Apuntes Analisis segundo bachillerato (completo).pdf

Por Mª Ángeles Pajuelo González

I.E.S. Miguel Servet

MªÁngeles Pajuelo González

Funciones

ÍNDICE FUNCIONES _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 4 FUNCIÓN: CONCEPTO Y DEFINICIÓN.-_________________ DEFINICIÓN.-__ _________________________________ ___________________________________ _________________ 4 DOMINIO E IMAGEN DE UNA FUNCIÓN.FUNCIÓN.- ___________________ ____________________________________ _______________________________ ______________ 4 FORMAS DE DEFINIR UNA FUNCIÓN___________________ FUNCIÓN__ ___________________________________ ___________________________________ _________________ 7 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN __________________ ___________________________________ __________________________________ ___________________________ __________ 7 FUNCIONES FUNCIONES DEFINI DEFINIDAS DAS A TROZOS ___________________ _____________________________________ ____________________________________ __________________ 8 RELACIONES RELACIONES NO FUNCIO FUNCIONALES NALES ___________________ _____________________________________ ___________________________________ ____________________ ___ 8 OPERACIONE OPERACIONESS CON FUNCIONES FUNCIONES ___________________ ____________________________________ __________________________________ _____________________ ____ 8 FUNCIONES MONOTONAS_____________________ MONOTONAS______________________________________ __________________________________ _________________________ ________ 12 FUNCIONES ACOTADAS__________________ ACOTADAS___________________________________ __________________________________ ______________________________ _____________ 12 MÁXIMOS MÁXIMOS Y MÍNIMO MÍNIMOSS ABSOLUTO ABSOLUTOSS ____________________ _____________________________________ _________________________________ ________________ 13

LIMITES DE FUNCIONES. FUNCIONES. __________________________________________________________ __________________________________________________________ 14 LÍMTE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO:_________________________________________________ PUNTO:___ ______________________________________________14 14 LIMITES LIMITES INFIN INFINITOS. ITOS. ____________________ _____________________________________ ___________________________________ _______________________________ _____________ 16 LIMITES LIMITES EN EN EL INFINITO INFINITO _____________________ ______________________________________ __________________________________ _________________________ ________ 16 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.____________________ LÍMITES.______________________________________ ____________________________________ ____________________ 17 CÁLCULO CÁLCULO DE LÍMITES. RESOLUCIÓ RESOLUCIÓN N DE INDETERMINACI INDETERMINACIONES ONES _________________________ _________________________21 21

CONTINUID CONTINUIDAD AD DE UNA UNA FUNCIÓN FUNCIÓN __________________________________________________ __________________________________________________ 34 FUNCIÓN CONTÍNUA CONTÍNUA EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO ________________________________ ________________________________34 34 OPERACIONES CON FUNCIONES CONTÍNUAS___ CONTÍNUAS ____________________________________________ _________________________________________34 34 DISCONTINUIDADES___ _________________________________ ___________________________________________________ ________________________________ ______________ 35 EJEMPLOS. EJEMPLOS. ___________________ _____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ______________________ ____ 36

DERIVADAS_______________________________________________________________________ DERIVADAS_______________________________________________________________________ 40 DERIVADA DERIVADA DE DE UNA FUNCIO FUNCION.N.- ___________________ ____________________________________ __________________________________ ______________________ _____ 40 DERIVADA DERIVADA DE UNA UNA FUNCIÓN FUNCIÓN EN UN PUNTO _____________________________________________ _____________________________________________40 40 CÁLCULO DE DERIVADAS (I) ___________________ _____________________________________ ____________________________________ _______________________ _____ 46 CÁLCULO CÁLCULO DE DERIVADA DERIVADASS (II) _____________________ _______________________________________ ____________________________________ ____________________ __ 54 TABLA DE DERIVADAS___________________ DERIVADAS_____________________________________ ___________________________________ _____________________________ ____________ 68 DIFERENCI DIFERENCIAL AL DE UNA FUNCI FUNCIÓN ÓN ___________________ ____________________________________ __________________________________ ____________________ ___ 69

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES DERIVABLES __________________________ __________________________ 72 DOMINIO DE DEFINICIÓN DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN _____________________________________________ ___ __________________________________________73 73 PUNTOS DE CORTE DE UNA FUNCIÓN FUNCIÓN CON LOS EJES COORDENADOS COORDENADOS ____________________ ____________________75 75 SIMETRÍA SIMETRÍA Y PERIODICI PERIODICIDAD DAD ____________________ _____________________________________ ___________________________________ _______________________ _____ 77 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN____________________________________ FUNCIÓN___ _________________________________80 80

2



Funciones

MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN FUNCIÓN ____________________________________ ____________________________________84 84 CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD CONVEXIDAD DE UNA FUNCIÓN FUNCIÓN ________________________________________ ___ _____________________________________92 92 PUNTOS PUNTOS DE INFLEXIÓN INFLEXIÓN ____________________ _____________________________________ ___________________________________ ____________________________ __________ 94 ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN____________________ FUNCIÓN___ __________________________________ __________________________________ ______________________ _____ 96 REGIONES DE EXISTENCIA PARA UNA FUNCIÓN________________________________________ FUNCIÓN____ ____________________________________101 101 GRÁFICA_____________________ GRÁFICA_______________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ______________________ ____ 103

3



Funciones

FUNCIONES FUNCIÓN: CONCEPTO Y DEFINICIÓN.Cuando una magnitud depende de otra se suele decir que está en función de ella. De manera intuitiva podemos decir que una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda El concepto matemático de función exige que esta dependencia sea elemento a elemento, es decir, a un elemento le corresponde solo un elemento. Una función f es una correspondencia entre dos conjuntos A (conjunto inicial) y B (conjunto final) que asocia a cada elemento x de A un único elemento f(x) de B. Si y es el valor correspondiente a x, decimos que y es la imagen de x, y que x es la antiimagen de y por la función f, y escribimos: y=f(x) ; x = f -1(y)

DOMINIO E IMAGEN DE UNA FUNCIÓN.• Llamamos dominio, campo de definición o campo de existencia de la función f al conjunto de todos los valores de x para los que la función tiene imagen (o lo que es lo mismo, conjunto de valores que puede tomar la variable independiente x para que la función tenga sentido). Vamos a representarlo como Dom(f). • Llamamos Imagen o Recorrido de la función, al conjunto de todas las imágenes (es decir, al conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente y). Vamos a representarlo como Img(f). Una función real es aquella cuyo recorrido son valores del conjunto de los números reales. Si los valores del dominio también son reales, se llama función real de variable real. A partir de ahora trabajaremos con funciones reales de variable real.

4



Funciones

DOMINIOS DE ALGUNAS FUNCIONES: I) El dominio de una función polinómica es R II) El dominio de un cociente de polinomios es R-{puntos en que se anula el denominador} Dom= ⎨0, 2⎬

III) El dominio de una raíz de índice par={puntos en que el radicando es mayor o igual que cero}

3 x − 5 ≥ 0 ⇒ 3 x ≥ 5 ⇒ x ≥

5 5 Dom = ⎡⎢ , ∞ ⎞⎟ 3 ⎣ 3 ⎠

IV) El dominio de una función exponencial es R V) El dominio de una función logarítmica "y=log(A)" es {puntos en los que A es mayor que cero}

Ejemplo de función La ley que relaciona el valor del área de un cuadrado con la longitud de su lado es una función. Sabemos que la expresión que nos relacionas ambas variables es . Observa que dependiendo del valor del lado del cuadrado vamos a obtener distintos valores en el área del mismo. Así, aparece una variable que no depende de nada (variable independiente: la l) y otra que si depende de los valores elegidos en la l (variable independiente: la A). Puedes pues construir una tabla con algunos valores: l

A

1

1

2

4

10

100

1/2

1/4

0,5

0,25

En esta función, el dominio será el conjunto de todos los números reales positivos pues el lado de un cuadrado nunca puede tener una medida negativa. Su recorrido es también el conjunto de todos los números positivos pues un área no puede ser negativa. Además siempre existe un cuadrado que tenga por área cualquier número positivo (bastará construir un cuadrado cuyo lado sea la raíz cuadrada del área elegida). 5



Funciones

Ejemplos de dominios Calcula el dominio de definición de las siguientes funciones: 1.- f(x)=1/2x2 En este caso, al no aparecer cocientes ni raíces ni logaritmos en los que intervenga la variable x, podemos calcular la imagen a cualquier número real. Por tanto D(f)=R 2.Como el radicando de una raíz de índice par debe ser positivo, debemos exigir:

3.Ahora tendremos que los puntos que no pertenecen al dominio son los que anulan al denominador. Veamos cuales son: x-1=0 luego x=1 Por tanto el dominio de f serán todos los números reales menos el 1: D(f)=R\{1} 4.Tengo que exigir de nuevo:

Ejercicios para que lo hagan los alumnos Hallar el dominio de las siguientes funciones: a) a)

f(x)=x3-4x+2 b)

d) g)

f ( x) =

2 x + 1 x 2 − 1

e)

3

2

f ( x) = x − x + 3 x − 3

f ( x) =

f ( x ) = x + 3

2

f ( x) =

k)

2 x − 5

f ( x ) = x − 4 x + 3

h) j)

x 2 + 1

f(x)=

c)

f ( x ) =

f)

f ( x) = x − 2 x + x

2 x + 6 2

x − x − 6

i) l)

f ( x) =

m) p) s)

f ( x) =

x + 3 2

x − 4

n)

x 5 − x 4 + x 3 − x 2

q)

v)

2 f(x)= x + x + 1

w)

f(x)= x + 3 f ( x) =

2

x − x − 6 x 2 − 1 x 2 + 3 5

4

3

r)

2 f(x)= x − 1

f ( x) =

1 2 x 2 − 5 x + 2 2

x

6

x + 2

f ( x ) = x − x + x − x

u)

x + 1

f ( x) =

2

o)

x + 1

t)

3 x + 7 4 2 x − 10 x + 9

2

x + 3

2 x

2

x + 1

3 f(x)= x + 1

f ( x) =

f ( x) =

x 2 + 1

3

f ( x ) =

7 x 2 − 5 x + 2

8 − 2 x

x)

f ( x) =

x − 1 x + 2

2



Funciones

FORMAS DE DEFINIR UNA FUNCIÓN • Verbalmente, es decir, enunciando la regla que define la función, como por ej. :”a cada nº le asignamos su valor absoluto”. • Mediante una tabla de valores • Mediante su expresión analítica (utilizando el lenguaje algebraico). • Mediante una gráfica. Según la expresión analítica clasificamos las funciones de la siguiente forma:

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Dada una función f, llamamos grafo de f y lo representamos por Graf(f) al conjunto siguiente: Graf(f) = {(x,f(x)) | x Dom(f) } Al representar todos los puntos del grafo de f sobre un S. de R., obtenemos la gráfica de la función f. Para representar gráficamente una función es de mucha ayuda estudiar si posee algún tipo de simetría y la periodicidad: Función par: y = f(x) es par f(x) = f(-x); toda función par es simétrica respecto al eje OY Función impar: f es impar f(x) = -f(-x); toda función par es simétrica respecto del origen (0,0) Función periódica: f es periódica de periodo T f(x) = f(x + T) ,, para todo T real y distinto de cero. La gráfica de una función periódica se repite en cada periodo.   

EJEMPLO: f(x)=x3 f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x), luego la función dada es impar

EJERCICIO Estudiar la paridad de las siguientes funciones. a) f(x)=1/x b) f(x)=x+1 7



Funciones

FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS A veces, una función no está definida por una única expresión analítica, sino que ésta varía según el tramo del dominio que consideremos. Decimos que se trata de una función definida a trozos. Por ejemplo: 2x 4 si 0 x 4 f(x)= 2 Dom(f) = [0, 8] x 4 si 4 x 8 RELACIONES NO FUNCIONALES No siempre una expresión analítica que relaciona las variables x e y determina una función de x. Por ej., la expresión y = x (multifunción) asigna a cada valor de x dos números reales, y por tanto no es una función. Si no escribimos el signo delante de la raíz, se entiende que es el +, y en este caso ya si es una función. OPERACIONES CON FUNCIONES • Suma de funciones: Dadas dos funciones f y g, la función suma f+g es: (f+g)(x)=f(x)+g(x),, ,,x Dom(f) Dom(g) •

Resta de funciones: Dadas dos funciones f y g, la función resta f-g es: (f-g)(x)=f(x)-g(x),, ,,x Dom(f) Dom(g)

•

Producto de funciones: Dadas dos funciones f y g, se define la función producto f.g como: (f.g)(x) = f(x) . g(x),, x Dom(f) Dom(g)

•

Producto de un número real por una función: El producto de un número real "k" por una función "f" es una función "k.f" tal que a cada valor "x" le asocia k veces el valor que le corresponde mediante f; es decir: (k.f)(x) = k.f(x),, x Dom(f)

•

Cociente de funciones: Dadas dos funciones f y g, se define la función cociente f/g como: f f ( x ) x ,, siendo g(x) 0 y x Dom(f) Dom(g) g g( x )

•

Composición de funciones: Dadas dos funciones y=f(x), z=g(y), se llama función compuesta (gof) a la función (gof)(x)=g(f(x))

8



Funciones

Observando este esquema observamos que para que exista la función compuesta es necesario que el recorrido de la función f quede totalmente incluido en el dominio de la función g. • Función inversa respecto de la composición:

Definición Se llama función identidad a la función que le hace corresponder a cada número real el propio número. Se representa por I(x).

Definición Una función f se dice inyectiva o función uno a uno si verifica que dos puntos distintos no pueden tener la misma imagen. De otra forma:

Ejercicios 1.-Comprobar analíticamente si las siguientes funciones son inyectivas o no:

Definición Sea y=f(x) una función. Llamamos función inversa (en caso de que exista) a una función notada

f -1(x)

of)(x)= (f f 1 )( x ) = f[f -1(x)] =I(x) con I(x) la función identidad. Para que exista la función inversa de f es necesario que la función f sea inyectiva. -1

que verifica que (f

o

Si dos funciones son inversas, sus gráficas son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante.

Método para hallar analíticamente la función inversa de otra Tenemos la función y = f(x), y queremos hallar su inversa. 1) Se intercambian la x y la y en la expresión inicial: y = f(x) x = f(y) -1 2) Se despeja la y en la nueva expresión: x = f(y) y = f (x) x 2 1.- Calcular si es posible la función inversa de f(x) = x 1 En primer lugar debemos estudiar si la función en cuestión es inyectiva o no: x1 2 x 2 2 f ( x 1 ) f ( x 2 ) ( x 1 2)( x 2 1) ( x 2 2)( x 1 1) x1 1 x 2 1 x 1 x 2 x 1 2 x 2 2 x 1 x 2 x 2 2 x 1 2 3x 1 3 x 2 x1 x 2 Con esto queda probado que la función f es inyectiva y por tanto existe f -1. Calculémosla:

9



Funciones

2.- Calcula la función suma de las siguientes funciones con sus dominios respectivos: f 1(x)=x2+1

f 2(x)=-2x2+4

ys=y1+y2=x2+1-2x2+4=-x2+5.

3.-

4.- Estudiar la existencia de la función compuesta de las siguientes funciones y en caso afirmativo calcularla: f(x)=x+1 g(x)=x2+1 En este caso el dominio de la función g es todo R. Cuando esto ocurra, la función compuesta existe y el dominio de la misma coincidirá con el dominio de f. Por tanto, en este caso la función compuesta existe y Dom(gof)=Dom(f) = R Además gof(x)=g(f(x))=(f(x))2+1=(x+1)2+1=x2+2x+1+1=x2+2x+2 x 1 ,, g(x) = x2 x 1 En este caso, Dom(g)=R luego el la función gof existe siendo además 5.- Estudiar la existencia de gof en el caso: f(x) =

Dom(gof)=Dom(f)= 6.-Dadas las funciones f(x) =

x 1 1 y g(x) 3 , estudiar la existencia de gof y de fog x 2 x

a)gof Dom(g)=R\{0}. Por tanto, si existe algún punto del dominio de f tal que f(x)=0 entonces no existirá gof. Veámoslo: . Por tanto, como existe un punto verificando eso, la función gof no existe en este caso. No obstante construyamos una restricción. Para ello bastará con quitar al dominio de f los puntos que verifican que 10



Funciones

f(x)=0. Dom(f)=R\{-2} Y Dom(gof)=R\{-2,1} b)fog Dom(f)=R\{-2}. Por tanto habrá que comprobar si existe algún punto tal que g(x)=-2: . Como existe un punto en esas condiciones, no existe fog. No obstante construyamos una restricción. Para ello bastará con quitar al dominio de g los puntos que verifican que g(x)=-2. Dom(g)=R\{0} Y Dom(gof)=R\{-1/5,0}

7.- Dadas las funciones y1=x+1 y y2=x+2 calcula y p así como yc con sus dominios respectivos.

puesto que el -2 anulará el denominador de la función cociente. 8- Idem con las siguientes funciones:

Observa que en la función cociente también hemos quitado del dominio el punto 1 puesto que la función y2 se anula para dicho punto. 9.- Dada f(x) = 2x + 5, calcula (si existe) f —1 Solución: a) Veamos primeramente que es inyectiva: f(x1)=f(x2) 2x1 + 5=2x2 + 5 x1 = x2 f es inyectiva b) Calculemos la inversa: y 5 x 5 y = 2x + 5 x = f 1 ( x ) 2 2 10.- Comprueba que las funciones f(x) = ex y g(x) = ln x son funcione recíprocas (es decir, que su composición da i(x)).

11



FUNCIONES MONOTONAS Diremos que una función f es creciente:∀ x1,x2 ∈Dom(f) con x1f(x2

FUNCIONES ACOTADAS o Diremos que f está acotada superiormente si existe k ∈R tal que f(x)≤ k ∀ x∈Dom(f). o

Diremos que f está acotada inferiormente si existe k ∈R tal que f(x) ≥ k ∀ x∈Dom(f).

EJEMPLO: f(x)=x2 está acotada inferiormente por "0" o

Diremos que f está acotada si lo está superior e inferiormente.

12

Funciones



Funciones

MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS Decimos que la función f(x) posee un máximo en x0, si f(x0) f ( x ), x Dom(f) • Decimos que la función f(x) posee un mínimo en x0, si f(x0) f ( x ), x Dom(f) •

EJERCICIO1 1. Para la gráfica siguiente, encuentra la posición del máximo absoluto y del mínimo absoluto de la función en el intervalo dado:

a) [ −5, −3] b) [ −3,0 ] c) [ −4, − 2] d) [ −5.5, 2 ] Respuestas: a) P máx (- 4, - 6), P mín (-5, - 8), b) P máx (-1, -6), P mín (0, -12), c) P máx (- 4, - 6), P mín (-2, - 8), d) P máx (2, 12), P mín (0, -12).

13



Funciones

LIMITES DE FUNCIONES. LÍMTE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO: Sea f una función real de variable real . Diremos que el límite de f(x) cuando x tiende a x0 es L y escribiremos lím f ( x ) L x

x0

si a medida que x se aproxima a x0 (por valores menores y mayores que x0) las imágenes de x , las f(x), se aproximan a L. Esto nos llevaría a definir los límites laterales: •

Límite por la derecha cuando x se aproxima a x0 por valores mayores: lím f ( x ) x

•

x0

L

Y límite por la izquierda cuando x se aproxima a x0 por valores menores: lím f ( x ) x

x0

L

EJEMPLO I Consideremos la función ⎧2 x − 3 si x < 2 ⎩- x + 2 si x > 2

f(x) = ⎨

Esta función no está definida en el punto 2. Cuando nos aproximamos a este punto por la izquierda, la función se aproxima a 1. Decimos por tanto que el límite de f(x) cuando x tiende a 2 por la izquierda es 1, y lo expresamos: lim f ( x ) = 1 x → 2 −

Del mismo modo al aproximarnos a 2 por la derecha (tomando valores mayores que 2) la función se aproxima a 0. Por tanto "el límite de f(x) cuando x tiende a 2 por la derecha es 0", lo expresamos: lim f ( x) = 0

x → 2 +

EJEMPLO II ⎧2 x − 3 si x < 2 ⎪ f(x) = ⎨- 4 si x = 2 ⎪- x + 2 si x > 2 ⎩

En este caso:

f(2)=-4 lim f ( x) = −1

x → 2 −

lim f ( x) = 0

x → 2 +

14



Funciones

EJEMPLO III ⎧2 x − 3 si x < 2 ⎩- x + 2 xi x ≥ 2

f ( x) = ⎨

f ( 2) =0 lim f ( x ) = 0

x → 2 +

lim f ( x) = −1

x → 2 −

Observemos que en los tres casos el límite por la izquierda coincide con el límite por la derecha, sin embargo el valor de la función en el punto 2 es distinto en cada caso; o incluso puede no estar definida en ese punto (Ejemplo I). Es decir, a la hora de calcular el límite de una función en un punto no nos interesa el valor de la función en ese punto sino en sus cercanías. EJEMPLO IV ⎧ x − 1 f ( x) = ⎨ ⎩5 − x

si x < 3 si x ≥ 3

lim f ( x) = 2

x → 3−

lim f ( x) = 2

x → 3+

cuando el límite por la izquierda y por la derecha coincide se dice que existe el límite de f(x) cuando x tiende a 2 y es igual a ese número. Escribiremos: lim f ( x) = 2

x →3

La condición necesaria y suficiente para que exista el límite de f(x) cuando x tiende a x0 y éste valga L, es que existan los límites laterales y que coincidan con L. lím f ( x )

x

x0

L

x

lím f ( x ) x0

15

x

lím f ( x ) x

0

L



Funciones

LIMITES INFINITOS. De la misma forma que en el apartado anterior se puede decir que: lim f ( x) = ∞ x → a

si a medida que x se aproxima hacia a, f(x) crece indefinidamente, es decir, tiende a infinito. Ejemplo f(x)=1/x

Esta función tiene como gráfica la de la figura, se puede observar que a medida que nos acercamos al punto cero por la derecha la función se dispara a infinito, mientras que si nos acercamos por la izquierda la función se dispara a menos infinito. Analíticamente: lím f ( x )

1 0

lím f ( x )

1 0

x 0

x 0

Ejemplo2: f(x)=

1 ( x 1) 2

En este caso se puede comprobar sin más que hallar los límites laterales que lím f ( x ) x 1

Cuando decimos que una función tiene límite infinito estamos expresando una tendencia, pues infinito no es un número.

LIMITES EN EL INFINITO lim f ( x) ⇔ valor al que se acerca f(x) cuando x crece indefinidamente en sentido positivo

x →+∞

lim f ( x) ⇔ valor al que se acerca f(x) cuando x crece indefinidamente en sentido negativo

x →−∞

Ejemplo: lím

x

x 1 x 3

1 . Como vemos en la gráfica, la función tiende a 1 cuando x tiende a +∞ y a -∞

16



Funciones

Los casos que se pueden dar al estudiar el comportamiento en el infinito de una función son: o

La función tienda a un cierto valor l (como en el ejemplo anterior)

o

La función tienda a +∞ o a -∞, como por ejemplo: lím ( x 3

x

3x 2

lím ( x 3

x

3x 2

x 3)

y

x 3)

o

La función no tenga límite cuando x tienda a +∞ y a -∞, como por ejemplo, cuando f(x)=senx

o

La función no está definida para valores muy grandes de x con lo que no tendrá sentido estudiar el comportamiento de f cuando x tiende a +∞, o la función no está definida para valores muy pequeños de x con lo que no tendrá sentido estudiar el comportamiento de f cuando x tiende a -∞. Por ejemplo, la función f(x) =

x 5 3 no está definida para valores de x inferiores a -5, por lo

que no tiene sentido estudiar su límite cuando x tiende a -∞

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES. A)

LIMITE DE UNA SUMA: lim ( f ± g )( x ) = lim f ( x ) ± lim g ( x)

x → x0

x → x0

x → x0

CASOS: ∞ ± k = ∞ ∞ + ∞ = ∞

- INDETERMINADA B) LIMITE DE UN PRODUCTO: lim ( f .g )( x) = lim f ( x). lim g ( x)

x → x 0

x → x0

x → x 0

17



Funciones

CASOS: ∞. k = ∞ ∞. ∞ = ∞

. 0 INDETERMINADA C) LÍMITE DE UN COCIENTE: lim f ( x) ⎛ f ⎞ x → x0 lim ⎜ ⎟( x ) = x → x0 ⎜ g ⎟ lim g ( x ) ⎝ ⎠ x → x 0

CASOS: ∞ k k

∞

0

=∞

k k

=0

0

∞

=0

0 0

=∞

∞

=∞

0 indeterminada ada 0

=0

∞ indeterminada ada ∞

0 Luego otros dos casos de indeterminación son: y 0 D) LIMITE DE UNA POTENCIA:

(

lim f ( x )

x → x0

CASOS 0k =0 ∞k = ∞

0∞=0

∞

∞ =∞

0

g ( x )

−∞

lim g ( x )

x → x 0

x

x0

1 1 = ∞ = =∞ 0 0

∞ −∞ =

Surgen 3 nuevas indeterminaciones: 00,

) = lim ( f ( x) ) →

1 ∞ 0

∞

=

1 ∞

=0

y 1

18

00 indeterminada 1∞ indeterminada ∞0 indeterminada k ∞=0 si 01



Funciones

Proponer que los alumnos realicen los siguientes cuadros:

CUADRO CORRESPONDIENTE AL LÍMITE DE LA SUMA DE FUNCIONES: lím f ( x ) g( x ) x

f(x) L

+∞

-∞

L’

L+L’

+∞

-∞

+∞

+∞

+∞

∞ ∞

-∞

-∞

∞ ∞

-

-∞

g(x)

-

CUADRO CORRESPONDIENTE AL LÍMITE DEL PRODUCTO DE FUNCIONES f(x) L 0

0

+∞

-∞

+∞ si

+∞ si

L’>0

L’<0

-∞ si

-∞ si

’

’

0

0. ∞

0. ∞

0. ∞

+∞

-∞

0. ∞

-∞

+∞

g(x) L’ 0

0

L . L’

0

0

+∞ si L>0

+∞

-∞ si L<0 +∞ si L<0

-∞

-∞ si L>0

19

x0



Funciones

CUADRO CORRESPONDIENTE AL LÍMITE DEL COCIENTE DE FUNCIONES f(x) L 0

0

+∞

-∞

+∞ si

+∞ si

L’>0

L’<0

-∞ si

-∞ si

’

’

∞

∞

g(x) L’ 0

L / L’

0

∞

0

0 0

+∞

0

0

-∞

0

0

CUADRO CORRESPONDIENTE AL LÍMITE DE UNA POTENCIA DE FUNCIONES Como la base f(x) es definida positiva, su límite nunca podrá ser -∞ f(x) L>0 L 1

0

1

+∞

g(x) 0 si L’>0 LL’

L’ 0

si L’<0 ∞

0 si L’<0 1

00 0

1

1

si L’>0 ∞

0

∞

0 si 0
+∞

si L>1 ∞ si

0

1

∞

1

0

∞

∞

0
-∞

∞ ∞

0si L>1 20



Funciones

CÁLCULO DE LÍMITES. RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES Cálculo del límite de una función en un punto. En la práctica, para calcular el límite de una función cuando x tiende a x0, basta con sustituir, en la expresión analítica de la función, la variable por x0. Pero al efectuar la sustitución no siempre obtenemos un nº real; puede suceder que la función tienda a ∞. Es lo que ocurre cuando tenemos k/0 (k distinto de 0). El resultado es ∞, pero lo que no sabemos es su signo. Para ello hay que estudiar los límites laterales. Ejemplo1:

1 0 x2

lím

x

∞

Ejemplo2: x 1 x 1 x 3 x 3 lím x 1 x 3x 3 lím x 3 x 3 Cálculo del límite de una función definida a trozos Para obtener el límite en el punto en el que cambia la expresión de la función, calcularemos los límites laterales y analizaremos el resultado. En el resto de los puntos, procederemos de la forma habitual. Cálculo del límite de una función en el infinito Para calcular el límite de una función en el infinito no podremos aplicar la técnica anterior de sustituir en la variable de la función por el infinito, puesto que no se trata de un nº. Procederemos de manera diferente según el tipo de función: Límite de una función polinómica El comportamiento en los extremos de una función polinómica coincide con el comportamiento del término de mayor grado, es decir: lím (a 0 a 1 x a 2 x 2 ........... a n x n ) lím (a n x n ) lím

x

x

Límite de una función racional a 0 a 1 x ..... a n x n lím x b 0 b1 x ..... b m x m

anxn lím x b m x m

0 si n m si n m an si n m bn

Límite de una función exponencial Al calcular el límite en el infinito de la función f(x)=ax hemos de tener en cuenta el valor de a (que siempre ha de ser positivo) y la tendencia del exponente. Los casos posibles son: lím a x 0 x - Si 0
- Si a > 1

lím a x

x

lím a x

x

0

Nota: En la práctica, para calcular lím f ( x ) x

lím f ( x )

x

21



Funciones

Resolución de indeterminaciones •

INDETERMINACIÓN En la mayoría de los casos basta con dividir el numerador y denominador por la mayor potencia de x del denominador. Ejemplos.-

•

INDETERMINACIÓN En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo.-

En otros casos, sobre todo en aquellos en que aparecen radicales, basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada. Ejemplo.-

•

INDETERMINACIÓN En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo.-

•

INDETERMINACIÓN Cuando solo aparecen funciones racionales, basta con descomponer factorialmente el numerador y el denominador y simplificar. Ejemplo.-

22



Funciones

En aquellos casos en que aparecen funciones irracionales (radicales), basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada. Ejemplo.-

•

INDETERMINACIONES

-

-

-En 1º bachillerato, solo nos dedicaremos a la indeterminación de la forma teniendo en cuenta que:

1 lím 1 x x

, y la resolveremos

x

e

siendo e el número irracional 2,7…………….., base de los logaritmos neperianos.

Las técnicas utilizadas para transformar la expresión dada en la que nos interesa, las veremos en ejercicios posteriores.

-En 2º de bachillerato, para determinar estos límites tendremos en cuenta que:

de donde resulta que: pudiendo aparecer otras indeterminaciones, que resolveremos por los métodos anteriores o por métodos que aprenderemos en temas posteriores. En el caso de la indeterminación

podemos aplicar con mayor facilidad la siguiente igualdad:

Aplicar la igualdad anterior a la resolución del siguiente límite:

•

LIMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. En algunos casos podemos utilizar un límite muy conocido, que es: 23



En los casos anteriores puede ocurrir que aplicando lo dicho anteriormente no podamos resolver la indeterminación. Estos casos, al igual que en el apartado E), se resolverán en los temas siguientes aplicando la Regla de L'Hôpital que estudiaremos en 2º de bachillerato. EJEMPLOS 1)

2)

24

Funciones



3)

4)

25

Funciones



EJERCICIOS SOBRE CÁLCULO DE LÍMITES 1.-

26

Funciones



2.-

3.-

27

Funciones



4.-

28

Funciones



5.-

6.-

29

Funciones



Solución

30

Funciones



7.-

8.-

9.-

31

Funciones



10.-

11.-

32

Funciones



12.-

33

Funciones



Funciones

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN FUNCIÓN CONTÍNUA EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO •

Diremos que la función y = f(x) es continua en x = a si: a. Existe f(a), es decir, f(x) está definida en x=a. b. Existe el

.

c. Ambos valores coinciden, es decir •

.

Diremos que y = f(x) es continua en el (a,b) si es continua en cada uno de los puntos del intervalo abierto (a,b).

Diremos que y = f(x) es continua por la derecha en x=a si Diremos que y = f(x) es continua por la izquierda en x=a si

. .

Diremos que y = f(x) es continua en el [a,b] si: - y = f(x) es continua en el intervalo abierto (a,b). - y = f(x) es continua por la derecha en x=a. - y = f(x) es continua por la izquierda en x=b.

OPERACIONES CON FUNCIONES CONTÍNUAS Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en x=a, se tiene entonces que: •

f ( x ) g( x ) es continua en x=a.

•

f(x).g(x) es continua en x=a.

•

f ( x ) es continua en x=a si g(a) 0. g( x )

•

es continua en x=a suponiendo que f(a)>0 (para que tenga sentido la potencia).

34



Funciones

DISCONTINUIDADES Se dice que una función y = f(x) es discontinua en x = a si no es continua en dicho valor de x, es decir, no cumple alguna de las tres condiciones de continuidad. TIPOS DE DISCONTINUIDADES A) Evitable: Cuando existe el pero no coincide con el valor de f(a) por una de estas dos razones, son distintos los valores o no existe f(a). B) De salto: Cuando existe el límite por la derecha y por la izquierda (siendo ambos finitos) pero no coinciden. C) Asintótica: Cuando alguno de los límites laterales (o ambos) no es finito. Puede ser asintótica por la derecha, por la izquierda o por ambos lados. D) Esencial: Cuando no existe alguno de los límites laterales (o ambos). Puede serlo por la derecha, por la izquierda o por ambos lados. Si y = f(x) tiene una discontinuidad evitable en x = a, llamaremos verdadero valor de la función en x=a al . Dicho valor es el que convierte a la función en continua. Si y = f(x) tiene una discontinuidad de salto en x=a, llamaremos salto de la función en x=a al valor ., pudiendo ser este salto finito o infinito.

35



EJEMPLOS. 1)

2)

36

Funciones



3)

4)

5)

37

Funciones



6)

7)

38

Funciones



8)

39

Funciones



Funciones

DERIVADAS DERIVADA DE UNA FUNCION.Introducción.Se abre aquí el estudio de uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial: la derivada de una función. En este tema, además de definir tal concepto, se mostrará su significado y se hallarán las derivadas de las funciones más usuales. Es de capital importancia dominar la derivación para después poder abordar el trazado de curvas, así como para comprender la utilidad del cálculo integral, que se estudiarán a continuación. La noción de derivada es históricamente anterior al concepto de límite aunque actualmente se estudie aquélla inmediatamente después de éste, por razones que serán fácilmente comprensibles. La derivada de una función en un punto x0 surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x0, y fue Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones. En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grados. En estas condiciones,Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Sea una función y = f(x) y x0 un punto del eje X. Si se toma un punto x0 + h muy próximo a x0 (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender h a cero, la recta secante (en rojo de la figura) que une los puntos ( x0, f(x0 ) ) y ( x0 + h, f(x0 + h) ), tiende a confundirse con la tangente (en azul de la figura) a la curva en el punto (x0,f(x0 )). que determina la tangente con ese mismo eje, ( α h sería la inclinación de la secante y α la inclinación de la tangente) en el triángulo rectángulo de vértices (x0,f(x0 )), (x0 + h,f(x0 + h)) y (x0 + h,f(x0 )), se verifica:

40



Funciones

Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmento de la tangente, es decir, si miras la figura, al hacer que h tienda a cero la línea roja se acerca a la línea azul por lo que: tg ah tiende a tg a, es decir, la pendiente de la secante tiende a la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0 )). Esto se expresa matemáticamente así: NOTA: Es importante que entiendas esto, pues es el núcleo por el que después entenderás otros conceptos, si no es así, dímelo

A esta expresión es a lo que se llama pendiente de la curva en el punto x0 o bien pendiente de la tangente a la curva en el punto x0.

Definimos recta tangente a una curva en el punto x0, como la recta que pasa por x0 y cuya pendiente es: f ( x 0 h ) f ( x 0 ) m= lím h 0 h Por tanto, la ecuación de cualquier recta tangente a una curva en el punto (x0, f(x0) es: y – f(x0) = m .(x – x0) siendo m la pendiente de la curva en el punto x0

Derivada de una función en un punto Dada una función y = f(x), se llama derivada de la función f en un punto x0 al

f '(x0 ) (efe prima de equis sub-cero) o por D(f(x0 )):

Cuando este límite existe ( y es finito) se dice que la función f(x) es derivable en el punto x0. 41



Funciones

Significado de la derivada Puesto que la derivada de la función en un punto x0 no es otra cosa que la pendiente de la tangente a la curva (gráfica de la función) en (x0, f(x0 )). Por tanto, el que una función posea derivada en el punto x0 quiere decir que su gráfica admite tangente en ese punto.

Calcular la derivada de la función f(x) = 3x + 5 en el punto de abscisa x = 1. Resolución: Se pide el valor de f '(1) (en este caso, x0 = 1).

Por tanto, f '(1) = 3. Calcular la derivada de la función f(x) = en el punto 2. Resolución:

(conjugado del numerador)

Recordando que suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados:

Ejercicio: cálculo de la ecuación de la tangente a una función en un punto Calcular la ecuación de la tangente a la curva f(x) = x2 en el punto de abscisa 2. Resolución: La tangente pasa por el punto (2, f(2)) = (2,4). La pendiente (m) de la tangente a la curva en el punto de abscisa 2 es, por definición, f '(2), luego la ecuación de la recta es de la forma y - y0 = m (x - x0) y - 4 = f '(2) (x - 2). 42



Funciones

La ecuación de la tangente es entonces y - 4 = 4(x - 2) y - 4 = 4x - 8 4x - y - 4 = 0. Ejercicio: estudio de la derivabilidad de una función en un punto Estudiar la derivabilidad de la función f(x) definida por

Resolución: a) Derivabilidad en x1 = 1. Se han de considerar dos casos: 1º Lo que pasa a la derecha de este punto, para ello consideraremos h>0 Si h > 0, lógicamente (x1 + h) = 1 + h > 1 y en este caso estamos muy cerca del punto azul del figura pero a la derecha, por lo que la función es la línea recta roja f(x) = x. Por tanto: f (1) = 1 y f (1+h) = 1 + h

Este límite es el «límite por la derecha» e indica que la tangente a la derecha de 1 tiene por pendiente 1. 2º Lo que pasa a la izquierda de este punto, para ello consideraremos h<0 Si h < 0, lógicamente (x1 + h) = < 1 y en este caso estamos muy cerca del punto azul del figura pero a la izquierda, (por lo que la función es la línea azul f(x) = x2. Por tanto: f (1) = 1 y f (1+h) = (1 + h)2 = 1 + 2h + h2

Este límite es el «límite por la izquierda» e indica que la tangente a la izquierda de 1 tiene por pendiente 2.

Al no coincidir los límites a derecha e izquierda de 1, no existe tal límite y, por tanto, la función f(x) no es derivable en x = 1. 43



Funciones

b) Derivabilidad en x = 0. En este caso no es necesario considerar h > 0 y h < 0 ya que en las proximidades de cero (h es muy pequeño) la función es f(x) = x2.

El límite existe y es cero, luego f(x) es derivable en x0 = 0 y la pendiente de la tangente es cero (paralela al eje de abcisas).

Estudiar la derivabilidad de la función f (x) = |x| (valor absoluto de x) definida por Resolución:

Al no coincidir los límites a derecha e izquierda de 0, la función f (x) = |x| no es derivable en dicho punto. ¿Cuándo hay que considerar límites a derecha e izquierda al calcular la derivada de una función en un punto? Si al dibujar la curva se observa que en el punto considerado ésta cambia bruscamente de dirección, es necesario considerar límites a derecha e izquierda, puesto que, en este caso, la tangente no se comporta de igual modo y se «quiebra».

Consecuencias de la definición de derivada en un punto 1. Si existe la derivada de una función f(x) en un punto (x0, f(x0)), existen las derivadas a derecha e izquierda de x0 y tienen que ser iguales; de lo contrario no existiría f'(x0 ). Puede ocurrir, no obstante, que existiendo las derivadas a derecha e izquierda éstas sean distintas. En este caso no existe la tangente en (x0, f(x0 )), sino dos semirrectas, cada una tangente a uno de los arcos en que 44



Funciones

el citado punto divide a la curva. Los puntos en que esto ocurre se llaman puntos angulosos. Los puntos x1 de la primera figura y x0 de la segunda que hemos estudiado son puntos angulosos: la curva cambia bruscamente de dirección en ellos. La función correspondiente no es derivable en las abscisas de dichos puntos. No es difícil, consecuentemente, imaginar la gráfica de una función que no sea derivable en muchos e, incluso, infinitos puntos.

Tangente a una curva en un punto El concepto de derivada facilita la definición de tangente a una curva en un punto como el límite de una secante que pasa por él y por otro punto cualquiera de la curva cuando éste último, recorriendo la curva, tiende a coincidir con el primero.

Propiedad Si una función es derivable en un punto, necesariamente es continua en él. Demostración: Sea una función y = f(x) derivable en un punto x0. Para probar que la función es continua en él, es preciso demostrar que o lo que es equivalente, que

Veamos, si la expresión f(x0 + h) - f(x0) la multiplicamos y dividimos por h

aqui vemos que el primer término del producto anterior es precisamente la derivada de f(x) en el punto x0, ( recordar que partímos de la tesis que f(x) es derivable) es decir vale f ' (x0) y el segundo término vale 0 pues es el límite de h cuando h tiende a cero.Así pues tenemos que: Esta propiedad evita el trabajo de estudiar la derivabilidad de una función en un punto donde ésta no sea continua. Por el contrario, puede darse el caso de una función continua en todos los puntos y no ser derivable en alguno, e incluso infinitos puntos. Valga como ejemplo la función |x|, que siendo continua en todos los puntos de la recta real, no es derivable, como ya se ha comprobado, en el origen.

45



Funciones

CÁLCULO DE DERIVADAS (I) Derivada de una función constante Sea una función constante f(x) = C. Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x), f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que Luego la derivada de una constante es siempre cero.

Derivada de la función lineal mx + b Sea una función lineal cualquiera f(x) = mx + b. Para un punto cualquiera x, lo cual significa que la derivada de una recta coincide con la pendiente de ella misma y, en consecuencia, la tangente en un punto a una recta es la propia recta.

Derivada de una constante por una función, k · f(x) Si k es una constante y f(x) una función, la derivada de la nueva función k · f(x) será:

Se ha demostrado que (k · f(x))' = k · f'(x) Así, para derivar una expresión de la forma k · f(x), basta derivar la función f(x) y multiplicar después por la constante k. Derivada de la función potencia xm (m un número natural) Aunque la demostración está hecha un poco más adelante, nosotros vamos a demostrar la fórmula por recurrencia: -Si y = x2…………………y’ = 2.x -Si y = x3…………………y’ = 3x2 -Si y = x4…………………y’ = 4x3 …………………………………………. -Si y=xm………………….y’ = mx m-1 Para calcular la derivada de la función f(x) = xm, m > 0, hay que evaluar el cociente 46



Funciones

Tomando límites cuando h --> 0,

sumandos tiende a cero (su límite es cero). Se concluye que

Ejercicio: cálculo de derivadas Calcular la derivada de f(x) = x2 en el punto de abscisa - 1. Resolución: f '(x) = 2 · x2 - 1 = 2 x f '(- 1) = 2 · (- 1) = - 2 Entonces, la pendiente de la tangente a la parábola y = x2 en x = - 1 es - 2.

Derivadas de las funciones trigonométricas sen x y cos x La derivada de la función f(x) = sen x es f '(x) = cos x Demostración: f’(x)= sen ( x h ) senx 0 h

lím

h

x h x x h x 1 lím (2 cos( )sen ( )) h 0h 2 2

= cos x . 1 = cos x 47

lím cos(x

h 0

h sen h 2 ). 2 h 2

sen

lím cos( x

h 0

h ). lím 2 h 0 h 2

h 2



senx 0 x

Veamos geométricamente que lím x

1

Construyamos una circunferencia goniométrica (R=1)

Área del triángulo OAC < Área del sector circula OAC < Área del triángulo OBC OC.AD /2 < Z(radianes)/2 < OC.BC/2 sen Z < Z < tg Z Dividiendo todo por senZ 1 < Z/senZ <1/cosZ Tomando límite cuando Z tiende a 0:

La derivada de la función g(x) = cos x es g '(x) = - sen x Demostración: g’(x)=(cos x)’ = (sen(π-x))’= -1.cos(π-x)= -senx Si necesitas las demostraciones dímelo.

Derivada de la función f(x) = logax

48

Funciones


log a ( x h ) log a x 0 h

f’(x) = lím h


lím

h 0

x h 1 log a h x

lím log a 1

h 0

h x

Funciones

1

x h

log a lím 1 h 0

1 x h

1 h

x

=logae1/x=1/x. logae Derivada de la función logaritmo neperiano ln |x| Puesto que el logaritmo está definido sólo para valores positivos y distintos de cero, es necesario considerar el logaritmo del valor absoluto de x. Para calcular la derivada de esta función se han de considerar dos casos, x > 0 y x < 0:

a) Si x es positivo, aun tomando h negativo, x + h es positivo si se toman valores de h suficientemente pequeños, lo cual es posible pues se va a calcular el límite cuando h tiende a cero. En estas condiciones

Por tanto, si x > 0

b) Si x es negativo, aun tomando h positivo y suficientemente pequeño, x + h sigue siendo negativo y |x + h| = - (x + h) y |x| = - x.

Como se aprecia, se llega a la misma expresión que en el caso anterior y la demostración se continuaría de forma idéntica.

Derivadas de las funciónes exponenciales ax y ex 49



Funciones

(Nosotros haremos estas derivadas por derivación logarítmica). Sea la función y = ax, siendo a una constante positiva distinta de 1. La derivada de esta función en un punto x es:

y se toman logaritmos neperianos: Luego:

En particular, cuando la constante a es el número e, la derivada de la función ex es (ex )' = ex · ln e = ex · 1 = ex

Hasta el momento se saben derivar algunas funciones elementales pero no hay nada que permita encontrar las derivadas de una suma, un producto o un cociente de estas derivadas; se requiere, por consiguiente, seguir avanzando en la obtención de propiedades encaminadas a este fin.

Operaciones con funciones Hay que recordar cómo se definen la suma, el producto y el cociente de funciones. Si f y g son dos funciones definidas en un mismo intervalo (en caso contrario, alguna de estas operaciones podría no estar definida),

Función suma de f y g como la nueva función f + g: [a,b] ---> R, (f + g) (x) = f(x) + g(x)

Función producto de f y g como la función f ·g: [a,b] ---> R, (f · g) (x) = f(x) · g(x) 50



Funciones

siempre que g(x) distinto de 0 para todo x del intervalo. Derivada de una suma de funciones Si f y g son dos funciones derivables en un mismo punto x de un intervalo, la derivada de la función suma en dicho punto se obtiene calculando

La derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas. [f(x) + g(x)] ' = f '(x) + g '(x) Derivada de una diferencia de funciones f - g = f + (- g), por lo que [f(x) + (- g(x))]' = f'(x) + (- g(x))' Pero - g(x) = (- 1) · g(x) y la derivada de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función: [- g(x)]' = [(- 1) · g(x)]' = (- 1) · g'(x) = - g'(x) En consecuencia, [f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x)

Ejercicio: cálculo de derivadas Calcular la derivada de la función f(x) = x - cos x Resolución:

Calcular la derivada de f(x) = x3 - sen x + ln|x| en el punto x = -p/3. Resolución:

51



Funciones

Derivada de un producto de funciones Sean f y g dos funciones definidas y derivables en un mismo punto x. Si se suma y se resta en el numerador f(x) · g(x + h), la fracción anterior no varía, Sacando g(x + h) factor común en los dos primeros sumandos, y f(x) en los otros dos,

Si ahora se toman límites cuando h tiende a cero,

Ejercicio: cálculo de derivadas Hallar la derivada de h(x) = x · ln x para cualquier x positivo. Resolución:

Resolución: 52



53

Funciones



Funciones

CÁLCULO DE DERIVADAS (II) Derivada de un cociente de funciones Considérense, como en los casos precedentes, dos funciones f y g definidas y derivables en un punto x. Además, en este caso, se tiene que imponer la condición de que la función g no se anule en x.

Si en la segunda fracción se suma y se resta al numerador f(x) · g(x), se obtiene:

Sacando factor común g(x) en los dos primeros sumandos de la segunda fracción, y f(x) en los dos últimos,

Por último, se toman límites cuando h tiende a cero notando que:

En definitiva,

54



Ejercicio: cálculo de derivadas

Resolución:

Derivada de la función tg x

si f(x) = sen x, f ' (x) = cos x si g(x) = cos x, g ' (x) = - sen x Aplicando la fórmula de la derivada de un cociente,

Por tanto,

Derivada de la función sec x

Si f(x) = 1, f ' (x) = 0 Si g(x) = cos x, g ' (x) = - sen x Por la fórmula de la derivada de un cociente,

(sec x)' = sec x · tg x

55

Funciones



Derivada de la función cosec x

Si f(x) = 1, f ' (x) = 0 Si g(x) = sen x, g ' (x) = cos x Por la derivada de un cociente,

(cosec x)' = - cosec x · cotg x

Derivada de la función cotg x

Si f(x) = cos x, f ' (x) = - sen x Si g(x) = sen x, g ' (x) = cos x

Por tanto,


Resolución: Llamando f(x) = x cos x - 2, f ' (x) = 1 · cos x + x · (- sen x) = cos x - x sen x (la derivada de 2 es cero por ser una constante) Si g(x) = x2, g ' (x) = 2 x

56

Funciones



Funciones

Resolución: Si f(x) = x tg x - cos x, f ' (x) = 1 · tg x + x (1 + tg2x) - (- sen x) = = tg x + x (1 + tg2x) + sen x

A pesar de contar ya con un número estimable de propiedades para el cálculo de derivadas, hay funciones elementales, como , para las que no se conoce ningún procedimiento para la obtención de su derivada. Para seguir avanzando por este camino se hace imprescindible conocer una de las propiedades más fundamentales y útiles de la derivación, aunque no se hará su demostración. Se la conoce como derivada de una función compuesta o regla de la cadena.

REGLA DE LA CADENA Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,

y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f, entonces la función compuesta definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene

Ejemplo: cálculo de derivadas Calcular la derivada de la función h(x) = sen x2. Resolución: La función sen x2 es una función compuesta de otras dos f(x) = x2 y g(x) = sen x.

57



Al ser g(x) = sen x, g ' (x) = cos x, por tanto g ' [ f(x) ] = cos f(x) = cos x2

Por la regla de la cadena, h ' (x) = g ' [ f(x) ] · f ' (x) = 2x cos x2

Resolución:

De g(x) = x3, se deduce g ' (x) = 3x2. En consecuencia,

Por la regla de la cadena,

Regla de la cadena para la función potencial

Se sabe que la derivada de una función f(x) = xm es f'(x) = m · xm - 1. 58

Funciones



Funciones

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), la derivada de u(x)m aplicando la regla de la cadena, será: [u(x)m] ' = m · u(x)m - 1 · u'(x) Para simplificar la notación, y a partir de ahora, se escribirá simplemente u en lugar de u(x). Así,

Ejercicio: cálculo de derivadas Calcular la derivada de f(x) = (x2 + 1)3. Resolución: Si u = x2 + 1, u' = 2x En este caso m = 3 f '(x) = 3 (x2 + 1)2 · 2x = 6x (x2 + 1)2

Regla de la cadena para la función logaritmo neperiano Si en la derivada de logaritmo neperiano se sustituye x por una función de x, u(x), en virtud de la regla de la cadena se tiene que


Resolución:

Se calcula u' aplicando la derivada de un cociente: Se aplica la regla de la cadena:

2.- Hallar la derivada de f(x) = ln |sen x | Resolución: u = sen x; u' = cos x 59



Regla de la cadena para las funciones exponenciales Si en lugar de x se tuviese una función u(x), por la regla de la cadena se tiene que para una función f(x) = au y para otra g(x) = eu, f'(x) = (au ) ' = u' · au · ln a g'(x) = (eu ) ' = u' · eu

Ejercicio: cálculo de derivadas 1 Calcular la derivada de f(x) = 4x sen x Resolución: Llamando u = x · sen x,

u' = 1 · sen x + x cos x

f '(x) = (4x sen x ) ' = (sen x + x cos x) · 4x sen x · ln 4 Resolución:

Regla de la cadena para las funciones trigonométricas

Ejercicio: cálcular la derivada Calcular la derivada de f(x) = sen(sen x) Resolución: Si u = sen x, u' = cos x f '(x) = (sen(sen x))' = u' · cos u = 60

Funciones



Funciones

cos x · cos(sen x)

Hallar la derivada de g(x) = sec (x2 - 1) Resolución: u = x2 - 1; u' = 2x g '(x) = (sec(x2 - 1))' = u' · sec u · tg u = 2x · sec(x2 - 1) · tg(x2 - 1) Calcular la derivada de h(x) = sen3x2 Resolución: Llamando u = sen x2, hay que derivar sen3x2 = u3. Por la regla de la cadena, la derivada de u3 es (u3 )' = 3 · u2 · u' Llamando v = x2; u = sen v. u' = v' · cos v = 2x · cos x2 Finalmente, h'(x) = (sen3x2)' = 3u2 · u' = 3 · sen2x2 · 2x · cos x2 = = 6x · sen2x2 · cos x2

Para calcular la derivada de una función que es inversa de otra, es necesario conocer un importante resultado, aunque se evita hacer su demostración. Derivada de la función inversa Si una función y = f(x) admite una función inversa ƒ- 1 y la función f(x) es derivable en un punto x0, entonces la función ƒ- 1 es derivable en el punto f(x0). En virtud de este teorema, la función x1/n es derivable por ser la función inversa de xn:

Como consecuencia, al ser la función xm derivable para cualquier número entero m, como ya se ha visto, la función xm/n es derivable por ser composición de dos funciones derivables:

61



Funciones

Derivada de la función x1/n Sea u = x1/n; elevando a n, un = x. Derivando ambos miembros se observa que

Despejando u',

Derivada de la función xm/n Sea f(x) = xm/n Se eleva a n, f(x)n = xm Se deriva:

Pero f(x)n - 1 = (xm/n )n - 1

Regla de la cadena para las funciones u1/n y um/n Si en las dos funciones anteriores se tiene una función dependiente de la variable x, u(x), en lugar de la función x, se obtienen las siguientes derivadas:

62



Para obtener estas igualdades, basta aplicar la regla de la cadena.

Ejercicio: cálculo de derivadas Resolución:

Se trata de calcular una derivada de la forma u1/2. Si u = x2 + sen x, u' = 2x + cos x Obsérvese que en este caso n = 2

Resolución:

63

Funciones



Funciones

FUNCIONES TRIGONOM. INVERSAS

distintos en [- 1, 1].

la función seno. En estas condiciones se puede definir la aplicación inversa de f(x) = sen x, llamada «arcoseno» y que se simboliza por arc sen x.

x ---> f (x) = sen x ---> f -1 [f (x)] = f -1 (sen x) = arc sen (sen x) = x

Derivada de la función arc sen x Si y = arc sen x = f - 1(x), aplicando f, f(y) = f ( f - 1(x)) = x, es decir, sen y = x.

De la conocida fórmula sen2 y + cos2 y = 1, cos2 y = 1 - sen2 y --->

64



Funciones

Derivada de la función arc cos x Análogamente, la función cos x tiene una función inversa llamada «arco-coseno» y se simboliza por arc cos x. De y = arc cos x se deduce x = cos y. Derivando por la regla de la cadena,

Derivada de la función arc tg x La inversa de la función tg x se llama «arco-tangente» y se simboliza por arc tg x. y = arc tg x, x = tg y. Derivando por la regla de la cadena,

Derivada de la función arc cotg x La inversa de la función cotg x se llama «arco-cotangente» y se simboliza por arc cotg x. Si y = arc cotg x, x = cotg y. Derivando esta igualdad por la regla de la cadena,

Derivada de la función arc sec x Análogamente a los casos anteriores, sec x tiene una función inversa llamada «arco secante» y simbolizada por arc sec x. y = arc sec x, x = sec y. Derivando por la regla de la cadena, 1 = y' · sec y · tg y = y' · x · tg y (1)

65



Funciones

Derivada de la función arc cosec x Siguiendo los mismos pasos que en el caso anterior, y = arc cosec x, x = cosec y Derivando: 1 = - y' · cosec y · cotg y = - y' · x · cotg y (1)

REGL. CADENA TRIG. INVERSAS Si en cada una de las funciones anteriores se tuviese una función de x, u(x), en lugar de la función x, las derivadas de las nuevas funciones compuestas se convierten, por la regla de la cadena en:


Resolución:

66



Resolución:

Resolución:

Resolución:

67

Funciones



TABLA DE DERIVADAS

68

Funciones



Funciones

DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN Sea una función y = f(x). Dado un punto de abscisa x, se le dota de un pequeñísimo incremento (aumento) h y se encuentra un punto x + h. Se traza la tangente a la curva en el punto de abscisa x, y desde x + h se levanta una paralela al eje de ordenadas hasta cortar a la curva y a la tangente.

Diferencial de una función en un punto Se define diferencial de una función y = f(x) en un punto x, y se simboliza por dy ó df(x), al producto f'(x) · h. Por tanto, dy = df(x) = f'(x) · h

Propiedades de la diferencial Primera propiedad: La diferencial de una función en un punto depende de dos variables: el punto x elegido y el incremento h que se ha tomado.

Segunda propiedad: Al ser dy = f ' (x)·h = , la diferencia de una función en un punto es el incremento (aumento) de la ordenada de la tangente al aumentar en h un punto de abscisa x.

Tercera propiedad: Si se considera la función y = f(x) = x, df(x) = dx = f'(x) · h = 1 · h = h. Así, dx = h y

Cuarta propiedad:

cuando h es infinitamente pequeño, el cociente dy es prácticamente igual a

69



Funciones

cuando h es muy pequeño, con la seguridad de que el error cometido será mínimo.

Ejercicio: cálculos aproximados utilizando la diferencial Un móvil se mueve según la relación s = 5t2 + t, donde s representa el espacio recorrido medido en metros y t el tiempo medido en segundos.

Se quiere saber los metros que recorre el móvil en el tiempo comprendido entre Resolución: Diferenciando la expresión s = 5t2 + t, ds = (10t + 1) · dt

Sustituyendo en la expresión de ds,

En la figura se observa que en realidad recorre algo más de 23,66 metros:

Se ha cometido un error de 24,18 m - 23,66 23,66 m = 52 cm

Calcular 3,052. Resolución: Para encontrar un resultado aproximado de 3,052 se considera la función y = x2. Diferenciando esta función, dy = 2x dx.

Por la proximidad de 3,05 a 3 ( 5 5 centésimas centésimas) se calculará la diferencial en el punto de abscisa x = 3 y se llevará a la expresión de dy. En este caso dx = 3,05 - 3 = 0,05

70



Funciones

dyx = 3 = 2 · 3 · 0,05 = 0,30 Por tanto, aproximadamente, 3,052 = 9 + 0,30 = 9,30. Si se calcula con exactitud el valor de 3,052 se obtiene 9,3025. Se observa que se ha cometido un error de 9,3025 - 9,30 = 0,0025, ¡ 25 diezmilésimas !

71



REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES DERIVABLES 1. Dominio. 2. Cortes con los ejes. 3. Simetría Periodicidad. 4. Crecimiento Decrecimiento. 5. Máximos Mínimos. 6. Concavidad Convexidad. 7. Puntos de inflexión. 8. Asíntotas. 9. Regiones de existencia. 10. Gráfica.

72

Funciones



Funciones

DOMINIO DE DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN

El dominio dominio de de una función está formado por aquellos valores de x (números reales) para los que se puede calcular la imagen f(x).

Ejemplos: •

•

73



•

74

Funciones



Funciones

PUNTOS DE CORTE DE UNA FUNCIÓN CON LOS EJES COORDENADOS

Los primeros puntos de la gráfica que se pueden hallar, son los puntos de la función que pertenecen a los ejes coordenados. Para hallar el punto donde la función corta al eje de ordenadas (eje Y) se Y) se resuelve el sistema:

Para hallar los puntos donde la función corta al eje de abscisas (eje X) se X) se resuelve el sistema:

Ejemplo:

Punto de corte con el eje OY :

Puntos de corte con el eje OX :

Por tanto los puntos de corte con los ejes de coordenadas son:

TABLA DE VALORES X 0 1

Y 2 0 75



2 -1/2

0 0

76

Funciones



SIMETRÍA Y PERIODICIDAD FUNCIÓN PAR

Una función f es PAR cuando:

Las funciones pares son simétricas respecto del eje de ordenadas (eje OY). Ejemplo:

FUNCIÓN IMPAR

Una función f es IMPAR cuando:

Las funciones impares son simétricas respecto del origen de coordenadas.

77

Funciones



Funciones

Ejemplo:

FUNCIÓN PERIÓDICA

Una función f es PERIÓDICA cuando existe un número

(los valores de la función se repiten de p en p). El número p se llama periodo. Ejemplo:

78

tal que:



79

Funciones



Funciones

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN

TEOREMA Sea f(x) una función derivable en el punto x o I.

Demostración Demostración - 1

(1) derecha del punto x o.

f es estrictamente creciente a la

(2) izquierda del punto x o.

f es estrictamente creciente a la

II.

Demostración

Demostración -2

80



f es estric. creciente en x o.

en ambos casos

III.

IV.

Demostración Demostraciones análogas.

Ejemplos:

1. a. b.

es estrictamente creciente en x o. En la función es estrictamente creciente. es estrictamente decreciente en x o. En la función es estrictamente decreciente.

81

Funciones



Funciones

2.

La función es estrictamente creciente cuando x sea negativa, pero puesto que f(x) no está definida en x=-1, el intervalo donde la función es estrictamente creciente será . Análogamente la función es estrictamente decreciente en .

82



83

Funciones



Funciones

MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN

Sea f(x) una función y x o un punto del dominio. DEFINICIÓN

La función f(x) presenta un máximo relativo en xo , cuando existe un entorno E(x o) tal que:

La función f(x) presenta un mínimo relativo en xo , cuando existe un entorno E(x o) tal que:

Son puntos que se distinguen por ser aquellos cuya imagen es la mayor o la menor (máximo mínimo) de todas las imágenes “de los alrededores”. No se excluye que haya otros puntos "alejados" de xo cuya imagen sea mayor o menor que f(x o). A los máximos y mínimos relativos se los llama extremos relativos o simplemente extremos. TEOREMA (CONDICIÓN NECESARIA PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS)

Sea

una función cuyo dominio es D=Dom(f) y xo un punto del dominio.

Demostración Demostración

Este teorema se demuestra utilizando el recíproco.

84



Funciones

Nota La recta tangente en un extremo es paralela al eje OX, luego la derivada (la pendiente de la recta tangente) es cero.

Ejemplo:

Los puntos que anulan la derivada son los candidatos a ser extremos, pero no puede asegurarse que lo sean. A estos puntos se les llama puntos críticos.

TABLA DE VALORES X 1/2

Y -1/4

RESUMEN

85

P. Crítico



Funciones

Vamos a ver unos criterios para demostrar si un punto crítico, es o no un extremo. CRITERIO - 1:VARIACIÓN DE LA FUNCIÓN CRITERIO-1: VARIACIÓN DE LA FUNCIÓN

Sea la función f y un punto x o

Tomamos dos puntos Los casos posibles que se pueden presentar son: A. B. C. Ni A. ni B.

No hay extremo.

En el punto de abscisas x o hay un máximo relativo. En el punto de abscisas x o hay un mínimo relativo.

Ejemplo: Sea Calculamos los puntos críticos: , es un punto crítico. 





Siendo h un número positivo y muy pequeño es evidente que el mayor de los tres es f(0)=1, (caso A) luego xo es un máximo relativo.

TABLA DE VALORES X 0

Y 1

MÁXIMO

86



Funciones

CRITERIO - 2:VARIACIÓN DE LA DERIVADA CRITERIO-2: VARIACIÓN DE LA DERIVADA

Sea la función f derivable en el intervalo (a ,b) Vamos a estudiar la función derivada en ese intervalo. Los casos posibles que se pueden presentar son: A. I. II.

y Si la derivada es positiva, la función es creciente. Si la derivada es negativa, la función es decreciente.

Estamos en el caso de una función que es creciente antes del punto x o y es decreciente después del punto xo, luego en el punto x o hay un máximo relativo. B.

y 87


I. II.


Funciones

Si la derivada es negativa, la función es decreciente. Si la derivada es positiva, la función es creciente.

Estamos en el caso de una función que es decreciente antes del punto x o y es creciente después del punto xo, luego en el punto x o hay un mínimo relativo. C. Ni A. ni B. No hay extremo.

Ejemplo: . Los puntos críticos son:

.

Tenemos tres intervalos: •

En el primero:

Luego •

En el segundo:

Luego En el punto xo=0 no hay extremo, porque empieza siendo decreciente y sigue siendo decreciente. •

En el tercero: Ahora

88



Funciones

En el punto x1=3/2 existe un mínimo relativo, porque empieza siendo decreciente y después pasa a ser creciente.

TABLA DE VALORES X 0 3/2

Y 3 21/16

89

NADA MÍNIMO



Funciones

CRITERIO - 3:VARIACIÓN DE LA 2ª DERIVADA CRITERIO-3: VARIACIÓN DE LA SEGUNDA DERIVADA

Sea

una función derivable más de una vez.

TEOREMA (CONDICIÓN SUFICIENTE PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS)

Pueden ocurrir los siguientes casos: a. b. c.

La función f tiene en el punto x o un mínimo relativo. La función f tiene en el punto x o un máximo relativo. No se puede afirmar nada.

Demostración a. Si

es creciente en

La derivada es negativa a la izquierda de x o y es positiva a la derecha de x o, luego la función f es decreciente a la izquierda de x o y es creciente a la derecha de x o. Se puede afirmar que en xo hay un mínimo relativo. b. Si

es decreciente en

La derivada es positiva a la izquierda de x o y es negativa a la derecha de x o, luego la función f es creciente a la izquierda de x o y es decreciente a la derecha de x o. Se puede afirmar que en xo hay un máximo relativo. 90



Ejemplo:

Los puntos críticos son:

En el punto x o=0, no se puede afirmar NADA. En el punto x 1=3/2 hay un MÍNIMO RELATIVO.

TABLA DE VALORES X 0 3/2

Y 3 21/16

91

NADA MÍNIMO

Funciones



Funciones

CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD DE UNA FUNCIÓN

DEFINICIÓN

Una función es cóncava si fijado un vector unitario en el semieje positivo OY, dicho vector está en el mismo semiplano (determinado por las rectas tangentes a la función) que la función. En caso contrario (distintos semiplanos) se dice convexa.

Condiciones analíticas de concavidad y convexidad

Si

en un intervalo (a, b), entonces la función f(x) es cóncava en el intervalo (a, b).

Si

en un intervalo (a, b), entonces la función f(x) es convexa en el intervalo (a, b).

Ejemplo:

92



93

Funciones



Funciones

PUNTOS DE INFLEXIÓN DEFINICIÓN

El punto que, en una función continua, separa la parte convexa de la cóncava, se llama punto de inflexión de la función. En ellos la función no es cóncava ni convexa sino que hay cambio de concavidad a convexidad o al revés. Los puntos de inflexión están caracterizados por: TEOREMA

Sea

la ecuación de una función.

Si no existe, y la derivada cambia de signo al pasar por el valor de x=a, entonces, el punto de la función de abscisa x=a es un punto de inflexión. Clasificación de los puntos de inflexión

Nota Los puntos de inflexión donde la función es derivable, tienen la característica de tener una recta tangente que cruza la gráfica de f. Ejemplo:

El punto x=1 es un punto de inflexión, puesto que antes de x=1 la derivada segunda es negativa (convexa) y después de x=1 es positiva (cóncava).

94



TABLA DE VALORES X 1

Y -2

P. INFLEXIÓN

95

Funciones



Funciones

ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito. Una definición más formal es:

DEFINICIÓN Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función. Las asíntotas se clasifican en:

a. Asíntotas verticales (paralelas al eje OY) Si existe un número “a” tal, que :

La recta “x = a” es la asíntota vertical. Ejemplo:

es la asíntota vertical.

96



Funciones

b. Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX) Si existe el límite: :

La recta “y = b” es la asíntota horizontal. Ejemplo:

es la asíntota horizontal.

97



Funciones

c. Asíntotas oblicuas (inclinadas) Si existen los límites: :

La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua. Ejemplo:

es la asíntota oblicua.

98



Funciones

Nota-1 Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de unas, implica la no existencia de las otras.

Nota-2 En el cálculo de los límites se entiende la posibilidad de calcular los límites laterales (derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la existencia de asíntotas por la derecha y por la izquierda diferentes o solo una de las dos. Posición relativa de la función con respecto a la asíntota Para estudiar la posición relativa de la función con respecto a la asíntota, primero calcularemos los puntos de corte de ambas resolviendo el sistema:

Estos puntos determinan los cambios de posición de la función respecto de la asíntota. Estos cambios quedarán perfectamente establecidos estudiando el SIGNO[f(x)-Asíntota]. Ejemplo:

99



La función

Funciones

tiene por asíntota oblicua la recta Calculamos los puntos de intersección de ambas:

El punto de corte de las dos funciones es P(2/3, 8/3). Ahora estudiamos el signo de FUNCIÓN-ASÍNTOTA.

Esto nos indica que en el intervalo

la función está por encima de la asíntota y en el intervalo la función está por debajo de la asíntota.

100



Funciones

REGIONES DE EXISTENCIA PARA UNA FUNCIÓN Las regiones donde existe la función son las parcelas del plano por donde tenemos la seguridad de su existencia. Estas regiones se determinan, para funciones polinómicas y racionales, trazando rectas verticales sobre el eje OX, en los puntos donde se anula el numerador y el denominador de la función (considerando su orden de multiplicidad). Una región sería la porción del plano considerada entre dos líneas verticales y el eje OX. Una vez asegurada la existencia de la función en una de ellas (mediante un valor de la x), alternaremos en una “SI” y en otra “NO” por orden la existencia, hasta completar todo el plano. Ejemplo:

101



102

Funciones



Funciones

GRÁFICA Una vez obtenidos todos los cálculos de los puntos del 1 al 9, se realizará un dibujo de la gráfica de dicha función sobre unos ejes coordenados, indicando sobre éste las características más importantes de dicha gráfica.

1.-Dominio de la función

HOJA DE SOLUCIONES D= X . . .

2.-Puntos de corte con los ejes:

Y . . .

3.-Simetría y periodicidad Si es simétrica la función, indica el tipo Si es periódica la función, indica el periodo

TIPO = PERIODO =

4.-Intervalos de crecimiento y decrecimiento CRECIENTE = DECRECIENTE = X . . .

5.- Máximos y mínimos:

Y Mom . . . . . .

6.-Intervalos de concavidad y convexidad CÓNCAVA = CONVEXA = X . . .

7.-Puntos de inflexión:

103

Y . . .

TIPO . . .

Apuntes Analisis segundo bachillerato (completo).pdf

Recommend Documents