BAB 1 PENDAHULUAN 1.1
Latar Belakang Pada Pada masa masa sebe sebelu lum m adan adany ya fils filsaf afat at mate matema mati tika ka,, untu untuk k meng mengat atas asii
terjadinya terjadinya kontradiksi kontradiksi salah satu caranya caranya adalah dengan melenyapkan melenyapkan subyek subyek penyebab terjadinya kontradiksi tersebut. Agar filsafat Pythagoras all is number tetap tetap suci suci dan dan terja terjaga ga,, maka maka Hipp Hippasu asus, s, seba sebaga gaii pene penemu mu 2 yang yang meru merupa paka kan n bilangan irasional dan potensial untuk merusak filsafat Pythagoras, perlu untuk dibiarkan menjemput maut di tengah laut. Kontradiksi yang dimuculkan Hippasus dalam sistem bilangan rasioal yang dibangun Pythagoras, saat ini tidak perlu diselesaikan diselesaikan secara berdarah. berdarah. Harus dikedepankan dikedepankan penyelesaian penyelesaian yang beradab. beradab. Oleh karena itu, perlu adanya sebuah sistem, dan itu adalah filsafat matematika, supa supaya ya peng pengeta etahu huan an matem matemati atiss mene menemp mpat atii posi posisi si yang yang secar secaraa sistem sistemati atiss mempunyai kebenaran yang terjaga dan terbebas dari berbagai kontradiksi. Filsafat matematika bersifat pragmatikeklektik, artinya perbedaan aliran filsa filsafat fat tidak tidak haru haruss menim menimbu bulk lkan an pera perang ng senja senjata ta sepe sepert rtii yang yang terja terjadi di pada pada perbedaan mad!hab politik, tetapi cukup diselesaikan dengan perang pena, polemik dan ber"acana. #engan bercermin pada filsafat matematika, pekerja matematika $tidak harus matematika"an% dapat meyakini apakah selama ini dan saat ini telah bekerja pada arah yang benar. &'P ( )olume * +omor 2, Oktober 2Artikel ini ditulis dengan tujuan berbagi informasi mengenai topik lama yang yang kurang kurang popule populerr dalam dalam matemat matematika ika,, serta serta tidak tidak terlalu terlalu dikemb dikembang angkan kan di ndonesia. Artikel ini disusun untuk menja"ab permasalahan seputar upayaupaya apa yang yang perlu perlu dilaku dilakukan kan guna guna mengat mengatasi asi terjadi terjadiny nyaa krisis, krisis, kontrad kontradiks iksii dan paradok dalam matematika serta menja"ab pertanyaan landasan filsafat matemat matematika ika mana mana yang yang saat ini banya banyak k diguna digunakan kan untuk untuk membel membelajar ajarkan kan dan meng mengem emba bang ngka kan n
mate matema mati tika ka..
/erk /erkai aita tan n
1
deng dengan an
perm permas asal alah ahan an
pert pertam amaa
dipaparkan aliran filsafat matematika platonisme, logisisme, intuisionisme dan falibilisme. /erkaitan dengan permasalahan kedua, secara khusus artikel ini fokus pada pembahasan mengenai filsafat matematika formalisme. Artikel ini dapat dipandang sebagai suatu kontribusi kecil dalam khasanah matematika dan sebagai artikel yang sangat a"al, isi artikel sekedar mengingatkan dan menyegarkan kepada pembaca lama tetapi juga memperkenalkan aliranaliran filsafa filsafatt dalam dalam matemat matematika ika kepada kepada pembaca pembaca baru, baru, bah"a bah"a yang yang demiki demikian an itu memang memang ada. ada. tulah tulah tujuan tujuan penuli penulisan sannya nya.. Pembaca Pembaca dapat dapat memetik memetik berbag berbagai ai pengetahuan berharga dari tulisan ini. Pada bagian akhir diberikan paparan naratif ketidaktepatan filsafat formalisme sebagai fondasi untuk membangun matematika.
1.2 Rumusan Masalah 1. Apa yang anda anda ketahui ketahui tentang tentang aliran lsa!at lsa!at matemati matematika ka l"gisisme # 2. Apa yang anda anda ketahui ketahui tentang tentang aliran lsa!at lsa!at matemati matematika ka anal"g !"rmalisme # $. Apa yang anda anda ketahui ketahui tentang tentang aliran lsa!at lsa!at matemati matematika ka intuisi"nisme # %. Apa yang anda anda ketahui ketahui tentang tentang aliran lsa!at lsa!at matemati matematika ka k"nstrukti&isme # 1.$ 'u(uan Pe Pem)ahasan 1. Untuk Untuk mengetahui mengetahui tentang tentang aliran aliran lsa!at lsa!at matemati matematika ka l"gisisme. 2. Untuk Untuk mengetahui mengetahui tentang tentang aliran aliran lsa!at matema matematika tika anal"g anal"g !"rmalisme. $. Untuk Untuk mengetahui mengetahui tentang tentang aliran aliran lsa!at lsa!at matemati matematika ka intuisi"nisme. %. Untuk Untuk mengetahui mengetahui tentang tentang aliran aliran lsa!at lsa!at matemati matematika ka k"nstrukti&isme.
2
BAB ** PEMBAHA+AN 2.1 Aliran-ali Aliran-aliran ran Filsafat Filsafat Matemat Matematika ika Dalam a)ad 2, ini studi mengenai si!at alami dari matemati matematik k menum)u menum)uhkan hkan $ mad-a) mad-a) landasan landasan matemati matematik k yang yang terk terken enal al deng dengan an nama nama l"gi l"gisi sism sme e !"rm !"rmal alis isme med dan an intuiti"nisme.1Menu Menuru rutt Hers Hers /100 /100 arus arus utam utama a lsa! lsa!at at matematika adalah plat"nisme l"gisisme !"rmalisme dan intuiti"ni intuiti"nisme sme dan k"nstr k"nstrukti&i ukti&isme. sme. Dalam tahap tahap ini ada % aliran aliran yang yang akan akan di(ela di(elask skan an yaitu yaitu l"gisi l"gisism sme e !"rma !"rmalis lisme me intuiti"nisme dan k"nstrukti&isme. k"nstrukti&isme.2 1. MadMad-a) a) l"gis l"gisis isme me MadMad-a) a) l"gi l"gisi sism sme e
dipe dipel" l"p" p"ri ri
"leh "leh
lsu lsu!!
*ngg *nggri ris s
0ussel elll mengem)angkan Bertrand Bertrand Arthur Arthur 3illiam 3illiam Russell. ussell.$0uss kajian yang dilakukan Frege dan juga #edekind $*1**-*3 % adalah salah satu matematika"an besar abad *- yang memberi sumbangan yang sangat penting dan berguna sepanjang !aman tentang teori bilangan dan aljabar aljabar $ 0eck, 2** %. Frege dipandang dipandang sebagai filsof pendiri aliran ini.
Pada ada tahu tahun n 10 10,$ ,$ ter) ter)it itla lah h )uk )uku )eli )eliau au / Rus usse sell ll The Partici articiple ples s of Mathem Mathemat atics ics yang yang )erp )erpeg egan ang g pada pada pendapat pendapat )ah4a )ah4a matemat matematik ik murni murni semata5m semata5mata ata terdiri terdiri atas deduksi5d deduksi5deduks eduksii dengan dengan prinsip5p prinsip5prinsi rinsip p l"gika l"gika dari prinsip5p prinsip5prins rinsip ip l"gika. l"gika. Dengan Dengan demikian demikian matemat matematik ik dan l"gi l"gika ka meru merupa pak kan )ida )idang ng yang yang sama sama karen arena a selu seluru ruh h k"nsep dan dalil matematik dapat diturunkan dari l"gika. 7upersukses,8ogyakarta,*-19,hlm. 9 14he 5iang 6ie,Filsafat 'atematik,Penerbit 7upersukses,8ogyakarta,*-19,hlm.
2Hardi 7uyitno,Filsafat 'atematika,:ni;ersitas +egeri 7emarang,2*<, hlm. *12 7upersukses,8ogyakarta,*-19,hlm. 9 $4he 5iang 6ie,Filsafat 'atematik,Penerbit 7upersukses,8ogyakarta,*-19,hlm.
$
Dalam Dalam se)uah se)uah karya karya tulis tulis lainny lainnya a Russ ussell ell menega menegask skan an hu)u hu)ung ngan an anta antara ra mate matem matik atik dan dan l"gi l"gik ka itu itu se)a se)aga gaii )erikut6 “But both have developed in modern times: logic has becomes mathematical and mathematics has become more more logi logika kal. l. The The cons conseq eque uenc nce e is that that it has has now now become wholly impossible to draw a line besween the two; in fact, the two are one. The dier as boy and man:
logic
is
the youth
of
mahe
matics
and
mathematics is the manhood of logic.! /'etap /'etapii
kedua5d kedua5duany uanya a )erkem)a )erkem)ang ng dalam -aman -aman
m"dern 6 l"gika telah men(adi le)ih )ersi!at matematis dan matematik men(adi le)ih l"gis. Aki)atnya ialah )ah4a kini kini men( men(ad adii sepe sepenu nuhn hnya ya tak tak mung mungki kin n untu untuk k mena menari rik k suatu garis di antara keduanya7 sesungguhnya dua hal itu merupakan satu. Mereka )er)eda seperti anak dan "rang de4asa 6 l"gika merupakan masa muda dari matematik dan matematik merupakan masa de4asa dari l"gika.% A"alnya logika dan matematika lahir dalam konteks yang sangat berbeda, tetapi perkembangan selanjutnya matematika mate matika semakin logis dan logika logika matema matematis tis dan tidak tidak ada garis garis pemisah pemisah antara antara logika logika dengan dengan matematika $Kattsoff *-<-%. 'enurut Frege, sifatsifat sistem bilangan dapat direduksi ke dalam proposisipropo proposisiproposisi sisi logika. logika. Frege menegaskan dengan sangat bah"a matematika adalah deskripsi dari suatu dunia ideal. 'enuru 'enurutt Frege, Frege, matemat matematika ika memerlu memerlukan kan suatu suatu landasa landasan n dalam dalam suatu suatu bahasa logis, dalam rangka untuk melindungi intuisi yang tidak perlu, yang dapat masuk penalaran matematis dan membuat kerancuan dalam buktibukti. a menginginkan buktibukti yang tersusun dari rangkaian penalaran yang jelas dan tanpa gap. Hukum dasar Frege untuk 7upersukses,8ogyakarta,*-19,hlm. 93 %4he 5iang 6ie,Filsafat 'atematik,Penerbit 7upersukses,8ogyakarta,*-19,hlm.
%
melengkapi reduksi dari matematika ke logika. Frege mengatur untuk menurunka menurunkan n prinsippri prinsipprinsip nsip aritmetika aritmetika Peano dari hukum dasardasar dasardasar dari suatu system logika. Hukum dasar Frege, = Basic = Basic Law V > ialah =?@ F@BC?@6@ F@BC?@6@B B D
@$F@D6@%> @$F@D6@%> yang artinya artinya himpun himpunan an Fs identik identik dengan dengan
himpunan 6s jika dan hanya jika Fs sama dengan 6s. a menurunkannya secara mulus, akan tetapi tak dapat dipertahankan. dipertahankan. Frege menyandark menyandarkan an diri pada satu prinsip yang tidak menjadi prinsip yang logis. 0ussell $*- $*-2% 2% menu menunj njuk ukan an bah" bah"aa
Freg FregeE eEss /asi /asicc
5a" 5a" ) meng mengan andu dung ng
kontrad kontradiks iksi. i. Alasan Alasan yang yang dikemu dikemukak kakan an oleh oleh 0ussell 0ussell kemudi kemudian an hari hari dikenal sebagai Paradoks 0ussell. 0ussell $*-*-% menyatakan bah"a The comprehensiv comprehensivee class we are considering, considering, which is to embrace everything, must to embrace itself as one of its member. In other words, if there is such a thing as “everything”, then “everything” is somethin, and is a member of class “everything”. But a normally a clas classs is not not a memb member er itse itself lf.. an! an!in ind, d, for for e"am e"ampl plee is not not a man.#orm now a assemblage of all clashes which are not members of themselves. This is a class $ is it a member of this itself or not % If it is, it is one of those clashes there are not members of themselves, i.e, it is not a member of itself. If it is not, it is not one of those classes that are not members of themselves, i.e it is member of itself. Thus of the two hypotheses & that it is, and that it is not, a member of itself & each implies its contradictory. 'enurut 0ussell, prinsip logika yang digunakan oleh Frege tidak mencuk mencukupi upi untuk untuk melaku melakukan kan penalar penalaran an dedukt deduktif if bagi bagi semua semua hukum hukum hukum hukum dasar dasar aritmet aritmetika ika.. #rege's #rege's Basic Law V memerlukan hubungan dengan dengan semua hukum hukum yang yang ada dalam dalam matemat matematika ika,, ada suatu suatu kelas kelas entitas matematika yang hukum tersebut berlaku. 7elanjutnya, hasil kerja Freg Fregee oleh oleh 0usse 0ussell ll dan dan hite hitehe head ad dike dikemb mban angk gkan an lebih lebih lanju lanjutt dan dan hasilnya
dituangkan
dalam
buku (rincipia
athematica athematica yang
berkesimpulan bah"a matematika adalah perluasan dari logika dan 8
seluruh seluruh aritmetika aritmetika dapat direduksi direduksi ke logika $0ussell, $0ussell, *-2%. *-2%. 0ussell melalui melalui cara yang yang berbed berbedaa berusa berusaha ha meredu mereduksi ksi matemat matematika ika menjad menjadii logika. Aliran logisisme memiliki dua dalil, yaitu pertama adalah =konsep konsep konsep matemat matematika ika dapat dapat dituru diturunka nkan n konsep konsepko konsep nsep logika logika melalu melaluii definisi definisi yang eksplisit> dan yang kedua adalah =teoremateorem =teoremateoremaa dalam matemat matematika ika dapat dapat dituru diturunka nkan n dari dari aksiom aksiomaak aaksio sioma ma logika logika dengan dengan sematamata sematamata melalui melalui deduksi deduksi logis> logis> $Garnap, $Garnap, *-3<% *-3<% dan mateematika adalah adalah sains sains yang yang berkait berkaitan an dengan dengan konsek konsekuen uensi si deduks deduksii logis logis dari dari premispremis yang umum dari semua penalaran $hitehead, *-<1%. Keseluruhan matematika dapat direduksi menjadi suatu himpunan relasi relasi yang sematamata diturunkan dengan aturanaturan logika tanpa meruju merujuk k kepada kepada konsep konsep matemat matematika ika secara secara khusus khusus misalny misalnyaa konsep konsep bilangan. 7uatu landasan yang memadai untuk logika harus mencukupi untu untuk k
matem matemat atik ika. a. Pand Pandan anga gan n aliran aliran logi logisi sism smee
terce tercerm rmin in dala dalam m
ungkapan =5ogika adalah masa muda matematika dan matematika adalah masa de"asa matematika>. /uku /uku The (rinciples of athematics athematics dimulai dengan = primitive ideas> ideas> dan = primitive proportions> proportions> yang berkaitan dengan =undefined = undefined terms> terms> dan = postulates> postulates> dari suatu pengembangan pengembangan sistem formal abstrak $;es, *-I3%. = (rimitive ideas> ideas> dan = primitive proportions proportions>> bukan suatu subjek dari suatu interpretasi, tetapi dipilih secara intuitif untuk suatu kon konsep sep
logi logika ka..
Kedu Keduan any ya
digu diguna naka kan n
seba sebaga gaii
titi titik k
tola tolak k
untu untuk k
membangun membangun konsep matematika dan teorema teorema dengan dengan dimulai dimulai dengan dengan suatu kalkulus proposisi dan dilanjutkan dengan melalui theory of classes dan relasi untuk memantabkan sistem bilangan asli. 7elanjutnya semua matemat matematika ika dapat dapat dituru diturunka nkan n ke sistem sistem bilang bilangan an asli. asli. Proses Proses tersebu tersebutt menggunakan metode aksiomatik. Hilbert Hilbert,, pendir pendirii aliran aliran formal formalism isme, e, tidak tidak setuju setuju bah"a bah"a konsep konsep matem atemat atik ikaa
dapa dapatt
dired ireduk uksi si
men menjadi jadi
konse onsep p
log logika. ika.
'enu 'enuru rutt
pendapatnya tidak semua logika ada kaitannya dengan matematik. Kritik terhadap pendapat 0ussell juga datang dari muridnya sendiri sekaligus
9
koleganya di 4rinity Gollege, yaitu ittgenstein. ittgenstein berusaha memba"a konsep matematika dari Frege melalui bahasa alamiah $Hardi 7uyitno tno,
21%.
a
meng engkritik tik
pand andangan
0usse ssell
dengan
pernyataan...0ussell must be "rong, because he had to mention the meaning of signs "hen establishing the rules for them $ittgenstein, *-9*%. *-9*%. 'enuru 'enurutt ittg ittgenst enstein ein kesala kesalahan han 0ussell 0ussell adalah adalah menye menyebut butkan kan makn maknaa tand tandaa ketik ketikaa mene meneta tapk pkan an atur aturan ana atu tura ran. n. 7imbo 7imboll logi logiss yang yang digu diguna naka kan n oleh oleh 0usse 0ussell ll adala adalah h suat suatu u baha bahasa sa yang yang tidak tidak lepas lepas dari dari kesal kesalah ahan an.. #alam #alam rang rangka ka untu untuk k mengh menghil ilan angk gkan an kesal kesalah ahan an haru haruss digunakan dengan suatu simbol dengan tidak menggunakan tanda yang sama sama dalam dalam simbol simbol yang yang berbed berbedaa dengan dengan tidak tidak menggu menggunak nakan an tanda tanda dalam dalam cara cara yang yang sama sama yang yang makn maknany anyaa berb berbed eda. a. #alam #alam logi logika ka dan dan matem atemat atik ikaa
kali kalim mat
=jik =jika. a... ..,,
maka. aka... ..>b >ber erbe beda da
mak makna
deng engan
penggunaannya dalam bahasa seharihari. ittgenstein juga mengkritik pandangan 0ussell tentang reduksi. Proposisiproposisi seperti =aksioma redu reduks ksib ibil ilit itas> as> dari dari 0usse 0ussell ll adal adalah ah buka bukan n prop propos osisi isi logi logiss kare karena na kebe kebena nara ranny nnyaa
mung mungki kin n
hany hanyaa
secara secara
kebe kebetu tula lan. n.
ittg ittgen enst stein ein
berpendapat bah"a matematika adalah suatu metode dari logika, logika dari dari dunia dunia yang yang diperl diperlihat ihatkan kan oleh oleh propos proposisi isi logika logika yang yang merupa merupakan kan tautolo tautologi, gi, logika logika dari dari dunia dunia oleh oleh matemat matematika ika diperl diperlihat ihatkan kan dengan dengan persamaan, interpretasi dari angkaangka sebagai eksponen dari suatu ;ariabel merupakan suatu reduksi dari matematika kepada teori operasi di mana operasi dikonstruksi sebagai suatu operasi logis dan penegasan kebena kebenaran ran propos proposisi isi matemat matematika ika dan propo proposisi sisi logika logika sematam sematamata ata berdasarkan simbol. simbol.9
2. Mad-a) Mad-a) :"rmal "rmalism isme e Aliran formalisme formalisme dalam matematika matematika dapat dilacak pada /ishop /erkeley /erkeley,tet ,tetapi api pencetus pencetus utamanya utamanya adalah #a;id Hilbert Hilbert $*132*-< $*132*-<%, %, pada tahun *-29, diteruskan oleh &. )on +eumann tahun*-* dan H.
8Hardi 7uyitno,Filsafat 'atematika,:ni;ersitas +egeri 7emarang,2*<, hlm *12*11
Gurr Gurry y tahu tahun n *-9* *-9*..
3
Menu Menuru rutt madmad-a) a) ini ini si!a si!att alam alamii dari dari
matem matemati atik k ialah ialah se)ag se)agai ai sis sistem tem lam)an lam)ang g yang yang !"rmal !"rmal.. Matemati Matematik k )ersangk )ersangkutpau utpautt dengan dengan si!at5si!a si!at5si!att struktur struktural al dari dari
sim) sim)"l "l5s 5sim im)" )"ld ldan an
pr"s pr"ses es
peng peng"l "lah ahan an
ter terhada hadap p
lam)ang5la lam)ang5lam)a m)ang ng itu. +im)"l5sim +im)"l5sim)"l )"l dianggap dianggap me4akili me4akili pel)a el)ag gai
sasar asaran an
yang ang
men(a en(ad di
")ye ")yek k
matem atemat atik ik
)ilangan5)ilangan misalnya dipandang se)agai si!at5si!at stru strukt ktur ural al
sim) sim)"l "lis isme me
a)st a)stra rak k
yang yang
dile dilepa pask skan an
dari dari
sesuatu arti tertentu dan hanya menun(ukkan )entuknya sa(a mad-a) mad-a) !"rmalis !"rmalisme me )erusaha )erusaha menyelidik menyelidikii struktur struktur dari pel)agai sistem. Berdasarkan landasan pemikiran itu se"r se"ran ang g
pend penduk ukun ung g
madmad-a) a)
ters terse) e)ut ut
merum erumus usk kan
matem matemati atik k se)aga se)agaii ilmu ilmu tenta tentang ng sis sistem tem5si 5siste stem m !"rmal !"rmal /Matheamti;s is the s;ien;e "! !"rmal systems. systems. 'enu 'enuru rutt form formali alism sme, e, matem matemati atika ka sepert sepertii perm permai aina nan n deng dengan an simbol simbolsim simbol bol yang yang ditetap ditetapkan kan secara secara sembar sembarang ang berdas berdasark arkan an aturan aturan yang yang dapat dapat ditetap ditetapkan kan sekehe sekehenda ndak, k, permaina permainan n hanya hanya tunduk tunduk kepada kepada syarat formal konsistensi konsistensi $Kattsoff, $Kattsoff, *-<-%. Matematika adalah suatu permainan formal dengan simbol s imbol dan pemainnya harus menguasai aturan permainan yang dapat dipakai untuk mengoperasikan simbol $Hilbert, *-2I%. 7imbol dalam matemtika tak bermakna. 7imbol hanyalah simbol.. Hilbert menginginkan untuk mengkonstruksi suatu matematika yang telit i dan dan tepat tepat secara secara sempu sempurn rna. a. Hilb Hilbert ert dan dan peng pengik ikut utny nyaa meng menghe hend ndaki aki matem matemati atika ka menja menjadi di murn murnii kalk kalkul ulus us form formal al hamp hampir ir serup serupaa deng dengan an manipulasi manipulasi secara mekanis mekanis dari simbolsimbol simbolsimbol yang tidak merujuk pada suat suatu u enti entita tass khus khusus us yang ang sebe sebena narn rny ya
$Kat $Katts tsof oft, t, *-<*-<-%. %. 5ogi 5ogika ka
meru merupa paka kan n alat alat yang yang digu diguna naka kan n untu untuk k melet meletak akka kan n stru strukt ktur ur yang yang )liran*aliran #ilsafat atemati!a, :ni;ersitas &enderal 9Agung Prabo"o, )liran*aliran
7oedirman,Pur"okerto,2-,hlm. 7oedirman,Pur"okerto,2-,hlm. <*
7upersukses,8ogyakarta,*-19,hlm 4he 5iang 6ie,Filsafat 'atematik,Penerbit 7upersukses,8ogyakarta,*-19,hlm
<
sederh sederhana ana dari aksiom aksiomaak aaksio sioma ma matema matematika tika.. 5ogika 5ogika menggu menggunak nakan an simbol simbolsim simbol bol yang yang merupa merupakan kan bahasa bahasa formal formal.. 7trukt 7truktur ur matemat matematika ika difo diform rmali alisa sasik sikan an
deng dengan an
simbo simbols lsim imbo bol. l.
&ika &ika
untu untuk k
meng mengan anali alisi siss
matematika matematika digunakan bahasa formal, formal, maka akan terkonstruks terkonstruksii suatu himpunan aksioma. 7truktur dan aksioma menggunakan simbolsimbol yang merupakan bahasa formal. Pada tahun *1--, Hilbert menghasilkan suatu suatu himpun himpunan an aksiom aksiomaa untuk untuk 6eomet 6eometri ri uclid uclidean ean tanpa tanpa meruju merujuk k keruan keruangan gan atau atau intuis intuisi. i. Pada Pada tahun tahun *-9 *-9 dan juga *-1*, *-1*, ia berusa berusaha ha melet meletak akka kan n suatu suatu land landasa asan n untu untuk k matem matemati atika ka deng dengan an pembu pembukti ktian an konsistensi bah"a langkahlangkah terbatas penalaran dalam logika tidak akan menghasilkan. Hilbert berpendapat bah"a ada suatu ide $ sense $ sense%% yang yang mana mana bila bilang ngan an asli asli meru merupa paka kan n salah salah satu satu basis basis matem matemati atika ka.. 'enurut 'enurut Hilbert, Hilbert, bilangan bilangan asli dapat dinyatakan dinyatakan sebagai sebuah simbol. 7imbol adalah suatu $estitas%yang bersifat abstrak, akan tetapi bilangan asli yang dinyatakan dalam bentuk simbol memiliki peran bagi entitas yang bersifat fisik. Hilbert tidak mengambil posisi sebagai orang yang mere;isi tubuh pengetahuan matematika yang yang suda sudah h ada. ada. a seben sebenarn arny ya malah malah mengadopsi suatu alat yang ada melekat pada matematika tingkat tinggi. 'enu 'enuru rutn tnya ya,, matem matemati atika ka ting tingka katt ting tinggi gi tida tidak k lebi lebih h dari dari perm permai ainan nan formal. 'enurut pendapat Hilbert $*-29%, pernyataanpernyataan dalam matem matemati atika ka ting tingka katt ting tinggi gi adal adalah ah rangk rangkaia aian n yang yang tidak tidak memi memili liki ki interpretasi dari simbolsimbol. Pembuktian pernyataanpernyataan tidak lebih lebih dari dari suatu suatu permai permainan nan yang yang mana mana simbol simbolsim simbol bol dimanip dimanipula ulasi si berdasarkan
aturanaturan
yang
sudah
mantab.
nti
=permainan
matematika tingkat tinggi> termuat dalam pembuktian pernyataan dalam aritm aritmeti etika ka
eleme elemente nter. r. Aritme ritmeti tika ka
eleme element nter er
memi memili liki ki
inte interp rpret retasi asi
lang langsu sung ng.. Hilb Hilber ertt mey meyakin akinii bah" bah"aa tida tidak k ada ada kera keragu guan an terh terhad adap ap kekoko kekokohan han Aritm Aritmetik etikaa Peano, Peano, paling paling tidak tidak ada bagian bagian yang yang dikenal dikenal dengan istilah (rimitive istilah (rimitive +ecursive )rithmetic $P0A%. P0A pertama kali dikenalkan oleh7kolem $*-2%. P0A adalah formalisasi dari konsepsi kefinitan dari landasan aritmetika. /erasarkan 0
pemikiran ini semua pemikiran yang mengacu kepada P0A adalah finit. #initisme adalah filsafat matematika yang hanya hanya menerima menerima eksistensi eksistensi dari dari objek objeko obj bjek ek matem matemati atika ka yang yang fini finitd tdan an meno menolak lak objek objeko obj bjek ek matemat matematika ika yang yang tidak tidak finit finit $infinitive% infinitive% seperti seperti himpun himpunan an tak hingga hingga.. Kuantitas yang diperoleh melalui himpunan yang infinitive dianggap tak bermakna. /erdasarkan pendapat Hilbert, setiap pernyataan aritmetik dapat dibu dibukt ktik ikan an deng dengan an mem)uat suatu suatu jalan jalan yang yang memu memutar tar melal melalui ui matem matemati atika ka tingk tingkat at ting tinggi gi dan dan secar secaraa lang langsu sung ng dibu dibukt ktik ikan an deng dengan an Aksioma Aritmetika Peano $4ait, *-1*%. 7udah barang tentu pemecahan maslahamasalah dalam aritmetika dalam halhal tertentu yang praktis tidak mungkin diselesaikan dengan Aksioma Peano. 7ejarah matematika menunjukk menunjukkan an bah"a bah"a menyusun menyusun langkah langkah memutar memutar melalui matematika tingkat tinggi seringkali dapat memberi inspirasi suatu bukti dari sutu pernyataan aritmetika yang lebih singkat dan memberi ide sampingan daripada suatu bukti secara aritmatika untuk pernyataan yang sama. 'enu 'enuru rutt pandangan formal formalism isme, e, syarat syarat minima minimall dari dari suatu suatu sistem formal matematika tinggi adalah konsistensi. 7ebaliknya setiap pernyataan dari aritmetika ar itmetika elementer akan dapat dibuktikan dalam sistem terseb tersebut. ut. Hilber Hilbertt menunj menunjukk ukkan an bah"a bah"a konsist konsistensi ensi dari dari suatu suatu sistem sistem matematika tingkat tinggi membutuhkan sistem tersebut paling tidak kuat seca secara ra arit aritme meti tika ka..
Hilb Hilber ertt
dan dan
muri murid dmu muri ridn dny ya
meny menyus usun un bukt buktii
konsist konsistens ensii dari dari postu postulat lat baku baku dari dari analisi analisiss matemat matematis. is. Pernya Pernyataan taan pernyataan aritmetika harus dibuktikan dengan cara yang mantab dan dapat dipertanggungja"abkan dalam matematika, sebaliknya bukti tidak meningkatkan keyakinan dalam konsistensi analisis matematika. Hilbert dan
timnya
yang
bernama ilbert's ilbert's (rogram, (rogram, meny menyus usun un bukt buktii
kons konsist isten ensi sipe perny rnyata ataan anp per erny nyata ataan an
dalam dalam
aritm aritmati atika ka,,
seper seperti ti
=the
a"iomsof mathematical analysis> analysis > dalam Aritmetika Peano. Hasilnya tidak tuntas dalam membuktikan konsistensi dari aksiomaaksioma Aritmetika Peano $Jach, 23%.
1,
Pandan Pandangan gan Hilber Hilbertt yang yang menyat menyatakan akan bah"a bah"a matemat matematika ika adalah adalah suatu suatu perm permain ainan an form formal al dengan simbol, simbol, berimplikasi berimplikasi bah"a orang yang memahami matematika harus menguasai aturan permainan yang membolehkan kegiatan operasi dengan simbol tetapimengabaikan intuisi. Pada Pada tahun tahun *-2-, *-2-, ittg ittgens enstein tein melaku melakukan kan diskusi diskusidis diskus kusii dengan dengan aissm issman ann n
tent tentan ang g
pemi pemiki kira ran n
Hilb Hilber ertt
dan dan
/rou /rou"e "err.
'enu 'enuru rutt
ittgenstein, dalam permainan formal dengan menggunakan simbol juga tetap tetap memerlu memerlukan kan =the the intu intuiti ition on of symbo symbol l > $Hardi $Hardi 7uyitn 7uyitno, o, 21%. 21%. alaupu laupun n dalam dalam pemik pemikir iran anny nyaa bany banyak ak ide ide dari dari alira aliran n form formali alism smee digunakan oleh ittgenstein, tetapi tidak seluruh gagasan formalisme karena karena formalisme formalisme berusaha berusaha mengurangi mengurangi praktik untuk memanipulasi memanipulasi simbol simbol tak bermakn bermaknaa dan menola menolak k atau atau menghi menghilan langka gkan n penggu penggunaa naan n kegiatan manusia $/irch, *--*%. Hersh h $*-$*--I% I% terh terhad adap ap form formali alism smee lebi lebih h seriu seriuss =e)eratan Hers daripada terhadap Platonisme, khususnya pandangan bah"a matematika adalah adalah permain permainan an matemat matematika ika tak bermak bermakna na yang yang dimaink dimainkan an secara secara khusus, tetapi dengan sembarang aturan. a membantah bah"a aturan tidak sembarangan, sembarangan, bantahanya bantahanya adalah bah"a secara historis historis ditentukan ditentukan oleh oleh hasil hasil kerja kerja masy masyara araka katt yang yang dikem dikemban bangk gkan an di ba"a ba"ah h tekan tekanan an pekerjaannya dan interaksi sosial suatu kelompok, dan secara lingkungan psikhologis dan biologis. 5ebih lanjut, ia menegaskan bah"a itu bukanlah bagaimana matematika bekerja, dan bah"a gagasan dari ketatnya mengikuti aturan tanpa kebutuhan untuk menghakimi adalah suatu
khayalan
dan
bah"a
itu
adalah
menyesat satkan
untuk
menggunakannya di dunia nyata. Hersh mengklaim bah"a formalisme tid tidak
mende endesk skri rips psik ikan an
dari dari
meneg enegas aska kan, n, mate matema mati tika ka"a "an n
mana ana
theorem theorem,,
matem atemat atik ikaa
sela selalu lu tahu tahu hasi hasill
menulisnya dalam bukti formal. Hasil kerja 6odel yang incompleme incomplementeness nteness
hasil asil
dikenal
mene menega gask skan an
sebe sebelu lum m
sebagai bah"a ah"a
bersa ersal, l,
mere mereka ka
-ode -odel' l'ss ada ada
ia
first first
pern perny yataa ataan n
aritmet aritmetik ik yang yang tidak tidak dapat dapat diberi diberi keputu keputusan san dalam dalam Aritm Aritmetik etikaa Peano Peano $6odel, *-*%. Kesimpulan ini melemahkan pandangan aliran formalisme 11
dan menyisakan menyisakan permasalahan konsistensi konsistensi matematika matematika tingkat tingkat tinggi. tinggi. 7ela 7elanj njut utny nyaa
6ode 6odell
memb membuk uktik tikan an bah" bah"aa Aritme ritmeti tika ka Pean Peano o tida tidak k
konsisten. 6odel adalah ahli logika, ahli matematika, filsufyang bersal dari Austria. Austria. a mempublikas mempublikasikan ikan -odel incompleteness incompleteness Theorem Theoremss pada tahun *-*. 4eorema 4eorema ini menyatakan menyatakan bah"a sistem matematika yang leng lengka kap p tidak tidak mung mungki kin n kons konsist isten en dan dan siste sistem m yang yang kons konsist isten en tida tidak k mungkin lengkap. Hasil karya 6odel tidak berarti formalisme berakhir, tetapi tetap tak tergoyahkan bah"a matematika adalah ilmu pengetahuan tentang sistem formal. 'atematika tersusun ats suatu koleksi dari sistem formal yang tidak mempunyai mempunyai interpretasi interpretasi atau konten. konten. ni berarti berarti bah"a dalam suati sistem formal yang sudah tertentu, suatu pernyataan dikatakan benar jika dan hanya hanya jika jika dapat dapat dituru diturunka nkan n dari dari perny pernyataa ataan n lain dalam sistem sistem terseb tersebut ut $Gurry $Gurry,, *-91%. *-91%. saacso saacson n $*-1I% $*-1I% berpen berpendap dapat at bah"a bah"a dalam dalam beberapa hal Aritmetika Aritmetika Peano adalah lengkap.1
$. Mad-a) Mad-a) *ntuis *ntuisi"n i"nism isme e ntuisionisme adalah aliran filsafat dalam tradisi Kant bah"a semua pengetahuan manusia dia"ali oleh intuisi, menghasilkan konsepkonsep, dan diakhiri dengan idei eide. Berla4 Berla4ana anan n
denga dengan n mad-a mad-a) )
!"rmalisme )erkem)anglah mad-a) landasan matematik intuiti"nisme yang dipel"p"ri "leh ahli matematik Belanda Luit-en Eg)ertus >an Br"u4er. Beliau )erpendirian )ah4a matematik adalah sama dengan )agian yang eksak dari pemi pemiki kira ran n
manu manusi sia. a.
=etep etepat atan an
dalil dalil5d 5dal alil il
mate matema mati tik k
terletak dalam akal manusia /human intelle;t dan tidak pada sim)"l5sim)"l di atas kertas se)agaimana diyakini "leh "leh
madmad-a) a)
!"r !"rmali malism sme. e.
Dalam alam
pem pemikir ikiran an
madmad-a) a)
intuiti"ni intuiti"nisme sme matematik matematik )erlandas )erlandasan an suatu suatu ilham dasar /)asi;
intuiti"n
mengenai
kemungkinan
untuk
mem) mem)an angu gun n se)u se)uah ah seri seri )ila )ilang ngan an yang yang tak tak ter) ter)at atas as..
12
*lham *lham ini pada pada hakek hakekatn atnya ya merup merupak akan an suatu suatu akti&it akti&itas as )erpik )erpikir ir yang yang tak tergan tergantun tung g pada pada pengal pengalam aman an )e)as )e)as dari )ahasa dan sim)"lisme serta )ersi!at ")yekti!. 0 Aliran Aliran intuit intuition ionism ismee berpan berpandan dangan gan matema matematika tika sebaga sebagaii suatu suatu aktifit aktifitas as pemiki pemikiran ran manusi manusiaa yang yang terbatas terbatas dari dari bahasa bahasa dan basisny basisnyaa adalah filsafat tentang fikiran. 'atematika yang paling dasar terletak pada intuisi yang paling dalam $primiti;e untuition%. 4esis 4esis aliran ini menyatakan menyatakan bah"a matematka matematka sematamata sematamata dibangun dibangun dengan dengan metode metode kontruktif berhingga $finite constructi;e methcds% yang secara intuitif memberikan urutan bilangan asli $;es, *-I3%. mplikasi dari pandangan intutionism intutionismee adalah memba"a kepada suatu bentuk matematika yang kontrukti kontruktiff dengan dengan meninggalka meninggalkan n banyak banyak bagian bagian dari matematika matematika klasik. klasik. mpl mplik ikasi asi yang lan lan adala adalah h kepe keperc rcay ayaan aan pada pada suat suatu u filsa filsafat fat tenta tentang ng pemikiran memasukkan atau memperkenalkan keistime"aan atau cirri ciri ciri yang yang tida tidak k ada ada dalam dalam matem matemat atik ikaa klasi klasik k deng dengan an bent bentuk uk dari dari matemat matematika ika konstru konstrukti ktif. f. 'atemat 'atematika ika intuti intutioni onistik stik,, matemat matematika ika yang yang landasa landasan n filoso filosofisn fisnya ya berdas berdasar ar pada pada pandan pandangan gan /reu"e /reu"er, r, tidak tidak tepat tepat dika dikata taka kan n
seba sebaga gaii
bagi bagian an
dari dari
mate matema mati tika ka
klas klasik ik..
'ate 'atema mati tika ka
intuit intuition ionisti istik k dibang dibangun un berlan berlandask daskan an prinsi prinsipp pprin rinsip sip konstru konstrukti ktiff dan berla"anan dengan logika yang dibangun oleh Frege. /rou"er juga tidak sepakat sepakat dengan dengan penggolon penggolongan gan matematika matematika dengan dengan menggunak menggunakan an logika formal formal.. 'enuru 'enurutt /rou"e /rou"er, r, kebena kebenaran ran matema matematik tikaa selalu selalu berkai berkaitan tan deng dengan an peng pengal alam aman an.. matem matemati atika ka"a "an n
secar secaraa
5and 5andas asan an mate matema mati tika ka terl terlet etak ak pada pada intu intuis isii indi indi;i ;idu dual al,,
deng dengan an
demi demiki kiran ran menj menjad adik ikan an
matematika kedalam suatu yang pada hakikatnya merupakan kegiatan subjektif $4roelstra, *-II%. /rou"er dianggap sebagai filosof matematika yang mere;isi tubuh pengetahuan matematika yang sudah ada. 4esis sis aliran aliran ini ini meny menyata ataka kan n bah" bah"aa matem matemati atika ka semata sematam mat ataa dibang dibangun un dengan dengan metode metode kontru kontrukti ktiff berhin berhingga gga $finite $finite constru constructi; cti;ee methcds% yang secara intuitif memberikan urutan bilangan asli $;es, 7upersukses,8ogyakarta,*-19,hlm. 1 04he 5iang 6ie,Filsafat 'atematik,Penerbit 7upersukses,8ogyakarta,*-19,hlm.
1$
*-I3%. mplikasi dari pandangan intutionisme adalah memba"a kepada suatu bentuk matematika matematika yang kontruktif kontruktif dengan dengan meninggalka meninggalkan n banyak banyak bagian dari matematika klasik. mplikasi yang lan adalah kepercayaan pada suatu filsafat tentang pemikiran memasukkan atau memperkenalkan keistim keistime"a e"aan an atau cirric cirriciri iri yang yang tidak tidak ada dalam dalam matema matematik tikaa klasik klasik dengan bentuk dari matematika konstruktif .* 'enurut aliran ini, pada dasar yang paling dalam terletak intuisi primitif, bersekutu dan bekerja sama s ama dengan akal dunia"i manusia, yang memungkinkan manusia mengangankan suatu obyek tunggal, kemudian satu lagi, satu lagi dan seterusnya tak berakhir. #engan cara ini diperoleh barisan tak berakhir, yang dikenal dengan barisan bilangan ala m. #engan menggunakan dasar intuitif bilangan asli ini, sebarang obyek matematika harus dibangun dengan cara konstrukti konstruktiff murni, murni, dengan dengan menggunaka menggunakan n operasi dan langkahlangkah yang banyaknya berhingga. ** Pada Pada deka dekade de perta pertama ma pada pada abad abad 2, 2, sebag sebagia ian n dari dari komu komuni nita tass matematika matematika berimpati berimpati terhadap terhadap pendapat pendapat intuitionisn intuitionisnes. es. /anyak /anyak tokoh tokoh seperti seperti ittgenst ittgenstein, ein, Hersh dan rnest rnest yang memiliki pandangan pandangan yang sejal sejalan an deng dengan an pend pendapa apatt aliran aliran intu intuiti ition onism isme, e, bah" bah"aa matem matemati atika ka meru merupa paka kan n hasil hasil kegi kegiat atan an piki pikira ran n manu manusia sia dan dan meru merupa paka kan n cipta ciptaan an manusia. +amun demikian, pandangan aliran intuitionisme ini juga tidak bebas kritk. ittgenstein menolak pendapat bah"a intuis i diperluan pada setiap langkah pada urutan bilangan. 'enurut ittgenstein $*-9%, = not the intuition "as neede at e;ery stage, but that a ne" decision "as needed ad e;ery stage>. 7etiap langkah yang diperlukan keputusan yang berasal dari pikiran. +ampaknya ittgenstein berfikir bah"a intuisi tidak selal selalu u hadi hadirr dalam dalam piki pikira ran n manu manusia sia "ala "alaup upun un yang yang bersa bersang ngku kuta tan n menghenda menghendakiny kinya. a. ntuisi seperti halnya halnya ilham datangnya datangnya dapat secara tibatiba tibatiba dan tak terduka, sebaliknya sebaliknya manusia manusia juga tidak dapat mengatur mengatur 1,Hardi 7uyitno, #ilsafat #ilsafat atemati!a,:ni;ersitas atemati!a,:ni;ersitas +egeri 7emarang,2*<, hlm. *-I )liran*aliran #ilsafat atemati!a, atemati!a, :ni;ersitas &enderal 11Agung Prabo"o, )liran*aliran 7oedirman,Pur"okerto,2-,hlm. 3
1%
datangnya ilham. Faktanya, tidak ada penjelasan secara intuitif proses kerja matematika dalam pikiran manusia dari para tokoh intuitionisme. #ala #alam m kuli kuliah ahny nyaa di Gamb Gambri ridg dgee tahu tahun n *-*-- $ cata catata tan n kuli kuliah ahny nyaa dipublikasi dipublikasikan kan oleh Gora #iamond%, #iamond%, ittgenst ittgenstein ein mengatakan mengatakan bah"a =semuanya intuitionisme karena intuitionisme menyandarkan pada "ujud dalam mental untuk menegaskan bukti matematik dan tidak memasukkan intersubjektifitas dan normanorma umum $Klenk, *-I3%. 4okoh 4okoh lain lain yang yang memberi memberi kritik kritik terhad terhadap ap intuit intuition ionism ismee adalah adalah Hersh 0euben Hersh, lahir tahun *-2I, adalah seorang akademisi dan matematika"an Amerika, yang dikenal karena karyanya dalam hakikat, praktik, dan dampak sosial dari matematika. Hasil kerjanya menantang dan menjadi pelengkap filsafat matematika. Keberatan Hersh terhadap intuitionisme, ia mengadopsi pandangan antropologis bah"a intuisi dari bilangan asli adalah sederhana bukan uni;ersal $Hersh, *--I%. Pandangan Hersh didukung oleh hasil riset Piaget yang menegaskan bah"a anak yang mengkonstruksi mengkonstruksi,, dalam pikiran anak, suatu konsepsi konsepsi dari bilangan asli didasarkan pada pengalamannya dan beberapa cara berfikir. /agi Piaget, berla"anan dengan Kronecker, bilangan asli bukan diberi oleh 4uhan $paling tidak bukan sebelum umur tujuh tahun untuk kebanyakan anak anak budaya budaya /arat% /arat% tetapi tetapi dikons dikonstru truksi ksi dalam dalam pikiran pikiran seseora seseorang ng oleh oleh koordinasi konsep tentang urutan dan inclusion.
%. ?"nstru; ?"nstru;ti&is ti&ism m dan pandan pandangan gan hidup hidup yang lain lain 7alah satu aliran filsafat yang dianggap sebagai salah satu arus utama utama filsafat filsafat ,matem ,matemati atika ka adalah adalah aliran aliran konstr konstrukt ukti;i i;isme sme $troels $troelstra, tra, *-II *-IIa% a%..
ntu ntuit itio ioni nism smee
yang ang
diba dibang ngun un
bro" bro"er er
adal adalah ah
term termas asuk uk
konstrukti;isme. 7udut pandang konstrukti;isme bentuk lain tidak sama dengan dengan intuiti intuitioni onisme, sme, tetapi tetapi sesuai sesuai dengan dengan tujuan tujuannya nya masing masingma masing sing dalam dalam matem matemati atika ka.. Kons Konstr truk ukti ti;i ;ism smee bent bentuk uk lain lain adala adalah h recu recursi rsi;e ;e cons constru truct cti;e i;e math mathem emati atics, cs, bish bishop opEEs cons constru tructi cti;e ;e math mathem emati atics cs dan dan sebagianya. #alam filsafat matematika matematika aliran konstrukti konstrukti;isme ;isme berpandang berpandangan an bah"a adalah suatu keharusan utuk mencari atau mengkinstruksi objek
18
matem matemati atik k untu untuk k menu menunj njuk ukan an eksi eksiste stens nsin inya ya.. Apabi pabiaa suta sutatu tu oran orang g beranggapan bah"a suatu objek tidak eksis dan menurunkan suatu kontradiksi tentang anggapan tersebut, orang masih tidak menemukan objeknya,maka tidak membuktkan eksistensinya. 'atematika dipandang sebaga sebagaii suatu suatu konstru konstruksi ksi pada pada entita entitass yang yang fungsi fungsinya nya sebagi sebagi norma norma norma untuk pendeskribsian. 'atematika tidak ditemukan oleh manusia, tetapi diciptakan manusia dan dalam matematika suatu bentuk baru hars dikonstruksi. Prinsip yang dipegang oleh aliran konstrukti;isme adalah hanya berkaitan dengan matematikayang dapat dikonstruksi tegas dan jelas dengan kegiatan mental tertentu. &adi matematika bukan sebuah permainan simbol sebagaimana sebagaimana pandangan para formalis. 4etapi sebuah kegiatan seperti latihan $e@ercise%. mplikasi dalam prinsip ini ialah bukti dalam matematika harus juga merupakan hasil konstruksi. Oleh karena itu intuitionisme menolak buktibikti dengan kontradiksi. 7eca 7ecara ra tradi traditio tiona nal, l, jalan jalan yang yang diam diambi bill mate matema matik tika" a"an an untu untuk k mengan menganalis alisis is materi materi matemat matematika ika yang yang konstru konstrukti ktiff dengan dengan mengik mengikuti uti logika logika klasik. klasik. 7ebalik 7ebalikny nya, a, para para konstru konstrukti kti; ; menemp menempuh uh jalan jalan dengan dengan mengikuti logika intuitionistik. 5ogika intuitionistik atau lebih umum dike dikena nall sebag sebagai ai logi logika ka kons konstr truk uktif tif ialah ialah sebua sebuah h sist sistem em dan dan logik logikaa simbolik yang berbeda dengan logika klasikdengan mengganti konsep traditional traditional dengan dengan konsep probabilita probabilitass konstruktif konstruktif$Anon $Anonimou imous,2* s,2*<%. <%. #alam logika klasik, proposisi selalu ditandai dengan nilai benar atau salah tanpa menuntut bukti. 7ebaliknya dalam logika intuitionik, nilai benar nilai benar diberiakan kepada satu proposisi tidak untuk semua kondis kondisii tetapi tetapi malahan malahan hanya hanya =benar =benar>jik >jikaa ada bukti bukti langsu langsung. ng.log logika ika intuitionik diyakini mencukupi untuk menjaga matematika dalam batas konstrukti konstruktif. f. Para matematika"an matematika"an memiliki keebebasan keebebasan untuk untuk bekerja bekerja dengan suatu tipe analisis yang alami. Hasil yang diperoleh dari pandang konstrukti konstrukti;isme ;isme adalah adanya jalinan jalinan matematika matematika konstrukti konstruktiff dengan dengan pemrograman yang sangat menjanjikan bagi implementasi masa depan
19
dan pengem pengemban bangan gan matemat matematika ika abstrak abstrak pada pada komput komputer er $/ridg $/ridges es and palmgren, 2*%. 4okoh fils filsaf afat at
yang ang
mem memilik ilikii
pan pandang dangan an
seja sejala lan n
deng dengan an
konstru konstrukti kti;is ;isne ne adalah adalah ittg ittgens enstein tein.. Pemiki Pemikiran ran ittg ittgens enstein tein bah"a bah"a matematika sebagai hasil konstruksi manusia menghasilkan suatu budaya bah"a setiap indi;idu mengkonstruksi pengetahuan matematikanya sendiri $0ichard, *--*%. Karena matematika adalah suatu produk sosial dari dari komu komuni nita tass
matem matemati atika ka dan dan
setiap setiap indi indi;i ;idu du meng mengko kons nstr truk uksi si
pengetahuannya masingmasing, maka perkembangan matematika dapat ter"ujud ter"ujud hanya dengan dengan melalui kegiatan manusia. Keterkaitan antara pemikiran
"ittgenstein
dan
konstrukti;isne
juga
terletak
pada
penekanannya pada keunggulan membilang membilang $aritmatika% sebagai landasan matematika $birch, *--*%. Pandangan "ittgenstein menyatakan bah"a mathematic mathematicss is a mothley'. mothley'. ) collection of language language game' dan bah"a kebenaran, kebenaran, kesalahan dan bukti tergantung tergantung pada penerimaan penerimaan atas aturan kesepakatan bahasa dalam permainan bahasa $"ittg"nstein, *-I1, *-9%. Pandangan ini menunjukan bah"a penggunaan berbagai bahasa dalam berbagai
tata
permainan
bahasa
atau
makna
sesuai
dengan
konteksnyamencakup penerimaan atas aturanaturan. Aturan aturan dalm bahsa adlah syarat atau prakonsisi untuk bahsa komunikasi. ni berarti bah"a kebenaran pengetahuan matemaika berdasarkan pada kesepakatan bahsa. mplikasi dari pandangan ini secara khusus adalah kebenaran logika dan matematika berdasarakan kesepakatan bahasa. Hersh $*--I% meny enyatak atakan an
bah" bah"aa
kon; kon;en ensi sion onal alis isme me
adal adalah ah
pand pandan anga gan n
yang ang
berpendapat bah"a bahasa, aturan kesepakatan memainkan pran kunci dala ala
meneg enegak akk kan
dan dan
meng engesy esyahk ahkan
keb kebenar enaran an
matem atemat atik ikaa
$rnest,*--*%. Kesepakatan bahasa memberi dasar kepastian kebenaran matem matemati atika ka dan dan logi logika ka,, selan selanju jutn tnya ya bukt buktii secara secara dede dedeuk ukti tiff logi logiss meneruskan atau memba"a kebenran matematika ke dalam batang tubuh matematika. Hersh mena"arkan humanisme atau pandangan socio historical. 'enurut Hersh $*--I%, tidak ada kebutuhan untuk melihat pada suatu
1
makna atau definisi tersembunyi dalam makna sosialsejarahbudayanya. #engan perkataan lain, satu ja"aban atas prtanyaan besar dengan melihat pada apa ada disana, sudah dilakukan dalam masyarakat matematika"an, dan oleh orang berkaitan dengan situasi matematis di dalam kehdupan seharihari. &adi untuk membakukan jenisjenis eksistensi didiskusikan oleh para filsof secara mental dan fisik. Hersh menambahkan yang ketiga yaitu sosial. 'enurutnya, 'enurutnya, matematika matematika harus dipahami dipahami sebagai sebagai gejala gejala gejala sosial, sosial, bagian bagian dari dari budaya budaya manusi manusia, a, secara secara histor historis is termasu termasuk k bagian dari sejarah dan dapat dipahami manusia. a berpendapat bah"a matemat matematika ika memilik memilikii suatu suatu front$ front$hal halama aman n depan% depan%,, yang yang terdiri terdiri atau memuat memuat hasil hasil yang yang sudah sudah ditata ditata yang yang ditunj ditunjuka ukan n ke dunia$t dunia$term ermasu asuk k murid sekolah% dan suatu latar yang memuat suatu latar belakang yang memuat apa adanya yang akan ditemukan sebagai hasil. 'enurut Hers, alir aliran an utam utamaa fils filsafa afatt hany hanyaa terk terkait ait deng dengan an lata latarr depa depan, n, meski meskipu pun n huanisme menunutut fokus pada latarbagian belakang. Ketika ia melihat lihat ke bagian belakang hers menemukan matematika bukannya tidak bisa salah karena matematika"an membuat kesalahan. /eberapa bukti terlalu terlalu panjan panjang g dan komple kompleks ks sehing sehingga ga seseor seseorang ang dapat dapat mengat mengataka akan n dengann dengann yakin bah"a bah"a mereka benar. benar. Humanisme Humanisme mengatakan mengatakan bah"a bah"a matem matemati atika ka tida tidak k unik unik kare karena na dalam dalam bebe beberap rapaa situa situasi si matem matemati atis, s, matematika"an tidak saling memahami dan itu terjadi bah"a berbeda matemat matematika ika"an "an dapat dapat memban membangun gun pendek pendekatan atan yang yang berbed berbedaa untuk untuk mengkaji gejala yang sama. /ukti euclid tidak lengkap manusia tidak mengerti aksiomanya., dan ada alternatif lain. 'atematika tidak memuat kepercayaan tentang yang uni;ersal, jelas dan dapat dipastikan. Hers menjela menjelaska skan n tentan tentang g pandan pandangan ganny nyaa dan memban membandin dingka gkan n dengan aliran lain. a memberikan sepasang contih makna dari konsep =dua> dan kembali pada eksistensi kubus dimensi <. 'enurut hers, satu kunci untuk memahami konsep =dua> itu adalah dengan melihat bah"a istilah itu sekaligus digunakan sebagai sifat dan kata benda. 7ebagai kata sifat =dua> me"akili proses membilang. &ika seorang melihat pada apa
1<
yang dilakukan dilakukan orang, orang, hers menegaskan bah"a himpunan himpunan dari bilangan bilangan hasil membilang, sesungguhnya finit karena tidak ada seorangpun yang
dapat
menghitung
sam sampai
misal salnya nya
( 10 ) ¿ ¿ , sehingga ¿
( 10 ) ¿ ¿ ¿
merupakan hasil membilang. #engan perkataan lain, =dua> juga kata benda menurut Hers, eksistensi suatu objek yang merujuk suatu kata benda berasal dari suatu proses sosial yang memisahkannya dari objek nyata untuk mengeksiskan sebagai konsep yang disumbangkan ke dalam otak manusia yang mengetahui aritmatika dasar. Pandangan Pandangan hers pada humanisme humanisme berfokus berfokus pada isu sosial sebagai la"an la"an dari dari perjua perjuanga ngan n indi;id indi;idu u untuk untuk membua membuatt gagasan gagasan yang yang di luar luar pengalamannya, pandangan hers berla"anan dengan konstrukti;isme atau atau
pand andang angan
piag piaget et
yang ang
meng engatak atakan an
bah"a ah"a
objek jek
=dua =dua>>
diko dikons nstru truks ksi, i, meng menggu guna naka kan n meka mekani nism smee yang yang diseb disebut ut peng penggu guna naan an abstraksi reflektif kepada situasi tersebut. dalam kedua kasus tersebut, ada kegiatan mental indi;idual sebagaimana interaksi sosial dan orang dapat dapat mengut mengutamak amakan an salah salah satu hal dari dari yang yang lain. lain. Hersh Hersh memberi memberi contoh kubus < dimensi yang digunakanuntuk menggambarkan beberapa perbedaan antara berbagai aliran filsafat . menurutnya, platonis berpendapat bah"a eksstensi kubus < sebagai suatu transendal dan immaterial dalam abstraksi manusia dan gaagasan tentang itu adalah, repreentasi dari yang ideal, bagi intuitionisme sebagaimana yang formalis =tidak ada kubus yang < yang real> tapi hanya representasi tanpa ada yang di"akili, dan bagi humanis kubus < ada pada sosial budaya dan sejarahnya dalam kesadaran manusia dan sebagai suatu jenis sumbangan pikiran atau gagasan pandangan. ittgenstein ittgenstein memandang bah"a matem matemati atika ka meru merupa paka kan n kump kumpul ulan an tata tata perm permain ainan an baha bahasa sa menj menjad adii landasan landasan pemikiran pemikiran ernest untuk mengembangk mengembangkan an pemikiran pemikiran tenteang tenteang hakika hakikatt matema matematika tika.. ittgen ittgenste stein in berpan berpandan dangan gan bah"a bah"a matema matematik tikaa
10
memili memiliki ki bentuk bentuk tertent tertentu u yang yang harus harus diikut diikuti, i, yang yang ber"u ber"ujud jud aturan aturan atur aturan an,p ,pol ola apo pola la
dan dan
peng penggu guna naan an
baha bahasa sa$4 $4eelese lese,,
2 2%. %.
rne rnest st
mengembang mengembangkan kan filsafat konstruktif konstruktifisme isme menjadi menjadi filsafat matematika matematika social constructi;ism. Pengembangan social constructi;ism memusatkan perhatiannya
pada
kemungkinan,
syaratsyarat
dan
logika
dari
matematika. 'enurut ernest$*--1%, pengetahuan matematika merupakan hasil kreasi kreasi dalam dalam pikiran pikiran seoran seorang g matema matematik tika"an a"anmen menggu ggunak nakan an bahasa bahasa sekali sekaligus gus mengko mengkonst nstruk ruksik sikan an maknap maknaprop roporsi orsi matemat matematika ika,, teorem teorema, a, konsep dan bentukbentuk ekspresi merupakan aspekaspek matematika yang yang merupa merupakan kan kreasi kreasi manusi manusia. a. 'artema 'artematik tikaa menjadi menjadi kokoh kokoh karena karena makna makna yang yang dituru diturunka nkanda ndari ri kontek kontekss yang yang terkait terkait dengan dengan bahasa bahasa dan praktik sosial. 'enurut social constructi;isme, kekokohan pengetahuan matematika matematika berlandaskan berlandaskan pada kepercayaan kepercayaan dan peneriamaan peneriamaan dukungan manusi manusia. a. Hakika Hakikatt penget pengetahu ahuan an matemat matematika ika adalah adalah suatu suatu usaha usaha keras keras manusi manusia, a, suatu suatu proses proses yang yang mana mana kontek kontekss sosial sosial dan latar latar belaka belakang ng seja sejara rah h
memi memili liki ki
pera perana nan n
yang ang
pent pentin ing. g.
7eca 7ecara ra
epis episte tem molog ologis is,,
pengetahuan matematika merupakan hasil kegiatan manusia. 7ocial constructi;ism dapat dipandang sebagai perluasan dari constructi;isme dan
fall fallib ibil ilsm sm$4 $4eelese lese,,
2 2%%
atau atau
perlu erluas asan an
dan dan
sin sinteti tetiss
dari dari
con;ensionalism dan Luasiempiriom. Pandangan fallibilsm mengatakan bah"a matematika tidak memiliki kesahihan mutlak dan tidak memiliki kebenaran kebenaran yang mutlak$rnes mutlak$rnest, t, *--*%. *--*%. 'atematika 'atematika bersifat bersifat fallibilism fallibilism berarti pengetahuan matematika merupakan pengetahuan yang corrigible $dapat dikoreksi% dan selalu terbuka untuk dire;isi. Pengetahuan dalam matemat matematika ika dan konsep konsepko konse nsepny pnyaa berkem berkemban bang g dan dapat dapat berub berubah. ah. 4eorema dan kebenaran matematika serta objek matematika adalah hasil budaya dan kreasi manusia. 4eorema 4eorema dan kebenaran matematika mungkin saja salah dan selalu dapat dikoreksi atu dire;isi$rnest, *--*%. Pengertian dapat dikoreksi tidak berarti matematika bernilai salah, tapi lebih bermakna penyajian matematika lebih akurat dan dapat dipertajam.
2,
Pemikiran rnest bersumber pada pemikiran ittgenstein dan pemikiran fallibilism fallibilism 5akatos. 5akatos. mre 5akatos$*-2 5akatos$*-22*-I 2*-I<% <% adalah sekaligus filsuf ynag berasal dari Hongaria. 5akatos $*-I1% memberi e;aluasi terhadap prinsip
falsifikasi
terhadap
pernaikan
atas
keku kekura rang ngan anny nya. a. a juga juga mene menega gask skan an bah" bah"aa
kelemahan
tida tidak k
ada ada
dan
teor teorem emaa
matematika yang informal dan final atau sempurna. ni berarti bah"a suatu teorema matematik tidak akan benar selamanya, kebenaran teorema hanya belum ditemukan contoh kontranya. Pendapat lakatos kalau dilihat dengan dengan menggu menggunak nakan an perkem perkemban bangan gan geomet geometri ri memang memang masuk masuk akal. akal. 7eperti 7eperti halnya halnya dalam dalam geomet geometri ri euclids euclids,, teorem teoremaa mengat mengataka akan n bah"a bah"a jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah *1 derajat, ternyata dalam segiti segitiga ga bola bola jumlah jumlah sudutny sudutnyaa lebih lebih dari dari *1 derajat derajat.. 7ekali 7ekali sebuah sebuah contoh kontra suatu teorema ditemukan, maka teorema diatur lagi dengan cara mengatur mengatur ;alidtas ;alidtas "ilayahnya. "ilayahnya. Hukumhukum Hukumhukum geometri berlaku berlaku untuk untuk bidangbid bidangbidang ang yang secara sempurna sempurna dianggap dianggap datar. datar. 'enurut 'enurut 5akatos pengetahuan matematika yang dibangun berdasarkan pada ide heuristik, nukti tentang penyangkalan tentang heuristik tidak dibangun dengan baik, meskipun 5akatos memberi beberapa aturan dasar untuk menemukan bukti atau contoh kontra untuk suatu dugaan. 'enurutnya berpikir matematis melalui suatu ekspeerimen adalah suatu yang ;alid untuk mengungkap dugaan matematik dan bukti. Pandangan 5akatos, berpikir melalui eksperimen disebut philosophy. philosophy. alaupun aliranaliran filsafat memiliki pandangan yang berbeda bedadan adakalanya
sangat tajam,
akan tetapi
semua
memberi
sumbangan sumbangan bagi pemahaman pemahaman terhadap terhadap matematika matematika dan kegunaanny kegunaannya. a. Aliran Aliran logisme logisme meletak meletakkan kan simbol simbolsim simbol bol dan sebaga sebagaii pemiki pemikirann rannya ya digunakan oleh aliran formalisme untuk mengembangkan pemikirannya. Alir Aliran an intu intuiti ition onis isme me mema memasu suka kan n
unsu unsur run unsu surr
kema kemanu nusia siaan an untu untuk k
memahami matematika dan selanjutnya memberi inspirasi lahirnya aliran konstrukti;isme dan aliran sosial konstrukti;isme. 7atu kata yang semua
21
ahli filsafat ilmu menyepakati adalah matematika adalah sarana berfikir deduktif dan statistika adalah sarana berfikir induktif. Apab Apabil ilaa dibu dibuat at lint lintas asan an utam utamaa pemi pemiki kira ran n fils filsaf afat atii terh terhad adap ap matematika dari jaman kuno sampai abad 2. 'aka dapat dibuat alur utama pemikiran yan dimulai dari plato sampai godel. Plato menyatakan bah"a matematika ada dalam pikiran dan manusia mengungkapkannya, mengungkapkannya, arist aristot otele eless meng mengun ungk gkap apka kan n bah" bah"aa matem matemati atika ka ada ada di luar luar piki pikira ran n manusia manusia da manusia manusia mendeskribsi mendeskribsikanny kannyaa melalui melalui pengalaman pengalaman dengan rumusa rumusan n defini definisi, si, uclid uclid menyusu menyusun n geomet geometri ri secara secara aksiom aksiomatis atis dan melahirkan karyanya yang sangat monumental dan menjadi pedoman di dunia dunia matemat matematika ika sampai sampai sampai sampai ribuan ribuan tahun tahun yaitu yaitu =the =the element element>, >, hillbert hillbert menyusun menyusun matematika matematika sehingga sehingga matematika matematika memiliki memiliki hakikat hakikat yang tunggal yaitu matematika formal, 6odel membuktikan matematika tidak mungkin menjadi system tunggal dan tertuang dalam teoremanya yang sangat terkenal =4eorema Ketidaklengkapan 6odel> $rnest, *--*% Ketika para matematika"an matematika"an memberi perhatian yang lebih kepada kepada land landasa asan n dari dari subjek subjek yang yang dika dikaji, ji, mere mereka ka akan akan meng mengata ataka kan n akan akan berkaitan dengan riset fundamental. Ketika seorang filsof akan meneliti atau atau
menj menja" a"ab ab
pert pertan any yaan aan
filo filoso sofi fiss
yang yang
berh berhub ubun unga gan n
deng dengan an
matematika, mereka mengatakan untuk memberi sumbangan bagi filsafat matematika. 7udah tentu perbedaan antara filsafat matematika dengan land landas asan an mate matema mati tika ka menj menjad adii tida tidak k jela jelas. s. nte ntera raks ksii anta antara ra fils filsof of matemat matematika ika dengan dengan matemat matematika ika menjad menjadii tidak tidak jelas. jelas. nterak nteraksi si antara antara fils filsof of
mate matema mati tika ka
deng dengan an
mate matema mati tika ka"a "an n
akan akan
meng mengha hasi silk lkan an
pemahaman tentang hakikat matematika menjadi lebih baik. &ika matem matemati atika ka diib diibara aratk tkan an sebua sebuah h pegu pegunu nung ngan an yang yang memi memiiki iki sebia sebiah h puncak, maka para matematika"an adalah orang yang mendaki gunung dan dan para para filso filsoff matem matemati atika ka adal adalah ah oran orang g yang yang naik naik pesa pesa"a "att untu untuk k mengamati pegunungan. 'atematika"an yang sangat profesional adalah sepe sepert rtii pend pendak akii gunu gunung ng yang yang suda sudah h menc mencap apai ai punc puncak akny nya. a. Fils Filsof of matematika seperti orang yang naik helikopter yang melihat puncaknya. 7eorang filsof matematika adalah seorang pendaki gunung yang mungkin
22
belum pernah mencapai puncaknya sekalipun, idelanya adalh filsof matemat matematika ika yang yang disamp disamping ing pendak pendakii yang yang telah telah sampai sampai di bebera beberapa pa puncak dan terbang ke angkasa melihat pegunungan matematika seutuhnya. seutuhnya.*2
/A/ P+:4:P A. Kesi Kesimp mpul ulan an
Dalam tahap ini ada % aliran yang akan di(elaskan yaitu l"gisisme !"rmalisme intuiti"nisme dan k"nstrukti&isme. k"nstrukti&isme. Aliran 12Hardi 7uyitno,Filsafat 'atematika,:ni;ersitas +egeri 7emarang,2*<, hlm . 1005 211
2$
l"gisme adalah aliran yang dipel"p"ri "leh lsu! *nggris Bertrand Arthur 3illiam Russell . Pada tahun 10,$ ter)it )uku )eliau / Russell The Participles of Mathematics yang Mathematics yang )erpegang pada pendapat )ah4a matematik murni semata5mata semata5mata terdiri atas deduksi5deduksi dengan prinsip5prinsip l"gika dari prinsip5prinsip A"alnya logika dan matematika lahir dalam konteks yang sangat s angat l"gika A"alnya berbeda, tetapi perkembangan selanjutnya matematika semakin logis dan logika matematis dan tidak ada garis pemisah antara logika dengan matematika. Aliran logisisme memiliki dua dalil, yaitu pertama adalah =konsepkonsep matematika dapat diturunkan konsepkonsep logika melalui definisi yang eksplisit> dan yang kedua adalah =teoremateorema dalam matematika dapat diturunkan dari aksioma aksioma logika dengan sematamata melalui deduksi logis> Aliran formalisme dalam matematika dapat dilacak pada /ishop /erkeley,tetapi /erkeley,tetapi pencetus utamanya uta manya adalah #a;id Hilbert. Menurut mad-a) ini
si!at alami dari matematik ialah se)agai sistem lam)ang yang !"rmal. Matematik )ersangkutpaut dengan si!at5si!at struktural dari sim)"l5sim)"l dan pr"ses peng"lahan terhadap lam)ang5 lam)ang itu. +im)"l5sim)"l dianggap me4akili pel)agai sasaran yang men(adi men(adi ")yek matematik matematik )ilangan5)ilangan )ilangan5)ilangan misalnya dipandang se)agai si!at5si!at struktural sim)"lisme a)strak yang dilepaskan dari sesuatu arti tertentu dan hanya menun(ukkan menun(ukkan )entuknya sa(a mad-a) !"rmalisme )erusaha menyelidiki struktur dari pel)agai sistem. 5ogika merupakan alat yang digunakan untuk meletakkan struktur yang sederhana dari aksiomaaksioma matematika. ntuisionisme adalah aliran filsafat dalam tradisi Kant bah"a semua pengetahuan manusia dia"ali oleh intuisi, menghasilkan konsepkonsep, konsepkonsep, dan diakhiri dengan ideide. Berla4anan dengan mad-a) !"rmalisme !"rmalisme
)erkem)anglah )erkem)anglah mad-a) landasan matematik intuiti"nisme yang dipel"p"ri "leh ahli matematik Belanda Luit-en Eg)ertus >an Br"u4er. Beliau )erpendirian )ah4a matematik adalah sama dengan )agian yang eksak dari pemikiran manusia. =etepatan =etepatan dalil5dalil matematik terletak dalam akal manusia /human intelle;t dan tidak pada sim)"l5sim)"l di atas kertas se)agaimana diyakini "leh mad-a) !"rmalisme. !"rmalisme. Aliran intuitionisme berpandangan matematika sebagai suatu aktifitas pemikiran manusia yang terbatas dari bahasa dan basisnya adalah filsafat tentang fikiran, implikasi dari pandangan intutionisme adalah memba"a kepada suatu bentuk matematika yang kontruktif dengan meninggalkan banyak bagian dari matematika klasik. mplikasi yang lain adalah kepercayaan pada suatu filsafat tentang pemikiran memasukkan atau 2%
memperkenalkan keistime"aan atau cirriciri yang tidak ada dalam matematika klasik dengan bentuk dari matematika konstruktif. 7alah satu aliran filsafat yang dianggap sebagai salah satu arus utama filsafat ,matematika adalah aliran konstrukti;isme. 7udut pandang konstrukti;isme bentuk lain tidak sama dengan intuitionisme, tetapi sesuai dengan tujuannya masingmasing dalam matematika. #alam filsafat matematika aliran konstrukti;isme berpandangan bah"a adalah suatu keharusan utuk mencari atau mengkinstruksi objek matematik untuk menunjukan eksistensinya. 'atematika tidak ditemukan oleh manusia, tetapi diciptakan manusia dan dalam matematika suatu bentuk baru hars dikonstruksi. &adi matematika bukan sebuah permainan simbol sebagaimana sebagaimana pandangan para formalis. 4etapi 4etapi sebuah kegiatan seperti latihan $e@ercise%. mplikasi dalam prinsip ini ialah bukti dalam matematika harus juga merupakan hasil konstruksi. /. 7aran Dalam menyelesaikan makalah ini )anyak ter(adi kekurangan dan kekhila!an untuk itu kami m"h"n saran agar dapat memper)aiki makalah yang selan(utnya.
28
DA:'AR PU+'A=A 4he 5iang 6ie.*-19.#ilsafat 6ie.*-19 .#ilsafat atemati! .8ogyakarta( .8ogyakarta( Penerbit 7upersukses 7uyitno,Hardi.2*<. #ilsafat #ilsafat atemati!a.7emarang(:ni;ersitas atemati!a.7emarang(:ni;ersitas +egeri 7emarang )liran*aliran #ilsafat atemati!a.7emarang(:ni;ersitas atemati!a.7emarang(:ni;ersitas Pra)"4"Agung.2-. )liran*aliran &enderal 7oedirman
29
