Apostila TCE Raciocinio Logico Edgar Abreu

Raciocínio Lógico Prof. Edgar Abreu

Raciocínio Lógico

Professor: Edgar Abreu

www.acasadoconcurseiro.com.br

Sumário CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 MÓDULO 1  LÓGICA SENTENCIAL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 PROPOSIÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 NEGAÇÃO SIMPLES..........................................................10 CONJUNÇÃO – “E”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 DISJUNÇÃO – “OU” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 CONDICIONAL – “SE...ENTÃO” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 BICONDICIONAL – “... SE E SOMENTE SE ...” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 TAUTOLOGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 CONTRADIÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 MÓDULO 2  OPERAÇÕES BÁSICAS EM LÓGICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 EQUIVALÊNCIA DE CONETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 MÓDULO 3  DIAGRAMAS LÓGICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ARGUMENTOS VÁLIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ARGUMENTOS QUE NÃO SÃO VÁLIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 NEGAÇÃO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 RESOLVENDO PROBLEMAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 PROBLEMAS ENVOLVENDO CONJUNTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 QUESTÕES DE CONCURSO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33


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Conteúdos Programácos

1. Estruturas lógicas. 2. Lógica de argumentação: analogias, inferências, deduções e conclusões. 3. Lógica sentencial (ou proposicional). 3.1. Proposições simples e compostas. 3.2. Tabelas verdade. 3.3. Equivalências. 3.4. Leis de De Morgan. 3.5. Diagramas lógicos. 4. Lógica de primeira ordem. 5. Princípios de contagem e probabilidade. 6. Operações com conjuntos.


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Módulo 1 Lógica Sentencial PROPOSIÇÃO Proposição: Permite ser julgado verdadeiro ou falso. Possui um único valor lógico. Exemplos: •

O concurso para o TCE-RS será um sucesso.

•

A Prova de Raciocínio Lógico do TCE-RS será fácil.

•

A Casa do Concurseiro irá aprovar os primeiros colocados.

•

7 – 5 = 10.

Sentença: Nem sempre permite julgar se é verdadeiro ou falso. Pode não ter valor lógico. Exemplos: •

Será que a banca vai ser CESPE?

•

Maz Bah tchê!

•

Vai estudar!

•

“A frase dentro desta aspa é uma mentira”.

•

X + 5 = 20.

Note que as sentenças exclamativas, imperativas ou interrogativas não admitem um único valor lógico, V ou F. Já as sentenças “4” e “5” não são proposições, pois não conseguimos atribuir um único valor lógico a elas. No item 5, por exemplo, se X é igual a 15, o valor lógico é V, se for diferente de 15 então o valor lógico será F. Conclusão: Toda proposição é uma sentença, porém nem toda sentença é uma proposição.


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NEGAÇÃO SIMPLES Veremos algo de suma importância: como negar uma proposição. No caso de uma proposição simples, não poderia ser mais fácil: basta pôr a palavra não antes da sentença e a tornamos uma negativa. PROPOSIÇÃO

NEGAÇÃO

Eu bebo.

Eu não bebo.

Os políticos não gostam do TCE-RS.

Os políticos gostam do TCE-RS.

Exemplos: Agora tente negar a proposição abaixo: Eu não vou passar no concurso do TCE-RS. Opção 1: Eu vou passar no concurso do TCE-RS. Opção 2: Não é verdade que eu não vou passar no concurso do TCE-RS. Isso mesmo, a negação de uma negação é uma afirmação! O símbolo que representa a negação é uma pequena antecedendo a frase.

cantoneira

(¬) ou um sinal de til (~),

Vamos simbolizar a proposição p = A mulher é mais eficiente que o homem. ¬p= A mulher não é mais eficiente que o homem.

CONJUNÇÃO – “E” Proposições compostas em que está presente o conectivo “e” são ditas conjunções. Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por “ ^”. Exemplo: Fui aprovado no concurso da PF e serei aprovado no concurso do TCE-RS. Proposição 1: Fui aprovado no concurso da PF. Proposição 2: Serei aprovado no concurso do TCE-RS. Conetivo: e Vamos chamar a primeira proposição de “p” a segunda de “q” e o conetivo de “^” Assim podemos representar a “frase” acima da seguinte forma: p ^q.

10


TCE – Raciocínio Lógico – Prof. Edgar Abreu

AGORA É A SUA VEZ: Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipóteses: H1: p: Não fui aprovado no concurso da PF. q: Serei aprovado no concurso do TCE-RS. H2: p: Fui aprovado no concurso da PF. q: Não serei aprovado no concurso do TCE-RS. H3: p: Não fui aprovado no concurso da PF. q: Não serei aprovado no concurso do TCE-RS. H4: p: Fui aprovado no concurso da PF. q: Serei aprovado no concurso do TCE-RS. p

q

P ^ Q

H1

F

V

F

H2

V

F

F

H3

F

F

F

H4

V

V

V

DISJUNÇÃO  “OU” Recebe o nome de disjunção toda proposição composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo ou. Simbolicamente, representaremos esse conectivo por “ ∨”. Portanto, se temos a sentença Estudo para o concurso ou assisto ao Big Brother. Proposição 1: Estudo para o concurso. Proposição 2: Assisto ao Big Brother. Conetivo: ou Vamos chamar a primeira proposição de “p” a segunda de “q” e o conetivo de “v” Assim podemos representar a “frase” acima da seguinte forma: p v q.


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AGORA É A SUA VEZ: Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipóteses: H1: p: Estudo para o concurso. q: Assisto ao Big Brother Brasil. H2: p: Não Estudo para o concurso. q: Assisto ao Big Brother Brasil. H3: p: Estudo para o concurso. q: Não assisto ao Big Brother Brasil. H4: p: Não Estudo para o concurso. q: Não assisto ao Big Brother Brasil. p

q

P v Q

H1

V

V

V

H2

F

V

V

H3

V

F

V

H4

F

F

F

CONDICIONAL – “SE...ENTÃO” Recebe o nome de condicional toda proposição composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo se... então.... Simbolicamente, representaremos esse conectivo por “ →”. Portanto, se temos a sentença Se estudo, então sou aprovado. Proposição 1: Estudo. (Condição Suficiente) Proposição 2: Sou aprovado. (Condição Necessária) Conetivo: se.. então. Vamos chamar a primeira proposição de “p” a segunda de “q” e o conetivo de “→”. Assim podemos representar a “frase” acima da seguinte forma: p → q.

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AGORA É A SUA VEZ: Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipóteses: H1: p: Estudo. q: Sou aprovado. H2: p: Não estudo. q: Sou aprovado. H3: p: Não estudo. q: Não sou aprovado. H4: p: Estudo. q: Não sou aprovado. p

q

P → Q

H1

V

V

V

H2

F

V

V

H3

F

F

V

H4

V

F

F

BICONDICIONAL – “... SE E SOMENTE SE ...” Recebe o nome de bicondicional toda proposição composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo ... se somente se... Simbolicamente, representaremos esse conectivo por “ ↔”. Portanto, se temos a sentença Maria compra o sapato se e somente se o sapato combina com a bolsa. Proposição 1: Maria compra o sapato. (Condição Suficiente e Necessária) Proposição 2: O sapato combina com a bolsa. (Condição Necessária e Suficiente) Conetivo: se e somente se. Vamos chamar a primeira proposição de “p” a segunda de “q” e o conetivo de “ ↔” Assim podemos representar a “frase” acima da seguinte forma: p


q

↔

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AGORA É A SUA VEZ: Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipóteses: H1: p: Maria compra o sapato. q: O sapato não combina com a bolsa. H2: p: Maria não compra o sapato. q: O sapato combina com a bolsa. H3: p: Maria compra o sapato. q: O sapato combina com a bolsa. H4: p: Maria não compra o sapato. q: O sapato não combina com a bolsa. p

q

P ↔ Q

H1

V

F

F

H2

F

V

F

H3

V

V

V

H4

F

F

V

TAUTOLOGIA Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r,... será dita uma tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r, ... que a compõem. Exemplos: Gabriela passou no concurso do TCE-RS ou Gabriela não passou no concurso do TCE-RS. Não é verdade que o professor Zambeli parece com o Zé Gotinha ou o professor Zambeli parece com o Zé Gotinha.

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Ao invés de duas proposições, temos nos exemplos uma única proposição, afirmativa e negativa. Vamos entender isso melhor. Exemplo: Grêmio cai para segunda divisão ou o Grêmio não cai para segunda divisão. Vamos chamar a primeira proposição de “p” a segunda de “~p” e o conetivo de “V”. Assim, podemos representar a “frase” acima da seguinte forma: p V ~p.

AGORA É A SUA VEZ: H1: p: Grêmio cai para segunda divisão. ~p: Grêmio não cai para segunda divisão. H2: p: Grêmio não vai sair campeão. ~p: Grêmio cai para segunda divisão. p

~p

p v ~p

H1

V

F

V

H2

F

V

V

Logo temos uma TAUTOLOGIA!

CONTRADIÇÃO Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r,... será dita uma contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r,... que a compõem. Exemplos: O Zorra total é uma porcaria e Zorra total não é uma porcaria. Suelen mora em Petrópolis e Suelen não mora em Petrópolis. Ao invés de duas proposições, temos nos exemplos uma única proposição, afirmativa e negativa. Vamos entender isso melhor. Exemplo: Lula é o presidente do Brasil e Lula não é o presidente do Brasil. Vamos chamar a primeira proposição de “p” a segunda de “~p” e o conetivo de “^” Assim podemos representar a “frase” acima da seguinte forma: p ^ ~p.


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AGORA É A SUA VEZ: H1: p: Lula é o presidente do Brasil. ~p: ______________________________. H2: p: Lula não é o presidente do Brasil. ~p: _______________________________. p

~p

p ^ ~p

H1

V

F

F

H2

F

V

F

Logo temos uma CONTRADIÇÃO!

RESUMO Agora iremos criar tabelas com o resumo e os principais tópicos estudados neste capítulo. VERDADEIRO SE...

FALSO SE...

p

p=V

p=F

~p

p=F

p=V

SENTENÇA LÓGICA

VERDADEIRO SE...

FALSO SE...

p ∧ q

p e q são, ambos, verdade

um dos dois for falso

p ∨ q

um dos dois for verdade

ambos, são falsos

→

q

nos demais casos que não for falso

p = V e q = F

p ↔ q

p e q tiverem valores lógicos iguais

p e q tiverem valores lógicos diferentes

p

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SENTENÇA LÓGICA


Módulo 2 Operações Básicas em Lógica Equivalência de Conevos Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes (ou simplesmente que são equivalentes) quando são compostas pelas mesmas proposições simples e os resultados de suas tabelas-verdade são idênticos. A equivalência lógica entre duas proposições, p e q, pode ser representada simbolicamente como: p ^ q , ou simplesmente por p = q. EQUIVALÊNCIAS: 1ª p ^ p = p Exemplo: Professor Ed é feliz e feliz = Professor Ed é feliz. Construindo a tabela:

P

p^p

V

V

F

F

2ª p ou p = p Exemplo: Joaquina foi a praia ou a praia = Joaquina foi a praia. p

p^p

V

V

F

F


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3ª p ↔ q = (p → q) ^ (q → p) Exemplo: Trabalho na Defensoria se e somente se estudar para o concurso = Se trabalho na Defensoria então estudo para o concurso e se estudo para o concurso então trabalho na Defensoria. Tabela p

q

V

V

F

F

F

V

V

F

P→q

q→p

(P → q) ^ (q → p)

4ª p → q = (~q → ~p) Exemplo: Se bebo então sou rico = Se não sou rico então não bebo. p

q

V

V

F

F

F

V

V

F

~q

~p

(P → q)

(~q v ~p)

5ª p → q = (~p v q) Exemplo: Se bebo então sou rico = Não bebo ou sou rico. p

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q

V

V

F

F

F

V

V

F

~p

(P → q)

(~p v q)


P

↔

q


6ª Conetivos que são comutativos (podemos trocar a ordem que a solução será a mesma): V , ^, ↔. Exemplos: (p ^ q) = (q ^ p) (p V q) = (q V p) (p ↔ q) = (q ↔ p) 7ª Conetivo que não é comutativo (não podemos trocar a ordem): →

Exemplos: (p ↔ q) ≠ (q ↔ p)

NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS Agora vamos aprender a negar proposições compostas, para isto devemos considerar que: Tabela: PROPOSIÇÃO OU CONETIVO

NEGAÇÃO

p

~p

~p

p

^

v

Para negarmos uma proposição conjunta devemos utilizar a propriedade distributiva, similar aquela utilizada em álgebra na matemática. Vamos negar a sentença abaixo: ~(p v q) = ~(p)

~(v)

~(q) =

(~p ^ ~q)

~(~p v q) = ~(~p)

~(v)

~(q) =

(p ^ ~q)

~(p ^ ~q) = ~(p)

~(^)

~(~q) =

(~p v q)

~(~p ^ ~q) = ~(~p)

~(^)

~(~q) =

(p v q)


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Agora vamos aprender a negar uma sentença com um condicional. Para isso devemos trabalhar com a 5ª propriedade de equivalência de conetivos demonstradas na página 10, em que: p → q = (~p v q) Então temos: ~( p → q) = ~( ~p v q) = ~(~p)

~(v)

~(q) = (p ^ ~q)

AGORA É A SUA VEZ: Sabendo que um bicondicional é igual a dois condicionais, propriedade 3 da página 9. Tente fazer a negação da sentença abaixo: ~( p ↔ q)

RESUMO PROPOSIÇÃO COMPOSTA

NEGAÇÃO

(p v q)

(~p ^ ~q)

(p ^ q)

(~p v ~q)

(p

(p ↔ q)

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(p ^ ~q)

 q)

(p ^ ~q) v (q ^ ~p)


Módulo 3

Diagramas Lógicos Chama-se argumento a afirmação de que um grupo de proposições iniciais redunda em uma outra proposição final, que será consequência das primeiras. Estudaremos aqui apenas os argumentos que podemos resolver por diagrama, contendo as expressões: todo, algum, nenhum ou outras similares. Exemplo: 1: Todas pessoas aposentadas pelo PF possui mais de 60 anos de idade. 2: Todas as pessoas com mais de 60 anos de idade são gastam com remédio todos os meses. Assim, caso as proposições, argumentos, 1 e 2, estejam corretos, podemos concluir que: Conclusão : Todos os aposentados pelo PF gastam com remédio todos os meses. Nem todos os argumentos são válidos. Estaremos, em nosso estudo dos argumentos lógicos, interessados em verificar se eles são válidos ou inválidos!

SIMBOLOGIA: SENTENÇA

SIMBOLOGIA

PARA TODO x (elemento)

∀

( x)

EXISTE x (elemento)

∃

( x)

ARGUMENTOS VÁLIDOS Dizemos que um argumento é válido (ou ainda legítimo ou bem construído), quando a sua conclusão é uma consequência obrigatória do seu conjunto de premissas. Para concluirmos se um argumento é válido ou não, devemos olhar APENAS como ele foi construído, sem nos prendermos ao texto ou conhecimentos prévios sobre o assunto. Abaixo segue um exemplo de um argumento válido: 1: Todos os Policiais Federais são homens violentos. 2: Nenhum homem violento é casado. Conclusão: Portanto, nenhum Policial Federal é casado.


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Apesar de parecer um absurdo, o argumento está correto. Se considerarmos como hipóteses verdadeiras que os itens 1 e 2 estão corretos, a conclusão é consequencia das hipóteses, por uma propriedade transitiva. Para concluir se um silogismo é verdadeiro ou não, devemos construir conjuntos com as premissas dadas. Para isso, devemos considerar todos os casos possíveis, nos limitando a escrever apenas o que a proposição afirma. No exemplo acima, temos que “Todos os Policiais Federais são homens violentos”, mas nessa proposição não fica claro se “Todos as pessoas violentas são Policiais Federais”. Por esse motivo, temos sempre que trabalhar com todas as hipóteses, considerando também esse caso. Vamos representar a proposição em conjunto. Esse conjunto mostra exatamente o que a proposição fala. TODA PF é violento, porém não podemos concluir que TODO violento é PF, assim, trabalhamos com a hipótese de existirem pessoas violentas que não são policiais. 2: Nenhum homem violento é casado. Com a expressão “nenhum” a frase acima afirma que o conjunto dos casados e dos violentos não possuem elementos comuns. Por isso, devemos construir conjuntos separados.

Logo, é correto afirmar que nenhum Policial Federal é Casado, já que esses conjuntos não possuem elementos em comum.

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Argumentos que não são válidos Dizemos que um argumento é inválido – também denominado ilegítimo, mal construído, falacioso ou sofisma – quando a verdade das premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão. Vamos considerar um exemplo similar ao anterior, com apenas uma pequena alteração na proposição 2 e na conclusão. 1: Todos os Policiais Federais são homens violentos. 2: Alguns homens violentos são casados. Conclusão: Portanto, existem Policiais Federais que são casados. A uma primeira leitura pode parecer um argumento válido (silogismo), porém, ao considerarmos todas as hipóteses possíveis, iremos descobrir que as proposições são insuficientes para a conclusão, tratando então de uma falácia. Representação do argumento 1: Todos os Policiais Federais são homens violentos. Lembre-se que: TODA PF é violento, porém não podemos concluir que TODO violento é PF, assim, trabalhamos com a hipótese de existirem pessoas violentas que não são Policiais. Podemos representar a hipótese 2 de duas formas, uma como a “banca” quer que você entenda, de maneira errada, conforme abaixo: 2: Alguns homens violentos são casados Assim existiria um conjunto “X” de policiais que são violentos e casados. Portanto, poderíamos concluir existem Policiais Federais que são Casados.


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Mas devemos considerar todas as hipóteses, imagine que os conjuntos sejam divididos da forma abaixo: Neste exemplo, todo policial federal é violento, alguns violentos são casados, ou seja, as hipóteses são satisfeitas. Mas não existem policiais casados. Assim a conclusão é precipitada! As Proposições da forma Algum A é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. As Proposições da forma Todo A é B estabelecem que o conjunto A é um subconjunto de B. Note que não podemos concluir que A = B, pois não sabemos se todo B é A.

NEGAÇÃO Como negar estas Proposições: PROPOSIÇÃO

NEGAÇÃO

TODO

ALGUM OU EXISTE PELO MENOS

ALGUM

NENHUM

NENHUM

ALGUM, OU EXISTE PELO MENOS UM

Exemplos:

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PROPOSIÇÃO

NEGAÇÃO

Todo A é B

Algum A não é B ou Existe pelo menos um A que não seja B

Algum A é B

Nenhum A é B



RESOLVENDO PROBLEMAS As questões de lógica cobradas em concursos, em geral, são textos formados por proposições e conetivos. Para resolver qualquer questão é necessário “traduzir” o texto para uma linguagem lógica, operar dentro desta linguagem e no final traduzir da linguagem lógica de volta para o texto, conforme modelo abaixo:

Exemplo 4.2.1: A negação da sentença: Se Teobaldo estuda então será aprovado no concurso. Passo 1: Simbolizar as proposições acima. p: Teobaldo estuda. q: Teobaldo é aprovado no concurso. Conetivo: Se então (condicional). Passo 2: Representar logicamente a sentença: (p → q) Passo 3: Negar a sentença aplicando propriedades de lógica: ~(p→q) = ~(~p v q)

Lembrar da propriedade de equivalência.

~(~p v q) = (p ^ ~q)

Negar as proposições e o conetivo.

Passo 4: traduzir da lógica para o texto novamente p: Teobaldo estuda. = e

^

q = Teobaldo não é aprovado no concurso. (Poderia usar também a expressão: não é verdade que Teobaldo é aprovado no concurso.) Juntando tudo temos a negação da sentença que será: “ Teobaldo estuda e não é aprovado no concurso.” www.acasadoconcurseiro.com.br

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Exemplo 4.2.2: (CESPE – DETRAN/ES – 2010) A negação da proposição “Não dirija após ingerir bebidas alcoólicas ou você pode causar um acidente de trânsito” é, do ponto de vista lógico, equivalente à afirmação “Dirija após ingerir bebidas alcoólicas e você não causará um acidente de trânsito”. 1: Simbolizar as proposições acima ~p: não dirija após ingerir bebidas alcoólicas (note que a proposição p possui um não em seu texto, por isso estamos representando por ~p ao invés de usar somente p) q: Você pode causar um acidente de trânsito Conetivo: ou (conjunção)

2: Representar logicamente a sentença: (~p v q) 3: Negar a sentença aplicando propriedades de lógica: ~(~p v q) = (p ^ ~q)

Negar as proposições e o conetivo

4: traduzir da lógica para o texto novamente p: Dirija após ingerir bebidas alcoólicas. ^ = e q = Você não causará um acidente de trânsito. Juntando tudo, temos a negação da sentença que será:“Dirija após ingerir bebidas alcoólicas e você não causará um acidente de trânsito”. Exemplo 4.2.3: Qual a negação da sentença: “Estudo se e somente se não chover”. Esta parece simples, mas é trabalhosa. Temos que transformar esta bicondicional em duas condicionais e negar. 1: Simbolizar as proposições acima. p: Estudo. ~q: não chover. Conetivo: bicondicional (↔). 2: Representar logicamente a sentença: (p ↔ ~q).

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3: Aplicando propriedades de lógica: RESOLUÇÃO

EXPLICAÇÃO

~(p ↔ ~q) =~[ (p → ~q) ^ (~q → p)]

Propriedade de equivalência do bi condicional

~(p → ~q) ~(^) ~(~q → p)

Negar TUDO (distributividade)

~(~pv~q) v ~(qvp)

Negamos a disjunção e usamos a propriedade de equivalência do condicional

(p^q) v (~q^~p)

Negamos as duas expressões

4: traduzir da lógica para o texto novamente p: estudo ~p: não chove q: chove ~q: não chove ^ = e v = ou Juntando tudo temos a negação da sentença que será: “Estudo e chove ou não estudo e não chove”. Agora iremos estudar como resolver as questões com argumentos que não utilizam as expressões: todos, nenhum ou algum. Exemplo 4.3.1 Se prova é fácil, então sou funcionário do TCE-RS. Não sou funcionário do TCE-RS. Sabendo que as duas proposições acima são verdadeiras, podemos concluir que: “A prova não é fácil”. Resolução: 1: Simbolizar as proposições acima. p: A prova é fácil. q: Sou funcionário do TCE-RS. ~q= não sou funcionário do TCE-RS. Conetivo: condicional (→).


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2: Representar logicamente a sentença: (p → q) = V ~q = V

3: Aplicando propriedades de lógica: Ora, se ~q = V logo q = F. Assim temos a seguinte situação:

p

→

q

?

V

F

Como sabemos o condicional será falso se a primeira proposição for verdadeira e a segunda falsa. Como a segunda proposição é FALSA e este condicional é VERDADEIRO, obrigatoriamente a primeira proposição deve ser FALSA, logo, p=F. 4: traduzir da lógica para o texto novamente: “a prova não é fácil”. Exemplo 4.3.2 1. Robinho come ou dorme. 2. Se Robinho come então não joga bola. 3. Robinho joga bola. Sabendo que as três proposições acima são verdadeiras, podemos concluir que é verdade que: “Robinho dorme”. Resolução: 1: Simbolizar as proposições acima. p: Robinho come. q: Dorme. ~r= não joga boa. r: Joga bola. Conetivos: condicional →) e disjunção ( V ).

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2: Representar logicamente a sentença: (p v q) = V (p → ~r) = V r=V 3: Aplicando propriedades de lógica: Ora, se r = V logo ~r = F. Vamos fixar ~r=F e testar a proposição 2 a fim de descobrir o valor lógico de P, sabendo que o condicional deve ser verdadeiro.

hipóteses

p

→

~r

h1

V

F

F

h2

F

V

F

Como sabemos o condicional será falso se a primeira proposição for verdadeira e a segunda falsa. Como a segunda proposição é FALSA e este condicional é VERDADEIRO, obrigatoriamente a primeira proposição deve ser FALSA, logo, p=F. Agora vamos fixar a informação p=F e testar na sentença 1 e tentar descobrir o valor lógico de q, sabendo que a sentença como todo é verdadeira

hipóteses

p

v

q

h1

F

F

F

h2

F

V

V

Como p é falso e a sentença é verdadeira obrigatoriamente o valor de q deve ser verdadeiro já que a disjunção para ser verdadeira pelo menos uma das proposições devem ser verdadeiras. Assim concluímos que q=V 4: Traduzir da lógica para o texto novamente: “Robinho dorme”.


29

Exemplo 4.3.3 Rejão não é bruto ou habilidoso. Rejão não é bruto se e somente se Carruira é habilidoso. Carruira é habilidoso. Sabendo que as três proposições acima são verdadeiras, podemos concluir que é verdade que: “Rejão é habilidoso.” 1: Simbolizar as proposições acima. ~p: Rejão não é bruto. q: Rejão é habilidoso. ~p= Rejão não é bruto. r: Carruira é habilidoso. Conetivos: condicional (→) e disjunção ( v). 2: Representar logicamente a sentença: (~p v q) = V (~p ↔ r) = V

r=V 3: Aplicando propriedades de lógica: Ora, se r = V vamos fixar r=V e testar a proposição 2 a fim de descobrir o valor lógico de ~p, sabendo que o bicondicional deve ser verdadeiro.

hipóteses

~p

↔

r

h1

V

F

F

h2

F

V

F

Como sabemos o bicondicional será falso se as duas proposições tiverem valores lógicos diferentes. Para que o bicondicional seja verdadeiro é necessário que ambas proposições tenham o mesmo valor lógico. Como a segunda proposição é FALSA e este bicondicional é VERDADEIRO, obrigatoriamente a primeira proposição deve ser FALSA, logo, p=F. Agora vamos fixar a informação p=F e testar na sentença 1 e tentar descobrir o valor lógico de q, sabendo que a sentença como todo é verdadeira.

30



hipóteses

p

v

q

h1

F

F

F

h2

F

V

V

Como p é falso e a sentença é verdadeira obrigatoriamente o valor de q deve ser verdadeiro já que para que a disjunção seja verdadeira pelo menos uma das proposições devem ser verdadeiras. Assim concluímos que q=V 4: Traduzir da lógica para o texto novamente: “Rejão é habilidoso”. Exemplo 4.4.1: Considere a seguinte proposição: “Se o Policial é honesto, então o Policial é Honesto ou Médico é trabalhador”. Do ponto de vista lógico, a afirmação da proposição caracteriza uma tautologia. p= Policial é honesto. q = Médico é trabalhador. Resolvendo: p → (p v q)

Sentença dada

~p v ( p v q)

propriedade da igualdade de um condicional

( ~p v p) v q

Associação

Verdade v q

Tautologia (sempre será verdadeiro)

Verdade

Verdadeiro sempre.

Logo estamos diante de uma Tautologia.


31

PROBLEMAS ENVOLVENDO CONJUNTOS Alguns problemas de raciocínio lógico, precisam de uma representação em diagramas para sua resolução. A grande dificuldade destes problemas é identificar as informações e representa-las de maneira correta nos conjuntos. Vamos a um exemplo: Considere que um grupo de “N” alunos estão estudando para os concursos do TCE-RS, Receita Federal e Polícia Federal. Sabendo que dentre estes alunos, alguns estão realizaram as provas para mais de um concurso. Vamos representar isso através de conjuntos.

TCE-RS

N

M Y X

W Z

Rec, Fed

N O PF

L

Onde: N = Número total de alunos. X = Número de alunos que prestaram concurso apenas para a Receita Federal. M = Número de alunos que prestaram concurso apenas para a TCE-RS. O = Número de alunos que prestaram concurso apenas para a Polícia Federal. Y = Número de alunos que prestaram concurso para Receita e para o TCE-RS. Z = Número de alunos que prestaram concurso para Receita e para a Polícia Federal. N = Número de alunos que prestaram concurso para Polícia e para o TCE-RS. W = Número de alunos que prestaram todos os concursos. L = Número de alunos que não prestaram nenhum dos concursos. X+Y+W+Z =Total de alunos que prestaram o concurso da Receita Federal. M+Y+W+N =Total de alunos que prestaram o concurso do TCE-RS. O+N+W+Z =Total de alunos que prestaram o concurso da Polícia Federal. M+X+O+Z+Y+N+W+L = Numero total de alunos “N”. 32


Questões

POLÍCIA FEDERAL 2009 - CESPE

5. A sequência de proposições a seguir constitui uma dedução correta. •

1. Considere as proposições A, B e C a seguir. a) Se Jane é policial federal ou procuradora de justiça, então Jane foi aprovada em concurso público. b) Jane foi aprovada em concurso público. c) Jane é policial federal ou procuradora de justiça. Nesse caso, se A e B forem V, então C também será V.

• •

Se Carlos não estudou, então ele fracassou na prova de Física. Se Carlos jogou futebol, então ele não estudou. Carlos não fracassou na prova de Física.

Carlos não jogou futebol.

BANCO DO BRASIL 2007 - CESPE

2. As proposições “Se o delegado não prender 6. É correto o raciocínio lógico dado pela o chefe da quadrilha, então a operação sequência de proposições seguintes: agarra não será bem-sucedida” e “Se o Se Antônio for bonito ou Maria for alta, delegado prender o chefe da quadrilha, então José será aprovado no concurso. então a operação agarra será bem-sucedida” são equivalentes Maria é alta. Portanto José será aprovado no concurso. 3. Considere que um delegado, quando foi interrogar Carlos e José, já sabia que, na quadrilha à qual estes pertenciam, os comparsas ou falavam sempre a verdade ou sempre mentiam. Considere, ainda, que, no interrogatório, Carlos disse: José só fala a verdade, e José disse: Carlos e eu somos de tipos opostos. Nesse caso, com base nessas declarações e na regra da contradição, seria correto o delegado concluir que Carlos e José mentiram. 4. Se A for a proposição “Todos os policiais são honestos”, então a proposição ¬A estará enunciada corretamente por “Nenhum policial é honesto”.

7. É correto o raciocínio lógico dado pela sequência de proposições seguintes: Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um emprego. Ela conseguiu um emprego. Portanto, Célia tem um bom currículo. 8. Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições. • • • • •

“A frase dentro destas aspas é uma mentira.” A expressão X + Y é positiva. O valor de . Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. O que é isto?


33

9. A proposição funcional “Para qualquer x, tem-se que é verdadeira para todos os valores de x que estão no conjunto

15.

valorações V ou F da proposição A → B.

. 10.

11.

Uma expressão da forma é uma proposição que tem exatamente as mesmas

16. Considere que as afirmativas “Se Mara A proposição funcional “Existem números que acertou na loteria então ela ficou rica” e são divisíveis por 2 e por 3” é verdadeira para “Mara não acertou na loteria” sejam amb elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}. as proposições verdadeiras. Simbolizando adequadamente essas proposições podeDuas pessoas carregam fichas nas cores branca e preta. Quando a primeira pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente a verdade, mas, quando carrega a ficha preta, ela fala 17. somente mentiras. Por outro lado, quando a segunda pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente mentira, mas, quando carrega a 18. ficha preta, fala somente verdades.

Com base no texto acima, julgue o item a seguir. Se a primeira pessoa diz “Nossas fichas não são da mesma cor” e a segunda pessoa diz “Nossas fichas são da mesma cor”, então, pode-se concluir que a segunda pessoa está dizendo a verdade 12. Considere as seguintes proposições:

se garanr que a proposição “Ela não cou

rica” é também verdadeira. A proposição simbolizada por (A→B)→(B → A)

possui uma única valoração F.

Considere que a proposição “Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” seja verdadeira. Então pode-se garantir que a proposição “Sílvia ama Tadeu” é verdadeira.

BANCO DO BRASIL 2008 - CESPE 19. A negação da proposição A → B possui os mesmos valores lógicos que a proposição A ^ (¬B).

P: “Mara trabalha” e Q: “Mara ganha dinheiro”

20. Considere que A seja a proposição “As palavras têm vida” e B seja a proposição Nessa situação, é válido o argumento em “Vestem-se de significados”, e que sejam que as premissas são “Mara não trabalha ou consideradas verdadeiras. Nesse caso, a Mara ganha dinheiro” e “Mara não trabalha”, proposição A ^ (¬B) é F. e a conclusão é “Mara não ganha dinheiro” 13. Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças: (I) O BB foi criado em 1980. (II) Faça seu trabalho corretamente. (III) Manuela tem mais de 40 anos de idade 14. A proposição simbólica (P^Q) vR possui, no máximo, 4 avaliações

34

21. A negação da proposição “As palavras mascaram-se” pode ser corretamente expressa pela proposição “Nenhuma palavra se mascara”. 22. A proposição “Se as reservas internacionais em moeda forte aumentam, então o país fica protegido de ataques especulativos” pode também ser corretamente expressa por “O país ficar protegido de ataques especulativos é condição necessária para que as reservas internacionais aumentem”.



23. A proposição “Se o Brasil não tem reservas de 190 milhões de dólares, então o Brasil tem reservas menores que as da Índia” tem valor lógico F.

de mulheres que trabalhavam no campo era maior que o percentual de mulheres que trabalhavam em serviços, em 2007”. Atribuindo valores lógicos, V ou F, à proposição A e à proposição B, de acordo com o referido texto, pode-se garantir que a proposição (¬A) B é V.

24. Toda proposição simbolizada na forma A→B tem os mesmos valores lógicos que a proposição B→A. 25. A proposição “Existem países cujas reservas ultrapassam meio bilhão de dólares” é F quando se considera que o conjunto dos países em questão é {Brasil, Índia, Coréia do Sul, Rússia}. 26. Considerando como V as proposições “Os países de economias emergentes têm grandes reservas internacionais” e “O Brasil tem grandes reservas internacionais”, é correto concluir que a proposição “O Brasil é um país de economia emergente” é V. 27.

30. Atribuindo-se todos os possíveis valores lógicos V ou F às proposições A e B, a proposição lógicos F.

31. Considerando-se como V a proposição “Sem linguagem, não há acesso à realidade”, conclui-se que a proposição “Se não há linguagem, então não há acesso à realidade” é também V. 32.

A frase “Quanto subiu o percentual de mulheres assalariadas nos últimos 10 anos?” não pode ser considerada uma proposição.

28. Suponha um argumento no qual as premissas sejam as proposições I e II abaixo. I – Se uma mulher está desempregada, então, ela é infeliz. II – Se uma mulher é infeliz, então, ela vive pouco. Nesse caso, se a conclusão for a proposição “Mulheres desempregadas vivem pouco”, tem-se um argumento correto. 29. Considere que A seja a proposição “O número de mulheres no mercado de trabalho mundial atingiu 1,2 bilhão, em 2007” e B seja a proposição “O percentual

terá três valores

Se o valor lógico da proposição “Se as operações de crédito no país aumentam, então os bancos ganham muito dinheiro” é V, então é correto concluir que o valor lógico da proposição “Se os bancos não ganham muito dinheiro, então as operações de crédito no país não aumentam” é também V.

33. A negação da proposição “Existe banco brasileiro que fica com mais de 32 dólares de cada 100 dólares investidos” pode ser assim redigida: “Nenhum banco brasileiro fica com mais de 32 dólares de cada 100 dólares investidos”. 34.

Se a proposição “Algum banco lucra mais no Brasil que nos EUA” tiver valor lógico V, a proposição “Se todos os bancos lucram mais nos EUA que no Brasil, então os correntistas têm melhores serviços lá do que aqui” será F.

4 E 3 . C 3 3 . C 2 3 . C 1 3 . 0 E 3 . 9 E 2 . C 8 2 . C 7 2 . 6 E 2 . E 2 5 . 4 E 2 . E 2 3 . C 2 2 . 1 E 2 . C 0 2 . C 9 1 . 8 E 1 . C 7 1 . 6 E 1 . C 1 5 . 4 E 1 . C 1 3 . 2 E 1 . C 1 1 . 0 E 1 . 9 E . 8 E . 7 E C . 6 C . 5 . 4 E C . 3 . 2 E . 1 E . o t : b r a i G a


35

35. (TCE-RS-ES – 2012) Considerando definições acima e a proposição:

as

{(PvQ) → [R^(~S)]}v[(P^S) ↔ (Q^R)],

julgue os itens a seguir. A negação da referida proposição é a proposição: {[PvQ)^[( R)vS]}^{[( P)v( S)] ↔ ( Q)v ( R)]}. ~

~

~

~

~

36. (TCE-RS-ES – 2012) Considerando definições acima e a proposição

as

{(PvQ) → [R^( S)]}v[(P^S) ↔ (Q^R)] ~

, julgue os itens a seguir. Essa proposição é logicamente equivalente à proposição {[( R)vS] →[( P)^( Q)]}v[(P^S) ↔ (Q^R)]. ~

~

~

37. (TCE-RS-ES – 2012) Considerando definições acima e a proposição

as

{(PvQ) → [R^( S)]}v[(P^S) ↔ (Q^R)]

40. (TCE-RS-ES – 2012) Na auditoria de uma empresa, o auditor concluiu que: “Ocorreu desvio de recursos se, e somente se, o gerente financeiro e o presidente da empresa estiveram envolvidos nesse desvio”. Considerando que a conclusão do auditor corresponde a uma proposição verdadeira, julgue os itens seguintes. A proposição “Não ocorreu desvio se, e somente se nem o gerente financeiro nem o presidente estiveram envolvidos” é verdadeira. 41. (ANATEL– 2012) A negação da proposição “Ocorre falha técnica na chamada ou a operadora interrompe a chamada de forma proposital” é corretamente expressa por “Não ocorre falha técnica na chamada nem a operadora interrompe a chamada de forma proposital”.

~

,julgue os itens a seguir. Se P e S forem V e Q e R forem F, então o valor lógico da proposição em questão será F. 38.

(TCE-RS-ES – 2012) Considere que a proposiçãoconclusão do auditor possa ser escrita, simbolicamente, na forma P ↔ Q^R, em que P, Q e R sejam proposições adequadamente escolhidas. Nesse caso, a negação da proposiçãoconclusão do auditor estará corretamente escrita na forma [( P)^(Q^R)]v[ (Q^R)^P]. ~

~

39. (TCE-RS-ES – 2012) Na auditoria de uma empresa, o auditor concluiu que: “Ocorreu desvio de recursos se, e somente se, o gerente financeiro e o presidente da empresa estiveram envolvidos nesse desvio”. Considerando que a conclusão do auditor corresponde a uma proposição verdadeira, julgue os itens seguintes. A proposição “Se o gerente financeiro esteve envolvido no desvio mas o presidente não, então não ocorreu desvio de recursos” é verdadeira.

36

42. (ANATEL– 2012) Supondo que, por determinação da ANATEL, as empresas operadoras de telefonia móvel tenham enviado a seguinte mensagem a seus clientes: “Caso não queira receber mensagem publicitária desta prestadora, envie um SMS gratuito com a palavra SAIR para 1111”, julgue os próximos itens, considerando que a mensagem corresponda à proposição P. A proposição P é logicamente equivalente à proposição “Queira receber mensagem publicitária desta prestadora ou envie um SMS gratuito com a palavra SAIR para 1111”. 43. (ANCINE– 2012) A negação da proposição “Todo ator sabe cantar e dançar” é equivalente a “Existe ator que não sabe cantar ou que não sabe dançar”. 44.

(ANCINE– 2012) A proposição [PvQ] ↔ [(¬P)^Q]

tem somente o valor lógico V, independentemente dos valores lógicos de P e Q.


Apostila TCE Raciocinio Logico Edgar Abreu

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