Análisis Estático de Estructuras_Lamar y Fortoul

ANÁLISIS ESTÁTICO DE ESTRUCTURAS Formulación Matricial

Simón Lamar Celso Fortoul Padrón

El Centro para la Innovación, el Desarrollo Tecnológico y del Conocimiento en Ingeniería (CENTRO CITECI) es una organización creada a finales de 2006, en función de incentivar procesos de generación y aprovechamiento social del conocimiento, de innovación y desarrollo tecnológico en el país. Orientada por criterios de responsabilidad social, CITECI es una iniciativa que busca responder a las demandas del sector productivo venezolano, en función de apoyar su crecimiento y competitividad a través de estrategias y programas que apuntan, al mismo tiempo, al fortalecimiento y aprovechamiento del talento humano y de las capacidades nacionales en ciencia y tecnología, y a la vinculación del sector empresarial con los sectores públicos, académicos y de investigación, así como con las comunidades y la sociedad en general, de cara a los problemas prioritarios del país, y con el fin de contribuir con la mejora de la calidad de vida de la población, y con el desarrollo social y económico de la nación. El CENTRO CITECI inició sus actividades con los aportes de un grupo de empresas del país, según los requerimientos de la Ley Orgánica de Ciencia, Tecnología e Innovación promulgada en 2005, y de acuerdo con lo estipulado por el reglamento de la misma ley. A través de CITECI, el sector empresarial contribuye efectivamente con el desarrollo de la ciencia y la tecnología en el país. Dentro de sus programas de acción, y en consonancia con estos objetivos, CITECI presenta publicaciones destinadas a apoyar la generación, difusión y divulgación del conocimiento en el país, con miras a su apropiación social Ediciones CITECI incluye tres colecciones: Conocimiento e investigación compuesta por obras de alto nivel científico y técnico, libros destinados a valorar y difundir la generación del investigación efectuadas en el país, y a apoyar la formación del talento humano, especialmente en cursos de pregrado y postgrado; Conocimiento y desarrollo, con monografías y estudios orientados a contribuir con presentar propuestas, herramientas metodólogicas, diferentes puntos de vista para el análisis y la discusión de temas de actualidad mundial y de problemas prioritarios del país en diversos sectores de interés; y la colección Conocimiento y aplicación con publicaciones de alto impacto social, en especial, cartillas de divulgación destinadas a la difusión del conocimiento para su popularización y aplicación masiva, primordialmente concebidas para que una gran parte de la población pueda tener acceso al conocimiento y utilizarlo de manera práctica en la solución de algunos de sus problemas específicos.

ÁNALISIS ESTÁTICO DE ESTRUCTURAS Formulación Matricial AUTORES Simón Lamar Celso Fortoul Padrón EDITORES Marianela Lafuente Carlos Genatios

Coordinación Editorial Corporación RCKF1974 Diseño María Luisa Contreras Impresión y encuadernación Fanarte C.A. Depósito legal: if25220076101815 ISBN: 978-980-7081-00-9 © Centro CITECI www.citeci.com [email protected] Todos los derechos reservados. Ningún párafo o imagen contenidos en esta edicion puede ser reproducidos, almacenados, o transmitidos total o parcialmente por medio alguno, sin la autorización expresa del Centro CITECI.

Con la Colaboración de Ghella Sogene C.A. y Ghella SpA

www.ghella.com ÁNALISIS ESTÁTICO DE ESTRUCTURAS Formulación Matricial Se terminó de imprimir en el mes de mayo de 2007, en Caracas, con el cuidado de Fanarte C.A. El tiraje consta de 1.000 ejemplares

SIMÓN LAMAR Y CELSO FORTOUL PADRÓN

Los Profesores Simón Lamar y Celso Fortoul Padrón han dedicado, cada uno, más de 50 años a la docencia del Análisis Estructural en la Universidad Central de Venezuela y la Universidad Simón Bolívar; ahora usan su experiencia para producir esta obra, en donde tanto el estudiante como el ingeniero estructural en ejercicio encontrarán una valiosa y novedosa exposición de la teoría del análisis estático de estructuras en su formulación matricial. El Profesor Lamar obtuvo su título de Ingeniero Civil en la Universidad Central de Venezuela en 1953; el Master of Science en la University of Michigan, y, el Doctorado en Stanford University, ambas en los Estados Unidos. Es Individuo de Número de la Academia Nacional de la Ingeniería y el Hábitat y en 2007 recibió el título de Doctor Honoris Causa de la Universidad Central de Venezuela. El Profesor Fortoul Padrón obtuvo su título de Ingeniero Civil en la Universidad Central de Venezuela en 1948. Recibió en 1995 el Premio Simón Bolívar de la Asociación de Profesores de la Universidad Simón Bolívar, y, en 2004 el Premio Francisco de Venanzi de la Universidad Central de Venezuela.

ÍNDICE DE MATERIAS

Prólogo Notación Principal I. SISTEMAS ESTRUCTURALES PLANOS

xi

xiii 1

1. Nociones de Mecánica Analítica 1.1 Coordenadas Generalizadas 1.2 Sistemas Discretos y Continuos 1.3 Sistemas Discretos. Condiciones de Vínculo 1.4 Desplazamientos Virtuales. Grados de Libertad 1.5 Cargas Generalizadas 1.6 Sistemas Lineales 1.7 Un Caso de Geometría no Lineal 1.8 Caso de Geometría Lineal. Superposición de Desplazamientos y Fuerzas 1.9 Identificación de Coordenadas 1.10 Comentario Final Bibliografía Recomendada Problemas

3 3 4 4 7 7 8 9 11 14 22 22 22

2. Discretización de Estructuras 2.1 Sistema Estructural 2.2 Discretización de Estructuras 2.3 Comentario Final Problemas

27 27 28 36 36

3. Teoría de Barras Rectilíneas 3.1 Solicitación Longitudinal 3.2 Solicitación Transversal. Teoría de Timoshenko 3.3 Solicitación Transversal. Teoría de Euler-Bernouilli 3.4 Efecto no Lineal de la Fuerza Longitudinal 3.5 Torsión 3.5.1 Torsión de Barras de Paredes Delgadas de Sección Transversal Abierta Bibliografía Recomendada Problemas

37 37 38 40 41 42

4. Trabajo y Energía de Deformación 4.1 Trabajo y Trabajo Complementario 4.2 Energía de Deformación y Energía de Deformación Complementaria 4.3 Principio del Trabajo Virtual o de los Desplazamientos Virtuales 4.3.1 Formulación para un Elemento 4.3.2 Formulación para una Estructura 4.4 Principio del Trabajo Complementario Virtual o de las Fuerzas Virtuales

47 47 48 50 50 52 56

44 46 46

vi

ÍNDICE DE MATERIAS

4.4.1 4.4.2 4.5 4.6 4.6.1 4.6.2 4.6.3 4.6.4 4.6.5 4.7

Formulación para un Elemento Formulación para una Estructura Teoremas de Castigliano Caso de Comportamiento Lineal Energía de Deformación Principio del Trabajo Virtual o de los Desplazamiento Virtuales Principio del Trabajo Complementario Virtual o de las Fuerzas Virtuales Ley de Clapeyron Ley de Betti Comentario Final Bibliografía Recomendada Problemas

56 57 59 60 60 61 61 64 64 65 65 66

5. Elemento Rectilíneo 5.1 Coordenadas Estáticas y Geométricas 5.2 Funciones de Forma Asociadas a las Coordenadas Estáticas 5.2.1 Elemento de Sección Constante 5.3 Matriz de Flexibilidad 5.3.1 Elemento de Sección Constante 5.4 Matriz de Flexibilidad por el Principio de las Fuerzas Virtuales 5.5 Matriz de Rigidez 5.5.1 Elemento de Sección Constante 5.6 Funciones de Forma Asociadas a las Coordenadas Geométricas 5.6.1 Elemento de Sección Constante 5.7 Elemento con Restricciones a su Deformación 5.8 Elemento Longitudinalmente Rígido 5.8.1 Elemento de Sección Constante 5.9 Elemento Transversalmente Rígido 5.9.1 Elemento de Sección Constante 5.10 Elemento Rígido 5.11 Interpretación de las Funciones de Forma como Líneas de Influencia 5.12 Comentario Final Bibliografía Recomendada Problemas

67 67 69 72 75 76 82 87 88 89 90 92 95 97 97 98 99 99 102 102 103

6. Matrices de Compatibilidad y Equilibrio 6.1 Coordenadas y Matrices de Rigidez y Flexibilidad de los Elementos sin Ensamblar 6.2 Matrices A, B y C 6.3 Determinación e Indeterminación Estática. Determinación e Indeterminación Cinemática 6.4 Estructuras con Juntas Complejas 6.5 Elementos no Unidos Rígidamente a las Juntas 6.6 Carga Externa Correspondiente a Carga Generalizada Nula Bibliografía Recomendada Problemas

105

7. Matrices de Rigidez y Flexibilidad de Estructuras 7.1 Principio del Trabajo Virtual o de los Desplazamientos Virtuales 7.2 Principio del Trabajo Complementario Virtual o de las Fuerzas Virtuales 7.3 Compatibilidad en Términos de la Matriz de Equilibrio 7.4 Equilibrio en Términos de la Matriz de Compatibilidad 7.5 Relación entre las Fuerzas R y la Carga Generalizada Q 7.6 Matriz de Flexibilidad en Términos de B y f 7.6.1 Particionamiento de la Matriz B 7.7 Matriz de Rigidez en Términos de A y k 7.8 Energía de Deformación en Términos de K y F

135 135 137 138 138 139 140 141 142 143

105 107 108 124 126 129 132 132

ÍNDICE DE MATERIAS

7.9

Comentario Final Bibliografía Recomendada Problemas

144 145 145

8. Transformación de Coordenadas 8.1 Transformación en Elementos 8.1.1 Transformación Estática 8.1.2 Transformación Geométrica 8.2 Transformación en Estructuras 8.2.1 Transformación Estática 8.2.2 Transformación Geométrica 8.3 Condiciones de Vínculo a Posteriori Bibliografía Recomendada Problemas

149 149 150 154 160 161 163 165 167 168

9. Condensación de Coordenadas 9.1 Condensación Estática en Estructuras 9.1.1 Condensación Estática de la Matriz de Rigidez 9.1.2 Condensación Estática de la Matriz de Flexibilidad 9.2 Condensación Geométrica en Estructuras 9.2.1 Condensación Geométrica de la Matriz de Flexibilidad 9.2.2 Condensación Geométrica de la Matriz de Rigidez 9.3 Condensación en Elementos 9.4 Comentario Final Bibliografía Recomendada Problemas

171 172 172 179 185 185 191 193 200 200 201

10. Ensamblaje Directo de la Matriz de Rigidez 10.1 Particionamiento de A(i) por Columnas 10.2 Inclusión de Desplazamiento como Cuerpo Rígido en las Coordenadas de Elementos 10.3 Ensamblaje Directo de K 10.4 Caso de Rodillo Inclinado 10.5 Caso de Cerchas 10.6 Ancho de Banda de la Matriz de Rigidez 10.7 Algoritmo de Cuthill-McKee 10.8 Elementos con Restricción a su Deformación Bibliografía Recomendada Problemas

205 205

11. El Problema Fundamental del Análisis Estructural. Métodos de Cálculo 11.1 El Problema Fundamental 11.2 Métodos de Análisis Estructural 11.2.1 Método de las Fuerzas 11.2.2 Método de los Desplazamientos 11.3 Comentario Final Bibliografía Recomendada Problemas

243 243 245 245 246 248 248 249

12. Método de los Desplazamientos 12.1 Solución del Problema Fundamental 12.1.1 Sistemas Cinemáticamente Determinados. Procedimiento Básico de Cálculo 12.1.2 Sistemas Cinemáticamente Determinados. Procedimientos Alternos de Cálculo 12.1.3 Sistemas Cinemáticamente Indeterminados 12.1.4 Sistemas Cinemáticamente Indeterminados. Carga X no Nula 12.2 Caso de Fuerzas en los Elementos

251 251

209 217 224 228 231 232 234 239 239

251 261 265 270 278

vii

viii

ÍNDICE DE MATERIAS

12.2.1 12.3

Determinación de las Fuerzas de Empotramiento Comentario Final Bibliografía Recomendada Problemas

279 297 300 301

13. Método de las Fuerzas 13.1 Solución del Problema Fundamental 13.1.1 Estructuras Isostáticas. Procedimiento Básico de Cálculo 13.1.2 Estructuras Isostáticas. Procedimiento Alterno de Cálculo 13.1.3 Estructuras Estáticamente Indeterminadas 13.2 Caso de Fuerzas en los Elementos 13.3 Cambio de Redundantes 13.4 Comentario Final Bibliografía Recomendada Problemas

305 305 306 310 313 326 337 346 346 346

14. Asentamiento de Apoyos 14.1 Aplicación del Método de los Desplazamientos 14.1.1 Solución en una sola Etapa de Cálculo 14.2 Aplicación del Método de las Fuerzas Bibliografía Recomendada Problemas

349 349 367 369 375 376

15. Cambios 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5

379 379 384 390 394 396 397 398

de Temperatura y Errores de Fabricación y Montaje Relaciones Termoelásticas Aplicación del Método de los Desplazamientos Aplicación del Método de las Fuerzas Errores de Fabricación Errores de Montaje Bibliografía Recomendada Problemas

16. Efecto no Lineal de la Fuerza Longitudinal 16.1 Caso de Fuerza Axial de Compresión 16.2 Caso de Fuerza Axial de Tracción 16.3 Análisis por el Método de los Desplazamientos Bibliografía Recomendada Problemas

401 401 407 408 413 414

17. Determinación Aproximada de la Matriz de Rigidez de Elementos 17.1 Fuerza Axial y Momento en Términos de las Funciones de Forma 17.2 Matriz de Rigidez en Función de D y E 17.3 Efecto no Lineal de la Fuerza Axial. Matriz de Rigidez Geométrica Comentario Final Bibliografía Recomendada Problemas

417 417 418 423 429 429 430

18. Elementos Curvos 18.1 Matrices de Flexibilidad y Rigidez Bibliografía Recomendada Problemas

431 431 441 442

19. Subestructuras 19.1 Elementos Complejos 19.2 Análisis por Subestructuras 19.2.1 Análisis por el Método de los Desplazamientos 19.2.2 Análisis por el Método de las Fuerzas Bibliografía Recomendada Problemas

445 446 453 454 469 482 483

ÍNDICE DE MATERIAS

II. SISTEMAS ESTRUCTURALES EN EL ESPACIO

485

20. Elemento Rectilíneo en el Espacio 20.1 Matrices de Flexibilidad y Rigidez 20.2 Elemento de Sección Constante 20.3 Matriz de Rigidez en Coordenadas Globales 20.3.1 Determinación de la Matriz de Rotación 20.4 Matriz de Flexibilidad en Coordenadas Globales 20.5 Casos Particulares de Solicitación del Elemento 20.5.1 Elemento de Rejilla 20.5.2 Elemento de Cercha Bibliografía Recomendada Problemas

487 487 490 495 497 502 502 503 506 508 508

21. Análisis de Estructuras Espaciales 21.1 Caso General de Análisis Tridimensional 21.2 Análisis de Rejillas 21.3 Análisis de Cerchas Bibliografía Recomendada Problemas

511 511 527 546 555 555

22. Estructuras de Edificios Solicitadas por Fuerzas Horizontales 22.1 Planteamiento del Problema 22.2 Planteamiento en Ausencia de Dinteles 22.2.1 Contribución de los Pórt icos 22.2.2 Contribución de los Muros 22.3 Muros Acoplados por Dinteles 22.3.1 Matriz de Rigidez de Muros Acoplados por Dinteles 22.4 Comentario Final Bibliografía Recomendada Problemas

561 562 562 563 565 585 586 604 605 605

III. ELEMENTOS FINITOS

609

23. Introducción al Método del Elemento Finito 23.1 Ecuaciones de la Teoría de Elasticidad 23.2 Principio del Trabajo Virtual 23.3 Análisis por Elementos Finitos 23.4 Matriz de Rigidez de un Elemento 23.5 Transformación de Direcciones Locales a Globales 23.6 Comentario Final Bibliografía Recomendada Problemas

611 612 615 616 617 623 629 630 631

IV. APÉNDICES

633

1. Álgebra de Matrices Definición de Matriz Diversos Tipos de Matrices Matrices Particionadas Operaciones Matriciales Resolución de un Sistema de Ecuaciones Formas Cuadráticas Bibliografía Recomendada

635 635 635 636 636 639 639 640

ix

x

ÍNDICE DE MATERIAS

2. Integración Numérica Fórmula de los Trapecios Fórmula de Simpson Fórmulas de Newton-Cotes Fórmula de Gauss-Legendre Bibliografía Recomendada

641 642 642 642 642 644

3. Cálculo Numérico de Fuerzas de Sección y Elásticas Fuerza Longitudinal Fuerza de Corte y Momento Elástica Longitudinal Elástica Transversal Resultados Numéricos Bibliografía Recomendada

645 645 646 648 648 648 649

4. Geometría de Deformación de una Barra Rectilínea Barras Flexibles Barras con Restricción a su Deformación

651 651 653

5. Fuerzas de Empotramiento en Elementos Rectilíneos de Sección Constante Solicitación Transversal Solicitación Longitudinal Solicitación Torsional

655 655 656 657

6. Deformación en Elementos Rectilíneos Isostáticamente Apoyados Solicitación Transversal Solicitación Longitudinal Solicitación Torsional

659 659 660 661

Índice Alfabético

663

PRÓLOGO

La presente obra recoge la experiencia que han tenido los autores en la enseñanza de la teoría lineal de estructuras de barras, en su formulación matricial, en la Universidad Central de Venezuela y la Universidad Simón Bolívar, ambas en Caracas; está dirigida tanto a la juventud estudiosa como a los ingenieros estructurales en ejercicio de su profesión; el desarrollo de la obra supone que el lector posee conocimientos elementales de estática, resistencia de materiales y matemáticas similares a los impartidos en cursos universitarios de pregrado de Ingeniería. El libro está dividido en cuatro partes; las Partes I y II estudian el análisis de estructuras planas y tridimensionales, respectivamente, por el método de los desplazamientos y el de las fuerzas; las Partes III y IV son una breve introducción al método de elementos finitos y seis apéndices, respectivamente; éstos últimos versan sobre temas cuyo conocimiento es imprescindible para la cabal comprensión de las primeras tres partes, las cuales constan, en conjunto, de 23 capítulos. Los primeros 13 capítulos versan sobre el análisis de estructuras planas de elementos rectilíneos solicitadas por cargas externas, y, constituyen la parte fundamental del libro; los principios estudiados son universales y aplicables, por lo tanto, a todo tipo de estructuras, incluyendo las tridimensionales; no debe omitirse la lectura de ninguno de ellos por el lector interesado en el tema. Los capítulos 14 y 15 son extensiones del análisis a solicitaciones producidas por cambios de temperatura, asentamiento de apoyos y errores de fabricación o montaje. El capítulo 16 trata el efecto no lineal de la fuerza axial en la solicitación transversal del elemento rectilíneo, el cual puede ser interesante para algunos lectores. El capítulo 18 estudia el elemento plano de directriz curvilínea y es, por lo tanto, una extensión del análisis a estructuras que presentan este tipo de elementos. El capítulo 19 trata el tema del análisis usando el concepto de subestructuras; este capítulo demanda mayor esfuerzo del lector para su total comprensión. Los capítulos 20 y 21 comprenden el análisis de estructuras tridimensionales; son sólo una extensión de lo estudiado para las estructuras planas y no presentan, por lo tanto, ningún principio fundamental adicional a los estudiados previamente. El capítulo 22 trata un problema particular de mucho interés para el ingeniero estructural como es el análisis de estructuras de edificios sometidas a fuerzas horizontales; es tal vez el de más difícil lectura por la complejidad del problema. Los capítulos 17 y 23 presentan procedimientos aproximados de análisis; el 17 trata sobre la determinación de la matriz de rigidez de elementos rectilíneos, y, el 23 es una introducción muy corta del método del elemento finito aplicado a la solución de problemas planos de teoría de elasticidad; el uso reiterado de ambos procedimientos en la solución de un problema determinado conduce a un método adaptativo para mantener el error por debajo de un límite previamente establecido. A lo largo del desarrollo de la obra hay 144 ejercicios ilustrativos resueltos, la mayoría de los cuales merecen que el lector los siga cuidadosamente ya que muchos de ellos presentan conceptos y

xii

PRÓLOGO

consideraciones adicionales que no aparecen en otra parte del texto; por ello los ejemplos ilustrativos son parte integral del libro, que sin los mismos pecaría de incompleto. Al final de cada capítulo se proponen una serie de problemas para que el lector interesado los resuelva y pueda medir su grado de aprovechamiento; para la solución de los mismos es recomendable usar algún sistema de cálculo que facilite las operaciones de álgebra matricial con el computador como son “Mathematica”, “Mathcad”, “Maple”, “Matlab”, etc.. El autor principal escribió la versión original de la obra, la cual fue revisada por el segundo, quien hizo sugerencias de modificación y algunas adiciones que al ser incorporadas a la versión final mejoraron sustancialmente la presentación. La formulación matricial del análisis estructural, después de los trabajos pioneros de Argyris y Kelsey en la década de los 1950, está hoy en día bien establecida; por ello no se hace referencia explícita a las fuentes originarias de la formulación actual; al final de cada capítulo se recomienda una corta bibliografía donde el interesado puede encontrar estudios más detallados y otros enfoques al tema estudiado en el correspondiente capítulo. Algunos de los conceptos y consideraciones que aparecen en el texto son originales del autor principal y no han sido previamente publicados.

NOTACIÓN PRINCIPAL

A A(i) A(i) A, I α B B(i) C CE(i) E, G, ν δp, δP δq, δQ δr, δR δW, δW c f F φi (x) Φi (x) J, Γ k K N(x), V(x), M(x) p, p(i) P, P(i) P-p q Q Q-q r R R-r σ, τ T T U, Uc x, y, z X, Y, Z X(x), Y(x) X-x u(x), v(x), w(x) W, W c ω(s)

matriz de conectividad submatriz de A correspondiente al elemento i submatriz A(i) al eliminar sus columnas nulas área y momento de inercia coeficiente de dilatación térmica; ángulo matriz de equilibrio submatriz de B correspondiente al elemento i matriz de compatibilidad entre r y q código de ensamblaje del elemento i módulos de elasticidad longitudinal, transversal y coeficiente de Poisson deformación virtual, fuerza virtual desplazamiento virtual, carga virtual desplazamiento virtual, carga virtual trabajo virtual, trabajo virtual complementario matriz de flexibilidad de elemento matriz de flexibilidad de estructura funciones de forma asociadas a las coordenadas geométricas funciones de forma asociadas a las coordenadas estáticas constantes de rigidez a la torsión de Saint-Vénant y a la torsión por flexión matriz de rigidez de elemento matriz de rigidez de estructura fuerzas de sección, (longitudinal, transversal y momento) coordenadas geométricas de un elemento coordenadas estáticas de un elemento sistema de coordenadas de un elemento o del conjunto de elementos coordenadas geométricas de una estructura, coordenadas generalizadas coordenadas es táticas de una estructura, carga generalizada sistema de coordenadas de una estructura coordenadas geométricas de las juntas de una estructura coordenadas estáticas de las juntas de una estructura; matriz de rotación sistema de coordenadas de las junta de una estructura componentes de tensión longitudinal y transversal cambio de temperatura matriz de transformación energía de deformación, energía de deformación complementaria direcciones o ejes locales de elemento direcciones o ejes globales de estructura intensidad de cargas longitudinal y transversal en elemento coordenadas redundantes componentes de desplazamiento según ejes x, y, z trabajo, trabajo complementario área sectorial principal

Parte I SISTEMAS ESTRUCTURALES PLANOS

NOCIONES DE MECÁNICA ANALÍTICA

3

Capítulo 1 NOCIONES DE MECÁNICA ANALÍTICA

1.1 COORDENADAS GENERALIZADAS La configuración geométrica de un sistema mecánico, en general, o de una estructura o sistema estructural, en particular, puede definirse a través de coordenadas generalizadas; entenderemos por coordenadas generalizadas un conjunto de parámetros, que son funciones del tiempo en dinámica y toman valores constantes en el caso de estática, y los cuales tienen una interpretación geométrica tal como longitud, área, volumen, ángulo, coordenadas cartesianas rectangulares, coordenadas cilíndricas, etc. En lo sucesivo, la denominación general de coordenadas la usaremos en el sentido más amplio, equivalente a coordenadas generalizadas. La Figura 1.1 muestra dos sistemas mecánicos constituidos por barras rígidas y resortes, con posibles sistemas de coordenadas generalizadas, respectivamente.

x A

B 

A’ O

B’  O A’

A

Figura 1.1 Dos sistemas mecánicos compuestos por barras rígidas y coordenadas generalizadas posibles.

Conviene aclarar que también en la estática, las coordenadas dependen del tiempo. En estática las cargas externas se aplican gradualmente; la magnitud de las cargas varía desde cero, su valor inicial, hasta su valor final durante un lapso suficientemente largo para que las aceleraciones producidas sean pequeñas y se puedan despreciar, por lo tanto, las fuerzas de inercia. La ley de variación temporal de las cargas no es importante con tal de que sea gradual; el analista estático calcula el estado del sistema estructural (fuerzas internas, desplazamientos, tensiones, deformaciones...) correspondiente al instante final de la aplicación de las cargas; el tiempo figura como un parámetro sin importancia y generalmente se dice, como lo hemos apuntado antes, que el fenómeno estático no depende del tiempo.

4


1.2 SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS Sistemas discretos son aquéllos cuya configuración geométrica puede definirse a través de un número finito de coordenadas generalizadas; tales son los sistemas que están constituidos por subsistemas indeformables, es decir, por partículas y cuerpos rígidos, como los mostrados en la Figura 1.1. Sistemas continuos, en cambio, son aquéllos cuya configuración geométrica no puede definirse por un número finito de coordenadas generalizadas; la característica principal de los sistemas continuos es la presencia en ellos de elementos deformables, en los cuales se hace necesario el uso de funciones de la posición y del tiempo o sólo de la posición, para definir la configuración deformada de tales elementos. La Figura 1.2 muestra un sistema continuo constituido por una barra flexible; la posición de un punto genérico S sobre el eje de la barra se define por su abscisa x en la configuración no deformada de la barra; en la configuración deformada la posición de S se define por las componentes u(x) y v(x) de su desplazamiento. y, v A’ S’

S

v(x) A

O

x

x, u

u(x)

Figura 1.2 Viga flexible como ejemplo de un sistema continuo. Los desplazamientos u(x) y v(x) de la sección genérica no pueden definirse a través de un número finito de coordenadas.

La estática de sistemas continuos se rige por ecuaciones diferenciales en donde las variables independientes son las coordenadas espaciales; tratándose de una sola variable, tendremos ecuaciones diferenciales ordinarias; cuando hay más de una variable espacial, tendremos ecuaciones diferenciales a derivadas parciales. En la dinámica de sistemas continuos una variable independiente adicional es el tiempo y tales problemas se rigen siempre por ecuaciones diferenciales a derivadas parciales. En los sistemas discretos, por cuanto las coordenadas generalizadas ocurren en un número finito, la estática se rige por ecuaciones algebraicas y la dinámica por ecuaciones diferenciales ordinarias, en donde la variable independiente es el tiempo. Los sistemas discretos no existen en el mundo físico real; son sólo un modelo abstracto que, en algunos casos, pueden representar satisfactoria o convenientemente una situación real. Los sistemas continuos modelan más satisfactoriamente la realidad física, pero aún es necesario introducir hipótesis simplificativas en las leyes que rigen su comportamiento para poder llegar a la formulación de un modelo manejable matemáticamente.

1.3 SISTEMAS DISCRETOS. CONDICIONES DE VÍNCULO Consideremos un sistema mecánico discreto y un sistema de coordenadas asociado de N coordenadas, las cuales designaremos por r1, r2, ... ..., rN ; o, más sencillamente, por ri, ( i = 1, 2, ..., N ); se dice que tales coordenadas son independientes, cuando cada una de ellas puede tomar cualquier valor dentro de un conjunto infinito de valores admisibles, independientemente de los valores de las restantes


5

coordenadas. Si el conocimiento de los valores de las coordenadas ri, ( i = 1, 2, ... ..., N ), permite conocer, haciendo uso de la geometría, la posición de cada uno de los puntos del sistema mecánico, se dice que el sistema de coordenadas es completo. Si las coordenadas ri, (i = 1, 2, ... ..., N ), constituyen un sistema completo, pero no independiente, las mismas deben cumplir ciertas relaciones o condiciones de vínculo, las cuales pueden escribirse como relaciones finitas de la forma dada por la ecuación (1.1).

f i  r1 , r2 , ... ... , rN ; t



0 (1.1)

i  1, 2, ... ... , m También pueden existir condiciones de vínculo expresadas como relaciones infinitésimas no integrables de la forma: N

 g  r , r , ... j 1

ij

1

2

... , rN ; t  drj  g i  r1 , r2 , ... ... , rN ; t  dt  0 (1.2)

i  1, 2, ... ... , s en donde fi, gij, gi son funciones; t es el tiempo. Las relaciones (1.1) se llaman condiciones de vínculo holónomas y las (1.2), no holónomas; característica de estas últimas es su no integrabilidad, ya que si ello fuera posible se pudieran poner bajo la forma (1.1) y serían condiciones de vínculo holónomas. Las condiciones de vínculo no holónomas existen, por lo general, cuando las mismas expresan relaciones en donde entran las velocidades de ciertos puntos del sistema. Cuando todas las condiciones de vínculo son del tipo holonómico, se dice que el sistema mecánico es holónomo; la existencia de condiciones de vínculo no holónomas determina que el sistema sea no holónomo. Un sistema mecánico es esclerónomo si es holónomo y el tiempo no aparece en forma explícita en las condiciones de vínculo. Si de las m condiciones de vínculo (1.1) sólo m1, (m1  m), son linealmente independientes, se dice que hay m1 condiciones de vínculo efectivas; las restantes son condiciones aparentes de vínculo. En cuanto a las condiciones no holónomas de vínculo, también pueden separarse en s1 condiciones efectivas y s2 condiciones aparentes, ( s1 + s2 = s ). Las m1 condiciones efectivas de vinculación holónomas permiten escoger n coordenadas generalizadas independientes qi, ( i = 1, 2, ... ... , n ); n = N - m1. Cada coordenada ri se puede expresar como una función de las coordenadas generalizadas independientes y el tiempo ri  hi  q1 , q 2 , ... ... , q n ; t

 (1.3)

i  1, 2, ... ... , N

Las condiciones de vínculo no holónomas no permiten reducir el número de coordenadas generalizadas porque tales condiciones no están expresadas en forma finita.

6


Los casos de estática son, en general, holónomos ya que no existen velocidades importantes que son las magnitudes que entran en las condiciones no holónomas de vinculación. En nuestro caso, sólo nos ocuparemos de sistemas holónomos. Las coordenadas generalizadas q1, q2, q3, ... ..., qn las consideraremos como las componentes de un vector q en un espacio vectorial de dimensión n, el cual supondremos un vector columna, es decir, una matriz de n filas y una columna,  q1  q   2  .  q   .   .     q n 

el cual escribiremos algunas veces como una fila transpuesta para ahorrar espacio en la escritura: q  q1 q 2 ... ... q n  t

Como vectores bases que generan el espacio vectorial de dimensión n podemos tomar a: e 1  1 0 0 ... ... 0  e 2  0 1 0 ... ... 0 

t t

. . . e n  0 0 0 ... ... 1 t

en donde ei tiene todas sus componentes nulas, excepto la de orden i, la cual es igual a la unidad. Estos vectores bases son, por supuesto, linealmente independientes. Cualquier vector V se puede expresar bien como: V  V1 V2 ... ... Vn 1 Vn  t

o como: V  V1 e 1  V2 e 2  ... ...  Vn e n

según convenga.

La Figura 1.3 muestra otra vez los sistemas mecánicos de la Figura 1.1, usando la notación q para las coordenadas generalizadas y un modo más sencillo para su representación. La flecha recta representa la componente ortogonal, en la dirección y sentido de la flecha, del desplazamiento lineal (traslación) correspondiente; la flecha curva representa el giro o rotación alrededor del eje perpendicular al plano del dibujo. La representación se hace en la configuración inicial, no deformada, del sistema. Para mayor simplicidad, cada flecha se identifica sólo con el índice correspondiente de la coordenada q. Tal esquema de representación de las coordenadas lo usaremos cuando no presente ninguna confusión.


1

A

7

B 2

O 1

O A

Figura 1.3 Sistemas mecánicos de la Figura 1.1 con una representación más sencilla y más usual de las coordenadas generalizadas q.

1.4 DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES. GRADOS DE LIBERTAD Si un sistema mecánico tiene en un instante dado una configuración definida por las coordenadas generalizadas qi , (i  1, 2, ... ..., n), un desplazamiento virtual es aquél que puede ocurrir para llevar el sistema de su configuración instantánea, real, a una configuración virtual definida por unas nuevas coordenadas qi  qi , (i  1, 2, ... ..., n), en donde qi , (i  1, 2, ... ..., n) , son variaciones virtuales de las coordenadas, las cuales supondremos infinitésimas. El tiempo se supone congelado en un desplazamiento virtual, es decir, t = 0, lo cual es de importancia en sistemas no esclerónomos por aparecer el tiempo en forma explícita en las condiciones de vínculo. Característica importante de las variaciones virtuales de las coordenadas y del desplazamiento virtual correspondiente es su total independencia de los desplazamientos reales; entre los desplazamientos virtuales y los reales no existe ninguna relación. Tomaremos siempre desplazamientos virtuales compatibles con las condiciones de vínculo. Las condiciones holonómicas de vinculación quedan automáticamente satisfechas al definir un desplazamiento virtual mediante una variación virtual de las coordenadas generalizadas, no así las condiciones no holonómicas, ya que éstas no influyen en el número de coordenadas independientes. Se define como grados de libertad de un sistema mecánico o, con más precisión, número de grados de libertad, al número de variaciones virtuales independientes de las coordenadas generalizadas que definen el desplazamiento virtual más general del sistema. En los sistemas holónomos los grados de libertad coinciden con el número de coordenadas generalizadas independientes; no así en los sistemas no holónomos ya que las variaciones virtuales de las coordenadas generalizadas deben satisfacer las condiciones de vínculo no holónomas. En los sistemas no holónomos el número de grados de libertad es, por lo tanto, igual al número de coordenadas independientes menos el número de condiciones efectivas de vínculo no holónomas.

1.5 CARGAS GENERALIZADAS En general, en un sistema mecánico de tipo holonómico de n grados de libertad, la configuración deformada puede definirse a través de un sistema de coordenadas generalizadas qi , (i  1, 2, ... ..., n), de n componentes. El desplazamiento virtual más general se define por una variación virtual de las coordenadas generalizadas, es decir, qi , (i  1, 2, ... ..., n). Supondremos que el desplazamiento virtual es infinitésimo, aún cuando podrían considerarse desplazamientos virtuales de magnitud finita. El trabajo

8


realizado por las fuerzas externas en un desplazamiento virtual se le llama trabajo virtual, el cual puede expresarse como:  W  Q1  q1  Q2  q 2  ... ... Qn  q n

en donde los términos Qi , (i  1, 2, ... ..., n) dependen de las fuerzas externas que actúan en el sistema y también de la geometría; tales términos reciben el nombre de cargas generalizadas. Las cargas generalizadas representan o miden las fuerzas externas actuantes; a cada coordenada qi corresponde una carga generalizada Qi. Las coordenadas qi miden o representan la geometría deformada del sistema, son coordenadas geométricas; análogamente, las cargas generalizadas son coordenadas que representan o miden el sistema de fuerzas externas, son coordenadas de fuerza o estáticas en tal sentido. Según lo anterior, el sistema de coordenadas generalizadas es doble, comprende tanto las coordenadas geométricas qi como las coordenadas estáticas Qi, por ello lo llamaremos en lo sucesivo, sistema de coordenadas Q-q. Las coordenadas qi , (i  1, 2, ... ..., n) son independientes, por cuanto en su selección se toma en cuenta todas las condiciones de vínculo. Las coordenadas estáticas Qi , (i  1, 2, ... ..., n) también son independientes si la estructura es geométricamente estable, es decir, que cualquier desplazamiento o cambio de configuración geométrica que tenga la posibilidad de experimentar la estructura implique la deformación de algunos de sus elementos constitutivos; si la estructura es geométricamente inestable las coordenadas Qi no serían independientes ya que tendrían forzosamente que cumplir las condiciones de equilibrio correspondientes al trabajo virtual en aquellos desplazamientos como cuerpo rígido de la estructura o de alguna de sus partes. Cuando se trata el caso de análisis de una estructura geométricamente inestable pero en estado de equilibrio, se recurre generalmente al artificio de suponer la existencia de vínculos adicionales que estabilizan la estructura y que no generan reacciones.

1.6 SISTEMAS LINEALES Una estructura es un sistema lineal cuando las ecuaciones que rigen su comportamiento general son lineales. La linealidad comprende tanto el comportamiento físico del material constituyente desde el punto de vista de las relaciones tensión-deformación como la influencia de la geometría de deformación en las ecuaciones que rigen el comportamiento de la estructura. El material de Hooke es el prototipo de material elástico lineal, en el cual las relaciones tensióndeformación se expresan a través de relaciones lineales que comprenden los módulos de elasticidad; los coeficientes o módulos de elasticidad independientes son dos para el material isotrópico y aumentan cuando el material exhibe alguna anisotropía. La mayoría de los materiales de construcción (acero, aluminio, madera, ...) satisfacen aproximadamente la ley de Hooke hasta ciertos niveles de tensión. Algunos materiales (concreto, caucho, polímeros, ...) exhiben un comportamiento no lineal e inelástico a la vez. Si las deformaciones que experimenta una estructura y los desplazamientos correspondientes son pequeños comparados con las dimensiones de la misma, se puede despreciar la influencia de los desplazamientos en las ecuaciones de equilibrio de la estructura, es decir, se puede usar la geometría inicial, no deformada, de la estructura para plantear las ecuaciones de equilibrio; esto es lo que constituye la geometría lineal. Si por el contrario, las ecuaciones de equilibrio se plantean tomando en cuenta la configuración deformada de la estructura, estaríamos en presencia de una geometría no lineal, como es el caso del estudio de la estabilidad elástica del equilibrio de columnas y vigas-columnas. En esta obra supondremos, salvo que expresemos lo contrario, que el material es linealmente elástico, isotrópico, que obedece la ley de Hooke y que los desplazamientos y deformaciones son


9

infinitésimos y no influyen, por lo tanto, en las ecuaciones de equilibrio. Todo esto conduce a una teoría lineal de estructuras, la cual es manejable matemáticamente y para la cual rige el principio de superposición. El caso no lineal no es manejable cómodamente, sino en casos muy sencillos; es necesario recurrir a métodos aproximados de análisis numérico que la mayor de las veces suponen que la estructura se carga a intervalos de tiempo y que en cada intervalo el comportamiento es lineal para la carga aplicada en el mismo intervalo, pero que la ley de comportamiento puede variar de un intervalo a otro.

1.7 UN CASO DE GEOMETRÍA NO LINEAL A fin de ilustrar el concepto de linealidad geométrica, consideraremos el sistema mostrado en la Figura 1.4, el cual está constituido por dos barras rígidas de igual longitud, articuladas entre sí y restringidas por dos resortes de torsión y el apoyo fijo en el extremo A; el sistema está solicitado por cuatro fuerzas externas, como se muestra en la figura. y, v W2 k1

W4

k2 W3

A

B

W1 L

L

x, u

C

Figura 1.4. Sistema constituido por dos barras rígidas. Para definir la configuración más general del sistema hacen falta dos coordenadas generalizadas independientes, que hemos tomado como los ángulos que forman cada una de las barras con el eje de abscisas, como se muestra en la Figura 1.5. W2

W4 C’

y, v

W3

q2 B’

W1 q1 A

B

x,u

C

Figura 1.5. Configuración deformada del sistema y coordenadas generalizadas. Las componentes cartesianas del desplazamiento de un punto genérico, S(x,0), del sistema se obtienen como:   x (1  cos q1 ) u ( x)     L (1  cos q1 )  ( x  L) (1 cos q 2 )

0xL L  x  2L

(1.4)  x sen q1 v( x)    L sen q1  ( x  L) senq2

0xL L  x  2L

10


en donde u(x) y v(x) corresponden a las componentes de desplazamiento según los ejes x e y, respectivamente. Las ecuaciones (1.4) han sido calculadas, suponiendo que los desplazamientos pueden alcanzar cualquier valor finito, es decir, no están restringidos a valores infinitésimos. Consideremos ahora un desplazamiento virtual del sistema, el cual se puede definir en su forma más general como una variación virtual de las coordenadas generalizadas q1 y q2; tal variación virtual y, como consecuencia, el desplazamiento virtual correspondiente son de magnitud infinitésima y ocurren a partir de la configuración genérica definida por el valor de las coordenadas generalizadas, como se muestra en la Figura 1.6. y, v q2

q1

q2 q1 x, u A

B

C

Figura 1.6. Desplazamiento virtual más general del sistema.

Por tratarse de valores infinitésimos, las componentes del desplazamiento virtual pueden obtenerse como las diferenciales de las ecuaciones (1.4), dando como resultado:   x sen q1  q1   L sen q1  q1  ( x  L) sen q 2  q 2

 u ( x)  

0 xL L  x  2L

(1.5)  x cos q1  q1  L cos q1  q1  ( x  L) cos q 2  q 2

 v( x)  

0 xL L  x  2L

Particularizando las ecuaciones (1.5) para los puntos B y C, se tiene  u B   L sen q1  q1  v B  L cos q1  q1  u C   L sen q1  q1  L senq 2  q 2  v C  L cos q1  q1  L cos q 2  q 2

El trabajo virtual de las fuerzas externas en el desplazamiento virtual considerado es  W  W1 Lsenq1  q1  W2 Lcosq1  q1  W3 L(senq1  q1  senq 2  q 2 )  W4 L(cosq1  q1  cosq 2  q 2 )

Agrupando los términos que multiplican a q1 y q2, esta última expresión puede escribirse como  W  Q1  q1  Q2  q 2 Q1   W1 L sen q1  W2 L cos q1  W3 L sen q1  W4 L cos q1 Q2   W3 L sen q 2  W4 L cos q 2

(1.6)


11

en donde Q1 y Q2 son las cargas generalizadas. Estas cargas generalizadas dependen no sólo de las fuerzas externas, sino también de las coordenadas q1 y q2, es decir, de la geometría deformada del sistema. Esto es característica de una teoría de desplazamientos finitos y que dificulta la obtención de soluciones, aún tratándose de situaciones físicas muy sencillas como el sistema de la Figura 1.4. La dificultad se debe a la geometría no lineal, lo cual conduce a que el sistema se rija por ecuaciones no lineales, para cuya solución no existe una teoría que aborde el problema en forma general y sistemática.

1.8 CASO DE GEOMETRÍA LINEAL. SUPERPOSICIÓN DE DESPLAZAMIENTOS Y FUERZAS A fin de obtener un modelo matemático que pueda ser manejado en forma sencilla, es imprescindible hacer simplificaciones que conduzcan a una teoría cuya validez no será general sino limitada; tal es el caso de una teoría de desplazamientos infinitésimos o de primer orden, la cual analizaremos a continuación para el caso específico del sistema físico de la Figura 1.4. Si en las ecuaciones (1.4) sustituimos el seno y coseno que allí aparecen por sus desarrollos en serie u3  O(5) 6 u2 cos u  1   O(4) 2

(*)

sen u  u 

se obtiene:  x 2   2 q1  O(4) u ( x)    L q 2  x L q 2  O(4) 2  2 1 2  q13  x (q1  )  O(5) 6 v( x)   3 3 q  L (q  1 )  ( x L) (q  q 2 )  O(5) 1 2  6 6

0  x L L  x  2L

0  x  L L  x  2L

En una teoría de desplazamientos infinitésimos, se toma sólo hasta los términos de primer orden de estas últimas expresiones, es decir, u ( x)  0

0  x  2L

 x q1 v( x)    L q1  ( x L) q 2

0  x  L L  x  2L

Ahora los desplazamientos son funciones lineales de las coordenadas y rige, por lo tanto, el principio de superposición para ellos. (*)

La expresión O(n) representa el orden de la suma de los términos que se omiten en el desarrollo; n es el orden de magnitud referido a u, supuesto de orden unidad.

12


Estamos en presencia de una geometría lineal, lo cual simplifica mucho la teoría (*). Siguiendo con el problema que estamos considerando, los desplazamientos virtuales correspondientes a B y C serían:  uB  0  v B  L  q1

 uC  0  vC  L  q1  L  q 2

y el trabajo virtual de las fuerzas externas:

 W  W2 L  q1  W4 L ( q1   q 2 ) con lo cual las cargas generalizadas serían: Q1  W2 L  W4 L

(1.7)

Q2  W 4 L

Conviene observar que en el caso de desplazamientos infinitésimos las cargas generalizadas no dependen de las fuerzas W1 y W3, las cuales sí intervienen en el caso de desplazamientos finitos. Todo ocurre ahora en forma más sencilla. Como los desplazamientos virtuales no dependen del valor de las coordenadas generalizadas, pueden ser representados suponiendo la configuración original, no deformada, del sistema, como se hace en la Figura 1.5; más aún, en virtud de la linealidad de los desplazamientos con respecto a las coordenadas, y de los desplazamientos virtuales con respecto a las variaciones virtuales de las coordenadas, es posible y, más aún, conveniente, representar estados de desplazamiento que corresponden a valor unidad de una coordenada específica y valor nulo de las restantes; tales estados de desplazamiento aparecen en la Figura 1.6 y los llamaremos estados de desplazamiento elemental. El desplazamiento total, real o virtual, se obtiene superponiendo los estados de desplazamiento elemental, multiplicado cada uno de ellos por el valor de la coordenada correspondiente si se trata de desplazamientos reales, o por el valor de la variación virtual de la coordenada si se trata de desplazamientos virtuales. y, v B’

q2

C’

L (q1 + q2 )

q1 x, u A

B

C

Figura 1.5. Desplazamiento virtual más general del sistema en una teoría de desplazamientos infinitésimos. Conviene hacer notar que el valor unidad de la coordenada generalizada correspondiente a un estado de desplazamiento elemental debe considerarse como un valor infinitésimo y que los valores que toman los desplazamientos correspondientes, son simples factores que hay que multiplicar por los valores de las coordenadas o sus variaciones virtuales, según el caso, para obtener los desplazamientos, reales o virtuales. Sería un grave error considerar y tratar un estado de desplazamiento elemental como si (*)

Una teoría un poco más refinada sería una de segundo orden, en donde se toman en cuenta términos hasta de segundo orden.


13

fuera de desplazamientos finitos. Los estados de desplazamiento de la Figura 1.6 son simplemente, el mismo diagrama de desplazamientos infinitésimos de la Figura 1.5, en donde se toma q1 = 1 y q2 = 0 en un caso, y q1 = 0 y q2 = 1 en el otro. y, v B’

C’

1

L x, u

A

B C (a) Correspondiente a la coordenada q1

y, v C’ 1

L x, u

A

B C (b) Correspondiente a la coordenada q2

Figura 1.6. Estados de desplazamiento elemental. Si llamamos 1(x) y 2(x) las elásticas de desplazamiento v(x) correspondientes a los estados de desplazamiento elemental, es decir, x L

0 xL

0 xL

0 xL

1 ( x )  

 2 ( x)  

L  x  2L L  x  2L

la elástica correspondiente a valores genéricos, q1 y q2, de las coordenadas sería: v( x)  q11 ( x)  q 2  2 ( x)

No hemos hecho mención de la elástica de desplazamientos u(x), por cuanto es nula para el sistema de coordenadas cartesianas seleccionado, pero podría existir para otros ejes o para otro sistema mecánico. Las funciones 1(x) y 2(x) reciben el nombre de funciones de forma. Representan y definen la elástica o elásticas, según sea el caso, de los desplazamientos que ocurren en cada estado de desplazamiento elemental. De lo anterior se desprende que cuando queremos analizar un sistema mecánico y tomamos un sistema de coordenadas q1, q2, ... que definen el desplazamiento generalizado(*) de un número discreto de puntos del sistema, existen funciones de forma asociadas a cada coordenada que en su conjunto, y con el valor de las coordenadas, definen el desplazamiento de todos los puntos del sistema. En forma completamente análoga a los estados de desplazamiento elemental, se pueden construir sistemas de fuerzas externas que correspondan a valor unidad de una carga generalizada específica y (*)

La denominación desplazamiento generalizado corresponde a un desplazamiento absoluto o relativo, una componente de desplazamiento, una rotación o cualquier combinación de componentes de desplazamiento.

14


valor nulo de las restantes; tales estados de solicitación los llamaremos estados de carga elemental y aparecen representados en la Figura 1.7 para el sistema mecánico que estamos considerando. y 1/L

x A

B

C

(a) Correspondiente a la coordenada Q1 y 1/L

1/L

B

C

x A

(b) Correspondiente a la coordenada Q2

Figura 1.7. Estados de carga elemental. Los diagramas de carga elemental de la Figura 1.7 se construyen determinando las fuerzas externas que corresponden a las cargas generalizadas del caso. Si de las ecuaciones (1.7) despejamos W2 y W4 en función de Q1 y Q2, se obtiene: Q1 − Q 2 L Q2 W4 = L W2 =

De estas ecuaciones se pueden obtener los valores de W2 y W4 que corresponden a cada caso de carga elemental, haciendo Q1 = 1 y Q2 = 0 para el primer caso y Q1 = 0 y Q2 = 1 para el segundo.

1.9 IDENTIFICACIÓN DE COORDENADAS Consideremos una estructura cuya geometría deformada y estado de carga están representados mediante un sistema de coordenadas Q-q. Si consideramos que, a partir de una posición genérica de la estructura, ocurre un desplazamiento virtual definido por una variación virtual δq de las coordenadas geométricas, el trabajo virtual de las fuerzas externas, conforme con la definición de carga generalizada, es: δ W = δ q1 Q1 + δ q2 Q2 + ... ... + δ qn Qn = δqt Q

(1.8)


15

Si consideramos como desplazamiento virtual el estado de desplazamiento elemental correspondiente a la coordenada qm, es decir, q = em

qi

= 0

i  m

qm = 1 e introducimos estos valores en la ecuación (1.8), se obtiene como resultado: W = Qm es decir, el trabajo virtual de las fuerzas externas (fuerzas reales) en el desplazamiento virtual q = em es igual a la carga generalizada Qm. En forma análoga, si consideramos un sistema de fuerzas virtuales representado por una variación virtual Q de las coordenadas estáticas, se define como trabajo complementario, en este caso virtual, a la expresión W c = Q1 q1 + Q2 q2 + ... ...+ Qn qn (1.9) W c = Q t q Si consideramos como fuerzas virtuales al definido por el estado de carga elemental correspondiente a la coordenada Qm, es decir, Q = em

Qi = 0

i  m

Qm = 1 e introducimos estos valores en la ecuación (1.9), se obtiene como resultado: W c = qm es decir, el trabajo complementario virtual de las fuerzas que corresponden al estado de carga virtual Q = em en los desplazamientos reales de la estructura es igual a la coordenada geométrica qm. Resumiendo lo anterior, podemos decir que el estado de desplazamiento elemental q = em sirve para identificar y expresar la componente de carga generalizada Qm en función de las fuerzas externas mediante el trabajo virtual de tales fuerzas. Del mismo modo, el estado de carga elemental Q = em sirve para identificar y expresar la componente de coordenada generalizada qm en función de los desplazamientos físicos de la estructura a través del trabajo complementario virtual de tales fuerzas. Como ejemplos sencillos, calculamos para el sistema mecánico de la Sección 1.8, que aparece en la Figura 1.4, el trabajo virtual de las fuerzas externas en el desplazamiento virtual correspondiente al estado de desplazamiento elemental q = e2 (ver la Figura 1.6); se obtiene como carga generalizada: Q2 = W4 L Si ahora tomamos como sistema de fuerzas virtuales al estado de carga elemental Q = e2, (ver la Figura 1.7), el trabajo complementario virtual de estas fuerzas en los desplazamientos reales del sistema da como resultado la coordenada geométrica correspondiente

16


q2 

v  vB 1 1 vC  v B  C L L L

que identifica a q2 como ángulo de giro de la barra BC del sistema considerado. EJEMPLO ILUSTRATIVO 1.1 El sistema mecánico de la Figura 1.8 está compuesto por tres barras rígidas vinculadas entre sí y sustentadas por dos resortes y los apoyos mostrados. Seleccionar un sistema de coordenadas generalizadas Q-q, dibujar los estados de desplazamiento y carga elementales y expresar el desplazamiento de B, C y D así como las rotaciones de las barras en función de las coordenadas generalizadas. C 4L/5 k2 A

B k1 L

3L/5

D 3L/5

Figura 1.8 Sistema Mecánico. La Figura 1.9a muestra la deformación más general del sistema, la cual queda definida por los dos parámetros geométricos o coordenadas generalizadas señaladas en la figura; q 1 es la rotación de la barra AB y q2, la componente horizontal del desplazamiento de C; la Figura 1.9b muestra en forma convencional el sistema de coordenadas Q-q seleccionado. El sistema de coordenadas cartesianas Oxy nos servirá de referencia para medir las componentes u y v de desplazamientos. q2 C

2 C’

y, v

q1

B’

1

A

D

D’

B O

x, u (a) Deformada

(b) Sistema Q-q

Figura 1.9 Deformada del sistema y coordenadas Q-q.

La Figura 1.10a muestra el estado de desplazamiento elemental correspondiente a la coordenada q1; la barra AB rota la unidad alrededor de A; la barra BC experimenta una traslación L en la dirección del eje Oy; mientras que la barra CD rota 5/3 alrededor de E en sentido horario. La Figura 1.10b muestra los desplazamientos de B, C y D mediante flechas, convención que usaremos a menudo. La Figura 1.11 es similar a la 1.10, pero corresponde a la coordenada q2; en este estado la barra AB no experimenta desplazamiento; la barra BC rota 5/4 L alrededor de B en sentido horario; y la barra CD rota 5/4 L alrededor de F en sentido antihorario.


17

L

C’ L E C L B’ 1 A

L

4L/3

B

D’

D 4L/3

(a) Deformada

(b) Desplazamientos

Figura 1.10 Estado de desplazamiento elemental q = e1. F 1

4L/5 3/4

C

1 C’

3/4

4L/5 A

D’

D B

2 2

(a) Deformada

(b) Desplazamientos

Figura 1.11 Estado de desplazamiento elemental q = e2. Por superposición de los estados de desplazamiento elemental, podemos expresar las componentes de desplazamiento y rotaciones pedidas: uA  0

vA  0

 AB  q1

uB  0

vB  L q1

 BC  

uC  q2

vC  L q1 

uD  

4L q1  2 q2 3

3 q2 4

 CD

5 q2 4L 5 5   q1  q2 3 4L

vD  0

1

1

(a) Q = e1

(b) Q = e2

Figura 1.12 Estados de carga elemental. La Figura 1.12 muestra los dos estados de carga elemental, los cuales son obvios. Conviene notar que las fuerzas externas correspondientes a los estados de carga elemental no son únicas; es muy

18


sencillo determinar un estado de fuerzas externas que corresponda a determinados valores de la carga generalizada; si suponemos sólo fuerzas concentradas aplicadas en B, C y D en las direcciones de los ejes Ox y Oy como muestra la Figura 1.13, determinaríamos estas fuerzas satisfaciendo las ecuaciones que dan las magnitudes de las cargas generalizadas Q1  L W2  L W4  Q2  W3 

4L W5 3

(1.10)

3 W4  2 W5 4

W4 W3 W2 W5 W1

Figura 1.13 Régimen de carga externa.

Conocidas Q1 y Q2, el sistema de dos ecuaciones (1.10) permite determinar las fuerzas W; podemos dar valores arbitrarios a W1, W4 y W5, por ejemplo, y determinar W2 y W3 del sistema de ecuaciones. A título de ejemplo, la Figura 1.14 muestra tres regímenes distintos de fuerzas externas, cada uno de los cuales representa el estado de carga elemental correspondiente a la coordenada q2, como puede comprobar el lector; estos tres estados de fuerzas externas son equivalentes en el sentido de que corresponden a la misma carga generalizada, Q1 = 0 y Q2 = 1.

1

5 4

7/4 1

3

1

1 1/2

3/8

Figura 1.14 Tres representaciones distintas del estado de carga elemental Q = e2.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 1.2 La Figura 1.15 muestra el mismo sistema mecánico considerado en el Ejemplo Ilustrativo 1.1 y los estados de desplazamiento elemental que corresponden o, más bien, definen un sistema de coordenadas Q-q. Determinar los desplazamientos de B, C y D en términos de las coordenadas generalizadas y, del resultado, identificar q1 y q2; determinar los estados de carga elemental.


19

4/3 C

C’

C 4/3

B’



1

y, v



1 D

A

D’

A

B

4/3

D

B 4/3 x, u O

Deformada

Desplazamientos de B, C, D

(a) Estado de desplazamiento elemental q = e1 2/3

1/2 C’

1/2

2/3

C

C



1

B’ A

1

D

A

B

 D

B

Deformada

Desplazamientos de B, C, D

(b) Estado de desplazamiento elemental q = e2 Figura 1.15 Estados de desplazamiento elemental. El sistema posee dos grados de libertad y los desplazamientos de B, C y D están definidos por cuatro componentes de desplazamiento, vB, uC, vC y uD, las cuales no son independientes, deben cumplir dos condiciones de restricción que corresponden a los cambios de longitud de las barras BC y CD, los cuales deben ser nulos. Para cada barra escribiremos estas condiciones, usando las expresiones deducidas en el Apéndice 4. LBC  u C sen   (vC  v B ) cos  0 LCD  (u D  u C ) sen   vC cos  0

(1.11)

El lector puede comprobar que los desplazamientos correspondientes a los estados q = e1 y q = e2 cumplen las ecuaciones (1.11); en caso contrario no serían compatibles por producir cambio de longitud de las barras, y no tendría sentido continuar el problema. El desplazamiento de los puntos B, C y D se obtiene por superposición de los estados de desplazamiento elemental

20


uB = 0

vB = q1 + q2

4 2 uC = q1 + q2 3 3 4 uD = q1 3

1 vC = q2 2 vD = 0

De estos resultados podemos despejar q1 y q2 en términos de las componentes físicas de desplazamiento; existen varias posibilidades de hacerlo, una de ellas es:

q1 =

3 uD 4

q 2 = 2 vC

(1.12)

otra posibilidad es

q1 =

3 3 u D , q2 = v B − u D . 4 4

2 C

A

B

3/4

C

D

A

(a) Q = e1

B

D

(b) Q = e2

Figura 1.16 Estados de carga elemental. De las ecuaciones (1.12) podemos determinar los estados de carga elemental, sabiendo que el trabajo complementario virtual de las fuerzas del estado de carga virtual δQ = ei, en los desplazamientos reales del sistema, es igual a la coordenada qi. La Figura 1.16 muestra los dos estados de carga elemental; existen, naturalmente, otras representaciones de los mismos con fuerzas diferentes, que podríamos determinar con el mismo procedimiento usado en el Ejemplo Ilustrativo 1.1. EJEMPLO ILUSTRATIVO 1.3

La Figura 1.17 da los estados de carga elemental que definen un sistema de coordenadas Q-q para el mismo sistema mecánico considerado en los dos ejemplos ilustrativos anteriores. Determinar q1 y q2 en términos de los desplazamientos físicos de B, C y D y construir los estados de desplazamiento elemental.


C

C

1



y, v

0

1 

 A

21



1

B

D

A

B

D

x, u

(a) Q = e1

(b) Q = e2

Figura 1.17 Estados de carga elemental.

Las coordenadas generalizadas qi, son inmediatas, son iguales al trabajo complementario virtual de las fuerzas del estado de carga virtual Q = ei en los desplazamientos del sistema

q1  uC

q2  v B  uC

(1.13)

El estado de desplazamiento elemental q = e1 lo determinamos usando las ecuaciones (1.13) y (1.11), uC  1 vB  uC  0 3 4 uC  (v C  v B )  0 5 5 3 4 (u D  u C )  vC  0 5 5

La solución de estas ecuaciones es: vB   1

uC  1

vC  

7 4

uD 

10 3

Del mismo modo determinamos los desplazamientos correspondientes al estado q = e2; la Figura 1.18 muestra ambos estados de desplazamiento elemental. 7/4 C

1 1

C

1 A

1 B

10/3

D

A

(a) q = e1

Figura 1.18 Estados de desplazamiento elemental.

B

4/3

(b) q = e2

D

22


1.10 COMENTARIO FINAL Para finalizar este capítulo, diremos que una estructura cualquiera, cuando está solicitada por fuerzas, experimenta desplazamientos que la deforman. Para el análisis se recurre a un sistema de coordenadas generalizadas Q-q; las coordenadas geométricas q constituyen una representación matemática de los desplazamientos físicos que experimenta la estructura; las coordenadas estáticas Q constituyen, en forma análoga, una representación matemática del sistema de fuerzas externas que actúan en la estructura. Esto es de capital importancia en el análisis y conviene que el lector diferencie entre las componentes físicas de fuerzas y desplazamientos y las componentes de sus respectivas representaciones matemáticas a través del sistema Q-q. En muchos casos las componentes físicas y matemáticas coinciden, es decir, son las mismas, pero en otros, como hemos visto en los ejemplos considerados, son distintas; en el caso del sistema sencillo de la Sección 1.8, las coordenadas q1 y q2 son los giros físicos de las barras AB y BC, pero las cargas generalizadas Q1 y Q2 no coinciden con las fuerzas W1 a W4.

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA CHOW, T. L., Classical Mechanics, John Wiley, Nueva York, 1995. D’SOUZA, A. F. y V. K. GARG, Advanced Dynamics. Modeling and Analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, E. U. A., 1984. GOLDSTEIN, H., Classical Mechanics, Addison-Wesley, Reading, E. U. A., 1959. GREENWOOD, D. T., Classical Dynamics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, E. U. A., 1977. McCUSKEY, S. W., Introduction to Advanced Dynamics, Addison-Wesley, Reading, E. U. A., 1959.

PROBLEMAS 1.1 La Figura P1.1 muestra un sistema mecánico plano constituido por tres barras rígidas AB, BCD y EF, vinculadas entre sí y con la lámina tierra mediante articulaciones y resortes de comportamiento elástico lineal; k1, k2 y k3 son los coeficientes respectivos de rigidez. El sistema está solicitado por las cinco fuerzas mostradas. (a) Dibujar una configuración deformada del sistema, lo más general posible, y definirla con coordenadas generalizadas independientes. (b) Dibujar los estados de desplazamiento elemental. (c) Determinar y dibujar los estados de carga elemental. (d) Expresar los desplazamientos de B, C, D y E así como las rotaciones de las barras AB, BCD y EF en función de las coordenadas generalizadas. (e) Determinar el valor de la carga generalizada que corresponde a la solicitación externa dada.


23

W1 A

B

k1

k2

C

L W2 D F

M1

W3

k3 E W4

L

L

Figura P1.1 Sistema de tres barras rígidas.

1.2 Los estados de desplazamiento de la Figura P1.2, en donde no mostramos el resorte k3 para mayor claridad, definen un sistema de coordenadas Q-q para el sistema mecánico del Problema P1.1. (a) Determinar los desplazamientos de B, C, D y E en función de las coordenadas generalizadas. (b) Determinar y dibujar los estados de carga elemental. (c) Identificar las coordenadas generalizadas de tipo geométrico en términos de los desplazamientos físicos del sistema. (d) Determinar el valor de la carga generalizada para el estado de carga mostrado en la Figura P1.1. C’

1

2

B’ A

2 C

C

B A

B

D’ 2 D

D

F

1

F E

E

(a) q = e1 A

B

C

F

A

D E’ E

B

C

D 1

F E 1

(b) q = e2

Figura P1.2 Estados de desplazamiento elemental (continúa).

24


1 A

B

C’

A

B

1 C

C D’

1

D

D

F

1

F E

E

(c) q = e3

Figura P1.2 Estados de desplazamiento elemental (continuación).

1.3 La Figura P1.3 muestra los estados de carga elemental que definen un sistema de coordenadas Q-q para el mismo sistema físico considerado en los dos problemas anteriores. (a) Identificar las coordenadas generalizadas de tipo geométrico en términos de los desplazamientos físicos del sistema. (b) Determinar y dibujar los estados de desplazamiento elemental. (c) Expresar el desplazamiento de B, C, D y E así como las rotaciones de las barras AB, BCD y EF en función de las coordenadas generalizadas. (d) Determinar los valores que toman las cargas generalizadas para las solicitaciones externas mostradas en la Figura P1.1.

A

B

1 C

D

F

E

(a) Q = e1 1 A

B C

D

F

E 1

(b) Q = e2

Figura P1.3 Estados de carga elemental (continúa).


25

1 C A

B

F

D E

1

(c) Q = e3

Figura P1.3 Estados de carga elemental (continuación).

1.4 La Figura P1.4 muestra el mismo sistema mecánico considerado en los problemas anteriores, solicitado esta vez por cargas concentradas y distribuidas. Determinar el valor que toma la carga generalizada en cada uno de los sistemas Q-q usados en los Problemas 1.1 a 1.3.

W1

W2 C

A

B L/2 D

w

F E

W3

W4

Figura P1.4 Cargas externas que solicitan al sistema.

Análisis Estático de Estructuras_Lamar y Fortoul

Recommend Documents