Análisis estructural II
ANALISIS ESTRUCTURAL II
Análisis estructural II A Temática: I.
introducción
II.
comparación de métodos de solución matricial
III.
método de rigidez: 1. introducción 2. método de la deflexión de la pendiente teoría y aplicaciones. 3. Método de rigidez por deflexión de teoría y aplicaciones 4. Método de rigidez directo con matrices [A] teoría y problemas 5. Método de rigidez directo con cosenos directos teoría y problema 6. Método de la condensación estática 7. Método de rigidez para vigas-brazo rígido teoría de aplicaciones 8. Método de rigidez para pórtico-placa 9. Método de rigidez 3-D teoría y aplicaciones
1. VIGA 1: Y F2 Viga
Apoyo fijo
Rax
X
F
apoyo móvil
Ray
Ecuaciones (EQ) ∑M =0 ∑F =0
∑FX =0 3EQ =
∑FY =0 ∑MZ =0
Rby
Análisis estructural II
EN 3-D ∑FX =0 ∑F =0
∑FY =0 ∑FZ =0 3D ∑MX =0
∑M =0
∑MY =0 ∑MZ =0
HIPERESTATICIDAD DE LA ESTRUCTURA EXTERNAMENTE (GHE)
< 0 GHE = NR – NEQ
= 0 > 0
inestable (hipostático) isostática hiperestática
NR =número de reacciones NEQ = número de ecuaciones
De la VIGA 1 el GHE:
GHE = 3 – 3 = 0
______ isostática.
2. VIGA CONTINUA
Y Ma Rax
X
Ray
Rby
Rcy
Análisis estructural II
NR = 5
NEQ = 3
GHE = 5 – 3 = 2
hiperestática de 2do grado externamente.
3. PORTICO
Rx
Rx M
M
Ry
NR = 9
Rx M
Ry
NEQ = 3
GHE = 9 – 3 = 6
hiperestática de 6to grado
-
Grado de hiperestaticidad total ( GHT )
-
Grado de hiperestaticidad interna ( GHI )
-
grado de hiperestaticidad interna ( GHI )
-
número de barras ( NB )
-
numero de reacciones ( NR )
-
numero de nudos ( NN )
GHT = GHI + GHE GHE = NR – NEQ GHT = 3 NB + NR – 3 NN GHI = GHT – GHE
DE LA VIGA 2
GHE = 2do grado GHT = 3 (2) + 5 – 3 (3) = 2do grado
Ry
Análisis estructural II GHI = GHT – GHE GHI = 2 – 2 = 0 DEL PORTICO 3 GHE = 9 – 3 = 6
to
GHT = 3 (10) + 9 – 3 (9) = 12 GHI = GHT – GHE GHI = 12 – 6 = 6do grado 4. ARMADURA (estructura especial, total son 6 fuerzas.) Rotula X1 X1
X2 X2
X3 X3
Rotula GHT = GHE + GHI GHE = 0 GHT = NB + NR – 2 NN GHT = 20 + 3 – 2(10) = 3 5. ARMADURA 2 GHE = 3er GHT = 3(12) + 6 – 3(10) = 12 no
GHI= 9
Análisis estructural II
3–D 1. 3-D
Z Y X
NEQ = 6
(3 – D) ∑Fx = 0
∑Fy = 0
∑Fz = 0
∑Mx = 0
∑My = 0
∑Mz = 0
NR = 24 GHE = NR – NEQ = 24 – 6 = 18 GHT = 6NB + NR – 6n
vo
(3 – D)
GHT = 6(8) + 24 – 6(8) = 24 GHI = GHT – GHE = 24 – 18 = 6
to
2. GHE = 5 – 6 = -1 hipostatico (inestable) GHT = 6(8) + 5 – 6(8) = 5to GHI = 5 – (-1) = 6to
Análisis estructural II
3.
ARMADURA 3 - D
er
GHE = 9 – 6 = 3 grado GHT = GHE + GHI GHT = NB + NR – 3m
ARM 3 – D
GHT = 20 + 9 – 3(8) = 5 do
GHI = 5 – 3 = 2
Y
grado
HIPERESTATICIDAD CINEMATICA ( # G.D.L.)
X A 3 DESPLAZAMIENTOS θa y θb δb
rotación traslación
3 G.D.L (CINEMATICA)
Análisis estructural II
HAY 6 G.D.L
SI
EA = α
METODO DE LA FLEXION DE LA PENDIENTE
Ecuaciones de la deflexión de la pendiente:
Desplazamientos de: Rotación: Traslación:
Análisis estructural II
EJEMPLO 1: Resolver:
Solución: Paso 1:
Paso 2:
M0ab = - M0ba = (P x L)/ 8 = (4 x 6) / 8 = 3 T-m M0bc = - M0cb = (W x L2)/ 12 = (3 x 52) / 12 = 6.25 T-m
3 T-m Paso 3:
-3 T-m
6.25 T-m
Análisis estructural II
=0 +
(I)
=0
=0
(II)
=0
Paso 4:
Mba = M0ba + 2EI / 6
2θb + 0 + 0 = -3 + (4EI / 6) θb
Mbc = M0bc + 2EI / 5
2θb + θc + 0 = 6.25 + (4EI / 5) θb + (2EI / 5) θc
Mcb = M0cb + 2EI / 5
2θc + θb + 0 = -6.25 + (4EI / 5) θc + (2EI / 5) θb
(a) Y (b) en I
-3 + (4EI / 6) θa + 6.25 + (4EI / 5) θb + (2EI / 5) θc
= 0
1.47EI θb + 0.4EI θc = -3.25
(I)
(c) En II
-6.25 + (4EI / 5) θc + (2EI / 5) θb
=0
0.4EI θb + 0.8EI θc = 6.25
(II)
1.47
0.4
θb
-3.25 /EI
0.4
0.8
θc
6.25/EI
θb = -5.02/EI
Mba = -3 + (4EI / 6) (-5.02/EI) =
θc = 10.33/EI
-6.35 T-m
Mbc = 6.25 + (4EI / 5) (-5.02/EI) + (2EI / 5) (10.33/EI) = 6.35 T-m Mab = 3 + (2EI / 6) (-5.02/EI) = 1.33 T-m
Análisis estructural II
Diagrama de momento flector:
EJEMPLO 2:
* Cuando es empotramiento no se considera giro y el momento es cero
Análisis estructural II
Mba = M0ba + (2EI / 3) 2θb + 0 + 3δ/Lba = 0 + (4EI / 3) θb + (2EI / 3) δ Mbc = M0bc + ( 2EI / 5) 2θb + θc + 0 = 4.17 + ( 4EI / 5 ) θb + ( 2EI / 5 ) θc Mcb = M0cb + (2EI / 5) 2θc + θb + 0 = -4.17 + (4EI / 5) θc + (2EI / 5) θb Mcd = M0cd + (2EI / 3) 2θc + 0 + 3δ/Lcd = 0 + ( 4EI / 3 ) θc + ( 2EI / 3 ) δ (a) Y (b) en I
0 + (4EI / 3) θb + (2EI / 3) δ + 4.17 + (4EI / 5) θb + (2EI / 5) θc = 0 2.13 EI θb + 0.4 EI θc + 0.67 EI δ = -4.17
(I)
(c) Y (d) en II
-4.17 + (4EI / 5) θc + (2EI / 5) θb + 0 + (4EI / 3) θc + (2EI 0.4EI θb + 2.13 EI θc + 0.67 EI δ = 4.17
/ 3) δ = 0 (II)
Análisis estructural II
Mab = M0ab + (2EI / 3) 0+ θb + 3δ/Lab = 0 + (2EI / 3) θb + (2EI / 3) δ Mdc = M0dc + (2EI / 3) 0 + θc + 3δ/Lab = 0 + ( 2EI / 3 ) θc + ( 2EI / 3 ) δ
Mab + Mba + Mdc + Mcd = 15 (e), (a), (f) Y (d) en III
0 + (2EI / 3) θb + (2EI / 3) δ + 0 + (4EI / 3) θb + (2EI / 3) δ + 0 + ( 2EI / 3 ) θc + ( 2EI / 3 ) δ + 0 + ( 4EI / 3 ) θc + ( 2EI / 3 ) δ = 0 2 EI θb + 2 EI θc + 2.67 EI δ = 15
2.13
0.4
0.67
θb
-4.17/EI
0.4
2.13
0.67
θc
4.17/EI
2
2
2.67
δ
15 /EI
θb = -4.88/EI
θc = -0.061/EI
δ = 9.31/EI
Mba = (4EI / 3) (-4.88/EI) + (2EI / 3) (9.31/EI) = -0.3 T-m Mbc = 4.17 + ( 4EI / 5 ) (-4.88/EI ) + ( 2EI / 5 ) (-0.061/EI ) = 0.24 T-m Mcb = -4.17 + (4EI / 5) (-0.061/EI) + (2EI / 5) (-4.88/EI) = -3.19 T-m Mcd = ( 4EI / 3 ) (-0.061/EI ) + ( 2EI / 3 ) ( 9.31/EI ) = 6.14 T-m Mab = (2EI / 3) (-4.88/EI) + (2EI / 3) (9.31/EI) = 2.95 T-m Mdc = ( 2EI / 3 ) (-0.061/EI ) + ( 2EI / 3 ) ( 9.31/EI ) = 6.14 T-m
Análisis estructural II
METODO MODIFICADO DE LA FLEXION DE LA PENDIENTE
Ejercicio 1:
Análisis estructural II
-Se condensa solo en los extremos, cuando esta empotrado no se condensa.
4.5T-m
6.3T-m
6.3T-m
7.2T-m 1.8T-m
2.7T-m
Análisis estructural II
Mba = M0ba + (2EI / 4) 2θb + 0 + 3δ/Lba = -2 + (4EI / 4) θb + (6EI / 16) δ Mbc = M0bc + ( 2EI / 6) 2θb + θc + 0 = 1.8 + ( 4EI / 6 ) θb + ( 2EI / 6 ) θc Mcb = M0cb + (2EI / 6) 2θc + θb + 0 = -2.7 + (4EI / 6) θc + (2EI / 6) θb Mcd = M0 cd - (M0dc/2) + (3EI / Ldc) θc + 0 = 6.3 - (-7.2/ 2) + (3EI/ 6) θc
(a) Y (b) en I
-2 + (4EI / 4) θb + (6EI / 16) δ + 1.8 + (4EI / 6) θb + (2EI / 6) θc = 0 1.67 EI θb + 0.33 EI θc + 0.38 EI δ = 0.2
(I)
Análisis estructural II
(c) Y (d) en II
-2.7 + (4EI / 6) θc + (2EI / 6) θb + 6.3 - (-7.2/ 2) + (3EI/ 6) θc
=0
0.33EI θb + 1.17 EI θc + 0 EI δ = -7.2
(II)
(III)
Remplazando en (III):
Mab = M0ab + (2EI / 4) 0 + θb + 3δ/Lab = 2 + (2EI / 4) θb + (6EI / 16) δ (e) Y (a) en III
-2 + (4EI / 4) θb + (6EI / 16) δ + 2 + (2EI / 4) θb + (6EI / 16) δ = 1.5EI θb + 0 EI θc + 0.75 EI δ = 8
8 (III)
1.67
0.33
0.38
θb
0.33
1.17
0
θc
1.5
0
0.75
δ
0.2/ EI =
-7.2 /EI 8 /EI
Análisis estructural II
θb = -2.14/EI Mba =
δ = 14.75/EI
θc = -5.55/EI
-2 + (4EI / 4) (-2.14/EI) + (6EI / 16) (14.75/EI) = 1.39 T-m
Mbc = 1.8 + (4EI / 6) (-2.14/EI) + (2EI / 6) (-5.55/EI) = -1.48 T-m Mcb = -2.7 + (4EI / 6) (-5.55/EI) + (2EI / 6) (-2.14/EI) = -7.12 T-m Mcd = 6.3 - (-7.2/ 2) + (3EI/ 6) (-5.55/EI) = 7.12 T-m Mab = 2 + (2EI / 4) (-2.14/EI) + (6EI / 16) (14.75/EI) = 6.46 T-m
Diagrama de momento flector:
C
Ejercicio 2:
Análisis estructural II
Solución:
4.44 T-m
2.22 T-m
3.75 T-m
2.5 T-m
Mba = M0ba
- (M0ab/2) + (3EI / Lab)
θb + 0 = -2.22 - (4.44/ 2) + (3EI/ 6) θb
Mbc = M0bc
- (M0cb/2) + (3EI / Lbc)
θb + 0 = 2.5 - (-3.75/ 2) + (3EI/ 5) θb
(a) Y (b) en I
-2.22 - (4.44/ 2) + (3EI/ 6) θb + 2.5 - (-3.75/ 2) + (3EI/ 5) θb = 0 1.1 EI θb = 0.065 θb = 0.059/EI
(I)
Análisis estructural II
Remplazando θb en (a) y (b): Mba = -2.22 - (4.44/ 2) + (3EI/ 6) (0.059/EI) = - 4.41 T-m Mbc = 2.5 - (-3.75/ 2) + (3EI/ 5) (0.059/EI) = 4.41 T-m Diagrama de momento flector:
Ejercicio 3:
Análisis estructural II
Paso 1:
Condensar giro a
paso2:
Análisis estructural II
Paso3:
Mba = M0ba -(M0ab/2)+ (3EI /Lba) θb + δ/Lba = 0+0+ (3EI/ 3.5)θb+(3EI/12.25) δ Mbc = M0bc + (2EI / 5) 2θb + θc + 0
= 4.17 + (4EI / 5) θb + (2EI / 5) θc
Mcb = M0cb + (2EI / 5) 2θc + θb + 0 = -4.17 + (4EI / 5) θc + (2EI / 5) θb Mce = M0ce + (2EI /3.5) 2θc + 0 + 3δ/Lce =1.47+ (4EI /3.5) θc + (6EI /12.25) δ Mcd = M0cd + (2EI /5) 2θc + θd + 0 = 0 + (4EI / 5) θc + (2EI / 5) θd Mdc = M0dc + (2EI /5) 2θd + θc + 0 = 0 + (4EI / 5) θd + (2EI / 5) θc
Análisis estructural II
Mdf = M0df + (2EI /3.5) 2θd + 0 +3δ/Ldf = 0 + (4EI /3.5) θd + (6EI/12.25) δ Remplazando: (a) Y (b) en I
0 + 0 + (3EI/ 3.5)θb + (3EI/12.25 )δ + 4.17 + ( 4EI / 5 ) θb + ( 2EI / 5 ) θc = 0 1.66 EI θb + 0.4 EI θc + 0 EI θd + 0.24 EI δ = -4.17
(I)
(c), (d) y (e) en II
-4.17 + (4EI / 5) θc + (2EI / 5) θb +1.47+ (4EI /3.5) θc + (6EI /12.25) δ + 0 + (4EI / 5) θc + (2EI / 5) θd = 0 0.4 EI θb + 2.74 EI θc + 0.4 EI θd + 0.49 EI δ = 2.7
(II)
(f) Y (g) en III
0 + (4EI / 5) θd + (2EI / 5) θc + 0 + (4EI /3.5) θd + (6EI/12.25) δ = 0 0 EI θb + 0.4 EI θc + 1.94 EI θd + 0.49 EI δ = 4 Para hallar la otra ecuación:
(III)
Análisis estructural II
+
+
+
+
+ 3 - 3 – 3.5
=0
= 3.5
Ha x 3.5 = 0 Ha = 0
IV
He x 3.5 + Mec + Mce – 3 x 1.5 = 0 He = 4.5 - Mec - Mce
He x 3.5 + Mfd + Mdf – 3.5 x 2.3 = 4 Hf
= 12.05 - Mfd – Mdf
Remplazando Ha, He y Hf en IV: 4.5 - Mec - Mce + 12.05 - Mfd - Mdf =12.25 Mec + Mce + Mfd + Mdf = 4.3
IV
Mec = M0ec + (2EI /3.5) 0 + θc + 3δ/Lec = -1.10+ (2EI /3.5) θc + (6EI /12.25) δ Mfd = M0fd + (2EI /3.5) 0 + θd +3δ/Lfd = -1.23 + (2EI /3.5) θd + (6EI/12.25) δ (d), (g), (h) y (i) en IV
1.47+ (4EI /3.5) θc + (6EI /12.25) δ + 0 + (4EI /3.5) θd + (6EI/12.25) δ + -1.10+ (2EI /3.5) θc + (6EI /12.25) δ + -1.23 + (2EI /3.5) θd +(6EI/12.25) δ = 4.3 0 EI θb + 1.71 EI θc + 1.71 EI θd + 1.96 EI δ = 5.16
(IV)
Análisis estructural II
1.66
0.4
0
0.24
θb
-4.17/ EI
0.4
2.74
0.4
0.49
θc
2.7/ EI
0
0.4
1.94
0.49
θd
4/ EI
0
1.71
1.71
1.96
δ
θb = -2.79/EI
θc = 1.11/EI
5.16/ EI
δ = 0.08/EI
θd = 1.81/EI
Remplazando θb, θc, θd y δ:
Mba = (3EI/ 3.5) (-2.79/EI) + (3EI/12.25) (0.08/EI) = - 2.37 T-m Mbc = 4.17 + (4EI / 5) (-2.79/EI) + (2EI / 5) (1.11/EI) =
2.38 T-m
Mcb = -4.17 + (4EI / 5) (1.11/EI) + (2EI / 5) (-2.79/EI) = - 4.39 T-m Mce = 1.47+ (4EI /3.5) (1.11/EI) + (6EI /12.25) (0.08/EI) =
2.78 T-m
Mcd = 0 + (4EI / 5) (1.11/EI) + (2EI / 5) (1.81/EI) = 1.61 T-m Mdc = 0 + (4EI / 5) (1.81/EI) + (2EI / 5) (1.11/EI) =
1.89 T-m
Mdf = 0 + (4EI /3.5) (1.81/EI) + (6EI/12.25) (0.08/EI) = 2.11 T-m Mec = -1.10+ (2EI /3.5) (1.11/EI) + (6EI /12.25) (0.08/EI) = -0.43 T-m Mfd = -1.23 + (2EI /3.5) (1.81/EI) + (6EI/12.25) (0.08/EI ) = -0.16 T-m Mab = 0
Análisis estructural II
Diagrama de momento flector
δ
δ=0 δ=0
δ=0
δ=0
δ=0 EA = α
δ axial = 0
Análisis estructural II
Ejercicio 4:
Paso 1: Condensar giro d
paso2: Momentos del tramo ab:
= 0.44 T-m
= -0.66 T-m
Análisis estructural II
Momentos del tramo bc
1.11T-m 1.56T-m
1.77T-m
1.11T-m
0.84T/m
M0bc = 1.11 T-m + 0.45T-m = 1.56 T-m M0cb = -1.11 T-m - 0.66T-m = -1.77 T-m 0.45T-m
0.66T-m
Momentos del tramo cd
2.23T-m 2.67T-m
-2.23T-m
2.89T-m
M0cd = 2.23 T-m + 0.44T-m = 2.67 T-m
M0dc = -2.23 T-m - 0.66T-m = -2.89 T-m
0.44T-m
-0.66T-m
Análisis estructural II
Paso3:
Mba = M0ba + (2EI / 4) 2θb + 0 + 0
= -0.66 + (4EI / 4) θb
Mbc = M0bc + (2EI / 4) 2θb + θc + 0 = 1.56 + (4EI / 4) θb + (2EI / 4) θc Mcb = M0cb + (2EI /4) 2θc + θc + 0 = -1.77+ (4EI /4) θc + (2EI /4) θb Mcd = M0cd - (M0dc/2) + (3EI /Ldc) θc + 0 = 2.67 - (-2.89/2) + (3EI/ 4) θc
Remplazando: (a) Y (b) en I
-0.66 + (4EI / 4) θb + 1.56 + (4EI / 4) θb + (2EI / 4) θc = 0 2EI θb + 0.5EI θc = -0.90
(I)
(c) Y (d) en II
-1.77+ (4EI /4) θc + (2EI /4) θb + 2.67 - (-2.89/2) + (3EI/ 4) θc = 0 0.5EI θb + 1.75EI θc = -2.35
(II)
Análisis estructural II
2
0.50
θb
-0.90/ EI
0.5
1.75
θc
-2.35/ EI
θb = -0.12/EI
θc = -1.31/EI
Remplazando θb y θc:
Mba = -0.66 + (4EI / 4) (-0.12/EI) = - 0.78 T-m Mbc = 1.56 + (4EI / 4) (-0.12/EI) + (2EI / 4) (-1.31/EI) = 0.78 T-m Mcb = -1.77+ (4EI /4) (-1.31/EI) + (2EI /4) (-0.12/EI) = - 3.14 T-m Mcd = 2.67 - (-2.89/2) + (3EI/ 4) (-1.31/EI) = 3.14 T-m Mdc = 0
Diagrama de momento flector:
Análisis estructural II
Ejercicio 5:
3T/m
2.5m
3m
4m
Solución:
3T/m
3m
M0ab =1.5 T-m
T-m M ba =-1.5-1.5 T-m 0
M0bd =1.6 T-m
4m
M0db =-2.4 T-m
Análisis estructural II
Mba = M0ba -(M0ab / 2)+ (3EI /Lab) θb + 0 = -1.5 - (1.5 / 2) + (3EI/ 3) θb Mbc = M0bc + (2EI / 2.5) 2θb+θc+0 = 0 + (4EI / 2.5) θb + (2EI / 2.5) θc Mbd = M0bd - (M0db/2) + (3EI /Ldb) θb + 0 = 1.6 - (-2.4/2) + (3EI/ 4) θb Mcb = M0cb+ (2EI /2.5) 2θc + θb+0 = 0 + (4EI / 2.5) θc + (2EI / 2.5) θb Remplazando: (a), (b) y (c) en (I) -1.5-(1.5/2) + (3EI/ 3) θb + (4EI/ 2.5) θb + (2EI/ 2.5) θc + 1.6-(-2.4/ 2) + (3EI/ 4) θb = 0 3.35 EI θb + 0.8 EI θc + = - 3.55
(I)
Análisis estructural II
(d) En (II) (4EI / 2.5) θc + (2EI/2.5) θb+ = 0 0.8 EI θb + 1.6 EI θc = 0
(II)
3.35
0.8
θb
0.8
1.6
θc
θb = -1.20/EI
-3.55/ EI 0 θc = -0.60/EI
Mba = -1.5 - (1.5 / 2) + (3EI/ 3) (-1.20/EI) = -3.45 T-m Mbc = 0 + (4EI / 2.5) (-1.20/EI) + (2EI / 2.5) (-0.60/EI) = -2.4 T-m Mbd = 1.6 - (-2.4/2) + (3EI/ 4) (-1.20/EI) = 1.9 T-m Mcb = 0 + (4EI / 2.5) (-0.60/EI) + (2EI / 2.5) (-1.20/EI) = 1.92 T-m Diagrama de momento flector:
Análisis estructural II
MATRIZ DE RIGIDEZ POR DEFINICION EJEMPLO:
D1 y D2 SON DE ROTACION Y D3 DE TRASLACION
VECTOR DE DESPLAZAMIENTO GLOBALES DE LA ESTRUCTURA
EJEMPLO:
EJEMPLO:
LEY DE HOOKE GENERALIZADA:
⦋K⦋= MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE LA ESTRUCTURA
Análisis estructural II
EJEMPLO:
SI
D1 = 1 , D2 = D3 = 0
FUERZAS EXTERNAS UNITARIAS
SI
D2 = 1 , D1 = D3 = 0
Análisis estructural II
SI
D3 = 1 , D1 = D2 = 0
CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE RIGIDEZ: EJEMPLO #1: D1 = 1 , D2 = D3 = 0
Análisis estructural II
K11 = Mbc + Mba
-
Hallar
Mbc
Mbc = M0bc + (2EIV / LV) ⦋2D1 + D2 + 0 ⦋ Mbc = 0 + (2EIV / LV) ⦋2 (1) + (0) + 0 ⦋ Mbc = 4EIV / LV
-
Hallar
Mba
Mba = M0ba + (2EIC / h) ⦋2D1 + D2+ (3D3/h) ⦋ Mba = 0+ (2EIC / h) ⦋2 (1) + 0 + (3x0/h) ⦋ Mba = 4EIC / h Remplazando:
K11 = 4EIV / LV + 4EIC / h
Análisis estructural II
K21 = Mcb + Mcd
-
Hallar
Mcb
Mcb = M0cb + (2EIV / LV) ⦋2D2 + D1 + 0 ⦋ Mcb = 0 + (2EIV / LV) ⦋2 (0) + (1) + 0 ⦋ Mcb = 2EIV / LV
-
Hallar
Mcd
Mcd = M0cd + (2EIC / h) ⦋2D2 + D1+ (3D3/h) ⦋ Mcd = 0+ (2EIC / h) ⦋2 (0) + 0 + (3x0/h) ⦋ Mcd = 0 Remplazando:
K21 = 2EIV / LV
Vba x h - Mab - Mba = 0
Vba = 6EIC/h2 ∑F(x) = 0 K31 – Vba = 0 K31 = 6EIC/h2
Análisis estructural II
D2 = 1 , D1 = D 3 = 0
K12 = Mbc + Mba
K22 = Mcb + Mcd
K32 – Vcd = 0
K12 = 2EIV / LV
K22 = 4EIV / LV + 4EIC / h
K32 = 6EIC/h2
D3 = 1 , D1 = D 2 = 0
Análisis estructural II
K13 = Mbc + Mba - Hallar Mbc Mbc = M0bc + (2EIV / LV) ⦋2D1 + D2 + 0 ⦋ Mbc = 0 + (2EIV / LV) ⦋2 (0) + (0) + 0 ⦋ Mbc = 0 - Hallar Mba Mba = M0ba + (2EIC / h) ⦋2D1 + D2+ (3D3/h) ⦋ Mba = 0+ (2EIC / h) ⦋2 (0) + 0 + (3x1/h) ⦋ Mba = 6EIC / h2 Remplazando:
K13 = 6EIC / h2
K23 = Mcb + Mcd - Hallar Mcb Mcb = M0cb + (2EIV / LV) ⦋2D2 + D1 + 0 ⦋ Mcb = 0 + (2EIV / LV) ⦋2 (0) + (0) + 0 ⦋ Mcb = 0 - Hallar Mcd Mcd = M0cd + (2EIC / h) ⦋2D2 + D1+ (3D3/h) ⦋ Mcd = 0+ (2EIC / h) ⦋2 (0) + 0 + (3x1/h) ⦋ Mcd = 6EIC / h2
Análisis estructural II
Remplazando:
K23 = 6EIC / h2
Vba x h - Mab - Mba = 0 - Hallar Mab
Mab = M0ab + (2EIC / h) ⦋2D2 + D1+ (3D3/h) ⦋ Mac = 0+ (2EIC / h) ⦋2 (0) + 0 + (3x1/h) ⦋ Mab = 6EIC / h2
Vba = 12EIC/h3 y Vcd = 12EIC/h3 ∑F(x) = 0 K33 – Vba – Vcd = 0 K33 = 12EIC/h3 + 12EIC/h3 = 24EIC/h3
K21 = K12 K31 = K13 K32 = K23
Análisis estructural II
EJEMPLO #2: Hallar ⦋K⦋de la estructura mostrada:
D1 = 1 , D2 = D 3 = 0
K11 = 4EIV / LV + 4EIC / h
K21 = 2EIV / LV
K31 = 6EIC/h2
K11 = 4EIV / 5 + 4EIC / 3
K21 = 2EIV / 5
K31 = 6EIC/9
Análisis estructural II
D2 = 1 , D1 = D 3 = 0
Hallar:
∑F(x) = 0 K33 –V⋇cd = 0 K33 = V⋇cd
Análisis estructural II
K12 = 2EIV / LV
K22 = 4EIV / LV + 3EIC / h
K32 = 3EIC/h2
K12 = 2EIV / 5
K22 = 4EIV / 5 + 3EIC / 2.5
K32 = 3EIC/2.52
D3 = 1 , D1 = D2 = 0
Hallar:
Análisis estructural II
K33 – Vba – V⋇cd = 0 K33 = 12EIC/h3 + 3EIC/h3 K13 = 6EIC / h2 K13 = 6EIC / 32
K23 = 3EIC / h2 K23 = 3EIC / 2.52
K33 = 12EIC/h3 + 3EIC/h3 K33 = 24EIC/33 + 3EIC/2.53
EJEMPLO #3: RESOLVER POR EL METODO DE RIGIDEZ POR DEFINICION:
E = 2 x 106 Ton/m2 I = ⦋0.30 x (0.55)3⦋/12
1. G.D.L = 2
Análisis estructural II
2.
D1 = 1 y D2 = 0
K11 - Mab =0
K11 = Mab
K11 =4EI/5
K21 - Mba - Mbc =0 K21 =2EI/5 D2 = 1 y D1 = 0
K21 = Mba + Mbc
Análisis estructural II
K12 - Mab =0
K12 = Mab
K12 =2EI/5
K22 - Mba - Mbc =0
K22 = Mba + Mbc
K22 =4EI/5 + 4EI/6 Hallar EI:
⦋K⦋ {D} = {Q}
D1 = 2.85 x 10-4 Por otro metodo, condensando:
D1 =1
D2 = -5.69 x 10-4
Análisis estructural II
K11 - M⋇ba - Mbc =0
Hallar el M⋇ab
K11 =3EI/5 + 4EI/6
K22 = M⋇ba + Mbc
Análisis estructural II
EJEMPLO #4: E = 2 x 106 T/m2
Solución:
D1 = 1 , D2 = D 3 = D 4 = 0
Análisis estructural II
K11 - Mab =0
K11 = Mab
K11 =4EI/4
K41 - Mcb =0
K21 - Mba =0
K21 = Mba
K21 =2EI/4
K41 = Mcb
K41 =0 D2 = 1 , D1 = D 3 = D 4 = 0
K31 – Mdb =0 K31 =0
K21 =Mdb
Análisis estructural II
K12 - Mab =0
K12 = Mab
K12 =2EI/4
K42 – Mcb =0
K22 - Mba -Mbc -Mbd =0 K22 =4EI/4+4EI/3 +4EI/3.5
K42 = Mcb
K42 =2EI/3 D3 = 1 , D1 = D 2 = D 4 = 0
K32 – Mdb =0 K32 =2EI/3.5
K32 =Mdb
Análisis estructural II
K13 - Mab =0
K13 = Mab
K13 =0
K43 – Mcb =0
K23 - Mbd =0
K23=Mbd
K23 =2EI/3.5
K43 = Mcb
K43 =0 D4 = 1 , D1 = D2 = D 3 = 0
K33 – Mdb =0 K33 =4EI/3.5
K33 =Mdb
Análisis estructural II
K14 - Mab =0
K14 = Mab
K14 =0
K44 – Mcb =0 K44 =4EI/3
K24 - Mbc =0
K24=Mbc
K24 =2EI/3
K44 = Mcb
K34 – Mdb =0 K34 =0
K34 =Mdb
Análisis estructural II
D1 = -5.75 x 10-4
D2 = 1.15 x 10-3
D3 = -5.75 x 10-4
METODO DE RIGIDEZ DIRECTA (Con matrices de transformación ⦋A⦋)
LEY DE HOOKE GENERALIZADA:
{Ҩ } = ⦋K⦋{D}………………….. (I)
Dónde:
{Ҩ } mx1 = vector de cargas globales de la estructura {D} mx1 = vector de desplazamiento globales de la estructura {K} mxm = matriz de rigidez global de la estructura Dónde: m = # G.D.L
DEFINIR:
{d} e = ⦋A⦋e {D}………………. (II) {d} e = desplazamiento locales del elemento ⦋A⦋e = matriz de compatibilidad o transformación del elemento.
D4 = -5.75 x 10-4
Análisis estructural II
Ejemplo: EA = α
Solución:
Análisis estructural II
Únicamente por flexión {de} e = vector desplazamiento del elemento en coordenadas locales.
{q}e = ⦋K⦋e {d}e
-----------------------(III)
{q} e = vector de cargas del elemento
D1 = 1
D2 = 1
Análisis estructural II
D3 = 1
D4 = 1
Análisis estructural II
{d} e = ⦋A⦋e {D}………………. (II) Ejemplo:
Si
PRINCIPIO DE TRABAJO VIRTUAL:
δ Wext = δ Wint
PASOS: 1. Definir los grados de libertad G.D.L {D} m , m = # G.D.L. 2. Generar las matrices de compatibilidad o matrices de transformación de C/elemento; ⦋A⦋e. 3. Generar la matrices de rigidez en coordenadas locales de C/elemento; ⦋K⦋e. 4. Proceso de ensamblaje, obtención de la matriz de rigidez global de la estructura,
⦋K⦋G.
Análisis estructural II
5. Generar el vector de cargas globales de la estructura {Ҩ }.
6. Resolver {Ҩ } = ⦋K⦋G {D} --------------OBTENER {D} 7. Hallar {q}e = ⦋K⦋e ⦋A⦋e {D} - {q}e
eq
8. Hallar {d}e = ⦋A⦋e {D} y D.M.F y D.F.C
{Ҩ } = ⦋KTOTAL⦋{D}
DONDE:
SI: solo por flexión.
Análisis estructural II
d1 = 1 , d2 = d3 = d4 = 0
d2 = 1 , d1 = d3 = d4 = 0
d3 = 1 , d1 = d2 = d4 = 0
d4 = 1 , d1 = d2 = d3 = 0
Análisis estructural II
Ejemplo#1: Resolver: E = 2x 106 T/m2 ,
EA = α
Solución:
Paso 1:
G.D.L = 2
Paso 2:
D1 = 1 , D2 = 0
Análisis estructural II
Paso 2:
Paso 3:
D2 = 1 , D1 = 0
Análisis estructural II
Paso 4: {Ҩ }
Análisis estructural II
{Ҩ } = ⦋KTOTAL⦋{D}
{q} 1 = ⦋K⦋1 ⦋A⦋1 {D} - {q}1eq
{q} 2 = ⦋K⦋2 ⦋A⦋2 {D} - {q}2eq
Diagrama de momento:
⦋KTOTAL⦋{D} = {Ҩ }
Análisis estructural II
Ejemplo#2:
Paso 1:
D1 = 1 , D2 = D3 = D4 =0
D2 = 1
, D1 = D3 =D4 = 0
Análisis estructural II
Paso 2:
D3 = 1 , D1 = D2 = D4 =0
Paso 3:
D4 = 1
, D1 = D2 =D3 = 0
Análisis estructural II
Paso 4: {Ҩ }
Análisis estructural II
{Ҩ } = ⦋KTOTAL⦋{D}
⦋KTOTAL⦋{D} = {Ҩ }
Análisis estructural II
{q} 1 = ⦋K⦋1 ⦋A⦋1 {D} - {q}1eq
{q} 2 = ⦋K⦋2 ⦋A⦋2 {D} - {q}2eq
{q} 3 = ⦋K⦋3 ⦋A⦋3 {D} - {q}3eq
{q} 4 = ⦋K⦋4 ⦋A⦋4 {D} - {q}4eq
Análisis estructural II
Diagrama de momento:
Ejemplo#3: el mismo que el #2 pero darle solución con el metodo de la condensación:
Análisis estructural II
Paso 1:
D1 = 1 , D2 = D3 =0
Paso 2: D3 = 1 , D1 = D2 =0
D2 = 1
, D1 = D 3 = 0
Análisis estructural II
Paso 3:
Análisis estructural II
Paso 4: {Ҩ }
Análisis estructural II
{Ҩ } = ⦋KTOTAL⦋{D}
⦋KTOTAL⦋{D} = {Ҩ }
Análisis estructural II
{q} 1 = ⦋K⦋1 ⦋A⦋1 {D} - {q}1eq
{q} 2 = ⦋K⦋2 ⦋A⦋2 {D} - {q}2eq
{q} 3 = ⦋K⦋3 ⦋A⦋3 {D} - {q}3eq
{q} 4 = ⦋K⦋4 ⦋A⦋4 {D} - {q}4eq
Diagrama de momento:
Análisis estructural II
METODO DE CONDENSACION ESTATICA Sea por ejemplo:
GENERALIZANDO:
θθ
{Ҩ } +
θδ
{δ} = {ϕ} ……………………………… (1)
δθ
{Ҩ } +
δδ
{δ} = {F} …………………………….... (2)
Análisis estructural II
θθ
{Ҩ } +
Tθθ
θθ
{δ} = {ϕ}
θδ
T θθ
{Ҩ } = -1 θθ
⦋I ⦋ {Ҩ } = -1
{Ҩ } = -
θθ
θδ
θδ
{δ}
{δ}
θδ
{δ} ………………………...….. (3)
{Ҩ } = ⦋T ⦋ {δ} ………………………………...….. (4) DONDE:
-1 θθ
⦋T ⦋ = -
……………………………….… (5)
θδ
Remplazando (3) en (2) tenemos: δθ
(-
-1
θθ
{F} = ⦋
δδ
θδ
{δ}) +
-
δθ
⦋
{F} = ⦋
L
δδ
-1
θθ
L
{δ} = {F} θδ
⦋ {δ}
⦋
{δ}
⦋ = rigidez lateral.
{F} = ⦋
L
⦋ {δ} ………………………………… (6)
SIENDO:
⦋
L
⦋= ⦋
δδ
-
δθ
-1
θθ
θδ
⦋
Ejemplo #1: hallar la rigidez lateral de la estructura mostrada y graficar D.M.F.
Análisis estructural II
Solución:
D1 = 1 , D2 = D3 = 0
K11 = 4EIV / LV + 4EIC / h K11 = 4EIV / 7 + 4EIC / 3.5 K21 = 2EIV / LV K21 = 2EIV / 7 K31 = 6EIC/h2 K31 = 6EIC/12.25
D2 = 1 , D1 = D 3 = 0
K22 = 2EIV / LV K12 = 2EIV / 7 K22 = 4EIV / LV + 4EIC / h K22 = 4EIV / 7 + 4EIC / 3.5 K32 = 6EIC/h2 K32 = 6EIC/12.25
Análisis estructural II
D3 = 1 , D1 = D 2 = 0
K13 = 6EIC/h2 K13 = 6EIC/12.25 K23 = 6EIC/h2 K23 = 6EIC/12.25 K33 = 12EIC/h3 K33 = 12EIC/42.88
4EIC/3.5 + 4EIV/7 4EIV/7
4EIV/7
6EIC/12.25
D1
4EIC/3.5 + 4EIV/7
6EIC/12.25
D2
6EIC/12.25
24EIC/42.88
D3
6EIC/12.25
⦋
L
21864.3
3085.7
6725.5
D1
3085.7
21864.3
6725.5
D2
6725.5
6725.5
7686.3
D3
⦋= ⦋
δδ
-
δθ
-1
θθ
θδ
⦋
0 =
F
0 =
0
0 7
Análisis estructural II
⦋
L
⦋ = 5692.09 T/m2
{F} = ⦋
L
⦋ {δ}
{7} = ⦋5692.09 ⦋ {δ} δ = 5692.09/7 = 1.2 x 10-3 m ⦋T ⦋ = -
-1θθ
θδ
{Ҩ } = ⦋T ⦋ {δ}
COLUMNA:
Msup = M0ba + (2EIC / h) ⦋2D1 + 0+ 3D3 /h⦋
Msup = 3.05 Tn-m
Minf = M0ab + (2EIC / h) ⦋0 + D1+ 3D3 /h⦋
Minf = 5.53 Tn-m
Análisis estructural II
VIGA:
MIZ = M0ab + (2EIV / L) ⦋2D1 + D2 + 0 ⦋
MIZ = -2.99 Tn-m
MDER = M0ba + (2EIV / L) ⦋2D2 + D1+ 0⦋
MIZ = -2.99 Tn-m
DIAGRAMA DE MOMENTOS:
Análisis estructural II
Ejemplo #2: resolver el problema usando el metodo de rigidez directa con matrices de transformación. ⦋A⦋. 2.5 Kip/Pie 18 Kip
CABLE EA=α A=1.6plg2
E= 29000 KSI SOLUCIÓN: PASO 1:
Armaduras:
,
I=1780 plg4
Análisis estructural II
Si:
d1 = 1
d2 = 1
K11= EA/L
K12=-EA/L
K21= -EA/L
K22=-EA/L
Paso 2: D1 = 1 , D2 = D 3 = 0
D2 = 1 , D1 = D 3 = 0
Análisis estructural II
D3 = 1 , D1 = D2 =0
θ = 45° , cos θ = x/1 ,
x = cos θ = cos 45° = 0.707
Paso 3:
EI = 29000 x 1780 = 5162x 104 Kip-pie2 EA = 29000 x 1.6 = 46400 Kip
Análisis estructural II
Paso 4: {Ҩ }
Análisis estructural II
{Ҩ } = ⦋KTOTAL⦋{D}
{q} 1 = ⦋K⦋1 ⦋A⦋1 {D} - {q}1eq
{q} 2 = ⦋K⦋2 ⦋A⦋2 {D} - {q}2eq
{q} 3 = ⦋K⦋3 ⦋A⦋3 {D} - {q}3eq
⦋KTOTAL⦋{D} = {Ҩ }
Análisis estructural II
Diagrama de momento:
METODO DE RIGIDEZ DIRECTA (Cosenos directores) EJEMPLO:
{D} = DESPLAZ.GLOBALES DE LA ESTRUCTURA EN COORDENADAS GLOBALES 48 G.D.L
Análisis estructural II
{Ҩ } = VECTOR DE CARGAS GLOBALES DE LA ESTRUCTURA EN COORDENADAS GLOBALES
“LEY DE HOOKE GENERALIZADA”
{Ҩ } mx1 = ⦋KTOTAL⦋mxm {D} mx1
….…………………………… (I)
m= #G.D.L DEL METODO ANTERIOR;
{Ҩ } = ∑⦋A⦋Te ⦋K⦋e ⦋A⦋e {D} (II)
...……………………………..
ELEMENTO (e)
Ejes LOCALES
Ejes GLOBALES
Análisis estructural II
Vector de desplazamiento en coordenadas locales/elemento
Se incluye deformaciones axiales.
{d} e = ⦋A⦋e {D} {Ҩ } = ⦋Aθ⦋⦋A⦋L {D} Dónde: ⦋Aθ⦋=Matriz de cosenos directores. ⦋A⦋L = Matriz de localización.
d1= d*1 cosθ + d*2 senθ d2= d*1 senθ + d*2 cosθ
………..…………………………… (III)
Análisis estructural II
d2= d*3
⦋Aθ⦋
{d}e = ⦋Aθ⦋ {d}*e
Ejemplo:
…………………………………………… (IV)
Análisis estructural II
6 x G.D.L 6x5
DESPLAZ. DE ELEMENTOS
6x5
EN COORD. GLOBALES
Θ=90°
Θ=0°
FORMULACION DE METODO
---------------------------------------- (1) ----------------------------------------------- (2) {Ҩ } = ∑⦋A⦋Te ⦋K⦋e ⦋A⦋e {D} {Ҩ } = ∑ ⦋AL⦋T ⦋Aθ⦋T ⦋K⦋e ⦋Aθ⦋e ⦋AL⦋e {D} ----------------------------------- (3)
⦋K⦋e = matriz de rigidez del elemento en coord. Locales. {Ҩ } = ⦋KTOTAL⦋ {D}
----------------------------------------------- (4)
-------------------------------------- (5)
{q} e = ⦋K⦋e ⦋Aθ⦋e ⦋AL⦋e {D} - {q}eeq
--------------------------------- (6)
Análisis estructural II
EJEMPLO N°1: 4 T-m 25x45
2m 25x45
6T
25x45
2m
4m
Análisis estructural II
Análisis estructural II
A = 0.25 x 0.45 = 0.1125 m2 E = 2 x 106 T/m2
,
L = 4m
I = (0.25 x 0.453) / 12 = 1.89 x 10-3 m4
Análisis estructural II
2 T/m 2.67 T-m
2.67 T-m 4 m 4 Tn
4 Tn
6T
3 T-m 2m 3.0 Tn
3 T-m
2m 3.0 Tn
Análisis estructural II
{Ҩ } = ⦋KTOTAL⦋ {D} ⦋KTOTAL⦋ {D} = {Ҩ }
Análisis estructural II
{q} e = ⦋K⦋e ⦋Aθ⦋e ⦋AL⦋e {D} - {q}eeq
Análisis estructural II
DIAGRMA DE MOMENTO FLECTOR:
Análisis estructural II
EJEMPLO N°2: HALLAR LAS FUERZAS INTERNAS EN LA ARMADURA MOSTRADA
P= 50 Klb L = 20Pie A= 8 pulg2 (const) E = 30000 Ksi (const)
Análisis estructural II
ARMADURAS:
Análisis estructural II
Análisis estructural II
Análisis estructural II
⦋KTOTAL⦋ {D} = {Ҩ }
{q} 1 = ⦋K⦋1 ⦋Aθ⦋1 ⦋AL⦋1 {D} - {q}1eq
Análisis estructural II
{q} 2 = ⦋K⦋2 ⦋Aθ⦋2 ⦋AL⦋2 {D} - {q}2eq
{q} 3 = ⦋K⦋3 ⦋Aθ⦋3 ⦋AL⦋3 {D} - {q}3eq
{q} 4 = ⦋K⦋4 ⦋Aθ⦋4 ⦋AL⦋4 {D} - {q}4eq
Análisis estructural II
{q} 5 = ⦋K⦋5 ⦋Aθ⦋5 ⦋AL⦋5 {D} - {q}5eq
{q} 6 = ⦋K⦋6 ⦋Aθ⦋6 ⦋AL⦋6 {D} - {q}6eq
EJERCICIO PROPUESTO:
C1 = 18 Tn
,
C2 = 10 Tn
Wu = 1.4 CM + 1.7 CV ,
C3 = 9 Tn
CM1 = 2.5 T/ml
,
CM2 = 2 T/ml
,
CM3 = 1 T/ml
CV1 = 1.5 T/ml
,
CV2 = 1 T/ml
,
CV3 = 0.5 T/ml
Análisis estructural II
E = 2 x 106 T/m2
SOLUCION:
D1 = 1
D2 = 1
D3 = 1
D4 = 1
Análisis estructural II
D5 = 1
D6 = 1
D7 = 1
D8 = 1
D9 = 1
D10 = 1
D11 = 1
D12 = 1
Análisis estructural II
D13 = 1
D14 = 1
D15 = 1
MATRIZ DE RIGIDES TOTAL DE TODO EL PORTICO (KTOTAL):
10666.7
1777.8
0
0
1777.8
0
0
0
0
0
0
0
3555.6
-1777.8
0
1777.8
14222.2
1777.8
0
0
1777.8
0
0
0
0
0
0
3555.6
-1777.8
0
0
1777.8
14222.2
1777.8
0
0
1777.8
0
0
0
0
0
3555.6
-1777.8
0
0
0
1777.8
10666.7
0
0
0
1777.8
0
0
0
0
3555.6
-1777.8
0
1777.8
0
0
0
10666.7
1777.8
0
0
1777.8
0
0
0
-1777.8
3555.6
-1777.8
0
1777.8
0
0
1777.8
14222.2
1777.8
0
0
1777.8
0
0
-1777.8
3555.6
-1777.8
0
0
1777.8
0
0
1777.8
14222.2
1777.8
0
0
1777.8
0
-1777.8
3555.6
-1777.8
Análisis estructural II 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1777.8
10666.7
0
0
0
1777.8
-1777.8
3555.6
-1777.8
0
1777.8
0
0
0
7111.1
1777.8
0
0
0
-1777.8
1777.8
0
0
0
1777.8
0
0
1777.8
10666.7
1777.8
0
0
-1777.8
1777.8
0
0
0
0
0
1777.8
0
0
1777.8
10666.7
1777.8
0
-1777.8
1777.8
0
0
0
0
0
0
0
1777.8
0
0
1777.8
7111.1
0
-1777.8
1777.8
3555.6
3555.6
3555.6
3555.6
-1777.8
-1777.8
-1777.8
-1777.8
0
0
0
0
9481.5
-4740.7
0
-1777.8
-1777.8
-1777.8
-1777.8
3555.6
3555.6
3555.6
3555.6
-1777.8
-1777.8
-1777.8
-1777.8
-4740.7
9481.5
-4740.7
0
0
0
-1777.8
-1777.8
-1777.8
-1777.8
1777.8
1777.8
1777.8
1777.8
0
-4740.7
4740.7
⦋
⦋
L
L
1777.8
0
⦋ = rigidez lateral.
⦋= ⦋
δδ
-
δθ
-1
θθ
θδ
⦋
EJEMPLO
PLACA
Análisis estructural II
PLACA
EA = α
6G.D.L (4 ROT. Y 2 TRASL.)
EJERCICIO #3: HALLAR LOS DESPLAZAMIENTOS LATERALES.
D1 = 1
D2 = 1
Análisis estructural II
K11 = 4EI/6 + 4EI/3
K12 = 2EI/6
K21 = 2EI/6
K22 = 4EI/6 + 4EI/3
K31 = -6EI/9
K32 = -6EI/9
K41 = 6EI/9
K42 = 6EI/9
D3 = 1
D4 = 1
K13 = -6EI/9
K14 = 6EI/6
K23 = -6EI/9
K24 = 6EI/9
K33 = 48EI/27
K34 = -24EI/27
K43 = -24EI/27
K44 = 24EI/27
Análisis estructural II
⦋
L
⦋ = rigidez lateral.
⦋
L
⦋= ⦋
⦋
L
⦋ {δ} = {F}
{Ҩ } = -
-1
θθ
δδ
-
θδ
δθ
-1
θθ
θδ
⦋
{δ}
MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL PORTICO – PLACA
Análisis estructural II
MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA VIGA – BRAZO RIGIDO
Análisis estructural II
SI LA VIGA TRABAJA SOLO POR FLEXION:
Análisis estructural II
SE TIENE:
Parte flexible:
{qe} = ⦋Ke⦋4x4 {đe}
________________________________________ (1)
POR COMPATIBILIDAD:
VA = 1
VA = Vi + a x θi θA = θi
VB = 1
VB = Vj - b x θj θB = θj
Análisis estructural II
⦋H⦋
Flexible
⦋H⦋= Matriz de compatibilidad
VA = 1 x Vi + a x θi + 0 x Vj + 0 x θj θA = 0 x Vi + 1 x θi + 0 x Vj + 0 x θj VB = 0 x Vi + 0 x θi + 1 x Vj - b x θj θB = 0 x Vi + 0 x θi + 0 x Vj + 1 x θj
POR EQUILIBRIO:
Vi = VA Mi = a x VA + MA Vj = VB Mj = -b x VB + MB
Vi = 1 x VA + 0 x MA + 0 x VB + 0 x MB Mi = 0 x VA + 1 x MA + 0 x VB + 0 x MB Vj = 0 x VA + 0 x MA + 1 x VB + b x MB Mj = 0 x VA + 0 x MA - b x VB + 1 x MB
rígido
Análisis estructural II ⦋H⦋T
POR LA LEY DE HOOKE :
Si remplazamos (3) en (2):
Si remplazamos (1) en (4):
⦋K⦋P = PLACA
Flexible
rígido
Análisis estructural II
LTOTAL = a + b + L
FACTOR DE FORMA:
f = 1.2
PROBLEMA:
f = 10 / 9
f=2
f = Area axial / Area alma
Análisis estructural II
1.
HALLAR: LA MATRIZ DE RIGIDEZ TOTAL
2.
HALLAR: LA MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL
3.
HALLAR: DESPLAZAMIENTO LATERAL
E = 2 x 106 Ton/m
VIGA 30 Tn
30 x 70 COLUMNA
4.00 m
PLACA C° A°
30 x 70
.20 2.00
8.00m
Análisis estructural II
a=1.00
8.35
3.65
D1 = 1
D2 = 1
D3 = 1
VIGA:
Análisis estructural II
L = 8.35 m a = 1.00 m b = 0.00 m E = 2 x 106 T/m2 I = 0.30 x (0.70)3 / 12 m4 EI = 17150 Tm-m2 COLUMNA: L = 3.65 m a = 1.00 m b = 0.00 m E = 2 x 106 T/m2 I = 0.30 x (0.70)3 / 12 m4 EI = 17150 Tm-m2 PLACA: L = 3.65 m AP = 1.00 m E = 2 x 106 T/m2 I = 0.20 x (2.00)3 / 12 m4 = 0.133 EI = 266666.67 Tm-m2 = 0.20 f = 1.2
Análisis estructural II
⦋
L
⦋ = rigidez lateral.
⦋
L
⦋= ⦋
⦋
L
⦋=
⦋
L
δδ
-
17355.5 T/m
⦋ {δ} = {F}
δθ
-1
θθ
θδ
⦋
Análisis estructural II
17355.5 {δ} = {30} -3
{δ} = D3 = 1.73 x 10 m
{Ҩ } = -
-1
θθ
θδ
{δ}
ANALISIS MATRICIAL 3-D HIPOTESIS:
LOSA
LOSA
1. LA LOSA DEBE SER INFINITAMENTE RIGIDA.
Análisis estructural II
2. LOS PORTICOS SEAN ORTOGONALES CON RESPECTO A SU BASE.
3. CONSIDERA 3 G.D.L / NIVEL UBICADOS EN SU CENTRO DE MASAS.
{D} 3m x 1 = DESPLAZAMIENTOS GLOBALES DE LA ESTRUCTURA, m = # DE PISOS
LEY DE HOOKE GENERALIZADO
⦋
⦋= MATRIZ E RIGIDEZ GLOBAL DEL EDIFICIO
EDIF
m = # pisos
P = # DE PORTICOS m = # DE PISOS DONDE:
⦋A⦋P mx3m
= MATRIZ DE COMPATIBILIDAD DEL PORTICO “P”
⦋KL⦋P = RIGIDEZ LATERAL DEL PORTICO “P” (CONDENSACION ESTATICA)
Análisis estructural II
D Xi = 1
Dϕ i = 1
PORTICO “j”
DY i = 1
PORTICO “j”
Análisis estructural II PISO “i”
Dij = Dxi Cos γj + Dyi Sen γj + Dϕi Rij Numero de piso, se tiene:
⦋A⦋mxm = MATRIZ DE COMPATIBILIDAD O DE TRANSFORMACION
EJEMPLO #1:
3 G.D.L/ NIVEL
Hallar D.M.F De los pórticos del edificio mostrado:
5m
4m
4m
PLANTA PISO: C = 35x45 V1 = 35x45
h = 3.2m V2 = 35x40
5m
Análisis estructural II
PÓRTICO A, B y C 35x45
35x45
PORTICO: 1, 2 y 3
35x45
35x45
35x40
35x45
3.2m
45x35
35x40
45x35
45x35
3.2m
5m
5m
4m
4m
Análisis estructural II
, PÓRTICO A, B y C:
PÓRTICO 1, 2 y 3:
R1A = (0 – 0) 0° - (-4 – 0) 1 = 4 R1B = (0 – 0) 0° - (0 – 0) 1 = 0 R1C = (0 – 0) 0° - (4 – 0) 1 = -4 R11 = (-5 – 0) 1 - (-4 – 0) 0 = -5 R12 = (0 – 0) 1 - (0 – 0) 0 = 0 R13 = (5 – 0) 1 - (0 – 0) 0 = 5
Análisis estructural II
PORTICO
KL 1x1
γP
Cos P
γ
Sen P
γ
R1P
A
3807.6
0°
1
0
4
B
3807.6
0°
1
0
0
C
3807.6
0°
1
0
-4
1
2527.6
90°
0
1
-5
2
2527.6
90°
0
1
0
3
2527.6
90°
0
1
5
〈A〉A = 〈 1, 0, 4 〉
〈A〉B = 〈 1, 0, 0 〉
〈A〉C = 〈 1, 0, -4 〉
〈A〉1 = 〈 0, 1, -5 〉
〈A〉2 = 〈 0, 1, 0 〉
〈A〉3 = 〈 0, 1, 5 〉
Análisis estructural II
⦋KTOTAL⦋ {D} = {Ҩ }
Pórtico B: Hallar el desplazamiento lateral {d}: {d} e = ⦋A⦋e {D}
{d} B = 1.3 x 10
-3
m
35x45
3.2m
35x45
35x45
35x45
5m
35x45
5m
Análisis estructural II
Mba = M°ba + 2EI / Lba ⦋2θb + θa + 3δ/Lba ⦋
Mab = M°ab + 2EI / Lab ⦋2θa + θb + 3δ/Lab ⦋
Mbc = M°bc + 2EI / Lbc ⦋2θb + θc + 3δ/Lbc ⦋
Mcb = M°cb + 2EI / Lcb ⦋2θc + θb + 3δ/Lcb ⦋
Mcd = M°cd + 2EI / Lcd ⦋2θc + θd + 3δ/Lcd ⦋
Mdc = M°dc + 2EI / Ldc ⦋2θd + θc + 3δ/Ldc ⦋
Mce = M°ce + 2EI / Lce ⦋2θc + θe + 3δ/Lce ⦋
Mec = M°ec + 2EI / Lec ⦋2θe + θc + 3δ/Lec ⦋
Análisis estructural II
Mef = M°ef + 2EI / Lef ⦋2θe + θf + 3δ/Lef ⦋
Mfe = M°fe + 2EI / Lfe ⦋2θf + θe + 3δ/Lfe ⦋
DIAGRMA DE MOMENTO FLECTOR:
Análisis estructural II
EJERCICIO #2:
2 GDL/ nivel
Planta típico.
CARGAS GLOBALES
Análisis estructural II
n= # pisos = 2
Ri P =
(Xi –X0) Sen αP – (Yi –Y0) cos αP
Resolviendo: Ri P
R1 A = R2 A = (5 – 0) Sen 900 – (0 – 0) cos 900 = 5 R1 B = R2 B = (0 – 0) Sen 00 – (10 – 0) cos 00 = -10 R1 C = R2 C = (0 – 0) Sen 00 – (-10 – 0) cos 00 = 10 R1 D = R2 D = (-15 – 0) Sen 900 – (0 – 0) cos 900 = -15 Hallando la matriz de compatibilidad:
Análisis estructural II
Análisis estructural II
Pórtico A: Hallar el desplazamiento lateral {d}: {d} e = ⦋A⦋e {D}
2do PISO
1er PISO
Análisis estructural II
ANALISIS MATRICIAL DE EDIFICIO 2GDL/NIVEL
Ejercicio #3:
hallar los desplazamientos laterales y los DMF de la. Estructura mostrada. Nivel 1
Nivel 2
Análisis estructural II
Nivel 3
1. HALLAR LOS PÓRTICOS:
Análisis estructural II
2. HALLAR LA RIGIDEZ LATERAL DE LOS PÓRTICOS:
Análisis estructural II
Análisis estructural II
Análisis estructural II
Hallar la matriz de compatibilidad de los pórticos:
Resolviendo: Ri P
Para el pórtico 1: αP = 90°
n = # pisos
Análisis estructural II
Para el pórtico 2: αP = 90°
Para el pórtico 3: αP = 90°
Para el pórtico 4: αP = 90°
Para el pórtico A:
Análisis estructural II
Para el pórtico B: αP = 0°
Para el pórtico C:
Para el pórtico D:
Para el pórtico E:
Análisis estructural II
Análisis estructural II
Análisis estructural II
139892,88 -70009,56 0 -34973,22 17502,39 0
-70009,56 122516,73 -52507,17
0 -52507,17 52507,17
-34973,22 17502,39 0 17502,39 78760,755 8751,195 0 -96263,145 -8751,195 17502,39 0 6448859,14 2776941,02 0 78760,755 -96263,145 2776941,02 4419250,24 -130308840 8751,195 -8751,195 0 -130308840 130326343
PÓRTICO A:
Hallar el desplazamiento lateral {d}: {d} e = ⦋A⦋e {D}
Análisis estructural II
Ejemplo #4: Hallar las fuerzas y Desplazamientos laterales de los pórticos del edificio:
Análisis estructural II
3 G.D.L PISO 1
PISO 2
PISO TIPICO 2 NIVELES SI: PORTICO A y B
PORTICO A y B
PORTICO 1
PORTICO 2
Análisis estructural II
PORTICO 1
PORTICO 2
m = # pisos PORTICO A
α = 0°
Análisis estructural II
α =Cos-1(3/13.34) = 77°
Para el pórtico A:
αP = 0°
Para el pórtico B:
αP = 0°
Análisis estructural II
Para el pórtico 1:
αP = 90°
Para el pórtico 2:
αP = 90°
Análisis estructural II
{d} e = ⦋A⦋e {D}
PÓRTICO A:
Hallar el desplazamiento lateral {d}: {d} e = ⦋A⦋e {D}
Análisis estructural II
Ejemplo #5:
Análisis estructural II
SOLUCION:
Análisis estructural II
Θ=90°
Θ=14.04°
Θ=163.3°
Análisis estructural II