00 Manual Optica Problemas Classic Grupo a 14-15 Alumno

Universidad Universidad Complutense de Madrid Grado en Física

Óptica: problemas

Luis Miguel Sánchez Brea curso 2014 -2015 -

Grupo A

Facultad de Ciencias Físicas, Departamento de Óptica

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ÍNDICE GENERAL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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12 13 14

ondas electroma electromagnétic gnéticas as en el el vacío vacío energía energía de las ondas ondas electromagn electromagnéticas éticas polarizació polarización n de las las ondas ondas electrom electromagnét agnéticas icas interacción interacción luz materia materia : modelo microscópico clásico ondas electr electromagn omagnéticas éticas en en medios mate materiales riales propagac propagación ión en medios medios homogéneos homogéneos e isótropos isótropos í n d ic ic e d e r e fr fr a cc cc i ón ón refracción refracción y reflexión reflexión pa q u et et e s d e o n da da s interferencias 10.1 Ge General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Inter Interfer feren enci cias as por por divi divisi sión ón del fren frente te de onda onda . . . . . . . . . . . . . 10.3 Inter Interfer feren enci cias as por por divi divisi sión ón de ampl amplit itud ud . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Inte Interf rfer eren enci cias as por por hace hacess múlt múltip iple less . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . difracción 11.1 Te Teoría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Apr Aproximación de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Apro Aproxi xim mació aciónn de Fra Fraunho unhofe ferr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Otr Otros enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . redes de difracción filtrado óptico coherencia 14.1 Coherencia temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Coherencia espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Efectoss de la cohe cohere renc ncia ia en la inte interf rfer eren enci ciaa . . . . . . . . . . . . . . . 14.3 Efecto 14.4 Efectos de la coherencia en la difracción . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.5 Efecto Efectoss de la cohe cohere renc ncia ia en la pola polari riza zaci ción ón . . . . . . . . . . . . . . . 14.6 Otr Otros enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 8 9 11 13 14 16 18 22 23 23 23 23 24 25 25 25 25 26 27 28 29 29 30 30 31 31 32

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libros de problemas

F. Carreño y M.A. Antón, “Óptica Física”, Problemas y ejercicios resueltos. Prentice Hall (2011) E. Hecht “Teoría y problemas de Óptica”, Serie Schaum. McGraw-Hill ( 1974) M. López, J.I. Díaz, J.M. Jimenez, “Problemas de Física, vol. V: Óptica”, Romo (1980) J. Renault, “Óptica y Física ondulatoria: ejercicios resueltos”, Paraninfo ( 1993) D.V. Sivujin, “Problemas de Física General: Óptica”, Reverté ( 1984) Además, los siguientes libros de teoría incluyen problemas con la solución de algunos de ellos: G.R. Fowles, “Introduction to Modern Optics”, Dover ( 1989) E. Hecht, “Óptica”, Addison-Wesley Iberoamericana ( 2000)

algunas constantes fundamentales

velocidad de la luz en el vacío

c = 299792 458 m/s

× 10−19 C me = 9,109 381 88 × 10−31 Kg m p = 1,672 621 58 × 10−27 Kg

carga del electrón

e = 1,602176462

masa del electrón masa del protón

ε 0 = 1/ µ0 c2 = 8,854187817 F /m

constante dieléctrica del vacío permeabilidad magnética de vacío radio de Bohr

µ0 = 4 π 10−7 N / A2

a0 = 4 πε 0 h¯ 2 /( me c2 ) = 0,5291772083

× 10−10 m 5


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O N D A S E L E C T R O M A G N É T I C A S E N E L VA C Í O P. 1 : A partir de las ecuaciones Maxwell, demuestre cualitativamente que para generar una onda electromagnética de frecuencia ω se necesitan cargas o corrientes que oscilen a esa misma frecuencia.

P. 2 : Señale algunas diferencias entre ondas luminosas, ondas sonoras, y ondas en la superficie de un líquido.

P. 3 : Diga si las siguientes ondas son armónicas o no: a) E = A cos2 (ωt − δ), b) E = A sin( ω t − δ), c) E = A cos(2ω t − δ) , d) E = A exp [cos(ω t − δ)], e) E = A cos(ω t) f) E = A cos(ω t2 ) .

P. 4 : El siguiente campo eléctrico, E ( z, t) = E0 cos [k ( y + z) − ω t], con E0 = (1,1,0) , ¿puede ser una onda electromagnética?

P. 5 : Sea una onda armónica plana que se propaga en la dirección k = (0,0,1) y tiene una frecuencia ω. a) ¿Cuál es la dirección del campo eléctrico? b) ¿y del campo magnético? c) ¿Existe algún grado de libertad? c) Idem para  k = (0,1,1).

P. 6 : Sean dos ondas planas con la misma polarización (dirección del campo eléctrico), longitud de onda y amplitud, pero que se propaga en diferentes direcciones. La suma de las dos ondas, por la linealidad de las ecuaciones de Maxwell, también es una solución, a) ¿Es una onda armónica? b) Calcular la amplitud c) Calcular la velocidad de fase. otros enunciados

P. 7 : Para una onda armónica demuestre que: (a) El vector  E ×  E˙ es constante (b)  E·  E ×  E˙ = 0.

 

Ayudas: tenga en cuenta que  E¨ = − ω2  E, y haga el cálculo en representación real (¿sabría decir por qué?). Estas dos relaciones demuestran que para una onda armónica  E está siempre en un plano.

P. 8 : Usando la primera ecuación de Maxwell demuestre que el vector  E0 no puede ser constante para la onda esférica  E( r, t) =  E0 ei(k |r |− ω t) / |r |. 6


P. 9 : El campo eléctrico de una onda electromagnética viene dado por  E( r, t)

=  E0

 cos

k  r ( u1 2

·

−  u2 )

 cos 

k  r ( u1 +  u2 ) 2

·

− ωt



( E0 real) donde  u1 y  u2 son dos vectores unitarios constantes y k = ω /c. a) ¿Es una onda armónica? b) Calcular su representación compleja. c) Calcular su velocidad de fase. d) Expresar  E( r, t) como superposición de ondas planas.

P. 10 : a) La suma de dos ondas planas, ¿es siempre una onda plana? b) La suma de dos ondas armónicas, ¿es siempre una onda armónica?

 P. 11 : Las ondas armónica “plana” inhomogénea tienen la forma  E( r, t) =  E0 ei(k c ·r −ω t) , donde el vector de ondas es complejo  k c =  k + i a. Ponga un ejemplo de este tipo de ondas demostrando que cumple las ecuaciones de Maxwell. Para ello, asumimos los vectores  k = (k , 0,0) y  a = (0, a, 0) y necesitamos conocer el campo eléctrico  E0 .

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ENERGÍA DE LAS ONDAS ELECTROM AGNÉTICA S P. 1 : Estime la amplitud del campo eléctrico de una onda armónica plana cuyo promedio temporal del vector de Poynting es a) 125 W /m2 (bombilla). b) 1 KW /m2 (luz solar). c) 1 W /cm2 (láser continuo He-Ne). d) 1 MW /cm2 (láser pulsado).

P. 2 : Halle el valor instantáneo del vector de Poynting  S de la onda electromagnética en el vacío cuyo campo eléctrico viene dado por  E = Re [ E0 ( u x + i  u y ) ei(kz −ωt) ].

P. 3 : Se tiene una onda electromagnética plana y monocromática propagándose en el vacío. Sabiendo que√ la onda se mantiene constante sobre los planos perpendiculares √ al vector ( 2/2, 2/2,0) y que el campo magnético tiene la dirección del eje z , se pide expresar los vectores: a) Campo eléctrico y magnético. b) Promedio temporal del vector de Poynting.

P. 4 : Consideremos dos ondas planas monocromáticas linealmente polarizadas (el campo eléctrico se mantiene constante en una dirección) que se propagan en la misma dirección. Determinar el promedio temporal del vector de Poynting de la superposición de ambas ondas si las dos ondas tienen la misma frecuencia y los vectores  E perpendiculares.

P. 5 : El campo eléctrico correspondiente a una onda plana monocromática propagándose en la dirección Z tiene la forma  E = A1 sin(ω t − kz ) u x + A 2 cos(ω t − kz ) u y , donde A1,2 son constantes  ux, y son vectores unitarios constantes en la dirección de los ejes X e Y respectivamente. a) Calcule el promedio temporal del vector de Poynting de dicho campo. otros enunciados

P. 6 : Considere campos  B y  E estáticos. ¿Puede ser el vector de Poynting no nulo? ¿Significa eso que hay flujo de energía?

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POLARIZACIÓN DE LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS P. 1 : Consideremos el campo eléctrico E ( z, t) = E0 cos(kz − ωt)ux + E0 sen(kz − ω t)u y siendo u x , u y los correspondientes vectores unitarios. a) ¿Es una onda armónica? b) Escribir E en representación compleja. c) ¿Es una onda plana? d) ¿Cuál es su estado de polarización?

P. 2 : Para cierta onda armónica plana E ( z, t) = E 0 ei(kz −ω t) las componentes cartesianas de E0 son E0x = p + iq, E0 y = f + ig y E0 z = 0, con p , q, f y g reales. Decir el estado de polarización de la onda en los siguientes casos: a) f = 2 p, g = 2q. b) f = q = 0, p = g . c) p = q = 0.

P. 3 : El campo eléctrico correspondiente a una onda plana monocromática propagándose en la dirección Z tiene la forma  E = A1 sin(ω t − kz ) ux + A 2 cos(ω t − kz ) u y , donde A1,2 son constantes  ux, y son vectores unitarios constantes en la dirección de los ejes X e Y respectivamente. Demuestre que  E puede escribirse como la superposición de dos campos, uno de ellos linealmente polarizado y el otro circularmente polarizado. Escríbanse las expresiones para ambos campos.

P. 4 : Escríbanse los campos eléctricos y magnéticos de las siguientes ondas planas monocromáticas que se propagan en el vacío: (a) Linealmente polarizada a 30 º del eje X propagándose a lo largo del eje Z. (b) Elípticamente polarizada propagándose según el eje Y. El eje mayor de la elipse está según el eje Z y su longitud es doble que la del eje menor. (c) Circularmente polarizada propagándose en la dirección del eje X.

P. 5 : Teniendo en cuenta que para una onda armónica y plana B ∝ k × E demuestre que el estado de polarización de B es el mismo de E pero rotado un cierto ángulo. Considere k = (0,0, k ).

P. 6 : Razone cuál es el estado de polarización de la onda E = E 0 [cos (kz ) ,sen (kz ) , 0] cos (ω t) con k = ω /c. Especifique cómo varía el estado de polarización al cambiar z .

P. 7 : Escríbase en representación compleja una onda propagándose en el eje x con las siguientes polarizaciones: a) circularmente polarizada, b) linealmente polarizada

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formando el campo 45 grados con los ejes cartesianos Y Z y c) elípticamente polarizada.

P. 8 : Demuestre que para una onda armónica y plana el estado de polarización es el mismo en cualquier punto del espacio.





P. 9 : Demuestre que para la onda E ∝ e −iωt eikx , eiky , 0 demuestre que hay puntos con polarización circular y puntos con polarización lineal.

P. 10 : a) La superposición de dos ondas linealmente polarizadas y viajando en la misma dirección ¿está siempre linealmente polarizada? b) La superposición de dos ondas circularmente polarizadas y viajando en la misma dirección, ¿está siempre circularmente polarizada?

P. 11 : Sea una onda armónica plana linealmente polarizada en el eje x que atraviesa dos polarizadores lineales, el primero con eje de transmisión en la dirección x y el segundo con eje de transmisión en la dirección y a) ¿Cuál es la cantidad de luz que atraviesa el sistema? Ahora se interpone entre los dos polarizadores un material anisótropo que actúa como un retardador lineal, donde el desfase δ = k (ne − n0 )h( x, y) depende de la posición. Ele eje rápido está en la dirección del eje b) Calcule la intensidad que atraviesa el sistema para cada posición. c) xEl eje rápido se ubica a 45º del eje x. c) Calcule la intensidad que atraviesa el sistema para cada posición otros enunciados

P. 12 : Razone si para una onda circularmente polarizada se pueden definir frentes de onda.

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INTERACCIÓ N LUZ MATERIA: MODELO MICROSCÓPICO CLÁSICO P. 1 : Una carga ligada cuya posición viene dada por r (t) es iluminada por una onda armónica, plana y circularmente polarizada que se se propaga en la dirección Z. Demuestre que r (t) describe una circunferencia en el plano XY .

P. 2 : Una carga ligada es iluminada por una onda armónica de frecuencia ω. Calcule el valor de ω para el que el módulo |r | de la separación entre cargas positivas y negativas sea máximo.

P. 3 : Calcule la amplitud de oscilación y velocidad máxima de una carga ligada en resonancia y un 1 % fuera de resonancia. Suponga que la carga es iluminada por una onda armónica de amplitud de campo eléctrico  E0 = 10 3 V/m, constante de amortiguamiento γ = 108 s−1 y frecuencia de resonancia ω 0 = 4 × 1015 rad/s. P. 4 : Demuestre que el promedio temporal de la potencia transferida a un electrón ligado P = qr˙ · E cuando es iluminado por una onda armónica plana es 2

≈ 2qm

P

γω 2



ω2

−

|E0 |2

2 ω02 + γ2 ω 2



Evalúe esta expresión con los datos del problema anterior. Calcule el tamaño de una superficie sobre la que incide la misma potencia debido a la misma onda armónica plana.

P. 5 : Si en el problema anterior ω 0 está en el ultravioleta, diga si la potencia transferida es mayor para una ω en el rojo o en el azul (considere γ < < ω << ω 0 ).

P. 6 : La imagen representa una nave espacial disparando en el vacío un par de haces láser. Comente al menos una posible incongruencia en la imagen.

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otros enunciados

P. 7 : Razone si la óptica no lineal se pondrá más de manifiesto con ondas luminosas muy intensas o poco intensas.

P. 8 : Una característica de los medios ópticamente no lineales es que cambian la frecuencia de la luz. Justifique este hecho con un razonamiento cualitativo breve en términos de la evolución temporal las cargas, teniendo en cuenta que su posición será una función no lineal del campo eléctrico y que una carga radia a la misma frecuencia que oscila.

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O N D A S E L E C T R O M A G N É T I C A S E N M E D I O S M AT E R I A L E S P. 1 : Diga si el diamante es un medio óptimamente denso para los rayos X.

P. 2 : Razone la veracidad o falsedad de la siguiente afirmación: Sólo la parte real de la constante dieléctrica generalizada tiene sentido físico.

P. 3 : Suponga que la constante dieléctrica generalizada de cierto medio se puede aproximar en cierta región del espectro en la forma ε˜ ≈ ε 0 A + iBω siendo A = 5 y B = 1013 Hz . Diga si el medio es transparente o absorbente, dispersivo o no, homogéneo o no, conductor o dieléctrico.





otros enunciados

P. 4 : Especifique las unidades de las susceptibilidades eléctrica y magnética y de la conductividad en el sistema internacional.

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PROPAGACIÓN EN MEDIOS HOMOGÉNE OS E ISÓTROPOS P. 1 : En cierto material se propaga una onda de la siguiente forma E (r, t) = E0

   3 exp −3 cos ω z c

ω z 2c

− ωt

,

calcule los valores del índice de refracción n e índice de absorción κ .

P. 2 : La conductividad del cobre para λ = 600 nm es σ = 5,9 105 Ω−1 m−1 . a) Determine el espesor de una capa de cobre necesaria para atenuar un 95 % la intensidad de una onda monocromática de 600 nm de longitud de onda, considerando que se puede realizar la aproximación de conductividad grande σ  ε y suponiendo que  k y  a son paralelos b) Calcule el índice de refracción para esa longitud de onda.

P. 3 : De un medio se sabe que ε es un escalar complejo que no depende del punto y que sí depende de la frecuencia. ¿Qué puede decirse del medio?

P. 4 : Consideremos los siguientes campos eléctricos: 1)  E( r, t) =  E10 e −a( x+ z) cos( ky − E10 = (− E0 , 0, E0 ); 2)  E2 ( r , t) =  E20 e− a( y+ z) cos[k ( y + z ) − ω t], donde ω t), donde   E20 = ( E0 ,0,0 ); siendo E 0 , k , y a reales. Para cada uno de los dos casos, determine: (a) Los planos donde la amplitud se mantiene constante. (b) El tipo de medio en el que se propaga el campo. (c) La velocidad de fase.

P. 5 : Considérese un medio dieléctrico, isótropo y homogéneo. Justifíquese bajo qué condiciones puede propagarse en dicho medio una onda electromagnética cuyo campo eléctrico sea E (r, t) = Au x e−az cos (kz − ω t), donde A, a y k son reales. P. 6 : Sea la onda armónica inhomogénea en un medio absorbente con campo eléctrico   E =  E0 e− a r ei(k  r−ωt) siendo  k = b(1,0,0),  a = b(1,1,0) y  E0 = E0 (1, −1 + i , d) donde b, d y E0 son constantes reales. (a) ¿Se satisface que  k c ·  E = 0? (b) Diga si    los vectores reales correspondientes a E, H y k en t = 0,  r = 0 son perpendiculares entre sí. otros enunciados



P. 7 : Demuestre que si ˜ε = 0 existen ondas “longitudinales”  E( r, t) = E0 kei(k ·r −ωt) que satisfacen todas las ecuaciones de Maxwell. ¿Existe alguna restricción para el valor de  k ?

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P. 8 : El campo eléctrico correspondiente a una onda monocromática luminosa de frecuencia ω propagándose por un medio dieléctrico es E (r, t) = E0 e−az cos(kz − ωt), donde E0 es un vector real constante. Las expresiones para n y κ para el medio son n = 1

−

ω2

κ = 2

P

ω2P





ω 2 ω02 2 ( ω 2 ω 2 ) 2 + γ2 ω 2 0 γω 2 (ω2 ω02 ) +γ2 ω2

−

−

−





Hállese la expresión de k y de a para los dos casos siguientes: ω = ω 0 , ω << ω 0 .

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ÍNDICE DE REFRACCIÓ N P. 1 : En las proximidades de una resonancia, ω 2 − ω02 = (ω + ω0 )( ω − ω0 ) ∼ = 2 ω0 (ω − ω0 ) con lo que para un medio poco denso n y κ pueden aproximarse por las siguientes expresiones: 2

2

≈ 1 + 4mNqε 0 ω0 (ω0 − ωω0)2−+ω(γ/2)2 κ ≈ 8mNqε0 ω0 (ω0 − ω)2γ+ (γ/2)2 . Demuéstrese que los valores máximos de n y κ se obtienen para ω = ω0 − γ/2 y n

ω = ω 0 respectivamente.

P. 2 : Consideremos un medio con una única frecuencia de resonancia ω0 en el amarillo. Tres ondas luminosas monocromáticas con respectivas frecuencias, ω0 en el amarillo, ω 1 en el rojo y ω 2 en el azul, se propagan en dicho medio con vector  k c complejo proporcional a la dirección z . a) ¿Cuál de estas ondas tiene mayor velocidad de fase? b) ¿Cuál de las tres ondas sufre mayor atenuación? c) Escriba dicha onda en función de la parte real e imaginaria del índice de refracción.

P. 3 : Considérese que el índice de refracción en el visible viene determinado por una única frecuencia de resonancia en el ultravioleta. a) Despreciando γ y usando ω  ω0 demuestre que n puede aproximarse en el visible por n ∼ = A + B /λ2 , siendo A y B constantes y λ = 2π c/ω. b) Si en las mismas condiciones se tiene que la frecuencia de resonancia ω0 está en el infrarrojo, demuestre que el índice de refracción en el visible n’ puede aproximarse por n  ∼ = A − B λ2 para ω >> ω 0 . 2

2

2

λ 0,41λ 0,9λ P. 4 : Aproxime la relación para sílice n2 − 1 = λ20,69 −0,0682 + λ2 −0,122 + λ2 −9,92 , donde ∼λ está expresada en micras, para obtener los parámetros A, B, C en el visible en n = A + λB2 − Cλ2 .

∼ A + λB2 − C λ2 determine la longitud de onda para la que P. 5 : Supuesto que n = d2 n/dλ2 = 0 que hace máxima la transmisión de información. Particularice a sílice, donde A = 1,449, B = 2,04 × 10−3 µm2 y C = 0,3169710−2 µm−2 . P. 6 : Compruebe si n ∼ = A + B /λ2 y n  ∼ = A − B λ2 son compatibles con la dispersión normal.

P. 7 : Se dispone de tres medios dieléctricos cada uno de ellos con una sola resonancia situada en 1000 Å, 2000 Å y 8000 Å (longitudes de onda en el vacío). Se supone que los tres medios son iguales en todo lo demás. Se quiere tener la mayor dispersión

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(|dn/dω|) posible para λ = 5000 Å. ¿Cuál de los tres medios es el más adecuado? Desprecie la contribución de γ .

P. 8 : Sabiendo que para cierto medio la conductividad estática vale σ (ω = 0 ) = 5,5 × 107 Ω−1 m−1 y que N V ≈ 8 × 1028 m−3 estime el valor de γ . P. 9 : Estime un valor típico del índice de absorción κ del cobre en el visible si N V 8 × 1028 m−3 y γ ≈ 4 × 1013 s−1 .

≈

P. 10 : Estime la frecuencia de plasma para la ionosfera si la densidad de electrones es N V ≈ 10 11 m−3 . Calcule su contribución a n y κ para frecuencias del visible suponiendo que γ es despreciable.

P. 11 : Aproxime el índice de refracción de un dieléctrico para frecuencias mucho mayores que cualquiera de las de resonancia.

P. 12 : Elija la respuesta correcta (entiéndase transparente como muy poco absorbente). 1. los metales son siempre absorbentes y los dieléctricos nunca. 2. los metales nunca son transparentes y los dieléctricos pueden ser absorbentes. 3.

los metales pueden ser transparentes y los dieléctricos pueden ser absorbentes.

4. los metales son siempre transparentes y los dieléctricos nunca.

otros enunciados

P. 13 : En la expresión para el índice de refracción debido a cargas libres haga una aproximación para el caso ω  γ y a partir de ella discuta la transición transparente/absorbente que ocurre entre ω > ω p y ω < ω p n2c = 1

ω p2

ω p2

− ω(ω + iγ) ≈ 1 − ω2

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REFRACCI ÓN Y REFLEX IÓN P. 1 : La figura muestra la reflectancia espectral de algunos metales. Razone si lo expuesto en la gráfica guarda alguna relación con el color de los respectivos metales (oro/cobre versus plata/aluminio).

P. 2 : Un haz de luz linealmente polarizado incide sobre un prisma isósceles de índice de refracción 1,5 tal y como se muestra en la figura. El campo eléctrico oscila en un plano que forma un ángulo con el plano de incidencia de 45º. Se desea saber el tipo de polarización del haz saliente s y su intensidad respecto a la del haz incidente i en los casos en que el medio que rodea al prisma sea: a) agua ( n = 1,33), b) aire (n = 1).

P. 3 : Un haz plano monocromático de longitud de onda λ incide desde un medio transparente de índice de refracción n al vacío, con ángulo de incidencia θ = 60◦ . La onda está linealmente polarizada perpendicular al plano de incidencia. Calcúlese el índice de refracción n para que la superposición del haz incidente con el reflejado produzca un campo eléctrico nulo ( | E|2 = 0), en cualquier instante de tiempo en el plano z = −2λ/3. (λ es la longitud de onda en el medio). 18




P. 4 : Demuestre que si el índice de refracción del segundo medio (n ) es menor que el  del primer medio (n), siendo ambos reales con n > n , se tiene que t  > 1 y t ⊥ > 1 para cualquier ángulo de incidencia menor que el crítico.

P. 5 : Considere un haz plano linealmente polarizado que incide desde el aire sobre un prisma transparente de vidrio de ángulo α. Se desea que dicho haz atraviese el prisma sin sufrir pérdidas por reflexión en ninguna de las dos caras. ¿Cuánto deben valer: a) el azimut del haz incidente, b) el ángulo de incidencia y c) el índice de refracción del prisma para que tal cosa ocurra?

P. 6 : Un haz luminoso plano y monocromático incide desde un medio de índice n1 a un medio de índice n2 (ambos trasparentes) formando un ángulo de 40º con la normal a la superficie de separación de medios y está linealmente polarizado a 45º respecto al plano de incidencia. Se desea saber la relación n2 /n1 para que el haz que se refleje en la primera cara esté elípticamente polarizado centrado en los ejes paralelo y perpendicular al plano de incidencia.

P. 7 : Considérese una onda armónica y plana que incide sobre una superficie plana que separa dos medios transparentes e isótropos de distinto índice. El primer medio tiene índice n y el segundo medio tiene índice 1. Se sabe que para incidencias desde el primer medio superiores a la del ángulo crítico (reflexión total) se produce en el segundo medio una onda cuya amplitud decrece exponencialmente con la distancia a la superficie de discontinuidad de índice. Se quiere saber en cuál de las dos situaciones siguientes el decrecimiento exponencial es mayor: (a) ángulo de incidencia próximo al ángulo crítico. (b) ángulo de incidencia próximo a π /2. Supóngase que en ambos casos la amplitud en el segundo medio sobre la superficie de discontinuidad es la misma.

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P. 8 : Una lámina plano-paralela de un medio dieléctrico, isótropo y homogéneo de índice de refracción n 0 y espesor d está en contacto con un medio metálico de constantes n y κ . Una onda plana monocromática circularmente polarizada a derechas incide perpendicularmente desde el vacío sobre la superficie del dieléctrico, atraviesa éste, se refleja en el metal y emerge de nuevo al vacío (en sentido contrario al incidente). Determínese el estado de polarización del haz: a) después de atravesar el dieléctrico a la ida (punto 1 de la figura), b) después de reflejarse en el metal (punto 2 de la figura), c) en el vacío a la vuelta (punto 3 de la figura).

otros enunciados

P. 9 : Suponga que el momento lineal de un fotón de una onda armónica plana sea  = ¯h p k . Un haz de luz propagándose en la dirección positiva del eje z incide desde el aire de forma normal sobre un medio de índice n > 1. Calcule el momento lineal del conjunto de haz refractado y reflejado. Compárelo con el momento lineal del haz incidente y a partir de la conservación del momento diga si el medio experimenta una fuerza en la dirección positiva o negativa del eje z o si no experimenta ninguna fuerza.

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P. 10 : Inmerso en un medio dieléctrico de índice de refracción n1 hay otro medio dieléctrico de caras plano paralelas y de índice de refracción n 2 . Ambos son transparentes. Un haz luminoso plano y monocromático incide bajo ángulo de Brewster desde el medio de índice n 1 al medio de índice n 2 . El haz está linealmente polarizado en el plano de incidencia. ¿cuál es la intensidad transmitida al medio de índice n1 , a la salida del medio de índice n 2 , en relación a la intensidad incidente?

P. 11 : Una superficie plana separa dos dieléctricos isótropos homogéneos y transparentes. Desde el primero incide una onda plana monocromática con ángulo de incidencia θ . Se desea saber las condiciones necesarias para que se den las situaciones siguientes: a) La reflectividad vale cero. b) La reflectividad vale uno. En cada uno de los casos escríbase la expresión del campo eléctrico transmitido.

P. 12 : Consideremos un diedro rectángulo que separa dos dieléctricos de índices reales n  √ y n’ que verifican n /n = 3. Un haz plano linealmente polarizado con azimut 45 ◦ sufre dos reflexiones tal y como se muestra en la figura. Hállense los dos valores posibles del ángulo de incidencia θ para que el haz S 3 esté linealmente polarizado perpendicular al plano del papel. Para cada una de las dos soluciones hállese la intensidad del haz S 3 .

P. 13 : Se tienen dos medios isótropos y homogéneos. El primero es un dieléctrico transparente de índice n1 . Sobre la superficie que los separa incide con ángulo θi una onda plana monocromática linealmente polarizada a 45º con el plano de incidencia. (a) Sabiendo que para θi = 0 la luz reflejada está elípticamente polarizada y la reflectividad es menor que la unidad, indique la naturaleza del segundo medio. (b) Si θ i = 0 ¿puede la luz reflejada estar circularmente polarizada?

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9

PA Q U E T E S D E O N D A S P. 1 : La velocidad de un automóvil es de 120 km/h y se quiere medir a partir del efecto Doppler con un haz de λ = 880 nm. Parte de esta onda se lleva a un fotodetector y la otra parte va al automóvil a) ¿Cuál será el periodo temporal y frecuencia del batido de luz cuando ambas ondas se combinan? b) Si la frecuencia máxima de detección del sistema es 1 GHz ¿cuál es la velocidad máxima que se puede obtener con este sistema? c) ¿Es mejor utilizar luz roja o luz azul?

P. 2 : Considere un paquete de ondas Gaussiano que tiene un espectro de frecuencias 2 de la forma g (ω ) = exp − (ω−2σ ω20 ) . Determine el valor de la anchura espectral σ para que la onda tenga una duración del orden de 1 s.





P. 3 : A partir de la relación v g = (dk /dω)−1 demuestre que en medios trasparentes y para ondas planas c v g = . dn n

− λ dλ

P. 4 : Consultando la página webhttp://refractiveindex.info estime la atenuación en dB por km y la velocidad de grupo para silicio amorfo a 500 nm, suponiendo siempre que el vector de ondas y el de atenuación son paralelos.





P. 5 : Considerando la expresión de la velocidad de grupo v g = c / n − λ ddnλ , determine en qué condiciones la velocidad de grupo es mayor que la de fase.

P. 6 : Considerando la expresión de la velocidad de grupo v g = c



/ − , determine n

λ ddnλ

en qué condiciones ddλ v1 g = 0 (que tiene interés para la máxima transmisión de información por fibra óptica).

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10

INTERFERENCIAS

10.1

g en er al

P. 1 : Sobre el plano z = 0 se observa la interferencia de dos ondas monocromáticas coherentes de la misma amplitud y frecuencia. Sus direcciones de propagación, contenidas en el plano XZ forman con el eje z ángulos -α y + β respectivamente. Calcule en z = 0 (a) La posición de los máximos. (b) La interfranja y la visibilidad. (c) Particularice para β = α .

10.2

interferencias por división del frente de onda

P. 2 : Un haz plano de intensidad I 0 incide con ángulo α sobre un plano en el que se encuentran dos rendijas separadas una distancia d . (a) Calcule la intensidad en un plano paralelo al que contiene las rendijas y suficientemente alejado. (b) En una de las rendijas se coloca una lámina absorbente cuya transmitancia es 0.01. Determine la visibilidad.

P. 3 : En el montaje de la figura se tienen dos fuentes puntuales incoherentes a distancias d1 y d2 del espejo que emiten con longitudes de onda λ1 y λ2 respectivamente. Determine la relación que debe haber entre d1 , d2 , λ1 y λ2 para que la figuras interferenciales de las dos fuentes coincidan.

10.3

interferencias por división de amplitud

P. 4 : Una lámina de vidrio BK7 de índice de refracción n = 1,51 se inserta en uno de los brazos de un interferómetro de Michelson que es iluminado por un haz procedente de un láser de He-Ne con λ = 632,8nm. Se encuentra que aparecen o desaparecen 50 anillos. ¿Cuál es el espesor de la lámina? Inicialmente el interferómetro está inmerso aire.

23


P. 5 : En un interferómetro de Michelson iluminado de forma normal a los espejos se tiene un máximo de intensidad para una frecuencia ω en el centro θ = 0. Calcúlese  la frecuencia ω más próxima a ω para la que también se tendrá máxima intensidad para la misma separación entre los espejos.

10.4

interferencias por haces múltiples

P. 6 : La separación entre los dos espejos de un interferómetro de Fabry-Perot es de 1 cm. Calcúlese la reflectancia de los espejos necesaria para distinguir las dos frecuencias ω1 = 3,543320 × 1014 rad/s y ω 2 = 3,543387 × 1014 rad/s. Suponga que el medio en el interior del interferómetro es de índice n = 1, que la incidencia es normal y que el desfase producido en las reflexiones es igual para las dos frecuencias.

P. 7 : Se observa la interferencia producida por un interferómetro Fabry-Perot. Los espe jos del interferómetro están separados una distancia d = 10 λ, y el medio entre ellos es aire. Si la lente colocada detrás del interferómetro y la pantalla tienen un tamaño infinito, ¿cuántos anillos podrían observarse en la pantalla? ¿Cuál será el ángulo de observación del anillo cuyo orden es la mitad del orden máximo observado?

P. 8 : Queremos medir el índice de refracción del aire mediante un interferómetro tipo Fabry-Perot. Para ello se hará el vacío entre las placas semiespejadas de un interferómetro separadas una distancia de 27 mm. La medida consiste en contar máximos que aparecen o desaparecen en el centro del campo de visión mientras se hace el vacío. Para una longitud de onda de 632,8 nm el número de máximos contados es de 25. Estime el índice de refracción del aire entre placas antes de hacer el vacío.

P. 9 : Determine el poder resolutivo de un Fabry-Perot frente a variaciones de separación entre los espejos.

P. 10 : Determine el poder resolutivo de un Fabry-Perot frente a variaciones del índice de refracción en su interior.

P. 11 : Demuestre que, si los espejos de un Fabry-Perot conservan la energía, el cociente entre la intensidad transmitida y la incidente tiene un valor máximo de la unidad.

P. 12 : Calcule la intensidad reflejada en un Fabry-Perot siguiendo pasos similares a los realizados para calcular la intensidad transmitida.

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11

DIFRACCIÓN

11.1

t eo rí a

P. 1 : A partir de la expresión E z ( x, y) =

ˆ

∞

−

∞

dk x dk y ˜ E( k x , k y )ei(k x x+k y y+k cz z)



donde k cz = k 2 − k 2x − k y2 , considere una onda en la que k 2x + k y2 = a < k 2 es una constate y E˜ (k x , k y ) = 0 si k 2x + k y2 = a. Demuestre que la intensidad luminosa no depende de z . Este es un ejemplo de los ondas llamadas haces que no se difractan. 11.2

aproximación de fresnel

P. 2 : Un haz plano monocromático incide normalmente sobre una abertura circular de radio R. a) Calcule el campo en el punto P a una distancia z del centro de la abertura usando las aproximaciones de Fresnel . b) Aproxime también a campo lejano (aproximación de Fraunhofer).

11.3

aproximación de fraunhofer

P. 3 : Estime el tamaño de un haz luminoso sobre la Luna si sobre la Tierra tiene una sección transversal circular de radio a) 1 mm b) 1 m. Se supone que el haz es uniforme dentro de esa sección circular y se anula fuera de ella.

P. 4 : Sobre una abertura circular de radio R se coloca una transparencia descrita por el coeficiente de transmisión t ( x) = α [1 + q cos( px )] siendo α , p, q constantes. Calcule la difracción de Fraunhofer en el plano focal imagen de una lente si la abertura se ilumina de forma normal con una onda plana monocromática. Considere p > > 1/ R.

25


P. 5 : Se observa la difracción en aproximación de Fraunhofer producida por una onda armónica y plana de longitud de onda λ que incide de forma normal sobre una  rendija de anchura a . Si se dobla la anchura de la rendija a = 2 a, ¿cuál debería ser  la longitud de onda λ para que los máximos y mínimos de difracción estuvieran en los mismos lugares?

P. 6 : Empleando el montaje de difracción de Fraunhofer observamos la figura de difracción producida por un pelo, considerado este como un objeto opaco y plano. Observando esta figura determinamos el ángulo de desviación para el mínimo de orden +2, siendo este y = 0,84º. Suponiendo incidencia normal y teniendo en cuenta que la longitud de onda de la lámpara utilizada es de λ = 589,3 nm, calcúlese la anchura del pelo.

P. 7 : Un haz plano de longitud de onda λ incide normalmente sobre un plano que contiene dos rendijas idénticas de anchura b separadas una distancia d . Se observa  la intensidad en el plano focal imagen de una lente convergente de focal imagen f . Delante de una de las rendijas (antes de pasar la luz por ella) se coloca una lámina plano-paralela de espesor  e índice de refracción n . Considérese que la amplitud de la onda no cambia al atravesar dicha lámina. (a) Calcúlese el punto del plano focal imagen en el que se forma el máximo de intensidad de orden m = 0. (b) Estímese el orden m del máximo que tiene la mayor intensidad. Para este apartado considérese n = 1,5 y  = 200λ.

P. 8 : Calcule la distancia mínima entre dos puntos de la superficie de Marte para que sus imágenes puedan resolverse por un telescopio cuya abertura es circular con diámetro 60cm. Considérese que la distancia Tierra-Marte es de 56 · 106 Km y que la luz es monocromática con λ = 560 nm.

P. 9 : Un sistema óptico formador de imagen puede utilizarse con luz de longitud de onda λ 1 o bien con luz de longitud de onda λ 2 , siendo λ 1 > λ 2 . Razónese cualitativamente con cuál de las dos longitudes de onda el poder resolutivo del instrumento es mayor. 11.4

o t ro s e n u nc i ad o s

P. 10 : Dos ondas planas monocromáticas de la misma longitud de onda, coherentes entre sí y propagándose con vectores de onda comprendidos en el plano YZ, inciden formando ángulos α y −α con la normal a una superficie que contiene una abertura cuadrada de lado a cuyos lados son paralelos a los ejes X e Y . Calcule la distribución de amplitudes en el plano focal imagen de una lente.

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12

REDES DE DIFRACCIÓ N P. 1 : Una red de difracción que contiene 500 rendijas por milímetro se ilumina de forma normal con una onda plana y monocromática con λ = 500nm. a) Determine los órdenes de difracción que se pueden observar. b) calcule la posición angular de dichos órdenes. c) Si quisiéramos que esta red no generara ningún orden de difracción (excepto el orden 0 ) ¿que longitud de onda deberíamos utilizar?

P. 2 : Los colores que se producen en los CDs y DVDs se deben a que se comportan como las redes de difracción dado que su estructura se compone de una serie de surcos. Se sitúa uno de estos discos a 114 cm de la pared y se ilumina con un haz láser de He-Ne (Helio Neon) cuya longitud de ondas es λ = 0,6328 nm. Sobre la pared se observan 2 impactos a 27 cm y 114 cm de la horizontal. Calcule el periodo de la red generada sobre el disco. ¿Es un CD, un DVD o un BluRay?

P. 3 : Se dispone de dos redes de difracción con 453 y 325 rendijas por milímetro respectivamente. La primera tiene una longitud de 11 .2 mm y la segunda 17 mm. ¿Cuál tiene mayor poder resolutivo para un mismo orden de difracción?

P. 4 : Una red de difracción tiene un anchura de 10cm. Calcúlese el número de rendijas necesarias y su periodo para que en el máximo de orden 1 se resuelva el doblete amarillo del sodio.

P. 5 : Para una estructura periódica (red de difracción) cuya transmitancia resulta t (x ) = cos (qx ), donde q = 2 π / p, siendo p el periodo. a) Calcule la distribución de intensidad en campo cercano (aproximación de Fresnel) a una distancia z. b) Represéntese la distribución de intensidad. c) ¿Para qué distancias z la distribución de intensidad son iguales a la intensidad justo después de la red? d) ¿Qué ocurre cuando z → ∞ ? Compare con la aproximación de Fraunhofer. ¿Los resultados son iguales? ¿Por qué?

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13

FILTRADO ÓPTICO

P. 1 : De las dos imágenes de vallas siguientes comente cuál es la que contiene frecuencias espaciales más altas.

P. 2 : El campo eléctrico en el plano z = 0 tras cierto objeto unidimensional periódico es E0 ( x) ∝ 1 + cos κ x. (a) Especifique las frecuencias espaciales que contiene. (b) Se realiza un filtrado en amplitud que elimine la frecuencia más baja en módulo. Especifique la distribución de intensidad en la imagen. (c) Se realiza un filtrado en amplitud que elimine la frecuencia positiva de mayor valor. Especifique la distri bución de intensidad en la imagen.

P. 3 : En un montaje de formación de imagen colocamos en el plano focal imagen un filtro que sólo deje pasar la luz más próxima al eje. Comente la veracidad o falsedad de la siguiente afirmación: El filtro eliminará los detalles más finos en el borde de la imagen, pero la parte de la imagen más próxima al eje no se verá afectada.

P. 4 : Las aberturas finitas de los instrumentos ópticos limitan la resolución en la imagen por que: a) eliminan las frecuencias espaciales más bajas. b) añaden a la imagen frecuencias espaciales bajas. c) eliminan las frecuencias espaciales más altas. d) añaden a la imagen frecuencias espaciales altas. otros enunciados

P. 5 : Cierto objeto plano se ilumina con una onda plana de forma normal. Demuestre que colocando sobre un objeto un prisma de ángulo refringente muy pequeño todas las frecuencias espaciales se desplazan en la misma cantidad. Estime el valor de dicho desplazamiento. ¿Tiene algún efecto sobre la distribución de la intensidad en la imagen si no media ningún tipo de filtrado?

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14

COHERENCIA

14.1

c o h er e n ci a t e mp o ra l

P. 1 : Calcule el grado de coherencia temporal entre los campos eléctricos E1 y E2 de una misma onda en el mismo punto del espacio  r en dos instantes de tiempo distintos E1,2 = E ( r, t1,2 ) cuando t 1 = t 2 .

P. 2 : Estime el tiempo de coherencia y la longitud de coherencia de las siguientes fuentes de luz de anchura espectral ∆λ: (a) luz blanca ∆λ=500 nm (b) LED ∆λ=10 nm (c) lámpara espectral ∆λ=1 nm. Suponga todos los espectros centrado en una longitud media de 500 nm.

P. 3 : Se quiere observar interferencia entre la luz reflejada en la cara anterior y posterior de una lámina dieléctrica transparente delgada. Para ello las ondas deben ser coherentes. Elija un espesor L para que pueda darse interferencia con luz blanca en incidencia normal: a) L= 1 cm. b) L =1 mm. c) L= µm. d) Da igual el valor de L. 1

P. 4 : Un haz de luz estacionario con distribución espectral I (ω) pasa a través de un dispositivo con transmitancia dependiente de la frecuencia T (ω), como indica la figura. Razone si la coherencia temporal del haz transmitido es distinta de la del haz incidente.

29


14.2

coherencia espacial

P. 5 : Se coloca un diafragma circular justo delante de una fuente extensa, incoherente espacial. ¿Depende el grado de coherencia entre dos puntos fijos (A y B, situados a una distancia z) del diámetro del diafragma?

P. 6 : Estime cuanto pueden estar separados dos puntos en un plano a una distancia z de las siguientes fuentes de luz para ser coherentes (a) So l1 (b) Un diodo láser de tamaño s = 1 µm a z = 1m. Suponga por sencillez las fuentes monocromáticas, homogéneas, incoherentes espaciales y de sección circular.

14.3

efectos de la coherencia en la interferencia

P. 7 : Se usa un espejo plano para conseguir dos fuentes coherentes puntuales a partir de una única fuente puntual, que emite luz de longitud de onda media λ = 500nm y anchura espectral ∆λ = 1nm. ¿Cuál es la separación máxima entre la fuente y el espejo para que se observe interferencia en cualquier punto de la recta que une ambas fuentes?

P. 8 : Razone que le ocurre a las franjas de interferencia en un interferómetro de Young si (a) Disminuye la coherencia espacial (b) Disminuye la coherencia temporal.

P. 9 : En el interferómetro de Young de la figura, las dos rendijas son iluminadas por una fuente extensa. La intensidad que se obtiene en la pantalla debida a una fuente  puntual en x es, si x  << B , dI x = 2 J 0



1 + cos

2  π d λ



x x + D B



dx

1 busque en internet los datos que necesite

30




,

donde J 0 es una constante. Se desea saber la figura interferencial y su visibilidad considerando la fuente extensa entre − a/2 y a/2 como un continuo de fuentes puntuales incoherentes entre sí.

14.4

efectos de la coherencia en la difracción

P. 10 : Una rendija se ilumina con un haz monocromático. La luz difractada se observa en condiciones de difracción de Fraunhofer en el plano focal imagen de una lente convergente. Por sencillez el problema es unidimensional y la abertura se extiende en el eje x desde x = −a hasta x = a . La onda en la abertura E ( x) es completamente incoherente espacialmente, es decir < E ( x1 )E∗ ( x2 ) >= 0 si x 1  = x2 . Demuestre 2   ˜ que la intensidad luminosa I ( x ) ∝< | E( x )| > en el plano focal imagen es uniforme, es decir que I ( x ) no depende de x , siendo E˜ ( x ) el campo eléctrico en el punto x  del plano focal imagen.

14.5

efectos de la coherencia en la polarización

P. 11 : Un haz de luz natural (luz despolarizada) incide sobre un polarizador ideal cuyo eje forma un ángulo de 45 º con los ejes x, y. Calcule el grado de coherencia µ entre las componentes Ex , E y antes y después del polarizador. Se entiende que ambas componentes se evalúan en el mismo instante de tiempo. Un polarizador ideal extingue la componente del campo que vibra perpendicular a si eje y deja pasar al 100 % la componente que vibra según su eje.

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00 Manual Optica Problemas Classic Grupo a 14-15 Alumno

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