3.
FUERZAS EN EL ESPACIO
La F puede descomponerse en sus dos componentes h
3.1. COMPONENTES RECTANGULARES DE UNA FUERZA
EN EL ESPACIO
rectangulares Fx y Fz a lo largo de los ejes x y z , respectivamente. Esta operación, mostrada en la Fig. 13, se realiza en el plano xz . De esta manera se obtienen las expresiones siguientes para las componentes escalares correspondientes (8)
Fx Fh . cos F s en en y cos Fz Fh . s en en F s en en y s en en
La fuerza F se ha descompuesto en tres componentes vectoriales rectangulares Fx , Fy y Fz , dirigidas a lo largo de los tres ejes ej es coordenados. coordenados.
Fig. 11.
Fuerza F que actúa en el origen O.
Considere una fuerza F que actúa en el origen O del sistema de coordenadas rectangulares rectangulares x , y , z . Para definir la dirección de F , se traza el plano vertical OBAC que contiene a F y que se muestra en la Fig. 11.
Se puede obtener la siguiente relación entre la magnitud de F y sus componentes rectangulares rectangulares escalares (9)
F
Fx2 Fy2 Fz2
La relación que existe entre la fuerza F y sus tres componentes Fx , Fy y Fz se presenta más fácil si se traza "una caja" que tiene por aristas Fx , Fy y Fz , como se muestra en la Fig. 14. La L a fuerza F está representada r epresentada por la diagonal OA de esta caja.
Fig. 12.
Descomposición de la fuerza F
(a)
(b)
Este plano pasa a través del eje vertical y ; su orientación está definida por el ángulo que forma con el plano xy , mientras que la dirección de F dentro del plano está definida por el ángulo y que forma F con el eje y . La fuerza F puede descomponerse en una componente vertical Fy y un a componente horizontal F ; esta operah
|
ción, mostrada en la Fig. 12, se realiza en el plano OBAC. Las componentes escalares correspondientes son: (7)
Fy F. co cos y
Fh F. s en en y
(c)
Fig. 14.
Relación entre la fuerza F y sus tres componentes
Fx , Fy
y Fz
De la Fig. 14 se tiene (10)
Fx F. co cos x ,
Fy F. co cos y y Fz F. co cos z
Los tres ángulos x , y y definen la dirección de la z
fuerza F , y son más usados que los ángulos y y . A los cosenos de x , y y se conocen como los coz
senos directores de la fuerza F . Con el uso de los vectores unitarios i , j y k , dirigidos
Fig. 13.
Descomposición de la fuerza F
a lo largo de los ejes x , y y y z , respectivamente, se puede expresar F en la forma (11)
Ing. Mario Carranza Liza
F Fx i Fy j Fz k
Análisis de la Partícula Partícula - 9
Ejemplo 5. Una fuerza de 500 N forma ángulos de 60°, 45° y 120° con los ejes x , y y z , respectivamente. Encuentre las componentes Fx , Fy y Fz de la fuerza.
Ejemplo 6.
Una fuerza F tiene las componentes Fx 20 lb , Fy 30 l b y Fz 60 lb . Determine la
magnitud de F y los ángulos x , y y z que forma con los ejes coordenados.
Resolución:
Resolución
Si se sustituye en la ecuación (11) las expresiones obtenidas para Fx , Fy y Fz en (10), se escribe (12)
F F cos x i cos y j cos z k
Que muestra que la fuerza F puede expresarse como el producto del escalar F y del vector (13)
cos x i cos y j cos z k
El vector es un vector de magnitud 1 y de la misma dirección que F . (14)
x cos x
y cos y
z cos z
Se observa que los valores de los tres ángulos no son independientes. 2x 2y 2z 1 Sustituyendo (15)
cos2 x cos2 y cos2 z 1
La relación (12) puede expresarse (16)
cos x
Fx F
cos y
Fy F
cos z
Fz F
y obtener los ángulos x , y y z que caracterizan a la dirección de F .
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Análisis de la Partícula - 10
4.
SISTEMA DE FUERZAS TRIDIMENSIONALES En la sección 1.1 establecimos que la condición necesaria y suficiente para el equilibrio de una partícula es
Si la solución para una fuerza da un resultado negativo, esto indica que el sentido de la fuerza es el inverso del mostrado en el DCL.
F 0 .
Fig. 16. Fig. 15.
Partícula sometida a un sistema de f uerzas tridimensionales.
En el caso de un sistema de fuerza tridimensional, como el de la Fig. 15 podemos descomponer las fuerzas en sus respectivas componentes i , j y k , de manera que
F i F j F k 0 x
y
z
. Para satisfacer esta
ecuación requerimos: (17)
F F F
x
0
y
0
z
0
Si el electroimán y su carga tienen un peso W, entonces la fuerza del gancho será W.
Ejemplo 7. Una carga de 90 lb está suspendida del gancho que se muestra en la figura. Si la carga se sostiene mediante dos cables y un resorte con rigidez k=500 lb/pie, determine la fuerza presente en los cables y el alargamiento del resorte para lograr la posición de equilibrio. El cablea D se encuentra en el plano x-y y el cable AC está en plano x-z.
Estas tres ecuaciones establecen que la suma algebraica de las componentes de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula a lo largo de cada uno de los ejes coordenados debe ser igual a cero. Si las utilizamos, podremos resolver un máximo de tres incógnitas que por lo común se representan como ángulos o magnitudes de fuerzas los cuales se muestran en el DCL de la partícula.
4.1. PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS Los problemas de equilibrio de fuerzas tridimensionales para una partícula pueden resolverse por el siguiente procedimiento. A.
B.
Resolución:
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
Establezca los ejes x , adecuada.
y y z en
cualquier orientación
Marque todas las magnitudes y direcciones de las fuerzas conocidas y desconocidas sobre el DCL.
El sentido de una fuerza de magnitud desconocida puede suponerse.
ECUACIONES DE EQUILIBRIO
Aplique las ecuaciones escalares de equilibrio Fx 0 , Fy 0 y Fz 0 .
Si la geometría tridimensional le es difícil, entonces exprese cada fuerza como un vector cartesiano en el DCL, sustituyendo esos vectores en F 0 , y después iguale a cero las componentes i , j y k .
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Análisis de la Partícula - 11
1. Determine la masa máxima que puede tener la caja si la tensión desarrollada en cada cable no debe exceder 3 kN .
2.
H-12 – 3.46
El alambre de una torre está anclado en A por medio de un perno. La tensión en el alambre es de 2500 N. Determine las componentes FX , F Y , FZ , de la fuerza que actúa
4. Un bloque está suspendido de un sistema de cables tal como se indica en la figura. El peso del bloque es de 500 N. Determinar las tensiones de los cables A, B y C.
R – prob 3.6
5. Determine la fuerza necesaria en cada uno de los tres cables para elevar el tractor cuya masa es de 8 Mg.
sobre el perno y los ángulos X , Y , Z , que definen la dirección de la fuerza.
H-12 – 3.52 B_9 – prob 2.7
3. El tractor de la figura ejerce una fuerza F 2i
k i p en
A. ¿Cuáles son las tensiones en los cables AB, AC y AD?
BW_5 – 3.67
Ing. Mario Carranza Liza
6. Determine a) las componentes x , y y z de la fuerza de 900 N y b) los ángulos , y que forma la fuerza x
y
z
con los ejes coordenados.
B_12 – 2.72
Análisis de la Partícula - 12
7. El automóvil de la figura y la plataforma que lo sostiene pesan 3000 lb. Están soportados por cuatro cables AB, AC, AD y AE. Las ubicaciones de los puntos de unión sobre la plataforma se muestran en la figura. Las tensiones en los cables AB y AE son iguales. Determine las tensiones en los cables.
BW_5 – 3.71
8. El punto representado en la figura se halla en equilibrio bajo la acción de las cuatro fuerzas que se indican en el diagrama de sólido libre. Determinar el módulo de la fuerza F4 y los ángulos que forma con los ejes de coordenadas.
10. El extremo del cable coaxial AE se une al poste AB, el cual está sostenido por los tirantes de alambre AC y AD. Si se sabe que la tensión en el alambre AD es de 85 lb, determine a) las componentes de la fuerza ejercida por este alambre sobre el poste, b) los ángulos X , Y y Z que forma la fuerza con los ejes coordenados.
B_9 – 2.78
11. El collarín de 200 kg en A es mantenido en su lugar sobre la barra vertical lisa mediante el cable AB. a) Determine la tensión en el cable. a) Determine la fuerza ejercida por la barra sobre el collarín.
R – 3.21
9. Los extremos de los tres cables están unidos a un anillo localizado en A, al borde de una placa uniforme de 150 kg . Determine la tensión necesaria en cada uno de los tres cables para lograr el equilibrio.
H-12 – 3.46
Ing. Mario Carranza Liza
BW_5 – 3.78
12. El semáforo representado en la figura pende de un sistema de cables. Determinar las tensiones de los c ables A, B y C si el semáforo tiene una masa de 75 kg.
R – 3.24
Análisis de la Partícula - 13
13. Cada uno de los tres bloques exteriores tiene una masa de 2 kg , y el bloque central E tiene una masa de 3 kg . Determine la flecha “s” necesaria para el equilibrio del sistema.
BW_5 – 3.76
16. La fuerza F necesaria para mantener la placa de hormigón de 25 kN en el plano xy , tal como se indica en la figura, es igual a su peso. Determinar las tensiones en los cables A, B y C utilizados para soportar dicha placa H-12 – 3.68
14. Una torre de transmisión se sostiene mediante tres alambres, los cuales están anclados por medio de pernos en B, C y D. Si la tensión en el alambre AD es de 315 lb, determine la componente de la fuerza ejercida por el alambre sobre el perno en D.
R – 3.27
5.
BIBLIOGRAFÍA a) BEDFORD, Anthony y FOWLER, Wallace (2008). Mecánica para Ingeniería - Estática (5° edición). México: Pearson Educación. b) BEER, Ferdinand P. y otros (2010). Mecánica vectorial para ingenieros – Estática (9° edición). China: Mc Graw Hill Educación.
B_9 – 2.86
15. El sistema que se muestra en la figura ancla un puntal de un techo suspendido por cables. Si la tensión en el cable AB es de 900 kN , ¿cuáles son las tensiones en los cables EF y EG?
Ing. Mario Carranza Liza
c) BEER, Ferdinand P. y otros (2011). Estática (1° edición). México: Mc Graw Hill Educación. d) HIBBELER, Russell C. (2010). Ingeniería MecánicaEstática (12° edición). México: Pearson Educación. e) RILEY, William y STURGES, Leroy (Reimpresión 2004). Ingeniería Mecánica – Estática. España: Editorial Reverte S.A.
Análisis de la Partícula - 14
