UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
“ MÉTODOS DE RIGIDECES PARA PÓRTICOS PÓRTICOS PLANOS Y ESPACIALES” CURSO
:
DOCENTE :
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
ING. IVAN IVAN LEON MALO
NUEVO CHIMBOTE - OCTUBRE , 2015
1
A fin de establecer las relaciones de rigidez para los elementos de pórticos planos, enfoquemos nuestra atención en un miembro prismático arbitrario “m” del pórtico
mostrado en la siguiente Figura 1. y x
B
m
A
y x
FIGURA 1. Cuando el pórtico se sujeta a cargas c argas externas, el miembro “m” se deforma y se
inducen fuerzas internas en sus extremos. En la figura 2 se muestran las posiciones no deformada y deformada del elemento.
y
Donde, A'B': Posición Deformada Deformada AB: Posición No Deformada Elemento de Longitud "L" E, I, A = Constantes
F2 F1 A' F3
u2
F5
A
m u1
u3
u6
F6 B'
F4
u
5
x
B
u4
2
A fin de establecer las relaciones de rigidez para los elementos de pórticos planos, enfoquemos nuestra atención en un miembro prismático arbitrario “m” del pórtico
mostrado en la siguiente Figura 1. y x
B
m
A
y x
FIGURA 1. Cuando el pórtico se sujeta a cargas c argas externas, el miembro “m” se deforma y se
inducen fuerzas internas en sus extremos. En la figura 2 se muestran las posiciones no deformada y deformada del elemento.
y
Donde, A'B': Posición Deformada Deformada AB: Posición No Deformada Elemento de Longitud "L" E, I, A = Constantes
F2 F1 A' F3
u2
F5
A
m u1
u3
u6
F6 B'
F4
u
5
x
B
u4
2
Como se indica en la figura anterior, se necesitan tres desplazamientos (dos Traslaciones en las direcciones “X” e “Y” y una rotación rotac ión alrededor del eje “Z”) a fin de
especificar por completo la posición posic ión deformada de cada uno de los extremos del miembro. Por consiguiente, el miembro tiene un total de seis sei s desplazamientos de los extremos o grados de libertad. Como se muestra en la Figura 2, los l os desplazamientos de los extremos del miembro se denotan por u1, u2, u3, u4, u5, u6 y las fuerzas correspondientes en los extremos De los miembros se denotan por F1, F2, F3, F4, F5, F6. Note que estos desplazamientos de los extremos y estas est as fuerzas están definidos con relación al sistema de coordenadas locales del miembro, miemb ro, considerándose las traslaciones y las fuerzas como positivas cuando se tienen tiene n las direcciones positivas de los ejes “X” y “Y” locales, y las rotaciones y los momentos se consideran como positivos cuando
giran en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj. Como se indica en la Figura 2, los l os desplazamientos de los extremos de los miembros miemb ros y las fuerzas se enumeran empezando en el extremo “A” del elemento “m”, donde se
encuentra ubicado el origen del sistema de coordenadas locales, numerándose en primer lugar la traslación y la fuerza en la dirección “X”, seguidas por la traslación y la fuerza en la dirección direcc ión “Y” y, y, a continuación, cont inuación, la rotación y el momento. Enseguida, Enseguid a, se enumeran los desplazamientos y las fuerzas en el extremo opuesto “B” del
miembro, en el mismo orden secuencial. 3
En este caso, el objetivo es determinar las relaciones entre las fuerzas en los extremos del miembro y los desplazamientos de esos extremos, en términos de las cargas aplicadas a ese miembro. Esas relaciones se pueden establecer de modo conveniente al sujetar el miembro, por separado, a cada uno de los seis desplazamientos en los extremos y a las cargas externas, y al expresar las fuerzas totales en el extremo del miembro como las sumas algebraicas de las fuerzas en los extremos requeridas para causar los desplazamientos de los extremos por separado y las fuerzas causadas por las cargas externas.
FIGURA 3.
FIGURA 4. 4
FIGURA 5.
FIGURA 6.
FIGURA 7.
FIGURA 8. 5
FIGURA 9. En consecuencia, en la Figura 2 hasta la Figura 9 se puede ver que:
Donde, Kij: Representa la fuerza en la ubicación y dirección de la Fi requerida, junto con otras fuerzas en el extremo, para causar un valor unitario del desplazamiento U j, mientras que todos los desplazamientos en el otro extremo son cero. 6
Estas fuerzas por desplazamiento unitario se conocen como coeficientes de rigidez. Note que se usa una notación de subíndice doble para los coeficientes de rigidez, identificándose con el primer subíndice la fuerza y, con el segundo, el desplazamiento. Los últimos términos en los segundos miembros de las ecuaciones anteriores representan las fuerzas en extremos fijos debidas a las cargas externas (ver Figura 9), las cuales se pueden determinar usando las expresiones determinadas en tablas y aplicando las ecuaciones de equilibrio. Matricialmente tenemos: F
K
F
K
1 2
F
3
=
K
F
K
F
K
F
K
4 5 6
11 21 31 41 51 61
K K K K K K
12 22 32 42 52 62
K K K K K K
13 23 33 43 53 63
K K K K K K
14 24 34 44 54 64
K K K K K K
15 25 35 45 55 65
K K K K K K
16 26 36 46 56 66
u u u u u u
1 2 3 4 5 6
F
E1
F
E2
+ FE3 F
E4
F
E5
F
E6
F = K U + FE 7
F = K U + FE Donde:
F
: Vector de fuerzas en los extremos de los miembros, en coordenadas locales. U : Vector de desplazamientos de los extremos de los miembros, coordenadas locales. : Matriz de Rigidez del elemento, en coordenadas locales. K FE : Vector de fuerzas en extremos fijos del elemento, en coordenadas locales. Por tanto, la matriz de rigidez local para un elemento de pórtico plano es: CONSIDERANDO DEFORMACIONES SOLO POR FLEXIÓN Y AXIALES
8
CONSIDERANDO DEFORMACIONES POR FLEXIÓN, CORTE Y AXIALES COORDENADAS LOCALES O SISTEMA LOCAL 5L
6L
4L
2L m
3L 1L
9
CONSIDERANDO DEFORMACIONES POR FLEXIÓN, CORTE Y AXIALES EN 3D AE L 0
LOCAL
0
0
12EI x (1+ay) L3
0
0
0
0
0
0
0
6EI y
3
(1+ax) L
(1+ax) L 2
0 (1+ay)L2
6EI y
0
0 0
0
0 12EI x (1+ay) L3 0
0
0
0
0
0
0
0
0
6EI y
(4+ay)EIx
0
6EIx
0
0
0
0
0
12EIy
0
0
6EIx (1+ay)L2
(1+ax) L2 0
3
(1+ax) L
2
(1+ax) L
(1+ax) L
0
6EI y
12EI y
0
(4+ax)EI y
0
(1+ay) L
0
2
(1+ay)L
0
0
(2-ax)EI y
0
(1+ax) L
(2-ay)EI x (1+ay) L
12EIx GA'yL2 12EIy
A'y=
A f y
A A'x= a x= f GA' L2
0 0
0
0
0
AE L
6EIx
(1+ax) L2
0
a y=
0
6EI y
GJ L
0
(1+ay) L3
0
0
0
0
12EIx
0
0
(1+ax) L
0
(1+ax) L3
0
0
(1+ay)L AE L
0
0
0
2
0
AE L
6EIx
0
GJ L 2
6EIx
0
0
12EIy
0
0
K=
0
G=
G=
E 2(1+u)
E 2(1+u)
0
(1+ax) L2
GJ L
0
0
0
(2-ax)EI y
0
(1+ax) L
0
0
0
0
0
0
0
(1+ay)L2
12EI y
0
6EI y
0
3
(1+ay) L
(1+ax) L3
0
0
6EI y
(2-ay)EI x
12EIx
6EIx
0
(1+ay)L2
0
0
0
0
6EIx
0
(1+ay)L
0
0
0
0
2
0
0
GJ L
0 6EI y (1+ax) L2
(1+ay)L2
0
0 0
(1+ay) L
h
X
Z b
0
0
(4+ax)EIy
0
Y
6EIx
(1+ax) L2
(1+ax) L
COORDENADAS LOCALES O SISTEMA LOCAL
0
3
IX =
bh 12
3
(4+ay)EIx (1+ay) L
IY =
hb 12
f y : factor de forma fy=
Zy Módulo de sección plástico = Sy Módulo de sección elástico
f x : factor de forma Z
Módulo de sección plástico
u: coeficiente de poisson 0.15, concreto armado 0.30, acero 10
I.- MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN DE DESPLAZAMIENTOS: Esta matriz es generada dando desplazamientos unitarios a cada GDL. COORDENADAS GLOBALES O SISTEMA GLOBAL 5g 6g 2g 3g
4g
1g
1) Para d1g = 1, resto = 0
d5L d6L d2L
O
d3L
s 1 o s 1 c e
d1L
d1g = 1
n
O
d4L O
dL =
d1L d2L d3L d4L d5L d6L
=
1cos O -1sen O 0 0 0 0 11
2) Para d2g = 1, resto = 0
d5L d2g = 1 1 c d2L d3L d1L
d6L
o s
d4L O
O
dL =
O n e 1 s
d1L d2L d3L d4L d5L d6L
=
1sen O 1cos O 0 0 0 0
3) Para d3g = 1, resto = 0 ( Cualquier giro será igual en cualquiera de las coordenadas)
d6L d3g =1 d2L d3L d1L
d5L d4L O
dL =
d1L d2L d3L d4L d5L d6L
=
0 0 1 0 0 0 12
4) Para d4g = 1, resto = 0
d6L d5L
d2L d3L
O s o c 1
1 d4L s e n
d4g = 1
O
O
dL =
d1L
d1L d2L d3L d4L d5L d6L
=
0 0 0 1cos O -1sen O 0
5) Para d5g = 1, resto = 0
d5g = 1 1 c o d6L s
O
d2L 3L
d1L
O
d5L d4L O n e s 1
dL =
d1L d2L d3L d4L d5L d6L
=
0 0 0 1sen O 1cos O 0 13
6) Para d6g = 1, resto = 0 ( Cualquier giro será igual en cualquiera de las coordenadas)
d6L
d5L d4L
dL =
d2L d3L
O
d6g =1
d1L
d1L d2L d3L d4L d5L d6L
=
0 0 0 0 0 1
Ahora ensamblando la matriz de Transformación se tiene:
Tg =
cos O sen O -sen O cos O 0 0
0 0
0
1
0
0
0 0
0 0 0
1
0 0
0 0
0 0
cos O -sen O
0 sen O cos O
0
0
0
0
0
0 0
14
Ahora ensamblando la matriz de Transformación de un elemento en 3D, se tiene: cos a cos b cos c cos d cos e cos f cos g cos h
Tg =
0 0
0 0
0 0
0
0
0
cos g cos h
0 0
0 0
0 0
0
0 0 0
0 0 0
0
0
Z X
Z' X'
0
0 0
0 0 cos a cos b cos d cos e
Y
Y'
cos i
0
0 0
0 0
0 0
0 cos c cos f
0
0
0 0 0
0 0
0 0
0 0
cos i
0
0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0
0
0
0
0 0 0 cos a cos b cos c cos d cos e cos f cos g cos h
cos i
0 0
0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
0
0
0
0 0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0 0
0 0
0 0 cos a cos b cos d cos e
0
0
0
cos g cos h
0 cos c cos f cos i
a: Ángulo que forma el eje z con respecto al eje Z' b: Ángulo que forma el eje z con respecto al eje Y' c: Ángulo que forma el eje z con respecto al eje X' d: Ángulo que forma el eje y con respecto al eje Z' e: Ángulo que forma el eje y con respecto al eje Y' f: Ángulo que forma el eje y con respecto al eje X' g: Ángulo que forma el eje x con respecto al eje Z' h: Ángulo que forma el eje x con respecto al eje Y' i: Ángulo que forma el eje x con respecto al eje X'
15
Se detalla algunos casos de fuerzas de fijación y momentos de empotramiento en los extremos o nudos (Fuerzas de extremo) de los miembros, elementos o barras .
16
II.- MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE MIEMBRO O ELEMENTO: Aplicando la misma propiedad de Ortogonalidad usada para armaduras planas, T obtenemos la matriz de rigidez global del elemento.
Kg = Tg
KL
x
x
EJERCICIO N 2: Dibujar los Diagramas de fuerzas axiales, esfuerzos cortantes y momentos flectores de la siguiente estructura: No considerar deformaciones por corte. °
Tg
Solución: 1.- Etiquetamos en cada nodo los GDL. 2.- Enumeramos cada elemento y la dirección de análisis respectivo. 4g
5g
7g
6g 1
1 , 2 : Elemento 1g , 2 g, 3g , 4g , 5g , 6g , 7g , 8g ,9 g : GDL
8g
2 9g
3g 1g 2g
K = T
T
x
KL
x
T 17
ELEMENTO AE L
4EI L
6EI L2
12EI L3
49 875
2 036.56
1 018.28
2 036.56
763.71
381.86
COLUMNA
57 000
3 040
1 520
3 040
1 140
570
0 0
K= LOCAL
AE L 0 0
VIGA
2EI L
VIGA
AE L
KL =
EI
0
0
12EI
6EI
3
2
L
L
6EI
4EI
2
L
L
0
0
12EI
6EI
3
2
L
L
6EI
2EI
L2
L
AE L
0
0
12EI
6EI
0
3
0
L
L2
6EI
2EI
2
L
L
0
0
12EI
6EI
AE L 0 0
3
L
L2
6EI
4EI
L2
L
49 875
0
0
-49 875
0
0
57 000
0
0
381.86
763.71
0
-381.86
763.71
0
570
1 140
0
-570
1 140
0
763.71
2 036.56
0
-763.71
1 018.28
0
1 140
3 040
0
-1 140
1 520
-49 875
0
0
49 875
0
0
-57 000
0
0
-381.86
-763.71
0
381.86
-763.71
0
-570
-1 140
0
570
0
763.71
1 018.28
0
-763.71
2 036.56
0
1 140
1 520
0
-1 140
KL =
COLUMNA
0
0
-57 000
57 000
0
0
0
0 -1 140 3 040
18
5g
Para el elemento 1:
6g
4g cos O = cos 90º = 0 sen O = sen 90º = 1
O=90°
1 2g 1g 3g
La matriz de transformación tenemos:
Tg =
1 0
0 0
0
0 0
0
0 0
0
0 0
1 0
0 0 0 0 1 0
0
0
0 -1 0 0
0
0
0
0 -1 0
Reemplazando estas matrices en la ecuación siguiente se tiene: T
Kg = Tg
0 0 1
Kg = COLUMNA
x
KL
x
Tg
1g
2g
3g
4g
5g
6g
570
0
-1 140
-570
0
-1 140
1g
0
57 000
0
0
-57 000
0
2g
-1 140
0
3 040
1 140
0
1 520
3g
-570
0
1 140
570
0
1 140
4g
0
-57 000
0
0
57 000
-1 140
0
1 520
1 140
0
0
5g
3 040 19 6g
Para el elemento 2: 5g 6g
4g
2 9g
8g 7g
La matriz de transformación tenemos:
Tg =
Reemplazando estas matrices en la ecuación siguiente se tiene:
0 0
0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0
0
0
0 0 1
1 0 0
cos O = cos 0º = 1 sen O = sen 0º = 0
O =0°
T
Kg = Tg
0 0 0 0 0 0 1 0
4g
Kg = VIGA
x
KL
x
Tg
5g
6g
7g
8g
9g
49 875
0
0
-49 875
0
0
4g
0
381.86
763.71
0
-381.86
763.71
5g
0
763.71
2 036.56
0
-763.71
1 018.28
6g
-49 875
0
0
49 875
0
0
7g
0
-381.86
-763.71
0
381.86
-763.71
8g
0
763.71
1 018.28
0
-763.71
2 036.56 20 9g
El Vector de Fuerzas: F1 F2
F1 F2
F3
0
F4
0
F = F 5
=
F6 F7 F8 F9
El Vector de Desplazamientos:
0 0
F Libres = FLL
0 0 F1 F2
0 0 F7 F8 F9
F7 F8 F9
FRR
KLL
F Restringidas = FRR
D3
D3
D3
D4
D4
D5 D6
D6 D7 D8 D9
D6 0 0 0
D4
0 0 0 0 0
DLibres = DLL
DRestringidas = DRR
Multiplicando tenemos: KLR
=
x KRL
0 0
D = D5 = D5
Así que tenemos:
FLL
D1 D2
KRR
D LL
FLL = KLL x D LL + KLR x D RR
D RR
FRR = KRL x D LL + KRR x D RR
Pero se sabe que el o los desplazamientos en los apoyos es cero “0”.
Por tanto se tiene:
FLL = KLL x D LL
y
FRR = KRL x D LL
21
Ensamblando la matriz de rigidez global del sistema se tiene: 3g
4g
5g
6g
1g
2g
7g
8g
9g 3g
KLL
KLR
4g 5g 6g
K=
1g 2g
KRL
KRR
7g 8g 9g
22
Así que: Los desplazamientos nodales globales lo podemos determinar con la siguiente Ecuación: -1
..…Ecuación 1
D LL = KLL x FLL
Las reacciones del sistema se calcula con la siguiente Ecuación:
FRR = KRL x D LL
..…Ecuación 2
Pero debemos tener en cuenta que las cargas o fuerzas aplicadas a lo largo del elemento deben ser transformadas a cargas aplicadas en el extremo o nodo.
Para el elemento 1: 4g
6g
2 Tn
4/3 Tn.m 2
W = 1Tn/m
WL 2
2 Tn
1g
W = 1Tn/m
WL 12
3 g 4/3 Tn.m 23
Para el elemento 2: W = 3Tn/m
5g
WL 2
6 Tn
W = 3Tn/m
6g
8g 6 Tn
2
WL 12
4 Tn.m
9g 4 Tn.m
Por tanto la Ecuación 1 quedaría así:
FLL = KLL x D LL + FE
..…Ecuación 3
Reemplazando los datos en la Ecuación 3 se tiene: 0
3040
1140
0
1520
D3
4/3
0
1140
50445
0
1140
D4
-2
0
0
0
57381.86
763.71
D5
6
0
1520
1140
763.71
5076.56
D6
8/3
=
+
24
-4
D3
-2.326x10 rad
D4
5.51x10 m
D5
-5
=
-5
-9.85x10 m -4
D6
-4.532x10 rad
Asimismo la Ecuación 2 quedaría así:
FRR = KRL x D LL + FE
..…Ecuación 4
Reemplazando los datos en la Ecuación 4 se tiene: F1 F2
-1140
-570
0
-1140
0
0
-57000
0
F7 =
0
-49875
0
0
F8
0
0
-381.86
-763.71
F9
0
-4
763.71
1018.28
0
-5
5.51x10 m -5
-9.85x10 m -4
0
-2
-2.326x10 rad
-4.532x10 rad
+
0 6 -4
25
F1 F2
-1.25 Tn
F7 =
-2.75 Tn
5.62 Tn
F8
6.38 Tn
F9
-4.537 Tn.m
Ahora dibujamos los diagramas solicitados: w = 3Tn/m
6.38 Tn. 2.75 Tn.
w = 1Tn/m
4.537 Tn.m
1.25 Tn.
5.62 Tn.
26
DIAGRAMA NORMAL O AXIAL
DIAGRAMA DE ESFUERZOS CORTANTES 5.62 Tn.
-
+
2.75 Tn. -
-
5.62 Tn.
2.75 Tn.
6.38 Tn.
1.25 Tn.
+
DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES 3 Tn.m. -
-
4.537 Tn.m.
+ 2.26 Tn.m.
+ 0.78 Tn.m. 27
AHORA TE TOCA A TI: HALLAR LAS REACCIONES, FUERZAS AXIALES, ESFUERZOS DE CORTE, MOMENTOS FLECTORES Y DESPLAZAMIENTOS DE LA ESTRUCTURA MOSTRADA. ASÍ TAMBIÉN SE PIDE CALCULAR LA ESTRUCTURA CON EL MÉTODO CLÁSICO DE RIGIDEZ O MÉTODO DE RIGIDEZ POR DEFINICIÓN: = 1 Tn/m. 2 Tn.
Viga: 0.30x0.45m Columna: 0.30x0.50m
= 1 Tn/m.
3.50
E: 15100 f'c f'c = 210 Kg/Cm2 No considerar Peso Propio No Considerar Efecto de Corte
5.00
EXITOS!!!! 28
ESTA VEZ SE PIDE: CALCULAR LAS REACCIONES Y DESPLAZAMIENTOS DE LA ESTRUCTURA ESPACIAL MOSTRADA. Y'
10Tn
Vigas: 0.30x0.40m 10Tn
Columnas: 0.30x0.50m E: 2188198 Tn/m2 No considerar Peso Propio Considerar Efecto de Corte
4.00
O X' 2.50m
2.00m 2.00m
Z'
2.50m
EXITOS!!!! 29
III.- MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL DE UN PÓRTICO SIMPLE: Sea el pórtico plano simple, de una crujía, mostrado en la Figura, sometido a la acción de una fuerza horizontal F, que representa la acción sísmica. La deformación axial de los elementos no se considera apreciable, de modo que los tres grados de libertad del sistema consiste en un desplazamiento lateral y dos giros en los nudos superiores. F
La obtención de la matriz de rigidez lateral se realiza generando un desplazamiento unitario para cada gdl (3 en total) así como se procedió a calcular en las páginas 4 y 5 considerando deformación axial.
F1
F = F2 F3
K =
H
L
24EI c
6EIc
6EIc
H3
H2
H2
6EIc
4EI c + 4EI v
2EI v
H
2
H
L
6EIc
2EI v
H2
L
D1
L
D =
D2 D3
4EI c + 4EI v H
L
30
