COLEGIO MILITAR “ELOY ALFARO”
“PROYECTO SOBRE LA MEDICION DE LA TIERRA”
INVESTIGACIÓN LIC. ROBERT BRITO Z.
INDICE INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. 3 JUSTIFICACIÓN ........................................................... .............................................................................................................................. ................................................................... 4 OBJETIVOS .................................................................................................... ..................................................................................................................................... ................................. 5 MARCO TEÓRICO:................................................................... .......................................................................................................................... ....................................................... 6 CAPÍTULO 1 ................................................................ ................................................................................................................................... ................................................................... 6 CAPÍTULO 2 ................................................................ ................................................................................................................................... ................................................................... 8 CAPÍTULO 3 ................................................................ ................................................................................................................................. ................................................................. 11 MARCO ADMINISTRATIVO .......................................................................................................... .......................................................................................................... 14 CONCLUSIONES .................................................................................................................. ........................................................................................................................... ......... 16 RECOMENDACIONES ................................................................................................................... ................................................................................................................... 17 BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. 18 Bibliografía ................................................................. .................................................................................................................................. ................................................................. 18
M edición de Imagen de la Portada: “ Medición de: de:https://es https://es.wikipedia.org .wikipedia.org/wiki/Erat%C3 /wiki/Erat%C3%B3stenes %B3stenes
correcto
2
la
tierra “tomada “tomada
INTRODUCCIÓN El proyecto de medición de la tierra consiste en recrear lo que el matemático astrónomo y geógrafo griego Eratóstenes realizo en el siglo iii a. c. El proyecto consiste en que los cadetes del colegio militar “Eloy Alfaro” determinen el
perímetro de la circunferencia terrestre solo con una varilla, midiendo pasos y, sobre todo, con las ciudades que se aproximen a siena y Alejandría cerca de la ciudad de quito. Eratóstenes nació en el año 276.a.c en Cierene (actualmente shahhat, libia) en el norte de África fue uno de los hombres más cultos de su época y el primero en llamarse a sí mismo “philologos” –amigo del saber-. su trabajo sobre la medición de la circunferencia de la tierra fue sin dudas una de de sus estudios e investigaciones en la biblioteca de Alejandría, Eratóstenes encontró un papiro en el que se mencionaba que en siena, actualmente Asuán en Egipto, el día del solsticio de verano la luz de los objetos no proyectaban sombra alguna esto era debido a que la ciudad de siena estaba situada sobre la línea del trópico de cáncer. Para el cálculo del ángulo, Eratóstenes se sirvió de un tipo de cuadrante solar rudimentario y a la distancia de a-s evaluó datos de las caravanas que comerciaban entre ambas ciudades. Ese mismo día y hora entonces, midiendo la sombra de una vara verifico que en Alejandría la inclinación de los rayos del sol era de 7 grados. razono que esa diferencia de 7 grados era el arco que formaban los puntos representados por siena y Alejandría en la superficie de las esfera terrestre, con el ángulo en el centro de la tierra. 7 grados es la cincuentava parte de una circunferencia, de modo que la distancia entre siene y Alejandría era equivalente a 5000 estadios, era la cincuentava parte de la circunferencia de la tierra. Es decir que está en su totalidad media 250.000 estadios: una cantidad muy cercana a los 40.000 kilómetros que hoy sabemos mide la tierra. En el colegio militar “Eloy Alfaro” los cadetes debemos hacer una medición
entre las ciudad de quito, Ecuador y la ciudad de Mosquera, Colombia. Utilizamos esta ciudad porque es la que se encuentra en las mismas condiciones entre siena y Alejandría. Todo los podremos realizar en el solsticio de marzo del año 2016 midiendo la sombra de ambos lugar y realizando el mismo procedimiento que realizo Eratóstenes. correcto
3
JUSTIFICACIÓN En esta práctica investigamos los pasos que siguió Eratóstenes para saber el perímetro y radio de la tierra. Vamos a hacer lo mismo que hizo el pero cambiando de objetivo como referencia tomaremos las ciudades de Quito y Mosquera midiendo el ángulo de las sombras el día del solsticio con tan solo elementos simples como papel, lápiz, escuadra y con un día despejado, podremos ser capaces de medir las dimensiones del planeta donde vivimos con tan solo un error mínimo. Con este trabajo tratamos de demostrar lo fácil y divertido que es realizar proyectos sin la utilización de tecnología como en aquellas épocas, tendremos que utilizar muchos recursos como los pasajes a la ciudad de Mosquera en el país de Colombia para poder medir como Alejandría y siene. Cada cálculo del radio terrestre demanda, al menos, dos grupos que midan sombras y longitudes, cada una en su punto geográfico durante el mediodía solar, de un solsticio.
correcto
4
OBJETIVOS Objetivo General
Desarrollar un proyecto de medición del radio de la tierra similar al desarrollado por Eratóstenes mediante la recopilación bibliográfica y la ejecución en el campo para comprobar la redondez r edondez de la tierra.
Objetivos Específicos
Calcular el radio terrestre. Describir cómo el perímetro de la Tierra fue medido por primera vez miles de años atrás. Como llevamos a cabo la medición medición entre ambas ciudades. Como se se puede puede medir en la actualidad el radio de la tierra en diferencia a la época de Eratóstenes Investigar en qué fecha se realiza el solsticio correcto
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MARCO TEÓRICO: CAPÍTULO 1 “Bibliografía de Eratóstenes“
Eratóstenes fue una pieza fundamental para un gran descubrimiento como el radio de la tierra o la distancia de la luna con la tierra con grandes teorías pudo dar aportes a las diferentes ramas en las que él se destacó y también darle grandes reconocimientos. Eratóstenes era hijo de Aglaos. Estudió en Alejandría y durante algún tiempo en Atenas. en Atenas. Fue discípulo de de Aristón de Quíos, deLisanias de Cirene y del poeta Calímaco poeta Calímaco y también gran amigo de Arquímedes. de Arquímedes. En el año 236 a. C., Ptolomeo C., Ptolomeo III le llamó para que se hiciera cargo de la Biblioteca de Alejandría, puesto Alejandría, puesto que ocupó hasta el fin de sus días. La Suda afirma que, tras perder la vista, se dejó morir de hambre a la edad de 80 años; sin embargo, Luciano embargo, Luciano dice que llegó a la edad de 82 años; tambiénCensorino tambiénCensorino sostiene que falleció cuando tenía 82 años. Eratóstenes poseía una gran variedad de conocimientos y aptitudes para el estudio. Astrónomo, poeta, geógrafo y filósofo, su apellido fue Pentathlos, nombre que se reservaba al atleta vencedor en las cinco competiciones de los Juegos Olímpicos. Olímpicos. Suidas afirma que también era conocido como el segundo Platón y diversos autores dicen que se le daba el sobrenombre de Beta, por la segunda letra del alfabeto griego, porque ocupó el segundo lugar en todas las ramas de la ciencia que cultivó.(wikipedia, 2015).
A 1Eratóstenes se le atribuye muy grandes reconocimientos ya que fue un astrónomo geógrafo, matemático y filósofo griego, una de las figuras más eminentes del gran siglo de la ciencia griega.
Imagen2: Eratóstenes 1
Eratóstenes fue un gran personaje que ayudo muchos con la astronomía ya que su mentor fue Arquímedes con quien mantuvo relaciones de amistad y correspondencia científica
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http://www.biografiasyvidas.com/biografia/e/eratostenes.htm El con sus grandes conocimientos y sabiduría logro alcanzar un gran puesto es la biblioteca de Alejandría que era la más prestigiada de aquel tiempo ya que el se mantuvo allí hasta sus últimos días y donde donde también encontró papiros papiros llenos de mucha información como el papiro sobre Siena donde en aquel lugar los rayos del sol caían verticalmente sobre un pozo y no ocasionaba sombra. Vivió en Atenas hasta que fue llamado a Alejandría (245 a.J.C.) para educar a los hijos de Tolomeo III y para dirigir la biblioteca de la ciudad. Fue célebre en matemáticas por la criba que lleva su nombre, utilizada para hallar los números primos, y por su mesolabio, instrumento de cálculo usado para resolver la media proporcional. Consideró tan importante la invención del mesolabio que regaló un ejemplar de él a un templo como ofrenda votiva, con un texto en verso que explicaba su utilidad. Pero Eratóstenes es particularmente recordado por haber establecido por primera vez la longitud de la circunferencia de la Tierra (252.000 estadios, equivalentes a 40.000 kilómetros) con un error de sólo 90 k ilómetros respecto a las estimaciones actuales. Eratóstenes sabía que, cuando en la ciudad egipcia de Siene (actual Asuán), el Sol llegaba su punto más alto (mediodía), se encontraba en la vertical del observador. Y observó que en Alejandría, Alejandría, ciudad situada a mayor latitud, el Sol formaba un ángulo de aproximadamente 70º con la vertical cuando se encontraba en su punto más alto. Valiéndose de la distancia existente entre Siene y Alejandría, estimó que la circunferencia de la Tierra superaba en 70 veces tal longitud y dedujo fácilmente su medida mediante una cualificada ecuación. También calculó la oblicuidad de la eclíptica por medio de la observación de las diferencias existentes entre las altitudes del Sol durante los solsticios de verano e invierno, y además elaboró el primer mapa del mundo basado en meridianos de longitud y paralelos de latitud. Al final de su vida se quedó ciego, lo que le llevó al suicidio ante la imposibilidad de proseguir con sus lecturas.(Ruiza, 2015)
Imagen 3: biblioteca de Alejandría http://www.xatakaciencia.com/sabias-que/cinco-cosas-increibles-sobre-labiblioteca-de-alejandria-el-centro-del-saber-del-mundo-antiguo 7
CAPÍTULO 2 “El radio y la circunferencia “
LA CIRCUNFERENCIA A una circunferencia se le conoce como la línea cerrada que posee un formato curvo y apariencia plana en la cual los puntos resultan equidistantes del punto central que se localiza en el mismo plano. (http://definicion.de/circunferencia/ (http://definicion.de/circunferencia/,, 2015)
Elementos de la circunferencia Centro: Es el punto en cual se unen todos los puntos de aquella circunferencia.
Diámetro: El diámetro simplemente es una recta más grande que se puede trazar desde el centro de la circunferencia hacia los extremos de la misma, es dos veces de lo que se conoce como el radio de una circunferencia.
Radio: El radio es una recta segmentada que va desde el centro hasta uno de los extremos de la circunferencia, es la mitad de un diámetro. Esta medida hace referencia a la utilizada por un compás al trazar una circunferencia.
Grafico tomado de: http://definicion.de/wp-content/upl http://definicion .de/wp-content/uploads/2010/11 oads/2010/11/circunferenci /circunferencia.JPG a.JPG
La cuerda: Es un segmento de recta que une dos puntos de una circunferencia.
Semicircunferencia Es una circunferencia dividida.
La circunferencia y un punto 8
Un punto en el plano puede ser:
Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud del radio. Perteneciente a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es igual a la longitud del radio. Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del radio.
La circunferencia y la recta Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:
Exterior, si no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del centro a la recta es mayor que la longitud del radio. Tangente, si la toca en un punto (el punto de tangencia o tangente) y la distancia del centro a la recta es igual a la longitud del radio. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro. Secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos distintos y la distancia del centro a la recta es menor a la longitud del radio. Segmento circular, es el conjunto de puntos de la región circular comprendida entre una cuerda y el arco correspondiente.2 (Wikipedia, 2015)
En el anterior artículo se menciona todos los posibles puntos existentes en una recta como parte de ella, también se especifica todas las rectas posibles en ella tales como partes de una recta. Estos son parte de una recta como funciones trigonométricas en ella; en esta existen diversas funciones, más de las que se mencionan en el anterior artículo. correcto
Ecuaciones en una circunferencia.
La longitud o perímetro en una circunferencia es igual a: = ∗ 2 2
Dónde: 2
No siempre los segmentos circulares entre una cuerda y un arco, puede ser solo el arco y la circunferencia. Como lo aclara en esta Wikipedia. 9
L= es igual a longitud de una circunferencia 2R= es el radio de la circunferencia por dos, que es igual al diámetro.
El área en un círculo es: = ∗
Donde: A= es igual área de una circunferencia circunferencia R= es igual al radio de una circunferencia.
La ecuación general en una circunferencia es: ( − ) + ( − ) =
O también: ( − 1 )( − ) + ( − 1 )( − ) = 0
Circunferencias de Cardanus Un par de circunferencias que se desplazan, tangencial e interiormente, una sobre la otra guardando una razón entre sus radios de 1:2. Investigadas, originalmente, por el matemático italiano, Girolamo de Cardano Circunferencia directriz Usada en una alternativa definitoria de la elipse y de la hipérbola. Siendo estas el lugar de los centros de las circunferencias tangentes a la llamada circunfere circunferencia ncia directriz Circunferencia osculatriz Al tratar de la curvatura de una curva o de una superficie, en el punto de contacto, además de la tangente se toma en cuenta la circunferencia de la curvatura, llamada circunferencia osculatriz(Wikipedia, osculatriz (Wikipedia, 2015) correcto
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CAPÍTULO 3 “Medición de la tierra según Eratóstenes y en la actualidad ”
Eratóstenes como trabajo en la biblioteca de Alejandría un día en un papiro logro encontrar la información sobre Siena Siena que el 21 de junio al mediodía mediodía los rayos del sol entra de forma totalmente vertical vertical dentro de de un pozo profundo sin que existiera sobra alguna. Esto provoco en Eratóstenes una pequeña inquietud comprobó que en un pozo de Alejandría se podía apreciar sombra en el fondo.
¿Cómo midió Eratóstenes la sombra de siena y Alejandría? Eratóstenes usó una sombra como ésta para calcular el perímetro de la Tierra. Cuando el sol estaba exactamente sobre Siena midió la sombra de un objeto en Alejandría. Conociendo el largo del objeto y el de su sombra, y la distancia entre Siena y Alejandría, calculó el perímetro terrestre. El valor que obtuvo es muy similar al conocido actualmente. “Si una de las dos estacas, en un determinado momento diera sobre la línea meridiana sombra nula, es decir, si en una de las estacas fuera cero el ángulo que forma la dirección de los rayos solares con la estaca, o, dicho de otra manera, si en uno de los dos lugares los rayos solares inciden perpendicularmente, perpendicularmente, entonces, se tendría que:
Grafico ángulo de Alejandría y Siena http://www.antena3.com/noticias/ciencia/como-mide http://www.antena3.com/noticias/cie ncia/como-mide-radio-radiotierra_2009032600037.html
a1 = 0, por lo cual a = a2 – 0 = a2, es decir, el ángulo, a, que corresponde al arco de meridiano terrestre comprendido entre ambas posiciones de las 11
estacas, es, precisamente el ángulo, a2, que f ormarían los rayos solares con la segunda estaca sobre la línea meridiana. Este último hecho fue lo que utilizó Eratóstenes para hacer su medición. Eratóstenes, que estaba en Alejandría, recordó que en un cierto día del año, en el solsticio de verano, los rayos solares caían verticalmente en la ciudad de Siena, situada en el mismo meridiano que Alejandría, pues recordaba que el sol se reflejaba en lo mas profundo de los pozos, a la hora del mediodía. Entonces, pensó que si media ese día en la ciudad de Alejandría, a la misma hora, el ángulo, a2, que los rayos solares formaban con la vertical, midiendo la sombra que sobre la línea meridiana formaba la estaca, conocería el ángulo del arco de meridiano entre Alejandría y Siena. Eratóstenes midió la sombra sobre la línea meridiana producida por una estaca vertical en Alejandría, y conociendo la longitud de la estaca halló ese ángulo a la hora antedicha: resultó que el ángulo era de 7 grados (a2 = 7º). Ya sabia el ángulo del arco de meridiano entre Alejandría Alejandría y Siena. Ahora faltaba conocer la distancia, a lo largo del meridiano, entre ambas ciudades, es decir, la longitud del arco L. Para ello Eratóstenes pagó a un hombre que hizo, a pié, tal medición. Eran, usando la medida usual en la época y en la zona, unos 4900 estadios, que equivaldría hoy ( a unos 6’125 estadios por kilómetro) a unos 800
kms. Con estos datos ya es inmediato el cálculo: Longitud de la circunferencia circunferencia terrestre:
Radio medio del planeta:
(Chinea, 2001)
Medición de la tierra en la actualidad En la actualidad es muy fácil medir el radio o circunferencia de la tierra con elementos como: satélites, GPS, computadoras etc. Pero nosotros En esta práctica investigamos los pasos que siguió Eratóstenes para saber el perímetro y radio de la tierra. Vamos a hacer lo mismo que hizo el pero cambiando de objetivo como referencia tomaremos las ciudades de Quito y Mosquera midiendo el ángulo de las sombras el día del solsticio con tan solo elementos simples como papel, lápiz, escuadra y con un día despejado, podremos ser capaces de medir las dimensiones del planeta donde vivimos con tan solo un error mínimo. 512.000.000 de kilómetros cuadrados, lo que quería decir más de seis veces la superficie “El área de la superficie de esa esfera es de unos 12
máxima conocida en aquellos tiempos. Evidentemente, la esfera de Eratóstenes de Eratóstenes era demasiado grande para los griegos, y más tarde los astrónomos repitieron las observaciones y obtuvieron cifras más pequeñas (29.000 kilómetros de circunferencia, 9.100 de diámetro y 256.000.000 de kilómetros cuadrados de superficie), así que las aceptaron sin pensarlo dos veces. Estas cifras prevalecieron durante toda la Edad Media y fueron usadas por Colón para demostrar era más práctico viajar a Asia desde España utilizando la ruta occidental. En realidad no lo era, pero su viaje se vio coronado por el éxito ya que donde Colón creía que estaba Asia estaba ocupado por América. En 1522, año en que regresó la única nave sobreviviente de la flota de Magallanes, quedó definitivamente establecido el verdadero tamaño de la Tierra, demostrándose así queEratóstenes que Eratóstenes tenía razón. Las últimas mediciones dan una cifra de 40.067,96 kilómetros para la longitud de la circunferencia de la Tierra en el Ecuador. La longitud media del diámetro de la Tierra es de 12.739,71 kilómetros, ya que varía al no ser nuestro planeta una esfera perfecta. El area de la superficie es de 509.903.550 kilómetros cuadrados(Freyre, 2015) .
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MARCO ADMINISTRATIVO
ITEM
CANT.
1 2 3 4 5
2 4 1 4 4
RECURSOS RECURSOS MATERIALES DESCRIPCION cuadernos esferos calculadora alimentos Boletos para viajar
PRECIO UNITARIO
PRECIO TOTAL
1.60$ 0.35$ cntada 20.00$ 30.00$
3.20$ 1.40$ cntada 50.00$ 30.00$
DESCRIPCION
PRECIO HORA O PRECIO PARCIAL
PRECIO TOTAL
HOTEL TRANSPORTE
60Xnoche 120$
200$ 120$
RECURSOS HUMANOS
14
RECURSOS ECONÓMICOS PRESUPÙESTO GENERAL
338$
84.5$
PRESUPUESTO INDIVIDUAL
CRONOGRAMA ACTIVIDAD Viaje al lugar donde se colocara la varillas Colocación de la primera varill Colocación de la segunda varilla Medición Medición de la sombra sombra proyectad proyectad en la primera varilla Caculo Cac uloss a efectu efectuar ar para para la medici medici del diámetro de la Tierra
FECHA DE FECH FECHA A DE F INICIO
RESPONSABLE (S)
EVIDE EVIDENC NCIA IA
AlessíRecalde, Steven Flores
22-07
23-07
Factura del hospedaje
AlessíRecalde Jorge Acosta
23-07 23-07
25-07 25-07
Fotografía Fotografía
Steven Flores
23-07
25-07
Mensaje de texto
Sebastián Gonzales
23-07
25-07
Papel en el que se midió
correcto
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RECURSOS ECONÓMICOS PRESUPÙESTO GENERAL
338$
84.5$
PRESUPUESTO INDIVIDUAL
CRONOGRAMA ACTIVIDAD Viaje al lugar donde se colocara la varillas Colocación de la primera varill Colocación de la segunda varilla Medición Medición de la sombra sombra proyectad proyectad en la primera varilla Caculo Cac uloss a efectu efectuar ar para para la medici medici del diámetro de la Tierra
FECHA DE FECH FECHA A DE F INICIO
RESPONSABLE (S)
EVIDE EVIDENC NCIA IA
AlessíRecalde, Steven Flores
22-07
23-07
Factura del hospedaje
AlessíRecalde Jorge Acosta
23-07 23-07
25-07 25-07
Fotografía Fotografía
Steven Flores
23-07
25-07
Mensaje de texto
Sebastián Gonzales
23-07
25-07
Papel en el que se midió
correcto
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CONCLUSIONES
-
Como resultado del trabajo investigativo presentado, se se puede puede concluir que debido a sus estudios dentro de la biblioteca de Alejandría y con trascendentemente también su experiencia al estudiarlos, Eratóstenes pudo realizar este proyecto en el año 255 a.c. con los instrumentos de aquella época sin ningún tipo de inconveniente.
-
Se ha elaborado un proyecto proyecto de medición del radio terrestre con los antecedentes previos.
-
Eratóstenes era filósofo, geógrafo, geógrafo, poeta, astrónomo y bibliotecario de la la biblioteca de Alejandría, puesto que ocupo hasta su muerte.
-
Este proyecto proyecto fue basado en el proyecto elaborado por Eratóstenes Eratóstenes en el año 255 a.c., el cual detalla la medición del radio y diámetro de la tierra a partir de los instrumentos de la época, y el ingenio y la preparación de Eratóstenes. A partir de ello se han hecho las investigaciones correspondientes para este se lleve a cabo.
-
Por otro lado es posible concluir que que este proyecto no se lo puede
CONCLUSIONES
-
Como resultado del trabajo investigativo presentado, se se puede puede concluir que debido a sus estudios dentro de la biblioteca de Alejandría y con trascendentemente también su experiencia al estudiarlos, Eratóstenes pudo realizar este proyecto en el año 255 a.c. con los instrumentos de aquella época sin ningún tipo de inconveniente.
-
Se ha elaborado un proyecto proyecto de medición del radio terrestre con los antecedentes previos.
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Eratóstenes era filósofo, geógrafo, geógrafo, poeta, astrónomo y bibliotecario de la la biblioteca de Alejandría, puesto que ocupo hasta su muerte.
-
Este proyecto proyecto fue basado en el proyecto elaborado por Eratóstenes Eratóstenes en el año 255 a.c., el cual detalla la medición del radio y diámetro de la tierra a partir de los instrumentos de la época, y el ingenio y la preparación de Eratóstenes. A partir de ello se han hecho las investigaciones correspondientes para este se lleve a cabo.
-
Por otro lado es posible concluir que que este proyecto no se lo puede realizar sino hasta solamente el equinoccio, que es la fecha que en nuestro país los rayos del sol caen verticalmente hacia la tierra, para que este tenga validez.
-
Es debido a esto que este este proyecto no se lo realizara por cuestión de tiempo dentro del cronograma de clases, ya que el equinoccio es el 20 de marzo y 21 de septiembre, por lo tanto se harán las recomendaciones respectivas para que este proyecto se elabore, si es el caso.
correcto
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RECOMENDACIONES
Es recomendable que durante todo este proyecto se utilicen materiales de apoyo como software: google earth, google maps, etc. Para que este refuerce el proyecto con medidas reales y cálculos exactos. Y para no tener resultados erróneos o inesperados. Es importante decir que este proyecto solamente se debe llevar a cabo en el equinoccio de otoño, ya que en esta fecha los rayos caen verticalmente, sin sombra, a la tierra en el ecuador. Esto es referente a tal y como lo describía Eratóstenes para elaborar su proyecto de medición del radio de la tierra que el cual nos basamos. También se puede decir que el proyecto debe llevarse a cabo entre dos ciudades del mismo país, y no de diferente país porque se le dificultara el traslado mediciones y más, a la persona que concluya con el trabajo ya elaborado anteriormente. Siempre es importante que las fuentes por el cual se elaboró el proyecto, hagan referencia a fuentes acreditadas y no cualquier tipo de fuente del cual basarnos, esto de suma importancia, ya que nuestro proyecto no estaría bien investigado. Finalmente, es recomendable que el proyecto se lo continúe haciendo, ya que este ha quedado inconcluso, y este provee gran información de aprendizaje para cualquiera que lo lea y pueda tener un criterio sobre la historia de la geometría, geografía y la historia del imperio magno y pueda discutir estos temas en un ámbito científico ye investigativo.
correcto
17
BIBLIOGRAFÍA Bibliografía (s.f.). Obtenido de https://es.wikipedia.org/wiki/Erat%C3%B3stenes Chinea, C. S. (13 de enero de 2001). casanchi.com . Obtenido de casanchi.com : http://casanchi.com/rec/003_ERATOSTENES.pdf DETUP. (2014). Obtenido de http://www.sinciforma.com.es/detup/index.php?var=eratos.html DMA. (15 de Diciembre de 2015). Obtenido de http://www.dma.fi.upm.es/java/matematicadiscreta/aritmeticamodular/bioeratostenes.html Freyre, D. C. (16 de 12 de 2015). universidad nacional autonoma de mexico . Obtenido de http://www.geociencias.unam.mx/geociencias/experimentos/serie/libro6_medicion_t ierra.pdf http://definicion.de/circunferencia/. (14 de 12 de 2015). Obtenido de Defincion.de: http://definicion.de/circunferencia/ Ruiza, M. (16 de 12 de 2015). biografias y vidas . Obtenido de http://www.biografiasyvidas.com/biografia/e/eratostenes.htm Universidad de Cantabria. (15 de diciembre de 2015). Obtenido de http://ocw.unican.es/humanidades/teoria-y-metodos-de-la-geografia.-evoluciondel/material-de-clase-1/archivos-modulo-2/calculo-de-la-circunferencia-terrestre-por wikipedi. (15 de diciembre de 2015). Obtenido de https://es.wikipedia.org/wiki/Erat%C3%B3stenes Wikipedia. (14 de Diciembre de 2015). Obtenido de Wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia Wikipedia. (2015). Wikipedia. Obtenido de https://es.wikipedia.org/wiki/Erat%C3%B3stenes Wikipedia. (2015). Wikipedia. Obtenido de https://es.wikipedia.org/wiki/Criba_de_Erat%C3%B3stenes wikipedia. (16 de 12 de 2015). Wikipedia.com. Obtenido de wikipedia enciclopedia libre : https://es.wikipedia.org/wiki/Erat%C3%B3stenes
correcto
MUY BUEN TRABAJO CADETES, SU NOTA: 10/10 18
