DISTRIBUSI MAXWELL-BOLTZMAN Salah satu statistik klasik yang terkenal adalah statistik Maxwell- Boltzmann. Statistik ini memandang enam dimensi pergerakan molekul, yakni tiga dimensi posisi dan tiga dimensi kecepatan. Ruang enam dimensi ini disebut ruang fasa. Ruang fasa masih dibagi lagi ke dalam volume kecil enam dimensi yang disebut sel. Molekul terbagi di dalam sel dan terjadilah distribusi molekul menurut sel. Distribusi jumlah molekul dalam sel tanpa memandang molekul secara individu disebut status makro dari system, sedangkan penentuan molekul tertentu (secara individu) dalam tiap status makro disebut status mikro dari sistem. Jumlah status mikro terhadap status makro tertentu dinamakan probabilitas termodinamik.
A. Distribusi kecepatan dan energy kinetic partikel Gas terdiri dari atom atau molekul. Atom-atom atau molekul tidak benar-benar berinteraksi satu sama lain kecuali melalui tabrakan. Dalam gas nyata ada keseimbangan distribusi kecepatan. Distribusi ini disebut Distribusi Maxwell-Boltzman yang bergantung pada suhu, seperti yang ditunjukkan Gambar 1. Nilai suhu menentukan kurva kecepatan molekul.
Gambar 1. Kecepatan partikel bervariasi dengan suhu mutlak. Namun, distribusi memiliki profil yang sama, distribusi didorong ke kiri dan ke atas sebagai penurunan suhu, dan didorong ke kanan dan ke bawah dengan naiknya suhu.
Hal diatas menunjukkan bahwa energi kinetik rata-rata sebuah atom atau molekul, <1/2 mv2>, berbanding lurus dengan suhu mutlak T. Misalnya, untuk gas monoatomik seperti neon, <1/2 mv2> =3/2 kT, di mana m adalah massa atom dan k adalah konstanta Boltzman. Kuadrat kecepatan rata-rata meningkat dengan kenaikan suhu. Distribusi Maxwell-Boltzman juga dapat digunakan untuk menjelaskan bagaimana hidrogen dan helium dalam atmosfer bumi menghilang dan menunjukkan nitrogen dan oksigen. Untuk gas Meli Muchlian
Distribusi Maxwell-Boltzmann
Page 1
molekul seperti oksigen dan nitrogen yang memiliki dua atom dalam molekul (diatomic) (diatomic), maka terdapat hubungan hubungan. <1/2 2 mv2> = 5/2 kT, Akar kuadrat dari , yang disebut kecepatan root-mean-square (Vrms) merupakan ukuran seberapa cepat atom atau molekul bergerak. bergerak Vrms untuk hidrogen adalah
kali lebih besar dari
atom nitrogen karena massa molekul nitrogen empat belas kali lipat dari hidrogen idrogen. Demikian pula, kecepatan rata-root- square helium adalah
kali lebih besar dibandingkan nitrogen karena massa
sebuah molekul nitrogen adalah tujuh kali atom helium. Nilai Vrms dari hidrogen,, helium, nitrogen, dan oksigen, di atmosfer bumi masing-masing, masing 1,93 km/s, 1,37 km/s, 0,52 km/s, dan 0,48 km/s.
B.
Fungsi Distribusi Maxwell--Boltzman Maxwell dan Boltzman menurunkan suatu persamaan yang menyatakan distribusi partikel di
dalam system yang kemudian dikenal dengan Fungsi Distribusi Maxwell-Boltzman,, yaitu
dimana: •
Ni adalah jumlah partikel dalam keadaan i
•
εi adalah harga kuantum energi (tingkat energ energi) keadaan ke-i
•
gi adalah degenerasi tingkat energi i, jumlah keadaan partikel (tidak termasuk ‘partikel bebas") dengan energi εi
•
µ adalah potensial kimia
•
k adalah konstanta Boltzmann
•
T adalah temperatur absolut
•
N adalah total jumlah partikel
•
Z adalah fungsi partisi
Selain itu fungsi distribusi juga dinyatakan sebagai:
dimana indeks i menentukan keadaan tertentu dari pada himpunan dari semua keadaan dengan energi εi.
Meli Muchlian
Distribusi Maxxwell - Boltzmann
Page 2
Statistik Maxwell-Boltzman Boltzman sering digambarkan sebagai statistik partikel klasik “erbedakan”. Dengan kata lain konfigurasi partikel A dalam keadaan 1 dan partikel B dalam keadaan 2 berbeda dengan kasus di mana partikel B dalam keadaan 1 dan partikel A dalam keadaan 2. Statistik Maxwell-Boltzmann Boltzmann sangat berguna untuk mempelajari gas. gas
C.
Turunan Distribusi Maxwell-Boltzman Maxwell Dalam turunan ini,, distribusi Boltzmann diperoleh dengan menggunakan asumsi partikel
terbedakan, bedakan, meskipun koreksi ad hoc untuk menghitung Boltzmann diabaikan, hasilnya tetap berlaku. Misalkan kita memiliki sejumlah tingkat energi, diberi label indeks i, tiap tingkat memiliki memili energi εii dan berisi total partikel Ni. Awalnya kita mengabaikan masalah degenerasi: mengasumsikan hanya ada satu cara untuk menempatkan partikel Ni ke tingkat energi i. Banyaknya cara berbeda memilih mem satu dari objek N dalam N yang terlihat terlihat. Berbagai cara memilih 2 objek dari objek N, dengan demikian N (N - 1) dan bahwa pemilihan n objek dalam urutan tertentu dipandang N!/(N-n)!. n)!. Jumlah cara memilih 2 objek dari objek N tanpa menggunakan N(N-1) dibagi dengan 2 jumlah cara yaitu 2!. Hal ini dapatt dilihat bahwa jumlah cara memilih n objek dari objek N tanpa memperhatikan urutan dengan koefisien binomial: N!/(N - n)!n!. Jika kita memiliki satu set kotak nomor 1, 2, 3…k 3…k, jumlah cara memilih objek N1 dari objek N dan menempatkan mereka dalam kotak 1, kemudian memilih objek N2 dari sisa objek N-N1 dan menempatkan mereka dalam kotak 2 dan sampai berikutnya adalah:
Jika kotak-ii memiliki "degenerasi" dari gi, yaitu memiliki sub-kotak gi, sehingga cara apapun untuk mengisi kotak-i dalam jumlah sub kotak diubah dengan cara mengisi kotak yang berbeda, maka jumlah cara untuk mengisi kotak-i kotak i harus ditingkatkan dengan banyaknya cara mendistribusikan objek Ni dalam kotak gi. Banyaknya cara menempatkan objek Ni dibedakan dalam kotak gi adalah . Jadi banyaknya cara (W) atom N dapat diatur di tingkat energi i memiliki keadaan gi sehingga tingkat ke-ii memiliki atom Ni adalah:
Untuk menemukan Ni dengan W maksimal, jumlah partikel dan energi haruslah tetap. W Maximum dan ln (W) dicapai oleh nilai Ni yang sama. Dengan engan menggunakan pengali Lagrange maka:
Dengan enggunakan pendekatan Stirling untuk faktorial Meli Muchlian
Distribusi Maxxwell - Boltzmann
Page 3
kita mendapatkan:
Kemudian:
Akhirnya:
Untuk memaksimalkan persamaan di atas kita terapkan teorema Fermat (titik stasioner), sesuai dengan yang ekstrim lokal:
Dengan menyelesaikan persamaan di atas (
) kita sampai ke sebuah persamaan untuk Ni:
Secara termodinamika bahwa β = 1/kT mana k adalah konstanta Boltzmann dan T adalah temperatur, dan bahwa α = -µ/kT /kT mana µ adalah potensial kimia, sehingga akhirnya:
kadang-kadang ditulis:
dimana z = exp (µ / kT) adalah mutlak. Cara lainnya,
untuk mendapatkan jumlah populasi
dimana Z adalah fungsi partisi yang didefinisikan oleh:
Meli Muchlian
Distribusi Maxxwell - Boltzmann
Page 4
