DASAR - DASAR MATEMA MATEMATIKA TIKA OPTIMASI
1. Gradien
f ( x) adalah
fungsi bernilai skalar yang didefinisikan pada ruang vektor
x
x1 x 2 x x3 . xn Differens Differensial ial f ( x) skalar dim(1x1) terhadap vektor
x
dim(nx1) dim(nx1) akan menghasilkan menghasilkan
df d x
vektor dim(nx1). f ( x )
: gradien dari fungsi f ( x)
f x 1 f x df f ( x ) 2 . d x . f x n Untuk mencari titik-titik optimal dari suatu fungsi f ( x) maka
df d x
f ( x) 0 .
2. Matriks Hessian Differensial vektor kolom dim(nx1) terhadap skalar dim(1x1) ! vektor baris dim(1xn). Differensial vektor kolom dim(mx1) terhadap vektor kolom dim(nx1) ! matriks dim(nxm).
f 1 f 2 f f 3 , . xm
x1 x 2 x x3 . xn
df m df 2 df 1 ....... dx dx1 dx1 1 df df df m 2 d f 1 ....... dx 2 dx 2 dx 2 d x ....... ........ ....... ........ df df 2 df m 1 ....... dx dx dx n n n
DASAR - DASAR MATEMATIKA OPTIMASI
1
x12 x22 2 x1 x2 2 "isal: f ( x) 2 x1 3 x2 6 x2 , 4 x1 6 x2 4
x1 x x2
2 x 2 x 2 1 d x 2 x 2 2 x1
d f
2 6 x2 6
4
6
H ( x ) : "atriks #essian dari f ( x)
2 f H ( x ) x i x j
2 f 2 x
2 f x12 x1 f H ( x) x x 2 1 ....... 2 f x n x1
2 f x1 x 2 2 f x 2 x 2 ........ 2 f
x n x 2
....... ....... ....... .......
2 f x1 x n 2 f x 2 x n ........ 2 f x n x n
$perator %ntegral dan differensial mempunyai sifat linier karena linier maka &uga mempunyai sifat komutatif.
"atriks #essian merupakan Matriks Simetri (upper diagonal = lower diagonal) 2
Untuk mengetahui minimum atau maksimum suatu fungsi f ( x ) maka
f x
2
H ( x) 0 fungsi
2
f ( x) adalah
minimum dan
f x
2
H ( x) 0 fungsi f ( x) adalah maksimum.
'$$# : f ( x) 3 x1 2 x2 4 x1 x 2 6 x1 8 x2 6 2
2
maka
f x 6 x1 4 x 2 6 f ( x) 1 f 4 x1 4 x 2 8 x 2
DASAR - DASAR MATEMATIKA OPTIMASI
2
2 f x x H ( x) 12 1 f x x 2 1
2 f x1 x 2 6 4 2 f 4 4 x2 x 2
3. Matriks Definit Positip dan Definit e!atif
a11 a 21 A ...... a n1
a12
......
a 22
......
......
......
an2
......
a1n
...... a nn a 2n
"inor utama ( principle minor ) dari * :
a11 A1 a11 A2 a21
a11 a12 A3 a 21 a 22 a 31
A disebut Dei!it P"siti#
a11 a 21 a 23 ++.. An .... a33 a n1 a13
a12 a 22 a 32
T
x Ax
0 T
A disebut Se'i Dei!it P"siti#
x Ax
A disebut Se'i Dei!it $e%&ti
x Ax
T
....
a1n
a 22
....
a 2n
.... an 2
.... .... .... a nn
x R n
T x Ax 0
A disebut Dei!it $e%&ti
a12
x R n
0
x R n
0
x R n
,arena pembuktian x *x yang harus berlaku untuk semua x sangat sulit ahli matematik telah membuktikan baha:
A disebut Dei!it P"siti#
det Ai 0
A disebut Dei!it $e%&ti i
i
1 ,2,......, n
i
1 ,2,......, n
1 i det Ai 0
1 ,2,......, n
A disebut Se'i Dei!it P"siti# DASAR - DASAR MATEMATIKA OPTIMASI
det Ai
0
3
* Definit egatif
-* Definit ositip
/
T
x Ax
- x T Ax x
T
A x
/
/ -* Definit ositip
'ara ini adalah untuk membuktikan * Definit egatif dengan menggunakan pembuktian baha (-*) Definit ositip. * disebut "atrik tidak definit ( indefinite )
ketentuan-ketentuan definit 0 semi definit positif 0 negatif tidak dipenuhi '$$# : 6 H 4
4
4
det H 1 6 6 / det H 2
6
4
4
4
24 16 8 /
2adi # adalah Definit Positip
". S#arat Per$% Keopti&a$an Digunakan untuk mencari calon0kandidat titik-titik optimal x * . 3ila x * adalah titik optimal dari f ( x ) maka :
f x * 0
'$$# :
6 x 4 x 2 6 f x 1 4 x1 4 x 2 8 6 x1 4 x 2 6 0.
f x 0
4 x1 4 x 2 8 0 2 x1 2 0 x1 1
x 2 3
2adi 1 adalah titik optimal dari f x 3
x *
'. S#arat (%k%p Keopti&a$an f x * 0 dan H x * definit positip
x * titik minimum
f x * 0 dan H x * definit negatif
x * titik maksimum
'$$# : DASAR - DASAR MATEMATIKA OPTIMASI
4
1 3
6 * H ( x ) 4
x *
4
4
definit positip
2adi 1 adalah titik minimum dengan f x * 3 8 12 6 24 6 3 3
x *
"isal: f ( x) 2 x13 3 x22 12 x1 x2
1. ,andidat titik-titik optimal syarat perlu: f x 0
6 x12 12 x 2 0 sehingga
6 x12 12 x 2
6 x 2 12 x1 0
6 x 2 12 x1
sehingga
x12 4 x1 x12 4 x1 0 x1 x1 4 0 x1 0, x 2 0 x1 4, x 2 8
,andidat:
0 4 x *1 , x *2 0 8
4. 'ek yang memenuhi syarat sebagai titik optimal:
12 6
12 x1 H ( x ) 12 0 12
12 det( H 1 ) 0 , det( H 2 ) 144 0 indefinit 6
48 12
12 det( H 1 ) 48 0 , det( H 2 ) 144 0 definit positif 6
H ( x ) *1
H ( x ) *2
4
*2 x 8 memenuhi syarat sebagai titik optimal sedangkan
). *%n!si Konveks dan *%n!si x
1
2 x
R
n
5
x
1
x
*1
0 tidak. 0
Konkav
2 dan x adalah vektor dengan dimensi yang sama. 6ecara
matematis vektor sama dengan titik dengan syarat titik referensinya sama. itik adalah isitilah pada geometri sedangkan vektor adalah istilah pada space. erbedaannya titik selalu dinyatakan pada koordinat tetap sedangkan vektor dinyatakan dalam koordinat tertentu yang bisa berubah-ubah (tidak tetap).
x1 2 x
DASAR - DASAR MATEMATIKA
0 OPTIMASI 0
+
,ombinasi ,onveks dari menghubungkan
x
1
x
1
2 dan x adalah titik-titik yang terletak pada garis lurus yang
2 dengan x yang dipenuhi dengan persamaan:
x !
1
! x
1 ! x
2
!
0,1
1
!,1
!,0.+
!,0
1
f x
e/t"titi/ /"!e/s &!% &d& d&&' 5"!e 1 d&! 2
2
2
1 2 fungsi konveks f x ! ! f x 1 ! f x
() /"!e/s
!(1) (1-!)(2)
(1)
(2)
(!)
1
f x
((!))
2
fungsi konkav - f x adalah konveks
f x ! ! f x 1 ! f x 1
2
() /"!e/s
%(),-() /"!/&
7ungsi 8inier adalah 7ungsi konveks dan 7ungsi konkav
f x ! ! f x 1 ! f x 1
DASAR - DASAR MATEMATIKA OPTIMASI
2
6
() i!ie
(!)
1
f x
2
fungsi konveks
matriks #essiannya adalah Semi Definit Positip f x
fungsi konkav
matriks #essiannya adalah Semi Definit Negatif 7ungsi konveks dan konkav ini dapat menggantikan syarat cukup semi definit positif dan negatif. 6uatu himpunan 6 disebut konveks ! x19(1-!) x4 6 x1x4 6 dan ! /1;
1
1 2 2 S
S
/"!e/s
bu/&! /"!e/s
'ontoh: 2
2
f ( x) 3 x1 2 x2 4 x1 x 2 6 x1 8 x2 6 6 H ( x) 4
4
" definit positif
4
f(x) konveks 'ontoh: 6 adalah himpunan penyelesaian yang layak dari suatu permasalahan optimasi dengan batasan-batasan: 2 x1 x 2 4 x12 x 22 16 x1 0 DASAR - DASAR MATEMATIKA OPTIMASI
7
3uktikan baha 6 adalah konveks 2
S
"/"!e/s 1
122216 10
DASAR - DASAR MATEMATIKA OPTIMASI
2124
8