cos y, semap De este modo, / x + iy\n j, , . v —> e ( c o s ^H 1 ) + * s e n y> {x), es deciij existe un punto x —t tal que entonces se tiene ~ 1 se cumple la desigualdad ip'(x) < ip'(x), i-iifences en virtud del ej. 101 se verifica la desigualdad +0 y esta inferiormente acotada por el numero ^jr, mientras que la funcion : ft —+ /^"^-/foo) crece para h —> +0 y esta superiormente acotada por el numero r-. Por eso, existen los limites lim > ax -f b («, 6 6 E) tal que Va; £ ]—oc, 4-oo[ se vcrifica la desigualdad f(x) > ax 4- /). 277. Un niimero A £ Hi se llama mnrn'm derivada segunda de Schwartz, de una funcion / en un punto x, si 3 (£„) tal que liin £n — 0, en > 0, y X - lim 4- (f(x + e . ) - 2f(x) + fix - f „ } ) . n—x " Demostrar que si todos los numeros derivados segundos de Schwartz de una funci6n continue / son no neealivos. esta funcion es concava. ((J) — 1, entonces p9 < 0; por consiguiente, la funcion p(tp) decrece (fig, 46). •
sen y para n
oo.
para 7i, —< oo, lo que dcmuestra la igualdad (2). Suponiendo x = 0 en la igualdad (2) obtenemos e"J = cos y + i sen y.
(3)
At sustituiren la ultima igualdad y por - y, tenemos e'iy I )e las igualdades (3) y (4) hallamos
— cos
y —% s e n y.
(4)
118
<\i|NluloL Inlroiluttiuii j l jMjIisis rcicitiH .n ol supremo y til inffmo de Ja funcion f : E —• F cspccifk:;ul«i [)o(oimiiun los puntos y £ E (si ellos existen) en los cuales f(x) /to)
contuutacitin sup {fix}}
inf{/(x')J.
IS
K
91. f(.c) =••
| it | ^ 1. 92. /(*) =
J—l, 1[ \ {0}. 93. /(x) --=x2,l
99, Determinar la oscilacion de la funcion f(x) = a) I10- 7 ,l(r 6 [;
b) ]10-"" i ,10™ B [;
c) ]KT\ lO^f;
d)
107[;
e) ]10", 10B+1[.
100. Determinar la oscilacion de la funcion f(x) -- sen ^ en los intervalos:
[; b ) l 40JT ' 39?r b o ] 27J7T + 7T T W A T Demostrar: 101. (1 + = 1 + nar 4f o (x2 ) para x 0. 102. x + cos x = 0(1) para ar 0. 103, e ^(1 + x~l)x = 1 - \x~x + 0{aT 2 ), ® ^ 2. 104. (l + a? + 0(x'x)Y = ear* + O^'" 1 ) para x 106, a)
^ l + o (ar), a?
oo. 105. (ae 2 * - ")* = O ( e ^ ) , k > 0.
b) o(f(x) • g(x)) - o (/(a?)) • O (
0;
107. y® = ffi^ -j- 1 y^xjj n(x - Xfj)-ho(x - Xq), X -+ Xq. Hallar los limites: frTT*-^ 11)8. lim v J I g j a M ^ , 1 0 9 , l i m m
www.fullengineeringbook.net
111. Um .sus^-.
112. lim
s l t t͑
rt
Ω
ΣΥ͑
113. lim
1 . 115. lim 116. lim E sen
nt
]im
(
„
ͺ͑
.
Ξ͑
> 0.
͑͠
t - 1 V p 6 Ff.
117. lim n (l + i^r), P € N.
Jh]
118. Demostrar las desigualdades:
n n 1 1—r x yr—^ - — ^ 11 v < ^ a;*; A-l donde xk > 0, 0 ^
n
^ 1 (A: = T, rc), E
~
119. Sean: 1) 0 ^ \kTl ^ 1; 2) £ Aj^ = 1; 3) lim ABt - 0 Vfc fijo; 4) arn > 0, n G N; n 4=1 n 5) lim xu — L Entonces lim
Hallar los lfmites: 120. lim
1 2 1
tfj
.
T-+-
124. lim ( i i f ) ' . X — » X
™
I i m !
W
I22.limr:l™-1.
j: —>IJ
125. lim, 03
J-'X.
Inflfa1)*
l
126. lim' VI f I ' ^ l )
c
123. —
h
Um ( ) )
i ^.
'(K (nuliniiidad tit- una I tntcinn Hallar f ;-: Jim /(;r) y h H »iv
lint J'(.i:) ,si: tl "V
l.!7. f(x) sen* \ cok(:iV.!) I2B. f{x) seiv
+
+sen z a:.
132./^) =
! ^ .
§8. Continuidad de una funcion 8.1. Definicion de continuidad dc una funciun X C IK, se denomina amtinua en un panto Definici6n 1. Una funcion / : X —> i'o C: X si se cumple una de las condiciones equivalentes: 1 ) V £ > ( ) D<5 > 0 : (V® € X)(\x - aru| <6)=>
| f(x) - f(xQ)\ < t;
(I)
2) sea (a;„) una sucesion arbitraria de valores xn £ X convergente al punto a."(; si n ca, entonces la sucesidn correspondiente (/(a;,,}) dc valores de la funcion converge a /(®fl) si n —«• oo; 3) lim f(x) =2 /(xq) O bien f(x) — f{x$) 0 para x — Xg —> 0; •I-'^Xu 4) Ve > 0 3 6 > 0 tal que /(]x () - <5,ffu+
C J/fa-'n) - €, f(x0) + c[
www.fullengineeringbook.net 0 bten, que es lo mismo,
/ : ]x0 - S, x0 +
-1 |/{;co) ~I(xo)
+ «[•
1 Je la dcfinicidn de continuidad de la funcion f en el punto a:u se deduce que lim /(*) = /( lim a;}, Dcfinicidn 2. Si una funcion / cs contitliia en todo punto de un intervalo Ju, (>(, la funcion / se denomina continua en este intervalo. IK) se llama continua en i'l Definition 3. Una funcion / : ]a, a:,]] —* fi (/ : [xa, b[ punto a;0 por la izquierda (por la derecha), si se cumple una de las condiciones equivalentes; 1) Ve > 0 5 S > 0 tal que la desigualdad (1) es valida siempre que Xy - <5 < x ^ a;,, (a;,i x < + 6); 2) sea (»'„) una sucesion arbitraria de valores x„ € ]«, j; 0 ] (:r„ 6 [:cu, b[) convergente al punto x0, la sucesioi; correspondiente (/(a;,,)) converge a /(a.-0); 3) lim (f{xo+0) 4)
f{U
"II
f(x) - f(xn) ( lim f{x) = /(aj 0 )) o bien, para abreviar, f(xa-0)
= /(»o)); Ve > 0 3 S >
\J! — I j II)
0
tal
/
— /(.To)
q u e
- 6, stnl) C ]/(®o) - er f(xa) + e[
(/([a*, x0 +
C
~ e, /(x 0 ) r eft.
Una funcion f : X —* % es continua cn un punto interior z<\ € X si y solo si la luncion es continua en este punto por la izquierda y por la dcrecha. Teorema 1. Si una funcion g:T—*X,TcR,XC 3R, es continua en un punto la t T, y una funcion f : X R es continua en un punto x0 € X tal que xa — g^u). In funcion compuesla f og i T —» R es continua en el punto 11).
l/t)
( ajnlnln I. InliniJtict iriii af iiiiitliMM
Scan J : X • K \j /jj/ywccs, las funciones
T e o r e m a 2, :/: t i
(.: >V,
f -I-
// : A
> Jtt, Ar t
f fg y -
IR,
m/tf/Mrtra (.7/ «//
^ 0,
l J
sort co/ifzuHos ch el punto x{), Todas las funciones elementales son continuas en su dominio. 8*2. Continuidad de funciones vectoriales y de matrices funcionales Definicion, Una funcion vectorial x
continua en un punto
f(#), f(:r) = (fi(x), - • -, /«(#))/ ® £ X, es
E X, si lim f(a?) =• f(ar0). J? H1P(>
Una matriz funcional x — i > A(x), donde A(x) = (&ij(x)), i — 1, m^ j ~ 1, ft, es
continua en un punto xq E X si lim A(x) — a?—i•£() Una es continua Una si en dicho
funcion vectorial f es continua en un punto a'o E X si y solo si en este punto cada una de las funciones x i—^ fi(x). matriz funcional x ^ A{x) — es continua en un punto E X si y solo punto son continuos todos los elementos de la matriz x i—» &ij{x)f i — l , m ,
www.fullengineeringbook.net
3 =17H. 8,3, Puntos de discontinuidad de una funcion y su clasificacion. Puntos especiales de una funcion Definicion. Si una funcion / : X —> R no es continua en un punto x$ E X f se dice que dicha funcion presenta una discontinuidad en este punto. En tal caso, el punto Xq se denomina punto de discontinuidad de la funcion /. Los puntos de discontinuidad de la funcion / se clasifican del modo siguiente: L Sea a ; 0 G l t i n punto de discontinuidad de la funcion / y existe Hm f(x), sea IEJ '-SJ^
finito o infinito, entonces:
a) si lim f(x) es finito, x$ se denomina punto de discontinuidad evitable de la u;—*l!x funcion /; se denomina punto de discontinuidad de tipo polo, b) si lim f(x) = oo, 2, Si lim f(x) no existe, el punto
£ X sc llama punto de discontinuidad esencial
de la funcion /. En este caso: a) si existen los limites finitos siguientes f(x() - 0), f(x$ + 0) (J{XQ ~ 0) ^ fixo + 0))/ el punto X[) se denomina punto de discontinuidad de primera especie de la funcion /; b) todos los demas puntos de discontinuidad esencial se Ha man puntos de discontinuidad de segunda especie de la funcion /. Dado que en un punto aislado x0 E X la funcion f : X R es continua, solo los puntos limites x E X pueden ser puntos de discontinuidad de /.
ijti i 'tmliiumlad dc una luui'iini H.4. I'ropied.idcN limtlamen tales de las funciuncs continu.is DefinkUn I. Una luncidn / : [a, il£ se denotniiia continua en ol sogmonlo |K, hi si es continua en el intervalo |e, b[ y si es continua pur la derecha en
Utilizando el procedimiento de los intervalos "e—6" demostrar la conlinuidad de Li-- luncioncs siguientes: a) x >-* ax + 6, a ^ 0, x G iR;
b) x >-> x2, i G E ;
c) x
d) x i-»- JS,
e) x t—> Jx,
f) x>~* sen X, a; € Hi;
x > 0;
x 6 E;
x3, x G IK;
j;) x »-* cos a:, x £ l ; h) X t-* arctg a:, x E K. Solucidtt. a) Sea £ > 0. Para todo a^ € R fijo se tiene
www.fullengineeringbook.net \n.x + b - aa: 0 - t>| = (o.| j® - Kcl < e ,
si [a; - cp0f < — = 6.
b) Sea e > 0 y sea % € R. Entonces
\x - Xq\ = |{aj - Za) + 2x (x - ar0)| < ]x - a^j2 -f 2[%( |a: - x0| < s, 2
2
0
'.1 |a: - x0\ < v'Jx'ot'- + £ - |x0| - 6. c) Elijnrnos 0 < s < 1, Se tiene que la;3 — .t,)| = |a;2 4- a:a: 1) y
-6.
> 0, | a; — a:o! A)
= -si f;R - a:()| < e) Para todo 5 > 0 y i l , E i \ {0}, |x - xQ\
[a; -
I. Sen
I1
(',i|>iliilo J. Introduction ,iJ au-dlrtiu
i.
J • .} • }
La ronlinuid.ul tit1 la funcion on el punto y/\x\ < c, quo se verifica para f) Para todo e > 0,
0 so deduce dirrclanu-nlr de la desigualdil = 6.
<
_ a; x 42 sen — - — cos 2
sen x - sen
£ 2
2
x Y
- |a? - ®o| < £
para \x — | < <5 = g) Por analogia, cos x - cos a?o
- 2 sen
x
x + x0
Xq
2
— sen —
2
< \x - xQ\ < e
para h) Sea
> 0 y
h
t
i
'
-
y
'
— \x - #0| < l^ol* Si arctg .
.
-
h
* i
i . I
^ 'tg
c o m o
para
7T
<
arctg (ar0 + h) - arctg xq\ - \t\ < |tg t\
si La continuidad de la funcion x
\h\
X
+ h) --- arctg xq — t, entonc
^
reSLllta
k ˍG
ˍ ˍ ˍ HG
ˍ
^mG
ˍ H ˍ ˍ ˍ ˍG
\h\
ˍ ˍ ˍ ˍ ˍ ˍ
14-
hxo
< X R xl -
££G£W£
1. 4- Fol £
arctg x en el punto x — 0 se deduce de la desigualdad
arctg x — arctg 0| = jarctg *
• ! •
•
!
•
| •
www.fullengineeringbook.net
i) Estudiar la continuidad de las funciones siguientes: 2 5 0 . /(*) = ( - 1 ) L Solucion. Sea
:!' -Wt+ff I x — ic/4 + 7T1 * J (cos x 4 sen x) + 2V2
x
•
7T
r
••
i
11 •
11 •
7T
_
n , entonces x E [(n - 1)tt + j , mr + | [. La restriction d 7T la funcion / a cada uno de los semintervalos [(n - 1)7r 4 nir 4 ^ [, n E Z, • i
ar
(-l) r i (cos a? 4 sen ar) + 2V2 n
(i> i
es continua, Queda por comprobar la continuidad de la funcion / en los puntos mr 4 7 , n E De (1) hallamos 7T 4 2V2 n = V2 {In 4 1) mr 4 lim (—l)n(cos £ sen 4
n
l)ir +
7T 4
( - 1 ) " ^cos
7T
sen ( ( n - l ) r + 7 ) )
+2v^{n-l)
(2)
Si en (2) se substituye n = n + 1 f se obtiene n*K +
= (—l)fii 1 Tcos (nit + | ) + s e n (nx + J
2V5(n + l) = V2(2» + l).
Asi pues, en los puntos n?r + n E Z, los valores de la funcion / son iguales a sus valores limites por la izquierda correspondientos. Por eso, la funcion / es continua en cada uno de los puntos niz -f n E Dado que la continuidad de la funcion en todos los puntos intermedios ha sido establecida anteriormente, Ilegamos a la conclusion de que la funcion es continua en toda la recta numerica.
fill ( l»itlinuid<)d tli- iin.i linit idti 2 5 1 . /(at) ^ arctg
In j
11
/ wt
f (tw l
m, n C %, x r R.
Nttliiciun, Si H y / UX + u £ Z, se tiene x € ] nn - f , > tir ! * [. I,a i i'!i|rieciun de la funcion / a cada uno de los intervalos J n% — \ , nn -]• " j, n (• Z, cs una litiii'ion continua tg3 x i—* arctg —pr + nx. v2 UUi-da por demostrar ia continuidad dela funcion / en los puntos Jix-b n £ Z. lenemos j
+
o)
+
* I ).• este modo, / (nw +• | loulinua en R, •
(arctg ^
+ mr) = fl*- I-
§
+
^
0) = / (?i7i + ~ + 0) V?i 6
2 5 2 . f(x) - [x](|a;J - ( - i f 1 cos™),
y, por tanto, la funcion / es
a; 6 R.
Knlueidn. Sea \x] — n, entonces n <_ x < n + 1, rc £ Z. La restriction dc la funcion / a lu!< semintcrvalos [ j i , n +1[, n £ Z,
www.fullengineeringbook.net a? i-v
— ( - 1 ) " cos ?ra:)
continua. Dado que el valor de f(n) - n(n - 1) es igual ai valor limite por la izquierda fin y) — lim (n 1)(n - 1 ( l ) " - 1 coswa?) -- n(n — 1), la funcion f es continua en x in fl i-onjunto R. • 253.
f(x) ^ [x], x e r .
Solucion. Si k < a; < k + I, k £ Z, se tiene [x\ -- k, y, por consiguiente, f cs continua. Si a.'o — k, entonces f(k) = k, f(k - 0) = lim [a:] = k - 1, es deeir, la funcion / presenta jt—k-13 iin.i discontinuidad en xq — k, k £ Z. • Determinar los puntos de discontinuidad y analizar el caracter dc estos puntos para las funciones siguientes: 254. fix) = ^ f - ^ r x / - l , H - l ) Solucion. Se tiene
x |tor consiguiente, x ~ 2 5 5 . f(x)^
1 \
lim
1-0
f(x) = —oo;
lim
x—14-0
/(a;) = —oo,
'
cs un punto de discontinuidad dc iipo polo. , x e r \ { - 1 , 0 , 1 } , / ( - i ) = /[o>= /(i) = o.
I :m
t'jiprlulo J. Inlioifuttion al .malisis
M Solucion. I'or ser elemental ki funcion / es eonlinu.i para x (• Hi \ { 1 , 0 , I}. Dado que lim
f(x)
X lim -> - h L ( ) x H- 1 •m .
K
lim f(x)
lim
lim f(x)
lim
-
- -
"f oo;
l,i
x 1 X+ l
1;
ar- 1
0,
x-A X + 1
x ~ — 1 es un punto de discontinuidad de tipo polo, x = 0 es un punto de discontinuida de primera especie y cn el punto x — 1 la funcion / es continua. • 256.
f(x)
cos2
/(0) = 1.
3s
Solucion, Sean xn no obstante, f{xn)
«7T/ Vn 1 y f(yn)
2 (2n+
n E N, entonces xn —* 0, yn — 0 para n 0 para n oo. Por consiguiente, lim f(x) no existe t
£->0
x = 0 es un punto de discontinuidad de segunda especie. 2 5 7 - f{x) = arctg
x £ 0, /(0) ~ 0. — e), de dond
Solucion, Sea e > 0 arbitrario, entonces existe a?o > 0 tal que ~ > tg L!
e. Dado que la funcion arctg es creciente para 0 < x < xq, con mayor razo 1 tg ° -xit > 2f arctg ~ > f es decir, lim arctg ^x 2*
www.fullengineeringbook.net 1
.
=
-
De una manera analoga se demuestra que lim arctg ~
f . Por consiguiente
x — 0 es un punto de discontinuidad de primera especie. 258.
f{x)
l , a? ^ 0, a ^ 1, /(0) = /(l) - 0. 1 - e 1- r • Ml I
< Solucion, Tenemos X
lim
£->±0 I
1 1- x .,• — lim j: eI X—»i0 I — (9 1-;. x
es decir, ar — 0 es un punto de discontinuidad de tipo polo. Ademas, lim ——-j- = 0, tf^l-0 l — e1 J-
lim
1 -o \ — e i —
por lo cual x = 1 es un punto de discontinuidad de primera especie.
•
2 5 9 . f(x) = x[x], x E K. 4 Solucion. Si = rc, resulta que x E [n, n 1[ y las restricciones de la funcion / a los seminterva los [n, n -f 1[ nxy x E [n, n + 1[ x son continuas Vn E
Dado que f{n) — n
t
f(n - 0) — lim {n - l)a? = {n - 1 )nf resulta
que los puntos x = n son puntos de discontinuidad de primera especie.
•
jiII ('milinuidad do uim fiiiwiiin 2 ( ) 0 . /(®)
Jx|JttMl AX, :r I IK.
4 Solucion. Sen [y:J — u, entonces u [ « . » I If xi-m fiim
!.>'.
x < n | I v las reslrieekmes de la funcion / a
sen 7TX, x € [n, n + I (,
I'onlimtas. Queda por demostrar la continuidad en los pnntos x — n, n f(n) — nsen irn = 0,
7L. Tenemos
0) = tc lim -'H-0(n — l)*^en 7rx = (n — 1) sen irn — 0,
f{n
i-> decir, f(n) = f[n — 0) y la funcion / es continua en R . 2 6 1 . f(x) = x[^\,x^Ql
G
•
f(0)=l.
4 Solution. La funcion / es continua en cada uno de los semintervalos
< x ^
w i Z \ {()}, puesto que sus restricciones x
nx a dichos semintervalos son continuns.
Ademas, / ( ~ ) - 1, / ( - + 0 ) =
-
lim x
por lo cual en los puntos x •-• '
ip 1 'A \ (0}, la funcion / presents una discontinuidad de primera especie. Examinemos la desigualdad 1 1
www.fullengineeringbook.net i|iie se verifica para x
~ J", n £ N. Si n —+ 00, entonces x —+ -! 0, v dc (1) se deduce
line lim f(x)— lim x HI Si [ I ] = - n , entonces - t t ^
-11 +1 '>i n
00, entonces x
< - » I I, < * 1 ] < ixl
-n
- 0 , y de (2) hallamos que lim f(x) -- lim x ^
— 1. Ue cslc
modo, /(E)} — /(+D) = /(—0) — 1, es decir, en el punto x — 0 la funcion es continua. 262
K
fix) / sen rsr.i1: para x racional, • JT J — S 0 para x irrational,
4 Solucion. Sea xt) 11, n £ h, un punto arbitrario. Sea (ar„) una sucesion de numeros i.«ionales convergente a aij y (£„} una sucesion de numeros irrationales que converge al punto a-p. De las igualdades lim f(xn) = lim sen vxn = sen 7TX0 / 0 y lim f(t„) — 0 se cc 11-+0Q n - *rt> deduce que lim f(x) no existe, es decir, Xq es uri punto de discontinuidad de segunda 1'specie. Si % = n, ft 6 %, tenemos f(x0) ~ /(«)| ^ I sen irx\ = |sen(7m + ir(x - n))| — |COS JT'ft sen T\{x — m)| == |sen Jr(x — x())] < 7r\x - !ru| < e, siempre que \x — »Q| < J = 6. Por consiguiente, XQ = n son puntos de continuidad dc la funcion /. >
< ',i|'iluln L JntrndiKiidii al analisiH
>
2 6 3 * I Vnmslrar que Ja fumioH th* Ricnttwn i donde m y n son numeros primos on fee si, n si x f(x) 0 si x es racional cs discontinua para cada valor racional de x y continua para cada valor irrational de x t • ana
Solucion. Sea x{) — ^ un numero rational, por lo tanto f(xo) — Es evidente que lj / n»+l ion \—— de numeros rationales converge al punto sucesion x'o para n oo. Dado qu| l im / ( ny+l - 0, todo punto rational ^ es un punto de discontinuidad. nq Sea a un numero irrational arbitrario y sea — ^^M una sucesion arbitraria d numeros rationales que converge a dicho a. Entonces lim qn — oo y 71—+OO lim ™
lim / (at,i) = Hm / 1 P n fi—tOO Ti—+00 \ Qn
n^oo qn
0 - /(a)
Puesto que f(x) — 0 para x irrational, la igualdad lim f(xn) = f(a) — 0 es valida par
71—>OQ
cualquier sucesion de terminos arbitrarios que converge al numero irracional a . As pues, la funcion / es continua para cada valor irracional de x,
264.
Estudiar la continuidad de la funcion TI i X si x es una fraction irreducible T* \x\ si a? es un numero irracional.
n > 1,
www.fullengineeringbook.net
Solution. Supongamos que x$ es rational, es decir, xq — ji n ^ 1. Segun las conditioned fcra+1 + m del problema tenemos f(xo) oo y n ~ x$ para k tf+i Dado que xk hi i = <« / lim f(zt) = lim f(xo), la funcion / presenta una discontinuidad para • ••• • •
ti
f
^
n + l
todo valor racional del argumento. Sea ahora Xy irrational y sea (a?*)
nk
una sucesion arbitraria de numeroS1
rationales convergente a xq, Entonces lim |m&| — oo, lim \nk\ — oo y
k -' (X)
Ji—TOO
Bjl
Hm f(xk) = lim
h >oo
fc-*oo
71 fc 1
lim h— O -O 1 1
si ®0 ^ 0, -\x0\ si x() < 0,
= f&o)
De aqui se deduce que la funcion es discontinua para los valores irracionales negativos del argumento. Si xk -5- X() para k ^ oo, siendo x^ 5s 0 numeros irracionales, se tiene
lim f(xk) = lim \xk\ - \x0\ = /(a?0).
h—>oo k—> oo Asi pues, la funcion / es continua solo para los valores irracionales positivos del argumento. • 1 I II l.MM
1
1
2 6 5 . Sea / una funcion continua y acotada en el intervalo ]x 0j +oo[. Demostrar que para todo numero T existe una sucesion xn —-boo tal que
Hm (f(xn + T) - f(xn}) — 0.
ri—»oo "
r
'["
< 'oiiliniiidad d c u n a tunc Inn
I'.'/
| Solution. Sea '/' > (l arliiltiino. lisiudiemos la difntvurw f(x \ T) fix). Jinn ponibkw itn'i ciusns: 1) existe un numero linilo x' > x v tal que el signo tie ia diferencia f(x -| 7') fix) in- ui.miiene constants V;r ^ x ; 2) para todo E xa existe un x* > B tal q u e f(x* + T) - f(x') — film el primer caso la sucesion (f(x' + nT)) es monotona y acotada, por lo lanto I'Miilf un limite finito lim f(x' + nT) — I, de modo que If—>cx> lim ( f ( x + (n + 1) T)
f(x
nT))
m1 - / = 0,
xlemto x,t = x' + nT —> +oo para n oo. En el segundo caso existe una sucesion infinita dc valores de qui* r.„ -f-oo para »—>oo y f(xn -f T) - f(xn) = 0, es decir, lim [f{xn It —*00
+ T)~
x, x > xa,
tal
0.
f(x;l))=
I I >*aso T < 0 se reduce al caso va examinado realizando la SUStitucion x + T — t. 2 6 6 , Sean tpy ij> unas funciones periodic as con turn as definidas para x € IS que satisfneen l.i i tindicion
lim (
= i>{x), x € R .
| Solucion. Sean Ti el periodo de la funcidn
www.fullengineeringbook.net [fit)
-
= M>
».
(1)
Sea 0 < s < ---. Por scr la funcidn <{> conlinua en el punto x = t, para dicho e > 0 t'M'.le un 6 > 0 tal que Wit) - f i t + h)\ < £ ,
(2)
|/(| < j5. Segun las condiciones del problema, existe un numero natural k tal que y(/ [• kT2)
- i>(t + ftr2)| < e, luego Vm g M tenemos + mkTz)
(3)
- ipit + mftT2)\ < e.
Inniando en consideration el caracter periddico de las funciones
-
+ pit + mkT2)
- ib{t + mkT,)\
« \y(t) - (pit + m&jT2)| + \ip(t + mkT2) = \
-
+ [fU + mkl't)
<
- ip{t + mkT2)\ - i>{i + mkT2)\
= < e
c - 2s,
(4)
•a Ill valor de £ que hemos elegido es tal que 2l < M. De este modo, la desigualdad (4) tradice la igualdad ({}. Esta contradiction se debe a la hipdtesis de que existe un punto t. en el que \
Y'(tf) =
2H
{ iipilulo J. Inh'ocluifi
Si 7 2 y T\ son rationales, esto ok evidon(t\ kT. Scan 72 y 7'j irracionales. Introduciendo las notacioncs 7', la desigualdad (5) en la forma
I *r e,
a, escribiremd
|ml — n\ < a.
(i
Para demostrar la ultima desigualdad, dividamos el intervalo [0,1] en + partes iguales ([a] es la parte entera del numero a) de Iongitud t , y a cada uno de loj intervalos parciales le asignemos su extremo izquierdo y no el derecho. Corisideraremos el conjunto de numeros siguiente: o, / —
2/ — [21], 31 - [3i],. ..
s
n ( : +1 LaJ
I
F
+ i
cada uno de los cuales pertenece a uno de los intervalos parciales construidos. Dado que 1| cantidad de los intervalos parciales es [ j ] + 1 y la de los numeros (7) es igual a -f 2j existe/ pues, al menos un intervalo que contiene dos numeros
pi - [pi] y
ql- [ql],
p < q,
del conjunto (7). Ademas, ya que la Iongitud del intervalo es igual a
L J
la diferencii
f.k
entre los numeros (8) es inferior a esta Iongitud, es decir, If* - [ji] - pi + [pi]I = I(q - p)l - {[ql] - [pi])f <
1
i
i •
www.fullengineeringbook.net a
Designando q — p = rn (m > 0), [gl] - \pl] — nf y sustituyendo los valores de I y obtenemos kT m— 2 n < —, o bien \rnkT2 - nTi \ < 6. Tl c
!••• I
l_
2 6 7 . Demostrar la igualdad arcsen x + arccos x ~ ^ Solucion. Tenemos
Tv , 3ir — ^ arcsen x -3- arccos x ^ —
Dado que sen(arcsen x + a r c c o s = 1, resulta arcsen x + arccosx — K 4- 2k?r. De esta; igualdad y de la desigualdad anterior se deduce que A; — 0,
268.
Demostrar la formula para la adicion de funciones arcotangente: arctg x -f arctg y = arctg
x+y 1 - xy
donde e puede tomar uno de los tres valores 0 , — 1.
i
< Solucion. Tenemos tg (arctg x + arctg y)
a?-I-y 1 — xy
tg (arctg
~
x-\-y 1 ~ xy*
por eso arctg x + arctg y = arctg
x + 1y
—b en
a)/
j.|H ( imliiHiuLnl dc ((ii.i ftinelnit f
Dado ([III' |iil,l,;:r: | ilft'tg y\
-mildo E &
l."'
( i i r . % * 1 ^ I ilf\
JI, y |aj*lg
| •,
vemos que E puede lom.ii solo Ires valores: 0, I, —1. Al ciileuliii' los eosenos do amhos iiiii'inbros de la Igualdad (I), oblcnemos I I ••••• ••••• • —; 2 Vl + X ^i + y*
x
y I : • ••••; —— — _ vTTF y / T - \ J i + ( f ^ f
COS 67T,
ill* modo que _
y/(1 4-X 2 ){1 + y2) _
1-xy
~ v^TT^joTipj'
H -
l-xy
_ f
" u - m
~ \
1 ~1
si
xy < I,
si
xv>
For consiguiente, la funcion (a:, y) E(X, y) tiene una discontinuidad si y donde x es un numero fijo arbitrario. Cabe setialar que si xy < i , se tiene e —0, mien Iras qui- para xy > 1 se verifica e — ± 1 (puesto que e puede tomar solo tres valores 0, I, - I). Scan xy > 1 v x > 0. Entonces, y > 0 y arclg x > 0,
arctg y > 0,
y
arctg
jj
fj — < 0.
1 — xy
i n el primer miembro de la igualdad (1) interviene una funcion positiva continua, por lo m i.i I en el segundo miembro tambien debe fig mar la funcion positiva y, por eso, £% > 0, es dear, c = +1. Analogamentc, si xy > 0 y x < 0 (y < 0), resulta que e = —1. •
www.fullengineeringbook.net 2 6 9 . Estudiar la continnidad dc la funcion vectorial
i s ! ] ,
\
x
x
x
^ o ,
J
f(0) = (1, 1, 0). 4 Solucion. Para x / 0 la funcidn f es continua, puesto que sus coordenadas son continuas | him estos valores del argumento. Ademas, lim f(x) = (lim x—0 0
X
lim e I - '0 X
lim - — — ) = (1, J. (J). X—IS X )
1'iir lo cual la funcion x >--> f(x) tambien es continua para x — 0,
•
2 7 0 . Estudiar la conlinuidad de la matriz funcional A(x) 4 Solucion. Dicha matriz funcional es continua en IK, puesto que todos sus elementos son liiticioncs continuas en M, > ^ 1 jcrcicios [\studiar la continuidad dc las funciones siguientes: l,U f(z) = ;ircsen x, |a:| ^ 1.
134. f(x) = arccos as, |a;j
I H>. f(x) = arcctg x, x £ !R. 137. f(x) = i m . /(r) l^li*!, x > - \ , x m , /(0) - 0,
I.
j + 0, /([)) == 1.
135. f(x) - arclg x, x € !R,
tapHiilu J. IntnulilirjiMi al aiirfliulr*
:mj
ar /- \ \-kir, f (£ I Ar/r)
139, /(ar) .: ardg
\ x
sen df, ar € Q; 0, a?Gl\Q.
144, f{x) = ^ arctg ^
9$
x ^ | | Arvr, / (§ 4 Att) - - 0, k £ 25. 141. /(a) f- M,2
140. /(ar) - sen ar arcsen 142. /(or)
i), k (
143. /(ar) = ( - l ) [ I ^ ] ( s e n x + cosx) + 2v/2 [ ^ E ] , are
+ § sgn ar, ar £ 0, f(0) = 0. 145. /(ar) - -
146, f{x) = [ar] In or - ln([ar]!), ar 5> 1. 147. /(ar) = -ar 148. /(ar)
ar - [ar], ® e Q, 0, sen x ar < 0,
y
M>U \x\ ^ L
^+
1
+1+£ ++ t
t
t
+ SJT'
>
® e ]0, l].
149. fix) = [ar] sen srar, ar € K.. <1+3)^-1
ar > 0, a? -f :1, a: ^ 0. V2 + ar ar < 0. Determinar los puntos de discontinuidad y analizar el caracter de los mismos: 152. /(ar) = sen \ 9 j x #"0, /(0) - 0.
150. /(ar)
x
>
151. f{x) =
153. fix) = arctg t/2 +' tt " L 2T , ar ^ f + ror,/ ( | + nir) - 0, n 6 Z. 154. /(ar) =• arctg3lg(*/2)+l « ± (2n + 1)tt, /((2n + l)sr) = 0, n € Z. VS + ar £ ±1, /(±1) = §. 156. /(ar) = tg2a-21tg— * ^ § + l M r , / ( f + 157. fix) - tg ar, ar ^ f +fcar,/ ( f + kw) = 0, A € Z. 155. /(ar) - arctg
tar)=0.
www.fullengineeringbook.net 158. /(ar) = arcsen (sen ar) arctg
ar ^ rtt, /(nx) = 1, n € Z.
159. /(ar) - In arcctg ar ^ 0, /(0) = 0. 160. f{x) - tg /(0) - 0. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones vectoriales: 161. f(ar) = (cos a;, sen a?, 1), sen X x sen X . sen 162. £(x) (1,0, ...,0), ar =-0. ( S ^ l a l . c o s s ) , a; ^ 0, 163, f(ar) (1, 0,1), a? = 0.
(
164. f(ar) = ( mV2).
7
7
fH-2a;)/2-l x
X
(t f-mx^-l) si ar e ]-l,+oo[\{0} y f(0) = (V5, 2\/2, * -.
*J
165. f(ar) = ((1 + , (1 + 2 a ) * , . . . , (1 + mar)-) si x € J - l , +oo[ \{0} y f(0) - (e, e 2 ,... 3 em). Estudiar la continuidad de las siguientes matrices funcionales: sen x ar 1 1 166, A(ar) =r 1 1 — ar ar € R. 167, A{x) - ([^y ]), a? € K, t = 1, m, i = l,n \ cos x 168. A(ar) = (fly(a)), donde a^ar) = (1 + «ar)* ,1 = 1, m, j = 1, n# ar e J—1, oo[ \{0} y A{0) = i-i^
169. .4(ar) = (<3.^(3;)), donde ajj(x) 170.
1 ji(ar) ^
x j= 0 y A(0) - £
1 4-
0
0
1
0
0
i
-ft
i
*.
4
-1
1-
»
0
0 X
u
\
x
7
A(0) =
f
J|*>. < 'iiultiiuliliiil uniforms §9.
Continuiilad
urn fnmUm
uniforme de una
l.'l I
funcion
9.1. Definicion de ctinlinuidad uniforme Definition. Una funcidn / : X --> K se dice que es uniformemente continua en cl Hiiijitnlo X si V e > 0 = t t > 0 : V x , j / € X A l a ; - y l < f i = > |/(a?) - /(y)| < e, Si una funcion f no es unifonncmente continua, esto significa lo siguientc: > 0 V<5 > 0 : Bx,y € X A j s - fll < S
|/(a;) - /(y)[ ^ e.
9.2. Teorema de Cantor Teorema. Si una funcion f : [a, ft) —* R es continua en el segmento |a, f>j, esta en utiiformemenle continua en dicho segmento. 2 7 1 • Demostrar que la funci6n f{x) =
££
x 6 ]0, 1 [ , es continua en el intervalo JO, If,
I >••• 11 no es uniformemente continua en dicho intervalo. i Hulucidn. La funcidn f es continua como toda funcidn elemental. Demostremos que esta un es uniformemente continua en el intervalo JO, 1[. yn = n e W. Entonces Sean x n
P-a
+
.»••—* 00,
ivi decir, la diferencia \xn — yn\ puede ser menor que cualquier numero positivo fijado de anli'innno. Sin embargo, |/(a;tl) - f(yn)\ = |rt + 1 - ji — 1 — e| = e Vs > 0. Por consiguiente, In luncion f no es uniformemente continua en el intervalo j0; 1[. •
www.fullengineeringbook.net 272.
Demostrar que la funcion f(x) = sen ~ es continua y estA acotada en el intervalo
uliicrto JO, 1[, pero no es uniformemente continua en dicho intervalo. | Nolucidn. EI caricter acotado de la fimcion / es evidente, y la continuidad se deduce a piirlir del hecho de que las funciones y t-> sen y, y £ l y 11—> x & JO, 1[, son continuas, j>m' lo cual su composici6n tambi&i es continua. Sean x,< = ^ e n e N. Entonces, J ^ - jfaj ^ ^ J ; , , , , , 0 para a » oo, mientras que \f(xn) — f(yn)\ — I > e Me E JO, 1], For consiguiente, la funcion / no cs uniformemente continua cn JO, If.
2 7 3 . D e m o s t r a r q u e la funcion f{x) — sen a r , continua y acotada en la recta n u m e r i c a Iff, un es u n i f o n n e m e n t e continua en esta recla. I Solucion. F.l caracter acotado y la continuidad son evidentes. No obstante, la continuidad uniforme no tiene lugar, en virtud de que \m») - /(to) | =l>e Va:„ = \/n~7r
y
yn = Jnx
Vs £ JO, 1], +
n £
|ii*sc a que
I«h nara n —* oo.
-y,t
I =ywr
—
2
/mr + yjmr + ~
i:\2
( ii|>iliilo I. Inlindutrlon al
ImIh
2 7 4 . IVmnslrar que si una funcion /. esL'i delimda y es conlhm.i rn un dominio 't* -t'I oo, y, ii tie maw, existe un I finite finito lim fix), la funcion / rs mulormemontti
i i
i n
'
•
t i f
..,
X
continua en dicho dominio. Solucion. La existencia del limite implica que RR> => |/(ar) - /(»)| < e.
Ve > 0 3 £? > a : Va?, yϗ
͙͚͢
Fijemos dkho E > 0 y consideremos el segmento [a, 2£?]. Conforme al teorema de Cantor, la funcion / es uniformemente continua en [a, 2E], es decir, Ve > 0, en particular, para cl € elegido anteriormente 3 6 > 0 tal que Va:, y € [a, 2E] A \x - y\ < 6 => |fix) - fiy)| < e> Sin perdida de generalidad, consideraremos que 6 < E. Entonces, a partir de \x - y\ < 6 se deduce que o bien ambos numeros x e y son mayores que E o bien son menores que IE* En ambos casos, Va;, y > a, de la condicion \x — y\ < 6 se deduce la desigualdad \f(x) — f(y)| < e, lo que establece la continuidad uniforme de la funcion / en [a, +oo[. • • •II II •• I I !•• II • ••••• I I
2 7 5 . Demostrar que la funcion no acotada f(x) = x + sen a? es uniformemente continua en toda la recta numeriea M. M Solucion. Para todo e > 0 se tiene |/(a?) — f{y)| = \x — y - (senx — seny)\ ^ \x — y \ + [ senx — seny
x-y
|+2
x-y
sen — t - 2 - cos
« + 3/
2
ls-jfl+2
2
2
2\x-y\
www.fullengineeringbook.net
para todos los x e y que satisfacen la desigualdad \x — y\ <2£
• • 11
•
•
•
TI
••
•
6.
1—III
Ь
Ь
Ь
2 7 6 . ;Son uniformemente continuas las funciones a) m xZ, x G ]-l, l[; b) f{x) - x2, x € R? M Solucion. a) Sea e > 0 u n numero real arbitrario fijo. Tenemos
\m - fiy)I = k2 - y para Var, t/ £ ]-l)l[h\x
\x + y\\x -
- y\ < ^ =
{\x\ + \y\)\x - y\ < 2l\x -y\<£
es decir, / es uniformemente continua en ] -l7l[.
b) La funcion / no es uniformemente continua, puesto que para xn - n + l I yn = nf n G N, se tiene \xn - Vn 71 0 si n oo, y j f(xn) - fiyn)\ = 2 + ~ > 2 ^ e VeG]0,2]. • ••
I •••!!• ••••
il Estudiar la continuidad uniforme de las funciones siguientes: 277.
=
[_i,i].
< Solucion. La funcion es continua en [ - 1 , 1] y, por esoy segun el teorema de Cantor es uniformemente continua. • • •••• I • I III
• II
IB I I
I
III
I I I I • I I • •• •••••••••• llllllll
2 7 8 . fix) = In x, x 6 10, II.
-n-1 Solucion. La continuidad uniforme no tiene lugar, puesto que si xn = e -n yn n G N, entonces \xn~yn\ = -+ 0 para n oo, y \f(xn)~f{yn)\ = 1 > € Vs e ]0,1],
>
fj'l, I <>ntutuid.id uniforme de una iumidn
279. fix)
XI |»,7T|.
4 Solucion. Considerammos la iuncion Fix) = f(x) para x C |0. tt[, /''(()) — I, /''(?r) 0. I )ado que la funcidn f cs continua en el segmento [0,1], entonces segun el teorema de i .uitor la funcion es uniformemente continua en este segmento y, por tanto, en el intervalo
(I), jr[.
280.
•
f{x) = e" cos
x e ]0,1[.
4 Solucion. Sean xn = ~ ii -* oo. Sin embargo,
e yn =
n G N. Fntonces \xn - yn\ - ^ ^ ^
f/(®n) - f(Vu)| - c'-"* + e > 2
-» ti para
Vtt G K.
I'or consiguiente, la funci6n no CS uniformemente continua.
•
2 8 1 . fix) = arctg a:, x e ffi. 4 Solucion. I.a continuidad uniforme se deduce a partir de que (v.ej. 268) |arctg x - arctg y\ -
arctg * J 1 + xy
^
x - y 1"' | ••-] < \x - y\ < e I + xy
www.fullengineeringbook.net para |a: ~ y\ < 6 —e.
282.
fix) - x sen xr 0 < x < +oo.
4 SoIuci6n, Scan xn — nx, yH — n-K —
n G N, entonces \zn — jfoj = jHf-fl para b -> oc, 1 + * V !/(*») - f(Vn)I = ( « * H- ,1) | sen (»jt + I ) | ^ fwr + 4 ) s e n | = Tt
para n —> oo. Memos, pues, que |/{;t;.,) - /(j/„)| > | V/i > m, y la funcion no es uniformemente continua. • 2 8 3 . Para e > 0 hallar algdn 6 > 0 que satisfaga la condici6n de continuidad uniforme I >,irn la funcidn / siguiente: a) fix) = x2 - 2x - 1,
~2 < x < 5;
b> fix) =
0 < x < +oo.
4 Solucion. a) Tenemos |M ~ Siv)\ =
-2x-l-y
2
+ 2y + i\ = \xz-if-2ix~
g\x + y\ | # - J f | + 2 [ a f - y K ( M + M I
< frl+2)|a;-y\
< 12\x-y\
x-y\
(1)
tiene 0 < tyx < e, 0 < •ifjj < e y \x - y\ < e" = />, de donde se deduce quo 1/(1) - /(y)| = | v ^ - {/y| < £ para \x - y| < e - 6. En cambio, si (1) no sc'cumple, es dear, si al menos uno de los numeros x, y no es menor que e", entonces "
/
I
/
^
>, /".. , n
r, /TT -
,1^1
M
CapiUiln I. Itihodualoii al iinnlisis
lucyo
-f pa ra x
y| < e7t - 6.
x - 2/1 + fan-3y2
+
— y\
< "/j^l
^ . .+
Tl—
1
<€
•
2 8 4 . Demostrar que la suma y el producto de un numero finito de funciones uniformemente continuas en un intervalo J a, son uniformemente continues en dicho intervalo. A Solucion. Es suficiente examinar el caso de dos funciones /, g uniformemente continuas en ]a, For definicion,
Ve > 0 3 Si > 0 : Va, y e ]a3 b[A\x-y\<
6l
Ve > 0 3 S2 > 0 : V®, y € ]a, i>[ A \x - y\ < 62
e - f(y)\ < 2% e - m I< 2
m
m
(1) (2)
Si \x — y\ < 6f siendo 6 = min{$i, £2}/ entonces se verifican ambas desigualdades (1) y (2), La continuidad de la suma se deduce de la desigualdad
f(x) +g(x) - fiy) - giy)| < \f(x) - fiy)\ + \g(x) - g(y)\ <
2
2
que es valida Vie, y G 6[ si \x - y\ < 6. La continuidad uniforme del producto se deduce a partir del hecho de que
www.fullengineeringbook.net
f(x)g(x)
~ f(v)g(y)\
- \f(x)g(x)-f(x)g(y)
+f(x)g{y)-f(y)g(y)\
^\m\\g(x)-g{y)\ si \x ™
< <5, a? £
b[, y G
&I, donde L
<:
+ \g(3/)\\f(x)- f(y)\
sup j/(a)|, Af = sup ^(se)
+ •
2 8 5 . Demostrar que st una funcion monotona acotada f : ]a,b[ —• K es continua en el intervalo ]a, b[ finito o infinite, esta funcion es uniformemente continua en dicho intervalo. i Solucion. De las condiciones de partida se deduce que existen los limites finitos /(a + 0 ) = lim /(«),
fib-
0)-
lim
f{x).
Si a y 5 son finitos, entonces considerando que f{a) — /(a + 0), fib) — fib — 0), obtenemos una funcion / continua en el segmento [a1 b\. En virtud del teorema de Cantor, / es uniformemente continua en b]. Si uno de los numeros a, 6 o ambos numeros son iguales a —00 o -hoc, respecti-. vamente, entonces a partir de los razonamientos analogos a los del ej.274 vemos que la funcion / es uniformemente continua. •
286.
Se denomina modulo de continuidad de una funcion / :
-+ R a la funcion •
donde sup |/(#) — fiy)j, x e y son puntos arbitrarios de 6[ que satisfacen la condicion \x ^ S. Demostrar que para que la funcion / sea uniformemente continua en ]a, b[ es nwncarin \r ciiiftripntp niip lim = 0.
i)1' t (Hitiiitiidiul uniforme do uiui him'ioii
lit.'i
Solucion. Net wit Itnl, Sen iim «>/(#) - 0 . Kntonaw a . i ii We > 0 3 i, > 0 : V®, y € la, b{ A Vt> < 6y Dado que w/(6) =
wf(6) < s.
sup \f(x) —f(y)j, se tiene |r-lf|<
l/(») ~ f(y)\ < £
decir> la funcion / es ttniformemente continua cn ]«, Suficiencia. Sea / uniformemente continua en ja, Ve >()
por tanto
> U : V s , ; v e \aM /\\x - y\ < <5 => f/fcr) - f(y)\ <
Sin embargo, bajo las mismas condiciones paiai x c y se vtrifoa v f {6) - sup
es dear. lim ujf(6) ~ C. 6 ->+0 lijercicios
www.fullengineeringbook.net Kstudiar la continuidad uniforme do las funciones siguientes:
171. f{x) = V a ? T T
173. f[x) -
175. /(*) =
172. f(z) =i/x*\nx,
x, 0 < x < 1.
0<
177. /(*) = ^
a; S R .
ISO. f(x}=e-*\
x € R.
+00.
I < a: < +oc.
174. f{x) - y/x,$
176. f{x) =
-HOC.
~l < x < 0.
178. /(»>=* +in®, J . ^ jt < -foe. ITS. f[x) = xbix, 181. /(»>=
183. f(x) = x cos x, x € JR.
x €
t £ JO, If.
1BZ. /(*) = i * In a-, x ^ 1.
184. /(s) - ar o w * , » 6 [0, *].
185. /(a;) = x3 + x7 + I, x
Capitulo 2 •• • i •
Calculo diferencial para funciones de una variable § 1. Derivada de una funcion explfcita 1.1. Definiciones fundamentals Definicion l r Dada una funcion / : Ja, &[ —» R. La diferencia Ax = x — b[) se denomina incremento del argumento en el punto Definicion 2. La diferencia Af(x$) ™ f(x0 -f Aa?) - /(#q) se denomina incremento del valor de la funcion / en el punto x 0 . Definicion 3. Si existe el limite (sea finito o infinito) ( x
7
x q
€
www.fullengineeringbook.net Af(x0) A rr, a^O Ax }
i m
, ™ /
^
este ultimo se llama derivada (finita o infinita) de la funcion / en el punto Xq, Definicion 4. Los limites (finitos o infinitos) '-<*>=
Ax-^-0 AX
ton
Ax^bO Ax
^
se denominan, respectivamente, derivada por la izquierda y derivada por la derecha de una funcion / (finita o infinita) en un punto En todas estas definiciones el limite infinito se entiende como uno de los sfmbolos +oo o —oo. Definicion 5. Si una funcion / presenta una discontinuidad de primera especie en un punto Xq, las expresiones
f'_{xo - 0) = lim Aa;->-0
+
-f(*o AX
- 0)
f>(xo + 0 ) =
/(«0 + lim Att^fO
- /(»0 + 0) Ax
se denominan respectivamente derivada por la izquierda y derivada por la derecha en sentido ampliado de la funcion / en el punto x{). Debe recordarse que en todas estas definiciones el incremento Ax tiende a cero de una manera arbitraria, En general los incrementos Aa: y Af(xo) pueden scr tan grandes (o pequenos) como se quiera.
r
fj I. I V r i m t i i dc uttji luinii'in I'xplitil.i
I'X/
1.2. KeglaH para cl o.-flt'idti tic derivadas Si dos funciones / y y tieiien dcrivadas finitas para x c |(t, b\, un tun cos: 1) fa | / 4 a 2 y)' <*\f' + a?//, donde or; y a 2 sun cons (antes; 2) (fg)' - fg' + f'u)
3) ( 0 ' =
g(x) / 0.
1.3. Derivada de una funcitfn compuesta Si dos funciones f : u »-+ f(u), ^ : a? t-t tt — ^(ck) tienen derivadas finitas /,', y enlonces {/(^(ss))),. = f'u{tp{x))ip'^. HI submdice designa la variable respecto a la que se i ali ula In derivada. 1.4. Tabla de derivadas Sea x una variable in depend i en te. So verifican las formulas siguientes: I) (xa)' = axa~\ ') n
-
(sen x)' — cos x;
4)
(tgtf-d*'*
6)
'/) (arctga:)' = =
I'i)
(ch:«)'= sha:;
=
senx;
(arrctgs)' = -
10) (arccos®)' = a > D, a / 1, (In atf = l j
(log^y
(cos rr}' =
a> 0,
(rtg'^-sk;
8)
»J) (arcsen w)' = 11)
(a1)' =a*\aa,
2)
12)
(sh * ) ' - ch
14)
(tha;)' -
͚ͧ͢
(arshx)'(|«|)' = sgna!,
www.fullengineeringbook.net I'i) (cth Xf = - 3 ^ ; 17) (arth a:)' = I'))
< 1;
18)
xf-ty
<[xj)"=0, a-^Jfc, & 6 Z . 1.5. Derivada de una funcion elevada a otra funcion Si dos funciones u : x <--> ti(jf) y v : x i-* v(x) tienen derivadas finitas, results ((«(«)) t ( i ) )' = (umf^
(*'(*> in m
)
+
,
m
> o.
1.6. Derivada de una funcidn vectorial y de una funcion matricial Si las components de una funcidn vectorial f : x derivadas finitas, entonces
(/i(ai), f2(x),.
.., fn(x))
tienen
I'ur analogfa, si los elementos de una funcion matricial A : x i-» (
««(») aLtfc)
A' = («l/(a)) = \ n'
n.' Jnt\
a'm(s) \ • • • <*Qn(x) a' (ai\ /
(apilulo
(ViliuJo tliloriMU'iiil para
funcmiH'N
L7. Dcrivada de una funcion compleja de argumento encalar Si w : x ^ > u(x) I- iv(x) y Ins funciones u ; x t—• u(x), v : x i > v(x) tienen derivad finitas, la derivada de la funcion w se calcula segun la formula f
r
.
.
t
w =u H- %v . 1. Determinar ef incremento maximo A a: del argumento x y el incremento correspo diente A/(^0 ) de la funcion / : x »-> lg x en el punto x0 — si x varia de 1 a 1000, ^ Solucion. Haciendo uso de las definiciones 1 y 2 del p. 1.1 tenemos Aa; = 1000 - 1 = 999,
A/(ar0) = lg 1000 - lg 1 = 3.
•
2,
Determinar el maximo valor absolute del incremento Ax, y el incremento cor 1 spondiente A/(x 0 ) de la funcion / : x *-+ - j en el punto Xq — 0,01 al variar x desde 0, hasta 0,001. < Solucion. Por analogia con el caso anterior obtenemos A/(a?0)
Aa = 0,001 - 0,01 = —0,009,
1
1
(0,001)
(0,01)
99 • 104.
•
3.
A una variable x le comunican un incremento Ax en un punto x0f es de x Xq. Determinar el incremento A/(xq) si:
www.fullengineeringbook.net x & f {x) = (x7 sen x} e );
c)
Ax
^1
b) }{x) =
1+x
+% 4— x
»€N-
>'
^ Solucion. Conforme a la definicion 2. del p. 1.1 tenemos a) Af (£ 0 ) = f (x) - f (a?0) =
— ^o, sen x - sen
e
Ax, 2 sen ^
ex») cos(x0 +
, e*»(eA*
£ 4- j./[ x 2+ v4 —Ή 3 Ax 4 Aa; Xq ^ + i (2 + aro)(2 + xQ + Ax) (4 - ar0)(4 - Xq - Aa;)1 n In x" - x0n x" In x In1 sh shx 1 sh X — sh XN 0
b) A/(a?0) - f{x) -
c) A / ( X 0 )
f(x0)
3 2+ x
3
0
X q
Ax ^ 4.
x q
(So + Ax)'1 - x"
In ( l + - f )
2 sh Y ch ( x 0 + • I •••• I MM I M ^m ^m !!••••• Mil •• I I
4.
•••
I
0
II 111 I
Hallar /'(1) en los casos siguientes:
x x+Y
a)
fix) — {x - 1) arcsen
c)
f{x) — cos x -f i sen(x - 1);
i
b)
f (ar) = (arctg ar, 2*, In a:);
d)
/<*) =
X
Ihx
tg x
X arcsen {x
i)
X
{j I. Oriiv.ni.i (if una funcion CXpMVltd
IjIM
: 4 Solucion. Hatfpndo uso do ia definicion 3 del p. 1.1 obleiicmus v a)
,vn f W
b) m
.. m ± As)-/(1) - tlo Aai
A
ton
+
"
=
-1),
= Hm ( « S f f l i £ f c ! 5 * i t
c) /'(I) =
arc,on Ax
r =
i
=
V tg (1 + Ax) - tg I
„
V
„ ( I i 2 J n 2 ) 1); s e n l +
%
arcsen A®
J
\ ^
\ ) '
{J • Nofa. ejemplo que viene a continuacion poi.e dc relieve la importances del hecho dc que on lo iii'litiidon dc la derivada el incremento Ax tienda a eero de cualquier manera arbitraria.
•r>.
Demostrar que la funcidn vectorial sen x, i>{x), e~x' j ,
f : x t-t J icsen donde mx) = < * \ 0,
' n o tiene derivada en el punto x = 0. F « = 0,
4 Solucion. Para que una funtidn vectorial tenga derivada finita es necesario y suficiente i (He cada una de sus componentes tenga una derivada finita. Demostremos que la funcion t/1 no tiene derivada en el punto x — 0. De acuerdo con la definicion 3 del p. LI tenemos
www.fullengineeringbook.net •j #'(0) — lim sen -r—. Ax-o Ax Iii tomamos Ax ibstante, si Ax — no existe.
~
—> 0, ft —> oc, k G N, tendremos sen ~ — sen2fcir - Q. No ^, entonces para k —* oo sen -£- -+ 1. Por tanto, la derivada i>!(0)
ll.iliar las derivadas de las funciones siguientes: ().
f (a) = ( V r 2 + « z V s e n
(cos7'(sen3 4jr 5 )), e " 4 1 ' ) .
4 Solucion. Cada componente de la funcion vectorial tiene derivada finita; por eso, do .ii uerdo con el punto 1.6 hallamos !'(.,) -
( s e n ( c o s W 4 ® 5 ) ) ) ' , (e"4*1}') -
+ - f . * VVTT^
+
+ j l +
, - cos (cos 2 (sen 3 4 s 5 ) ) x tf—7? (v^Tx1)2 V >
x sen(2 sen3 4®5) - 60 sen 1 4® 5 • cos 4a:5 • x*, -12xle~4*').
*
( apilulo 2. ( ^Itulo difeinidal |Mf,i hnuiunes de mi.i variable
I'
4 Solucion. Do acuerdo con o! punto 1.7 Ivnenios
f'(x) -- (sen(cos x)) -f-i(cos(sena;)) — - sen x cos(cos a?) - i cos x sen(sen x) I II I I I I B " ™ • •• • ••• •
•
8.
••••••••
i
sen 2 a? cos 2x sh 3x ch 3x
m
M Solucion. Haciendo uso del punto 1.6 hallamos (sen 2x)f (sh 3x)'
/'(a)
(cos 2x)' (ch
2 cos 2x
2 sen 2x
3ch3x
3sh 3a?
• • • ••••
9.
•
•••
•
Hallar la derivada de la funcion vectorial f :x
^arcsen —7, [ar] sen2 nx\.
^ Solucion, Para \x\ > 1 y x ^ k, k £
{•(x)
f ^arcsen
( M sen 7xx
www.fullengineeringbook.net -1
, ([#])' sen2 7rx +7r[ar] sen27ra?
x Vx2 - 1
X
, tt[X] sen2fl"£
En el caso de |a;| > 1 y x = hf k G Z, examinemos las derivadas por la izquierda y por la derecha de la funcion y : x [x] sen ttx. Segun la definicion 4 del p. 1.1 tenemos j4(*)
[x] sen2 nx .. [k + hhr2h2 lim • •_• — lim 1 r^ — 0. h ar-*kfcQ X - k v
Dado que yf(k) = 7r[&] sen2?r& — 0, resulta y\x) = tt[rc] sen 2ttx para todo x, Por consiguiente, i = , 7r[a?] sen 2ttxj, x > 1. • T
10.
I
I
I-
Hallar la derivada de la funcion matricial i^ fix —
donde an (a?)
arctg a; si sr j sgn a; + ^ si
® 12 0*0 - 021 (®) anrf(x) — larl.
2 are
A
i
si si
a? £ 1
x\ > 1, ^ 1,
\x\ > ? 1
»| I i i n Iv.iii.i tie mill Sniurtm I'xpllillii
I'll
Solucion. lin jiiinn'i* loj^it^ < .ilnikiwis las derivadas dc Ins eleini'iilos do la matrix dada. I'.It.l ;x*| / I y ;):/() li'IM'rtUW
(
2
SI
\x\ > 1,
Wn(x) = sgn u1. I H-ternunemos ahora las derivadas uni later ales de las funciones «y(:v) eri los puntos x --- 1, x - —1 y x = 0: flji+(-l)
= lam A—+o
• = -; 2
ft
ou-(-l) = >m fr-t-0 ft W D = A->+0
—
r
to
a „ _ ( l ) = tun fi-.-o
~-
=2
-f ft
—,
i =
ft
— = +«>;
a ! 2 _ - l ) = lim h—o
2
h
= 0;
www.fullengineeringbook.net (_t
fl„+M>
= Hm
f e-trm ^
=
-2h
+ h
i Utn^
__ i — =
+ h2)(l+M-
h2
+ of/i )}-l) = 0 . 2
De manera analoga hallamos que a' 12 -(l) - 0, fl 221(A) = ± 1 . De este modo, nlitenemos finalmente tt-s / ' ( » ) =J
\ 2®$
ft
2xe~*\l - x7) \ x2)
*»-(! l)>
sgnx ( J \ 0
si
0<|»|<1,
si
\x\ > 1;
/
° . ) sgn® /
«)•
I'orcuanto On_(—1) = +oo, la funcion malricial no tiene derivada finita en el punto x — - 1 . V.n el punto x - 1 sc verifica la igualdad f'+( 1) = f'_(l), por lo run I /'(J) = f\(!) = fl( 1). lin el punto x — 0 las derivadas unilaterales existen pero no son iguales entre si, por consiguiente /'{0} no existe. • i t
Demostrar que si las funciones «y = ay (x), i,j -- I , tienen derivadas fin it <15, l,i derivada del determinante D (x) = det (<(tJ(a:)) puede caleukrse mediante una de las [lirmulas siguientes:
I <12
i\i|>iliilo 2, < ^Jrtj|(» diforcnrhil «i„(iif)
I?(x)
p i i n t
Itiiit ioiH1^ de
M
•
F A I
-
+
k
)
j
1
I
t
t
a2i(x)
V-
(1
J
*
a\k(x) ...
fl-nfap)
D'(x)
variable
i
f!„i(x) an2(x)
tt2i
I
ihi*i
£
1
I
>
ata(®) 02n(®)
(
•
fc=l
<*»i(ai)
»
»
*
*
͙ͣ͒
*
4
Solucion. A partir de la definicion de determinante
D(x)
<*n(«)
«a12(se)
4i
#
*
<*2i(®)
022(3;)
fr
i
*
«
+
•
donde s es el numero de inversiones en la permutacion [ilT i2j...
> in], hallamos que
Df(x) = ( ^(-l)*af T l Oi 2 2 . . . aintl 8
www.fullengineeringbook.net $
a-[2 Ct22 •* a2n
Oil "12 * '
-
/
a22
+
• '• a2n
an
al2
a-N
a2 2
/ )
an2 ..
an2
--
i
an2
nn
es decir, obtenemos la formula (2)* Por analogia, partiendo de la representation D
obtenemos la formula (1).
0*) = ^2(-1Ya\i[a2i2
•--
•
2 Consideremos algunos ejemplos de calculo de la derivada de una funcion arbitraria en un punto y en un entorno de dicho punto. 12.
Demostrar que la funcion
/ :x
tiene derivada discontinua.
x 2 sen X10
X 2
si
x -fi 0,
0 1
si
x =0,
X
0 0
I) I DimIvimIii
N'l
Noluririn. Si x / I), los t'ii'im'JtliW ill; la mailt/. dada lie m-it drrivailas qm* W aiicitiau hi"j;i1ti lbs ruglas nlitit'tonattri en ins pun los 1.2 y 1.3. txiiiforme al punto !.(>, para x / 0 IrlUfnOS , f 2x sen - - cos \ I \ * " I. f m: a: t~M V 0 2xe J I
acuerdo con la definicion 3 del p. 1.1, en el punto x = 0 se tiene
A-D
h
an(x)
(a) = 0,
~ x,
x f 0, x ct&(x) — e
,
t ><• este modo,
/':
x
(
2x sen i - cos -
V
0
1
f
2xe* (
0
\ ) 0 )
si
ar # 0, '
Si
* = °
Estudiemos ahora la functfn matricial
www.fullengineeringbook.net lim ^{a:) = lim f i-o V
BCn
* 0
C°S 1
^ _z 2xe*
I . )
lin virtud de que el limite lim (2x sen — - cos - ) V a; x/ no existe, tampOCO exisle Um fix). i—u punto x — ti. 13.
Por consiguiente, la funcion
^Bajo que condici6n la derivada de la funcion |«Psenj^p
7
/(0) = 0,
m > 0,
a) esta acotada en un entorno del o rig en de coordenadas; b) no esta acotada en dicho cnlorno? Solucion. a) St x / 0, la derivada se calcula segtin la regla 2) del p. 1.2: /': a n
sgn®-sen ^
1
- m l w r - 1 7 1 - sgnas- cos
1
(a)
Si x — ti, la funcion x (-» sen ~ no tiene derivada, por lo tanto no se le puede • iplicar la regla anteriormente mencionada. Utilizando la definicion 3 del p. 1.1, obtenemos <[iie la derivada |7i|n sen t ~ , ( / (0) — lim — ! S - = lim ( s e n * ' ft-o h 6-oV
i v. 777— sgn A I \h\m b )
v mj mi iii( >• /.. v iin itin uiirrrntun pniii ninutim'N nr mim viiriium'
I 'I'I
riiiJc stilo para n I y i>s igiiiil a rem. For nniMi^uirnle, I'M fl rnloriio del origen d i uonli'iuidits' la derivada cxisle si n > i. Km evidenlr qui: la derivada esla acotada pat n w J > 0, es decir, para n £ I m. b) Como podemos vor a partir de a), la derivada no esta acotada, si n — 1 < 0 o bid n m - I < 0/ de donde n < 1 o bien n < 1 -f rn, es decir, cs suficiente que se cumpla desigualdad n < 1 -j- rn. Por otro lado, para que exista /'(0), es necesario que se vcrifiqi u - L De este modo, para 1. < n < m la derivada f no esta acotada en el entorno que 4 I'Mimina. • I i llhril
14. Demostrar que en todo entorno del origen de coordenadas se tienen puntos en lo cuales la funcion ' x2 fcos X- 1 , x ^ 0, i—> 0, x = 0t
/ :®
no posee derivada finita, sin embargo, en el punto x — 0 la derivada de la funcion si e finita. x COS 5~T' <4 Solucion, La funcion x f—> x tiene derivada en todos los puntos. La funcion i— tiene derivada en todos los puntos, salvo los puntos x = 0 y x = xk 2 A:-1-1, k e Z. Po eso, para x ^ 0 y x ^ x^ la derivada de la funcion / puede calcularse como derivada de; producto x2 j cos ^ j. En los puntos x = 0 y x = Xk la derivada de / se calcula a partir d A/(0) h cos JhT , se tiene las definiciones 3 y 4 del p, 1,1. Dado que ft
lim h
/'(0)
cos
7T h
0,
www.fullengineeringbook.net es decir, en el punto x = 0 la funcion / tiene derivada. Calculemos ahora
2 }t±
\2k
+1
1 / 2 lim - —r—
h->±o h \2k +i 4
(2k +
l)2
lim
1
oh
k + 1) cos 2 tt(2 + (2k + 1)A
2 1
)
+ f t
cos
ir(2k + 1) 2 4
(2k + l)2
Hm
+ 1
h
ir(2 k + 1 )
2 + (2fc+ sen
2
(2ft + 1 )
tt{2& -f 1)
?r(2ft + 1 ) 2 • ••—"
2 + (2fc + 1 )h
. i • . .
d=7T,
6 ^ : < 6:, en todo es decir, la derivada f{xjt) no existe. Por cuanto Ve1 > 0 £™entorno del origen de coordenadas se encuentran puntos en los cuales la derivada no existe. 15.
Demostrar que la funcion
f i x i-+
sen2 x, 0,
x e Q, « e K\Q
tiene derivada solo en los puntos xk — kw, k € Z, Solucion. En los puntos x ^ xu la funcion / es discontinua y por eso no puede tener derivada en dichos puntos. Ahora, de acuerdo con la definicion 3 del p. LI, en tos puntos x --- Xk tenemos lim ffak+h)h a—o
f(Xk)
lim
h^i}
f { X k
+
h
h )
'i I IHi'iiviitla! tic uriii liint'iun vxpifipfibi
'ii xk I h C <]), jvsipll.t ijilt /(.V. i A). 1
I'lS
scn' (x*, + h) s e n ' h y lim > ' % " " !
k
III c a m b i o , Si xk I h ( IK\<1>, e n t o n c e s f(xk -j- h) — 0 y lim ;'(«*) = o.
lim ^ "
;
tt.
. I). D c este m o d o ,
•
| Determinar la derivada por la izquierda fL y la derivada por la derecba f'+ para las funciones siguienlcs: 16.
f: s
([a;] sen jrx, - - ^ " t ) /
x
^
7
f
(°) = (°>
4 Solucion. Segun la definicion 4 del p. 1.1, se tiene f ± : x f->(/j±(x),
/?-, (?•)), Dado que para
j• / k, k £ X, existe /{(ar) - tt[:k] cosvt;1', resulta f[,.(») - /[_(ar) = jr|ar] cos %x para % •/ k.
1 1'or analogia, para x ^ 0 se tiene f^x) - — ^ — — t f - „ poreso l+e* ifj-l-di J piira x ^ 0. C a l c u i e m o s ahora f{±{k) y (0). T e n e m o s
- fL(x)
•••• f{(x)
fc
fi+fA;) = lim — ft-±o
h
—•••
— bm ft^to
• • . ft
sen -nh.
Ji- donde - ( - D * attt,
m
=(-if(fc -
www.fullengineeringbook.net A-±fl
/i
/j-iai+es
jhvi' lo tanto
/2+(^ = 0,
/ t ( 0 ) = 1.
I )c este m o d o , f'_(a:) = f\(ar) = ( \
cos7T£, — — r \, ) 1 +e= (1 + e s j /
f,(ft) =
y
V
l+
L ?
(1 + e r ) -
si
ar ^
fe,
k £ Z,
y
!
Wr
I [k)~. I ( - ! ) ( & — 1Ki ~ — + ~r l + er (1 + , i.iendo k £ 0, Si Ar
0, tenemos f + (0) = (0,0),
17.
/ : X t->
fl(0) = (-ir, 1).
•
Vv-r^.
La funcion : « ^ \/w tiene d e r i v a d a finita para los valores « > 0. La f u n c i o n ij>: x i-» u = 1 •- e~ tiene d e r i v a d a p a r a t o d o s los x. Por eso, si a: 0, la f u n c i o n / tiene derivada q u e p u e d e ser calculada c o m o d e r i v a d a d e u n a funci6n c o m p u e s t a , Asi p u e s , |Wra x / 0 t e n e m o s
I Solucion.
l',(x) - K(X) - /'(ar) =
( iipihiloZ (Mlcufo dilvivmial para Jtmdones tie una9,m r/i!>lc
M6 En el punto x
0 para los valores /.' (0) y i lim f V l
r sm
e -A*
/i->±o h
(0) hallamos
w.
lim
h
e h2
• • — •• •• I ••• I •
/i->±o h
A^
- ± lim
L.
•••••
• •
h
±1.
mn
—•—I
18.
•
2
Demostrar que la funcion
/
arcsen— af sen I- x^O X
-x
tV
0,
X
0
=
es continua en el punto x — 0, pero en dicho punto no tiene derivada por la izquierda derivada por la derecha. Solucion. Dado que lim ^ ^ ^
*^
sen
0,
=
f(Q) = 0, a partir de la definicion
continuidad de la funcion en un punto se deduce que la funcion / es continua en cero. pues, t « arcsen h 1 m - m lim hm sen —, f±( 0) l
h
A->±0
l i Ik-a y h
k
t ±oo,
h
. v a— rcseun—it], entonces lim sen JL"
k-^+.oo
h
j
0; no obstante, si h ~ h^
fir
arcsen h
Jzoo, tenemos lim sen 1. hn 2for+j r/2 Y ft™* ±00hi Por consiguiente, las derivadas unilaterales no existen k
www.fullengineeringbook.net ••••
19. Determinar las derivadas en sentido ampliado /_(xo) y /.'.(#o) de la funcion / 3 sus puntos de discontinuidad Xq si: a) / : x
Vx2 -f x — x
b) / : x i-+ sgn (x — x ).
^ Solucion. a) xQ = 0 es un punto de discontinuidad de primera especie. Hallemq primeramente /(±0). Tenemos /(±0)
lim a—±o
Vhz + h3 \h\ ,—— = hm — h h—±o h
±1.
Ahora, conforme a la definicion 4 del p. 1.1 /4(o)
lim
h2
Vh2 + h2 h -* i-.O
\h\
lim
M
lim o
1
1—Hr^H
Vl + 1 1
h-l
--
lim
\h\
VTTh h
1 r ft - * hm -TV a-±o ft|
b) X\ — 0, #2,3 = ±1 son puntos de discontinuidad. Tenemos /(±0) - lim sgn h( 1 - h2) = ±1,
h—>±0
/<1 ± 0) = ttm sgn ((1 + h)(l - (I + hf))
= T'l,
/ ( - 1 ± 0) = lim sgn f ( - l + h)( 1 - ( - 1 + ft)2)) = ^1.
2
Ji I I
iv.ttJ.1 il>- un.i luiu idn eSpliVIlii
J'17
Dc aeuetxio t'ltn b ileliniWi'm 4 del p. 1.1 obliwmtw i j
.. sgn//.{I M0) = linn — h - i.o h
I
sgn {(l+h)(l 1 — /id) = .lim;
I ± U I = lim — — ft-iJ-o h
h,l)-v
h
—
G,
(I-\-h.?))±l — = lim li — A—>±0 h-
:
/'( 1 ) = Hm it^±a
, h
— lim — — — - 0, h—n) a
sgn ( { - 1 f/!.)(! - ( - 1 + h f ) ) ± l h
„ sgn ( - 2 h ± 3h2-- lim — ; ft—+o ft
hJ)±l j l ± 1 rt = lim — - - — =•-• 0. ft—±o n
*•
20. lEs posible que una funcion / en su punto tie discontinuidad tenga derivada finita (ilcrivada infinita)? fl Snlucion. Como es sabido, una funcion que tiene derivada finita en cierto punto es mci esa riamente continua en este punto. Pot consiguiente, una funcion de este tipono puede Ii'siit derivada continua en su punto de discontinuidad. fin lo que se rcficrc a la derivada infinita, como se muestra en el ejemplo siguicnte, l.i tespuesta es afinnativa. Enefecto, consideremos f(x) — sgn x para x — 0. Tenemos
www.fullengineeringbook.net fx0) = lim ^ h—o h
- - lim J - 1 oc, ft-oh
f'+{0) -
lim h—io
-
ft
lim I = +oo.
•
11. ^Se puede afirmar que la suma P(x) = f(x) + g(x) no tiene derivada en el punto •i si: a) la funcidn / tiene derivada en el punto xo, mientras que la funcion (/ no Ui tiene Cn cl mismo punLo x0; b) ambas funciones / y g no tienen derivadas en el punto fl Sol mi on. a) Partiendo de la definicion 3 del p. 1.1 tenemos = lim >i-.o
h
= lim
h-~o \
h
,
h
. '
m
Supongamos que la funcion / tiene derivada en el punto so y la funcion g no la lime. Kntonces lim = f'(xc), mientras que Jim no existe. Entonces, empleando h—U " ft—3 " rl inetodo de reduction al absurdo se puede establccer con facilidad que el limite dc (1) no im -Ii; es decir, la derivada ^f(a;o) no existe. b) tin ciertos casos ia derivada F'(a.'o) puede existir pese a que ambas funciones f v }i no la tienen. Por ejemplo, si Fix) — ip{x) + (
IN
t '.ijiilulo
( 'illi'(ilo d i forviicjal para luiniimrN de una variable
< Sol Lie ion. a) I'or lo general, no. Segun la definition .'I del p. I.I, Irnmios
h—»0 V
tl
fl
( i )
Al analizar (I), llcgamos, en particular, a la conclusion siguiente. Si la funcion g estd definida para \x -
Ag(xt})^ M (M = const), entonces h
< S (6 > 0), f(x0) = 0,
Xq — 0, resulta que F'{0) = 0. no existen, pero se verifican, por ejemplo, las
existe. Por ejemplo, si f{x) = xt g(x) — A/(g„) y Um b) Si los limites lim a condiciones: 9(&Q) = 0,
(aty)
/(#o) = 0,
k
I
y las funciones y y g son continuas en el punto x — entonces el limite (1) existe. EstO |a;|, Ambas ultimo queda bien ilustrado en el ejemplo de las funciones f : x ^ \x\ y g : x funciones no tienen derivadas en el punto x — 0, sin embargo, su producto f(x) g(x) = x\ evidentemente, posee derivada igual a cero. • M, siendo xq £ E un punto limite del conjunto E. Denominemoi
23. Sea / : E C al Kmite finito
lim
/(X)
~f
= f ' M
M
͙͚͢
www.fullengineeringbook.net
derivada de la funcion f en el punto
respecto al conjunto E , Hallar la derivada de la funcion / en el punto xq respecto al conjunto E si: 1 1 \ x 0,® = 1 a) f{x) - 1 en E
b) /(*)
ar,
3 € Q,
en
0, x e M\Q,
,E7 = Q.
Solucion, a) El conjunto E posee un unico punto limite x{) = 0. Utilizando la formula (1) obtenemos
1 — 1= 0,
- lim
[xtm y
X
b) Todo punto del conjunto R es punto limite del conjunto Q. De acuerdo con (1) veamos solo aquellos puntos limites que pertenecen a Q. Sea xq £ Q. Tenemos f s f a o ) = lim (ae© A-
M
:qi
m
f(x X — Xq -
Ь ЬЬЬ Ь
24.
m-J-J
0
)
•-
Ь
Sean a,b : W. —* En, siendo a = («i(aO,
x
x\
lim 2Xq, X — UXn (*€Q) —
n
•
r^
• - . , om{x))f b = (fri(®)>fefaO,•
ti[. Las components a*, fr* tienen derivadas finitas en ]ctd[. Demostrar1 ^n(^))/ x que el producto escalar (a, b) tambien tiene derivada que puede ser calculada mediante la formula {a, b)' - (a', b) + (a, b').
Ii I I tciiv.nl,i dc una funcion t-\j>hril,t
I'I"
4 Solucion. Stalin la drill rjtttirtil ,i del |). 1.1 lenemits
(a, !>)' = lim yt ((a(a:„ -I h), b t e + h)) - (a(«o), b(;c„))) = lim l{^(a(sCo T h ) - a(a'o), b(ito 1- h)) + (a(«o), b(a u + A) ~ b{:c<,))) » Lim ( ( ^ ( ^ b f o + A)) + (
a
(
®
4
=
'
( a ' { « 0 ) , b W ) + ( a f o ) , b'(ift,)) •
I'.tra obtener este resultado h e m o s utilizado las afirmaciones siguientes: a) Las d e r i v a d a s a' y b ' existen, d a d o que, s e g u n las condiciones d e p a r lid a, existed Us d e r i v a d a s d e sus componcntes, b) El p r o d u c t o escalar es continuo, p o r ello el paso al limite p u e d e rcalizarse bajo <•! sij;no del p r o d u c t o escalar. c) hil p r o d u c t o escalar goza d e caracter h o m o g e n e o , p o r e s o el factor h~l p n e d e inlrodudrse bajo el signo del producto escalar. d) La funcidn vectorial y cs continua en el punto XQ.
•
2 5 . Sea f : J a, 6[ —* E, d o n d e E cs u n espacio euclideo. D e n o m i n e m o s , p o r definicion, derivada d e la funcion f en el p u n t o x0 d]a, al limite f'{x ) = lim ^ - ( f ^ o + A i J - f ^ o ) ) .
tO
D
www.fullengineeringbook.net Demostrar q u e si Ylfa), y(x) son, respectivamerite, u n a matriz funcional y una funcidn vectorial q u e tienen d e r i v a d a s finitas e n ]«, b[, la derivada d e A(x) y(.r) s e c a i c u l a m e d i a n t e la formula ( 4 ( a ) y(»))' = A\x) y(x) + A(x)
y'(x).
4 S o l u c i o n . H a c i e n d o uso de la definicion (1) t e n e m o s (4(«)y(a!))
= lim - ( 4 ( s 0 + h)y(Xo + h) - 4fc 0 )y{sfo)) , i ~ti> ft—0 n,
t Jado q u e existen las derivadas y lim (A(x) y(x))'
A'(xa), y'(xo),
x0
{%)
tambien existen los limites lim — = h—(I
A'i-.r.))
i= y'(3~|)). Entonces efectuando el p a s o al limite, a partir d e (2) o b t e n e m o s
X=Xq
.
lim ^ «—0
ti
y(x0
+
h) + l i m A^) A— 0
^
II
=
= A'(xa) y{xt)) + A(X ) y'(xa). q
•
2 6 . Sea A(x) una matriz c u a d r a d a que p o s e e derivada finita y para la '~ua! existe la matriz inversa Demostrar q u e = -A~l(x)A'(x)A
\x).
4 S o l u c i o n . Utilizando la definicion (1) del ej.25 establccemos p r i m e r a m e n t e q u e p a r a el producto dc d o s matrices .4 y JJ cuvas d e r i v a d a s son finitas se verifica la f o r m u l a
( apiliiJo
CUJ
t'.fJcufo dtlcrcnnjl pat.i hincmfU'rt tie mili variable
(A(x)li(x)y • : A'(x)l?(x) I i1{:i:)//'(ar) on virtud do la cual
= A'(x)A^(x) + A(x)(A Por consiguiente, a partir de la identidad A(x)A
[(x))\
(a?) = / (matriz unidad) se tiene
A'(x)A~l(x) + A(X)(A~1(X)Y
= 0
i
(matriz nula).
Finalmente, multiplicand o por la izquierda ambos miembros de esta igualdad por A { llegamos a la formula requerida. • 27.
Sea A(x) una matriz que tiene derivada finita. Comprobar si es valida la f6rmula
(An(x))' = nAn~\x)A'(x),
n
(1
M Solucion. Ya para n — 2 vemos que, en general, la formula examinada no se verifica. Ei e fee to,
(A2(x)Y
- A!{x)A{x)
= (A(x)A(x)Y
+
A(x)A*(x).
A partir de esta formula podemos tambien concluir que (1) es valida si las matrices A(x) A*(x) son conmutativas. Resulta que el caracter conmutativo de las matrices A{x)r Af(x) e tambien suficiente en el caso general para que se verifique la formula (1). En efecto, debid a (1) se tiene
www.fullengineeringbook.net {Anl-\x))r ^ (An(x)A(x)Y - (.An(x))'A(x) + An(x)A'(x) -
= nAn~1(x)At(x)A(x) + An(x)A'(x) =
= nAn^(x)A(x)Af(x) + An(x)A'(x) - (» 4- l)An(x)A'(xjl Por tanto, segun el metodo de induccion matematica, la formula (1) es valida Vn £ N 28.
•
Hallar la suma l 3 + 23 + 33 + • • * + rc3.
M Solucion. Dado que l 3 + 2^x 4- 33xz -i n2xn+2 •••
nm ^ ^ ••
._ pn2
+ 2n ~
+ n?xn~l - {xQn[x)Yf siendo
_ jj^+1 .1
+
I•
^2zn _
+
. IMIMM1I '
II^JJl" ~
x
_ j
JM^MM
(x - l)3 entonces I 3 + 23 + 3 3 +
n3.= lim {xQn(x))f = lim Qn{x) + lim Qfn{x) ar—+1
x 1
n(n + 1)(2n + 1)
•
j i•
n(n2 - l)(3n + 2)
n2(n + 1):
12
4
i laiBBi
I•
ͧ
29.
Sea
A(x)
sen ufx cos — cos wx sen u?x ix)X
j
u) ~ const
Demostrar que la matriz A(x) satisface la ecuacion diferencial
A"(x) + J*A(x)
A"(x) = (Al(x))'
•
ji i I tn i v.nl.i ilc una iuncion rxpliclla
I fit
Solucion. lenemoft ( COS U>X M'll WX \ ui ( , I st*n (j r. cos u>x J
,!, . A y(a;) '
. ,> / M'flWST COS WX \ A (.t) -- - w 1 , ' I cos wx win J
)(<• donde so deduce la ecuacion examirada.
a Sea S„ (rr) — I+ xA-Y •
„ 30.
2 x
n x"A 1 — d o n d e A es u n a matriz constante. I folia
2
|
2!
tt!
I,i ivuaci6n diferencial q u e satisface 5 ,{a;). 7
fl S o l u c i o n . C al cu l ando la d e r i v a d a o b t e n e m o s +
f
Multiplicando la expresion de S„(x) por A y restando lo obtenido de S'n(x), tenemos
+ que es precisamente ta ecuacidn requerida,
= 0, •
| lijercicios Hdllar las derivadas de las funciones siguientes:
www.fullengineeringbook.net f'x,~'
isHfrH
2. f : x ^ i y / 7 r - r ? .
l-2\/2arctg y ^ ^ i + l.
1 , eT + y ' f e . + 1 f
,x
ta
1 ei-1 + - = arctg — r - e « {2
e T.-^eT+l
81/2
5. / : x i-t arctg v/cos 2x — Vcos ?.x. 7-
f '* -
TT^-
S"
/'* "
6. f
S S "
(fl. / : « n
n
-
+1))
„ + 3.
sen2(w cos oar) +- cos3 (oj sen nx). 9"
lit. / : i h sen (arcsen ox 4- arccos ax), 11. / f : * > - * TTjfci-
j
/: * -
+
arcsen
d sen" {(ix + 7).
« . / :rEcitg(«tg(6orctg(car))),
y ^ )
.
16. / : * M
fi^^^'1.
17. / : x
In" (in4(In' x)).
18. / : Xf x™* + {senx) 1 , 19. 20. / : x .is* x°" z f . Hallar las derivadas de las siguientes funciones vectoriales:
21. f : x •-» (arccos j , arcsen (sen x)t sen n.
{e^*',thu^ie),chu*£x),sh tf^at)).
23. f ; X t-t (Tlx, 3 ( - X3, sen wt, cos mx).
25. f: ip
cos i ] (x)). 24. f : ( Hf (e a ' cos t, e11' sen t, u (|) , u {sen t)).
[p{
26. f : p t-» (p sen tp(p), p cos
27. (.x f (senffi ), c 11
28. f : « «
W
r
, v-fsen x),
arctg
^ p T ^ v
k apiluJo ?. CMJcuTo tlilVieiuial jMi.i fuiiciones dc una variable
i t/
21). f : x « ' (/' (W
>
11 (*(*)))) .
•• j •• •t ,'t
<
a
n-
30. a) f
:x
I ,
a? ) ;
A- - 1
b) f : x
> (^
sen xi x?'cos
•
31. En un espacio eudideo E dc dimension finita se determina una curva y un vector cons tan tc A* La curva se describe en forma para metrica mediante el vector de posicion. Hallar los punto en los cuales la tangente a la curva es paralela al vector constante para cada uno de los cas siguientes: {3 cos t, 4 sen t, 5t), 0 ^ t < 2x, a - (0, 4, 5); a) f r t b) f : t ^ <<, t2, J3), 0 ^ t^ 4, a ^ (2,4, 6); sh t), - o o < f < -foe, a = (1, 0). ~ c) f : t m- (e1, 32. Hallar la velocidad de un punto material que se mueve por una curva cuyo vector de position • viene dado por la expresion; a) f {t) = (sen t, 3 cos t) en el instante t = ?r; b) f (f) = (sen <2} 3 cos i 2 ) en el instante t ~ y/tl en el instante t = ^, c) f (t) — (sen cos
-1,
33. Hallar los puntos de reposo en las trayectorias definidas por las funciones vectoriales siguientes! a) (: t w (senf*2*), cos(/a?)f ch i ) ;
b) f : ^
(\f + (1 - x)t, It2 - xt -1-1, £ +
- 17/);
c) f 2 i 2 + | f 2 + 3). 34. Demostrar que las trayectorias definidas por las funciones vectoriales que citamos a continuation son ortogonales \1'—* (t sen f, t cos t> 1) y f2: t^ (t cos t, —f sen £,2); a) b) I,
«*((), u2<*)) y
(^.-S-1)^
www.fullengineeringbook.net
35. Determinar la energfa cinetica de un sistema de puntos materiales de masas m?. que se mueven a lo largo de las siguientes trayectorias; a) fj. : t
(k — 1? n; m^ — 1);
b) f* ; 11—s- (arcsen (sen kt)t arccos (cos kt)) (k — 1, n; nt}. — hp). 36. Hallar las derivadas de las siguientes funciones de valores complejos: a) / : x f-n- x In x + ie ; b) / r a w e"^(cos aar + £ sen ax); c) / : x cos2(# + iar3); d) / : or In3(2x -f ix2).
Hallar las derivadas de las siguientes funciones matriciales: LC sen J' 37. f : z » [ 1 ' 39. / : x ^
41. / : $ • - * (
42. / : x
^ X'2 thx"1
X\ ) . ctha;'1 /
son y
tory
V® +
38, / '
( \ cbW
uen*(®y) \ .. / " v T' • 40. f : ar h^
seti(^)
a:2 +
7
u(ex) ||/{»)|
senwa;
\ COS &X
X
+ 1 sen^fsen1 a;) ln'(Inr x)
orccos {arctg (arsh x*))
1
— |x||
«(«... u(x))
JfL
In [u(x) In «(a))
0
Eln|cos^|
E^(af)
Para las funciones / que citamos a continuacion calcular sus derivadas respecto al conjunto. 43. f(x) = ^
para a? =
n € N.
44. f(x) = sen 2a? para x £ Er E — {l T 5, 5, 3? 51 |i ** • } •
45, /(a?) - x I n ( l + x3) para x 6 E, E - { l , V 5 , 5, ^ 3 ,
46. /(ar) - ^
para x £ E, E = Q,
v ^ , . . . }.
|| l I v . t i l . i d o u n a l u n c i d n e x p l t e i l a I7 ,'ican n a(;r)r It h(,r), i * (-'") lierLis {undone:! vtvlnri.tli'.'i ( j {•<-), li(a:)» e(-/r) r Iii lien derivation lliiiliut. I JruuKlou'que
.1) [ a { * > , b ( * ) f
Ii')
| u ' ( * ) t lt.(«)J I- [ a ( s ) , b ' ( x ) ] ;
hj (a
,, ,
f sen2 nx,
x x € R\Q. x.
I 0; 'ti it) /(as) = inf {eos£}; b) /(«) = sup {cosf}. 'tl. 4 fW =
52. f{x) = cos f • lira a-2"1"'1.
c) f(x) - W
= tf (gar)), donde
www.fullengineeringbook.net . &
f x = ( X2
si |rj ^ 1, si \x\ > 1,
M. /(*) = lira n < ^ T .
f fi-1 si 0 ^ x < +oo, = i 1 si - o o < * < 6.
55. a) /fx) = lim £ In arctg
b) /(*) = lim { [ {l + sen ^ );
c) f{x) = lim £ sen
( * + s 2 ).
Calcular las derivadas por ta derecha y por la izquierda de las funciones siguientes:
>«>. a) / i x • l
) ' donde r(t) es la d is l and a hasta el numero entero mas proximo;
t>) / : x >~* minftgx. 2 — sen 2x), - f < x < f ; •>V. / : x »-» [ar]| sen irx2).
58. a) / : i h x j f 1, /(I)
1"1'3; >«. a) / : x i—lime' t->x
1
c) / : x <-> m i x ^ 1 ' , a ^ ) .
—, x f 1, /(I) = 1; -
2
"
= 0.
b) / : « « lim t .X 1
0,
x €
t:.'. (latlar /i(xu) v f'+ixn) en los puntos de discontinuidad
de la funcion / si:
('. i iBnjo qtt£ condtridn Iii funcidn f:x<~> l-rf" tiene derivada finita para x .= 0?
,
x-tQ,
y /(0)
-0
I ,J I
t Jiflllo (IlIoiVIK'Ull |>,1M f U Mt'lOJlCH de Mil,I variable
v -IplHJlO
Sim
/*(*> • E (£)'<•>'(' i i)
*>"
sen
Obtener la relacion dc recurrenrin para Ins funciones fk. 65, Hallar los numeros de Dim
V* fix) - lim ti£±itm
V± f(x) = lim h-*±0
de las funciones siguientes: t
ff sen £, a) fix 0, 66. Determinar D^{x) si
x > 0, ar ^ 0;
i > b) / : x —
ax setr2 ~\ -f bx cos2 •f
k - 1, 19,
At-n 0»)
D
JC
^
x ^ 0, '
0, x = 0.
= 1,
D,
1 2
en Ja forma
k
donde ^ a> £i son funciones a determinar.
Calcular las derivadas de las funciones / si:
/ www.fullengineeringbook.net 67. f i x * - *
#
si
X + 5Sgnar
si
M < i, 68. / : ^ ^ M \x\ > 1.
„ (—1)^1 cosnx),
0.
69.
70. Demostrar que el conjunto de puntos donde la derivada por la izquierda de una funcion f
es igual a la derivada por la derecha a lo sumo es numerable. 71. Demostrar con ejemplos que por lo general
f+M * /'fro + 0) y f l (So) ^ /'(*,, - 0). 72. i$e puede afirmar que si f(x0 + 0) - f(x0 - 0), la funcion / es continua en el punto xQ? 73. Dado que la derivada de una sucesion [Q se determina mediante la formula
xn. hallar a) (anyn)'; f)
(ft)'<
b) (In xj;
8) P")';
c)
dof
Ή
d) (xn + yj;
e) (
h)
0 (arctg n)\ 74 Determinar la ecuacion de la tangente a la curva que se describe mediante el vector de posicid siguientc:
a) f(t) - (sen i, cos t,At), en el punto b) f (0 = (arctg t 2 , arcsen f, sh i, ch t), en el punto M{0,0,0,1). 75. Determinar h ecuacion del piano normal a la curva que describe mediante el vector de posicid siguiente: a) f (f) = (t911, f ) en el punto Af(l, 1,1); b) f {«) -
In |/(f)|, ai 2 , f ch
sh*) para t = 1, donde a =
- e~2 - 1.
76 Hallar el angulo formado por dos curvas en el punto de su interseccion, si los vectores d posicion de las curvas f,(*) y £2(t) se definen mediante las formulas:
a) fi(0 -
b) f,(f) = (i,
jj.T, th i) , f,(0 = (/ + 1, sen 3*, fesJl');
t\ t\t5), t2{t) = (sen t, sen 2f, sen 3i, sen 4f, sen 5f).
J i l hii-ivnci.d de una fuiuidn
(!>;>
r 'ft I >eiii«slr
salL'SfiltV lit ivtfiuk)
x'(t>- Mi) m i f(0. siendo /
.! '
I
-sent \
A(i)*= ( cost seni \ lnft| tgtln|£|
(
<4 . , t. j
f(0-
2cos*
V
sent-fe ' ). V M> /
VS. i l.ill.ir una funcion vectorial f tal que la funcion vectorial X : t m ( / , t 2 , f 1 ) satbfaga la ecuaeti'in
/ —2t X'(0 = .1(f) X(t) + £ ((),
donde A{t) =
\
0 r1
2 -i 0
T)
v>. Demostrar que para la funcion vectorial X : t )-•' diag vl(f) se verifica la ecuacion
donde
,,,,
/ sent
cos I
\
i(t)= \ sen - c o scomplejos t )' Hll. Demostrar que las funciones d« fvalores
f : x t-* cos Ae -j-1 sen Az
y
( cos t -I- cos 21 \ V Stti<-1 ) ' 1 x + 3i / : x i -> s
satisfacen las ecuaciones respectivas: = 0. a) f(x) - »A/(x) - 0; b) (X s + 3i)/'(:i') + Uxif(x) It I. 1 Inllar las derivadas de los valores propios de la matriz
www.fullengineeringbook.net /
1 t t2 \ t t* t1 } ;
c) /t(t) =
\ tl
t3
si:
/ sen f cos t 0 \ d) A(t)= 1 - c o s t sen* - 1 . \ 0 1 t J
lA )
H2. Hollar el angnto rump rend id o entre las posicioncs limites de las tangentes a una curva continua en el punto de su inflexion si la curva esta definida por la funcidn vectorial: (sen y , cos y , |f — 1|); hw ' *
,
f i t , ? + 1,1? \
( 2 f , e W
X # f
)
J
si͑ ͡
~oc
§2. Diferencial dc una funcion 2.1. Definiciones fundamentals Definicion 1. Una funcion / : E —>• E so d e n o m i n a diferenciable en un ft unto t:,i 6 E el cual es un p u n t o limite del conjunto E si el incremento d e la funcidn A/(a: } correspondiente a u>i incremento del argumento x p u e d e representarse en la forma [}
A/(» 0 ) = ^(KoX® - ®o) +
- ^o),
(1)
donde ut{x - ^u) =s o - aig) para x —* Definicion 2. La aplicacion d : h A{x^)h, h € K, se d e n o m i n a diferencial d e la l u n d o n / en el p u n t o y la expresion A{xa)h se llama valor de la diferencial e n dicho ]>unto.
!)><>
( '.i|>ihifi> ?. (nltulo tliIricntMl |mi,i luiuimics de 1111.1 variable
Para i1! valor de la differencial dc In lutuinii / sc sucle usar In nolacion dj o df(:nq si so nercsiln indicnr en que punto se ealcula In dileivnciaL Asf pues,
df(x(j) : /I ))//,. Dividientdo ambos miembros de la igualdad (1) por x — x$ y haciendo tender A = f{xFor eso, Vft G IK so tiene n x{)r obtenemos
df(x o) = /'(®0)fc.
(2
Comparando (1) y (2) vemos que el valor de la diferencial df(x[)) (si f { x o ) ^ 0) es t parte principal del incremento de la funcion / en el punto Xq, que tambien es lineal homogenea respecto al incremento h ~ x — xq .
2.2. Criterio de diferenciabilidad de una funcion Para que una funcion / sea diferenciable en un punto dado xG es condicion necesnri y sufidente que en dicho punto la funcion tenga derivada finita .
2.3. Invariancia de la forma de la diferencial de primer orden Sea x es una variable independiente, entonces dx ~ x caso se verifica
x^ (incremento fijo). En est
df(x0) = f(x0)dx.
(3
Si x = ip(t) es una funcion diferenciable, se tiene dx =
dfmo))
dt.
consiguiente,
= (/(<^o))K dt = f'A
es decir, la forma de la diferencial de primer orden es invariante respecto al cambio d argumento.
www.fullengineeringbook.net 2.4. Formula de los incrementos finitos
Sustituyendo (2) en (1) y despreciando u(x — xq), obtenemos la formula de lo| incrementos finitos
A f(x0) & df(x0) o bien
f{x) n f(x0) + f'(x0)(x - ar0),
(4
que para x — x§ pequenos permite calcular aproximadamente los valores de la funcion / e los puntos x proximos al punto xQ en los cuales se conocen los valores de la funcion / y su derivada.
2.5. Reglas de diferenciacion de las funciones Si u y v son funciones escalares diferendables, se verifica b) d{nv) — udv + v du; a) d(u ±v) = du± dv; Si u y v son funciones vectoriales diferenciables, entonces: a)
d(u ± iv) — du±i dv,
i = —1.
Si A, B son funciones matriciales diferenciables y u, una funcion vectorial diferenciable, tenemos a) d{A ± B) = dA ± dB; b) d(Au) = (dA)u + A du; c) d(AB) = (dA)B + AdB.
N. del T.: Notese que para funciones de una sola variable los terminos derivalnltdad y diferenciabilid son suirinimos, por lo cual suelcn ser utilizados indistintnmentc. Para las funciones de varins variables la situation cambiara radlcaimente, y dichos terminos dejnn do ser equivalentes.
f i I Ii k'li'iiii.il ili< mi.i I Min ion
|| Ih'tcffllinarsi son tlt^rciidables las funciones f siguientes: 1.
A f(x{)) =- 2 sen(a: — ^u) 4- (\/l + (a; — £o)2 — l ) tp(x - a'o), donde* I'#®o,
f In \x [
[],
x -
x0.
4 Solucion. Dado que existe el limite finito siguiente:
A / ( x 0 ) — |.. l m I(2 [un —i ,t—a-0V i m„ a; —
y/l + -»
sen(x 5 --
+ (x- x0)2 - _1[ n
x — ajj)
x — aty
\= \x —ftpM / /i—d
l.i fi i nri6n / os diferenciable e n el p u n t o
x$
y
df{x$)
= 2 dx.
h
k
4 S(iIu
www.fullengineeringbook.net lim ^ ^ = lim ((x - 1 ) 5 + (xI--1 X 1 I->t V
l f H - oo, /
!>i funcion / no es diferenciable en el punto x — 1. 33.
Af (fe0)
(sen — — • ln(l - (x ~ a;,,)2), e ^ 1 " - l ) . \ / x — JL xo
4 Sohici6n. Estudiemos el limite ,. A f fio) ln(l + (s - z Q ) 2 ) •••"• • = I lim — 1 X — XQ - sen lim X — T'-ttn Xq
1 ex~x° - 1 limX—Xu X—— XQ X — X(I"
1 l.ido que It}(l + ( » ~ « o f ) - = 0, hm — 1 fcr., X — X^
-1 , lim — 1, J- ''"n X — XQ
: x isle la derivada finita de b funcion vectorial f:
I'or consiguiente, la funcion vectorial f es diferenciable y df(ino) = (0, \)dx = (Q, dx).
/
arcsen(iT^)
•
\x ~ 30|3 + x - a:0 \
(.'.iPilufo ?. ( Vtli itln dilriviic-laf
fw
hnnioiU'N do tin.i variable
Solucion. AI cafcular los I unites lim ™ arcsen c h
lim e ^h~'1
h >o
0.
\im(- ^ -l j ) / /t_*oV h
/sen sen ft — A— J lim -—0 \ hh J
sen h
\h\
1,
lim h sgn k->rD
= 0.
(* -
v
lim
I )
0,
a—•()
obtendremos /'(a?o) = lim
0 0
A/(s 0 ) XQ
1 0
es decir, la funcion matricial / es diferenciable en el punto 0
1 0
dx
y
͡
dx
0
0
•
m Hallar: 35.
a) d(xex );
b) d\ arcsen
M Solucion. 1-' metodo. Segun la definicion 2 del p. 2.1 tenemos + 1) a) d{xex2) = (^e^y da; = arcsen
arcsen
da?
www.fullengineeringbook.net 2- metodo. a) A partir de las formulas b) del p. 2.5 se tiene */ a?2 ). d(xe ) = e J? dx 4.- x__ d(e r
De acuerdo con la formula d) del p. 25 tenemos d{e )~e
-ii
d{x ) — e 2x dx, luego i ;
d(xex
ii
2
dx +
2
2xzex
ex (2x" + 1 )dx.
dx
b) Recurriendo a la formula d) del p. 2.5 tendremos d I arcsen ;
1
(arcsen u)!
x
u
1
du^= d
x
1
x
JL d{ M) a2
sgn x
x
dx
por eso, final men te,
x
36.
sgn x
-1
d ( arcsen t™
x
1
i
i ii
x
dx -
dx xVx2 — 1
X'
d(uv ).
M Solucion. De acuerdo con la regla de diferenciacion de una fraccion (v. p. 2.5, c)) hallamo
d 37,
d (arctg
u v
v du~ u d{v ) v
du v
2u dv v
v^O.
*
fl ' I iiteivnci.tl de una liuuidn 4 Nolucidit. I larieiido firm dr Iii:: Idimulas c) y d) del p. 2 5 11'nemos ,/ 4 11
m
.
d
.i
u\
E
. f W\
v thi
ti. do
J - , ..(^mJ""-^
&
9,
t-% d
-
/senx\
4 Solucion. Dado que
• livndo u es una funcidn diferenciable de cicrta variable, se puede resolver los ejemplos dados mediante dos metodos. a) Designando u — x3 y utiiizando la primera igualdad de (!) tenemos d
t/(.r')v
.. 2x6 - x") = # v(u - 2u2 ' du
J
=
= (tt - 2«" - t i 3 ) ' = 1 - 4u - 3u2 = 1 - 4x~ - 3xb,
x / tl.
El mismo resultado puede obtenerse utilizando la segunda igualdad de (1):
www.fullengineeringbook.net d ,3 ' ,, ^-{a: — 2x6 J)r i/(a:
9\ d(3? 2a6-E9) (3a 3 — 12a;5 — 9:eb) dx X)— —.—tt — = ——-—_ 3x72dx • — l — 4x3 —dxs , J) d((t
a: -/ U.
b) introduciendo la notacion u = x2 y utilizando la primera igualdad de (1) tenemos
t/ _/senar\ d /seny/«\ du \ Ju y/u ) x ) ~ du\
TjM
/sen y'ltV _ \/it Ju ) - v^f c a s
~ sen-y/tt _ x cos x - sen x
2u\/u
~
2s3
1
Si utilizamos la segunda igualdad de (i), obtendremos d f sen 2 d(x ) \ X
j / ski x \ _a ) _ 2 ) ~ d{x )
x to; g--sen za x p—~ _ £ cos a1 sen x Zx dx ~ " 2xy '
39.
Hallar el valor aproximado de sen 29", sustituyendo el incremento de la funcion por la diferencial. 4 Solucidn. En valor de sen29" se diferencia relativamente poco de sen3G J , pues a — 29'' l.nnbien dificrc poco de an ~ 30° - Por eso, para calcular aproximadamente sen 29" hagamos It.'.o de la formula (4) del p. 2.4, tomando /fie) = sen x. Tenemos sen 29° St sen -
6
40.
- (sen x)'
Demostrar la formula Jl^
180 " 2
\x —a + ~
360 ~
, v
"
'
- r, a > 0, x > 0, donde 0 < r <
( (i|>it(ilo
IN)
2.
C tiIt'tdo dilrrviuiV para Jiij ni oiios dc tin.i variable fi
SoluciAn* Si obtenemos
&'), a parlir t le Li formula de los UKTementos finito
es pequeno (:/:
I
V a2 h x ~~ a -|»
'if
a
1
2Vi\t a
->
X
+ 2a
El error r dc dicha formula aproximada
x
r —a + 2tt
\fc?
-
1 Va 2 + x
x
Va2-^ x - a 2a (y/a2 + x + a)
X
x 2a (Va2 + a + a) 2
(ljf
es tanto menor cuanto menor sea x > 0; no obstante, para cualquier x > 0 el error 01 2
f*—n
menor que ^
1
41.
•—r-• 1—• i •
rm
y como se deduce de (1) v a2 + x = a + r- — r , c. q. d • •
•
••
Demostrar la formula aproximada Van 4- x & a H
r , a > 0, donde \x\
nan~l
<4 Solucion. Por cuanto \x\ a11, a la funcion / : y ^ aplicar la formula de los incrementos finitos
de donde
siendo
~ , se le puedt;
1+y
n
www.fullengineeringbook.net
Entonces,
x~ a
• •
1
•••••••••••••• • ™ ••••••
c) f(x)
(
3
x2 + i - 3 x + 3ix + 4i + 5'
x T
3kx 2 e
kx\
b) f(x) = e arcsen (fa; )
arctg x
0
^/'(O)^1
2ax co$(ax2),
sen(a£4), £ ch ( f )J
2x
d) df(x)
0
0
l+x*
\f\—i"£
sen(ax z ) + i cos(a^ z )) dx;
-a;4J-2sc(5+4*)-h3 dx;
(p^E&Ts)'dx 1
1 sen u s
— f'(x) dx tenemos
b) df(x) = (cos(arc z ) -f i sen(a:£ 2 ))' dx = 2ax
=
lax7.
•t
d) / ( a )
Solucion. Haciendo uso de la formula df(x)
c> d /<*)
x na n-1 •••• ™ ' ™ " •••• •• I •
~k!c , sen(ofar), cos(ot:e ), sh
a) d f (x)
a+
Tt
• •• I I
Hallar df(x) si: a) i{x) =
1 + —ft* 0(1 + a Ti
l \ f ( 0 ) \ 2
x
I n 2
u
q
q
dx. s
w
x
Designemos mediante \A\f A — (fi^), la expresion siguiente:
n A\ Dado que •• ™
f(P)
0 0
0 In 2
1/(0)1
0
UJ
tenemos
|/'(0)|
ln2 l/'(0)|2 + 4
• •
••
Ji',\ D i f e r e n c i a l d e u u u l u n d i ' m
IhI
tlt< d o n d e | / ( 0 ) | ~ - A — . I'or lo tanto f
(0
n
to? J*-
\
.J* *
ವO I[
43. La matriz funcional $ W f u e calculada con u n error G$ W S u p o n i e n d o q u e existe l,i matriz inversa $a W hallar a p r o x i m a d a m e n t e el error correspondiente a G$ W q u e se eomete e n el calculo d e (0. 4 S o l u c i 6 n . D a d o q u e $ W $aO^W ಧ J , se tiene ((dA)A + A ^ A ) ) = 0 ) ( d U ) = -- 4" ((iA)A" ). • _1
44.
- 1
_ : !
J
1
i
Sea $ W u n a matriz c u a d r a d a funcional d e m o d u l o |A[ = .
X)
d o n d c a "j'( )! )
\
*'
:
www.fullengineeringbook.net $ W ; W A ? W ; ^ W
I'ara eoncretar, consideremos q u e X(i)[ ~ . / V] |z,(/}| = 1. Multiplicando escal a n n e n t e la 2
V'=I
igualdad (1) por ; W obtenemos
$ W ; ^ W ; W A P
(2)
I liferenciando (2) hallamos
G? •=• (d(AX), X) + (AX,
lie d o n d e |(Uj ^ f{dA) Xj |X| + ?$ dX| iX! + ]AX[ |dX[ <
A ?G$? |X|2 + ?$? |SX) jXJ + |A| |X| |
4 5 . Sea S u n a funcion diferenciable tal q u e I S W ` luneidn diferenciable y I \ es distinta d e cero. HallarGWS
W
en [ig, W [ ? d o n d e
I
•
es una
S u l u d o n . D a d o q u e las funciones I \ LS son diferendables, la funcion c o m p u e s t a / oWS es tambien diferenciable y : WLW
! IY WS L
GLS
GW
GWS
- 7 A ವ
*
\
.
* I
v-iiicum airerencial para ruiuionos tic umi variable
Ejercicios Hallar las difcrenciales dc las funcionctf siguieiiUs: y/ar2 -far |-1 l-x l-^Hxi l)/2 83 —Irmn
b) / : a?
85. a) / :
C0S
86. a) / : * c
j?;
)
+
+
/ : * ^ T^ + cos®3
d) / : ® -
jt^+JC2 fl *
v+2-% * eL sen iax
b) f : x ^
w(x)
senx cos a: 1 d) f : * ^ «(«) (C*M
s e n , . . , sen
1
j r + l
X2+l
w{a;)
x) + t,2(ln a).
V]
+ 3); b) + isen3x2; d) / : a?
c) f , a? — j > (sen
ln
2(\n
u
k-i
88, a) f : a ! K ( l j l P y ) ( l i j a f » ) ;
f:x
d)f:$^
b) / :
b) / :
c) / : ar ^
89.
4- 3;
*<*>+aTCts «(*),
C) / : * ^ ln(u2(x) + i,2(a;));
a)
fj
| arctg
84, a)
87.
JT
sgnar [ft]
90. / : x w
sen «(ar)
tg u{x)y u ( x } ) .
r
e w senfasj
www.fullengineeringbook.net 91. f ix
[W
^ sh
92. / : a? ^
sen(ia;)
cos(iy)
«n(0
a 1 2 («)... a1n(<)
y)
tg ft*, Chfo/y,p)
x2(t)
93, f : ( n
V *»(<)
94 Sea f(x) - ( / i ( a ) , / 2 ( ® ) , . . . , / , ( * ) ) , donde /,-, i = son funciones diferenciables. Hallar d(\f(x)\). 95. Sea f(x) - (a,j(a?)) j = n, una matriz funcional diferenciable. Hallar d(\f(x)\) # 96. Calcular aproximadamente: a) sen 16*; b) arctg 100; c) arcsen 0,99. 97, Demostrar que para x > xa > 0 arctg x 98. Haciendo uso de las formulas aproximadas cos a; # 1 -
TT
1
2
a;
r s ^
x
hallar el coeficiente a . (!> Indication. Utilizar la identidad ssen a; = 2 sen | cos | Hallar
senx
a» 1, a; = 0.
llcriviuliiN tlr tuM turn innes inverpttiN, p.t raitKMrli'.iN e implfcitas KM). f{x) a (^(ar))^"1, Uu((l> KM. /(ar) = arcsen
.(«(())
f WLiii,
dx, u(O)
Hitx, iiv(0) =
3dx, Jt>(0) - Sldx,
r(t)}
I.
ti(0) - \, «((>)
s/2.
,Q
0,
1-0. wv
101. f(x) = { ^ I«4. f (x) =
' 0,
* x = 0.
x
, ^ 0 , y f ( 0 ) = (0,1).
IDS. f ( * ) = (x'—^K N*. / ( « ) = ( V
]»fs), * £ 0 , y t(0) - (0,0,0). I , SP ^ 0, y /(Of) = ( [,
1
0
J? In
o)'
)
1117. Scan a* = (flii, Hi;?., • , flu), ai- € -E™, ft = l t n , vectores con punto de aplicacion com tin. Denommemos al valor absoluto del deter ntinaHte
vulumat de !a figiira P — {x
«H
• lin
0«1
a«2 ••-«wt -f $2&2 -1
x £ E", x —
f- Sno„, 0 < 0,- < 1, i — Tj~n}.
Die ha figura suele denomina rse paralelotopo. Hallar los volufnenes do los paralelotopos infinitesi males construidos a partir de los vectored tangentes a las curvas que ritamus a continuation en los puntos de intcrseccion de las mismns: b) f,(i) - i f , t\ tJ>, ut) = (i J , t\ t), i3(t) = (sen 1H,t, t*); a) f , (f) - (t, V), (S) = (t\();
www.fullengineeringbook.net c) m o = n , t\ e, t\ m
= ((-, t\ t\ t), ut) -
t\ i, i% u(t)=(f4,
t\ t\ t).
§3. Derivada de la funcion inversa. Derivada de una funcion definida en forma parametrica. Derivada de una funcion definida en forma implfcita 3.1. Derivada de la funcidn inversa
Para una funcion monotona diferenciable / : ja, —• M c o n la d e r i v a d a distinta ill- eero existe la funcion inversa / t a m bi e n diferenciable y su derivada se calculi s e g u n l.i formula
m
3.2. Derivada de una funcidrt definida en forma parametrica
Si una funcion / viene d a d a en forma parametrica x =
y = at),
a
y las funciones
Ax) -
^
(A
(apflulo
Crfkufn diferencia f | m i « i
Iuiu'Ioih-h
3*3. Derivada de una funcidn definida 011 for
implfcita
Sea y f(x) una funcion diferenciable definida por la eciincion F(x1 y) — 0, iintonces, en muchos casos su dcrivnd decir, Fix, f(x)) = 0 en cierto intervalo J a, puede ha I (arse a partir de la ecuacion
d (F(x, f(x))) = 0dx 46,
Demostrar que la ecuacion
0 ^ £ < 1,
y-eseny-x,
determina una funcidn y — f(x). Hallar su derivada M Solucion* La funcion
(p:y\-*x
fix),
= y — € sen y es diferenciable en J—oo, H-oo[ y su derivada (p : y • 1 — € cos y
es positiva, Por consiguiente, siendo estrictamente creciente, la funcidn (p tiene funci6ri inversa / que tambien es diferenciable y monotonarnente creciente, Su derivada es 1
/'(a)
1
•
www.fullengineeringbook.net
47,
Determinar el dominio de la funcion inversa x — tp(y) y hallar su derivada si
x
V
In
x
> 0.
x + In x crece de manera Solucion. Dado que (x + ln x)* ~ 1 + ^ > 0 , la funcion / : x estrictamente monotona para x > 0. Por consiguiente, la funcion tiene inversa y
9(v)
x
i f
i
x
)
X
m
1
oo, es decir, la funcion inversa existe en
Para 0 < x < +oo tenemos - o o < y < toda la recta numerica, • ••• ••
+
M
48. Determinar las ramas continuas de funciones inversas x — £piy) y hallar sua derivadas si y = 2x — x\ — x4 es diferenciable y su derivada / ' : x 4x(l — x1) Solucion. La funcion / : x conserva el signo en los intervalos J-oo, —1[, ] - l f 0 [ , ]0, If, ]l>+oo|\ Por consiguiente, en cada uno de los intervalos correspondientes ]-oo, 1[, ] 0,1[, ]0,1[, ]-oo, 1[ existe una funcion inversa diferenciable. Designemos estas funciones mediante
Vi : J-oo, 1[ (p3 : ]0,1[
]-oo, —1£, ]0,1[,
*p2 : JO, 1[
J - l , 0[, : ]-<», 1[ JI, +oo[.
Analizando el signo de la derivada /
:V
i
4x fl
-
x2)'
«
JjU: Deiivad.iH ilr lii>i lumiones inversus, patutuelrlc.tM i" impUeilas
Dr^amus a la conclusion i{i> i|iir las f u n d ones tp\ y son m o n o t o n a r n e n t e crecicnll'H, inii'iilras q u o las furii iones y>? y ip4> m o n 6 t o n a m e n t v decrecieulos, Al rusolvcr la oCUut'itin ii1 2x2 + y = 0 respivlo ilc x, SO p u e d e obtener las funciones
x =
- %/^y,
| Hallar las derivadas fix) 49.
1
x =
I = yi->/i.
~ y>
x =
*M
V =
si:
y = \f\ - Ti {y -
/(«)).
I Solucion. Hallemos primeramente 4 = gO - v^r-Mi - VI)' =
-
= 2V1 - w
V^H, ,
1
0
6 v W i - vl
/Nliora, h a c i e n d o u s o d e la formula 3.2 f e n e m o s /'l
www.fullengineeringbook.net 50.
y = (c* sen t, e* cos t, e'), x = t + 1 5 (y = f (a;)).
I Solucion. Dado que dy ~(d(el seni), ,tx = (1 + 5f 4 ) dt, resulta
dy _ t e'(scn t + COS t) e (cos t - sen t)
t {X)
St.
cos (), (i(e')) = (senf+cos t, cos t—son 1) e* dt,
1+W
~ dx ~ \
'
1 + 5f4
e'
\
' X + 5t*)"
y = cos5 t + i sen 3 1, x = It - cosi (t = —1; y — f(x)).
I Solucion. Dado que ? 2 dy = ( - 3 cos't sen t + 3?" sen t cos t) dt,
dx ~ (2 -f sent) dt,
irsulta 2 {2 + sen t)
52.
' - j S " ) .
(»-'<"»•
l Solucion. Tenemos dy = (
'"chT4 I -cost JFI1i
(
W tfat i+r
'
l+p h ( f2 3s +
*
U>6
C'iipittikt 2. C alculi) difm'tuial \umi funcioncs de una variable
Hallar las derivadas f de las funcioneg / : 53.
x
4-
// definidas mediante las ecuacion®
2xy - y ~ Ax.
< Solucion. Sea y — f(x) una solucion diferenciable de la ecuacion dada, entonces
x2 + 2®/(as) - (f(x))2 = 4x
(1
en cierto intervalo. Puesto que todos los terminos de la identidad (1) son diferenciable despues de derivar (1) obtenemos
2x + 2 f ( x ) + 2xf(x) - 2 f { x ) f { x ) = j4 de donde
f(x) + x-2 fix) - x
f(x) j^x. • ••
54.
•
•
x* + i / 5 = i
< Solucion. Al sustituir la solucion diferenciable y = fix) en la ecuacion dada obtendremo la identidad a?5 +(/(x))* = 1. Derivandola, vemos que
i
+(/(«)H A®) = o,
www.fullengineeringbook.net my.
de donde hallamos
i«iiii
•'"1—1-1—h
55.
<
Hallar / (#) si y — fix)
1—•
y p = a
Solucion. Dado que y = pcos
56.
1
•
_UH
,
IJL.
Las funciones fi y f2 vienen dadas en forma implfcita por el sistema de ecuacione ͤ
ͤ͟
+ iff + 2® = l. HaUar /((a) y £(»). < Solucion. Sustituyendo los valores y\ — f\(x) y y2 =- fiix) en el sistema de ecuacione9 dado llegamos a las identidades /i (*) " Hi*) + & = 2,
/i2(z) + fl(x) + 2x = l. Derivandolas obtenemos
fi(x)f[(x) - f}(x)ti(x) + l=0, Mx)f[{x) + f2(x)fUx) + l = 0.
t}3- Dt'rivtkldn ilr liirt f unci on km iuvuiHan, paraim'1!fU'iifl i< implicilas
I67
I'or tanto, si cl determlmuile fHx)
I
/i(»)
/ 2 (»i
I
'
hallamos f'(±\
= -
1 + AW /i(®)(/j(») 4- /2(x))1
^ v _ i - /i(g) " h{x)(U(X) + /2{s))•
J lijcrdcios HIS. Demostrar que cada una de las ecuaciones siguientes posee solo una solucion real y — f{x)\
a)af = 3 t f + s e n y 2 4 - « B 5 f - l + jy 3 ;
b) x = 12y5 - 30g* + <%:i - 30y2 + 15y + I.
Hallar la derivada unilateral de una funcidn y — fix) 11(9. x = It -
t2,
y = 3i - ( \ en el punto i =s'l.
110. x = t H- 3 v T T T , y = 111. x —
sen 2 1,
Hallar fix)
definida en forma parametria si:
y —
cos2
- 1 0 ^ + 1, en el punto i = 0. t, en tos puntos t — 0 y f — f •
si y = fix) y:
112. arctg (a1 + y2) - in(xy) - 1 = 0 .
113. sen f + ^ +
h y1 - 0.
www.fullengineeringbook.net 114. pf^Lj + ip{x + y J- y2) = 1
115. i>
( f r j ) — 2-
cs una funcion diferenciable).
116. W(seny) t-
117. arcsen y(2y + a-2 + 1 ) = arctg {jf3}.
- 3) - te + 4 - 0.
118. e " ^ 1 * ' 4 ^ = 4 - y 2 .
Calcular /'(0) si y - fix) y: 119. x2 sen * + £ sen I = 0, x ^ 0, y / ( 0 ) = 0.
120. a^arctg * + tg (a 4-y) - I = 0, x f. 0,. y /(0) = f . Hallar fix)
y fix)
si
= f\ix). Vt = fiix)
= 1 - x , yf + xyl - x 2 .
IZI. 123. j/, + f(yt
122. ym
m. x =
t1
+ Ji|( y =
+1, At - dt = 1.
— x^—O, y2 ±y2~
4-
+ y2) -1- y2 f senx - 0, j/>(yf + yf + x2) -
Calcular A / ( 0 ) y d/(0) si y = fix)
satis face u las ecu a climes:
x2.
x.
y. 125. x = t* - 4 i \ y = i 5 - 5f, Af = dt = 1.
126. Hallar / ' t e ) si y = /to)
y:
127. y = (sent,cost, f), » = 3 t + (*.
<"•*=(! 133. y
128. y = (sh2f, ch 2 t, fti f), « = sht.
iS. a S3 )*-"+«*.
(scn(y J 4- ( 2 ), cosfy2 + 1 2 ) , t ) , ft = 5t + t s .
IM. y = (^(Ivl), t, I 3 ), * - 2trip).
135. y = {j>{t% f>(t\ 1>l?)}, « = W ')
I6H
( apituli) 2. C-tilciilo iliIViv 11 rinI para fuiicinnes tic una variable
§4, Derivadas y diferenciales de ordenes superiores 4.1. Definiciones fundamental es Definicitin 1. Sea Ja derivada de cierta funcion / tambien derivable. En tal caso, 1| derivada dc la derivada de dicha funcion se denomina derivada segunda de la funci6n / se designa mediante /". Asi pues,
f"(x)
(fix))'.
Definicion 2. Si la (n - l)-esima derivada de una funcion / es diferenciable, a denomina n-esima derivada a la derivada de la (n - l)-esima derivada de la funcion / se designa mediante . Asi pues,
El numero n se denomina orden de la derivada, Definicion 3. Se llama diferencial de n-eshno orden de la funcion / a una diferencial de la diferencial de (n - l)-esimo orden de la misma funcion. De este modo,
dnf{x) d2x
d
"
f
(
x
)
= f{x),
n6R
Si x es una variable independiente, se verifica entonces que dx drx = • • - = dnx = 0, Es valida, pues, la formula
const y
fn(x)(dx)n.
www.fullengineeringbook.net
4.2* Derivadas de n-esimo orden de las principales funciones elementales Se verifican las formulas x\ (n)
<«n
(71)
(sen x)
ax In" a, sen ( x +
(n) cos [ X
(cos x)
(x)m\{n)
(In x)
+
a > 0; 717T
nir 2
m—n m(m — 1).. „ (m — n + \)x
n-1 (-i)""l(» - 1 ) X
n
i
•
4.3. Formula de Leibniz Si u y v son funciones n veces diferendables, entonces
n
iuv)
f<"V) = ( / f V ) , f f ( x \ - - - , f j ? \ z % dH (X) = (dnfX(x): dn f2(x), . . . , dnMx)). Por analogia, para una funcion de valores complejos / y una funcion matricial A se verifican las formulas; /w(s)
uin) ix) + ivin)(x);
dnf(x) = dnu(x) + i dnv(x);
fid. I >crl Vtiil.in y difercneialen d c OrdfucN Nitpeiinren
'fl v-l
•
Aln\x)
|
(l.illar f"(x) 57.
f(x) =
I AM
;
d»A{x)
si; smix2).
4 Sofucidn. Segun la definicion I del p. 4.1 tenemos fix) f i x ) =(fix))'
58.
=
(sen(® ))' = 2£cos(:k); 2
2
= (2x casix2))'
= 2 cos ( z 2 )
- 4a; sen(ar). 2
•
/(a;) = (j; + ! ) e i l .
4 Solucion.
D e b i d o a q u e (w{a;) f- iv{a:))' = tt'(x) + iv'ix), e n cl proceso d e la diferenciaeion d e una funcion d e valores complejos el n u m e r o i desempeila el papel d c una const ant s ordinaria, p o r lo cual fix)
- e" + i(x + i) e'x =
fix)
= ie" -
xel*
ieixx;
= e"it - x).
•
www.fullengineeringbook.net 59.
f ix) = (sen a: , cos - j - , x ) . 2
2
2
* Solucion.
Para hallar In d e r i v a d a de una f u n c i o n vectorial se d e b e derivar cada una d e sus c o m p o n c n t c s , p o r eso t e n e m o s f (a:) = (2x cos x2, — (2 cos x2 — ix2 sen x2, 1
t"ix)
~2x
s e n a; , 2a;); —2 sen x2 — ix1 cos x , 2). 2
M Solucion.
k
Para hallar la derivada d e una funcidn matricial se d e b e derivar cada e l e m e n t o de la matriz fix)
-
(
( 61.
] Ch!2
'X \ 2x ch cli a; 2
2x
sh
v \ x2
s™ u 2 +f 2x t sh, x'2 char
^ ^ ( i r i ^ . ^ l g l ) .
shz_
ch1* i2 + 2x2 sh x
ch
x2
m
Capi'tulo 2. CMIculo difcmieiai |>jh.i futicioncs de nn.i variable
4 £Milnd6n. Tenemos
i'(x)
In
.(
(In (p(x)) I Mir lo tanto f'(ar) =
',*'(*), (
u \ nv 2
'
u(x) \'
Ϊ
uf(x)v(x) v2(x) ^ "t •i•i
i"
j
11
j . Para la derivada segunda obtenemos
iy. (»•)'.
"rlll-l-
62.
Hallar y
si y =
f(ex).
-4 Solucion. De acuerdo con la regla de derivation de una funcion compuesta tenemos
y' =
f(ex)e*,
donde la prima de / designa la derivada respecto al argumento e*. Para calcular la derivada segunda utiiicemos la definicion 1 del p. 4.1, la regla reci^nmencionada y la regla de derivation de un producto. De este modo obtenemos
(/V) www.fullengineeringbook.net e x\f )' = f"(ex)e2x + f'(eX)eXy De manera analoga hallamos la derivada tercera w z* + f\ex) e*. / V ) e3* + 3 / V ) e2x V • •_
—i
•
11 •
63. Hallar d y de la funcion y = ex si; x es una variable independiente; x no es una variable independiente. -4 Solucion. La forma de la diferencial de primer orden es invariante y, por eso, en ambos casos tenemos
dy = d{ex) — ex dx. Ahora, segun la definicion 3 del p. 4.1,
d y — d(dy) = d{e* dx). Diferenciando el ultimo producto obtenemos
d{ex dx) = d(ex) dx + e* d(dx)
(1)
Si a; es independiente, resulta que dx — const — h. Por consiguiente, se tiene que d(dx) — d x — 0, y de (1) hallamos
d2y = d(ex) dx = e* dx dx = ex(dx)2> Si, en cambio, x no es un argumento independiente, dx no es constante en el caso general, por lo cual d(dx) = drx ^ 0. Entonces, de (1) obtendremos
dLy = ex(dxf + e* d2x - e*((dx? + dlx). . — .. - J l
•
I_
I >«'i Iviitliin 64.
Hallar d!y
y tIJfi'ri'IH'i
171
tuvfjt * , siendo uy v funciones dos veil's diferenciables de dorta
y
variable. * Solucion. Utilizando la invariancia de la diferencial de primer orden tenemos
dy = dj f[arctg tt\ = (( a r c tu\' g d . (u\ (-) =
1
vdu-
^
udv
-
vdu — udv
donde mediante Ja prima se designa la derivada respecto a A partir de la definicion 3 del p. 4.1 tenemos ,2
,/v du - u dv \
de donde, segun la regla de diferenciacion de un cociente, tenemos a
„ d(v du - u dv)(u~ -j- v2) - (v du - u dv)(d(u2 + v2)) y
w+w
~
'
I Jado que du - v. dv) = dv du + v tru - du dv - it d2v ~ v dlu — u (fv, 2 d(w ) + d(v ) = 2tt du + 2v dv, a partir de (1) obtenemos, finalmente, 2 _ v d2u - u d2v _ 2{uv((du)2 - (dv)2) + (v2 ~ u2) du dv) V~ u2 + v> (u7 + v'f '
d(it3 + v2) -
www.fullengineeringbook.net *
65. Hallar las derivadas yx, y^, jfca dc la funcion y = f(x) definida parametricamente si x, = 2t - tl, y = 3t - t 3 . 4 Solucion. Dado que y'x — i(f(x)) s= — tenemos
d(2t — t2)
Vx
Ahora, y"t - ~(y'x) -
2
^
^
por eso,
„ = d(ft+»' =
Vxl
Analogamente, y1" =
( 2 - 2 t)dt
d(2t-tz)
=
2(1 - t)dt
=
4(1-0'
por tanto
3 \ 3jj m _ ^(•tn-ij) 4(1-0' 3__ ~ d(2t - f ) ~ 2 (1 - it) dt ™ 8 (1 - t f ' 66.
Hallar yx, y'^ de la funcion y — f(x) definida por la ecuacion x + y7' — 5xy'\
I //.
I apllulo 7. CitU'ulo d i l e i n u i a l p
Solution.
Sea y
• )'{x)
una solution dos vtws diferenciable de la miaeirin dad
?
*
1
5u: (/(;«)) respecto a x obtenemos 2x \ 2f(x)f'(x)
Derivonclo la identidad x •]• (/(.'«))"
5(f(x)f
+ I5xf(x)f(x),
^
de donde
2x - 5f(x) 15xf2(x) - 2f(x)
15xf (x) - 2f(x)
si
0.
Entonces, segun la definici6n de derivada segunda y por la regla de derivation <1 un cociente tenemos
• M M \ \5xp{x)2
1
v
- 2f(x) /
- 2f(x)) - (2x - 5f3(x)) (l 5xf(x)
(2x - 5f(x))'(l5xf(x) —•
,
—
ii
•••
r-^——
i II
~ 2/(«))' "
.
~ • ,
m —
(I5xf(x)-2f(x))2 .
(20f(x) - 75xf\x) - 60x 2 f{x) + 4x)f'(x) - 4f(x) + 75f{x)
• • •• t
• ii
•
m
^
r
™
-
^
^
1—
(15xf2(x) ~ 2f(x))2 Sustituyendo el valor de f'(x) finalmente obtenemos /'(a)
1500xf°(x) - 120 ar* + 150a: z f(x) - 250f (x)
(15xf(x) - 2? f2(x)
www.fullengineeringbook.net
1 Hallar las derivadas y la diferencial del orden indicado:
67.
y
l +x . Hallar y(100) VI X
-4 Solucion. Transformemos la funcion dada en una expresion mas facil de derivar y apliquemos una de las formulas del p. 4.2. Tenemos
y= y
2(1-®)
(100) _
68.
(1-®)
2((l-a!)-i) -(a (199)!! (l-x) 2"
x)h
2t00
ly y 2
HI • mmm^^
(197)11 2ioo
399 - x
(1 - x)m>*9
x < 1,
(100)
y — x sh x. Hallar y
«4 Solucion. Apliquemos la formula de Leibniz, suporiiendo u — x, v = sh x. Obtenemos
y
ico Jt-0
69.
C?00 a? sh a;
Cmn ch x — x sh x + 100 ch x«
y = u2. Hallar dl0y,
<4 Solucion. Aplicando la formula de Leibniz al producto y — uu obtenemos
•
r
§4, I )<'ilviul! y diicrenriaJeH de Anlrnra NiipeiimvK id
i < 4 d1 u dw '•«
=
I7!t
i -M
•» £
6'ju j u d1"-«-i-
Δ%(,fuf
͞ח
• I)
= 2u dti]u |-20 du d'u + 90 d2u
(f'u + 252 {j?*,?,
•
70. Expresar las derivadas y e i/ de la funtf&l y = /(x) mediante las difertstciales iiticesivas de las variables a; e y, sin suponer que a; sea una variable independiente. 4 Solucion. Utilizando la definicion 3 del p. 4.1, asf como la regla de diferencia cion de! producto, obtenemos dy = f(x)dx, dzy
= f(x)(dxf
= f"{x){dxf
(!)
+ f(x)
+ 3f"(x)
d2x,
(2)
tfx dx | f(x)
(3)
(fx.
A partir de las formulas (l)-(3) tenemos sucesivamente
„
.„, ,
Ϊ1 = / («) =
d2y~y'd2x (.ixf
dxd2y~dyd2x /-j-,, (dx)
({dx)2 £y - 3 (Px dx £y + 3 (d2x)2 dy - dx dy
y" = /"'(») ~
tfx).
www.fullengineeringbook.net ft Hallar y { n ) si:
71.
9
1
x2 -3x
+2'
4 Solucion. Reprcsentando la fraccion dada en la forma
y aplicando una de las formulas del p. 4.2 obtenemos (x - 1)"+1) ' n[ ( (a; - 2)n' 72.
'
y — sen3 x.
4 Solucion. Representando y cn la forma 3 1 y -- ~ sen x - - sen 3a; 4 4
y u s a n d o una d c las formulas del p. 42 hallamos
4sen I'+TJ'T*" \
m+t);
73. <
y — s e n a; -f cos a:, Solucion. Al transformar y en la forma 3 1
1 V = j + - oas 4a:
174
tapilulo 2, CMkulo diferemial para luiuionCH de una variable
obtenemos
v in)
4 ••I. b.
74,
y
•
„_1
/
71W\
cos ^4ar h ~ j ,
n > 1.
•
•_ • • • •
a + bx In a-bx
-4 Solucion. Escribamos la derivada de esta funcion en la forma
' - G - r + G - r Segun las formulas del p. 4.2 despues de derivar (n — 1) veces obtenemos
HI
y
+x
—n
Ή
+ (»
-n
(« 2
+
+
<
ii "i"11
75.
Demostrar las igualdades:
1) (eaxax sen(bx + c)) /. _
.
_v\ (T0
ax (a2 + ft2) " sen(bx + c + nxp); = e** /
_2
2) (eax cos (bx + c))(n) = e M (a 2 + b2) ? cos(fo + c + np), donde
seny?
cos
a
Va 2 + 6 2 ' Solucion. Multiplicando el primer miembro de la primera igualdad por i y sumandole e' primer miembro de la segunda igualdad, obtenemos
www.fullengineeringbook.net = {eax cos(6a? + c)){n) + (ieax sen(bx + c)) («) = eiC(tre<«+w)*)(») e^ z+ic+irap 2\ T ax Z) y (a + 62\ e
(a + 6 )
+ K ) « e<*+*> =
(cos(&e + c +
+ i sen(ta + c + rcy?))
A partir de estas expresiones, segun el axioma de igualdad de numeros complejos s obtienen las formulas deseadas, • 76. Transformando la funcion / : x trigonometrico
sen2/> a? (p es un numero natural) en un polinomio p
f(x) =
cos 2&a;) . i
Jt=0
hallar f{n)(x). Solucion. Recurriendo a las formulas de Euler y al binomio de Newton transformemos, en primer lugar, la funcion / en un polinomio trigonometrico.
2p sen y x
ix 2p 2i
22p
••• • •
Jfc=0
p-1 22p
2p 1I)\ks~ik „2i{k—p)x O2p e + E< k=G k=p+1
+
En la segunda suma entre los parentesis introduzcamos un nuevo fridice de sumacion hf, siendo k ~2p~ kf. Utilizando la igualdad CL — ob tendremos
ti 4. Ih'dviuliM y diforencliilea dt'rtuU-ncHmi pvrlnrcH
w
*)
1
17F>
W
=
Altora, tie acuerdo con una de las formulas del p. 4.2, hallamos iw t-ir (mm* a) 1 * 0 = y f
2n(k ~ vT ,,-t
2 " - ^
77.
4 f )
cos ( 2 (fc "(fc -
#
1 1 / 1 Haciendo uso de la identidad —5-—= — I ——7 X2 +1 2i -1
COS
= (2
(LB -
^
+
H
J
.
1 \ : ) demostrar que 1 £ -J- j /
; 4 Solucion. En primer lugar derivamos n voces la identidad citada
/
1
u
2
\«
/ ( - i y n l _ (-!)"»! \
=
t 1/
2i \ (z -
{® + i ) " + V '
www.fullengineeringbook.net Aplicando a los numeros complejos {a; li'iiemos (
=
*
2
J.
y (a: f i)
0 + x 2 ) - - (cosfn + 1) p + i sen(Ti + 1)
la formula de Moivro
-
2_!iii/ v ( - 1 ) " n! - (1 + a: ) : (cos(n -f 1)
Hallar /(n'(0) para la funcidn f{x) — arctg a;.
I Solucion. Derivando / dos veces obtenemos f'(x) -
f"(x) =
1
~2x
-
Z^lL
ile d o n d e (1 + x2)f"(x) + 2xf'(x) = 0 . Aplicando a la identidad obtcnida la formula de Leibniz hallamos ( I I x)fi!l)(x)
+2 (»-
2 )xfin~
+ (n - 2)(n - 3)f!n~2\x) 4 4-2i/ ( "' 1J (a;) + 2 (n - 2)fln
l>(x)
= 0.
Nustiluyendo x = 0 llegamos a la relaciOn de recurrencia /
0, ] , 2 . . . obtenemos
= 0 para n par. Para n = 2k f 1, considerando sucesivamente f2kn\0)
m (-\f(2k)\,
k e Zo.
K
17U
79*
(.'iipilulo 2. I'iili'uio dilvrentiiil para luucioiioN tic una variable
Caleular / (0) para la fund6n /(;/:) i-
«4 Solucion. Derivemos / y elevemos al cuadrado la expresion obtenida. Derivando 1 obtenido una vez mas llegamos a la identidad
(1 - x2)f"(x) - xf(x) + m2f(x) = 0. Derivando esta identidad n — 2 veces y utilizando la formula de Leibniz, hallamos («-1)
in-2)
(1 - x2)}{n\x) - 2x(n - 2)f1l-"(x) -(n-
(X) 2){n - 3)/ 2 An-2) Xf (n-1)(x) - (n - 2)f{n~2\x) + mf-f (X)
Por tanto, para x = 0 obtenemos la formula de recurrencia /
m 2 )/
(1
de la cual para n ~ 2kf k £ N, hallamos (teniendo en cuenta el valor initial de /(0) = l)i
fm(0)
= ( - 1 )km2(m2 - 22).,.
(m2 - (2k - 2)2).
Por analogia, suponiendo en (1) n = 2k + 1, k eN,y valor de /'(0) = 0 llegamos a la igualdad
/ (24+D (0) = 0 80.
tomando en consideration
•
Demostrar que la funcion
www.fullengineeringbook.net x2n sen i-
/ :x
0,
x ^ 0, a? = 0,
n € N, tiene en el punto x — 0 derivadas de hast a ra-esimo orden inclusive y no tierv derivada de (n -f l)-esimo orden. Solucion. Dado nque lim ^ = 0, tenemos /'(0) = 0. Suponiendo que para un cierto z-0 * natural k ^ n - 1, (n = 2,3,...) se tiene f{k)(0) 0, demostremos que tambien se verific /(*+1)(0) - 0. En efecto, dado que
k fk\x)
= V c j 2n(2n - 1 ) . . . (2n - Jfc + i + 1) x 2 n ~ M (sen -
(i>
(-0
(1 entonces segun la definition de derivada
/
tk) {k (A+l)(0)=lim f \x) - f>"(o) x 0
X
k =lim V
2n(2n
2n-k+i-\ f lVl - 1) - - - (2k - fc + i + 1) x 2 n ~ k + i ~ l (sen
q
X/
Aquf se toma en consideracion que la funcion (sen contiene terminos del tipo 4/- sen * o bien -jr cos ~ (en dependencia si el indice k es par o impar). Asi pues, mediante el metodo de induccion matematica hemos demostrado qu /W(0) - 0 \fk = T^n.
t}4. i
IviitliiN y »H/t*n!iicialf(t do ^rtlcncn miprilorrN
177
Pinal mei lie, wipnuii'iido eit (I) k — 11, vemos
| lijercicios Hallar la n-esima derivada de la funcion / :
I36. /(«)=«•".
137.
140. Hallar fix)
si
X38. fix) — x2
/l(») fM jPw
M*\ fox)
139./(a) = z"
fn(*)
/i"^)
^nv>
... /;(»)
/2W(*> . . .
^ .
Hallar la n-esima derivada:
xip(x) =
1
V
1
143.
sh 2x
144. /<*)«#
͟͟͟
2
145, /
...
x *
...
x"
71
1
2
/
147. Sean u — u{w), V = v(x) funciones vectoriales n veces diferencia bles. Demostrar que se verifica
www.fullengineeringbook.net H-JIJ
148. Demostrar que la formula de Leibniz (para derivar n veces un producto) tambien se verifica para las funcioncs matriciales A — /t(;c) y Tt — 1i{x), es decir, A^O si A y H son funciones n veces diferenciables. Hallar la n - e s i m a derivada empleando los ejemplos 147 y 14R:
149. i(x) = (v(a;),v(i)) si: e"1); a) «(x) = (sens, sen2x,..., sennx), v(x) — (ez, e*,..., b) u(x) — (cos x, cos 2x,..., cos nx), v(x) = (x, x2,..., x"). 150. f{x) = Aiz)Bix) si: l a \ - (
senna;
-eosnx
cosnx V senna; ) '
/ shnx ~ \ -&nx
( jf = IV
chnx \ shnx
_5_ Hi 4 In x
i3 1 In2 x
151. Demostrar que ta funcion
y = fix) = C\eiu" + C^e"*** (w, Ci, Q
son cons (antes)
satisface la ecuacion y" + ui2y -• 0.
152. Demostrar que la funcidn » = m
= |t In ch ik^gt),
donde k, g son conetantes, satisface la ecuacion m ^ = mg ft ( * { ) " ,
w » const.
178
( iipfltilo 2. C.ilriilo dllVrcm hil |>.im liim iniu-s de un.i variable
153* Demoslrar x :t
ΚΞͯ lo funcirin 2 son t
2 cos t
C\
1
+ a
2 cos I
{ V\ |
3 cos t — sen t
,2sen*
Ci — const,
fl
3 sen t + cos t
satisface la ecuacion ~ ~ Ax, donde dt
1 -2 A—
2
-2
-1
2
-3
-2
3
154. Demostrar que la funcion vectorial
x ; t i-+ Ci
1 1 1
e' + C
1 1 1
1 0 -1
1
e + 1 0 -1
satisface la ecuacion
0 1 1
2t4- Cs
=r Ax, donde
3
A
-1 wl
-1
-1
3 —1
-1 3
www.fullengineeringbook.net
155. Demostrar que si una funcion vectorial x = x(t) satisface la ecuacion % = Ax, donde A es un matriz cons tan te, entonces esta verifica tambien la ecuacion
Anx
dtn 156.
Vn£K
w ) / donde A l(x) es la matriz inversa de A( 157. Demostrar que toda solucion del sistema de ecuaciones ^ tambien el sistema HatJar
dt2
158. Hallar f(0)
- 3x5 - 3x'y
— x —V y* dt
x I y3 satisfa
dt1 a;3 - y + 3xy2 + 3y5.
si f(x) - s 3 (sen (lnra |*|) +
C0S
(In™ |*|)), x ^ 0, y f(Q) = 0 , donde t»
2?+i y Comprobar si es continua o no la derivada segunda en el punto a? = 0. ^Pueda nallarse un valor del para metro m tal que exista la derivada tercera / r "(0) ? 159. iCuales deben ser los valores de a para que la derivada segunda de la funcion / x ^ \x\a sen x £ 0, y /(0) = 0, sea continua? 160. Hallar
f(x) si f{x) =
a?|<2, M > 2,
=
cos X)
lx\ > 2.
i
161 Calcular la derivada segunda (en sentido ampliado) de la funcion / discontinuidad si f(x) = 3J
en su punto de
162. Calcular la derivada segunda de la funcidn / " ' : a; ^ y, inversa de la funcion / : y a) « = y + i f ; b) x = y + sen y. 163. Calcular d2f( 0) de la funcion
\x\a arctg
164. Hallar /"(0) si y = f(x) y x = It - t2, y = (* -
x*
0, siendo /(D) - 0.
r
x si:
\7 >
jH. I Jiiiv.id.iM y lUferenc fates de oidem-H Kiipeilores fix) definidfi enforma(>,inmu'li'k\i
KiS. Hal lor f"(x) do urui luiu-ii'm y wn
l
/ 2t> \ l\
« t f w f fotmnji 1+1-ft
' tp 1,
t < 1
KH1, Ji| > ^
Uifi. En el punto x — | caicular !;i derivada segnndii dc la Funcion y = f(x)
definida irnpKcilament!1
mediante la ecuackm sen(^y) - x + y - j , y > 0. I(>7. Hallar /HO(T) si
- Xf„(x),
h(x) -
-
(]
,-j-yr •• -•
168. Caicular /'(0) si la funcion / : x »-* y esta definida mediante la ecuacion y* + x3 -| x2 -y1 y es dos veccs diferenciable t o n confinuidad en un entomo del punto x — 0.
1)
Caicular / W > ( U ) si:
IW. /(®)
170. /(*) =
Hallar ^
171. /(sc) = ^ .
172. y - f(x), X - It-t1,
y = 3t
si:
17.1. /(i) = sen(u{zM»)) - 174. /(») = arcsen
175. J{x) = u{x)
176. /(jf)-ln(a(B(*))). 177. f<*) = («{«)+*<*), § } ) . 1 7 S . / ( i ) = ^ } } 179. y = f(z); a) y(t) ^tsent, x(t.} -tcost; b ) y(
= (
%
j,
+
www.fullengineeringbook.net t
e
IH2. y = f{i>); 3$) = ( j ^ , }, Caicular
d-
t Qr
" « + sen ( + cos t.
en el punto indicado:
1X3- y = f(x), x* -I- y3 -- 3x2if + I en el punto M{0,1). IK4. y — f(x), 3i-5 - ly" - xl + y' + 1 en el punto M(0,1). IBS. y = f(x), y — x Infi® 4- y2) en el punto M{ 1,0). IH6. Supongamos que las componenles /,-(») de una funci6n vectorial f : n - i /„(x)J satisfacen el sistema de ecuaciunes
E /f(*)U + ISRL
= senO'a;)/,(«),
j = I~n.
Hallar f"(a?). IH7. Sea A(z) una matriz funcional que satisface la ecuacion
A2(x)D(x)-r A(x)C(x) - E, donde B(x), Hallar A"(x> IIIH. Hallar
C(x)
son matrices dos veccs diferendables y E es la matriz unidad.
si A(;r) conmuta con su derivada.
IH4. Ha Car drf{-x)
st f(x)
=
donde A, B son matrices funrionales.
!'«!. Hallar d7 f(x)
si /(ar) — jV(«(®))|/ donde tp es una funci&i vectorial.
(
.
.
180
CapUulu 2. CAkuIo difarondai par*i funriones de una variable
§ 5, Teorema de Rolle, teorema de Lagrange y teorema de Cauchy 5.1. Teorema de Rolle i Sea / : [a, b] — R una funcidn continua en el segmento [a, 6], y en el interior d i [a, 6] su derivada es bien finita o bien infinita. Sea, ademas, f(a) = f(b). Entonces, en d interior del segmento [a, b] existe un punto £ tal que
f'(0
= o.
5.2. Teorema de Lagrange Si una funcion / : [a, b] —* R es continua en el segmento [a, 6] y tiene derivad finita o infinita en los puntos interiores de dicho segmento, entonces 3 £ € ]a, 6[ tal que J
f(b) - f(a) - f m
- a).
5.3. Teorema de Cauchy Si cada una de dos funciones / y g es continua en b], tiene derivada finita f infinita en ]ay b[ y, ademas, la derivada g (x) ^ 0 en ]a, b[, entonces 3 £ € fi[ tal que verifica la formula
m
- m
Ao
_
Si, ademas, se exige que g(a) y(b), la condicidn g'(x) £ 0 puede ser sustituida poi una menos estricta: ( / ( * ) ) + ( f l ' ( » ) ) ' V a ; G ]a, 6[.
www.fullengineeringbook.net nwwrrn
81. Sea / una funcion cuya derivada / es finita en todo punto de un intervalo finito infinito ]a, &[ y lim f(x) •— lim f(x). Demostrar que f{c) —
donde c es un cierto punto del intervalo j a, b[.
<4 Solucion. Sea el intervalo ]a>b[ finito y
lim f(x) ͡
~
lim f(x)
x—•fi-O
= C, C = consij
C on si d e ra remos la funcion
f(x) C
si si
x g ]a, 6[, x=a y x =
que es continua en el segmento [a,b] y tiene derivada finita en el intervalo ]a, verificandose, ademas, F(a) = F(b). De acuerdo con el teorema de Rolle en el interval \a) i>[ existe un punto c tal que F'(c) = /'(c) = 0. Sea ]a, 6[ infinito. En virtud de que la funcion / es continua, tiene derivada finit| & - 0 existen sus valores limites firiitos iguales entre si, entoncq] y para x - + a - h 0 y x la recta y = C + e o y ^ C — e (para e > 0 lo suficienternente pequeno) cortara a la curvj y — f(x) al menos en dos puntos que designaremos mediante
A<=) = 0.
Examinemos ahora el caso lim f(x) — lim f(x) — 00. Tanto para el interval!
>afO
0
la, b\ finito como para el infinito, la ecuacion f(x) — A (siendo A > 0 un numeri
§5. Too re mil i|«' It idle, I rn iv ma de Lagrange y li'iifema tic C'aucKy
1KI
arbitrario fiiaj paid lim f{x) - lini fix) ~ -l-tx>) o Men la ecuncirtn f(x) - - A (si lim f{x) - lim f(x) -oo) s i e m p r e tiene d o s r a k e s diferentcs q u e designareiniis
-P —a-rO % 'b (> mediante y a 2 . Apllcando el teorema de Rolle a la funcion / en el segmento [ur(, (li'ducimos que en el intervalo q'?L (y, por tanto, en ]«, 6[) existe al menos un punto e tal que f'(c) — 0. •
82. Supongamos que: 1) la funcion f esta definida y tiene derivada continua de (it --1) csimo orden en el segmento [so, x„]; 2) f tiene derivada de n-esimo orden en el intervalo xn[; 3) se verifican las igualdades f(xu) = f{x%) = • - • = f(xu), xa < xl < ,.. < xn. I h'mostrar que en el intervalo Ja^, ®nl existe por lo menos un punto £ tal que / ( l l ) (0 ~ 0. 4 Sulucidn. Jin cada uno de los segmentos fe-i, afiJ, i ~ \.n, se cumplen todas lax inndiciones del teorema de liotle para la funcion f , por consiguiente, existcn, como nifnimo, n puntos ^ € tales que /'(fy) = 0. En cada uno de los segmentos K/s£j+iL j — 1, n*^ 1, para la funci6n /' se cumplen todas las condiriones del teorema df Rolle, por io cual existe por lo menos n — 1 puntos % 6 J«o, tales que /"(%) = 0, k 1,7?— 1. Kazonando annlogamente llegamos a la conclusion de que on n — (n — 2) 2 puntos del intervalo ]a;o,a;nf se verifica /
www.fullengineeringbook.net Pn(x) - a^x" + ai^"-1 + ••• + «„,
ilc coeficientes reales At, k — 0, n, son reales, sus derivadas sucesivas Itimbi^n tienen solo ceros realesI
P , " , . . . , P,'/1"1'
S o l u c i o n . Suponiendo que todos los ceros son diferentes, segiin el teorema de Rolle i it >( enemas que /^(s) tiene n - 1 ceros reales; (x), n — 2 ceros reales, etc. leniendo en cuenta que al derivar im polinomio el grado del ultimo disminuye en una unidac!r resulta que todos los ceros de las derivadas serein reales. Si algun cero del polinomio es multiple, i-slr tambien sera cero de la derivada dei polinomio, es decir, tambien es real.
84.
Demostrar que todos los ceros del polinomio de Legemhc '
2"n!
' '
mm reales y pertenecen al intervalo ]-l, 1[. | 4 Noluci&n. En e! segmento [—1,1] si polinomio t/^fx) = {a;2 - 1)" tiene 2n ceros reales: i j'j - x2 ~ • • • = xn — —1; x n f i = xn+i — * • • = X2n — 1. De acuerdo con el teorema imlerior el polinomio P„(x) liene n ceros reales que estan contenidos, segun el teorema de Kolle, en el intervalo ]—1,1[. *•
85.
Demostrar que todos los ceros del polinomio de it" nositivos.
Chebishev—Laguerre
Capftulo 2.
182
ClUl'IiIo
tlifriviuial
Jimcionctf de una variable
^ Solucion. Constderemos la funcion tp : x ^ > punto
£ ]0j +oo[ tal que
. Como
--
link
0 (v.ej.8l), Es evidente que
=
lim
31-fr-j-OO por eso, en virtud del teorema de Rolle y de la solucion del ejemplo 81, existen l o f puntos £2 € P , i l l y £3 G +oo[ tales que ¥>"(&) - 0, i = 2,3, verificandose, ademdl, ip"{0) — 0. De este modo,
„
nri
al
/ti
Or*
• •••I ! • • II II III
Demostrar que todos los ceros del polinomio de Chibishev—Hermite
86.
Hn(x) son reales. A Solucion. Examinemos la funcion u : x »—• e
x
, Es evidente que lim «k'(ar) — 0, po
www.fullengineeringbook.net X-+OQ
lo cual las funciones vS*\ j = 0, n, satisfacen las condiciones del ej-81 en el interval ]—oo1 +co[. Al repetir los razonamientos usados en la solucion del ejemplo anterioiy deducimos que v! se anula por lo menos en un punto de este intervalo; u", en dos puntosj u(n), en n puntos. Dado que Hn(x) — (—l^e* irn\x) es un polinomio de 7i-esim grado que tiene exactamente n ceros, sus ceros coinciden con los ceros de la funcion todos estos ceros son reales, • 87.
Hallar una funcion 6 =
Ax) tal que f(x 0 + Aar) — f(x$) — A xf
a) f(x) = ax + bx + c, a ^ 0; b) f{x)
3 J
x ;
c)/(ar)=±;
+ 0 Ax) sir
d ) f ( x ) = ex
Solucion. Aplicando la formula de incrementos finitos de Lagrange a cada una de lai funciones a)-d), tenemos a) a(x0 + A a:)2 + b(x0 + Ax) + c- (ax2 + bx + c) = Ax (2 a(x0 + 6 Ax) + b), de dondei 1.
e
i*
b) (x0 + Ax)3 - x% = 3 Ax(x0 + 0 Ax)2, de donde Xq >0, Ax > 0; Ax 1 1 t de 2 donde #(#0, A#) c) xi) (x„-Q Ax) Ate( Ax, de donde 6(xo, Aap) d) e ^ii+Aar
AX)
+
^
A a;
'i
+ Aas) > Qi
Asr m Ax
88.
Sea 3-x
f : xi-+
I
x
si
0 ^ x < 1,
si
1 < x < -3-00
ii
§ri. T o o re niii
Itollc, h ' o w m i i di' [ . a g r a n g r y ( w r i ' i n a d c C a u c h y
IKi
IJeterminarel valor injerinrdin <•. tin la formula d o inctvmontus finitos para la f l u x i o n / en rl s e g m e n t o 10,2\. 4 S o l u c i o n . Veamos si la funcion / es diferenciable e n cl p u n t o x = 1. S e g u n lit definicion d c las d e r i v a d a s unilaterales t e n e m o s 1 V *j f l ( l ) - A*lim 0 Ax
2+
/
+
M
=
'
1 t i m Ai—(4 Ax
+U A®
t
141 funci6n f es derivable en el s e g m e n t o [0,2]. Apl i cando la formula d c incremento* linitos a la funcifin / en el s e g m e n t o [0,2] hallamos / ( 2 ) - / ( 0 ) = 2/'(c),
0 < c < 2.
Dado q u e f{2) = jy f{0) — |, j
f - i si - Jy Si
/
0
lencmos _ ( -2c \
"
si 0 < c < 1, si 1 < c < 2,
de d o n d e Cj = \, c2 — *J2 son d o s valores int ennedios.
•
www.fullengineeringbook.net 8 9 . Sea / una funcion derivable con continuidad e n u n intervalo ]a, t>[. Est udi ar si p a r a Indo p u n t o £ d e ]a, i»[ se p u e d e hallar otros d o s p u n t o s x\ y x2 p c r t e n e d e n t e s al m i s m o intervalo q u e salisfagan la i g u a l d a d siguiente: Xz - x\
4 S o l u c i o n . Si f'(x) > 0 en el intervalo ]a,b[ y f n o es constants en n i n g u n s e g m e n t o del intervalo ]a. b[, la funcion f es creciente e n ]a, D e este m o d o , p a r a cualesquiera , ( 1 , 1 2 6 \a, 6[, x-i > x\, se tiene f f a ) - /ta?i> > X-2 - X]
Q
I'or lo tanto, en los p u n t o s del intervalo d o n d e f\x) — 0 no p u e d e c u m p l i r s e la igualdad x2 -
I'or ejemplo, para la f u n c i d n / : x w verifica la desigualdad a: - X1 3
Sl
x3,
- 1 ^ x < 1, p a r a cualquier xu x2 £ | - 1 , 1 [ se
3
-—- - = x\ + X-2 — Xi
+ x* > 0.
I'or consiguiente, para cl p u n t o £ = 0 no existen aquellos valores d e ;Ci y x? a ios q u o I lace m e n t i o n el e n u n c i a d o del p r o b l e m a . Sin e m b a r g o , para ciertas clases d e funciones tfue satisfagan todas las condiciones del teorema d c I.agrange n o s e excluye u n a respuesta jlirmativa a la c u e s h o n planteada. •
[M 90.
Gipflulo 2. Oilculo differencial para fiincionrs dc una variable Demostrar las igualdades: a) | sen x - sen y\ ^ \x - y\; b) pyv
(ar - y) < x,f - y pa;'
y p> 1; ^
c) |arctg a - arctg
^ \a - 6|; d) -
< In - < i
a
«
b
a - b ,n
(a - /;) si 0 < y <
.
- si 0 < 6 < a.
Solucion, Segun la formula de Lagrange tenemos a) sen x — sen y — (x — y) cos de donde J sen x — sen y\cosfl \x-y\ ^ y < £ < a,dedonde ^ sP^y? ^ b) xp-yp = pZ^fe-y), c) arctg a - arctg b = f f s (« - ft), de donde larctg a - arctgft|< |a - 6|;
w
i
•i
d) In a - In 6 = 7(0 - 6), a < { < b, de donde
< In § <
•
91. Demostrar que si una funcion / es derivable sin estar acotada en un intervalo finite b[, su derivada /' tampoco esta acotada en el mismo intervalo ]a, 6[. Solucion. Sea la funcion / derivable en \at &[ y no acotada para x —• b — 0. Consideremo una sucesion arbitraria (#„) que converge a b por la izquierda. Existe entonces un numero iV| tal que para Vrc > N se verifica la desigualdad > A, cualquiera que sea A > 0 Fijemos un numero m > N y examinemos la diferencia f(xn) - f(xm) para n > m Aplicando el teorema de Lagrange a la funcion / en el segmento [xm, xn], obtenemos
x
Xm
www.fullengineeringbook.net
donde xm < £mn < xn. Para n lo suficientemente grand e, en virtud de las condiciones de1 problema, el primer miembro supera a cualquier numero positivo fijado de antemano, dft donde se deduce que la derivada /' no esta acotada para x —> b — 0. La afirmacion inversa no es cierta: del hecho de que la derivada no este acotada en un intervalo no se deduce que la propia funcion tampoco lo este en dicho intervalo, por ejemplo, / : x ^ y/x, 0 < x < a. 92.
Demostrar que si una funcion / es derivable en un intervalo infinito ]xo, +00 f y lim /'(ar) = 0, X—*+00
entonces
lim m
0,
es decir, f(x) — o(x) para x —• +00. <4 Solution. Sea (a;Tl) una sucesion arbitraria de valores del argumento tal que xn De este modo, Vfe > 0 3 N : Vn > N se verifica la desigualdad
\f{Xn)\ < \
+00
(1)
Fijemos > N y para n > nQ apliquemos el teorema de Lagrange a la funcion / en el segmento [&„„, xn]\ • • •
a
^
Xfi x n0 donde xntl < £„ „n < xn. nn,,
(2)
§ 5 . T e o r e m a dt'
Itolle, Icoreniii
de
I.a^ninge
y (i-mrni,) d e C a u c h y
IMS
Hn virtud dt1 Lim ilcsigualdades (1), a parlir d o (2) teuemos \f(xn) -
f{xUtl)
Xn
Xi1i&
<1-
(3)
I )c (3) o b t e n e m o s las d e s i g u a l d a d e s ^ •7i
_ (] _
£ < ^k < 2
+
Xn
Xn
fa „ \ x7l /
(4)
Para ?i g r a n d e s es valida, e v i d e n t e m e n t e , la d e s i g u a l d a d _e 2 *
f(x,J s xn~ * V
verificandnse, a d e m a s , ( l - y^H < f s i e m p r e si n > n , D e esle tnodo, h a c i e n d o u s o d e la d e s i g u a l d a d (4), para iiq > N y p a r a n > uq lo suficientemente g r a n d c o b t e n e m o s la desigualdad 0
fir,A > — ' < f, -if < J/(»n)
obien
(5)
f(T„) |
D a d o q u e ( x ) es u n a sucesion infinita arbitraria d e t erm i nos positivos, se tiene n
www.fullengineeringbook.net ( f ( x ) = o(a;))
( lim — - = o /)
\x—H-oo X
si ^
-foo.
•
9 3 . D e m o s t r a r q u e si u n a funcion f cs derivable en u n intervalo infinito f(x) ~ o(x) para x —* + o o result a
I oo[ y
r
lim \l'{x)\ = Q. Mn particular, si existe lim f'(x) ~ k, enlonces k — 0. +CO .Solucion.
Sea
J m
l/fcJNA
Z — +CC
A^O,
entonces Vu (fl < £ < A) d B tal q u e para x > B se verifica la d e s i g u a l d a d \f'(x)\^A-e.
(I)
l ijemos X\> B y consideraremos x > x^. Aplicando el teorema d e Lagrungo a la funcidn / en el s e g m e n t o i ] y t o m a n d o e n consideracion la desigualdad (I) hallamos ;
m
-
nxi)
Ή͑ ͑͞ ΉΚ͑
I'asando e n la desi gual dad (2) al limite x —» — oo nblenemos lim
J —-loo
fix)
• A
lo q u e contradict: la condicion f[x) — »(«:). Am' puen, A II, rn d f i i l , lim |/"('HI
II
FHfr
("iipilulo Sea, alioru,
xm
j:
f oo, se tiene
(MJcuIo difeivmlal para fiinrioncs tic un.i variable
lim fix) * hx>
k. lintoneeN para una sucesi6n arbilraria (xFH), xTtl > Of
lim f(xm) ^ A;, rn -* oo es decir, Ve > 0 3 M tal que para m > M se verifica la desigualdad k-E
< f(xm)
<
K
E.
Al tomar too > M , m > m 0 y aplicar el teorema de Lagrange a la funcion / en el segmento [xW|)J xm] obtendremos
f&m) ~ /(gmj
Mm),
De la desigualdad (3) se deduce la desigualdad
Pasando al limite en la desigualdad (4) para m —> -f oo, obtendremos lim I & l l ^ k + e. j-oo XM Dado que lim ^Xfti^ = 0, resulta A — s ^ 0, k -f e ^ 0, de donde, por ser e arbitrario, se W— i +00 deduce que k — 0.
www.fullengineeringbook.net
94. Demostrar que si una funcion / (que no es lineal) es continua en un segmento [a, 6] y tiene derivada finita en el interior del mismo, entonces en el intervalo ]a, &[ existe por lo menos un punto c tal que m - m i 1/ (C)l > b—a M Solucion. Al dividir arbitrariamente el segmento [a, b\ en n partes mediante los puntos a0 ~ xo < x\ < X2 < .. - < xn ~ b obtenemos n-1 r a-1 |f(b) f(a)| - J2 ~ < ^ I ' i=Q i^. 0 Por la formula de Lagrange tenemos -
fi%i-fi) - f&%) = / (6) Aa?f,
xi < & < xi+ u
i = 0, » - 1 >
donde Axi = a^+i — De este modo, llegamos a la desigualdad
i-0 Dado que la funcion / no es lineal, existe pues una partition del segmento [a, 6] tal que entre los numeros ]/'(&) I hay un numero maximo distinto de cero que designamos mediante [/'(£) Asf, de (1) se obtiene la desigualdad estricta n-1
|/(&)" M \
< 1/(01 Y1Ax*
=
°)|/'K)|.
tJS, Te ore nut de Htillc, leon'iiiii de Lagrange y Iruimiii de Cauchy
IN/
de donde |/'(0| 95. Demostrar que si una funcion / tiene en un segmento [a, b\ derivada segunda y f'(a) —- f'(b) = 0, entonces en el intervalo }a, 6[ existe por lo menos un punto c tal qua
4 Solucion. Si f(x) = const, la afirmaci6n es evidente. Supongamos que ia funcidn / no en constants. La condicion f'(a) — f'(b) = 0 implica que la funcion / no cs lineal. Aplicando la formula de Cauchy de incrementos finitos a las funciones / y
*(/m-/(*>) m {b~af
b
a
-
2
< fe < b.
Sumando las igualdades obtenidas hallamos
www.fullengineeringbook.net s ( m - m ) p^a)2
m
^ -o
, /'(ft) 1 6 — ^2
m
Como /'(a) = f'{b) = 0, cl segundo miembro de la ultima igualdad puede eseribirse en la forma
donde « < f/i < ifi, < considemcion (2) vemos que
< 6 , Al estimar el valor absoluto de (1) y al tomar en
8|/<6?-/W| . I , , , , vI , | m. ,, < 1/ M + l/ M (6„nj2 Supongamos que j{b) ^ f(a) (en el caso contrario, la demostracidn es trivial: como c puede servtr cualquier punto del intervalo la, &[}. Por lo tanto, al menos uno de los numeros [/"(??t)| P ]/"{%)| esdistinto de cero. Designemos [/"
(el signo dc igualdad no se oxcluye, pues puede ocurrir que |/"(»?j)[ =
).
•
188
( jipidifo 7. CillcuJo diforriu iii! |Uir
96, Punuwtrar que hi una funcirtn vectorial f : M • Ku liene derivada continua en uri - "wtf^Vrt uli rid- 'i«; u\; serve run:;! ia a esigua I clad |f{6) - f(a)[ s£ (6 - o) ni.ix |f (®)|.
4 Soluci6n. La funcion F :
(i(b) - f(a)) (x -a)-
t(x)(b - a) es derivable en el segmento
[a, 6] y sus valores en los extremos del segmento coinciden. Por eso, segun el teorema da b[ tal que Rolle, 3 £ Q f ( £ ) = 0,
(f(6) - f(«)) 2 - ( f (£), (W) - f («))) (b ~ a).
o bien
A partir de esta igualdad obtenemos Ia desigualdad
\m-m\
|f(£)|(b-a).
(1)
Dado que la funcion |f'| es continua en [a, b], entonces segun el teorema de Weierstrass esta toma su valor maximo max |f'(x)| en cierto punto x £ [a, 6]. Por lo tanto ff'(£)| = y a partir de (1) obtenemos la desigualdad requerida. 97. Demostrar que si una funcion vectorial F : IR —• E 1 a) es continua en [a, &]; b) es derivable en el intervalo ]«, 6[; c) la derivada F'{#) / 0 en ]a, h[, entonces existe un 3 £ £ ]a, b[ tal que - F(«) = AP'tf),
m siendo A una cons tan te,
www.fullengineeringbook.net
( f ( x ) , £(£)) £ E . En virtud de las condiciones a) y Solucion. Sea F : x i—* (f(x)}g(x)), b), las funciones / y g son continuas en el segmento [«> b] y derivables en el intervalo 2
2
]a, b[. Ademas, (/'(#)) + ^ 0 segun Ia condicion c). Por consiguiente, de acuerdo con el teorema de Cauchy 3 £ £ ]a7 b[ tal que
(m
- m)g'(0
= f'(0(9(b) - 9(a)).
Si, por ejemplo, /'(£) ^ 0, se tiene F(6) ~ F(a) = (f(b) - /(a), g(b) donde A
9{a)] =
f { h
):{l
m- m
^
1
—
{ a )
{f(o,m
•
—
m
Ejercicios 191. Considerando las funciones / , gf (p siguientes demostrar que ninguna de las tres condiciones del teorema de Rolle es superflua:
Jf tt-r 1+ l
f :x (fix '—*
-1
192, Para una funcion vectorial i:
^ x ^ 1; (x sen
f
c0
si si
a < x < 6,
x
a, x sen a:,
b; 7T 4
0 ^ ar ^
x cos x), x E [O, § ] , hallar un £ € 10, § [ tal que
?r f(0) = A-f(f),
A e R.
§ 5 . Teomini de Kulli', tenienia du Lagrange y leurrinn dts t'aiu'hy m.
Demostrar quo si / i C"" MI (|u,6|), 3 f f. ]a, f ( x ) - Lm(x)
IH'J
tal que ^ f W n t e ) ,
siendo wm+iC»0 = [ x - s e , f a - # ( ) . . . . < « — •
a =
< x , < . , , < xm « 6,
m j=0 <|> Indkaridn. Considerar la funcion 2 : a: mediante la condicion z(S) — 0.
/(;e) - & * ( $ ) - A(®)o»m.H(:e), donde * ( £ ) se define
194, Sea f : iK —> IS*, n ^ 3 r una ftmcidn vectorial derivable con continuidad en un segmento [«, b\, a < b. Comprobar si siempre puede liallarsc un £ 6 la, 6[ Lai que cl vector ((b) - f(a) sea colineal a f ' ( 0 Estudiar el ejemplo [0, f(x) st (cos x, sen a;, a;), x
6
jt].
195. Comprobar si el teorema de Lagrange es aplicable a la funcidn / : x i — \f—T, derivable en el segmento la, 6]. ExaminaT el ejemplo f ; x t-* cos x + i sen x,
x 6
r
f\{x)
-I- ifoix),
donde
JM
196. Sea f una funcion derivable en un intervalo (a, 6[ tal que f(a;) - 0 en ju, 6[. decir sobre la funcidn f ?
podemos
www.fullengineeringbook.net 197. Sea A una funcion matricial derivable en un intervalo ]a, fc[ y lal que ji'(ar) = 0, x £ iQue podemos decir sobre la funcidn A?
Jj{.
!98. Sea ip • x>-> x , donde / es una funcion dos veces derivable en [a, b\, siendo f'(x) Para un f? dado hallar un conjunto X C [n, ®] para el cual se veritique la desigualdad
j v W ~ vKjf)|
~
/. 0.
if G
sj: a) / :
x~cosx,
B=
b) / : x
[0, | ] ;
/'"'{O^jf-1
199. Sea
x tsx
- % 9 = 1, x e [0,
§],
~ H x ~ t f , t P. [", x], p > 0, A = const;
la funcion / tiene (n + l)~esima derivada en [a, x], Demostrar que Vp > 0 3 4' g tal que
m
- 1
-
+(f=f)p
x[ y A
M>ts
(formula de TaytOx con Wrmino compiementario en forma general). 200. Sea A : x h > A(x) — a
una funcidn matricial derivable con continuidad en un segmento fa, b\ y l 0 ! ; ^ ) ! 2 ' donde >'ij(x) son elementos de la matrix A(x).
Demostrar que se
Y iJ=i verifica la desigualdad |X(l>HA{«)|
<
maxjj4'(a!)j(b
— a).
201. Demostrar que si las funciones vectoriales f v g son conlinuas en el segmento ja, derivabies cn el intervalo Jn,6[, entonces 3 £ € ]a, £>[ tal que (f{6) - i(a), g ' ( 0 ) - ( g ( i ) - g(«>, f (O) •
y
m
( a pill Ho 2. C "iilculo difiMvtiri.il prim funcioneH Ji* 1111*1 v.imbli 1
202. Supongamos que Jos funciones / y
Jt^i
= fm ^
- E A-I
'
ip : x tp{x)f siendo
d ) Indicacion. Analizar la funcidn
£„(*) =
9(k) («),
-
a-
- n - ^ - a ) ,
t=l
- fib) - 2^ —rr1^ ~ a) • kl k=l 203* Supongamos que:
2) Vsc, ft 6 K se cumple la identidad
f{x + h) - fix) = hf(x + 0ft); = |; b) si
3) f i x ) Demostrar que: a) si 9 = 0(a?), entonces entonces lim 0(A) = £. 204. Sea
-i+i = ~ (x -f &ix)) u?
ix -f 1)I -
x ^ 0,
< + o o y 0 = 0(A),
n>L
Hallar los valores limites de Six) para x +0 y x -> -foo. 205. Supongamos que dos funciones / y g son derivabies en un segmento [a, b\, verificandose, ademas, gix) ^ 0, gf(x) ^ 0. Demostrar que 3 £ G ]ft> £»[ tal que
www.fullengineeringbook.net t
0(a) 206. Demostrar que la derivada de la funcion / xi sen (5 lnar) ,
/ :x
x ^ 0}
0, x = 0,
es continua para x ^ 0, pero la funcion £ que satisface fix) — /'(£(#))&, 0 < < a?/ es discontinua. 207. Demostrar que si f es continua y monotona en un segmento [0, ft], siendo /(0) 0, la funcion f es continua en este segmento (v. ej. 206). 208. Demostrar las desigualdades: a) k - 2/1 ^
\x2 In x - y2 In y\ ^ 3e\x - t/| Va:, ^ 6 [1, e];
b) arctg a; - y1 arctg y\ ^ 209. Demostrar las desigualdades:
\x - y\ Vie, y G [0,1].
a) 1J 210, Demostrar que las aproximaciones sucesivas definidas por la formula =
"
j
X'q = 1,
convergen a la raiz de la ecuacion x = ee£, si 0 < ee < 1. 211. Demostrar que las aproximaciones sucesivas definidas por la formula
— AXn 4-1} 1 donde A
2
X 0
(i f i f ,
1
(1,0)T-
1
i 1 4
7
convergen en E2 a la solucion de la ecuacion X = AX + 1 si s1 <
Cwliiih'tiftt y tU'mH'tmiciito de una funcidft. DenigujildadeB
I'M
f
§6. Crecimiento y decrecimiento de una funci6iu Dcs igualdades 6.1. Crecimicnto y decrecimiento de una funcion Definicion. Una funcion f se denomina crecientu (decrcdenle) en un segmento , Q [a, 6] y x , < x2. &j, si f(x2) > f(xi) (respectivamente f(x2) < f{xi)) 6J2. Criterio de crecimiento (decrecimiento) de una funcion Para que una funcifin / cuya derivwda es finita o infinita en un intervalo X sea creciente (decreciente) en dicho intervalo, es condici6n necesaria y suficienle que se verifique: a) f'(x) ^ 0 (/'(a:) ^ 0); b) f'(x) no se anule en ningun segmento [a, que este contenido en el intervalo /3j C J ) . R determinar los intervalos dc crecimiento y decrecimiento de las funciones siguientes: 98. 4 Solucion. Dado que /'(x) = x2 'x(2 - x In 2) para x 6 ](), ~ [, !a funci6n / es crccieiUe en el intervalo ]0, r ^ [- Bn los intervalos ] - o o , 0[ y ] +00 [ la derivada de fa funcion / es negativa, por consiguiente, f decrcce en cada uno de dichos intervalos. •
www.fullengineeringbook.net 99.
f i x ^ x ( j \ | + sen(lna))^ si a: > 0 y /(0) = 0.
4 Solucion. Derivando f hallamos
/<») - J \ +
sen (in x + J ) ,
x > 0,
de donde f'(x) > 0, si sen (in x + |) > — ~. Resolviendo la ultima desigualdad determinnmos los intervalos de crecimiento de la funcion /:
Jin los intervalos /'(•») <0,k€Z.
^ | a f u n c ^-, n j> decrece, puesto que en estos intervalos > v it
1 + - ) es creciente en los intervalos ]—oo, - I] y JO, +oo[. 4 Solucion. Mostremos que en dichos intervalos la derivada de la fund6n es positive. Para x >0 f ¥ ) = /(«)
(Hz
+1) - In® -
Al a plica r la formula de incrementos finitos a la fuodon x obtenemos ln(;r + 1 ) - I n x — luego fix)
= f(x) (l -
donde
> 0 para x > 0.
. In x en el segmento [a', x + J |,
x < £ < a: + 1,
k npnuio JL. CiUi'iilo clifer-eiiriiil jwrt finu'loiieM de una
I v/
Sim -oo < x <
i
1
iahle
1. Tenemos
/'(») = f(x) (ln(< - I) donde t
••I
I nt-
-J
--),
xr 1 < t < +oo. Segun la formula de Lagrange 1
ln(* - 1) - In t donde t - 1 < & < t, por lo tanto f{x)
para 1 < t < +00, o bi
= f(-t)
}'{x) > 0 para -00 < x < —1, 1 0 1 . Comprobar si la derivada de una funcion monotona tambien es monotona. M Solucion. No, en el caso general el enunciado no se verifica. La funcion / : x t-> 2x+sen es una funcion monotonamente creciente en toda Ia recta numerica debido a que su derivad /': x j-* 2 + cos x es positiva Va: E No obstante, la propia derivada no es monotona e el intervalo ]—oo, +oo[, 102. Demostrar que si
|/(a?) - /(a?0)| <
x ^ x 0,
Interpretar este hecho desde el punto de vista geometrico.
www.fullengineeringbook.net
A Solucion. Dado que las funciones / y
f'(c) j ^ 1, /(«o) I m tp(x) -
Xq < c < x,
de donde \ f(x) - f(x0)\ < }
1 0 3 . Sea / una funcion continua en un intervalo a ^ a? < +00 y, ademas, f (x) > k > Q para x > a, donde k es una constante. Demostrar que si f{a) < 0, la ecuacion f(x) = 0 tiene una y solo una raiz real en el intervalo 1 a, a
m k
Solucion. Aplicando el teorema de Lagrange a la funcion / en el segmento tenemos +
1M) k
-
/<«) = w
k
- + Oimi f'U k
De Ia condicion f'(x) > k > 0 obtenemos
de donde
+
> 0.
J
0<6<1
tjth ( iininiJi-pild y tlt't'ivt'imii'iilfi dc un.i funiiiin. Di
1*1!
jJii los exlremos del Hi'gint'Hln |«, n \ IJ&'-lj In funci^ji / Ionia valoivs do siguos opuoslos, por lo tanto, scgi'm cl lixm-otii do Cauchy dc los valores intcmnjdioS existe un puntu f C: j a , a -f
| In I que /(£) — 0. Demostremos que dicho punto us tfnico on esle
inlcrvalo. Para eso suponemos que en dicho intervalo existe un punto tal que /(6 i Jn'guu el teorema de Rolle, en el intervalo (si £1 > £) o en el intervalo < 0 debe exist ir un punlo £2 tal que /'{£)) =0, lo que contra dice la condicion f'(x) > k > 0 para x > a. 104. Demostrar que si: 1} dos funciones arbitrarias p y ip son n veces derivabies; ptft>(®o) ~ ^(xa), k = 0, n - 1; 3}
- U{n~%0)
- u [ n ) (0(* - Xo),
de donde, en virtud de las condiciones 2)-3), hallamos >fl,x > xa. Anilogamente se dcmuestra que tt'" > 0,..,, fi(a;) > t), es decir,
www.fullengineeringbook.net a) e1 > 1 + x si x / 0 ;
c)
e)
b)
X 2 - — < sen x < x si x > 0; 6 1 1 (xa + yay; > (x" + if)i> si 0
d)
- x— < ln(l + a;) < x si 2
x
X tg x > x +• —
x
> 0;
TT 0< x <
si
3
2
0 , !/>0y0<«<)3.
I Solucion. a) Designando (p{x) = ex, i>(x) — 1 f a; y teniendo en cuenta que j?(fl) - f
Dado que
x
* > ip\t)
x2 " y'
m=tt~h
t>o.
para t > 0, resulta 1p(t)
^(x) = ln(l + x%
Es evidente que y?(0) = ip(Q) = i)(Q),
7j(x) = x,
< ip'{x) < 7]'(x)
tp(x) < •!p[x) < 7/(2) si
> i>{t.)
x^Q.
para
X > 0.
c) Denotemos
x3 b
-p(x)
= sen x,
para t > 0, es decir,
i](x) — x.
x
> 0, por lo cual, on
m
t'upitiilo 2. CjltuJo diferenditl p.iu ftincioiu's de
iiim
variable
leiienios ^j(O) 'tp{0) //(()),
fp(x) < if?(x) < 7}(x)y x>Qt
x^ 2far)
k 6 N.
Para x = 2Jt7r tenemos las desigualdades 2_2 4fc%
2tar f l
6
j < 0 < 2&7T,
es decir, ip(lk-K) < ^(2fc7r) < ?j(2fc7r), fee N. De este modo, cuando ® > 0, se cumplen la| desigualdades
(p{x) ($) < rj(x) d) Designemos (p(x) = tgar,
= ^ +
a;
3
0
7T 2*
x <
i
Evidentemente, ^(0) = ^(0), ip\x) > i?*{x) para 0 < x < | (pues ^'(as) = 1 + tg2®, = 1 + x , tg x > x para 0 < x < - ) , Teniendo en cuenta el ejemplo anterior; podemos afirmar que (p(x) > x) para 0 < x < e) Para todo x > 0 e y > 0 fijados de antemano, y para todo a, fl tales qu
www.fullengineeringbook.net > (ar + yr)es
0 < a < p, ia desigualdad (xa + ya)rt
't
x
>
+1
y
X\P y
equivalente a la desigualdad 1 &
-hi
Para demostrar la ultima, designemos ~ = t y examinemos la funcion 1
(f + l) %
Q
Su derivada i z Inf
ip ! Z I—* ^>(2) z( 1 + tz)
ln(l + i 2 ) in
111 ~— (i +
l
i-
+1*)
n
es negativa para 0 < z < +00, luego la funcion
+ y") para x > 0, y > 0, 0 < a < /?, c. q. d. 1
1 1
> {x» + 7/) a
•
1
1 0 6 . Demostrar que para x > 0 se verifica la desigualdad
x
tj(>. t'li'iimloillii y ihriniinicnUi de HIM linn inn I lesij^u.ildades
MJ.'i
Solucion. Si In di^igHaldad cs vdiida, tomando Ingarllinos en ambas paries tie t\sla ilcsigualdad se obiiene fitcilinenlc la desigualdad — p - < In ( l + - ) < i , V xJ x x+ 1 que hay que demostrar. Designando j = t, t > 0, Jlegamos a la desigualdad
I a segunda parte de esta desigualdad se demostrd en la solution del ej. 105. Demostremos ahora la primera parte. Designemos
107.
Demostrar las desigualdades: a) a;" - 1 > a(x - 1) para a ^ 2, x > 1; b) v ^ — \/a < Vx - a para w > 1, % > a > 0; c) 1 + 11n x ^ x2 para x > [J.
Solucion. a) AI designer
www.fullengineeringbook.net si
a ^ 2,
x > 1.
b) Por analogia con la demoslradon a), para n > 3, a! > a > 0, tenemos
fp(x) - Vx - a, por eso
c) Designemos tp{x) = l + 2 l n a j , — x2. Vemos que para x = 1 los valores de las funciones
=
= Mq,
i>[®,
de donde ^j(f) < tp^t) para 1 < t < +oo, es decir, ip(x) < tp(x) para 0 < x < 1. Tomando en consideration la evidente igualdad = iy>(l), llegamos a la conclusion de > 0, c.q.d. • que (p{x) < 4'ix) lijercicios Hollar los intervalos dc crecimiento dc las funciones siguientes: 212, / !
arccos
213. f : x ^ We.'1',
a > 0.
214. f : x ^ x (l + i')*.
215. / :x h-t arth -y^Vv
216. / : X
217. f:X-*Y,x**
y = exp(\^ir( - sen t2 + cos t2),
f •Y
V
P+l, ^ "
- CPn/l
Y, x = t hxt, y =
it = nf1 - r m H
O
f
19b
( 'apilulo
t'alculo di feiviii'i.iE para I unci ones de tin.i variaMe
219, J : X Y, a; -- a soiVf lf y h t W lf 0 < / ^ 2k. 220. f : if ^ J p , . 221. / : ™ i >
#^
sen ^ p =
cos 92, y =
Yt x = p co$(4p - p3), y ^ p sen(4^ - p3).
224. / : X 225. / : X
Y, x3 + y3 — 3ar?/ = 0 (y > 0, / es una funcion derivable).
226. f
x2y2 - z3 + y3 = 0. 227. /
228.
+
& + p = ac^.
cos (a? + 2y) = 0.
Estudiar la monotonia de las funciones siguientes:
229. / : x
{2 + x) ln(l + x) - 2a?. 230. / : as w
xT [x]l
ar ^ 1.
231. / : X Y, x = senf - J 4y - 4*5 - 5i4 + 1. 232. = > 0 (p)
235.
^ _ ^ ± !
> 0 p a r a a ! > 0
237-
* - !r + fr 238 11 - — -i^o. 2! 4-4!
.
www.fullengineeringbook.net 239.
+
+^ +
neN.
240. sen x ^ ^(ir - a?), 0 ^ x $ sr. 241. cos a: ^ 1 \x\ ^ f . 242. a) tgar ^ para 0 ^ x ^ b) lgx ^ para f ^ ar <
243. ^Er < « + ^ ^ ( f f 1 245. ar« < 1 +
® > 1, a > 2. 244. senx + tg® > 2x, 0 < x < f .
n para 1 < » < e. 246. ^ ^ ^ > 0, \x\ < tt. 6=1
247. Sean a — (a1} a 2j * • - ?
an)/ b
=
b2) * *., bn) y c vectores de En. Demostrar que
A F E det | F B G | ^ 0} E G C donde A =
B = b\ C -
E = (a, c), F = (a, b), G = (b, c).
248. Sea / una funcion derivable en [a, b], /(a) = 0 y 3 A 6 R tal que ^ A|/(«)| en [a, ft], Demostrar que f{x) = 0 Va? G [tt, &]. 249. Sean x,y 6 Se dice que x > y (x < y), si > yk (xk < yk) Vfe - 1, n (dicha relacion entre ciertos vectores se conoce por el nombre de ordenacion parcial). Basandose en dicha relation, llamaremos a la funcion vectorial h •••i ^ ^ 7 monotonamente creciente (decreciente) en el intervalo T C [a^b], si Vii,^ € I se verifica (h > t2) => (x(t0 > x(f2)) {x(^) < x(fe)). Demostrar que la funcion vectorial x : 11-* (sen t, cos
te
} es creciente en 10, ~ [.
Hallar los intervalos de crecimiento (decrecimiento) de la funcion vectorial f si:
250. f : t ^ (21 cos£| + | cos2t| +4f, 251. f : / t—s- fJL <
+ ^ se n4i -f l) .
t uuveUd.id v eoiii.tvidtld dc lit gi.ifie.i dt
255. Una funcidn matricial A : l
(fi^(O)
(decreciente) en un intervalo |a, (correspondientemente,
{i,j =
I tumii'm
I1)1/
ti) sc denomina mono to nan
em'ieule
si Vi (l ii 6 jn. i)[ si (ii > h) m. {MII) > d(i,)}
}<
Dodas dos matrices A y Ji, se dice que A > D
(/i < B), si a,, > b,}
< h,j), i , j
Determinar los intervalos de monotonia de las funciones matriciales siguientes:
W
,
(
\. fl f
?
i.
*
i i
f
f
v'i]»(
t
\
[t] +t )'
( sen! + I sen f| cos f + | cos t] ^ t + arcseiit2 tsent J'
§ 7. Convexidad y concavidad dc la grafica de una funcion. Puntos de inflexion 7.1. Convexidad y concavidad de la grafica de una funcidn Definicion. Se dice que la grafica de una funcion / ; ]a, —1 IR es o'mcav.i (convex a), si dentro de los jf mites del intervalo mencionado la grafica esta si to a da j^icw ari iba (hacia abajo) de cualquiera de sus tangcntes. Teorema. Seu una funcion cuya derivada segunda es finita cn cada punto dd intervalo Af- Para que la grafica dc esta funcion sea concava (convexa), cs suficiente que se verifiqite IW lu desigualdad f"(x) >• (f"(x) para a
www.fullengineeringbook.net 7.2. Puntos de inflexion Definicion. Sea un punto Jft) dc la gnificn dc la funcidn / donde existe la tangente. Si en el eje de las abscisas existe un entorno del punto a*u till que al pasar poi este la grafica dc la funcidn f varia de concava a convexa, o viceversa, dicho punto se denomina punto de inflexion de la grafica. Teorema. Un punto f(x{{)) pura el ami f"(x0) - Oobien f"(x$) no existe, cs [tn punto de inflexion, si la funcion f"(x) cambia de signo at pasar por dicho punto. Hallar los intervalos de convexidad y concavidad y los puntos dc inflexion de las grificas de las funciones siguientes:
108.
f :x ^ 3x2 - X3, x € R.
Solucion. La derivada segunda f"(x) 6(1 - X) es positiva para x < 1 y negativa par.! x > 1. Por consiguiente, de acuerdo con el teorema del punto 7.1, en el intervalo | on, If la grafica de la funcidn / es concava y en el intervalo ]1, +oo[ es convexa. Scgtin la definition 7.2, el punto MQ(\,2) es un punto de inflexion de la grafica. 109.
f : x ^ x
x
(x > 0).
Solucion. Dado que la derivada segunda f"(x) = x* ((In x + + -7) > (J para x > II, entonces segun el teorema del 7.1, la grafica de la funcion en cuestidn es concava. •
I
M
i apiuuo i. I A leu To dift*rencia I para fuiicioiuns do una variable
'
110. Deterinmar el valor del para metro h para el ami la "curva de pmlnibilidad" y^
h
—
V7T
e
--/iV
i ^
,
h > 0n}
fl
—jpff* \
(
^ ^ 7/T
/'
< Solution. A partir del signo de la derivada segunda f"(x) =
(lk 2 x 2 ~ l)
llegamos
a la conclusion de que en el punto x ~ la curva tiene inflexiones (dado que al pasar estos puntos la derivada segunda cambia de signo). Por tanto, el valor requerido de h su determina de la igualdad = a) {h ~ -J^),
a < 6 < x, a < & < a,
(1) (2)
De la condicion / " { £ < 0 se deduce que /'(a?) < 0 para a? > a, por tanto la funcion / decrece en el intervalo ]ar H-oo[. De las formulas (1) y (2) hallamos
www.fullengineeringbook.net f(x) - A + (x - a)f{a) + (a - a)(£, - a)/"(6(6))*
(3)
En virtud de las condiciones f ( a ) < 0, /"(&(fi)) ^ 0/ de ^ formula (3) se deduce que para un > a lo suficientemente grande el valor de la funcion es negativo. Dado que la funcion / es continua en el segmento [a, x0], segun el teorema de Cauchy de los valores intermedios existe un x { £ ]a,aro[ tal que / ( x - ) ~ 0. Por ser decreciente en el intervalo ]«, +oo{ la funcion / no puede anularse en ningun otro punto distinto de x\. • 1 1 2 . Una funcion / se denomina concava (convexa) en un intervalo si para cualquier par de puntos Xi y x2 de este intervalo y para dos numeros arbitrarios Ax y A2, Ai > 07 A2 > 0, Ai -3- A2 — 1, tiene lugar la desigualdad /(Aitfi + X2x2) < Aif(xx) + A2f(x2) (respectivamente, la desigualdad inversa f{M®i +
> Aj/^i) + X2f{x2)).
Demostrar que una funcion / es concava en 6[, si f [x) > 0 para a < x < b, y f es convexa en ]a, b[f si f\x) < 0 para a < x < h. 4 Solucion. Sean Ai > 0 , A2 > 0 numeros arbitrarios que satisfacen Ia condicion Aj-fA2 = 1. Supongamos que ff(x) > 0, x E ]a, 6[. Corisideraremos dos puntos arbitrarios X\ y x2 ( Xi < x2) dei intervalo b[. Es obvio que el punto Ai#i -f X2x2 se encuentra entre X\ y xi. Segun el teorema de Lagrange tenemos /(Al*! + X2X2) - f(Xy) ^ \2(X2 - X{)f(b), J
(1)
f
$7, < unvexidnd v concavidad dc la gr.ifua dc uiiii Iuncidn donde x j <
< Ap'i i
I'W
y
f(xj| - /(A,x, -f- X2x2) =
•*i)/(fe),
(2)
< £2 < Multiplicandt) el primer y segundo miembro de Ins donde A^xn + igualdades (2) y (1) por Ai y Ai, respectivamente, y restando de la primera igualdad oblenida la segunda hallamos x2-
A 2 f(x 2 ) + XJixt) donde
- /(Atai + X2x2) + MX2(xz - »i)/"(6),
virtud de las condiciones A] > 0, X2 > 0 y
< ft <
P)
> 0, tenemos
Aj/(« 2 )+ A,/(aj) > /(Xi^+AiiBj), i-s decir, f es cdncava en ]o, b[. Si, en cambio, fix) < 0 eii ]a, b[, segun lo antcriormentt: demos trado la funcion ifi: x — fix) es concava en ]«, b[, por lo tanto se tiene \\
de donde A[/(x;) 1- X2f(x2) < f(X convexa en ]«, >
: x t—' x In *» x'1 (n > 1),
www.fullengineeringbook.net 4 Solution. Derivando dos veces las funciones dadas hallamos V\(x) = «(»—l)»n"2i
$(x)
= i
tf(x)
= n(n~\)xn~2,
.
I'ara x € JO, -I Oc[ tenemos
Demostrar que una funcion concava (o convexa) acotada es siempre continua y tiene derivadas unilaterales por la izquierda y por la derecha. M Solucion. Para concrclar, supongamos que la funcion / es concava en un intervalo |«, /if, ['or ser / acotada en b[, He > 0 tal que l/(x)l < c. Sea xo E ]«.('[- Ivlijamos cl incremento del argumento h, > 0 en el punto Xg de modo cjue los juntos Xo h. y + tambien pertenezcan al intervalo ]a, b[. Por ser f concava, se verifica la desigualdad f(x0 + h) + f{x0 - h) > 2/(xn), que escribiremos en la forma f(x) - f(x0 ~h)<
f(x0 + h) - f(xQy
(I)
De la desigualdad (1) obtendrcmos la cadena de desigualdades /(so - kit) - f(xa - (It +• l)h) < f(xQ + ft) - f(xn) < < fix0 + (k h 1)A) - /(jT|> I kh),
k
tl. v
I,
(-.')
si los puntos :£() — (k 4- \)h, a\i + {fc + l)ft (A: — 1, n I) peHenen,u .tl inlei vuln |n. Sumando rcspecto a fc las desigualdades (2) desde II lutsta 11 I. llognmoM <1 lit tlciii^iMlttitd n Hfirif1#i hwipnHn ^n
1p n n l
n ni ttLnlit tli4 Li liiiu It'm W itlditiuumu»
/'(I0
('aplliiln >V (Vikulu diferencial para I un Clones de una variable l /*)'
/ M
<
(4)
J ft
Cualquiera que sea £ > 0, Vn > [ t e n e m o s |/(®o +
ft)-/(as0)|
(S)
si h satisface la condicion
i
, , b — Xn Xn -n n
0 < h < min
Asi pues, la continuidad de la funcion / en cualquier punto del intervalo ]a} &[ estd demos trad a. Demostremos la existencia de las derivadas unilaterales de Ia funcion. Sea h > hi > 0. Entonces se verifican las desigualdades
v /(Xq + fti) - f(x0) hi
<
f(x0 + h)- f(xo) h '
- /(x 0 )
fjxo-h^ -ft!
f(x0 - ft) ^ ~h
fjx0)
En efecto, al escribir hx — 0hf 0 < 0 < 1, vemos que la desigualdad a) es equivalente a la desigualdad
0f(xQ + h) + (1 - 0)f(xQ) > f(x0 - ft^ y Ia desigualdad b) es equivalente a la desigualdad
i
0}{x0 - A) + (1 - 0)f(x0) > f(xo - hi),
www.fullengineeringbook.net
cada una de las cuales se cumple en virtud de que Ia funcion / es concava, De este modo, la funcion
lo menos un punto £ tal que f (Q — 0Solucion. Debido a que se cumplen las condiciones del problema 81, en el intervalo para x —> +00, a partir de la ]#(}, +oo[ 3ft tal que /'(ft) — 0. Dado que f(x) — solucion del ej. 93 vemos que lim |/'(x)| = 0.
X —»+oo
De este modo, conforme al ej. 81 en el intervalo jft, +oo[ 3 £ tal que /"(£) = Ejercicios Hallar los intervalos de convexidad y concavidad de las funciones siguientes:
254, fix
«->(! + x2)
+ x.
255. fix
arccos
+ 3a? - 8. 256. / : x
77^= - 5x, v
~e* ™ 1 + 3x. 258. / : X Yt x = {t + I f , y = (t- 1)\ 259. f:X^Y,x = sht-t,y = dkit-l. 260. f \ X —> Y, x ~ t]nt, y ^ -6et - 3 f2. 261. / : X ^ Y, x = (1 + , !/ = (1 + 257. / x
•
r t'iiiivculil.ttt y iiiiu'iivkl.ul 263. / : ip i > />
t[i
y , ji
I.i ^liUiiit tii' ti 11.1 Itmt'ioil
201
• (I (/>,
204, Detoniunnf si es tjiSivcxii o concava la fjrdlica du In funcion / : X -> Y definida irtijilfdUniicjili' mediante In mwcitfn :r;' tj' — ?>x2y — 3y I 1 — 0 un torno nl punto M( [,()). 265. Determiner si Lis grnficos de las funciones siguientes tienen inflexion en <•) punto x
„w / ^ sen 1i) a] f arw < \ 0,
x = 0;
f ac5cosi,1 hi / ; 2 f-+ < ' \ 0,
I):
x f- x — 0.
266. Se.i / una funcion concava en un intervalo ]«, b[. DemostTar que
donde a < Xi <
= b, n ^ 2.
< ... <
UtiH^ando la desigualdad del ejemplo anterior demostrar las desigualdades:
2tt3.
.
^
+&!i + " • +
> 0, i ~ 1,n.
269. a) l" +2" + ••• +na > n ( S j 1 ) " , b) 1 -f I + - - • 270.
|
(l + £ + • • • +
'' , a ^ 1, n 6 N.
> ( S ^ ) * x>Q, y > 0 , z > 0 , x ^ y ,
Demostrar las desigualdades: n ^L 271. £ tfjT > 5 Para n>nu> 1. k—1
www.fullengineeringbook.net <|> Indication. Utilizar el hecho de que la grafica de la funcion f : x
272. £
i-i
+ -4=, £ > 0, es ^Sncavn,
^ 0 para 0 sS a ^ jr. «
('!)> Indication. AnaHzar la funcion / : i h £
*=i
— p a r a 0 < x < it.
273. .Demostrar que la suma de un numero finito de funciones concavas es una funci6n concnv;>.
274. Demostrar que ia funcion / : x
lim fA'-r),
x
t
siendo /;,/?,--•,/„>..• funciones
concavas en ]a, b{, es c6ncava. 275. Demostrar que si: i ) p,
0 y Pi + p H — • + p~ > 0; 2) la funcion / es continua y concava,
entonces se verifies la desigualdad de fensor. V Jh+Pz+...+Pn
JN
pi+pi-l—+pn
276. Demostrar que si una fundtfn f : |-oo, -h°o[ —> IR es continua y concava, entonces 3
i '.ijtilirlo
( ,il( iiln ifiliMriii iaJ piir.i luiu ioncs tie una variable
27H. Sim / una liincirin concava Lai que a t; j'(x) v, b Vx (. y sea h him iLmdrin cruciontfc.oncnva defimda en (a, Demostrar qtie la Iniu'itm ami pues La
f(0x) — Bvf(x)t x G J—oo, -foo[ y l—oo, -foof. 281 Sea
^ 0, entonces la funcion
Vx ^ 0; 3) 3p > 1 tal qui
h :x
( / ( # ) )pp es concava on
k
^ 0, fl, > 0 (i — fc), ^ 0-t ~ \, Demostrar que
t
<=1
* 4
i-1 De esta desigualdad deducir, en particular, que
aV
< 0a + (1 - 0)b Va, b > 0
1).
282, Tom and o en el ejemplo anterior
i
xV a= n7
y
+
&
I-0
n
j=i obtener la
desigualdad de Holder para las sumas
www.fullengineeringbook.net n
Tl
n Ef/
1
5 J xjyj i=i
donde
^ 0,
0.
283, Se denomina dominio numerica de una matriz constants A (a.ij), siendo a^ £ C, i, j — 1, n, a un conjunto de todos los numeros del tipo n.
ft
z—
jXiXj,͑
t-i
έ͑x
7
=
donde arj --a.} + ifij, € M (i' X). Demostrar que para tod a matriz A la frontera del dominio numerico G en el piano complejo z es una curva cerrada convexa, es decir, cualquier segmento que une dos puntos arbitrarios de la curva pertenece a G. T-mmwi
= 1, nf se denomina hermftica si A — A (es dear, a^ — 284 Una matriz A — (fly), Demostrar que una matriz A es hermftica si y solo si su dominio numerico es un segmento del eje real. 285. Sean 1 ^ p ^ 2 y a.,-,&.,•> 0 (i — I, n). Demostrar que se verifica
n 5 > + biV
it
E«J i^l
71 !=1 286. Un conjtmto M C
n
E>r + K -1 • i = \
i—1
de vectores f se denomina convexo en En, si Vfi, f2 G M A V^ £ {0,1] 3 f € M : )f2/ G < ^ ^ 1} se llama segmento que une los vectores ft y f2. Demostrar que el conjunto de los vectores siguientes:
JJH O l e u l o d o limites sndelcrmin.idoH M
{ r J f --
(*, y), f G !
ra convexo en I'i' '2.K7. Demostrar que el conjunto M — { f j f en E*. 288. Demostrar que e! conjunto
I}
(senx, cos x), f f E2,0 ^ x ^
af =? { f | i =
,.
fe
no es ntnvexo
Ifl < J }
(esfera unidad en E") es convexo en En, 7.H9. Da da una ftincion J : U C ^ w l l , siendo U un subconjunto convexo, se dice que la funcion f es convexa en XI, si Vx, y £ U A Vt! €>1] se verifica la desigualdad
f(0x + (1 - e) yK Demostrar que la funcifin / : x
em
-y (1 - 6)f (y) %
|X[, X C E", es convexa en E",
290. Demostrar que si / es convexa en V C E", entonces Vx,- 6 U, donde
= (ji,,, x7„
X,- E E" Vt — I , j i , se verifica la desigualdad
\=l
'
i=i
donde
www.fullengineeringbook.net 292, Demostrar que Si las componentes /,{*) de una funcion vectorial I son funciones convexas f i , i =s 1 , « , en cierto segmento [a, t>], la funcion F \ x >-> (f(x), A), donde A es no vector constante arbitrario de E", A — (A], A2,. •., A„), Ai 0, tambien es convexa en [a, ft],
293. Demostrar que si Ens elementos de una funcion matricial A : x t-+ (a,-j(a;)), x e [a, 6], son funciones convexas en [«,/>) a y : x •-> entonces para cualquier matriz constante B de elementos no negatives la fundon F : x m B), X £ [a, 6], tambien es convexa. Notese que el producto escalar (A, 8) de las matrices A y ! ) puede calcularse mediante la formula (A, B) — y 2 donde 6,7 son elementos de la m.itriz 7? (comprobar que se verifican los
'.j axiomas del producto escalar en "I'M. Sean a; : x t->
E").
y l>i '• x i-» f>i (2) funciones 110 negativas, convexas y crecientcs en [« ; t>j
Vf - 1, n, Demostrar que la funcion F: a = (ut{K),... ,a„(x)) y b =
x i-> (a, b), que es el producto escalar de los vectores
..,
es convexa en [a,6],
§8. Calculo de limites indeterminados 8.1. Resolution de indetenuinaciones del fipo Primera regia de UHopital Consideraremos dos funciones / y g definidas en un entorno del punto a (x «), siendo a un numero finito 0 el simbolo 00> tales que para x —* a ambas funciones tienden a ccro. Si las derivadas /' y g' existen en todo el entorno mencionado a excepddn, quizas, del propio punto x = a; estas no se anulan sirnultaneamente para x / a; si existe cl limite finito o infinito lim x -a
entonces sc verifica que
*->a g(x)
g'(x)
FFtfc1111 (wtmnnln Hp! mo Tral nchi rlcfintfi/in rnrw;rMmdp a Ta Hnfininrtti rli^ rnnravitlafl
( apt In In
7(M
C'aktjlo cl if i1 iv 11 rial para Jtincioncs de una variable
oo 8.2, Resolution de indctcmiinacioiHw del lipo tx> Segunda regla dc L'Hopital Si para x —> a las funciones / y g tienden a infinito, y para todos los ft pertenecientes a cierto entorno del punto a (x ^ a) existen las derivadas / ' y ()f, 2
2
verificandose, ademas, (/'(#)) + (
0, y existe el limite finito o infinito
lim
*->« g'(x) * entonces l
i
m
m
=
I
i
x^a g(X)
m
m
i
.
gf(x)
VTWTTTWrm
• I I I I • I I I 1M MB I I • • Mil • I • Ml M
• II
• •MIBIBBII I • MM I
m Hallar los limites: 1 1 6 . i i m «* h l (in» + D - « .
a^i
I—X
<4 Solucion. Las funciones / : x >-> xx+r(]rix + 1) - # y g : x satisfacen las condiciones siguientes: 1) lim f(x) = lim g(x) — 0;
1 — x, x > 0, x ^ 1,
x—»1
2) sus derivadas f :x ^ xx^x (In x +1) (l + ~ + In a;) + xx - 1 , gf: x para x > 0;
- 1 existen
www.fullengineeringbook.net ^(in. + l)-* m I 3)/ existe el limite lim- tfix) = - 2 ;
4) (/'(*)) 2 + {g'(x))2 * 0 para x > 0. Por consiguiente, podemos aplicar la primera regla de L'Hopital, segun la cual tenemos =]im
x^i
I • 11 I •
117.
I
1- x
g'(x)
I
•
I I
I
II
• 11
x ' ~ x Hm l In X — X + 1 J.
• •
• • ••
< Solucion. Las funciones f : x ^ x^ — x y g : x lna; — x + 1, or>0, a r ^ l , satisfacen las condiciones siguientes: = 0; 1) lim f(x) — lim 3f-*l ft—>1' 2) las derivadas / ' : x i—a^(In x + 1) — 1 y g' : x • ^ — 1 existen en un entorno lo suficientemente pequeno del punto x — 1; 3) (f'(x)) + {#'(#)) ^ 0, a? ^ l f en el entorno mencionado; 4) en el ejemplo anterior se demostro que existe el limite finito 2
2
lim J• . 1I 1r 1• L^
f ( x ) IV^^VW^^^^^^MMMV^
x^i gf(x)
- lim I• t• iMl • l 1
•• ™
•
I
••••••••III •• . •
|
Mil
M
I • •• I • • i • i
_
i i — - •*
J^
1- x
Por lo tanto se puede aplicar la primera regla de L'Hopital. Tenemos
x • f(x) „ x*+l Qn x + 1) - x Iim — Iim — — — —2. g(X) a:—5-2 1 — X
•
(j tt < aliido ilt< limites I mil1 11*nil in.ttIt»1
118. w
lim ' f , * .ti y; V Hi •>'
lf
•4 Solucion. Al transformar la funcion tl : x >-> ~ a •. x M> iLJEja2igz*!i£S5* j sh i sen X '
IS
011 la forma
— j-'--^, x £
vemos 1 que las funcionesJ / : x
ch a' sen x — sh a: cos 'a;,
(j existe el limite f'(%) 2 sh x sen a; licit —tt—r ~ lim .o g'(x) ®-iU sh x sen x f ®(ch x sen x 4- sh x cos x) — lim entonces conforme a dicha regla w = s. j) Nota. P.ifa hallar lim
1
ch
*
+
cosx
" ;l'
•
podrfaittos apiicar dos veces la regla de L'Hftpital; no Obstante, en este
ejemplo, al igual que en olros ejemplos semejantes, resulta mas cornodo {desde el punto de vis la dc la realization de los calculus) utilizar los limites notables.
m\x*'~l). 119. w= x—HI) lim (e-7x\ /
•4 Solucion. Dado que
www.fullengineeringbook.net w = lim ( e - V x - ^ x * ' - 1 ) = ( m x—K) V / V*-.+0
lim x*"~]), ,T - .+0 /
hallamos los limites de cada una de las componentes por separado. Tenemos 50
lim i->0
=
lim 3->+ao e'
= 501 lim e"* y-i+co
=0
(hemos aplicado la segunda regla de L'Hdpilal 50 veces). Para calcular el limite de la segunda component® representemosla en la forma •it" = e " l n " , u > 0, y efectuemos ciertas transformacioncs para que sea posible apiicar la regla de L'Hopital lim x"'"1 = lim a;-.+0
=
i-t+l)
(aquf hemos utilizado la continuidad dc la funcion x t-* ex y el teorema del limite del producto). Para calcular el valor de a =
lim x In2 x = lim ™r? Saplicamos la segunda
regla de L'Hopital, y para determinar b — lim^ ' g ^ g 1 , la primera regla de L'Hopital. Tenemos ,. In2 a; .. Irm — j - = hm
i—40
Asi pues, w = (0,1).
X
1
•
- 2 In ,. n j— — lim — p = 0, 1 i—+0 x—HI X x—»-f0 — X X* eltM - 1 e'-l lim — ; - lim — z — 1. (—-a t x In x -X~L
= lim
120.
lim
W
,r
• | <\>
<< Solucion* Para determinar el limite de la funckm vectorial dada cakulcmos los If mi to de cada una de sus componentes. Dado que las componentes son funciones del tipo , u > 0. Al reducir las indeterminacionos es comodo representarlas en la forma uv — ev correspondientes a la forma jL hacemos uso de la regla de L'Hopital Tenemos x
Iim
"j : — r + - X
277) £ 2ir ttIim KX(7\sen ^ 2t+1 Jim a? In( ~ arctg x)
arctg ar)
lim a;—
• a r — - H X
i l 1+a2 arctg x lim t a:->+oo
donde z
2 Iim /
͑ח
—
a
r
-^ra sn
1,
a = lim
1 2a? + 1
o,
e
2 7T
חחחחח
x
a? lim (tha?) a-*+00
e*
lim -7»
ln(th:c)
1
^
i
w
siendo 1
a
Iim #ln(th&)
X ch2ar
0.
X' 2 lim • ar-»+tx> sh 2x
thx d S lim J_ i2
3 Por consiguiente, w
2 lim
X --++00
•
www.fullengineeringbook.net 7T
1 2 1 . Hallar el limite de la funcion matricial ^^ * / (sena:
A:x
refg x \ ar
?
/ Arsh x J *
ar e ]-l> 1[ \{0}
para x —> 0.
os de la matriz lfmites de sus
M Solucion. Puesto que lim A(x) — (lim aij(x)), donde &ij{x) son elemen x—*a \x—fft / funcional A(x), calculemos el limite de la matriz dada determinando lo; elementos. Tenemos sen ar i sen x T. lim i donde z lim ar—0 X x^o ar Apliquemos la regla de L'Hopital
x cos x ••—. — sen x x cos x - sen x x •—.. ii— — lim 2 x~0 2a;3 a?—o 2x sen x x lim _
1
J
j.
—# sen
Por analogia, para todos los demas elementos obtenemos
6 limf
0\
rctg x
mmM
1 3;
3
^)^
X
/
lim
x- -o
x
~— — lim cj—>0 arctg x X' lim
x -(1+
T ^ ~ arctg
g
2x*
x2) arctg x - — = lim
2i
*H< t till till) ilc limites ImlelcnmiMdm / Arsiiflf\ i'> Inn ) * .ij V x /
, /,
,. In l,m .r .ii xL
...
(;iqui st; iisa la notacion u(x) —
t-fl)
e
/
'
A'*ha! .. v hm • >tf Aimar , . , ix' — £ lim - — — x lim 2 a—ii # 2 J- •()
.
. x
3s:2
+ x2 Arsh x);
a—0
X
t—n t o - o k — B m -fi^E. *->o 2x i-o 2
= 1
_ ' 2
Asi pues, finalmente obtenemos Jim
122.
Hmfi x .0
! e. f
= (
e
V
e
e
! ) . 5 }
e1 - 1 /
« Solucion. Transformemos la indeterminacion oo - oo en la forma g 1 I ar " e* •-1
g* -1 -x xfe1 - 1) '
www.fullengineeringbook.net =
y, a] aplicar dos veces la regla de L'Hopital, obtenemos
.. e'-l „ e* 1 Iim ——• -r- - lim ——— - — -x - hm — — —- = - . i ^o - 1) i- >o e* - 1 + xe * -o e*(2 -f x) 2
1 2 3 . w = lim f i-f0\ 2
/ u
^ Solucion. Escribiremos Ja indeterminacion 1
en la forma e"
Aplicando ahora la regla de UHSpita] obtenemos wMflY lim — = i-»iJ th x i Asi pues, W — e'.
124.
lim i—u ch iS
, = I; 2
•
Determinar si la funcion siguiente tiene derivada en el pirn to x = 0 .
/ s - prr
si
x / 0,
{
si
x — 0.
I
t .ipnuro 7, i Yilt ulo iiiIViviit'liiJ |Mr,i fumioncs Jo un.i vjnaMr
i ' i
Solution, l\ira comprobar quo la lulicit>n .dm la linn* derivada on v\ pnnUi ar 0 debt*m os est Miliar si existe cl lunik' finito _ i
i /'(0) - lim x—>0
2
L
X
Buscaremos el limite (1) segun la regla de L'Hopital. Para eso hay que demostrar 0. Utilizando una vez mas primeramente que el numerador en (1) tiende a cero para x la regla de L'Hopital hallamos 1 lim x—0 V X e* - 1
2ex
lim x—>0
-
2 - x - x e
2x{ex
-
x
1)
lim •
x
1 —
2 (ex(l
x^o
+
xe
l 2
1 -1
^
2e
lim
X
2x2(e*
-
xe
X
2e
1)
am
1 1
1) +
e*(8x
X
I —
_
x^o 4rX(ex — ex(x +1)
e
X
—
2ex
X
0.
+ are
xe
X
_ ~L ^%
1) +
2x e
1 _ 2
z - o ( 1 2 - f 1 2 a ; + 2x )
+ 2a;2)
xe
Aplicando a (1) la regla de |
t
lim „ ,
X
xe
T;^Imi X o 4{e
- 2 - x -
~ lim 2 x-*o
1)
x) -
Asf pues, la formula (1) es una indeterminacion del tipo L'Hopital tres veces obtenemos l x lim —o
X
e
12'
X
/'(0)
1
•
12'
www.fullengineeringbook.net 1 2 5 . Hallar la asintota de la curva
x
y
(1
1
x f
X> 0
j
< Solucion. La ecuacion de la asintota oblicua tiene la forma y = kx + b. Para determinar k y b hagamos uso de la ecuacion de la curva x
x
1 ^+00 7(i7 + i\* i)
lim 7, a-»-hcx> (1 + x)X
k
lim . _
b
s^+oo
x
l+x
\ (1 +
1
X
lim
xf
lim t->+o
1
lim
1
x
e - (1 + t)
1
w*
1
lim (1 I t)'
t
t-<+Q
i
Hm L i t 1 f—+o
1 G
X
lim
| oo
x [ e
1
1
t(t + 1)
t2
+ f> ln<1 + <>
t2{ 1 +1)
ln(l +1)
i 2 fan " ^
+
e t—Hj 21 + 312
1 2e
De este modo, obtenemos la ecuacion de la asmtota y — | + j-. Proponemos al lector "justificar" el uso de la regla de L'Hopital en cada paso. • 1
1
r
™
^
——
— — " •1 •
•
—
rr^^^—••• •
n»
1 2 6 . Verificar si se puede apiicar la regla de L'Hopital al limite x 2 sen 1lim —-—•»• !t-»o sen x
jjH i '^li'ula de limited iudelei niin.Kfo'i
20''
4 Solucion. J.jis IliiH'IOtU'M f :r. > > x.' swi i y < sen x, ;t; < il£\ |tl}, i'sl;in deliniilas ll); deriviidas son continuas en un rnliu iu) del punto x — Q (excepfo cl propio punto x j': x — i > 2x sen ' cos ^ y
kiis
f'(x) sen ^ - cos ^ lim - V H - lim ^— . i—-ti g'{x) #—0 cosx Debido a que Sim (2x sen j ) (cosx)" 1 = 0, pero lim (cos
(I)
(cos®)" 1 no existe, el limite (I)
Lampoco existe. Por consiguiente, al ejemplo dado nose le puede apiicar la regla de L'Hopital. Sin embargo, notese que x2 sen x — lim lim #-»0 sena; r-osena:
{ 1\ lim f x sen — = 0. \ xJ
1 2 7 . Hallar / £ V * - l — z — ,im lim r 0 ( x d e t { sha d c
~' J i
sen a; 1 + x2 J —r-. X \ e* )
tf*
•i Solucion. Los de term in antes dados, considerados como t'uncioncs de la variable x, satisfaccn todas las condiciones de la regla de L'Hopital en cierto entorno del punto x 0. Aplicando la regla obtenemos
www.fullengineeringbook.net d e t
3 = lim
( 1 [ e1 — 1
cos s \ % + x> )
, . / cos x - x sen x
cos
th>
2
+ d c l
/ je sen x \ { e* 2x )
x \ , , , / x cos x te x \
j J-
{ ) + * . ( ?
m
oh?
0 )
n
~
i.
|| Kjercicios Hallar los limites siguientes:
m
urn S f l g ^ .
300. ^
303-
^(iMi^j +
+
lim X—H-X.
^
- ^
.
30*. hm^(Vx*Tx J -i-2x \ i - V4*:>T7+T+
306. lim J ^ T . X "+0
aFTT).
307. lim ^ r ' • 308. lim sen (a 1 arctg M ^ ) . KX i X » tQO
("iipifulo A (Vilculn difrreticial para ImicioneH de una v,nial>Ji
210
. -r
309. Iim(,Lt0;;r,J;)) - . 3ICK lim ( 7><' ' f v ) i r-li
\
3*12. lim
315. 318.
- 313. lim I^IlJ/ "A -r . ^
^
.2 —if.
322. lim XIn™ x • • • •
••
•
m
x^ii \
S r i l ft"! — C O S
(
2
(z-l)2
sha?
x
cli
1
x
ijtX2
)
1), S B g L l l ) .
y
/r
V
;r
ate>ll 4 !
f] . 325. lim - e r
x
1
SMI "" J" ) - . 321. lim(fg
sen x
arcsen a? - ir2
ar—»I
-
v JJ
3t2)
• 3 2 a ltal(hT7
TCX
n1
324. lim
S T ^ T
3 1 9
0. 323. U
•
.
314. lim
X
ai*SL»n(e:lc-l)
a— ; ^+11
,. ..J
fi
l 2)^ (I+a; 316. lim tg *(1 - a*). 317. lim »-»+0
lim sen^i - x'), «-»+() 11111.
. .111. Jint il 0
i
| lit i \
—
7
1
1
J cos x
x2
tgar 1 sen2 x 1 ln(l + ®) ,
<
x sen x
5
£
327. Iim \ ,„ . x tg # In ( 1 + x) 1 arcsen x 328. Sean / y g funciones derivables hasta el (n + l)-esimo orden inclusive en cierto entorno Ul del punto a, a exception del mismo punto a, que verifican las condiciones: 1) lim f(x) - lim f(x) = Iim fn\x) = 0; 326. Iim .
\x
jb-q
f
i t — *
*
*
*
f
1
o
u /
1
U j
•
JC - f f t
e — M l
2) Iim$(ar) = lim5 (z)
+
*
- lim gw(x) = 0; 3) a lim
/ <
H +
(T1,
V )
h l G ffi;
www.fullengineeringbook.net •£—m 4) la derivada <7in-H) (#) ^ 0 en el entorno U. a;—mi
sc—m
x—
f -
Demostrar que se verifica
lim
lim-
ai—atf{X)
329. Sean / y g funciones derivables hasta el (n -j- 1)- esimo orden inclusive en cierto entorno U del punto a, a exception del mismo punto a, que verifican las condiciones: 1) lim f(x) - lim f{x) - - • • = lim fn\x) - +00; X — K l
2) l i m - lim^(x) = * - - = lim (n) - -hoc; 3) 3 lim fcrS = t, J € K; 2—>a c;—•a 4) la derivada g^'^ix) ^ 0 en el entorno U. Demostrar que se verifica fix) — lim/""""(a;) lim [7t+l) i
—
t u
x—>a g(x)
g
(x)
§ 9. Formula de Taylor 9.1. Formula de Taylor en un intervalo Sea / : ]a, b[ R tal que 3 fn'll) tal que se verifica la formula siguiente:
en ]a5 6[. Entonces Va,
G ]a, b[ A Vj? > 0 3 6
>
r>
f{x) - fix0) + f(xo)(x - x0)
V
1
W!
siendo
71 lp
f(n+l\x0
+ 8(x-xQ)),
O<0<1,
(1)
jju I'ftmiula (If Liylot
21 [
(tormina wiNpli'HH'nUulo en forma tic Sditiiniildi- -Rothe). Si p obtenemos el t&niiint) toiiipleiiicidariu en farina tie l.a^mn^c
,m=
k
y si S — 1, e l WHUPLQR
Rnnfr)
FRPSOHPHQWDULR
+
FQ IRUPD
u <
-
GH
&DXFK\
- O l T f ^ f a + «2(® - % ) ) ,
=
n I I a partir tip (1)
0 <02<
1.
9.2. Formula dc Taylor en forma local (o formula de Iaylor con term i no complementario en forma de Pea no) Si una funcion / definida en cicrto entorno He! punto se verifica el desarrollo siguiente: IL[
a IL[R , I [ [
a[D
: A
a
tiene derivada finita
R [
[
X —* 9.3. Cinco desarrollos bisicos Al turn a r = 0 cn todas las formulas dt: Taylor de los pp. 9.1 y 9.2, llegamos a las formulas correspondientes de Madaurin. Al apiicar la formula de Maclaurin a las cinco funciones nitis utilizadas que citamos a continuation obtenemos los desarrollos:
www.fullengineeringbook.net I.
e r - 1 + [ A + • • • £ o(inn)f
IL
[ -> 0;
D'^'^i+o^2"),
+
in. cbs*= 1 - I + -' • 4- (-1)"U + R [" IV. V.
(1 + x
f
In(l -I- [
'
f
-
•
•
Q
I@
;
- 0;
+
a;_0;
+
; f + • • • + ( - 1 ) " " 1 - + o(arB)t
;
0.
9.4. Formula de Taylor para una funcion vectorial Sea una funcion vectorial f : la, /j[ —* E con derivadas de (n •)• l)-esimo orden tn @m E? Entonces Vx, ;R £ R i'i A 9SM > 0 d 2M M 1, N tales que se verifica la formula m donde iix) = (Mx),
...,
= i=0
-
mi+iw*),
Mx)) ,
RJII l( a; ) — (^n+li ^ i l. • • • !
1
pj Para las funciones vectoriales se verifica la formula de Taylor en forma local.
(
21/
fFh 11 Escribirof desarrollodo las funcionessiguientes en nerio de potcncias ciiteras positivaN respecto a ia variable x hasta los terminos del orden indicado inclusive: 1 2 8 . fJ \ x
1-x
hasta un termino de a?4. DeterminarJ / (0).
+ x2
M Solucion. Representando la funcion / en la forma
f(x) = 1 + (2x + 2x2)(l + x3)™1 y haciendo uso del desarrollo IV
(1 + x3)-1 = 1 - x3 + o(x5), obtenemos
fix) ^ 1 + (2a? H- 2X2)(1 - x3 + o(x5)) =^l-\-2x + 2x2 - 2x4 + o(a14), x
0.
Al comparar la expresion obtenida con el desarrollo en forma general (v. p. 9.2) hallamos „ ^ donde AH /(4)(0) 2, de f ' ( 0 ) - -48. • 4! ti
•••
1 2 9 . e 2 *"* hasta un termino de x , O M Solucion. Denotando t — 2x — x y haciendo uso del desarrollo I tenemos
www.fullengineeringbook.net ±1
/3
/4
^ = 1 + 4+ * + * + * + *
±5
=
= l + (2x- x2) + ±(2x - x2)2 + • • - + 21 o! r^
T
r
- x2f + o(x5),
x -> 0,
r
(se ha tornado en consideracion que o(t ) — o{2x — x ) — o{x ) para x —> 0). Efectuand despues transformaciones evidentes, escribiremos en el desarrollo todos los terminos hasta los de orden x (los terminos de incluyen en o(cc )). Finalmente obtenemos r
£
.
7
C
= 1 + 2® + x2 - ^x3 - yx4 - - U 5 + o(x5), 3
ii i
6
15
®-»0.
II
1 3 0 . V sen x3 hasta un termino de x . ^ Solucion, Designemos x =t y hagamos uso del desarrollo de la funcion sen t mediante la formula de Maclaurin sen f = t - i f 3 + ^t5 + o(*6), v utilicemos el desarrollo IV. Obtenemos i/
vWi
= i* (i - £ +
+ 0(f5)) * = tl (l + a(t))* = 15 (l + |a - ™a2 + o(a?)) =
•
y
l onmiLi ilo liiyliw'
Ii
131. Id ens ;it li.iMii un lei'miiio fit' x'. •4 Solution. Apluatidu Itu. ik'.'tarrollos V y II obteiiemort
i COS £ -, • /,lit v I •»St'll- :/!I . „~ 'n" ~i ~^ *1)(j , ^i ill '
= —
J ^ ^ x * £ x „_ _ _—l„j
2V
xe
36 3 60 2
2 sen" ' §f , ,
\ x 2 as* a 6 . o[x 7 ) -- —-— - - \-olx ). 1 V 2 12 45 1 h
x6 j —
3
-1 x son sen x
3
a;
.
•
132. sen(sen x) hasta ufi termino de X'. •4 Soluci6n. Aplieando el desarrollo II tenemos 3 sen (sen x) — sen xsen - x— + 4o(sen x) = = (*-§" +
~
+ o(a:4)) + o(sen 4 ft) = x - y
|h^).
•
133. tg x hasta un termino de x~. •4 Solucidn. Dado que la funcion tg x es impar, su desarrollo en un entorno del pu es de la forma t g x - Ax +1)3j3 + CaP + o^ 6 ),
x
0,
(I)
www.fullengineeringbook.net donde A, B, C son coeficientes. Al escribir (1) en la forma
sen x — {Ax I- Bx3 + Cx5 + o(xb)) cosx
y emplear los dc&arrollos II y M obtenemos i
+
°
{ x ( , )
=
A x
+ (
B
~ i ) *
3
+ ( < ? + ! - f )*s+«(*6).
*-o-
fgualando los coeficientes de los terminos con Igual potencia de x hallamos
^ *4
Asi pues,
X3
2
s
a
tgar = x + y -f — as? + o{x ),
•
134. Hallar tres primeros terminos en cl desarrollo de la funcion f : x > > \/'x « potendas positivas respecto a x - 1. •4 Solucidn. Utilizamos Ia formula de Taylor con termino compk montarin en la forma do Pea no /(£) = /(l) + / ' ( i ) { a : - l } + ^ ( x - l ) 2 . | - ( > ( ( ; r
if),
IB
>1.
Detenninando los valores de las derivadas /(!) = !,
f ( * ) = i ~ >
/'(1)=~;
/"(x)
J,,-*
/"(it
f f
y susfituyendolos en la formula ob tun id a, tenctiws del inil Ivan irnli' I)'' I IV"). .i' * I » /(*) = 1 + 1<* - 1) -
) fH
C'iipiUtld 2. (MIcuTo dilcrvnclal pani himinncu de una varia hie
14
1 3 5 . Hn un eiMorno del punto x una parabola de segundo orden.
0 aproxinw la funcion f i x ' •> ach
tt > 0, por
< Soluckin, Como ch
i
:it
/
\
-r
a ^ \ (e
')
+ C
tenemos f(x) = a -f ~ -f o(x2), x —^ 2a
= 1 +
It?
+
~* 0 t
X
•
1 3 6 . Desarrollar la funcion / : x y 1 + x2 — x, x > 0, en serie de potencias enteras 1 1 positivas de la fraccion — hasta el termino —j.
x
x
^ Solucion. Transformando la expresion v 1 -f x1 — x y utilizando el desarrollo IV obtenemos
X
1 3 7 , Desarrollar la funcion / : x t-* ~ x E ]—oo, +oo[, mediante la formula de 3 + ar Taylor con termino complementario en forma de Lagrange en un entorno del punto #o — 1 Hallar tres primeros terminos del desarrollo.
www.fullengineeringbook.net
< Solucion. El desarrollo buscado tiene la forma
}{x) = fit) + f'( l)(x - 1) +
- l)2 + f"'°
+
^
~ 1])ix - l)3,
0 < 6 < 1.
Determinemos los valores de la funcion y de sus derivadas en el punto x — 1. Tenemos A i ) = i, /
W
*
» ( . _
n
=
'
1 1
+
III M I
r a + - ! » „ _ „ • •
138. Sea
in,
l-M-l—IM^M- — ~ —•
hn
fix + h) = fix) + hf'ix) + • • • + ^-/<">(» + Oh), donde 0 < 0 < 1, siendo f
± 0. Demostrar que lim 9 -
](x)
h^o
n +1
4 Solucion. Dado que la derivada f^n+l\x) no se anula, apliquemos la formula de Maclaurin con termino complementario en forma de Peano. Tenemos
fix + h) = fix) + hf'ix) + ... + ^f{n\x)
+
+ o(h,l+1), ft ^ 0. (2) I
^f-
Restando la igualdad (2) de la igualdad (1) y simpMcando el termino ~ obtenemos
f{n\x + 9h) ~ f{n\x) h • • • •
de donde
•
•
i
w
w
w
^
rrf—r-1^™
/
—
1 i« M
,
oih) h ' — n ^ ^ ^ H
(1)
IViritiuhi ilr Tuylor
2l/>
/ r' ' " ''" i'(x) p '(-.r.;i oh) ;<•">(*)•> r"w\ t f ) , o{h)\ <>W\ff/ l'%>1 ( « | l h')\ Oh )
"
1
•
Pasando en esta expresion al limite para h —> 0 y teniendo eo cunnta quo / ' " h a l l a m o s lim 0 — - -7.
ft-'O
*+1
'"'(j) /
(I
1
•
1 3 9 . Sea / 6 ^ ( [ O j l j )
y /(0) = / { ! ) = 0. Supongamos, ademits, que 3 A > 0 ;
l/"(®)l < A V . t e JO, 1[. Demostrar que\f'(x)\ ^ j
Vx £ [0,1].
4 Solucion. Conforme a la formula de Taylor tenemos m
= /(«) - * / ' ( * ) + / " ( f l ) ^
/(I) = f(x) + J'(x)( 1
+
0 < 6 < * ^ 1; 0 < * < ft < 1,
2 "
de donde /<*) = | ( / " { 6 ) x 2 - / " f c ) ^ - ) ,
0 < s < 1.
Estimemos el valor absolute de los terminos de esta igualdad
|/V)I< ~{2x2 - 2x + I), 0 < x ^ 1.
www.fullengineeringbook.net Dado que 0 ^ 2xJ ~ 2x + 1 ^ 1 para 0^x<
i, resulta |/'(s)| < f , c . q . d .
•
1 4 0 . Sea f una funci6n dos veces derivable en ]-oo, +oof y sea Mk -
sup
|/(t>(®)| < +oo, fc = 072.
-so
/o«q)=m+f'M*o de donde \f(x*)\ 4 |/(«)| I- \f'(x)\ |®o - 4 + l / ' O | a ? 0 ~
X|2
< Mo + M,y +
V - fro •
En virtud de que M„ + M\y + -jA'hy1 > 0 para todos los y, resulta que Mf < 2M t ) M 2 .
>
1 4 1 . Caicular aproximadamente el valor de a) sen 18"; b) arcig 0,8. < Soluci6n. a) Conforms a la formula de Maclaurin con termino complcmenlaiio en furnia de Lagrange se tiene 1EJo
donde |£U < 1 .
IT
7T
sen 18 - sen - - De este modo
1
T3
- - • ^
! 4- —
w'' •
I Ky,
\f.1
,.
*,,,,H " m O
MXI ' 12 - 10' / ™ >' ' ' ( ' ' „ ((() ' ' 2.l0, j cv 0 , 3 1 4 ( I 0,0!()449 I 0,000079) tt 0,309017
b) Aplicando la formula de Taylor, para xq
1 lenomos r arctg0,8 = arctg(x 0 - 0,2) w arctgx 0 - (arctg a*)'L=*„" 0,2 + - • 0,04{arctgxf\ ~ ~ • 0,008 (arctg
& - - 0,1 - 0,01 - 0,00066 as 0,67474,
= 24 1 < 12 para 0,8 < | < 1, a partir Dado que ( a r c t g = 0, (arctg xf5)| de la formula para el termino complementario en forma de Lagrange obtenemos la estimacion del error |fi| < ~=(0,2)5 < 3,2 • 10~5. 1 4 2 , Calcular: a) cos 9° con un error de 10 ;
•
b) V5 con un error de 10~4.
Solucion- a) Determinaremos el numero de los terminos del desarrollo de la funcion cos en la formula de Maclaurin que son necesarios para calcular dicha funcion con el error requerido. Este numero se puede obtener estimando el termino complementario en forma de Lagrange. Dado que 0 = < x = tenemos . I (cos xfn+2> IW / tt \ I K>2n-V2x = 1 ' — (2 n + 2)1 V 20 / f de donde n ^ 2. De este modo,
<
1
?
202fl+2(2 n
+ 2)!
< i(r5
www.fullengineeringbook.net cos9°«1-!(^)
2
+ ! ( £ ) ' « 0,98769.
b) Desarrollemos la funcion f : x ^ >fxf x > 0, mediante la formula de Taylor en un entorno del punto Xq = 4; v ^ - 2 + ±(x - 4) - 1 (x - 4)2 4- ^
(® - 4 ) 3 + • • • +
donde B
-
M
(2»-X)n(-l)a(a?-4)"+1
~(n + I)! (4 + - 4))»+0.5> Tomando en el desarrollo x - 5 tenemos (
)
4
64
512
j
De la condicion
obtenemos que n ^ 4. Entonces, a partir de (1) se deduce
n
. . .
U
< " <
7 L
'j"
formula de liiyloi
N Hacicndo uso dc lim dcN.inollits l - V h.ill.ir I o h IfmilcH Mpjiicnlert:
143.
lim — >Sa i-ii
v.
•4 Solution. Aplicando los desarrollos I y 111 obtenemos lim ir-I
/ x2 cosx — e x p f — i , F V ^ sa lim - j ( 1 — X z-t> x V 2
i4
4 c / 3. + o(x5) - ( 1 - ~ + fe f ofaf')]} 24 \ 2 8 v 7/
/ l
144.
lim
(V^
6
-
«(x 5 )\
I
-!-^-^"-^).
< Soluci6n. Transform ando la expresidn que se encuentra bajo el signo de limite y aplicando el desarrollo IV tenemos lim (yx6 X— +TO
+ x3-Vz6-X5)
=
lim x ( (l + ' - fl X/ V st-i+oo \ V
iH+lo
' 6i' ' ° ( i )
0
"1 = X/ ) fjx+C>(x)))
3'
www.fullengineeringbook.net 145.
lim X--0
1
-fry*"', X*
< Solucion. Bacicndo uso de la reprcseutacidn u" — e" l n t ', u> hallamos -3/1 3(l — ^ ^ _l i mii a * " ^
_„_ ') = l-i m ,n
1
0, y de los desarrollos I, V,
~ (1 + s e n a : l n c o s x ^ o ( x 3 ) )
1 .. sen2 x + o(x2) .. In cos x .. ln(l - sen2 x) = - lim — 2 — — — urn - -i — = - lim ; jc —o x i-
146.
w = lim x x—0
3
1 = ~•. 2
•
(sh (tg a:) - x ) .
Solucion. En este caso se empiea el desarrollo I, asi como sc utiliza el desarrollo t g x = x -1- j + o(x 4 ). Tenemos
w = lim x^a
x + ^ + of* 3 ) + j + tgx + |tg 3 x + o ( x 3 ) - x 1 -r- 2 r — - iim J x x—a x1
•
~*
1 = - . 2
Para valores infmitesimales de y cuando sc —*• 0, determinar en los desarrollos dc if el termino principal del fipo Cx11 (C es una constante): 147.
y — tg (sen x) - sen(tg x).
( ,i|>i(ulo'A ( Yileuln dilereiuial para iutnlom-ri tic iiim variable Soluci6n. Un primer lugar, nos cercioramos de quo x* :>
2 «> 15
17 7 M f o(x ), J15
tg X - X -I- — + —X1- f —"X
^ 0.
X
I in efecto, representando tg x en forma de sen #(cos #) y utilizando los desarrollos II—IV obtenemos 2 ^i 1 3 3 ^ 5 7 3 tg x - sen a?(l — sen x) ^ — sen x + - sen x •(• - sen x I — sen x + o(x ) = / JE^X® 5 7 s + + 5l7 " H * - a ) + 16* + > . X 2 5 17 7 , , X + — + —x + --x + o(x ), 3 15 315 fintpleando esta formula, asi como los desarrollos mencionados, obtenemos
x -
x^
X? 31 + 5! ~ 7 !
1/ X l { X - 3!
sen3
jj
2
y ^ tg (sen a?) - sen(tg x) = sen a? H
tg*x
tg 7a? a
86
^ x3
_
5
17
7
h — sen x + i
7 , 1 / xx''
xar5
x
0,
tgx
sen x - tg x + r
x J5\ . 2 / ,. a?
aT\ a 3 \D5 ,
5!
2
, 17 7 + rrzX — X — 315 3
2 S T^® 15
_
17 7 , 1 / x3 2 5\3 + - X + — + —X 315 6\ 3 15 /
x+ j)
5
+ ^ + o(xs)=~
+ o(x\
x
0,
www.fullengineeringbook.net
de donde Carfl ^
Por consiguiente, C —
n =-7.
•
148. y = (l + x f - l . Solucion. Empleando los desarrollos I y V obtenemos 2
V
hd-K) _ !
=
a- ]„(! + X) + 0(x2)
= x
(x _ ?L + 0(x2)j
Asi pues, Cxn = x . Por consiguiente, C — 1, n = 2. 149. -
+ 0(x
2)
=x2 + o(x2),
z-* 0.
•
j-
=
Solucion. Utilizando la formula «• = evbtu, u > 0, asf como los desarrollos V y I, hallamos
V
l - e x p { - j - l n ( l + x ) - l j - 1 - exp j - ( x - y + o(x 2 ))
1
l - e x p { - | + o(x)} = l - ( l - | + 0 ( x ) ) + 0 ( x ) = | + 0 (x), Cx"=
C=|, •
» = 1.
x —• 0;
•
• • • i •• i
1 5 0 . Elegir los coeficientes 4 y 1? de tal modo que para x ctg x — 6
1 + 4a; 2 . + CHa? ). 3 v 7 a? + Ftf
0 se verifique la igualdad
^
;i'J formula dv iayloi
Vl**
« Solucion. 'H*nemn*i cosx I ! AxA , son x x I IS x1 de donde fx + Bx v) cos x = a + Ax2) sen.i + 0(x7). Hmpleando los desarrollos II y III obtenemos - J
(x + Bx(l
= (1 + A x
+ ^ +
) +
2
»
+ 0(x 7 ),
de donde I
+
f
+
0(X7) + BX3 - B^- = x - ^ + ~
Pdr consiguiente,
IS — A -
+ 0(x7) + A^ -
^ ~ § = f^j ~ jt de donde A = ~
151.
Detenrunar ios cuatro coeficienles A, B,C x —+ 0 sea valida la formula asintotica
+ tf(x7). B —
•
y D de un modo tal cjue al tender
4 Solution. Tenemos e'(l +Cx + Dx2) = 1 + Ax + Bx2 + Ofx5).
(1)
www.fullengineeringbook.net Como ex - 1 + X + ^ f ~
~ + 0(x 3 ), de (1) obtenemos
( l + x + ~ + ^ + ~ + 0 ( x 5 ) ) { l + Cx + Dx2) = \ + Ax + Bx2 -
0{xS).
Dejando en este desarrollo solamente los terminos hasta el orden x 4 inclusive hallamos 1 + Cx + Dx2 +X + Cx2 + Dx2 • [• ~ + L
+
L
+ ~ -| fx4
L
O
O
+ ~ = I + Ax + Bx2 +
I'I
0(x\
de donde, al igualar los coeficientes de los terminos con igual potencia de x, llegamos al sistema de ccuaciones c +1 ^ ,
+
f + f +
*>+c+\-B,
^ o ,
de donde obtenemos '
1
1
1
1
1 5 2 . Para \x\ pequenos hallar formulas aproximadas sencillas para las expresioncs siguientes: a) y i i f ' - ^ ;
b)
^
< Solucion. a) Utilizando el desarrollo IV obtenemos
f^f
- a Wa - - o - mi+«r4-
I
I
I '
i}.r;
\\ / I '? > )} I yi; I {)x' )
I I
j
| .j
3^ • ^
'\ o(x)J
i \ /
i-
)) (l
I
•>
r}
^
I [}x
•> \
|
)J
4
•
>
4
|- o(x ) » -ar
b) Aplicando el desarrollo V" llegamos a la formula aproximada In 2
In 2
^ v
100 In 2
r
v
70
>
1 5 3 . Desarrollar la funcion vectorial f : x
( arctgx), x £ K\{0, - 2 } , en \ 3? x£ + 2z / 2 serie de potencias enteras positivas del binomio x — 1 hasta el termino de (x — 1) inclusive, Solucion. EI desarrollo buscado puede obtenerse al aplicar la formula de Taylor para las funciones vectoriales (v. p. 9,4) f(«) = f(l) + fOX* - 1) + ~ f"(l)(* - l) 2 + R 3 . Como f(l) = (1, f, § ) ; f ( l ) = ( - 1 , I §); f"(l) = (2, - ± ,
i(x) = ( l ,
resulta
+ ( - 1 , f , I) (x - 1) + ( l ,
- J)
donde R 3 denota el termino complementario en cualquier forma, •
M
- D2 + »3. •
l
www.fullengineeringbook.net Ejercicios
Desarrollar mediante la formula de Taylor las funciones siguientes:
330. f : x (sen xf*1 , x > 0, en el punto xa = 1 hasta el termino de {x — if inclusive. Tomar el termino complementario en forma de Pea no. 331. / : x f-+ tg (x H- x ) en el punto Xq = 1 hasta el termino de (x - 1) inclusive. Tomar el termino complementario en forma de Peano. x > 0, en el punto x0 ~ 1 hasta el termino de {x — l) 3 inclusive. Tomar el termino 332. / : a? f-> complementario en forma de Peano. 333. f i x ^ xe~x , x £ R, en el punto — 2 hasta el termino de (x — 2f inclusive. Tomar el termino complementario en forma de Lagrange. 334. / : x x arctg xf x 6 M, en el punto x0 = 1 hasta el termino de (x — I)2 indusive. Tomar el termino en forma de Cauchy. < 1, en el punto x0 = 0 hasta el termino de x5 inclusive, Tomar 335. f ' x i > v l ^ a ? arcsen xf el termino complementario en forma de Peano, 336. f : x ^ (cos(sen#), sen(cos a?), e**nx), x 6 337. f : x
en el punto xa — 0 hasta el termino de x4>
(/i(ar), f2{x\ ft(xj) en el punto x$ ~ 0 hasta el termino de x5, donde
fi(x) = Mx)
=
tez^l
s
e '
{
T, 1
a. ± 0,
5
/,(0) = 2; /2(0) = ~ I;
fox) = arsh ar.
Haciendo uso de la formula de Maclaurin en forma local obtener los desarrollos en serie de potencias enteras positivas de x hasta los terminos o bien de orden maximo o bien del orden que se indica (inclusive), de las funciones siguientes;
ji 1 ' IVnmuIa tlr Ciylor
Z' I
( J>'' Hfll !, r / ( I , t), .it 0.
338. / : j : > > ^ *
\
339. / : i h h ' 'I't, I'ompiftlxtr .si es vnlido el desarttillt) e* J M - 1 + a V I + £ 4
340. / : * i - » - |
'
e
\
! K j £ 0
0,
'
1-
+
(hasta el termino de i 1 " } .
i = 0
Comprobar si es valido el desarrollo
L 341.
1
O
s*.=-aH— : W \
/ JT
1
, „„
1
/ 1 \
W ( h a s t a el termino de
342. I
X — K , a; = 2( I - s e n t , y — ie ( (hasta el termino de x3). y — — l* (hasta el termino dc X s ). 343. / X—>Y,x — t-t*, 344. / A' —>• Y, y7 f y — x ~ 0 (hasta el termino de i6). Utilizando la fdrmula d e M a c l a u t i n con t e r m i n o c o m p l e m e n t a r i o en f o r m a d e Lagmftgr, o b t c n e r los d e s a r r o l l o s en s e r i e de p o t e n c i a s e n t e r a s p o s l t i v a s d e X hasta los tiftniiHW del orden i n d i c a d o (inclusive) de las f u n c i o n e s siguientes: j.
f qf 345<. f \ x >-> <
I
1,
j. Q
'
'
346. / ; X —* Y, a;4 +
(hasta el termino dea 2 }.
4- sen xy = 1 (hasta el termino de x3 en el segmento [—1,1]).
www.fullengineeringbook.net 347. Para / ; i h
348. Sea / : x desarrollo
C**1,
X > 0, comprobar si se verifica el desarrollo siguiente:
cos (/>(«)), donde D es la funcidn de Dirichlet. Comprobar si es valido el
c
o
-
1
-
+ ^
-
H r
+
Hallar la cxpresion piira K2n+2(®|> Elegir los coeficienles .4, B, C d e un m o d o tal q u e para x —* 0 se verifiquen las s i g u i e n t e s igualdades asintoticas con u n error m i n i m a p o s i b l e ( d e t e n n i n a r cl ordeil d e d i c h o error respecto a x): 349. a r c t g a = 352.
350. arcsen % — f ^ g p 4- O'ix*1).
=
^ 0>
n
).
353. (1 t z : ) 1 «
351. ln(1 + a ) =• ^
•l-O'^").
I f/(x").
354. arsh X = f j £ r 4- « ' ( : « " ) .
Estimar el error a b s o l u t o dc las f o r m u l a s aproximadas: 355. c o s * w l - f
^ para |®| < 1.
356.
« 1 4- £
Para I1!
357. a r c t g x ss § - ~ para |ar| > It) 2 . 358. sen(
359. f(x)
„ liE^M
361.
^
|A| ^ o,l.
ffl^/yHW para
360. / » ~
para
<0,1.
para |A| ^ 0,1. — F (/(.t*)) , siendo F una funcidn dada qui*
fix +ft)-
fte+k)
^
^ 0,1.
362. Sea / una funcion que satisface la ecuacion f(x) es derivable un numero suficiente de veces. Sea
Entonces, f(x + A) - f(x) w
>
f(x)
hF(f{x)) . Estimar j f { x ) — f'(x)\,
- rw=«^£rw)-
donde f
satisface la ecuacion
222
( 'api'Iulo 2.
t ' i i l c u l o J i l c i v i u iiif p a r a l u n c i o n o s d e u n a v a r i a b l e
363. Su|M)tij»iinuiH que /
snlisfacr la m i u d o n
' ' ' ( / ( # ) ) , siendo F
f'(x)
derivable un nrimcm sufiriente de veces. listimar I / M ~~/* (#) | > donde
fix +ft)+ Af{x) - 5f(x - h) - 2h (2F(f(x))
+F(f(x
tin.) Iitndon dada
/+
salisface la ecuacion
- A))) .
Haciendo uso de los desarrollos I—V hallar los limites siguientes:
1
364, lim 367.
* c.
.
2
366. lim (xze * - y/x2 + ax + 1 )
365, hm-
lim T
.
368. lim
r j-B i f r
.
§ 10. Extremos de una funcion* Valores maximo y minimo de una funcion 10.1, Extremos de una funcion Definicion. Sea una funcion / definida en cierto entorno de un punto c. Se dice que en el punto c la funcion / tiene un maximo (minimo) local, si existe un entorno del punto c, dentro del cual el valor /(c) sea maximo (minimo) entre todos los demas valores de dicha funcion.. El maximo local y el minimo local reciben el nombre comun de extremo. 10.2, Condicion necesaria de extreme
www.fullengineeringbook.net
Si una funcion es derivable en el punto c y tiene extremo en este punto, entonces
/ ' ( c ) = 0-
.
Definicion 1* Las raices de la ecuacion f(x) — 0 se denominan puntos estacionarios de la funcion /. Entre los puntos candidates a extremo figuran tambien aquellos en los que la derivada de la funcion / no existe. Definicion 2. Los puntos estacionarios y los puntos, donde la derivada de la funcion no existe, se denominan puntos criticos de dicha funcion. 10.3, Condiciones sufirientes de extremo Primera regla, Sea una funcion / continua en un punto c y derivable en cierto entorno de cf a excepcion, quizas, del mismo punto c. Entonces si en el interior del entorno citado la derivada f es positiva (negativa) por la izquierda del punto c y negativa (positiva) por Ia derecha del punto c, la funcion / tendra un maximo (minimo) local en el punto c. Si la derivada /' tiene igual signo tanto por la izquierda como.por la derecha del punto c, la funcion no tiene extremo en el punto dado. Segunda regla. Sea finita la derivada segunda de una funcion / en un punto c candidate a extremo. Entonces, en el punto c la funcion / tiene un maximo si /"(c) < 0, y un minimo si /"(c) > 0. Tercera regla, Supongamos que en cierto entorno del punto x = c la funcion y — f(x) tiene derivada n ™ 1-esima, y en el mismo punto c, derivada n-esima (siendo n un numero entero positivo). Supongamos que sean validas, ademas, en el punto x — c las igualdades siguientes:
Ac) -
/ " ( c ) = ••• =
fin-%)
= 0,
/ " " ( c ) - / 0.
Entonces, si n es un numero par, el punto c es un extremo local de la funcion V — fi^), a saber, un maximo, si fn\c) < 0, y un mmimo, si / (c) > 0.
jj III KxttVJlllM ill- (lll
Hallar los extremes de las funciones siguientes y clasificailos:
154. /
fa, n £ N>
: x -» Xm{\ - x f ,
< SoluciiSn. Calculamos la derivada de la funcifin / y la igualamos a 0. f(x)
- xf'1
=
. - * )
=0.
Las rafces de esta ecuacion X\ — 0 (m > 1), = t (n > 1), x3 — son puntos istacionarios. Comprobemos que s« verifiquen las condiciones suficicntcs. Sea 0 < £ < Para m par se tiene f'(-e) < 0, /'(f) > 0, por consiguiente, en el punto = 0 la funcion / tiene un minimo igual a cero. An^logamonte, para el punto x-i ~ 1: st n cs par, sc dene /'{I —e) < 0, / * ( ! + $ ) > 0, por to cual la funci6n / tiene en este punto un rmnimo igual A ccro; si n cs impai1, se verifica /'(I — e) > fl, /'{I 4- e) > 0, es decir, cl punto dado no es un punto de extremo. Finalmente, para el punto a:3 — tenemos
www.fullengineeringbook.net f fV -mv+ n—
/ > Qs
f (\ m ~ +r n + ^)< /
0.
Dc este modo, en el punto x$ la funcion / tiene un maximo f
f ™ A„ ™mn" \ m +n) ~ (tn + ft)m+"'
Proponemos al Icctor examinar el caso m — 1
155. / : x ^ ac' (1 -
x)\ x €
{n = ]).
•
K.
4 Solucion. Igualando a cero la derivada de ia funcion en cuestion, hallamos cl punto estadonarto X\ = 0< s <
tin ios puntos X2 = 0 y Xj — I la derivada finite no existe. Sea
entonces /' Q - e ) > 0>
/'
+ e ) < 0,
f'(l ~
/ ' ( - e ) > 0,
f'a +
/'(e) > 0,
e)>0.
Por consiguiente, si x\ — | la funcion tiene un maximo igual a i\/'4. Si X2 — 0 no hay extremo, y si ~ 1 la funcion tiene un minimo igual a cero.
156. / : x
( V 2 + sen
/(0) = 0,
99/1
( j | ill u lo
(Tiltulo liilVrrnclal para ImuionoH J c una \mimMc
M Sol u ci 6 ii. Aiuilitvmos el signo tic I incremnilo do la f unci An / en e! piinld x A/(0)
0. 'Ibnemos
c ͌ (\/2 -f- sen i j > 0 0. Si x £ 0
Vx ^ 0. Por consiguiente, para x = 0 la funcion tiene un minimo igual a /(0) examinemos la ecuacion f\x) — 0. Evidentemente,
f 'X
x
e % ^ ^ V2 + sen
1 sgn x — cos —
x
^ 0.
Dado que sen ~ -fcos ^ V2r la derivada no cambia de signo al pasar por los puntos donde esta se anula, por lo cual la funcion no tiene otros valores extremales salvo /mm = /(0) - 0. • if Hallar los extremos de las funciones siguientes: 157. / : X
arctg x - - ln(l + x2), x G l .
1y < Solucion. La derivada / ' : x I "m,1+x 2
0 para x = L Dado que /'(1-e) > 0 y /'(l+s) < 0, 0 < e < 1, entonces la funcion tiene en el punto x 1 un maximo igual a j — \ In 2. •
1 5 8 , / : x ^ \x\e f®'11, xeR.
www.fullengineeringbook.net
Solucion. A partir de la expresion de la derivada /': x — i > e ^ l'sgna; x ^ 0, x ^ 1, vemos que los puntos x^ — —1, x2—0 y x$ 1 son candidatos a extremo. Calculando el signo de la derivada al pasar por los puntos X{ (i — 1,2,3), determinaremos si estos son puntos de extremo y, en caso afirmativo, el tipo de extremo. Tenemos f ( - l +€) < 0, /'(—1 -€)>0 (maximo igual a e~2); f(-e) < 0, f(s) > 0 (minimo igual a 0); /'(1 - e) > 0, /'(1 + e) < 0 (maximo igual a 1) {e cs un numero positivo lo suficientemente pequeno), ^
x
1 5 9 . Hallar los valores minimo y maximo de la funcion f i x segmento [^10,10].
3x + 2| en el
M Solucion, Hallamos la derivada
f : x ^ (2x - 3) sgn (x2-3x+2),
x^l,
de la cual obtenemos los puntos candidatos a extremo: x-y — | (/' (|) = 0); x
/(®2) = 0,
/ ( a 3 ) = 0>
/(—10) = 132,
/(10) = 72
vemos que el valor maximo de la funcion es 132, y el valor minimo es 0. 1 6 0 . Hallar el infimo (inf) y el supremo (sup) de la funcion f : x intervalo ]—oo, +oo[.
> e
x
cos x1 en el
I \xl tenuis do una lumion •4 Solution. I{it vii 1ml do que la funcidn f oh par oxamim'nuisLi on el wm intervalo x • 0. Do Tii exprcsion /' : a; —2v2xe~* cos(* x/} Vemos que los puntos I) y xk —
+ 2fcjr, k £ 7,o, son los puntos candidatos a extremo. Al comparar los minieruH /(0) = 1,
/(**) = J = e " * " 2 * 1/2
lim /(*) = <) .T-l+OO
obtenemos que I inf f(x)=—-=e. -»<»<+oo V2
',
sup f(x) = t #a
•
1 6 1 . Determinar inf /(£) y sup /(f) de la funcion / : £ t-» - — - j en el intervalo 3 -I- £ ]x, +oo[. a Solucion. Calculnndo la derivada /' : £ <-•> 'f^)'
hallamos los puntos candidate a
extremo: & = -3, & = U entre los numeros /(—3) = - g , /(l) - ~r lim / ( 0 lim /(£) = 0 seleccionamos el numero mayor y el menor. Sea x < 1, entonces sup /(£) — Kj<(<-H»
y
sup /(£) = /(l) = |. Si X > 1, resulta que X<(<+rXl
P ° r consiguiente,
www.fullengineeringbook.net sup i <£<+00
Sea x ^ -3,entonces
^
Sea - 3 < x < - 1 , entonces
m
I 3+if>
—
r
e
'"f
<
® > 1.
fit) — ~7-
< 0 e
inf
/(0 =
> /(l-oo) — 0 e
Finalmente, si X ^ —1, obtenemos
inf
/(£) ~ 0,
Por consiguiente. inf
/(£)== £
Hi o,
-3
-l.
1 6 2 . Hallar el termino mayor de la sucesion («„) si &n = M Solucidn. Suponiendo n — x podemos considerar los elementos de la sucesion (a„) como valores dc la funcion derivable f : x x", x > 0, es decir, «„ /(«). Supongamos que el punto estacionario xy dc la funcion / satisface la desigualdad It • u; i Analizando la derivada / : x i-» x'; ' (1 In af), kill.unos ol punlo estas'iontirio = e, en el que, nbviamente, la funcidn f aleanza su miivimu. I'or consign ion to, k, 2. At comparar los tres numeros U[ — 1, % y «i v'd i>l)lnu'i)W«i cl lesult.ido mdx «„ = v^ a* 1,44. •
?.'?.()
(apilulo 2. l a k u l o di To re lie iii t para hmilnntv*
1 6 3 . I )cnu>slrar la desigualdades J__ <;•; xl> -j. ( I
xf ^ 1
S|
0
. I
x
p > I.
y
<4 Solucion. Veamos la funcion f xp 4- (1 — as)''. Su derivada /' ; x i-> p(xp~ - { l - i c ) ^ " 1 ) se anula en el punto x = Al camparar los numeros /(0) = 1, / (~) f(l) = 1, deducimos que max f(x) — 1, mm f(x) — i - . De aqui se obtiene la desigualdad que se demuestra.
^m• •••• • • • n i
-i f A 2 x -j-1 1 6 4 . Demostrar la desigualdad - ^ — ^ 2 para - o o < x < +oo. J 3? ~~ -31 ""f- "1 M Solucion. La demostracion se basa en la comparacion de cuatro numeros: lim f(x)t
lim /(ar),
X — ± — C £ }
X
—
donde f(x) = (:x1 4- l)(ff2 + x + l)" 1 For consiguiente, pgra x = 1 se alcanza el valor minimo de la funcion / igual a ~, y para x = — 1 el valor maximo igual a 2. • •
II
165.
•
"
I • ••• •
HI I I II I I I
T
Determinar la "desviacion respecto a cero'" del polinomio
P(x) = x(x - lf{x + 2) en el segmento [—2,1], es decir, hallar Ep =
sup
-2
www.fullengineeringbook.net
Solucion. Tenemos
P'(x) = (x-
l)2(x + 2) + 2(x - l)ar(ar + 2} + x(x - 1)2
A partir de la ecuacion P'(x) = 0 obtenemos ®1=1>
2-2,3 =
2
*
Comparando los valores de f(xi), f{x2), f(x3) y /(-2), vemos que Hj • • • • •••
p
—
4
,
W
• ! •
1 6 6 . ^Cual debe ser el coeficiente q para que la "desviacion respecto a cero" del polinomio — x -h q sea minima en el segmento [ - 1 , 1 ] , es decir, para que EP = sup |P(#)| tome un valor minimo? < Solucion. Al comparar los numeros P(0) — g, P ( ± l ) ~= q+ 1, obtenemos que « j , | ipmi P(.)l = es decir, sup ji^a;)! —
- f\ i U_lii\
j
Iflrl ss. i
m a x { | g | , | f f + l | } = | I ? + 1| 1
•
+
lf>|9||
1
r
-
+
+ 5 - Ahora, tenemos
minEp = mfnmix{|g|, \q + 1|} - mm i q if K para 9 =
te
1
Z
1 1 1 L} z
+
Ii IH. Jixtremo* de ttit.* liitirloii
'.!.'7
1 6 7 . St: denomilM t/iwj'rjiwit ulnointa do dos ftinnniuw / y
x2 y g ; x »-+
en el segment"
Solucion. La funcion
168.
^
Determinar el minimo de la funci6n /
max{2f®|, |1 + «|}.
A Solucion. Si 2b: | ^ |1 + a'|, tenemos ni
— 2\x\. For tanto, fix*-*
2\x\
- o o < a ^ — j , o bien x > 1. Si 2\x\ < jl +x\, entonces m.ix{2[a;|] |1 + a | } = [1 + ®|. For consiguicnte, / : a; *-> \x f-1] para - J- < x < 1. De este modo,
f
I 1| si
www.fullengineeringbook.net 2\x\ si
Analizando la derivada
1 /' • z W / [ 2 sgn x
^ " 3< si x £
X
< ,
vemos que los puntos X! = —j y x2 = 1 son candidates a extremo. Al comparar los numeros / ( - 5 ) = | y /fl) = 2, obtenemos que /„,<„ = y
>
^ Ejercicios Determiner los extremos de las funciones siguientes: 369. / : i h
7 3—JT> [l "*!#<-T|
donde
•1>
»=f-
370. 371. f&p Hi: \ + £ i-.i
*!*<»
i+<+t + f = a
0, 1 = 1 V 1 = - 1 . O^x^z.
372.
^ coslw * + c h " V 373. /:»«-» 374. /• x 1-. j j t l ^ l f e atj 1 "^. 375. / J itn t¥ 376. f :x >-> ^(cosx + |cosx|). 377. / ; X — Y, x = 3t - t3, y = it - t\ (J ^ ( ^ 1. 378. / : I f c o s ^ , « < $ < f . 379. fiX-* Y. sT1 + +a?y +1 =. 0. Hallar los mi'nimne de las funciones siguientes: 380. / — max { c h s + k 4 - c h ^ l . 381. / : x irulxft - \x t- 3j, 1 - (a? - 2 ) 2 } .
( '.iptlulo
(7dm I o
tlili1
it1 mi ill
|mi,i
hnuiones de una variable
llallur los m j x i m o u dc las funciones si^uifiiUvs: 3H2.
J : a: i • n u n ( x
I 5 , In x , J
a;}.
383. / : x i m u n i
{
a:, (x
I i f
--
,
ljl
}.
HaJlar los vatores indximos d c las funciones siguientes:
384. / : a; ^^ 386. f
{x - l)2(a; - 2)1, - 3 ^ x ^ 4, 385. f : x • 21 ^ r InV" i 0 <£ ~ 4, ® = 0 .
^ TT,
387. f : x ^
I V C 1-1 J!- 1 ^ a? ^ 1. cos x2 cos ~... cos X
.!•
2 - c o s a; cos ^ . . . cos —
'
Hallar los valores muiimos de las funciones siguientes:
388. / ; z h
4
+
- ^-a;2 -
h 1, - 3 ^ x ^ 2. 389. / : x
I*]
sen kitx, 1 ^ x ^ 4,
390. / : X —* Y", a?3 -h y3 - 4,5a:y = 0 (0,5 ^ ar ^ 1,5; 0 < y < a), / es una funcion continua. 391. fix*-* — sen(tt sen x)T 0 ^ x ^ |, a > 0. En los problemas que siguen a continuacion, para las funciones dadas / determinar sus | sea mmimo (la funcion f* asi aproximaciones / * de modo que sup |/(x) — definida se denomina aproxtmacion de Chebtehev de la funcion dada):
392. / : x
x2; f : x
a^ + a}x2 + a2x4, 0 < r? ^ 1.
393. f i x h€ hT ; /* : ^ a0 + t^ar -f a^x2, 0 ^ x ^ 1. 394. fix^ ex; f : x ^ g g , 0 < or ^ 1. 395. / : a?
- 6a?2 -f 6a; -f 1; /* : %
1 ^ a? ^ 5,
Determinar los valores nunimos y maximos de las funciones siguientes:
396. / : x
e ^ ( V2 + sen ^ J ,
^ 0, x G [ - i t , tt].
www.fullengineeringbook.net
^rr /* : i h |f — Inlsenarl, j ^ ^x1 ^ &7T. A:. 6^ ^ 397.
. . r . 4tt]. en el, segmento [-4tt,
Hallar inf / t e ) , sup f(x) de las funciones siguientes:
398, / : ar
e~7 ^
4-genajJ,
399, f : x h-> sen x — |aj —
gs|
f ( f ) = - 1 en el intervalo ]0, H-oo[. j a ]—1,
En los problemas que siguen a continuation^ para las funciones indicadas / hallar las aproximaciones f* € { / * } que satisfagan
sup | fix) - /* (a) I - inf sup | fix) - f* (X) |, donde - s
/
ao + a^x + a2x2 A x ^ xGi : x *-r ^ (6q H- b^x 2\-i a;0 < x < fcx).
400. 401. / : a; — i ^ (1 + x ) e~x. 402. / : x ^ (1 - x1) 403, fix Vl + x + x2 e~x
§ 11. Construccion de la grafica de una funcion a partir de sus puntos caracteristicos Para analizar y construir la grafica de una funcion y — f(x) dada es conveniente utilizar el esquema sigutente:
L Determinar el dominio de la funcion, su periodo, los puntos de interseccion con el eje Ox, los intervalos de signo constants, la simetria de la grafica de la funcion, los puntos de discontinuidad y los intervalos de continuidad.
!) 11 < iHiufniKmn ili' l,i grtfllea lie uii.i tuiicimi 2. Vmjhw nl tti gnijirit licnc asftttotas. 3. Ihilhir b:i iuli'ftifilos de monotonia tie lafiun'htii;/ ha* fi/wlo* cxtivinite. 4. Ik'teriniuitr hts intervalos da cimcavidud ij amwxidtid !/ los pmitm de hlflrxioti dc la grafica. 5. Cansimir la grafica de la funcion. Construir las graftcas de las funciones siguientes:
Solucion. 1. La funcion est3 definida y es continua para todos los x, positiva para x y negativa para a; < 2; y(2) — 0. 2. De lim y i l se deduce que y 1 es J—,±CX> V, 1 una asmtota de la gnlfica para x —» -foo, e j - —1 es la olra para x —> - o o . 3. Dado que la derivada 2x + \
,=
<0
si
\ >0
si
f
" vix^rT?
T
f i
0
x<
*2
-1/2
x > — j,
entonces la funckm decrece para x < — i5 Y crece
N^
i -2
para
Fig- 22.
www.fullengineeringbook.net x > — e n
el punto X = - j se tiene un minimo
igual a -sfS & -2,24. 4. Al determinar los signos de la derivada segunda
<0
> fl si
y V + lf
. <0 deducimos que para x < —
x < - 3lV41 8 '
si
-
3
- ^ < x <
3
'
si
—1,18 y x >
X 0,42 la grafica es convex.i y
41 la grafica es concava; los puntos de inflexion son X\ « - I, I fi; para — < x < & - 2 , 0 6 y x2 » 0,42; y2 » - 1 , 4 6 . 5. La grafica de la fu no lull se da en ia fig. 22. •
170.
y = V ^ - < / x 2 + i.
Solucion, 1. La funcion esta definida, es continua y negativa para todos los x; su gr.'ilint es si metrica rcspcctci al eje Oy, pues y(x) = y( a;), 2, Dado que el limite lim y es igual a cero, entonces y = 0 es la unica asintote no j? -.no bay olras asfntotas, 3. A partir de los signos de la derivada
, 2((®a] + l)'
y =
3x'(x2 -fl)i
—
f <0 si x < 0,
< [ > 0
si
x>0,
deducimos que la funcion decrece para X < 0 y crecc para x > 0; en e) punto X ?= 1) se alcanza un mmimo iuual a —1.
Z M)
i -ipilulo 2. t.diufo if i fore ni'iii I |mi.i iuiiiioncs de una variable 4, Dado qui -r • i i • i iii
i—nil
1
i•
Ii
11
F 1 1 1 1 • 11111iBi
x
y
2 x 9
tt
\
5
4
M
x' - f l ) 3 +3E* - xn
ar + 1
\
<0
\x\ < +00), Fig. 23.
entonces la grafica de la funcion es convexa y no hay puntos de inflexion. 5. A partir de los datos obtenidos construimos la grafica de la funcion (fig. 23). >
171.
y
|1 + x yfx ii•
-nw~n
^ Solucion. 1. La funcion viene definida, es continua y positiva para todos los x > 0. 2. Es evidente que lim y — +oo, por tanto x — 0 es la asintota vertical de la grafica af—++o para x lim +0, Existe tambien una asintota oblicua y -- kx + 6, siendo k 1, a;-»-W) x b = lim (y — x) = es decir, y ac—»-|-oo ^ 3. La derivada primera j/ satisface las desigualdades i
5*('l +
-x
y
•
x) i(2x - 1)
ͭ͡
si
*<5
ͯ͡
SI
X>\,
www.fullengineeringbook.net
i y crece paral x > ^; en ell punto x — por consiguiente, la funcion decrece para 0 < x < ^ la funcion tiene un minimo igual a \y/3 & 2,60. 4. Dado que y
tt
>0
la grafica de la funcion es concava. 5. La grafica se da en la fig, 24, • ••IB II • I I I I I I I -
•
•
•
•
i •— - •••
•
•
B M
I • •
I.• •
••• • • •
(0 < x < +oo),
• ••••• •
• • • ••
i
•
vi
o Fig. 24.
172
*
y
x Fig. 25,
sen x 2 + cos x
1•
nnilTTTI^BHV
Solucion. 1, La funcion esta definida y es continua para todos los x; su periodo es igual a 27r; el centro de simetria es el origen de coordenadas; y = 0 para x = kir ik -- 0. + 2 , . . E s obvio one sen v — sen sen x.
fi 11 t 'i)iiHlniii i(in de !,i gniliea dt1 (lilt) lliiltiriii
Z,ti
2. No Ijiiy .ti.inliil.ir>. Tomando on considcr.icldn cl hcilio do ijiiu la ftincidn oft periodica, ttnalirfiuosla oil ol .segmento [0, 2tt]. 3. Al dclerminar los signos de la derivada primera > 0 y
i
1 I- 2 cos x (2 1- cos a:)2
vemos que para 0 < X < y;
si
0 0 ! <
<0
si
f < ®< f,
>0
Siy
<
3
x sS 2tt,
y < x ii 2v !a funcion crece, para ~ < x < y
y para j ) - | y i 2 = y tiene un maximo igual a ^ -55 ~
?f,
doom*
« 0,58 y un minimo igual a
4. Dado que „ y
2 sen a; (cos x - i) ~~ ~ (2 4- cos xf
f <0 \ > 0
si
0
tt
entonces para 0 < x < -a la grafica es convexa y para v < x < lit es concava; ademas, •£\ — tt, yL — 0 es el punto de inflexion, 5. La grafica esla presentada en la fig. 25, >
173.
=
•4 Solucion. I. La funcion esta determinada para todos ios i > l y « < —1; en diction intervalos la funcion es continua y positiva, verificandose, ademas, y > 1; 1a grafica o h
www.fullengineeringbook.net si metrica respecto al eje Oy; t/(-l - 0) = j/(l + 0) = 2 ^ . 2. Dado que lim y =% entonces v = 1 es la asintota para x —• oo. 3. Tenemos
> 0
si
x < -1,
< 0
si
« > 1,
por consiguiente, la funcion crece para x < —1, decrece para r > 1 y en los puntos x
II
\ tiene un maximo dr frontemigual a 4. A partir de la desigualdad evidente 2V
y"-=y Inif
—J==
- ~4=+x1U2(^4==
-
A'
V y V - If
V^Tl
v^-1
*
V +
Vt^+lp
V.
v ^t2 -I-1) 3 }
s/(x2-lf - y [ •
— +
I' +
sr deduce que la grafica es concava. 5. La grafica estd presentada en la fig. 26,
1
v V - i
] In 2 > 0
?}
K
unn Itmchin f(x), « J » < .1 {fl < x S t>), se dico que on el pun In o (Ii) esU) hone un mAx dt-fivntera,si (xlstc un semientorno ]u,i[ C (n,irf (M, c ]/Mi) tal qtie f{n) > f(x) (/(/j) > fU)} P
IJ D.iiln
') il
('.lpihilo 2. ( Vilt ulo ilifvivnt i.il para liiiuioin's do
-1 0
y-x
vaiMbli
1
X
+1
Fig. 27.
Fig. 26.
174.
him
.r
Solucion. 1. La funcion esta definida, es continua (como superposicion de funciones 1
It
elementales y = x * ) y es positiva para x > 0. llli 2. lim y = lim e = 1 , por tanto y — 1 es la asintota para x
-foo.
X—»-+co X—>-+OC 3. A partir de las desigualdades 2/ (1 — In x) a;
/
£
> 0
0 < x < e,
si si
< 0
e
se deduce que para 0 < x < e la funcion crece, para e < x < -j-oo decrece y para x = e 1 tiene un maximo igual a e~; ademas, y(+0) = 0. 4. Omltimos el analisis de la convexidad y de los puntos de inflexion. 5. La grafica se da en la fig. 27. •
www.fullengineeringbook.net
175- y =
(l+x)K
Solucion. 1. La funcion esta definida para x > — 1, # ^ 0; es positiva y continua en esta e, entonces x — 0 es un punto de discontinuidad region. Debido a que lim(l 4- x)
evi table. 2. De las expresiones
lim
y — -foo; lim y = 1 se deduce que las asintotas son:
• £ — > — 1 + 0
• 4 - 0 0
x = —1 para a? —* —1 + 0, e y = 1 para x —+oo. 3. La derivada OQ O x) r I
y = y
1 x(l + x)
ln(l + a:)
x
l
x(l f x)
X X ++ r2 2
\ se 3
/
0
De este modo, Ja funcion decrece para todos los x del dominio. 4. Demostremos que la derivada segunda
y
n
y
i
x(l + ar)
ln(l + x) a?
+
es positiva. Para eso, consideraremos la funcion
1
x3
2 ln(l + x) -
2% + 3x (I + x)
J) M ( i>ii.'*lMU'i'j()ii J c l.i gi'.iltia di' llii.i liiiii'iou V{ 2x -i- yy
I
(X >
Vl Fig. 28.
0).
I Solucion. I. La funcion eslrt definida, es continua y positiva para lodos los a: > if; t/{+0) = lim xexp { s i n ( 1 + M } = 0 . 2. Hay una asintota oblicua y = kx + b, siendo k=
lim - = X
lim f l
a -t+wj \
XJ
=
www.fullengineeringbook.net =js&* M* (I - 2?+> t (?))} -e)e(4+o(i)) b — lim (y — ex) — lim x fexp ja; In
} ~
=
3. Tenemos
por lo tanto la fund6n creee para x > 0. 4. La derivada segunda =
y ( 2 , „ ( ] + ! ) + In" f t + -1 ) - \ x(l + x) \ x) \ x) :c(l +
) x)2)
es positiva. Para cerciorarse de esto, de/inamos una nueva variable t ~ 'r y apliquemos t>J teorema del ejemplo 104 tomando
i>{t) = tA +
+ f,
ln = 0,
k — 4.
Vemos que todas las condiciones del teorema 104 qucdan cum pi id as. Por consiguiente, si x > tl, entonces y" > 0 y la grafica de ia funcion es concava. 5. La grafica de la funcion esta presentada en la fig. 29. p-
177.
y -
f-''
Kg. 29.
ZM
('apilulo 2. (Viltulo dilm'iK'iiil para luuciorio.s do una variable
Solucion. I. La Iunci6n esta dofimda, es continua y positiva para todos los valores do x, a oxcepcion de los puntos x ~~ ± \, en Jos que la funcion presents una discontinuidad y, ademas, 2/(1 - 0) - 0, + 0) = +oo, 0) = +oo, 1/(1 + 0) = 0. y {\ La grafica de la funcion es simetrica respecto al eje Oy. 2. Las asfntotas de la grafica son: x = para x —* -1 + 0; x — 1 para x —> 1 — 0; y = 0 para a; —* oo. 3. Hallamos la derivada y
i
2x ei7?
3-x
(1 +x 2 ) 2 (1
X
)
2*
Debido a que y* > 0 para —oo < x < — V3; 0 < £ < l y l < a ; < y/3, entonces para estos valores de x la funcion crece. Dado que y1 < 0 para —V3 < x < -1; 1 < x < n/3 < x < -f oo, por consiguiente, en estos intervalos la funcion decrece. En el punto x = 0 hay un minimo igual a e, en Ios puntos x — x — se alcanza un maximo igual a Ayfc 0,15. 4. Calculando la derivada segunda
tt
V
2y
[
x2)2 + x2 (1- x2) (9 + x2 +
7x*-x6)
www.fullengineeringbook.net (1
a 2 ) (1 + x1)
vemos que y" > 0 para \x\ < 1. Ademas, yr,(y/T^) > 0; y"(V3) < 0 e y"(x) +0 para x —+ +oo. Por consiguiente, en cada uno de los intervalos ]1, V3[, ]V3; +oo[ y ]-•oo, —1[ (dado que la funcion es par) existe al menos un punto de inflexion. 5. La grafica esta presentada en la fig. 30- • Construir las curvas dadas en forma parametrica:
"178. x = 2t - t2, y=3t-
t\
Solucion. 1. Las funciones £•(£) e y(t) estan definidas y son continuas para oo < t < -foe Para estos valores de t se tiene ™oo < a; 1; — oo K y < +cc. Por consiguiente, la funcion y = y(x) considerada en funcion de la variable x esta definida para los valores —oo < x < L . ±00 2. Dado que x(t) oo, y(t) +oo m x\t) para t —» _Loo, la grafica de la funcion no tiene asfntotas. c 3. La derivada
dy dx
=
se anula para ti — (a?i tinuidad evitable para ti tenemos
31
2
-i2 1- t
—3) y presenta una discon1 (X2 = 1). En este punto Um ?
= 3.
Fig, 3D.
Jl I! t H»Filriiivi<)ti de lit gr.Wini tit' mill Itim'UVn
Z'S.'i
4. Ln dcriVmlu nt'|')in(l;i A2V dx2
fl
3,(1 - i f 4 (1 -v ip
tiene discontinuidad en el punto t = 1. Organicemos estos do los en forma de labia; (
-no < i < -I
-t < (< i
1
X
-OO < X < - 3 - 3
-00 < s < 1
y
- 2 < y < 4-oc
-oo < y < 2
dy dx
dij -f<0 dx
d2v dx2
d2y d >
-2 < y < 2 dy •~>o dx
0
dy
dx-
0
De la tabla vemos que para - o o < X < —3 la funcion y(x) decrece; para - 3 < x < 1 la funcidn crece; para a' — - 3 tiene un minimo igual a —2, y para x ^ 1 tiem* tin maximo igual a 2. Si x crece de -oo a 1, la grafica de la funci6n y — y(x) es concava; si x decreee de 1 a - c o , es convexa; (1,-2) es un punto de inflexion. 5. Utilizando los datos obtenidos construimos la grafica (fig. 31), *
www.fullengineeringbook.net 179.
M Solucion. La funcion x(t) esta definida y es continua para —OO < t < I; 1 < f < I cc, I,a recta x = 1 es una nsintota verLical ppra < —»1, De la igualdad x(t) — f-t 1 f vemos que x — I + } es una asfntOta oblkua. Hallamos la derivada x'(t.) — ^p-jrr. Es obvio que on los intervalos ]-oo, 0[, \2, I oc[ la funei6n crece y en los intervalos JO, 1[, ]1, 2[ decrece; xmal( = 0 para — 0; %nvm — 4 para t — 2.
I,a funcion y(t) esta definida y es, continua para todos los valores de t, excepto t = ±1; ademas, ( = y t — 1 son asm to las. Dado que y'(t) — ~ jjj-^h < •jif/.l Herreer. nam hvlrwi l*\e t Hel (inrmmn Hifl t;i fimeinn fflc 33^
la funcion
('npihilo 2. C'.ilciilo dilcivmial para I unci ones de una variable Nuoslm analisis mueslra quo la luni/inn // y(x) esta definida para oo < x ^ 0; i 4 ^ x < | (X), Dado que x(t) —> ±oo, y(l.) y | 0 para t —• ±oo; x(t) 2 - j , ty(i) —• ± son asfntotas de la funcion y — y{x), Adenitis, para t --> - 1 d: 0, entonces y 0 y x — lL — ..). l •xJ'i ~ para £ —• 1, por consiguiente, y = j — - cs una asintota oblicua. 2* & 2 x Hallamos las derivadas i
dy dx
i2
I 11 11 I I •
t(t ™
+1
2)0 + 1)2
1
d2 y
2(t - l) 3 (i 3 + 3i + 1 ) ^(f - 2f{t +1)3
da;2
0,07, de donde obtenemos que y^'z = 0 para tG ~ -0,32, t-\ =1; ademas, y(tn) & 0,37, Construyamos primeramente las graficas de la funcion en los intervalos por separado. Si - o o < t < - 1 , entonces -oo < x < -oo < y < 0; ylx < 0, y"z < 0 (fig,34), rsy
Si - 1 < t ^ 0, entonces +oo. La derivada segunda y%2 > 0 para -1 < t < to e y!J?. < 0 para 10 < t < 0; por consiguiente, para t — tQ obtenemos un punto de inflexion yo), donde Xq -0,07, Vo ^ 0,37 (fig. 35). t.
vi yk
H
0
x
0
X
www.fullengineeringbook.net 3 4
Fig, 34.
Fig. 36.
Fig. 35.
Fig. 37.
Fig. 38
Sea 0 ^ t < 1. Entonces -oo < x ^ 0, -oo < y < 0, y'x > 0, > 0 (fig. 36). Si > 0, y,< 0 (fig, 37). Finalmente, si 1 < t ^ 2., entonces 4 ^ x < Loo, ~ ^ y < +oo/ 2 2 ^ t < +oo, entonces x > 4, 0 < y ^ 3 < 0, > 0 (fig.38). El resultado se da en la fig. 39, • • i• im
180.
X
t+e
y
•
i i
2 t + e-21
M Solucion. Las funcioncs x(t) e y(t) estan definidas y son continuas para todos Ios t. Aplicando la definicion dc asintota vemos que para t —• +oo las rectas x = t y y — 2t son asintotas de las graficas dc las funciones #(£) e y{i)f respectivamente, Tenemos x'(f) = 1 - e ; x\0) = 0; xf\t) = c _< > 0 para todos los t; y\t) = 2 (l - e~2t), y'(0) = 0; ?/'(£) — -2t > 0 para todos los f, De este modo, xmfn = 1 para t = 0; ?ymm -- 1 para t — 0. T^s graficas de las funciones #(£) e son concavas ffie. 40, a, b).
ft 11 < 'iiitHtrmvkni de I.) gnHleji de una ftiticlAii
Fig. 39.
Fig. 40.
Si - o o < t < 0, entonces 1 < x < +oo, 1 < y < +oo, y't = 2 ( 1 + > 0; y"i = -2 (V - 1) > fl. Si 0 < t < -l-oc, se tiene 1 < x < H oc; 1 < y < 4oo; > 0; < 0. I'or consiguiente, la funcion y — y(x) crece, y su grafica es concava para t < 0 y convexa para t > 0. En el punto x •= I la funcion y(x) tiene un minimo igual a 1. Si t —• +oo, vemos que | 2, y - 2x —> 0, por eso la recta y ~ 2x e s la asmtota d e la gTatica d e la funcion para t —• + o o
(fig. 41).
•
www.fullengineeringbook.net fig. 41,
181. x ^ ^ . y - . a ^ t cos J t
(a>D).
Solucion. Para determinar la funcion y(x) a partir de las funciones conocidas x(t) e y(t), estudiemos primeramente su simetria, los extremos, los intervalos de concavidad y convexidad de la grAfica de la funcion y(x) y la existcncia de asmtota s. Dado que x(t) — x(—t); y(i) — ~y(~t), la grafica dc la funci6n y = y(x) es simetrica respecto al eje Ox, Ademas, x(t) - -x(x + I); y{t.) ~ y(ir + t) y x 4* () = ~x ( y 1 i ) ; y ( f fy = $ ( y -t *) (0 < t < |), por lo tanto la grafica de la funcion y(x) es simetrica tambien respecto al eje Oy. Por consiguiente, para construir toda la grafica es suficiente determinar solo una parte de la grafica de la funcion y(x) para x > 0 e y ^ 0, o sea, para 0 i < |. St! tiene y'x = sen t > 0 para G < t < j , por consiguiente, la fuuri6n y - y(x) crece en este intervalo, y, ademas, x —* +oo; y —* l-oo para ( —* ^ — 0. La derivada segunda es y"? = cos^ t sen" 1 1 > 0 (0 < t < por lo tanto, si 0 < * < § la grafica de la funcion y(x) es c6ncava. Notese que la grafica no tiene asfntotas verticals, en ^ - 0 e y —* +oo solo para virtud de que x —• -fco solo para ( Para determinar si existe una asmtota oblicua y = hx 4- b hallaremos los limites Fig. 42.
k = lim m = lim = 1. 3 t, i - f - a x{t) t-|-u cos=-3
( '.ipilulo 2. (YiUulo dilriTiH'iii] p.11,1 fmiciones de una variable
xw
Jim |?/{/) -
b
ft lim ( V / / >'! o \
t -'! u
) co!) / /
- OO
'or consiguiente, no hay asfntotas.
La grafica dc la curva para todos los t (cos t ^ 0) esta rep re son tad a en la fig. 42. L _l LL J
LU_ I
I •II •I
•
•
•
••
Construir las curvas siguientes, expresando las ecuaciones de las curvas en forma paramelrica:
1 8 2 . x2+i?
= x4 + yA.
Solucion. Obviamente, la grafica de la funcion es simetrica respecto a los ejes de coordenadas. Para x > 0 e y ^ 0 representemos la curva en forma parametrica, tomando y = tx (t ^ 0): 1 +t2 1
x
y=t
\ + i2 l + t4
Calculando las derivadas xf e yf determinemos los extremos x de las funciones e y(t): (l - 2t2 — f 4 ) t
x'(t)=±
Fig. 43..
:
x(t) (1 +
i 4)
y\t)
1 + 2r - 1 • • I Mil
x(t) {1 + i4)
\
www.fullengineeringbook.net
Por lo tanto, si t = 0 la funcion a?(£) alcanza un minimo igual a 1 (y = 0); si t la funcion a;(£) alcanza un maximo igual a J ^ ^ - (y —
. Para t — \W2 + l se alcanza
un maximo de la funcion y(t)f igual a y ^ ^ ( x M Es facil comprobar que en los puntos de interseccion de la curva con los ejes de coordenadas existen las tangentes a la curva (v. fig. 43). •
183.
2 2
x y
3 3 x - y .
-4 Solucion. Haciertdo y = tx obtenemos
x
1_ t2
y
(t? 0).
j^t1
Si el parametro t varia dentro de los limites ]—oo, 0[ y ]0, H-oo[, la variable x puede tomar cualquier valor comprendido entre -oo y -| -oo; por consiguiente, la funcion y = y(x) esta definida para todos los valores de x, A partir de la representacion parametrica de la curva se obtienen las igualdades
y
X
1
.
1
i + t^
-
X
t +1
y
de las cuales se deducen directamente las formulas asintoticas: y ~ x para i +0 (siendo x —> -f-oo, y —> ±oo); y ~ x para t —> ±oo (siendo x —> ±oo, y oo). Tomando en la igualdad inicial x-y—uyx+y-v obtenemos la igualdad
( n
T
V
v - u )
2.
— I2v u t-
que re vela la simetria de la grafica de la curva respecto al eje
ij 11 (oiiHtriiinon tie l,i ^nlHea de unit luitrii'tu
23''
Cilll'llltllllllt IiL't lll'l'iv.lll.is
dy
I
dx
2 + f3
vemos que para t0 = ~\/l derivadas y'x e
'
dx1
& -1,26
21'(I"
I 71" I I)
' ~
, , i\1
(afo =
* '
1,tW; Jfo =
no existen e y'x = 0 para t2 -
~yf\
h
-2,38)
~ "0,79
-
amkis » 2,.1M;
Jb=r-|v^fSJ -1,89). Ademas, =
0 para tx = - V m Z
_ i t 9 o (®t jy 2,18; ft « - 4 , 1 4 ) y para
W - 0 , 5 3 fe s» 4,14; ¥3 « - 2 , 1 8 ) . Utilizando dichos resulta dos y tambien la tabla siguiente:
t
—00 < t < t\
X
i j < 1 < +00
y
-00 < j/ < si
y\
u'x < 0
y'<
£
#>0
&
it < I < *ft < £
ta
h
Xt) < X < X2 £•> < X < Xj
<
yu
construimos la grafica d c la funcion y — y(x)
Ks < JJ < lb
/j < i < 0 < a: < f oo UD
y'*
y'*< 0
y", < 0
$
0< t< l-oc -OO < X < 1 'Hi — OO < IJ < 1 OL> sri > I)
>0
(fig.41).
www.fullengineeringbook.net 1 8 4 . Construir la grafica de la funcion ch" x - ch y = 1.
* Solucion. La grafica de la curva es simetrica respecto a los ejes dc coordenadas, puesto que a! sustUurr x por -x e y por —y la ecuacion de la curva no cambia de forma. Si X > (J; y > 0, la ecuacion de la rama correspondiente N yi de la curva tiene la forma sh x = ch y, de donde x —
Infch y + \ f \ + ch2 y \ I lay una asmtota x = ky I it, siendo
jfc= Iim ^ = % jp-• too y
b=
lim Ms) ~ y) = 0II—+nc
Hallamos la derivada sh y
0
Fig. 44.
+ ch 2 y
de donde se deduce que la funcion x — x{y) crece para y > 0, y en el punto y — 0 alcan/.a su minimo igual a In (I + \/l). Dado que
„ 2chg r > t), xsi = — (l + c h 3 J/)5 vemos que la curva es concava para y > 0. Teniendo en cuenta la simetria respecto a tos ejes de coordenadas construimos la grafica dc la funcion (fig. 45).
2
( it| H111(o 2. (\iltulo iii iVri'tiriiil \>,\i .\ luiuiones de una variable
i] ConalTtMi' las gr<1lic.is do las (unciones dofinidas en el sistema polar de coordenadas (tp, p) • (»: 1 8 5 * /) — a — d o n d e 93 > 1 (a > 0),
ip — 1
-1 + Vs Fig. 45.
Fig. 47.
Fig, 46.
M Solucion* La funcion p(
lim p(tp) — +00, la funcion tiene asintota tp = 1; lim p(tp) = 0, es decir, la curva se 5P —^ 1 -t-0 tp^+QQ aproxima as into tic a men te al polo describiendo una espiral. Calculemos la derivada 1 thy? / P9 a ch2 1) (
www.fullengineeringbook.net Ill I ! • • Illl
III!
•
•j
Dado que tp — 1 < ^ sh2ip para
186.
p-1
(p — arccos p2
M Solucion. El dominio de la funcion se determina a partir de la desigualdad
IP-1| ^ P de donde se obtiene que 1 +V5 ^ p < +00 2 Los valores limites de (p en los puntos de frontera son:
Pi
•
1
8UQ
x;
lim ip{p) p — r
t-QU
7r 2
Como p—\^p , la funcion (p(p) no tiene ceros y es positiva, A partir de la derivada de dicha funcion
t
II I I
p~ 2 • I • • !••••
• I •• I
MS"*)2 "I
vemos que en ei punto p = 2 se alcanza un minimo igual a arccos En el punto p — p\ la derivada no existe; en este punto la funcion toma un maximo de frontera igual a 7r. Para 3? < p <2 la funcion decrecc y para p > 2, crece.
Ji I I < 'iHUill lli'rioil iii1 1.1 gi.tlica ill' llll.l filll«'i1111
\
Coll Hi yit lli'imifi Mt'li.ililtlo (veanse los valores liltlllt'S < It*tyim ios jntlllos tit' (ioiilci.t), la funcidn time iiDii intuitu la vortical. Ha Ik'mew su dtstaucfil ft do! polo. 'lonemo.s a = lim p cos tp(p) /J —OO La grafica se da en la fig. 47.
I im p p "Xl
••••, '• • I. P"
•
1 Construir las graficas para las familias de curvas siguientes (a es tin par&netrn variable): 187.
y^x±yja(\-x2).
4 Solucion. txaminemos dos casos: a) a > 0 y b) a < 0. a) a > 0. El dominio de la funcion es: 1 - x~ > la funcion son:
?
es positiva y para — 1 < x < -\j x^ y —x
o sea, |a;| ^ 1. Los ceros tie
para - y j \ t i < £ < 1 la funci6n y = x + ^Jti {I -- x7-)
88
es negativa; para — 1 < x < yjjf^
yja ( l - x 2 ) es negativa y para yj^fj
la funcion
< x < 1 es positiva.
Calculemos la derivada ax
www.fullengineeringbook.net de donde se deduce que para x —
la funcidn y = X 4-
maximo igual a v'a + 1, y para x — — \ J l a
(I — :e 2 ) alcanza un
funci6n y — x ~ ^Ja (I — x2) alcanza un
minimo igual a voTl. Los puntos X = ± 1 son puntos de "contacto" de dichas ramas. De la expresion dc la derivada segunda
( i - ^ )
\ja
(t-
«*)
vemos que la grafica de la rama superior de la funcion es convexa y la grafica dc la rama inferior es concava (fig. 48). Al variar a clcsdc 0 hasta I oo obtenemos una familia dc clipscs que pasan por los puntos (—1, I) y (L I) (fig.49); b) a < 0. El dominio de la funcidn es jxj > T. f,as asintotas sou y = k\j: j />; y — k2X + b, donde fci 2 =
lim
La grafica se da en la fig. 50. 188.
— = 1 ± V—a; 6 = 0. •
y~xe.~".
t Solucion. Examinemos dos casos: a > 0 y a < 0. 1, a > 0. La funcion es positiva para X > 0 y negativa para x < 0. Calculemos la derivada
( .ijululo ?. (Yilaih) ililiMriu'iikl | m i j luncioncs de un
x
Fig. 49.
Fig, 48.
Vk \
/
5
V
fi
Cf
www.fullengineeringbook.net 1
(a = -1)
-1
. 0 .
A 4
/
//
Fig. 50.
H
a> o «<0
B CTOpuny
yiLA ' HMCtlHa a Fie. 51
x
^ !'.' I'ntliji-tit.ri «U* cjikulo lit* illiixlmil* y tiiiiuimiH de una funcion de donde result,! que p;irn x
a sv alcanza lin m;1ximo i^u.iI a „
( x
Atletfulti,
2X
de donde se deduce que x = 2a es un punto de inflexion de In Funcion y: para ar < 2u la grafica es convexa y para x > 2a es cdncava. Como .re '« U pitra x —> l oo, fa reel.i y — 0 es la asmtota de la grafica de la funcion para x —> ,-oo. 2. Si a < 0, vemos facilmenle que este caso se reduce al caso anterior sin mas que sustituir y por — y y x por —x. La gnifica de ia familia se da en las figs. 51, 52. • fjjl Ejercicios Construir las gr.ifkas dc las funcioncs siguientes: 'UM. a) /(a-) = sup {sonar, cos a:, tgrc}; b) f(x) — inf {sen x, cos x, tg r } . 405, x = (cost, y ~ t sen t, z — t. 406. x -•• a cost, y — a cos2t, z cos31, Hallar cl lugar gcometrico de los puntos cuyas coordcnnd.is satisfacen fas ecu a dunes siguientes: 407. ( l - x 2 - |l - * * ) ) * + y- - 0. 408. |1 - j s ? j - 1 1 ~y\- |y|) ( 2 - y s - | l - y ? | - H - » l - W ) = 0 . 2 + 3| - \x\ - |5 - x\ - t). 409. ir + y -1-9 - l ^ + y4 1| - |2 410. 2 - l l - x - i f | |l + :n-yj - |y|«0.
www.fullengineeringbook.net §12. Problemas de calculo de maximos y mfnimos de una funcion
189.
Demostrar que si la funcion f{x) es no negativa, la funcion Fix) — cf2(x) (r. > I)) tiene los mismos extremos que la funcion f(x), < Solucion. Para concretar, supongamos que la funci6n f(x) alcanza un maximo en el punto art). Entonces existe un 6 > t) tal que para todos los x de) entorno 0 < Ja: i c j • t) se verifica la desigualdad /(x) < f(x{)). Como f(x) >• 0 y c > 0, de la ultima desigualdad se oh tiene que cf\x)
< c/'teo), es decir, l<\x) < F(x;)).
Lo ultimo quiere decir que en el punto x<) la funcion F(x) alcanza su maximo. Eti el uiso del minimo la demostracion es analoga. •
190.
Demostrar que si una funcion
(.'ii|H'tulo 2. (MUulo tlilViviu i.il paiii luruioniH de una variable
/'I'I
191.
jJ'ai'u que valour de la base de una funcion loganlniica puede existir un numero
(aI que sea j la vcz cf argumento y cl valor do la funcion en dicho punto? <4
Solucion. Sea y la base do la funcion iogantmica. Segun las condiciones del problema debe verifica rse logy a; = x
(x > 0, y > 0, y ^ 1), ^
i de donde y = x •, La funcion y ya fue examinada en el ejemplo 174, de donde, en particular, se ve que y no supera a ymCiX = e<-, es decir, en todos los sistemas logarfti micos de base y (0 < y < e7, 3/ / 1) estos numeros existen. •
X
\\
'
\
' ^
/
r v
i
\
/
t
C R
\
i
/
/
J
/
O Fig. 53.
1 9 2 . En un segmento circular no mayor que un semiclrculo, inscribtr el rectangulo de area maxima. Solution. Sea la altura del rectangulo buscado igual a x y el ancho igual a 2y. Designemos mediante 2a el arco del segmento y mediante 2
www.fullengineeringbook.net Igualando a cero la derivada S'(
obtenemos que cos tpi =
cos a: + Vcos2 a + 8 , 4
cos tp2 ~
cos a - Vcos2 a -f 8 4
Notese que segun el sentido misrno del problema, el arco (p2 no nos satisface. Dado que S'((pi — 0; S'((pi + £) < 0 (para e > 0 lo suficientemcnte pequeno), entonces para cos a + Vcos2 a -b 8 COS ip\ 4 la funcion S(
-f fe" = 1 inscribtr un rectangulo con los lados paralelos a los ejes al de coordenadas y de area maxima. i
Solucion. Sean 2a? y 2y las longitudes de Ios lados del rectangulo, entonces S = 4xyr donde x e y son las coordenadas de uno de los cuatro puntos comunes al rectangulo y a la elipse. Para simplificar, escribiremos la ecuacion de la elipse en forma parametrica
x -- a cos t, Entonces 5 — 2ab sen 2tr de donde Smax
y = b sen t.
2ab para t = \ y x ~
y
h
vT
•
|j
,"
,'hi, ,piuik ' (
)7 1/,} 7,(
194. llailar Iii liilif.rulc a la elipse
iiulxlniiiN
| \„
9
(iii'iilnuw
7,( 87)77
fiiiit inn
'.M.^
f rn cl punto /Wft;,/;} queformoun
trianguio do area minima con los ejes He coordenadas. •4 Solucion. La ecuacion dc la tangente a in elipse cn el punto do coordenadas f:n(). la forma xx0 , yy0 = 1, +
lit'iir
b2
de donde se deduce que la tangente define en los ejes de coordenadas los segmentos tic longitudes ~ y —. Por consiguiente, el area del trianguio es S = Al parametdzar la ecuacion dc la ciipsc, rcsulta S — j *, „ a h t ~ p m = yo *•
. dc donde 5mj|, — ah pam
1 9 5 . La seccion transversal de un canal abierto tiene la forma de un trapecio isiV;cclrs. jCuil debe see la pendiente
2h
͙͚͒
sen ip
www.fullengineeringbook.net t l area de la seccion de la corriente de agua es S — h(a
+
h
ctg
ip).
A partir de las formulas (1) y (2) hallamos P-f-fcc:tg*> + — . h ° sen tp
La derivada de la funcion P, igual a ' j __ ICQSlp \ sen2 ip sen2
•
1 9 6 . Denominaremos "simwsidad" de un contorno cerrado que limita un area >ST al cociente que resulta al dividir cl periinebfp dc este contorno entre la longitud de la circiurtferencia que iimita el circulo de igual area S. Determinar la forma de un trapecio isosceles ABC'D jj (< (AD\';BC) de minima "sinuosidad", si su base An es igual a 2a y el angulo agudo BAD es igual a or? 4 Solucion. Sea Tl la "sinuosidad" del trapecio. Entonces, por definicion, se tiene (fig. 55)
n: donde S -
'Jid^AB
sen
I)
Fig. 55. 2\ZtyS'
L = 2AB + BC + 2a.
2'U)
( \ipilulo 2r Cjiltuilo dilVtvncitil
I'imt'tonoN Jo una varLihlc
Como
2a - DC • •••2 A Ii cos a,
0)
entonces, designando AB ™ x, obtenemos
Il(x)
2a + x(l - cos a) Vtt\J\2a - x cos a)x sen a
Analizando los extremos de la funcion U.(x) obtenemos que la ultima tiene un minimo para
x — a sec'2 a 2 A partir de (1) se obtiene BC = 2a tg2 f . Debido a que la mitad de la altura del trapecio r = | sen a es igual a la distancia desde el punto 0(ay r) hasta el lado AB, entonces en el trapecio obtenido se puede inscribir una circunferencia de radio r. • •
in 11—11 II
••
•••
• ••
•
•••
••••• ••••• ^ i M i M i m i i
1 9 7 , ^Que sector se debe cortar de un circulo de radio R, para que de la parte restante se pueda hacer un embudo de maxima capacidad?
L Solution* Si mediante ot designamos el angulo central del sector restante, el volumen del cono V es igual a r~ R xtt yiic2 — a2. 2
24tt
El analisis de los extremos de dicha funcion de a muestra que su maximo se alcanza para
www.fullengineeringbook.net a = 2tt
•
1 9 8 , Dos barcos navegan con velocidades coristantes it y v a lo largo de Ifneas rectas que form rin un angulo B entre si. Determinar la minima distancia entre los barcos, si en un instante dado las distancias desde los barcos hasta del punto de interseccion de los caminos eran a y b, respectivamente, i Solucion. Segun el teorema de los cosenos tenemos
r2 = (a + ut)2 -f (b + vt)2 - 2(a + ut)(b + vt) (fig. 56)7 donde r es la distancia entre los barcos en un instante arbitrario t. Analizando los extremos de la funcion r2(t) obtenemos que r'(to) - 0; Sustituyendo
(bu + av) cos 0 - an — bv u2 — 2uv cos 8 + v2
to
ry
en r (t) hallamos min
0
jub - va\ sen 8 Vu2 — 2uv cos 0 -f v2
Fig. 56.
Si u se sustituye por —u, en virtud de las identidades sen(?r
se obtiene r mm iiit
— 8) — sen 0 y
| »6 {-va] sen 0
Vu2 -2uv cosO + v•2 '
cos(tt -
6)
cos 8
H I.!. I'l'tilili'itiiin di' c.ift'tilo ilc m.fximo>< y mlnimim de una fuiu'ilm
1 encueiilra en 199. Un punto Inn In dc ei'iilrus dc dos las tlmjunUw dc radios II y r {// • r) lucra dc dichas bolas, Determinar la pnsicidn del punto luniinoso pam quo l.i suma de Lis .iieus iliuninadas de las superficies de las bolas sea maxima?
l.i km
hi
fits
I Solucion. Halfemns In suma de las partes iluminadas de las superficies en funcion tie la distancia x. Tenemos (fig. 57) S - 2 x R { R - xa) = 2TTR2 ( l Si - 2nr? ( l
—")
v
a —xJ
;
(ft ^ r + x),
donde <1. es la distancia entre los centros de las bolas. Analizando los extremos de la luncion S + — f determinants el valor de j:, para cl cual la funci6n alcanza su maximo. Tiene que verificarse, ademas, que a ^r +
de donde
x~ri-
+ Ryf^-.
Si ia derivada j\x) < 0, el maximo valor de la funrion /(x) se alcanza par,) x\ = a — T; en este caso se cumple la desigualdad
www.fullengineeringbook.net a < r
R^j
7
Fig. 57.
%
a 58.
b Pig- 59.
2 0 0 . lA que altura sobre el centra de una mesa redonda de radio a se debe colocar una bombilla para que la ill i mi nation del borde de la mesa sea maxima? Solucion. Por iluminacion I se entiende la magnitud I = k
sen
donde r es la distancia entre la fuente dc la luz y el punto de observad6n (vease la fig.5H), k .. const, el angulo
kx (fi3 4-
*
de donde hallamos la altura x,\ para la cual se alcanza un maximo de la funcion I(x}-. x<
>=
*
< ; 11 nil j lo '?_. C/iltulo difViviicial p.ir.i funcioncs de iin.i variable
IK
2 0 1 . • IJn canal dc anrho h esta construido pcTpendicularmente a un no tit1 ancho a. ^Cual es la longilud maxima de Ios barcow quo puodon ontrar en este canal?
< Solucion, Como se ve a partir dc la fig. 59, la longitud del barco I puede ser expresada mediante la formula
b
sen
1
a
, cos
Analizando los extremes de la funcion I obtenemos que el valor minimo se alcanza para
V De este modo, la longitud maxima posible del barco es igual a .1
•
+ b
2 0 2 . Los gastos diarios de un barco en navegacion estan compuestos de dos partes: una constante (a rublos) y una variable que es proporcional al cubo de la velocidad,
Ta + kTv3,
www.fullengineeringbook.net n
donde k es el coeficiente de proporcionalidad. Dado que T — ™, se tiene
G — — \ kSv\ V
de donde hallamos la velocidad para la cual los gastos son minimos
v
a 2k'
•
2 0 3 . En un piano rugoso horizontal esta colocada una carga de peso P . Hay que desplazarla por medio de una fuerza aplicada. ^Que angulo deben formar la fuerza y la linea del horizonte para que la fuerza sea minima, si el coeficiente de rozamiento de la carga es igual a k? Solucion, Proyectando las fuerzas aplicadas a la carga sobre la direccion horizontal, a partir de la condicion de su equilibrio obtenemos (fig. 60)
T
T = FPk = (P - F sen
kf
Fig. 60.
k sen (p fcos
2 0 4 . En una taza en forma de semiesfera de radio a se encuentra una varilla de longitud
I > 2a, Hallar la posicion de equilibrio de la varilla.
I','. I'llili
:m 'J
M SoluCidn. t'alniU'muiH l.t energia potenciai I' do lit Viiiilla tvs|Hvln al londo do la la/a. 'Ifcnemos /' m
=
obte-
nemos x ~ —a cos 2tp. UsandO la ecuacion de la semicircunferencia hallamos y
= ,2(1 - son
lip).
Asi pues, P — mg sen tp + tt(l — sen 2
www.fullengineeringbook.net
Respuestas Capitulo 1
A U B - {x : - 4 < x < 4 } , A n B - {x ; 0 < x < 1 } , A\B = {ar : - 4 < ar ^ 0 } , B\A {x : 1 < x < 4 } , A A B = {a?: ( - 4 < x ^ 0) V (1 ^ x < 4 ) } ; b) A U B {a; : < a; < 6 } , ,4 fl B = {a; : 0 ^ x < 2}, A\B = {x : - 1 < x < 0 } , B\A - { a ; : 2 ^ a? ^ 6 } , A A B - { a ; : ( - 1 < x < 0) V (2 < a; < 6 ) } ; c) A U B = A, A n B = B, A\B - {x : x = 2n, n G Z } , B\j4 = 0 , -A A B = { a : : a = 2n, n G Z } . 10. a) A U B = B f i n fl = i , 4\B = 0 , B\j4 j4 A B = : < x < 1, 9. a)
v T ^ s * < |g| ^ 1 - |a?|}; b) i U 5 - 4, i n B » B, B\A = 0, j|\B = 4 A B =
{(as, y): - 1 ^ ar ^ 1, 1 - M < |y| ^ 1}; c) A U B = {(x, y) : (|x| + \y\ < 2) V ((x - if - x2 < y< 2-x}, A\B - {(sc, Jf): {y- 2f < 4 ) } , A n B = {(as, y): 0 < a? < 2, 2 -
x ^ 0, 2-x
+ x)\f (Q < x <27-2
+ x
- VteT^l?)},
B\A -
{(a?, y) : (0 < x 2-x ^ y <2 + \/4x - x2) V (2 < x < 4, ly - 2| < >/ic - a? 3 )}, 4 A B - (A\B)U (B\A). 11. a) Conjunto de puntos del rectangulo limitado por las rectas x = —2f x = 1, y = - 3 , y = l. Notese que los lados situados.en las rectas a: — —2, y — - 3 no pertenecen al conjunto Ax B. b) Paraleleplpedo limitado por los pianos x — 0, x — 1, y = 0, y = 2, z — 0, z — 3. c) Rectas paralelas al eje Ox que pasan por los puntos (0, n), donde n G Z. d) Rectas paralelas al eje Oy que pasan por los puntos (n, 0), n € Z. 24. a), b), c) funciones sobreyectivas; d) biyectiva; e), f) inyectivas.
www.fullengineeringbook.net
25. a) /lj.^0]' /||0,+oo[; b) f [2mr-K/2amr+n/2]'
71
^
f \ [2njr+jr/2,2njr+3ff/2]' 71 ^
27. a) a? = \/2oy - J/2, 0 ^ y < 2a; b) a: = — \f2ay^^r 28. p = -ar + y . c)
29. y = ar - §.
n2(n + l) 2 (2n 2 4- 2n +1).
0 ^ y < 2a,
34. a) (n 4- 1)! - 1; b) ±n(n + l)(6n3 + 9n 2 - 1);
37, a) ± 2 ; b) 0 < a; < l oo.
39. a) 2 6 ; b)
c)
•
c) Re z = 2, Im 2 = 0. 42. a) \z\ = 125, 40. a) Re z - - 1 , lm z - 0; b) Re z = 2, 1m 2 = arg2 = 4-3arctg b) = 0,25, arg2 - 0; c) \z\ - >/2cos arg2 - f . 43. ^ . 44. v^2(cos 45° + i sen 4 5 ° \ ^ ( c o s 165" + i sen 165°), >/2(cos 285° 4 i sen 285°). 45. 2(cos tp 4 i sen
87. I J
inf{/} - /(1) = 1. 108.2.
109.
115, -T^-TT. r»(pfl)
125. L = 1. tinua.
3 L 3
' ^ ^
91. sup{/} = / M ) = - J ,
92. sup{/} - +oo, inf{/} - -oo. 1
1
n
2
i-h/^r
lmf^a.
116. —^T*
126. \/2.
88. ^
I h
i
111.
117. e ^ .
c t
1
120. i2
127. J — -2, 1 - 2 .
- t - i r i
112.
t *
121.
93. sup{/} - 4, inf{/} - 0. '
H
j
i
h i / ^ z — ^ — ^
•
113. y/a{a2 • - -
-1
s
jt
^
114,4«i
123.
124. e _ l .
128. / = 0, L - 1 4- b2.
129. I = - 2 ,
2
122. 12
r
130. I — Qf L = e. 131. I = c, L - e f L 132. i — L = 133. Con134. Continua. 135- Continua, 136. Continua. 137. Continua. 138. La
Kl'HpUt'KlilN funcion piVHonfa una di-roidinuidad evitable en el jHiillo •>' t) 1,1V, Ui liinciun pre sonta disconti unidades rn Ins puntos x -- ~ -f- ftjr, k c //',. 14(1. I ,a I'uncKin pivsonla discontuuiidades en Ins puntos x — ^ + kic, k £ 141. Continua, 142. I.a funcidn cs continua solo on Ios puntos x -- kir, k t X. 143. Continua. 144. Continua. 145. Continua. 146. Continua. 147. Continua. 148. Continua por la dcrccha en los puntos a; = n, n g 'L. 14V. Continua. 150. Continua. 151. Continua. 152. X 0 ch un punto dc discontinuidad dc segunda espede. 154. a: = (2N -f 1)t, II £ Z, son puntos de discontinuidad evitable, 155. x = ±1 son puntos de discontinuidad de segunda espccie. 156. x ~ + kir, I: £ Z son puntos de discontinuidad evitable. 157. x — | + kn, k t '£, son puntos de discontinuidad de tipo polo. 158. x -- tin, n t TL, son puntos de discontinuidad evitable. 159. z — 0 son puntos de discontinuidad de segunda especie. 160. x = n € 2>, son puntos de discontinuidad de segunda espccic. 161, Continua. 162. Continua. 163. Continua. 164. Continua. 165. Continua. 166. Continua, 167. £ j — 1, n, i = 1, m, k 6 %, son puntos de discontinuidad. 168. x = 0 es un punto de discontinuidad. 169. x = fl cs un punto de discontinuidad evitable. 170. x =• 0 es un punto dc discontinuidad. 171. Uniformemente continua. 172. Uniformemente continua. 173. Uniformemente continua. 174. Uniformemente continua, 175. Uniformemente continua. 176. No es uniformemente continua. 177. Uniformemente continua. 178. Uniformemente continua. 179. Uniformemente continua. 180. Uniformemente continua. 181. No es uniformemente continue. 182. No es uniformemente continua. 183. Uniformemente continua. 184. No cs uniformemente continua. 185. No es uniformemente continua.
www.fullengineeringbook.net Capitulo 2
12-
ff^jS-
13"
20.
+
U (z)
24. ((a cos t - son t)er,i, (a sen t + cos t j f * ,
= {ln x f .
( } ) , a'fsen t) cos i ) .
25. (p'if) sen
-^'{cos 2 x) sen2x).
sen2s, f(sen2x)sen2x,
30. a) I( *t' ' . fMf'ktel . 11 \ ; b) ( 4 f ( 2 sen a; + X cosx, 2 c o s x - x sen x)x.
V
32. a) 1.
)
(
" 43. 0. 51. a) m
31. a) (3, 0. ()}.
33. a) t = 0, x es arbitrario; b) i = 1, x = ±4.
35. a) 39
x2),
1; b) !|(« Z -H), t = 1. M
(insen(xy) + J L ) scn'(xy) \
44. 2 cos 2; 2. = {
^
/
hMjco^(xy) J' ' \-*>wn«* 1 48. a) 0; b) 0. 50. /'(ft) = 0 si ft t S ; no existe si x £ k.
'"""I]
•
73. a) x'ny„+i + x„y'H, /'(•) - 0. 75. a)' x\2y < •>+ 3z - 6.
36. c) - s e n 2 ( ® + iat s )(l -h 3iaf2).
81. a)' 0;
4i 3
X * 0:
54. f'{x) =
72. No.
74. a) rc = ^ ( 1 + 1 ) , y = f (1
= * I 41.
+ 1.
f l isr. IxI ;
82. a)' arccos 4^7• tf'-H
83. a)' [j-.-a; . I•
i ..»
J
I >) f
KfHIHIt'sLlS
.
-%-Zi \ l.'ur I
2.x' )
2ia dx,
84. b)* f(x) j \
94.
115. f .
119. 0.
dx
~
c o s 2 f
sen 2f
•
A cos 2t J
2u'
2
iU in-Jy
87. a)' df(x) J v '
ir(a:)
92. ( J * * ^
96. a) 0,275 . . . .
) (W. *P) +
1
107. a) dt2; 5 dt2.
100. 3 dx,
109. 3.
127. f'(x) = (cos t, - sen t. l) 3(1 1 _ Jjj .
2
s e n 2 f
(
,
i / WH^VC 2 ))'
'
+ (x—2)n+l ~ (a:—3)"*1 ) *
156. 2{A-\x)A'{x)fA~\x) 1
') dx.
126. df{0) - f .
137. ( — 1) n!
1/0'
t
88. n) (0, 1, 2 a , . . . ,
(dip,
I1
i>' (y " W )J t
(x) -
1 ( ^ 5 d V
197. vl = const.
-
A-\x)A"{x)A~\x). 2rS-(x) + 2v(x)v"(x)
2u(x)u"{x)
(4i3 +
e
-it3
(| + 8i3) |-8r
254, Para \x\ >
e~3i (12*3 + f) \ - 12i
es concava.
<
.
,
t
255. Para a: < 0 es convexa; para
x > | es concava. 256* En ]0,1[ U ]3, +oo[ es convexa; para 1 < x < 3 es concava. 257. Para x > - 1 es concava. 258. Concava para t > — 1. 259. Convexa. 260, Para 0<£
www.fullengineeringbook.net 299.
301. 0 para a = bt c = 0.
305. 0.
306. L
n = 0.
314, 0, n ^ 2.
323, ( - 1 , 0 , 1 ) .
307. 0.
309. 1.
315. 1.
324. f ~ 2*
en serie de potencias de /a.
364. 0.
tg x,
para a = 96 In3.
-
310.
316. 1.
°J ,
cos x, / ( a : ) = ^ s e n as,
302, b
312,
318. 0.
» = 2.
320. e " * .
304.
313. - 2 s h \t
321. e~ ri .
322, 0.
359. Indication. Desarrollar la funcion /
325. §. 404. a)
- 1 ^ x ^ arcsen ^y^; | ^ a: ^ 7r; arcsen
^ a: <
?r < x < y .
La funcion /(a?) es de perfodo 2ir. b) tgx, /(«)=-{
- § < as ^ 0,
senar, cos a?,
| < a: < | + arccos 5f
f ^ X ^ f,
^ x ^ 3f;
f + arccos ^
405, Curva en forma de espiral definida en el cono x
x < f.
y2 — z1 ~ Q. A
406. Curva doble de
A
perfodo 27r (respecto a t) definida en el cilindro parabolico y = -a; —fl.Proyectada sobre el piano es una curva con lazos simetrica respecto al eje OY. 407. Segmento |a?| ^ 1. 408, La parte interior de los ^ del cuadrado. 409, La parte interior del rectangulo 0 ^ x < 5, - 3 < y < 2 menos la semicircunferencia {\/x) + y2 < 1. 410, Piano del triangulo de vertices My{-1, 0), M2{0,1) y Af,(l, 0).
fndice C a p i t u l o 1 . Lntrodnccion al analisis §1.
Elementos de la teorfa de conjunto® - ,
§2.
Funciones. Aplicaciones
§3.
Numeros reales
r>
J(>
§4.
Numeros complejos
§5.
Espacios vectoriales y metricos
§6.
Limite de una sucesion
HO
§7.
Limite de una funcion
HO
§8.
Continuidad de una funcion
§9.
Continuidad uniforme de una funcidn
42
114 . . .
I ll
Capitulo 2. Calculo difejrencial para funciones dt- una variable
www.fullengineeringbook.net §1.
Derivada de una funcidn explfcita
Pi>
§2.
Diferencial de una funcidn
Ifi.'i
§3.
Derivada de la funcidn inversa. Derivada de una funcion definida en forma parametrica. I til
Derivada de una funcion definida en forma implfcita § 4.
Derivadas y diferencialcs de ordenes supcriores
H>H
§5.
Teorema de Rolle, teorema de Lagrange y teorema de Cauchy
IHU
§6.
Crecimiento y decrecimiento de una funcion. Dcsigualdifdcs
I'M
§ 7.
Convexidad y concavidad de la grafica de una funcion. Puntos de inflexidn
I'f/
§8.
Calculo de limites indeterminados
','(!,t
§9.
Formula de Taylor
.'Id
§10. Extremes de una funcion. Valores maximo y minimo tli' I ma lum inn §11. Construction de la grafica de una funcidn a jmitir dc. .mi.m puntos caractcrislicos
.' 'tl
§12. Problemas dc calculo de maximos y minimus dt* una lum Ion
'I t
Respuestas
.'Mi
I
^