UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA CÁLCULO MULTIVARIADO Cod. 203057
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD
CÁLCULO MULT IVARIA IVARIADO DO
FASE FASE 3 - TRABAJO T RABAJO COLABORATIVO COLABOR ATIVO 3
Presentado a: JOSE FERNADO FERNADO CEPEDA Tutor
Entregado por: ALEJANDRA MARGARITA CHAPARRO Código: 1.057.596 1. 057.596.952 .952 MANUEL IGNACIO GARCIA SUAREZ Código: 11442329 SERGIO IVAN RODRIGUEZ BARRERA Código: 1049634026 FRANKLIN SMITH GALVIS DAZA Código: 1118558144
Grupo: 203057_43
NOVIEMBRE 2017 –
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INTRODUCCIÓN A continuación, se presenta el des arrollo arrollo del trabajo colaborati colaborativo vo Fase Fase 3, en donde podemos encontrar encontrar actividades encaminadas encaminadas a la integración de funciones funciones de varias varias variables; integrales dobles y de volúmenes, integrales triples en diferentes coordenadas, coordenadas, integrales de l ínea, integrales de flujo, t eoremas eoremas de integración, el estudio de estos temas se encuentra aplicado en el desarrollo de los diferentes ejercicios propuestos propuestos..
Infundimos Infundimos la l a importancia importancia del Calculo Multivariado Multivariado en la l a formación formación disciplinar discipl inar de nuestros campos de estudio, llegando a fortalecer nuestros conocimientos mediante el análisis de las temáticas propuestas en las fuentes documentales entregadas por la Universidad, apoyándonos en el trabajo colaborati colaborativo. vo.
Damos resultados a los conocimientos adquiridos a través de la práctica desarrolla desarrollando ndo ejercicios propuestos propuestos como pieza fundamental del est e studio udio del del caso. Se reali za la entrega entrega del siguiente siguie nte informe informe con los par pa rámetros establecidos esta blecidos dand dando como como fin cumplimiento cumplimiento a la rúbrica úbrica de evaluación.
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DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD 1. Evalué la integral doble iterada a)
SOLUCION
Ya que el factor no depende de x la integral se puede separar de la forma
9 Evaluando la integral 9 = = Evaluando esta en los limites 9 0 Se obtiene 9 Para desarrollar esta integral se hace el cambio de variable 9
2 2 √ 2 12 [23 ] 13
Reemplazando y evaluando la integral
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Regresando a las variables originales:
9 13 9 == 13 9 4 90
13 12527 938
b.
Solución.
−
La primera integral es con respecto a y, entonces podemos sacar la variable x como una “constante”.
1 −
Realizamos la i ntegral. Integral de tabla.
− 1
Evaluamos intervalo de integración.
−( 1) Simplificamos.
−0
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− − Realizamos la i ntegral. Integral de tabla.
1 1 13 1 1
Evaluamos intervalo de integración.
13 1 1 13 (1 1) 13 2 −
c)
La integral indefinida:
2== 2 2 2 2
Reemplazando esta en la integral
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2 2 [ 4 ]= 4 4 41 4 1 15 5 = 5 5 15 e.
sin = [ cos ]= cos cos0 cos
sin cos 2 0 1 2 0 8 1 38 2
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2. Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas, evalúe la integral iterada. b.
SOLUCION
Para desarrollar esta integral triple, primero tomamos la integral que se encuentra más interna y de ahí seguimos hacia afuera. Tendríamos:
Procedemos a integrar inferior 0.
1 | { } 0 ; y lo evaluamos entre su límite superior 1 y su límite
Teniendo en cuenta que:
; 1 1 Integramos con respecto a “r”
42} | { 1 Aplicando teoría fundamental del cálculo
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4 2 2 1 2 1 8 1 2 1 6 1 Integrando respecto a θ
6 1| 0 Aplicando teoría fundamental del cálculo
6 1 6 10 62,7182813,1416 ≈ 32,3888 c)
La integral se puede dividir de la forma Resolviendo cada una de estas: 2 cos== cos cos0 1 1 2
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[1 ]= 1 2 0 4 4 = 4 Por tal se tiene entonces 16 d.
Solución.
/
/ / 2 0 / 20 / 2
La primera integral es con respecto a , entonces podemos sacar las variables y como una “constante”.
Realizamos la i ntegral. Integral de tabla.
Evaluamos intervalo de integración.
Sacamos la constante.
/ 2
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/ 2 / 2 2 0 0 / (2 ) 2 3 3 / 8 2 3 0 / 8 2 3 163 /
La siguiente integral es con respecto a , entonces podemos sacar la variable como una “constante”.
Realizamos la i ntegral. Integral de tabla.
Evaluamos intervalo de integración.
Sacamos las constantes.
Aplicamos el método de integración por sustitución. Sea:
→ Reemplazamos:
Simplificamos.
−
163 /
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/ 16 3 /4 16 3 0 /4 4 3 0
Realizamos la i ntegral. Integral de tabla.
Volvemos a la variable original.
/4 4 3 0
Evaluamos intervalo de integración.
Simplificamos.
e.
4 3 40 4 3 14 1 4 3 34 /
= = sec sec ×sec = = sec sec 3 3 tan 3 1 0
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3. Evalué la integral de línea sobre la curva C. a)
4 ∫2,⋅; , ; : 0 2∙ 2∙ ⃑ 2 ∙ 2∙ ⃑ 2 ∙ 2∙ |⃑| 4 4 |⃑| 4 |⃑| √4 2 − 2cos ∙ 2 2 3.3072
a partir del punto
en el sentido contrario al giro de las manecillas del reloj.
Procedemos a parametrizar la curva,
Hallamos la ecuación vectorial,
Derivando la ecuación obtenemos,
Hall amos el módulo para encontrar “dR”,
Factorizamos,
Sustituimos,
b.
∫ ∙ ;, ;: , ,
Solución. La integral de línea estará definida de la forma:
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⃗ ∙ ⃗⃗ ∙ ⃗ Donde r(t) es la parametrización de la curva C.
En nuest ro caso, se deberá parametrizar un segmento de recta, que va desde un punto hacia otro punto, los cuales son dados por el enunciado. La parametrización de un segmento de recta está definida de la forma:
1 ; 0 ≤ ≤ 1 Donde Q será el punto que inicia el segmento y P será donde finaliza el segmento. Al reemplazar los puntos dados por el enunciado en la parametrización de un segmento definido, tenemos qué:
⃗ , 1 12 ,0 1 ⃗ , 2 2 ,0 ⃗ 2 2 ,0 ⃗ 2 2 ,0 , ; ≤ ≤
Obtenida la parametrización del segmento de recta, necesitamos ahora evaluar la parametrización en las variables de l a función dada del enunciado.
, (,) Evaluamos el segmento de recta parametrizada.
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⃗⃗ 0 ∙ 2 , 2 ⃗⃗ 0, 2 La anterior expresión es equivalentemente igual a (teniendo en cuenta propiedades algebraicas):
,
Ahora, necesitamos la derivada de la recta parametrizada.
⃗ 2 , 0 ,
Ya tenemos todo lo necesario para reemplazar en la integral de línea definida al inicio de la solución del ejercicio.
⃗ ∙ 0,2 ∙ 2 ,0 ⃗ ∙ 0 ∙ 2 2 ∙0 ⃗ ∙ 00 ⃗ ∙ 0 ∙
Realizamos el producto punto.
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c.
∫
; C: La recta
del origen al punto (2,2)
Desarrollo
Se debe parametrizar la recta:
0≤≤2 2 [2 ]= 2 2 0 2 16 3 = 3 3 3 136 ,
Derivando estos se obtiene:
Reemplazando estos valores en la integral de línea:
Se tiene entonces que:
e.
∫⋅;, ;: , ≤ ≤ , , , sen,2cos sen,2cos ′ cos,2sen × , , 2 2 2sen ,2coscos sen 4cos2sen 4cos sen 2sen 8sencos
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cos 1 1 4 3 2 2 [ 2 sen2t] 4 sen 43 11 sen2π 0sen0 4 sen 4 sen0
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4. Utilice el teorema de Green para evaluar las integrales de líneas. b)
∮
, donde C es la curva cerrada determinada por el eje x, la recta =1
y la curva
La ecuación de Green es definida por la expresión
Graficamos l a funcion
∙
Hacemos la descripción de la región a integrar,
, |0 ≤ ≤ 1; ≤ ≤
Cambiamos la integral a una integral doble para poder aplicar el teorema de green,
2 2 Sacamos la derivada parcial de la primera y segunda componente del campo con respecto a (y) y respecto a (x),
2 2
Evaluando la integral obtenemos,
2 2 1 3
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1 3 1 3 3 0.3 10
∮ ∮ ∬ ∂Q∂X ∂∂YP ∮ ∮ , , , 0 , ∮ , , ∮ c)
, donde C es la curva cerrada determinada por la recta y la parabola Desarrollo
Donde el campo vectorial es=
En este caso
dy
Por Teorema Green
∬ ∂Q∂X ∂P∂y ∬ 2 1 ∫== ∫==21 ∫ 22 ∫4 2 4 2 ∫4 6 2 1
Usando los límites de corte de la región R que es acotada
Se tiene entonces
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15 d.
∮
, donde C es la curva cerrada determinada por el eje x y la
parábola
Solución. El teorema de Green se define por la siguiente expresión.
Las funciones P y Q a las cuales se les realizará las respectivas derivadas parciales están dadas en el enunciado. Las funciones P y Q vendrían siendo:
, ; , 0 Graficamos la curva C mediante Geogebra.
0 ; 4
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El intervalo de integración será:
∈ 2,2 ∈ 0,4 Aplicando el Teorema de Green, tenemos qué:
0 2 0 2 Reemplazamos el intervalo de integración.
, − − 2 − 2−
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Realizamos la i ntegral.
4 2− 0
Evaluamos el intervalo de integración.
2− 4 0 2−4
Expandimos el término.
2−4 Realizamos la i ntegral.
2 24 ∙ 2 2 22 2
Evaluamos el intervalo de integración
2 2 222 4 22 4
2[8 83 8 83] 2[163 163 ] 20 0
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e.
∮+ + , , , , + , , + + +
, donde C es la circunferencia
Donde el campo vectorial es
En este caso
La integral doble es el área del recinto, la cual es una circunferencia de radio 2, luego:
4
Integral doble en polares:
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5. El Cálculo Multivariado en sus muchas aplicaciones lo podemos utilizar para encontrar áreas, en este caso en el diseño de edificios. La altura del techo de un edificio está dada por , y una de las paredes sigue una trayectoria representada por . Se pide calcular el área de la superficie de la pared si . (todas las medidas se dan en pies.) Solución:
⁄ ≤ ≤
La pared la defi niría la curva roja que sube desde z=0 a z=20 + x/4 con 0>=40 Donde
, ,, , 1 1 32 1 94 9 =+ = 1 4 1 94 1 94 20 14 16(531441215√ 91 499) 6670.1279
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CONCLUSIONES
Un campo escalar de una variables es, simplemente, una función real de variable real; un campo es calar de dos variables es una función definida en un subconjunto del plano que toma valores reales; un campo escalar de tres variables es una función definida en un subconjunto del espacio que toma valores reales. La función f se llama una función de valor real de dos variables si hay dos variables independientes, una función de valor real de tres variables si hay tres variables independientes, y así sucesivamente. El cálculo de una integral múltiple (en varias variables) se reduce a ir calculando integrales de una variable en el orden especifi cado. El diferencial nos informa acerca del nombre de la variable con respecto a la que debemos integrar y su posición indica el orden de integración, correspondiend o los diferenciales más interiores a las integrales que hay que calcular primero
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