EL TRIÁNGULO DE PASCAL 1 1
1
1
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1 12
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Universidad de Montevideo Facultad de Humanidades Profesorado de Matemática Seminario II Prof. Alejandra Pollio
462
330 495
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252 462 924
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9 45
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8
28 84
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126
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PABLO SOIZA LORENZO 30 de Junio de 2009
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Pablo Soiza Lorenzo 30 de Junio de 2009
Examen Seminario Seminar io II
Universidad de Montevideo Universidad Facultad de Humanidades Profesorado de Matemática
INDICE
–6 –6 Primera parte: Construcción y propiedades .........................................................................3 ......................................................................................................... ............................................ ........ 3 Construcción ..................................................................... ...................................................................... ...................................................................... ............................................ ........ 4 Propiedades.................................... Segunda parte: Numero pares e impares en el triángulo ......................................................7 –8 –8
........................................................................................................ ..................................... .. 7 Números impares..................................................................... ...................................................................................................... ............................................ ........ 8 Números pares .................................................................. ....................................................................................................... ..................................... .. 9 Tercera parte: Aplicación.................................................................... Cuarta parte: Demuestre las siguientes igualdades .......................................................... ..........................................................10 –12 –12
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Pablo Soiza Lorenzo 30 de Junio de 2009
Examen Seminario Seminar io II
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Primera parte: Construcción y propiedades El triángulo de Pascal, también conocido como triangulo de Tartaglia, es un triángulo formado por infinitos números enteros que presenta múltiples e interesantes propiedades. Ll eva el nombre del 1 matemático francés Blaise Pascal (1623-1662) pues, si bien no fue el quién lo descubrió , sí fue él uno de los primeros en estudiar sus propiedades. A su vez, para demostrarlas Pascal utilizó por primera vez de forma clara y precisa el método de "inducción matemática". A. Construcción
Para su construcción, como primer paso debemos tomar una hoja cuadriculada y escribir un “1” centrado en la parte superior de la hoja. A continuación escribimos escribimos una serie de “1” en las casillas situadas en sentido diagonal descendente, obteniendo una figura como la que se muestra abajo. Fila 0
1
Fila 1
1
Fila 2
1
Fila 3
1
1
Fila 4 Fila 5
1
1
1
1
Fila 6 Fila 7
1
1
1
1
1
1
Ahora construiremos en interior del triángulo. Para ello debemos sumar las parejas de cifras situadas horizontalmente separadas por una celda en blanco y el resultado de la suma será el número que debemos colocar debajo de la casi lla en blanco. Continuamos con este proceso escribiendo, en las celdas inferiores, el resultado de sumar l os 2 números que aparecen en la fila anterior. Debemos obtener un dibujo como el sig uiente: Fila 0
1
Fila 1
1
Fila 2
1
Fila 3 Fila 4
1 1
Fila 5
1
Fila 6 Fila 7
1 1
7
1+1=2 2+1=3
4 5
6
1 2+1=3
6 10
15 21
1
4 10
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1 1 5 15
35
1 6
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1 7
1
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B. Propiedades
Mencionaremos a continuación algunas de las propiedades más notables del triángulo de Pascal. n
1. Los coeficientes de la forma desarrollada del binomio de Newton (a+b) se encuentran en la 3 fila n del triángulo: para conocer los coeficientes del desarroll o de, por ejemplo, (a+b) basta con ir a la fila 3 del triángulo. Los números que allí aparecen corresponden al desarrollo de este binomio.
Fila 3
1
3
3
n
1
3
2
2
3
(a+b) = 1a + 3a b + 3ab + 1b
2. El triángulo es simétrico: podemos observar que, si tomamos como eje l a columna 0, ambos lados, a la derecha y a la izquierda del eje, son simétricos. C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
o
o
o
lu
o
lu n
n a
Fila 0 Fila 1
n a
2
lu n a
3
a 4
5
1 1
Fila 2
1
Fila 3 Fila 4 Fila 5
lu n
a 1
o
lu n
a 0
o
lu n
a 1
o
lu n
a 2
o
lu n
a 3
o
lu n
a 4
o
lu n
a 5
o
lu
1 1 1
2 3
4 5
1 1 3 6
10
1 4
10
1 5
1
3. Si coloreamos las casillas que contienen números pares, observamos una estructura regular: 2 el Triángulo de Sierpinski .(figura en el anexo I) 4. La suma de los números de cada fila nos da como resultado las potencias de 2: a modo de ejemplo a continuación sumaremos los números que aparecen en las 4 primeras fil as. 0 2 Fila 0: 1 = 2 Fila 2: 1 + 2 + 1 = 4 = 2 1 3 Fila 1: 1 + 1 = 2 = 2 Fila 3: 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2 5. Si consideramos cada fila como un número obtenemos las potencias de 11: aquí debemos tener cuidado pues no basta con considerar cada fila como un número para obtener las potencias de 11. Si en una celda aparece un número de dos o más cifras debemos dejar en esa celda la unidad y sumar los restantes dígitos del número a la celda de la izquierda. A modo de ejemplo veremos la fila 5 y la 9:
Fila 5
2
1
5
10
10
5
1
El triángulo de Sierpinski es un famoso conjunto geométrico introducido por el célebre matemático polaco
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Al considerar esta fila como un número tendríamos 15.101.051, sin embargo este número no 5 es 11 = 161.051 (es más, ni siquiera es múltiplo de 11). Pero si seguimos el procedimiento descrito más arriba obtenemos: Fila 5
1
5
5+1=6
10 10+1=11 1
10 0 0
5 5 5
1 1 1
1 1
6
1
0
5
1
Lo mismo sucede con la fila 9. Siguiendo el procedimiento obtenemos 9 11 = 2.357.947.691 Fila 9 1
9
36
84
126
126
1+1=2
9+4=13 3
36+9=45 5 5
84+13=97 7 7 7
126+13=139 9 9 9 9
126+8=134 4 4 4 4 4
84 84+3=87 7 7 7 7 7 7
36 6 6 6 6 6 6 6
9 9 9 9 9 9 9 9
1 1 1 1 1 1 1 1
2
3
5
7
9
4
7
6
9
1
6. Si en una fila el primer número (sin ser el 1) es un número primo, se cumple que todos los demás números en las celdas de esa fila son múltiplos de de ese número primo. En la fila 17 por ejemplo, el primer número después del 1 es 17 y los otros que aparecen en las celdas de esa fila son: 136 = 17x8 12.376 = 17x728 686 = 17x40 19.448 = 17x1.144 2.380 = 17x140 24.310 = 17x1.430 6.188 = 17x364 7. El resultado de la suma alterna de los números de una fila es cero. A modo de ejemplo veremos la suma alterna de las l as 8 primeras filas. Fila 1: 1-1 = 0 Fila 5: 1-5+10-10+5-1 = 0 Fila 2: 1-2+1 = 0 Fila 6: 1-6+15-20+15-6+1 = 0 Fila 3: 1-3+3-1 = 0 Fila 7: 1-7+21 –35+35-21+7-1 –35+35-21+7-1 = 0 Fila 4: 1-4+6-4+1 = 0 Fila8: 1-8+28-56+70-56+28-8+1 = 0 8. La primer diagonal está formada sólo por unos y la siguiente está formada por todos los números naturales. 3
4
9. La tercer diagonal está formada por la sucesión de los números triangulares ; la cuarta, por la de los números tetraédricos; la quinta por la de los pentaédricos y así sucesivamente.
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10. El número resultante de sumar dos números consecutivos de la tercer diagonal es un cuadrado perfecto. 5
11. Sucesión de Fibonacci : si sumamos los números que están en las celdas de igual color obtendremos los números de la sucesión de Fibonacci. Para pintar las celdas debemos proceder de la siguiente manera: a. nos paramos en la primer celda no vacía de la fila 0 y la pintamos de un color. b. nos desplazamos tres celdas a la izquierda y una hacia abajo. Si la celda a l a que llego está dentro del triángulo triángul o la pinto del mi smo color y si está fuera del triángulo paso a colorear la próxima celda no vacía de la fila 0. En caso de no haber más celdas no vacía y sin colorear debemos pintar, de un color distinto, la primer celda no vacía de la siguiente fila. c. Repetimos el paso b hasta tener pintado todo el triángulo. 1 1 2 3 5 8 13 21
1
1
1
1
1+1
1
2+1
1
1+3+1
4 + 10 + 6 + 1
4
1
1+6+5+1
1 1
2 3
1
3+4+1
5 6
3
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21
1 1
6
15
7
1
4 10
20 35
5 15
35
21
cuántas combinaciones se pueden formar, dados los cardinales de
12. E l triángul o 1 tambié 1 n 6 1 muestr 7 1 a elementos del conjunto m
inicial (m) y del subconjunto que quiero formar (n), cuya notación notación es: C n
Para encontrar este número debemos buscar en la fila m y en la celda n+1. Por ejemplo: Si queremos saber cuántas formas hay de elegir 2 bolitas de distinto color de un 6
conjunto de 6 bolitas distintas ( C 2 ), basta con ir a la tercer (2+1=3) celda no vacía de la fila 6. En esa celda hay un 15, por lo que hay 15 maneras de elegir 2 bolitas de distinto color de un conjunto de 6 bolitas distintas.
Fila 0 Fila 1 Fila 2 Fila 3 Fila 4 Fila 5 Fila 6
1 1 1 1 1 1 1
2 3
4 5
6
1 3 6
10 15
1 1 4 10
20
1 5
15
1 6
1
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II.
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Segunda parte: Numero pares e impares en el triángulo
En esta parte del trabajo intentaremos deducir una fórmula que nos permita contar la cantidad de números pares e impares que hay en cada fila del triángulo. A. Números impares
Si observamos el triángulo de Pascal P ascal dibujado abajo, en el que hemos pintado los números pares de negro y los i mpares de verde, podemos ver que: n 1. La fila 2 – 1, con n Є Naturales, siempre está formada únicamente por números impares. n n 2. La fila 2 , con n Є Naturales, está formada por 2 números impares y 2 – 2 números pares. n 3. El patrón formado por los números impares que están entre la fila 0 y la fila 2 – 1, se n n+1 repite dos veces entre las filas 2 y 2 – 1 (n≥1, n Є Naturales). Por ejemplo, mirando la figura vemos que el patrón que forman los números impares entre la fila 0 y la fila 4 n 4+1 15 (15=2 –1) –1) se repite dos veces entre la fila 16 (16=2 ) y la 31 (31=2 –1). –1).
2
Fila 3 = 2 – 1 3
Fila 7 = 2 – 1
4
Fila 15 = 2 – 1
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Examen Seminario Seminar io II
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En forma general podemos decir que: » siendo IP n la cantidad de números impares de la fila n a a n – 2 , dónde 2 es la potencia de 2 » e IPn – 2a la cantidad de números impares de la fila n – anterior a n, se cumple que:
IPn = 2 x IPn – 2a Si bien esta fórmula pareciera ser inútil cuando n es un número muy grande, podemos volver a aplicarla las veces que sea necesario para llegar a una fila en la cual sepamos la cantidad de números impares que hay. Por ejemplo, ahora queremos averiguar cuántos números impares hay en la fila 76 6 76 – 2 = 12 » IP76 = 2 x IP 12, donde IP 12 es la cantidad de impares de la fila 76 – 3 12 – 2 = 4 » IP12 = 2 x IP 4, donde IP 4 es la cantidad de impares de la fila 12 – IP76 = 2 x (2 x IP 4) IP4 = 2
IP76 = 2 x (2 x 2) = 8
B. Números pares
Una vez que sabemos cuántos números impares hay en la fila n, calcular la cantidad de números pares (P n) que habrá es fácil, basta con restarle la cantidad de números impares de la fil a n (IPn ) al total de números de esa fila. Dado que el total de números de una fila n es n + 1 entonces:
Pn = (n + 1) - IP n
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III.
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Tercera parte: Aplicación ¿Cuántos números impares y cuantos números pares hay en la fila 120 del triángulo de Pascal? En la parte II llegamos a la conclusión de que: » »
a
a
a
IPn = 2 x IP n – 2 , con IP n – 2 la cantidad de números impares de la fila n – n – 2 potencia de 2 anterior a n. Pn = (n + 1) - IP n
Como en este caso n = 120, las fórmulas quedarían de la siguiente manera: »
6
IP120 = 2 x IP 56, con IP56 la cantidad de números impares de la fila 120 – 120 – 2 = 56. 5 IP56 = 2 x IP 24, con IP 24 la cantidad de números impares de la fila 56 – 56 – 2 = 24. 4 IP24 = 2 x IP 8, con IP 8 la cantidad de números impares de la fila 24 – 24 – 2 = 8. 3 IP8 = 2 x IP 0, con IP0 la cantidad de números impares de la fila 8 – 8 – 2 = 0. IP0 = 1. IP120 = 2 x 2 x 2 x 2 x IP0 IP0 = 1
»
P120 = (120 + 1) - IP 120 IP120 = 16
IP120 = 16
P120 = 121 – 121 – 16
a
y 2 es la
P120 = 105
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IV.
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Cuarta parte: Demuestre las siguientes igualdades Basándose en la figura adjunta demostrar las dos desigualdades planteadas debajo de la
misma.
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E
α-β. 2
D C
α-β. 2
α β O
A
B
F
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Por letra
Examen Seminario Seminar io II
[OB] = [DB]=
(OB)
[OA] = [AE]=
(OA) (AE)
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(BD) (EA) // (BD)
De 1 y 2, OBD = OAE = 90
ABCD rectángulo
[AB] = [CD] [BD] = [AC]
Considero el triángulo DCE: » »
DCE = 90 por figura Por 3, [CD] = [AB] Por figura, [AB] =
E
DCE rectángulo en C [DC] =
D
C
[DE] =
[EC] =