INTRODUCCION Y TERMINOLOGIA.
En general, se denomina denomina anualidad al conjunto conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales de tiempo. Se conserva el nombre de anualidad por estar ya muy arraigado en el tema, aunque no siempre se refieran a periodos anuales de pago. Algunos ejemplos de anualidades son: y y y y
Los pagos mensuales por renta. El cobro quincenal o semanal de sueldos. Los abonos mensuales a una cuenta de crédito. Los pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida.
Se conoce como intervalo o periodo de pago al tiempo que transcurre entre un pago y otro, y se denomina plazo de una anualidad al tiempo que pasa entre el inicio del primer periodo de pago y el final del último. Renta es el nombre que se le da al pago periódico periódico que se hace. Tambi én hay ocasiones en las que se habla de anualidades que, o no tienen pagos iguales, o no se realizan todos los pagos en intervalos iguales. Estas aplicaciones se manejan en forma especial, como se verá más adelante.
TIPOS DE ANUALIDADES. La variación de los elementos que intervienen en las anualidades hace que existan diferentes tipos de ellas. Conviene, por ello, clasificarlas de acuerdo con diversos criterios. Criterio Criterio a) Tiempo. b) Intereses. c) pagos d) iniciación.
Tipos de a nualidades nualidades ciertas Contingentes simples Generales Vencidas Anticipadas Inmediatas Diferidas
a) este criterio de clasificación clasificación se refiere a las fechas de iniciación y de terminación de las anualidades.
y
y
y
y
Anualidad cierta. Sus fechas son fijas y s estipulan de antemano. Por
ejemplo: al realizar una compra a crédito se fija tanto la fecha en que se debe hacer el primer pago, como la la fecha para efectuar efectuar el último. Anualidad contingente. La fecha del primer pago, la fecha del último pago, o ambas, no se sabe cuándo. Un caso común de este tipo de anualidad son las rentas vitalicias que se otorgan a un conyugue tras la muerte del otro. El inicio de la renta se da al morir el conyugue y se sabe que este morirá, pero o se sabe cuándo. cuánd o. Anualidad simple. Cuando el periodo de pago coincide con el de capitalización de los intereses. Es el tipo que sea analizado. Un ejemplo muy simple seria: el pago de una renta mensual x con intereses al 18% anual capitalizable mensualmente. Anualidad general. A diferencia de la anterior, el periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización: el pago de una renta semestral con intereses al 30% anual capitalizable trimestralmente. b) De acuerdo con los pagos:
y
y
y
y
Anualidad vencida. También se le conoce como anualidad anualidad ordinaria ordinaria y;
como su primer nombre lo indica, se trata de casos en los que los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo. Anualidad anticipada. Es aquella en la que los pagos se realizan al principio de cada periodo. c) De acuerdo con el momento momento en que se inicia: Anualidad inmediata. Es el caso más común. La realización de los cobros o pagos tiene lugar en el periodo que sigue inmediatamente a la formalización del trato: hoy se compra a crédito un artículo que se va a pagar con mensualidades, la primera de las cuales habrá de realizarse en ese momento o un mes después de adquirirla la mercancía (anticipada o vencida). Anualidad diferida. Se pospone la realización de los cobros o pagos: se adquiere hoy un artículo a crédito, para pagar con abonos mensuales, el primer pago habrá de hacerse 6 meses después de adquirir la mercancía.
MONTO
Dada su importancia, vale la pena destacar las características de este tipo de anualidades. y
pago coincide con el de capitalización. Simples: el periodo de pago
y
Ciertas: las fechas de los pagos son conocidas y fijadas con
anticipación.
y
Vencidas:
los pagos se realizan al final de los correspondientes
periodos. y
Inmediatas: los pagos se comienzan a hacer desde el mismo periodo
en el que se realiza la operación. Los elemento Los que elementos qu e intervienen en este tipo tip o de anu anualidades son: R la renta o pago por periodo C el valor actual o capital de la anualidad. Es el valor total de los pagos en el
momento presente. M el valor en el momento de su vencimiento, o monto. Es el valor de todos los
pagos al final de la operación.
RENTA.
Se conoce como renta al pago periódico que se realiza con intervalos iguales de tiempo.
PLAZO. El plazo o tiempo de una anualidad se calcula calcula por medio del número de periodos de pago n. ¿Cuántos pagos de $607.96 al final de mes tendría que hacer el comprador de una lavadora que cuesta $8,500, si da $2, 550 de enganche y acuerda pagar 24% de interés capitalizable mensualmente sobre el saldo?
Muchas veces a diferencia del ejemplo anterior, el numero de periodos no es entero.
¿Cuántos pagos mensuales de $45, 000 serian necesarios para liquidar una deuda de $2, 000,000 contraída hoy con intereses de 30% anual convertible mensualmente?
Los intereses que generan la deuda cada mes son:
La deuda no puede pagarse con mensualidades de $45000 porque lo que la deuda genera por concepto de intereses es superior. Por eso, pa ra ir disminuyendo el adeudo se tendrían que pagar mensualidades por cantidades superiores a $50000.
Anualidades anticipadas Cuando los pagos o las rentas se realizan al comienzo de cada periodo. Un ejemplo de este tipo se presenta cuando se deposita cada mes un capital en una cuenta bancaria comenzando desde la apertura. Las anualidades se clasifican de acuerdo con cuatro criterios
Criterio Criterio
Tipo Tipo de anual anual idad Simples y generales
a) Intereses b) Tiempo c) Pagos d) iniciación
Ciertas y contingentes Vencidas y anticipadas Inmediatas y diferidas
A partir de estas 4 características se pueden presentar se pueden presentar 16 tipos distintos de anualidades, de las cuales las más comunes son las simples, ciertas, vencidas e inmediata (ASCVI), las anualidades simples, ciertas, anticipadas e inmediatas (A SCAI) Y como se observara enseguida, se hará mediante las formulas ya conocidas de las anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas (A SCVI):
Mont o
y valor actual
Revisando
las características de estas anualidades, puede decirse que son :
y
simples, porque el periodo de pago corresponde al de capitalización.
y
Ciertas, porque las fechas y los plazos son fijos y se conocen con anterioridad.
y
Anticipadas, porque el inicio de los pagos o depósitos se hace al principio de los periodos de pago y capitalización (por anticipado ).
y
Inmediatas, porque los pagos o depósitos se inician en el mismo periodo en el que se
formaliza la operación. Resulta
útil comparar mediante diagramas las anualidades vencidas y las anticipadas para comprender mejor la diferencia : R
R
R
R
R
............. 0
1
2
n-2
n-1
R
R
n-2
n-1
n Periodos
Anualidad vencida R
R
R
............. 0
1
2 Anualidad anticipada
n Periodos
Un obrero deposita en una cuenta de ahorros $250 al principio de cada mes. Si la cuenta paga 1.3% mensual de interés, ¿Cuánto habrá ahorrado durante el primer año? SOLUCION:
250 . . -1
250
250
250
.
. . 0
1
2
250
250
10
11
.
3
12
Observando el diagrama puede apreciarse que si se consideran los 12 depósitos de $250 como si fueran una anualidad vencida (como si el inicio del plazo hubiera sido en el periodo -1 ), la aplicación de la fórmula del monto hace que se obtenga el valor de la anualidad en el periodo 11:
Que sería el monto el 1 de diciembre del año, en el momento de hacer el último deposito. Pero como se busca el monto al final final del plazo, es decir, un mes después, hay que calcular el valor de este monto al cabo de un mes, o
Que es el monto que se busca.
ANUALIDADES DIFERIDAS. Las anualidades diferidas son aquellas en las que el inicio de los cobros o depósitos se pospone para un periodo posterior al de la formalización de la operación. Al igual que con las anualidades anticipadas, tampoco se requieren nuevas formulas, ya que se manejan con las mismas expresiones que hemos venido utilizando y se obtuvieron para las anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas. Solo es necesario hacer las modificaciones pertinentes para considerar el posponer el inicio de los pagos o depósitos.
ANUALIDADES ANUALIDADES GENERALES GENERALES ANTICIPADAS ANTICIPADAS.
Se refiere a las operaciones en que el pago o depósito se hace al principio del periodo de pago. El término ³generales´ señala que el periodo de pago y el de capitalización no coinciden. ¿Cuál es el valor actual de un conjunto de 25 pagos semestrales anticipados de $2.500 si el interés es de 25% capitalizable cada 4 meses? Solución: En primer lugar encontramos la tasa efectiva equivalente por semestre. El 25% capitalizable cada 4 meses equivale a 6.25% efectivo cada 4 meses y la tasa efectiva equivalente por semestre es:
Ahora una anualidad anticipada: 2500
2500
2500 . .
0
2500
23
24
.
2
1
2500
25
Meses
El procedimiento para determinar el valor actual de esta anualidad, como vimos en el capitulo referente a anualidades anticipadas, es:
¿Qué deposito anticipado quincenalmente de debe hacer durante 5 bimestres para acumular $3.900.00, 15 días después de realizar el ultimo deposito, si el dinero produce 24% capitalizable cada mes? La tasa equivalente:
Luego y como los depósitos son anticipados
Quincenas (bimestral por número de quincenas en un bimestre),
y como los depósitos son anticipados: R
R
R
R
............. 0
1
19
2
Monto a la 20a quincena
20
Que multiplicado por este factor da el monto quince días después
ANUALIDADES ANUALIDADES GENERALES GENERALES DIFERIDAS DIFERIDAS.
Son aquellas en las que el periodo de pago y el de interés coinciden y en las que, además, se pospone el inicio de los pagos o depósitos para un periodo posterior al de la realización de la operación. Al cumplir 21 años Juan Carlos deposita $21.000.00 en una cuenta de inversión que produce 13.5% capitalizable mensualmente. Si se desea comenzar a hacer retiros trimestralmente de $1. 500.00 el día de su cumple años numero 25, ¿Qué edad tendrá al realizar el ultimo retiro menor de $1.500.00, 3 meses después de haber hecho el ultimo retiro completo? Solución: La tasa equivalentes
El valor de su depósito un trimestre antes de cumplir 25 años:
La anualidad simple equivalente:
Hará entonces 46 retiros completos y un retiro más de menor valor. Por ello, al hacer este ultimo retiro tendrá 25 años mas 46 trimestres, o sea 36.5 años. (Note que se suman 46 trimestres y no 47, porque el primer retiro lo hace al cumplir 25)
