TUGAS STATISTIKA MATEMATIKA MATEMATIKA INTAN KUSUMAWARDANI 160210101010
KELOMPOK 9 A. DISTRIBUSI TRINOMIAL 1. Pembuktian apakah distribusi Trinomial termasuk fungsi peluang ataukah bukan. 2. Mencari rumus rataan (Mean) pada distribusi Trinomial. 3. Mencari rumus varians pada distribusi Trinomial. B. DISTRIBUSI POISSON 1. Pembuktian apakah distribusi Poisson termasuk fungsi peluang ataukah bukan. 2. Mencari rumus rataan (Mean) pada distribusi Poisson. 3. Mencari rumus varians pada distribusi Poisson. 4. MGF distribusi Poisson. PENYELESAIAN : A. DISTRIBUSI TRINOMIAL 1. Apakah termasuk fungsi peluang ? Kita akan membuktikan apakah distribusi trinomial memenuhi syarat suatu fungsi peluang ? Syarat fungsi peluang :
a) f x 0
n ! x !
y ! n x y !
P P 2 P 3 x 1
y
n x y
Karena, setiap peristiwa kombinasi pasti mempunyai nilai peluang antara 0 sampai 1.
0
n
b)
f x 1
x 0
n x
n
x x 0 y 0
n ! ! y !
n x y !
x
y
P 1 P 2 P 3
n x y
n x ! P P 1 P P ! y ! n x y ! n x ! n ! P n x ! x ! n x ! y ! n x y ! P 1 P P n ! P n x ! P 1 P P x ! n x ! y ! n x y ! n x
n
n !
x
x
1
n x y
y
2
1
2
x 0 y 0
x
n x
n
1
n x y
y
2
1
2
1
2
x 0 y 0
x
n
n x
1
x 0
y 0
x
n
x x 0
n ! P 1 !
P P 1
n x y
y
2
2
P 1 P P
n x ! 1 P P
n
1
n x
2
2
1
1
n
2
1
Karena kedua sifat di atas terpenuhi, maka terbuktilah bahwa distribusi Trinomial termasuk fungsi peluang atau yang sering kita sebut dengan PMF (Probability Mass Function)
2. Rumus Rataan Dalam hal ini, kita akan menggunakan MGF untuk mencari meannya. M t 1 , t 2
E et x et y 1
2
M t 1 , t 2 E e t x e t y 1
n x
n
2
e
t y
f x, y
t y
t 1 x
e 2
t 1 x
e 2
x 0 y 0 n x
n
e
n ! x ! y ! n x y !
x 0 y 0 n x
n
n !
x ! y ! n x y !
x 0 y 0
n ! P 1e t
n x
n
1
n ! P 1e t
n
x 0
x
x 0
! n x !
t
t
P e 1 P 2 e 2 P 3 1
M t 1 , t 2 P 1e 1 t
y 0
y
n x y
x y n x ! n x y P e t P 2 e t P 3 1 n x ! 1
2
n x ! n x y t y P 2 e P 3 ! n x y ! 2
y
n x ! n x y t y P 2 e P 3 ! n x y ! 2
y
x
1
x
x
n x
! n x !
n ! P 1e t
n
1
x
x ! n x !
x 0 y 0
x
P P 2 P 3 1
n x
n
P 2 e t P 3
n
2
t
P 2 e 2 P 3
MGF bersama X dan Y
Kita dapat mencari MGF masing-masing dari X dan Y . MGF ini disebut MGF marginal dari X dan Y . 1) MGF marginal dari X M t 1 ,0 P 1e t P 2 e t P 3 1
P e
n
2
Terlihat bahwa MGF marginal dari
P 1 e 1 P 2 1 P 1 P 2 t
t 1
1
n
n
2) MGF marginal dari Y
P P P e 1 P P P e 1 P
P 2 e M 0, t 2 P 1
n
t 2
3
n
t 2
1
2
1
n
t 2
2
2
merupakan MGF dari distribusi binomial X dengan parameter n, P 1 . Dapat ditulis
1 P 1
X
Terlihat bahwa MGF marginal dari Y merupakan MGF dari distribusi binomial Y dengan parameter
n, P 2 . Dapat ditulis Y : Bn, P 2
2
Setelah mengetahui MGF marginal dari masing-masing peubah acak, kita dapat menentukan turunan pertama serta kedua dari MGF nya.
Mean dapat dicari dengan turunan pertama tiap MGF marginal.
M t 0
P e n P 1 P P n1
t
M t 1
e 1 1 P n P 1 1
t 1
1
n1
1
1
1
1
n P 1
n P 1
x
n P e 1 P M t 0 n P 1 P
n1
t 2
M t 2
2
2
n1
2
2
2
t
P 2 e 2
P 2
n P 2
y Jadi x
n P 2
n P 1 dan y n P 2
3. Rumus Varians a) Varians untuk X
x2
M ' ' (t 1 ) ( M ' (t 1 ))2 u' v uv'
M ' ' (t 1 )
n(n 1)( P 1et (1 P 1 ))n2 .( P 1et ) 2 n( P 1et (1 P 1 ))n1. P 1et 1
1
1
1
n(n 1)( P 1et (1 P 1 ))n1.( P 1et (1 P 1 ))1.( P 1et ) 2 n( P 1et (1 P 1 ))n1. P 1et M ' ' (t 1 0) n(n 1)( P 1 1 P 1 ) n1.( P 1 1 P 1 ) 1 ( P 1 ) 2 n( P 1 1 P 1 ).P 1 1
1
n(n 1).1.1.( P 1 ) 2 n.1.P 1 n(n 1)( P 1 ) 2 n.P 1
x2
M ' ' (t 1 ) ( M ' (t 1 ))2
( n n). P nP n P n P nP nP n P
n(n 1) P 1
2
n. P 1 nP 1
2
2
1
2
nP 1 nP 1
1
2
1
1
2
nP 1 (1 P 1 )
2
2
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
b) Varians untuk Y
y2
M ' ' (t 2 ) ( M ' (t 2 ))2 u' v uv'
M ' ' (t 2 )
n(n 1)( P 2et (1 P 2 ))n2 .( P 2et ) 2 n( P 2et (1 P 2 ))n1. P 2et 2
2
2
2
n(n 1)( P 2et (1 P 2 ))n1.( P 2et (1 P 2 ))1.( P 2et ) 2 n( P 2et (1 P 2 ))n1. P 2et M ' ' (t 2 0) n(n 1)( P 2 1 P 2 ) n1.( P 2 1 P 2 ) 1 ( P 2 ) 2 n( P 2 1 P 2 ).P 2 2
2
2
n(n 1).1.1.( P 2 ) 2 n.1.P 2 n(n 1)( P 2 ) 2 n.P 2 x2
M ' ' (t 2 ) ( M ' (t 2 ))2
n(n 1) P 2
n P
2
2
n. P 2 nP 2 2
n P nP n P
( n 2 n). P 2 nP 2 2
2
2
nP 2
nP 2 nP 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
nP 2 (1 P 2 ) Jadi, varians untuk x adalah nP 1 (1 P 1 ) dan untuk y adalah nP 2 (1 P 2 ) .
B. DISTRIBUSI POISSON
Fungsi distribusi poisson
x e , x 0,1,2,... f x x! 0 , untuk x lainnya 1. Pembuktian PMF
Syarat PMF : 1) f x 0
x 0,1,2,.... x! 0 0 Sehingga
x e x!
0
2
2
2)
f x 1 e x! 1 n
x
m
x 0
x
e
e
e m
1
2
n
x!
e
x
n
x!
x
0
3
n
x! 0! 1! 2! 3! ..... n!
x 0 n
x 0
x 0
e m e m e m m e0 1
2
1 n
x
x 0
x!
nilai ,
2!
3
3!
....
n n!
em
2. Rata-rata distribusi poisson
E X n
x f x x 0 n
x f x x 0
n
x
x
e
x!
x 0
n
x x 0
x x 1!
x 11e
n
x 1!
x 0
x 0
n
x 0 n
x 0
1
x
x 1!
x 0
e
x e
n
n
e x 1!
x 1
Misalkan :
y x 1
x 1 e
x 1! y
e
y!
Karena
n
x e
x 0
x!
1 maka
n
y e
x 0
y!
1
3. Varian distribusi poisson
x2
E X 2 E X 2
E X X 1 E X
E X 2
E X X 1
n
x x 1 f x x 0 n
e
x 0
x!
x x 1
x
x e
n
x x 1 x 0 n
x 0 n
x e
x 2!
x 2 2
e
x 2!
x 0 n
x x 1 x 2!
x 2 2 e
x 2!
x 0
n
2
x 0
x 2 e
x 2!
n
y e
x 0
y!
2
2 .1 2
x2 x2
Misalkan :
y x 2
n
Karena
x 0
x e
x!
n
y e
x 0
y!
1 maka
E X 2 E X 2
E X X 1 E X E X 2 2 2
2 2 Jadi, rata-rata dari distribusi poisson dan variannya adalah x2
1
4. MGF (Moment Generating Function) dari distribusi poisson
M x t
E e tx n
e tx f x x 0
x e
n
e
tx
x!
x 0
n
e e t x
x!
x 0
e
n
e
t x
x!
x 0
n
e
e e t x
e
e
n
e e t x
t
e t
x!
x 0
e e e
e e
x!
x 0
et
e t
t
e e 1 t
M ' x t
u' v uv' t
0 e e e e t e e e e t e e
t
t
e t e e e e t e e 1 t
M ' x t 0
t
e 0 e e 1 0
1 e 11 e 0 e 0
1 Jadi, rata-rata distribusi poisson dengan menggunakan MGF adalah E X M ' X t 0 .
M ' ' x t
u' v uv' e t e e 1 e t e t e e 1 t
t
e t e e 1 e t
2
t
M ' ' x t 0
e e 1 t
e 0 e e 1 e 0 0
2
e e
0
1
1 e 0 12 e 0
e 0 2 e 0 1 2 1 2 x2
E X 2 E X 2 M ' ' t 0 M ' t 02 2 2
2 2 Jadi, varian dari distribusi poisson dengan menggunakan MGF 2
x
E X 2 E X 2 M ' ' x t 0 M ' X t 02
