Análisis estructural I Universidad Autónoma de Zacatecas
Diego Miramontes
I.- INTRODUCCION 1.1 Introducción 1.1.- Estructuras Isostáticas e Hiperestáticas Durante los primeros cursos de estática, se aplican los principios elementales del equilibrio de sistemas de fuerza [1,2]. Desde entonces se plantea que la resultante de dichos sistemas debe ser cero. Tanto las vigas como las armaduras representan las primeras estructuras en las cuales se determinan los valores de las fuerzas de reacción necesarias para que la suma total sea cero. Es decir, para que la estructura esté en equilibrio. El requisito indispensable para poderlas analizar es que sean isostáticas, es decir, que sólo tengan las reacciones o apoyos necesarios para que sean estables. Aquí, se considera una estructura estable aquella que tiene tantos apoyos y dispuestos en forma tal que impidan movimientos de cuerpo rígido. Considérese por ejemplo una viga simple sujeta a cualquier sistema de carga (Fig. 1)
Figura 1. Viga simplemente apoyada
El apoyo fijo en el extremo izquierdo ofrece dos direcciones de soporte, mientras que el apoyo del extremo derecho ofrece solamente una. A cada extremo se le nominará como nudo 1 y 2 respectivamente. Las reacciones que sostienen a la viga son las que se indican en la figura 2. De acuerdo a un sistema coplanario general, se disponen de tres ecuaciones de equilibrio. Estas son ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣMz = 0. Debido a que se tienen igualmente tres reacciones desconocidas, Rx1, Ry1, Ry2, la estructura se dice isostática. Es
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decir, el número de reacciones debidas a los apoyos es igual al número de ecuaciones disponibles para establecer su equilibrio.
Figura 2. Reacciones en los extremos de la viga
A) Estructuras Isostáticas.-Soluciones por ecuaciones de equilibrio. Numero de reacciones=Numero de Ecuaciones de Equilibrio. 3 Reacciones 3 incógnitas Sistema coplanar- general Efx=0 Efy=0 EMZ=0
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B) Estructuras Hiperestáticas.-Numero de Reacciones es mayor al número de ecuaciones de equilibrio. El empotramiento en el extremo izquierdo origina una nueva restricción al apoyo. Esta le impide girar, por lo que se tienen ahora cuatro reacciones incógnita contra tres ecuaciones de Equilibrio. A esta estructura se le dice hiperestática. Y a la diferencia entre el número de reacciones y el de ecuaciones proporcionadas por la estática se le conoce como grado de indeterminación estática (gie). Así, en este caso el gie = 1. La solución requiere que se planteen ecuaciones adicionales hasta igualar el número de ecuaciones con el de las incógnitas por determinar.
Figura de una Viga hiperestática
Reacciones en la viga hiperestática de la figura anterior
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II. CALCULO DE DEZPLAZAMIENTOS 2.1.- Ecuación de la elástica
Para sacar la pendiente de una curvatura se necesita derivar
Cuando se integra una vez se obtiene la curvatura y con 2 veces obtenemos la flecha
Flecha POR CONDICION LÍMITE C.L.=Punto en donde se conoce el valor de la función
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A continuación aremos un ejemplo de la elástica con una viga en cantiléver
Calcularemos el momento Mx=PL+PX=P(x-l) En X=0 =0 O=PL (0) + (0)+C1;C1=0 Utilizaremos las formulas anteriores para resolver el problema
EI=-PXL+
y en x=l
=
Las condiciones limites en x=0 y; y=0 y c2=0
E.I.Y. = (-PLX + )dx) = -PL + Máx. = (-PL 3)/(3EI) Calcularemos ahora un corte en en lado derecha del cantiléver para poder sacar la segunda constante.
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LADO DERECHO.
=(-Px/EI) dx= (-Px2)/ (2EI)+Ci En x=L Ci= (PL2)/(2EI) EIy=[(-Px2)/(2)+(PL2)/(2)]dx =(Px3 /6)+(PL2 /2)+C2 x=L, y=0; C 2=