ANUALIDADES AL VENCIMIENTO ¿Qué es una anualidad? Es un compromiso financiero el cual hay que honrar “religiosamente” según lo convenido. Todas las formulas que se presentan al momento de definir una anualidad tienen su origen en el Interés compuesto t
A = P(1 + i ) . Dos Ejemplos 1.‐ Préstamos que se tienen que pagar en iguales abonos mensualmente 2.‐ Un ahorro que hay que efectuar en igual cantidad cada fin de mes. Ejemplos prácticos en los que se incurre en una anualidad al vencimiento.
Pago de igual letra del carro, mensual durante 4 años.
Pago de igual letra de la casa, mensualmente durante 10 años.
Ahorrar todos los fines de mes durante 3 años $150.
Se llaman anualidades vencidas o al vencimiento porque la transacción en el periodo se realiza al fin de
mes si el compromiso es mensual o al final de la quincena si el compromiso es quincenal, o al final del semestre si el compromiso es semestral etc.
Valor futuro en una anualidad al vencimiento Son cantidades monetarias esperadas a futuro a corto, mediano o largo plazo al momento de realizar inversiones o ahorros periódicos en intervalos de tiempo iguales.
ó
La capitalización: Es un elemento del cual depende todo el manejo de las variables n y la tasa i. Es la forma en que el banco o la institución financiera paga los Intereses en las cuentas de ahorro. Generalmente se realiza al final de cada mes.
Ejemplo 1 ¿Cuánto en dinero acumulará al cabo de 3 años si ahorra todos los meses Lps 500.00 y la tasa del banco es de un 11% con capitalización mensual.
ñ ; %% ; ..
. ,. .. . 21,211.30 21,211.3050036 21,211.3018,000.00 3,211.30 3211.30 ¿Cuanto ganó en Intereses?
Tratemos de entender como se asignan los Intereses en estos casos de anualidades al vencimiento. Resulta que la primera aportación que hacemos recibimos los Intereses al momento que se efectúa la segunda, luego, de la suma de la primera mas la segunda mas los Intereses de la primera lo recibimos al momento de la realizar la tercera aportación, así sucesivamente. Esta es una de las características que hace diferente a los procesos anteriores donde realizábamos una única aportación y recibíamos los Intereses o el monto al final de periodo.
Ejemplo 2 Suponga que usted es un padre previsor al ahorrar desde ya Lps 5,000 mensualmente para que su único hijo vaya a la universidad. ¿Cuánto habrá ahorrado al final de 12 años si el banco le paga una tasa del 13.5% con capitalización mensual?
ñ; . % ; . . .. ,,. 1,781,152.25 5000((1.01125) y^x 144‐1)
¿Cuanto ganó en Intereses?
0.01125
1,781,152.5 5000144 1,781,152.25720,000.00 1,061,152.25
1,061,152.25
Ejemplo 3 ¿Cuánto hay que depositar mensualmente para que al cabo de 7 años y medio acumulemos Lps 67,000.00 entre aportaciones e Intereses en una cuenta que nos paga 0.69% mensual con capitalización mensual?
,. . . ó 67,0000.0069 10.0069 1462.3 0.856823727 539.55 539.55 Ejemplo 4
¿Cuánto ahorra Mario mensualmente durante 10 años si piensa comprar una casa valorada en $16,000.00 al contado y le aplican una tasa del 1.5% bimestral con capitalización mensual por sus ahorros?
, . . . ó 16,0000.007510.0075 11201.451357078$ 82.68 $ 82.68 Ejemplo 5
Allan ahorra durante 4 años 7 meses Lps 1,000 mensuales en XXbank que le pagó una tasa 8.5% con capitalización mensual, luego, se da cuenta que YYbank le paga 9.1%anual con capitalización mensual y decide transferir todo lo ahorrado mas los Intereses en XXbank y seguir ahorrando la misma cantidad con YYbank durante 17 meses más. ¿Cuánto acumula al final del periodo entre aportaciones he Intereses?
Caso 1
ahorro en XXbank durante 4 años 7 meses
ñ ; .% ; . . 55 1000 10.0070833 1 0.0070833 10001.00708335510.0070833 66,965.50
Caso 2
Transfiera a YYbank los Lps 66,965.50 durante 17 meses al 9.1% anual
Recuerde que las formulas de anualidades se aplican a aportaciones iguales en periodos iguales, si nos ocupamos del caso de Allan, vernos que los Lps 66,965.50 es una única aportación a sus ahorros durante
1 66, 9 65. 5 0 9. 1 1 10012 0.0075833 17 66965.5010.0075833 66965.501.0075833 76,142.55
17 meses y por lo tanto, le aplicaremos es la formula de valor futuro pero para interés compuesto, esto es:
Caso 3
Ahorra en YYbank Lps 1000 durante 17 meses
; .% ; . . 17 1000 10.0075833 1 0.0075833 10001.00758331710.0075833 18,071.49 , 76,142.5518,071.49 94,214.04. 94,214.04 Por los resultados obtenidos veremos que el vf acumulado se resume en la suma de
por
tanto, el valor acumulado entre ahorros e Intereses es :
¿Por qué no considerar el
en la suma? La respuesta es simple, en el valor futuro 2 ya se ha tomado
en cuenta al aplicarle al vf1 la tasa que aplica el YYbank. ¿Dé acuerdo?
Valor presente en una anualidad al vencimiento Son compromisos financieros adquiridos a corto, mediano o largo plazo. Aquí nos corresponde realizar pagos o recibir dinero en intervalos de tiempo iguales.
ó
Para tener presente siempre Cuando compramos, ya sea casa, terreno, vehículo, recamaras, etc , al crédito, firmamos contratos de compra venta o letras de cambio o pagares, todas estas figuras legales nos amarran en un compromiso financiero en el instante en que estampamos nuestra firma, si señores, en ese mismo momento asumimos una compromiso legal,
de ahí el nombre de valor presente , algo así como:
el compromiso adquirido en este momento. En los casos de planes de retiro en donde se recibe una jubilación mensual o en herencias cuyo beneficio se recibe en periodos iguales de tiempo, estos casos también tienen que ver con valores presentes.
Ejemplo 6 ¿Por cuanto firmamos el pagaré al comprar un vehículo si pagamos $400.00 mensuales, durante 48 meses y nos aplicaron una tasa del 32% con capitalización mensual?
. ... .$,. $10,752.07 (‐48))
¿Cuál es el monto del vehículo? Monto = 400*48 =$ 19,200 ¿Cuánto pagaremos en Intereses? I = Monto ‐ vp;
I = 19,200 ‐ 10,752.07; I = $ 8,447.93
Intereses = $ 8,447.93 En este caso el vp viene siendo el valor de contado del vehículo.
Ejemplo 7 planes de retiro Si en este momento decidiera renunciar a mi trabajo y percibir una pensión mensual de Lps 18,000 durante los próximos 20 años con el beneficio de una tasa del 1.5% mensual y con capitalización mensual. ¿A cuanto debe ascender en este momento mi fondo de pensión?
, /. ñ; . ... . , , .
, , .
(240))
Ejemplo 8 Al momento de redactar el testamento el padre establece que el hijo al momento de su muerte deberá recibir una pensión mensual durante 25 años. Si la cantidad heredada es de $3,500,000 ¿Cuánto deberá recibir mensualmente si le pagan una tasa 0.8% bimestral con capitalización mensual?
3, 5 00, 0 00 1000.28 0.004 11 25 ñ; 2 512300 3,500,0000. 0 04 14, 0 00 110. 004 11.004300 14000 11.004300 $20,054.89 20,054.89 El chico deberá recibir mensualmente la modesta suma:$
durante 25 años.
Ejemplo 9
Suponga que firmó un contrato de compra de una casa valorada en Lps 2,578,230.00 para pagar en 10 años a una tasa de 11.5% con capitalización mensual, libre de seguros y otros gravámenes, ¿Cuánto pagará mensualmente durante los 10 años?
2, 5 78, 2 30 11. 5 10012 0.0095833 11 10 ñ; 1 012120 0 095833 24, 7 07. 9 5 12,578,10.2300. 0095833 11.0095833120 24707.95 11.0095833120 36,248.67 36,248.67
Determinación de “n” en ambos tipos de anualidades
1 ln1 1 ln1
Ejemplo 10 ¿Cuántos meses se requiere ahorrar Lps 7520.00 para acumular una capital de Lps 278,120.00 en una cuenta que paga 9% con capitalización mensual?
278, 1 20. 0 0 1 ln1 100129 0.0075 7520. 0 0 2 781200. 0 075 1 1 . 2 7738032 7520 ln10.0075 l0n.2177380321 .0075 ln1.0075 1.27738032 ln1.0075 32.76 320.763032 22 í Ejemplo 11
¿Cuantos pagos se requieren para saldar una deuda de Lps 75,000 si cada quincena abonamos Lps 1,275 y le aplican una tasa quincenal de 0.5% con capitalización quincenal?
75000 1 ln1 1275 0.1005 0.005 750000. 0 05 375 1 1 ln10.0051275 ln1.0051275 ln10.0.70505882 0.705882 ln1.005 ó 70 ó 70 Recordatorio Importantísimo
La formula del valor futuro (vf) la utilizamos cuando ahorramos cantidades iguales en periodos iguales, recordemos también que esta formula tiene su origen en el interés compuesto
ó
La formula del valor presente (vp) la utilizamos cuando pagamos cantidades iguales (cuotas niveladas) en periodos iguales, recordemos también que esta formula tiene su origen en el interés compuesto
ó
EJERCICIOS 1) En el momento de nacer su hija, un señor depositó $1,500 en una cuenta que abona el 8%; dicha cantidad la consigna cada cumpleaños. Al cumplir 12 años, aumento sus consignaciones a $3,000. Calcular la suma que tendrá a disposición de ella a los 18 años. 2) Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona el 6% de interés, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo de 20 años. 3) Si nos heredan Lps 2,000,000 y los consignan en una cuenta para que nos entreguen mensualmente Lps 25,000.00 con una tasa del 11% anual con capitalización mensual. ¿Cuánto tiempo nos durará la plata? 4) Hemos comprado una maquinaria que tendremos que reponer dentro de 8 años por asuntos de depreciación a un costo de $75,000.00, ¿Cuánto debemos ahorrar mensualmente si nos pagan una tasa del 4.5% bimestral con capitalización mensual? 5) Compramos un carro en $20,000.00 al crédito pagando un interés del 22.5% con capitalización mensual a un plazo de 5 y medio años. ¿ A cuanto asciende nuestra cuota mensual? 6) Hemos decidido renovar nuestro hogar al comprar refri, comedor y sala nuevas, al crédito, pagando una prima del 20% sobre el valor de contado que asciende a Lps 57,000.00 y nos aplican una tasa del 2.2% mensual con capitalización mensual durante 28 meses. ¿Cuánto abonamos mensualmente? 7) Si pagamos mensualmente Lps 10,000.00 en abonos por la compra de un tractor durante 6 años en un contrato que nos aplica el 18% en intereses con capitalización mensual. ¿Cuánto vale de contado el tractor si pagamos el 10% de prima? 8) ¿Cuánto dinero debo ahorrar mensualmente para que dentro de 30 meses pueda acumular Lps 80,000.00 y cumplir mis sueños de visitar Disneyland. Si el banco donde ahorro mensualmente me pagará una tasa de 3% trimestral con capitalización mensual? 9) Una persona ahorra durante 3 años 3 meses Lps 1,500.00 en un plan de ahorro que paga el 0.85% mensual con capitalización mensual, luego, durante 5 años más, aumenta sus ahorros en Lps 700 a la misma tasa. ¿Cuánto es el monto de lo ahorrado al final del periodo? 10) Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condiciones: $20,000 de contado; $1,000 por mensualidades vencidas durante 2 años y 6 meses y un último pago de $2,500 un mes después de pagada la última mensualidad. Para el cálculo, utilizar el 9% con capitalización mensual. 11) ¿Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan: $14,000 de cuota inicial; $1,600 mensual durante 2 años 6 meses con un último pago de $2,500, si se carga el 12% con capitalización mensual? 12) Una mina en explotación tiene una producción anual de $8,000,000 y se estima que se agotará en 10 años. Hallar el valor presente de la producción, si el rendimiento del dinero es del 8%. 13) Rolando está por jubilarse y piensa que su esperanza de vida es de aproximadamente 15 años más. ¿Cuánto dinero debe haber en su fondo de retiro si piensa retirar mensualmente Lps $1,000 a una tasa del 8.85% con capitalización mensual? 14) Un padre piensa enviar a su hijo a estudiar a USA Ingeniería Meca trónica y ha estimado que necesita 5 años para ahorrar $160,000.00. ¿Cuánto debe depositar mensualmente en una cuenta que le paga el 10% con capitalización mensual para lograr su objetivo? 15) ¿Cuántos depósitos mensuales hay que realizar si ahorramos Lps 500.00 y debemos acumular Lps173,000.00 en una cuenta que nos paga el 1.5% mensual con capitalización mensual? 16) Carlos deposita mensualmente durante 2 años Lps 1000.00 en el banco Futurista que le paga una tasa de 11.5%. Luego se da cuenta que el banco Infinitum le mejora la tasa al 13% y decide trasladar todos sus ahorros y seguir depositando los Lps 1,000 durante 23 meses más. ¿Cuánto es el valor futuro que recibirá Carlos al completar su periodo de ahorro? 17) Si usted realiza abonos mensuales de Lps 7,500.21 por el pago de su casa que la adquirió al crédito a 12 años plazo con capitalización mensual y a una tasa del 11.5% con fondos del RAP. ¿Por cuánto firmó el contrato de compra?
18) Byron compra un carro del año al crédito por un vp= $21,000 Y da una prima correspondiente al 20% del valor de contado ¿Cuánto deberá pagar mensualmente durante 48 meses si le aplican una tasa del 24% y además, a cada abono le agregan $50.00 en seguros? 19) ¿Cuántos depósitos quincenales de Lps 1,500.00 hay que realizar para acumular Lps100,000.00 en una cuenta que nos paga el 1.5% mensual con capitalización quincenal? 20) ¿Cuántos pagos mensuales de Lps 1350.00 hay que realizar para honrar una deuda de Lps 45,000.00 si el financiamiento lo conseguimos al 33% amortizado mensualmente de forma compuesta.
