Matemática Prof. Walter Tadeu Nogueira da Silveira Triângulo de Pascal e Binômio de Newton – Aula 28 – Data: 26/9/2017 Exercícios - GABARITO 1. Calcule: a)
4 4 4 4 4 0 1 2 3 4
12
b)
12
p p 0
Solução. Utilizando a propriedade da soma dos elementos da mesma linha, temos:
4 4 4 4 4 a) 2 4 16 . 0 1 2 3 4 2. Sabendo que
a)
12
b)
12 12 12 12
12
p 0 1 2 ... 12 2
12
4 096 .
p 0
n n , resolva: p n p
20 20 x 1 12
b)
18 18 2 x 1 3
Solução. Há duas possibilidades em cada caso:
x1 2 18 18 20 20 2 2 i) 2 x 1 3 x 4 x 1 12 x 11 a) x 1 12 . b) x 1 3 . x2 2 x3 4 20 20 18 18 2 2 ii) x 1 8 x 7 ii ) 2 x 1 15 x 16 x 1 20 12 x 1 18 3 x4 4 i)
3. Utilize Relação de Stifel
a)
n n n 1 para resolver as operações. p p p 1 1
10 10 5 6
b)
21 21 11 10
c)
16 16 10 9
Solução. Utilizando a propriedade, temos:
10 10 10 1 11 . 5 6 6 6
a)
4. Resolva a equação:
21 21 22 . 11 10 11
b)
16 16 17 . 10 9 10
c)
10 10 11 5 6 x
11 11 x 6 10 10 11 x 6 Solução. Há duas possibilidades: . 5 6 x 11 11 x 11 6 x 5 5. Utilizando a Relação de Fermat
a)
x x 3. 10 9
b)
x 3 x . 6 2 5
Avenida Alberto Torres, 821, 2° e 3° andares, Alto –Teresópolis
(0xx21) 2642-62246
n n p n . , resolva: p 1 p 1 p c)
x 136 x . Sugestão: 10 45 8
x x 9 x . 10 9 1 9 1
Matemática Prof. Walter Tadeu Nogueira da Silveira Solução. Utilizando a propriedade, temos.
x x x 9 3. 3 x 9 30 x 39 . b) 10 9 9 1
a)
x 6
3 2
x x 5 5 1 5
.
3 2
2 x 10 18 x
28 2
14 .
x x 9 x x x 9 x . . 10 9 10 9 1 9 10 x 136 x x 9 x 136 x x 136 10 x 136 10 x 8 ii) . . . . . . c) . 10 8 9 8 9 8 45 10 45 45 x 9 45 x 9 8 1 136 10 x 8 136 2 x 8 136 2 x 8 x 2 17 x 72 272 . . . 9 9 1 45 x 9 9 x 9 1 x 9 x 25 x 2 17 x 200 0 ( x 25).( x 8) 0 x 25 x 8 0 fora i)
6. Calcule o valor de m em cada caso: 1
a) C m
2
3
0
m
C m C m ...C m 1 023
b) C m
1
2
3
m
C m C m C m ...C m
2 048
Solução. Utilizando a propriedade da soma dos elementos da mesma linha, temos: a)
C m0 C m1 C m2 C m3 ...C mm 2 m 0 m m m 10 C m 1 023 2 2 1 024 2 2 m 10 . 1 C m C m2 C m3 ...C mm 1 023
b)
C m0 C m1 C m2 C m3 ...C mm 2 m m m 11 2 2 048 2 2 m 11 . 0 C m C m1 C m2 C m3 ...C mm 2 048
7. Uma linha do Triângulo de Pascal possui 15 elementos. Quantos desses elementos são menores que 100? a) 3
b) 4
c) 6
d) 8
Solução. Se a linha possui 15 elementos, então n = 14. Observando a característica dessa linha, temos: 0
1
C 14
2
C 14
3
C 14
C m
...
13
14
C 14
C 14
1
14
91
364
...
91
14
1.
Devido a essa simetria, os números menores que 100 são: 1, 14, 91, 91, 14 e 1. Total de 6.
14 . Escolhido, ao p
8. Uma linha do Triângulo de Pascal é constituída por todos os elementos da forma acaso, um elemento dessa linha, qual a probabilidade de ele ser o número 14? 1
a)
b)
15
2
1
c)
11
4
d)
15
15
Solução. Como n = 14, há 15 elementos. Há dois elementos iguais a 14. Temos: 0
1
i) C 14
ii) P n
C 14
14
2
C 14
3
C m
...
13
C 14
14
C 14
1 14 91 364 ... 91 14 1 .
2 15
9. De certa linha do Triângulo de Pascal, sabe-se que a soma dos dois primeiros termos é 21. Qual é o maior termo dessa linha? a) 169 247
Avenida Alberto Torres, 821, 2° e 3° andares, Alto –Teresópolis
(0xx21) 2642-62246
b) 175 325
c) 184 756
d) 193 628
2
Matemática Prof. Walter Tadeu Nogueira da Silveira Solução. O segundo elemento da linha do Triângulo de Pascal indica o valor de n. O primeiro elemento sempre é 1. Logo, 1 + n = 21 => n = 20. Há 21 elementos na linha e o maior será o termo central, isto é, o 11º elemento. Calculando, temos: 10
C 20
20!
20.19.18.17.16.15.14.13.12.11.10!
10!.10!
10!.10!
119 117 4 1113 111 1111111111
20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
19 17 4 13 11 184
.
756
10. A soma dos dois últimos elementos de certa linha do Triângulo de Pascal é 31. Qual o quinto elemento da linha anterior. a) 23 751
b) 28 416
c) 31 465
d) 36 534
Solução. A soma dos dois últimos é igual à soma dos dois primeiros. O primeiro é sempre 1 e o segundo indica o valor de n. Como n + 1 = 31, então n = 30. A linha anterior será a linha 29. Calculando o quinto elemento dessa linha, temos: 4
C 29
29!
4!.25!
29 28 27 26 25! 4!.25!
29 28 27 26 4 3 2 1.
29 7 9 13 1111.
29 7 9 13 23 751 .
. Exercícios - GABARITO 1. Desenvolvendo o binômio (2x - 3y)3n , obtemos um polinômio de 16 termos. Qual o valor de n? Solução. O número de termos do desenvolvimento é uma unidade maior que o valor do expoente da expansão. Logo, 3n = 15 => n = 5. 2. Determine o termo independente de x no desenvolvimento de
1 x x
6
.
Solução. O termo independente será aquele onde o expoente de x será nulo. Temos: p
6 6 p 1 6 6 p 6 6 p p 6 62 p p i) T G . x . . x . x 1 . x . x . x x p p p p . ii) T (independente) : 6 2 p 0 2 p 6 p 3 6 62.(3) 6 0 6 6! 6.5.4.3! 6.5.4 iii) T 4 . x . x 20 3!.3! 6 3 3 3 3!.3!
Avenida Alberto Torres, 821, 2° e 3° andares, Alto –Teresópolis
(0xx21) 2642-62246
3
Matemática Prof. Walter Tadeu Nogueira da Silveira 3. A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + 3y) m é 625. O valor de m é: a) 5
b) 6
c) 10
d) 3
e) 4
Solução. A soma dos coeficientes será encontrada quando as variáveis forem iguais a 1. Temos: x
y
1
2 3
m
625
5
m
5
4
m
4.
4. Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento de (x - 3y) 7 . a) -128
b) - 256
c) 56
d) 128
e) 256
Solução. A soma dos coeficientes será encontrada quando as variáveis forem iguais a 1. Temos: x
y
1 1 3
m
(2) 7
128 .
5. (CESGRANRIO) O coeficiente de x 4 no polinômio P(x) = (x + 2) 6 é: a) 64
b) 60
c) 12
d) 4
e) 24
Solução. Utilizando a expressão do termo geral, temos:
6 6 p p 6 6 2 2 6! 6.5.4! T p1 . x .2 4 4 4 T 3 . x .2 i) . x .4 . x .4 (15). x .4 60. x 4 p . 2!.4! 2!.4! 2 6 p 4 p 2 ii) Coeficient e x 4 60 6. A soma dos coeficientes numéricos dos termos do desenvolvimento de (x - y) 104 é: a) 1
b) -1
c) 0
d) 104
e) 2
Solução. A soma dos coeficientes será encontrada quando as variáveis forem iguais a 1. Temos: x
y
1
1 1
104
0
104
0.
7. Calcule o 4° termo no desenvolvimento de (2x – 1)6 Solução. Utilizando a expressão do termo geral, temos: T 4
6 6! 6.5.4.3! 3 .2 x 63 . 13 .2 x . 1 . 8 x 3 (20). 8 x 3 160. x 3 . 3!.3! 3!.3! 3
8. (FGV) Desenvolvendo-se a expressão
1 1 x x . x x
6
, obtém-se como termo independente de x o
valor: a) 10
b) -10
c) 20
d) -20
e) 36
Solução. O termo independente será aquele onde o expoente de x será nulo. Temos: 6
1 1 1 i ) x . x x 2 2 x x x 6 T G . x 2 p
6
6 6 . x 122 p . 1 p . x 2 p . 1 p . x 124 p . . p p ii ) T (independente) : 12 4 p 0 4 p 12 p 3
. x 6 p
2 p
6 6 6! 6.5.4.3! 6.5.4 3 0) 20 iii) T 4 . 1 . x 3!.3! 3!.3! 6 3 3
Avenida Alberto Torres, 821, 2° e 3° andares, Alto –Teresópolis
(0xx21) 2642-62246
4
Matemática Prof. Walter Tadeu Nogueira da Silveira
9. Os 3 primeiros coeficientes no desenvolvimento de
1 x 2 x 2
n
estão em progressão aritmética. O valor
de n é: a) 8
b) 6
c) 4
d) 7
e) 12
Solução. Calculando os termos indicados, temos:
n n p 2n2 p p n p 2n3 p n p p i) T p1 . x 2 .2 x .2 . x . x .2 . x p p p n 0 a1 .2 1 0 n n 2 n n 1 n ii) a 2 .2 P . A; 1, , 1 2 2 8 2 n n! 1 n.(n 1).(n 2)! 1 n n a3 ..22 . . 2!.(n 2)! 4 2!.(n 2)! 4 8 2 n iii) 2
1
n2 n 8 2
.
n 1 não satisfaz n2 n 1 n n 2 9n 8 0 (n 1).(n 8) 0 8 n 8
10. O desenvolvimento de (y – 2)7 possui: a) 7 termos
b) 560 por coeficiente de y 3
d) coeficiente de y6 igual ao coeficiente de y
c) coeficiente negativo se o expoente de y for ímpar e) 6 termos
Solução. Analisando as opções, temos: a) Falsa. Se n = 7, então o desenvolvimento possui 8 termos.
7 p 3 p 4 b) Verdadeiro.
. 7 3 7! 7.6.5.4! 4 4 T 5 . y . 2 . 2 . y 3 .(16). y 3 (35).(16). y 3 560. y 3 3!.4! 3!.4! 4
11. Se a³ + 6a²b + 12ab² + 8b³ - 12a²b + 6ab² - b³ = - 1, calcule o valor de a + b. a) -3
b) -2
c) -1
d) 0
e) 1
Solução. Agrupando os quatro primeiros termos e completando com 8a3 os quatros restantes e o segundo membro, temos:
i) a 3 6a 2 b 12ab 2 8b 3 8a 3 12a 2 b 6ab 2 b 3 8a 3 1 (a 2b) 3 (2a b) 3 1 8a 3
a 2b 1 a 1 a b 1 2 a b 2 a b 0 . 3 3 3 3 (a 2b) (2a b) (1) (2a) ou 5a 2a 2 a 2 a 2b 2a 3 a b 1 2 a b 1 ( 2 ) 2 1 b 2. 3 1 3 ii ) Em ambos os casos, a b 1
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(0xx21) 2642-62246
5
Matemática Prof. Walter Tadeu Nogueira da Silveira 12. O valor de n na soma dos coeficientes do desenvolvimento (a + b) n = 2048 é: a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
Solução. Para calcular a soma dos coeficientes, temos que a = b = 1. Logo, 2n = 2048 => 2n = 211 => n = 11. 13. Quantos termos racionais surgem no desenvolvimento de a) 5
b) 4
c) 3
3
? 8
5
2
d) 2
e) 1
Solução. Encontrando o termo geral e estabelecendo a condição para a raiz inteira, temos:
8 i) T G . 3 5 p
8 . 3 58 p . 2 p p p 2 3 56 25 8 p Múlt (3) : p 5 3 55 5 A {2, 5, 8} 3 0 p 8 5 1 p 0 2 0 1 p . 2 Q p 2 2 2 2 p Múlt (2) : p 4 2 4 4 B {0, 2, 4, 6, 8} 6 p 6 2 8 8 p 8 2 16
. 2
8 ii ) . 3 58 p p
8 p
p
8 3 82 8.7.6! 2 T .(25).(2) (28).(25).(2) 1 400 3 . 5 . 2 . 2!.6! 2 iii) A B {2, 8} 2 casos. 8 3 88 T . 5 . 28 (1).(1).(16) 16 9 8
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