Estadística Aplicada
Profesora: Carolina Palma Aldunce Distribuciones de Probabilidad
Distribución Normal U n a v a r i a b l e a l e a t o r i a c o n t i n u a , X , X , s i g u e u n a d i s t r i b u c i ó n n o r m a l d e m e d i a μ y d e s v i a c i ó n t í p i c a σ , y s e d e s i g n a p o r N ( μ , σ ) , s i s e c u m p l e n l a s s i g u i e n t e s c o n d i c i o n e s : 1. La variable puede tomar cualquier valor: (- ∞, +∞) 2. La función de densidad, es la expresión en términos de ecuación matemática de la curva de Gauss:
Curva de la distribución normal
El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (- ∞, +∞). Es simétrica respecto a la media µ. Tiene un máximo en la media µ, es decir, crece hasta la media µ y decrece a partir de ella. En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión.
El eje de abscisas es una asíntota de la curva. E l á r e a d e l r e c i n t o d e t e r m i n a d o p o r l a f u n c i ó n y e l e j e d e a b s c i s a s e s i g u a l a l a u n i d a d . A l s e r s i m é t r i c a a r e s p e c t o a l e j e q u e p a s a p o r x = µ , d e j a u n á r e a i g u a l a 0 . 5 a l a izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha . La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva. N(0, 1) La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el valor cero, μ = 0 , y por desviación típica la unidad, σ =1 . Su gráfica es:
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La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en l a f i g u r a. Y p a r a c a l c u l a r l a u t i l i z a r e m o s u n a t a b l a . Tipificación de la variable P a r a p o d e r u t i l i z a r l a t a b l a t e n e m o s q u e t r a n s f o r m a r l a v a r i a b l e X q u e s i g u e u n a d i s t r i b u c i ó n N ( μ , σ ) e n o t r a v a r i a b l e Z q u e s i g a u n a d i s t r i b u c i ó n N ( 0 , 1 ) .
Tabla de la curva normal (0, 1) L a t a b l a n o s d a l a s p r o b a b i l i d a d e s d e P ( z ≤ k ) , s i e n d o z l a v a r i a b l e t i p i f i c a d a . Búsqueda en la tabla de valor de k U n i d a d e s y d é c i m a s e n l a c o l u m n a d e l a i z q u i e r d a . C é n t e s i m a s e n l a f i l a d e a r r i b a . P(Z ≤ a)
P(Z ≤ 1.47) = 0.9292
P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a)
P (Z < -1.47) = 1 − P(Z ≤ 1.47)=1 − 0.9292 = 0.0708
P(a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a)
P(0.45
P(Z > a) = 1 - P(Z ≤ a)
P (Z > 1.47) = 1 − P(Z ≤ 1.47)=1 − 0.9292 = 0.0708
P(Z > −a) = P(Z ≤ a)
p(Z > -1.47) = p(Z ≤ 1.47) = 0.9292
P(−b < Z ≤ −a ) = P(a < Z ≤ b )
P(−1.47
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Ejemplos 1. En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°. 2. La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan: a) Entre 60 kg y 75 kg. b) Menos de 64 kg. 3. Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y varianza 36. Se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72? b) Calcular la proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo menos en cinco puntos de la puntuación que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos el 25% de los estudiantes que obtuvieron las puntuaciones más bajas). 4. Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución una distribución N(65, 18). Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un 20% la población, un 65% el segundo y un 15% en el tercero. ¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro? 5. Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica 15 a) Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110 R: 37,79% b) ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población? R: [90, 110] c) En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se esperan que tengan un coeficiente superior a 125? R: 119 individuos Ejercicios Propuestos: 1- Se estima que la cantidad de refresco que sirve una maquina es una variable aleatoria distribuida normalmente con media =50 cc. Y desviación estándar = 10 cc. Determine: 1.1 La probabilidad de que un vaso de refresco contenga entre 45 cc. y 53 cc. R: l0,3094 1.2 Cuál es la cantidad de refresco servido correspondiente a no más del 10% de los vasos con mayor cantidad de refresco servido. R: 62,8cc. 1.3 El porcentaje de los vasos de refresco servidos que contienen a lo más 52 cc. R: 57,93% 2-
El monto de las cuentas por cobrar en una gran tienda comercial se estima que se distribuye normalmente con media = 4 millones $ y una desviación estándar de = 0.04 millones de $.
2.1 Cuál es la probabilidad de que los montos de las cuentas se encuentren entre 3.9 millones de $ y 4.1 millones de $. 2.2 Determine el monto de las cuentas correspondientes a no más del 30% de las mayores cuentas por cobrar.
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3- En cierta empresa el número de horas semanales que se pierden semanalmente por enfermedad es una variable aleatoria x que se distribuye normalmente con media = 60 horas y = 15 horas. 3.1 Determine la probabilidad de que en una semana se pierda más de 30 horas. 3.2 Que porcentaje de las veces se pierden entre 45 y 62 horas semanalmente. 3.3 Determine la probabilidad de que en una semana se pierdan menos de 35 horas 3.4 Determine el número de horas que se pierden semanalmente por enfermedad si corresponden a no más del 90% de los mayores valores. 3.5 Si la pérdida económica para la empresa por esta causa está dada por P=$60.000+$5.000X, determine: i) El porcentaje de las veces que está pérdida económica sea superior a $310.000.ii) La pérdida esperada por la empresa y su desviación estándar 3.6 Que porcentaje de las veces el número de horas semanales que se pierden por enfermedad 4- El monto de las cuentas por cobrar en una gran tienda comercial se estima que se distribuye normalmente con media µ= 60 millones de $ y desviación estándar = 4 millones de $. 4.1 ¿Cuál es la probabilidad de que los montos de las cuentas se encuentren entre 59 millones de $ y 61 millones de $? 4.2 Determine el monto de las cuentas correspondientes a no más del 30% de las mayores cuentas por cobrar. 4.3 Si el costo asociado al cobro de las cuentas está dado por la siguiente función C = $ 25.000. + $0,02X. Determine: i) la probabilidad de que el cobro se encuentre entre $1.215.000 y $1.265.000 ii) Cuál es el costo esperado y su desviación estándar. 5- Un especialista en prevención de Riesgo contratado por el departamento de RRHH de una empresa, ha realizado un estudio para medir el nivel de estrés de los trabajadores de un call-center, entre las variables utilizadas se midió el nivel de ansiedad de este grupo de trabajadores que llevaban más de dos años trabajando en forma continua (mínimo 0 puntos y máximo 10 puntos), estimando que el comportamiento sigue un modelo normal con media 7,5 puntos y desviación estándar de 1,2 puntos. De acuerdo a esta información se pide: 5.1 Determine el porcentaje de estos trabajadores que tienen entre 6,2 y 8,1 puntos. 5.2 ¿Cuál es el puntaje mínimo correspondiente a no más de 10% de los mayores puntajes? 6- Una empresa fiscalizadora, preocupada del medio ambiente, realizo un análisis en industrias con chimeneas, para ello midió la variables aleatoria X=” Cantidad de contaminantes que emiten estas chimeneas en industrias (ppm)”, estimando que se aproxima a una distribución normal con desviación estándar de 50 ppm. Si se sabe que 15,87% de las veces estas chimeneas emiten menos de 200 ppm, Se pide: 6.1 ¿Cuál es el nivel esperado de contaminantes en estas chimeneas? 6.2 ¿Qué porcentaje de las veces emiten menos de 200 ppm si se sabe que siempre las emisiones superan los 150 ppm. 6.3 ¿Cuál es el nivel máximo de contaminantes correspondiente a no más del 95% de los menores valores? 7- El diámetro de un cierto tipo de rodamientos sigue una distribución normal con valor esperado de 1 cm. Si se sabe que un tercio de los rodamientos tiene un diámetro superior a 1,1 cm., calcule: 7.1. La desviación estándar. 7.2. El porcentaje de rodamientos que tienen un diámetro que no difiere en más de 0,2 cm. de su valor esperado. 7.3. El diámetro que es superado por el 75% de los rodamientos. 7.4. El 10% de los rodamientos son rechazados por estar debajo de la medida permitida. ¿Cuál debe ser el menor valor del diámetro de un rodamiento para no ser rechazado?
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