APUNTES DE AEROELASTICIDAD Ing. Miguel A Bavaro Revisión: 0 04/2009
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AEROELASTICIDAD 1) Introducción. Definiciones. 2) Sistemas de un grado de libertad. Vibraciones libres con y sin amortiguamiento. Respuesta de sistemas simples. Diagramas de Bode. 3) Vibraciones de sistemas con múltiples grados de libertad. Modelos matemáticos. Coordenadas generalizadas. Principio de Hamilton. Ecuaciones de Lagrange. Acoplamiento. Sistemas Autoexcitados. 4) Vibraciones de alas. Flexión y torsión. Modelos discretos y continuos. 5) Problemas aeroelastoestáticos. Divergencia Torsional. Modelo discreto. Modelo continuo. Divergencia de alas en flecha. Inversión de comandos 6) Aeroelastodinámica. Flütter y Buffeting. Definición y clasificación. Métodos de análisis: analíticos y experimentales. 7) Introducción a la Aerodinámica No estacionaria. 8) Flütter binario flexión-torsión. Modelos bidimensionales. 9) Flütter con las superficies de comando. Métodos aproximados para la estimación de la velocidad de Flütter. Balanceo de las superficies de comando y prevención del Flütter.
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Tema N°1: Introducción a la Aeroelasticidad Aeroelasticidad: Disciplina que estudia los fenómenos de interacción entre las cargas aerodinámicas y las deformaciones inducidas por estas en la estructura de las aeronaves y sus mecanismos de comando. Una consecuencia directa de esta deformación es que la propiedad más importante para prevenir los fenómenos aeroelásticos es la rigidez estructural. Otra característica distintiva de los fenómenos aeroelásticos es que dado que las cargas son aerodinámicas (o sea dependen de la velocidad del aire) no pueden ser eliminados, pues siempre habrá una velocidad a la cual se producirán dichos efectos; lo que se busca es que esta velocidad sea mayor que la velocidad máxima de la aeronave. Las normas aeronáuticas prescriben la relación mínima que debe existir entre la velocidad de aparición de los distintos fenómenos y la velocidad del avión. Se puede definir a la Aeroelasticidad como una conjunción de tres disciplinas: DINAMICA (FUERZAS DE INERCIA)
MECANICA DE LOS FLUIDOS (FUERZAS AERODINAMICAS)
MECANICA DEL SOLIDO (FUERZAS ELASTICAS)
La Aeroelasticidad concierne a aquellos fenómenos físicos que involucran una significativa INTERACCION entre las fuerzas de INERCIA, ELASTICAS y AERODINAMICAS. Como tal los problemas aeroelásticos pertenecen a la categoría de los denominados PROBLEMAS de INTERACCION, los cuales por su naturaleza NO ADMITEN un tratamiento SECUENCIAL para su resolución, a diferencia de otros problemas, por ejemplo los TERMOMECANICOS. Adicionalmente se pueden definir otras disciplinas tomando las antes mencionadas de a pares: MECANICA DEL VUELO = DINAMICA + AERODINAMICA DINAMICA ESTRUCTURAL = DINAMICA + MECANICA DEL SOLIDO AEROELASTOESTATICA = MECANICA FLUIDOS + MECANICA SOLIDOS Conceptualmente, cada una de estas disciplinas puede pensarse como un aspecto especial de la AEROELASTICIDAD.
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Clasificación de los fenómenos aeroelásticos.
Divergencia 1) Fenómenos aeroelastoestáticos: Inversión de comandos
Flütter 2) Fenómenos aeroelastodinámicos: Buffeting
Por razones históricas, en general sólo se consideran los fenómenos aeroelastoestáticos (Divergencia e Inversión de Comandos). Sin embargo, el impacto de la Aeroelasticidad sobre la Mecánica del Vuelo se ha incrementado sustancialmente en los últimos años, por ejemplo: a)
b)
Las tensiones inducidas por las altas temperaturas originadas en los vuelos supersónicos e hipersónicos pueden ser importantes en los problemas aeroelásticos, en estos casos se aplica el término AEROTERMOELASTICIDAD. En otras aplicaciones, la Dinámica de los Sistemas de Control y Guiado puede afectar significativamente a los problemas aeroelásticos y viceversa, originando el término AEROSERVOELASTICIDAD.
Mientras que la Aeroelasticidad es un disciplina de origen netamente aeronáutico, cada vez son más las aplicaciones de esta disciplina en otras áreas de la ingeniería, como por ejemplo: Flujo de aire en puentes, chimeneas y edificios muy altos, Flujo en turbomáquinas y cañerías, Flujo en intercambiadores de calor y elementos combustibles de centrales nucleares, etc. Se puede pensar que en la medida que se utilicen estructuras cada vez más livianas y condiciones de flujo más severas, mayor será el riesgo de encontrarse con un problema aeroelástico.
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Definiciones: Vibración: Se dice que un cuerpo vibra cuando ejecuta un movimiento periódico alrededor de una posición de equilibrio. Movimiento periódico: Es un movimiento que se repite cada cierto intervalo de tiempo llamado: Período x
t T = período
Movimiento armónico simple: Es un movimiento que sigue una función senoidal o cosenoidal. x C t
x = A sen ωt + B cos ωt = C sen (ωt + ϕ) Donde: ω = Frecuencia angular. C = Amplitud del movimiento. ϕ = Desfasaje inicial. Vibración libre: Es el movimiento periódico que describe un sistema elástico cuando es apartado de su posición de equilibrio y liberado. Vibración forzada: Es la vibración que resulta de la aplicación de una fuerza externa periódica. Régimen transitorio: Es el movimiento que describe un sistema durante el tiempo requerido para adaptarse de un sistema de fuerzas a otro. Régimen estacionario: Es el movimiento que describe un sistema una vez finalizado el régimen transitorio. Frecuencia natural: Es la frecuencia de la vibración libre de un sistema elástico.
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Resonancia: Cuando sobre un sistema actúa una fuerza exterior periódica cuya frecuencia coincide o es cercana a una frecuencia natural del sistema, la amplitud del movimiento se incrementa; en este caso se dice que existe un estado de resonancia. Divergencia: Inestabilidad torsional estática del ala de un avión debida a las fuerzas aerodinámicas. Inversión de comandos: Inestabilidad torsional estática de un componente con superficie de comando, que anula o invierte el efecto de dicha superficie de comando. Flütter: El Flütter es un movimiento o vibración inestable y divergente causado por las fuerzas aerodinámicas. Buffeting: Vibración forzada de una parte del avión causada por la estela generada en otro componente de la aeronave. Flütter binario: Flütter que involucra dos modos simples de vibración en forma simultánea. Flütter ternario: Flütter que involucra simultáneamente tres modos simples de vibración.
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Tema N°2: Vibraciones de sistemas de un grado de libertad u(t)
K P(t) C
M
Mu + Cu + Ku = P ( t )
Vibraciones libres: P(t) = 0 a) Sin amortiguamiento: C = 0
Mu + Ku = 0 ⇒ u + Denominando: ωn2 =
K u=0 M
K resulta: M u ( t ) = A1 sen (ωn t ) + A2 cos (ωn t )
K es la frecuencia natural del sistema. M Las constantes A1 y A2 se obtienen a partir de las condiciones iniciales.
Donde ωn =
b) Con amortiguamiento: C≠ 0
Mu + Cu + Ku = 0 ⇒ u +
C K C u + u = 0 ⇒ u + u + ωn2 u = 0 M M M
Planteamos como solución: u ( t ) = Aeλt , reemplazando resulta:
C C ⎛ 2 ⎞ + ωn2 ⎟ A eλt = 0 ⇒ λ 2 + λ + ωn2 = 0 ⎜λ + λ M M ⎝ ⎠
λ1,2 = −
C C2 ± − ωn2 2 2M 4M
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La forma de la solución depende del valor del discriminante: Δ=
C2 − ωn2 2 4M
Al valor del amortiguamiento C que hace el discriminante igual a 0 se denomina amortiguamiento crítico (Ccr). Δ=
Ccr2 − ωn2 = 0 ⇒ Ccr2 = 4 M 2ωn2 2 4M
⇒ Ccr = 2M ωn
Denominando amortiguamiento reducido (ζ) a la relación entre el amortiguamiento y el amortiguamiento crítico, resulta:
ζ =
C C = Ccr 2 M ωn
⇒
C = ζωn 2M
λ1,2 = −ζωn ± ζ 2ωn2 − ωn2 = −ζωn ± ωn ζ 2 − 1 Para C > Ccr (ζ >1), las raíces λ1,2 son reales, distintas y negativas:
(
λ1 = −ωn ζ − ζ 2 − 1
)
(
y λ2 = −ωn ζ + ζ 2 − 1
)
En consecuencia se obtiene: u ( t ) = A1 eλ1t + A2 eλ2t
Este es un movimiento no armónico denominado sobreamortiguado. Para C = Ccr (ζ = 1), tendremos una raíz doble, real y negativa λ1,2 = −ωn y la solución resulta: u ( t ) = A1 e −ωnt + A2 t e −ωnt
obteniéndose también un movimiento no armónico. Para C < Ccr (ζ < 1), las raíces λ1,2 son complejas conjugadas, resultando un movimiento armónico amortiguado:
λ1 = −ωnζ − iωn 1 − ζ 2
y λ2 = −ωnζ + iωn 1 − ζ 2
Definiendo como frecuencia propia: ωd = ω n 1 − ζ 2 se obtiene la siguiente expresión para el desplazamiento:
u ( t ) = e−ζωnt ⎡⎣ A1 sen (ωd t ) + A2 cos (ωd t ) ⎤⎦ 8
u
ζ>1
ζ= 1
t
ζ<1
En todos los casos se supuso que la constante de amortiguamiento C y por lo tanto ζ eran positivas, suponiendo que fuera físicamente posible que C fuera negativo, en ese caso tendríamos que la amplitud del movimiento crecería con el factor eζωnt y el movimiento resultaría divergente. Este amortiguamiento negativo puede interpretarse como una entrega de energía al sistema en lugar de su disipación. Cuando la representación matemática de un sistema físico lineal tiene una apariencia tal que C es negativo, este sistema se denomina auto-excitado. Vibraciones forzadas: P(t) ≠ 0 Mu + Cu + Ku = P ( t )
Suponemos una fuerza armónica: P ( t ) = P0 sen (ωt ) Donde ω es la frecuencia de la fuerza forzante.
Mu + Cu + Ku = P0 sen (ωt ) ⇒ u +
P C K u + u = 0 sen (ωt ) M M M
Reemplazando por los valores hallados anteriormente, se obtiene: P u + 2ζωnu + ωn2u = 0 sen (ωt ) M
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Una solución particular es: u ( t ) = A sen (ωt − ϕ ) Reemplazando en la ecuación diferencial: u ( t ) = A ⎡⎣sen (ω t ) cos ϕ − cos (ωt ) senϕ ⎤⎦
u ( t ) = A ⎡⎣ω cos (ω t ) cos ϕ + ω sen (ω t ) senϕ ⎤⎦ u ( t ) = A ⎡⎣ −ω 2 sen (ω t ) cos ϕ + ω 2 cos (ωt ) senϕ ⎤⎦ −ω 2 sen (ω t ) cos ϕ + ω 2 cos (ωt ) senϕ + 2ζωn ⎡⎣ω cos (ω t ) cos ϕ + ω sen (ω t ) senϕ ⎤⎦ + +ωn2 ⎡⎣sen (ω t ) cos ϕ − cos (ωt ) senϕ ⎤⎦ =
P0 sen (ω t ) AM
Agrupando tendremos:
cos ϕ (ωn2 − ω 2 ) + senϕ 2ζωωn =
P0 AM
(1)
cos ϕ 2ζωωn − senϕ (ωn2 − ω 2 ) = 0
(2)
de la ecuación (2) se obtiene: tan ϕ =
⎡ 2ζωω ⎤ 2ζωωn n ⎢ 2 ⎥ ⇒ = ϕ arctan 2 2 2 ⎢⎣ (ωn − ω ) ⎥⎦ ( ωn − ω )
Denominando frecuencia reducida a la relación: Ω = ⎡ 2ζ Ω ⎤ ⎥ 2 ⎢⎣ (1 − Ω ) ⎥⎦
ϕ = arctan ⎢
ω , tendremos: ωn
(3)
Operando en la ecuación (1) nos queda:
cos ϕ ωn2 (1 − Ω 2 ) + senϕ 2ζωn2 Ω = cos ϕ (1 − Ω 2 ) + senϕ 2ζ Ω =
P0 AM
P0 P0 P = = 0 2 A M ωn A M K AK M
De la expresión (3) obtenemos:
senϕ =
(1 − Ω ) ⎡(1 − Ω ) + 4ζ ⎢⎣ 2
2ζ Ω
cosϕ =
⎡(1 − Ω 2 )2 + 4ζ 2 Ω 2 ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦
Reemplazando en (1) y operando obtenemos:
10
2 2
2
Ω 2 ⎤⎥ ⎦
A=
P0 K ⎡(1 − Ω 2 )2 + 4ζ 2 Ω 2 ⎤ ⎣⎢ ⎦⎥
P0 es el desplazamiento correspondiente al problema estático Aest, por K lo tanto resulta: El valor
A 1 = Aest ⎡(1 − Ω 2 )2 + 4ζ 2 Ω 2 ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦
(4)
A y ϕ en función de Ω y tomamos como parámetro al Aest amortiguamiento reducido ζ:
Graficamos
ϕ π
A Aest
ζ=0
ζ=0
6
π/2
ζ=0,15 ζ=0,2
ζ=1
ζ=0,5
ζ=0,5
1 ζ=1
ζ=0,2 ζ=0,15
0,5
1
1,5
Ω
1
Ω
Podemos ver que las cercanías de Ω = 1 se produce un aumento de la amplitud para ζ < 1. ⎛ A ⎞ ∂⎜ ⎟ Aest ⎠ ⎝ = 0 , podremos obtener la frecuencia donde se produce Si planteamos ∂Ω la resonancia:
Ω R = 1 − 2ζ 2
⇒ ωR = ωn 1 − 2ζ 2 11
Reemplazando el valor de la frecuencia de resonancia en la expresión (4) obtendremos la amplitud de resonancia:
⎛ A ⎞ 1 ⎜ ⎟ = 2 ⎝ Aesr ⎠ R 2ζ 1 − ζ
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Tema N°3: Vibraciones de sistemas discretos con múltiples grados de libertad En este punto estudiaremos las características de vibración de los sistemas discretos con múltiples grados de libertad, este tipo de sistemas son muy utilizados en los modelos matemáticos de sistemas más complejos. Para el planteo de las ecuaciones de movimiento de estos sistemas emplearemos una formulación variacional por ser la más práctica para esta tarea. En principio se podría aplicar la segunda ley de Newton (equilibrio de cuerpo rígido), pero el enfoque basado en el principio de Hamilton y las ecuaciones de Lagrange resulta más efectivo, fundamentalmente en sistemas con muchos grados de libertad. El principio de Hamilton se puede deducir a partir de la 2da ley de Newton para una partícula, luego generalizarlo a muchas partículas y finalmente a un medio continuo. z
P
F
t2
δr t1
r
r +δr
y x
Planteamos la 2da ley de Newton para la partícula P:
d 2r d 2r ⇒ m −F =0 dt 2 dt 2 Consideramos un camino adyacente r + δ r , donde δ r es un desplazamiento virtual. Si el intervalo de interés es t = t1 → t2 se requerirá que δ r t =t = δ r t =t = 0 F =m
1
2
Planteando el principio de los trabajos virtuales obtenemos:
∫
t2
t1
⎛ d 2r ⎞ ⎜ m 2 iδ r − F iδ r ⎟ dt = 0 ⇒ ⎝ dt ⎠
∫
t2
t1
13
t2 ⎛ d 2r ⎞ ⎜ m 2 iδ r ⎟ dt − ∫t1 F iδ r dt = 0 (5) ⎝ dt ⎠
(
)
Integrando por partes el primer miembro de la ecuación (5) tendremos: m∫
t2
t1
t2 d r ⎛ d 2r ⎞ dr d t i δ r t2 − m ∫ i (δ r ) dt ⎜ 2 iδ r ⎟ dt = m 1 t 1 dt dt dt ⎝ dt ⎠
Si r es una función continua y derivable (analítica), se puede demostrar que:
d dr (δ r ) = δ ⎛⎜ ⎞⎟ dt ⎝ dt ⎠ Con lo cual resulta: 2 t2 ⎛ d r t2 d r ⎞ ⎛ dr iδ ⎜ m ∫ ⎜ 2 iδ r ⎟ dt = −m ∫ t1 t 1 dt ⎝ dt ⎝ dt ⎠
⎞ ⎟ dt ⎠
Aplicando la variación de un producto:
⎛ dr dr ⎞ dr ⎛ dr ⎞ ⎛ dr i iδ ⎜ ⎟= ⎟+δ ⎜ ⎝ dt dt ⎠ dt ⎝ dt ⎠ ⎝ dt
δ⎜
dr ⎛ dr ⎞ ⎞ dr =2 iδ ⎜ ⎟i ⎟ dt ⎠ dt ⎝ dt ⎠
Por lo tanto resulta: 2 t2 ⎛ d r t2 d r ⎞ m t2 ⎛ d r d r ⎞ ⎛ dr ⎞ iδ ⎜ i m ∫ ⎜ 2 iδ r ⎟ dt = −m ∫ dt = − ∫ δ ⎜ ⎟ ⎟ dt t1 t1 dt 2 t1 ⎝ dt dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
Reemplazando en (5) se obtiene:
∫
t2
t1
⎡1 ⎤ ⎛ dr dr ⎞ ⎢ 2 m δ ⎜ dt i dt ⎟ + F i δ r ⎥ dt = 0 ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
Este es el Principio de Hamilton para una partícula material que se puede expresar como: t2
∫ δ (T + W ) dt = 0 t1
(6)
Donde:
1
⎛ dr dr ⎞
δ T = m δ ⎜ i ⎟ ⇒ Primera variación de la energía cinética 2 ⎝ dt dt ⎠
δ W = F i δ r ⇒ Trabajo virtual de las fuerzas exteriores Vemos que la expresión (6) es la forma variacional de la segunda ley de Newton. Antes de continuar es deseable saber cuando podemos invertir el proceso, o sea, a partir de la expresión integral del Principio de Hamilton, obtener la ecuación diferencial de Newton. La respuesta a esta pregunta no es 14
inmediata, después de todo, el Principio de Hamilton representa una integral sobre el intervalo de interés, mientras que la ley de Newton debe cumplirse para todo tiempo. Aplicando este proceso inverso, más adelante obtendremos las ecuaciones de Lagrange. El Principio de Hamilton puede generalizarse fácilmente a un conjunto de partículas, teniendo en cuenta que el principio básico no varía, sino que se modifican las expresiones del trabajo y la energía cinética: N
δT = ∑ i =1
mi ⎛ dri dri ⎞ δ⎜ i ⎟ 2 ⎝ dt dt ⎠
N
δ W = ∑ Fi i δ ri i =1
Para generalizarlo a un cuerpo continuo, debemos tener en cuenta que el trabajo virtual de las fuerzas tiene que incluir todas las fuerzas presentes, las cuales se pueden descomponer en:
δ W = δ Wi + δ WC + δ WNC Donde:
δWi = Trabajo virtual de las fuerzas interiores δWC = Trabajo virtual de las fuerzas exteriores conservativas δWNC = Trabajo virtual de las fuerzas exteriores no conservativas
El trabajo virtual de las fuerzas interiores es igual a la variación de la energía de deformación cambiada de signo:
δWi = -δU El trabajo virtual de las fuerzas exteriores conservativas es igual a la variación del potencial de las cargas exteriores cambiado de signo:
δWC = -δV Reemplazando obtenemos:
δ W = −δ U − δ V + δ WNC = −δ (U + V ) + δ WNC = −δπ * + δ WNC Donde δπ* es la primera variación de la energía potencial total. Consecuentemente, el Principio de Hamilton para un cuerpo continuo resulta:
∫
t2
t1
⎡δ (T − π * ) + δ WNC ⎤ dt = 0 ⎣ ⎦
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(7)
Ecuaciones de Lagrange Las ecuaciones de Lagrange se utilizan para revertir el proceso por el cual dedujimos el Principio de Hamilton. Sin embargo para obtener un resultado más general que la 2da ley de Newton, introducimos el concepto de “coordenadas generalizadas” o “grados de libertad”. Se define de esta manera a las cantidades independientes necesarias y suficientes para describir el movimiento de un sistema dinámico. O sea, el desplazamiento de una partícula o un punto de un cuerpo continuo puede expresarse como: r = r ( q1 , q2 ,… , qi ,… , qN , t )
Donde qi es la “iésima” coordenada generalizada, en consecuencia resulta:
T = T ( q1 , q2 ,… , qi ,… , qN , q1 , q2 ,… , qi ,… , qN , t )
π * = π * ( q1 , q2 ,… , qi ,… , qN , q1 , q2 ,… , qi ,… , qN , t ) Las variaciones de la energía cinética y potencial total resultan:
δT =
∂T ∂T ∂T ∂T ∂T ∂T δ q1 + … + δ qi + … + δ qN + δ q1 + … + δ qi + … + δ qN ∂q1 ∂qi ∂qN ∂q1 ∂qi ∂qN
∂π * ∂π * ∂π * ∂π * ∂π * ∂π * δπ = δ q1 + … + δ qi + … + δ qN + δ q1 + … + δ qi + … + δ qN ∂q1 ∂qi ∂qN ∂q1 ∂qi ∂qN *
Si reemplazamos en la expresión del Principio de Hamilton (7) obtendremos: N
∑∫ i =1
t2
t1
⎡ ∂ (T − π * ) ⎤ ∂ (T − π * ) ⎢ δ qi + δ qi + Qi δ qi ⎥ dt = 0 ∂qi ⎢⎣ ∂qi ⎥⎦
(8)
Donde las Qi son las “fuerzas generalizadas”, las cuales se pueden obtener a partir de la expresión: N
δ WNC = ∑ Qi δ qi i =1
(9)
Si integramos por partes el primer término de la ecuación (8) y teniendo en cuenta que para funciones analíticas los símbolos derivada y variación son intercambiables, tendremos:
∫
t2
t1
∂ (T − π * ) ∂qi
δ qi dt =
∂ (T − π * ) ∂qi
t2
δ qi t1
Reemplazando en (8) y agrupando:
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d ⎡ t2 ∂ ( T − π − ⎢∫ ∂qi dt ⎢ t1 ⎣
*
) ⎤⎥ δ q dt ⎥⎦
i
N
∑∫ i =1
t2
t1
⎧⎪ d ⎡ ∂ (T − π * ) ⎨− ⎢ dt ⎢ ∂qi ⎣ ⎩⎪
⎫⎪ ⎤ ∂ (T − π * ) ⎥+ + Qi ⎬ δ qi dt = 0 ∂qi ⎥⎦ ⎭⎪
Dado que los δqi son arbitrarios y que las integrales no pueden depender de los límites de integración, el cumplimiento de la igualdad implica que:
−
d ⎡ ∂ (T − π ⎢ dt ⎢ ∂qi ⎣
*
) ⎤⎥ + ∂ (T − π ) + Q = 0 *
⎥⎦
i
∂qi
i = 1, 2,… , N
(10)
Las expresiones (10) se denominan Ecuaciones de Lagrange y permiten obtener las ecuaciones de movimiento de un sistema dinámico a partir de la aplicación del Principio de Hamilton. Acoplamiento Consideremos el siguiente sistema con 2 grados de libertad y sin amortiguamiento:
K1
M1 u1 K2 M2
u2 Planteamos el Principio de Hamilton, considerando como grados de libertad a u1 y u2: M M T = 1 u12 + 2 u22 Energía cinética: 2 2 K K 2 Energía Potencial Total: π * = 1 u12 + 2 ( u2 − u1 ) 2 2 Las ecuaciones de Lagrange resultan:
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⎧ d ⎡ ∂ (T − π * ) ⎪− ⎢ ⎪⎪ dt ⎣⎢ ∂u1 ⎨ * ⎪ d ⎡ ∂ (T − π ) ⎪− ⎢ dt ⎢ ∂u2 ⎣ ⎩⎪
⎤ ∂ (T − π * ) ⎥+ = 0 ⇒ − M 1u1 − K1u1 − K 2 ( u1 − u2 ) = 0 ∂u1 ⎥⎦ ⎤ ∂ (T − π * ) ⎥+ = 0 ⇒ − M 2u2 − K 2 ( u2 − u1 ) = 0 ∂u2 ⎥⎦
Agrupando y expresando en forma matricial obtenemos: ⎡ M1 ⎢ 0 ⎣
0 ⎤⎧ u1 ⎫ ⎡ K1 + K 2 ⎨ ⎬+ M 2 ⎥⎦⎩u2 ⎭ ⎣⎢ − K 2
− K 2 ⎤⎧ u1 ⎫ ⎧0 ⎫ ⎥ ⎨u ⎬ = ⎨0 ⎬ K 2 ⎦⎩ ⎩ ⎭ 2⎭
Si planteamos como solución: ⎧ u1 (t ) ⎫ ⎧ A1 ⎫ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ sen (ωt + ϕ ) ⎩u2 (t ) ⎭ ⎩ A2 ⎭
y reemplazamos tendremos:
⎛ 2 ⎡ M1 ⎜ −ω ⎢ ⎣ 0 ⎝
− K 2 ⎤ ⎞ ⎧ A1 ⎫ ⎧0 ⎫ ⎟ ⎨ ⎬ sen (ωt + ϕ ) = ⎨ ⎬ ⎥ K 2 ⎦ ⎠ ⎩ A2 ⎭ ⎩0 ⎭
0 ⎤ ⎡ K1 + K 2 + M 2 ⎦⎥ ⎢⎣ − K 2
Para que exista una solución distinta de la trivial debe cumplirse:
( K1 + K 2 ) − ω 2 M 1 −K2
−K2 = 0 ⇒ ⎡⎣( K1 + K 2 ) − ω 2 M 1 ⎤⎦ ⎡⎣ K 2 − ω 2 M 2 ⎤⎦ − K 22 = 0 2 K2 − ω M 2
ω 4 M 1M 2 − ω 2 ⎡⎣ K 2 M 1 + M 2 ( K1 + K 2 ) ⎤⎦ + K1 K 2 = 0 % M 1M 2 Resulta: ⎡ K 2 ( K1 + K 2 ) ⎤ K1 K 2 ⎧ω + =0 ⇒ ⎨ 1 ⎥+ M 1 ⎦ M 1M 2 ⎩ω2 ⎣M2
ω4 −ω2 ⎢
Comparando estas frecuencias con las frecuencias naturales correspondientes K1 K2 , a cada conjunto masa-resorte por separado: ωn1 = ωn 2 = M1 M2 verificaríamos que: ω1 < ωni ∀ i
ω2 > ωni ∀ i
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Modelo traslación-rotación:
K1
K2
L1
L2
u θ CG
M, Ip
Considerando los grados de libertad u y θ tendremos:
M 2 Ip 2 u + θ 2 2 K K 2 2 Energía Potencial Total: π * = 1 ( u + L1θ ) + 2 ( u − L2θ ) 2 2 T=
Energía cinética:
Ecuaciones de Lagrange: ⎧ d ⎡ ∂ (T − π * ) ⎪− ⎢ ∂u ⎪⎪ dt ⎣⎢ ⎨ * ⎪ d ⎡ ∂ (T − π ) ⎪− ⎢ ⎪⎩ dt ⎢⎣ ∂θ
⎤ ∂ (T − π * ) ⎥+ = 0 ⇒ − Mu − K1 ( u + L1θ ) − K 2 ( u − L2θ ) = 0 ∂u ⎥⎦
⎤ ∂ (T − π * ) ⎥+ = 0 ⇒ − I pθ − K1 ( L1u + L12θ ) − K 2 ( L22θ − L2u ) = 0 ∂θ ⎥⎦
En forma matricial: ⎡M ⎢0 ⎣
0 ⎤ ⎧ u ⎫ ⎡ K1 + K 2 ⎨ ⎬+ I p ⎥⎦ ⎩θ ⎭ ⎣⎢ L1 K1 − L2 K 2
L1 K1 − L2 K 2 ⎤ ⎧u ⎫ ⎧0 ⎫ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ L12 K1 + L22 K 2 ⎦⎥ ⎩θ ⎭ ⎩0 ⎭
Si definimos:
K = K1 + K2 ⇒ constante lineal equivalente K C = L12 K1 + L22 K 2 ⇒ constante de torsión equivalente KA = L2 K2 – L1 K1 ⇒ constante de acoplamiento 19
Obtenemos la expresión: ⎡M ⎢0 ⎣
0 ⎤ ⎧u ⎫ ⎡ K ⎨ ⎬+ I p ⎥⎦ ⎩θ ⎭ ⎢⎣ − K A
− K A ⎤ ⎧ u ⎫ ⎧0 ⎫ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ K C ⎥⎦ ⎩θ ⎭ ⎩0 ⎭
Cuando L2 K2 = L1 K1 la constante de acoplamiento es 0 y el sistema vibra en un modo traslacional y otro rotacional en forma desacoplada, resultando:
ωnu =
K M
ωnθ =
KC Ip
Vemos que en este caso, a diferencia del anterior, podemos desacoplar ambos modos de vibración, con las ventajas que esto implica si recordamos que el acoplamiento provoca una disminución de la primer frecuencia natural del sistema. Sistemas autoexcitados El estudio del flütter se puede comprender más fácilmente si tenemos en cuenta que este fenómeno pertenece a la clase de oscilaciones cuya característica es que son autoexcitadas. Si consideramos un sistema mecánico de un grado de libertad, con una carga forzante: Mu + Cu + Ku = F Resulta evidente que la naturaleza de la función forzante F juega un rol clave en la determinación del tipo de movimiento del sistema. Anteriormente vimos el caso en que F era una función armónica simple. El movimiento del sistema bajo este tipo de fuerza es independiente del desplazamiento u y sus derivadas. Si ahora consideramos el caso: F = F0 u Con lo cual la ecuación diferencial resulta:
Mu + Cu + ( K − F0 ) u = 0 ⇒ u (t ) = A eλt ⎡⎣ λ 2 M + λ C + ( K − F0 ) ⎤⎦ A eλt = 0
λ1,2 = −
C 2 − 4 M ( K − F0 ) C ± 2M 2M
Se obtendrá un movimiento oscilatorio amortiguado si se cumple: C2 C 2 − 4M ( K − F0 ) < 0 ⇒ K − > F0 4M El amortiguamiento crítico se obtendrá para: C2 K− = F0 4M 20
Sin embargo si:
K−
C2 < F0 4M
Se obtiene un movimiento no oscilatorio pero divergente, de hecho si sólo se cumple K < F0, la solución es divergente pues e se eleva a una potencia positiva. Estudiaremos el caso en que F = F0 ü
( M − F0 ) u + Cu + Ku = 0 ⇒ u (t ) = A eλt ⎡⎣ λ 2 ( M − F0 ) + λ C + K ⎤⎦ A eλt = 0 C 2 − 4 ( M − F0 ) K C λ1,2 = − ± 2 ( M − F0 ) 2 ( M − F0 ) Soluciones amortiguadas y estables son posibles para M > F0 y éstas serán oscilatorias en el caso que:
C2 C − 4 ( M − F0 ) K < 0 ⇒ M − > F0 4K 2
Si M ≤ F0 obtendremos nuevamente soluciones divergentes pero no armónicas. Hemos visto que es posible obtener movimientos inestables o divergentes (aunque no oscilatorios) en sistemas de un grado de libertad en función del valor de F0 cuando la fuerza F es proporcional al desplazamiento o la aceleración. Consideremos ahora el caso más interesante que es cuando F es proporcional a la velocidad: F = F0 u
Mu + ( C − F0 ) u + Ku = 0 ⇒ u (t ) = A eλt ⎡⎣ λ 2 M + λ ( C − F0 ) + K ⎤⎦ A eλt = 0
( C − F0 ) ± ( C − F0 ) λ1,2 = − 2M
2
− 4 MK
2M
Aquí para (C−F0) > 0 se obtendrán las soluciones vistas. Pero bajo la condición (C−F0) < 0 existirá el efecto de un término de amortiguamiento negativo, el cual puede interpretarse físicamente como una entrada de energía al sistema. Todos estos casos se denominan autoexcitados. Una característica de estos sistemas, que en general los hace de muy difícil manejo matemático, es que la naturaleza de la función forzante es poco clara y compleja. Muchas veces las funciones de fuerzas presentes se obtienen a partir de complejas interacciones entre cantidades sujetas simultáneamente a diversas leyes físicas.
21
Tema N°4: Vibraciones de vigas. Flexión y torsión El estudio de las vibraciones de las vigas reviste particular importancia si tenemos en cuenta que los componentes más importantes del avión se pueden suponer como vigas (alas, fuselaje, empenaje). En este caso estudiaremos el cálculo de las frecuencias y modos naturales de vibración de las vigas en flexión y torsión. Vibraciones en flexión. Plantearemos 2 métodos para calcular las frecuencias y modos naturales: a) Ecuación diferencial b) Método de Rayleigh-Ritz. a) Ecuación diferencial: Despreciando la deformación por corte (hipótesis de Navier) y la inercia rotatoria, la ecuación de la elástica para una viga referida a los ejes aerodinámicos de un avión resulta: z
q(y,t)
∂2w ρ A( y ) 2 ∂t dy y ∂2 ∂y 2
⎡ ∂2w ⎤ E I y = qT ( y, t ) ( ) ⎢ ∂y 2 ⎥⎦ ⎣
(11)
Donde la carga distribuida qT incluye la carga exterior y la fuerza de inercia, o sea:
∂2w qT ( y, t ) = q( y, t ) − ρ A( y ) 2 ∂t Reemplazando en la ecuación (11) obtenemos la ecuación de movimiento de la viga: ∂2 ⎡ ∂2w ⎤ ∂2w ⎢ E I ( y ) 2 ⎥ + ρ A( y ) 2 = q ( y, t ) ∂y 2 ⎣ ∂y ⎦ ∂t
22
(12)
Para completar la solución deberemos plantear 2 condiciones iniciales: w( y, 0) = w0 ( y )
w( y, 0) = w( y ) Además de las 4 condiciones de contorno correspondientes a la ecuación de la elástica. Suponiendo una viga de sección constante (I(y) = I , A(y) = A), la ecuación diferencial (12) resulta: EI wIV + ρ A w = q ( y, t )
Para obtener las frecuencias y modos debemos resolver la ecuación homogénea: EI wIV + ρ A w = 0 Planteamos una solución por el método de separación de variables:
w( y, t ) = φ ( y ) Y (t ) Reemplazando:
EI φ IV ( y ) Y (t ) + ρ Aφ ( y ) Y (t ) = 0 Dividiendo ambos miembros por EI w(y,t) tendremos:
φ ( y ) ρ A Y (t ) φ ( y) ρ A Y (t ) + =0 ⇒ =− = cte φ ( y ) EI Y (t ) φ ( y) EI Y (t ) IV
IV
Si a esta constante la denominamos “a4”, resultan dos ecuaciones en derivadas totales: ⎧φ IV ( y ) − a 4φ ( y ) = 0 ⎪ ⎨ 4 EI 2 4 EI ⎪Y (t ) + a ρ A Y (t ) = 0 ⇒ ωn = a ρ A ⎩ Cuyas soluciones son: ⎧φ ( y ) = C1 sen(ay ) + C2 cos(ay ) + C3 senh(ay ) + C4 cosh(ay ) ⎨ ⎩Y (t ) = C5 sen(ωn t ) + C6 cos(ωn t )
Si combinamos las diferentes condiciones de contorno: ⎧ w′′( y0 , t ) = 0 ⎨ ⎩ w′′′( y0 , t ) = 0 ⎧ w( y0 , t ) = 0 b) Extremo articulado: ⎨ ⎩ w′′( y0 , t ) = 0
a) Extremo libre:
23
⎧ w( y0 , t ) = 0 c) Extremo empotrado: ⎨ ⎩ w′( y0 , t ) = 0
Encontraremos las frecuencias y modos naturales para los siguientes casos: 1) Viga no vinculada. 2) Viga articulada - libre. 3) Viga empotrada - libre. 4) Viga biarticulada. 5) Viga empotrada-articulada. 6) Viga biempotrada. La fórmula general para la frecuencia natural es:
ωn =
Kω L2
EI ρA
Como ejemplo vamos a calcular las frecuencias y modos de una viga biarticulada:
E, I, ρ, A
z w(y,t)
y L
Condiciones de contorno:
⎧ w(0, t ) = 0 ⎨ ⎩ w′′(0, t ) = 0
⎧ w( L, t ) = 0 ⎨ ⎩ w′′( L, t ) = 0
φ ( y ) = C1 sen(ay ) + C2 cos(ay ) + C3 senh(ay ) + C4 cosh(ay ) φ ′( y ) = a C1cos(ay ) − a C2sen(ay ) + a C3 cosh(ay ) + a C4senh(ay ) φ ′′( y ) = −a 2C1sen(ay ) − a 2C2cos(ay ) + a 2C3 senh(ay ) + a 2C4 cosh(ay ) w(0, t ) = 0 ⇒ φ (0) = 0 ⇒ C2 + C4 = 0 ⎫ ⎬ C 2 = C4 = 0 w′′(0, t ) = 0 ⇒ φ ′′(0) = 0 ⇒ − C2 + C4 = 0 ⎭ w( L, t ) = 0 ⇒ φ ( L) = 0 ⇒ C1 sen(aL) + C3 senh(aL) = 0 ⎫ ⎧2C3 senh(aL) = 0 ⇒ C3 = 0 ⎬⇒ ⎨ w′′( L, t ) = 0 ⇒ φ ′′( L) = 0 ⇒ − C1 sen(aL) + C3 senh(aL) = 0 ⎭ ⎩ 2C1 sen(aL) = 0 ⇒ C1 ≠ 0 sen(aL) = 0 ⇒ a L = n π
⇒ a=
24
nπ L
En consecuencia los modos y frecuencias resultan:
⎛ nπ y ⎞ ⎟ ⎝ L ⎠
φn ( y ) = sen ⎜
ωn =
n 2π 2 L2
EI ρA
b) Método de Rayleigh-Ritz: Para aplicar este método aproximado se utilizan las ecuaciones de Lagrange que ya hemos derivado del Principio de Hamilton. Los desplazamientos de la viga se aproximan con la expresión: n
w( y, t ) = ∑ ci (t )ψ i ( y ) i =1
Donde:
ci(t) : Amplitudes función del tiempo (grados de libertad generalizados) ψi(y) : Funciones de forma que deben cumplir con las condiciones esenciales de contorno Planteamos las expresiones de la energía cinética y la energía de deformación para la viga de Navier:
1 L 2 ρ A [ w( y, t ) ] dy ∫ 0 2 1 L 2 U = ∫ EI [ w′′( y, t ) ] dy 0 2 T=
Dado que se trata de un problema de vibraciones libres no existen cargas exteriores, en consecuencia las ecuaciones de Lagrange resultan: d ⎛ ∂T ⎜ dt ⎝ ∂ci
⎞ ∂U =0 ⎟+ ⎠ ∂ci
Ejemplo: Viga biarticulada Planteamos como aproximación una función polinómica que satisfaga las condiciones esenciales de contorno:
⎧ w(0, t ) = 0 w( y, t ) = c1 y ( L − y ) ⇒ ⎨ ⎩ w( L, t ) = 0 Calculamos las energías cinética y de deformación:
25
L
3 2 ρ Ac12 L5 1 L 1 y 4 L y5 ⎤ 2 2 ⎡y L T = ∫ ρ A [ c1 y ( L − y ) ] dy = ρ Ac1 ⎢ − + ⎥ = 2 0 2 2 5 ⎦0 60 ⎣ 3 1 L 2 U = ∫ EI [ −2c1 ] dy = 2c12 E I L 2 0
La ecuación de Lagrange resulta: d ⎛ ∂T ⎞ ∂U ρ AL5 120 EI c1 + 4 EILc1 = 0 ⇒ c1 + 4 c1 = 0 = ⎜ ⎟+ dt ⎝ ∂c1 ⎠ ∂c1 L ρA 30
De esta ecuación diferencial podemos obtener la frecuencia natural:
ω2 =
120 EI 120 ⇒ ω= 2 4 L ρA L
EI ρA
Comparando con la solución exacta vemos que con esta función tal simple, sólo se comete un error del 11%. Este método es muy útil en caso de vigas de sección y masa variable o cuando existen apoyos elásticos.
Vibraciones torsionales: a) Ecuación diferencial: Por simplicidad planteamos el caso de una viga de sección circular de material homogéneo, isótropo, elástico y lineal.
z
Ir(y,t) T+
T
∂T dy ∂y y
θ
Mt(y,t)
x dy La inercia rotatoria Ir(y,t) vale:
26
I r ( y, t ) = I m ( y )
∂ 2θ ∂t 2
El momento de inercia polar másico por unidad de longitud se puede expresar como: Im(y) = ρ Ip(y), donde Ip(y) es el momento de inercia polar de la sección. Planteando el equilibrio de momentos respecto del eje y obtenemos: ∂T ∂ 2θ + dy − ρ M = 0 ⇒ − T + T I ( y ) dy + M t ( y, t ) dy = 0 ∑ y p ∂y ∂t 2 ∂T ∂ 2θ = ρ I p ( y ) 2 − M t ( y, t ) ∂y ∂t
(13)
Para conocer la relación que vincula el esfuerzo de torsión T con el ángulo θ, planteamos las hipótesis de Navier:
z
dy S γ
r y dθ
x S = γ dy = r dθ
⇒ γ =r
∂θ ∂y
∂θ ∂y ∂θ 2 ∂θ T = ∫ τ r dA = G r dA = G I p ( y ) ∫ ∂y Ω ∂y Ω
τ = Gγ = G r
Reemplazando en la expresión (13) obtenemos:
∂T ∂ ⎡ ∂θ ⎤ ∂ 2θ = ⎢GI p ( y ) ⎥ = ρ I p ( y ) 2 − M t ( y, t ) ∂y ∂y ⎣ ∂y ⎦ ∂t ∂ ⎡ ∂θ ⎤ ∂ 2θ ρ GI ( y ) I ( y ) − = − M t ( y, t ) p p ∂y ⎢⎣ ∂y ⎥⎦ ∂t 2
(14)
La expresión (14) es la ecuación de movimiento de torsión para una viga de sección circular. Para el caso más general en que la sección de la viga no es circular o tubular, la hipótesis de Navier de secciones planas luego de la
27
deformación no se cumple, ya que éstas se alabean. La solución del problema de torsión para secciones no circulares se debe a Saint-Venant y conduce a una ecuación análoga, con la salvedad que en la energía de deformación debe cambiarse el momento de inercia polar (Ip) por el parámetro J, que depende de la forma de la sección, y que para secciones circulares coincide con Ip. Veamos algunos ejemplos de este parámetro J: Secciones rectangulares esbeltas:
b
1 J = b t3 3 t Secciones abiertas de paredes delgadas:
J=
1 n bi ti3 ∑ 3 i =1
bi ti
Secciones cerradas de paredes delgadas:
J=
4 Am2 n bi ∑ i =1 ti
Am
bi ti
La ecuación (14) solamente tiene en cuenta la torsión uniforme, o sea, el momento torsor exterior es constante y el alabeo de las distintas secciones no se encuentra impedido. En el caso que alguna de estas hipótesis no se cumpla, se debe considerar el aporte de la flexión de las alas de los perfiles cuando se torsionan. Este efecto se denomina “Torsión No Uniforme”. 28
z
z
TNU w(y)
y
x w(y) θ
h Qf
Por flexión del ala del perfil tenemos:
Qf = −
∂M f ∂y
⇒ M f = EI f ( y )
∂2w ∂ ⎡ ∂2w ⎤ Q EI y ⇒ = − ( ) f ⎢ f ⎥ ∂y 2 ∂y ⎣ ∂y 2 ⎦
Donde el subíndice f indica que se trata de cantidades asociadas al ala (“flange”) del perfil. Expresamos w en función de θ y obtenemos:
w( y ) ≅
h( y ) h( y ) ∂ 2θ ⎤ ∂ ⎡ θ ( y ) ⇒ Q f = − ⎢ EI f ( y ) 2 2 ∂y 2 ⎥⎦ ∂y ⎣
TNU = Q f h( y ) = −
h 2 ( y ) ∂ 2θ ⎤ ∂ ⎡ ∂ ⎡ ∂ 2θ ⎤ EI ( y ) E ( y ) Γ = − f 2 ∂y 2 ⎥⎦ ∂y ⎢⎣ ∂y ⎢⎣ ∂y 2 ⎥⎦
Donde Γ(y) es un parámetro que depende de la forma de la sección. Finalmente la ecuación de movimiento en torsión para una viga de sección arbitraria resulta: ∂ ⎡ ∂θ ⎤ ∂ ⎡ ∂ 2θ ⎤ ∂ 2θ G J ( y ) ⎥ − ⎢ E Γ ( y ) 2 ⎥ − ρ I p ( y ) 2 = − M t ( y, t ) ∂y ⎢⎣ ∂y ⎦ ∂y ⎣ ∂y ⎦ ∂t
(15)
Suponiendo que se trata de una viga de sección constante y despreciando el efecto de la torsión no uniforme, la ecuación para el caso de vibraciones libres resulta: GJθ ′′ − ρ I pθ = 0 (16)
29
Planteando la misma metodología que en el caso de las vibraciones en flexión, tendremos:
θ ( y, t ) = φ ( y ) Y (t ) GJ Y (t ) φ ′′( y ) − ρ I p φ ( y ) Y (t ) = 0
Dividiendo ambos miembros por GJ θ(y,t) tendremos:
φ ′′( y ) ρ I p Y (t ) φ ′′( y ) ρ I p Y (t ) − =0 ⇒ = = cte = −a 2 φ ( y ) GJ Y (t ) φ ( y ) GJ Y (t ) ⎧φ ′′( y ) + a 2φ ( y ) = 0 ⎪ ⎨ 2 GJ 2 2 GJ ⎪Y (t ) + a ρ I Y (t ) = 0 ⇒ ωn = a ρ I p p ⎩ Las soluciones de estas ecuaciones son: ⎧φ ( y ) = C1 sen(ay ) + C2 cos(ay ) ⎨ ⎩Y (t ) = C3 sen(ωn t ) + C4 cos(ωn t )
Como ejemplo calcularemos las frecuencias y modos de un ala en voladizo de semienvergadura L, las condiciones de contorno serán: Extremo fijo (raíz del ala): θ (0, t ) = 0 ⇒ φ (0) = 0 Extremo libre (puntera): θ ′( L, t ) = 0 ⇒ φ ′( L) = 0
φ ( y ) = C1 sen(ay ) + C2 cos(ay ) φ ′( y ) = a C1 cos(ay ) − a C2 sen(ay ) φ (0) = 0 ⇒ C2 = 0 φ ′( L) = 0 ⇒ C1 cos(aL) = 0 ⇒ C1 ≠ 0 π (2n − 1) π cos( aL) = 0 ⇒ a L = (2n − 1)
2
⇒ a=
2L
Finalmente los modos y frecuencias resultan:
⎡ (2n − 1) π y ⎤ ⎥⎦ 2L ⎣
φn ( y ) = sen ⎢
ωn =
(2n − 1) π 2L
GJ ρIp
b) Método de Rayleigh-Ritz: La aplicación de este método aproximado es análoga al caso de flexión, sólo daremos las expresiones de los términos del Principio de Hamilton que se emplean en los problemas de torsión:
30
Energía cinética:
T=
2 1 L ⎡ ⎤ ρ I θ y t ( , ) p ⎣ ⎦ dy 2 ∫0
Energía de deformación:
U=
1 L 1 L 2 2 GJ [θ ′( y, t ) ] dy + ∫ EΓ [θ ′′( y, t ) ] dy ∫ 0 0 2 2
En la energía de deformación se incluyen los términos correspondientes a la torsión uniforme y no uniforme.
31
Tema N°5: Fenómenos Aeroelastoestáticos. Los fenómenos aeroelastoestáticos se caracterizan por admitir ciertas hipótesis simplificativas: a) El tiempo no es una variable del problema, por lo tanto las fuerzas de inercia pueden eliminarse de las ecuaciones de equilibrio. b) Las fuerzas aerodinámicas se pueden calcular a partir de las ecuaciones para el flujo estacionario. Existen dos tipos de problemas aeroelastoestáticos: 1) Divergencia 2) Inversión de comandos Divergencia: a) Modelo Discreto: Para estudiar este fenómeno plantearemos un modelo bidimensional constituido por un perfil alar rígido (que simula el comportamiento de un ala recta de alargamiento infinito) y un resorte de torsión que representa la rigidez torsional del ala.
α
θ α0
V
MCA
L Kc
CA
Kcθ
e
o c
El interés principal en este modelo es la rotación del perfil (y consecuentemente la torsión del resorte) α en función de la velocidad V. Si el resorte fuera muy rígido o la velocidad del aire muy baja, el ángulo α debería ser muy pequeño. Sin embargo, para resortes muy flexibles o altas velocidades del flujo, el giro del perfil podría torsionar el resorte más allá del límite elástico y conducir a la falla estructural. Un gráfico típico del ángulo de torsión θ en función de la velocidad se muestra en la figura siguiente:
32
Falla estructural θ
VD V La velocidad para la cual el ángulo de torsión se incrementa rápidamente al punto de alcanzar la condición de falla, se denomina Velocidad de Divergencia VD. El objetivo principal de cualquier modelo teórico es predecir con exactitud VD. Debe enfatizarse que la curva de arriba no sólo representa el comportamiento de una sección alar típica, sino también el del ala de un avión real. De hecho la diferencia principal no es el fenómeno básico de la divergencia, sino la complejidad del análisis teórico necesario para predecir el valor de VD para un ala real respecto de la sencillez con que se puede calcular para la sección típica. El ángulo de ataque total α es la suma de un ángulo de ataque inicial α0 (sin torsión del resorte) más un ángulo adicional θ debido a la torsión elástica del ala. Aplicando el concepto de Centro Aerodinámico (CA), definido como el punto del perfil respecto del cual el momento aerodinámico es independiente del ángulo de ataque, el equilibrio de momentos respecto del punto O (eje elástico del perfil) resulta: K cθ − L e − M CA = 0 (17) Donde:
Kc: Constante equivalente a la rigidez torsional del ala L: Fuerza de Sustentación e: Distancia entre el CA y el eje elástico (positiva para el sentido indicado en la figura) MCA: Momento aerodinámico respecto del CA De la teoría aerodinámica estacionaria obtenemos:
∂C ⎞ ∂C ⎛ ⎡ ⎤ L = CL q S = ⎜ CL0 + L α ⎟ q S = ⎢CL0 + L (α 0 + θ ) ⎥ q S ∂α ⎠ ∂α ⎝ ⎣ ⎦ M CA = CMCA q Sc 33
Donde:
q: Presión dinámica =
1 ρV 2 2
S: Superficie alar Si consideramos por razones de simplicidad CL0 = 0 y reemplazamos en la ecuación de equilibrio (17) tendremos:
K cθ − e q S
∂CL (α 0 + θ ) − CMCA q Sc = 0 ∂α
(18)
De la ecuación (18) podemos despejar el ángulo de torsión θ (suponemos por simplicidad CMCA = 0):
∂CL ∂CL α0 α e qS ∂α 0 ∂α θ= = ∂C eS ∂CL K c − eqS L K c 1 − q ∂α K c ∂α
eqS
(19)
La solución (19) tiene algunas propiedades interesantes. Tal vez la más relevante sea que para una presión dinámica definida el ángulo de torsión tiende a infinito. O sea, el denominador del miembro derecho de la expresión (19) vale 0: eS ∂CL 1− q =0 (20) K c ∂α La ecuación (20) representa lo que se denomina “Condición de Divergencia” mientras que la presión dinámica que resulta de resolver dicha ecuación se define como “Presión Dinámica de Divergencia” qD:
qD =
Kc ∂C eS L ∂α
(21)
Dado que sólo tienen sentido físico los valores positivos de qD, solamente puede haber divergencia cuando e > 0. Reemplazando la ecuación (21) en la (19) obtenemos:
eS ∂CL q α0 K c ∂α qD θ= = q eS ∂CL 1− 1− q qD K c ∂α qα 0
34
(22)
Graficando la ecuación (22) para un valor arbitrario de α0 tendremos:
q qD 1
θ Vemos que la curva tiene mucha similitud con la correspondiente al pandeo de una columna imperfecta. Para confirmar esta analogía, veamos que ocurre cuando en la ecuación (19) consideramos α0 = 0:
⎛ ⎝
θ ⎜ Kc − q e S
∂CL ⎞ ⎟=0 ∂α ⎠
Excluyendo la solución trivial θ = 0 se concluye que:
Kc − q e S
∂CL =0 ∂α
(23)
Como ya vimos la expresión (23) es la condición de divergencia. Podemos concluir entonces que la divergencia es un problema de autovalores, donde debemos encontrar una solución distinta de la trivial. En los problemas aeroelastoestáticos la presión dinámica q juega el papel del autovalor del problema, equivalente a la carga crítica en los casos de pandeo de columnas. Por supuesto que el ángulo de torsión no se vuelve infinitamente grande para ningún ala real, más aún la relación entre el ángulo de ataque y las cargas aerodinámicas deja de ser lineal mucho antes. Sin embargo, el ángulo de torsión elástico puede ser lo suficientemente grande como para causar la falla estructural. Por esta razón todos los aviones se diseñan para volar por debajo de los límites de divergencia para todas las superficies sustentadoras, por ejemplo: alas, empenajes, superficies de control, etc.
35
b) Modelo Continuo: En este caso plantearemos un modelo más realista, el cual contiene básicamente los mismos ingredientes que el modelo discreto. Modelamos un ala recta de gran alargamiento como una “Viga Grilla” (flexión + torsión) de sección constante:
z dy CA
e θ
c Mt
y
y x
L
Si de la ecuación de movimiento en torsión (15) eliminamos los términos inerciales y los correspondientes a la torsión no uniforme, obtenemos la ecuación de equilibrio estático siguiente:
d ⎡ dθ ⎤ G J ( y) ⎥ + M t ( y) = 0 ⎢ dy ⎣ dy ⎦
(24)
⎧θ (0) = 0 ⎪ Con las siguientes condiciones de contorno: ⎨ dθ =0 ⎪ dy y = L ⎩ De acuerdo con la teoría del ala con alargamiento infinito, la sustentación y el momento aerodinámico en una sección de coordenada genérica “y” depende únicamente del ángulo de ataque local de dicha sección, o sea, es independiente del ángulo de ataque de las secciones vecinas. En consecuencia podemos expresar el momento torsor por unidad de envergadura Mt de la siguiente manera:
M t ( y ) = M CA + L e Donde:
MCA: Momento aerodinámico por unidad de envergadura L : Fuerza de sustentación por unidad de envergadura e : Distancia del eje elástico al Centro Aerodinámico
36
Aplicando las expresiones de la Aerodinámica Estacionaria y reemplazando:
M CA = CMCA q c 2 L = CL ( y ) c q ∂CL [α 0 ( y ) + θ ( y)] ∂α d ⎛ dθ ⎞ ∂CL 2 [α 0 ( y) + θ ( y)] e c q = 0 ⎜ GJ ⎟ + CMCA q c + dy ⎝ dy ⎠ ∂α CL ( y ) =
Si adimensionalizamos el problema y consideramos que las propiedades geométricas y físicas son constantes, obtenemos:
y ⇒ y = L y ⇒ dy = L dy ⇒ dy 2 = L2 dy 2 L ∂C ∂C GJ d 2θ + θ L e c q = −CMCA q c 2 − L α 0 e c q 2 2 L dy ∂α ∂α y=
d 2θ ∂CL e c q L2 q c L2 ⎛ ∂CL ⎞ + = − θ α 0e + CMCA c ⎟ ⎜ 2 dy ∂α GJ GJ ⎝ ∂α ⎠
λ2
R
⎧ θ ( y =0) = 0 ⎪ θ ′′ + λ 2θ = R ⎨ dθ =0 ⎪ dy = 1 y ⎩ Para calcular la presión dinámica de divergencia debemos hallar la solución de la ecuación homogénea, o sea, consideramos: α0 = CMCA = 0:
θ ′′ + λ 2θ = 0 ⎧θ ( y ) = C1 sen(λ y ) + C2 cos(λ y ) ⎨ ⎩θ ′( y ) = λC1 cos(λ y ) − λC2 sen(λ y ) ⎧θ (0) = 0 ⇒ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪θ ′(1) = 0 ⇒ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
C2 = 0 ⎧ ⎪ λ =0 ⇒ e=q=0 ⎪ ⎪ λC1 cos(λ ) = 0 ⎨ C1 = 0 ⇒ solución trivial ⎪ π ⎪ ⎪cos(λ ) = 0 ⇒ λ = (2n − 1) 2 ⎩
La condición crítica ocurre para n = 1, reemplazando hallamos qD:
37
λ=
π 2
⇒ λ2 =
π2 4
=
∂CL e c qD L2 ∂α GJ
π2
⇒
qD =
GJ 4 ∂CL e c L2 ∂α
(25)
Comparando la expresión de la presión dinámica de divergencia (25) con la obtenida para el modelo discreto (21), resulta:
Kc
π 2 GJ qD =
2 L ∂CL e 2 Lc ∂α S
⇒
Kc =
π 2 GJ 2 L
Resolviendo la ecuación no homogénea obtendremos la variación del ángulo de torsión en función de la presión dinámica:
⎧ θ ( y =0) = 0 ⎪ θ ′′ + λ 2θ = R ⎨ dθ =0 ⎪ dy = y 1 ⎩
θ h ( y ) = C1 sen(λ y ) + C2 cos(λ y ) θ p ( y ) = C3 ⇒ λ 2C3 = R ⇒
C3 =
R
λ2
R ⎧ ⎪θ ( y ) = C1 sen(λ y ) + C2 cos(λ y ) + 2 λ ⎨ ⎪⎩θ ′( y ) = λC1 cos(λ y ) − λ C2 sen(λ y )
θ (0) = 0 ⇒ C2 +
R
λ
2
θ ′(1) = 0 ⇒ C1 cos(λ ) + θ (y) =
R
λ2
=0 ⇒ R
λ
2
C2 = −
R
λ2
sen(λ ) = 0 ⇒ C1 = −
R
λ2
tan(λ )
[1 − tan(λ ) sen(λ y ) − cos(λ y )]
La condición de divergencia se sigue cumpliendo:
tan(λ ) → ∞ ⇒
cos(λ ) = 0
Si consideramos CMCA = 0 ⇒ R = −λ 2α 0 , la solución resulta:
θ ( y ) = α 0 [ −1 + tan(λ ) sen(λ y ) + cos(λ y )] (26)
38
Podemos utilizar el ángulo de torsión en la puntera para caracterizar la variación de θ en función de la presión dinámica:
⎡ ⎤ sen 2 (λ ) + cos(λ ) ⎥ θ (1) = α 0 [ −1 + tan(λ ) sen(λ ) + cos(λ )] = α 0 ⎢ −1 + cos(λ ) ⎣ ⎦ 2 2 ⎡ ⎡ 1 ⎤ sen (λ ) + cos (λ ) ⎤ θ (1) = α 0 ⎢ −1 + = α0 ⎢ − 1⎥ ⎥ cos(λ ) ⎣ cos(λ ) ⎦ ⎣ ⎦ En consecuencia el ángulo total en la puntera resulta:
α = α0 + θ ⇒
α0 = α 0 sec(λ ) cos(λ )
α=
Si expresamos λ en función de la presión dinámica, obtenemos:
∂CL e c q L2 2 λ = ∂α = GJ
λ2 =
π2 q 4 qD
⇒
π2 q GJ
=
∂CL e c L2 ∂α
λ=
4
π
π2
q
GJ
=
π2 q 4 qD
4 ∂CL e c L2 ∂α qD
q qD
2
Reemplazamos y graficamos el ángulo en la puntera:
⎛π
α = α 0 sec ⎜⎜
⎝2
q qD
⎞ ⎟⎟ ⎠
q qD 1
α0
α
39
c) Divergencia de Alas en Flecha: Para analizar la influencia del ángulo de flecha en la condición de divergencia, proponemos un modelo continuo con flecha positiva: V sen(Λ)
V V cos(Λ) y e
c
Λ y
y
L
x
z
dw dy w( y )
V sen(Λ )
dw dy
V sen(Λ) y
y
En la figura el eje y se es el eje aerodinámico y el eje y corresponde al eje elástico del ala. Planteando las ecuaciones de equilibrio estático para flexión y torsión, referidas al eje elástico ( y ), tendremos:
⎧ d 2 ⎛ d 2w ⎞ ⎪ 2 ⎜ EI 2 ⎟ = L( y ) dy ⎠ ⎪ dy ⎝ ⎨ ⎪ d ⎛ GJ dθ ⎞ = − M ( y ) t ⎟ ⎪ dy ⎜ dy ⎠ ⎩ ⎝
40
(27)
Aplicando las ecuaciones aerodinámicas:
L ( y ) = CL ( y ) c q M t ( y ) = CL ( y ) c q e + CMCA ( y ) c 2 q 1 2 ρ [V cos(Λ ) ] = q cos 2 (Λ ) 2 ∂C CL ( y ) = L α ( y ) ∂α dw V sen(Λ) dw dy α (y) = θ ( y) − = θ ( y ) − tan(Λ ) dy V cos(Λ ) q=
Reemplazando en las ecuaciones de equilibrio (27) obtenemos:
⎧ d 2 ⎛ d 2 w ⎞ ∂CL ⎡ ⎤ dw θ (y) − tan(Λ ) ⎥ c q cos 2 (Λ ) ⎪ 2 ⎜ EI 2 ⎟ = ⎢ dy ⎠ ∂α ⎣ dy ⎪ dy ⎝ ⎦ ⎨ (28) ⎪ d ⎛ GJ dθ ⎞ = − ∂CL ⎡θ ( y ) − dw tan(Λ) ⎤ c e q cos 2 (Λ ) − C ( y ) c 2 q cos 2 (Λ) MCA ⎟ ⎥ ⎪ dy ⎜ dy ⎠ dy ∂α ⎢⎣ ⎦ ⎩ ⎝ Analizaremos los 2 casos extremos: 1) Rigidez a flexión infinita ( EI → ∞ lo cual implica w → 0 ): El caso es similar al de un ala recta pero con los coeficientes ligeramente modificados. 2) Rigidez a torsión infinita ( GJ → ∞ lo cual implica θ → 0 ): En este caso la segunda ecuación se satisface idénticamente y solamente nos queda la ecuación de equilibrio en flexión:
d 2 ⎛ d 2w ⎞ ∂C dw tan(Λ ) c q cos 2 (Λ ) EI 2 ⎟ = − L 2 ⎜ ∂α dy dy ⎝ dy ⎠ d 2 ⎛ d 2 w ⎞ ∂CL dw sen(Λ ) cos(Λ) c q =0 EI 2 ⎟ + 2 ⎜ dy ⎝ dy ⎠ ∂α dy Esta última ecuación homogénea, claramente conduce a un problema de autovalores, por lo cual se infiere que existe la posibilidad de tener una condición de divergencia en flexión, aún para el caso de un ala infinitamente rígida en torsión. Esta condición es imposible para el caso del ala recta. Introduciendo variables adimensionales y considerando que las propiedades físicas y geométricas son constantes con la envergadura, obtenemos d 4w dw +λ =0 4 dy dy
41
(29)
Donde:
y=
y L
∂CL q c L3 α ∂ λ= sen(Λ ) cos(Λ) EI Las condiciones de contorno corresponden a una viga en voladizo:
⎧ dw =0 ⎪ w(0) = dy y =0 ⎪ ⎨ 2 3 ⎪d w = d w = 0 ⎪ dy 2 dy 3 y =1 y =1 ⎩ La solución de esta ecuación tiene la particularidad que todos los autovalores son negativos. El menor en valor absoluto de estos autovalores provee la condición de divergencia:
λD = −6,33 =
∂CL sen(Λ ) cos(Λ ) q c L3 ∂α EI
(30)
Si analizamos la expresión (30), veremos que la única manera que el término derecho sea negativo es que sen(Λ) < 0, o sea: Λ<0
Concluimos entonces que solamente las alas con flecha negativa pueden alcanzar la condición de divergencia en flexión sin deformación torsional. Esto sugiere que dichas alas con flecha negativa serán más susceptibles a la divergencia que las de flecha positiva. Esta característica se preserva aún en el caso de divergencia combinada en torsión y flexión.
42
Inversión de comandos: Este fenómeno se produce en alas y empenajes con superficies de comando. Plantearemos un modelo bidimensional de ala e impondremos una deflexión del comando “δ”.
ΔL
ΔMCA
θ
CA
Kc
Kc θ o
V e
δ
La deflexión δ indicada produce un aumento de sustentación ΔL y un incremento en el momento de cabeceo ΔMCA. Cuando la velocidad V aumenta, el momento aerodinámico aumenta con el cuadrado de la velocidad mientras que el momento elástico resistente (KC θ), permanece constante. En consecuencia la efectividad del comando decrecerá con la velocidad del aire hasta que esta velocidad alcance un valor en el cual el comando sea completamente inefectivo. Esta velocidad se conoce como Velocidad de Inversión de Comandos (VI). Aplicando las ecuaciones aerodinámicas tendremos:
ΔL = ΔCL S q
⎫ ∂C ⎞ ⎪ ⎛ ∂CL δ + L θ ⎟S q ∂CL ∂CL ⎬ ΔL = ⎜ ∂α ⎠ δ+ θ ΔCL = ⎝ ∂δ ∂δ ∂α ⎪⎭ ∂C ΔM CA = ΔCMCA c S q = MCA δ c S q ∂δ Si planteamos el equilibrio de momentos respecto del eje elástico (punto “o”) obtenemos: K c θ − ΔL e + ΔM CA = 0 ∂C ∂C ⎞ ⎛ ∂C K c θ − ⎜ L δ + L θ ⎟ e S q + MCA δ c S q = 0 ∂α ⎠ ∂δ ⎝ ∂δ ∂C ∂C ⎛ ⎞ ∂C θ ⎜ K c − L e S q ⎟ − L δ e S q + MCA δ c S q = 0 ∂α ∂δ ⎝ ⎠ ∂δ
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Despejando el ángulo de torsión θ:
∂CL ⎞ ⎛ ∂CMCA ⎜ − ∂δ c + ∂δ e ⎟ δ S q ⎠ θ=⎝ ∂C Kc − L e S q ∂α
(31)
Podemos ver que nuevamente aparece la condición de divergencia en el denominador de la ecuación del ángulo θ. Reemplazando la expresión (31) en la ecuación del ΔCL resulta:
⎡ ⎛ ∂CMCA ⎤ ∂C ⎞ − c + L e ⎟δ S q ⎥ ⎜ ⎢ ∂C ∂C ∂δ ∂δ ⎠ ⎥ ΔCL = L δ + L ⎢ ⎝ ∂ C ∂δ ∂α ⎢ L ⎥ Kc − eS q ⎢⎣ ⎥⎦ ∂α ⎛ ∂CL ⎞ ∂C ∂CMCA ∂CL ∂CL ∂CL ∂CL Kc − eS q − L cS q+ e S q ⎟δ ⎜ ∂α ∂δ ∂δ ∂α ∂δ ∂δ ∂α ⎠ ΔCL = ⎝ ∂CL Kc − eS q ∂α Finalmente ΔCL vale:
∂CL ∂CMCA ⎛ ∂CL ⎞ ⎜ ∂δ K c − ∂α ∂δ c S q ⎟ δ ⎠ ΔCL = ⎝ ∂CL Kc − eS q ∂α El comando es completamente inefectivo cuando ΔCL = 0, lo cual nos conduce a un problema de autovalores, cuya solución trivial es δ = 0. La solución no trivial permite obtener la presión dinámica de inversión qI, que es justamente la condición límite a partir de la cual el comando comienza a funcionar en el sentido inverso.
∂CL ∂C ∂CMCA Kc − L c S qI = 0 ⇒ ∂δ ∂α ∂δ
∂CL Kc ∂δ qI = ∂CL ∂CMCA cS ∂α ∂δ
Podemos observar que la presión dinámica de inversión de comandos no depende de la distancia e, pues el momento aerodinámico que produce la inversión es directamente una cupla y por lo tanto no depende de ningún brazo de palanca. La expresión hallada permite obtener la presión dinámica inversión de comandos, pero debido a la flexibilidad del ala se producirá una disminución de
44
la rigidez torsional a medida que aumenta q, para cuantificar este efecto introducimos el concepto de “Efectividad del comando” ηc que se define como la relación entre el ΔCL calculado y el correspondiente a un ala rígida perfecta en la cual su cumple que θ = 0, o sea: ∂CL δ ∂δ ∂C ∂CMCA ⎛ ∂CL ⎞ Kc − L cS q⎟ δ ⎜ ΔCL ⎝ ∂δ ∂α ∂δ ⎠ = ηc = ∂CL ⎛ ∂C ΔCLr ⎞ δ ⎜ Kc − L e S q ⎟ ∂δ ∂α ⎝ ⎠ 1 qI ΔCLr =
∂CL ∂CMCA cS ∂ ∂ α δ 1− q q ∂CL 1− Kc qI ∂δ ηc = = ∂CL q 1− eS qD 1 − ∂α q Kc 1 qD
Reemplazando por la expresión de la presión dinámica en función de la velocidad y operando obtenemos: q 2 qI qD ⎛ qI − q ⎞ ⎛ VD ⎞ ⎛ VI2 − V 2 ⎞ ηc = = ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ q qI ⎝ qD − q ⎠ ⎝ VI ⎠ ⎝ VD2 − V 2 ⎠ 1− qD 1−
⎛V ⎜ V ηc = 1 − ⎝ D ⎛ VI ⎜ ⎝ VD
2
⎞ ⎟ ⎠ 2 ⎞ ⎟ ⎠
⎡ ⎛V ⎢1 − ⎜ I ⎢⎣ ⎝ VD ⎡ ⎛V ⎢1 − ⎜ ⎢⎣ ⎝ VD
⎤ ⎥ ⎥⎦ 2 ⎞ ⎤ ⎟ ⎥ ⎠ ⎥⎦ ⎞ ⎟ ⎠
2
De esta última expresión podemos sacar una conclusión interesante, si la velocidad de divergencia coincide con la velocidad de inversión de comandos (VD = VI) la efectividad del comando será 1 para cualquier velocidad. Esto se debe a que el momento debido a la deflexión del comando es igual y de signo contrario al momento debido al aumento de sustentación.
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Si graficamos la efectividad del comando en función de la relación γ =
V para distintos valores VD
VI , resulta: VD
ηc 1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
V VD
-1
-2
γ=0,3
γ=0,5
γ=0,7
γ=0,9 γ=1
En la figura podemos ver como se reduce rápidamente la efectividad del V comando para bajas relaciones I . VD
46
Tema N°6: Fenómenos Aeroelastodinámicos. Introducción. Un ala o un empenaje vibrará con aire calmo cuando es desplazado de su posición de equilibrio y liberado. Esta vibración se amortiguará dependiendo de la resistencia del aire y de la fricción interna de la estructura. Bajo condiciones normales de vuelo, un ala u otro componente estructural del avión tendrá un comportamiento similar si una estela o ráfaga causa una deflexión del componente. En ciertas condiciones de vuelo las fuerzas aerodinámicas son tales que provocan un aumento de la amplitud de la vibración. En un ala, que puede vibrar en flexión y en torsión como una viga, se pueden dar ciertas condiciones entre los dos modos de vibración de tal manera que el incremento del ángulo de ataque debido a la oscilación torsional cambia la fuerza de sustentación exactamente en fase con la vibración de flexión. En este caso el movimiento de, por ejemplo, la puntera del ala tendrá una forma oscilatoria divergente.
w(t)
t
Este movimiento inestable divergente causado por las fuerzas aerodinámicas se denomina Flütter. El Flütter es un tipo de vibración autoinducida o autoexcitada. También pueden aparecer vibraciones de las superficies de cola como consecuencia de los vórtices producidos por el ala u otra superficie generadora de estela. Esta vibración se denomina Buffeting y sólo es seria cuando la frecuencia de la fuerza forzante, producida por el vórtice, es cercana a la frecuencia natural de vibración de la superficie sobre la cual actúa.
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Clasificación del Flütter: Una aeronave es una estructura lo suficientemente complicada como para que sea bastante difícil visualizar todos los modos posibles de vibración y además determinar cuales de ellos podrían ser peligrosos. La experiencia ha demostrado que existen unos pocos casos de flütter, que pueden clasificarse de la siguiente manera: Binarios: Involucran dos modos de vibración o componentes. FLUTTER Ternarios: Involucran tres modos de vibración o componentes.
En este curso sólo trataremos los denominados flütter binarios. Los cuales podemos clasificar de la siguiente manera: I) Flütter binario flexión-torsión II) Flütter binario eje perpendicular + superficie de control. a) b) c) d) e)
Flexión del ala + alerón. Torsión del fuselaje + timón de dirección. Flexión del empenaje vertical + timón de dirección. Flexión del empenaje horizontal + elevador. Torsión del fuselaje + movimiento antisimétrico del elevador.
III) Flütter binario eje paralelo + superficie de control. a) Torsión del ala + alerón. b) Flexión lateral del fuselaje + timón de dirección. c) Flexión vertical del fuselaje + elevador. d) Torsión del empenaje vertical + timón de dirección. e) Torsión del empenaje horizontal + elevador. I)
Flütter binario Flexión-torsión: Resulta de la combinación de estos modos de vibración en el ala u otra superficie sustentadora. En este tipo de vibración se considera al ala u otra superficie fija como una unidad, esto implica suponer que las superficies de control están rígidamente adheridas a la superficie fija y no existe movimiento relativo entre ambas.
II) Flütter binario eje perpendicular + superficie de control: Este tipo de vibración implica la rotación de una superficie de control alrededor de su eje o su centro de torsión y el movimiento vertical o perpendicular de la superficie fija asociada. III) Flütter binario eje paralelo + superficie de control: Este tipo de vibración implica el movimiento alrededor de dos ejes paralelos.
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Mecanismos de Flütter I) Flütter binario Flexión-torsión
La Torsión causa α(+)
La Torsión causa α(-)
La Torsión causa α(+)
θ(t) w(t)
Dirección de Vuelo
Si graficamos θ(t) y w(t) vemos que el defasaje entre los dos desplazamientos es igual a π/2:
θ(t), w(t)
π/2 t
49
II) Flütter binario eje perpendicular + superficie de control
δ(-)
δ(+) δ(t)
δ(+)
w(t)
Dirección de Vuelo
Análogamente al caso anterior el defasaje entre δ(t) y w(t) es π/2
δ(t), w(t)
π/2 t
III) Flütter binario eje paralelo + superficie de control θ(+)
δ(+)
θ(-)
θ(t) δ(t)
Dirección de Vuelo
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δ(-)
θ(+)
Nuevamente podemos verificar el mismo defasaje entre θ(t) y δ(t). θ(t), δ(t)
π/2 t
Buffeting: Las alas y las superficies de la cola de las aeronaves desarrollan, a ciertas velocidades, vibraciones que son dependientes de las características elásticas y aerodinámicas del sistema. Si estas vibraciones son tales que las propiedades aerodinámicas del sistema provocan un incremento en la amplitud de la vibración, resultando una inestabilidad dinámica, habíamos visto que se denomina flütter. Otro tipo de vibración debida a las fuerzas aerodinámicas es el buffeting. El buffeting se distingue del flütter en que el buffeting es realmente una vibración forzada causada por fuerzas aerodinámicas pulsantes. Buffeting es el término utilizado generalmente para definir la vibración de las superficies de cola bajo la acción de los vórtices de la estela generada por el ala o la hélice. En un sentido más general también se aplica a la vibración forzada de cualquier parte del avión bajo acción de vórtices en el flujo de aire. Cuando el ángulo de ataque es excesivo, los vórtices generados en el ala tienen una frecuencia definida. Si estos vórtices impactan en otra superficie, como por ejemplo el empenaje horizontal, le impartirán a esa superficie una fuerza pulsante con la frecuencia a la cual se generan. Si la frecuencia de los vórtices coincide con la frecuencia natural del componente sobre el que impactan, resulta una condición de resonancia. La frecuencia a la cual se forman los vórtices puede estimarse con la relación: K=
νt V
51
Donde: K es una constante que depende del tipo de superficie impactada ν es la frecuencia de los vórtices V es la velocidad del flujo de aire sobre la superficie y t es la longitud característica de la superficie. La constante K vale ∼ 0,15 para placas y perfiles aerodinámicos y alrededor de 0,18 para cilindros. La frecuencia puede obtenerse entonces, conociendo V y t: ν=
KV t
Para controlar el problema del buffeting se puede actuar sobre tres puntos: a) Eliminar la perturbación. b) Colocar la superficie en un lugar donde no sea impactada por la estela. c) Cambiar la frecuencia natural de la superficie vibrante. Eliminar la perturbación es prácticamente imposible, por lo que en general se utiliza la solución b), por ejemplo moviendo la posición del empenaje horizontal lo suficiente para alejarlo del vórtice alar.
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Tema N°7: Introducción a la Aerodinámica No estacionaria En este punto analizaremos los desarrollos más importantes en el área de la Aerodinámica No Estacionaria desde el punto de vista conceptual. Los primeros estudios sobre las fuerzas aerodinámicas que se desarrollan en perfiles aerodinámicos oscilantes datan de mediados del siglo XX y se basan en la siguiente hipótesis fundamental:
“Oscilaciones armónicas de pequeña amplitud, de tal forma que se pueda aplicar el principio de superposición de efectos” Los mayores avances teóricos corresponden al Flujo Incompresible (M2 << 1). Perfil aerodinámico oscilando en un flujo bidimensional incompresible: El movimiento “medio” del perfil es rectilíneo con una velocidad V con respecto al fluido en el ∞. Sobre este movimiento se superpone una oscilación armónica de amplitud infinitesimal. Dado que cualquier movimiento periódico puede descomponerse en serie de Fourier, el análisis de una oscilación armónica simple permite extrapolar los resultados a movimientos oscilatorios arbitrarios. El perfil se reemplaza por una placa plana y el tratamiento se limita a la teoría linealizada. Dentro del marco de esta teoría las soluciones pueden superponerse de tal forma que, la solución para un perfil oscilante con espesor y curvatura finitos y con un ángulo de ataque “medio” distinto de 0 puede hallarse superponiendo:
• •
Solución Estacionaria del perfil real (e ≠ 0, curv ≠ 0, αm ≠ 0) Solución No Estacionaria para la placa plana
Los primeros estudios de una placa plana oscilando en un flujo incompresible corresponden a Theodorsen y Küssner: Theodorsen: Sustituye la placa plana por una capa doble de fuentes y sumideros (dobletes). La intensidad de estos dobletes deberá ser tal que, durante todo el movimiento, no exista pasaje de fluido a través de la placa y se cumpla además la condición de Kutta en el borde de fuga. En este desarrollo (NACA TR 496), Theodorsen emplea la representación conforme para transformar la línea recta (que modela la placa plana) en la circunferencia de un círculo. Küssner:
Sustituye la placa por una capa continua de vórtices, cuyas intensidades deben ser tales que, durante la oscilación, la velocidad de los vórtices sumada a la de la corriente libre de una resultante que no pase a través de la placa y además cumpla la condición de Kutta en el borde de fuga. O sea, el fluido debe deslizarse en todo momento y en todo punto sobre la placa y salir tangencialmente en el borde de fuga. El desarrollo de Küssner se encuentra el Report NACA TM 991.
53
Tema N°8: Flütter binario flexión-torsión. Encontramos este caso de flütter cuando consideramos que la superficie de control esta rígidamente unida a la superficie fija (no hay movimiento relativo). El estudio de este problema requiere la evaluación tanto de las fuerzas aerodinámicas no estacionarias como de las fuerzas dinámicas. Tal como indicamos anteriormente, el estudio de las fuerzas aerodinámicas que actúan sobre una superficie oscilante es un tema suficientemente complejo y por lo tanto esta más allá del alcance de este curso. Debido a esto se han desarrollado diversas técnicas aproximadas y modelos simplificados:
Métodos analíticos
Ecuaciones diferenciales Métodos energéticos Métodos numéricos Ensayos en tierra
Métodos experimentales Ensayos en vuelo
a) Ecuaciones diferenciales: Para lograr expresiones “manejables” deben plantearse modelos simplificados. En muchos casos se utilizan curvas semiempíricas desarrolladas sobre la base de los resultados obtenidos en dichos modelos simples. b) Métodos energéticos: Se plantean las ecuaciones de balance energético (Hamilton) y se estudia bajo que condiciones el sistema oscilante extrae energía del medio (amortiguamiento negativo). c) Métodos numéricos: Es el campo donde se ha hecho el mayor avance. Es punto critico es la simulación de las cargas aerodinámicas y la interacción fluido-estructura. d) Ensayos en tierra: Son métodos experimentales, pues lo que se determina son básicamente las frecuencias y modos naturales y luego se utilizan curvas para estimar las velocidades de flütter. e) Ensayos en vuelo: Se miden las oscilaciones flexo-torsionales para distintas velocidades de vuelo y se calcula el amortiguamiento para cada velocidad. De esta forma se puede extrapolar la velocidad de flütter.
Estudio de un modelo bidimensional simplificado: Planteamos un modelo bidimensional de un perfil rígido que se mueve con velocidad Vf:
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θ
Mt
L
CA
Vf h
c
x o
e xcg
Kθ
CG
Z w
Kh u X
Donde: CA: Centro Aerodinámico (punto de aplicación de las Fuerzas Aerodinámicas) O: Eje Elástico (punto de aplicación de las Fuerzas Elásticas) CG: Centro de gravedad (punto de aplicación de las Fuerzas de Inercia) Kh: Constante del resorte equivalente a la rigidez flexional del ala Kθ: Constante del resorte equivalente a la rigidez torsional del ala L: Fuerza de Sustentación Mt: Momento Aerodinámico e: Distancia entre el CA y el punto O xcg: Distancia entre el CA y el CG c: Cuerda del perfil Vf: Velocidad de vuelo El eje x se define a lo largo de la cuerda del perfil con origen en el Centro Aerodinámico. La razón de emplear este punto como origen, tiene que ver con la dificultad para expresar las fuerzas aerodinámicas no estacionarias con respecto a un punto genérico de la cuerda. Debe notarse que x NO es un grado de libertad del problema, dado que la coordenada x de cada punto del perfil permanece constante durante un desplazamiento virtual. Los grados de libertad que emplearemos son: q1 = h q2 = θ El desplazamiento de un punto genérico sobre la cuerda del perfil resulta:
r =u i+wk 55
Donde u es la componente horizontal del desplazamiento y w la componente vertical, mientras que i y k son los versores correspondientes. Podemos ver que:
u = x (cos θ − 1) ≅ 0 ⎫ ⎬ para θ w = −h − x sen θ ≅ − h − x θ ⎭
1
Aplicando el Principio de Hamilton tendremos: 2 2 2 1 ⎡⎛ ∂w ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ⎤ 1 ⎛ ∂w ⎞ T = ∫ ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ ρ dx ≅ ∫ ⎜ ⎟ ρ dx 2 c ⎢⎣⎝ ∂t ⎠ ⎝ ∂t ⎠ ⎥⎦ 2 c ⎝ ∂t ⎠
T=
2 1 1 θ ρ dx = ∫ h 2 + 2h θ x + θ 2 x 2 ρ dx h x − − ∫ 2c 2c
T=
1 2 1 h ∫ ρ dx + h θ ∫ ρ x dx + θ 2 ∫ ρ x 2 dx 2 c 2 c c
(
)
m
(
Sθ
)
Iθ
Consecuentemente la energía cinética resulta:
T=
1 1 m h 2 + Sθ h θ + Iθ θ 2 2 2
Donde:
m = ∫ ρ dx ⇒ masapor unidadde envergadura y espesor c
Sθ = ∫ ρ x dx ⇒ momento estáticopor unidadde envergadura y espesor c
Iθ = ∫ ρ x 2 dx ⇒ momento de inerciapor unidadde envergadura y espesor c
La energía potencial se obtiene de:
1 1 1 1 2 π * = U + V = K h ( wo )2 + Kθ θ 2 = K h ( −h − e θ ) + Kθ θ 2 2 2 2 2 1 1 1 π * = K h h 2 + K h e h θ + K h e 2θ 2 + Kθ θ 2 2 2 2 Resultando:
1 1 π * = K h h 2 + K h e h θ + ( K h e2 + Kθ ) θ 2 2 2 Para este sistema las ecuaciones de Lagrange resultan:
56
⎧ d ⎡ ∂ (T − π * ) ⎤ ∂ (T − π * ) ⎪− ⎢ ⎥+ + Qh = 0 ∂h ∂h ⎪⎪ dt ⎣⎢ ⎥⎦ ⎨ * * ⎪ d ⎡ ∂ ( T − π ) ⎤ ∂ (T − π ) ⎥+ + Qθ = 0 ⎪− ⎢ ∂ ∂ dt θ θ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎩⎪
Donde las cargas generalizadas Qh y Qθ se obtienen de la expresión del trabajo virtual de las fuerzas no conservativas
δ WNC = Qh δ h + Qθ δθ Para este caso en particular, el trabajo virtual de las fuerzas no conservativas por unidad de envergadura resulta:
⎛
⎞
⎛
⎠
⎝
⎞
δ WNC = ∫ p δ w dx = ∫ p ( −δ h − x δθ ) dx = δ h ⎜ − ∫ p dx ⎟ + δθ ⎜ − ∫ p x dx ⎟ c
⎝
c
c
c
⎠
⎧ Qh = − L ⎩Qθ = M t
δ WNC = δ h ( − L ) + δθ M t ⇒ ⎨
Donde por convención de signos, la presión (p) y la Sustentación (L) son positivas hacia arriba y el Momento Aerodinámico (Mt) es positivo nariz arriba. Reemplazando todos los términos en las ecuaciones de Lagrange obtenemos:
d ⎧ − m h + Sθ θ − K h h − K h e θ − L = 0 ⎪⎪ dt ⎨ ⎪− d S h + I θ − K e h − ( K e2 + K )θ + M = 0 θ θ h h t ⎪⎩ dt θ
(
(
)
)
Finalmente, en forma matricial, tendremos: ⎡m ⎢ ⎣ Sθ
Sθ ⎤ ⎧ h ⎫ ⎡ K h Kh e ⎤ ⎧h ⎫ ⎧−L ⎫ ⎨ ⎬+ ⎢ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ ⎥ Iθ ⎦ ⎩θ ⎭ ⎣ K h e K h e 2 + Kθ ⎦⎥ ⎩θ ⎭ ⎩ M t ⎭
[M ]
[K ]
Como ejemplo de cargas aerodinámicas no estacionarias, podemos expresar las definidas por Theodorsen en el Report NACA TR 496, las cuales resultan:
ma ⎛ ⎧ 1 2 ⎞ 2 ⎪ L = c ⎜ c h + 4VR h + 4 c θ + 3VR c θ + 4 VR θ ⎟ V f2 ⎪ ⎝ ⎠ ⇒ VR = ⎨ ωc ⎪ M = m ⎛ c h + 3 c 2θ + 1 V c θ ⎞ t a⎜ R ⎟ ⎪⎩ 32 2 ⎝4 ⎠
57
Donde: ma : Es la masa de aire equivalente por unidad de envergadura. Este valor representa la masa de aire contenida en un cilindro de longitud unitaria cuyo diámetro es igual a la cuerda. VR: Velocidad reducida. ω: Frecuencia de la oscilación. Las cargas aerodinámicas no estacionarias se pueden expresar en forma genéricas de la siguiente manera: ⎧h ⎫ ⎧h ⎫ ⎧−L ⎫ ⎧h ⎫ ⎨ ⎬ = [ M A ] ⎨ ⎬ + [C A ] ⎨ ⎬ + [ K A ] ⎨ ⎬ ⎩θ ⎭ ⎩M t ⎭ ⎩θ ⎭ ⎩θ ⎭
Donde:
[ M A ] , [C A ] , [ K A ] son,
respectivamente, las matrices aerodinámicas de
masa, amortiguamiento y rigidez. Si en el modelo simplificado consideramos el amortiguamiento estructural, obtendríamos la expresión siguiente:
⎧h ⎫ ⎧h ⎫ ⎧h ⎫ ⎧h ⎫ ⎧h ⎫ ⎧h ⎫ ⎬ + [C ] ⎨ ⎬ + [ K ] ⎨ ⎬ = [ M A ] ⎨ ⎬ + [C A ] ⎨ ⎬ + [ K A ] ⎨ ⎬ ⎩θ ⎭ ⎩θ ⎭ ⎩θ ⎭ ⎩θ ⎭ ⎩θ ⎭ ⎩θ ⎭ ⎧h ⎫ ⎧h ⎫ ⎧ h ⎫ ⎧0 ⎫ ([ M ] − [ M A ]) ⎨θ ⎬ + ([C ] − [CA ]) ⎨θ ⎬ + ([ K ] − [ K A ]) ⎨θ ⎬ = ⎨0⎬ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
[M ] ⎨
Esto representa un problema de autovalores, cuya expresión genérica sería: ⎧h ⎫ ⎧h ⎫ ⎧ h ⎫ ⎧0 ⎫ ⎡⎣ M * ⎤⎦ ⎨ ⎬ + ⎡⎣C * ⎤⎦ ⎨ ⎬ + ⎡⎣ K * ⎤⎦ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ⎩θ ⎭ ⎩0 ⎭ ⎩θ ⎭ ⎩θ ⎭
(32)
Planteamos una solución armónica: ⎧ h(t ) ⎫ ⎧ h0 ⎫ iωt ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬e ⎩θ (t ) ⎭ ⎩θ 0 ⎭ Donde h0 y θ0 son las amplitudes del movimiento traslacional y angular respectivamente. Sustituyendo en la ecuación (32) obtenemos:
( −ω
2
⎧h ⎫ ⎧0 ⎫ ⎡⎣ M * ⎦⎤ + iω ⎣⎡C * ⎦⎤ + ⎣⎡ K * ⎦⎤ ⎨ 0 ⎬ eiωt = ⎨ ⎬ ⎩0 ⎭ ⎩θ 0 ⎭
)
Donde para obtener una solución distinta de la trivial, debemos plantear la nulidad del determinante de la matriz de coeficientes:
58
−ω 2 ⎣⎡ M * ⎦⎤ + iω ⎣⎡C * ⎦⎤ + ⎣⎡ K * ⎦⎤ = 0 ⇒ P(ω ,V f ) = 0 P(ω,Vf) = 0 es la ecuación característica del problema de autovalores, que en este caso particular tiene coeficientes complejos. Para obtener las raíces podemos expresar esta ecuación de la siguiente forma: P (ω ,V f ) = A(ω ,V f ) + i B(ω , V f ) = 0 Donde A(ω,Vf) y B(ω,Vf) son polinomios reales. La solución se obtendrá resolviendo el sistema de ecuaciones: ⎧ A(ω , V f ) = 0 ⎨ ⎩ B(ω , V f ) = 0
El menor valor de la velocidad de vuelo es la velocidad de Flütter (VF) del sistema, siendo ωF la frecuencia de oscilación asociada.
A(ω,Vf) = 0
Vf
B(ω,Vf) = 0
VF
ωF
59
ω
Tema N°9: Flütter con las superficies de comando Los problemas de Flütter más generales, involucran tanto las superficies de comando como las superficies principales. Por ejemplo, existe la posibilidad que el ala oscile en flexo-torsión y además lo haga el alerón. Usualmente no es necesario considerar los tres modos de oscilación simultáneamente. La introducción de un tercer modo complica enormemente el tratamiento del problema. En general la frecuencia de uno de los tres modos es mucho más alta que las demás y entonces el sistema puede considerarse binario. En consecuencia tendremos dos casos posibles de Flütter binario con superficie de comando:
• •
En el primero el ala podría oscilar en flexión y al mismo tiempo el alerón oscilar alrededor de su eje. En el otro caso tanto el ala como el alerón podrían tener un movimiento torsional alrededor de sus respectivos ejes.
En el tema anterior, cuando tratamos el Flütter binario flexión-torsión, despreciamos el amortiguamiento interno, dado que la presencia de una pequeña cantidad de fricción no tiene mayor efecto sobre la velocidad crítica de Flütter. Sin embargo, cuando se tiene en cuenta una superficie de control, el efecto del amortiguamiento o fricción interna del sistema es muy importante. Flutter binario eje perpendicular + superficie de control Este tipo de Flütter puede tratarse empíricamente a través de la expresión:
Vf = kf ff c Donde:
Vf : Velocidad de flütter kf : Factor de velocidad de flütter ff : Frecuencia estructural básica c : Cuerda El factor kf se puede obtener de distintos gráficos y resulta una función de:
⎛ f ⎞ e r k f = f ⎜ c , μ , λ , μ1 , 3 , 1 , g c ⎟ ⎜ ff ⎟ c c ⎝ ⎠ e3
CG
c
60
c1
Donde:
fc : Frecuencia natural del sistema de control μ : Relación masa estructural - masa aerodinámica de la superficie fija λ : Relación de cuerdas (c1/c) μ1 : Relación masa estructural - masa aerodinámica del comando e3 : Distancia del CG de la superficie de comando al eje de charnela r1 : Radio de giro de la superficie de comando respecto de su CG gc : Constante de amortiguamiento del sistema de control Flutter binario eje paralelo + superficie de control Este tipo de flütter es muy sensible al amortiguamiento del sistema de control y los efectos de balanceo de la Superficie de Comando (SC). Se verifica que el amortiguamiento necesario para eliminar la posibilidad de flütter decrece rápidamente conforme disminuye el desbalanceo de la SC. Además de reducir la velocidad de flütter, el desbalanceo de la SC afecta la estabilidad del avión. Cuando el desbalanceo es pequeño el flütter se desarrolla gradualmente, dando cierto aviso. Cuando el desbalanceo es grande la condición de flütter se genera repentinamente. En la mayoría de los problemas que involucran flütter con las superficies de control se utiliza el contrabalanceo o balanceo para incrementar la velocidad de flütter. Habíamos visto que el flütter de las superficies de la cola tiene mayores variantes que los otros tipos de flütter, en particular los casos que involucran la flexión del fuselaje requieren el conocimiento de la línea nodal del mismo. Balanceo de las superficies de comando y prevención del flutter El diseñador de un avión esta interesado en conocer alguno de los detalles que lo ayudarán a prevenir el flütter en el rango de velocidades de diseño. Afortunadamente, se pueden hacer estimaciones aceptables sin necesitar cálculos detallados del flütter. En los temas anteriores vimos que la distribución de las masas y rigidez de los elementos del avión son muy importantes para determinar las características del flütter. El balanceo de las superficies de control se utiliza para elevar las velocidades críticas para varios tipos de flütter. La rigidez estructural se mantiene generalmente por encima de determinados límites. Aunque pueden realizarse cambios en algunos detalles estructurales para aumentar o mantener una cierta velocidad de flütter. Balanceo de las superficies de control. En el punto anterior se mostró como los efectos de inercia de las superficies de control intervienen en la generación de ciertos tipos de flütter. Los efectos de inercia pueden prevenirse en un amplio rango mediante el balanceo de las Superficies de Control (SC); esto involucra el balanceo aerodinámico, estático y dinámico.
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El balanceo aerodinámico se define como la relación entre el área de la SC delante del eje de charnela y el área total de la SC. La determinación de la relación apropiada es un problema aerodinámico que no se considerará aquí, pero se puede mencionar que un balanceo aerodinámico de ∼ 15% es bastante común. Para que exista balanceo estático se requiere que el centro de gravedad de la SC se localice en el eje de charnela. El desbalance estático esta dado por la expresión ∑Wi xi, donde Wi es el peso de un elemento individual de la SC y xi es la distancia desde el eje de charnela al centro de gravedad del elemento. Wi
xi
Por lo tanto, la mayoría de la SC necesitan pesos adicionales cerca de los bordes de ataque o de fuga, para lograr que el CG coincida con el eje de charnela.
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Usualmente no se requiere que las SC se encuentren completamente balanceadas en forma estática, si es que se balancean en forma dinámica; siempre y cuando el desbalance estático no exceda el 15% de la cuerda media de la SC. Esto se expresa como: WS ∑Wi xi < 0,15 L Donde: W es el peso total de la SC; S es la superficie de la SC y L es la longitud de la SC. Una SC esta dinámicamente balanceada cuando se mueve con la superficie fija a la cual esta adosada sin ninguna tendencia hacia un movimiento relativo entre las dos superficies. O sea, estas se mueven juntas como si estuvieran unidas. El balanceo dinámico se especifica con el número adimensional:
bd =
Id Ie
Donde Id es el producto de inercia o momento centrífugo; e Ie es el momento de inercia de la SC respecto del eje de charnela. Para justificar este factor veamos un esquema de SC en planta:
Y X
X yi Wi xi
Y
X-X es el eje alrededor del cual la SC comienza a oscilar. Si ∑Wi xi = 0 respecto del eje de giro Y-Y, el área se moverá arriba y abajo con la superficie fija sin torsionar. El producto de inercia Id = ∑Wi xi yi entonces es igual a 0.
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Cuando ∑Wi xi no es igual a 0 (existe desbalanceo estático) el área tenderá a retrasarse y torsionará alrededor del eje de charnela. El momento torsor que trata de torsionar el área (momento actuante) es proporcional al producto de inercia Id, mientras que el momento torsor resistente es proporcional al momento de inercia Ie respecto del eje de charnela. Por lo tanto el desbalanceo (bd) puede medirse con la relación Id / Ie. Limites del balanceo dinámico El próximo interrogante que surge es cual es el máximo bd que puede tolerarse. Evidentemente no resulta económico tener pesos en un avión que sólo sirven para mantener el balance. En algunos diseños se prefiere aumentar las velocidades de flütter mediante el empleo de estructuras de gran rigidez. Por ejemplo las normas prescriben el valor máximo del desbalanceo en función de fórmulas semiempíricas.
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