu adalah nol, apa yang dapat Anda katakan mengenai momentum sudutnya terhadap titik tersebut?
B. KESEIMBANGAN BENDA TEGAR Tujuan pembelajaran : 1. Menganalisis masalah keseimbangan benda tegar untuk berbagai keadaan . 2. Menerapkan konsep titik berat benda dalam kehidupan sehari-hari
1. keseimbangan Statis Sistem Partikel
dalam subbab ini anda akan mempelajari tentang keseimbangan benda tegar. Yang dimaksud keseimbangan dalam subbab ini adalah keseimbangan statis , yaitu benda tegar seterusnya diam (tidak bergerak translasi maupun rotasi). Supaya mahir anda harus mahir dalam membuat diagram bebas dan menghitung torsi terhadap suatu poros tertentu.
1. keseimbangan statis system partikel
Dalam sistem partikel, benda dianggap sebagai suatu titik materi. Semua gaya yang bekerja pada benda dianggap bekerja pada titik materi tersebut, sehingga gaya yang bekerja pada partikel hanya menyebabkan gerak translasi (tidak menyebabkan gerak rotasi). Oleh karena itu, syarat yang berlaku bagi keseimbangan sistem partikel hanyalah keseimbangan translasi.
∑Fx = 0 ∑F = 0 ∑Fy = 0 Dengan ∑Fx = resultan gaya pada komponen sumbu X dan ∑Fy = resultan gaya pada komponen sumbu Y Anda telah mengetahui bahwa
∑F = 0 yang berarti benda terus diam atau benda
bergerak lurus beraturan. Nah, keseimbangan yang dimaksud dalam subbab ini adalah keseimbangan statis sitem partikel, yang berarti
∑F = 0 dan benda terus diam. Jika ∑F = 0
tetapi benda terus bergerak lurus beraturan, ini adalah keseimbangan kinetis. Keseimbangan tiga gaya secara sederhana diuraikan dengan menggunakan aturan sinus dalam segitiga (Gambar berikut).
2. Keseimbangan Statis Benda Tegar
(a)
(b)
Gambar 4.1 (a) dua orang anak berada diatas jungkat-jungkit dalam keadaan setimbang (b) mistar dikenai dua buah gaya
Suatu benda tegar disebut seimbang statis jika benda tegar itu tidak bergerak translasi dan juga tidak bergerak rotasi (Perhatikan Gambar di atas).Apakah syarat dari keseimbangan statis benda tegar ?
Telah anda ketahui bahwa untuk sistem partikel, syarat keseimbangan statis cukup
∑F
= 0 dan benda mula-mula diam. Apakah pada keseimbangan statis benda tegar juga hanya berlaku syarat ini? Pada gambar di atas diilustrasikan bahwa walaupun
∑F = +F ─F = 0 , tetapi mistar masih bisa
berotasi terhadap poros O. Rotasi ini terjadi karena torsi total terhadap poros O tidak nol ( ∑τ
≠0). Supaya mistar tidak berotasi, maka resultan torsi pada titik apa saja yang diambil sebagai poros haruslah nol (∑τ
=0 ). Akhirnya, dapatlah kita nyatakan syarat keseimbangan statis
benda tegar sebagai berikut.
Suatu benda tegar berada dalam keseimbangan statis jika mula-mula benda dalam keadaan diam dan resultan gaya pada benda sama dengan nol, serta torsi terhadap titik sembarang yang dipilih sebagai poros sama dengan nol.
Secara matematis, syarat keseimbangan statis benda tegar yang terletak pada suatu bidang datar (misal bidang XY) dinyatakan sebagai berikut:
∑Fx = 0 1. Resultan gaya harus nol
∑F = 0 ∑Fy = 0
2.
Resultan torsi harus nol ∑τ = 0
Beberapa contoh aplikasi keseimbangan statis benda tegar dalam kehidupan sehari-hari.
http:gambarakrobat.com Gambar 4.2.Pemain akrobat berjalan di atas tali.
Perhatikan Gambar di atas! Pemain akrobat berjalan di atas tali dengan membawa tongkat yang panjang.Pemain ini memegang tongkat tepat di tengah-tengah. Akibatnya, gaya berat tongkat pada setiap sisi sama besar. Gaya ini menimbulkan momen gaya pada sumbu putar (tubuh pemain akrobat) sama besar dengan arah berlawanan, sehingga terjadi keseimbangan rotasi. Ini menyebabkan pemain lebih mudah berjalan di atas tali. Petani memikul dua buah keranjang yang dihubungkan dengan sebuah bambu.
Gambar 4.3.seorang petani memikul rumput
Perhatikan Gambar di atas! Petani memegang bambu tepat di tengah-tengah. Akibatnya, gaya berat bambu pada setiap sisi sama besar. Gaya ini menimbulkan momen gaya pada sumbu
putar (tubuh petani) sama besar dengan arah berlawanan, sehingga terjadi keseimbangan rotasi. Ini menyebabkan petani lebih mudah membawa kedua keranjangnya. Contoh soal :
1. Sebuah balok bermassa 5 kg diletakkan diatas papan kayu yang bermassa 10 kg. Papan tersebut bertumpu pada kaki A dan C. Jika jarak beban dari kaki A 1 m dan panjang papan kayu 5 m, maka hitunglah gaya yang dialami oleh kaki A!
Pembahasan:
Berikut ilustrasi gaya-gaya yang bekerja pada papan tersebut.
Perhatikan gambar diatas, terdapat empat buah gaya yang bekerja pada sistem tersebut, yaitu NA, wb, wp, dan Nc. karena yang ditanyakan gaya normal pada kaki A ( NA ), maka poros berada di titik C. (Catatan: untuk menentukan letak titik poros, ambilah gaya yang belum diketahui Diketahui:
nilainya,
namun
tidak
ditanyakan
dalam
soal)
Panjang papan: lAC = 5 m massa balok (mb) = 5 kg berat balok (wb) = mb.g = 5(10) = 50 N jarak balok terhadap poros (titik C): lBC = lAC – lAB = 5 – 1 = 4 m massa papan (mp) = 10 kg Berat papan (wp) = mp.g = 10(10) = 100 N Titik berat papan berada di titik O, sehingga lOC = ½ lAC = ½ (5) = 2,5 m
Ditanya: Jawab:
Gaya normal pada kaki A ( NA )?
∑τ =0 τ1 + τ2 + τ3 = 0 – NA.lAC + wB.lBC + wP.lOC = 0 – NA(5) + 50(4) + 100(2,5) =0 – 5NA+ 200 + 250 = 0 – 5NA = – 450 NA =
450 5
= 90 N
2.Sebuah tangga seberat 400 N disandarkan pada dinding seperti gambar. Jika dinding licin dan lantai kasar, serta tangga tepat akan tergelincir maka hitunglah koefisien gesekan antara lantai dan tangga!
Pembahasan:
Berikut ilustrasi gaya-gaya yang bekerja pada tangga tersebut. Terdapat empat buah gaya yaitu NB, wt, NA dan f (anak panah berwarna merah).
Diketahui:Panjang papan: lAB = 10 m berat tangga (wt) = 400 N Titik berat tangga berada di titik O, sehingga lOB = lOA = ½ lAB = ½ (10) = 5 m
θ = 53° Ditanya:Koefisien gesekan antara tangga dan lantai (µ) ?
Jawab: Jumlah gaya pada sumbu y (vertikal) dan sumbu x (horizontal) harus nol:
Jumlah torsi di A harus nol (karena yang ditanyakan koefisien gesekan sehingga untuk memudahkan perhitungan, kita pilih titik A sebagai poros). Perhatikan bahwa dalam mengerjakan soal tentang torsi, gaya yang menyebabkan benda berputar haruslah tegak lurus dengan lengannya. sehingga NB dan wt harus dibuat tegak lurus dengan papan (lihat anak panah berwarna biru)
substitusikan nilai NB pada persamaan (1), sehingga diperoleh:
Jadi koefisien gesekan antara tangga dan lantai sebesar 0,375.
C. Titik Berat Tujuan pembelajaran: Menerapkan konsep titik berat dalam kehidupan sehari-hari
1) Pengertisn
Pusat
berat
adalah suatu
titik
tempat
berpusatnya
massa/berat
dari
benda
tersebut.Tinjaulah sebuah benda tiga dimensi berukuran, berbentuk, dan ber massa m sembarang. Jika kita gantung benda tersebut seperti pada gambar 5.1, darisembarang titik seperti A, maka benda akan berada pada kesetimbangan di bawahaksi tarikan pada tali dan resultan W dari gaya gravitasi yang bereaksi pada semuapartikel benda tersebut. Resultan ini jelas kolinier dengan tali, dan misalkan kitamenandai posisinya
Gambar 5.1 dengan memberi sebuah lubang hipotesis dengan ukuran yang dapat di abaikan sepanjang garis kerjanya. Kita ulangi percobaan dengan menggantung benda tersebut dari titik lain seperti B dan C, dan dalam tiap percobaan kita menandai garis kerja dari gaya resultannya. Untuk setiap tujuan praktis, garis kerja ini akan kongruen di sebuah titik G, yang di kenal dengan pusat gravitasi dari benda. Tetapi semua analisis yang tepat harus harus memperhitungkan fakta bahwa arah gaya gravitasi pada berbagai partikel beda sedikit berbeda karena arah tersebut bertemu menuju pusat tarikan bumi. Selain itu, karena partikel partikel tersebut brada pada jarak yang berbeda dari bumi, intensitasi medan gaya bumi tidak benar-benar konstan pada
Gambar 5.2
harus sama dengan Wx ,yaitu momen dari jumlah. Oleh karena itu, xW =
x dW . Dengan
pernyataan yang serupa untuk kedua komponen lainnya, kita dapat menyatakan koordinat pusat gravitasi G sebagai
Untuk membayangkan momen fisis akibat gaya gravitasi guna memperoleh persamaan ketiga, kita dapat mengubah posisi benda tersebut dan sumbu yang tergantung sedemikian rupa sehingga sumbu z menjadi horisontal. Perlu di ketahui bahwa pembilang dari masing masing persamaan ini menyatakan jumlah momen, sedangkan perkalian W dan koordinat yang berkaitan dari G menyatakan momendari jumlah.Prinsip momen ini berulang kali di pakai dalam seluruh mekanika.
Kegiatan
Tujuan Menentukan titik berat bidang homogen secara praktik dan perhitungan. Alat dan bahan Selembar karton tebal, mistar, seutas benang, dan beban untuk meluruskan benang. Langkah kerja 1. Gunting selembar karton tebal sehingga berbentuk huruf F dengan ukuran sesuai gambar. 2. Tentukan letak titik berat karton secara praktik dengan menggunakan benang berbeban. Tandai titik berat tersebut dengan pusat koordinat di o gunakan mistar untuk menemukan koordinat titik berat karton huruf F. 3. Sekarang, anda akan menentukan letak titik berat secara perhitungan teoritis. Bagilah karton huruf F atas menjadi 3 bagian. Kemudian dengan O sebagai pusat koordinat, hitung koordianat titik berat karton dengan menggunakan rumus. Kesimpulan Bandingkan titik berat yang diperoleh secara praktik pada langkah kerja 1 dan 2 dengan titik berat yang diperoleh dari perhitungan .berikan komentar anda.
Link: https://m.youtube.com/watch?v=vVvH-2Gj1e0
Nama Letak Titik Berat Keterangan
Garis lurus yo = 1/2 AB z = di tengah-tengah AB Busur lingkaran yo = AB/AB . R AB = tali busur AB = busur AB R = jari-jari lingkaran Busur setengah lingkaran yo = 2.R/p R = jari-jari l ingkaran Juring lingkaran yo = AB/AB.2/3.R AB = tali busur AB = busur AB R = jari-jari lingkaran Setengah lingkaran yo = 4.R/3 R = jari-jari lingkaran
Dalam kebanyakan persoalan, perhitungan posisi pusat massa dapat di sederhanakan dengan pemilihan sumbu acuan yang tepat. Secara umum sumbu ini harus di tempatkan sedemikian rupa sehingga dapat menyederhanakan persamaan batas sebanyak mungkin. Jadi koordinat polar akan bermanfaat untuk benda yang memiliki batas melingkar. Petunjuk penting lain dapat di ambil dari peninjauan simetri. Apabila terdapat sebuah garis atau budang simetri pada sebuah benda homogen, maka sumbu atau bidang koordinat harus di pilih agar berimpit dengan garis atau bidang ini. Pusat massa selalu terletak pada garis atau bidang demikian, karena momen akibat elemen-elemen yang terlokasi secara simetris selalu akan saling menghilangkan, dan benda tersebut dapat di tinjau sebagai benda yang tersusun dari pasangan elemen ini. Koordinat titik berat suatu sistem benda dengan berat masing-masing W1, W2, ........., Wi ; yang terletak pada koordinat (x1,y1), (x2,y2), ............, (xi,yi) adalah:
X=( Wi . Xi)/(Wi)
Y=( Wi . Yi)/(Wi)
LETAK/POSISI TITIK BERAT
1. Terletak pada perpotongan diagonal ruang untuk benda homogen berbentuk teratur. 2. Terletak pada perpotongan kedua garis vertikal untuk benda sembarang. 3. Bisa terletak di dalam atau diluar bendanya tergantung pada homogenitas dan bentuknya.
TITIK BERAT BEBERAPA BENDA
Nama
LetakTitikBerat
Keterangan
Garislurus
yo=1/2AB
z= ditengah-tengahAB
Busurlingkaran
yo= AB/AB.R
AB=talibusur AB= busurAB
Busursetengahlingkaran
yo=2.R/p
R=jari-jarilingkaran
Juringlingkaran
yo= AB/AB.2/3.R
AB=talibusur AB= busurAB
Setengahlingkaran
yo=4.R/3
R=jari-jarilingkaran
b) penerapan konsep titik berat dalam kehidupan sehari-hari pusat masa tubuh dapat berbeda sesuai dengan posisi tubuh. Pengetahuan tentang pusat massa tubuh pada berbagai posisi tubuh sanagt membantu dalam mempelajari mekanika tubuh. 1. Permainan yudo Dalam bela diri yudo, idenya adalah menarik baju lawan anda sehingga titik beratnya tidak lagi ditumpu oleh kakinya.Berat dan garis normalnya tidak lagi segaris kerja. Tetapi, ketika anda menrik maka lawan anda akan berusaha menggerakkan kakinya kedepan untuk mempertahankan keseimbangan. Jika anda mampu menghentikan gerakan kakinya dia tidak dapat lagi mempertahankan keseimbangannya dan dengan mudah dapat anda banting sehingga dia jatuh ketanah karena beratnya sendiri bukan karena kekuatn bantingan anda. 2. Permainan acrobat Seperti banyak gambar pada awal-awal bab, ide pada permaianan acrobat adalah bagaiman mengatur titik berat gabungan mereka segaris dengan titik tumpu pada lantai (poros). Ini menyebabkan berat total w yang bekerja pada titik berat tidak memiliki lengan momen atau sama dengan nol, sehingga menghasilkan torsi sama dengan nol. Akibatnya system seimbang dan pemain acrobat tidak memiliki torsi putar terhadap titik poros yang dapat menyebabkan mereka jatuh ke lantai.
gambar 5.3 pemain acrobat dengan kesetimbangannya
Diskusi 1. Apakah titik berat benda harus selalu berada didalam benda? Jelaskan 2. Dimanakah titik berat kursi agar kita dapat membuat kursi seimbang ketika berdiri pada satu kakinya? 3. Mengapa mobil balap didesin rendah dan lebar?
