ANALISIS SENSITIVITAS DAN DUALITAS
DISUSUN OLEH KELOMPOK III: BANGKIT IMAM SAPUTRA 606001080 ARDIANSYAH
60600108013
DEDI ISKANDAR
606001080
NUR SYAMSUL TSANI
60600108033
RABIAH
606001080
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI ALAUDDIN MAKASSAR 2011
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
informasi yang terdapat pada table simplekis akhir dapat kita gunakan utnuk menghitung range koefisien fungsi tujuan, harga bayangan, dan range nilai sisi kanan fungsi kendala. Analisis sensitifitas adalah studi tentang bagaimana perubahan penyelesaian optimal dari programasi linear sebagai akibat dari perubahan koefisien suatu variable keputusan Secara lebih khusus, analisis ini melihat tentang efek yang terjadi pada penyelesaian optimal bila terdapat perubahan pada koefisien fungsi tujuan dan nilai ruas kanan fungsi kendala. Oleh karena itu analisis sensitivitas sering juga disebut analisis pasca optimalisasi (post optimality analysis) karena analisis ini hanya bias dilakukan setelah penyelesaian optimal kasus programasi linear tercapai. Alasan utama dilakukannya analisis ini adalah dinamisasi dunia nyata. Artinya, kasuskasus dalam dunia nyata yg dipecahkan. Pada bagian ini akan kita lihat bahwa Dual mempunyai interpretasi penting yang dapat membantu manajer mencari jawab atas pertanyaan yang menyangkut alternatif-alternatif kegiatan dan nilai relatif masing-masing kegiatan. Kemampuan untuk memformulasikan dan menginterpretasikan kasus dual memberikan pemahaman yang mendalam terhadap kasus, sehingga dapat menjadi alat yang membantu untuk analisis dan komunikasi. Penyelesaian kasus programasi linear berikut formulasi yang dihasilkan, disebut primal. Setiap kasus maksimasi programisasi linear (primal) selalu mempunyai dual yang terkait. Artinya, ketika kita memecahkan suatu kasus, penyelesaian itu juga akan member penyelesaian bagi kasus lain. Dengan menggunakan penyelesaian dual dimungkinkan untuk memformalisasikan suatu kasus dalam konteks berbeda dan mendapatkan hasil yang sama.
B. Rumusan Masalah Adapun rumusan masalah dari makalah ini adalah sebagai berikut: 1. Penyelesaian masalah program linear dengan Analisis Sensitivitas 2. Penyelesaian masalah program linear dengan Dualitas
BAB II PEMBAHASAN A. Analisis sensitivitas informasi yang terdapat pada table simplekis akhir dapat kita gunakan utnuk menghitung range koefisien fungsi tujuan, harga bayangan, dan range nilai sisi kanan fungsi kendala. Analisis sensitifitas adalah studi tentang bagaimana perubahan penyelesaian optimal dari programasi linear sebagai akibat dari perubahan koefisien suatu variable keputusan Secara lebih khusus, analisis ini melihat tentang efek yang terjadi pada penyelesaian optimal bila terdapat perubahan pada koefisien fungsi tujuan dan nilai ruas kanan fungsi kendala. Oleh karena itu analisis sensitivitas sering juga disebut analisis pasca optimalisasi (post optimality analysis) karena analisis ini hanya bias dilakukan setelah penyelesaian optimal kasus programasi linear tercapai. Alasan utama dilakukannya analisis ini adalah dinamisasi dunia nyata. Artinya, kasuskasus dalam dunia nyata yg dipecahkan. Pada bagian ini akan kita lihat bahwa Contoh kasus pada U.D Shuma Hasil pengamatan pasar menunjukkan bahwa sepatu wanita dan sepatu anak mempunyai permintaan yang akan meningkat di masa-masa mendatang. Oleah karena itu, pimpinan perusahaan sepatu U.D Shuma memutuskan untuk berkonsentrasi pada produksi kedua jenis sepatu tersebut. Selanjutnya, pimpinan perusahaan ingin mengetahui berapa pasang masing2 jenis sepatu harus diproduksi supaya keuntungan yang diperoleh dari menjual sepatu-sepatu tersebut maksimum. Produksi untuk setiap sepatu yang dihasilkan meliputi tahap-tahap sebagai berikut : 1. Pengukuran dan pemotongan pola 2. Pengeleman dan pengeringan. 3. Pengeslepan Secara ringkas informasi waktu proses produksi untuk kedua jenis sepatu di tampikan pada table. Sementara kapasitas waktu dari tiap unit produksi ( yaitu banyaknya waktu dalam suatu hari yang disediakan oleh tiap unit produksi untuk tiap-tiap tahap produksi) besarnya adalah sebagai berikut : - 300 menit untuk pengukuran dan pemotongan pola. - 120 sda pengeleman dan pengeringan. sda pengeslepan. - 100
Jenis sepatu
Waktu produksi (menit) Pengukuran dan Pengeleman dan pengeslepan pemotongan pola pengeringan 10 3 2 2 2 2
Sepatu wanita Sepatu anak
Dalam rangka menentukan berapa pasang masing-masing jenis sepatu harus dihasilkan oleh perusahaan per hari supaya keuntungan yang diperoleh maksimum apabila tiap pasang sepatu wanita dijual dengan harga Rp 4.000 dan Rp 1000 untuk tiap pasang sepatu anak ? X1 = Sepatu Wanita X2 = Sepatu anak Primal = memaksimumkan Memaksimumkan 4000 X 1 + 1000 X2 keuntungan Kendala 10X 1 + 2X2 300 Dual = meminimkan sumber daya. 3X1 + 2X2 120 2X1 + 2X2 100 X1,X2 0 ketidaksamaan fungsi kendala pada model di atas kita ubah dulu menjadi bentuk persamaan, dengan cara menambahkan variable slack, S. jadi, 10X1 + 2X2 + S1 300 3X1 + 2X2 + S2 120 2X1 + 2X2 + S3 100 Dalam metode simpleks, suatu variable yang tidak berpengaruh terahadap nilai persamaan ditulis dengan koefisien nol. Oleh karena variable slack tidak membawa perubahan pada fungsi tujuan, maka variable tersebut dapat dimunculkan pada fungsi tujuan dengan koefisien nol. Jadi, 4000 X1 + 1000 X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 10X1 + 2X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 300 3X1 + 2X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 120 2X1 + 2X2 + 0S1 + 0S2 + 1S3 100 X1,X2,S1,S2,S3 = 0 Kombinasi Produk
C j
4000
1000
0
0
0
Kuantitas
X1 X2 S1 S2 S3 S1 0 10 2 1 0 0 300 S2 0 3 2 0 1 0 120 S3 0 2 2 0 0 1 100 C j menunjukkan besar keuntungan per unit variable yang ada dalam kolom kombinasi produk.
Z j = mengalikan elemen2 dalam kolom C j dengan elemen2 dalam kolom variable yang bersangkutan dan kemudian menjumlahkannya. Z1 = 0(10) + 0(3) +0(2) = 0 Dst C j – Z j = 4000-0 = 4000 Dst Kombinasi Produk
C j
S1 S2 S3
0 0 0 Z j CJ – Z j
Kombinasi Produk
C j
S1 S2 S3
0 0 0 Z j CJ – Z j Kombinasi Produk
4000
1000
0
0
0
Kuantitas
X1 10 3 2 0 4000
X2 2 2 2 0 1000
S1 1 0 0 0 0
S2 0 1 0 0 0
S3 0 0 1 0 0
300 120 100 0
4000
1000
0
0
0
Kuantitas
X1 10 3 2 0 4000
X2 2 2 2 0 1000
S1 1 0 0 0 0
S2 0 1 0 0 0
S3 0 0 1 0 0
300 120 100 0
C j 0 0 0 Z j
Rasio 300/10= 30 120/3= 40 100/2 = 50
4000
1000
0
0
0
Kuantitas
X1 1 3 2
X2 2/10 2 2
S1 1/10 0 0
S2 0 1 0
S3 0 0 1
30 120 100
4000
1000
0
0
0
Kuantitas
X1 1 0 2
X2 2/10 14/10 2
S1 1/10 -3/10 0
S2 0 1 0
S3 0 0 1
30 30 100
CJ – Z j Kombinasi Produk
C j 0 0 0
Z j CJ – Z j
Kombinasi Produk X1 S2 S3
C j 4000 0 0 Z j CJ – Z j
4000
1000
0
0
0
X1 1 0 0
X2 2/10 14/10 16/10
S1 1/10 -3/10 -2/10
S2 0 1 0
S3 0 0 1
Kuantitas 30 30 40 120.000
Kombinasi Produk
C j
X1 S2 S3
Kombinasi Produk
4000 0 0 Z j CJ – Z j
C j
X1 S2 S3
4000 0 0 Z j CJ – Z j Kombinasi Produk
1000
0
0
0
Kuantitas
X1 1 0 0 4000 0
X2 2/10 14/10 16/10 800 200
S1 1/10 -3/10 -2/10 400 -400
S2 0 1 0 0 0
S3 0 0 1 0 0
30 30 40 120.000
4000
1000
0
0
0
Kuantitas
Rasio
X1 1 0 0 4000 0
X2 2/10 14/10 16/10 800 200
S1 1/10 -3/10 -2/10 400 -400
S2 0 1 0 0 0
S3 0 0 1 0 0
30 30 40 120.000
30/(2/10)=150 30/(14/10)=300/14 40/(16/10)=400/16
C j
X1 X2 S3
4000
4000 1000 0 Z j CJ – Z j
4000
1000
0
0
0
Kuantitas
X1 1 0 0 4000 0
X2 0 1 0 1000 0
S1 1/7 -3/14 38/70 2500/7 -2500/7
S2 -1/7 10/14 -8/7 1000/7 -1000/7
S3 0 0 1 0 0
180/7 150/7 40/7 124.300
Karena C j – Z j lebihkecil sama dengan nol, maka penyelesaian optimal tercapai. Dengan demikian , tujuan memaksimumkan keuntungan tercapai dengan memproduksi 25,7 X 1 dan 21,4 X2 dengan keuntungan maksimum yang diperoleh sebesar Rp. 124.300,-.
Table simpleks akhir kasus perusahaan U.D Shuma adalah seperti terlihat d bawah ini. Tabel simpleks ini menunjukkan bahwa penyelesaian sudah optimal karena semua nilai pada baris C J – Z j lebih kecil sama dengan nol. Adanya perubahan pada salah satu koefissien fungsi tujuan akan menyebabkan nilai CJ – Z j untuk variable non dasar menjadi positif, sehingga penyelesaian menjadi tidak optimal lagi. Bila hal ini terjadi, maka dibutuhkan tambahan iterasi untuk menemukan penyelesaian optimal nila C J untuk semua variable non dasar yang memenuhi C J – Z j 0. Kombinasi Produk X1 X2 S3
C j
4000
1000
0
0
0
Kuantitas
4000 1000 0 Z j CJ – Z j
X1 1 0 0 4000 0
X2 0 1 0 1000 0
S1 1/7 -3/14 38/70 2500/7 -2500/7
S2 -1/7 10/14 -8/7 1000/7 -1000/7
S3 0 0 1 0 0
180/7 150/7 40/7 124300
Untuk melihat proses perhitungan range optimalisasi ini kita misalkan nilai koefisien X 1 (keuntugan perunit sepatu wanita) sebesar c 1 (bukan 4000), sehingga kita dapatkan table simpleks akhir sbb:
Kombinasi Produk
C j
c1
1000
0
0
0
Kuantitas
X1 X2 S3
C1 1000 0 Z j
X1 1 0 0 c1
X2 0 1 0 1000
S2 -1/7 10/14 -8/7 -1/7c1+1000/14
S3 0 0 1 0
180/7 150/7 40/7 180/7c 1+150000/7
CJ – Z j
0
0
S1 1/7 -3/14 38/70 1/7 c13000/14 -1/7 c13000/14
1/7c1-1000/14
0
Dari table kita mendapatkan 1/7c1+3000/14 0 (-2c1 + 3000)/14 2c1 3000 C1 15000 Dan 1/7c1-1000/14 0 (-2c1 - 1000)/14 2c1-10000 2c1 1000 C1 5000 Range optimalitas yang kita peroleh adalah 1500 c1 Berdasarkan nilai range optimalitas c 1 ini, manajer dapat menggunakannya untuk memperoleh informasi apakah penyelesaian masih optimal atau tidak. Misal Karena naiknyaharga bahan mentah, nmenyebabkan keuntungan per unit sepatu wanita turun menjadi Rp 2000 (masih di dalam range optimlitas). Hasil iterasi terakhir ini, seperti yang terlihat pada table di bawah, masih optimal ( semua nilai pada baris C j – Z j 0. Sedang keuntungan total yang diperoleh menjadi Rp2000(25,7) + Rp1000(21,5) = Rp72.900 Kombinasi Produk X1 X2 S3
C j
2000
1000
0
0
0
Kuantitas
2000 1000 0
X1 1 0 0
X2 0 1 0
S1 1/7 -3/14 38/70
S2 -1/7 10/14 -8/7
S3 0 0 1
180/7 150/7 40/7
Z j CJ – Z j
2000 0
1000 0
1000/14 -1000/14
6000/14 -6000/14
0 0
72900
B. Dualitas Dual mempunyai interpretasi penting yang dapat membantu manajer mencari jawab atas pertanyaan yang menyangkut alternatif-alternatif kegiatan dan nilai relatif masing-masing kegiatan. Kemampuan untuk memformulasikan dan menginterpretasikan kasus dual memberikan pemahaman yang mendalam terhadap kasus, sehingga dapat menjadi alat yang membantu untuk analisis dan komunikasi. Penyelesaian kasus programasi linear berikut formulasi yang dihasilkan, disebut primal. Setiap kasus maksimasi programisasi linear (primal) selalu mempunyai dual yang terkait. Artinya, ketika kita memecahkan suatu kasus, penyelesaian itu juga akan member penyelesaian bagi kasus lain. Dengan menggunakan penyelesaian dual dimungkinkan untuk memformalisasikan suatu kasus dalam konteks berbeda dan mendapatkan hasil yang sama. Kalau primal berkaitan dengan memaksimumkan kontribusi dari kombinasi produk yang dihasilkan, maka dual berkaitan dengan evaluasi waktu yang digunakan dalam unit-unit produksi untuk menghasilkan produk-produk dimaksud. Dalam metode simpleks, dual disebut juga sebagai penyelesaian persamaan menurut kolom. Formulasikan kasus dual dapat diturunkan dari kasus primal sebagai berikut: - Dual merupakan kasus minimisasi dan karenanyamempunyai kendala - Bila primal mempunyai variabel keputusan, maka dual akan mempunyai n kendala. Kendala pertama dual berkaitan dengan variabel keputusan pertama (X 1) dalam primal, sedang kendala kedua dalam dual berkaitan dengan variabel X 2 dalam primal, dan seterusnya. - Bila primal mempunyai m kendala, dual akan mempunyai m variabel keputusan. Variabel keputusan pertama dual (u 1) berkaitan dengan kendala perama dari primal. Varibel keputusan kedua dual (u 2) berkaitan dengan kendala kedua dari primal, dan seterusnya. - Nilai-nilai sisi kanan fungsi kendala primal mennjadi nilai-nilai koefisien fungsi tujuan dual. - Koefisien fungsi tujuan primal menjadi nilai ruas kananfungsi kendala dalam dual. - Koefisien-koefisien fungsi kendala ke-i varibel primal menjadi koefisienkoefisien dalam kendala ke-i dari dual. - Dual seperti halnya primal, mempunyai syarat non negativity.
Variabel suplus = penambaham pada persamaan simpleks untuk memudahkan penyelaseaiannya tetapi tidak bernilai sma skali. Variabel artificial = Variabel semu yang memiliki fungsi yng sma dengna variable surplus (s)
Berdasarkan persyaratan umum tentang dual diatas, kita bias menurunkan formulasi untuk kasus perusahaan U.D Shuma. Primal : Memaksimumkan 4000X 1 + 1000 X2 Kendala 10X 1 + 2X2 300 Note: pada dual f. tujuan menjadi ruas kanan pada F. 3X1 + 2X2 120 dual, kendala kolom menjadi kendala baris pada dual 2X1 + 2X2 100 dari primal, dan ruas kanan pada primal menjadi X1,X2 0 fungsi tujuan pada dual Dual : Meminimumkan Y = 300u 1 + 120u2 + 100u3 Kendala 10u1 + 3u2 + 2u3 4000 2u1 + 2u2 + 2u3 1000 u1,u2,u3 0 Sekarang kita mencoba menyelesaikan kasus dual ini dengan cara mengalikan fungsi tujuan dengan -1, kemudian memasukkan variabel surplus dan variabel artificial untuk mengubah formulasi menjadi bentuk yang dapat dituliskan ke dalam table.
M = Bilangan Besar, berfungsi dalam pembentukan tabel
Kombin asi Produk a1 a2
Memaksimumkan – Y = -300u1 – 120u2 – 100u3 + 0S1 + 0S2 – Ma1 – Ma2 Kendala 10u1 + 3u2 + 2u3 -S1 + a1 = 4000 2u1 + 2u2 + 2u3 - S2 + a2= 1000 u1,u2,u3,S1,S2,a1,a2 0 Tabel simpleks yang diturunkan dari formulasi tersebut adalah : -M -M -300 -120 -1000 0 0 Kuantita C j s u1 u2 u3 S1 S2 a1 a2 -M 10 3 2 -1 0 1 0 4000 -M 2 2 2 0 -1 0 1 1000 Z j -12M -5M -4M M M -M -M -5000M CJ – -M -M 0 0 Z j 300+12 120+5 100+4 M M M
Hasil itersi pertama : Kombin asi Produk a2 u1
-M C j -M -300 Z j
CJ – Z j
-M
-300
-120
-1000
0
0
u1 0 1 -300
u2 -7 1 300+7 M -4207M
u3 -8 1 300+8 M -4008M
S1 -1 0 M
S2 5 -1/2 150+5 M
a1 1 0 -M
a2 -5 1/2 150+5 M
-M
150+5 M
0
150+5 M
0
Kuantitas
-1000 500 15000+1000 M
Hasil iterasi kedua : Kombin asi Produk u2 u1
-M C j -120 -300 Z j CJ – Z j
-300
-120
-1000
0
0
u1 0 1 -300
u2 1 0 -120
u3 8/7 -1/7 -660/7
S1 1/7 -1/7 180/7
S2 -5/7 3/14 150/7
a1 -1/7 1/7 -180/7
0
0
-40/7
180/7
150/7
180/7M
-M Kuantita s a2 5/7 -3/14 -150/7M 150/7-M
142,86 357,14 124300
Penyelesaian di atas sudah mencapai optimal karena semua nilai pada baris C J – Z j 0. Nilai fungsi tujuan yang kita peroleh bertanda negative, maka penyelesaian dual fungsi tujuan harusalah - (-124300) atau 124300. Hasil ini sama dengan yang kita peroleh dari penyelesaian optimal primal. Hal ini berlaku untuk semua kasus dual, yaitu bila primal mempunyai penyelesaian optimal, maka dual mempunyai penyelesaian optimal dan sebaliknya. Nilai fungsi tujuan optimal dari keduanya akan sama. Kalau kita perhatikan nilai penyelesaian optimal kasus dual adalah u 1 = 357,14, u2 = 142,86, u3 = 0. Ternyata bahawa nilai-nilai tersebut sama dengan harga bayangan dan nilai dual adalah satu dan sama. Berarti nilai optimal variabel dual menyatakan juga nilai tambahan perunit waktu (sumber daya) atau mengidentifikasi kontribusi ekonomi sumber daya dalam kasus primal.
Cari Kasus bikin primal dan dual……. Kerja2..
