Dissertação - Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado Reforçadas Com Chapas Coldas Com Resina Epóxi - Sebastião S. Da Silveira - Universidade Federal Fluminense - 1997

SEBASTIÃO SILVA DA SILVEIRA

DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO REFORÇADAS COM CHAPAS COLADAS COM RESINA EPOXI.

DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO REFORÇADAS COM CHAPAS COLADAS COM RESINA EPOXI. Dissertação apresentada ao Curso de PósGraduação em Engenharia Civil da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para obtenção do Grau de Mestre. Área de Concentração: Engenharia Civil. Aprovada em maio de 1997

BANCA EXAMINADORA

_________________________________________________________________________ Prof. Dr. Vicente Custódio Moreira de Souza - Orientador

DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO REFORÇADAS COM CHAPAS COLADAS COM RESINA EPOXI. Dissertação apresentada ao Curso de PósGraduação em Engenharia Civil da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para obtenção do Grau de Mestre. Área de Concentração: Engenharia Civil. Aprovada em maio de 1997

BANCA EXAMINADORA

_________________________________________________________________________ Prof. Dr. Vicente Custódio Moreira de Souza - Orientador

AGRADECIMENTOS

À minha esposa Áurea pela compreensão, incentivo e por ceder boa parte de nosso tempo para esta realização.

Ao Prof. Vicente pela orientação dada e pela sua paciência.

RESUMO A Engenharia Civil encontra-se hoje em dia frente a um problema de redução de custos e gastos em geral. Apesar das antiquadas técnicas de construção ainda utilizadas, percebe-se uma conscientização com relação a quão caro fica refazer trabalhos ou reconstruir estruturas, devendo-se a isto o grande desenvolvimento na área da recuperação estrutural. Recuperar estruturas tornou-se viável graças à redução dos preços dos materiais utilizados e à disponibilidade e variedade das técnicas existentes. Uma destas técnicas disponíveis é o reforço de estruturas pela a colagem de chapas com resina epoxi. Estas chapas podem ser de aço ou, mais recentemente estudadas, de material plástico reforçado com fibras (FRP). A resina epoxi permite a compatibilidade das deformações e tensões de aderência altas, compatíveis com as existentes em armaduras

ABSTRACT Nowadays the principal objective in Civil Engineering is the cost reduction. Demolition and rebuilding of structures are recognized as expensive activities although old building techniques are still in use. Structural assessment area developed in last years based on the reduction of material’s cost and disponibility and variety of the existant strengthening and recovering techniques. Plate bonding structures strengthening is one of the avaible techniques. Using steel plates, or, more recently, fiber reinforced plastic [FRP] plates, and epoxi glue to fix them to beams’ bottom or upper face, a strain compatibility and high bonding stresses are garanteed, similary to those found between steel bars and concrete in common reinforced concrete structures. Plate bonding is widely used in Europe for strengthening

SUMÁRIO

página

RESUMO.........................................................................................................

5

ABSTRACT......................................................................................................

6

1

INTRODUÇÃO..................................................................................................

10

2

PRÁTICA DO REFORÇO COM CHAPAS COLADAS................................................

14

3

ESTADO DA ARTE DO REFORÇO COM CHAPAS COLADAS 3.1

Histórico.................................................................................................

18

3.2

O estudo feito por J. Bresson.................................................................

20

3.3

O estudo feito por F. Cánovas................................................................

22

3.4

O estudo feito por Van Gemert..............................................................

24

3.5

O estudo feito por Y. N. Ziraba e M. Hussain.......................................

29

3.6

O estudo feito por D. J. Oehlers.............................................................

37

7.2

Exemplo 2...........................................................................................

83

7.3

Exemplo 3...........................................................................................

85

7.4

Exemplo 4...........................................................................................

86

7.5

Análise dos Resultados........................................................................

88

9

1. INTRODUÇÃO

As estruturas em geral estão expostas à agressividade do meio. Esta agressividade pode ser bem pequena, como no caso de estruturas revestidas e internas às edificações, ou bem intensa, como no caso de estruturas expostas ao ar marinho ou a

10 estrutura. Em todos os casos devem ser utilizadas técnicas especiais de recuperação e reforço. No caso do concreto armado, geralmente a deterioração do material começa pela corrosão das armaduras, que reduz sua capacidade resistente, aumenta as deformações, e causa a ruptura dos cobrimentos por aumento de volume da barra corroída. Isto implica em reposição da armadura deteriorada e recuperação da geometria da peça. Nos casos de reforço [aumento da capacidade resistente ou redução de deformações], uma área de armadura deve ser acrescida à existente. Este acréscimo acarreta em deslocamento da linha neutra e aumento da região comprimida do concreto, alterando o comportamento elástico da peça e seu estado tensional. Existem várias formas de se repor ou aumentar a seção de armadura de concreto armado. No caso de peças fletidas, esta reposição pode ser feita por concreto

11

As maiores vantagens do reforço com chapas coladas estão na rapidez da execução e na pouca interferência que sua execução tem no uso da estrutura, podendo-se até evitar escoramentos no caso de estruturas em que o carregamento preponderante é a

ancoragem cabo

desviador

(a)

12 carga móvel, como nas pontes e viadutos. No caso de edificações, o escoramento mantémse necessário devido à proporção do peso próprio em relação à sobrecarga. O simples descarregamento [eliminação das sobrecargas] não é suficiente para que, ao recarregar a estrutura, o reforço entre em carga, exigindo que o peso próprio seja aliviado parcial ou totalmente através do escoramento da peça. O reforço pouco influencia no peso próprio da estrutura e na sua distribuição dos esforços. O reforço com chapas coladas possui um grande potencial de desenvolvimento depois da possibilidade do uso de materiais plásticos ao invés de aço. Este trabalho dedica-se ao dimensionamento de reforços de peças fletidas através de colagem de chapas metálicas com resina epoxídica. Apesar da técnica já ser utilizada no Brasil, poucos são os trabalhos apresentados a respeito, tornando evidente a necessidade de padronizar-se os projetos, conhecer o comportamento das peças reforçadas

13

2. PRÁTICA DO REFORÇO COM CHAPAS COLADAS

O reforço por colagem de chapas metálicas coladas com resinas epoxi consiste em fixar chapas nas faces tracionadas das peças de forma que se possa aumentar o valor da carga máxima a ser aplicada sobre a peça. Tal necessidade pode decorrer de uma

14 100

) m / m m ( o ã ç a m r o f e d

10

1

0.1 1

10

100

1000

10000

tempo (dias)

Figura 2.1: Curva tempo-deformação de uma formulação típica conforme [7]. As chapas metálicas são coladas na face inferior para vigas sujeitas a momento positivo e na face superior para seções sujeitas a momentos negativos. A força atuante na chapa de reforço é transmitida através da camada de cola. Esta transmissão é

15 100 ) N k (

A M I T L Ú A G R A C

80 60

Carga Últ. Exp. Carga Últ. Teor.

40 20 0 1

1,5

2

2,5

3

ESPESSURA DA CHAPA (mm)

Figura 2.2: Influência da espessura da chapa de reforço segundo Hussain [11] Ao efetuar-se a colagem do reforço, deve-se garantir que todas as duas

(a)

(b)

16

) a P M ( O Ã Ç A R T À A I C N Ê T S I S E R

45

30

15

0 0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

ESPESSURA DO ADESIVO (mm)

Figura 2.4 Influência da espessura da camada de adesivo epóxi na resistência à tração em ligação entre chapas metálicas [7]. A aderência entre os dois meios pode ser majorada aumentando-se a aspereza das duas superfícies. Para o concreto nomalmente faz-se um apicoamento da

17

3. ESTADO DA ARTE DO REFORÇO COM CHAPAS COLADAS

3.1. Histórico

18 No Brasil, poucos são os trabalhos realizados e divulgados. Dentre os mais importantes pode-se citar o de J. L. Campagnolo e sua equipe na Universidade Federal do Rio Grande do Sul e os do prof. Ibrahim Shehata na COPPE da Universidade Federal do Rio de Janeiro. Aqui, a prática tem antecipado-se à teoria, com obras já realizadas baseadas em estudos feitos em outros países ou mesmo em dados empíricos. Em particular na área do dimensionamento dos reforços, não conta-se com nenhum tipo de orientação normalizada ou pelo menos padronizada, ao passo que países como Austrália, Bélgica, Inglaterra e África do Sul já possuem definidas em normas as orientações específicas para este tipo de reforço, permitindo assim uma padronização das execuções das obras e um nível satisfatório de qualidade. As pesquisas mais recentes orientam-se para o estudo particular da aderência chapa-cola e cola-concreto, em especial à redução da resistência devido ao

19

3.2. O Estudo Feito por J. Bresson:

O francês J. Bresson, em seu trabalho apresentado ao ITBTP ( Institut Technique du Bâtiment et des Travaux Publics )

em 1971 [3], analisa o comportamento de

uma viga reforçada à flexão com chapas coladas tendo como considerações iniciais para o problema os seguintes itens, que também foram assumidos por vários outros pesquisadores: 1.os materiais são linearmente elásticos; 2.o concreto não tem resistência à tração; 3.as seções se mantêm planas após a deformação;

20

A viga inicialmente não reforçada está completamente descarregada, estando sujeita somente às cargas permanentes, ou seja, na seção dimensionante está aplicado um momento fletor de valor Mp. O concreto encontra-se sob uma tensão de valor σc1, e o aço interno sob uma tensão σa1. Sob este estado tensional é efetuada a colagem da

chapa. Após o reforço, a viga é sujeita às sobrecargas e na seção dimensionante há um acréscimo no momento fletor de valor M s, o que causará um acréscimo de tensão no concreto de valor σc2 , no aço, σa2 ,e na armadura de reforço, de σaR. Na figura 3.1 tem-se: n - relação entre os módulos de elasticidade do concreto e do aço; Z1 - braço de alavanca da armadura interna em relação à fibra mais comprimida;

21 σ a1 + σ a 2 ≤ σ a

(eq. 3.3)

σ aR ≤ σ aR

A obtenção da espessura da chapa é feita por equilíbrio de momentos em relação à fibra mais comprimida: −(σ c1 + σ c2 ) ×

A R =

a

2

×

a

3

+

(σ a1 + σ a 2 ) n

× A × n × Z 1 +

σ aR n

(

)

A R × n × Z2 − M p + M s =

2   a × ( M p + M s ) + (σ c1 + σ c 2 ) × − (σ a1 + σ a 2 ) × A × Z 1 × Z 2  6 

1 σ AR

0 (eq. 3.4)

(eq. 3.5)

sendo: A R = bR × eR

(eq. 3.6)

tem-se: 1



a2



22

3.3. O Estudo Feito por F. Cánovas:

Assim como J. Bresson, F. Cánovas considera dois momentos atuantes M p e Ms, e faz a superposição dos diagramas correspondentes a este momentos. No entanto, Cánovas faz superposição de diagramas de deformação ao invés de tensão. Além disto, a seção, após a atuação do momento M s, está em um estado limite último, ou seja, Cánovas faz o dimensionamento no Estádio III. Cánovas, em seu livro

“Patologia e Terapia do Concreto Armado” [7],

considera os estados tensionais mostrados na figura 3.2 para a seção dimensionante da viga

23 A tensão na armadura existente quando da execução do reforço [diagrama para momento Mp] pode ser obtida através da equação: σ sp =

M p Z1 × A

(eq. 3.11)

,

onde Z 1 é o braço de alavanca da armadura interna em relação ao ponto de aplicação da força no concreto comprimido. Sendo o momento fletor M p+Ms um momento que leva a um estado limite último e considerando-se que a viga continuará sub-armada após o reforço, a tensão máxima na armadura de reforço deve ser : σ srs =

f yk

γ s

− σ sp ≤

f yrk

γ s

(e . 3. 3.12)

Para o diagrama devido ao momento M s tem-se como equação de equilíbrio de momentos

24

O belga Van Gemert[22] propõe, para o dimensionamento de vigas reforçadas por chapas coladas, a utilização do Estádio II, assim como Bresson. Contudo, há algumas particularidades a serem destacadas. No estudo feito por Bresson percebe-se que é desprezada a variação da posição da linha neutra. Tal fato é corrigido por Van Gemert. E mais, ele sugere que, devido a esta variação da posição da linha l inha neutra, regiões que outrora estavam tracionadas, ou melhor, fissuradas, se desprezar-se a resistência à tração do concreto, passam a ficar comprimidas. Segundo Van Gemert, havendo um acréscimo de armadura demonstra-se que a linha neutra sofrerá um deslocamento na direção da armadura adicional. Assim, as regiões abaixo da antiga posição da L.N. sofreriam uma perda da energia de deformação armazenada até então para que as fissuras abertas

25 da viga, o concreto fissura na região tracionada e a tensão atuante no concreto é σ cM R . Para efetuar-se o reforço, alivia-se a viga até que o momento na seção dimensionante atinja o valor M0, denominado por Van Gemert como momento de descarregamento [diagrama 3 da fig. 3.3]. Após o reforço, a viga poderá ter o seu momento admissível elevado até o valor MREF. Este momento também faz com que um dos materiais atinja a sua tensão admissível. Se o momento MREF tivesse sido aplicado a uma viga completamente descarregada, ou seja, momento atuante nulo, o diagrama de tensões seria como o diagrama 4 da figura 3.3, e sua linha neutra estaria posicionada a α1d da fibra mais comprimida. Esta posição da L.N. na viga antes do reforço é α0d. Segundo Van Gemert, a posição da L.N. para a viga após o reforço é uma posição intermediária entre estes dois

26 



M REF = σ c1α 0 d  hT − 





+ σ c1 (α REF − α 0 )



+ A' s ( n − 1)

σ 's n

α 0 d  α 0 d    + (σ c − σ c1 )  hT −  b+ 2  2  3  

α 0 d 

d  d     h d − α + α − α ( ) REF 0   b + 2 T  0 3



(hT − d ') −



σ s n



(eq. 3.15)

d 1 As n

Pode-se definir relações a partir da seção típica da viga reforçada (fig. 3.31): hT = d + d 1

(eq. 3.16)

As = ρ bd

(eq. 3.17)

A' s = ρ ' bd ,

onde:

(e . 3.18)

27  d      d 1  1 α − α + 1 ( )      1 + 0 REF    d σ d   0 1 d σ s,REF = n − 1 σ c − c  + 1 + − α 0    (eq. 3.21)  d     α REF  α 0  α REF        

Os valores referentes ao estado tensional no descarregamento podem ser obtidos pela teoria do concreto armado no Estádio II, conforme ver-se-á no capítulo seguinte, e o momento admissível após o reforço MREF também é conhecido. Assim, após substituição das expressões (3.16) a (3.21) na equação (3.15), chega-se à expressão: 2

M REF =

bd α 0

α REF

σ c [ X ] +

2 bd (α REF − α 0 )α 0

α REF

σ c0 [Y ]

(eq. 3.22)

28 σ s ≤ σ sR

(eq. 3.25)

σ ' s ≤ σ ' sR

(eq. 3.26)

σ s, REF ≤ σ s ,REFR

(eq. 3.27)

σ c ≤ σ cR ,

(eq. 3.28)

atribui-se um valor inicial para σc e calcula-se, a partir das equações (3.22), (3.23) e (3.24) o valor de αREF. Das equações (3.19), (3.20) e (3.21) obtém-se as tensões nas armaduras. Após a comparação com as tensões admissíveis [equações (3.25), (3.26), (3.27) e (3.28)], se alguma das tensões admissíveis for ultrapassada, calcula-se um novo valor para σc a partir da primeira equação da tensão da armadura [equações (3.19) a (3.21)] que ultrapassou a tensão admissível, adotando-se a tensão na respectiva armadura como igual à admissível na seqüência das equações (3.25) a (3.28) apresentada, desde que a tensão

29 Na King Fahd University, na Arábia Saudita, um grupo de trabalho tem dedicado-se exclusivamente ao estudo de estruturas reforçadas com chapas coladas, sendo responsável pelos estudos mais atualizados na área [10]-[11]. Ziraba [23], em seu artigo, apresenta um procedimento para dimensionamento de vigas reforçadas com chapas coladas baseado nos estados limites últimos observados em ensaios realizados e em modelagens numéricas utilizando elementos finitos não-lineares. Estes estados limites últimos foram inicialmente observados por Swamy e Jones [18] e são: • ruptura por flexão; • ruptura por cisalhamento; • ruptura por descolamento da chapa; • ruptura por arrancamento do concreto de cobrimento.

Os dois primeiros são os modos de ruptura comuns do concreto armado. A

30

fissura crítica de cisalhamento

P/2

chapa

cola região de descolamento fissura horizontal no nível da armadura interna

P/2 fissura crítica de cisalhamento

chapa

cola região de ruptura do

31 tensões cisalhantes nas interfaces concreto-resina e aço-resina. A aderência entre a resina epoxídica e o concreto é a mais fraca, o que normalmente faz com que a ruptura por descolamento se dê na sua interface. Hussain[11] realizou vários ensaios identificando os modos de ruptura, variando as espessuras das chapas e utilizando ancoragens extras com chumbadores, conforme mostra a tabela 3.1. Tabela 3.1 - Resumo dos resultados obtidos por M. Hussain em [11] Viga

FRB1 FRB2 FRB3 FRB4 FRB5 FRB6 FRB7

Espessura Tem Carga Chapa Chumb. Ruptura (mm) Exp. (kN) 54,00   1,00 Não 69,54 1,50 Não 75,00 1,50 Sim 77,86 2,00 Não 60,00 2,00 Sim 66,00 3,00 Não 58,00

Carga Ruptura Teórica (kN) 52,23 69,00 76,50 76,50 83,80 83,80 98,00

Módulo Tensões Máximas nas de Dureza Interfaces (kPa) Modos de Ruptura (kN.mm) Tensão Tensão de Cisalh. Descol. 954 Flexão   872 5,43 1,27 Flexão 325 6,15 1,59 Flexão / Cisalhament 734 Flexão / Cisalhament   178 4,79 1,34 Ruptura Cobrimento 633 Fissuras Diagonais   102 4,55 1,40 Ruptura Cobrimento

32 O dimensionamento da chapa é feito através do equilíbrio de momentos em relação ao ponto de aplicação da resultante do bloco de tensões no concreto no estado limite último de ruptura, conforme a figura 3.5, o que resulta em  

Ts × hs −

a



a

M

+ Tp × hp −  = u  2 2 φ 

(e . 3.30)

onde: T s = As f ys, força na armadura interna; T p = b pd p f yp, força na armadura de reforço; M u - Momento atuante último de cálculo. hs - distância da borda mais comprimida ao centróide da armadura interna; h p

=

hc+d c+d p /2 -

armadura de reforço;

distância da borda mais comprimida ao centróide da

33 A1 =

b p f yp 

2

bp f yp  1 −  , f c,bc   085

(eq. 3.33)



As f ys 



, f c,bc  085

A2 = b p f yp  hc + d c −



A3 = As f ys  hs −



As f ys 



(eq. 3.34)

M

(eq. 3.35)

u  − φ , f c,bc  170

Solucionando-se a equação (3.32), encontra-se a expressão da espessura da chapa de reforço, d p =

− A2 +

A22 − 4 A1 A3

2 A1

≤ t pb

(eq. 3.36)

A espessura da chapa é limitada pelo valor t pb ,que é a espessura da chapa de reforço da seção balanceada, isto é, a espessura máxima para que a viga tenha uma ruptura

34 valores teóricos obtidos de uma modelagem com elementos finitos não-lineares, mostrou que esta interface pode ser caracterizada por um critério de ruptura Mohr-Coulomb clássico da forma τ 0 + σ 0tgφ ≤ call ,

(e . 3.37)

onde call é coeficiente admissível de coesão da interface concreto-resina-aço, cujo valor fica no intervalo de 4,80 MPa a 9,50 MPa. O valor de σ0 fica limitado em aproximadamente 4 MPa, de acordo com os resultados experimentais, e o ângulo de atrito é de 28o. A tensão máxima de cisalhamento é obtida pela expressão 5  4 , C 1 V

τ 0 = α1 f t 



onde

R 0  f c , 

,

(e . 3.38)

35 I

- momento de inércia da seção fissurada equivalente em relação à linha

neutra; h - posição da linha neutra da seção fissurada; K s = Gc

bc d c

Gc, bc, d c -

- rigidez ao cortante da camada de cola; módulo cisalhante [da ordem de 6 GPa], largura e espessura da

camada de cola. A tensão de descolamento [“ peeling stresses”] máxima pode ser calculada pela equação σ 0 = α 2 C R 2 0 ,

(eq. 3.40)

onde α2 = 1,10, valor empírico proveniente da regressão da curva de resultados

36 Por limitação da validade do estudo paramétrico, a distância máxima entre o fim da chapa e o apoio deve satisfazer a condição amax hc

(eq. 3.44)

≤ 3 ,0

onde: amax - é a máxima

distância do centro do apoio à extremidade da chapa.

O cálculo da capacidade resistente ao cisalhamento da viga reforçada é feita multiplicando-se um coeficiente coeficiente pela parcela referente aos estribos, sendo este coeficiente coeficiente função das constantes características C R1 e C R2 da seção reforçada, conforme vê-se nas equações (eq. 3.45)

Vup = (Vc + kVs )

1

(

)

37

3.6. O Estudo Feito por D. J. Oehlers

O estudo feito por D. J. Oehlers [14] e por ele e J. P. Moran [13] na University of Adelaide na

Austrália partem das observações feitas nos trabalhos do inglês

Swamy sobre as formas de ruptura de vigas reforçadas com chapas coladas já apresentadas no item anterior. No entanto, Oehlers classifica as formas de descolamento da placa de uma outra maneira: o descolamento ocorrido por deslizamento, ou seja, por esgotamento da resistência aderente entre a cola e o concreto, é denominado por ele como descolamento

38 A

B

viga de concreto

Fa

k1t

Fa

Fc

k3t

Fc Pa

Mc

Pa

t/2 t/2

chapa

B

A

Figura 3.6: Diagrama de forças de descolamento devidas ao momento fletor. As concentrações de tensão ocorridas nas extremidades da chapa de reforço

39

a

Distribuição de tensões de descolamento: axial curvatura

4t

c

( t e n s ã o )

2t k4t Distância do fim da chapa

k2t

( c o m p r e s s ã o )

Figura 3.7: Distribuição das tensões de descolamento axiais e de curvatura na extremidade do reforço segundo Oehlers[13].

40 bp - largura da chapa. sa - desvio padrão da tensão de descolamento na região k2t da fig. 3.7. f a - tensão de descolamento normal.

daí: f a =

E sε a

2sa k1k 2

(eq. 3.53)

tomando: k a =

1 2sa k1k 2

(eq. 3.54)

chega-se a: f a = Esε a k a

(eq. 3.55)

Para o cálculo da tensão de descolamento relativa à curvatura, parte-se da

41 φ=

M p

( EI )b

(eq. 3.60)

onde: M p - é o momento de descolamento; (EI)b - é a rigidez à flexão da viga.

daí: M p =

( EI )b f t kc Est + ka Esh

(eq. 3.61)

Oehlers, a partir de um modelo isotrópico em elementos finitos chegou a valores de k c e k a igual a 0,7, sugerindo que a parcela devido à deformação normal seria a que prevalesceria. No entanto, ao comparar com os resultados experimentais, Oehlers observou que não ocorre desta maneira. Reordenando a eq. 3.61 chegou à equação de uma

42 Anlisando os resultados experimentais, Oehlers estudou também a influência do esforço cortante na região do final da chapa. Plotando as relações entre momentos e cortantes atuantes e resistentes na seção do final da chapa de reforço, chegou a um critério de ruptura que ficou sintetizado pela equação: M p M up

+

V p V uc

≤ 117 ,

(eq. 3.64)

onde: M p, V p - são os valores atuantes na seção do final da chapa; M up - momento último de descolamento; V uc - é o cortante último para vigas sem armadura de cisalhamento.

Não podendo os valores atuantes serem maiores que seus respectivos valores últimos e sendo o valor do momento atuante descontado do valor do momento

43

Na Universidade Federal do Rio Grande do Sul, J. L. Campagnolo começou sua pesquisa pelo estudo das resinas epoxi classificando-as e indicando as mais apropriadas para o uso em reforço com colagem de chapas e obtendo suas propriedades físicas. Em seu artigo apresentado na 35a reunião do IBRACON [6], ele propõe equações para o cálculo do comprimento de ancoragem da chapa de reforço e consequentemente de sua seção. Campagnolo considera uma seção de uma viga reforçada a uma distância da extremidade da chapa tal que o esforço resistido pela chapa já possa ter sido completamente transferido. Esta seção está submetida a um momento fletor e está funcionando sob o estádio II, conforme a figura 3.8. A equação da tensão de tração atuante é: σ ch =

E sch M E c I x

( d ch − x)

(eq. 3.65)

44 A inércia da seção é dada pela expressão: I x =

bwx 3

3

+

E s E c

2

As ( d − x) +

E s E c

(

)

,

As x − d ,

2

+

E sch E c

Asch ( d ch − x)

2

(eq. 3.67)

E a posição da linha neutra pela expressão:

x =

[(

] [(

)

− As + As , Es + AschEsch +

2

]

)

,

[ (

)

,

As + As Es + AschEsch + 2Ecbw Es Asd − As + Esch Aschd ch

] (eq. 3.68)

Ecbw

Substituindo as equações (3.67) e (3.68) na equação (3.66) chega-se a uma expressão da área de reforço necessária.

x

d’

As’ L

N

d

45 f ych - é a tensão de scoamento do aço de reforço;

τb - é a tensão de aderência, que Campagnolo propõe seja igual ao valor

proposto na norma brasileira NBR-6118: τ b = 0 ,28 f cj

(eq. 3.70)

46

4. TEORIA DO CONCRETO ARMADO NO ESTÁDIO II

4.1. Considerações Gerais

47 comprimida, fazendo com a linha neutra desloque-se em direção à fibra mais comprimida. As tensões no concreto comprimido não têm mais comportamento linear, visto que as deformações já se situam no trecho não-linear da curva tensão-deformação do concreto e as tensões nas armaduras já terão ultrapassado a tensão de escoamento. Estas são as principais características do Estádio III, que define um estado limite último de ruptura. A

A σcI

σcII

σsI / n

σsII / n

0.85 f cd

f yd / n

48 Resumindo-se então as características do Estádio II e as hipótese básicas do concreto armado que são consideradas neste trabalho, tem-se: 1.concreto fissurado na região abaixo da linha neutra (hipótese de Mörsh); 2.as seções mantêm-se planas após as deformações (hipótese de Bernoulli); 3.os materiais têm comportamento linear; 4.a estrutura está sujeita a esforços de utilização (não majoradas); 5.não há escorregamento da armadura.

4.2. Método da Energia Potencial Total Estacionária

49 de materiais linearmente elásticos, a energia de deformação e a energia de deformação complementar se igualam.

σ σi

σ σi

u*

u*

u

u εi

ε

εi

(a)

ε

(b)

Figura 4.2: Curvas tensão-deformação e as energias de deformação, (a) material não-linear; (b) material linear. A energia de deformação por unidade de volume é obtida então por u=

εi

∫ σd ε

(eq. 4.1)

50 onde: Qi - Cada uma das cargas atuantes na estrutura;

δi - Cada um dos deslocamentos correspondentes a cada carga.

A energia potencial total é dada pela soma da energia de deformação e do trabalho realizado pelas cargas externas: P = U + Ω

(eq. 4.6)

Uma estrutura em equilíbrio com n incógnitas, δ1, δ2, δ3, ..., δn, sejam estas deslocamentos, forças, tensões, etc, tem sua energia potencial total dada como n

P =U −

∑1

Qi δi

i=

Derivando em relação a uma das incógnitas

(eq. 4.7)

51

4.3. Vigas de Seção Retangular

Para a dedução das equações para uma viga de seção retangular, ao invés de utilizar-se a estrutura inteira, como normalmente faz-se ao aplicar métodos energéticos de análise, adotar-se-á uma fatia de espessura unitária da viga. Isto é possível porque, estando a viga como um todo em equilíbrio, terá sua energia potencial total minimizada e consequentemente isto será válido para qualquer trecho dela. P

P

52

A σc

αd

A's

B G, σs /n

F

y

C

d h As

σs /n d'

E

D

b Figura 4.4: Seção da viga e seu estado tensional após o carregamento

Sendo os materiais linearmente elásticos, as equações constitutivas dos

53 1 σ2 us = d σ = E s 2 E s

∫

σ

(eq. 4.15)

- parcela relativa à armadura de compressão: , us

1 σ2 d σ = = E s 2 E s

∫

σ

(eq. 4.16)

As integrais ao longo do volume de cada parcela fornecerão as expressões finais 1 σ2 U c = dV = 2 E c

∫

∫

αd

1  σ c  2 y ⋅ 1⋅b ⋅ dy =

  0 2 E c  αd 

2

bσ c

⋅ 2 Ecα 2 d 2

1 σ2 σ 2s U s = dV = ⋅ 1⋅ As 2 E s 2 E s

∫

, U s

=

∫

1 σ2

dV =

σ ,s2

⋅ 1⋅ A ,s

α 3d 3

3

=

bαd 2 σ 6 E c c

(eq. 4.17)

(eq. 4.18)

(eq. 4.19)

54

εc /2 αd

M

M

ϕ

Figura 4.5: Obtenção da curvatura devido ao momento M As expressões finais para a energia de deformação, para o trabalho das cargas externas e para a energia potencial total são: U =

bαd σ 2c

6 E c

σ ,s2 As,

+

2 E s

Ω= −

+

M σ c

E cαd

σ s2 As

2 E s

(eq. 4.22) (eq. 4.23)

55 As = ρbd e

(eq. 4.27)

As′ = ρ′ bd ,

(eq. 4.28)

sendo ρ e ρ’ as taxas de armadura de tração e compressão respectivamente, a equação da energia potencial total ficará da forma 2

P=

σ 2cαbd

6 E c

+

,  α − d  ρ ,( n − 1)bd σ 2c  d  

2α 2 E c

2

σ 2c (1 − α) ρnbd M σ c + − Ecαd 2α 2 E c

(eq. 4.29)

A expressão fica somente em função das duas incógnitas do problema: σc e α. Obtendo as derivadas da expressão da energia potencial total em relação a cada

incógnita, tem-se: 2

∂P σ cαbd = + ∂σ 3 E

,  α − d  ρ ,( n − 1)bd σ c  d  

2

α E

2

+

σ c (1 − α) ρnbd 2

α E

−

M E αd

=0

(eq. 4.30)

56 sendo que o valor com sinal negativo no radical não tem sentido físico, visto que dará sempre um resultado negativo. Sendo assim, a expressão de α é: ,

α = −ρ ( n − 1) − ρn +

(ρ ( n − 1) + ρn) ,

2

+2

d , d

( n − 1)ρ , + 2nρ

(eq. 4.34)

que é a mesma expressão que a obtida por meio das equações de equilíbrio conforme [21].

4.4. Método das Tensões Admissíveis

Este trabalho visa o dimensionamento de vigas reforçadas no estado de

57 Para o dimensionamento das vigas reforçadas necessitar-se-á saber qual material atingirá a tensão admissível primeiro, para isso existem condições com relação à geometria da seção da viga que a leva a esta informação. Sejam as duas hipóteses:

1 - o concreto atinge a tensão admissível; 2 - a armadura de tração atinge a tensão admissível. Nas seções com armadura dupla a hipótese da armadura de compressão atingir a tensão admissível não é considerada, pois o concreto a atinge antes. Para a primeira hipótese, tem-se que: σ c = σ cR

Onde σcR é a tensão admissível do concreto. Substituindo-se a equação (4.35) na equação (4.36).

(eq. 4.35)

58 K =

α 1− α

K R =

(eq. 4.41)

e

σ cR .n σ sR

(eq. 4.42)

Tem-se as duas hipóteses, dependentes das seguintes relações: - para concreto atingindo a tensão admissível:

KR < K;

- para o aço atingindo a tensão admissível: KR > K . Conclui-se então que para a primeira hipótese a equação (4.37) tem que ser satisfeita e a equação (4.35) é válida, obtendo-se a tensão na armadura de tração pela equação (4.36). É a segunda hipótese, a equação (4.40), que deve ser satisfeita, obtendo-se a tensão no concreto a partir da equação (4.36). O momento fletor que leva a viga a satisfazer uma das duas hipóteses pode

59

5. METODOLOGIA PROPOSTA:

Baseado no conhecimento do estado da arte do reforço com chapas coladas adquirido ao longo da pesquisa bibliográfica, propõem-se um procedimento para o dimensionamento da armadura de reforço considerando um cálculo prático e compatível

60 2. A espessura da chapa é desprezível. Estas condições decorrem da boa execução da colagem da chapa. Quanto aos valores das tensões admissíveis, o CEB[8] indica a utilização de um valor de tensão de compressão no concreto na utilização da ordem de 0,4 a 0,6 de f ck dependendo dos efeitos produzidos pela fluência do concreto. Souza [16] sugere a adoção de um valor proporcional a resistência de cálculo dividida por um fator igual ao coeficiente de majoração das cargas. Este valor ficaria entre o valor proposto pela CEB e o prescrito pela antiga NB-1. Farmer e Gee [9] sugerem um valor igual à metade da resistência característica cúbica do concreto, o que resulta num valor numérico próximo a 0,4 f ck . Para as armaduras internas o CEB indica um valor de 0,8 f yk . Souza indica um valor análogo ao do concreto, ou seja, reduzindo o valor da tensão de escoamento de cálculo de um fator igual ao coeficiente de segurança. Na chapa metálica o ASD [ Allowable Stress Design] do

61

Em uma situação típica de reforço a seção está sujeita a um momento M R antes do reforço que leva um dos materiais, ou os dois, a sua tensão admissível. O valor deste momento é obtido pelas equações (4.43) e (4.44) de acordo com os valores de K e K R.. Necessita-se então elevar o valor do momento admissível a um valor M REF tal que:

MREF = k2×MR

(eq. 5.1)

Para isto, descarrega-se a viga até uma determinada fração da carga atuante [às vezes seu peso próprio]. O esforço na seção a ser dimensionada passa então para um valor M0 tal que: M0 = k1×MR

(eq. 5.2)

A este estado tensional correspondente ao momento M 0 denomina-se

62 (eq. 5.6)

∆M = MREF - M0

Aplicado este momento, a tensão do concreto sofrerá um acréscimo de tensão σc1 e as armaduras de compressão e tração, serão acrescidas dos valores σ’s1 e σs1, respectivamente conforme mostra a figura 5.1(c). A armadura de reforço passa a estar sujeita à uma tensão σsREF. As equações das tensões para esta fase são análogas às do capítulo 4, partindo de proporções entre triângulos para obter-se as tensões das armaduras em relação à tensão do concreto. σ s1 =

σ c1 α1

(eq. 5.7)

(1 − α 1 )n

σ c1  d ,  α1 −  n σ s1 = α 1  d  ,

σ 1 

d 1

(eq. 5.8) 

63 σcM d' A's

, σsM /n R

σc1

σc

, σs1 /n

, αREFd σs /n

σc0

R

α 0d

, σs0 /n

α 1d

d hT

As

σsMR /n

d1

σs0 /n

σs1 /n σsREF /n

A REF

MR (a)

M 0 = k1*M R ∆M = MREF- M0 (b)

(c)

σs /n σsREF /n M REF = k 2*M R

(d)

Figura 5.2: Estados tensionais de uma seção reforçada.(a)Estado antes do reforço; (b)Estado de descarregamento; (c)Estado de recarregamento; (d)Estado final. No estado tensional final as tensões no concreto e nas armaduras são verificadas com relação às tensões admissíveis, visto que, o momento M REF, assim como

64

5.3. DESENVOLVIMENTO DAS EQUAÇÕES

Será utilizado o método da energia potencial apresentado no item 4.2. Como o escopo deste trabalho é o dimensionamento da armadura de reforço, basta aplicar-se o método ao estado tensional de recarregamento [diagrama (c) da figura 5.1], obter os valores das tensões no estado de descarregamento utilizando as equações já desenvolvidas para seções de concreto armado, e verificar as equações (5.10) a (5.13). O conhecimento do estado de descarregamento é necessário já que é preciso somá-lo ao estado de recarregamento para obter-se as tensões finais. Para facilitar a manipulação das equações será adotada uma área de

65 1 σc12α1bd U c = 6 E c

(eq. 5.17)

b) armadura de compressão: 2

1 σ ,s1 ρ,(n − 1)bd , U s1 = 2 nE s

(eq. 5.18)

c) armadura de tração e armadura de reforço: 2

1 σ s1eq ρeqbd U seq = 2 E s

(eq. 5.19)

O trabalho realizado pelas cargas externas é: Ω1 =

∆M σ c1 Ecα1d

(eq. 5.20)

Pode-se a partir da figura 5.1(c) obter relações entre as tensões das

66 2

1 2 2 σc12  d ,  , d ,  , 2   α1 −  ρ (n − 1) + σ c1  α1 −  ρ (n − 1) + σ α − α1  d  d  6 c1 1  2   d eq  σc12  d eq ∆ M σc1 − − α1 ρeq − σ c12n − α1 ρeq − = n 2 α1  d   d  d b 2

(eq. 5.24)

0

2

  d eq  ∆ M α1 d ,  , 1 3 σc1α1 + σ c1 α1 −  ρ (n − 1) + σ c1n − α1 ρeq − 2 =0 d  3  d  bd 

(eq. 5.25)

As duas equações formam um sistema de equações não-linear com duas incógnitas: α1 e ρeq. A tensão no concreto pode ser definida a partir das condições impostas pelas equações (5.10) a (5.13), chegando-se à expressão: σ c1 =

∆ M 2   ,2   d eq  d   α1 −  − α   1  2   d   d  2  α1 , + ρ ( n − 1) + ρ eq n bd α1 α1  3 

(eq. 5.26)

67

6. APLICAÇÃO EM PROGRAMAS DE COMPUTADOR

Para facilitar a aplicação da metodologia proposta foi desenvolvido um programa de computador que calcula automaticamente as tabelas de dimensionamento para uma determinada seção dada. Os gráficos correspondentes podem ser obtidos por

68 b) aço: tensão de escoamento ( f yk ); módulo de Young ( E s); relação entre módulos de elasticidade ( n); c) aço do reforço: tensão de escoamento ( f y); d) dimensões da seção: base da seção ( b); altura útil da seção ( d ); relações entre cobrimento e altura útil e distância do reforço e altura útil; taxas de armadura de tração e compressão; Para o valor do módulo de elasticidade do concreto pode-se tomar o valor

69

De posse das características dos materiais, o programa calcula as suas tensões admissíveis e com as propriedades geométricas da seção obtém os valores do momento admissível antes do reforço ( M R) a partir das equações (4.41) a (4.44) e da posição da LN antes do reforço utilizando a equação (4.34). O programa entra então nos loopings dos M R e

valor de k 2 e k 1, respectivamente, variando o valor de M REF de 1,05 a 1,5 de

de M 0 de 0,05 a 0,9 de M R. A rotina principal do programa é a rotina conv. Nesta

rotina são obtidos pelo método de Newton-Raphson a duas variáveis os valores de ρ REF e α1 que serão utilizados para o cálculo das tensões no concreto utilizando a equação (4.32) e

nas armaduras utilizando as equações (5.15) e (5.16). Para iniciar o processo iterativo, adota-se inicialmente o valor da tensão no concreto igual à tensão admissível, ou seja:

70 σc1

σ sR − σ s0 ,)α1 ( =

 d ,  n α1 −  d  

(eq. 6.5)

Adotando-se como novo valor aquele que for menor que a tensão admissível do concreto na ordem apresentada: armadura de tração, armadura de reforço e armadura de compressão. Estas equações são obtidas a partir das equações (5.9), (5.10), (5.15) e (5.16) fazendo as tensões das armaduras iguais às suas tensões admissíveis menos as tensões existentes no estado de descarregamento. Os cálculos são então refeitos até que as inequações sejam satisfeitas. O valor da taxa de armadura de reforço é armazenado e passa-se ao par de valores ( k 1,k 2) seguinte. O método de Newton-Raphson a duas variáveis é a generalização do

71 −1

∂f  ∂ f  x , y x , y ( ) ( ) i i i i   f ( x , y ) − f ( xi , yi )  xi +1   xi   ∂ x ∂ y = + ×      y   y  ∂g  i +1  i   ( xi , yi ) ∂g ( xi , yi )  g( x , y ) − g( xi , yi )  ∂ y  ∂ x 

A matriz 2x2 é chamada de Jacobiano do sistema.

y _ y

_ p

yi+1 yi

pi+1 pi

(eq. 6.7)

72

A seguir é apresentada uma lista das rotinas existentes no programa e suas

INÍCIO

1

Cabeçalho

, 1, 10, 1

Lê o nome dos arquivos de I/O

MREF=(1+j/10*0,5)

LeDados

l, 1, 18, 1

Calcula o valor das tensões admissíveis

M0=(1+j/10*0,5)

Calcula os valores

3

4

73 •deq2drREF - calcula o valor da derivada da equação (5.19) em relação a ρref ; •eq1 - calcula o valor da equação (5.18); •eq2 - calcula o valor da equação (5.19); •conv - resolve o sistema de equações não-lineares pelo método de Newton-

Raphson; •imprime - imprime a tabela de resultados no arquivo de saída; •Minimo - calcula o mínimo valor de σc1 a partir das equações (6.3), (6.4) e

(6.5). 2 Calcula os valores

74

6.3. Resultados

Os resultados são os valores das taxas de armadura de reforço organizados numa tabela com os valores das relações de descarregamento nas colunas e de reforço nas linhas. São também repetidos os valores dos dados de entrada para conferência. Para compreensão dos resultados e para depuração do programa também é gerado um arquivo com os valores de todas as tensões finais nos materiais para cada passagem pelo looping de convergência dos valores de ρ REF e α1.

75

7. EXEMPLOS

São apresentados neste capítulo exemplos de aplicação do método proposto e sua comparação com os métodos existentes. Para demonstrar o comportamento das seções em diversas situações apresenta-se um exemplo para cada caso de seção; ou seja, um exemplo de seção normalmente armada, um exemplo de seção subarmada, um exemplo de seção com carmadura de compressão e um exemplo de seção superarmada. É feita para cada exemplo uma análise dos resultados obtidos pela metodologia proposta de acordo com os gráficos gerados pelas tabelas de resultados.

76

Dados: concreto: f ck= 19,6MPa σcR = 10MPa Ec = 3,0 x 104MPa aço: f yk = 386,4MPa σSR = 240MPa Es = 2,1 x 105MPa reforço: f y = 266,7MPa σsREF,R = 160MPa n = 15 ρ = 0,804% ρ’ = 0 d , d d 1 d

= 01 ,

= 01 ,

M 0

= 0 35

77 M 0



= 0 ,35  M R  2 ρ REF = 0 ,97% ⇒ AsREF = 0,97% × 30 × 50 = 14 ,55 cm M REF = 125 ,  M R



7.1.2. Metódo proposto por J.Bresson:

Sendo: Z1 = d = 50 cm d Z2 = h + 1 = d

da equação (4.34), tem-se: α = 0,3851

60 cm

78 A R =

26 ,3 cm2

7.1.3. Método proposto por Cánovas: × 14 M s = (125 , − 0,35) × 01261 , , = 01589 , MN. m , MPa > σ sREF ,R adotando-se Z 1 = 0,9d pela equação (3.12), tem-se: σ srs = 2335

então adotar-se-á: σsrs = 160 MPa adotando-se: Z s = 1,1d chega-se pela equação (3.14) a: A R = 16,9 cm2

7.1.4. Método proposto por Van Gemert:

79 A1 = −2986891 , , 209997 A3 = −00165 , A2 =

da equação (3.36) chega-se a: d p = 0079 , cm 2 Asp = 0 ,079 × 30 = 2,37 cm

pelas equações apresentadas pelo ACI [1], tem-se: t pb =

β xb 0 ,85 f c, − As f ys

(eq. 7.1)

b p f yp

adotando-se: ε yd = 3,66‰ (CA40-B), tem-se: xb d − xb

=

, 0003 ε yd + 0003 ,

(eq. 7.2)

80  0 ,0239 × 60 , 0,0239 × 0,32   × 14 × 0 ,3 − M d =  , = 0,0286 MN. m 2 2   ,  0 ,028 × 60  − 0 ,028 × 30 ,  × 14 , = 01058 , MN   2

V d = 

adotando-se x = 0,3851×0,45=0,193 m (equação(4.34)), tem-se: , 3 0 ,3 × 0193 2 2 + 0 ,804% × 0,3 × 05 I cp = , × (05 , − 0193 , ) + Ap × (0,6 − 0193 , ) × 15 3

(

)

I cp = 0 ,00242 + 2,4847 Ap

da equação (3.63), obtém-se: M up =

0 ,0476 × (0,00242 + 2,4847 A p ) × f b

adotando-se: f b = f ctd = 1,143 MPa (NBR-7187)

A p

81 A p = 4,5 cm

2

7.1.7. Método proposto por Campagnolo:

da equação (3.65), obtém-se: f ych

2 ,1 × 10 5 0 ,1261 × 1,4 = × × (0 ,60 − x) = 160 MPa 4 I 3 ,0 × 10 x

pelas equações (3.68) e (3.67), têm-se: x = −0 ,0281 − 23,333 Asch +

2 ( 0,001206 + Asch ) × 777,78 + 0,0253+ 25, 2Asch

0 ,3 ⋅ x 3 2 2 + 7 ,0 × 0,001206⋅ ( 05 I x = , − x) + 7,0 + Asch ⋅ ( 0,6 − x) 3

82 Tabela 7.1: Comparação entre os resultados dos métodos de10,0 dimensionamento estudados e kN/m o método proposto MÉTODO Valor da área da armadura de reforço 45 (cm2) 50 50,4 proposto 14,55 As J. Bresson 26,3 Cánovas 16,98 25 Van Gemert 16,05 800 Ziraba 18,30 (a) (b) (c) Oehlers 4,50 Figura 7.2: Viga do exemplo 2. (a) seção da viga antes do reforço; (b) seção da viga após o Campagnolo 13,95 reforço; (c) vista da viga.

7.2. Exemplo 2:

Viga sub-armada.

83 M 0 M R

= 0,60

M REF M R

= 1 ,45

b= 25cm h= 50cm d = 45cm

Os arquivos constam do anexo 3 assim como os resultados e o gráfico gerado a partir destes. Para as relações de descarregamento e reforço apresentados tem-se: M 0



= 0 ,60  M R  2 ρ REF = 1 ,29% ⇒ AsREF = 1,29% × 25 × 45 = 14,51 cm M REF = 1 ,45 M R



84

Dados: concreto: f ck = 30 Mpa σcR = 15,3 MPa E c = 34000 MPa; aço interno: CA50-B f yk = 500 MPa σsR = 310,6 MPa Es = 210000 MPa; aço do reforço: MR-250 f y = 250 MPa σsREF,R = 150 MPa; ρ = 1,743% ρ’ = 0,192% d , d d 1 d

= 0 ,0 7

= 0075 ,

M 0

010

85 15,0 kN/m 45

50

50,4

As 25

800

(a) (b) (c) Figura 7.4: Viga do exemplo 4. (a) seção da viga antes do reforço; (b) seção da viga após o reforço; (c) vista da viga.

Viga super-armada.

Dados: concreto: f = 26 Mpa σ = 13,3 MPa E = 32000 MPa;

86

Os arquivos constam do anexo 5 assim como os resultados e o gráfico gerado a partir destes. Para as relações de descarregamento e reforço apresentados tem-se: M 0



= 0 ,15  M R  2 ρ REF = 2 ,85% ⇒ AsREF = 2 ,85% × 25 × 45 = 32,06 cm M REF = 150 ,  M R



7.5. Análise dos resultados:

87 redução do momento dimensionante, provoca uma elevação na posição da linha neutra causando um aumento nas tensões do concreto e da armadura interna. Nos exemplos da viga normalmente armada, da viga super-armada e da viga com armadura dupla, o material a atingir a tensão admissível é o concreto, exigindo que a linha neutra seja deslocada no sentido da fibra tracionada de forma a aumentar a região comprimida e consequente redução de tensão. Este deslocamento da L.N. é conseguido por aumento da área da armadura de reforço, sendo que a partir de um certo nível de descarregamento, fisicamente já não é possível aumentar-se a seção comprimida já que a L.N. se desloca além da armadura tracionada descaracterizando o sentido de flexão na peça, fazendo com que o modelo numérico não seja mais válido levando a valores irrelevantes ou absurdos ou simplesmente impedindo a convergência do processo. No exemplo da viga sub-armada nos níveis menores de reforço e de

88 admissivel o que pode levar a um colapso brusco da peça, valendo isto principalmente para as seções super-armadas, onde o concreto atinge a tensão admissível para níveis menores de descarregamento.

89

8. CONCLUSÕES E SUGESTÕES DE CONTINUIDADE

O reforço de vigas por colagem de chapas já é uma forma consagrada de aumentar-se a sua capacidade resistente, visto a quantidade de estudos realizados encontrados durante a pesquisa bibliográfica, não cabendo aqui justificar sua utilização ou

90 descarregamento pequeno pode conduzir a áreas de armadura de reforço maiores conforme o nível de reforço e o tipo de seção da peça. A armadura interna e o concreto podem estar sendo o fator dimensionante conduzindo a uma sub-utilização da armadura de reforço, e, portanto, anti-econômico. Vigas com armadura dupla incorrem no mesmo problema das vigas superarmadas levando a elevadas seções de armadura de reforço e restringindo o nível de reforço, como no exemplo 3 onde observou-se que para níveis de reforço acima de 45% (k 2=1,45), não é possível o reforço já que o concreto tinha sua capacidade resistente totalmente exaurida mesmo no menor nível de descarregamento. A armadura de compressão em nenhuma das combinações foi o fator dimensionante já que sua tensão admissível nunca é atingida sem que a do concreto seja atingida primeiro. O estudo das várias combinações de níveis de reforço e de descarregamento

91 reforço. Por isso trabalhos nesta área são sempre bem-vindos. Vale a pena também indicar um estudo no comportamento elástico de vigas reforçadas analisando sua deformações e flechas. Com relação ao dimensionamento de vigas reforçadas, deve ser ainda alvo de estudos o comportamento não-linear do materiais e da posição da linha neutra e o dimensionamento de peças sujeitas a flexão composta.

92

10. BIBLIOGRAFIA

1. AMERICAN CONCRETE INSTITUTE, COMITEE 318. Building Code Requirements for Reinforced Concrete and Comentary (ACI 318-89 / 318 R-89). EUA: American Concrete Institute, 1989. 353 pp. 2. AN, W., SAADATMANESH, H. e EHSANI, M. R.. R.C. Beams Strengthened with FRP Plates. II: Analysys and Parametric Study. Journal of Strutural Engineering, EUA, Vol. 117, nº11, Nov. 1991.

93 14.OEHLERS, D.J.. Reinforced Concrete Beams with Plates Glued to Their Soffits. Journal of Structural Engineering, EUA, Vol. 118, nº 8, Ago. 1992. 15.SAADATMANESH, H. e EHSANI, M. R.. R.C. Beams Strengthened with GFRP Plates: I : Experimental Study. Journal of Structural Engineering, EUA, Vol. 117, nº 11, Nov. 1991. 16.SOUZA, V. C. M. de. Reforço de Elementos Estruturais: Aspectos de Dimensionamento. Niterói, 1993.Tese (Concurso para Prof. Titular) - Curso de Mestrado em Engenharia Civil - Universidade Federal Fluminense. 17.SÜSSEKIND, J. C.. Curso de Concreto. Porto Alegre: Editora Globo, 1980. 376 pp. 18.THEILLOUT, J.. Renforcement des Structures en Béton par la Technique de Tôles Collés. Annalles des l’ITBTP, França, nº 501, Fev. 1992. 19.TIMOSHENKO, S. P. e GERE, J. M.. Mecânica dos Sólidos. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda, 1984. 352 pp. 20.TRIANTAFILLOU, T. C. e PELVRIS, N.. Strengthening of RC Beams with Epoxy: Bonded Fibre-Composite Materials. Materials an Structures. França, nº 25,1992. 21.VAN GEMERT , D. et al.. Design Method for Strengthening Reinforced Concrete Beams and Plates. Bélgica: Katholike Universiteit te Leuven, Laboratorium Reyntjens, 1981. 22.ZIRABA, Y. N. et al.. Guidelines Toward the Design of Reinforced Concrete Beams with External Plates. ACI Structural Journal, EUA, Vol. 91, nº 6, Nov. 1994. 23.ZIRABA, Y. N. et al.. Combined Experimental-Numerical Approach to Characterization of Steel-Glue-Concrete Interface. Materials and Structures, França, nº 28, 1995.

94

95 program refor; { UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE - CURSO DE MESTRADO EM ENGENHARIA CIVIL Este programa se destina ao dimensionamento de reforcos de vigas em concreto armado com secao retangular, utilizando-se chapas metalicas coladas com resina epoxi. A base teorica e a formulacao e proposta na Tese para obtencao do grau de Mestre de Sebastiao Silva da Silveira. Orientador: Vicente Custodio Moreira de Souza. TENTATIVA COM METODO NEWTON-PAPHSON A DUAS VARIAVEIS E EQUACOES DA ENERGIA POTENCIAL TOTAL ultimas alteracoes:22/3/97} uses Crt; var V i,j,l, numtab,numit arqinp,arqout,controle inp,out und comentario,titulo fck,fyk,Fy,Ec,Es, n, r,rl,rREF, rdt,rdc, b,d, alfa0,A1, K,Kr, Scr,Ssr,SsREFr, Sc0,Ss0,Ssl0, Sc1,Ss1,Ssl1,SsREF, Sseq,req,deq,

: array [1..10,1..18] of real; {tabela de resultados} {indices} : integer; {numero de tabelas} : text; {arquivos de I/O e depuracao} : string[12]; {nome dos arquivos de I/O} : string[4]; {unidade utilizada} : string; {texto do arq. de dados} {resistencias e mod. de elast.} {rel. entre mod. de elast.} {taxas de armaduras} {rel. geometricas} {dim. da secao} {posicoes da LN} {rel. de resist.} {tensoes adm.} {tensoes devido a M0} {tensoes devido a DM} {valores da equiv.}

96 writeln(arqout,'Dimensoes da Secao:'); writeln(arqout,'b = ',b:4:2); writeln(arqout,'d = ',d:4:2); writeln (arqout,'d1/d = ',rdt:2:2); writeln (arqout,'d`/d = ',rdc:2:2); writeln (arqout); writeln (arqout,'taxas de armadura: '); writeln (arqout,'tracao = ',r:5:3,'%'); writeln (arqout,'compressao = ',rl:5:3,'%'); end;{LeDados} procedure cabecalho; { Imprime o cabecalho do programa } begin clrscr; gotoxy(9,2);write('U F F - P R O G R A M A R E F O R '); gotoxy(2,4);write('Autor : Sebastiao Silva da Silveira - Versao de 22/3/97'); gotoxy(2,5);write('Tese para a obtencao do grau de Mestre'); gotoxy(2,6);write('Curso de Mestrado em Engenharia Civil'); gotoxy(2,7);write('Orientador: Prof. Vicente Custodio Moreira de Souza'); end;{Cabecalho} function deq1da1 (rREF,A1:real; r,rl,Ec,n,b,d,DM,rdc,rdt : real) : real; { CALCULA O VALOR DA DERIVADA DA EQ.1 EM RELACAO A A1 } var temp : real; begin temp:=3*sqr(Sc1*(A1-rdc))*rl*(n-1)*b*d/(pow(A1,4)*Ec); temp:=temp-4*sqr(Sc1)*(A1-rdc)*rl*(n-1)*b*d/(pow(A1,3)*Ec); temp:=temp+sqr(Sc1)*rl*(n-1)*b*d/(sqr(A1)*Ec);

97 CALCULA O VALOR DA DERIVADA DA EQ.2 EM RELACAO A rREF } var temp : real; begin temp:=2*Sc1*n*(1+rREF/(rREF+r)*rdt-A1)*(rREF+r)*b*d*((1+rdt)/(rREF+r)(1/(rREF+r)+rREF/sqr(rREF+r)*rdt))/(sqr(A1)*Ec); temp:=temp+Sc1*n*sqr(1+rREF/(rREF+r)*rdt-A1)*b*d/(sqr(A1)*Ec); deq2drREF:=temp; end;{deq2drREF} function eq1 (rREF,A1:real; r,rl,Ec,n,b,d,DM,rdc,rdt : real) : real; { CALCULA O VALOR DA EQ1 } var temp :real; begin temp:=1/6*sqr(Sc1)*b*d/Ec-sqr(Sc1*(A1-rdc))*rl*(n-1)*b*d/(pow(A1,3)*Ec); temp:=temp+sqr(Sc1)*(A1-rdc)*rl*(n-1)*b*d/(sqr(A1)*Ec); temp:=temp-sqr(Sc1*(1+rREF/(rREF+r)*rdt-A1))*n*(rREF+r)*b*d/(pow(A1,3)*Ec); temp:=temp-sqr(Sc1)*(1+rREF/(rREF+r)*rdt-A1)*n*(rREF+r)*b*d/(sqr(A1)*Ec); temp:=temp+DM*Sc1/(Ec*sqr(A1)*d); eq1:=temp; end; {eq1} function eq2 (rREF,A1:real; r,rl,Ec,n,b,d,DM,rdc,rdt : real) : real; { CALCULA O VALOR DA EQ2 } var temp :real;

98 else converge:=true; until (abs(dA1)<=1e-10)and(abs(drREF)<=1e-10)or(numit>10000); end; {conv} procedure imprime; { impressao de da tabela de resultados } var l,j : integer; {indices} begin writeln (arqout,''); writeln (arqout, ' taxa de armadura de reforco (Asref/bd) : '); writeln (arqout,''); writeln (arqout,'Mref/MR write (arqout,' 0.05'); for j:=2 to 17 do write(arqout,' ',j/20:4:2); writeln(arqout,' ','0.90'); for j:=1 to 10 do begin write (arqout, 1+j/10*0.5:2:2,' '); for l:=1 to 17 do begin write (arqout,V[j,l]:2:4,' '); end; {for l} writeln (arqout,V[j,18]:2:4,' '); end; {for j} end; procedure Minimo (var Sc1:real; A1,Sc0,Ss0,Ssl0,Scr,Ssr,SsREFr:real); { OBTEM O VALOR MINIMO DE Sc1 }

M0/MR ');

99 for i:=1 to numtab do begin LeDados; {calculo de constantes} Scr:= fck/1.96; Ssr:=fyk/1.61; SsREFr:=Fy*0.60; r:=r/100.0; rl:=rl/100.0; alfa0:= -rl*(n-1)-r*n+sqrt(sqr(rl*(n-1)+r*n)+2*rdc*(n-1)*rl+2*n*r); k:= alfa0/(1-alfa0); kr:= n*Scr/Ssr; if k
100

101

Arquivo de dados: Exemplo1 - viga normalmente armada num.tabelas unidades 01 MPa tabela 1 fck fyk fy Ec Es 19.6 386.4 266.7 3e4 2.1e5 15.0 b d / d1/d d'/d 0.30 0.50 0.10 0.00 ro ro' 0.804 0.00

U F F - P R O G R A M A R E F O R Autor : Sebastiao Silva da Silveira - Versao de 22/3/97 Tese para a obtencao do grau de Mestre Curso de Mestrado em Engenharia Civil Orientador: Prof. Vicente Custodio Moreira de Souza Exemplo1 - viga normalmente armada numero de iteracoes: tabela:

1

1

Dados dos Materiais: fck = 19.6 MPa fyk = 386.4 MPa Fy = 266.7 MPa Ec = 30000.0 MPa Es = 210000.0 MPa n = Es/Ec = 15 Dimensoes da Secao: b = 0.30 d = 0.50 d1/d = 0.10 d`/d = 0.00 taxas de armadura: tracao = 0.804% compressao = 0.000% taxa de armadura de reforco (Asref/bd) : Mref/MR 0.05 1.05 0.0052 1.10 0.0058 1.15 0.0066 1.20 0.0070 1.25 0.0082 1.30 0.0087 1.35 0.0091 1.40 0.0112 1.45 0.0135 1.50 0.0161

0.10 0.0045 0.0052 0.0059 0.0065 0.0073 0.0079 0.0099 0.0121 0.0147 0.0177

0.15 0.0039 0.0045 0.0052 0.0059 0.0066 0.0086 0.0108 0.0133 0.0163 0.0197

0.20 0.0033 0.0039 0.0045 0.0054 0.0072 0.0094 0.0118 0.0147 0.0181 0.0222

0.25 0.0027 0.0033 0.0040 0.0058 0.0079 0.0103 0.0131 0.0165 0.0205 0.0253

0.30 0.0021 0.0027 0.0044 0.0064 0.0087 0.0115 0.0147 0.0187 0.0235 0.0294

M0/MR 0.35 0.40 0.0015 0.0015 0.0030 0.0032 0.0048 0.0054 0.0071 0.0079 0.0097 0.0110 0.0129 0.0147 0.0168 0.0194 0.0215 0.0253 0.0274 0.0329 0.0349 0.0429

0.45 0.0016 0.0036 0.0060 0.0089 0.0126 0.0172 0.0230 0.0306 0.0408 0.0551

0.50 0.0018 0.0040 0.0068 0.0103 0.0147 0.0205 0.0281 0.0385 0.0534 0.0761

0.55 0.0020 0.0046 0.0079 0.0121 0.0177 0.0253 0.0359 0.0514 0.0761 0.0000

0.60 0.0023 0.0054 0.0094 0.0147 0.0222 0.0329 0.0491 0.0761 0.0000 0.0000

0.65 0.0027 0.0064 0.0115 0.0187 0.0294 0.0463 0.0761 0.0000 0.0000 0.0000

0.70 0.0032 0.0079 0.0147 0.0253 0.0429 0.0761 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.75 0.0040 0.0103 0.0205 0.0385 0.0761 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.80 0.0054 0.0147 0.0329 0.0761 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.85 0.0079 0.0253 0.0761 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.90 0.0147 0.0761 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

Exemplo 1 - b=30cm h=55cm ρ =0,804%

0.08

0.07

0.06

MREF /MR 1.05 1.1

0.05

1.15 1.2 ρREF

1.25

0.04

1.3 1.35 1.4

0.03

1.45 1.5

0.02

0.01

0 0.05

0.15

0.25

0.35

0.45

M0 /MR

0.55

0.65

0.75

0.85

104

105

Arquivo de dados: Exemplo 2 - Viga Subarmada num.tabelas unidades 01 MPa tabela 1 fck fyk fy Ec Es n 26 500 250 32000 2.1e5 15 b d / d1/d d'/d 0.25 0.45 0.12 0.00 ro ro' 0.672 0.00

U F F - P R O G R A M A R E F O R Autor : Sebastiao Silva da Silveira - Versao de 22/3/97 Tese para a obtencao do grau de Mestre Curso de Mestrado em Engenharia Civil Orientador: Prof. Vicente Custodio Moreira de Souza Exemplo 2 - Viga Subarmada numero de iteracoes: tabela:

1

1


0.10 0.0081 0.0093 0.0103 0.0110 0.0107 0.0139 0.0146 0.0130 0.0153 0.0186

0.15 0.0072 0.0082 0.0093 0.0101 0.0102 0.0127 0.0130 0.0121 0.0151 0.0178

0.20 0.0062 0.0072 0.0082 0.0092 0.0096 0.0115 0.0115 0.0119 0.0145 0.0168

0.25 0.0054 0.0063 0.0073 0.0083 0.0089 0.0103 0.0101 0.0116 0.0138 0.0154

0.30 0.0047 0.0054 0.0063 0.0073 0.0081 0.0091 0.0089 0.0111 0.0127 0.0136

M0/MR 0.35 0.40 0.0042 0.0046 0.0047 0.0042 0.0055 0.0047 0.0064 0.0055 0.0073 0.0064 0.0081 0.0071 0.0086 0.0081 0.0103 0.0092 0.0113 0.0097 0.0116 0.0099

0.45 0.0052 0.0047 0.0040 0.0047 0.0056 0.0062 0.0073 0.0079 0.0087 0.0110

0.50 0.0059 0.0053 0.0046 0.0040 0.0048 0.0055 0.0063 0.0075 0.0098 0.0125

0.55 0.0067 0.0061 0.0052 0.0043 0.0040 0.0048 0.0062 0.0084 0.0111 0.0143

0.60 0.0079 0.0072 0.0061 0.0050 0.0038 0.0048 0.0070 0.0097 0.0129 0.0168

0.65 0.0096 0.0087 0.0074 0.0060 0.0045 0.0055 0.0081 0.0113 0.0152 0.0202

0.70 0.0122 0.0110 0.0093 0.0074 0.0054 0.0064 0.0095 0.0135 0.0186 0.0253

0.75 0.0166 0.0150 0.0125 0.0096 0.0069 0.0075 0.0115 0.0167 0.0237 0.0335

0.80 0.0254 0.0229 0.0186 0.0138 0.0093 0.0092 0.0145 0.0218 0.0324 0.0488

0.85 0.0513 0.0462 0.0351 0.0238 0.0145 0.0118 0.0194 0.0309 0.0499 0.0000

0.90 0.0000 0.0000 0.0000 0.0715 0.0318 0.0164 0.0289 0.0516 0.0000 0.0000

Exemplo 2 - b=25cm h=30cm ρ=0,672% 0.08

0.07

0.06

MREF /MR 1.05 1.1

0.05

1.15 1.2 ρ REF

1.25

0.04

1.3 1.35 1.4

0.03

1.45 1.5 0.02

0.01

0 0.05

0.15

0.25

0.35

0.45 M0 /MR

0.55

0.65

0.75

0.85

108

109

Arquivo de dados: Exemplo 3 - Viga de 80x50cm c/ arm. de compressao num.tabelas unidades 01 MPa tabela 1 fck fyk fy Ec Es n 30 500 250 34000 2.1e5 15 b d / d1/d d'/d 0.50 0.75 0.07 0.075 ro ro' 1.743 0.192

U F F - P R O G R A M A R E F O R Autor : Sebastiao Silva da Silveira - Versao de 22/3/97 Tese para a obtencao do grau de Mestre Curso de Mestrado em Engenharia Civil Orientador: Prof. Vicente Custodio Moreira de Souza Exemplo 3 - Viga de 80x50cm c/ arm. de compressao numero de iteracoes: tabela:

1

1


0.10 0.0116 0.0132 0.0162 0.0162 0.0215 0.0293 0.0395 0.0532 0.0723 0.0000

0.15 0.0100 0.0114 0.0137 0.0166 0.0236 0.0326 0.0446 0.0613 0.0000 0.0000

0.20 0.0085 0.0100 0.0120 0.0182 0.0261 0.0367 0.0512 0.0723 0.0000 0.0000

0.25 0.0070 0.0085 0.0131 0.0201 0.0293 0.0419 0.0600 0.0000 0.0000 0.0000

0.30 0.0055 0.0084 0.0145 0.0225 0.0333 0.0488 0.0723 0.0000 0.0000 0.0000

M0/MR 0.35 0.40 0.0041 0.0044 0.0093 0.0103 0.0161 0.0182 0.0254 0.0293 0.0386 0.0458 0.0583 0.0723 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.45 0.0049 0.0115 0.0208 0.0345 0.0562 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.50 0.0055 0.0131 0.0244 0.0419 0.0723 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.55 0.0062 0.0153 0.0293 0.0532 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.60 0.0071 0.0182 0.0367 0.0723 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.65 0.0084 0.0225 0.0488 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.70 0.0103 0.0293 0.0723 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.75 0.0131 0.0419 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.80 0.0182 0.0723 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.85 0.0293 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.90 0.0723 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

Exemplo 3 - b=50cm h=80cm ρ =1,743% ρ '=0,192%

0.08

0.07

0.06 MREF /MR 1.05

0.05

1.1 1.15 1.2

ρREF

0.04

1.25 1.3 1.35

0.03

1.4 1.45

0.02

0.01

0 0.05

0.15

0.25

0.35

0.45 M0 /MR

0.55

0.65

0.75

0.85

112

113

Arquivo de dados: Exemplo4 - viga super-armada num.tabelas unidades 01 MPa tabela 1 fck fyk fy Ec Es 15.0 500.0 250.0 3e4 2.1e5 15.0 b d / d1/d d'/d 0.25 0.45 0.10 0.00 ro ro' 1.02 0.00

U F F - P R O G R A M A R E F O R Autor : Sebastiao Silva da Silveira - Versao de 22/3/97 Tese para a obtencao do grau de Mestre Curso de Mestrado em Engenharia Civil Orientador: Prof. Vicente Custodio Moreira de Souza Exemplo4 - viga super-armada numero de iteracoes: tabela:

1

1


0.10 0.0015 0.0027 0.0043 0.0062 0.0083 0.0108 0.0136 0.0169 0.0208 0.0254

0.15 0.0013 0.0029 0.0046 0.0067 0.0090 0.0117 0.0149 0.0187 0.0231 0.0285

0.20 0.0014 0.0031 0.0050 0.0072 0.0098 0.0129 0.0165 0.0208 0.0260 0.0325

0.25 0.0015 0.0033 0.0054 0.0079 0.0108 0.0142 0.0184 0.0235 0.0297 0.0377

0.30 0.0017 0.0036 0.0059 0.0087 0.0119 0.0159 0.0208 0.0269 0.0346 0.0446

M0/MR 0.35 0.40 0.0018 0.0020 0.0039 0.0043 0.0065 0.0072 0.0096 0.0108 0.0134 0.0152 0.0180 0.0208 0.0239 0.0280 0.0314 0.0377 0.0413 0.0509 0.0546 0.0700

0.45 0.0022 0.0048 0.0081 0.0123 0.0176 0.0245 0.0338 0.0468 0.0659 0.0000

0.50 0.0024 0.0054 0.0093 0.0142 0.0208 0.0297 0.0424 0.0614 0.0000 0.0000

0.55 0.0027 0.0062 0.0108 0.0169 0.0254 0.0377 0.0564 0.0000 0.0000 0.0000

0.60 0.0031 0.0072 0.0129 0.0208 0.0325 0.0509 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.65 0.0036 0.0087 0.0159 0.0269 0.0446 0.0770 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.70 0.0043 0.0108 0.0208 0.0377 0.0700 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.75 0.0054 0.0142 0.0297 0.0614 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.80 0.0072 0.0208 0.0509 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.85 0.0108 0.0377 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.90 0.0208 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

Dissertação - Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado Reforçadas Com Chapas Coldas Com Resina Epóxi - Sebastião S. Da Silveira - Universidade Federal Fluminense - 1997

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