ECUACIONES DIFERENCIALES FASE TRES Presentado a: xxxxxxx Tutor
Entregado por: Yurani Cárdenas Yela Código: 29.314.849 XxxxxxxXxxxxXxxxxx Código: xxxxx XxxxxxxXxxxxXxxxxx Código: xxxxx XxxxxxxXxxxxXxxxxx Código: xxxxx XxxxxxxXxxxxXxxxxx Código: xxxxx
Grupo:xxxxxx
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, INGENIERIAS Y TECNOLOGIAS CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES MAYO 2017 PALMIRA -VALLE 2017
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA Actividad Individual:
A continuación, se presentan un contexto generalizando la temática de las ecuaciones diferenciales de primer orden, en el que posterior a él, se presentan diez (10) preguntas tipo SABER PRO, de las cuáles cada integrante debe seleccionar dos y seleccionar la respuesta correcta justificándola con todo el procedimiento empleando el método adecuado para llegar a su solución general y/o particular. El estudiante debe garantizar que los ejercicios seleccionados sean diferentes a los de sus compañeros. ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción que responda correctamente al ítem planteado entre cuatro identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, márquela con un óvalo la que corresponda y justifique la respuesta. Teniendo en cuenta la siguiente información conteste las preguntas 1, 2 y 3.
>0
Toda serie de potencias tiene un radio de convergencia . Si serie de potencias
∞ 0
| | | | < > 0 ∞ | | < → << | | > → > ó <
, entonces la
converge para y diverge para . Si la serie converge sólo en su centro entonces . Si la serie converge para todo entonces se escribe . Es importante recordar que la desigualdad de un valor absoluto es igual a:
Una serie de potencias podría converger o no en los puntos extremos de este intervalo.
y
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:
1. Teniendo en cuenta lo anterior, ¿para qué valores de converge la serie de potencias?
∞ 1 1 1 2
A. B. C. D.
| 3| <1 | 2| <1 <<4 1<<3 | 2| <1 1<<3
La serie converge para lo que equivale a 2 La serie converge absolutamente para lo que equivale a No se puede determinar la convergencia La serie converge absolutamente para lo que equivale a RAZÓN O EXPLICACIÓN
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:
∞ 1 1 2
2. El radio de convergencia de la serie de potencias es:
A. B. C. D.
1 0 3 2
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
l→im +
RAZÓN O EXPLICACIÓN
Criterio de la razón:
Si L<1, entonces Si L>1, entonces
∑∑
Si L=1, entonces concluyente.
es convergente. es divergente. el
criterio
es
poco
+ + ++
1 + 21 1 l→im121 12 . l→i m 1 12 . 1 2 121 <1 1< 2 <12 1 3<<1 211< 2 1<121 | |
Simplificamos:
Hallamos el límite.
La suma converge para L<1, por lo tanto:
Hallamos el radio de convergencia.
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: 3. ¿Cuál es el conjunto de convergencia absoluta y el radio de convergencia de la siguiente serie?
a. b. c. d.
Conjunto (-1, 1) Conjunto (-1, 1] Conjunto [-1, 1) Conjunto [-1, 1]
1 1 1 1
∞ 0 √
RAZÓN O EXPLICACIÓN
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:
´´ ´ 0 0 0 0
4. Un punto singular de
se puede definir como:
a. Es un punto donde las funciones y no tienen ni pueden tener una representación en series de potencias. b. Es el punto que al formar los siguientes productos y hace que sea analítico en c. Es el punto que al formar los siguientes productos y hace que sean desarrollables en series de potencias d. Es el punto donde una ecuación tiene representación en series de potencias, no importando si están definidas o no las funciones en dicho punto. PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:
´´0, 0, ´0´ ´ 8 ´ ´ 9 ´ ´9 ´ ´ 8 ´ 9 ´ ´ 8 ´ 9
5. Obtenga los primeros términos de la solución de la ecuación diferencial de Airy A. B. C. D.
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: 6. Teniendo en cuenta las siguientes definiciones en cada caso, escoge la respuesta correcta: Un punto ordinario de una ecuación diferencial de la forma es aquel punto en el cual ambas funciones son analíticas; es decir, pueden representarse en series de potencias de con radio de convergencia
>0. 0 .
0
´ ´ ´ 0
Mientras que un punto singular no tiene representación en series de potencias
´´´0 ≠0>0 ≠0
De la siguiente ecuación a. b. c. d.
0 0 0 0
se puede afirmar que:
ordinario, así como el resto de los reales irregular, ordinarios ordinario y ordinarios singular regular ordinarios
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
ITEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información: Seleccione A si 1 y 2 son correctas. Seleccione B si 1 y 3 son correctas. Seleccione C si 2 y 4 son correctas. Seleccione D si 3 y 4 son correctas. Una vez seleccione su respuesta, describa el procedimiento que la justifique ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:
´´0 10 cos sen 1 12! 2 4!1 4 ⋯ 1 3!3 5!5 ⋯ sen cos 3 5 1 1 2 4 0 1 1 2! 4! ⋯ 2 3! 5! ⋯
7. La solución general de la ecuación 1. 2. 3. 4.
mediante series de potencia es:
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Andrea Londoño 8. Halle la solución general de la ecuación diferencial, usando series de potencias. Exprese dicha ecuación mediante funciones elementales. 1. 2. 3. 4.
1 2´´2´20 101sen 10 12 13 4 15 6 17 7 ⋯ 10 3 14 4 16 6 17 7 ⋯ 101arctan
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
1 2´ 2´20
= ´ =− ´´ =1−
1 2 2 0 =+21 = = =
[ 2 1 12 2 ] 0 = +
RAZÓN O EXPLICACIÓN
= ´ =−
´´ = 1−
− − 0 ∴1 1 2 2 = = = 1 − 1 0 2 2 = = = = 2 0 − 1 = = 1 − 21 0 = = 1 2 ∞ 2 0 = 2 2
1 3 − 0 − = ∴ 1 3− 0 31− 0∀∈ℤ∗ 2 3) ∴ 1(1+13……. { 1 3 5 ……2 1 ∀∈ℕ +0∀∈ℤ∗ + 1 2 1 ∀∈ℕ
0∀∈ℤ∗ +211+ ∀∈ℤ∗
+ 1 1+ 1+ 1= 211 ∴ = 21 = 2 1
1 tan− 1arctan ÍTEMS DE ANÁLISIS DE RELACIÓN Este tipo de ítems consta de dos proposiciones así: una Afirmación y una Razón, unidas por la palabra PORQUE. Usted debe examinar la veracidad de cada proposición y la relación teórica que las une. Para responder este tipo de ítems, debe leerla completamente y señalar en la hoja de respuesta, la elegida de acuerdo con las siguientes instrucciones: Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque B si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA. ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: 9. Si una función se puede representar con una serie de potencias se dice que es no analítica PORQUE los coeficientes de la serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:
−
−
´´−´ −0 0 0
10. El punto singular de la siguiente ecuación ordinaria PORQUE y no están definidas en dicho punto. PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
es
RAZÓN O EXPLICACIÓN
Primera actividad Grupal: Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden. Problema:
6 / 2
Al calentar un resorte, su “constante” decrece. Suponga que el resorte se calienta de modo que la “constante” en el instante es (véase la figura). Si el sistema masa-resorte sin forzamiento tiene masa y una constante de
1/
amortiguamiento el desplazamiento
03 ´00
con condiciones iniciales y , entonces queda descrito mediante el problema de valores iniciales
2´´ ´ 6 0 03 ´00 0
Determine los primeros cuatro términos no nulos en un desarrollo en series de potencias en torno de para el desplazamiento.
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
Segunda actividad Grupal: Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se
encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. EJERCICIO Y SOLUCIÓN PLANTEADA
OBSERVACIONES, ANEXOS, MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA
Situación y solución planteada: Pandeo de una columna cónica. Una columna de longitud L, está abisagrada en ambos extremos, tiene secciones transversales circulares y es cónica como se muestra en la figura
0 14 4 14 4 4´ ´ 0
Si la columna, un cono truncado, tiene un afilamiento lineal , como se muestra en la sección transversal de la figura b, el momento de inercia de una sección transversal respecto a un eje perpendicular al plano es , donde y . Por tanto, escribimos
donde
Sustituyendo en la ecuación diferencial , la deflexión en este caso se determina del problema de valor en la frontera.
4 22 0
Donde
0 0
Encuentre las cargas críticas para la columna cónica. Use una identidad apropiada para expresar los modos de pandeo como una sola función.
SOLUCIÓN
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales
Tenemos:
0 0 1 √ 2 √ 0 1 √ 2 √ 0
Ya que es un sistema homogéneo de ecuaciones lineales, las soluciones no son triviales.
√ √ √ √ √ . √ √ . √ √ √ √ +0 − √ √ , 1,2,3,…
Este será el caso si Ó
O si,
Las cargas críticas entonces son:
2222 22 22 2 √ 1 2 √ √ √ √ √ √ . √ √ . √ 3√ 1 1 3 1 1 1
Usando
Tenemos
CONCLUSIONES
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
