Anexo A PROPIEDADES TORSIONALES PARA DIFERENTES SECCIONES DE ACERO
Los ingenieros estructurales ocasionalmente necesitan determinar ciertas propiedades del acero que no se encuentran con facilidad en la literatura. En éste anexo se proporcionan definiciones y las fórmulas para calcular algunas de las propiedades torsionales de diferentes secciones de acero. Las referidas propiedades son: la constante torsional de St. Venant, J, la constante torsional de alabeo, Cw, la localización del centro de cortante, xo, yo, y la constante monosimétrica, βx. También se incluyen la constante torsional C, y la constante de cortante, CRT. Para ilustrar las fórmulas se realizan algunos ejemplos sencillos para cada tipo de sección transversal.
Constante torsional de St. Venant, J. La constante torsional de St. Venant, J, mide la resistencia de un elemento estructural a torsión pura o torsión uniforme. Se utiliza en miembros a compresión para calcular el momento resistente a pandeo en vigas no soportadas lateralmente y a pandeo flexotorsional.
Constante torsional de alabeo, C w. La constante torsional de alabeo,Cw, mide la resistencia de un elemento estructural sometido a torsión no uniforme o alabeo torsional. Se utiliza en miembros a compresión para calcular el momento resistente a pandeo en vigas no soportadas lateralmente y a pandeo flexo-torsional. Para secciones estructurales huecas (HSS) las deformaciones de alabeo son pequeñas y la constante torsional de alabeo se toma generalmente como cero.
Centro cortante (xo, yo). El centro de cortante o centro de torsión es el punto en el plano de la sección transversal en donde la torsión ocurre. La localización del centro de cortante es necesario para calcular la constante torsional de alabeo y la constante monosimétrica. También se utiliza para determinar el efecto estabilizador o desestabilizador de la fuerza gravitatoria aplicada por debajo o por encima del centro de cortante. Las coordenadas del centro de cortante se calculan respecto al centro de gravedad.
Constante monosimétrica. La constante monosimétrica, βx, se utiliza para el cálculo del momento resistente a pandeo en vigas monosimétrica no soportadas lateralmente cargadas en el plano de simetría. Para el caso de secciones monosimétricas que son simétricas respecto al eje vertical, la fórmula general es: β x =
1 I x
∫ y ( x
2
+ y 2 ) dA − 2 yo
A
En donde Ix es el momento de inercia respecto al eje centroidal horizontal, yo es la localización vertical del centro de cortante respecto al centroide y dA es el diferencial de área. La integración se realiza sobre toda la sección transversal. El valor de βx es cero para secciones doblemente simétricas.
Constante torsional para secciones HSS. La constante torsional, C, se utiliza para el calculo de la tensión cortante debido a la aplicación de un torsión. Se expresa como la relación entre la torsión aplicada, T, y la tensión cortante en la sección transversal, τ : C =
T
τ
Constante a corte para secciones HSS. La constante a corte, CRT, se utiliza para el cálculo de la tensión máxima a cortante debido a la aplicación de fuerza cortante. Para secciones huecas, la tensión máxima a cortante en la sección transversal viene dado por la expresión: τ max =
VQ
2tI
En donde V es la fuerza cortante aplicada, Q es el momento estático de la parte superior de la sección referido al eje neutral, I es el momento de inercia y t es el ancho de la pared.
La constante a corte esta expresada como la relación entre la fuerza cortante aplicada y la tensión máxima. C RT =
V
τ max
=
2tI Q
EJEMPLOS Problema 1 Calcular la constante torsional de St. Venant, J, y la constante torsional de alabeo, Cw, de una sección W610x125 cuyas propiedades son: h = 592 mm, b = 229 mm, tf =19.6 mm, tw =11.9 mm
Solución J =
1
(2bt 3
3
f
+ ht w3 ) =
2 3
C w =
t f h b
24
=
1 3
(2 × 229 × 19.6
19.6 × 5922 × 2293 24
3
+ 592.4 × 11.93 ) = 1480 × 103 mm 4
= 3440 × 109 mm6
Problema 2 Calcular la constante torsional de St. Venant, J, la constante torsional de alabeo, Cw, y la ubicación del centro cortante, Yo, si se conoce que el centro de gravedad se encuentra a 695 mm tomado desde un eje de referencia colocado en la base del ala inferior. De una sección WRF 1200x244 cuyas propiedades son: d=1200 mm, b1= 550mm, b2=300 mm, tf = 20 mm, tw= 12 mm
Solución 2t f
h = d −
J =
2
1
(b t 3
3
1 f
C w =
2 × 20
= 1200 − 3
3
2 t f h ⎛ b13 × b23 ⎞
⎜ 3 ⎟= 3 12 ⎜⎝ b1 + b2 ⎠⎟
(b
3 1
+ b2
3
)
= 1180
3
(300 × 20
3
+ 550 × 203 + 1180 × 123 ) = 2950 × 103 mm 4
20 × 11802 ⎛ 3003 × 5503 ⎞
⎜⎜ ⎟ = 53900 × 109 mm 6 3 3 ⎟ ⎝ 300 + 550 ⎠
12
3
e=h
1
+ b2t f + ht w ) =
b1
= 1180mm
2
5503
(550
3
+ 3003 )
= 1015mm
Por lo tanto y0= e+ tf /2- (y)= 1015+10-695=330mm
Problema 3 Calcular la constante torsional de St. Venant, J, la constante torsional de alabeo, Cw, la constante torsional, C y la constante a corte, CRT de una sección circular hueca HSS 324x9.5 cuyas propiedades son: d= 324mm, t= 9.53 mm. Solución I =
π 64
[d
4
− (d − 2t ) 4 ] =
π 32
[324
4
− (324 − 2 × 9.53) 4 ] = 116 × 106 mm 4
J = 2 × I = 2 × 116 × 106 = 233 × 106 mm 4 t
Q=
[3d 6
− 6dt + 4t 2 ] =
C =
2 J
2 × 233 × 106
2
d
C RT =
=
2tI Q
324
=
9.53 6
[3 × 324
2
− 6 × 324 × 9.53 + 4 × 9.532 ] = 471 × 103 mm3
= 1440 × 103 mm3
2 × 9.53 × 116 × 106 471 × 10
3
Cw: se considera igual a cero.
= 4710 mm3
Problema 4 Calcular la constante torsional de St. Venant, J, la constante torsional de alabeo, Cw la constante torsional, C y la constante a corte, CRT de una sección rectangular hueca HSS 203x102x6.4 cuyas propiedades son: d= 203 mm, b=102 mm, t= 6.53 mm. J =
4 Ap2t p
(válido cuando b / t ≥ 10 )
A p = (d − t )(b − t ) − Rc (4 − π ) 2
p = 2[(d − t )(b − t )] − Rc (4 − π )
R c=1.5t Cw: se considera igual a cero. C = 2tA p (válido cuando b / t ≥ 10 ) C RT = 2t (h − 4t )
En donde h es la dimensión externa en la dirección de aplicación de la fuerza cortante. Por lo tanto sustituyendo los datos en las fórmulas anteriores: R c=9.53 mm p=568 mm 2 A p=18700 mm 4 J=15600 mm Si se supone que la fuerza cortante actúa en la dirección mas larga, d. h=d= 203 mm 3
3
C=238x10 mm 2
CRT=2260 mm
Posición del Centro Cortante O(xo, yo) y Centro de Gravedad G(x,y).
J y C w
1
J =
3
(2bt f 3 + ht w3 ) 3
C w =
J =
1
t f b h
2
24
(b1t f 3 + b2t f 3 + ht w3 )
3
t f h ⎛ b13b23 ⎞ 2
C w = e=h
J =
⎜ ⎟ 12 ⎜⎝ b13 + b23 ⎠⎟ 3
b1
b1 + b2 3
1
(bt f 3 + ht w3 )
3
C w =
J =
3 3 1 ⎛ t f b
⎞ ⎜ h3t w3 ⎟ + ⎟ 36 ⎜⎝ 4 ⎠
1 3
C w =
J =
1 3
C w =
3
(bt 13 + ht 23 ) 1 36
(b t
3 3 1
+ h3t 23 )
( 2bt f 3 + ht w3 ) 3 2 t f b h ⎛ 3bt f + 2ht w ⎞
12
⎜ ⎟ ⎜ 6bt f + ht w ⎟ ⎝ ⎠
xo = x + bα −
t w
2
; α = 2+
1 ht w 3bt f
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