Apuntes de Mecánica de Materiales.docx

UNIDAD 1. INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DE MATERIALES 1.1. Hipótesis de la mecánica de materiales. La MECÁNICA DE MATERIALES es la rama de la mecánica que estudia los efectos internos que experimenta un cuerpo bajo carga, considerando a los elementos estructurales como modelos idealizados sometidos a restricciones y cargas simplificadas. La mecánica de materiales aunque menos rigurosa que la teoría de elasticidad, desarrolla fórmulas de una manera lógica y razonada que proporcionan soluciones satisfactorias a muchos problemas técnicos básicos. Como en toda rama del saber, hay conceptos que son fundamentales para una comprensión satisfactoria de la materia. En la mecánica de materiales el concepto de importancia primordial es el de esfuerzo. La mecánica de materiales interviene de manera destacada en todas las ramas de la ingeniería. Sus métodos son necesarios para los diseñadores de todo tipo de estructuras y máquinas; en consecuencia, es una de las asignaturas fundamentales de un plan de estudios de ingeniería. El conocimiento obtenido en los últimos tres siglos junto con las teorías y técnicas de análisis desarrolladas, permiten al moderno ingeniero diseñar estructuras seguras y funcionales de tamaño y complejidad sin precedentes, teniendo en cuenta tres requisitos indispensables: resistencia, rigidez y estabilidad de los diversos elementos soportadores de carga. Conviene aclarar algo antes de seguir que una de las hipótesis de la estática era que los cuerpos eran indeformables sin embargo decimos que en Mecánica de materiales estudiaremos las deformaciones y desplazamiento de los mismos. En efecto existirán y de hecho se podrán medir esas deformaciones y desplazamientos pero sus magnitudes serán pequeñas (muy pequeñas) comparadas con las medidas de los cuerpos. O sea: las deformaciones son tan pequeñas que no cambia la configuración geométrica del cuerpo y su influencia sobre las solicitaciones es despreciable y por consiguiente a los fines del equilibrio y de los esfuerzos internos es como si efectivamente los cuerpos que estudiaremos fueran indeformables. Si esas deformaciones tuvieran importancia debemos tenerlas en cuenta como efectivamente ocurrirá cuando estudiemos el fenómeno de Pandeo.

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Apuntes de Mecánica de Materiales

En resumen, el objeto de la Mecánica de Materiales es llegar a dimensionar los cuerpos de manera tal que las tensiones y deformaciones provocadas por los esfuerzos al que están sometidos se mantengan dentro de ciertos límites dados por las experiencias y las experimentaciones hechas sobre los mismos o sobre modelos que los representan. NOTA: a finalidad de la Mecánica de Materiales es: DISEÑAR o VERIFICAR los elementos estructurales (losas, vigas, columnas, etc.) de manera que cumplan los requisitos de:   

RESISTENCIA: Los elementos deberán soportar cargas de diseño sin romper. RIGIDEZ: Los componentes deberán deformarse dentro de limitaciones preestablecidas. ESTABILIDAD: Los elementos deberán encontrarse en equilibrio estable.

Hipótesis Fundamentales de la Mecánica de Materiales: El comportamiento real de los cuerpos es muy complicado y sobre todo muy difícil de representar. En consecuencia se han elaborado hipótesis simplificativas que tratan de aproximarse lo mejor posible al comportamiento de los mismos dentro de ciertos límites que veremos más adelante. Esas hipótesis son las siguientes:

 Hipótesis de homogeneidad de los cuerpos. Esta hipótesis supone que las propiedades de los cuerpos son las mismas en todas las direcciones. Los materiales se consideran continuos. La mayoría de los materiales cumple con esta hipótesis aun cuando existan poros o se considere la discontinuidad de la estructura de la materia, compuesta por átomos que no están en contacto rígido entre sí, ya que existen espacios entre ellos y fuerzas que los mantienen vinculados, formando una red ordenada. Aunque en realidad todos sabemos que esto no se cumple estrictamente. Habrá materiales que se ajustarán más y otros menos a esta hipótesis. Por ejemplo el hierro tiene la misma resistencia a tracción que a compresión pero esto no sucede para un material como el hormigón.

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 Hipótesis de elasticidad de los materiales. Esto significa que si un material se ha deformado bajo una causa externa al retirar esa causa vuelve a su posición primitiva. Fig. 1 a), b) y c)

Fig.1

Esta hipótesis también no se cumple estrictamente y varía de material a material y además depende de la magnitud de la causa externa. Para seguir con el ejemplo anterior: el hierro cumple bastante bien con esta hipótesis dentro de ciertos rangos de tensiones no así el hormigón que cualquiera sea la tensión al retirar la causa externa siempre permanece “algo" de la deformación producida. La deformación que al retirar la causa se recupera totalmente se denomina deformación elástica, mientras la que no se recupera se la define como deformación plástica.  Hipótesis de Navier. Nos limitaremos a enunciarla y dice “una superficie plana correspondiente a una sección cualquiera de un cuerpo permanece plana después de la deformación del mismo”. Fig. 2 a) y b).

Fig.2

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 Hipótesis o principio de superposición de los efectos. En realidad esta hipótesis o principio se puede deducir como consecuencia de las anteriores pero la trataremos como una hipótesis más y consiste en lo siguiente. “Si sobre un cuerpo actúa primeramente una causaC1 que produce un efecto el que desaparece al retirar la causa y luego actúa una segunda causa C2 que produce un efecto e2 (e1 y e2 deben ser efectos del mismo tipo y en el mismo lugar) que también desaparece al retirar 1, causa C2, posteriormente al hacer actuar en conjunto las causasC1 y C2 el efecto que se produce será la suma algebraica dee1 y e2”[Fig. 3 a) b) y c)].

Fig.3

 Principio de Saint Venant. Según este principio las fuerzas interiores en los puntos de un sólido, situados lejos de los lugares de aplicación de las cargas no dependen del modo de aplicación de las mismas, por lo que se puede sustituir un sistema de fuerzas por otro equivalente.  Las cargas son estáticas o cuasi-estáticas.- Es decir que no varían con el tiempo

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1.2. Características y propiedades mecánicas de materiales comunes en la construcción. En la selección de un material para un miembro de un sistema de estructuras son muy importantes las características físicas del comportamiento del material sometido a esfuerzos. Estas características se conocen como las propiedades mecánicas del material. Además de las propiedades mecánicas, los materiales poseen propiedades químicas, eléctricas, térmicas, ópticas y otras. Aunque estas otras propiedades son de interés entre los requisitos de diseño especializado, las propiedades mecánicas son las que más interesan al ingeniero proyectista. Las propiedades mecánicas, tales como rigidez, ductilidad, fragilidad y maquinabilidad, para nombrar algunas, describen el comportamiento del material cuando se somete a cargas. Estas propiedades afectan las del material cuando se someten a cargas. Estas propiedades afectan las características de funcionamiento de los miembros de los sistemas estructurales. Una breve descripción de estas propiedades ayudará a entender los factores que conducen a la selección de un material particular para una función particular. Continuamente se están produciendo nuevos materiales para satisfacer las nuevas y diferentes aplicaciones de ingeniería que constantemente surgen en nuestras tecnologías en evolución. Cada uno de estos nuevos materiales, junto con los materiales comunes que ya están en uso, tiene sus propias propiedades físicas. Por esta razón se dará una breve introducción a la terminología y a las propiedades de los materiales de ingeniería en las siguientes secciones. Propiedades mecánicas: La primera propiedad mecánica que se considerará es la resistencia. La resistencia de un material indica su capacidad de resistir carga y generalmente se toma como sinónimo de esfuerzo. Más específicamente, se considera que el esfuerzo máximo que un material puede soportar antes de que ocurra la falla. Un miembro se considera que ha fallado si cesa de realizar la función para la cual se diseñó. Esto puede deberse a llegar el esfuerzo último en los materiales frágiles que no se deforman grandemente antes de la fractura, o puede ser debido a haber alcanzado el esfuerzo de fluencia en los materiales dúctiles que se deforman plásticamente una gran cantidad, antes de que alcance el esfuerzo último. Otra propiedad de interés, particularmente con respecto a las consideraciones de flexibilidad, es la rigidez. Se dice que una parte estructural es rígida si soporta un gran esfuerzo con una deformación relativamente pequeña. El módulo de elasticidad de un material es una medida de su rigidez. Propiedades adicionales de gran importancia en la selección de los miembros que soportan carga son la ductilidad, maleabilidad y fragilidad. Un material es dúctil y maleable si puede soportar grandes deformaciones inelásticas (plásticas) antes de la fractura. La ductilidad está asociada con los esfuerzos de tensión (por ejemplo, un material puede ser estirado en alambres); la maleabilidad está asociada con los esfuerzos de compresión (por ejemplo, un material puede ser laminado en hojas delgadas). La mayoría de los materiales

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que son dúctiles también son maleables, la fragilidad es la propiedad opuesta a la ductilidad; un material frágil se fracturará a deformaciones unitarias relativamente bajas. Una línea divisoria usual que separa los materiales dúctiles de los frágiles es una deformación unitaria de 5%, es decir, si un material se fractura a una deformación unitaria de 5% o menor, se considera como quebradizo. Los materiales usados en miembros que están sujetos al impacto de cargas dinámicas deben ser capaces de absorber la energía. La resiliencia de un material es la capacidad de absorber energía en un intervalo elástico de esfuerzos, mientras que la tenacidad es su capacidad de absorber energía en el intervalo inelástico de esfuerzos. Otra propiedad de interés en consideraciones de diseño es la dureza, que es una medida de la capacidad del material para resistir rayaduras. La dureza de un material puede modificarse grandemente mediante varios procesos de manufactura. Tales como tratamientos térmicos, trabajo en frío, templado y revenido. La maquinabilidad es una medida de la facilidad con que un material puede maquinarse mediante operaciones tales como barrenado, fresado, roscado, etc. La maquinabilidad de un material puede cambiarse considerablemente aleando el material con otros elementos y mediante operaciones tales como los tratamientos térmicos y el estirado en frío. Ductilidad y fragilidad La presencia o la ausencia de ductilidad tiene un marcado efecto sobre la capacidad última de soportar carga de un miembro. Por consiguiente, consideramos que se necesita una discusión más completa de estas propiedades para apreciar mejor su función en el diseño. La ductilidad y fragilidad pueden ilustrarse fácilmente mediante diagramas de esfuerzodeformación unitaria, como los de la Fig.15.1. La Fig.15.1 (a) muestra el diagrama esfuerzo- deformación unitaria para un material frágil o quebradizo. Puede verse que el alargamiento total antes de la fractura es considerablemente menor al del material dúctil mostrado en la Fig.15.1 (b). esto es importante en el diseño por dos razones principales. Primero, antes de la fractura, un material frágil prácticamente no avisa, mientras que un material dúctil se deforma una gran cantidad antes de fallar. Un segundo factor más significativo es que un material dúctil, debido a su gran alargamiento después de la fluencia, tiene la cualidad de redistribuir esfuerzos en lugares de concentraciones altas de esfuerzos. Esto es particularmente importante en el diseño de conexiones y flechas con cuñas o clavijas donde ocurren altas concentraciones de esfuerzos. Consideremos, por ejemplo, la placa mostrada en la Fig. 15.2. Siempre que ocurran cambios bruscos en el área de la sección transversal de un miembro, donde los esfuerzos no están uniformemente distribuidos. Los esfuerzos más altos ocurren cerca de los bordes del agujero. Si el material es dúctil, las fibras cercanas al agujero se esfuerzan hasta el valor de fluencia. Estas fibras se deforman, pero mantienen ese esfuerzo, como se muestra mediante el diagrama esfuerzo-deformación unitaria de la Fig.15.1 (b). El exceso de esfuerzo que se habría aplicado a estas fibras, es soportado por las fibras adyacentes. Este es un ejemplo de redistribución de esfuerzos.

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En la redistribución de esfuerzos de un material dúctil, algunas fibras de la sección transversal fluyen. Esto no va en detrimento para un miembro, a menos que la fluencia ocurra sobre una porción sustancial de la sección transversal. Sin embargo, si el material fuera frágil, no sería capaz de soportal altas concentraciones de esfuerzos y algunas fibras se romperían. Esto reduce el área neta, haciendo que los esfuerzos en la fibras restantes se incrementen, y que se desarrolle una grieta en la sección. Los materiales frágiles, como por ejemplo la fundición de hierro tienen muchas aplicaciones. El proyectista deberá ser cuidadoso para evitar aplicarlo en situaciones que den lugar a concentraciones de esfuerzos que puedan producir falla. Ensaye de materiales Las propiedades mecánicas mencionadas anteriormente describen cualidades de un material con respecto a ciertas características. Para comparar materiales, se deben tener evaluaciones numéricas de estas cualidades. Se han desarrollado varias pruebas que establecen estas cantidades numéricas parapara las propiedades mecánicas. Los resultados de los ensayes hechos sobre un material dado son afectados por cierto número de factores, tales como la rapidez de aplicación de la carga, el tamaño y la forma de los especímenes, y la disposición del aparato. Para permitir una comparación de los resultados de ensayes sobre un material con los obtenidos a partir de ensayes sobre otro material, los procedimientos de ensaye están normalizados. La American Society for Testing Materials (cuya sigla es ASTM) es una organización que establece normas para llevar a cabo los ensayes. La ATSM realmente efectúa dos funciones principales de normalización. Especifica procedimientos que deben seguirse en los laboratorios de ensaye, y también establece especificaciones de calidad y comportamiento de materiales específicos. Por ejemplo, el acero estructural al que s ele da la designación ASTM de A-36 debe ajustarse a requisitos de fluencia y de tensión última, propiedades de flexión, porcentaje de alargamiento, marcado, etc. Para asegurarse de que el material designado como acero A-36 cumple con estos requisitos, los especímenes se ensayan de acuerdo a un programa definido.

1.3. Esfuerzo y deformación Unitaria. Es de gran importancia la relación entre los términos de esfuerzo unitario y deformación unitaria. En el siglo diecisiete (1658). Robert Hooke publicó un artículo en que estableció que el esfuerzo era directamente proporcional a la deformación unitaria. Este hecho se conoce como la Ley de Hooke. Matemáticamente puede expresarse como σ Є, que significa, por ejemplo, que si una barra está sujeta a una carga de tensión de 100 lb, se alargará una cierta cantidad. Si la carga se incrementa a 200 lb, el alargamiento se duplicará.

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Esta proporción puede convertirse en una ecuación introduciendo una constante de proporcionalidad. Esta constante de proporcionalidad fue calculada a principios del siglo diecinueve (1802) por Thomas Young un científico inglés. El módulo de elasticidad (al que se ha dado como símbolo E) se ha determinado para los diversos materiales de ingeniería. Al incluir el módulo de elasticidad, la Ley de Hooke, σ Є se convierte en una ecuación importante y útil, que se expresa como: (1) donde: σ = esfuerzo unitario en lb/plg², o N/m² o Pa. Є = deformación unitaria en plg/plg o m/m. E = módulo de elasticidad en lb/plg², o N/m² o Pa. Cálculo de la deformación Si un mimbro se somete a una fuerza exterior axial P, como se indica en la Fig. 2.6,la barra se deforma ( se alarga en este caso). Puede demostrarse experimentalmente que la deformación δ es directamente proporcional al área de la sección transversal A. expresado matemáticamente, δ PL/A. Esto es razonable, ya que a mayor carga, mayor deformación (Ley de Hooke), y a mayor longitud de varilla, más moléculas se presentan en cada fibra. Por consiguiente, el alargamiento acumulado de cada fibra será mayor. La deformación es inversamente proporcional al área ya que a medida que aumenta el área, se presentan más fibras para soportar la carga, y cada fibra soportará una menor parte de esta carga. Para convertir esta proporción en una ecuación, debe incluirse la constante de proporcionalidad. Esta constante es el inverso del módulo de la elasticidad de Young. La ecuación para la deformación total de una barra axialmente puede escribirse como; (2) donde: δ = deformación total en plg o m, P = carga aplicada en lb o N, L = longitud en plg o m, A = área de la sección transversal en plg² o m², E = módulo de elasticidad en lb/ plg² o N/m² o Pa.

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La ecuación (2) es exactamente la misma que la ec.(1), excepto que tiene una forma más conveniente para resolver problemas que involucran cambios de longitud. Para mostrar la correlación entre ecuaciones, puede sustituirse σ=P/A y Є= δ/L en la ec. (1), como se indica a continuación: , , ,

EJEMPLO: La barra de acero indicada en la FIg. es de 2.5m de longitud y tiene una área en su sección transversal de 3x . Determinar la deformación total producida por una fuerza de tensión de 80kN. El módulo de elasticidad es de 200 GPa. SOLUCIÓN: ( (

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)( )(

) ⁄

)


1.4. Limite elástico, límite de proporcionalidad, esfuerzo de fluencia, rigidez, resistencia de ruptura. 1.5. Material dúctil, frágil, elástico, plástico, elasto-plástico. UNIDAD 2. ESFUERZO Y DEFORMACIÓN NORMAL 2.1. Concepto de esfuerzo. 2.2. Esfuerzo producido bajo carga normal axial. 2.3. Concepto de deformación y deformaciones normales en barras. 2.4. Problemas estáticamente indeterminados. 2.5. Determinación de elementos mecánicos (fuerza cortante y momento flexionante) y construcción de diagramas. UNIDAD 3. FLEXIÓN, CORTANTE Y TORSIÓN EN VIGAS 3.1. Elementos sujetos a flexión. 3.2. Esfuerzo de elementos sujetos a flexión. 3.3. Ejemplo de elementos sujetos a flexión. 3.4. Elementos sujetos a fuerza cortante directo. 3.5. Elementos sujetos a cortante en la flexión. 3.6. Esfuerzo estructurales.

cortante

por

flexión

en

elementos

3.7. Ejemplo de elementos sujetos a cortante en la flexión. 3.8. Elementos sujetos a torsión.

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3.9. Esfuerzo cortante por torsión en barras de sección circular o anular. 3.10. Deformaciones por torsión en barras de sección circular o anular. 3.11. Ejemplo de elementos sujetos a torsión. UNIDAD 4. INTRODUCCIÓN AL PANDEO 4.1. Introducción. 4.2. Naturaleza del problema viga – columna. 4.3. Ecuación diferencial para viga – columna. 4.4. Estabilidad del equilibrio. 4.5 Carga de pandeo de Euler (para diferentes tipos de apoyos). 4.6. Limitación de la ecuación de pandeo elástico. 4.7. Modificación en la ecuación de la carga crítica de Euler. 4.8. Columnas cargadas excéntricamente. UNIDAD 5. FLEXIÓN Y CARGA AXIAL 5.1. Carga excéntrica y núcleo central. 5.2. Ecuación de esfuerzos por carga normal axial y flexión uniaxial. 5.3. Ecuación de esfuerzos por carga normal.

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BIBLIOGRAFIA 1.- Beer in Jhonston. Mechanics of Materials. McGraw-Hill. 1981. 2.- Fitzgerald W., Robert. Mecánica de Materiales. Fondo Educativo Interamericano. 1982. 3.- Gere y Timoshenko. Mechanics of Materials. Brooks cole Engineering. 1984. 4.- Hibbeler R.C. Mechanics of Materials. MacMillan. 1991. 5.- Higdon, Olsen, Weese y Riley. Mechanics of Materials. Prentice-Hall. 1985. 6.- Popov, E. Introduction to Mechanics of Solids. Prentice-Hall. 1968. 7.- Popov, E. Mechanics of Materials. Prentice-Hall. 1976. 8.- David Roylance and J. Willen. Mechanics of Materials. 1995. 9.- Roy R., Craig Jr. Jwig. Mechanics of Materials. 1996.

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